RESOLUÇÕES DAS ATIVIDADES PROPOSTAS NO LIVRO DO ESTUDANTE

Unidade 1 • Função exponencial

1. a) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216

b) (−4) ⋅ (−4) = 16

c) 25⁻¹ = $\frac{1}{25}$

d) $\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{81}{16}$

e) ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{-2}$ = ${\begin{array}{c}\left(\frac{6}{5}\right)\end{array}}^2$ = $\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{5}=\frac{36}{25}$

f) 45⁰ = 1, pois a⁰ = 1, se a ≠ 0

2. a) $\begin{array}{c}\frac{5^2\cdot {\left(5^2\right)}^5}{3^{6\cdot 2}}=\frac{5^2\cdot 5^{10}}{3^{12}}=\frac{5^{12}}{3^{12}}={\left(\frac{5}{3}\right)}^{12}\end{array}$

b) (−6)⁹ + (−2) = (−6)⁷

c) $\begin{array}{c}\frac{(3\cdot 4{)}^9\cdot 3^{-2}}{4^9}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{3^9\cdot 4^9\cdot 3^{-2}}{4^9}\end{array}$ = 3^{9 + (−2)} = 3⁷

d) 9^{6 ⋅ 3} ∶ 3¹⁰ = 9¹⁸ ∶ 3¹⁰ = ${\left(3^2\right)}^{18}$ ∶ 3¹⁰ = 3^{2 ⋅ 18} ∶ 3¹⁰ = 3³⁶ ∶ 3¹⁰ = 3^{36 − 10} = 3²⁶

e) $\begin{array}{c}\frac{(15\cdot 3{)}^7}{8^{5+2}}\end{array}$ = ${\begin{array}{c}\left(\frac{45}{8}\right)\end{array}}^7$

f) $\begin{array}{c}\frac{(4{)}^{3\cdot 15}\cdot 5^{45}}{{20}^{18}}=\frac{4^{45}\cdot 5^{45}}{{20}^{18}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{(4\cdot 5{)}^{45}}{{20}^{18}}=\frac{{20}^{45}}{{20}^{18}}\end{array}$ = 20^{45 − 18} = 20²⁷

3. a) 1 ⋅ 5³ ∶ 5⁵ = 5^{3 − 5} = 5⁻² = $\frac{1}{25}$

b) 7^{2 ⋅ (−3)} ⋅ $\begin{array}{c}\frac{1^3}{4^3}\end{array}$⋅ (2 ⋅ 7)⁸ = 7⁻⁶ ⋅$\begin{array}{c}\frac{1^3}{{\left(2^2\right)}^3}\end{array}$ ⋅ 2⁸ ⋅ 7⁸ = 2^{8 − 6} ⋅ 7^{8 − 6} = 2² ⋅ 7² = 196

c) $\begin{array}{c}\frac{(-3{)}^5}{2^{-2}}\cdot (-3{)}^{-7}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{(-3{)}^5\cdot (-3{)}^{-7}}{2^{-2}}=\frac{(-3{)}^{5-7}}{2^{-2}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{(-3{)}^{-2}}{2^{-2}}={\left(\frac{-3}{2}\right)}^{-2}={\left(\frac{2}{-3}\right)}^2=\frac{4}{9}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\frac{(-9{)}^2\cdot 7^4}{(3\cdot 7{)}^3\cdot 1}=\frac{{\left(3^2\right)}^2\cdot 7^4}{3^3\cdot 7^3}=\frac{3^4\cdot 7^4}{3^3\cdot 7^3}\end{array}$ = 3^{4 − 3} ⋅ 7^{4 − 3} = 3 ⋅ 7 = 21

4. quantidade de grãos da última casa:

2^{64 − 1} = 2 ⁶³

$\begin{array}{c}\frac{2^{63}}{2^{29}}\end{array}$ = 2^{63 − 29} = 2³⁴

Portanto, seria necessário dobrar 34 vezes a produção de 2022/2023.

5. 1 TB = 1.024 GB

1.024 − 270 = 754

$\frac{754}{1024}$ ≃ 0,736 → aproximadamente 73,6%

6. a) • 3 ⋅ 2¹⁰ B

• 5 ⋅ 2⁻¹⁰ ⋅ 2⁻¹⁰ = 5 ⋅ 2⁻²⁰ → 5 ⋅ 2⁻²⁰ TB

• 8 ⋅ 2¹⁰ ⋅ 2¹⁰ ⋅ 2¹⁰ = 2³ ⋅ 2³⁰ = 2³³ → 2³³ kB

• 7 ⋅ 2⁻¹⁰ ⋅ 2⁻¹⁰ ⋅ 2⁻¹⁰ = 7 ⋅ 2⁻³⁰ → 7 ⋅ 2⁻³⁰ GB

b) I e III

I) 16 ⋅ 2¹⁰ = 2⁴ ⋅ 2¹⁰ = 2¹⁴

II) 4 ⋅ 2¹⁰ = 2² ⋅ 2¹⁰ = 2¹²

III) 32 ⋅ 2¹⁰ = 2⁵ ⋅ 2¹⁰ = 2¹⁵

c) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes sêjamsejam capazes de estabelecer algoritmos para a conversão de unidades de medida de armazenamento de dados, de modo quêque utilizem potências de base 2 e suas propriedades nessas conversões. Mostrar aos estudantes como a realização das conversões com as potências de mesma base pódepode facilitar os cálculos de divisão e de multiplicação.

7. 4⁵⁴ ⋅ 25⁴⁹ = ${\left(2^2\right)}^{54}$ ⋅ ${\left(5^2\right)}^{49}$ = 2¹⁰⁸ ⋅ 5⁹⁸ = 2¹⁰ ⋅ 2⁹⁸ ⋅ 5⁹⁸ = 2¹⁰ ⋅ (2 ⋅ 5)⁹⁸ = 1.024 ⋅ 10⁹⁸

Como na multiplicação ôbitídaobtida o fator 10⁹⁸ apenas acrescenta 98 zeros à direita de 1.024, temos quêque a soma dos algarismos do produto é:

1 + 2 + 4 = 7.

8. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes elaborem atividades quêque envolvam uma ou mais propriedades de potência estudadas. Desafiá-los a compor kestõesquestões em quêque mais de uma propriedade é utilizada no mesmo item e pedir quêque, durante as resoluções das atividades dos côlégascolegas, justifiquem os cálculos apresentando as propriedades utilizadas.

