UNIDADE 5
ANÁLISE COMBINATÓRIA

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Em seu entendimento, qual é a finalidade de uma senha?

2. por quêPor que devemos usar senhas fortes?

3. Em alguns casos, o cadastro de uma senha precisa ocorrer com base em uma formatação padronizada, como uma quantidade específica de caracteres correspondentes a lêtrasletras e a algarismos. Nesses casos, explique como é possível determinar a quantidade de senhas distintas quêque podem sêrser formadas.

Página duzentos200

O estudo da Análise Combinatória

Na abertura desta Unidade, abordamos algumas informações sobre o uso e a criação de senhas. Um dos aspectos de estudo sobre esse assunto é determinar, por exemplo, quantas senhas distintas podem sêrser compostas de acôr-doacordo com as especificações de seu formato.

Você tem cadastro no portal gov.br? Esse portal, quêque também pódepode sêrser acessado por meio de aplicativo de celular, permite ao usuário acesso a todos os serviços disponibilizados digitalmente pelo govêrnogoverno federal, desde quêque estejam integrados a essa platafórmaplataforma. Com o objetivo de aumentar a segurança, a senha cadastrada pelo usuário nesse portal deve sêrser criada seguindo algumas regras. Analise, a seguir, a tela para o cadastro de senha de um novo usuário nesse sistema.

PARA AMPLIAR

Note quêque, no portal gov.br, o usuário deve considerar uma série de exigências para cadastrar uma senha, como a quantidade de caracteres (de 8 a 70) e o uso obrigatório de certos tipos de caractere (letras maiúsculas e minúsculas, números e símbolos).

O estudo de conceitos relacionados à Análise Combinatória, quêque realizaremos nesta Unidade, possibilita, por exemplo, determinar a quantidade total de senhas quêque podem sêrser cadastradas no portal mencionado, sem ter de contá-las uma a uma. De maneira geral, a Análise Combinatória se ocupa em estudar situações relacionadas à contagem de agrupamentos de elemêntoselementos de diferentes conjuntos, como aquelas quêque envolvem senha, loteria, criptografia, entre outras.

Página duzentos e um201

Princípio fundamental da contagem

Em anos anteriores, você possivelmente estudou o princípio fundamental da contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo. Agora, retomaremos e ampliaremos esse assunto. Para isso, considere a situação descrita a seguir.

Um fabricante de dispositivos eletrônicos disponibilizou aos clientes um novo modelo de táblêtitablet em sua loja virtual. Para realizar uma encomenda, é necessário quêque o cliente selecione a côrcor e a capacidade de armazenamento do dispositivo, conforme as opções a seguir.

De acôr-doacordo com as opções de côrcor e de capacidade de armazenamento, podemos representar todas as possibilidades de escolha disponíveis para o cliente por meio de uma árvore de possibilidades. Acompanhe.

DICA

Note quêque, para fazer a árvore de possibilidades, é preciso ter certa organização a fim de não repetir ou omitir algum caso possível.

PARA PENSAR

Quantas configurações do táblêtitablet são possíveis na côrcor branca? E com 128 GB de capacidade de armazenamento de dados?

3 configurações; 4 configurações

Página duzentos e dois202

Essas possibilidades também podem sêrser representadas em uma tabélatabela de dupla entrada.

Configurações do táblêtitablet de acôr-doacordo com a côrcor e a capacidade de armazenamento de dados

PARA PENSAR

Com um colega, pensem em outras situações em quêque vocês precisem realizar uma contagem de acôr-doacordo com diferentes critérios (pelo menos 3).

Para cada situação, desenhem a árvore de possibilidades.

Resposta pessoal.

Note quêque a configuração do táblêtitablet ocorre em duas etapas: escolha de uma côrcor, com quatro cores distintas possíveis, e escolha de uma capacidade de armazenamento de dados, com três capacidades distintas possíveis. Então, para cada possibilidade de côrcor, temos três possibilidades de capacidade de armazenamento. Assim, podemos determinar a quantidade total de configurações possíveis por meio da multiplicação a seguir.

Essa última estratégia é conhecida como princípio fundamental da contagem. Portanto, verificamos pela árvore de possibilidades, pela tabélatabela de dupla entrada e pelo princípio fundamental da contagem quêque esse modelo de táblêtitablet pódepode sêrser configurado de 12 maneiras distintas.

Acompanhe, a seguir, a definição do princípio fundamental da contagem.

DICA

De acôr-doacordo com o conceito de princípio fundamental da contagem apresentado, a sequência de experimentos deve sêrser identificada conforme o contexto da situação analisada. Por exemplo, na situação da configuração do táblêtitablet, as escôlhasescolhas da côrcor e da capacidade de armazenamento do aparelho constituem a sequência de experimentos considerada.

Agora, considere a situação descrita a seguir.

Na eleição para a diretoria de um grêmio estudantil, candidataram-se quatro estudantes. De acôr-doacordo com o regulamento dessa eleição, o candidato mais votado ocuparia o cargo de presidente do grêmio, o segundo, de vice-presidente e o terceiro, de tesoureiro. De quantas maneiras distintas é possível formárformar essa diretoria do grêmio?

Página duzentos e três203

Analise como podemos resolver essa situação utilizando a árvore de possibilidades e o princípio fundamental da contagem.

Representando os quatro candidatos por A, B, C e D, temos:

PARA PENSAR

Nessa eleição, é possível quêque um mesmo candidato seja eleito para mais de um cargo na diretoria do grêmio estudantil? Explique.

Resposta esperada: Não, pois um mesmo candidato não pódepode estar em mais de uma posição na classificação dessa eleição, a qual determina o cargo a sêrser ocupado na diretoria.

Note quêque são quatro possibilidades para se ocupar o cargo de presidente do grêmio. Para o cargo de vice-presidente, são três possibilidades, uma vez quêque um dos candidatos já terá ocupado o cargo de presidente. Por fim, para o cargo de tesoureiro, são duas possibilidades, pois um candidato já terá ocupado o cargo de presidente e outro, o de vice-presidente. Assim, temos:

Portanto, nessa eleição, a diretoria do grêmio estudantil pódepode sêrser formada de 24 maneiras distintas.

DICA

Note quêque esse total é o mesmo quêque você obtém se contar todas as possibilidades da árvore.

Página duzentos e quatro204

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Em cértocerto jôgojogo de videogame, é possível quêque o jogador configure o próprio tímetime de futebólfutebol de acôr-doacordo com o quêque deseja, personalizando elemêntoselementos como nome, país, uniforme, entre outros itens. O uniforme, por exemplo, compôztocomposto de um par de meiões, um calção e uma camisa, pódepode sêrser personalizado, estando disponíveis três, dois e cinco modelos de cada tipo dessas peças, respectivamente. Nesse jôgojogo, de quantas maneiras distintas pódepode sêrser personalizado o uniforme de um tímetime de futebólfutebol?

Resolução

Para indicar todas as maneiras distintas quêque o uniforme pódepode sêrser personalizado, podemos utilizar a árvore de possibilidades. Sendo M₁, M₂ e M₃ os modelos de par de meiões, C₁ e C₂ os modelos de calção, e A₁, A₂, A₃, A₄ e A₅ os modelos de camisa, temos o diagrama representado.

Note quêque, na prática, a construção dessa árvore de possibilidades é trabalhosa. Em casos como esse, outra estratégia é aplicar o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.

3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 30

Portanto, há 30 maneiras distintas para sêrser personalizado esse uniforme.

R2. O Novo Basquete Brasil (NBB) é o mais importante campeonato masculino de basquete do país. Na fase de classificação da edição 2023/2024, foram realizadas, ao todo, 342 partidas. Nessa fase, as equipes jogam duas vezes contra cada uma das demais, no sistema de ida e volta. Quantas equipes participaram da fase de classificação dessa edição do NBB?

Fonte dos dados: LIGA NACIONAL DE BASQUETE. Novo Basquete Brasil: classificação 2023/2024. [S. l.]: LNB, c2009-2024. Disponível em: https://livro.pw/mghdu. Acesso em: 10 out. 2024.

Resolução

Seja x a quantidade de equipes quêque participaram da edição 2023/2024 do NBB. Como, nessa edição, foram realizadas 342 partidas e as equipes jogavam duas vezes contra cada uma das demais, pelo princípio fundamental da contagem, temos:

x ⋅ (x − 1) = 342 ⇒ x² − x − 342 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, temos:

x = $\frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt[]{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-342\right)}}{2\cdot 1}$ ⇒ x = $\frac{1\pm \sqrt[]{1.369}}{2}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\frac{1+37}{2}=\frac{38}{2}=19\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{1-37}{2}=\frac{-36}{2}=-18\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, 19 equipes participaram da edição 2023/2024 do NBB.

