CAPÍTULO 1
CONJUNTOS

A ideia de conjunto está presente em várias situações do dia a dia. Ao organizar a lista de amigos para uma festa, ao reunir o material escolar e ao formárformar um tímetime, por exemplo, estamos constituindo conjuntos.

Neste Capítulo, estudaremos os conjuntos do ponto de vista matemático, analisando algumas de suas propriedades e operações, além de retomar os conjuntos numéricos já estudados no Ensino Fundamental e ampliar os conteúdos associados a esses conjuntos. Esses conteúdos auxiliam na compreensão da linguagem utilizada para expressar conceitos matemáticos e serão utilizados na apresentação de outros conteúdos.

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Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Conjunto de pótespotes para guardar alimentos, conjunto de brinquedos etc.

Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes relembrem o quêque já estudaram a respeito dos números naturais, inteiros e racionais no Ensino Fundamental.

Resposta pessoal.

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Introdução

Professor, apresentar o quêquestionamento do primeiro parágrafo para a turma e deixar quêque os estudantes debatam por um tempo para que percêbampercebam facilidades e dificuldades de uma escrita e de outra. Incentivar quêque justifiquem suas respostas e, caso necessário, apresentar outros exemplos. Esse momento de discussão e investigação é importante para despertar o interêsseinteresse no assunto a sêrser tratado, antes de prosseguir com o conteúdo.

Você já parou para pensar em como escreveria uma simples conta de adição, como 2 + 3 = 5, se não houvesse os símbolos “+” e “=” e os numerais “2”, “3” e “5” para representar os números? Uma opção seria escrever na língua materna, quêque, no caso do português, seria: “dois mais três é igual a cinco”.

Esses símbolos foram desenvolvidos e aprimorados ao longo do tempo, à medida quêque estudiosos da área perceberam a necessidade de tê-los para simplificar e condensar a escrita e para representar os conceitos, as definições e as propriedades matemáticas, mantendo, porém, a precisão e o rigor necessários.

Neste Capítulo, estudaremos a linguagem dos conjuntos, quêque é bastante útil ao tratar de diferentes assuntos, por exemplo, as funções, as relações entre entes geométricos (como ponto, reta e plano) e a lógica. Também estudaremos propriedades e operações quêque podem sêrser feitas nessa estrutura de conjuntos.

Saiba quêque...

Utilizamos a expressão "língua materna" relacionando-a ao português; é importante destacar quêque, para os estudantes surdos brasileiros, além do português, a Língua Brasileira de Sinais (Libras) também é considerada língua materna.

Conceitos iniciais

Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, e cada um deles é chamado de elemento. No exemplo apresentado na abertura dêstedeste Capítulo, cada jogadora é um elemento do conjunto tímetime de futebólfutebol.

Representações de um conjunto

Geralmente, nomeamos os conjuntos utilizando lêtrasletras maiúsculas (por exemplo: A, B, C, D,..., X, Y, Z) e adotamos lêtrasletras minúsculas para representar seus elemêntoselementos (por exemplo: a, b, c, d,..., x, y, z).

Um conjunto pódepode sêrser representado de várias maneiras. Por exemplo, podemos representar o conjunto A, formado pelas vogais do nosso alfabeto, dos seguintes modos:

a) Os elemêntoselementos do conjunto são colocados entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula:

A = {a, e, i, o, u}

b) Os elemêntoselementos do conjunto são indicados por uma ou mais propriedades quêque os caracterizam:

Professor, se julgar necessário, comentar com os estudantes quêque os dois-pontos (:) ou o ponto e vírgula (;) também podem sêrser usados para representar as expressões “tal que” e “tais que”.

c) Os elemêntoselementos do conjunto são representados em um diagrama de Venn, como mostra a imagem.

Saiba quêque...

O diagrama de Venn foi desenvolvido pelo matemático inglês DiônJohn Venn (1834-1923).

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Observe outros exemplos de conjuntos:

• conjunto das consoantes da palavra “avião”:

A = {v};

• conjunto dos números naturais pares:

B = {b | b é um número natural par};

• conjunto dos estados da Região Norte:

Para indicar quêque um elemento faz parte de determinado conjunto, usamos o sín-bolosímbolo ∈ (pertence) e, para indicar quêque ele não faz parte, usamos o sín-bolosímbolo ∉ (não pertence). Por exemplo, dado o conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u}, temos:

• i ∈ A (lê-se: i pertence a A);

• d ∉ A (lê-se: d não pertence a A).

Pense e responda

A ∈ r

Tipos de conjuntos

Quanto ao número de elemêntoselementos, os conjuntos podem sêrser classificados em finitos ou infinitos.

Quando dizemos “contar”, significa quêque a contagem finaliza em algum número natural. Vamos retomar o exemplo do conjunto A das vogais de nosso alfabeto:

A = {a, e, i, o, u}

Ao contar os elemêntoselementos do conjunto, chegamos até o número 5. Logo, esse conjunto é finito e tem cinco elemêntoselementos. Utilizamos a notação n(A) para indicar a quantidade de elemêntoselementos do conjunto finito A. Nesse exemplo, temos n(A) = 5.

Ou seja, um conjunto é infinito quando não é possível contar todos os seus elemêntoselementos e finalizar a contagem até cértocerto número. Por exemplo, dado o conjunto B dos números naturais ímpares, temos:

Saiba quêque...

As reticências também podem sêrser usadas entre dois elemêntoselementos de um conjunto para indicar os elemêntoselementos entre eles (sejam finitos ou infinitos). Por exemplo, o conjunto finito N dos números naturais de 1 a 90 pódepode sêrser representado por N = {1, 2, 3, 4,..., 88, 89, 90}.

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Observe, a seguir, um exemplo de um conjunto unitário.

H = {x | x é um número natural maior do quêque 6 e menor do quêque 8}

Como só existe um número natural maior do quêque 6 e menor do quêque 8, temos: H = {7}. Logo, H é um conjunto unitário.

Representamos um conjunto vazio por {} ou ∅. Por exemplo:

V = {x | x é um número natural menor do quêque zero}

Como não existe número natural menor do quêque zero, o conjunto V é vazio. Logo, V = ∅. Por definição, o conjunto vazio é um conjunto finito.

Pense e responda

n(H) = 1; n(V) = 0

Igualdade de conjuntos

Analisando os conjuntos A = {vogais da palavra “livro”} e B = {i, o}, observamos quêque eles possuem exatamente os mesmos elemêntoselementos. Nesse caso, dizemos quêque A e B são iguais.

Agora, obissérveobserve os conjuntos C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 3}. Como existe um elemento em D quêque não pertence a C, dizemos quêque C e D são diferentes.

A ordem em quêque os elemêntoselementos estão dispostos nos conjuntos não os diferencia. Por exemplo, os conjuntos X = {p, a, t, o} e W = {a, o, t, p} das lêtrasletras da palavra “pato” têm os mesmos elemêntoselementos, então X = W.

Da mesma maneira, os conjuntos P = {a, r, n, h} e Q = {a, r, a, n, h, a} das lêtrasletras da palavra “aranha” também são iguais, ou seja, têm os mesmos elemêntoselementos, pois elemêntoselementos repetidos não diferenciam um conjunto de outro. Apesar de a palavra ter três lêtrasletras “a”, elas não precisam aparecer todas as vezes na representação do conjunto das lêtrasletras quêque a compõem.

Subconjuntos

Considerando os conjuntos A = {1, 3, 7} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, observamos quêque todo elemento do conjunto A também é elemento de B. Nesse caso, dizemos quêque A é um subconjunto de B. Observe a representação dêêssesdesses conjuntos por meio de um diagrama.

De maneira geral:

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Quando um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, temos uma relação de inclusão e dizemos quêque A está contido em B. pôdêmosPodemos dizêrdizer, também, quêque B contém A.

Indica-se:

Observe alguns exemplos:

a) Sendo A = {1, 2} e B = {0, 1, 2, 3}, tem-se A ⊂ B.

b) {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊃ {3, 4, 5}

c) {4, 5, 6} ⊂ {4, 5, 6}

d) {2, 4, 6, 8} ⊃ {8}

e) {a, b} ⊂ {a, b, x, y}

f) Sendo M = {m | m é um mês do ano quêque tem 30 dias} e Q = {junho, setembro}, então Q ⊂ M.

O conjunto universo, representado por U, é o conjunto quêque contém todos os elemêntoselementos considerados em uma situação ou um problema. Por exemplo:

Os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {−2, −1, 2, 3} são subconjuntos do conjunto universo U, formado pêlospelos números inteiros. Nos diagramas, é usual representar o conjunto universo por um retângulo.

Propriedades da relação de inclusão

É possível demonstrar quêque são válidas as seguintes propriedades para a relação de inclusão de conjuntos:

1ª) Propriedade reflexiva: A ⊂ A, para qualquer A, ou seja, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

2ª) Propriedade antissimétrica: Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B, ou seja, dados dois conjuntos, se cada um deles é subconjunto do outro, então eles são iguais.

3ª) Propriedade transitiva: Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C, ou seja, se um conjunto é subconjunto de um segundo, quêque, por sua vez, é subconjunto de um terceiro conjunto, então o primeiro é subconjunto do terceiro.

Observações:

• A relação de pertinência (x ∈ A) se estabelece entre elemento e conjunto, enquanto a relação de inclusão (A ⊂ B) se estabelece entre dois conjuntos.

• Se existir pelo menos um elemento de A quêque não pertença a B, dizemos quêque A não está contido em B ou quêque B não contém A.

• O sín-bolosímbolo ⊄ significa não está contido.

• O sín-bolosímbolo ⊍ significa não contém.

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A, qualquer quêque seja o conjunto A.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. dêz-crevaDescreva os conjuntos a seguir, listando seus elemêntoselementos:

a) V = {x | x é vogal da palavra “estacionamento”}.

b) P = {y | y é um número natural primo menor do quêque 30}.

Resolução

a) As vogais do nosso alfabeto são: a, e, i, o, u. Na palavra “estacionamento”, as vogais são: a, e, i, o. Portanto, V = {a, e, i, o}.

b) Os números primos são aqueles quêque possuem apenas dois divisores distintos, o número 1 e ele mesmo. Logo, os números naturais primos menóresmenores do quêque 30 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Portanto, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.

2. Verifique se o conjunto A = {0, 3, 5} é subconjunto de B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Resolução

Comparando, um a um, os elemêntoselementos dos conjuntos A e B, verificamos quêque o elemento 5 do conjunto A não pertence a B, ou seja, 5 ∉ B. Logo, A não está contido em B, isto é, A ⊄ B. Portanto, A não é subconjunto de B.

3. Determine todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}.

Resolução

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Além díssudisso, os subconjuntos de A serão todas as combinações possíveis dos elemêntoselementos de A.

Então, os subconjuntos de A são os seguintes:

• o conjunto vazio: ∅

• os conjuntos com apenas 1 elemento: {1}, {2}, {3};

• os conjuntos com 2 elemêntoselementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3};

• o próprio conjunto A, com 3 elemêntoselementos: {1, 2, 3}.

4. Observe o diagrama, em quêque E, F e H são conjuntos não vazios:

Quais afirmativas são verdadeiras? Justifique sua resposta.

a) E ⊄ F

b) F ⊃ E

c) H ⊂ F

d) E ⊃ H

e) F ⊄ H

f) H ⊂ E

Resolução

Analisando as afirmativas, uma a uma, temos:

a) Verdadeira, pois existem elemêntoselementos quêque pertencem a E e não pertencem a F.

b) Falsa, pois existem elemêntoselementos quêque pertencem a E e não pertencem a F.

c) Falsa, pois existem elemêntoselementos quêque pertencem a H e não pertencem a F.

d) Verdadeira, pois todos os elemêntoselementos de H pertencem a E.

e) Verdadeira, pois existem elemêntoselementos quêque pertencem a F e não pertencem a H.

f) Verdadeira, pois todos os elemêntoselementos de H pertencem a E.

ATIVIDADES

1. escrêevaEscreva os conjuntos descritos em cada item.

a) O conjunto A representado pêlospelos números naturais múltiplos de 3 menóresmenores do quêque 20.

A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

b) O conjunto B representado pêlospelos números naturais primos menóresmenores do quêque 27.

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}

c) O conjunto C representado pêlospelos números naturais menóresmenores do quêque 50 e múltiplos de 7.

C = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}

d) D = {x | x é satélite natural da Terra}.

D = {Lua}

e) E = {y | y é consoante da palavra “pedra”}.

E = {p, d, r}

2. Dado o conjunto B = {1, −1, 2, −2}, responda se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) 1 ∈ B

b) {1} ∈ B

c) 2 ∈ B

d) −1 ∈ B

e) 1 ∉ B

f) 3 ∈ B

V F V V F F

• Agora reúna-se a um colega, e reescrevam as alternativas falsas alterando-as para quêque se tornem verdadeiras.

Exemplo de resposta: b) 1 ∈ B; e) 4 ∉ B; f) 3 ∉ B

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3. Considere o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Represente os subconjuntos de A formados:

a) pêlospelos números maiores do quêque 5 e menóresmenores do quêque 10;

{6, 7, 8, 9}

b) pêlospelos números pares;

{4, 6, 8, 10}

c) pêlospelos números ímpares maiores do quêque ou iguais a 7.

{7, 9, 11}

4. Dado o conjunto E = {2, 4, 6, 8}, liste todos os subconjuntos de E formados por:

a) 3 elemêntoselementos;

{2, 4, 6}; {2, 4, 8}; {2, 6, 8}; {4, 6, 8}

b) 4 elemêntoselementos.

{2, 4, 6, 8}

5. Sejam a e b números naturais, determine o valor de a + b, tal quêque {0, 1, 2} = {2, a, b}.

1

6. Uma pessoa tem quatro opções de música para escutar: a, b, c e d. Considerando o conjunto {a, b, c, d} formado por essas músicas, resôuvaresolva os itens.

a) Indique todos os subconjuntos possíveis com apenas duas músicas.

{a, b}; {a, c}; {a, d};

{b, c}; {b, d}; {c, d}

b) Se uma pessoa quiser ouvir apenas duas músicas por dia, quantas possibilidades de pares ela tem para escolher?

6 pares

7. No diagrama a seguir, A, B e C são três conjuntos não vazios.

Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa.

a) A ⊂ B

V

b) C ⊂ B

V

c) B ⊂ A

F

d) A ⊂ C

F

e) B ⊄ A

V

f) A ⊄ C

V

g) B ⊃ A

V

h) A ⊍ B

V

8. Dados os conjuntos A = {1}, B = {0, 1}, C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}, relacione cada par de conjuntos a seguir usando o sín-bolosímbolo ⊂ ou ⊄.

a) A e B

A ⊂ B

b) A e C

A ⊂ C

c) A e D

A ⊂ D

d) B e C

B ⊄ C

e) B e D

B ⊂ D

f) C e D

C ⊄ D

9. Sejam A, B e C os conjuntos a seguir:

A = {x | x é número natural par compreendido entre 3 e 15};

B = {x | x é número natural par menor do quêque 15};

C = {x | x é número natural par diferente de 2}.

Relacione cada par a seguir usando o sín-bolosímbolo

⊂ ou ⊄.

a) A e B

A ⊂ B

b) A e C

A ⊂ C

c) B e C

B ⊄ C

10. Dado o conjunto A = {0, 2, 3}, diga se as proposições são verdadeiras ou falsas.

a) 0 ∈ A

V

b) 1 ⊂ A

F

c) 3 ∈ A

V

d) {3} ⊂ A

V

e) {1, 2} ⊂ A

F

f) ∅ ⊂ A

V

g) ∅ ∈ A

F

h) {3} ∈ A

F

11. Indique apenas as afirmações verdadeiras.

a) {5} ⊂ {0, 5, 10, 15}

b) {a, b, c} ⊃ {b, a, c}

c) 2 ⊂ {0, 2, 4}

d) 8 ∈ {2, 4, 6, 8, 10}

e) {1, 2, 3} ⊃ {1, 2}

f) {−1, 6} ⊄ {n | n é um número natural}

g) 3 ∈ {0, 3, 6, 9}

h) $\frac{1}{2}$ ∉ {n | n é um número natural}

alternativas a, b, d, e, f, g e h

12. Sendo P e Q dois conjuntos não vazios, de modo quêque P ⊂ Q, indique apenas as afirmações verdadeiras.

alternativa d

a) Existe x ∈ P, tal quêque x ∉ Q.

b) Existe x ∈ Q, tal quêque x ∉ P.

c) Se x ∈ Q, então x ∈ P.

d) Se x ∉ Q, então x ∉ P.

e) P e Q não têm elemêntoselementos em comum.

13. Quantos conjuntos M satisfazem à sentença a seguir?

{1, 2} ⊂ M ⊂ {1, 2, 3, 4}

4 conjuntos

14. Qual deve sêrser a relação entre os conjuntos A, B e C para quêque A ⊂ B, B ⊂ C e C ⊂ A?

A = B = C

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Operações entre conjuntos

Agora quêque já estudamos como representar conjuntos, vamos aprender a realizar operações entre eles e conhecer a simbologia utilizada para isso. Por exemplo, em um grupo de pessoas quêque estão participando de um processo seletivo, algumas delas informaram quêque têm conhecimentos de inglês; outras afirmaram ter habilidades com um programa específico de computador. Os recrutadores desê-jamdesejam saber quantos candidatos apresentam as duas características juntas e quantos não apresentam nenhuma das duas características. O quêque vamos estudar auxiliará na resolução de situações como essa.

União de conjuntos

Por exemplo, dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, a união dêêssesdesses conjuntos é o conjunto cujos elemêntoselementos pertencem a pelo menos um dêêssesdesses conjuntos, isto é:

Observe quêque, qualquer quêque seja o elemento de A ⋂ B, ele pertence ao conjunto A ou ao conjunto B ou a ambos.

Intersecção de conjuntos

Por exemplo, a intersecção dos conjuntos A e B do exemplo anterior é o conjunto cujos elemêntoselementos pertencem, ao mesmo tempo, ao conjunto A e ao conjunto B. Observe:

Página dezenove19

Observação:

Se os conjuntos A e B não têm elemêntoselementos comuns (A ⋃ B = ∅), dizemos quêque A e B são conjuntos disjuntos. Acompanhe alguns exemplos:

a) Considere os conjuntos: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9}

Temos A ⋂ B = ∅, então os conjuntos A e B são disjuntos.

b) Considere os conjuntos: P = {p | p é mês do ano com 30 dias} e Q = {dezembro}

O mês de dezembro tem 31 dias, então os conjuntos P e Q são disjuntos, pois P ⋂ Q = ∅.

Saiba quêque...

Usualmente, as operações de união e de intersecção de conjuntos são associadas aos conectivos ou e e, respectivamente. Na Matemática, dizêrdizer quêque um elemento pertence a um conjunto ou a outro significa dizêrdizer quêque ele pertence a pelo menos um dos conjuntos, mas pódepode pertencer a ambos. Já dizêrdizer quêque um elemento pertence a um conjunto e a outro significa, necessariamente, quêque ele pertence aos dois conjuntos considerados.

Propriedades da união e da intersecção de conjuntos

Dados três conjuntos, A, B e C, é possível demonstrar quêque valem as seguintes propriedades:

1ª) Propriedade comutativa

A ⋃ B = B ⋃ A

propriedade comutativa da união

A ⋂ B = B ⋂ A

propriedade comutativa da intersecção

2ª) Propriedade associativa

(A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C)

propriedade associativa da união

(A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)

propriedade associativa da intersecção

3ª) Propriedade distributiva

A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂C)

propriedade distributiva da intersecção em relação à união

A ⋃ (B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃C)

propriedade distributiva da união em relação à intersecção

4ª) Propriedade

Se A ⊂ B, então A ⋃ B = B e A ⋂B = A.

Da mesma maneira, se A ⋃ B = B ou A ⋂ B = A, então A ⊂ B.

Quantidade de elemêntoselementos da união de conjuntos

Acompanhe o exemplo a seguir. Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, qual é a quantidade de elemêntoselementos do conjunto A ⋃ B?

Observe o diagrama e note quêque, se adicionarmos a quantidade de elemêntoselementos de A à quantidade de elemêntoselementos de B, a quantidade de elemêntoselementos de A ⋂ B será contada duas vezes, pois os elemêntoselementos 0, 2 e 4 estão presentes nos dois conjuntos.

Assim, precisamos descontar essa repetição, de modo quêque concluímos quêque o conjunto A ⋃ B tem 6 elemêntoselementos.

Página vinte20

De maneira geral, sêndosendo A e B dois conjuntos finitos, a quantidade de elemêntoselementos do conjunto

A ⋂ B, quêque indicamos por n(A ⋂ B), é dada pela seguinte relação:

Aplicando essa igualdade para o exemplo anterior, temos:

n(A ⋂ B) = 4 + 5 − 3 ⇒ n(A ⋂ B) = 6

Observação:

Se A ⋃ B = ∅, temos: n(A ⋃ B) = 0 e n(A ⋂ B) = n(A) + n(B).

Diferença de conjuntos

Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, a diferença A − B é formada por todos os elemêntoselementos quêque pertencem a A, mas não pertencem a B.

Acompanhe outros exemplos:

a) Dados M = {m, n, p, q, r} e P = {p, q}, temos:

M − P = {m, n, r}

b) Seja E o conjunto formado pêlospelos seguintes esportes: basquete, vôlei, futebólfutebol, réndbóllhandebol, judô, xadrez, natação e atletismo. Temos:

E = {basquete, vôlei, futebólfutebol, réndbóllhandebol, judô, xadrez, natação, atletismo}

Considere também o conjunto C, formado pêlospelos esportes coletivos. Ao realizarmos E − C, temos:

E − C = {judô, xadrez, natação, atletismo}

Página vinte e um21

Por exemplo, se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, o complementar de B em relação a A é dado por:

$\begin{array}{c}{C}_A^B\end{array}$ = A − B = {0, 1, 4}

No caso de termos determinado conjunto universo U, do qual A é subconjunto, o complementar de A em relação a U é indicado por:

A(minutos)"′ = $\begin{array}{c}\overline{A}=A^{\complement }={\complement }_U^A\end{array}$ = U − A

FÓRUM

O Brasil se despediu dos Jogos Parapan-Americanos de Santiago 2023 com o maior dêsempênhodesempenho de todos os tempos. Foram 343 medalhas no total, com 156 ouros, 98 pratas e 89 bronzes [...]. Desde o Parapan do Rio 2007, o Brasil termina no topo do qüadroquadro de medalhas.

[...]

O dêsempênhodesempenho brasileiro [...] foi histórico por diversos motivos, como a melhor campanha em todas as edições e conkistasconquistas inéditas. E um dado foi muito importante para quêque isso acontecesse: o Brasil subiu ao pódio em todas as 17 modalidades em quêque esteve presente na competição na capital chilena.

[...] Fosse no badminton, halterofilismo, natação ou qualquer outro esporte, ao menos um atleta brasileiro ocupou um dos três lugares do pódio pelo menos em uma ocasião em Santiago.

[...]

Página vinte e dois22

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, determine os conjuntos A ⋃ B, A ⋂ B, A − B e represente cada um deles por meio de um diagrama.

Resolução

Juntando todos os elemêntoselementos quêque pertencem a A com os elemêntoselementos quêque pertencem a B, temos: A ⋃ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

Tomando os elemêntoselementos comuns a A e a B, temos: A ⋂ B = {1, 3}

Considerando os elemêntoselementos quêque pertencem a A e não pertencem a B, temos:

A − B = {0, 2, 4}

6. Determinada empresa de perfume deseja saber como está o consumo de seus produtos. Assim, fez uma pesquisa de mercado para levantar quantas pessoas consomem o seu produto (P) e quantas consomem o produto (S) da sua principal concorrente. Os dados obtidos na pesquisa foram os seguintes:

Quantas pessoas foram consultadas nessa pesquisa?

Resolução

Vamos considerar o conjunto universo U de todas as pessoas quêque responderam à pesquisa e os conjuntos S e P das pessoas quêque consomem os produtos S e P, respectivamente. Fazemos o diagrama e o preenchemos do seguinte modo:

• Colocamos 50 na região S ⋃ P, pois 50 pessoas consomem os dois produtos. É importante começar pela intersecção, pois, assim, não corremos o risco de contar mais de uma vez essas 50 pessoas.

• Das 210 pessoas quêque consomem o produto S, 50 consomem também o produto P, então o número de pessoas quêque consomem somente o produto S é:

210 − 50 = 160

Portanto, colocamos 160 na região S − P.

• Das 180 pessoas quêque consomem o produto P, temos 50 quêque também consomem o produto S. Então, o número de pessoas quêque consomem somente o produto P é:

180 − 50 = 130

Portanto, colocamos 130 na região P − S.

• Por último, acrescentamos as 40 pessoas quêque não consomem nenhum dos produtos.

Observe como fica o diagrama de Venn com essas informações.

Para determinar quantas pessoas foram consultadas, adicionamos os números marcados no diagrama:

160 + 50 + 130 + 40 = 380

Assim, foram consultadas 380 pessoas nessa pesquisa.

Página vinte e três23

ATIVIDADES

15. Sendo A = {0, 11, 12, 13, 14}, B = {11, 12}, C = {x | x é número natural par compreendido entre 11 e 19} e D = {x | x é número natural ímpar compreendido entre 10 e 16}, determine:

a) A ⋂ B

A ⋂ B = {11, 12}

b) A ⋂ C

A ⋂ C = {12, 14}

c) B ⋃ C

B ⋃ C = {11, 12, 14, 16, 18}

d) C ⋃ D

C ⋃ D = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 18}

e) (A ⋃ B) ⋃ C

(A ⋃ B) ⋃ C = {0, 11, 12, 13, 14, 16, 18}

f) (A ⋂ C) ⋂ D

(A ⋂ C) ⋂ D = ∅

16. Dados os conjuntos A = {m, n, p, q}, B = {n, p, q} e C = {p, q, r, s}, cujos elemêntoselementos são lêtrasletras, determine:

a) A − B

A − B = {m}

b) A − C

A − C = {m, n}

c) B − C

B − C = {n}

d) (A ⋂ B) − C

(A ⋂ B) − C = {n}

e) (A − C) ⋂ (B − C)

(A − C) ⋂ (B − C) = {n}

f) A − ∅

A − ∅ = {m, n, p, q}

17. Considere o diagrama.

Determine:

a) A ⋃ B

A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9}

b) A ⋃ C

A ⋃ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

c) A ⋃ B ⋃ C

A ⋃ B ⋃ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

d) B ⋂ C

B ⋂ C = {2, 6}

e) A ⋂B ⋂ C

A ⋂ B ⋂ C = {2}

f) A − C

A − C = {1, 3, 9}

g) (A ⋂ C) − B

(A ⋂ C) − B = {4}

18. Liste os elemêntoselementos dos conjuntos resultantes de cada operação dada.

a) {10, 11, 12} ⋂ {7, 8, 9, 10, 11}

{10, 11}

b) {−3, −2, −1, 0} ⋂ {0, 1, 2, 3}

{0}

c) $\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{3}\}\bigcap \{\frac{1}{5},\frac{1}{6}\}$

∅

19. Os conjuntos A, B e E são tais quêque

A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ⋂ B = {4, 5},

E − B = {1, 2}, B − A = {6, 7}, E ⋂ B = ∅

e E ⊂ A. Calcule $\begin{array}{c}{C}_A^E\end{array}$

$C_{\mathrm{A}}^E$= A − E = {3, 4, 5}

20. Dados U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 2, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e E = {2, 4, 6}, determine:

a) $\begin{array}{c}{C}_U^A\end{array}$

a) $\begin{array}{c}{C}_U^A\end{array}$ = U − A = {1, 3, 4, 6, 7}

b) $\begin{array}{c}{C}_U^B\end{array}$

b) $\begin{array}{c}{C}_U^B\end{array}$ = U − B = {0, 2, 4, 6}

c) $\begin{array}{c}{C}_U^E\end{array}$

c) $\begin{array}{c}{C}_U^E\end{array}$ = U − E = {0, 1, 3, 5, 7}

21. Representamos M(a) o conjunto dos múltiplos de a e D(a) o conjunto dos divisores de a, com a sêndosendo um número natural. Liste os elemêntoselementos dos conjuntos resultantes das operações a seguir.

a) M(3) ⋂ D(30)

{3, 6, 15, 30}

b) M(2) ⋂ M(4)

{0, 4, 8,...}

c) D(100) ⋂ D(50)

{1, 2, 5, 10, 25, 50}

d) M(7) ⋂ M(5)

{0, 35, 70,...}

22. (hú éfi éssi cêUFSC) Sejam A e B dois conjuntos, onde (A ⋃ B) possui 134 elemêntoselementos e (A ⋂ B) possui 49 elemêntoselementos. Se A possui 15 elemêntoselementos a mais do quêque B, então o número de elemêntoselementos de A é: _____

99 elemêntoselementos

23. Uma pesquisa revelou quêque, das pessoas consultadas, 100 liam o jornáljornal A, 150 liam o jornáljornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum jornáljornal. Quantas pessoas foram consultadas?

340 pessoas

24. Em uma escola de idiomas, há 630 estudantes, dos quais 350 optaram pelo curso de Inglês, 210 escolheram o de Espanhol e 90 optaram pêlospelos dois cursos (Inglês e Espanhol). Pergunta-se:

a) Quantos estudantes cursam apenas Inglês?

260 estudantes

b) Quantos estudantes cursam apenas Espanhol?

120 estudantes

c) Quantos estudantes cursam Inglês ou Espanhol?

470 estudantes

d) Quantos estudantes não cursam nenhum dos dois idiomas?

160 estudantes

25. Em um grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas quêque jogam xadrez é igual ao número de pessoas quêque jogam tênis. Quantos esportistas jogam:

a) tênis e não jogam vôlei?

36 esportistas

b) xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

59 esportistas

c) vôlei e não jogam xadrez?

20 esportistas

Página vinte e quatro24

Conjuntos numéricos

Ao longo da história humana, conforme as sociedades foram se desenvolvendo, o uso dos números evoluiu da simples necessidade de contar e registrar quantidades para concepções e escritas cada vez mais abrangentes quêque pudessem atender a necessidades matemáticas mais compléksascomplexas quêque foram surgindo. É nesse contexto quêque os números foram organizados em conjuntos numéricos.

Estudaremos os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais, dos números irracionais e dos números reais, com algumas de suas propriedades e aplicações.

Conjunto dos números naturais

Os números naturais são utilizados para indicar contagens, como idade, dias de mês ou, ainda, para representar o número de uma residência.

Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elemêntoselementos do conjunto dos números naturais, indicado por ℕ.

O conjunto dos números naturais é infinito, e podemos representá-lo em uma reta orientada sobre a qual marcamos pontos equidistantes. A cada ponto marcado, fazemos corresponder, ordenadamente, um número natural, e cada número natural é representado por um dêêssesdesses pontos, como mostra a figura a seguir.

Página vinte e cinco25

A respeito dos números naturais:

• Todo número natural n tem seu sucessor n + 1, quêque é o número natural quêque vêmvem imediatamente depois dele. Por exemplo, o sucessor de 5 é 6; o sucessor de 29 é 30.

• O número natural quêque vêmvem imediatamente antes de um número natural diferente de zero é denominado antecessor. Por exemplo, o antecessor de 10 é 9; o antecessor de 231 é 230.

• Os números naturais n e n + 1 são denominados consecutivos. Analogamente, dizemos quêque os números naturais n, n + 1, n + 2,... são consecutivos. Por exemplo, 4 e 5 são consecutivos, e 18, 19 e 20 também são consecutivos.

• O subconjunto de ℕ formado por todos os números naturais diferentes de zero é denotado assim:

No conjunto ℕ, as operações de adição e de multiplicação estão bem definidas, pois, quaisquer quêque sêjamsejam dois números naturais, essas operações sempre resultam em um número natural. Porém, a subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural. Por exemplo: 5 − 7 = −2 e −2 ∉ ℕ.

Pense e responda

Saiba quêque...

O asterisco (*), colocado junto ao sín-bolosímbolo quêque representa um conjunto numérico, indica quêque o número zero foi retirado do conjunto.

Conjunto dos números inteiros

Professor, enfatizar a facilidade de se usar a notação de conjuntos com o sín-bolosímbolo de “não pertence” para a escrita de algumas sentenças matemáticas.

Durante o Renascimento (entre os séculos XIV e XVI), a circulação de dinheiro aumentou, por causa da expansão comercial. Isso fez com quêque comerciantes se envolvessem com situações de lucro e prejuízo e, para facilitar a representação dessa movimentação financeira, começaram a utilizar os símbolos + (mais), para representar um valor positivo ou lucro, e − (menos), para representar um valor negativo ou prejuízo.

Ao incluirmos os números negativos −1, −2, −3, −4,... no conjunto {0, 1, 2, 3, 4,...}, formamos o conjunto dos números inteiros, representado por ℤ.

ou

Todos os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros, ou seja, o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, como mostra o diagrama. pôdêmosPodemos escrever ℕ ⊂ ℤ.

Na reta orientada, o conjunto ℤ pódepode sêrser assim representado:

Note quêque cada ponto marcado na reta está associado a um único número inteiro e quêque, reciprocamente, cada número inteiro está associado a apenas um dêêssesdesses pontos.

Página vinte e seis26

Pense e responda

Sim, todo número natural é um número inteiro. Entretanto, nem todo número inteiro é um número natural, por exemplo, −1 não é um número natural.

A respeito dos números inteiros:

• Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor. Por exemplo: o antecessor de −10 é −11, e o sucessor de −1 é 0.

• Dois números inteiros são opostos ou simétricos quando a soma deles é igual a zero. Por exemplo: o ôpôstooposto de 1 é −1, e o ôpôstooposto de −3 é 3. O ôpôstooposto de zero é o próprio zero.

Na reta orientada, identificamos dois números opostos quando eles são simétricos em relação ao zero, ou seja, estão a uma mesma distância da origem. Observe:

Destacamos, agora, importantes subconjuntos de ℤ:

• números inteiros não nulos: ℤ* = {..., −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4,...} = ℤ − {0}

• números inteiros não negativos: ℤ₊ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

• números inteiros não positivos: ℤ₋ = {0, −1, −2, −3, −4,...}

• números inteiros positivos: $\begin{array}{c}{\mathbb{Z}}_{+}^{*}\end{array}$ = {1, 2, 3, 4,...}

• números inteiros negativos: $\begin{array}{c}{\mathbb{Z}}_{-}^{*}\end{array}$ = {−1, −2, −3, −4,...}

• números pares: P = {..., −4, −2, 0, 2, 4,...}, ou seja, são os números quêque, divididos por 2, têm réstoresto 0.

• números ímpares: I = {..., −3, −1, 1, 3,...}, ou seja, são os números quêque, divididos por 2, têm réstoresto 1.

No conjunto ℤ, as operações de adição, subtração e multiplicação estão bem definidas. Isso significa quêque, quaisquer quêque sêjamsejam dois números inteiros, essas operações sempre resultam em um número inteiro. Observe alguns exemplos:

a) −5 + 8 = 3

b) 25 + (−2) = 25 − 2 = 23

c) 10 − (−17) = 10 + 17 = 27

d) −40 − 21 = −61

e) −7 ⋅ 3 = −21

f) 4 ⋅ (−9) = −36

No entanto, no conjunto dos números inteiros, não é possível obtêrobter um número inteiro como quociente de algumas divisões exatas, como 7 ∶ 2, por exemplo. Desse modo, surge a necessidade de definir novos conjuntos numéricos.

Conjunto dos números racionais

Como mencionamos, os resultados de algumas divisões não pertencem ao conjunto dos números inteiros. Por causa díssudisso, surgiu a necessidade de complementar os conjuntos numéricos, o quêque deu origem ao conjunto dos números racionais.

Página vinte e sete27

Exemplos:

• 7 = $\frac{7}{1}$

• 0,6 = $\frac{3}{5}$

• −0,13 = $-\frac{13}{100}$

• 1,3333... = $\frac{4}{3}$

• 0,4777... = $\frac{43}{90}$

Professor, reforçar com os estudantes o uso da linguagem de conjuntos já estudada para estabelecer e indicar a relação entre os conjuntos numéricos.

pôdêmosPodemos escrever os números inteiros como frações com denominador 1. Assim, todos os números inteiros pertencem ao conjunto dos números racionais, ou seja, o conjunto ℤ é um subconjunto do conjunto ℚ, como mostra o diagrama. pôdêmosPodemos escrever ℤ ⊂ ℚ.

Um número racional pódepode sêrser representado de duas maneiras: na forma fracionária, sêndosendo o denominador não nulo; e na forma decimal, caso em quêque a parte decimal tem uma quantidade finita de algarismos ou é infinita e periódica.

Exemplos:

• $\frac{1}{4}$ = 0,25

• $\frac{14}{5}$ = 2,8

• $\frac{13}{6}$ = 2,1666...

Ao realizar uma divisão para obtêrobter a forma decimal de um número racional, temos duas possibilidades:

1. O resultado é um número decimal com uma quantidade finita de algarismos depois da vírgula. Nesse caso, temos um número decimal exato.

Exemplos:

• $\frac{12}{4}$ = 3

• $\frac{9}{2}$ = 4,5

• $\frac{3}{4}$ = 0,75

• $\frac{3}{8}$ = −0,375

2. O resultado é um número decimal com uma quantidade infinita de algarismos depois da vírgula, com um grupo deles se repetindo periodicamente. Nesse caso, temos uma dízima periódica, e o grupo de algarismos quêque se repetem infinitamente é chamado de período da dízima.

Exemplos:

• $\frac{13}{6}$ = 2,1666... = 2,$\overline{16}$ (o período é 6)

•$\frac{40}{99}$ = 0,404040... =0,$\overline{40}$ (o período é 40)

Saiba quêque...

Colocamos um traço sobre o período da dízima para indicar quêque ela se repete indefinidamente. Por exemplo:

• 0,333... = 0,$\overline{3}$

• 0,171717... = 0,$\overline{17}$

• 3,1454545... = 3,$\overline{145}$

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque, se em algum momento o número 0 aparecer como réstoresto da divisão entre dois inteiros, o quociente é finito; portanto, trata-se de um decimal exato.

Página vinte e oito28

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque, se o número for inteiro, basta escrevê-lo como uma fração de denominador 1. Para um número na forma decimal, é possível escrevê-lo como uma fração cujo denominador é uma potência de 10 e simplificá-la até obtêrobter a fração irredutível equivalente.

Acabamos de aprender a obtêrobter a forma decimal de um número racional a partir de sua forma fracionária. Também podemos obtêrobter uma fração de inteiros equivalente a um número racional, seja ele um decimal exato, seja ele uma dízima periódica.

Essa fração é chamada de fração geratriz. Acompanhe como obtêrobter a fração geratriz da dízima 2,313131...

x = 2,313131... I

Como o período tem 2 algarismos quêque se encontram logo após a vírgula, multiplicamos por 100 ambos os membros da igualdade:

100x = 231,313131... II

Fazemos II − I, subtraindo, membro a membro, as duas igualdades:

100x − x = 231,313131... − 2,313131...

Portanto:

99x = 229 ⇒ x = $\frac{229}{99}$

Logo, $\frac{229}{99}$ é a fração geratriz da dízima periódica 2,313131...

Professor, comentar com os estudantes quêque o conjunto dos números racionais é formado pêlospelos decimais exatos e pelas dízimas periódicas.

Um número racional escrito na forma decimal pódepode ter uma quantidade finita ou infinita e periódica de algarismos depois da vírgula. Na forma fracionária, um número racional tem uma representação quêque é uma fração formada por números inteiros com denominador não nulo.

Na reta orientada, é possível marcar pontos quêque representem números racionais. Acompanhe alguns exemplos de localização de números racionais na reta orientada:

a) Como o número $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ = 1,25 está localizado entre 1 e 2, dividimos o intervalo entre os números 1 e 2 em quatro partes iguais e tomamos o ponto da divisão quêque fica mais próximo de 1. Nesse ponto, localizamos o número 1,25.

b) O número −0,2 = $-\frac{1}{5}$ está localizado entre 0 e −1; então, dividimos o intervalo entre os números −1 e 0 em cinco partes iguais e tomamos o ponto da divisão quêque fica mais próximo do 0. Nesse ponto, localizamos o número −0,2.

Professor, comentar com os estudantes quêque é comum localizar números na reta numérica utilizando pequenos traços, em vez de pontos, como aparécemaparecem nesses exemplos.

Observe um trecho da reta orientada com alguns pontos quêque estão associados a alguns números racionais:

Todos os números racionais estão associados a um único ponto da reta orientada. No entanto, nem todos os pontos da reta orientada correspondem a um número racional, como é o caso das dízimas não periódicas. Isso significa quêque os números racionais não são suficientes para “preencher” toda a reta, ou seja, há “buracos” na reta quêque precisam sêrser preenchidos com outros números. Esses números serão estudados mais adiante neste Capítulo.

Página vinte e nove29

A respeito dos números racionais:

a) A soma de dois números racionais é um número racional. Exemplos:

• $\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{17}{15}$

• 7,4 + 3,6 = 11,0

b) A diferença de dois números racionais é um número racional. Exemplos:

• 1,$\overline{3}$ − 0,$\overline{1}$ = 1,$\overline{2}$

• $\frac{1}{6}-\frac{3}{8}=-\frac{5}{24}$

c) O produto de dois números racionais é um número racional. Exemplos:

• 45,$\overline{21}$ ⋅ 2 = 90,$\overline{42}$

• $\frac{4}{5}\cdot \frac{13}{6}=\frac{26}{15}$

d) O quociente de dois números racionais, sêndosendo o divisor diferente de zero, é um número racional. Exemplos:

• 0,5 ∶ 2,25 = 0,$\overline{2}$

• $\frac{3}{25}:\frac{4}{5}=\frac{3}{20}$

e) Dois números racionais são opostos ou simétricos quando a soma deles é igual a zero. Exemplos:

• O ôpôstooposto de 0,5 é −0,5, pois 0,5 + (−0,5) = 0,5 − 0,5 = 0.

• O ôpôstooposto de $-\frac{3}{2}$ é $\frac{3}{2}$, pois $-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$ = 0.

f) Dois números racionais são inversos um do outro quando o produto deles é igual a 1. Exemplos:

• O inverso de $\frac{4}{5}$ é $\frac{5}{4}$, pois $\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{4}$ = 1.

• O inverso de −7 é − $\frac{1}{7}$ pois −7 ⋅ −$\frac{1}{7}$ = 1.

Pense e responda

g) Entre dois números racionais distintos sempre existe outro número racional. Daí a impossibilidade de se escreverem todos os números racionais situados entre dois números quaisquer. Exemplos:

• Entre os números 0,2 = $\begin{array}{c}\frac{1}{5}\end{array}$ e 0,$\overline{3}$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}$ existem, entre outros, os números racionais 0,25; 0,2$\overline{9}$ e $\begin{array}{c}\frac{9}{40}\end{array}$.

Exemplo de resposta: 4,51; 4,6 e 4,799. Os estudantes podem utilizar a estratégia da média aritmética apresentada ou outra quêque desejarem.

Pense e responda

• Um procedimento possível para se obtêrobter um número racional entre dois outros números racionais é calcular a média aritmética entre eles. No caso do exemplo anterior, temos:

$\frac{\mathrm{0,2}+0,\overline{3}}{2}$ = $\frac{0,\overline{53}}{2}$ 0,$\overline{26}$ ou $\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{\frac{8}{15}}{2}=\frac{4}{15}$

Destacamos, agora, importantes subconjuntos de ℚ:

• números racionais não nulos: ℚ* = ℚ − {0}

• números racionais não negativos: ℚ₊

• números racionais não positivos: ℚ₋

• números racionais positivos: ${\mathbb{Q}}_{+}^{*}$

• números racionais negativos: ${\mathbb{Q}}_{-}^{+}$

Aprendemos quêque a soma, a diferença, o produto e o quociente de números racionais são números racionais. Além díssudisso, todo número racional, quando não nulo, possui ôpôstooposto e inverso.

Página trinta30

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Considere os conjuntos A = {x ∈ ℕ | x ≤ 5} e

B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x < 3}. Em seguida:

a) dêz-crevadescreva os elemêntoselementos dos conjuntos A e B.

b) determine A ⋃ B.

c) determine A ⋂ B.

Resolução

a) No conjunto A, a notação x ≤ 5 significa quêque x é um número menor do quêque ou igual a 5, ou seja, sêndosendo x ∈ ℕ, x pódepode assumir qualquer valor natural entre 0 e 5, incluindo os dois extremos. Logo, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

No conjunto B, a notação −2 ≤ x < 3 significa quêque x ≥ −2 e, também, x < 3, sêndosendo x ∈ ℤ, ou seja, x pódepode assumir qualquer valor inteiro entre −2 e 3, incluindo o extremo −2, mas não incluindo o extremo 3. Assim, B = {−2, −1, 0, 1, 2}.

b) A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elemêntoselementos quêque pertencem a A ou a B. Logo, A ⋃ B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

c) A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pêlospelos elemêntoselementos quêque pertencem a A e também pertencem a B.

Portanto, A ⋂ B = {0, 1, 2}.

8. Considere os conjuntos:

A = {x ∈ ℕ | x é par};

B = {x ∈ ℕ | x = 2k + 1, com k ∈ ℕ} e

C = {…,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

O conjunto C − (A ⋃ B) é o conjunto:

a) ℕ*

b) ℤ₋

c) ℚ₋

d) $\begin{array}{c}{\mathbb{N}}_{+}^{*}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}{\mathbb{Z}}_{-}^{*}\end{array}$

Resolução

O conjunto A é formado pêlospelos números naturais pares, portanto A = {0, 2, 4, 6, …}.

O conjunto B é formado por x natural, tal quêque x é da forma x = 2k + 1, com k natural.

Atribuindo valores naturais para k, obtemos valores de x:

k = 0 ⇒ x = 2 ⋅ 0 + 1 ⇒ x = 1

k = 1 ⇒ x = 2 ⋅ 1 + 1 ⇒ x = 3

k = 2 ⇒ x = 2 ⋅ 2 + 1 ⇒ x = 5

k = 3 ⇒ x = 2 ⋅ 3 + 1 ⇒ x = 7

⋮

Note quêque, ao atribuir valores naturais para k, obtemos valores naturais ímpares para x.

Então, o conjunto B é formado pêlospelos números naturais ímpares. Portanto, B = {1, 3, 5, 7, …}.

Sendo assim, temos A ⋃ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

Fazendo C − (A ⋃ B), temos:

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} − {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} = {…, −3, −2, −1}

Então, o conjunto C − (A ⋃ B) é formado por números inteiros negativos, ou seja,

C − (A ⋃ B) = $\begin{array}{c}{\mathbb{Z}}_{-}^{*}\end{array}$.

Portanto, e é a alternativa correta.

9. escrêevaEscreva, em ordem crescente, os números racionais:

$-\frac{2}{3}$; $\frac{17}{8}$; 1,333...; $-\frac{9}{4}$; $\frac{7}{2}$ e $\frac{43}{20}$

Resolução

Primeiro, determinamos a forma decimal das frações:

$-\frac{2}{3}$ = −0,666...

$\frac{17}{8}$ = 2,125

$-\frac{9}{4}$ = −2,25

$\frac{7}{2}$ = 3,5

$\frac{43}{20}$ = 2,15

Agora, observando os números na forma decimal, escrevemos esses números racionais em ordem crescente:

$-\frac{9}{4}‹-\frac{2}{3}$ < 1,333... $‹\frac{17}{8}‹\frac{43}{20}‹\frac{7}{2}$

10. Dois números inteiros x e y, com x < y, são consecutivos e somam 153. Quais são os valores de x e y?

Resolução

Se x e y são números consecutivos e x < y, então podemos escrever quêque:

y = x + 1

Como a soma de x com y é 153, temos:

x + y = 153 ⇒ x + x + 1 = 153 ⇒

⇒ 2x = 152 ⇒ x = 76

Sendo assim, temos y = 76 + 1 ⇒ y = 77.

Portanto, x = 76 e y = 77.

Página trinta e um31

ATIVIDADES

26. escrêevaEscreva os seguintes conjuntos, listando seus elemêntoselementos:

a) A = {x ∈ ℕ | x < 8}

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) C = {z ∈ ℤ* | −3 < z < 4}

C = {−2, −1, 1, 2, 3}

27. dêz-crevaDescreva cada um dos conjuntos de números, definindo-os por uma propriedade de seus elemêntoselementos.

Exemplo de resposta:

a) M = {6, 7, 8}

M = {x ∈ ℕ | 6 ≤ x ≤ 8}

b) T = {..., −5, −4, −3, −2, −1}

T = {x ∈ ℤ | x ≤ −1}

28. Considere os conjuntos A = {x ∈ ℕ | x é par e x < 9} e B = {x ∈ ℕ | x é ímpar e x < 9}. Utilize os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar cada par a seguir.

a) 4 e A

∈

b) 5 e A

∉

c) 8 e A

∈

d) 2 e B

∉

e) 1 e B

∈

f) 10 e A

∉

29. Sendo ℕ = {0, 1, 2, 3,...}, escrêevaescreva os seguintes conjuntos, listando seus elemêntoselementos.

a) A = {x ∈ ℕ | x = 2k, k ∈ ℕ}

A = {0, 2, 4,...}

b) B = {x ∈ ℕ | x = k², k ∈ ℕ}

B = {0, 1, 4, 9,...}

30. Dados os conjuntos A = {x ∈ ℕ* | x = 2k, k ∈ ℕ} e B = {x ∈ ℕ | x ≤ 10}, determine o número de elemêntoselementos de A ⋃ B.

n(A ⋂ B) = 5

31. Verifique se os conjuntos a seguir são iguais.

Sim, são iguais.

A = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 4}

B = {x ∈ ℕ | (x − 2)(x − 3) = 0}

32. Usando os símbolos ∈ ou ∉, relacione:

a) −7 e ℕ.

∉

b) 4 e ℤ.

∈

c) $\frac{1}{2}$ e ℤ.

∉

d) 0,166... e ℚ.

∈

33. Determine a fração geratriz dos números a seguir.

a) 0,323232...

$\frac{32}{99}$

b) 2,715715715...

$\frac{2713}{999}$

34. Sendo A o conjunto dos divisores naturais de 18 e B o conjunto dos divisores naturais de 30, escrêevaescreva:

a) o conjunto A;

A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

b) o conjunto B;

B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

c) o conjunto C dos divisores comuns de 18 e 30;

C = {1, 2, 3, 6}

d) o mássimomáximo divisor comum de 18 e 30.

6

35. (UFAL) No universo ℕ, sêjamsejam A o conjunto dos números pares, B o conjunto dos números múltiplos de 3 e C o conjunto dos números múltiplos de 5. Determine os 10 menóresmenores números quêque pertencem ao conjunto B − (A ⋃ C).

3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63 e 69

36. (Unicamp-SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo quêque a soma de seus quadrados é 481.

15 e 16

37. Determine os seguintes conjuntos, listando seus elemêntoselementos.

a) M = {x ∈ ℚ | −2x − 9x + 5 = 0}

M=$\left\{\frac{5}{11}\right\}$

b) N = $\{a\in Q|\frac{1}{2}+a=2\}$

N= $\left\{\frac{3}{2}\right\}$

c) P = {y ∈ ℤ | (y − 1)(y + 2)(y − 3) = 0}

P = {−2, 1, 3}

d) S = {x ∈ ℕ | x² − 25 = 0}

S = {5}

38. (hú éfe ême gêUFMG) Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se quociente z e réstoresto 8. Sabe-se quêque a representação decimal de $\frac{x}{y}$ é a dízima periódica 7,363636...

Então, o valor de x + y + z é

alternativa d

a) 190.

b) 193.

c) 191.

d) 192.

39. (OBMEP) A figura representa parte de uma régua graduada de meio em meio centimetro, onde estão marcados alguns pontos. Qual deles melhor representa o número 2x − 2?

alternativa d

a) R

b) S

c) T

d) U

e) V

40. O valor de $\frac{6}{\mathrm{0,333}\dots }$ é

a) 20,0

b) 18,18...

c) 18,0

d) 2,2...

e) 2,0

alternativa c

41. (Cesgranrio-RJ) Ordenando os números racionais p = $\frac{13}{24}$, q = $\frac{2}{3}$ e r = $\frac{5}{8}$, obtemos:

a) p < r < q

b) p < q < r

c) r < p < q

d) q < r < p

e) r < q < p

alternativa a

Página trinta e dois32

Conjunto dos números irracionais

Antigamente, o conjunto dos números racionais parecia sêrser ideal para todas as situações quêque envolviam operações aritméticas. E, de fato, durante algum tempo, acreditou-se quêque os números racionais resolveriam todos os problemas quêque envolviam medições. No entanto, já na época de Pitágoras e seus discípulos, cerca de VI a.C., alguns problemas desafiavam essa teoria, como o apresentado a seguir.

Qual é a medida da diagonal d do quadrado ABCD cujo lado médemede uma unidade1 unidade de comprimento?

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

d² = 1² + 1² ⇒ d² = 2

Para determinar o valor de d, devemos responder à seguinte questão: qual é o número cujo quadrado é igual a 2? Inicialmente, vamos tentar calcular o valor de d usando aproximações por números racionais.

1² = 1

2² = 4

Logo, d é um valor quêque está entre 1 e 2 (1 < d < 2).

Em seguida, com o auxílio de uma calculadora, vamos determinar a primeira casa decimal de d.

(1,1)² = 1,21

(1,2)² = 1,44

(1,3)² = 1,69

(1,4)² = 1,96

(1,5)² = 2,25

Logo, d está entre 1,4 e 1,5, ou seja, 1,4 < d < 1,5.

Então, 1,4 é um valor aproximado de d, por falta, com uma casa decimal.

Usando o mesmo procedimento, determinamos a segunda casa decimal de d.

(1,41)² = 1,9881 (1,42)² = 2,0164

Logo, d está entre 1,41 e 1,42, ou seja, 1,41 < d < 1,42.

Aqui, 1,41 é um valor aproximado de d, por falta, com duas casas decimais.

Mediante outras tentativas, percebemos quêque a medida d da diagonal está entre 1,414 e 1,415, ou seja, 1,414 < d < 1,415. Observe:

(1,414)² = 1,999396 (1,415)² = 2,002225

Nesse caso, 1,414 é um valor aproximado de d, por falta, com três casas decimais.

Se continuarmos repetindo esse processo, vamos obtêrobter quantas casas decimais quisérmosquisermos, mas encontraremos sempre um valor aproximado para d, por falta, pois esse valor, elevado ao quadrado, é sempre um número menor do quêque 2.

Poderíamos também obtêrobter o valor aproximado de d por excéssoexcesso, ou seja, utilizando as aproximações para d tais quêque, elevadas ao quadrado, ultrapassam o valor 2.

Representamos o valor exato para a medida da diagonal do quadrado de lado 1 por $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$. Utilizando uma calculadora científica, é possível obtêrobter as primeiras casas decimais de $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$, quêque indicamos assim:

$\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ = 1,414213562...

Pense e responda

Exemplo de resposta: Aproximação por falta: 1,73; aproximação por excéssoexcesso: 1,74

Página trinta e três33

Esse número tem uma infinidade de casas decimais quêque não apresentam padrão de repetição; logo, não é uma dízima periódica, e é possível demonstrar quêque números dêêssedesse tipo não podem sêrser escritos na forma de fração com números inteiros (com denominador não nulo). Portanto, $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ não é um número racional; é um número irracional, quêque faz parte do conjunto dos números irracionais.

Saiba quêque...

Uma calculadora científica é capaz de realizar outras operações e funções além das operações aritméticas básicas. Além da versão física, também está disponível digitalmente na maioria dos sistemas operacionais dos computadores e celulares.

Para realizar cálculos aproximados, podemos utilizar os números irracionais em sua representação decimal com quantas casas decimais desejarmos. Por exemplo:

$\sqrt[]{3}$ ≃ 1,73205 e $\sqrt[]{2}$ ≃ 1,41

≃ Esse sín-bolosímbolo significar aproximadamente igual a.

Observe outros exemplos de números irracionais e suas primeiras casas decimais, obtidas com o auxílio de uma calculadora científica:

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{13}\end{array}$ = 3,605551275...

• $\begin{array}{c}\sqrt[3]{5}\end{array}$ = 1,709975946...

• (pi)"π = 3,141592653...

A respeito dos números irracionais, é possível demonstrar quêque:

a) as raízes quadradas de números naturais quêque não são quadrados perfeitos são números irracionais. Exemplos:

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ = 3,162277660...

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{24}\end{array}$ = 4,898979485...

b) em particular, as raízes quadradas de números primos positivos são números irracionais. Exemplos:

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 1,732050807...

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ = 2,645751311...

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{61}\end{array}$ = 7,810249675...

c) a soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. Exemplos:

• 3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ = 3 + 1,414213562... = 4,414213562...

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$ + 1,5 = 2,236067977... + 1,5 = 3,736067977...

d) o resultado da subtração entre um número racional e um número irracional, e vice-versa, é um número irracional. Exemplos:

• 1 − (pi)"π = 1 − 3,141592653... = −2,141592653...

• $\begin{array}{c}\sqrt[]{6}\end{array}$ − 4 = 2,449489742... − 4 = −1,550510257...

e) o produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional. Exemplos:

• 2 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ = 2 ⋅ 2,645751311... = 5,291502622...

• $-\frac{1}{3}$ ⋅ (pi)"π = $-\frac{\pi }{3}$ = −1,047197551...

f) o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional. Exemplos:

Professor, se julgar interessante, comentar com os estudantes quêque o quociente de um número irracional por um número racional não nulo também é um número irracional.

• 5 ∶ $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}=\frac{5}{\sqrt[]{3}}=\frac{5\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$ = 2,886751345...

• 7 ∶ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}=\frac{7}{\sqrt[]{2}}=\frac{7\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ = 4,949747468...

Destacamos dois subconjuntos de 𝕀:

• Números irracionais positivos: 𝕀₊

• Números irracionais negativos: 𝕀₋

Saiba quêque...

• Um número irracional não pódepode sêrser expresso por uma fração formada por números inteiros, com denominador não nulo.

• Número quadrado perfeito é o número natural cuja raiz quadrada é um número natural. Assim, 1, 9, 25 e 64 são exemplos de quadrados perfeitos, pois: $\begin{array}{c}\sqrt[]{1}\end{array}$ = 1; $\begin{array}{c}\sqrt[]{9}\end{array}$ = 3; $\begin{array}{c}\sqrt[]{25}\end{array}$ = 5; $\begin{array}{c}\sqrt[]{64}\end{array}$ = 8.

Pense e responda

Não. Espera-se quêque os estudantes apresentem algum contraexemplo, como: _ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}+(-\sqrt[]{2}+1)\end{array}$ _ = 1.

Não. Espera-se quêque os estudantes apresentem algum contraexemplo, como: _ $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\cdot \sqrt[]{5}\end{array}$ _ = 5.

Página trinta e quatro34

Alguns números irracionais famosos

O número pi ((pi)"π)

O número representado pela letra grega (pi)"π (pi) é um dos números irracionais mais conhecidos no meio matemático. O número (pi)"π é a constante ôbitídaobtida da razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro. Essa razão não pódepode sêrser expressa na forma de fração com números inteiros (com denominador não nulo), isto é, (pi)"π é um número irracional e sua representação decimal é infinita e não periódica: (pi)"π = 3,141592653....

As aproximações do número (pi)"π já eram conhecidas por muitas civilizações antigas, como a babilônica e a egípcia, quêque sabiam quêque essa razão era maior do quêque 3. Por exemplo, essa constante aparece com o valor 3,16 (na notação atual) no papiro de Ahmes (cerca de 1650 a.C.) e com o valor 3,14 no papiro de Moscou (cerca de 1850 a.C.).

No entanto, a designação dessa constante pela letra grega (pi)"π apareceu apenas em 1706, quando o matemático inglês uílhãmWilliam Jones (1675-1749) usou esse sín-bolosímbolo pela primeira vez para expressar essa razão. ÓilerEuler adotou o sín-bolosímbolo em 1737, o qual rapidamente se tornou uma notação padrão.

O número de ÓilerEuler (e)

O número irracional e, chamado de número de ÓilerEuler, cujo valor é 2,718281828..., tem diversas aplicações na Matemática, bem como em outras ciências, como Economia, Biologia e Estatística. Esse número irracional também é chamado de número de Napier, graças aos estudos relacionados aos logaritmos feitos pelo matemático DiônJohn Napier (1550-1617).

A primeira referência a esse número foi publicada em 1618, em um trabalho sobre logaritmos realizado por esse matemático. O valor da constante não aparece nesse trabalho, há apenas uma lista de logaritmos naturais de diversos números.

Anos depois, Jacob Bernoulli (1655-1705) indicou um possível valor aproximado para esse número, enquanto estudava soluções para problemas de juro compôztocomposto no campo financeiro.

Leonhard ÓilerEuler (1707-1783) adotou a letra e para representar a constante em sua obra Mechanica, publicada em 1736, quêque descreve analiticamente a matemática quêque rege os movimentos em Física. O número e é bastante utilizado no cálculo de logaritmos e de funções exponenciais e logarítmicas.

Para assistir

• PARA quêque sérveserve o pi e por quêpor que esse número causa tanto fascínio? [S. I.: s. n.], 2020. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal BBC niusNews Brasil. Disponível em: https://livro.pw/hqglb. Acesso em: 26 jun. 2024.

O vídeo apresenta curiosidades sobre o número (pi)"π e suas casas decimais.

Página trinta e cinco35

A razão áurea

A razão áurea está relacionada à divisão de um segmento de reta em média e extrema razão. Acompanhe.

Dado um segmento AB de medida a, dividi-lo em média e extrema razão é determinar o ponto C tal quêque $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}$.

Indicando a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ por c, a proporção fica:

$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{c}{a-c}\Rightarrow$ c² + ac − a² = 0

A equação c² + ac − a² = 0 é uma equação do 2º grau, cujo método de resolução será apresentado posteriormente neste Volume.

A partir da resolução dessa equação na incógnita c, obtém-se a razão:

$$\begin{array}{c}\frac{a}{c}=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\end{array}$$

Essa razão é conhecida como razão áurea, e o número irracional $\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\end{array}$, cujo valor é 1,618033988..., é chamado de número de ouro, representado pela letra grega maiúscula φ (lê-se: fi).

A “divisão de um segmento em média e extrema razão” foi um dos assuntos da escola pitagórica, grupo de estudos criado por Pitágoras, responsável por grandes descobertas por volta do século VI a.C. Séculos mais tarde, essa razão ficou conhecida como razão áurea.

A razão áurea também esteve presente nos trabalhos de outros matemáticos, principalmente naqueles desenvolvidos por Fibonacci (1170-1250) e por Luca Pacioli (1445-1517).

Outra denominação para a razão áurea é proporção áurea, considerada harmônica entre dois segmentos de reta, ou seja, considerada o perfeito equilíbrio, ou proporcionalidade, entre as medidas de dois segmentos de reta. Por exemplo, um retângulo áureo é aquele quêque possui a razão entre suas medidas igual a φ. Nesta figura, o retângulo tem medidas próximas às de um retângulo áureo.

A razão áurea foi objeto de grande admiração e estudo desde a AntigüidadeAntiguidade, pois é encontrada em diversas formas de; ár-tede arte e na arquitetura, como na pirâmide de Quéops, na arquitetura egípcia; no Parthenon (construído entre 447 a.C. e 433 a.C.), na arquitetura grega; na obra Homem vitruviano, de Leonardo da Vinci (1452-1519); entre outras.

Página trinta e seis36

Conjunto dos números reais

Reunindo os números racionais aos números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por ℝ.

Assim, os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais estão contidos no conjunto dos números reais, ou seja, são subconjuntos de ℝ. Observe o diagrama.

Já aprendemos a marcar, na reta orientada, pontos quêque representam números racionais. Aprendemos, também, quêque os números racionais não são suficientes para preencher toda a reta orientada. É possível marcar pontos na reta quêque representam números irracionais. Observe alguns números racionais e irracionais representados na reta orientada:

Saiba quêque...

O ponto quêque representa o número zero também é chamado de origem da reta real.

Agora, com os números irracionais na reta orientada, podemos dizêrdizer quêque ela está completa e quêque não há mais “buracos” em seu preenchimento. pôdêmosPodemos demonstrar quêque, ao marcarmos os números racionais e os irracionais na reta orientada, ela fica completa, com todos os números reais. A reta assim construída é denominada reta numérica ou reta real.

Cada ponto da reta numérica pódepode sêrser associado a um único número real, e cada número real pódepode sêrser associado a um único ponto da reta numérica, ou seja, dizemos quêque há uma correspondência biunívoca dos números reais com os pontos da reta.

A respeito dos números reais:

a) A soma de dois números reais é um número real.

b) A diferença de dois números reais é um número real.

c) O produto de dois números reais é um número real.

d) O quociente de dois números reais, sêndosendo o divisor diferente de zero, é um número real.

e) Os conceitos de números opostos e de números inversos estudados nos conjuntos numéricos anteriores também são válidos para os números reais.

Exemplos:

• O ôpôstooposto de $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ é $\begin{array}{c}-\sqrt[]{2}\end{array}$ pois $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}+(-\sqrt[]{2})\end{array}$ = 0

• O inverso de (pi)"π é $\frac{1}{\pi }$, pois (pi)"π $\frac{1}{\pi }$ = 1.

No conjunto ℝ dos números reais, destacamos os seguintes subconjuntos:

• números reais não nulos: ℝ* = ℝ − {0}

• números reais não negativos: ℝ₊ = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

• números reais não positivos: ℝ₋ = {x ∈ ℝ | x ≤ 0}

• números reais positivos: ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$ = {x ∈ ℝ | x > 0}

• números reais negativos: ${\mathbb{R}}_{-}^{*}$ = {x ∈ ℝ | x < 0}

Saiba quêque...

As lêtrasletras ℕ, ℚ e ℝ são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente e real. A letra ℤ é inicial da palavra zahl, quêque significa número em alemão.

LIMA, Elon L. éti áuet al. A Matemática do Ensino Médio. 11. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. (Coleção Professor de Matemática, v. 1, p. 58).

Página trinta e sete37

Intervalos reais

Existem subconjuntos de ℝ, chamados de intervalos reais, quêque são determinados por desigualdades. Os intervalos podem sêrser representados de diversas maneiras, como mostrado a seguir.

Dados dois números reais a e b, chamados de extremos do intervalo, com a < b, temos:

Observações:

• A bó-linhabolinha vazia (ο) indica quêque os extremos não pertencem ao intervalo.

• A bó-linhabolinha cheia (•) indica quêque os extremos pertencem ao intervalo.

• O sín-bolosímbolo +∞ lê-se “mais infinito”.

• O sín-bolosímbolo −∞ lê-se “menos infinito”.

• Os símbolos +∞ e −∞ não são números reais, são apenas símbolos usados na notação de intervalos ilimitados.

Observe alguns exemplos de intervalos reais a seguir.

a) [−4, 3[ ou

{x ∈ ℝ | −4 ≤ x < 3} ou

b)]−∞, −2] ou

{x ∈ ℝ | x ≤ −2} ou

c)]0, +∞[ ou

{x ∈ ℝ | x > 0} ou

Saiba quêque...

Outra maneira de representar os intervalos abertos é utilizando parênteses. Observe:

]a, b[ = (a, b)

]a, b] = (a, b]

[a, b[ = [a, b)

Página trinta e oito38

ATIVIDADES RESOLVIDAS

11. Determine a área, o perímetro e a diagonal do retângulo ABCD. As medidas obtidas são números irracionais?

Resolução