9. Para escrever os números em notação científica, podemos contar as ordens até dispormos a vírgula de modo a obtêrobter um fator entre 1 e 10 e considerar essa contagem para determinar o expoente no fator quêque é uma potência de 10.

a) 5,68 ⋅ 10¹¹

b) 1,0263 ⋅ 10¹⁶

c) 9,07 ⋅ 10¹⁴

d) 6 ⋅ 10⁻⁷

e) 7,98 ⋅ 10⁻⁹

f) 6,04 ⋅ 10⁻¹³

10. a) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{6,51}\cdot {10}^{-8}}{\mathrm{4,65}\cdot {10}^{-10}}\end{array}$ = 1,4 ⋅ 10²

b) 7,25 ⋅ 10⁵ ⋅ 1,4 ⋅ 10⁻⁷ = 7,25 ⋅ 1,4 ⋅ 10⁵ ⋅ 10⁻⁷ = 1,015 ⋅ 10⁻¹

c) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{6,51}\cdot {10}^{-8}\cdot \mathrm{7,25}\cdot {10}^5}{\mathrm{1,4}\cdot {10}^{-7}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{6,51}\cdot \mathrm{7,25}\cdot {10}^{-8}\cdot {10}^5}{\mathrm{1,4}\cdot {10}^{-7}}\end{array}$ = 3,37125 ⋅ 10⁵

11. a) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{7,1}\cdot {10}^{16}}{\mathrm{9,46}\cdot {10}^{12}}\end{array}$ ≃ 0,7505 ⋅ 10⁴ → aproximadamente 7.505 anos-luz

b) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1,67824}\cdot {10}^{-15}}{{10}^{-10}}\end{array}$ = 1,67824 ⋅ 10⁻⁵ → 1,67824 ⋅ 10⁻⁵ Å

• Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes busquem contextos em quêque as medidas apresentadas são “muito grandes” ou “muito pequenas”, de maneira quêque faça sentido convertê-las em ano-luz ou angstrom, respectivamente. É importante observar se os estudantes convertem corretamente as medidas entre as unidades convencionais.

12. a) 2,83 ⋅ 10⁻³ = 0,00283

Portanto, a massa indicada no visor é 0,0028 g.

b) 2,8 ⋅ 10⁻³ g

13. alternativa d

$\begin{array}{c}\frac{40\cdot {10}^9}{3\cdot {10}^6}\end{array}$ ≃ 13,333 ⋅ 10³ → 1,3 ⋅ 10⁴ km

14. a) $\frac{\mathrm{2,5}+\mathrm{2,6}}{2}$ = 2,55 → 2,55 cm

b) $\frac{\mathrm{2,8}+\mathrm{2,9}}{2}$ = 2,85 → 2,85 cm

c) $\frac{\mathrm{3,2}+\mathrm{3,3}}{2}$ = 3,25 → 3,25 cm

15.

a) Resposta possível: Aproximadamente 1,6 L. Para estimar o volume de líquido, pode-se calcular a média aritmética de 1,5 L e 1,75 L, quêque é 1,625 L, e arredondar essa medida ao décimo do litro mais próximo, obtendo 1,6 L.

b) Resposta possível: 1 é algarismo cértocerto; 6 é algarismo duvidoso.

16. a) • 3,86 cm; algarismos certos: 3 e 8; algarismo duvidoso: 6

• 7,43 cm; algarismos certos: 7 e 4; algarismo duvidoso: 3

b) Como 1 m equivale a 100 cm, podemos multiplicar cada medida por 10⁻², obtendo:

3,86 cm = 3,86 ⋅ 10⁻² m;

7,43 cm = 7,43 ⋅ 10⁻² m.

c) Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes compreendam e apliquem os conceitos de algarismos certos e duvidosos. Certificar-se de quêque eles medirão corretamente objetos cuja medida, na unidade escolhida, não pódepode sêrser aferida de maneira precisa.

17. 5,4 L = 5,4 ⋅ 10⁶ mm³

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{3,95}\cdot {10}^{10}}{\mathrm{5,4}\cdot {10}^6}\end{array}$ ≃ 0,731 ⋅ 10⁴ ≃ 7,31 ⋅ 10³

Aproximadamente 7,31 ⋅ 10³ leucócitos por milímetro cúbico de sanguesangue. Essa concentração de leucócitos está entre os valores de referência.

18. a) 70 ⋅ 1 ⋅ 10⁶ = 7 ⋅ 10⁷ → 7 ⋅ 10⁷ células-tronco

b) $\frac{\mathrm{0,7}}{70}=\frac{x}{62}$ ⇒ 70x = 43,4 ⇒ x = 0,62

0,62 mg = 0,62 ⋅ 10⁻³ g = 6,2 ⋅ 10⁻⁴ g

Página trezentos e cinquenta e quatro354

c) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes elaborem um texto contendo informações e características sobre os textos científicos, bem como as diferenças entre eles de acôr-doacordo com o público a quêque se destinam, por exemplo. Espera-se quêque no texto eles utilizem argumentos quêque defendam a ciência para a evolução da humanidade, sua importânssiaimportância para o combate da disseminação de notícias falsas e para a busca de uma ssossiedadesociedade mais justa e sustentável. Eles podem citar exemplos de produções da ciência, como o desenvolvimento das vacinas na pandemia de covid-19, e a utilização de fontes de energias rêno-váveisrenováveis para diminuir a degradação do meio ambiente.

19. Utilizando a definição de potência com expoente racional, temos:

a) $\begin{array}{c}{9}^{\frac{3}{4}}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}{8}^{\frac{1}{6}}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}{3}^{\frac{10}{2}}\end{array}$ = 3⁵

d) $\begin{array}{c}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{4}{8}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}(\mathrm{1,5}{)}^{\frac{2}{9}}\end{array}$

f) $\begin{array}{c}{4}^{\frac{8}{12}}=4^{\frac{2}{3}}\end{array}$

g) $\begin{array}{c}(\mathrm{2,7}{)}^{\frac{6}{9}}=(\mathrm{2,7}{)}^{\frac{2}{3}}\end{array}$

h) $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{7}{5}}\end{array}$

20. a) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{15}\cdot \sqrt[3\cdot 8]{3^6}=\sqrt[4]{15}\cdot \sqrt[24]{3^6}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[4]{15}\cdot \sqrt[24:6]{3^{6:6}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[4]{15}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{15\cdot 3}=\sqrt[4]{45}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[7]{4^2}}{\sqrt[7]{9\cdot 8}}=\sqrt[7]{\frac{16}{72}}=\sqrt[7]{\frac{2}{9}}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\sqrt[3\cdot 2]{6^6}\cdot \frac{\sqrt[3]{6^2}}{\sqrt[4]{6^4}}=\sqrt[6]{6^6}\cdot \frac{\sqrt[3]{6^2}}{\sqrt[4]{6^4}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[3]{6^2}=\sqrt[3]{36}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[5\cdot 2]{5^{1\cdot 2}}\cdot \sqrt[2\cdot 5]{2^{1\cdot 5}}}{2^{\frac{3}{10}}}=\frac{\sqrt[10]{5^2}\cdot \sqrt[10]{2^5}}{\sqrt[10]{2^3}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[10]{5^2}\cdot \sqrt[10]{2^5:2^3}=\sqrt[10]{5^2}\cdot \sqrt[10]{2^2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[10]{5^2\cdot 2^2}=\sqrt[10]{100}\end{array}$