Página duzentos e cinco205

R3. Um clube de assinatura de leitura disponibiliza, todo mês, cinco obras literárias em três formatos: livro impresso, livro digital e audiolivro. Os assinantes devem escolher, todo mês, um kit compôztocomposto de dois títulos de livros, necessariamente distintos, sêndosendo um no formato impresso e um no digital. Além díssudisso, é opcional adicionar a esse kit um título qualquer, entre os disponíveis no mês, em formato de audiolivro. Quantos kits distintos podem sêrser escolhidos por um assinante dêêssedesse clube em determinado mês?

Resolução

Como a escolha do livro em formato audiolivro é opcional, pelo princípio fundamental da contagem, temos quêque a quantidade distinta de kits:

• com audiolivro, é dada por: 5 ⋅ 4 ⋅ 5 = 100;

• sem audiolivro, é dada por: 5 ⋅ 4 = 20.

Como o assinante dêêssedesse clube de leitura pódepode compor o kit do mês com ou sem audiolivro, ele tem a sua disposição 120 kits distintos (100 + 20 = 120).

ATIVIDADES

1. A secretaria de obras de um município construiu três terminais de ônibus, A, B e C, com o objetivo de facilitar a locomoção da população entre diferentes bairros. Há três linhas de ônibus quêque ligam os terminais A e B e cinco linhas quêque ligam os terminais B e C. Camila deseja se deslocar de ônibus do terminal A até o C. De quantas maneiras distintas ela pódepode realizar esse deslocamento? Faça uma representação quêque evidencie todas as possibilidades.

15 maneiras. Resposta nas Orientações para o professor.

2. Marta e André são casados e têm 54 e 50 anos, respectivamente. Para fotografar a família, eles vão reunir os filhos Telma, Sofia, Lucas e Vinícius, cujas respectivas idades são 20, 16, 15 e 11 anos. Sabendo quêque eles vão se organizar lado a lado e quêque todos os filhos devem ficar entre os pais, determine de quantas maneiras distintas todos podem posar para essa fotografia.

48 maneiras

• Para resolver essa atividade, você usou todos os dados apresentados no enunciado? Converse com um colega sobre isso.

• Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes indiquem quêque não utilizaram todos os dados do enunciado da atividade. Por exemplo, os dados sobre as idades do casal e dos filhos não são necessários para resolver a atividade.

3. Para realizar uma pesquisa estatística, os estudantes de uma turma de Ensino Médio aplicaram um questionário compôztocomposto de seis kestõesquestões para uma amostra de 30 pessoas. Cada quêquestão apresentava quatro opções de respostas distintas, em que os entrevistados deveriam assinalar apenas uma delas.

a) Quantas composições distintas de respostas podem sêrser apresentadas nesse questionário?

4.096 composições

b) É possível quêque todos os entrevistados dessa pesquisa apresentem composições de respostas distintas entre si? Justifique sua resposta.

Sim, pois a quantidade de composições distintas de respostas (4.096) é maior quêque a quantidade de pessoas entrevistadas (30).

Página duzentos e seis206

4. As finais das competições individuais de ginástica artística geralmente são disputadas por oito atletas. As pontuações de diferentes provas realizadas nessas finais definem os três primeiros lugares quêque, juntos, configuram o pódio da competição: primeiro, segundo e terceiro lugares. Considerando os oito atletas quêque disputam as finais, de quantas maneiras distintas pódepode sêrser compôztocomposto o pódio? Explique com suas palavras como você pensou.

336 maneiras. Resposta pessoal.

5. Em 2023, foram desenvolvidos diferentes tipos de próvaprova na primeira fase da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), de acôr-doacordo com o nível de escolaridade dos estudantes. A próvaprova do nível 1, por exemplo, para estudantes do 6º e 7º anos do Ensino Fundamental, era composta de 20 kestõesquestões com cinco alternativas cada.

Fonte dos dados: INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Provas e Soluções. Rio de Janeiro: Impa: Obmep, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/dvjvn. Acesso em: 15 ago. 2024.

Considerando quêque os estudantes devem assinalar uma única alternativa em cada quêquestão, determine a quantidade de composições distintas de respostas que pódepode ter essa próvaprova do nível 1. Expresse a resposta utilizando potências e explique como você pensou.

5²⁰ composições. Resposta pessoal.

6. Sabe-se quêque a senha de um computador é formada por seis algarismos distintos e quêque uma pessoa demora cerca de 20 s para testar uma possível senha. Quantas horas, no mássimomáximo, essa pessoa pódepode demorar para descobrir a senha correta? Explique como você pensou.

840 h. Resposta pessoal.

7. Em um sarau, estudantes de uma escola realizarão, individualmente, apresentações artísticas, como música, pintura e dança. Nesse sarau, serão compostos vários painéis de algum tipo de; ár-tede arte com duas apresentações cada. Dos estudantes quêque vão se apresentar, 20 são moças e 15 são rapazes. Além díssudisso, sabe-se quêque 40% das moças e $\frac{2}{5}$ dos rapazes apresentarão dança. De quantas maneiras distintas os painéis podem sêrser formados, de modo quêque cada um deles tenha duas apresentações de dança, sêndosendo uma de moça e outra de rapaz?

48 maneiras

8. No Teatro Dom Casmurro, as poltronas destinadas à plateia são organizadas de acôr-doacordo com três setores: Bentinho, Capitu e Escobar. Cada setor tem a mesma quantidade de poltronas, quêque são identificadas por um cóódigocódigo formado por uma letra do alfabeto (de 26 lêtrasletras disponíveis), seguida por um número natural de 1 até 20. Observe um exemplo de ingresso dêêssedesse teatro.

Quantas poltronas há ao todo nesse teatro, sabendo quêque, em cada setor, todos os possíveis códigos são utilizados? Explique como você pensou.

1.560 poltronas. Resposta pessoal.

9. Considere todos os números de dois algarismos quêque podem sêrser formados utilizando apenas os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7.

a) Quantos são esses números?

25 números

b) Quantos dêêssesdesses números têm todos os algarismos distintos?

20 números

c) Quantos dêêssesdesses números são pares?

10 números

d) Quantos dêêssesdesses números são ímpares?

15 números

10. Em uma competição de cubo mágico realizada em uma escola, cada competidor disputou uma única partida contra cada um dos demais na primeira etapa. Vencia quem resolvesse o cubo mágico no menor tempo.

Sabendo quêque nessa etapa da competição foram realizadas 190 partidas, quantos competidores participaram? Explique como você pensou.

20 competidores. Resposta pessoal.

11. A equação de incógnita x indicada a seguir tem como solução um número inteiro.

2x + 1 = m + n

Sendo m ∈ {1, 2, 3, 4, 6} e n ∈ {1, 2, 3, 5, 7}, determine quantas maneiras distintas há para escolher os números m e n.

14 maneiras

Página duzentos e sete207

12. (Enem/MEC) O cóódigoCódigo de Endereçamento Postal (sépiCEP) é um cóódigocódigo numérico constituído por oito algarismos. Seu objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o tratamento e a distribuição de objetos postados nos Correios. Ele está estruturado segundo o sistema métrico decimal, sêndosendo quêque cada um dos algarismos quêque o compõe codifica região, sub-região, setor, subsetor, divisor de subsetor e identificadores de distribuição, conforme apresenta a ilustração.

O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais para fins de codificação. Cada região foi dividida em dez sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida em dez setores. Cada setor, dividido em dez subsetores. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez divisores de subsetor. Além díssudisso, sabe-se quêque os três últimos algarismos após o hífênhífen são denominados de sufixos e destinam-se à identificação individual de localidades, logradouros, códigos especiais e unidades dos Correios. A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logradouros brasileiros inicia em 000 e termina em 899.

Disponível em: https://livro.pw/djpte. Acesso em: 22 ago. 2014 (adaptado).

Quantos CEPs podem sêrser formados para a codificação de logradouros no Brasil?

a) 5 ⋅ 0 + 9 ⋅ 10²

b) 10⁵ + 9 ⋅ 10²

c) 2 ⋅ 9 ⋅ 10⁷

d) 9 ⋅ 10²

e) 9 ⋅ 10⁷

alternativa e

13. O Cadastro de Pessoa Física (CPF) é um documento quêque reconhece um contribuinte no âmbito de um banco de informações da Receita Federal. É um documento essencial para pessoas físicas do Brasil, freqüentementefrequentemente solicitado em operações financeiras, como financiamentos, pedidos de cartão de crédito e abertura de contas em bancos.

Observe as faces de um modelo de CPF.

O número do CPF é compôztocomposto de 11 algarismos, nove quêque não podem sêrser todos iguais, seguidos de dois dígitos verificadores. Acompanhe, a seguir, as etapas para determinar os dígitos verificadores de um CPF.

1º dígito verificador

• Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e 2, respectivamente.

• Some os produtos obtidos e divídadivida o resultado por 11.

• Se o réstoresto da divisão for 0 ou 1, então o 1º dígito verificador é 0. Caso contrário, o 1º dígito verificador é determinado pela diferença de 11 e o réstoresto da divisão.

