UNIDADE 3
SEQUÊNCIAS E NOÇÕES DE LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO

Fontes dos dados: PURVES, bériBarry. Stop-motion. Tradução: João Eduardo Nóbrega. Porto Alegre: búkmãBookman, 2011. p. 16-23. DONATO, Veruska. Brasil produz primeiro longa-metragem latino-americano em stop-motion. G1, [s. l.], 5 fev. 2010. Disponível em: https://livro.pw/homvd. Acesso em: 26 jul. 2024.

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

1. Explique com suas palavras como funciona a produção de uma animação utilizando a técnica stop-motion.

2. Você já assistiu a alguma animação produzida com a técnica stop-motion? Qual? Se necessário, faça uma breve pesquisa.

3. Como se calculam quantos quadros são necessários para obtêrobter uma cena de animação, com certa duração, produzida com a técnica stop-motion?

Respostas nas Orientações para o professor.

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Sequências

Na abertura desta Unidade, lemos quêque é muito trabalhoso produzir animações utilizando a técnica stop-motion. No entanto, não é preciso sêrser um profissional da área para começar a produzir as próprias animações com essa técnica, pois existem aplicativos de celular quêque permitem essa experiência aos usuários.

Considere um dêêssesdesses aplicativos, configurado de maneira quêque sêjamsejam necessárias 24 fotografias para obtêrobter 1 s de animação. Assim, para obtêrobter 1 s de animação, são necessárias 24 fotografias; para 2 s, 48 fotografias; para 3 s, 72 fotografias; e assim por diante.

pôdêmosPodemos indicar a quantidade de fotografias necessárias para produzir uma animação considerando o tempo, em segundo. Observe.

$$\left(24,48,72,\dots \right)$$

PARA PENSAR

Quais são os próximos dois números desta sequência? Explique como você fez para obtê-los.

96 e 120. Resposta esperada: Os números podem sêrser obtidos calculando $72\mathrm{}+\mathrm{}24\mathrm{}=\mathrm{}96\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}96\mathrm{}+\mathrm{}24\mathrm{}=\mathrm{}120$.

As quantidades de fotografias por segundo são elemêntoselementos de um conjunto quêque estão organizados de certa maneira, formando uma sequência numérica. Cada quantidade é um elemento ou termo dessa sequência numérica quêque pódepode sêrser representado por uma letra minúscula (usualmente a letra a) e um índice, quêque indica sua posição (ou ordem) nessa sequência.

Assim, ao indicar o 1º termo por $a_1$, o 2º por $a_2$, e assim por diante, podemos representar um termo qualquer da sequência por $a_n$, quêque corresponde ao termo de ordem n ou enésimo termo dessa sequência.

Note quêque, em uma sequência numérica, podemos relacionar cada termo à sua posição. Na situação da sequência de fotografias por segundo de animação, por exemplo, relacionamos a posição 1 ao termo 24, a posição 2 ao termo 48, a posição 3 ao termo 72, e assim sucessivamente.

Desse modo, podemos definir uma sequência numérica como uma função quêque relaciona cada posição da sequência (números naturais positivos) com os respectivos valores (números reais). Uma sequência numérica pódepode sêrser finita ou infinita. Acompanhe as definições a seguir.

Acompanhe alguns exemplos de sequências numéricas finitas.

• seqüênciaSequência dos números naturais entre 20 e 25: (21, 22, 23, 24).

• seqüênciaSequência dos números quadrados perfeitos menóresmenores quêque 40: (1, 4, 9, 16, 25, 36).

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Observe alguns exemplos de sequências numéricas infinitas.

• seqüênciaSequência dos números naturais: $\left(0,1,2,3,4,\dots \right)$.

• seqüênciaSequência dos múltiplos positivos de $10:\left(10,20,30,40,50,\dots \right).$

• seqüênciaSequência dos números inteiros maiores quêque $-8:\left(-7,-6,-5,-4,-3,\dots \right)$.

PARA PENSAR

Quais são o domínio e o contradomínio da função f no caso de sequências numéricas finitas e de sequências numéricas infinitas?

Sequências numéricas finitas: o domínio é dado por $A=\left\{1,2,3,\dots ,n\right\}$, ou seja, A é o conjunto dos n primeiros números naturais positivos, e o contradomínio é o conjunto dos números reais. Sequências numéricas infinitas: o domínio é dado por ${\mathbb{N}}^{*}=\left\{1,2,3,\dots ,\right\}$, ou seja, é o conjunto dos números naturais positivos, e o contradomínio é o conjunto dos números reais.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. escrêevaEscreva os três primeiros termos da sequência definida em cada item.

a) $a_n=10n+1$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}$.

b) $a_1\mathrm{}=\mathrm{}6\mathrm{}$ e $\mathrm{}{a}_n\mathrm{}=\mathrm{}{a}_{n-1}\mathrm{}-\mathrm{}5,\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{}\mathrm{n}\mathrm{}\in \mathrm{}\mathbb{N}\mathbb{}\mathrm{e}\mathrm{}n\ge \mathrm{}2$.

Resolução

a) A igualdade $a_n=10n+1$ fornece uma expressão para determinarmos um termo qualquer dessa sequência. Para isso, substituímos n pêlospelos valores 1, 2 e 3. Assim:

• $n=1\to a_1\mathrm{}=10\cdot 1+1=10+1=11$

• $n=2\to a_3=10\cdot 2+1=20+1=21$

• $n=3\to a_3=10\cdot 3+1=30+1=31$

Portanto, os três primeiros termos dessa sequência são 11, 21 e 31.

Note quêque a expressão de a _n é equivalente à lei de formação da função $f:\mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}\mathbb{}\to \mathbb{}\mathbb{R}$, tal quêque $f\left(n\right)=10n+1$.

Além díssudisso, com o termo geral da sequência é possível obtêrobter qualquer termo, sem necessidade de saber os demais. Por exemplo, o termo $a_5$ é obtídoobtido substituindo n por 5 na lei de formação. Observe.

• $n=5\to a_5=10\cdot 5+1=50+1=51$

b) Nesse caso, o elemento $a_1$ já é dado, e os elemêntoselementos seguintes podem sêrser obtidos a partir do termo geral $a_n=a_{n-1}-5$. Assim:

• $n=2\to a_2=a_{2-1}-5=a_1-5=6-5=1$

• $n=3\to a_3=a_{3-1}-5=a_2-5=1-5=-4$

Portanto, os três primeiros termos dessa sequência são $6,\mathrm{}1\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}-4.$

Note quêque para obtêrobter qualquer termo a _n dessa sequência, com $n\ge 2$, é preciso conhecer o termo anterior.

PARA PENSAR

No item b, a sequência ($6,1,-4,\dots )$ pódepode sêrser definida de maneira não recursiva? Justifique.

Resposta esperada: Sim, pelo termo geral $a_n=-5n+11,\mathrm{com\; n}\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}.$

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R2. Analise a sequência a seguir, em quêque cada termo, a partir do 2º, é obtídoobtido adicionando 6 unidades ao termo anterior.

($4,10,16,22,28,\dots )$

a) Defina essa sequência de maneira não recursiva.

b) Determine o 15º termo dessa sequência.