21. a)

b) • $\begin{array}{c}\sqrt[5]{2^5\cdot 7}=2\sqrt[5]{7}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\sqrt[6]{3^6\cdot 3}=3\sqrt[6]{3}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\sqrt[3]{2^3\cdot 5^3\cdot 5}=10\sqrt[3]{5}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\sqrt[3]{2\cdot 2^3\cdot 3^3\cdot 13}=6\sqrt[3]{26}\end{array}$

22. a) $\begin{array}{c}\frac{9}{\sqrt[]{2}}\cdot \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}=\frac{9\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2}}=\frac{9\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{3}{2\sqrt[]{6}}\cdot \frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{6}}=\frac{3\sqrt[]{6}}{2\sqrt[]{6}\cdot \sqrt[]{6}}=\frac{3\sqrt[]{6}}{12}=\frac{\sqrt[]{6}}{4}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\frac{1}{\left(5+\sqrt[]{7}\right)}\cdot \frac{\left(5-\sqrt[]{7}\right)}{\left(5-\sqrt[]{7}\right)}=\frac{5-\sqrt[]{7}}{5^2-(\sqrt[]{7}{)}^2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{5-\sqrt[]{7}}{25-7}=\frac{5-\sqrt[]{7}}{18}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\frac{7}{\left(\sqrt[]{3}-1\right)}\cdot \frac{\left(\sqrt[]{3}+1\right)}{\left(\sqrt[]{3}+1\right)}=\frac{7+7\sqrt[]{3}}{(\sqrt[]{3}{)}^2-1^2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{7+7\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

23. I) $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\sqrt[]{x}}=\sqrt[3\cdot 2]{x}=\sqrt[6]{x}\end{array}$

II) $\begin{array}{c}(\sqrt[3]{x}{)}^2=\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[3\cdot 2]{x^{2\cdot 2}}=\sqrt[6]{x^4}\end{array}$

Resposta esperada: Considerando as informações do enunciado, não é possível comparar os valores das duas expressões, pois, se 0 < x < 1, o valor da expressão I será maior quêque o da expressão II; se x > 1, o valor da expressão I será menor quêque o da expressão II; e se x = 1, as duas expressões terão valores iguais.

24. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes elaborem expressões quêque possam sêrser simplificadas utilizando as propriedades de radiciação e empreguem as propriedades para resolver as expressões dos côlégascolegas. É importante quêque justifiquem, a cada etapa, a propriedade utilizada.

25. a) Digitando 3 elevado a $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ na calculadora, obtemos aproximadamente 4,7.

b) Digitando 4 elevado a $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$ na calculadora, obtemos aproximadamente 22,2.

c) Digitando $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ elevado a $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ na calculadora, obtemos aproximadamente 1,6.

d) Digitando 2 elevado a (pi)"π na calculadora, obtemos aproximadamente 8,8.

26. alternativa a

a) 8² = 8 ⋅ 8 = 64

b) 2⁸ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 256

c) Como 4 < 8 < 9, temos quêque: $\sqrt[]{4}$ < $\sqrt[]{8}$ < $\sqrt[]{9}$ ⇒ 2 < $\begin{array}{c}\sqrt[]{8}\end{array}$ < 3

Logo, como 2² = 4 e 2³ = 8, temos quêque $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{8}}\end{array}$ está entre 4 e 8.

d) Como 3 < (pi)"π < 4, temos quêque:

5³ < 5(pi)"π < 5⁴ ⇒ 125 < 5(pi)"π < 625

e) ${\begin{array}{c}\left(\sqrt[]{15}\right)\end{array}}^4$ = 15² = 225

27. alternativa a

$\begin{array}{c}{6}^{\sqrt[]{2}}\end{array}$ ≃ 6^1,4 = $\begin{array}{c}{6}^{\frac{14}{10}}=6^{\frac{7}{5}}=\sqrt[5]{6^7}\end{array}$

28. Observando todos os itens em quêque a função é do tipo f(x)= a^x, temos: a, c e f.

29. a) f(4) = 3⁴ = 81

b) g(3) = 8³ = 512

c) f(−2) = 3⁻² = $\frac{1}{9}$

d) g$\begin{array}{c}\left(\frac{1}{3}\right)\end{array}$ = $8^{\frac{1}{3}}$ = 2

e) f(3) − g(1) = 3³ − 8¹ = 19

f) 2g(2) − f(5) = 2 ⋅ 8² − 3⁵ = −115

30. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes sêjamsejam capazes de escrever a lei de formação de uma função exponencial e reconhecer e indicar elemêntoselementos de seu domínio. Além díssudisso, é importante quêque eles compreendam como calcular valores da função para os elemêntoselementos do domínio indicados pêlospelos côlégascolegas e quêque relacionem os resultados dêêssesdesses cálculos com as imagens dos respectivos valores.

31. a) etapa 5: 2⁵ = 32 → 32 bactérias etapa 6: 2⁶ = 64 → 64 bactérias

b) $\frac{4\cdot 60}{20}$ = 12 → 12 etapas

2¹² = 4.096 → 4.096 bactérias

c) Como a quantidade de bactérias dobra a cada etapa, temos: f(x)= 2^x.

32. a) após dois dias: $\frac{1}{4}$ = 0,25 → 0,25 mg após quatro dias: $\frac{1}{16}$ = 0,0625 → 0,0625 mg

b) Como esse princípio ativo é reduzido à mêtádemetade a cada dia, temos h(x) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^x$.

c) tempo entre a ingestão do 2º e a do 3º comprimido: 42 horas

tempo entre a ingestão do 1º e a do 2º comprimido: 36 horas (42 − 6 = 36) ou 48 horas (42 + 6 = 48)

tempo entre a ingestão do 1º e a do 3º comprimido: 78 horas (42 + 36 = 78) ou 90 horas (42 + 48 = 90)

78 horas = $\frac{78}{24}$ dias = 3,25 dias

h(3,25) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^{\mathrm{3,25}}$ ≃ 0,105

90 horas = $\frac{90}{24}$ dias = 3,75 dias

h(3,75) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^{\mathrm{3,75}}$ ≃ 0,074

Portanto, a quantidade do princípio ativo do primeiro comprimido no organismo de Bruna era de aproximadamente 0,074 mg ou 0,105 mg.

33. a) Analisando o gráfico, temos quêque a função é decrescente. Então, a pertence ao intervalo]0, 1[.

b) f(0) = a⁰ = 1

ponto de coordenadas (0, 1)

c) Não, pois, como f é uma função exponencial, f(x) > 0 para todo x ∈ ℝ.

Página trezentos e cinquenta e cinco355

d) Como g(x)= −f(x), podemos afirmar quêque g é uma função negativa em todo o seu domínio, ou seja, g(x) < 0 para todo x ∈ ℝ.

