UNIDADE 3
FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO MODULAR

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Que tipos de transporte você costuma utilizar para se locomover no município onde mora?

2. Você já utilizou ou utiliza transporte público? Você considera esse tipo de transporte eficiente? Justifique.

3. No texto, é descrita uma maneira de se cobrar a locação de bicicleta e patinete elétrico. Nessa maneira, quêque parte do valor é variável, ou seja, pódepode mudar de uma locação para outra?

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Função afim: ideias iniciais e definição

Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre mobilidade urbana e meios de transporte alternativos, como o aluguel de bicicletas e de patinetes elétricos para pequenos deslocamentos. Nesse contexto, considere a seguinte situação.

Certa empresa oferece locação de patinetes elétricos para transporte em uma região delimitada de um município. Para utilizar esse serviço, o cliente deve pagar um valor compôztocomposto de uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,80 para cada minuto de uso do patinete. Acompanhe, a seguir, a relação entre o tempo de uso do patinete, em minuto, e o valor a sêrser pago pela locação, em reais.

Essa relação também pódepode sêrser expressa pela função f cuja lei de formação pódepode sêrser escrita como:

pôdêmosPodemos, por exemplo, determinar o valor, em reais, a sêrser pago pelo uso de 10 min dêêssedesse patinete calculando f(10):

f(10) = 0,80 ⋅ 10 + 3 = 8 + 3 = 11, ou seja, R$ 11,00.

A função definida pela lei de formação f(x) = 0,80x + 3, quêque representa essa situação, é um exemplo de função afim.

Dizemos quêque a é o coeficiente de x e b é o termo independente da função.

PARA PENSAR

Na função apresentada:

• qual é a variável independente? E a variável dependente?

A variável independente é x, quêque representa o tempo de uso do patinete, em minuto. A variável dependente é y = f(x), quêque corresponde ao valor total a pagar, em reais.

• qual é o valor de f(15) e o quêque esse resultado indica?

Temos quêque f(15) = 15. Indica quêque, ao usar o patinete por 15 min, deve-se pagar o valor de R$ 15,00.

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Observe alguns exemplos de função afim.

f(x) = −2x + 5

Nesse caso, a = −2 e b = 5.

f(x) = −12x

Nesse caso, a = −12 e b = 0.

f(x) = −x − $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

Nesse caso, a = −1 e b = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$.

f(x) = 7x − 4,6

Nesse caso, a = 7 e b = −4,6.

f(x) = $\frac{6}{15}$ x + 3

Nesse caso, a = $\frac{6}{15}$ e b = 3.

f(x) = 8,4

Nesse caso, a = 0 e b = 8,4.

A função afim em quêque a = 0 é denominada função constante, e aquela em quêque a ≠ 0 é denominada função polinomial do 1º grau. Entre os exemplos citados, f(x) = 8,4 é uma função constante, e as demais são funções polinomiais do 1º grau.

PARA PENSAR

Outro caso particular de função afim é a denominada função nula, em quêque a = 0 e b = 0.

• A função nula também é um caso particular de função constante? Justifique.

Sim, pois, como na função nula temos a = 0, ela também é uma função constante.

• Qual é a lei de formação de uma função nula g?

g(x) = 0

Agora, considere outra situação.

A fibra alimentar está presente nos alimentos de origem vegetal. Ela é a parte do alimento ingerido quêque não é absorvida pelo nosso organismo e chega quase intacta ao intestino, auxiliando no funcionamento dêstedeste. Além díssudisso, pódepode contribuir para a prevenção de diversas doenças, como colesterol alto, diabetes e infekiçõesinfecções. Entre os alimentos ricos em fibra alimentar, estão as leguminosas, como feijão, ervilha e lentilha. Uma porção de 100 g de lentilha, por exemplo, contém cerca de 8 g de fibra alimentar.

Note quêque, nesse caso, a massa de lentilha e a massa de fibra alimentar são grandezas diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos ou reduzirmos uma delas, a outra também aumentará ou ficará reduzida, respectivamente, na mesma proporção. Observe essa proporcionalidade representada na tabélatabela a seguir.

Proporção de massa de lentilha e massa de fibra alimentar

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Analisando a tabélatabela anterior, é possível constatar quêque a razão entre a massa de fibra alimentar e a massa de lentilha correspondente é um valor constante e positivo.

$\frac{2}{25}$ = 0,08

$\frac{4}{50}$ = 0,08

$\frac{8}{100}$ = 0,08

$\frac{16}{200}$ = 0,08

$\frac{24}{300}$= 0,08

Quando as grandezas envolvidas em determinado problema estão relacionadas de maneira diretamente proporcional, pode-se representar essa relação por meio de uma função linear. Assim, a situação envolvendo a quantidade de fibra alimentar em uma porção de lentilha pódepode sêrser representada por meio da função linear h.

Observe alguns exemplos de função linear.

f(x) = −3x

Nesse caso, a = −3.

m(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ − x

Nesse caso, a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$.

g (x) = x

Nesse caso, a = 1.

h(x) = $\frac{2}{3}\mathrm{x}$

Nesse caso, a = $\frac{2}{3}$.

PARA AMPLIAR

A função linear em quêque a = 1 é denominada função identidade. Entre os exemplos apresentados, g (x) = x é a função identidade.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R1. Na abertura desta Unidade, estudamos um exemplo de transporte ágil e econômico e quêque pódepode contribuir para uma mobilidade urbana sustentável. Nesse contexto, algumas alternativas quêque vêm crescendo no Brasil são o compartilhamento ou aluguel de veículos e a utilização de carros elétricos, quêque diminuem tanto a poluição atmosférica como a sonora. De olho nesse nicho, algumas empresas estão disponibilizando veículos elétricos para locação por períodos de apenas alguns minutos até algumas horas, geralmente para deslocamentos curtos em centros urbanos. Observe, a seguir, dois planos de locação de carros elétricos oferecidos por certa locadora.

Calcule o tempo t de locação de um carro elétrico dessa locadora de maneira quêque o valor final seja o mesmo, independentemente do plano escolhido.

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Resolução

Inicialmente, podemos escrever a lei de formação de uma função afim para cada plano de locação.

Consideramos k um número real tal quêque A(k) = B(k), ou seja, o valor total a sêrser pago pela locação em ambos os planos é o mesmo para o tempo k, em minuto. Assim, temos:

A(k) = B(k) ⇒ 0,25k + 10 = 0,09k + 30 ⇒ 0,16k = 20 ⇒ k = $\frac{20}{\mathrm{0,16}}$ ⇒ k = 125, ou seja, 125 min.

Portanto, para quêque o valor pago seja o mesmo, independentemente do plano escolhido, o tempo de locação do carro elétrico deve sêrser de 125 min.

Determinação de uma função afim

Leia a situação a seguir.

Paulo trabalha como vendedor em uma loja de vestuário. Sua remuneração mensal, em reais, pódepode sêrser expressa por uma função afim f composta de uma parte fixa e outra variável, correspondente à comissão, ou seja, um porcentual do valor de suas vendas no mês.

Observe as informações sobre a remuneração de Paulo em dois meses.

Com base nessas informações, temos:

• f(30.000) = 3.000;

• f(40.000) = 3.500.

pôdêmosPodemos determinar a lei de formação de f, representada por f(x) = ax + b, da maneira a seguir.

Substituindo os valores de x e de f(x) fornecidos na lei de formação de f, temos:

• f(30.000) = 3.000 ⇒ 30.000a + b = 3.000;

• f(40.000) = 3.500 ⇒ 40.000a + b = 3.500.

Vendedor de uma loja de roupas e calçados.

DICA

A igualdade f(30.000) = 3.000 indica quêque, para x₁ = 30.000, se tem, f(x₁) = 3.000.

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Com isso, podemos obtêrobter os valores de a e b resolvendo o seguinte sistema de equações.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}30000a+b=3000\cdot \left(-1\right)\\ 40000a+b=3500\end{array}\end{array}$ ⇒

Substituindo a = 0,05 na primeira equação dêêssedesse sistema, temos:

30.000 ⋅ 0,05 + b = 3.000 ⇒ b = 3.000 − 1.500 = 1.500

Portanto, f(x) = 0,05x + 1.500.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R2. A escala de tempera-túratemperatura kélvinKelvin, quêque é a unidade de medida de tempera-túratemperatura termodinâmica do Sistema Internacional de mêdídasMedidas (SI), costuma sêrser utilizada para fins científicos. Observe, na figura, a relação entre as escalas de tempera-túratemperatura kélvinKelvin e célciusCelsius. Sabendo quêque essa relação pódepode sêrser representada por uma função afim, calcule a quantos kelvin corresponde uma tempera-túratemperatura de −54 °C.