2º dígito verificador

• Multiplique cada algarismo do CPF, na sequência, por 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 e o 1º dígito verificador por 2.

• Some os produtos obtidos e divídadivida o resultado por 11.

• Se o réstoresto dessa divisão for 0 ou 1, então o 2º dígito verificador é 0. Caso contrário, o 2º dígito verificador é determinado pela diferença de 11 e o réstoresto da divisão.

Fontes dos dados: BRASIL. Ministério da Fazenda. Receita Federal. Norma de execução conjunta CIEF/CSAR númeronº 3, de 30 de janeiro de 1991. Estabelece procedimentos e prazos para a Rede Arrecadadora de Receitas Federais prestar contas por meio magnético da arrecadação de receitas federais. Brasília, DF: MF: RFB, 1991. Disponível em: https://livro.pw/rvekx.
BRASIL. Caixa Econômica Federal. O quêque é CPF. Brasília, DF: CEF, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/ineto. Acessos em: 15 ago. 2024.

a) Com seu CPF, verifique se são obtidos os dígitos verificadores de acôr-doacordo com as instruções dadas no enunciado.

Resposta pessoal.

b) Quais são os dígitos verificadores de um CPF com os seguintes algarismos iniciais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?

9 e 0

c) Quantos números distintos de CPF podem sêrser cadastrados no Brasil?

(10⁹ − 10) números de CPF

d) Quando digitamos de maneira incorrétaincorreta o número do CPF em alguns sáitessites ou aplicativos, costuma-se retornar a informação de quêque tal número é “inválido”. Com um colega,

construam um fluxograma para representar um algoritmo quêque possa sêrser utilizado na validação dos dígitos de um CPF informado.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página duzentos e oito208

14. Uma lanchonete apresenta em seu cardápio algumas opções para refeição principal, bebida e sobremesa, conforme representado a seguir. Em uma promoção, ao comprar um combo com uma refeição principal, uma bebida e uma sobremesa, o cliente recebe 20% de desconto sobre o preêçopreço a pagar.

Com base nessas informações, resôuvaresolva as kestõesquestões a seguir.

a) Quanto um cliente paga por um combo compôztocomposto de uma tapioca, um chá e uma salada de frutas?

R$ 14,96

b) Qual é o menor preêçopreço quêque se pódepode pagar por um combo nessa lanchonete?

R$ 10,80

c) Quantos combos distintos podem sêrser formados?

30 combos

d) cértoCerto cliente deseja compor um combo de maneira quêque a refeição principal seja pão de queijo e a bebida não seja iogurte. De quantas maneiras distintas esse cliente pódepode compor o combo?

8 maneiras

15. Ao aprossimáraproximar com o zoom uma imagem digital, você já deve ter observado uma quantidade grande de “quadradinhos”. Tais “quadradinhos” são os picselspixels, quêque correspondem aos menóresmenores elemêntoselementos de uma imagem digital. Cada picselpixel tem três pontos de três cores distintas: vêrdeverde, vermelho e azul. Para obtêrobter uma côrcor digital qualquer, basta combinar essas três cores. Cada uma dessas cores apresenta diversas tonalidades quêque varíamvariam de mais claras para mais escuras e quêque são representadas por números inteiros de 0 a 255. Observe, a seguir, alguns exemplos de cores digitais.

Exemplos de cores digitais

Fonte dos dados: VAHID, frânkiFrank. Sistemas digitais: projeto, otimização e HDLs. Tradução: Anatólio Laschuk. Porto Alegre: búkmãBookman, 2008. p. 433.

Com base nas informações apresentadas, podemos afirmar quêque a quantidade de cores quêque podem sêrser obtidas, digitalmente, com um picselpixel é:

a) 256

b) 768

c) 2²⁴

d) 3²⁵⁶

alternativa c

16. Com um colega, façam o quêque se pede a seguir.

Pesquisa e elaboração dos estudantes.

a) Realizem uma pesquisa sobre a evolução das cores e dos picselspixels nos televisores. Obtenham, por exemplo, uma linha do tempo com essa evolução, desde os antigos televisores de tubo até os televisores de última geração. Em seguida, apresentem os resultados dessa pesquisa. Vocês podem gravar um vídeo ou um podcast.

b) Com base nas informações apresentadas na atividade 15 e na pesquisa realizada, elaborem e escrevam no caderno uma situação-problema envolvendo o princípio fundamental da contagem. Em seguida, tróquemtroquem a situação-problema com outra dupla para quêque uma resôuvaresolva a da outra. Ao final, confiram juntos as resoluções.

17. No caderno, copie o trecho destacado a seguir e complete-o para compor um problema cuja resolução envolva o PFC. Em seguida, troque o problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Um nutricionista elaborou um cardápio de refeição em quêque o paciente deve escolher uma opção de proteína, uma de carboidrato e uma de salada (legumes ou verduras).

Resposta pessoal.

Página duzentos e nove209

Princípio aditivo da contagem

Acompanhe a situação a seguir.

A fim de determinar o total de maneiras para formárformar os kits, vamos calcular separadamente a quantidade de opções para o kit A e para o kit B.

• kit A

Para o kit A, podemos escolher entre 4 opções de loção hidratante, 5 opções de sabonete líquido e 3 opções de perfume. Então, pelo princípio fundamental da contagem:

Portanto, há 60 maneiras de formárformar o kit A.

• kit B

Para o kit B, podemos escolher entre 6 opções de batom e 4 opções de protetor solar. Então, pelo princípio fundamental da contagem:

Portanto, há 24 maneiras de formárformar o kit B.

Como o cliente pódepode escolher o kit A ou o kit B, adicionamos os resultados obtidos.

Portanto, há 84 opções de kit promocional quêque o cliente pódepode escolher.

Para resolver essa situação, além do princípio fundamental da contagem, utilizamos outro princípio, chamado de princípio aditivo da contagem.

Página duzentos e dez210

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R4. Observe, a seguir, o cartaz com as opções de combo oferecidas por uma rê-derede de lanchonetes.

De quantas maneiras distintas um cliente pódepode comprar um combo nessa lanchonete?

Resolução

Usando o princípio fundamental da contagem, calculamos, para cada tipo de combo, a quantidade de composições distintas quêque podem sêrser formadas.

• Combo smart:

• Combo plãsplus:

Como o cliente pódepode optar entre comprar um combo smart ou um combo plãsplus, pelo princípio aditivo da contagem, adicionamos os resultados obtidos:

12 + 24 = 36

Portanto, um cliente tem 36 maneiras distintas de comprar um combo em uma dessas lanchonetes.

R5. Quantos números naturais, compreendidos entre 500 e 5.000 (maiores quêque 500 e menóresmenores quêque 5.000), podem sêrser representados utilizando no mássimomáximo uma vez os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 8?

Resolução

Inicialmente, podemos considerar os números naturais de três algarismos compreendidos entre 500 e 1.000. Nesse caso, na ordem das centenas, podem sêrser utilizados apenas três algarismos: 5, 7 e 8. Como cada algarismo pódepode sêrser utilizado no mássimomáximo uma vez, podemos calcular a quantidade dêêssesdesses números utilizando o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.

De maneira análoga, podemos considerar os números naturais de quatro algarismos compreendidos entre 999 e 5.000. Nesse caso, na ordem das unidades de milhar, podem sêrser utilizados apenas três algarismos: 1, 2 e 3. Assim, a quantidade de números naturais nessas condições quêque podem sêrser representados é dada por:

Assim, pelo princípio aditivo da contagem:

60 + 180 = 240

Portanto, podem sêrser representados 240 números com as características indicadas.

Página duzentos e onze211

ATIVIDADES

18. Para escolher o nome do filho, um casal organizou as preferências no qüadroquadro a seguir.

O casal definiu duas opções: um nome compôztocomposto, sêndosendo o primeiro nome escolhido na coluna A, e o segundo, na coluna B (por exemplo, João Guilherme), ou um nome simples, escolhido na coluna B (por exemplo, Felipe).

De quantas maneiras distintas o casal pódepode escolher o nome do filho, de acôr-doacordo com as definições estabelecidas?

16 maneiras distintas

19. O tímetime de réndbóllhandebol de uma universidade pediu a confekissãoconfecção dos uniformes quêque serão compostos de uma camisa, um calção e um par de meias, sêndosendo cada item em uma única côrcor. Foram confeccionados os itens nas cores a seguir.

• Camisa: azul e vêrdeverde.

• Calção: amarelo, azul e roxo.

• Par de meias: azul, branco, vermelho e roxo.

De quantas maneiras distintas o uniforme poderá sêrser compôztocomposto sem quêque haja repetição de côrcor entre os itens?