34. a) s; b) f; c) g; d) t

s(2)= $\frac{1}{8}$ ⋅ 2² = $\frac{1}{2}$ e s(4) = $\frac{1}{8}$ ⋅ 2⁴ = 2

f(4)= 3^{4 − 4} + 1 = 2 e

f(5)= 3^{5 − 4} + 1 = 4

g(−2)= ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^{-2}$ − 3 = 1 e

g(1)= ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^1$ − 3 = $-\frac{5}{2}$

t(0)= 5^{1 − 0} − 3 = 2 e

t(1)= 5^{1 − 1} − 3 = −2

35. a) Analisando o comportamento do gráfico das funções, temos: função f: crescente; função g: decrescente.

b) Temos quêque f(0) = −1 e f(2) = 5.

Assim:

f(0) = b ⋅ 2⁰ + c = −1 ⇒ b + c = −1

f(2) = b ⋅ 2² + c = 5 ⇒ 4b + c = 5

Para determinar os números reais b e c, podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}b+c=-1\\ 4b+c=5\end{array}\end{array}$ ⇒ b = 2 e c = −3

Logo, f(x) = 2 ⋅ 2^x − 3.

Temos ainda quêque g(2) = −2 e g(1) = f(1) = 1. Assim, considerando a lei de formação de g como g(x)= mx + n, temos:

g(2) = 2m + n = −2

g(1) = m + n = 1

Para determinar os números reais m e n, podemos escrever e resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}2m+n=-2\\ m+n=1\end{array}\end{array}$⇒ m = −3 e n = 4

Logo, g(x) = −3x + 4.

c) Como 2^x > 0, podemos multiplicar por 2 ambos os membros dessa desigualdade.

2 ⋅ 2^x > 2 ⋅ 0 ⇒ 2 ⋅ 2^x > 0

Agora, subtraímos 3 em ambos os membros da desigualdade ôbitídaobtida.

2 ⋅ 2^x − 3 > 0 − 3 ⇒ f(x) > −3

Portanto, Im(f) = {y ∈ ℝ | y > −3}.

Im(g) = ℝ

36. a)

b)

c)

d)

37. a) f(1) = a¹ = a

b) f(x₁ + x₂) = $a^{\left(x_1+x_2\right)}$ = $a^{x_1}$ ⋅$a^{x_2}$ = f(x₁) ⋅ f(x₂)

c) f(nx) = a^nx = a^xn = ${\begin{array}{c}\left(a^x\right)\end{array}}^n$ = (f(x))ⁿ

38. a) alternativa II

Coordenadas de alguns dos pontos pêlospelos quais passa o gráfico da função: (0, 0), (1, 2), (2, 8), (3, 26), (4, 80).

I) f(2) = −1 + 2² = −1 + 4 = 3 → não condiz

II) f(0) = −1 + 3⁰ = −1 + 1 = 0

f(1) = −1 + 3¹ = −1 + 3 = 2

f(2) = −1 + 3² = −1 + 9 = 8

f(3) = −1 + 3³ = −1 + 27 = 26

f(4) = −1 + 3⁴ = −1 + 81 = 80

III) f(0) = 2^{0 + 1} = 2 → não condiz

b) f(10) = −1 + 3¹⁰ = −1 + 59.049 = 59.048 → 59.048 compartilhamentos

c) Pesquisa do estudante. Espera-se quêque os estudantes pesquisem e compreendam estratégias para verificar a veracidade de uma informação e apresentem itens como: verificar se o título é muito chamativo; se a notícia tem êêrroserros ortográficos e gramaticais; se outros veículos de comunicação também publicaram algo a respeito da mesma notícia; a data de publicação da notícia; a URL do sáitisite em quêque foi publicado; e se há opiniões explícitas no texto (notícias jornalísticas devem sêrser isentas de opiniões pessoais).

39. a) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes compartilhem suas experiências a respeito do assunto e compreendam os perigos de participar de esquemas de pirâmide, quêque podem levar à reclusão e multa.

b) nível 5: 64 ⋅ 4 = 256 → 256 participantes; nível 6: 256 ⋅ 4 = 1.024 → 1.024 participantes

c) Observe quêque:

nível 1: 1 = 4⁰ = 4^{1 − 1}

nível 2: 4 = 4¹ = 4^{2 − 1}

nível 3: 16 = 4² = 4^{3 − 1}

nível 4: 64 = 4³ = 4^{4 − 1}

nível 5: 256 = 4⁴ = 4^{5 − 1}

nível 6: 1.024 = 4⁵ = 4^{6 − 1}

nível n: q(n) = 4^{n − 1} ou q(n) = $\begin{array}{c}\frac{4^n}{4}=\frac{1}{4}\end{array}$ ⋅ 4ⁿ

d) q(7) = 4^{7 − 1} = 4⁶ = 4.096

q(8) = 4^{8 − 1} = 4⁷ = 16.384

q(9) = 4^{9 − 1} = 4⁸ = 65.536

65.536 + 16.384 + 4.096 = 86.016

86.016 ⋅ 1.000 = 86.016.000 → R$ 86.016.000,00

40. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes relacionem os dados da tabélatabela a funções exponenciais, ou seja, verifiquem quêque a variação da quantidade de indivíduos em função do tempo pódepode sêrser expressa por uma função exponencial e, a partir díssudisso, elaborem uma situação-problema.

41. a) 11³ = 11^4x ⇒ 4x = 3 ⇒ x = $\frac{3}{4}$ → S = $\begin{array}{c}\left\{\frac{3}{4}\right\}\end{array}$

b) 25^{x + 9} = 25² ⇒ x + 9 = 2 ⇒ x = −7 → S = {−7}

c) $3^{2\left(x^2+2\right)}$ = $3^{3\left(2x\right)}$ ⇒ $3^{2x^2+4}$ = 3^6x ⇒ 2x² − 6x + 4 = 0 ⇒ $\{\begin{array}{c}x=1\\ \mathrm{ou}\\ x=2\end{array}\to S=\mathrm{1,2}$

d) 7⁻² = 7^3x ⇒ x = $-\frac{2}{3}$ → S ⁼ $\begin{array}{c}\left\{-\frac{2}{3}\right\}\end{array}$

e) 2^{6(1 − 2x)} = 2^−2(3x) ⇒ 6 − 12x = −6x ⇒ x = 1 → S = {1}

f) $\begin{array}{c}{3}^{\frac{2x}{4}}\end{array}$ = 3⁴ ⋅ $\begin{array}{c}{3}^{\frac{1}{2}}\end{array}$ ⇒ $\frac{x}{2}$ = 4 + $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{x}{2}=\frac{9}{2}$ ⇒ x = 9 → S = {9}

42. a) −7^x = 42 − ${\left(7^x\right)}^2$ ⇒ ${\left(7^x\right)}^2$ − 7^x − 42 = 0

Fazendo y = 7^x, temos:

y² − y − 42 = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}y=7\\ \mathrm{ou}\\ y=-6\end{array}\end{array}$

Para y = 7, temos 7 = 7^x ⇒ x = 1.

Para y = −6, temos −6 = 7^x (impossível).