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos fazer a decomposição dela em etapas, o quêque auxilia na compreensão e na resolução.

Nesse caso, as kestõesquestões podem sêrser as seguintes.

1ª) Observando a figura apresentada, temos:

2ª) Da resposta à questão anterior, segue quêque:

• f(0) = 273 ⇒ a ⋅ 0 + b = 273 ⇒ b = 273

• f(100) = 373 ⇒ a ⋅ 100 + b = 373 ⇒ 100a + b = 373

Substituindo b = 273 em 100a + b = 373, temos:

100a + 273 = 373 ⇒ 100a = 100 ⇒ a = 1

Portanto, f(x) = x + 273.

3ª) Considerando a função ôbitídaobtida na 2ª questão, temos:

f(−54) = −54 + 273 = 219

Logo, a tempera-túratemperatura −54 °C corresponde a 219 K.

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ATIVIDADES

1. Em relação a cada função afim indicada a seguir, escrêevaescreva os valores do coeficiente a (de x) e do termo independente b. Depois, identifique as funções lineares e a função identidade.

a) f(x) = 8x + 10

a = 8;
b = 10

b) f(x) = −2x − 8,4

1. b) a = −2; b = −8,4

c) f(x) = 4 − 6x

a = −6;
b = 4

d) f(x) = x

1. d) a = 1; b = 0; função linear e função identidade

e) f(x) = $\frac{3}{5}x$

1. e) a = $\frac{3}{5}$; b = 0; função linear

f) f(x) = −37

1. f) a = 0; b = −37

g) f(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}x+\frac{2}{3}\end{array}$

1. g) a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ _; b = $\frac{2}{3}$

h) f(x) = −x

a = −1; b = 0; função linear

2. Dadas as funções afins f(x) = 6x + 84 e g (x) = −4x − 6, calcule:

a) f(−7)

42

b) g (5)

−26

c) g (0)

−6

d) f $\begin{array}{c}\left(\frac{5}{3}\right)\end{array}$

94

e) f(2) + g (−10)

130

f) g (4) − f(−3)

−88

g) $\begin{array}{c}\frac{f\left(-5\right)}{g\left(3\right)}\end{array}$

−3

3. Em cértocerto condomínio residencial, o consumo médio de á guaágua é de 2.000 L por hora. Para abastecer os moradores por determinado período, em casos de falta de fornecimento pela companhia de á guaágua, foi construída uma caixa-d’água com capacidade para 100.000 L.

a) Qual das alternativas a seguir corresponde à lei de formação de uma função v quêque relaciona o volume v(t) de á guaágua nessa caixa, em litro, com o tempo t, em hora, quêque esse condomínio fica sem fornecimento de á guaágua, considerando a caixa-d’água inicialmente cheia?

• v(t) = 2.000 − 100.000t

• v(t) = 100.000 − 2.000t

• v(t) = 100.000 + 2.000t

v(t) = 100.000 − 2.000t

b) Qual é o volume de á guaágua nessa caixa-d’água após um período de 15 h de suspensão do fornecimento de á guaágua?

70.000 L

c) Durante quantas horas o volume de á guaágua dessa caixa-d’água é capaz de abastecer os moradores dêêssedesse condomínio durante a suspensão de fornecimento de á guaágua?

50 h

4. Antes de sêrser ligado, um fôrnuforno elétrico registra uma tempera-túratemperatura interna de 25 °C. Após sêrser ligado, a tempera-túratemperatura interna dêêssedesse fôrnuforno aumenta 15 °C por minuto até atingir a tempera-túratemperatura selecionada.

a) Construa uma tabélatabela para relacionar a tempera-túratemperatura interna dêêssedesse fôrnuforno, em grau célciusCelsius, com os tempos de 0, 1, 2, 3, 4 e 5 minutos após o fôrnuforno ter sido ligado.

4. a) Resposta nas Orientações para o professor.

b) Qual dos itens a seguir indica a lei de formação de uma função afim f quêque determina a tempera-túratemperatura interna do fôrnuforno, em grau célciusCelsius, de acôr-doacordo com o tempo x, em minuto, em quêque o fôrnuforno permanécepermanece ligado? Explique com suas palavras como você chegou à conclusão.

I) f(x) = 25x + 15

II) f(x) = −15x + 25

III) f(x) = 5x + 3

IV) f(x) = 15x + 25

IV. Elaboração do estudante.

c) Leia a informação a seguir e responda às kestõesquestões.

Ao ligar o fôrnuforno, a tempera-túratemperatura selecionada foi de 280°C.

• Qual é a tempera-túratemperatura interna do fôrnuforno, após permanecer ligado por 10 min?

175°C

• Quantos minutos foram necessários para o fôrnuforno atingir a tempera-túratemperatura selecionada?

17 min

5. Para realizar o transporte rodoviário de leite, uma indústria de laticínios utiliza um caminhão-tanque com capacidade para 18.000 L. Esse caminhão é equipado com uma bomba de transferência de leite cuja vazão é de 160 L por minuto.

a) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função L quêque relaciona o volume L(t) de leite nesse caminhão, em litro, com o tempo t, em minuto, após a bomba sêrser acionada para esvaziar o tanque, considerando-o inicialmente cheio.

L(t) = 18.000 − 160t

b) Qual é o tempo necessário para esvaziar completamente o tanque de leite dêêssedesse caminhão, considerando-o inicialmente cheio?

1h52min30s

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6. Observe a cotação, em reais, para a compra de um dólar e de um euro ao final do dia 8 de janeiro de 2024.

Cotação de fechamento do dólar e do euro, para compra, 8/1/2024

Fonte dos dados: BRASIL. Banco Central do Brasil. Cotações e boletins. Brasília, DF: BCB, 2024. Disponível em: https://livro.pw/xywwj. Acesso em: 9 jan. 2024.

Agora, responda.

a) Quantos reais eram necessários para comprar 70 dólares? E para comprar 200 euros?

6. a) aproximadamente R$ 341,91; R$ 1.071,54

b) Com R$ 1.465,32, era possível comprar quantos dólares? E quantos euros?

6. b) 300 dólares; aproximadamente 273,50 euros

c) As grandezas real e dólar e as grandezas real e euro estão relacionadas de maneira diretamente proporcional? Explique.

6. c) Sim, pois, se aumentarmos ou reduzirmos uma das grandezas, a outra também aumentará ou ficará reduzida, respectivamente, na mesma proporção.

d) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função:

• f quêque represente a quantia, em reais, necessária para comprar x dólares;

6. d) • f(x) = 4,8844x

• g quêque represente a quantia, em reais, necessária para comprar p euros.

• g (p) = 5,3577p

e) Com base nas funções indicadas no item d, calcule f(40) e g (100). Depois, dêz-crevadescreva o quêque esses resultados indicam.

6. e) f(40) = 195,376. Para comprar 40 dólares, eram necessários aproximadamente R$ 195,38. g (100) = 535,77. Para comprar 100 euros, eram necessários R$ 535,77.

f) As funções f e g indicadas no item d podem sêrser classificadas como funções lineares? Justifique.

6. f) Sim, pois as funções f e g são funções afins em quêque o termo independente é igual a zero.

g) Pesquise a cotação, em reais, para a compra de um dólar e de um euro em uma data recente. Depois, compare as cotações dessas moedas quêque você obteve com as do final do dia 8 de janeiro de 2024.

Resposta pessoal.

7. Pense em um contexto quêque envolva duas variáveis cuja relação entre elas possa sêrser expressa por uma função afim. Depois, escrêevaescreva a lei de formação dessa função e identifique as variáveis independente e dependente. Por fim, explique a um colega as características dessa função, por exemplo, se as grandezas envolvidas estão relacionadas de maneira proporcional.

Elaboração do estudante.

8. César é vendedor em uma loja de calçados. Seu salário é compôztocomposto de uma parte fixa, de R$ 3.500,00, e de uma parte variável, quêque corresponde a 3% do valor das vendas quêque ele realizou durante o mês.

a) Qual foi o salário de César no mês em quêque ele vendeu R$ 26.840,00 em calçados?