Resolução

a) Com base nas informações do enunciado, podemos expressar os termos dessa sequência da seguinte maneira:

$$•n=1\to a_1=4$$

$$•n=2\to a_2=a_1+6=4+6=4+\mathit{}1\cdot 6=10$$

$$•n=3\to a_3=a_2+6=4+6+6=4+\mathit{}2\cdot 6=16$$

$$•n=4\to a_4=a_3+6=4+6+6+6=4+\mathit{}3\cdot 6=22$$

$$•n=5\to a_5=a_4+6=4+6+6+6+6=4+\mathit{}4\cdot 6=28$$

⋮

Assim, observando as expressões obtidas, é possível reconhecer padrões para definir essa sequência, de maneira não recursiva, por meio do termo geral:

$a_n=4+\left(n-1\right)\cdot 6$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}$

b) Considerando $n=15$, temos:

$$a_{15}=4+\left(15-1\right)\cdot 6=4+14\cdot 6=4+84=88$$

Portanto, o 15º termo dessa sequência é 88.

ATIVIDADES

1. Anteriormente, informamos a quantidade de quadros de cena necessários para produzir uma animação utilizando a técnica stop-motion. De acôr-doacordo com os dados apresentados na abertura, determine quantos quadros são necessários para obtêrobter uma animação de 45 s.

cerca de 1.080 quadros

2. escrêevaEscreva os cinco primeiros termos da sequência definida em cada item.

a) $a_n=10-3n,\mathrm{com\; n}\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}.$

$$\left(7,4,1,-2,-5,\dots \right)$$

b) $a_1=-8$ e $a_n=a_{n-1}-6$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}$ e $n\ge 2$.

$$\left(-8,-14,-20,-26,-32,\dots \right)$$

c) $a_n=2n+\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}.$

$$\left(\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{9}{4}\end{array},\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{17}{4}\end{array},\frac{25}{4},\begin{array}{c}\frac{33}{4}\end{array},\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{41}{4}\end{array},\mathrm{}\dots \mathrm{}\right)$$

3. Os termos $a_{n-1}$, $a_n$ e $a_{n+1}$, nessa ordem, são denominados termos consecutivos de uma sequência, sêndosendo $a_{n-1}$ o antecessor de $a_n$e $a_{n+1}$ o sucessor de $a_n$.

Em relação à sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) escrêevaEscreva três termos consecutivos dessa sequência.

3. a) Algumas respostas possíveis:

1, 2 e 4; 2, 4 e 8; 4, 8 e 16; 8, 16 e 32.

b) Qual é o termo sucessor de 16? E qual é o termo antecessor de 4?

32; 2

4. A professora de Matemática propôs aos estudantes quêque escrevessem os termos de uma sequência definida por $a_n=n^2-4n+3$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}$ e $1\le n\le 5$. Observe a resposta de alguns estudantes.

$$\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{e}:\mathrm{}\left(0,\mathrm{}1,\mathrm{}0,\mathrm{}8,\mathrm{}3\right)$$

$$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{o}:\mathrm{}\left(8,\mathrm{}3,\mathrm{}0,\mathrm{}-1,\mathrm{}0\right)$$

$$\mathrm{F}\mathrm{l}\mathrm{á}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}:\mathrm{}\left(1,\mathrm{}2,\mathrm{}3,\mathrm{}4,\mathrm{}5\right)$$

$$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}:\mathrm{}\left(0,\mathrm{}-1,\mathrm{}0,\mathrm{}3,\mathrm{}8\right)$$

a) A sequência foi definida pela professora de maneira recursiva ou de maneira não recursiva?

Justifique.

4. a) Resposta esperada: Não recursiva, pois, para determinar um termo qualquer da sequência, não é necessário conhecer o valor de um ou mais termos anteriores.

b) Classifique essa sequência em finita ou infinita.

finita

c) Qual estudante escreveu corretamente todos os termos dessa sequência?

Marcela

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5. Analise a sequência de figuras construídas com palítospalitos.

a) Para cada figura apresentada, escrêevaescreva a quantidade de palítospalitos utilizados e a quantidade de quadrados obtidos.

5. a) figura 1: 4 palítospalitos e 1 quadrado; figura 2: 7 palítospalitos e 2 quadrados; figura 3: 10 palítospalitos e 3 quadrados

b) Desenhe a próxima figura dessa sequência.

• Quantos palítospalitos são necessários para compor essa figura? Quantos quadrados tem essa figura?

13 palítospalitos; 4 quadrados

5. b) Resposta esperada:

c) Explique como pódepode sêrser construída uma figura dessa sequência a partir da figura anterior.

5. c) Resposta esperada: A partir da figura 2, acrescentam-se três palítospalitos à figura anterior, de maneira a obtêrobter um quadrado a mais do quêque essa figura anterior possui.

d) Represente a sequência numérica quêque expresse, ordenadamente, a quantidade de palítospalitos necessária para construir cada figura da sequência apresentada. Depois, defina essa sequência numérica de maneira não recursiva.

5. d) (4, 7, 10, ...).

Resposta esperada: $a_n=3n+1,\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{}\mathrm{n}\mathrm{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}.$

6. Observe a sequência representada a seguir e, depois, defina-a de duas maneiras: uma recursiva e outra não recursiva.

$$\left(0,13,26,39,52,\dots \right)$$

6. Resposta esperada: Recursiva: $a_1=0$ e $a_n=a_{n-1}+13,\mathrm{}$ com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}\mathbb{}\mathrm{e}n\ge 2;$ não recursiva: $a_n=13\left(n-1\right)$ ou $a_n=13n-13,$ com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}.$

7. Observe os números a seguir e faça o quêque se pede em cada item.

a) Agora, responda: quais dêêssesdesses números são termos da sequência definida por $a_n=9\left(n-1\right)-5$, com $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{*}$?

238 e 355

b) Determine a posição, nessa sequência, dos números quêque você indicou como resposta no item a.

238: 28ª posição; 355: 41ª posição

8. Leia o texto a seguir.

MATEMÁTICA NA HISTORIA

Com base nesse problema, Fibonacci considerou as seguintes hipóteses:

• os casais de coelhos tornam-se adultos e começam a se reproduzir no segundo mês de vida;

• todos os meses, cada casal de coelho adulto gera outro casal;

• no início, há apenas um casal de coelhos e nenhum coelho morre durante o ano.

Analise o esquema (imagem sem escala; cores-fantasia).

a) Sabendo quêque a quantidade de casais de coelhos em cada um dos meses determina os primeiros termos da sequência de Fibonacci, quais são os cinco primeiros termos dessa sequência?

(1, 1, 2, 3, 5,...)

b) Qual padrão pódepode sêrser observado, em relação à quantidade total de casais de coelhos, a partir do 3º mês?

8. b) Resposta esperada: A partir do 3º mês, a quantidade de casais de coelhos corresponde à soma das quantidades de casais nos dois meses anteriores.

c) Obtenha a quantidade de casais de coelhos até o 12º mês e responda ao problema propôstoproposto por Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e 144; 144 casais de coelhos

d) De acôr-doacordo com o padrão indicado no item b, defina, de maneira recursiva, a sequência de Fibonacci.

8. d) Resposta esperada: $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=a_2=1\\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\end{array}\end{array},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}\mathbb{}\mathrm{e}n\ge 3$.