15 maneiras distintas

20. Marina tem uma mala com tranca, e para abri-la é necessário selecionar a senha correta, quêque é formada por quatro algarismos. Ela esqueceu a senha, mas se lembra de quêque os quatro algarismos são distintos e quêque o número formado é maior quêque 3.000. Além díssudisso, ela se lembra de quêque não utilizou os algarismos 0 e 8. Considerando as informações lembradas por Marina, é possível realizar quantas tentativas, no mássimomáximo, para conseguir abrir a mala?

1.260 tentativas

21. Com os algarismos 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9, podemos representar quantos números naturais:

a) menóresmenores quêque 1.000?

512 números

b) maiores ou iguais a 700 e menóresmenores quêque 6.000?

1.728 números

c) ímpares de cinco algarismos?

10.752 números

d) pares de três algarismos?

280 números

22. Uma empresa produz, sôbisob encomenda, condicionadores de ar portáteis. Para rastrear os produtos e, quando necessário, realizar algum tipo de manutenção, cada equipamento recebe um cóódigocódigo formado por três lêtrasletras distintas (de 26 disponíveis), seguidas de cinco algarismos (de 10 disponíveis). Usando esse sistema de codificação, quantos equipamentos, no mássimomáximo, podem receber a gravação do cóódigocódigo?

156 ⋅ 10⁷ equipamentos

23. Em uma escola, dois estudantes serão selecionados para realizar a apresentação de uma poesia em um evento cultural. Para isso, serão escolhidos um estudante de uma turma A e outro de uma turma B, de modo quêque não sêjamsejam do mesmo sexo. Considerando quêque a turma A é formada por 13 rapazes e 18 moças e quêque a turma B é formada por 20 rapazes e 10 moças, de quantas maneiras distintas é possível ocupar essas duas vagas na apresentação?

490 maneiras

24. (Unicamp-SP) Terminado o almôçoalmoço, Ana foi à cuzinhacozinha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação dela, instruiu-a da seguinte forma: “Escolha o quêque quiser, mas, se você pegar algum pirulito, péguepegue também alguma fruta”. Na cuzinhacozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bôo-lobolo de sabores diferentes. De quantas formas Ana poderia escolher seus dois itens?

a) 34.

b) 36.

c) 45.

d) 47.

alternativa b

25. Copie o texto destacado a seguir e complete-o para elaborar um problema envolvendo os princípios multiplicativo e aditivo da contagem. Em seguida, troque seu problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Uma operadora de telefonia oferece aos seus clientes diferentes planos de serviços de internet móvel, internet fixa e televisão. Usando o sáitisite dessa operadora, os clientes podem contratar combos com planos de dois ou três dêêssesdesses serviços.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e doze212

Fatorial

No estudo de Análise Combinatória, freqüentementefrequentemente nos deparamos com situa ções em quêque é necessário calcular o produto de números naturais consecutivos.

Por exemplo, considere a situação a seguir.

O professor de Matemática precisa definir a ordem de apresentação de seminários dos quatro grupos (A, B, C e D) formados na turma. De quantas maneiras distintas o professor pódepode definir essa ordem?

Note quêque a questão indicada na situação pódepode sêrser interpretada da seguinte maneira: quantas listas distintas podem sêrser formadas pêlospelos quatro grupos indicando cada um deles uma única vez?

Anteriormente, estudamos quêque situações como essa podem sêrser resolvidas utilizando o princípio fundamental da contagem. Acompanhe.

Portanto, o professor pódepode definir a ordem de apresentação dos grupos de 24 maneiras distintas.

Para simplificar expressões como essas, ou cálculos envolvendo essas expressões, podemos utilizar o conceito de fatorial de um número natural n, indicado por n! (lê-se: fatorial de n). Em relação ao exemplo apresentado, temos:

4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

Acompanhe outros exemplos.

a) 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

b) 7! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5.040

A partir dêêssesdesses exemplos, podemos notar quêque:

• 5! = 5 ⋅ $\begin{array}{c}\underset{4!}{\underbrace{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\end{array}$ = 5 ⋅ 4!

• 7! = 7 ⋅ 6 ⋅ $\begin{array}{c}\underset{5!}{\underbrace{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\end{array}$ = 7 ⋅ 6 ⋅ 5!

Ao observar essas igualdades, é possível reconhecer padrões quêque podem sêrser expressos pela propriedade a seguir.

Página duzentos e treze213

MATEMATICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: FACTORIAL. In: O'CONNOR, DiônJohn; ROBERTSON, Edmund. MacTutor. St Andrews: School ÓFof Mathematics êndand Statistics: iUnivêrsityUniversity ÓFof St Andrews, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/gdzxj. Acesso em: 16 ago. 2024.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R6. Simplifique cada expressão a seguir.

a) $\frac{8!}{7!}$

b) $\frac{8!}{10!}$

c) $\frac{6!\cdot 11!}{12!\cdot 4!}$

Resolução

a) $\frac{8!}{7!}$ = = 8

b) $\frac{8!}{10!}$ = = $\frac{1}{90}$.

c) $\frac{6!\cdot 11!}{12!\cdot 4!}$ = = $\frac{6\cdot 5}{12}$ = 2,5

R7. (EsPCEx-SP) Determine o algarismo das unidades da seguinte soma S = $\begin{array}{c}\sum _{n=1}^{2016}n!\end{array}$ em quêque n! é o fatorial do número natural n.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

DICA

A notação ∑ (lê-se: somatório) corresponde à letra grega maiúscula sigma e indica uma sequência de elemêntoselementos a sêrser adicionados.

Resolução

A representação $\begin{array}{c}\sum _{n=1}^{2016}n!\end{array}$ indica o somatório dos fatoriais dos números naturais de 1 até 2.016, ou seja:

S = $\begin{array}{c}\sum _{n=1}^{2016}n!\end{array}$ = $\begin{array}{c}\underset{1}{\underbrace{1!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{2}{\underbrace{2!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{6}{\underbrace{3!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{24}{\underbrace{4!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{120}{\underbrace{5!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{720}{\underbrace{6!}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\underset{5.040}{\underbrace{7!}}\end{array}$ + ... + 2.015! + 2.016!

Na adição indicada, podemos notar quêque as parcelas seguintes a 4! = 24 têm o algarismo das unidades igual a zero. Assim, o algarismo das unidades de S é igual a 3, pois 1 + 2 + 6 + 24 = 33.

Portanto, a alternativa d é a correta.

PARA PENSAR

Você concórdaconcorda quêque as parcelas seguintes a 4! = 24 têm o algarismo das unidades igual a zero? Argumente.

Resposta esperada: Sim, pois essas parcelas correspondem a produtos em quêque dois dos fatores são 2 e 5, cuja multiplicação é 2 ⋅ 5 = 10.

Página duzentos e quatorze214

R8. Determine as raízes da equação $\begin{array}{c}\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\end{array}$ = 6, em quêque n ≠ 1.

Resolução

Utilizando a propriedade dos fatoriais, temos:

$\begin{array}{c}\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\end{array}$ = 6 ⇒ = 6 ⇒ (n + 1) ⋅ n = 6 ⇒ n² + n − 6 = 0

Resolvendo a equação ôbitídaobtida, temos:

n = $\frac{-1\pm \sqrt[]{1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{-1\pm 5}{2}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}n=\frac{-1+5}{2}=2\\ \mathrm{ou}\\ n=\frac{-1-5}{2}=-3\end{array}\end{array}$

Agora, verificamos cada resultado.

• Para n = −3, temos:

$\frac{\left(-3+1\right)!}{\left(-3-1\right)!}$ = $\frac{\left(-2\right)!}{\left(-4\right)!}$

Nesse caso, não convém o resultado n = −3, pois não é definido o fatorial de número negativo.

• Para n = 2, temos:

$\frac{\left(2+1\right)!}{\left(2-1\right)!}$ = $\frac{3!}{1!}$ = 6

Portanto, n = 2 é a raiz da equação dada.

ATIVIDADES

26. Calcule.

a) 4!

24

b) 5! + 3!

126

c) 2! − 6!

−718

d) $\frac{7!}{5!}$

42

e) $\frac{6!\cdot 14!}{15!\cdot 2!}$

24

f) $\frac{13!+15!}{13!}$

211

27. Dados os números naturais não nulos quaisquer a e b, identifique quais das igualdades a seguir são verdadeiras. Justifique.

a) (a − b)! = a! − b!

b) (a + b)! = a! + b!

c) (a − 1)! = $\frac{a!}{a}$

d) (2a)! = 2! ⋅ a!

e) (b!)² = b! ⋅ b!

Alternativas c e e. Resposta na Orientações para o professor.