R$ 4.305,20

b) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função afim s quêque relaciona o salário s(v) de César com o valor v das vendas.

s(v) = 0,03v + 3.500

c) No mês cujo salário de César foi de R$ 4.541,84, qual foi a quantia total das vendas de calçados quêque ele realizou?

R$ 34.728,00

9. Para esvaziar uma piscina, é utilizada uma bomba-d’água com vazão de 8 m³/h. Considerando a piscina inicialmente cheia, a variação do volume de á guaágua V de acôr-doacordo com o tempo t decorrido após a bomba sêrser ligada pódepode sêrser expressa pela função V(t) = 100 − 8t, com V em métrometro cúbico e t em hora.

a) Qual é a capacidade mássimamáxima dessa piscina?

9. a) 100 m³

b) Qual é o volume de á guaágua nessa piscina, 4 horas após a bomba-d’água sêrser ligada, considerando quêque inicialmente a piscina está cheia?

68 m³

c) Qual é o tempo necessário para esvaziar completamente essa piscina?

12,5 h ou 12h30min

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10. Um encanador cobra dos clientes uma quantia fixa, correspondente à visita, mais um valor variável de acôr-doacordo com o tempo, em hora, necessário para realizar o serviço. Observe, a seguir, o preêçopreço quêque esse encanador cobrou em alguns atendimentos.

a) Nessa situação, as grandezas tempo (em hora) e preêçopreço (em reais) são diretamente proporcionais? Justifique.

10. a) Não, pois, analisando cada linha do qüadroquadro, é possível constatar quêque a razão entre o preêçopreço e o tempo não corresponde a uma constante.

b) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função p quêque determina o preêçopreço cobrado pelo atendimento dêêssedesse encanador de acôr-doacordo com o tempo t necessário para realizar o serviço.

10. b) p (t) = 15t + 32

c) Calcule quantos reais esse encanador cobra por um atendimento no qual foram necessárias:

• 5 horas de serviço;

R$ 107,00

• 10 horas de serviço.

R$ 182,00

d) Em cértocerto atendimento, esse encanador cobrou R$ 84,50 do cliente. Em quanto tempo esse serviço foi realizado?

3,5 h ou 3h30min

11. Para um trabalho de Geografia, Rafael imprimiu um mapa da região de Rio Grande (RS), município em quêque mora. Depois, ele construiu a tabélatabela a seguir com distâncias reais, em linha reta, e medidas no mapa, entre Rio Grande e outros municípios da região.

Distâncias, em linha reta, entre Rio Grande (RS) e alguns municípios

Fonte: Pesquisas de Rafael.

a) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quêque determine a distância real R entre os municípios, em quilômetro, de acôr-doacordo com a distância d medida no mapa, em centímetro.

R(d) = 2,5d

b) Qual é a distância, em linha reta, em centímetro, indicada no mapa de Rafael, entre dois municípios cuja distância real entre eles é de 45 km?

18 cm

c) Qual é a escala do mapa de Rafael?

1: 250.000

12. Com base nas informações do cartaz a seguir, elabore um problema envolvendo função afim. Em seguida, troque o problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

NO MUNDO DO TRABALHO

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13. Leia o trecho a seguir.

A mobilidade nas cidades brasileiras de médio e grande porte tem se caracterizado pela utilização cada vez mais ineficiente do espaço público em decorrência do aumento do uso do transporte individual motorizado – os automóveis e as motocicletas – e da redução da participação do transporte público coletivo (TPC). Como resultado, ocorrem o aumento do congestionamento do tráfego, da emissão de gases poluentes e do efeito estufa, do número de acidentes de trânsito, dos custos dos transportes e a incapacidade de atender satisfatoriamente as necessidades de locomoção da população.

BRASIL. Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social. Transporte público coletivo (TPC): os diferentes sistemas e suas características. Brasília, DF: BNDES, 2018. Disponível em: https://livro.pw/qwhek. Acesso em: 28 jun. 2024.

Um dos principais efeitos negativos da utilização de transporte individual motorizado é a poluição proveniente da emissão de gases do efeito estufa (GEE), como o CO₂ (dióxido de carbono). Observe, a seguir, dados obtidos em um estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea) sobre a estimativa da emissão de CO₂ por categoria de veículo.

Com base nas informações apresentadas, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Quais são as consequências do aumento do uso de transportes individuais e da redução dos transportes coletivos?

Resposta esperada: Aumentam-se os congestionamentos, a emissão de gases poluentes e o efeito estufa, a quantidade de acidentes de trânsito, entre outras consequências.

b) Qual categoria de veículo emite mais CO₂ por passageiro transportado no deslocamento de 1 km?

automóvel individual

c) Para cada categoria de veículo, escrêevaescreva a lei de formação de uma função afim quêque dêz-crevadescreva a emissão de CO₂, em grama, no deslocamento de um passageiro por x quilômetros.

13. c) motocicleta: m(x) =71x; automóvel individual: a(x) = 127x; ônibus: o(x) = 16x

d) Considere uma pessoa quêque se desloque diariamente 50 km para realizar suas atividades, como trabalhar e estudar. Calcule a emissão de CO₂, em grama, no deslocamento diário dessa pessoa, considerando cada uma das categorias de veículo apresentadas.

13. d) motocicleta: 3.550 g; automóvel individual: 6.350 g; ônibus: 800 g

e) Pesquise ações, individuais e coletivas, quêque podem minimizar os impactos ambientais causados pela emissão de CO₂. Em seguida, com base nessas informações e nos itens anteriores, elabore um texto argumentativo quêque apresente as ações pesquisadas e compare a emissão de gases poluentes de acôr-doacordo com cada tipo de veículo.

Pesquisa e elaboração do estudante.

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Taxa de variação média de uma função

Considere a situação descrita a seguir.

Uma bola de borracha quica em um piso plano e, a partir dêêssedesse momento até tokártocar no piso novamente, realiza uma trajetória quêque pódepode sêrser descrita pela função f: [0, 6] → ℝ, definida por f(x) = −x² + 6x, em quêque y = f(x) corresponde à altura da bola, em métrometro, após x segundos do momento em quêque ela quicou. Observe o gráfico dessa função com três pontos destacados.

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique como é possível verificar quêque os pontos de coordenadas (0, 0), (1, 5) e (3, 9) pertencem ao gráfico da função f.

Resposta esperada: Calculando, de acôr-doacordo com a lei de formação da função f, os valores de f(0) = 0, f(1) = 5 e f(3) = 9.

Na situação dêêssedesse exemplo, podemos estudar quanto variou, em média, a altura da bola no intervalo de tempo de 1 s até 3 s. Esse estudo está relacionado à determinação da taxa de variação média dessa função.

Em relação à situação apresentada, a taxa de variação média de f, para x variando de 1 até 3, é dada por:

$\begin{array}{c}\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}=\frac{\left(-3^2+6\cdot 3\right)-\left(-1^2+6\cdot 1\right)}{2}\end{array}$ = $\frac{9-5}{2}$ = 2

Portanto, podemos dizêrdizer quêque, no intervalo de tempo de 1 s até 3 s após o momento em quêque a bola quicou no piso, a altura da bola de borracha variou, em média, 2 metros por segundo.

PARA PENSAR

Na situação apresentada, qual é a taxa de variação média da função f quando x varia de 0 até 2? intêrpréteInterprete esse resultado.

Resposta esperada: A taxa de variação média de f quando x varia de 0 até 2 é igual a 4. Esse resultado indica quêque, no intervalo de tempo de 0 s até 2 s após o momento em quêque a bola quicou no piso, a altura da bola de borracha variou, em média, 4 metros por segundo.

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Taxa de variação média de uma função afim

Considere a situação descrita a seguir.

Um açude foi construído para disponibilizar á guaágua a uma comunidade quêque vive em certa região árida do país. Na sua inauguração, verificou-se quêque o açude tinha um volume de á guaágua estimado em 13 mil metros cúbicos. No entanto, um monitoramento identificou quêque, a cada ano, o volume de á guaágua diminuía, de acôr-doacordo com a função definida por f(x) = −2x + 13, em quêque y = f(x) indicava o volume estimado de á guaágua no açude, em milhares de metros cúbicos, x anos após sua inauguração.