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Progressão aritmética (PA)

Observe as distâncias quêque um treinador programou para certa pessoa correr, sabendo quêque ela já está acostumada com a prática de atividades físicas.

pôdêmosPodemos indicar a distância, em métrometro, quêque essa pessoa deve correr por semana nesse treinamento por meio da sequência numérica a seguir.

$$\left(4.500,5.000,5.500,6.000,6.500,7.000,7.500,8.000\right)$$

Note quêque, a partir do 2º termo dessa sequência, a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é um valor constante.

$$a_2-a_1=5.000-4.500=500$$

$$a_3-a_2=5.500-5.000=500$$

$$a_4-a_3=6.000-5.500=500$$

$$⋮$$

$$a_8-a_7=8.000-7.500=500$$

PARA PENSAR

Explique como é possível obtêrobter um termo dessa sequência a partir do seu antecessor.

Resposta esperada: A partir do 2º termo dessa sequência, um termo qualquer pódepode sêrser obtídoobtido adicionando-se 500 ao seu antecessor.

Sequências com características como a da situação apresentada são denominadas progressões aritméticas (PA).

A partir da definição de PA, podemos concluir quêque:

$$a_n-a_{n-1}=r\Rightarrow a_n=a_{n-1}+r$$

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Analise alguns exemplos de PA.

• $\left(16,13,10,7,4,\dots \right)$

Nessa PA, note quêque um termo é sempre maior quêque seu sucessor. Nela, temos $r=13-16=10-13=7-10=4-7=-3$. Portanto, essa PA é decrescente.

• $\left(-8,-8,-8,-8,-8,\dots \right)$

Nessa PA, note quêque um termo é sempre igual ao seu sucessor. Nela, temos $r=-8-\left(-8\right)=0$. Portanto, essa PA é constante.

• $\left(5,14,23,32,41,\dots \right)$

Nessa PA, note quêque um termo é sempre menor quêque seu sucessor. Nela, temos $r=14-5=23-14=32-23=41-32=9$. Portanto, essa PA é crescente.

Também podemos estabelecer uma relação entre três termos consecutivos de uma

PA: $a_{n-1},a_{n}e{a}_{n+1}.$ Acompanhe.

$$a_n=a_{n-1}+r\Rightarrow a_n-a_{n-1}=r$$

$$a_{n+1}=a_n+r\Rightarrow a_{n+1}-a_n=r$$

Então:

$$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n\Rightarrow 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\Rightarrow a_n=\begin{array}{c}\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\end{array}$$

DICA

pôdêmosPodemos representar uma PA de razão r e termos desconhecidos de diferentes maneiras, por exemplo:

• para $a_1=x$, temos $\left(x,x+r,x+2r,\dots \right);$

• para $a_1=x-r$, temos $\left(x-r,x,x+r,\dots \right).$

Termo geral de uma PA

Considere (a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a ₅, ..., a _{n − 1}, a _n, a _{n + 1}, …) uma PA infinita de razão r. Como cada termo, a partir do 2º, pódepode sêrser obtídoobtido adicionando-se r ao termo anterior, temos:

a₁ = a₁ + 0r

a₂ = a₁ + 1r

a₃ = $\underset{a_1+1r}{\underbrace{a_2}}$ + r ⇒ a₃ = a₁ + 2r

a₄ = $\underset{a_1+2r}{\underbrace{a_3}}$+ r ⇒ a₄ = a₁ + 3r

⋮

a_n = a_n − ₁ + r ⇒ a_n = a₁ + (n − 1)r

⋮

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique a relação quêque pódepode sêrser observada entre os elemêntoselementos em destaque em cada expressão apresentada.

Resposta esperada: O fator quêque multiplica a razão da PA (r) é uma unidade menor quêque o número quêque indica o índice do termo correspondente da PA.

Note quêque podemos expressar qualquer termo de uma PA em função de a ₁ e r.

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No início da Unidade, estudamos quêque uma sequência numérica pódepode sêrser entendida como uma função. Como a PA é um caso particular de sequência numérica, também podemos compreender uma PA como uma função. Com isso, o termo geral da PA é a lei de formação da função, quêque tem um comportamento linear. Observe.

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a_n = a₁ + n ⋅ r − r ⇒ a _n = r ⋅ n + (a₁ − r)

Por exemplo, em relação à PA (5, 9, 13, 17, ...), em quêque a₁ = 5 e r = 9 − 5 = 4, temos:

$$f\left(n\right)=4\cdot n+\left(5-4\right)\Rightarrow f\left(n\right)=4n+1$$

Portanto, os termos dessa PA podem sêrser obtidos por meio da função f: ℕ* → ℝ, definida por f(n) = 4n + 1.

• f(1) = 4 ⋅ 1 + 1 = 5

• f(2) = 4 ⋅ 2 + 1 = 9

• f(3) = 4 ⋅ 3 + 1 = 13 …

Note quêque a função f se assemelha à função afim g: ℝ → ℝ, definida por g(x) = 4x + 1, de modo quêque f apresenta um comportamento linear.

PARA PENSAR

Calcule g(1), g(2) e g(3) e compare com os valores de f(1), f(2) e f(3), respectivamente. O quêque é possível concluir?

g(1) = 5, g(2) = 9, g(3) = 13. Resposta esperada: os valores de g(x) são iguais a f(n) quando x ∈ ℕ*.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Dada a PA (26, 34, 42, 50, ...), resôuvaresolva as kestõesquestões a seguir.

a) Calcule a razão r da PA.

b) Classifique a PA em decrescente, constante ou crescente.

c) Determine o 37º termo da PA.

Resolução

a) Para determinar a razão da PA, podemos calcular a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer. Por exemplo:

r = a₄ − a₃ = 50 − 42 = 8

Portanto, a razão da PA é igual a 8.

b) Como nessa PA a razão é positiva (r > 0), então a PA é crescente.

c) Como a₁ = 26, r = 8 e n = 37, segue quêque:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₃₇ = 26 + (37 − 1) ⋅ 8 ⇒ a₃₇ = 26 + 36 ⋅ 8 = 26 + 288 = 314

Portanto, o 37º termo da PA é 314.

R4. escrêevaEscreva os quatro primeiros termos de uma PA em quêque a₆ = −6 e a₁₅ = 21.

Resolução

pôdêmosPodemos escrever a₁₅ em função de a₆ e de r:

a₁₅ = a₁ + (15 − 1) ⋅ r ⇒ a₁₅ = a₁ + 14r ⇒ a₁₅ = + 9r ⇒ a₁₅ = a₆ + 9r

Assim, determinamos a razão da PA:

a₁₅ = a₆ + 9r ⇒ 21 = −6 + 9r ⇒ 9r = 27 ⇒ r = 3

Em seguida, calculamos o valor de a₁:

a₆ = a₁ + 5r ⇒ −6 = a₁ + 5 ⋅ 3 ⇒ a₁ = −21

Por fim, determinamos os quatro primeiros termos dessa PA:

• a₁ = −21

• a₂ = −21 + 3 = −18

• a₃ = −18 + 3 = −15

• a₄ = −15 + 3 = −12

Portanto, os quatro primeiros termos dessa PA são −21, −18, −15 e −12.

PARA PENSAR

Com procedimento análogo ao apresentado, explique como é possível escrever a₂₀ em função de a₇ e de r.

Resposta esperada: a₂₀ = a₇ + 13r.

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R5. (Enem/MEC) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar póstespostes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, quêque inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os póstespostes, até quêque o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.

Se a prefeitura pódepode pagar, no mássimomáximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, o maior valor quêque poderá gastar com a colocação dêêssesdesses póstespostes é

a) R$ 512.000,00.

b) R$ 520.000,00.

c) R$ 528.000,00.

d) R$ 552.000,00.

e) R$ 584.000,00.

