RESOLUÇÕES DAS ATIVIDADES PROPOSTAS NO LIVRO DO ESTUDANTE

Unidade 1 • Conjuntos

1. A = {c, h, i, k}, B = {b, c, e, f, g, j, k} e C = {a, c, d, e, f, h}

2. a) A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e C = {1, 4, 9, 16, 25}

b) Sim, A é subconjunto de B, pois todo elemento de A também é elemento de B.

3. Respostas possíveis: ∅, {3, 6, 9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3}, {6}, {9}.

4.

a) D ⊂ A

b) B ⊄ C

c) A ⊄ B

d) C ⊂ B

e) ∅ ⊂ D

f) B ⊄ D

5. Resposta possível: ∅ ⊂ A; B ⊄ A.

6. a)

b) I ⊂ V

• V ⊂ A é verdadeiro, pois todo vertebrado é animal.

• I ⊂ V é falso, pois nenhum invertebrado é vertebrado.

• M ⊂ A é verdadeiro, pois todo molusco é invertebrado e todo invertebrado é animal; logo, todo molusco é animal.

• R ⊂ V é verdadeiro, pois todo réptil é vertebrado.

c) Uma tartaruga é um réptil (R), todo réptil é vertebrado (V) e todo vertebrado é animal (A). Portanto, a tartaruga é elemento de A, V e R.

7. a) Analisando as informações apresentadas na planilha, temos quêque: 3 funcionários são do setor de produção (Antônio, Keila e Rosana) e 2 funcionários têm idade inferior a 30 anos (Bruna e Rosana).

b) Resposta esperada: Não, pois existe um funcionário nessa faixa etária quêque é do setor de produção; no caso, Antônio, com 36 anos de idade.

c) Keila

d) Resposta possível: Selecionar apenas funcionários com idade inferior a 30 anos.

8. Resposta pessoal.

9. Considerando os conjuntos A = {−4, −2, 0, 2, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {−2, 5, 7, 9}, temos:

a) A ∪ C = {−4, −2, 0, 2, 4, 5, 7, 9}

b) C ∩ A = {−2}

c) B ∩ C = ∅

d) A ∩ B = {0, 2, 4} C ∪ (A ∩ B) = {−2, 0, 2, 4, 5, 7, 9}

e) B − A = {1, 3}

f) B ∪ C = {−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} A − (B ∪ C) = {−4}

g) A − C = {−4, 0, 2, 4} B ∩ (A − C) = {0, 2, 4}

h) A ∪ B = {−4, −2, 0, 1, 2, 3, 4} A ∩ B = {0, 2, 4} (A ∪ B) − (A ∩ B) = {−4, −2, 1, 3}

10. Alternativa b, pois a parte destacada em vêrdeverde no diagrama corresponde aos elemêntoselementos quêque pertencem aos conjuntos A ou B e não pertencem ao conjunto C, expressa por (A ∪ B) − C.

a: C − (A ∪ B); c: (A ∪ B); d: C

11. a) F, pois B ∪ C = {d, e, f, g, h}

b) V, pois B ⊂ A

c) V, pois A = {a, b, c, d, e}

d) F, pois C ∪ A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, ou seja, n(C ∪ A) = 8

e) V, pois, como B ⊂ A, temos $\begin{array}{c}{C}_A^B\end{array}$ = A − B = {a, b, c, e}

f) F, pois B − A = ∅

12. a) Resposta esperada: Não é possível resolver o problema, pois, considerando a relação n(A ⋂ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), para determinar n(A), além das informações apresentadas sobre n(A ∪ B) e n(A ⋂ B), ainda é necessário saber o valor de n(B).

b) Resposta esperada: Para resolver o problema, é necessário conhecer, além dos dados apresentados, a quantidade de elemêntoselementos do conjunto B. Assim, se considerarmos n(B) = 21, temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇒ 31 = n(A) + 21 − 12 ⇒ n(A) = 22; ou seja, se indicarmos no enunciado quêque o conjunto B tem 21 elemêntoselementos, podemos determinar quêque o conjunto A tem 22 elemêntoselementos.

13. a) Cinco regiões: Centro-Oeste, Nordeste, Norte, sudésteSudeste e Sul. Resposta pessoal.

b) 27 unidades da Federação, sêndosendo 26 estados e um Distrito Federal. Resposta pessoal.

c) As respostas dependem da região em quêque os estudantes moram.

d) Conjunto formado pelas unidades da Federação localizadas nas regiões do Brasil em quêque os estudantes não moram. A quantidade de elemêntoselementos dêêssedesse conjunto depende da região em quêque os estudantes moram.

14. a) Uma possível resposta:

• Identificar os elemêntoselementos de A ∪ B, A − B e B − A.

• Determinar B = (A ∪ B) − (A − B) = {−5, 2, 3, 4, 8}.

• Determinar A = (A ∪ B) − (B − A) = {−5, −1, 2, 6}.

b) Resposta pessoal.

15. Considerando F, T e V os conjuntos de pessoas quêque estudam, respectivamente, flauta, teclado e violão, temos o seguinte diagrama de Venn:

Assim, o total de pessoas quêque estudam nessa escola é: 7 + 4 + 19 + 3 + 1 + 9 + 16 = 59 → 59 pessoas

16. Considere os conjuntos:

P: conjunto dos sócios quêque usaram a piscina

A: conjunto dos sócios quêque usaram a academia

No diagrama de Venn, temos:

No diagrama, x é a quantidade de sócios quêque utilizaram apenas a academia. Como há um total de 1 450 sócios, temos:

620 + 310 + x + 140 = 1 450 ⇒ x = 380

Portanto, 380 sócios.

b) Resposta pessoal.

17. a)

b) 98 + 115 + 67 + 33 = 313 → 313 estudantes

c) • Dupla Adulto (dT): 98 + 115 = 213 → 213 estudantes

Página trezentos e cinquenta e sete357

• HPV: 67 + 115 = 182 → 182 estudantes

• Ambas as vacinas: 115 estudantes

d) 98 + 115 + 67 = 280 → 280 estudantes

e) A quantidade de doses de vacínavacina Dupla Adulto (dT) e de HPV corresponde, respectivamente, a n( $\begin{array}{c}{C}_U^A\end{array}$)e n ( $\begin{array}{c}{C}_u^B\end{array}$), ou seja:

• Dupla Adulto (dT): 67 + 33 = 100 → 100 vacinas

• HPV: 98 + 33 = 131 → 131 vacinas

18. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ⋂ B) ⇒ n(A ∪ B) = 35 + 49 − 23 ⇒ n(A ∪ B) = 61

Logo, 100 − 61 = 39 → 39 pessoas.

19. Elaboração do estudante. Resposta possível: Analisando os dados da tabélatabela, determine o porcentual de domicílios brasileiros quêque não tí-nhãotinham automóvel nem motocicleta em 2022. Resolução: O porcentual de domicílios brasileiros quêque tí-nhãotinham automóvel ou motocicleta em 2022 é dado por 49,8% + 25,0% − 13,1% = 61,7%. Assim, o porcentual de domicílios brasileiros quêque não tí-nhãotinham automóvel nem motocicleta em 2022 é dado por 100% − 61,7% = 38,3%.

Integrando com...

1. Respostas pessoais.

2. A − B: É o tipo sangüíneosanguíneo de indivíduos cujas hemácias apresentam apenas o antígeno A, ou seja, sanguesangue tipo A.

A ∩ B: É o tipo sangüíneosanguíneo de indivíduos cujas hemácias apresentam o antígeno A e o antígeno B, ou seja, sanguesangue tipo AB.

B − A: É o tipo sangüíneosanguíneo de indivíduos cujas hemácias apresentam apenas o antígeno B, ou seja, sanguesangue tipo B.

U − (A ∪ B): É o tipo sangüíneosanguíneo de indivíduos cujas hemácias não apresentam o antígeno A nem o antígeno B, ou seja, sanguesangue tipo O.

3. a) Resposta esperada: Apesar de o doador apresentar em suas hemácias o mesmo antígeno B do receptor, ele também apresenta em suas hemácias o antígeno Rh (Rh+), o quêque o torna incompatível com o receptor, quêque não tem o antígeno Rh (Rh−).

b) Resposta esperada: Como o doador apresenta o mesmo antígeno A do receptor e tem ausência de antígeno Rh (Rh−) em suas hemácias, ele é compatível com o receptor.

4. a) É doador para: A+, A−, AB+ e AB−. É receptor de: A− e O−.

b)

c) Resposta esperada: O doador universal corresponde ao tipo O−, pois ele pódepode doar sanguesangue a todos os tipos sangüíneossanguíneos; e o receptor universal corresponde ao tipo AB+, pois ele pódepode receber sanguesangue de todos os tipos sangüíneossanguíneos.