Com base nessa situação, podemos analisar quanto variou o volume de á guaágua do açude nos intervalos de tempo de 0 ano até 1 ano, de 1 ano até 2 anos e de 1 ano até 3 anos, por exemplo. Para isso, vamos calcular a taxa de variação média da função afim f para x variando de:

• 0 até 1: $\begin{array}{c}\frac{f\left(1\right)-f\left(0\right)}{1-0}=\frac{11-13}{1}\end{array}$ = −2

• 1 até 2: $\begin{array}{c}\frac{f\left(2\right)-f\left(1\right)}{2-1}=\frac{9-11}{1}\end{array}$ = −2

• 1 até 3: $\begin{array}{c}\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}=\frac{7-11}{2}\end{array}$ = −2

Note quêque as taxas de variação média obtidas são todas iguais a −2, independentemente de x variar 1 ano ou mais.

pôdêmosPodemos estabelecer as propriedades a seguir para uma função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = a x + b, com a ≠ 0.

• f é crescente se, e somente se, a taxa de variação de f for positiva (a > 0), pois:

x₂ > x₁ ⇔ ax₂ > ax₁ ⇔ ax₂ + b > ax₁ + b ⇔ f(x₂) > f(x₁)

• f é decrescente se, e somente se, a taxa de variação de f for negativa (a < 0), pois:

x₂ > x₁ ⇔ ax₂ < ax₁ ⇔ ax₂ + b < ax₁ + b ⇔ f(x₂) < f(x₁)

PARA PENSAR

Em relação à função constante, o quêque podemos afirmar sobre sua taxa de variação?

Resposta esperada: Em uma função constante, a taxa de variação é nula, ou seja, a = 0.

Página cento e treze113

ATIVIDADE RESOLVIDA

R3. Considerando as informações apresentadas a seguir, classifique as funções afins f: ℝ→ ℝ e g: ℝ → ℝ em crescente ou decrescente.

a) f(0) = 3 e f(2) = −5

b) g (−2) = 4 e g (6) = 8

Resolução

Para determinar se uma função afim é crescente ou decrescente, podemos calcular e analisar sua taxa de variação.

a) $\begin{array}{c}\frac{f\left(2\right)-f\left(0\right)}{2-0}=\frac{-5-3}{2}\end{array}$ = −4

Como −4 < 0, a função f é decrescente.

b) $\begin{array}{c}\frac{g\left(6\right)-g\left(-2\right)}{6-\left(-2\right)}=\frac{8-4}{6+2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\end{array}$

Como $\frac{1}{2}$ > 0, a função g é crescente.

ATIVIDADES

14. Determine a taxa de variação média da função f: ℝ → ℝ em cada caso a seguir.

a) f(x) = 2x² + 6, para x variando de −1 até 2.

2

b) f(x) = 4x − 1, para x variando de −4 até 0.

4

c) f(x) = 3x³, para x variando de 1 até 2.

21

d) f(x) = $\frac{x}{2}$ + 7, para x variando de −2 até 6.

$\frac{1}{2}$

15. Mostre quêque, em uma função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax + b, o coeficiente a de x é igual à taxa de variação de f para x variando de x₁ até x₂, com x₁ ≠ x₂.

Resposta nas Orientações para o professor.

16. Sem realizar cálculos, determine a taxa de variação de cada função afim a seguir. Depois, classifique cada uma em crescente ou decrescente.

a) f(x) = 5x + 10

5; crescente

b) g(x) = − 8x + $\frac{5}{2}$

−8; decrescente

c) h (x) = 2 − x

−1; decrescente

d) p(x) = $\frac{x}{3}$ − 1

$\frac{1}{3}$; crescente

17. Em cada item a seguir, são apresentadas informações sobre uma função afim. Classifique cada função afim em crescente ou decrescente.

a) f(1) = 6 e f(5) = −2

decrescente

b) g (1) = −1 e g (−2) = −13

crescente

c) h (−3) = 0 e h (−6) = 3

decrescente

d) p (−3) = 1 e p (6) = 4

crescente

18. Um laboratório químico tem uma câmara fria com tempera-túratemperatura interna constante de −4 °C. Em um experimento, para avaliar as reações de uma solução líquida submetida a aquecimento, essa câmara foi programada para quêque, em cértocerto momento, a tempera-túratemperatura começasse a aumentar gradativamente.

Sabendo quêque a tempera-túratemperatura interna dessa câmara registrou 1°C após 1 h do experimento e 16 °C após 4 h do experimento e quêque, no intervalo de tempo da realização do experimento, a tempera-túratemperatura interna dessa câmara pôde sêrser expressa por uma função afim f, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) As grandezas tempera-túratemperatura interna da câmara fria e tempo do experimento são grandezas diretamente proporcionais? Justifique.

18. a) Não, pois, por exemplo, ao quadruplicar o tempo do experimento, a tempera-túratemperatura interna da câmara fria não quadruplica, uma vez quêque, em 1 h do experimento, a tempera-túratemperatura era de 1°C e, em 4 h, era de 16°C.

b) Qual é a taxa de variação da função f? O quêque ela indica?

18. b) 5. Indica quêque, a cada hora, a tempera-túratemperatura interna da câmara fria aumentou 5 °C.

c) escrêevaEscreva a lei de formação de f, representando o tempo, em hora, por t.

c) f: [0, 4] → ℝ, definida por f(t) = 5t − 4

d) Quanto tempo após o início dêêssedesse experimento a tempera-túratemperatura interna da câmara atingiu 6 °C?

2 h

Página cento e quatorze114

Gráfico da função afim

Vamos retomar o contexto apresentado no início desta Unidade, em quêque determinamos a função f(x) = 0,80x + 3, quêque expressa o preêçopreço a pagar y = f(x) pela locação de um patinete elétrico por um tempo x, em minuto.

DICA

Lembre-se de quêque, nesta situação, o cliente deveria pagar um valor compôztocomposto de uma taxa fixa de R$ 3,00 mais R$ 0,80 para cada minuto de uso do patinete elétrico.

Estudamos, na Unidade 2, quêque uma função pódepode sêrser representada por meio de um gráfico no plano cartesiano.

Em relação à situação quêque envolve a locação de patinetes, para esboçarmos o gráfico de f, podemos obtêrobter pares ordenados (x, y) e representá-los no plano cartesiano.

Note quêque os pontos do gráfico da função f sugéremsugerem a construção de uma reta passando por eles. De fato, podemos conjecturar quêque o gráfico de qualquer função afim, com domínio ℝ, é uma reta. Para garantir a validade dessa conjectura, precisamos demonstrar quêque ela é verdadeira. Acompanhe.

Inicialmente, consideramos a função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b ∈ ℝ, e os pontos P (x_P, y_P) e Q (x_Q, y_Q) do gráfico dessa função. Vamos mostrar quêque qualquer outro ponto M (x, y) dêêssedesse gráfico pertence à reta $\begin{array}{c}\stackrel{\rightharpoonup }{PQ}\end{array}$.

Como P, Q e M pertencem ao gráfico de f, temos quêque:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{y}_P=a{x}_P+b\\ y_Q=a{x}_Q+b\\ y=\mathrm{ax}+b\end{array}\end{array}$$

Assim, podemos representar esses pontos no plano cartesiano da seguinte maneira.

DICA

Na imagem, é possível notar quêque a função afim representada é crescente, uma vez quêque x_Q > x_P e y_Q > y_P. No entanto, a demonstração pódepode sêrser realizada de maneira análoga para o caso da função afim decrescente.

Página cento e quinze115

Note quêque os pontos auxiliares H e N foram escolhidos de modo quêque PMN e MQH sêjamsejam triângulos retângulos. As coordenadas dêêssesdesses pontos são H(x_Q, ax + b) e N(x, ax_P + b). Assim, temos:

• QH = (ax_Q + b) − (ax + b) = ax_Q + b − ax − b = a (x_Q − x)

• MN = (ax + b) − (ax_P + b) = ax + b − ax_P − b = a (x − x_P)

• HM = x_Q − x

• NP = x − x_P

Logo, podemos escrever a seguinte relação entre as medidas dos catetos.

$$\begin{array}{c}\frac{QH}{MN}=\frac{a\left(x_Q-x\right)}{a\left(x-x_P\right)}=\frac{x_Q-x}{x-x_P}=\frac{HM}{NP}\end{array}$$

Como $\frac{QH}{MN}=\frac{HM}{NP}$ e med( $\begin{array}{c}Q\widehat{H}M\end{array}$) = med( $\begin{array}{c}M\widehat{N}P\end{array}$) = 90°, temos pelo caso LAL (lado, ângulo, lado) quêque os triângulos PMN e MQH são semelhantes. Logo, todos os demais pares de ângulos internos correspondentes têm medidas iguais.

med( $\begin{array}{c}M\widehat{Q}H\end{array}$) = med( $\begin{array}{c}P\widehat{M}N\end{array}$) e

med( $\begin{array}{c}H\widehat{M}Q\end{array}$) = med( $\begin{array}{c}N\widehat{P}M\end{array}$).