Resolução

Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça;

• os próximos póstespostes serão colocados sempre a uma distância de 20 metros do anterior;

• o último poste será colocado a 1.380 metros da praça;

• cada poste custa, no mássimomáximo, R$ 8.000,00.

2ª ELABORAR UM PLANO

Primeiro, é necessário obtêrobter a quantidade de póstespostes quêque serão colocados na estrada. Nesse caso, podemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA, uma vez quêque as distâncias, em métrometro, dos póstespostes quêque serão instalados até a praça formam a PA (80, 100, 120, ..., 1.380).

Depois, temos de calcular o valor total, mássimomáximo, quêque a prefeitura poderá gastar multiplicando a quantidade de póstespostes ôbitídaobtida por R$ 8.000,00, quêque corresponde ao preêçopreço mássimomáximo a sêrser pago por poste.

3ª EXECUTAR O PLANO

Na PA (80, 100, 120, ..., 1.380), temos a₁ = 80, r = 20 e a_n = 1.380. Assim:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ 1.380 = 80 + (n − 1) ⋅ 20 ⇒ 1.380 = 80 + 20n − 20 ⇒ 20n = 1.320 ⇒ n = 66

Agora, calculamos o maior valor quêque a prefeitura poderá gastar com a instalação de todos os póstespostes:

66 ⋅ 8.000 = 528.000; ou seja, R$ 528.000,00.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido, podemos, inicialmente, usar a fórmula do termo geral de uma PA para a ₁ = 80, r = 20 e n = 66, e verificar se a ₆₆ é igual a 1.380:

a _n = a ₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₆₆ = 80 + (66 − 1) ⋅ 20 = 80 + 1.300 ⇒ a₆₆ = 1.380

Depois, podemos utilizar a relação entre multiplicação e divisão como operações invérsainversas. Observe.

Portanto, a alternativa c é a correta.

PARA PENSAR

Pense em outra maneira de fazer a verificação dos resultados desta atividade.

Resposta esperada: Considerando a₁ = 80, a₆₆ = 1.380 e n = 66, pode-se verificar quêque r = 20. Em seguida, proceder de maneira análoga à apresentada.

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R6. Determine a quantidade de termos da PA finita

(102, 89, 76, 63, ..., −340).

Resolução

Nessa PA, temos:

r = 89 − 102 = −13

Como a₁ = 102 e considerando a_n = −340, segue quêque:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ −340 = 102 + (n − 1) ⋅ (−13) ⇒ −340 = 102 − 13n + 13 ⇒ n = 35

Portanto, essa PA possui 35 termos.

R7. Um aplicativo de transporte privádoprivado iniciou seu serviço em um pequeno município e estima quêque o número de corridas, a partir do primeiro mês, cresça mensalmente de acôr-doacordo com a PA:

(1.500, 1.775, 2.050, ...).

a) Determine a razão dessa PA.

b) Defina a função f quêque descreve essa PA, de maneira quêque a₁ = f (1), a₂ = f (2), a₃ = f (3), e assim sucessivamente.

c) Em relação à função definida no item b, construa o gráfico de f, determine f (12) e explique o quêque representa o resultado obtídoobtido no contexto da situação apresentada.

Resolução

a) A razão dessa PA é dada por:

r = 1.775 − 1.500 = 275

Portanto, a razão dessa PA é 275.

b) O termo geral dessa PA, em quêque a₁ = 1.500 e r = 275, é dado por:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a_n = 1.500 + (n − 1) ⋅ 275 ⇒ a_n = 275n + 1.225

Portanto, essa PA pódepode sêrser descrita pela função f: ℕ* → ℝ, definida por f (n) = 275n + 1.225.

c) Como o domínio da função f é o conjunto dos números naturais positivos, no gráfico de f não podemos ligar os pontos indicados. Acompanhe.

Calculando f(12), obtemos:

f (12) = 275 ⋅ 12 + 1.225 = 4.525

Assim, f(12) = 4.525 e a₁₂ = 4.525. O 12º termo da PA representa a quantidade estimada de corridas a sêrser realizadas no 12º mês de serviço do aplicativo, nesse caso, 4.525 corridas.

DICA

No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.

ATIVIDADES

9. Verifique quais sequências a seguir são progressões aritméticas. Justifique sua resposta.

a) (11, 14, 21, 24, 31)

b) (70, 88, 106, 124, 142)

c) (15, 7, −1, −9, −17)

d) (2,5; 2,5; 2,5; 2,5; 2,5)

b, c, d. Resposta nas Orientações para o professor.

• Agora, para cada progressão aritmética, calcule a razão r e classifique-a em decrescente, constante ou crescente.

b: r = 18, crescente; c: r = −8, decrescente; d: r = 0, constante

10. escrêevaEscreva uma PA de cinco termos, tal quêque:

a) a₁ = −2 e r = 7;

(−2, 5, 12, 19, 26)

b) a₃ = 13 e r = 21;

(−29, −8, 13, 34, 55)

c) a₁ = 9 e r = $\frac{1}{3}$;

$\left(9,\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{28}{3}\end{array},\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{29}{3}\end{array},\mathrm{}10,\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{31}{3}\end{array}\right)$

d) a₅ = −3 e r = 0;

(−3, −3, −3, −3, −3)

e) a₄ = 28 e r = −4;

(40, 36, 32, 28, 24)

f) a₂ = 7 e r = −9.

(16, 7, −2, −11, −20)

Página cento e dezessete117

11. Qual das alternativas a seguir apresenta uma PA decrescente? Justifique.

a) a₁ = 22 e a_n = a_{n − 1} + 8, com n ∈ ℕ e n ≥ 2

b) a_n = 9n − 2, com n ∈ ℕ*

c) a₁ = 16 e a_n = a_{n − 1} − 6, com n ∈ ℕ e n ≥ 2

d) a_n = −n², com n ∈ ℕ*

Alternativa c, pois apresenta uma PA de razão negativa r = −6.

12. escrêevaEscreva os três primeiros termos de uma PA, tal quêque a₈ = 47 e a₁₁ = 65.

5, 11 e 17

13. Determine a PA de seis termos cuja soma dos três primeiros termos é 12 e dos três últimos é −15.

(7, 4, 1, −2, −5, −8)

14. Identifique quais dos números no qüadroquadro a seguir são termos de uma PA em quêque a razão é 7 e a₂₄ = 73.

17, −60 e 220

15. Determine a área do trapézio representado cujas medidas, em centímetro, da base menor, da altura e da base maior, respectivamente, formam uma PA.

25 cm²

16. Qual é o 72º termo da PA

(−20, −27, −34, −41, ...)?

−517

17. Um buffet possui mesas idênticas nas quais é possível posicionar quatro cadeiras em seu entorno. Para acomodar grupos com mais de quatro convidados, o buffet junta mesas em fileiras e disponibiliza as cadeiras no entorno, conforme o exemplo. Quantas mesas devem sêrser juntadas em fileiras, de acôr-doacordo com o padrão apresentado, para quêque sêjamsejam posicionadas exatamente 26 cadeiras no entorno?

12 mesas

18. Em cada item, determine a quantidade de termos da PA finita.

a) (3, 11, 19, ..., 171)

22 termos

b) (10, 29, 48, ..., 1.435)

76 termos

c) (286, 244, 202, ..., −302)

15 termos

19. Em 2023, uma empresa operadora de internet atendia 54 municípios pelo serviço de fibra óptica. Em um plano de expansão, esse serviço foi ampliado de maneira quêque resultou em um aumento anual de uma mesma quantidade de municípios até 2026. Analise o gráfico e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Determine a quantidade de municípios atendidos pelo serviço de fibra óptica nos anos de 2024 e 2025.