5. Respostas pessoais.

20. a) 2,5 ∉ ℤ

b) −3 ∉ ℕ

c) 0 ∈ ℤ

d) $\frac{31}{3}$ ∈ ℚ

e) 54 ∈ ℕ

f) −5,8$\overline{3}$ ∉ ℤ

g) 9 ∈ ℚ

h) −7,6 ∈ ℚ

21. a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

b) B = {−1, 0, 1, 2, 3}

c) A ∪ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

d) A ∩ B = {1, 2, 3}

22. a) $\frac{7}{9}$ = 7 ∶ 9 = 0,777... = 0,$\overline{7}$

b) $\frac{26}{5}$ = 26 ∶ 5 = 5,2

c) $\frac{83}{90}$ = 83 ∶ 90 = 0,9222... = 0,9$\overline{2}$

d) $\frac{17}{250}$ = 17 ∶ 250 = 0,068

23. a) 0,65 = $\frac{65}{100}=\frac{13}{20}$

b) 8,024 = $\frac{8024}{1000}=\frac{1003}{125}$

c) $\begin{array}{c}2,\overline{7}\end{array}$ = 2,777...

x = 2,777...

10x = 27,777...

10x = 25 + $\underset{x}{\underbrace{\mathrm{2,777}\dots }}$

10x = 25 + x

9x = 25

x = $\frac{25}{9}$

d) 3,9$\overline{5}$ = 3,9555...

x = 3,9555...

10x = 39,555...

100x = 395,555...

100x = 356 + $\underset{10x}{\underbrace{\mathrm{39,555}\dots }}$

100x = 356 + 10x

90x = 356

x = $\frac{356}{90}=\frac{178}{45}$

24.

Resposta: Os números inteiros negativos.

25. Respostas pessoais. Nos itens a e b, espera-se quêque os estudantes determinem dois números racionais e, posteriormente, outros contidos no intervalo por eles determinado.

No item c, espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque sempre é possível determinar um número racional compreendido entre outros dois números racionais dados.

No item d, uma estratégia é determinar o número racional c como a média aritmética dos números racionais a e b.

26. a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{15}=\frac{17}{30}$

c) $\frac{1}{10}+\frac{1}{3}=\frac{13}{30}$

27. alternativa c

$\frac{3}{4}$ = 3 ∶ 4 = 0,75

0,75 ⋅ 2,54 = 1,905 → 1,905 cm

Logo, a medida está, em centímetros, entre 1,5 e 2.

• Resposta esperada: Não, o comprimento do cano, por exemplo, é um dado desnecessário para a resolução desta atividade.

28. a) • Para n = 0: x = 2 ⋅ 0 + 1 = 1

• Para n = 1: x = 2 ⋅ 1 + 1 = 3

• Para n = 2: x = 2 ⋅ 2 + 1 = 5

• Para n = 3: x = 2 ⋅ 3 + 1 = 7

• Para n = 4: x = 2 ⋅ 4 + 1 = 9

• Para n = 5: x = 2 ⋅ 5 + 1 = 11

⋮

Página trezentos e cinquenta e oito358

Algumas respostas possíveis: 1; 3; 5; 7; 9; 11.

b) II

c) Os números naturais pares são os números da forma 2n, com n ∈ ℕ.

Assim, B = {x | x = 2n, com n ∈ ℕ}.

d) Resposta esperada: Nenhum elemento, pois A ∩ B = ∅, uma vez quêque não há número quêque seja simultaneamente par e ímpar.

29. 1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16;

5² = 25; 6² = 36; 7² = 49;

8² = 64; 9² = 81; 10² = 100;

11² = 121; 12² = 144

a) Resposta pessoal.

b) número par: 342² e 2.778²; número ímpar: 1.655² e 81²

• Resposta pessoal.

c) Resposta esperada: Se um número natural é par, então seu quadrado também é par. Se um número natural é ímpar, então seu quadrado também é ímpar.

30. a) hí eme cêIMC (fev.) = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{83,9}}{{\mathrm{1,63}}^2}=\frac{\mathrm{83,9}}{\mathrm{2,6569}}\end{array}$ ≃ 31,6

obesidade, pois 31,6 > 30

b) 64,8 − 83,9 = −19,1 → redução de 19,1 kg

c) hí eme cêIMC (nov.) = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{64,8}}{{\mathrm{1,63}}^2}=\frac{\mathrm{64,8}}{\mathrm{2,6569}}\end{array}$≃ 24,4

Resposta esperada: Sim, pois, para sêrser classificado como "peso adequado", o hí eme cêIMC deve estar entre 18,5 kg/m² e 25 kg/m², e o hí eme cêIMC de Sueli, no mês de novembro, foi de aproximadamente 24,4 kg/m².

d) Resposta pessoal.

31. a) Amazonas: 13,9; Ceará: 11,6;

Goiás: 11,4; Santa Catarina: 9,3;

Rio de Janeiro: 12,6

b) Respostas possíveis: Sim, ao compararmos, por exemplo, a maior taxa de mortalidade calculada com a menor taxa de mortalidade calculada, há uma diferença de 4,6 óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade, valor significativo quando expresso em números absolutos. Não, ao compararmos, por exemplo, a taxa de mortalidade do estado do Ceará com a de Goiás, com a diferença de apenas 0,2 óbito de menóresmenores de 1 ano por 1.000 nascidos vivos.

c) Resposta pessoal.

d) Resposta pessoal.

32. a) Veículo 1: $\frac{1400}{156}$ ≃ 8,97 km/L;

veículo 2: $\frac{1750}{232}$ ≃ 7,5 km/L;

veículo 3: $\frac{1522}{179}$ ≃ 8,5 km/L;

veículo 4: $\frac{2300}{330}$ ≃ 6,97 km/L;

veículo 5: $\frac{2150}{230}$ ≃ 9,3 km/L.

b) Calculando 85% de 8,5 km/L, temos: 0,85 ⋅ 8,5 = 7,225 → 7,255 km/L

Comparando os resultados obtidos no item a, apenas o veículo 4 está com consumo inferior a 7,255 km/L (6,97 < 7,255).

33. a) Ensino Fundamental – Anos Iniciais, pois 0,98 > 0,96 > 0,90.

b) Ensino Fundamental – Anos Iniciais: I = 0,98 ⋅ $\frac{\mathrm{6,2}+\mathrm{5,24}}{2}$ ⇒ I = 0,98 ⋅ 5,8 ⇒ I = 5,684

Ensino Fundamental – Anos Finais: I = 0, 98 ⋅ $\frac{\mathrm{4,6}+6}{2}$ ⇒ I = 0,96 ⋅ 5,45 ⇒ I = 5,232

Ensino Médio: I = 0, 90 ⋅ $\frac{\mathrm{4,5}+\mathrm{3,7}}{2}$ ⇒ I = 0,90 ⋅ 4,1 ⇒ I = 3,690

• Resposta pessoal.

34. a) • Norte: $\frac{17354884}{\mathrm{3850593,105}}$ ≃ 4,51 → aproximadamente 4,51 hab./km²

• Nordeste: $\frac{54658515}{\mathrm{1552175,42}}$ ≃ 35,21 → aproximadamente 35,21 hab./km²

• sudésteSudeste: $\frac{84840113}{\mathrm{924558,341}}$ ≃ 91,76 → aproximadamente 91,76 hab./km²

• Sul: $\frac{29937706}{\mathrm{576736,822}}$ ≃ 51,91 → aproximadamente 51,91 hab./km²

Centro-Oeste: $\frac{16289538}{\mathrm{1606354,086}}$ ≃ 10,14 → aproximadamente 10,14 hab./km²

b) Resposta esperada: Sim, pois a densidade demográfica varia consideravelmente de uma região para outra do Brasil.

c) Resposta pessoal.

35. a) Irracional, pois $\begin{array}{c}\underset{4}{\underbrace{2^2}}<5<\underset{9}{\underbrace{3^2}}\Rightarrow 2<\sqrt[]{5}<3.\end{array}$

b) Racional, pois 2 $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$.

c) Racional, pois $\begin{array}{c}\sqrt[3]{-8}\end{array}$ = −2.

d) Irracional, pois $\begin{array}{c}\underset{9}{\underbrace{3^2}}<11<\underset{16}{\underbrace{4^2}}\Rightarrow 3<\sqrt[2]{11}<4.\end{array}$

e) Racional.

f) Irracional, pois é o quociente de um número irracional ((pi)"π) com um racional diferente de zero (3).