Como $\begin{array}{c}\frac{\frac{\overleftrightarrow{MH}}{}}{\overleftrightarrow{NP}}\end{array}$ e med( $\begin{array}{c}H\widehat{M}Q\end{array}$) = med( $\begin{array}{c}N\widehat{P}M\end{array}$), podemos afirmar quêque os pontos P, Q e M são colineares, ou seja, pertencem a uma mesma reta. Logo, M pertence à reta $\begin{array}{c}\overleftrightarrow{PQ}\end{array}$.

Em relação à função constante f: ℝ → ℝ, ou seja, quando a = 0, a lei de formação é f(x) = b. Nesse caso, todos os pontos do gráfico de f são do tipo (x, b), quêque resultam em uma reta paralela ou coincidente ao eixo x e quêque cruza o eixo y na ordenada b.

Portanto, o gráfico de qualquer função afim, com domínio ℝ, é uma reta.

Como dois pontos distintos determinam uma única reta, podemos esboçar o gráfico de uma função afim com domínio ℝ determinando as coordenadas de apenas dois de seus pontos.

Em relação à situação do preêçopreço de locação do patinete, é importante considerar quêque o domínio da função é $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$, uma vez quêque o tempo de locação não pódepode sêrser negativo ou nulo. Nesse caso, temos quêque o gráfico de f é dado por:

DICA

Indicamos a medida de um ângulo $\begin{array}{c}\begin{array}{c}M\widehat{N}H\end{array}\end{array}$ como med($\begin{array}{c}M\widehat{N}P\end{array}$).

Indicamos quêque as retas $\begin{array}{c}\overleftrightarrow{MH}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overleftrightarrow{NP}\end{array}$ são paralelas utilizando a notação $\begin{array}{c}\overleftrightarrow{MH}\end{array}$ // $\begin{array}{c}\overleftrightarrow{NP}\end{array}$.

Página cento e dezesseis116

Acompanhe os exemplos a seguir de construção de gráficos de algumas funções afins.

Função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = $\frac{x}{2}$ − 1.

DICA

Note quêque a taxa de variação de f é positiva $\left(a=\frac{1}{2}\right)$,ou seja, f é uma função crescente.

Nesse caso, o gráfico de f é uma reta ascendente da esquerda para a direita.

Função afim g: ℝ → ℝ, definida por g (x) = 3 − x.

DICA

Note quêque a taxa de variação de g é negativa (a = −1), ou seja, g é uma função decrescente. Nesse caso, o gráfico de g é uma reta descendente da esquerda para a direita.

Função afim h: ℝ → ℝ, definida por h (x) = 2x.

DICA

Note quêque h é uma função linear. Nesse caso, o gráfico de h passa pela origem do plano cartesiano.

Página cento e dezessete117

Função m: ℝ → ℝ, definida por m (x) = 3.

DICA

Note quêque a taxa de variação de m é nula (a = 0), ou seja, m é uma função constante. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R4. Observe o gráfico de uma função afim f no plano cartesiano a seguir e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Qual é o valor de f(4)?

b) Para qual valor de x ∈ D(f) têm-se f(x) = 3?

c) A função f é crescente ou decrescente?

d) Determine a taxa de variação da função afim f.

Resolução

a) Para determinar f(4), analisando o gráfico podemos identificar a ordenada y do ponto dêêssedesse gráfico cuja abscissa é 4. Como o ponto de coordenadas (4, 1) pertence ao gráfico de f, temos f(4) = 1.

b) Para determinar o valor x do domínio de f para o qual f(x) = 3, analisando o gráfico podemos identificar a abscissa x do ponto dêêssedesse gráfico cuja ordenada é 3. Como o ponto de coordenadas (−3, 3) pertence ao gráfico de f, temos f(x) = 3 para x = −3.

c) Dos itens anteriores, temos f(4) = 1 e f(−3) = 3. Assim, dados os números reais −3 e 4 pertencentes ao domínio de f, sêndosendo −3 < 4, temos $\underset{3}{\underbrace{f\left(-3\right)}}>\underset{1}{\underbrace{f\left(4\right)}}$.

Portanto, a função f é decrescente.

d) Calculando a taxa de variação da função afim f, temos:

$$\frac{f\left(4\right)-f\left(-3\right)}{4-\left(-3\right)}=\frac{1-3}{4+3}=\frac{-2}{7}$$

Portanto, a taxa de variação da função f é $-\frac{2}{7}$.

Página cento e dezoito118

R5. (Enem/MEC) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por á guaágua e o risco de racionamento não pódepode sêrser descartado. O nível de á guaágua de um reservatório foi monitorado por um período, sêndosendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha quêque essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pêlospelos próximos meses.

Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para quêque o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade?

a) 2 meses e meio.

b) 3 meses e meio.

c) 1 mês e meio.

d) 4 meses.

e) 1 mês.

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• o nível de á guaágua de um reservatório foi monitorado por um período de tempo e o resultado é mostrado pelo gráfico, quêque descreve uma tendência linear;

• os pontos de coordenadas (1, 30) e (6, 10) pertencem ao gráfico.

Temos de identificar qual é o tempo mínimo, após o sexto mês, para quêque o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade.

2ª ELABORAR UM PLANO

O gráfico “Nível do reservatório” representa a função afim f quêque corresponde ao nível de á guaágua do reservatório, em porcentagem, no mês x. Analisando os pontos do gráfico, podemos determinar a lei de formação de f, expressa na forma f(x) = ax + b, e, então, calcular para qual valor de x temos f(x) = 0, isto é, o zero da função. Por fim, podemos subtrair 6 dêêssedesse resultado para obtêrobter a quantidade mínima de meses, após o sexto mês, para quêque o nível de á guaágua do reservatório seja zero.

3ª EXECUTAR O PLANO

Como os pontos de coordenadas (1, 30) e (6, 10) pertencem ao gráfico de f, podemos determinar a taxa de variação de f e o valor de b:

• a = $\begin{array}{c}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{30-10}{1-6}\end{array}$ = −^4;

• f(1) = 30 ⇒ −4 ⋅ 1 + b = 30 ⇒ b = 30 + 4 = 34.

Assim, temos quêque f(x) = −4x + 34 e podemos calcular o zero de f:

0 = −4x + 34 ⇒ 4x = 34 ⇒ x = 8,5

Logo, em 8,5 meses, o nível de á guaágua do reservatório será zero, ou seja, 2,5 meses após o sexto mês (8,5 − 6).

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido, podemos realizar os seguintes cálculos:

• f(1) = −4 ⋅ 1 + 34 = 30; • f(6) = −4 ⋅ 6 + 34 = 10; • f(8,5) = −4 ⋅ 8,5 + 34 = 0.

Note quêque esses cálculos indicam quêque os pontos de coordenadas (1, 30) e (6, 10) pertencem ao gráfico da função f e quêque 8,5 é o zero dessa função.

Portanto, a alternativa a é a correta.

Página cento e dezenove119

Interseção do gráfico de uma função afim com os eixos cartesianos

O gráfico de toda função afim, não constante, cruza cada um dos eixos cartesianos em um único ponto. Observe, por exemplo, o gráfico da função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = $\frac{2}{3}$ x + 2.

PARA PENSAR

Em quantos pontos o gráfico de uma função constante, não nula, cruza os eixos cartesianos? Justifique.

Resposta esperada: Cruza o eixo das ordenadas em um único ponto e não cruza o eixo das abscissas, pois é uma reta paralela e não coincidente ao eixo das abscissas.

Agora, obissérveobserve como podemos determinar as coordenadas dos pontos em quêque o gráfico de uma função afim cruza os eixos cartesianos.

Seja uma função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax + b, com a ≠ 0, sêndosendo P (x_P, y_P) e Q (x_Q, y_Q) os pontos em quêque o gráfico de f cruza os eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente. pôdêmosPodemos estudar as coordenadas dêêssesdesses pontos da seguinte maneira.