Portanto, S = {1}.

b) 81 = 10 ⋅ 3 ⋅ 3^x − ${{(3}^x)}^2$ ⇒ ${{(3}^x)}^2$ − 30 ⋅ 3^x + 81 = 0

Fazendo y = 3^x, temos:

y² − 30y + 81 = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}y=27\\ \mathrm{ou}\\ y=3\end{array}\end{array}$

Página trezentos e cinquenta e seis356

Para y = 27, temos 3³ = 3^x ⇒ x = 3.

Para y = 3, temos 3 = 3^x ⇒ x = 1.

Portanto, S = {1, 3}.

c) 4^x ⋅ 4⁻¹ + 8 = 3 ⋅ 2^x ⇒ ${{(2}^x)}^2$ ⋅ 0,25 + 8 = 3 ⋅ 2^x ⇒ 0,25 ⋅ ${{(2}^x)}^2$ − 3 ⋅ 2^x + 8 = 0

Fazendo y = 2^x, temos:

0,25y² − 3y + 8 = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}y=4\\ \mathrm{ou}\\ y=8\end{array}\end{array}$

Para y = 4, temos 2² = 2^x ⇒ x = 2.

Para y = 8, temos 2³ = 2^x ⇒ x = 3.

Portanto, S = {2, 3}.

43. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes utilizem a criatividade para compor equações de diferentes níveis de dificuldade, utilizando propriedades de potência e de radiciação estudadas na Unidade. É importante quêque eles compreendam quêque cada membro da equação deve sêrser indicado de maneira quêque todos possam sêrser escritos como potências de mesma base.

44. a) Analisando quêque f(1) = 3 = 3¹, f(2) = 9 = 3² e f(3) = 27 = 3³, temos quêque a lei de formação correta é a do item II.

b) f(4) = 3⁴ = 81 → 81 quadrados na côrcor laranja

c) 729 = 3^x ⇒ 3⁶ = 3^x ⇒ x = 6 → figura 6

45. Para determinar o ponto de interseção, fazemos:

${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^x$ + 1 = 6 ⋅ 2^x ⇒ ${{(2}^x)}^{-1}$ + 1 = 6 ⋅ 2^x ⇒ 6 ⋅ 2^x − 1 − ${{(2}^x)}^{-1}$ = 0

Fazendo y = 2^x, temos:

6y − 1 − y⁻¹ = 0 ⇒ 6y² − y − 1 = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}\\ \mathrm{ou}\\ y=-\frac{1}{3}\end{array}\end{array}$

Para y = $\frac{1}{2}$, temos 2⁻¹ = 2^x ⇒ x = −1.

Para y = $-\frac{1}{3}$, temos $-\frac{1}{3}$ = 2x (impossível).

f(−1) = 6 ⋅ 2⁻¹ = 3

Portanto, o ponto de interseção é (−1, 3).

46. alternativa c

1.000 ⋅ 2^0,0625t = 2.000 ⇒ 2^0,0625t = 2 ⇒ 0,0625t = 1 ⇒ t = 16 → 16 anos

47. a) p(0) = 6.561 ⋅ 3^{−0,4 ⋅ 0} = 6.561 → R$ 6.561,00

b) 6.561 ⋅ 3^−0,4t = 2.187 ⇒ 3^−0,4t = 3⁻¹ ⇒ −0,4t = −1 ⇒ t = 2,5

Portanto, 2,5 anos ou 2 anos e 6 meses.

c)

d) Pesquisa do estudante. Os estudantes podem responder, por exemplo, quêque um produto sofre depreciação em razão do lançamento de atualizações do mesmo produto no mercado e da sua obsolescência.

48. Atividade de elaboração do estudante. É importante quêque os estudantes compreendam quêque, ao descrever uma situação de depreciação com uma função exponencial relacionando o tempo e o valor, essa função deve sêrser decrescente, uma vez quêque o bem perde valor com o decorrer do tempo. Ainda nesta atividade, é importante quêque eles mostrem quêque compreenderam a utilização dessa função para representar situações de depreciação.

49. a) Como essa quantidade é reduzida à mêtádemetade a cada duas horas, temos:

1 ∶ 2 = 0,5

0,5 ∶ 2 = 0,25

Portanto, 0,5 mg e 0,25 mg, respectivamente.

b) Temos quêque, após 2 horas, o nível de nicotina será 0,5 mg. Assim:

I) f(2) = 1 − $\frac{2}{2}$ = 0 → não convém

II) f(2) = $\begin{array}{c}\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\end{array}$ → não convém

III) f(2) = $\begin{array}{c}{2}^{-\frac{2}{2}}\end{array}$ = 2⁻¹ = $\frac{1}{2}$ = 0,5

Logo, a lei da função quêque representa a situação é a III.

c)

Uma resposta possível:

O ponto (8; 0,06) indica quêque a quantidade de nicotina restante no organismo de uma pessoa quêque fumou um cigarro há 8 horas é de 0,06 mg.

d) $\begin{array}{c}{2}^{-\frac{1}{2}t}\end{array}$ = 1 ⋅ 2⁻⁵ ⇒ $-\frac{1}{2}$t = −5 ⇒ t = 10 → 10 horas

e) Pesquisa do estudante. Espera-se quêque os estudantes abordem, na peça publicitária, os malefícios do tabagismo para a saúde. Eles podem buscar as informações em sáitessites confiáveis, como o do Ministério da Saúde, do govêrnoGoverno Federal, e o do Instituto Nacional de Câncer (Inca). É importante quêque os estudantes se conscientizem e conscientizem a comunidade escolar do mal quêque o tabagismo representa à saúde pública.

50. a) $3^{2\left(x+2\right)}$ ≥ 3

Como a > 1, temos:

2x + 4 ≥ 1 ⇒ x ≥ $-\frac{3}{2}$

Portanto, S = $\begin{array}{c}\left\{x\in \mathrm{R}x⩾-\frac{3}{2}\right\}\end{array}$

b) ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^{2\left(5-3x\right)}$ ≤ ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^{x+1}$

Como 0 < a < 1, temos:

10 − 6x ≥ x + 1 ⇒ x ≤ $\frac{9}{7}$

Portanto, S = $\begin{array}{c}\left\{x\in \mathbb{R}x⩽\frac{9}{7}\right\}\end{array}$.

c) $7^{x^2-3x}$ < 7^−2(3x)

Como a > 1, temos:

x² − 3x < −6x ⇒ −3 < x < 0

Portanto, S = {x ∈ ℝ | −3 < x < 0}.

d) 6^{2x − 10} > 6⁰

Como a > 1, temos:

2x − 10 > 0 ⇒ x > 5

Portanto, S = {x ∈ ℝ | x > 5}.

e) ${\begin{array}{c}\left(\frac{3}{4}\right)\end{array}}^{x^2-4}$ ≥ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{4}\right)}^0\end{array}$

Como 0 < a < 1, temos:

x² − 4 ≤ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2

Portanto, S = {x ∈ ℝ | −2 ≤ x ≤ 2}.

f) 2^x ⋅ 2³ − 2^x ⋅ 2 < 768 ⇒ 2^x ⋅ (2³ − 2) < 768 ⇒ 2^x < 128 ⇒ 2^x < 2⁷ ⇒ x < 7

Portanto, S = {x ∈ ℝ | x < 7}.