36.

37. Resposta esperada: Considerando um triângulo equilátero ABC de lado 2 cm e D o ponto médio de $\overline{BC}$, quêque determina o triângulo retângulo ABD, com AB = 2, BD = 1 e $\overline{BA}$ correspondente a h. Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD, temos: (AB)² = h² + (BD)² ⇒ 2² = h² + 1² ⇒ h² = 3 ⇒ h = $\sqrt[]{3}$. Como 3 é um número natural, mas não é um número quadrado perfeito, temos quêque $\sqrt[]{3}$, quêque corresponde à medida h da altura do triângulo ABC, em centímetro, é um número irracional.

38. a) • $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\simeq \frac{1+24}{2}\end{array}$ ≃ 12,5

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\simeq \frac{2+12}{2}\end{array}$ ≃ 7

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\simeq \frac{3+8}{2}\end{array}$ ≃ 5,5

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\simeq \frac{4+6}{2}\end{array}$ ≃ 5

b) $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\end{array}$ ≃ 4,898979. Resposta esperada: Sendo n = a ⋅ b um número natural quêque não seja quadrado perfeito, quanto mais próximos entre si são a e b, melhor é a aproximação de $\sqrt[]{n}$ pelo método de Herão.

c) Respostas pessoais.

39. a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{1}=1\end{array}$; $\begin{array}{c}\sqrt[]{4}\end{array}$ = 2; $\begin{array}{c}\sqrt[]{9}\end{array}$ = 3; $\begin{array}{c}\sqrt[]{16}\end{array}$ = 4.

Como os números 1, 4, 9 e 16 são quadrados perfeitos, temos quêque $\begin{array}{c}\sqrt[]{1}\end{array}$, $\begin{array}{c}\sqrt[]{4}\end{array}$, $\begin{array}{c}\sqrt[]{9}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\sqrt[]{16}\end{array}$ são classificados como racionais. De modo análogo, temos quêque as demais raízes correspondem a números irracionais.

b) Respostas pessoais.

c) Resposta esperada: Porque nessa espiral são formados triângulos retângulos, cujas medidas dos lados (catetos e hipotenusa) podem sêrser relacionadas por meio do teorema de Pitágoras.

40. a)

b)

c)

d)

41. a) ]−∞, −7[ ou {x ∈ ℝ | x < −7}

b) [−3, $\begin{array}{c}\sqrt[]{45}\end{array}$ ] ou { x ∈ ℝ | −3 ≤ x ≤ $\sqrt[]{45}$}

c) $\left]\frac{2}{3},+\infty \right[$ $\mathrm{o}\mathrm{u}$ {x ∈ ℝ | x > $\frac{2}{3}$}

d) ]−(pi)"π, 0] ou {x ∈ ℝ | −(pi)"π < x ≤ 0}

42. a)

A ⋃ B =]−20, 25[; A ⋂ B =]−10, 15[

Página trezentos e cinquenta e nove359

b)

A ∪ B = ℝ; A ⋂ B =]5, 10]

c)

A ∪ B =]−∞, 100[; A ⋂ B =]−35, 0]

d)

A ⋃ B = ℝ; A ⋂ B =]−150, 300[

43. a) −3 ⋅ |−10| = −3 ⋅ 10 = −30

b) |−4| ⋅ |−7| = 4 ⋅ 7 = 28

c) |6 − 18| = |−12| = 12

d) | |−10| − 15| = |10 − 15| = |−5| = 5

e) |3 − 8| − |−13 + 5| = |−5| − |−8| = 5 − 8 = −3

f) |2 ⋅ (−8)| = |−16| = 16

44. $\frac{7}{3}$ ≃ 2,3; $\begin{array}{c}-4,\overline{78}\end{array}$ ≃ −4,8; $\begin{array}{c}-\frac{11}{5}\end{array}$ = −2,2;

$\begin{array}{c}-\sqrt[3]{35}\end{array}$ ≃ −3,3; $\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}\end{array}$ ≃ 1; $\begin{array}{c}\mathrm{5,2}\overline{41}\end{array}$≃ 5,2;

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{19}\end{array}$ ≃ 8,7; −$\begin{array}{c}0,\overline{25}\end{array}$ ≃ −0,3

45. alternativa b

4x + 10 = 2 ⇒ 4x = −8 ⇒ x = −2

Temos −2 ∈]−4, 0[, pois −4 < −2 < 0.

46. Resposta pessoal. Sugestão de resposta: A alternativa c é correta apenas se z < y. Mas, de acôr-doacordo com o enunciado, podemos ter tanto z < y como z > y.

47. a) O ponto correspondente a x pódepode estar à direita ou à esquerda do ponto correspondente a −7.

Respostas possíveis: −19 ou 5.

b) Respostas possíveis: |−7 − (−19)| = 12; |−19 − (−7)| = 12; |5 − (−7)| = 12; |−7 − 5| = 12.

48. a) entre dois números racionais

b) Resposta esperada: Temos quêque $\frac{223}{71}$ ≃ 3,140845, (pi)"π ≃ 3,141593e $\frac{22}{7}$ ≃ 3,142857.

Como 3,140845 < 3,141593 < 3,142857, a conclusão de arquimédisArquimedes está correta, ou seja, $\begin{array}{c}\frac{223}{71}<\pi <\frac{22}{7}\end{array}$.

49. Elaboração do estudante. Resposta possível: Quais números podem estar sêndosendo presentados pelas lêtrasletras a, b, c e d no diagrama?

Resposta: 1, −2, $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ; $\frac{1}{2}$.

O quêque estudei

1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal.

3. Respostas pessoais.

4. a) Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes discutam a respeito do gerenciamento de bancos de dados e expressem seus conhecimentos sobre a temática, estabelecendo relações com as ideias de conjunto mobilizadas ao longo da Unidade.

b) Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes relacionem o conteúdo com suas vivências e discutam a respeito de diferentes tipos de estrutura de bancos de dados. Caso eles não tênhamtenham tido contanto com algum tipo de banco de dados, apresente características das principais estruturas, como o banco de dados hierárquico, considerado defasado em razão da sua estrutura do tipo árvore, e o relacional, muito utilizado atualmente e quêque contempla relações existentes entre os dados.

c) • Comparando as alturas das colunas do gráfico, podemos identificar quêque a categoria com a maior quantidade de livros é “aventura”.

• $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}{\underbrace{10000}}-\underset{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\underbrace{(950+3600+2350+1110+1360)}}\end{array}=$

$=10.000-9.370=630\to 630$ livros

• $\begin{array}{c}\frac{3600}{10000}=\frac{9}{25}\end{array}$; 0,36. Número racional.

d) Sendo A e M os conjuntos formados pêlospelos motoristas habilitados para conduzir automóveis e motocicletas, respectivamente, temos n (A − M) = 13 e n (M − A) = 14. Considerando quêque os 45 motoristas têm habilitação para ao menos um tipo de veículo, temos n(A ∪ B) = 45.

Assim, segue quêque: n(AM) = n(A ∪ B) − n(A − M) − n(M − A) ⇒ n(A ∩ B) = 45 − 13 − 14 = 18.

Portanto, 18 motoristas são habilitados para os dois tipos de veículo.

e) Considere os conjuntos:

A: pessoas quêque foram vacinadas contra febre amarela;

B: pessoas quêque foram vacinadas contra sarampo. Temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 200 + 153 − 23 = 330

Como havia 400 pessoas registradas, então o número de pessoas quêque não haviam sido vacinadas contra sarampo nem febre amarela é:

400 − 330 = 70 → 70 pessoas

Praticando: enêmEnem e Vestibulares

1. alternativa b

F1: $\frac{18}{6}$ = 3 mg/dia

F2: $\frac{15}{3}$ = 5 mg/dia

F3: $\frac{18}{4}$ = 4,5 mg/dia

F4: $\frac{6}{3}$ =2 mg/dia

F5: $\frac{3}{2}$ = 1,5 mg/dia

1,5 < 2 < 3 < 4,5 < 5

2. alternativa b

80 + 20 + 130 + 110 = 340

Página trezentos e sessenta360

3. alternativa d

A^C é o conjunto dos números maiores ou iguais a 250.

B^C é o conjunto dos números naturais quêque não são múltiplos de 4.

C^C é o conjunto dos números ímpares.

Logo, 33 ∉ A^C, 33 ∈ B^C e 33 ∈ C^C.

Assim, 33 ∈ (B^C ∪ C^C), e do mesmo modo 33 ∈ (A^C ∩ B^C) ⋂ (B^C ∩ C^C).