28. Simplifique as expressões a seguir.

a) $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\end{array}$

n² − n

b) $\begin{array}{c}\frac{\left(n-1\right)!}{\left(n+1\right)!}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{1}{n^2+n}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\frac{\left(n+1\right)\cdot \left(n-1\right)!}{\left(n+1\right)!}\end{array}$

$\frac{1}{n}$

d) $\begin{array}{c}\frac{\left(n+2\right)!}{\left(n+1\right)!+n!}\end{array}$

n + 1

29. resôuvaResolva as equações a seguir.

a) $\frac{\left(n-2\right)!}{n!}$ = $\frac{1}{2}$

n = 2

b) $\begin{array}{c}\frac{\left(n-4\right)!}{\left(n-3\right)!}\end{array}$ = 0,1

n = 13

c) $\begin{array}{c}\frac{\left(n+12\right)!}{\left(n+10\right)!}\end{array}$ = 210

n = 3

d) $\begin{array}{c}\frac{\left(n+2\right)!-6n!}{\left(n+1\right)!-n!}\end{array}$ = 6

n = 4

30. Determine os valores de a e b para quêque a igualdade a seguir seja verdadeira.

$\frac{a!}{b!}$ = 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24

a = 24 e b = 16

31. Seja m a soma dos fatoriais dos números naturais pares menóresmenores ou iguais a 100. Qual é o algarismo das unidades de m?

7

32. Em qual dos itens a expressão apresentada tem o mesmo resultado de 10 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2?

a) 10! − 5!

b) $\frac{10!}{9!}$

c) 5! ⋅ 2⁵

d) $\begin{array}{c}\frac{10!}{2^5}\end{array}$

alternativa c

33. Calcule a soma dos números primos divisores de 20!.

77

Página duzentos e quinze215

Arranjo simples

Nos últimos anos, os eSports, como são chamadas as competições em quêque se utilizam jogos eletrônicos, vêm ganhando destaque no Brasil, quêque é líder no mercado de guêimisgames na América LátínaLatina. Esse mercado em crescimento oportuniza, além de diversão aos participantes e espectadores, diversas opções de trabalho, como programador, desenvolvedor de guêimisgames e designer.

Em cértocerto torneio de uma modalidade de eSports, cada equipe é composta de três atletas. Antes de cada partida, a organização do torneio sorteia dois atletas da equipe para formárformar o tímetime, um deles para ocupar a função de capitão e o outro, de suporte do tímetime. De quantos modos distintos pódepode sêrser formado um tímetime com a equipe composta de Aline, Bernardo e Camila?

Para resolver essa questão, podemos construir uma árvore de possibilidades.

Portanto, o tímetime pódepode sêrser formado de seis modos distintos.

Outra maneira de resolver esse problema é construindo uma tabélatabela de dupla entrada.

Possibilidades de composição do tímetime para uma competição

PARA PENSAR

Dos times quêque podem sêrser formados, quantos têm Camila como uma das atletas?

4 times

Página duzentos e dezesseis216

Note quêque, nessa situação, a ordem dos atletas na composição do tímetime interfere na quantidade de times distintos quêque podem sêrser formados. Por exemplo, o tímetime em quêque Aline é a capitã e Bernardo é o suporte é diferente do tímetime em quêque Bernardo é o capitão e Aline, o suporte. Dizemos quêque cada um dêêssesdesses possíveis times a sêrser formados é um arranjo de três atletas da equipe tomados dois a dois, ou seja, organizados aos pares.

PARA PENSAR

Ao relacionar o conceito de arranjo simples apresentado e o exemplo sobre a composição do tímetime de eSports, apresentada na página 215, qual é o conjunto M? Qual é o valor de n? E qual é o valor de p? O quêque n e p representam naquele contexto?

M é o conjunto formado por todos os atletas da equipe: Aline, Bernardo e Camila; n = 3; p = 2. Temos quêque n representa a quantidade total de atletas da equipe e p, a quantidade de atletas da equipe quêque devem sêrser selecionados para compor o tímetime.

DICA

É importante destacar quêque, em um arranjo simples, os elemêntoselementos do conjunto considerado devem sêrser todos distintos entre si, ou seja, não pódepode havêerhaver repetição de elemêntoselementos. Além díssudisso, no arranjo, importa a ordem em quêque os elemêntoselementos são organizados na composição das sequências, ou seja, duas sequências formadas com os mesmos elemêntoselementos, mas organizados de maneiras diferentes, são distintas entre si.

pôdêmosPodemos determinar uma expressão, indicada por A_{n, p}, para o cálculo da quantidade de arranjos simples de n elemêntoselementos distintos tomados p a p. Para isso, inicialmente, calculamos a quantidade de possibilidades para cada uma das p posições do arranjo formado. Analise.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem e considerando o qüadroquadro anterior, temos:

A_{n, 1} = n

A_{n, 2} = n ⋅ (n − 1)

A_{n, 3} = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)

A_{n, 4} = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3)

⋮

A_{n, p} = $\begin{array}{c}\underset{p\text{fatores}}{\underbrace{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \left(n-3\right)\cdot \dots \cdot \left[n-\left(p-1\right)\right]}}\end{array}$

Multiplicando a expressão ôbitídaobtida por $\begin{array}{c}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$ = 1, temos:

A_{n, p} = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ [n − (p − 1)] ⋅ $\begin{array}{c}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$

Como n − (p − 1) = n − p + 1, segue quêque:

A_{n, p} = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \left(n-3\right)\cdot \dots \cdot \left[n-\left(p-1\right)\right]\cdot \left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$ ⇒ A_{n, p} = $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$

Página duzentos e dezessete217

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Calcule.

a) A_{8, 3}

b) A_{5, 2}

c) $\frac{A_{7,5}}{A_{6,2}}$

Resolução

a) A_{8, 3} = $\begin{array}{c}\frac{8!}{\left(8-3\right)!}\end{array}$ ⁼ = 336

b) A_{5, 2} = $\begin{array}{c}\frac{5!}{\left(5-2\right)!}\end{array}$ = = 20

c) $\frac{A_{7,5}}{A_{6,2}}$ = $\frac{\frac{7!}{\left(7-5\right)!}}{\frac{6!}{\left(6-2\right)!}}$ = $\frac{\frac{7!}{2!}}{\frac{6!}{4!}}$ = $\frac{7!\cdot 4!}{2!\cdot 6!}$ = = 84

R10. Quantos números de quatro algarismos distintos podem sêrser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução

Note quêque os números devem sêrser formados por algarismos distintos. Além díssudisso, ao alterar a ordem dêêssesdesses mesmos algarismos, formam-se números diferentes. Por exemplo, 3.456 e 6.543 são formados pêlospelos mesmos algarismos, porém são números diferentes. Assim, cada número formado corresponde a um arranjo dos sete algarismos disponíveis, tomados 4 a 4.

A_{7, 4} = $\begin{array}{c}\frac{7!}{\left(7-4\right)!}\end{array}$ = = 840

Portanto, podem sêrser formados 840 números.

PARA PENSAR

Situações-problema que envolvem arranjo simples, como essa, também podem sêrser resolvidas utilizando o princípio fundamental da contagem. Utilizando esse princípio, resôuvaresolva a situação apresentada.

Resposta esperada: 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 840; ou seja, 840 números.

R11. Para fazer um cadastro em determinado sáitisite, é necessário criar uma senha formada por uma sequência de três lêtrasletras minúsculas distintas, entre as 26 do alfabeto, seguidas de cinco algarismos distintos quaisquer. Quantas senhas distintas podem sêrser criadas ao se cadastrar nesse sáitisite?

Resolução

Note quêque, na sequência correspondente à senha, a parte composta de lêtrasletras corresponde a um arranjo de 26 elemêntoselementos distintos tomados 3 a 3 e a parte composta de algarismos, a um arranjo de 10 elemêntoselementos distintos tomados 5 a 5. Assim, a quantidade de senhas distintas quêque podem sêrser criadas é dada por:

A_{26, 3} ⋅ A_{10, 5} = $\frac{26!}{\left(26-3\right)!}$ ⋅ $\frac{10!}{\left(10-5\right)!}$ = = 15.600 ⋅ 30.240 = 471.744.000

Outra maneira de resolver essa questão é utilizando o princípio fundamental da contagem. Analise.

$\begin{array}{c}\underset{\text{Sequências com letras}}{\underbrace{26\cdot 25\cdot 24}}\end{array}$ ⋅ $\begin{array}{c}\underset{\text{Sequências com algarismos}}{\underbrace{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}\end{array}$ = 471.744.000

Portanto, podem sêrser criadas 471.744.000 senhas distintas.

Página duzentos e dezoito218

R12. (hú- hê- érre jotaUERJ) Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião.

O número de trabalhadores presentes é:

a) 13

b) 11

c) 9

d) 7

Resolução

Representando por x o número de trabalhadores presentes, o número total de possibilidades para formárformar a diretoria do sindicato pódepode sêrser expresso pelo arranjo simples de x elemêntoselementos tomados 3 a 3. Acompanhe.