• P (x_P, y_P)

Como P pertence ao eixo das abscissas, temos quêque y_P = 0. Assim, segue quêque:

y_P = f(x_P) = 0 ⇒ ax_P + b = 0 ⇒ x_P = $-\frac{b}{a}$

Portanto, o gráfico da função afim f cruza o eixo das abscissas em x_P = $-\frac{b}{a}$, ou seja, no ponto P ( $\begin{array}{c}-\frac{b}{a^{\text{'}}}\end{array}$ 0).

• Q (x_Q, y_Q)

Como Q pertence ao eixo das ordenadas, temos quêque x_Q = 0. Assim, segue quêque:

y_Q = f(x_Q) = f(0) = a ⋅ 0 + b ⇒ y_Q = b

Portanto, o gráfico da função f cruza o eixo das ordenadas em y_Q = b, ou seja, no ponto Q (0, b).

Em relação ao gráfico da função f(x) = $\frac{2}{3}x$ + 2, apresentado anteriormente, as coordenadas dos pontos P e Q, em quêque ele cruza os eixos das abscissas e das ordenadas, respectivamente, são dadas por:

• x_P = $-\frac{b}{a}$ = $-\frac{2}{\frac{2}{3}}$ = −3, ou seja, P (−3, 0);

• y_Q = b = 2, ou seja, Q (0, 2).

PARA PENSAR

Existe função afim cujo gráfico cruza os eixos das abscissas e das ordenadas em um mesmo ponto? Justifique.

Sim, as funções lineares cruzam os eixos das abscissas e das ordenadas no ponto O(0, 0).

Página cento e vinte120

Translação do gráfico de uma função afim

Observe, em um mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções f(x) = 2x, g (x) = 2x − 3 e m (x) = 2x + 4, quêque têm a mesma taxa de variação, mas com diferentes termos independentes.

Note quêque esses gráficos correspondem a retas paralelas. Além díssudisso, em relação ao gráfico da função f(x) = 2x, cujo termo independente é b = 0, temos quêque o gráfico da função:

• g (x) = 2x − 3, cujo termo independente é b = −3, corresponde ao gráfico de f transladado 3 unidades para baixo, pois dado um ponto de coordenadas (x₁, y₁) do gráfico de f, então o ponto de coordenadas (x₁, y₁ − 3) pertence ao gráfico de g;

• m (x) = 2x + 4, cujo termo independente é b = 4, corresponde ao gráfico de f transladado 4 unidades para cima, pois, dado um ponto de coordenadas (x₁, y₁) do gráfico de f, então o ponto de coordenadas (x₁, y₁ + 4) pertence ao gráfico de m.

PARA PENSAR

Quais são as coordenadas dos pontos em quêque o gráfico de cada função indicada cruza o eixo das ordenadas?

f: (0, 0); g: (0, −3); m: (0, 4)

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R6. Em um programa de computador, foi representado o gráfico da função afim definida por f(x) = 5x + 2. Em seguida, utilizando uma opção dêêssedesse programa, foram construídas duas retas, r e s, de maneira quêque correspondessem a translações do gráfico de f 3 unidades para cima e 4 unidades para baixo, respectivamente. Determine a lei de formação das funções cujos gráficos correspondem às retas r e s.

Resolução

Sejam g e h as funções cujos gráficos correspondem, respectivamente, às retas r e s. Note quêque o gráfico de f corresponde ao gráfico de uma função j dada por j (x) = 5x transladado duas unidades2 unidades para cima. Sendo a reta quêque corresponde ao gráfico de f e as retas r e s paralelas entre si, podemos escrever quêque g (x) = 5x + b₁ e h (x) = 5x + b₂, com b₁, b₂ ∈ ℝ.

Assim, como o gráfico de g (reta r) corresponde ao de f transladado 3 unidades para cima, temos:

De maneira análoga, como o gráfico de h (reta s) corresponde ao de f transladado 4 unidades para baixo, temos:

b₂ = 2 − 4 = −2

Portanto, as retas r e s correspondem, respectivamente, aos gráficos das funções cujas leis de formação são g (x) = 5x + 5 e h (x) = 5x − 2.

Página cento e vinte e um121

R7. Leia, no trecho a seguir, as informações sobre a aorta, considerada a maior e mais importante artéria do corpo humano.

Durante a vida, a aorta ABSÓRVEabsorve o impacto de 2 a 3 bilhões de batimentos cardíacos enquanto distribui aproximadamente 2 milhões de litros de sanguesangue pelo corpo.

[...]

O conhecimento dos valores dos diâmetros normais dos diversos segmentos aórticos é importante para avaliação e conduta das doenças da aorta. Os diâmetros da aorta aumentam com a idade [...].

DIAS, Ricardo Ribeiro; STOLF, Noedir Antônio Groppo. Doenças da aorta torácica. São Paulo: ABRECCV: SBCCV, c2023-2024. p. 1-2. Disponível em: https://livro.pw/fovla. Acesso em: 27 jun. 2024.

O diâmetro D do segmento ascendente da aorta, em milímetro, pódepode sêrser modelado, de acôr-doacordo com a idade i de uma pessoa (em ano), pela função dada por D (i) = 0,16i + 31.

Conforme esse modelo, resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Calcule D (50) e interpréteinterprete o resultado.

b) Considere d (i) = ai + b, a lei de formação da função quêque modela o diâmetro d do segmento descendente da aorta, em milímetro, de acôr-doacordo com a idade i de uma pessoa (em ano), sêndosendo a e b números reais. Sabendo quêque os gráficos de d e D são paralelos, sêndosendo o gráfico de d correspondente ao de D transladado 10 unidades para baixo, determine os números reais a e b.

Resolução

a) Calculando D (50), temos:

D (50) = 0,16 ⋅ 50 + 31 = 8 + 31 = 39

Portanto, como D (50) = 39, temos quêque, de acôr-doacordo com o modelo apresentado, o diâmetro do segmento ascendente da aorta de uma pessoa de 50 anos de idade é de 39 mm.

b) Como os gráficos de d e D são paralelos, essas funções têm a mesma taxa de variação, ou seja, a = 0,16.

Como o gráfico de d corresponde ao gráfico de D transladado 10 unidades para baixo, temos quêque:

b = 31 − 10 = 21

Assim, a = 0,16 e b = 21, ou seja, d (i) = 0,16i + 21.

PARA PENSAR

Com base na função ôbitídaobtida no item b, determine para quêque idade de uma pessoa a medida de 33 mm para o diâmetro do segmento descendente da aorta é considerado adequado.

Para uma pessoa de 75 anos de idade.

Página cento e vinte e dois122

R8. Construa o gráfico da função indicada em cada item e marque os pontos em quêque ele cruza os eixos cartesianos.

a) f(x) = 2x − 8

b) g (x) = −3x + 6

Resolução

a) Calculando o zero de f, temos:

f(x) = 0 ⇒ 2x − 8 = 0 ⇒

⇒ 2x = 8 ⇒ x = $\frac{8}{2}$ = 4

Portanto, 4 é o zero da função e (4, 0) são as coordenadas do ponto em quêque o gráfico de f cruza o eixo das abscissas. Como b = −8, o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas (0, −8).

Para representar o gráfico de f, podemos marcar os pontos de coordenadas (4, 0) e (0, −8) e traçar a reta quêque passar por eles.

b) Calculando o zero de g, temos:

g (x) = 0 ⇒ −3x + 6 = 0 ⇒

⇒ −3x = −6 ⇒ x = $\frac{-6}{-3}$

= 2

Portanto, 2 é o zero da função e (2, 0) são as coordenadas do ponto em quêque o gráfico de g cruza o eixo das abscissas. Como b = 6, o gráfico de g cruza o eixo das ordenadas no ponto de coordenadas (0, 6).

Para representar o gráfico de g, podemos marcar os pontos de coordenadas (2, 0) e

(0, 6) e traçar a reta quêque passar por eles.

ATIVIDADES

19. Em uma malha quadriculada, esboce o gráfico da função f: ℝ → ℝ, definida por:

19. Respostas nas Orientações para o professor.

a) f(x) = 3x − 1;

b) f(x)= x + 4;

c) f(x) = 5 − 2x;

d) f(x) = $-\frac{x}{3}$ − 6.