4. alternativa e

1,35 bilhão = 1.350 milhão = 1.350.000 mil = 1.350.000.000

5. alternativa c

Do enunciado, temos quêque x ∈ A, x ∈ C e x ∉ B. Assim, x ∈ A ∩ C.

6. alternativa e

Multiplicando-se os elemêntoselementos de A pêlospelos elemêntoselementos de B e excluindo-se as repetições, temos: C = {−1, −2, −3, −4, −5, −6, −8, −9, −10, −12, −15, −16, −20, −25}, ou seja, 14 elemêntoselementos.

7. alternativa e

Não obtiveram nota mínima em Matemática e Português: 5 − 3 = 2.

Não obtiveram nota mínima em Matemática e Inglês: 3 − 2 = 1.

Não obtiveram nota mínima em Inglês e Português: 7 − 2 = 5.

Não obtiveram nota mínima em Matemática: 14 − (3 + 2 + 1) = 8.

Não obtiveram nota mínima em Português: 16 − (3 + 2 + 5) = 6.

Não obtiveram nota mínima em Inglês: 12 − (1 + 2 + 5) = 4.

Participaram do concurso: 6 + 3 + 5 + 2 + 1 + 8 + 4 + 20 = 49 → 49.

8. alternativa b

12 pessoas escolherem números primos. Todos são ímpares e maiores quêque 3, pelo enunciado, e nenhum deles é múltiplo de 3, por sêrser primo.

30 pessoas escolherem um número par e 14 escolheram múltiplo de 3. Os múltiplos de 6 são também múltiplos de 3.

Assim, na interseção entre números pares e múltiplos de 3, estão os múltiplos de 6, como no diagrama a seguir.

Pares ou múltiplos de 3:

24 + 6 + 8 = 38

Ímpares não múltiplo de 3:

64 − 38 = 26

9. alternativa b

Como 1 m = 10 dm, temos:

843 dm = 84,3 m.

Como 1 km = 1.000 m, temos:

35 km = 35.000 m.

10. alternativa c

Praticam apenas atletismo e esgrima: 105 − 40 = 65.

Praticam apenas natação e esgrima: 65 − 40 = 25.

Praticam apenas natação e atletismo: 70 − 40 = 30.

Praticam apenas esgrima: 200 − (65 + 25 + 40) = 70.

Praticam apenas atletismo: 250 − (30 + 65 + 40) = 115.

Praticam apenas natação: 300 − (25 + 30 + 40) = 205.

Entrevistados: 65 + 30 + 40 + 25 + 70 + 115 + 205 + 150 = 700

11. alternativa e

Sendo x a quantidade de alunos quêque cursam as três disciplinas, temos:

16 + 18 − 10 + x + 13 − 9 + x + 15 − 11 + x + 4 − x + x + 5 − x + 6 − x = 50 ⇒ x = 3

Alunos quêque cursam exatamente duas disciplinas:

4 − 3 = 1; 6 − 3 = 3; 5 − 3 = 2.

Total: 1 + 3 + 2 = 6.

12. alternativa a

Distrito Federal: $\frac{10800}{2650}$ ≃ 4,08

Minas Gerais: $\frac{40400}{19900}$ ≃ 2,03

São Paulo: $\frac{110450}{41900}$ ≃ 2,64

Sergipe: $\frac{3000}{2120}$ ≃ 1,42

Piauí: $\frac{3300}{3140}=$ ≃ 1,05

13. alternativa e

Considerando quêque todos os melhores amigos de Eduardo estão entre seus amigos, temos quêque M ⊂ E. Além díssudisso, como nem todos os melhores amigos de Eduardo foram à festa, temos quêque M ⊄ F. O único diagrama quêque apresenta simultaneamente essas relações é o do item e.

14. alternativa e

Área ocupada às 10 horas, em m²: 500 ⋅ 500 = 250.000

Quantidade de pessoas às 10 horas da manhã: 250.000 ⋅ 4 = 1.000.000

Quantidade de pessoas às 4 horas da tarde: 1.000.000 + 6 ⋅ 120.000 = 1.720.000

Assim, a quantidade necessária de policiais é: $\frac{172000}{2000}$ = 860 → 860 policiais

15. Considerando C, A e J os conjuntos dos funcionários quêque ingerem algum tipo de proteína animal, respectivamente, no café da manhã, no almôçoalmoço e no jantar, temos o seguinte diagrama de Venn:

Assim, o número x de funcionários quêque não se alimentam com proteína animal em nenhuma das refeições é dado por:

12 + 29 + 17 + 31 + 28 + 21 + 66 + x = 260 ⇒ x = 56 → 56 funcionários

16. alternativa b

200 + 150 − 70 = 280

500 − 280 = 220

$\frac{220}{500}$ = 0,44 → 44%

Unidade 2 • Relações entre grandezas e noção de função

1. a) massa; 8.500

• Toneladas (t) e quilogramas (kg) correspondem a medidas de massa.

• 8,5 t = $\mathrm{8,5}\cdot \underset{1000\mathrm{k}\mathrm{g}}{\underbrace{1\mathrm{t}}}=$ 8,5 ⋅ 1.000 kg = 8.500 kg

Página trezentos e sessenta e um361

b) comprimento; 90.000

• Metros (m) e quilômetros (km) correspondem a medidas de comprimento.

• 90 km = 90 ⋅ $\underset{1000\mathrm{m}}{\underbrace{1\mathrm{k}\mathrm{m}}}$ = 90 ⋅ 1.000 m =

= 90.000 m

c) tempo; 3

• Segundos (s) e horas (h) correspondem a medidas de tempo.

• 10.800 s = $10800\cdot \underset{\frac{1}{60}\min }{\underbrace{1\mathrm{s}}}=$
= 10800 ⋅ $\frac{1}{60}\cdot \underset{\frac{1}{60}\mathrm{h}}{\underbrace{1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$=
= 180 ⋅ $\frac{1}{60}$ h = 3 h

d) comprimento; 0,07

• Decimetros (dm) e milímetros (mm) correspondem a medidas de comprimento.

• 7 mm = 7 ⋅ $\underset{\mathrm{0,01}\mathrm{d}\mathrm{m}}{\underbrace{1\mathrm{m}\mathrm{m}}}$ =
= 7 ⋅ 0,01 dm = 0,07 dm

e) massa; 1,65

• Quilogramas (kg) e gramas (g) correspondem a medidas de massa.

• 1.650 g = $1650\mathrm{g}\cdot \underset{\frac{1}{1000}\mathrm{k}\mathrm{g}}{\underbrace{1\mathrm{g}}}=$ 1.650 ⋅ $\frac{1}{1000}$ kg = 1,65 kg

f) tempo; 252

• Minutos (min) e segundos (s) correspondem a medidas de tempo.

4,2 min = 4,2 ⋅ $\underset{60s}{\underbrace{1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}$ =

= 4,2 ⋅ 60 s = 252 s

2. a) 4 TB = $\begin{array}{c}4\cdot \underset{1024\mathrm{}\mathrm{G}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{T}\mathrm{B}}}\mathrm{}\end{array}$ = 4 ⋅ 1.024 GB = 4.096 GB

b) 512 B = $\begin{array}{c}512\cdot \underset{\frac{1}{1024}\mathrm{k}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{B}}}=\end{array}$

= 512 ⋅ $\frac{1}{1024}$ kB = 0,5 kB

c) 3.072 kB = $\begin{array}{c}3072\cdot \underset{\frac{1}{1024}\mathrm{M}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{k}\mathrm{B}}}=\end{array}$

3.072 ⋅ $\frac{1}{1024}$ MB = 3 MB

d) 0,5 GB = $\begin{array}{c}\mathrm{0,5}\cdot \underset{1024\mathrm{}\mathrm{k}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{G}\mathrm{B}}}=\end{array}$

0,5 ⋅ $\begin{array}{c}1024\cdot \underset{1024\mathrm{}\mathrm{k}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{M}\mathrm{B}}}=\end{array}$

512 ⋅ 1.024 kB = 524.288 kB

3. Capacidade total em MB: 2 GB =

$=\begin{array}{c}2\cdot \underset{1024\mathrm{}\mathrm{M}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{G}\mathrm{B}}}=\end{array}2\cdot 1024\mathrm{M}\mathrm{B}$ = 2048 MB

Total não utilizado: 2.048 − 1.460 = 588 → 588 MB

Portanto, jãJean ainda pódepode armazenar 147 arquivos de fotografia de 4 MB, pois 588 ∶ 4 = 147.