A_{x, 3} = $\begin{array}{c}\frac{x!}{\left(x-3\right)!}\end{array}$ = = x ⋅ (x − 1)⋅ (x − 2)

Como o número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião (30x), então:

x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) = 30x ⇒ (x − 1) ⋅ (x − 2) = 30 ⇒ x² − 3x − 28 = 0

Resolvendo a equação ôbitídaobtida, temos:

x = $\frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt[]{{\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-28\right)}}{2\cdot 1}$ = $\frac{3\pm \sqrt[]{121}}{2}$ = $\frac{3\pm 11}{2}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\frac{3+11}{2}=7\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{3-11}{2}=-4\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Como x é um número natural, temos quêque x = 7.

Portanto, a alternativa d é a correta.

ATIVIDADES

34. Calcule.

a) A_{10, 2}

90

b) A_{25, 3}

13.800

c) A_{6, 6}

720

d) A_{15, 4}

32.760

e) A_{7, 6}

5.040

f) A_{12, 4}

11.880

35. Simplifique as expressões a seguir.

a) $\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{A}}_{\left(n+1\right),\left(n-1\right)}}{{\mathrm{A}}_{\left(n+2\right),n}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{1}{\left(n+2\right)}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{A_{\left(n-3\right),2}}{A_{\left(n-5\right),1}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{\left(n-5\right)}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{A}}_{n,\left(n-1\right)}\cdot {\mathrm{A}}_{\left(n+3\right),\left(n+1\right)}}{{\mathrm{A}}_{\left(n+4\right),\left(n+2\right)}}\end{array}$

$\frac{n!}{n+4}$

d) $\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{A}}_{\left(n+2\right),n}}{{\mathrm{A}}_{n,2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{\left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n-2\right)!}{2}\end{array}$

36. Quantos números de cinco algarismos distintos podem sêrser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8?

6.720 números

37. Utilizando os algarismos 9, 8, 4, 2, 7 e 5, podemos escrever quantos números naturais entre 300 e 1.000 com algarismos distintos?

100 números

38. Para abrir cértocerto modelo de cadeado é necessário indicar a senha correta, formada por quatro algarismos quaisquer. Observe um modelo dêêssedesse cadeado.

Cadeado com senha.

a) Quantas senhas distintas é possível formárformar nesse cadeado?

10.000 senhas

b) Quantas senhas é possível formárformar nesse cadeado, utilizando apenas algarismos distintos?

5.040 senhas

c) Nair tem um cadeado desse tipo. Ela esqueceu a senha cadastrada, mas lembrou-se de quêque essa senha é formada pêlospelos algarismos 3, 5, 7 e 8. Considerando quêque ela demore 5 s para testar cada possível senha dêêssedesse cadeado, quanto tempo, no mássimomáximo, ela vai demorar para abri-lo?

120 s ou 2 min

d) Que senha você usaria nesse cadeado? Justifique.

Resposta pessoal.

Página duzentos e dezenove219

39. Neste ano, um campeonato de vôlei é disputado por 12 equipes no sistema de turno e returno, ou seja, cada equipe joga duas vezes contra cada uma das demais: uma partida em seu ginásio e outra no ginásio da equipe adversária. Para o próximo ano, a organização do campeonato pretende aumentar a quantidade de equipes participantes para 14, mantendo o sistema de disputa. Com essa alteração, quantos jogos a mais serão previstos para o campeonato do próximo ano em relação ao atual?

50 jogos

40. (UEL-PR) Uma loja ôn láinionline vende cafés de tipos “em pó”, “em grãos” ou “em cápsulas”. Ela trabalha, ao todo, com quatro marcas quêque produzem (todas elas) esses três tipos de café.

A loja oferece aos seus clientes um serviço de assinatura no qual eles devem formárformar um kit contendo, obrigatória menteobrigatoriamente, uma unidade de cada um dos três tipos de café, com a condição de serem de marcas distintas e incluindo, opcionalmente, uma caneca personalizada com 4 opções de cores.

Considere quêque os kits se distinguem pêlospelos diferentes tipos de café e de marcas e, também, pelo fato de incluir ou não a caneca na côrcor escolhida dentre as quatro opções.

Nessas condições, quantos kits distintos é possível formárformar nesse serviço de assinatura? Justifique sua resposta apresentando os argumentos e os cálculos realizados na resolução desta questão.

120 kits distintos. Respostas nas Orientações para o professor.

41. Marcos e mais sete amigos combinaram de ir ao cinema assistir a um filme. Para comprar os oito ingressos, Marcos acessou o sáitisite do cinema e se cadastrou. A figura a seguir representa o mapa de poltronas da sala de cinema na sessão em quêque os amigos querem assistir ao filme. Nessa figura, as poltronas em vermelho estão ocupadas, e as em azul estão disponíveis.

a) Quantas poltronas estão disponíveis para essa sessão?

11 poltronas

b) De quantas maneiras distintas esse grupo de amigos pódepode se sentar nas poltronas dessa sala para assistir ao filme?

6.652.800 maneiras

DICA

Para resolver o item b, você pódepode analisar quantas poltronas cada amigo tem disponível para se sentar.

42. O modelo de placa de veículos utilizado no Brasil atualmente é compôztocomposto de quatro lêtrasletras e três algarismos com posições fixas.

a) Considerando quêque podem sêrser utilizadas quaisquer das 26 lêtrasletras do alfabeto e quaisquer algarismos na composição dêêssedesse novo modelo de placa, calcule a quantidade de placas distintas quêque podem sêrser compostas.

26⁴ ⋅ 10³ placas ou 456.976.000 placas

b) Quantas das placas quêque você indicou no item a têm lêtrasletras e algarismos distintos entre si?

258.336.000 placas

43. Observe a situação apresentada a seguir.

A comissão de formatura de uma turma de Ensino Médio de certa escola será formada por dois professores e por quatro estudantes. Os professores serão escolhidos por votação, entre dez candidatos voluntários, de maneira quêque o mais votado será o presidente e o segundo será o tesoureiro da comissão; já os estudantes escolhidos, entre 18 voluntários, seguindo a ordem dos mais votados, ocuparão as funções de vice-presidente, vice-tesoureiro, secretário e vice-secretário, respectivamente.

Com base nas informações apresentadas, elabore um problema relacionado ao cálculo de arranjo simples. Troque o problema com um colega para quêque ele o resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquele quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e vinte220

Permutação

Permutação simples

Atualmente, diversos aplicativos oferecem o serviço de acesso a músicas por streaming, ou seja, são disponibilizadas músicas, em formato digital na internet, quêque podem sêrser ouvidas em dispositivos como smartphone, táblêtitablet ou computador. Em geral, uma das ferramentas oferecidas nesses serviços é a criação de playlist, quêque consiste em uma lista de músicas escolhidas pelo usuário para quêque sêjamsejam reproduzidas em determinada sequência ou em ordem aleatória.

Agora, considere a situação descrita a seguir.

De quantas maneiras distintas podem sêrser reproduzidas todas as músicas de uma playlist, composta de cinco músicas diferentes, sabendo quêque cada uma tocará apenas uma vez?

Note quêque, ao reproduzir uma playlist com cinco músicas diferentes, estamos formando arranjos simples dessas cinco músicas tomadas cinco a cinco. Assim, temos:

A_{5, 5} = $\frac{5!}{\left(5-5\right)!}$ = $\frac{5!}{0!}$ = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Portanto, é possível reproduzir essa playlist de 120 maneiras distintas.

Em situações como a descrita, em quêque todos os arranjos possíveis são formados pêlospelos mesmos n elemêntoselementos, dizemos quêque cada um dêêssesdesses arranjos é uma permutação simples dêêssesdesses n elemêntoselementos. Nesse caso, temos:

A_{n, n} = $\frac{n!}{\left(n-n\right)!}$ = $\frac{n!}{0!}$ = n!

PARA PENSAR

Pesquise, em um dicionário, o significado do verbete permutar. Depois, relacione esse significado ao conceito de permutação simples em Análise Combinatória.

Resposta esperada: Permutar significa trocar ou mudar reciprocamente. É possível associar esse significado ao conceito de permutação simples em relação à ideia de trocar a ordem dos elemêntoselementos em um arranjo.

Página duzentos e vinte e um221

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R13. Em uma competição de salto em altura, os quatro atletas finalistas deveriam realizar um salto cada um. A classificação final dêêssesdesses atletas, de 1º a 4º colocados, é estabelecida de acôr-doacordo com a nota quêque eles obtiverem nos saltos. Supondo quêque não ocorram notas repetidas, de quantas maneiras distintas é possível compor essa classificação?

Resolução

Como são quatro atletas quêque podem ocupar qualquer uma das quatro primeiras colocações da classificação da competição, a quantidade de maneiras distintas de compor essa classificação é dada pela permutação simples dêêssesdesses quatro atletas. Assim, temos:

P₄ = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

Portanto, é possível compor a classificação dêêssesdesses atletas de 24 maneiras distintas.

R14. Você sabe o quêque é um anagrama? Dizemos quêque um anagrama é uma palavra, com ou sem significado, ôbitídaobtida por meio do rearranjo de todas as lêtrasletras de outra palavra. Em um anagrama, cada letra da palavra original deve sêrser utilizada uma única vez. Observe, por exemplo, todos os 24 anagramas da palavra BOLA.