20. Dada a função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = −2x + 5, responda às kestõesquestões.

a) Essa função é crescente ou decrescente?

decrescente

b) Qual é o zero dessa função?

x = $\frac{5}{2}$

c) Quais são as coordenadas dos pontos em quêque o gráfico dessa função cruza os eixos cartesianos?

20. c) eixo x: $\left(\frac{5}{2},0\right)$; eixo y: (0, 5)

• Agora, esboce o gráfico de f e, com suas palavras, explique como rêzouvêoresolveu cada item anterior.

Resposta pessoal.

21. Em uma malha quadriculada, esboce o gráfico da função afim f quêque passa pêlospelos pontos P(7, 5) e Q(−3, −1). Em seguida, determine se essa função é crescente ou decrescente.

Resposta nas Orientações para o professor. f é crescente.

Página cento e vinte e três123

22. Observe os gráficos I, II e III de funções afins representados em um mesmo plano cartesiano e resôuvaresolva as kestõesquestões, justificando o procedimento de construção de cada um.

22. Resposta nas Orientações para o professor.

a) Classifique as funções representadas pêlospelos gráficos em crescente ou decrescente.

22. a) crescente: II e III; decrescente: I

b) A lei de formação da função correspondente a cada um dêêssesdesses gráficos está indicada no qüadroquadro a seguir. Relacione cada gráfico à lei de formação da função correspondente.

g (x) = 4x + 1

m (x) = $\frac{x}{4}$ + 2

n (x) = −x + 7

f(x) = x + 7 h

(x) = 5x

22. b) I: n(x) = −x + 7; II: h(x) = 5x; III: m(x) = $\frac{x}{4}$ + 2

23. Leia o texto a seguir e faça o quêque se pede.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Agricultura e Pecuária. Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária. Soja em números: safra 2022/23. Brasília, DF: Mapa: Embrapa, 2024. Disponível em: https://livro.pw/yztjk. Acesso em: 28 jun. 2024.

Considere q a função quêque relaciona as grandezas quantidade de soja produzida, em tonelada, e a área x de plantio, em hectare.

a) As grandezas relacionadas pela função q são grandezas diretamente proporcionais? Justifique.

23. a) Sim, pois, se considerarmos, por exemplo, o dôbrodobro da área de plantio, a quantidade de soja produzida também será o dôbrodobro.

b) A função q é linear ou não linear? escrêevaEscreva a lei de formação dessa função e verifique a sua resposta.

função linear; q (x) = 3,5x

c) Qual dos gráficos a seguir representa a função q?

gráfico II

d) Sabendo quêque 1 ha corresponde a 0,01 km², responda: na safra 2022/2023, o plantio de soja no Brasil foi realizado em quantos quilômetros quadrados de térraterra? Utilize uma calculadora para efetuar o cálculo.

aproximadamente 443.000 km²

e) Sabendo quêque a área territorial do Brasil é de aproximadamente 8,5 milhões de km², calcule, com o auxílio de uma calculadora, a razão entre a área destinada ao plantio de soja na safra 2022/2023 e a área total do país. O quêque esse valor representa?

23. e) Aproximadamente 0,052. Resposta esperada: Representa quêque cerca de 5,2% da área territorial do Brasil foi utilizada no plantio de soja na safra 2022/2023.

24. Considere o gráfico da função afim f: ℝ → ℝ quêque cruza o eixo das abscissas no ponto P(6, 0) e o eixo das ordenadas no ponto Q(0, 4) e responda às kestõesquestões a seguir.

a) A função f é crescente ou decrescente?

24. a) decrescente

b) Qual é a taxa de variação a da função f?

24. b) a = $-\frac{2}{3}$

c) Qual é a lei de formação da função f?

24. c) f(x) = $-\frac{2}{3}x$ + 4

25. Sejam f e g funções definidas por f(x)= $-\frac{x}{3}$ + m + 5 e g(x) = 5x − 10, em quêque m corresponde a um número inteiro. Determine o valor de m para quêque o gráfico de f cruze o eixo:

a) das abscissas no ponto A(9, 0);

m = −2

b) das ordenadas no ponto B(0, 6);

m = 1

c) das abscissas e das ordenadas no ponto O(0, 0).

m = −5

DICA

Para resolver esta atividade, você pódepode, inicialmente, selecionar apenas os dados necessários indicados no enunciado.

Página cento e vinte e quatro124

26. No plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções afins definidas por f(x) = −kx + 6 e g (x) = 2kx + 3, em quêque k corresponde a um número real.

a) Sabendo quêque P, de abscissa 4, é o ponto de interseção entre os gráficos dessas funções, calcule o valor de k e escrêevaescreva a lei de formação das funções f e g.

26. a) k = $\frac{1}{4}$; f(x) = $-\frac{x}{4}$ + 6e g(x) = $\frac{x}{2}$ +3

b) Quais são as coordenadas dos pontos em quêque os gráficos dessas funções cruzam o:

• eixo das abscissas?

f: (24, 0); g: (−6, 0)

• eixo das ordenadas?

f: (0, 6); g: (0, 3)

27. O valor da fatura de energia elétrica cobrado nas residências em cértocerto município é determinado pelo produto da quantidade de energia consumida (em kWh) pela tarifa correspondente (em R$/kWh), acrescido de R$ 10,00 de iluminação pública. A seguir, estão representadas as tarifas cobradas pela companhia de energia elétrica de acôr-doacordo com a faixa de consumo.

a) pôdêmosPodemos definir uma função v, expressa por mais de uma sentença, para relacionar o valor cobrado na fatura de energia elétrica (em R$), de acôr-doacordo com o consumo c (em kWh), nas residências dêêssedesse município. Por exemplo, para um consumo de até 50 kWh, temos:

Determine as sentenças quêque expressam a função v para:

• 50 < c ≤ 200;

v (c) = 0,70c + 10

• 200 < c ≤ 500;

v (c) = 0,80c + 10

• c > 500.

v (c) = 0,90c + 10

b) Com base no item a, escrêevaescreva a lei de formação da função v.

27. b) e d) Respostas nas Orientações para o professor.

c) Qual é o domínio da função v? E qual é o conjunto imagem dessa função? Justifique sua resposta.

D(v) = [0, +∞[; Im(v) = [10, +∞[

d) No caderno, esboce o gráfico da função v.

e) pôdêmosPodemos afirmar quêque v é uma função crescente em todo o seu domínio? Justifique.

27. e) Sim, pois, ao escolhermos quaisquer valores c₁, c₂ ∈ D(v), com c 2 > c 1, temos quêque v(c 2) > v(c 1).

f) Calcule o valor da fatura de energia elétrica em uma residência dêêssedesse município cujo consumo no mês foi de:

• 600 kWh;

R$ 550,00

• 400 kWh;

R$ 330,00

• 30 kWh;

R$ 25,00

• 120 kWh.

R$ 94,00

28. (hú- hê- érre jotaUERJ) Os veículos para transporte de passageiros em determinado município têm vida útil quêque varia entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo. Nos gráficos, está representada a desvalorização de quatro dêêssesdesses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica.

Com base nos gráficos, o veículo quêque mais desvalorizou por ano foi:

a) I

b) II

c) III

d) IV

alternativa b

29. Identifique, entre as fichas, aquelas quêque apresentam as leis de formação de cada gráfico apresentado na atividade anterior.

29. f: veículo IV; h: veículo I; m: veículo III; n: veículo II

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30. Rafael compra produtos no atacado para revender. Observe, a seguir, a cotação do preêçopreço de um produto quêque ele realizou em duas lojas virtuais.

Cotação, em reais, do preêçopreço de cértocerto produto por quantidade comprada e valor do frete incluso

Fonte: Dados fictícios

Sabendo quêque o preêçopreço da unidade dêêssedesse produto e o valor do frete, em cada loja, não varíamvariam de acôr-doacordo com a quantidade comprada, resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Qual é o valor do frete de cada loja citada?

loja A: R$ 200,00; loja B: R$ 80,00

b) Em qual das lojas o preêçopreço unitário do produto é maior? Quanto custa, em reais, a unidade do produto nessa loja?

loja B; R$ 4,50

c) Represente, em um plano cartesiano, as informações apresentadas na tabélatabela anterior.

30. c) Resposta nas Orientações para o professor.

d) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quêque expresse o preêçopreço P, em reais, cobrado pela compra e entrega de uma quantidade x dêêssedesse produto em cada uma dessas lojas. Essas são funções afins?