51. a) 4^{3x + 1} − 512 ≥ 0 ⇒ 2^{2(3x + 1)} ≥ 2⁹ ⇒ 6x + 2 ≥ 9 ⇒ x ≥ $\frac{7}{6}$

Logo, D(f) = $\begin{array}{c}\left\{x\in \mathbb{R}x\ge \frac{7}{6}\right\}\end{array}$.

b) ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{3}\right)\end{array}}^{x-5}$ − $\frac{1}{729}$ > 0 ⇒ 3^{−(x − 5)} > 3⁻⁶ ⇒ −x + 5 > −6 ⇒ x < 11

Logo, D(g) = {x ∈ ℝ | x < 11}.

c) 7^{x + 1} − ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{7}\right)\end{array}}^{2x+3}$ ≥ 0 ⇒ 7^{x + 1} ≥ 7^{−(2x + 3)} ⇒ x + 1 ≥ −2x − 3 ⇒ x ≥ $-\frac{4}{3}$

Logo, D(h) = $\begin{array}{c}\left\{x\in \mathbb{R}x⩾-\frac{4}{3}\right\}\end{array}$.

d) 5^−x ⋅ 5 + 5^−x ⋅ 5⁻² − 126 ≥ 0 ⇒ 5^−x ⋅ (5 + 5⁻²) ≥ 126 ⇒5^−x ≥ 5² ⇒ x ≤ −2

Logo, D(m) = {x ∈ ℝ | x ≤ −2}.

52. alternativa b

Analisando o intervalo em quêque o gráfico da função f está abaixo da função g, temos: S = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 4}.

53. 4^{x + 3} − 4^{x − 2} ≥ 1.023 ⇒ 4^x ⋅ (4³ − 4⁻²) ≥ 1.023 ⇒ 4^x ⋅ $\frac{1023}{16}$ ≥ 1.023 ⇒ 4^x ≥ 4² ⇒ x ≥ 2

Logo, S = {x ∈ ℝ | x ≥ 2}.

54. a) Considerando quêque a massa do medicamento diminui 40% a cada hora, resta 60% a cada hora. Então, temos:

m(t) = 1.250 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{60}{100}\right)}^t\end{array}$ ⇒ m(t) = 1.250 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{5}\right)}^t\end{array}$.

b) 1.250 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{5}\right)}^t\end{array}$ < 162 ⇒ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{5}\right)}^t\end{array}$ < $\frac{162}{1250}$ ⇒ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{5}\right)}^t\end{array}$ < $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{5}\right)}^4\end{array}$ ⇒ t > 4 → após 4 horas

Página trezentos e cinquenta e sete357

55. alternativa d

Como o montante M dobra todo ano, temos M = 2.500 ⋅ 2^t. Assim, temos:

M > 40.000 ⇒ 2.500 ⋅ 2^t > 40.000 ⇒ 2^t > $\frac{40000}{2500}$ ⇒ 2^t > 16 ⇒ t > 4 → 4 anos

56. alternativa c

Analisando diretamente os gráficos e sabendo quêque a capitalização, no primeiro intervalo de tempo, se deu de modo linear (juro simples) e, no segundo período, se deu de maneira exponencial (juro composto), conclui-se quêque o gráfico quêque melhor representa essa variação do montante é apresentado pela alternativa c.

57. a) R$ 3.150,00; R$ 600,00

b) 3.150 + 126t = 3.780 ⇒ 126t = 630 ⇒ t = 5 → junho de 2024

c) • Sérgio: 3.780 = 3.150 ⋅ (1 + 5i) ⇒ 1,2 = 1 + 5i ⇒ i = 0,04 → 4% ao mês

• Carla: 1 + i = 1,03 ⇒ i = 0,03 → 3% ao mês

d) M = 600 ⋅ (1,03)¹¹ ⇒ M ≃ 830,54 → aproximadamente R$ 830,54

58. a) B. Resposta esperada: Porque, a partir do 2º mês nesse investimento, as razões entre os montantes de cértocerto mês e o mês anterior são aproximadamente iguais.

b) Considerando o investimento A, temos:

j = 560 − 530 = 30

c = 530 − 30 = 500 → R$ 500,00

c) A: 530 = 500 ⋅ (1 + i) ⇒ i = 0,06 → 6%

B: 525 = 500 ⋅ (1 + i) ⇒ i = 0,05 → 5%

d) A: Considerando quêque o capital é de R$ 500,00 e o juro é de R$ 30,00 a cada intervalo de tempo, temos:

M(t) = 30t + 500, função afim.

B: Considerando quêque o capital é de R$ 500,00 e quêque o montante aumenta em 5% ao mês, temos:

M(t) = 500 ⋅ (1,05)^t, função do tipo exponencial.

e) Analisando os dados da planilha, podemos comparar os meses em quêque A é mais rentável e os meses em quêque B é mais rentável. Assim, temos: A: de 1 a 8 meses; B: a partir de 9 meses.

f) Considerando quêque o capital é R$ 500,00 e a resposta ao item e, temos quêque o gráfico quêque representa esses investimentos é o II.

59. alternativa e

Considerando quêque, no primeiro ano de funcionamento, a indústria fabricou 8.000 unidades e quêque a produção aumenta 50% por ano, temos:

P(t) = 8.000 ⋅ 1,5^{t − 1}

60. a) P(5) = 8.000 ⋅ 1,5⁴ ⇒ P(5) = 40.500 → 40.500 unidades

b) P(7) = 8.000 ⋅ 1,5⁶ ⇒ P(7) = 91.125 → 91.125 unidades

61. a) Analisando o ponto em quêque o gráfico intersecta o eixo y, concluímos quêque Marcela estuda investir R$ 5.000,00.

b) Analisando o valor da ordenada do ponto do gráfico de abscissa 6, temos quêque, ao final dos 6 anos de aplicação, Marcela vai obtêrobter o montante de R$ 9.649,75.

c) Para os três primeiros anos, ou seja, 0 ≤ t ≤ 3, a aplicação foi a juro compôztocomposto, em quêque o montante é dado por M(t) = C ⋅ ${\left(1+i\right)}^t$.

Para C = 5.000, M = 6.655 e t = 3, temos:

6.655 = 5.000 ⋅ (1 + i)³ ⇒ 1,331 = (1 + i)³ ⇒ 1 + i = $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\mathrm{1,331}}\end{array}$ ⇒ i = 0,1

Logo, M(t) = 5.000 ⋅ (1 + 0,1)^t ⇒ M(t) = 5.000 ⋅ (1,1)^t.

Para os três últimos anos, ou seja, 3 < t ≤ 6 a aplicação foi a juro simples, em quêque o montante é dado por M(t) = C ⋅ (1 + i ⋅ t).