4. • A: d = $\frac{m}{v}$ ⇒ d = $\frac{384}{160}$ ⇒ d = 2, 4 → 2, 4 g/cm³

• B: d = $\frac{m}{v}$ ⇒ 7, 9 = $\frac{\mathrm{2,8}}{v}$ ⇒ v = $\frac{\mathrm{2,8}}{\mathrm{7,9}}$ ⇒ v ≃ 0,35 → aproximadamente 0,35 cm³

• C: d = $\frac{m}{v}$ ⇒ 8,4 = $\frac{m}{5}$ ⇒ m = 42 → 42 g

5. a) comprimento: diâmetro e distância média do Sol; tempo: período orbital e período de rotação; tempera-túratemperatura: tempera-túratemperatura de superfícíesuperfície

b) • hectômetro: 6.792 km =

= 6.792 ⋅ $\begin{array}{c}\underset{10\mathrm{}\mathrm{h}\mathrm{m}}{\underbrace{1\mathrm{k}\mathrm{m}}}\end{array}$ = 6.792 ⋅ 10 hm =

= 67.920 hm

• métrometro: 6.792 km = $\begin{array}{c}6792\cdot \underset{1000\mathrm{}\mathrm{m}}{\underbrace{1\mathrm{k}\mathrm{m}}}=\end{array}$ 6.792 ⋅ 1.000 m = 6.792.000 m

• centímetro: 6.792 km = 6.792.000 m = $\begin{array}{c}6792000\cdot \underset{100\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{m}}{\underbrace{1\mathrm{m}}}=\end{array}$ 6.792.000 ⋅ 100 = 679.200.000 cm

c) 25 − (−125) = 25 + 125 = 150 → 150°C

d) • 0,62 h = $\begin{array}{c}\mathrm{0,62}\cdot \underset{60\mathrm{}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\underbrace{1\mathrm{h}}}=\end{array}$ 0,62 ⋅ 60 min = 37,2 min

• 0,2 min = 0,2 ⋅ $\begin{array}{c}\underset{60\mathrm{}\mathrm{s}}{\underbrace{1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}\end{array}$ = 0,2 ⋅ 60 s = 12 s

Assim: 24,62 h = 24h37,2min = 24h37min12s

e) Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes pesquisem informações como diâmetro, distância média do Sol, período de rotação, tempera-túratemperatura da superfícíesuperfície, número de satélites e outras referentes ao planêtaplaneta escolhido. É importante quêque, nas anotações, estejam indicadas as unidades de medidas de cada uma dessas informações e quêque eles registrem as fontes das pesquisas.

6. a) rotação e translação

b) Grandeza: velocidade; Unidade de medida: quilômetro por hora (km/h).

c) Resposta esperada: Como o movimento de rotação da Terra tem duração aproximada de 24 h, podemos multiplicar esse valor pela medida da velocidade de rotação da Terra, quêque é de aproximadamente 1.675 km/h, para estimar a medida do comprimento da linha do equador em 40.200 km (1.675 ⋅ 24 = 40.200).

7. A densidade da mistura homogênea (d_T) é dada pela média aritmética ponderada das densidades de cada líquido (d_A e d_B), considerando o volume correspondente deles (V_A e V_B, com V_A + V_B = V_T).

Assim, temos: d_T = $\begin{array}{c}\frac{d_A\cdot V_A+d_B\cdot V_B}{V_T}\end{array}$ = d_T = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,9}\cdot 500+d_B\cdot 500}{1000}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,9}+d_B}{2}\end{array}$

Calculando a densidade do objeto (d_O), temos: d_O = $\frac{180}{100}$ = 1,8 → 1,8 g/cm³

Como o objeto sólido flutuou na mistura homogênea, a densidade do objeto é menor ou igual a da mistura. Assim, segue quêque: $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,9}+d_B}{2}\end{array}$ ≥ 1,8 ⇒ 0,9 + d_B ≥ 3,6 ⇒ d_B ≥ 3,6 − 0,9 ⇒ d_B ≥ 2,7

Resposta: 2,7 g/cm³.

8. a) Como 1 mm = 10⁶ nm, temos:

• dimensão mínima: $\begin{array}{c}\frac{10}{{10}^6}\end{array}$ = 10⁻⁵ mm ou 0,00001 mm

• dimensão mássimamáxima: $\begin{array}{c}\frac{300}{{10}^6}=\frac{3\cdot {10}^2}{{10}^6}\end{array}$ = 3 ⋅ 10⁻⁴ mm ou 0,0003 mm

De 0,00001 mm ou 10⁻⁵ mm até 0,0003 mm ou 3 ⋅ 10⁻⁴ mm.

b) 4,8 ⋅ 0,000025 = 0,00012 → 0,00012 mm 0,00012 ⋅ 10⁶ = 120 → 120 nm

c) • menor tamãnhotamanho médio de uma bactéria:

10 ⋅ 10 nm = 100 nm Convertendo essa medida para milímetro, temos: $\begin{array}{c}\frac{100}{{10}^6}=\frac{1\cdot {10}^2}{{10}^6}\end{array}$ = 1 ⋅ 10⁻⁴ mm

ou 0,0001 mm Convertendo essa medida para métrometro, temos: $\begin{array}{c}\frac{1\cdot {10}^{-4}}{{10}^3}\end{array}$ = 1 ⋅ 10⁻⁷ m ou 0,0000001 m

• maior tamãnhotamanho médio de uma bactéria: 15 ⋅ 300 nm = 4.500 nm

Convertendo essa medida para milímetro, temos: $\begin{array}{c}\frac{4500}{{10}^6}=\frac{\mathrm{4,5}\cdot {10}^3}{{10}^6}\end{array}$ = 4,5 ⋅ 10⁻³ mm ou 0,0045 mm

Convertendo essa medida para métrometro, temos: $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}}{{10}^3}\end{array}$ = 4,5 ⋅ 10⁻⁶ m ou 0,0000045 m

Página trezentos e sessenta e dois362

De 0,0000001 m (10⁻⁷ m) até 0,0000045 m (4,5 ⋅ 10⁻⁶ m).

9. 275 MB = 275 ⋅ $\begin{array}{c}\begin{array}{c}\underset{8\mathrm{M}\mathrm{b}}{\underbrace{1\mathrm{M}\mathrm{B}}}\end{array}\end{array}$ = 275 ⋅ 8 Mb = 2.200 Mb

$\begin{array}{c}\frac{50}{2200}=\frac{1}{x}\end{array}$ ⇒ 50x = 2.200 ⇒ x = 44 → 44 s

10. Total de espaço ocupado pêlospelos arquivos em GB:

$\begin{array}{c}\frac{800+210}{1024}\end{array}$ + 9 + 12 = $\frac{1010}{1024}$ + 21 ≃ 22 → aproximadamente 22 GB

Vamos analisar cada item e verificar se o espaço é suficiente para fazer o backup.

a) Insuficiente, pois é necessário quase 22 GB.

b) Suficiente, pois 1 TB equivale a 1.024 GB.

c) Suficiente, pois os 5 dê vê dêzDVDs comportam $\begin{array}{c}\underset{5\cdot \mathrm{4,7}}{\underbrace{\mathrm{23,5}}}\end{array}$ GB.

d) Suficiente, pois 32 GB > 22 GB.

e) Insuficiente, pois cada cê dêCD tem menos de 1 GB de capacidade; assim, 10 cê(Dêss)CDs comportam menos de 10 GB.

Portanto, ela poderá escolher os dispositivos das alternativas b, c ou d.

11. a) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes concluam quêque existem algumas possibilidades, como armazenar os dados em nuvem e excluir do smartphone ou táblêtitablet e desinstalar aplicativos quêque não são utilizados com freqüênciafrequência.

b) Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque as kestõesquestões abordem medidas de capacidade de armazenamento de dados e conversões entre elas. Por exemplo, pode-se compor uma atividade em quêque um smartphone tenha certa capacidade de armazenamento e esteja com parte dela ocupada; deseja-se baixar um aplicativo cujo tamãnhotamanho está dado em outra unidade; pode-se propor quêque se verifique a viabilidade dêêssedesse dáum-lôudedownload.

12. a)

$\begin{array}{c}\frac{x}{24}=\frac{49}{1}\end{array}$ ⇒ x = 24 ⋅ 49 = 1.176 → 1.176 Mb ⇒ 1.176 Mb = $\frac{1176}{8}$ MB = 147 MB

Portanto, 1.176 Mb ou 147 MB.

b)

$\begin{array}{c}\frac{40}{1176}=\frac{1}{x}\end{array}$ ⇒ 40x = 1.176 ⇒ x = 29,4 → 29,4 s

Portanto, o tempo estimado seria 29,4 s.