2024: 99 municípios; 2025: 144 municípios

b) Considerando quêque, com a ampliação dêêssedesse serviço, o aumento da quantidade de municípios atendidos ocorra da mesma maneira nos próximos anos, em quêque ano a empresa ultrapassará 500 municípios atendidos pelo serviço de fibra óptica?

2033

c) Explique a um colega como você rêzouvêoresolveu o item b. dêz-crevaDescreva a ele como você pensou, todas as etapas quêque realizou e os cálculos quêque fez. Do mesmo modo, preste atenção à explicação do colega sobre a resolução quêque ele fez. Ao final, se as estratégias de vocês forem diferentes, comparem-nas e identifiquem pontos positivos de cada uma.

Resposta pessoal.

Página cento e dezoito118

20. Junte-se a um colega, leiam as informações a seguir e resolvam as kestõesquestões.

Interpolar ou inserir meios aritméticos significa determinar números reais entre dois números dados (extremos), formando uma sequência numérica quêque seja uma PA. Por exemplo, ao interpolar cinco meios aritméticos entre −10 e 14, obtemos a PA (−10, −6, −2, 2, 6, 10, 14).

a) Qual é a razão da PA ôbitídaobtida na interpolação apresentada? Expliquem como determinar essa razão a partir dos extremos e da quantidade de termos dessa PA.

r = 4. Resposta esperada: Como devem sêrser interpolados cinco termos entre −10 e 14, a PA ôbitídaobtida deve ter sete termos, em quêque a ₁ = −10 e a ₇ = 14. Assim, basta fazer a ₇ = −10 + (7 − 1) ⋅ r ⇒ 14 = −10 + 6r ⇒ r = 4.

b) Interpolem oito meios aritméticos entre 77 e −31.

(77, 65, 53, 41, 29, 17, 5, −7, −19, −31)

c) Quantos meios aritméticos se deve interpolar entre 19 e 264 para quêque a razão da PA ôbitídaobtida seja igual a 35?

6 meios aritméticos

21. Quantos múltiplos de 12 existem entre os números:

a) 45 e 290?

21 múltiplos

b) 105 e 550?

37 múltiplos

c) 640 e 1.146?

42 múltiplos

22. Vanessa representou graficamente os primeiros termos de uma PA. Observe.

DICA

No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.

Com base nesse gráfico, resôuvaresolva as kestõesquestões e justifique.

Respostas nas Orientações para o professor.

a) Classifique essa PA em decrescente, constante ou crescente.

crescente

b) O número 106 é um termo dessa PA?

Sim, pois a ₂₁ = 106.

c) Em relação a essa PA, determine:

• o 50º termo.

338

• o menor termo positivo.

2

d) Defina a função afim f quêque descreve essa PA, de maneira quêque a₁ = f(1), a₂ = f(2), a₃ = f(3), e assim sucessivamente.

f: ℕ* → ℝ, tal quêque f(n) = 8n − 62

23. Considere a função f: ℕ* → ℝ, definida por f(n) = −3n + 1.

a) escrêevaEscreva os primeiros termos da PA quêque essa função descreve, de maneira quêque a₁ = f(1), a₂ = f(2), a₃ = f(3), e assim sucessivamente. Qual é o 1º termo e a razão dessa PA?

(−2, −5, −8, ...); a₁ = −2 e r = −3

b) Construa o gráfico de f no plano cartesiano.

Resposta nas Orientações para o professor.

24. Uma motocicleta nova, de cértocerto modelo, custa R$ 15.800,00. Estima-se quêque o preêçopreço, em reais dessa motocicleta, nos primeiros anos de uso, se desvalorize de acôr-doacordo com os termos da PA (15.175, 14.550, ..., 10.800).

a) De acôr-doacordo com essa PA, o preêçopreço dessa motocicleta, em reais, pódepode sêrser estimado até quantos anos de uso?

8 anos de uso

b) Defina a função f quêque descreve essa PA, de maneira quêque a₁ = f(1), a₂ = f(2), a₃ = f(3), e assim sucessivamente.

f: A → ℝ, com A = {n ∈ ℕ | 1 ≤ n ≤ 8}, tal quêque f(n) = −625n + 15.800

c) Em um plano cartesiano, construa o gráfico de f quêque você definiu no item anterior.

Resposta nas Orientações para o professor.

25. escrêevaEscreva uma PA infinita indicando os primeiros termos dela. Depois, troque a PA quêque você escreveu com a de um colega para quêque ele defina a função quêque a descreve e construa seu gráfico, enquanto você faz o mesmo com a PA quêque recebeu. Juntos, confiram a resolução.

Elaboração do estudante.

26. De acôr-doacordo com uma pesquisa realizada por certa companhia de TevêTV por assinatura, estimou-se uma redução constante de 1.620 domicílios com acesso a esse tipo de serviço nos próximos meses em 2025. Analise a tabélatabela.

Estimativa de domicílios com acesso à TevêTV por assinatura de certa companhia, 2025

Fonte: Dados fictícios.

a) escrêevaEscreva o termo geral de uma PA quêque expresse a quantidade mensal de domicílios com acesso à TevêTV por assinatura nessa companhia, considerando maio de 2025 o primeiro mês, junho de 2025 o segundo mês, e assim por diante.

a_n = 125.550 + (n − 1) ⋅ (−1.620) ou a_n = −1.620n + 127.170

b) Estime a quantidade de domicílios com acesso à TevêTV por assinatura nessa companhia em dezembro de 2025.

114.210 domicílios

Página cento e dezenove119

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Em um campeonato de empilhamento de copos, depois de definida a quantidade de copos em determinada rodada, os competidores devem realizar o empilhamento de modo quêque, no final, seja possível observar o seguinte padrão: a 1ª camada (mais acima) deve ter 1 copo e, a partir dela, a quantidade de copos da próxima camada (imediatamente abaixo) deve ter um copo a mais quêque na camada anterior.

Nessa competição, quantos copos são necessários para formárformar um empilhamento com 10 camadas? Pense em como você resolveria essa questão e comente com os côlégascolegas.

Agora quêque você já tentou encontrar uma resposta, analise a solução proposta a seguir.

A estratégia utilizada no cálculo da soma dos termos da PA na situação apresentada pódepode sêrser descrita por meio da propriedade a seguir.

PARA PENSAR

Em relação à propriedade apresentada, mostre quêque a soma dos termos equidistantes a ₂ e a _{n − 1} é igual à soma dos extremos a ₁ e a _n de uma PA finita.

Resposta esperada: Como a₂ = a₁ + r e a_n = a_{n − 1} + r, tem-se quêque: a₂ + a_{n − 1} = (a₁ + r) + a_{n − 1} = a₁ + (a_{n − 1} + r) = a ₁ + a_n.

Página cento e vinte120

Com base nessa propriedade, podemos deduzir uma expressão para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA, indicada por S_n.