Agora, considerando a palavra ALUNO, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Quantos anagramas tem essa palavra?

b) Quantos anagramas dessa palavra começam com a letra N?

Resolução

a) Note quêque a palavra ALUNO tem cinco lêtrasletras distintas. Dessa maneira, cada anagrama formado corresponde a uma permutação das cinco lêtrasletras da palavra. Assim, temos:

P₅ = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Portanto, existem 120 anagramas da palavra ALUNO.

b) Inicialmente, fixamos a letra N como a primeira do anagrama. Assim, a quantidade de anagramas da palavra ALUNO quêque começam com a letra N corresponde à permutação das quatro lêtrasletras restantes: A, L, U e O.

Portanto, 24 anagramas da palavra ALUNO começam com a letra N.

ATIVIDADES

44. Calcule.

a) P₄

24

b) P₆

720

c) P₃ − P₅

−114

d) P₂ + P₈

40.322

e) 5 ⋅ P₄

120

f) $\begin{array}{c}\frac{P_8}{P_6}\end{array}$

56

45. Determine quantos anagramas tem cada palavra indicada.

a) RETA

24 anagramas

b) MATRIZ

720 anagramas

c) PLANO

120 anagramas

d) RESIGNADO

362.880 anagramas

46. Um técnico de futsal feminino organiza sua equipe distribuindo as cinco jogadoras nas seguintes posições: goleira, ala esquerda, pivô, ala direita e fixa. Dispondo das jogadoras Aline, Bianca, Carla, Daniela e Elisa, e sabendo quêque, com exceção de Aline, quêque joga apenas como goleira, as demais podem jogar em qualquer posição menos como goleira, de quantas maneiras distintas esse técnico pódepode organizar essa equipe?

24 maneiras

Página duzentos e vinte e dois222

47. Quatro casais de amigos vão juntos assistir a uma peça de teatro, onde devem se sentar em oito poltronas consecutivas da mesma fileira. De quantas maneiras distintas esses casais podem se acomodar nessas poltronas, de modo quêque os integrantes de cada casal permaneçam sempre lado a lado?

384 maneiras

48. Uma playlist de músicas, criada em um aplicativo, é formada por oito músicas, das quais exatamente três delas são do gênero samba. De quantas maneiras distintas podem sêrser reproduzidas uma única vez todas as músicas dessa playlist? Em quêque porcentual dessa quantidade as três músicas do gênero samba podem sêrser reproduzidas em sequência?

40.320 maneiras; aproximadamente 10,7%

49. Marcos se lembra dos algarismos distintos quêque compõem a senha de bloqueio do seu celular, porém se esqueceu da ordem em quêque eles aparécemaparecem nessa senha. Dessa maneira, ele pretende testar as composições de senha possíveis até encontrar a correta. Marcos verificou quêque demora 30 s para testar cada senha e quêque, nesse ritmo, vai demorar no mássimomáximo 1 h para encontrar a senha correta. Qual é a quantidade de algarismos da senha de Marcos?

5 algarismos

50. Um móldemolde de um cubo teve as partes correspondentes às faces pintadas de cores diferentes. De quantas maneiras distintas podem sêrser indicados os algarismos 1 a 6 sobre as faces do cubo montado a partir dêêssedesse móldemolde?

720 maneiras

51. Certa sequência crescente é formada por todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pelas permutações dos algarismos 5, 6, 7, 8, e 9.

a) Quantos termos tem essa sequência?

120 termos

b) Qual é a posição ocupada pelo número 89.765 nessa sequência?

96ª posição

c) Qual número ocupa a 72ª posição nessa sequência?

79.865

52. Considerando todos os números com seis algarismos distintos do sistema de numeração decimal, responda às kestõesquestões.

a) Quantos são esses números?

136.080 números

b) Em quantos dêêssesdesses números os algarismos 3, 5 e 7 aparécemaparecem agrupados?

4.500 números

53. Em relação aos anagramas da palavra DECIMAL, responda às kestõesquestões a seguir.

a) Quantos são esses anagramas?

5.040 anagramas

b) Quantos dêêssesdesses anagramas começam com a letra D?

720 anagramas

c) Em quêque porcentual do total dêêssesdesses anagramas as lêtrasletras M, A e L aparécemaparecem juntas?

aproximadamente 14,3%

54. Leia a tirinha e responda às kestõesquestões a seguir.

HUMOR COM CIÊNCIA. [A senha]. Humor com Ciência. [S. l.]: [jun. 2013]. Disponível em: https://livro.pw/tmigj. Acesso em: 28 out. 2024.

a) Em seu entendimento, o tucano realmente descobriu a senha do bugio? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois cada bó-linhabolinha preta indicada no computador do bugio corresponde a um caractere da senha, quêque, por medida de segurança, não é explicitado.

b) Considere quêque a senha corresponda a um anagrama da palavra BUGIO, escrito com todas as lêtrasletras maiúsculas, e quêque, para descobri-la, o tucano tenha criado uma lista em ordem alfabética com todos esses anagramas.

• Quantas palavras constam nessa lista?

120 palavras

• Nessa lista, qual posição é ocupada pelo anagrama OIGUB, quêque corresponde à senha correta?

88ª posição

c) Ainda com base na tirinha, elabore um problema envolvendo o cálculo de permutação simples. Troque o problema com um colega para quêque ele o resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquele quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e vinte e três223

Permutação com repetição

Você já estudou poesia concreta? Leia o trecho de um texto a seguir.

A Poesia Concreta, ou Concretismo, foi um movimento encabeçado pêlospelos poetas paulistas Décio Pignatari (1927) e os irmãos HarôldoHaroldo (1929-2003) e Augusto de Campos (1931). A partir do final da década de 1940, os três começam a defender uma poesia quêque se voltasse contra a “poética oficial” da literatura brasileira, buscando e exercitando novas formas de expressão verbal, num diálogo constante com outras artes (pintura, escultura, música), tendo por objetivo lançar um olhar crítico à velocidade do crescimento da civilização industrial e tecnológica. [...]

BIBLIOTECA CENTRAL IRMÃO JOSÉ OTÃO. Você sabe o quêque é poesia concreta? Porto Alegre: PUCRS, 22 fev. 2010. Disponível em: https://livro.pw/ohgtk. Acesso em: 16 ago. 2024.

Agora, obissérveobserve um poema concreto de Augusto de Campos (1931-).

PARA PENSAR

No poema, todos os anagramas da palavra acaso estão organizados em blocos. Você percebeu alguma regularidade nesse poema? Quais?

Resposta esperada: As regularidades apresentadas são as seguintes: em cada bloco há seis anagramas, e todos os anagramas de um mesmo bloco terminam com a mesma letra.

PARA AMPLIAR

Página duzentos e vinte e quatro224

Nesse poema, o autor lista todos os 60 anagramas da palavra acaso. Note quêque essa não é uma situação de permutação simples, uma vez quêque a palavra é composta de duas repetições da letra a. Assim, ao permutar entre si essas duas repetições, um mesmo anagrama é formado, como no exemplo a seguir.

acaso acaso

Note quêque o total de 60 anagramas da palavra acaso, listados no poema, pódepode sêrser obtídoobtido ao dividir a quantidade de permutações de suas lêtrasletras, quando consideradas distintas entre si (5!), pelo fatorial da quantidade de repetições da letra a (2!):

$\frac{5!}{2!}$ = = 60

Isso ocorre porque, na palavra acaso, a letra a se repete duas vezes, de maneira quêque cada anagrama se repete, igualmente, 2! vezes.

Em relação aos anagramas da palavra acaso, temos quêque a letra a consta duas vezes, e as lêtrasletras c, s e o constam uma vez cada uma. Assim, podemos expressar a quantidade de anagramas dessa palavra por:

$P_5^{\left(2,1,1,1\right)}$ = $\frac{5!}{2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}$ = $\frac{5!}{2!}$ = = 60

DICA

Para simplificar a notação, como 1! = 1, podemos indicar $P_5^{\left(2,1,1,1\right)}$ por$P_5^{\left(2\right)}$ e calcular:

$P_5^{\left(2\right)}$ = $\frac{5!}{2!}$ = = 60

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R15. Quantos anagramas tem a palavra EXPERIMENTO?

Resolução

pôdêmosPodemos observar quêque, na palavra EXPERIMENTO, a letra E consta três vezes, e as lêtrasletras X, P, R, I, M, N, T e O constam uma vez cada uma. Assim, temos:

$P_{11}^{\left(3\right)}$ = $\frac{11!}{3!}$ = = 6.652.800

Portanto, a palavra EXPERIMENTO tem 6.652.800 anagramas.

Página duzentos e vinte e cinco225

R16. Determine quantos anagramas tem a palavra PARALELA.

Resolução

Para resolver essa atividade, podemos elaborar um algoritmo, quêque consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.