13. a) • Resposta esperada: O desenvolvimento de tecnologias e recursos voltados à preservação do meio ambiente, especialmente o armazenamento de dados em nuvem.

• Respostas esperadas: Permite quêque arquivos digitais sêjamsejam armazenados em sêrservidores especializados e possam ser acessados a qualquer momento. Possibilita reduzir a geração de resíduos eletrônicos, diminuir as emissões de CO² e poupar o uso de papel para impressão de documentos.

b) Convertendo 10 GB em kB, temos:

10 GB = 10 ⋅ 1.024 MB = 10.240 MB = 10.240 ⋅ 1.024 kB = 10.485.760 kB

Assim, a quantidade de papel correspondente a 10 GB é: $\frac{10485760}{80}$ = 131.072 → 131.072 páginas de papel

c) 15 GB = 15 ⋅ 1.024 MB = 15.360 MB = 15.360 ⋅ 8 Mb = 122.880 Mb

4 min = 4 ⋅ 60 s = 240 s

Como foram transferidos 122.880 Mb em 240 s, temos quêque a taxa de transferência foi:

$\frac{122880}{240}$ = 512 → 512 Mbps

d) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes compreendam a importânssiaimportância do armazenamento de dados em nuvem para a agilidade do compartilhamento de dados no dia a dia das empresas, para a facilidade de acesso e produção conjunta de documentos entre diferentes pessoas, para a diminuição do risco de perda de arquivos importantes e para a preservação do meio ambiente num futuro mais sustentável.

14. Como a cada 1 t economiza-se 450 L de á guaágua, temos:

1.000.000 ⋅ 450 = 450.000.000 L.

15. • 3,8 km: d = 3,8 ⇒ t = 5,50 + 0,25 ⋅ 3,8 = 6,45 → R$ 6,45

• 5 km: d = 5 ⇒ t = 5,50 + 0,25 ⋅ 5 = 6,75 → R$ 6,75

• 6,5 km: d = 6,5 ⇒ t = 5,50 + 0,25 ⋅ 6,5 = 7,125 → R$ 7,12

• 10 km: d = 10 ⇒ t = 5,50 + 0,25 ⋅ 10 = 8 → R$ 8,00

• 12 km: d = 12 ⇒ t = 5,50 + 0,25 ⋅ 12 = 8,5 → R$ 8,50

16. a) x = 12 ⇒ v = 3,90 ⋅ 2 ⋅ 12² = 1.123,2 → R$ 1.123,20

b) v = 1.755 ⇒ 3,90 ⋅ 2x² = 1.755 ⇒ 7,8x² = 1.755 ⇒ x² = 225

A largura x deve sêrser um número positivo; logo:

• x = $\begin{array}{c}\sqrt[]{225}\end{array}$ = 15 → 15 m (largura)

• 2x = 2 ⋅ 15 = 30 → 30 m (comprimento)

17. a) • perímetro: p = 4x

• área: a = x²

b) • perímetro: x = 5 ⇒ p = 4 ⋅ 5 = 20 → 20 cm

• área: x = 5 ⇒ a = 52 = 25 → 25 cm2

c) • p = 56 ⇒ 4x = 56 ⇒ x = 14

• a = 144 ⇒ x² = 144

A medida x deve sêrser um número positivo; então, x = $\begin{array}{c}\sqrt[]{144}\end{array}$ = 12.

18. preêçoPreço, em reais, por grama de comida servida: $\frac{63}{1000}$ = 0,063

Sendo p a quantia paga e m a massa, em grama, temos: p = 0,063m.

19. a) Sim. Algumas respostas possíveis:

c = $\begin{array}{c}\frac{120t}{100}\end{array}$; c = $\begin{array}{c}\frac{12t}{10}\end{array}$; c = $\begin{array}{c}\frac{6t}{5}\end{array}$.

b) t = 8 ⇒ c = $\frac{1200}{1000}$ ⋅ 8 = 9,6 → 9,6 kWh

c) c ≤ 7,2 ⇒ $\frac{1200}{1000}$ ⋅ t ≤ 7,2 ⇒ t ≤ 6

Logo, pódepode sêrser usado por, no mássimomáximo, 6 h.

d) televisor: c = $\begin{array}{c}\frac{90t}{1000}\end{array}$; computador: c = $\begin{array}{c}\frac{300t}{1000}\end{array}$; aspirador de pó: c = $\begin{array}{c}\frac{600t}{1000}\end{array}$; condicionador de ar: c = $\begin{array}{c}\frac{1400t}{1000}\end{array}$; micro-ondas: c = $\begin{array}{c}\frac{2000t}{1000}\end{array}$

• Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes identifiquem as potências de alguns aparelhos eletrônicos de suas

Página trezentos e sessenta e três363

residências e utilizem a mesma estratégia dos itens a e b para definir as funções quêque relacionam o consumo de energia e o tempo de uso.

20. alternativa b

Custo, em reais, por aluno no laboratório

A: $\begin{array}{c}\frac{180000+60000\cdot 4}{100}\end{array}$ = 4.200

Custo, em reais, por aluno no laboratório

B: $\begin{array}{c}\frac{120000+16000\cdot 4}{80}\end{array}$ = 2.300

Diferença: 4.200 − 2.300 = 1.900 → 1,90 mil reais

21. Tipo A:

c = $\begin{array}{c}\frac{180000+60000\cdot t}{100}\end{array}$ ⇒ c = 1.800 + 600t

Tipo B:

c = $\begin{array}{c}\frac{120000+16000\cdot t}{100}\end{array}$ ⇒ c = 1.500 + 200t

22. a) Resposta esperada:

• Sapos e gafanhotos:

$\begin{array}{c}\frac{800}{g}=\frac{30}{s}\end{array}$ ⇒ 800s = 30g ⇒ s = $\frac{3}{80}$ g

• Gafanhotos e plantas de capim:

$\begin{array}{c}\frac{5000}{c}=\frac{800}{g}\end{array}$ ⇒ 5.000g = 800c ⇒ g = $\frac{4}{25}$ c

b) Utilizando a relação s = $\frac{3}{80}$ g entre sapos e gafanhotos, temos: g = 560 ⇒ s = $\frac{3}{80}$ ⋅ 560 = 21 → 21 sapos

c) Utilizando a relação g = $\frac{4}{25}$ c entre gafanhotos e plantas de capim, temos: g = 1.000 ⇒ $\frac{4}{25}$ c = 1.000 ⇒ c = 6.250 → 6.250 plantas de capim

d) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes identifiquem uma ação do homem quêque causa desequilíbrio ambiental, como a realização de quêqueimadas, e promovam discussões que visem identificar meios de atenuar ou eliminar tais práticas e contribuir para a preservação do meio ambiente. Os estudantes podem trazer informações, por exemplo, sobre o aumento no número de queimadas em diversas áreas do território brasileiro nos últimos anos e as consequências dessa ação para o futuro do meio ambiente.

23. alternativa b

35 − 25 = 10

$\frac{10}{5}$ = 2 → R$ 2,00 por métrometro quadrado pintado

25 + 2 ⋅ 150 = 25 + 300 = 325 → R$ 325,00

24. Como são cobrados R$ 2,00 por métrometro quadrado, mais R$ 25,00 de taxa fixa, temos:

v = 2a + 25

25. a) 150 ⋅ 7 + 110 = 1.050 + 110 = 1.160 → R$ 1.160,00

b) Como são cobrados R$ 150,00 por diária mais R$ 110,00 de taxas, temos:

v = 150d + 110

c) 860 = 150d + 110 ⇒ 860 − 110 = 150d ⇒ 750 = 150d ⇒ d = $\frac{750}{150}$ = 5 → 5 dias

26. a) De acôr-doacordo com a 2ª coluna e a 2ª linha da anotação, 216 mL.

b) De acôr-doacordo com as anotações, a á guaágua enche o recipiente a uma velocidade de 18 mL por minuto, pois $\begin{array}{c}\frac{90}{5}=\frac{216}{12}\end{array}$ = … = $\frac{810}{45}$ = 18; logo, a expressão quêque relaciona q e t é dada por q = 18t.

c) t = 60 ⇒ q = 18 ⋅ 60 ⇒ q = 1.080

Indica quêque após 60 min de gotejamento havia 1.080 mL de á guaágua no recipiente.

d) q = 4.320 ⇒ 18t = 4.320 ⇒ t = 240

240 min = $\frac{240}{60}$ h =4 h

Portanto, o reparo foi feito após 4 h.

27. Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes estabeleçam relações algébricas entre os elemêntoselementos das tabélastabelas nutricionais e a quantidade de alimento a sêrser ingerida. Eles podem elaborar, por exemplo, uma atividade relacionando a quantidade de determinado elemento da tabélatabela nutricional a cada grama de alimento ingerida.