1. Inicialmente, escrevemos a soma dos n primeiros termos da PA de duas maneiras:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n − 2} + a_{n − 1} + a_n (I)

S_n = a_n + a_{n − 1} + a_{n − 2} +... + a₃ + a₂ + a₁ (II)

2. Adicionamos as igualdades I e II membro a membro:

3. Na adição da etapa anterior, são obtidas n parcelas iguais a (a₁ + a_n). Assim:

2S_n = n ⋅ (a₁ + a_n) ⇒ S_n = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$

Em relação à situação apresentada, podemos determinar a quantidade de copos necessários para realizar um empilhamento com 20 camadas, por exemplo, calculando a soma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 18, 19, 20) utilizando a expressão deduzida:

S_n = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$ ⇒ S₂₀ = $\begin{array}{c}\frac{20\cdot \left(a_1+a_{20}\right)}{2}\end{array}$ ⇒ S₂₀ = $\begin{array}{c}\frac{20\cdot \left(1+20\right)}{2}\end{array}$= 210

Portanto, são necessários 210 copos para formárformar um empilhamento com 20 camadas.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R8. Determine a soma dos 40 primeiros termos da PA (46, 55, 64, ...).

Resolução

Nessa PA, temos a₁ = 46 e r = 55 − 46 = 9.

Assim, inicialmente, determinamos a₄₀:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₄₀ = 46 + (40 − 1) ⋅ 9 = 46 + 351 ⇒ a₄₀ = 397

Em seguida, calculamos a soma dos 40 primeiros termos dessa PA:

S_n = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$ ⇒ S₄₀ = $\begin{array}{c}\frac{40\cdot \left(46+397\right)}{2}\end{array}$ = $\frac{40\cdot 443}{2}$ = 8.860

Portanto, a soma dos 40 primeiros termos dessa PA é igual a 8.860.

Página cento e vinte e um121

R9. A soma dos 30 primeiros termos de uma PA é −2.145. Determine o 24º termo dessa PA, sabendo quêque a₁ = 1.

Resolução

Das informações apresentadas no enunciado, temos quêque:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₃₀ = 1 + (30 − 1) ⋅ r ⇒ a₃₀ = 1 + 29r

Assim:

$S_n$ = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$ ⇒ −2.145 = $\frac{30\cdot \left(1+\stackrel{1+29r}{\overbrace{a_{30}}}\right)}{2}$ ⇒ −2.145 = $\frac{30\cdot \left(2+29r\right)}{2}$⇒ −2.145 = 30 + 435r ⇒ r = −5

Por fim, determinamos o 24º termo dessa PA:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₂₄ = 1 + (24 − 1) ⋅ (−5) ⇒ a₂₄ = −114

Portanto, o 24º termo dessa PA é −114.

R10. Após a consultoria de um agrônomo, certa fazenda vai adotar 12 novas técnicas de plantio e cultivo, visando aumentar a produção de soja. Em 2026, essas técnicas serão aplicadas em 80 ha da área plantada, aumentando gradativamente até cobrir todos os 800 ha de plantio da fazenda em 2035. Observe a projeção da produção de soja nessa fazenda para os próximos anos.

Considerando o crescimento na produção de soja constante até 2035, quantas sacas de soja serão produzidas no período de 2026 a 2035?

Resolução

Note quêque, no enunciado da atividade, há dados quêque não são essenciais para resolver a quêquestão. Então, inicialmente, vamos selecionar as informações necessárias para determinar a quantidade de soja que deverá sêrser produzida no período de 2026 a 2035.

• A produção de soja em 2026, 2027, 2028 e 2029 está projetada em 108.000 sacas, 110.000 sacas, 112.000 sacas e 114.000 sacas, respectivamente.

• O aumento na produção de um ano para o seguinte será constante.

• O aumento na produção deve ocorrer de 2026 até 2035.

Com base nessas informações, podemos representar a produção anual de sacas de soja por uma PA finita em quêque r = 110.000 − 108.000 = 2.000, a ₁ = 108.000 e o último termo é a ₁₀, quêque corresponde à projeção de produção de soja em 2035.

Assim, calculamos inicialmente a projeção de produção de soja em 2035. Acompanhe.

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₁₀ = 108.000 + (10 − 1) ⋅ 2.000 ⇒ a₁₀ = 126.000

Para determinar o total de sacas de soja produzido no período considerado, calculamos a soma dos termos da PA (108.000, 110.000, 112.000, 114.000, ..., 126.000). Assim, obtemos:

S_n = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(a_1+a_n\right)}{2}\end{array}$ ⇒ S₁₀ = $\begin{array}{c}\frac{10\cdot \left(108000+126000\right)}{2}=\frac{10\cdot 234000}{2}\end{array}$ ⇒ S₁₀ = 1.170.000

Portanto, no período de 2026 a 2035, serão produzidas 1.170.000 sacas de soja nessa fazenda.

Página cento e vinte e dois122

ATIVIDADES

27. Na página 119, foi apresentada uma situação na qual, em uma competição, os participantes deveriam empilhar copos em camadas, de maneira quêque a 1ª camada contivesse 1 copo e, a partir dela, a quantidade de copos da camada seguinte (imediatamente abaixo) contivesse um copo a mais quêque a anterior. De acôr-doacordo com essas informações, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Quantos copos são necessários para formárformar um empilhamento com 15 camadas? E com 24 camadas?

120 copos; 300 copos

b) Com 78 copos, quantas camadas no mássimomáximo podem sêrser empilhadas? E com 195 copos?

12 camadas; 19 camadas

c) Você reparou quêque o total de copos de um empilhamento de n camadas corresponde à soma dos n primeiros números naturais positivos? Agora, deduza uma expressão quêque permita calcular, em função de n, a soma dos n primeiros números naturais positivos.

Resposta esperada: $\begin{array}{c}\frac{n^2+n}{2}\end{array}$.

28. Considere X a soma dos números múltiplos de 5 maiores ou iguais a 10 e menóresmenores ou iguais a 150, e Y a soma dos números múltiplos de 3 maiores ou iguais a 150 e menóresmenores ou iguais a 200. Qual é o valor de X + Y?

5.278

29. Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma PA, tal quêque a₁ = 4 e r = 68.

7.200

30. Considere uma PA cuja soma dos 8 primeiros termos é 148 e a soma dos 16 primeiros termos é −280. escrêevaEscreva os cinco primeiros termos dessa PA.

50, 41, 32, 23 e 14

31. Em cértocerto cinema, quêque já conta com 8 salas, será construída uma nova sala, na qual as poltronas serão dispostas em 10 fileiras, nomeadas de A até J, da seguinte maneira: 17 poltronas na fileira A, 19 poltronas na B, 21 poltronas na C, e assim por diante. Essa construção terá um custo médio de R$ 2.000,00 por poltrona. Quantas poltronas terá essa nova sala do cinema?

260 poltronas

PARA PENSAR

Após resolver a atividade 31, responda: se o custo médio por poltrona da nova sala fosse de R$ 1.500,00, a resposta quêque você deu à questão mudaria? Por quê?

Resposta esperada: A resposta à questão não mudaria, pois o preêçopreço médio por poltrona é um dado não utilizado na resolução da questão.

32. Em cada item, calcule a soma dos termos da PA finita.

a) (2, 13, 24, ..., 112)

627

b) (127, 121, 115, ..., −47)

1.200

c) (60, 70, 80, ..., 2.020)

204.880

33. Observe a PA indicada em cada ficha a seguir.

I) (8, 12, 16,...) II) (10, 16, 22,...) III) (13, 16, 19,...)