30. d) loja A: P_A (x) = 3,5x + 200; loja B: P_B (x) = 4,50x + 80. Ambas são funções afins.

e) A partir de quantas unidades dêêssedesse produto é financeiramente mais vantajoso realizar a compra na loja A?

para quantidades maiores quêque 120 unidades

31. Em um centro de recuperação de animais silvestres, um dos animais resgatados em condições físicas precárias foi submetido a uma suplementação alimentar por um período de 7 meses. A cada mês, sua massa foi aferida e registrada em uma planilha eletrônica.

Nessa planilha eletrônica, os dados coletados foram representados por pontos em um plano cartesiano, utilizando os recursos: Gráfico... → XY (Dispersão). Em seguida, utilizando o recurso Linha de tendência para a série de dados ‘Massa (kg)’, esses pontos foram modelados por uma reta correspondente à função f(x) = 2,43x + 16, quêque determina a massa do animal resgatado (em quilograma) no mês x, conforme indicado a seguir.

a) Olhando apenas para a planilha de dados coletados, quantos quilogramas o animal em recuperação ganhou em 7 meses?

15 kg

b) Calcule a diferença, em quilograma, entre os valores registrados na planilha de dados coletados e os determinados pela função f para cada um dos meses apresentados.

31. b) janeiro: 0,43 kg; fevereiro: 1,14 kg; março: 1,29 kg; abril: 0,28 kg; maio: 0,85 kg; junho: 0,58 kg; julho: 0,01 kg

c) Pela função f, qual teria sido o ganho estimado de massa do animal no período de recuperação?

14,58 kg

d) Você considera quêque a função f indica, de maneira aproximada, os dados aferidos pelo centro de recuperação? Justifique sua resposta.

Resposta pessoal.

32. Considere o gráfico de uma função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax + b.

a) Que alterações ocorrerão no gráfico de f ao modificar o valor do coeficiente a?

32. a) A inclinação da reta correspondente ao gráfico da função f será alterada.

b) O quêque você acredita quêque vai ocorrer com o gráfico da função f ao modificar o valor do coeficiente b?

32. b) Resposta esperada: O gráfico da função f será transladado verticalmente.

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Equação da reta

A Geometria Analítica é um campo da Matemática quêque estuda, entre outros conceitos, a representação de figuras geométricas por meio de equações. A seguir, estudaremos uma importante relação entre função afim e Geometria Analítica, partindo do fato matemático demonstrado de quêque o gráfico de qualquer função afim de domínio ℝ é uma reta.

Estudamos anteriormente quêque, na função afim, o coeficiente a corresponde à taxa de variação e b ao termo independente. No estudo da equação da reta, denominamos a de coeficiente angular da reta e b de coeficiente linear da reta.

pôdêmosPodemos determinar a equação de uma reta r não paralela ao eixo y representada em um plano cartesiano com base nas coordenadas de um de seus pontos e do seu coeficiente angular a. Para isso, consideramos dois pontos de r: um ponto arbitrário P (x, y) e um ponto dado A (x₀, y₀). Observe.

a = $\frac{y-y_0}{x-x_0}$ ⇒

⇒ y − y₀ = a(x − x₀) ⇒

⇒ y = y₀ + a(x − x₀)

A equação de uma reta pódepode sêrser expressa na forma reduzida (y = ax + b) ou na forma geral (mx + ny + c = 0). Por exemplo, em relação à reta representada no plano cartesiano da figura, temos quêque a:

• equação reduzida da reta é y = 2x + 1;

• equação geral da reta é 2x − y + 1 = 0.

DICA

Toda reta não paralela ou não coincidente ao eixo y corresponde ao gráfico de uma função afim. Já as retas paralelas ou coincidentes ao eixo y não correspondem ao gráfico de função afim, mas também podem sêrser expressas por uma equação.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Observe a reta r representada a seguir.

a) Determine a equação da reta r e expresse-a na forma reduzida e na forma geral.

b) Verifique se o ponto C (5, −8) pertence à reta r.

Resolução

a) Com base nas coordenadas dos pontos A (−1, 4) e B (2, −2) de r, calculamos seu coeficiente angular a.

a = $\begin{array}{c}\frac{4-\left(-2\right)}{-1-2}=\frac{6}{-3}\end{array}$ = −2

Assim, a equação reduzida da reta r é dada por:

y = y₀ + a (x − x₀) ⇒ y = 4 + (−2)[x − (−1)] ⇒ y = −2x + 2

Com base na equação reduzida, determinamos a equação geral da reta r:

y = −2x + 2 ⇒ 2x + y − 2 = 0

Portanto, a equação reduzida da reta r é y = −2x + 2, e a equação geral é 2x + y − 2 = 0.

DICA

Note quêque utilizamos as coordenadas do ponto A na determinação da equação reduzida da reta r. Porém poderíamos utilizar qualquer outro ponto de r, como o ponto B.

b) Para verificar se o ponto C (5, −8) pertence à reta r, podemos substituir x = 5 na equação da reta r (reduzida ou geral) e verificar se o resultado obtídoobtido é y = −8. Em relação à equação reduzida, temos:

y = −2 ⋅ 5 + 2 = −10 + 2 = −8

Portanto, temos quêque o ponto C (5, −8) pertence à reta r.

R10. Considere, em um plano cartesiano, a reta r de equação 3y + 2x = 15 e uma reta s determinada pêlospelos pontos A (−1, 2) e B (7, 4). Quais são as coordenadas do ponto C, em quêque as retas r e s se intersectam?

Resolução

Como s passa pêlospelos pontos A e B, temos:

a_s =$\frac{2-4}{-1-7}=\frac{1}{4}$

Assim, a equação da reta s é dada por:

y − 2 = $\frac{1}{4}$ [x − (−1)] ⇒ 4y − x = 9

Para determinar as coordenadas do ponto C, em quêque as retas r e s se intersectam, podemos resolver o seguinte sistema de equações:

Substituindo y = 3 na equação 3y + 2x = 15, temos:

3 ⋅ 3 + 2x = 15 ⇒ x = 3

Portanto, as retas r e s se intersectam no ponto C (3, 3).

Página cento e vinte e oito128

ATIVIDADES

33. Determine a equação de cada reta a seguir e expresse-a na forma reduzida.

a)

y = 2x + 3

b)

y = −3x + 5

c)

y = 6x − 6

d)

y = −2x + 5

34. Observe as retas r e s em um mesmo plano cartesiano e determine as coordenadas do ponto P em quêque elas se cruzam.

P (−1, −3)

35. Jorge tem uma loja e, para realizar entregas de produtos em domicílio, ele utiliza o serviço de uma empresa terceirizada. Sabe-se quêque o preêçopreço p cobrado por essa empresa para cada entrega, em reais, pódepode sêrser descrito por uma função do tipo p(x) = ax + b, sêndosendo a e b números reais e x, a distância percorrida, em quilômetro. Observe, em uma planilha eletrônica, registros de entregas quêque Jorge já contratou.

Nessas condições, determine:

a) o preêçopreço cobrado pela empresa terceirizada para uma entrega com 25,5 km de distância percorrida;

R$ 40,00

b) a distância percorrida em certa entrega, sabendo quêque o preêçopreço cobrado pela empresa terceirizada foi de R$ 50,00;

34,5 km

c) a equação geral da reta r correspondente ao gráfico da função p.

−10x + 9y − 105 = 0

36. Considere as retas r e s representadas em um mesmo plano cartesiano, dado quêque a reta r passa pêlospelos pontos A(6, 5) e B(−2, −1), e a reta s passa pêlospelos pontos C(−1, 6) e D(5, −2).

a) escrêevaEscreva a equação de cada uma dessas retas.

r: 3x − 4y = −2; s: 4x + 3y = 14

b) Quais são as coordenadas do ponto em quêque as retas r e s se cruzam?

(2, 2)

37. escrêevaEscreva a equação da reta quêque:

a) passa pelo ponto A (1, 4) e tem coeficiente angular a = 3;

y = 3x + 1

b) passa pelo ponto B (2, 1) e tem coeficiente angular a = $-\frac{1}{2}$.

y = 2 −$\frac{x}{2}$

38. Determine a equação da reta quêque passa pêlospelos pontos:

a) (1, 3) e (−2, 0).

y = x + 2

b) (2, −5) e (−1, 7).

y = −4x + 3

c) (−3, 5) e (3, 7).

y = $\frac{x}{3}$ +⁶