28. alternativas a e d

a) É função, pois para cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

b) Não é função, pois o elemento −4 ∈ A está associado a dois elemêntoselementos em B: −3 e −2.

c) Não é função, pois o elemento −2 ∈ A não está associado a nenhum elemento em B.

d) É função, pois para cada elemento de A corresponde um único elemento de B.

29. • f(−3) = 2 ⋅ (−3) + 1 = −5

• f(−2) = 2 ⋅ (−2) + 1 = −3

• f(0) = 2 ⋅ 0 + 1 = 1

• f(1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 3

D(f) = {−3, −2, 0, 1};

CD(f) = {−5, −3, 0, 1, 3, 5};

Im(f) = {−5, −3, 1, 3}.

30.

a) g(3) = 3 ⋅ 3 + 5 = 14

b) g(0) = 3 ⋅ 0 + 5 = 5

c) g(10) = 3 ⋅ 10 + 5 = 35

d) g(5) = 3 ⋅ 5 + 5 = 20

• Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes sêjamsejam capazes de apresentar uma função indicando seu domínio, contradomínio e lei de formação e quêque possam determinar valores da imagem a partir da atribuição dos valores do domínio, a lei de formação.

31. alternativas b e c

a) Não corresponde, pois h(0) = 22 + 0 = 22 → 22 ∉ B.

b) Corresponde, pois f(x) = 5 − x associa para cada elemento em A um único elemento em B:

• f(−15) = 5 − (−15) = 20

• f(−8) = 5 − (−8) = 13

• f(−2) = 5 − (−2) = 7

• f(0) = 5 − 0 = 5

• f(4) = 5 − 4 = 1

• f(5) = 5 − 5 = 0

c) Corresponde, pois m(x) = x + 15 associa para cada elemento em A um único elemento em B:

• m(−15) = (−15) + 15 = 0

• m(−8) = (−8) + 15 = 7

• m(−2) = (−2) + 15 = 13

• m(0) = 0 + 15 = 15

• m(4) = 4 + 15 = 19

• m(5) = 5 + 15 = 20

d) Não corresponde, pois g (0) = −1 − 0 = −1 ∉ B.

e) Não corresponde, pois p(−8) = −(−8) = 8 ∉ B.

Página trezentos e sessenta e quatro364

32. Uma resposta possível:

33. a) • Como 2.000,00 ≤ 2.112,00, esse contribuinte é isento de cobrança do IRPF.

• Como 2.112,01 ≤ 2.500,00 < 2.826,65, a alíquota dêêssedesse contribuinte será de 7,5% com dedução de R$ 158,40:

0,075 ⋅ 2.500,00 − 158,40 = 29,10 → R$ 29,10.

• Como 2.826,66 ≤ 3.200,00 < 3.751,05, a alíquota dêêssedesse contribuinte será de 15% com dedução de R$ 370,40:

0,15 ⋅ 3.200,00 − 370,40 = 109,60 → R$ 109,60.

b) Sendo r o salário e f(r) o valor a sêrser pago, temos:

• Para R$ 2.826,66 ≤ r ≤ R$ 3.751,05, temos alíquota de 15% e R$ 370,40 de dedução:

f(r) = 0,15r − 370,40

• Para R$ 3.751,06 ≤ r ≤ R$ 4.664,68, temos alíquota de 22,5% e R$ 651,73 de dedução:

f(r) = 0,225r − 651,73

• Para r ≥ R$ 4.664,68, temos alíquota de 27,5% e R$ 884,96 de dedução:

f(r) = 0,275r − 884,96

c) f(r) = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}0,\mathrm{se\; r}⩽\mathrm{2112,00}\\ \mathrm{0,075}r-\mathrm{158,40},\mathrm{se}\mathrm{2112,01}⩽r⩽\mathrm{2826,65}\\ \mathrm{0,15}r-\mathrm{370,40},\mathrm{se}\mathrm{2826,66}⩽r⩽\mathrm{3751,05}\\ \mathrm{0,225}r-\mathrm{651,73},\mathrm{se}\mathrm{3751,06}⩽r⩽\mathrm{4664,68}\\ \mathrm{0,275}r-\mathrm{884,96},\mathrm{se\; r}>\mathrm{4664,68}\end{array}\end{array}$

d) Como f(r) = 0,275r − 884,96, se r > 4.664,68, segue quêque: f(5.000,00) = 0,275 ⋅ 5.000,00 − 884,96 = 490,04 → f(5.000) = 490,04.

Esse cálculo indica quêque um contribuinte, cuja renda mensal é R$ 5.000,00, paga R$ 490,04 de IRPF.

e) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes identifiquem algumas profissões quêque têm piso salarial, como as de professor, enfermeiro, metalúrgico, médico anestesiologista, advogado, arquiteto, contador, dentista e jornalista, e, a partir díssudisso, sêjamsejam capazes de calcular o IRPF referente ao piso da profissão escolhida. Para isso, eles podem utilizar a função cuja lei de formação foi determinada no item c.

Integrando com...

1. a) Upload, quêque significa “subir” em tradução simples, é a ação de transferir dados de um terminal local para um sistema remoto. E dáum-lôudedownload, quêque significa “baixar” em tradução simples, corresponde ao ato de transferir dados de um sistema remoto para um terminal local.

b) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes apliquem os significados de upload e dáum-lôudedownload na composição da frase. Por exemplo, eles podem escrever sobre o dáum-lôudedownload de um aplicativo e sobre o upload de fotografias do celular para a nuvem.

2. Temos as seguintes equivalências:

4 MB = 32 Mb = 32.768 kb

• Em uma velocidade de 56 kbps:

$\begin{array}{c}\frac{56}{32768}=\frac{1}{x}\end{array}$ ⇒ 56x = 32.768 ⇒ x ≃ 585 → aproximadamente 585 s

• Em uma velocidade de 10 Mbps:

$\begin{array}{c}\frac{10}{32}=\frac{1}{x}\end{array}$ ⇒ 10x = 32 ⇒ x = 3,2 → 3,2 s

3. Resposta esperada: A medição 1 está de acôr-doacordo com a regulamentação estabelecida pela Anatel, uma vez quêque a velocidade aferida de dáum-lôudedownload e upload é maior quêque a velocidade da conexão contratada. A medição 2 não está de acôr-doacordo com a regulamentação, pois a velocidade aferida de dáum-lôudedownload e upload é inferior a 80% da velocidade da conexão contratada (80% de 500 Mbps = 400 Mbps, 185 Mbps < 400 Mbps; 80% de 35 Mbps = 28 Mbps; 12,95 Mbps < 35 Mbps). A medição 3 está de acôr-doacordo com a regulamentação, pois a velocidade aferida de dáum-lôudedownload e upload corresponde a um porcentual maior quêque 80% da velocidade da conexão contratada (410 Mbps > 400 Mbps e 28,7 Mbps > 28 Mbps).

4. Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes possam aplicar funções no contexto da velocidade de conexão. Eles podem, por exemplo, utilizar a regulamentação estabelecida pela Anatel para criar um problema com a própria velocidade de conexão de suas residências. Outra possibilidade é estabelecer relação entre o custo e a velocidade de conexão de uma empresa de telefonia. Se necessário, orientar os estudantes a pesquisar em fontes confiáveis para utilização de dados reais.

5. Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes coletem dados reais sobre um plano de telefonia oferecido na região e investiguem se a norma relativa à velocidade de dáum-lôudedownload e upload está sêndosendo cumprida. Os dados e as conclusões devem sêrser expostos no relatório. Caso a conclusão seja negativa, orientar os estudantes a debater as medidas quêque podem sêrser tomadas para quêque a empresa regularize a situação.