Considerando essas progressões aritméticas, é possível afirmar quêque:

a) a soma dos 20 primeiros termos da PA indicada em III é 2.150.

b) a soma dos 10 primeiros termos comuns da PA indicada em I e em II é 660.

c) o 25º termo da PA indicada em I é 108.

d) a soma dos 12 primeiros termos comuns da PA indicada em II e em III é 588.

alternativa d

34. Um estudo indica quêque a quantidade anual de visitantes em um museu deve ter crescimento constante nos anos de 2028 até 2031, conforme o gráfico a seguir.

Supondo quêque o crescimento estimado na quantidade anual de visitantes para esse período possa sêrser estendido até 2037, qual será a quantidade total de visitantes nesse museu de 2028 até 2037?

466.000 visitantes

• Você já visitou um museu? Qual museu? O quêque mais gostou nessa visita? Pesquise museus na região onde você mora e anote informações sobre acervo, horários de funcionamento, entre outras.

Respostas pessoais.

35. Em uma PA de 50 termos, a₁₅ = −40 e a₄₅ = 80. Qual é a soma dos termos dessa PA?

100

Página cento e vinte e três123

36. As medidas dos ângulos internos de um hekzágonohexágono convexo, em grau, formam uma PA em quêque o maior termo é 140. Qual é a medida dos demais ângulos internos dêêssedesse hekzágonohexágono?

100°, 108°, 116°, 124° e 132°

37. A primeira figura da sequência a seguir representa o contôrnocontorno de um pentágono regular cuja medida do lado corresponde a 1 palito. A partir da segunda figura, representa-se o contôrnocontorno de um pentágono regular com 1 palito de lado a mais quêque o da figura anterior, aproveitando-se de dois lados dessa figura. Analise.

Quantos palítospalitos formam a 10ª figura dessa sequência?

185 palítospalitos

38. Determine a razão e o 40º termo da PA cuja soma é dada por S_n = 4n² − 4n, com n ∈ ℕ*.

razão: 8; a₄₀ = 312

39. resôuvaResolva as equações a seguir, em quêque as parcelas do 1º membro formam uma PA finita.

a) $\begin{array}{c}\left(x+\frac{1}{3}\right)\end{array}+\left(x+1\right)+\begin{array}{c}\left(x+\frac{5}{3}\right)\end{array}+\dots +\begin{array}{c}\left(x+\frac{35}{3}\right)\end{array}=378$

x = 15

b) (4m − 27) + (4m − 10) + (4m + 7) + ...+ (4m + 551) = 8.750

m = −3

c) (44 + p) + (38 + p) + (32 + p) + ... + (−70 + p) = 540

p = 40

40. Para financiar cértocerto veículo seminovo, uma empresa está oferecendo as seguintes opções de pagamento.

• Opção 1: R$ 20.000,00 de entrada mais 60 prestações mensais iguais de R$ 750,00.

• Opção 2: 48 prestações mensais quêque formam uma PA decrescente, sêndosendo a primeira parcela no valor de R$ 2.500,00 e a última, de R$ 244,00.

Em relação ao preêçopreço final a sêrser pago pelo veículo, qual dessas opções é a mais vantajosa? Pagam-se quantos reais a menos com essa opção em relação à outra?

opção 1; R$ 856,00

41. Determine a razão de uma PA cuja soma de a₄ e a₉ é 74 e a soma dos 10 primeiros termos é 330.

4

42. A média aritmética dos 12 primeiros termos de uma PA é 92. Desconsiderando-se os termos a₂ e a₁₁ dessa PA, qual é a média aritmética dos termos restantes?

92

43. Leia as informações a seguir.

a) Calcule a razão dessa PA.

$\frac{55}{6}$ ou $-\frac{55}{6}$

b) Determine a pár-tearte de pão quêque cada homem recebeu.

$$\mathit{}\begin{array}{c}\frac{5}{3}\end{array},\begin{array}{c}\frac{65}{6}\end{array},20,\begin{array}{c}\frac{175}{6}\end{array}e\begin{array}{c}\frac{115}{3}\end{array}$$

c) O papiro de Rhind foi copiado de um documento ainda mais antigo pelo escriba Ahmes. Nele, são apresentados ao todo 85 problemas matemáticos quêque abordam diferentes ideias, tanto de Geometria como de Álgebra. Junte-se a dois côlégascolegas, e pesquisem outros problemas encontrados no papiro de Rhind. Depois, escôlhamescolham um dos problemas encontrados e identifiquem quais conceitos matemáticos são abordados nesse problema. Ao final, apresentem a resolução dele aos côlégascolegas.

Pesquisa dos estudantes.

Página cento e vinte e quatro124

Progressão geométrica (PG)

Os fractais (do latim fractus, quêque significa “quebrar” ou “fragmentar”) são formas geométricas quêque têm como uma de suas características o fato de poderem sêrser decompostas em partes representativas do todo. Um exemplo de fractal é o Triângulo de Sierpinski, quêque foi descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski (1882-1969). Esse exemplo de fractal é formado, inicialmente, de um triângulo equilátero (colorido de preto) em quêque, a cada etapa da construção do fractal, é decomposto em quatro triângulos equiláteros congruentes,"retirando-se" o triângulo central. Analise as quatro primeiras figuras quêque podem sêrser construídas para obtêrobter esse fractal. Você consegue perceber alguma regularidade em relação à quantidade de triângulos pretos na sequência de figuras?

pôdêmosPodemos indicar a quantidade de triângulos pretos em cada uma das figuras por meio da seguinte sequência numérica:

(1, 3, 9, 27, ...)

Note quêque, a partir do 2º termo dessa sequência, o quociente entre um termo qualquer e o seu antecessor é um valor constante.

a₂ ∶ a₁ = 3 ∶ 1 = 3

a₃ ∶ a₂ = 9 ∶ 3 = 3

a₄ ∶ a₃ = 27 ∶ 9 = 3

⋮

PARA PENSAR

Como é possível obtêrobter um termo dessa sequência a partir do seu antecessor?

Resposta esperada: A partir do 2º termo dessa sequência, um termo qualquer pódepode sêrser obtídoobtido multiplicando-se por 3 o seu antecessor.

Sequências com características como a da situação apresentada são denominadas progressões geométricas (PG). Em uma PG, chamamos de razão o quociente entre um termo qualquer, a partir do 2º termo, e seu antecessor. No exemplo do Triângulo de Sierpinski, a razão da PG é igual a 3.

Página cento e vinte e cinco125

A partir da definição de PG, podemos concluir quêque:

$\begin{array}{c}\frac{a_n}{a_{n-1}}\end{array}$ = q ⇒ a _n = a _{n − 1} ⋅ q

Analise alguns exemplos de PG.

• (7, 7, 7, 7, ...)

Nessa PG, temos q = 7 ∶ 7 = 1. Portanto, essa PG é constante, ou seja, um termo é sempre igual ao seu sucessor.

• $\left(10,2,\frac{2}{5},\frac{2}{25},\dots \right)$

Nessa PG, temos $q=2:10=\begin{array}{c}\frac{2}{5}\end{array}:2=\begin{array}{c}\frac{2}{25}:\frac{2}{5}=\frac{1}{5}\end{array}$ (0 < q < 1⁾ e a₁ = 10 > 0.

Portanto, essa PG é decrescente, ou seja, um termo é sempre maior quêque seu sucessor.

• (6, 12, 24, 48, ...)

Nessa PG, temos q = 12 ∶ 6 = 24 ∶ 12 = 48 ∶ 24 = 2 (q > 1) e a ₁ = 6 > 0.

Portanto, essa PG é crescente, ou seja, um termo é sempre menor quêque seu sucessor.