Como não temos o valor do capital inicial, vamos determinar a expressão utilizando a lei da função afim f(x) = ax + b e os pontos (6; 9.649,75) e (3; 6.655,00). Assim:

9.649,75 = 6a + b (I)

6.655,00 = 3a + b (II)

Subtraindo II de I, temos:

2.994,75 = 3a ⇒ a = 998,25

Substituindo a = 998,25 em I, temos:

9.649,75 = 6 ⋅ 998,25 + b ⇒ b = 9.649,75 − 5.989,50 = 3.660,25

Logo, M(t) = 998,25t + 3.660,25.

Assim,

M(t)= $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}5000\cdot (\mathrm{1,1}{)}^t,\mathrm{se}0⩽t⩽3\\ \mathrm{998,25}t+\mathrm{3660,25},\mathrm{se}3<t⩽6\end{array}\end{array}$

62. a) f(0) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^0$ = 1;

f(1) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^1$ = $\frac{1}{2}$;

f(2) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^2$ = $\frac{1}{4}$;

f(3) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^3$ = $\frac{1}{8}$;

f(4) = ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^4$ = $\frac{1}{16}$

1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$ e $\frac{1}{16}$

b)q = $\frac{\frac{1}{2}}{1}$ = $\frac{1}{2}$

c)

63. a) A: 5 ∶ 2 = 2,5; 8 ∶ 5 = 1,6

B: 32 ∶ 4 = 8; 256 ∶ 32 = 8; 2.048 ∶ 256 = 8; 16.384 ∶ 2.048 = 8

População submetida à substância B, pois a razão entre a quantidade de indivíduos dessa população de uma medição e da anterior, a partir da 2ª medição, é constante e igual a 8.

b) 2 = 1a + b (I)

5 = 2a + b (II)

Subtraindo II de I, temos:

3 = 1a ⇒ a = 3

Substituindo a = 3 em I, temos:

2 = 1 ⋅ 3 + b ⇒ b = −1

Logo, f(m) = 3m − 1.

g(m) = c ⋅ d^m−1.

Como a razão da PG é 8, temos quêque d = 8. Como g(1) = 4, temos:

4 = c ⋅ 8^{1 − 1} ⇒ c = 4. Assim, g(m) = 4 ⋅ 8^m−1.

Logo, a = 3, b = − 1, c = 4 e d = 8, e as funções são f(m) = 3m − 1 e g(m) = 4 ⋅ 8^m−1.

c) A: f(7) = 3 ⋅ 7 − 1 = 21 − 1 = 20 → 20 bactérias

B: g(7) = 4 ⋅ 8⁷⁻¹ = 4 ⋅ 8⁶ = 4 ⋅ 262.144 = 1.048.576 → 1.048.576 bactérias

64. a) (200, 100, 50, 25,...); q = $\frac{100}{200}=\frac{1}{2}$

b) Resposta esperada: f: ℕ → ℝ, dada por f(x) = 200 ⋅ ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^x$.

65. a) função f: q = $\frac{4}{2}$ = 2

função g: q = $\frac{3}{1}$ = 3

A razão da PG determinada pela função f é 2, e a razão da PG determinada pela função g é 3.

b) f(1) = 2 ⇒ a¹ = 2 ⇒ a = 2; f(x) = 2^x

g(3) = 3 ⇒ b^{3 − 2} = 3 ⇒ b = 3;

g(x) = 3^{x − 2}

66. alternativa c

De acôr-doacordo com o enunciado, o conjunto imagem de f corresponde a uma PG de razão −2 e a₁ = 1. Assim, temos quêque:

a₂ = −2 ⋅ a₁ = −2 ⋅ 1 = −2

a₁ = f(1) ⇒ 1 = p ⋅ q¹ ⇒ 1 = p ⋅ q (I)

a₂ = f(2) ⇒ −2 = p ⋅ q² ⇒ −2 = p ⋅ q ⋅ q (II)

Substituindo o valor de p ⋅ q = 1 de I em II, temos:

−2 = 1 ⋅ q ⇒ q = −2

Substituindo q = −2 em I, temos:

1 = p ⋅ (−2) ⇒ p = $-\frac{1}{2}$

Assim, p + q = $-\frac{1}{2}$ + (−2) = $-\frac{5}{2}$.

67. Atividade de elaboração do estudante. Espera-se quêque os estudantes possam relacionar os conceitos estudados de função exponencial e PG, bem como compor uma lei de formação de algum caso real quêque pódepode sêrser descrito por elas. Conversar com os estudantes sobre tipos de contextos a quêque essa função se aplica.

Integrando com...

1. Resposta esperada: Luzia é o fóssil humano mais antigo encontrado na América. Com base em seu crânio, foi possível estimar o período em quêque esse sêrser humano viveu, o quêque possibilitou o avanço nos estudos e na investigação de como foi o povoamento dêêssedesse continente.

Página trezentos e cinquenta e oito358

2. Resposta esperada: Não, pois esse método de datação com ¹⁴C é eficiente para fósseis quêque viveram há até 75.000 anos; em fósseis mais antigos é difícil detectar a presença dêêssedesse isótopo.

3. a) 5.730 anos. Indica quêque, a cada 5.730 anos, a quantidade de ¹⁴C diminui pela mêtádemetade em um fóssil, em relação ao período anterior.

b) duas meias-vidas:

5.730 ⋅ 2 = 11.460 → 11.460 anos três meias-vidas:

5.730 ⋅ 3 = 17.190 → 17.190 anos

c) Aproximadamente duas meias-vidas, pois os arqueólogos acreditam quêque Luzia tenha vivido há mais de 11 mil anos.

d) n(x) = n ⋅ ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^x$, em quêque n₀ é a quantidade de ¹⁴C presente no indivíduo quando ele estava vivo.

e) Resposta esperada: Temos quêque 40.000 anos correspondem a aproximadamente sete meias-vidas do ¹⁴C, pois 7 ⋅ 5.730 = 40.110. Assim, n(7) = n₀ ⋅ ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^7$ = n₀ ⋅ $\frac{1}{128}$ = 0,0078125 n₀, ou seja, em um fóssil datado com cerca de 40 mil anos, a quantidade remanescente de ¹⁴C é aproximadamente 0,78% daquela quêque havia no indivíduo quando ele estava vivo.

4. Pesquisa do estudante. Espera-se quêque os estudantes abordem, em seus textos, argumentos com justificativas para a teoria escolhida por eles e percêbampercebam quêque bons argumentos, geralmente, estão acompanhados de dados de fontes confiáveis.

O quêque estudei

1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal.