1ª) Identificamos a quantidade total de lêtrasletras da palavra: 8 lêtrasletras.

2ª) Determinamos as lêtrasletras quêque se repetem e a quantidade de vezes quêque cada uma delas consta na palavra: a letra A aparece três vezes, e a letra L está presente duas vezes.

3ª) Para obtêrobter a quantidade de anagramas da palavra, utilizamos a fórmula de permutação com repetição.

$P_8^{\left(\mathrm{3,2}\right)}$ = $\frac{8!}{3!\cdot 2!}$ = = 3.360

Portanto, a palavra PARALELA tem 3.360 anagramas.

PARA PENSAR

Esse algoritmo pódepode sêrser adaptado para resolver outras kestõesquestões com estruturas parecidas. Use a calculadora e o algoritmo apresentado para determinar a quantidade de anagramas das palavras ARARA e PROBABILIDADE.

arara: 10 anagramas; probabilidade: 389.188.800 anagramas

R17. Sendo a, b, c e d números naturais, quantas são as soluções da equação a + b + c + d = 9?

Resolução

Como a, b, c e d são números naturais, a quantidade de soluções da equação corresponde à quantidade de maneiras pelas quais podemos separar nove elemêntoselementos em quatro partes inteiras. Representando por “bolinhas” esses elemêntoselementos e separando-os por “barras”, temos, por exemplo, ● | ●●●●● | ●● | ●, quêque corresponde a uma possível solução, no caso, (1, 5, 2, 1).

Assim, podemos considerar quêque a quantidade total de soluções é dada pela quantidade de permutações de 12 elemêntoselementos, entre “bolinhas” e “barras”, em quêque constam nove “bolinhas” e três “barras”, ou seja, basta calcular $\begin{array}{c}{\mathrm{P}}_{12}^{\left(\mathrm{9,3}\right)}\end{array}$.

$\frac{12!}{9!\cdot 3!}$ = = $\frac{1.320}{6}$ = 220

Portanto, existem 220 soluções para a equação apresentada.

R18. (Enem/MEC) A escrita bráileBraile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres quêque podem sêrser representados no sistema bráileBraile é

a) 12.

b) 31.

c) 36.

d) 63.

e) 720.

Resolução

De acôr-doacordo com o enunciado, cada caractere na escrita braille é formado por um conjunto de 6 pontos, podendo estar destacados 1 a 6 pontos dêêssesdesses. Assim, para resolver essa atividade, podemos considerar as situações com representações com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pontos destacados. Para cada situação, podemos determinar a quantidade de permutações com as repetições de pontos comuns e de pontos destacados, de maneira quêque o total de caracteres quêque podem sêrser representados corresponda, de acôr-doacordo com o princípio aditivo da contagem, à soma dessas quantidades.

$\underset{\begin{array}{c}1\mathrm{ponto}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(5,1\right)}}}$ + $\underset{\begin{array}{c}2\mathrm{pontos}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(4,2\right)}}}$ + $\underset{\begin{array}{c}3\mathrm{pontos}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(3,3\right)}}}$ + $\underset{\begin{array}{c}4\mathrm{pontos}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(2,4\right)}}}$ + $\underset{\begin{array}{c}5\mathrm{pontos}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(1,5\right)}}}$ + $\underset{\begin{array}{c}6\mathrm{pontos}\\ \mathrm{em\; destaque}\end{array}}{\underbrace{P_6^{\left(6\right)}}}$ =

= $\frac{6!}{5!\cdot 1!}$ + $\frac{6!}{4!\cdot 2!}$ + $\frac{6!}{3!\cdot 3!}$ + $\frac{6!}{2!\cdot 4!}$ ++ $\frac{6!}{1!\cdot 5!}$ + $\frac{6!}{6!}$ =

= 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63

Assim, podem sêrser representados 63 caracteres no Sistema Braille. Portanto, a alternativa d é a correta.

Página duzentos e vinte e seis226

ATIVIDADES

55. Determine quantos anagramas tem cada palavra a seguir.

a) TEOREMA

2.520 anagramas

b) BISSETRIZ

90.720 anagramas

c) ANAGRAMA

1.680 anagramas

d) DETERMINANTE

19.958.400 anagramas

56. Quantas são, em ℕ, as soluções da equação a + b + c = 5?

21 soluções distintas

57. De quantas maneiras distintas as bolas de tênis de mesa representadas a seguir podem sêrser distribuídas em cinco gavetas de um armário, sabendo quêque cada gaveta comporta até 20 bolas?

1.820 maneiras distintas

58. Considere todos os anagramas da palavra DEZESSEIS.

a) Em quantos dêêssesdesses anagramas as lêtrasletras S estão juntas?

840 anagramas

b) Quantos dêêssesdesses anagramas terminam em consoante?

5.600 anagramas

c) pôdêmosPodemos afirmar quêque mais de 50% dêêssesdesses anagramas começam em vogal? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois apenas 4.480 dos 10.080 anagramas começam com vogal, ou seja, aproximadamente 44,4%.

59. Ao permutar os algarismos do número 23.125, são obtidos quantos números:

a) distintos no total?

60 números distintos

b) ímpares distintos?

36 números distintos

c) distintos maiores quêque 23.125?

35 números distintos

d) distintos em quêque os algarismos 3 e 5 estão juntos?

24 números distintos

60. Ao escrever uma sequência com os anagramas da palavra ARRANJO, em ordem alfabética, qual posição essa palavra ocupa nessa sequência?

339ª

61. Uma moeda de 1 real será lançada cinco vezes, e será construída uma sequência formada pelas indicações das faces voltadas para cima nos 1º, 2º, 3º, 4º e 5º lançamentos, nessa ordem. Indicando por C e K as faces cara e coroa, respectivamente, podemos representar uma possível sequência com CCCKK, ou seja, três caras consecutivas seguidas de duas coroas consecutivas.

a) Quantas sequências distintas com três caras e duas coroas podem sêrser formadas?

10 sequências distintas

b) Quantas sequências distintas com pelo menos uma cara e uma coroa podem sêrser formadas?

30 sequências distintas

62. De acôr-doacordo com alguns manuscritos antigos, o cóódigocódigo binário já era estudado na chiinaChina por volta de 3000 a.C. Esse cóódigocódigo deu origem ao sistema de numeração binário ou de base 2, em quêque todos os números são representados apenas com algarismos 0 ou 1. Por exemplo, 100 pódepode sêrser representado no sistema binário por um número de sete dígitos: 1100100.

a) No sistema de numeração binário, quantos números de quatro dígitos podem sêrser representados?

8 números

b) Nesse sistema, quantos números de oito dígitos podem sêrser representados com exatamente três algarismos 0 e cinco algarismos 1?

35 números

63. Inspirado no poema concreto apresentado na página 223, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo de permutação com repetição. Troque essa situação-problema com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquela quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e vinte e sete227

Combinação simples

Você sabe qual é a função da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP)? Leia o trecho de um texto a seguir.

A Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP) tem a finalidade de promover a regulação, a contratação e a fiscalização das atividades econômicas integrantes da indústria do petróleo, do gás natural, dos biocombustíveis e do hidrogênio. [...]

[...]

A Agência tem atuação “do poço ao posto”, ou seja, regula aproximadamente 137 mil empresas, em atividades desde a prospecção de petróleo e gás natural nas bacias sedimentares do Brasil até os procedimentos para assegurar a qualidade dos combustíveis vendidos ao consumidor final. A atividade de regulação implica, necessariamente, a constante fiscalização do cumprimento das normas estabelecidas.

BRASIL. Ministério de Minas e Energia. Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis. Institucional. Brasília, DF: MME: ANP, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/mmjfv. Acesso em: 16 ago. 2024.

PARA AMPLIAR

Considere a seguinte situação.

Em uma ação programada em cértocerto bairro, a ANP vai fiscalizar três dos cinco postos de combustíveis nele instalados, cuja escolha sêrserá realizada por sorteio. De quantas maneiras distintas podem ser escolhidos esses três postos de combustíveis?

Página duzentos e vinte e oito228

Para resolver essa situação, vamos denominar, inicialmente, os cinco postos de combustíveis de A, B, C, D e E. Nesse caso, note quêque a ordem de escolha dos postos não interfere na formação ôbitídaobtida. Por exemplo, as escôlhasescolhas dos postos A, B e C e dos postos B, C e A correspondem a uma mesma formação ôbitídaobtida.

Dessa maneira, podemos resolver essa situação determinando a quantidade de subconjuntos de três elemêntoselementos do conjunto {A, B, C, D, E}.

{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}

{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}

Assim, os três postos de combustíveis a sêrser fiscalizados podem sêrser escolhidos de dez maneiras distintas.

Em relação à situação apresentada, temos quêque a quantidade de maneiras distintas em quêque três dos cinco postos poderiam sêrser escolhidos para sêrser fiscalizados corresponde à combinação simples de 5 postos tomados 3 a 3.