PARA PENSAR

escrêevaEscreva os primeiros termos de uma PG crescente em quêque 0 < q < 1 e a ₁ < 0 e de uma PG decrescente em quêque q > 1 e a ₁ < 0.

Resposta pessoal.

• (−9, 27, −81, 243, ...)

Nessa PG, temos q = 27 ∶ (−9) = (−81) ∶ 27 = 243 ∶ (−81) = −3 (q < 0).

Portanto, essa PG é alternante, ou seja, cada termo tem sinal contrário ao do seu sucessor.

Também podemos estabelecer uma relação entre três termos consecutivos de uma PG: $a_{n-1}$, $a_n$e $a_{n+1}$. Acompanhe.

$\begin{array}{c}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}\end{array}$⇒ $a_n^2$ = $a_{n-1}$ ⋅ $a_{n+1}$

PARA PENSAR

Em uma PG algum termo pódepode sêrser zero? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Não, pois a divisão de um número por zero não é definida no conjunto dos números reais.

DICA

pôdêmosPodemos representar uma PG de razão q e termos desconhecidos de diferentes maneiras, por exemplo:

• para a₁ = x, temos (x, x ⋅ q, x ⋅ q², ...).

• para a₁ = $\frac{x}{q}$ temos $\left(\begin{array}{c}\frac{x}{q}\end{array},x,x\cdot q,\dots \right)$^.

Página cento e vinte e seis126

Termo geral de uma PG

Considere (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ..., a_{n − 1}, a_n, a_{n + 1}, …) uma PG infinita de razão q. Como cada termo, a partir do 2º, pódepode sêrser obtídoobtido multiplicando-se o termo anterior por q, temos:

a₁ = a ₁ ⋅ q ⁰

a₂ = a ₁ ⋅ q ¹

a₃ = $\underset{a_1\cdot q}{\underbrace{a_2}}$⋅ q ⇒ a₃ = a₁ ⋅ q²

a₄ =$\underset{a_1\cdot q^2}{\underbrace{a_3}}$ ⋅ q ⇒ a₄ = a₁ ⋅ q³

a₅ =$\underset{a_1\cdot q^3}{\underbrace{a_4}}$ ⋅ q ⇒ a₅ = a₁ ⋅ q⁴

⋮

a_n = a_{n − 1} ⋅ q ⇒ a_n = a₁ ⋅ q ^{n − 1}

⋮

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique a relação quêque pódepode sêrser observada entre os elemêntoselementos em destaque em cada expressão apresentada.

Resposta esperada: O expoente da razão da PG (q) é uma unidade menor quêque o número quêque indica o índice do termo correspondente da PG.

Note quêque podemos expressar qualquer termo de uma PG em função de a₁ e q.

Assim como no caso da PA, podemos compreender uma PG como uma função, sêndosendo o termo geral da PG a lei de formação da função. Para alguns valores de a₁ e de q, a PG tem comportamento exponencial.

Por exemplo, em relação à PG (5, 10, 20, 40, ...), em quêque a₁ = 5 e q = $\frac{10}{5}$ = 2, temos:

f(n) = 5 ⋅ 2 ^{n −1}

Nesse caso, como a ₁ ≠ 0 e q > 1, a função f ôbitídaobtida tem um comportamento exponencial, pois f se assemelha à função do tipo exponencial g: ℝ → ℝ, definida por g (x) = 5 ⋅ 2 ^{x −1}. Portanto, os termos dessa PG podem sêrser obtidos por meio da função do tipo exponencial f: ℕ* → ℝ, definida por f(n) = 5 ⋅ 2 ^{n − 1}.

• f(1) = 5 ⋅ 2^{1 − 1} = 5 ⋅ 2⁰ = 5 ⋅ 1 = 5

• f(2) = 5 ⋅ 2^{2 − 1} = 5 ⋅ 2¹ = 5 ⋅ 2 = 10

• f(3) = 5 ⋅ 2^{3 − 1} = 5 ⋅ 2² = 5 ⋅ 4 = 20

• f(4) = 5 ⋅ 2^{4 − 1} = 5 ⋅ 2³ = 5 ⋅ 8 = 40

⋮

Observe o gráfico da função f.

DICA

No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.

Página cento e vinte e sete127

De maneira geral, uma PG tem comportamento exponencial se q > 0, q ≠ 1 e a ₁ ≠ 0. Note ainda quêque, se a PG é decrescente, a função relacionada também é decrescente, e, se a PG é crescente, a respectiva função também é crescente.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R11. Determine a quantidade de termos da PG finita (0,001; 0,1; 10, ... , 1.000.000.000).

Resolução

Nessa PG, note quêque os termos podem sêrser expressos como potências de base 10, ou seja: (10⁻³, 10⁻¹, 10¹, ..., 10⁹). Assim, temos:

q = 10 ⁻¹ ∶ 10 ⁻³ = 10²

Como a₁ = 10 ⁻³ e considerando a_n = 10 ⁹, utilizamos a expressão do termo geral de uma PG e resolvemos uma equação exponencial:

a_n = a₁ ⋅ q ^{n − 1} ⇒ 10⁹ = 10⁻³ ⋅ (10²) ^{n − 1} ⇒ $\begin{array}{c}\frac{{10}^9}{{10}^{-3}}\end{array}$ = 10^{2n − 2} ⇒ 10¹² = 10^{2n − 2} ⇒ 12 = 2n − 2 ⇒ 14 = 2n ⇒ n =7

Portanto, essa PG tem 7 termos.

R12. (Unicamp-SP) Dois anos atrás cértocerto carro valia R$ 50.000,00 e atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo quêque o valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a:

a) R$ 25.600,00.

b) R$ 24.400,00.

c) R$ 23.000,00.

d) R$ 18.000,00.

Resolução

Como o valor do carro decresce a uma taxa anual constante, temos quêque o valor dêêssedesse carro a cada ano, em reais, corresponde a termos de uma PG.

Considerando a₁ = 50.000, então a₃ = 32.000, e podemos escrever:

a₃ = a₁ ⋅ q^{3 − 1} ⇒ 32.000 = 50.000 ⋅ q² ⇒ q² = $\frac{32000}{50000}$ ⇒ q² = $\frac{16}{25}$ ⇒$\{\begin{array}{c}q=\frac{\sqrt[]{16}}{25}=\frac{4}{5}\\ q=-\frac{\sqrt[]{16}}{25}=-\frac{4}{5}\left(\mathrm{nãoconvém}\right)\end{array}$

Assim, temos:

a₄ = a₃ ⋅ q ⇒ a₄ = 32.000 ⋅ $\frac{4}{5}$ ⇒ a₄ = 25.600

Portanto, a alternativa a é a correta, pois daqui a um ano o valor do carro será igual a R$ 25.600,00.

Na situação apresentada, podemos escrever a função f: ℕ* → ℝ para indicar o valor do carro a cada ano, em reais, sêndosendo o primeiro ano aquele em quêque esse carro valia R$ 50.000,00 dada por $f\left(n\right)=50.000\cdot {\left(\frac{4}{5}\right)}^{n-1}$.

Observe o gráfico da função f.

DICA

No gráfico, as escalas dos eixos são diferentes.

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ATIVIDADES

44. Para cada PG a seguir, calcule a razão e classifique-a em constante, decrescente, crescente ou alternante.

a)$\left(-30,-10,\begin{array}{c}-\frac{10}{3}\end{array},\dots \right)$