3. Respostas pessoais.

4. a) I) 256 ⋅ 2³⁰ = 2⁸ ⋅ 2³⁰ = 2³⁸ → 2³⁸ B

II) 2 ⋅ 2²⁰ = 2²¹ → 2²¹ B

As fotografias devem ocupar 50% de 2³⁸ B, ou seja, mêtádemetade da memória do smartphone. Assim, temos:

$\begin{array}{c}\frac{2^{38}}{2}\end{array}$ = 2³⁷

Dividindo a memória ocupada pelo tamãnhotamanho de cada fotografia, temos:

$\begin{array}{c}\frac{2^{37}}{2^{21}}\end{array}$ = 2¹⁶ = 65.536 ≃ 65.500

Portanto, a alternativa quêque mais se aproxima é 65.000 fotografias.

b) I) tipo exponencial

II) C(100) = −150 ⋅ ${\begin{array}{c}\left(\frac{4}{5}\right)\end{array}}^{\mathrm{0,04}\mathrm{}\cdot \mathrm{}100}$ + 150 = −150 ⋅ $\frac{256}{625}$ + 150 = 88,56

C(100) = 88,56, o quêque indica quêque, após 100 min carregando, a bateria do smartphone estava com 88,56% de sua capacidade carregada.

III)

O smartphone estará completamente carregado quando passados aproximadamente 120 min ou 2 h.

c) I) f(0) = 2.000 ⇒ a ⋅ 2^{b ⋅ 0} = 2.000 ⇒ a = 2.000

f(10) = 1.000 ⇒ 2.000 ⋅ 2^{b ⋅ 10} = 1.000 ⇒ 2^{b ⋅ 10} = 2⁻¹ ⇒ 10b = −1 ⇒ b = −0,1

Logo, f(x) = 2.000 ⋅ 2^−0,1x.

II) f(5) = 2.000 ⋅ 2^{−0,1 ⋅ 5} ≃ 1.414,21 → aproximadamente R$ 1.414,21

Praticando: enêmEnem e vestibulares

1. alternativa d

P(0) = 40 ⋅ 2^{3 ⋅ 0} = 40

Como 20 min correspondem a $\frac{1}{3}$ de hora, temos:

P$\left(\frac{1}{3}\right)$ = 40 ⋅ $\begin{array}{c}{2}^{3\cdot \frac{1}{3}}\end{array}$ = 80

Portanto, após 20 min, a população de bactérias será duplicada.

2. alternativa d

7,8 ⋅ 10⁻⁶ = $\frac{78}{d}$ ⇒ d = $\begin{array}{c}\frac{78}{\mathrm{7,8}\cdot {10}^{-6}}=\frac{78}{78\cdot {10}^{-7}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{{10}^{-7}}\end{array}$ = 10⁷ = 10.000.000

3. alternativa c

$\begin{array}{c}\frac{a^3-b^3}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+\mathrm{ab}+b^2\right)}{a-b}\end{array}$ = a² + ab + b²

Fazendo a = 27 e b = 26, temos:

27² + 27 ⋅ 26 + 26² = 729 + 702 + 676 = 2.107

4. alternativa d

P(0) = 200 ⋅ $\begin{array}{c}{3}^{\frac{3}{2}\cdot 0}\end{array}$ = 200

3 ⋅ 200 = 200 ⋅ $\begin{array}{c}{3}^{\frac{3}{2}t}\end{array}$ ⇒ 3 = $\begin{array}{c}{3}^{\frac{3}{2}t}\end{array}$ ⇒ 1 = $\frac{3}{2}$ t ⇒ t = $\frac{2}{3}\to \frac{2}{3}$ ano ou 8 meses

5. alternativa c

De acôr-doacordo com o enunciado, temos:

• V = 200.000

• y = 200.000 ∶ 2 = 100.000 para x = 4

Substituindo esses valores na expressão dada, temos quêque:

100.000 = 200.000 ⋅ a⁴ ⇒ a⁴ = $\frac{1}{2}$ ⇒ a = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\end{array}$ ou

a = $\begin{array}{c}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\end{array}$ (não convém)

Calculando y para x = 8, temos:

y = 200.000 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}\cdot 8}\end{array}$ = 200.000 ⋅ ${\begin{array}{c}\left(\frac{1}{2}\right)\end{array}}^2$ = 200.000 ⋅ $\frac{1}{4}$ = 50.000 → R$ 50.000,00

6. alternativa c

V(4) = 5 + 2⁴ = 21

V(5) = 5 + 2⁵ = 37

V(6) = 5 + 2⁶ = 69

21 + 37 + 69 = 127 → 127 refrigeradores

7. alternativa 02

N(t) = ${{(3}^2)}^t$ − 2 ⋅ 3^t + 3 = ${{(3}^t)}^2$ − 2 ⋅ 3^t + 3

Adotando x = 3^t, temos

N(x) = x² − 2x + 3. Assim:

N(x) > 678 ⇒ x² − 2x + 3 > 678 ⇒ x² − 2x − 675 > 0 ⇒ x < −25 ou x > 27

Voltando para a variável t, temos:

3^t < −25 (não convém)

3^t > 27 ⇒ 3^t > 3³ ⇒ t > 3

Logo, o tempo mínimo necessário para o número de colônias ultrapassar 678 é de 3 horas.

8. alternativa e

2^{x + 3} = 32 ⇒ 2^{x + 3} = 2⁵ ⇒ x + 3 = 5 ⇒ x = 2

2^−x = 2⁻² = $\frac{1}{4}$

9. alternativa a

6,4 ⋅ 10¹⁰ = 10⁹ ⋅ 4^3t ⇒ 6,4 ⋅ 10 = 4^3t ⇒ 2⁶ = 2^6t ⇒ t = 1 → 1 hora

10. alternativa c

Como o crescimento é exponencial, podemos representar a produção de cada mês, em milhar de unidade, por uma função f cuja lei de formação é dada por f(x) = k ⋅ a^x, sêndosendo x o número do mês correspondente (janeiro: 0, fevereiro: 1, março: 2, abril: 3) e a e k constantes reais, com a ≠ 0.

Assim, temos:

x = 0 → f(0) = k ⋅ a⁰ ⇒ 120 = k ⋅ 1 ⇒ k = 120

Segue-se quêque:

x = 3 → f(3) = 120 ⋅ a³ ⇒ 960 = 120 ⋅ a³ ⇒ a³ = 8 ⇒ a = 2

Dessa maneira, temos f(x) = 120 ⋅ 2^x.

Calculando f(1), obtemos a produção de fevereiro:

f(1) = 120 ⋅ 2¹ = 240 → 240 mil peças

11. alternativa c

Q(t) = q₀ ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{12}}\end{array}$ → 10 = q₀ ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{36}{12}}\end{array}$ ⇒ 10 = q₀ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⇒ q₀ = 80 → 80 mg

12. alternativa b

I) falsa, pois, por exemplo, para x = −1, temos:

3⁻¹ − 2⁻¹ = $\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{6}$ e $-\frac{1}{6}$ < 0

II) verdadeira, pois:

3^2x ≥ 3^x − 2^x ⇒ 3^2x − 3^x + 2^x ≥ 0 ⇒ 3^x $\left(3^x-1+\left(\frac{2^x}{3^x}\right)\right)$ ≥ 0 ⇒ 3^x − 1 + $\begin{array}{c}{\left(\frac{2}{3}\right)}^x\end{array}$ ≥ 0