34. a) Temos a seguinte condição:

2x − 6 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ 6 ⇒ x ≠ 3

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 3}.

b) Temos a seguinte condição:

9x + 3 > 0 ⇒ 9x > −3 ⇒ x > $\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\end{array}$

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | x > − $\frac{1}{3}$}

c) Temos a seguinte condição:

x² − 81 ≠ 0 ⇒ x² ≠ 81 ⇒ x ≠ −9 e x ≠ 9

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ −9 e x ≠ 9}.

d) Temos as seguintes condições:

• 7x + 5 ≥ 0 ⇒ 7x ≥ −5 ⇒ x ≥ $\begin{array}{c}-\frac{5}{7}\end{array}$ ≃ −^0,7

• 6x + 1 > 0 ⇒ 6x > −1 ⇒ x > $\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\end{array}$ ≃ −0,2

Página trezentos e sessenta e cinco365

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | x > −$\frac{1}{6}$}.

e) Temos as seguintes condições:

• 2x² − 800 ≠ 0 ⇒ 2x² ≠ 800 ⇒ x² ≠ 400 ⇒ x ≠ 20 e x ≠ −20

• 3x − 5 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 5 ⇒ x ≥ $\frac{5}{3}$

Assim, D(f) = { x ∈ ℝ | x ≥ $\frac{5}{3}$ e x ≠ 20}

f) Temos a seguinte condição:

$\begin{array}{c}\sqrt[3]{x}\end{array}$ ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 0}.

g) Temos a seguinte condição:

$\begin{array}{c}\frac{x-3}{x+4}\end{array}$ ≥ 0

Essa condição será satisfeita se x − 3 ≥ 0 e x + 4 > 0, ou se x − 3 ≤ 0 e x + 4 < 0.

• x − 3 ≥ 0 e x + 4 > 0:

• x − 3 ≤ 0 e x + 4 < 0:

Assim, D(f) = D₁ ∪ D₂ = {x ∈ ℝ | x < −4 ou x ≥ 3}.

35. alternativa d

a) Não tem, pois:

f(9) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{9-9}}{\sqrt[]{7\cdot 9-4}}=\frac{0}{\sqrt[]{59}}\end{array}$ = 0

Ou seja, o número 9 pertence a D(f), mas não pertence ao intervalo dado.

b) Não tem, pois:

f(0) = $\begin{array}{c}4\sqrt[]{9-0}=4\sqrt[]{9}\end{array}$ = 4 ⋅ 3 = 12

Ou seja, o número 0 pertence a D(f), mas não pertence ao intervalo dado.

c) Não tem, pois:

f($\frac{4}{7}$) = $\begin{array}{c}\frac{9-\frac{4}{7}}{7\cdot \frac{4}{7}-4}=\frac{9-\frac{4}{7}}{0}\end{array}$

A fração ôbitídaobtida não está definida, então $\frac{4}{7}$ não pertence a D(f), mas pertence ao intervalo dado.

d) Vamos obtêrobter o domínio de f. Temos as seguintes condições:

• 7x − 4 ≥ 0 ⇒ 7x ≥ 4 ⇒ x ≥ $\frac{4}{7}$

• 9 − x > 0 ⇒ −x > −9 ⇒ x < 9

Ou seja, o intervalo dado corresponde ao domínio de f.

e) Não tem, pois:

f(0) = $\frac{7\cdot 0-4}{8-0}=-\frac{1}{2}$

Ou seja, o número 0 pertence a D(f), mas não pertence ao intervalo dado.

36. a) A = $\frac{b\cdot h}{2}=\frac{20\cdot 4}{2}$ = 40 → 40 cm²

b) A(h) = $\frac{20\cdot h}{2}$ = 10h

A(h) = $\frac{20\cdot h}{2}$ ou A(h) = 10h

c) Como o triângulo está inscrito na semicircunferência de raio 10 cm, sua altura mássimamáxima será 10 cm. Assim, temos:

D(A) = {h ∈ ℝ | 0 < h ≤ 10}

37. a) Sendo y a medida do outro par de lados, temos:

2x + 2y = 48 ⇒ 2y = 48 − 2x ⇒ y = 24 − x

Assim, a quadra de jôgojogo pódepode sêrser representada por um retângulo de lados x e 24 − x.

b) Como as medidas são x e 24 − x, conforme o item a, sua área pódepode sêrser expressa por:

f(x) = x ⋅ (24 − x) ⇒ f(x) = 24x − x²

c) As medidas do retângulo quêque representa a quadra devem sêrser positivas, ou seja:

• x > 0

• 24 − x > 0 ⇒ −x > −24 ⇒ x < 24

Assim, D(f) = {x ∈ ℝ | 0 < x < 24}.

d) dimensões:

• x = 8 → 8 m

• 24 − x = 24 − 8 = 16 → 16 m área: 8 ⋅ 16 = 128 → 128 m²

38. $\frac{3}{5}$ ^{x + 90 = 150} ⇒ $\frac{3}{5}$ x = 150 − 90 ⇒ 3x = 60 ⋅ 5 ⇒ 3x = 300 ⇒ x = 100

D(V) = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 100}

39. a) Considerando quêque o número de quadrados vermelhos aumenta uma unidade de uma figura para a seguinte e o número de quadrados verdes aumenta três unidades de uma figura para a seguinte, temos quêque a figura 4 terá 4 quadrados vermelhos e 12 verdes.

b) Resposta esperada: As figuras dessa sequência são formadas por quadrados vermelhos (fileira horizontal superior) e verdes (fileira horizontal inferior) cujas quantidades correspondem, respectivamente, às sequências dos números naturais positivos e à sequência dos múltiplos positivos de 3.

c) Resposta esperada: Como em cada figura os quadrados verdes correspondem ao triplo dos vermelhos, temos:

• 133 quadrados vermelhos;

• 133 ⋅ 3 = 399 → 399 quadrados verdes.

Página trezentos e sessenta e seis366

d) Resposta esperada: A figura da posição n tem 3n quadrados verdes.

Assim:

3n = 900 ⇒ n = 300 → Figura 300

Essa figura é formada por 300 quadrados vermelhos.

e) Não, pois 31 não é múltiplo positivo de 3.

f) Resposta esperada: Conforme observado no item d, a figura da posição n tem 3n quadrados verdes. Então, a lei de formação é dada por:

f(n) = 3n

Essa função só tem sentido para valores naturais positivos de n. Assim, D(f) = {n ∈ ℕ | n > 0}.

g) Resposta esperada: Se x é a quantidade de quadrados verdes e n, a posição da figura correspondente, temos: 3n = x ⇒ n = $\frac{x}{3}$

Assim, a lei de formação é dada por g(x) = $\frac{x}{3}$ , sêndosendo x um múltiplo positivo de 3, ou seja, D(g) = {x ∈ ℕ | x é múltiplo de 3 e x > 0}.

40. a)

b)

c)

d) • Para x < 2:

• Para x ≥ 2:

41. Respostas possíveis:

a)

b)

c)

d)

e)

42. alternativas a e c

a) Representa uma função, pois cada abscissa está associada a uma única ordenada.

Página trezentos e sessenta e sete367

b) Não representa uma função, pois existe pelo menos uma abscissa associada a mais de uma ordenada.

c) Representa uma função, pois cada abscissa está associada a uma única ordenada.

d) Não representa uma função, pois existe pelo menos uma abscissa associada a mais de uma ordenada.

43. Com base nos gráficos apresentados, para determinar o domínio da função, observa-se o intervalo no eixo das abscissas em quêque a função está definida. Para determinar o conjunto imagem, observa-se o intervalo no eixo das ordenadas em quêque a função está definida. Assim, temos:

a) D(f) =]−4, 5]; Im(f) = [−1, 2]

b) D(g) = [−1, 1]; Im(g) = [2, 4]

c) D(h) =]−2, 2[; Im(h) = [1, 5[

44. a) Observando o intervalo em quêque a função está definida no eixo das abscissas, temos:
D(f) = [−4, 4]

b) Observando o intervalo em quêque a função está definida no eixo das ordenadas, temos:
Im(f) = [−4, 1]

c) Analisando os intervalos do domínio cuja função é crescente, temos: [−4, 0] e [3, 4]

d) Analisando os intervalos do domínio cuja função é decrescente, temos: [0, 1].

e) No gráfico, analisa-se o intervalo do domínio em quêque a imagem da função não varia, ou seja, [1, 3].

45. a) Resposta esperada: O consumo foi entre 10 m³ e 25 m³ de á guaágua, pois, para consumo inferior a 10 m³, o valor da fatura é de R$ 26,90, enquanto para o consumo superior a 25 m³, o valor da fatura é maior quêque R$ 101,90.

b) III

O item I não apresenta a lei de formação de f, pois, por essa lei, temos:

f(10) = 36,9 ≠ 26,9

A do item II também não é, pois a taxa de crescimento da função é alterada no ponto de abscissa x = 25, e não em x = 20.

Portanto, o item III é o correto.

c) • 9 m³: Observando o gráfico, o valor da fatura será R$ 26,90.

• 30 m³: Usando a lei de formação determinada no item b, temos:

f(30) = 8,7 ⋅ 30 − 115,6 = 145,4 → R$ 145,40

• 25 m³: Observando o gráfico, o valor da fatura será R$ 101,90.

d) Usando a lei de formação determinada no item b e sabendo quêque o consumo x está entre 10 m³ e 25 m³, temos: