CAPÍTULO 2
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

O envelhecimento populacional é uma realidade crescente no Brasil. Em 2022, conforme dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (hí bê gê héIBGE), 10,9% da população do país tinha 65 anos ou mais; em 2010, essa proporção era de 7,4%. Em 2022, o índice de envelhecimento chegou a 55,2, indicando quêque há 55,2 pessoas com 65 anos de idade ou mais para cada 100 crianças de 0 a 14 anos; em 2010, esse índice era de 30,7.

Estimativas da ÔnuONU, em 2022, apontam quêque os 12 países com maior quantidade de pessoas de 60 anos ou mais são: chiinaChina (264,7 milhões), Índia (148,7 milhões), Estados UnidosEUA (79,3 milhões), Japão (44,4 milhões), Rússia (32,9 milhões), Brasil (31,5 milhões), Indonésia (29,9 milhões), Paquistão (15,9 milhões), bangladéchiBangladesh (15,8 milhões), México (15,5 milhões), Nigéria (10,4 milhões) e Etiópia (6,1 milhões).

O aumento da expectativa de vida e a queda na taxa de fecundidade são os principais fatores para o envelhecimento da população brasileira, e os desafios dêêssedesse envelhecimento são diversos: é preciso realizar a adaptação dos sistemas de saúde e melhorar a infraestrutura das cidades, além de garantir previdência e assistência social para atender às necessidades dessa população.

Políticas públicas voltadas para o envelhecimento ativo e inclusivo são essenciais para garantir qualidade de vida e participação social à população idosa. Para auxiliar na implementação de políticas públicas eficientes e fundamentar ações de melhorias, podem-se utilizar métodos e técnicas de pesquisas estatísticas, como as análises de dados.

A Estatística é uma área da Matemática quêque trabalha com a côlétacoleta, a organização, a análise e a representação de dados por meio de gráficos, tabélastabelas e diagramas, assuntos quêque vamos estudar neste Capítulo.

Elaborado com base em: GOMES, Irene; BRITTO, Vinícius. Censo 2022: número de pessoas com 65 anos ou mais de idade cresceu 57,4% em 12 anos. Rio de Janeiro: Agência hí bê gê héIBGE Notícias, 1 nov. 2023. Disponível em: https://livro.pw/sdmhq. Acesso em: 23 jul. 2024.
ALVES, José Eustáquio Diniz. Os 12 países com maior quantidade de idosos no século XXI. São Leopoldo: Instituto Humanitas Unisinos, 2024. Disponível em: https://livro.pw/ymxev. Acessos em: 3 maio 2025.

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O quêque é Estatística

Uma pesquisa estatística é um método científico para estudar e investigar fenômenos naturais, fenômenos sociais e problemas relacionados a diversos contextos. Os resultados de uma pesquisa estatística são fruto de uma metodologia científica de uma área do conhecimento humano denominada Estatística.

Atualmente, resultados de pesquisas estatísticas são publicados com freqüênciafrequência nos meios de comunicação. Nos noticiários, por exemplo, eles aparécemaparecem em reportagens sobre indicativos econômicos, pesquisas eleitorais, índices de criminalidade e violência, expectativa de vida de uma pessoa quêque pratícapratica esportes e tem uma alimentação saudável ou não, entre outras. Ao entrar em um sáitisite de notícias, por exemplo, é fácil encontrar matérias baseadas em relatórios, tabélastabelas, gráficos e resumos com dados estatísticos. Acompanhe um exemplo.

Mais da mêtádemetade dos brasileiros já presenciou ato de racismo

Estudo também mostra quêque 60% consideram o Brasil um país racista

A avaliação de quêque pessoas pretas são as quêque mais sofrem com o racismo é quase unanimidade entre os brasileiros, já quêque nove em cada dez pessoas (96%) compartilham dessa visão. Em segundo e terceiro lugares, os indígenas e os imigrantes africanos, respectivamente, com 57% e 38%, são os quêque mais sofrem. Há também uma maioria expressiva, de 88%, quêque concórdaconcorda quêque essa parcela da população é mais criminalizada do quêque os brancos.

Esses são alguns dos dados da pesquisa Percepções sôbisobre o racismo no Brasil, realizada pelo Inteligência em Pesquisa e Consultoria Estratégica (Ipec), sob encomenda do Instituto de Referência Negra Peregum e do Projeto Seta (Sistema de Educação por uma Transformação Antirracista).

[…]

O estudo tem abrangência nacional e compreendeu 127 municípios das cinco regiões do país. As entrevistas com os participantes foram feitas ao longo do mês de abril [de 2023].

De acôr-doacordo com a pesquisa, pode-se dizêrdizer quêque o dado sobre a criminalização de pessoas negras se desdobra em outro do estudo, o referente ao tratamento quêque agentes da polícia dispensam à população negra. Das 2 mil pessoas ouvidas, 79% concórdamconcordam quêque a abordagem policial é baseada na côrcor da pélepele, tipo de cabelo e tipo de vestimenta, sêndosendo quêque 63% das pessoas ouvidas concórdamconcordam totalmente com essa afirmação e 16% apenas parcialmente. Um total de 84% concórdaconcorda quêque pessoas brancas e negras recebem tratamentos diferentes por parte da polícia, sêndosendo quêque 71% concórdamconcordam totalmente e 13% em parte.

[…]

BOND, Letycia. Mais da mêtádemetade dos brasileiros já presenciou ato de racismo. Agência Brasil, São Paulo, 27 jul. 2023. Disponível em: https://livro.pw/nsqug. Acesso em: 23 jul. 2024.

Pense e responda

Resposta pessoal.

A reportagem apresenta o resultado de uma pesquisa estatística denominada Percepções sobre o racismo no Brasil. Em 2023, de acôr-doacordo com dados do hí bê gê héIBGE, a população brasileira era de aproximadamente 203 milhões de habitantes; o instituto quêque realizou esse estudo entrevistou, em abril de 2023, 2 mil pessoas, distribuídas em 127 municípios das cinco regiões do país, e, de acôr-doacordo com essas entrevistas, a reportagem afirmou, entre outras informações, quêque:

• mais da mêtádemetade dos brasileiros (mais de 100 milhões de pessoas) já presenciou algum ato de racismo;

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• 60% dos brasileiros consideram o Brasil um país racista;

• 96% dos brasileiros concórdamconcordam quêque as pessoas pretas são as quêque mais sofrem racismo;

• 84% dos brasileiros concórdamconcordam quêque pessoas brancas e negras recebem tratamentos diferentes por parte da polícia.

Vale enfatizar quêque, nesse estudo, todas as conclusões em relação ao racismo no Brasil foram determinadas com base em entrevistas a 2.000 pessoas de uma população de 203 milhões, ou seja, aproximadamente 0,001% dos brasileiros responderam à pesquisa. Embora possa parecer uma amostra pequena, os métodos estatísticos, quando bem aplicados, garantem quêque os dados sêjamsejam fidedignos à realidade. Esse tipo de estudo científico é chamado de pesquisa por amostragem.

Há dois tipos de pesquisa em Estatística: as populacionais, também chamadas de censitárias, e as por amostragem. As pesquisas populacionais estudam todos os indivíduos quêque apresentam a característica ou a propriedade quêque se deseja estudar, enquanto as por amostragem estudam apenas uma parcela dos indivíduos.

Em Estatística, denominamos:

No último Censo Demográfico, realizado em 2022, foram investigados cerca de 78 milhões de domicílios particulares permanentes no país. O Censo é um exemplo de estudo populacional, pois considera como população todas as residências particulares do Brasil e estuda todas elas.

Por uma quêquestão de custo e de tempo, ou quando não é possível consultar toda a população quêque se deseja investigar, recorre-se a uma amostra. Isto é, analisa-se um subconjunto da população quêque possibilite estimar, inferir, um retrato o mais próximo possível do real. Selecionar uma amostra quêque tenha as mesmas características da população é fundamental para garantir que os resultados não sêjamsejam equivocados. Além díssudisso, a seleção da amostra deve sêrser totalmente aleatória, ou seja, cada indivíduo da população deve ter a mesma chance de sêrser selecionado para a composição da amostra.

A realização de um estudo estatístico envolve algumas etapas, como a definição da população-alvo, a seleção da amostra, a côlétacoleta e a organização dos dados, a apresentação dêêssesdesses dados em tabélastabelas ou gráficos e a interpretação dos resultados.

Neste Capítulo, vamos organizar dados em tabélastabelas, interpretar e construir diferentes tipos de gráfico e estudar algumas medidas estatísticas.

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Variável

As características quêque se deseja investigar em uma pesquisa estatística são denominadas variáveis. As variáveis podem sêrser classificadas em qualitativa ou quantitativa.

Pense e responda

FÓRUM

Ver as Orientações para o professor.

Para assistir

• O QUE é racismo estrutural? | Desenhando. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (5 min). Publicado pelo canal QoT. Disponível em: https://livro.pw/nphvz. Acesso em: 7 out. 2024.

O vídeo aborda algumas situações quêque exemplificam a presença do racismo estrutural na ssossiedadesociedade brasileira.

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tabélaTabela de freqüênciasfrequências

Um modo de organizar dados é construir uma tabélatabela de distribuição de freqüênciasfrequências absolutas e de freqüênciasfrequências relativas. Além de organizá-los, a tabélatabela também possibilita resumir os dados coletados e facilita a interpretação deles.

Considere a situação a seguir.

Em uma escola, 40 estudantes do Ensino Médio, escolhidos aleatoriamente, responderam à seguinte pergunta: “Que esporte ou atividade física você pratica?”. As respostas foram:

Vamos organizar esses dados em uma tabélatabela de freqüênciasfrequências.

1º) Determinamos a freqüênciafrequência absoluta de cada dado. Nesse caso, contamos quantos estudantes responderam futebólfutebol, quantos responderam dança, quantos responderam squêitskate, quantos responderam musculação e quantos responderam nenhum.

• Futebol: 12

• Dança: 8

• Skate: 10

• Musculação: 6

• Nenhum: 4

2º) Determinamos a freqüênciafrequência relativa de cada dado. Nesse contexto, calculamos a razão entre as freqüênciasfrequências absolutas e o total de entrevistados (40 estudantes).

• Futebol: $\frac{12}{40}$ = 0,3 = 0,3 ⋅ 100% = 30%

• Skate: $\frac{10}{40}$ = 0,25 = 0,25 ⋅ 100% = 25%

• Dança: $\frac{8}{40}$ = 0,2 = 0,2 ⋅ 100% = 20%

• Musculação: $\frac{6}{40}$ = 0,15 = 0,15 ⋅ 100% = 15%

• Nenhum: $\frac{4}{40}$ = 0,1 = 0,1 ⋅ 100% = 10%

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3º) Montamos a tabélatabela. Ela deve ter título, e a soma de todas as freqüênciasfrequências relativas deve resultar em 1 ou 100%.

Que esporte ou atividade física você pratícapratica?

tabélaTabela de freqüênciasfrequências para dados quantitativos agrupados em intervalos

Em alguns casos, para organizar dados quantitativos de maneira resumida em uma tabélatabela de freqüênciasfrequências, é necessário agrupá-los em intervalos ou classes. A situação a seguir descreve um dêêssesdesses casos.

O contrôlecontrole de qualidade de uma fábrica selecionou, aleatoriamente, 30 parafusos de uma produção e mediu, em milimetro, o comprimento de cada parafuso. O objetivo foi analisar a variação quêque ocorre durante o processo de produção. Os dados obtidos estão apresentados a seguir.

Nesse caso, a variável quantitativa “comprimento do parafuso” apresenta muitos valores diferentes, e organizar esses dados em uma tabélatabela de freqüênciasfrequências, como a quêque analisamos anteriormente, pouco resúmeresume os dados. Para organizar esses dados de maneira resumida, vamos agrupá-los em intervalos.

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1º) Colocamos os dados em ordem crescente. Quando organizamos os dados quantitativos em ordem crescente ou decrescente, dizemos quêque os colocamos em rol.

2º) Calculamos a amplitude total. A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor da variável.

53,8 mm − 48,0 mm = 5,8 mm

A amplitude total é 5,8 mm.

3º) Escolhemos a amplitude dos intervalos. Geralmente, escolhemos a amplitude dos intervalos de modo quêque o número de intervalos (ou classes) obtidos seja igual ou superior a 4 e o comprimento de cada intervalo seja um decimal exato.

Adotaremos 1 mm para a amplitude dos intervalos. Desse modo, como a amplitude total é 5,8 mm, teremos 6 intervalos, pois 5,8 mm ∶ 1 mm = 5,8 ≃ 6. O primeiro intervalo começa em 48 mm e vai até 49 mm (não incluindo 49 mm), o segundo começa em 49 mm e vai até 50 mm (não incluindo 50 mm), e assim por diante, até o último intervalo, quêque começa em 53 mm e vai até 54 mm.

4º) Determinamos a freqüênciafrequência absoluta e a freqüênciafrequência relativa de cada intervalo e montamos a tabélatabela de freqüênciasfrequências.

Variação dos comprimentos dos parafusos fabricados

O intervalo real [a; b[ também pódepode sêrser representado pela notação a ⊢ b.

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque não, pois, dêêssedesse modo, um mesmo valor poderia pertencer a mais de um intervalo.

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque a quantidade de classes seria menor.

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Gráficos

Outro modo de organizar e resumir os dados é por meio de representações gráficas.

Existem diferentes tipos de gráfico; dependendo da comparação e da análise quêque se deseja fazer, um modelo será mais eficiente quêque outro. Outro fator quêque determina o modelo de gráfico mais adequado é se os dados são qualitativos ou quantitativos.

Apresentamos, a seguir, as principais representações gráficas e suas características.

Gráfico de barras

Em um gráfico de barras, os dados de uma pesquisa são representados por retângulos paralelos, horizontais ou verticais, todos de mesma largura e de comprimentos proporcionais aos valores quêque representam.

Esse tipo de gráfico permite uma rápida exploração visual e uma comparação entre a variável em estudo e suas freqüênciasfrequências. O gráfico de barras verticais é também chamado de gráfico de colunas.

Acompanhe o exemplo a seguir.

A tabélatabela ilustra os resultados de uma pesquisa de avaliação dos clientes em relação ao serviço prestado por uma empresa.

pôdêmosPodemos construir os seguintes gráficos de barras com os dados dessa tabélatabela.

O primeiro gráfico, de barras verticais, utilizou os dados da freqüênciafrequência absoluta, e o segundo, de barras horizontais, utilizou os dados da freqüênciafrequência relativa. A escolha da posição das barras, assim como a utilização da freqüênciafrequência absoluta ou da freqüênciafrequência relativa, fica a critério de quem constrói o gráfico e de seus objetivos.

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Gráfico de setores

O gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pitssapizza, é um círculo dividido em partes (setores), em quêque a medida do ângulo central de cada setor é diretamente proporcional à sua freqüênciafrequência relativa (f_R). Desse modo, a medida θ de cada ângulo central é dada por:

θ = 360° ⋅ f_R

Esse tipo de gráfico é utilizado quando queremos comparar quanto determinada freqüênciafrequência (um setor) representa do total (do círculo).

Acompanhe, a seguir, um exemplo de construção de um gráfico de setores.

Um professor perguntou qual é a preferência musical de seus 30 estudantes e montou a seguinte tabélatabela.

Preferência musical dos estudantes

Ele arredondou os resultados da freqüênciafrequência relativa e do ângulo central dos estilos rókirock e outros. Em seguida, construiu um gráfico de setores, colocando título e legenda de cores para identificar cada setor.

Saiba quêque...

Nesse caso, em cada setor do gráfico, o professor indicou a freqüênciafrequência relativa correspondente; porém, poderiam sêrser indicadas as freqüênciasfrequências absolutas.

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Gráfico de linha

O gráfico de linha é usado, geralmente, para identificar tendências de aumento ou de diminuição de valores numéricos de uma variável em determinado período. Ele também é conhecido como gráfico de segmentos.

Observe os gráficos a seguir. O primeiro mostra o valor da produção de açaí no estado do Pará, maior produtor da fruta em 2022.

pôdêmosPodemos observar no gráfico quêque:

• o valor da produção aumentou a cada ano, de 2018 a 2022;

• em 2020, o valor da produção ultrapassou 4 bilhões de reais;

• o maior valor da produção ocorreu em 2022;

• em todos os anos, a produção esteve abaixo de 6 bilhões de reais.

O segundo gráfico apresenta o percentual de desempregados por raça/cor. Ele foi construído com duas linhas, uma para representar a população negra e outra para a não negra.

Pense e responda

Sim. Nesse caso, a linha vermelha e a linha vêrdeverde se cruzariam.

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Gráfico pictórico

Os gráficos pictóricos ou pictogramas são construídos utilizando-se imagens e ícones relacionados ao tema da pesquisa. Observe o exemplo a seguir.

Note quêque, na legenda do pictograma, cada ícone equivale a 50 anos. Desse modo, a decomposição na natureza de um copo de isopor demora, aproximadamente, 50 anos, a de uma lata de alumínio demora, aproximadamente, 200 anos, e assim por diante.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Observe os principais motivos alegados por 30.000 devedores, pesquisados em uma região metropolitana, ao justificarem atrasos no pagamento do cartão de crédito. Com base nessa pesquisa, responda às kestõesquestões.

a) Qual é a freqüênciafrequência relativa das pessoas quêque apresentaram outras justificativas para o atraso do pagamento do cartão de crédito?

b) Quantas pessoas apresentaram outras justificativas?

Resolução

a) O total de respostas dadas na pesquisa deve sêrser 100%. Portanto, a freqüênciafrequência relativa das pessoas quêque apresentaram outras justificativas é dada por:

100% − (18% + 17% + 12% + 12% + 8% + 5%) = 28%

b) n = 30.000; f_A = n⋅⋅ f_R

28% de 30.000 = $\frac{28}{100}$ ⋅ 30.000 = 8.400

Portanto, 8.400 pessoas apresentaram outras justificativas.

2. Observe o pictograma.

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De acôr-doacordo com o gráfico, responda às kestõesquestões.

a) Qual foi o percentual de crianças de 6 e 7 anos quêque não sabiam ler e escrever em 2019?

b) No período de 2019 a 2021, qual foi o aumento percentual de crianças de 6 e 7 anos quêque não sabiam ler e escrever?

Resolução

a) Pelo gráfico, 6 de cada 25 crianças de 6 e 7 anos não sabiam ler e escrever em 2019. Escrevendo a razão entre 6 e 25 na forma percentual, obtemos:

$\frac{6}{25}$ ⋅ 100% = 0,24 ⋅ 100% = 24%

Logo, 24% das crianças brasileiras de 6 e 7 anos não sabiam ler e escrever em 2019.

b) Em 2021, o gráfico mostra quêque 10 de cada 25 crianças não sabiam ler e escrever. Escrevendo a razão entre 10 e 25 na forma percentual, temos:

$\frac{10}{25}$ ⋅ 100% = 0,4 ⋅ 100% = 40%

O aumento é dado pela diferença entre 40% e 24%, percentuais correspondentes, respectivamente, aos anos de 2021 e 2019.

40% − 24% = 16%

Portanto, no período de 2019 a 2021, aumentou 16% o número de crianças brasileiras de 6 e 7 anos quêque não sabiam ler e escrever.

ATIVIDADES

1. (UFT-TO) O Tocantins tem 40 Comunidades Remanescentes de kilômboQuilombo já certificadas pela Fundação Cultural palmáaresPalmares. O Censo Demográfico brasileiro de 2022, pela primeira vez, contou a população quilombola. No qüadroquadro a seguir, tem-se alguns dos municípios tocantinenses com os maiores percentuais de pessoas quilombolas.

Quadro – População, pessoas quilombolas e percentual de pessoas quilombolas com relação à população.

Considere as informações apresentadas e as afirmativas a seguir.

I. O número de pessoas quilombolas do município de Mateiros é maior do quêque o do município de Arraias.

II. O percentual de pessoas quilombolas do município de Aragominas é maior do quêque o de São Félix do Tocantins.

III. Mateiros é o município com o maior percentual de pessoas quilombolas.

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Com base nas informações anteriores, assinale a alternativa CORRETA.

a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.

b) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.

c) Apenas a afirmativa III está correta.

d) Todas as afirmativas estão corretas.

alternativa c

2. Um motorista de aplicativo anotou, por 30 dias, a quantidade de kilometros rodados diariamente.

a) Os dados coletados pelo motorista são qualitativos ou quantitativos?

quantitativos

b) Organize os dados em ordem crescente, ou seja, em rol.

120; 131; 137; 144; 149; 151; 160; 163; 170; 172; 179;

181; 181; 187; 188; 189; 192; 193; 193; 199; 202; 205;

205; 210; 211; 217; 220; 226; 234; 239

c) Determine a amplitude total dêêssesdesses dados.

119 km

d) Construa uma tabélatabela de distribuição de freqüênciasfrequências absolutas e relativas com os dados agrupados em intervalos de amplitude 20 km.

Ver as Orientações para o professor.

e) Consulte a tabélatabela de freqüênciasfrequências quêque você construiu e identifique qual das afirmações é verdadeira.

afirmação III

I. O motorista rodou mais do quêque 200 km na maioria dos dias.

II. Em 20% dos dias, o motorista rodou menos do quêque 180 km.

III. Na mêtádemetade dos dias, o motorista rodou no mínimo 180 km e no mássimomáximo 220 km.

3. (Enem/MEC) O gráfico expõe alguns números da gripe A-H1N1. Entre as categorias quêque estão em processo de imunização, uma já está completamente imunizada, a dos trabalhadores da saúde.

De acôr-doacordo com o gráfico, entre as demais categorias, a quêque está mais exposta ao vírus da gripe A-H1N1 é a categoria de

a) indígenas.

b) gestantes.

c) doentes crônicos.

d) adultos entre 20 e 29 anos.

e) crianças de 6 meses a 2 anos.

alternativa d

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4. De acôr-doacordo com o gráfico, responda às kestõesquestões.

a) Qual foi o percentual de mulheres nas Olimpíadas de Paris em 1924?

4%

b) Em 2016, qual foi o percentual de homens nas Olimpíadas?

60%

c) Pesquise a respeito do percentual de participação das mulheres nas Olimpíadas de Paris em 2024. Qual foi esse percentual?

Espera-se quêque os estudantes indiquem um percentual próximo de 50%.

5. (Enem/MEC) A depressão caracteriza-se por um desequilíbrio na química cerebral. Os neurônios de um deprimido não respondem bem aos estímulos dos neurotransmissores. Os remédios quêque combatem a depressão têm o objetivo de restabelecer a química cerebral. Com o aumento gradativo de casos de depressão, a venda dêêssesdesses medicamentos está em crescente evolução, conforme ilustra o gráfico.

No período de 2005 a 2009, o aumento percentual no volume de vendas foi de

a) 45,4.

b) 54,5.

c) 120.

d) 220.

e) 283,2.

alternativa c

6. (hú- hê- érre jotaUERJ) No mapa mensal de um hospital, foi registrado o total de 800 cirurgias ortopédicas, sêndosendo 440 em homens, conforme os gráficos abaixo.

De acôr-doacordo com esses dados, o número total de cirurgias de fêmur realizadas em mulheres foi:

a) 144

b) 162

c) 184

d) 190

alternativa c

7. Em um curso de Economia, o professor solicitou a construção de um gráfico para analisar a variação da cotação média do dólar, no mês de janeiro, de 2018 a 2024. Observe, a seguir, três modelos diferentes de gráficos quêque os estudantes entregaram.

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O professor escolheu o modelo de gráfico mais adequado para analisar a variação do dólar.

Qual modelo ele escolheu? Justifique.

O gráfico de linha. Ver as Orientações para o professor.

8. A tabélatabela apresenta o preêçopreço de um modelo de celular em cinco lojas diferentes.

preêçoPreço do celular

Ver as Orientações para o professor.

a) Qual tipo de gráfico, de setores, de barras ou de linha, é o mais adequado para comparar esses preços? Justifique.

b) Construa o modelo de gráfico quêque você respondeu no item a.

9. Um perfil de uma rê-derede social quêque produz conteúdos sobre esportes em geral abriu uma caixa de perguntas para seus seguidores com a finalidade de identificar qual é o esporte preferido deles. Os resultados dessa pesquisa foram disponibilizados pelo perfil utilizando o gráfico a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

Após algum tempo, os seguidores avisaram o administrador do perfil quêque o gráfico divulgado estava incorrétoincorreto.

a) Qual(is) é(são) o(s) erro(s) presente(s) no gráfico quêque pode(m) ter sido apontado(s) pêlospelos seguidores?

b) Após o(s) apontamento(s) dos seguidores, a postagem com o gráfico foi retirada do perfil e um novo gráfico corrigido foi publicado. Sabendo quêque a pesquisa indicou quêque os números de seguidores quêque preferem futebólfutebol, squêitskate, capoeira, natação e outros esportes são, respectivamente, 516, 96, 180, 180 e 228, construa um gráfico de setores quêque represente adequadamente esses dados.

10. Faça uma pesquisa sobre a participação de mulheres em cargos políticos, como na Câmara municipal da cidade em quêque você mora ou no Senado brasileiro, e elabore um pictograma representando essas informações. Depois, junte-se a um colega, e tróquemtroquem o pictograma para quêque um analise as informações do outro. Por fim, elaborem um texto sobre as conclusões a quêque chegaram.

Resposta pessoal.

Para acessar

• ÔnuONU MULHERES BRASIL. Brasil ocupa a 133a posição no rã-kinranking global de representação parlamentar de mulheres. [S. I.]: ÔnuONU Mulheres Brasil, 15 abr. 2025.

Disponível em: https://livro.pw/ituxo. Acesso em: 5 maio 2025.

Esta reportagem mostra a presença feminina nos parlamentos e ministérios ao redor do mundo.

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Histograma

Um gráfico utilizado para representar tabélastabelas de freqüênciasfrequências com dados quêque estão agrupados em intervalos e expressam uma medida recebe o nome de histograma.

Histograma é um gráfico formado por colunas retangulares contíguas. O comprimento da base e o da altura de cada retângulo são proporcionais, respectivamente, à amplitude e à freqüênciafrequência do intervalo correspondente.

Considerando a tabélatabela de distribuição de freqüênciafrequência da página 55, reproduzida a seguir, vamos construir dois histogramas: o primeiro utilizando as freqüênciasfrequências absolutas e o segundo, as freqüênciasfrequências relativas.

Variação dos comprimentos dos parafusos fabricados

Um recurso utilizado nos dois histogramas foi a quebra de escala. A quebra de escala é a supressão de uma parte do eixo vertical ou horizontal, indicada pelo sín-bolosímbolo (). Esse recurso pódepode sêrser utilizado em outros gráficos com a finalidade de suprimir partes dos eixos quêque não contêm dados.

Saiba quêque...

O histograma é uma das sete ferramentas da qualidade, quêque são técnicas e métodos reunidos por Kaoru Ishikawa (1915-1989) usados para identificar problemas existentes ou quêque possam surgir ao longo de um processo industrial, por exemplo. Esse tipo de representação gráfica, junto a outras ferramentas da qualidade, sérveserve para procurar soluções quêque corrijam êêrroserros ou quêque sirvam como medida preventiva.

Página sessenta e cinco65

mêdídasMedidas de tendência central

Uma maneira de analisar os dados de uma variável é por meio das medidas de tendência central ou centralização. Neste tópico, vamos apresentar a média aritmética, a mediana e a (Moda)moda.

Média aritmética

Acompanhe a situação a seguir.

Uma livraria funciona de segunda-feira a sábado.

Na semana passada, foram vendidas as quantidades de livros de literatura apresentadas na tabélatabela a seguir.

O gerente dessa livraria faz um relatório semanal com o número de vendas para informar a quantidade média de livros vendidos, por dia, na semana. Para determinar essa quantidade, podemos fazer o seguinte cálculo:

$\frac{28+23+22+27+25+13}{6}$ = $\frac{138}{6}$ = 23

O número 23 é chamado de média aritmética dos números 28, 23, 22, 27, 25 e 13. Indicamos $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = 23.

Nessa situação, a média aritmética significa quêque, se a venda diária dessa semana fosse sempre a mesma, ou seja, 23 livros por dia, obteríamos o mesmo total de livros vendidos: 138.

Assim, no relatório, o gerente da livraria pódepode informar quêque, na quarta-feira e no sábado, a venda da livraria foi abaixo da média, enquanto na segunda-feira, na quinta-feira e na sexta-feira foi acima.

Quantidade de livros vendidos na semana

Média aritmética ponderada

Em um curso de Estatística, o professor vai aplicar três avaliações durante o semestre, todas valendo 10,0 pontos. As avaliações terão pesos diferentes na composição da média semestral, pois, enquanto a última avaliação engloba a matéria do semestre inteiro, a primeira e a segunda contemplam apenas parte dos assuntos. O qüadroquadro indica o peso de cada avaliação.

Para aprovação semestral, é necessário quêque a média ponderada das avaliações seja igual ou superior a 6,0. Vítor, sabendo quêque tirou 4,0 na primeira avaliação, 5,0 na segunda e 7,0 na terceira, calculou sua média semestral x da seguinte maneira:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{\mathrm{4,0}\cdot 1+\mathrm{5,0}\cdot 2+\mathrm{7,0}\cdot 4}{1+2+4}=\frac{4+10+28}{7}=\frac{42}{7}\end{array}$ = 6

Página sessenta e seis66

Apesar de as notas da primeira e da segunda avaliação serem inferiores a 6,0, Vítor obteve média ponderada suficiente para a aprovação, pois sua maior nota (7,0) ocorreu na avaliação de maior peso.

Mediana

Uma produtora de vídeo para comerciais de TevêTV estava procurando atores de 25 a 50 anos para produzir uma peça publicitária. Para o teste, compareceram nove atores com as seguintes idades, em ano: 37, 28, 40, 41, 45, 37, 37, 41 e 44.

Para comparar as idades dêêssesdesses atores, podemos organizá-las em ordem crescente, assim:

O elemento central 40 é denominado mediana (M_d). A mediana divide um conjunto de dados em duas partes com a mesma quantidade de elemêntoselementos. Na situação dos atores, podemos dizêrdizer quêque pelo menos mêtádemetade dos quêque compareceram ao teste tinha, no mássimomáximo, 40 anos, ou, ao contrário, pelo menos mêtádemetade tinha, no mínimo, 40 anos.

Por exemplo:

a) Dados os valores 12, 12, 13, 15, 16, 18, 20, a mediana (M_d)é 15.

b) Dados os valores 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 29, a mediana (M_d)é:

M_d = $\frac{25+26}{2}$ = 25,5

Moda

Leia a seguinte situação.

Em uma pesquisa para saber o número de irmãos quêque cada um dos 30 estudantes de uma turma tem, foram obtidos os seguintes dados: 0, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 5, 2, 4, 4.

Observe quêque o número de irmãos varia entre 0 e 5 e quêque o quêque aparece mais vezes é o 2, isto é, 13 estudantes dessa turma têm dois irmãos. Dizemos quêque 2 é a (Moda)moda (M_o)desse conjunto de valores, a qual indicamos assim: M_o = 2.

Página sessenta e sete67

Um conjunto de dados pódepode não apresentar (Moda)moda (amodal), isto é, nenhum elemento dessa variável se repete; pódepode apresentar duas modas (bimodal); ou pódepode apresentar mais modas (multimodal).

Média aritmética, (Moda)moda e mediana de dados agrupados em intervalos

As tabélastabelas de freqüênciasfrequências com dados agrupados em intervalos não apresentam os dados brutos. Nesses casos, a média, a (Moda)moda e a mediana são determinadas pêlospelos procedimentos descritos no exemplo a seguir.

A tabélatabela mostra a freqüênciafrequência cardíaca dos estudantes da 1ª série do Ensino Médio de uma turma após a aula de Educação Física.

freqüênciaFrequência cardíaca dos estudantes

Saiba quêque...

A freqüênciafrequência cardíaca normal de uma pessoa é de 60 a 100 batimentos por minuto (bpm), mas ela varia dependendo da idade, do estado de saúde, da atividade quêque está sêndosendo realizada, entre outros fatores.

Para o cálculo da média, por convenção, adota-se o ponto médio (x_i) como valor representativo de cada intervalo. O ponto médio (x_i) é a média aritmética dos valores extremos dos intervalos, assim:

$$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{\mathrm{77,5}\cdot 4+\mathrm{82,5}\cdot 6+\mathrm{87,5}\cdot 8+\mathrm{92,5}\cdot 4+\mathrm{97,5}\cdot 6+\mathrm{102,5}\cdot 4}{4+6+8+4+6+4}=\frac{2870}{32}=\overline{x}=\mathrm{89,6875}\end{array}$$

Portanto, a média é 89,6875 batimentos por minuto, ou, aproximadamente, 89,7 batimentos por minuto.

A (Moda)moda será o ponto médio da classe quêque apresenta a maior freqüênciafrequência absoluta. Nesse caso, a classe é 85 ⊢ 90. Assim:

M_o = $\frac{85+90}{2}$ = 87,5

Portanto, a (Moda)moda é 87,5 batimentos por minuto.

Página sessenta e oito68

Vamos construir o histograma para o cálculo da mediana.

A mediana (M_d)será a abscissa do ponto de interseção de uma reta, perpendicular ao eixo horizontal, quêque dividirá a figura formada pêlospelos retângulos do histograma em duas partes, A e B, de mesma área. Ou seja, a soma das áreas dos retângulos da parte A será igual à soma das áreas dos retângulos da parte B.

A soma S das áreas dos retângulos do histograma, em unidade de área (u.a.), é:

S = 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 5 ⋅ 8 + 5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + 5 ⋅ 4 = 160

Logo, cada parte terá 80 u.a. (a mêtádemetade de 160 u.a.). Note quêque a mediana está localizada no 3º intervalo, pois a soma das áreas dos dois primeiros retângulos é 50 u.a. (e 50 < 80), e a soma das áreas dos três primeiros retângulos é 90 u.a. (e 90 > 80). Com isso, podemos determinar a mediana (M_d)da seguinte maneira:

5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 + (M_d − 85) ⋅ 8 = 80 ⇒ 20 + 30 + (M_d − 85) ⋅ 8 = 80 ⇒ (M_d − 85) ⋅ 8 = 30 ⇒

⇒ M_d − 85 = $\frac{30}{8}$ ⇒ Md = 3,75 + 85 ⇒ M_d = 88,75

Portanto, a mediana é 88,75 batimentos por minuto.

Página sessenta e nove69

ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. A classificação final para determinado curso é a média ponderada das provas de capacidade geral, com peso 3, e de capacidade específica, com peso 2.

a) Qual é a classificação final de um estudante quêque obteve 162 pontos na próvaprova de capacidade geral e 147 pontos na próvaprova de capacidade específica?

b) O quêque acontece com o valor da média ôbitídaobtida caso a nota de alguma das provas seja maior do quêque os valores mencionados no item anterior? Justifique sem realizar cálculos.

Resolução

a) A classificação final é ôbitídaobtida pela média ponderada:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{162\cdot 3+147\cdot 2}{3+2}=\frac{780}{5}\end{array}$ = 156

Portanto, o estudante será classificado com 156 pontos.

b) A média vai aumentar, pois o numerador será maior do quêque 780, e o denominador continuará sêndosendo 5 (soma dos pesos); logo, o quociente obtídoobtido será maior do quêque 156.

4. Lucas comprou um comércio. Ele registrou o faturamento dos primeiros 35 dias e construiu o histograma a seguir.

De acôr-doacordo com o histograma, calcule a média, a (Moda)moda e a mediana dos faturamentos dêêssedesse comércio nos primeiros 35 dias.

Resolução

• Nesse caso, a média $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ dos faturamentos é calculada adotando os pontos médios de cada intervalo.

$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{290\cdot 4+310\cdot 13+330\cdot 10+350\cdot 5+370\cdot 3}{4+13+10+5+3}\end{array}$ $\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{11350}{35}\simeq \mathrm{324,29}\end{array}$

O faturamento médio diário do comércio foi de aproximadamente R$ 324,29.

• A (Moda)moda será o ponto médio da classe quêque apresenta a maior freqüênciafrequência absoluta, ou seja, [300; 320[, pois há 13 valores nesse intervalo. Assim:

M_o = $\frac{300+320}{2}$ = 310

A (Moda)moda dos faturamentos foi R$ 310,00.

• O faturamento mediano será a abscissa do ponto de intersecção de uma reta perpendicular ao eixo horizontal, e essa reta perpendicular possibilitará a divisão do histograma em duas figuras de áreas iguais. A soma S das áreas dos retângulos do histograma, em unidade de área, é:

S = 20 ⋅ 4 + 20 ⋅ 13 + 20 ⋅ 10 + 20 ⋅ 5 +

+ 20 ⋅ 3 = 700

A mêtádemetade de 700 é 350. Além díssudisso, a soma das áreas dos dois primeiros retângulos é 340 u.a., e a soma das áreas dos três primeiros retângulos é 540 u.a.; logo, a mediana (M_d) encontra-se no 3º intervalo. Assim:

20 ⋅ 4 + 20 ⋅ 13 + (M_d − 320) ⋅ 10 = 350

(M_d − 320) ⋅ 10 = 10

M_d − 320 = 1

M_d = 321

Portanto, o faturamento mediano foi R$ 321,00; ou seja, em pelo menos mêtádemetade dos 35 dias, o comércio faturou, no mínimo, R$ 321,00.

Página setenta70

ATIVIDADES

11. Leia uma manchete de março de 2024.

Renda habitual média dos brasileiros cresceu 3,1% de 2022 para 2023

Valor passou de R$ 2.985 para R$ 3.100 em dezembro dos anos comparados

RENDA habitual média dos brasileiros cresceu 3,1% de 2022 para 2023. Agência Brasil, Brasília, DF, 9 mar. 2024. Disponível em: https://livro.pw/ugbxt. Acesso em: 23 jul. 2024.

Explique, com suas palavras, o quêque significa essa manchete.

Resposta pessoal.

12. (Enem/MEC) Uma empresa tem cinco setores, cada um com quatro funcionários, sêndosendo quêque cada funcionário de um setor tem um cargo diferente. O qüadroquadro apresenta os salários, em real, dos funcionários de cada um dêêssesdesses setores, por cargo.

A empresa pretende incentivar a qualificação profissional, oferecendo cursos gratuitos para os funcionários de todos os cinco setores. Entretanto, o primeiro curso será oferecido aos funcionários do setor quêque apresenta a menor média salarial por cargo.

O primeiro curso será oferecido aos funcionários do setor

alternativa b

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

13. (hú éfe pê érreUFPR) O gráfico abaixo representa as vendas, em milhares de reais, do comércio de Cláudio no primeiro semestre de 2022.

De acôr-doacordo com os dados apresentados no gráfico, a média mensal das vendas nesse período é igual a:

alternativa c

a) 8,25 mil reais.

b) 8,5 mil reais.

c) 8,75 mil reais.

d) 9 mil reais.

14. (UEA-AM) A distribuição das idades dos 80 alunos de uma escola está representada por um gráfico de setores.

alternativa d

A média das idades dêêssesdesses 80 alunos é

a) 15,5 anos.

b) 15,8 anos.

c) 16 anos.

d) 16,2 anos.

e) 16,5 anos.

15. (UFT-TO) Uma professora de Matemática tomou a altura dos(as) estudantes de sua classe para trabalhar os conceitos de média aritmética, mediana e (Moda)moda. Tomadas as medidas, os resultados em centimetros foram: 179, 180, 165, 195, 154, 178, 160, 174, 185, 169, 174, 180, 195, 174, 181, 159, 171 e 188.

Página setenta e um71

Considere as informações apresentadas e as afirmativas a seguir:

I. A altura mediana da classe é 176.

II. A altura môdálmodal da classe é 195.

III. A altura mediana é maior do quêque a altura môdálmodal.

IV. A média aritmética entre a mediana e a (Moda)moda das alturas da classe é 175.

Com base nas informações anteriores, assinale a alternativa CORRETA.

alternativa c

a) Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas.

b) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.

c) Apenas as afirmativas I, III e IV estão corretas.

d) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.

16. (Enem/MEC) Uma empresa de transporte faz regularmente um levantamento do número de viagens realizadas durante o dia por todos os 160 motoristas cadastrados em seu aplicativo. Em um cértocerto dia, foi gerado um relatório, por meio de um gráfico de barras, no qual se relacionaram a quantidade de motoristas com a quantidade de viagens realizadas até aquele instante do dia.

Comparando os valores da média, da mediana e da (Moda)moda da distribuição das quantidades de viagens realizadas pêlospelos motoristas cadastrados nessa empresa, obtém-se

alternativa d

a) mediana = média < (Moda)moda.

b) mediana = (Moda)moda < média.

c) mediana < média < (Moda)moda.

d) (Moda)moda < média < mediana.

e) (Moda)moda < mediana < média.

17. Um levantamento feito pêlospelos professores de um colégio concluiu quêque a altura média dos 405 estudantes do Ensino Médio é 1,68 m. Sabendo quêque eles não têm a mesma altura, analise se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.

I. Há, no grupo, pelo menos um estudante com altura maior do quêque 1,68 m e pelo menos um quêque médemede menos de 1,68 m.

II. Com certeza há, nesse grupo, mais de um estudante com mais de 1,68 m de altura e mais de um estudante com altura abaixo de 1,68 m.

Ver as Orientações para o professor.

18. (PUC-SP) O histograma representa a distribuição das estaturas de 100 pessoas e as respectivas freqüênciasfrequências. Por exemplo, na 3ª classe (155-160) estão situadas 11% das pessoas com estatura de 1,55 m a 1,59 m. A 5ª classe (165-170) chama-se classe mediana. Pelo ponto M situado na classe mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das freqüênciasfrequências, de modo a dividir a área da figura formada pêlospelos nove retângulos das freqüênciasfrequências em duas regiões de mesma área. Determine a abscissa do ponto M (mediana das observações).

aproximadamente 167,08

Página setenta e dois72

19. Para sêrser aprovado em um componente curricular, um estudante precisa ter média maior do quêque ou igual a 5,0, ôbitídaobtida em um conjunto de 5 provas, sêndosendo 4 parciais, com peso 1 cada uma, e um exame, com peso 2. Um estudante obteve as seguintes notas nas 4 provas parciais:

4,5

Calcule a nota mínima quêque esse estudante deverá obtêrobter no exame para sêrser aprovado.

20. (Enem/MEC) A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanécepermanece no cargo, caso contrário, ele será despedido.

O qüadroquadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.

alternativa e

Qual deve sêrser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre?

a) 26

b) 29

c) 30

d) 31

e) 35

21. O gráfico a seguir mostra o tempo de espera na fila, em minuto, das pessoas quêque compraram ingressos para um chôushow.

Com base nos dados do gráfico, responda.

a) Qual foi o tempo médio de espera nessa fila?

aproximadamente 151,3 minutos

b) Qual foi a (Moda)moda dêêssesdesses dados, isto é, quantos minutos a maioria das pessoas esperou na fila?

152,5 minutos

22. O relatório Situação da População Mundial 2024, produzido pelo Fundo de População das Nações Unidas (UNFPA), indicou quêque, em 2024, no Brasil, as famílias tí-nhãotinham, em média, 1,6 filho. Dessa maneira, o Brasil ficava abaixo da média da taxa de fecundidade do mundo, quêque era de 2,3 filhos, e da América LátínaLatina, quêque era de 1,8 filho por família.

Elaborado com base em: FUNDO DE POPULAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS. Situação da População Mundial 2024: vidas entrelaçadas, fios de esperança: acabando com as desigualdades na saúde e nos direitos sexuais e reprodutivos. [Brasília, DF]: UNFPA, 2024. Disponível em: https://livro.pw/wtnzo. Acesso em: 23 jul. 2024.

Com seus côlégascolegas, faça um levantamento da quantidade de filhos por família na família de cada um deles, construa uma tabélatabela e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Calcule a média aritmética da quantidade de filhos por família de sua sala de aula. Esse número é próximo da média de fecundidade do Brasil em 2024?

Resposta pessoal.

b) Elabore uma questão com base nos dados obtidos no item anterior. Depois, troque-a com um colega e responda à questão elaborada por ele. Juntos, confiram as resoluções e as estratégias utilizadas.

Resposta pessoal.

Página setenta e três73

c) Pesquise alguns dos motivos prováveis pêlospelos quais as famílias brasileiras estão diminuindo a quantidade de filhos. Para orientar sua pesquisa, considere fatores sociais, econômicos, culturais e geográficos.

Ver as Orientações para o professor.

Pense e responda

Resposta possível: A idade mediana no mundo está aumentando. Por isso, é importante adotar políticas econômicas quêque contemplem o acesso a saúde, alimentação saudável, renda adequada, práticas esportivas, entre outros.

23. A idade mediana de uma região é um indicador quêque divide a população dessa região entre os 50% mais jovens e os 50% mais velhos. Na abertura dêstedeste Capítulo, analisamos quêque a população do Brasil vêmvem envelhecendo, e o aumento na idade mediana da população evidên-cíaevidencia esse fato.

Observe o conjunto de mapas a seguir.

Agora, faça o quêque se pede em cada item.

a) Somente comparando as cores nos mapas, o quêque você pódepode dizêrdizer sobre a idade mediana no Brasil e em cada uma das Unidades da Federação?

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque, no mapa de 2022, as tonalidades de todas as regiões são mais escuras quêque no mapa de 2010, indicando quêque a idade mediana aumentou em todas as Unidades da Federação.

b) Compare agora os valores em cada Unidade da Federação. Houve algum local onde a idade mediana diminuiu?

Não. Em todos os locais indicados, a idade mediana aumentou.

c) A idade mediana no Brasil aumentou quantos anos de 2010 para 2022?

Aumentou 6 anos.

d) Procure nos mapas o estado em quêque você mora e compare a idade mediana nos anos de 2010 e 2022. De quanto foi a variação na idade mediana?

Resposta pessoal.

e) Elabore uma pergunta quêque possa sêrser respondida com os mapas. Em seguida, troque-a com um colega para quêque você responda à pergunta quêque ele elaborou e ele responda à sua pergunta.

Resposta pessoal.

Para assistir

• FECUNDIDADE no Brasil: hí bê gê héIBGE Explica. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal hí bê gê héIBGE. Disponível em: https://livro.pw/xjgyv. Acesso em: 23 jul. 2024.

O vídeo explica o quêque é taxa de fecundidade e como esse índice influencíainfluencia o envelhecimento da população.

Página setenta e quatro74

mêdídasMedidas de dispersão

As medidas de tendência central nem sempre são suficientes para a análise de um conjunto de dados. Acompanhe o exemplo.

A tabélatabela apresenta os índices pluviométricos, em milimetro, nos seis primeiros meses do ano em duas regiões, A e B.

Índice pluviométrico (em milimetro)

Saiba quêque...

O índice pluviométrico refere-se à quantidade de chuva por métrometro quadrado em determinada região e por determinado período. Cada 1 mm de chuva indica quêque, para cada métrometro quadrado da região, choveu 1 litro de á guaágua.

Comparando os dados da tabélatabela, obissérveobserve quêque a região B apresentou os dois maiores (em vermelho) e os dois menóresmenores (em azul) índices pluviométricos, por isso sua variação pluviométrica foi maior do quêque a variação da região A. Em outras palavras, podemos dizêrdizer quêque a região A, em relação à região B, apresentou índices mais regulares (mais homogêneos), com menóresmenores oscilações pluviométricas durante esse período.

No exemplo, a média aritmética não foi suficiente para indicar qual das regiões teve as maiores, ou menóresmenores, oscilações pluviométricas. Quando precisamos caracterizar o grau de dispersão, ou de homogeneidade, de um conjunto de dados, utilizamos as medidas de dispersão.

Neste tópico, vamos estudar quatro medidas de dispersão: amplitude, desvio médio, variância e desvio padrão.

Amplitude

Você estudou, anteriormente, como calcular a amplitude total e a de cada intervalo quando agrupou os dados em classes para construir uma tabélatabela de freqüênciasfrequências. Essa medida pódepode sêrser usada para verificar a dispersão dos dados observados. Acompanhe, por exemplo, a seguinte situação.

Em uma produção de peças de metal para cértocerto equipamento, o contrôlecontrole de qualidade precisa verificar o comprimento, em milimetro, dessas peças. Para isso, foram selecionadas, em dois dias, nove dessas peças, conforme indicado a seguir.

Para calcular a amplitude dos dados obtidos em cada dia, vamos identificar o menor e o maior valor observado em cada dia; depois, calculamos a diferença entre eles.

• 1º dia: o menor valor é 231 mm, e o maior, 235 mm; portanto, a amplitude é:

235 mm − 231 mm = 4 mm

• 2º dia: o menor valor é 231 mm, e o maior, 240 mm; portanto, a amplitude é:

240 mm − 231 mm = 9 mm

Página setenta e cinco75

Observe quêque a amplitude do primeiro dia foi 4 mm, e a do segundo dia foi 9 mm. Isso indica quêque as peças produzidas no primeiro dia tiveram menor variação de medida.

Por se tratar de uma produção de peças de metal, provavelmente se tem uma tolerância aceitável de variação de medida, mas note quêque, no 2º dia, essa variação foi quase de 10 mm, ou seja, 1 cm.

Pense e responda

234 mm; (Moda)moda

Desvio médio

Para estudar o desvio médio, vamos considerar as notas bimestrais de um estudante de Matemática durante um ano letivo.

Agora, vamos calcular a média aritmética das notas dêêssedesse estudante:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{5+8+6+9}{4}=\frac{28}{4}\end{array}$ = 7

Calculamos, em seguida, as diferenças entre cada uma das notas e a média aritmética. Essas diferenças são chamadas de desvios em relação à média, ou simplesmente desvios.

• x₁ − $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = 5 − 7 = −2

• x₂ −$\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = 8 − 7 = 1

• x₃ − $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = 6 − 7 = −1

• x₄ − $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = 9 − 7 = 2

Definimos o desvio médio (d_m) como a média aritmética dos valores absolutos dos desvios $\begin{array}{c}\left(\right|x_i-\overline{x}\left|\right)\end{array}$.

d_m = $\begin{array}{c}\frac{\sum _{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{n}\end{array}$

Saiba quêque...

O sín-bolosímbolo $\sum _{i=1}^n{A}_i$ indica o somatório, ou seja, a soma dos valores de índice 1 até n para a expressão A_i. Por exemplo, $\sum _{i=1}^3{i}^2$ indica 1² + 2² + 3² = 14.

Página setenta e seis76

Em nosso exemplo, temos:

d_m = $\begin{array}{c}\frac{\sum _{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{4}=\frac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+|x_3-\overline{x}|+|x_4-\overline{x}|}{4}\end{array}$

d_m = $\frac{|-2|+\left|1\right|+|-1|+\left|2\right|}{4}=\frac{6}{4}$ = 1,5

Assim, o desvio médio das notas é 1,5. Isso significa quêque, na média, cada nota ficou 1,5 distante da nota média.

Variância e desvio padrão

A variância e o desvio padrão, assim como o desvio médio, são medidas quêque quantificam o grau de dispersão de um conjunto de dados em relação à média. Quanto maiores são a variância e o desvio padrão, maior é a dispersão dos dados em relação à média e vice-versa.

Definimos a variância (V_a) como a média aritmética dos quadrados dos desvios (x_i− $\begin{array}{c}\overline{x}{)}^2\end{array}$.

V_a = $\begin{array}{c}\frac{\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2}{n}\end{array}$

O desvio padrão (D_p) é dado pela raiz quadrada da variância.

D_p = $\begin{array}{c}\sqrt[]{V_a}\end{array}$

A unidade de medida do desvio padrão é a mesma dos dados analisados.

Para exemplificar, obissérveobserve a quantidade e a média de pontos quêque dois jogadores de basquete fizeram em quatro partidas de um campeonato.

Observe, no qüadroquadro, quêque os dois jogadores têm a mesma média de 18 pontos. No entanto, a pontuação mínima e a mássimamáxima do jogador B foram 15 e 21 pontos, enquanto as do jogador A foram 8 e 32. Vamos analisar o grau de dispersão dessas pontuações em relação à média por meio da variância e do desvio padrão.

V_{a (jogador A)} = $\begin{array}{c}\frac{(12-18{)}^2+(20-18{)}^2+(8-18{)}^2+(32-18{)}^2}{4}=\frac{336}{4}\end{array}$ = 84

D_{p (jogador A)} = $\begin{array}{c}\sqrt[]{84}\end{array}$ ≃ 9, 2

V_{a (jogador B)} = $\begin{array}{c}\frac{(15-18{)}^2+(19-18{)}^2+(17-18{)}^2+(21-18{)}^2}{4}=\frac{20}{4}\end{array}$ = 5

D_{p (jogador B)} = $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$ ≃ 2, 2

Pense e responda

Não, a variância é sempre um número não negativo.

Se o desvio padrão é zero, então a variância também é zero; isso só acontece quando todos os valores do conjunto de dados são iguais.

O jogador B apresentou a menor variância e, consequentemente, o menor desvio padrão de pontuações. Isso aconteceu porque os menóresmenores desvios de pontos marcados em relação à média foram do jogador B. Nesse contexto, os dois jogadores tiveram a mesma média de pontos, mas podemos afirmar quêque o jogador B teve um dêsempênhodesempenho mais equilibrado, mais regular, de pontos marcados nas quatro partidas ou quêque o dêsempênhodesempenho do jogador A foi mais inconsistente, isto é, a quantidade de pontos marcados variou mais em cada partida.

Página setenta e sete77

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. Uma empresa, para aumentar a produção de anéis de vedação de borracha, comprou duas máquinas. O contrôlecontrole de qualidade registrou as massas, em grama, dos oito primeiros anéis fabricados por cada máquina.

Calcule os desvios médios das massas dos anéis de borracha produzidos em cada máquina.

Em seguida, compare os dois valores e explique o quêque eles indicam.

Resolução

Primeiro, vamos calcular as massas médias $\begin{array}{c}\left(\overline{x}\right)\end{array}$ dos anéis produzidos em cada máquina.

$\begin{array}{c}{\overline{x}}_{\text{máquina}1}=\frac{20+19+20+20+21+20+19+21}{8}=\frac{160}{8}=20\end{array}$

$\begin{array}{c}{\overline{x}}_{\text{máquina}2}=\frac{20+20+19+20+20+20+21+20}{8}=\frac{160}{8}=20\end{array}$

O desvio médio (d_m)é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios, logo:

d_{m máquina 1} = $\begin{array}{c}\frac{|20-20|+|20-19|+|20-20|+|20-20|+|20-21|+|20-20|+|20-19|+|20-21|}{8}\end{array}$

$=\frac{0+1+0+0+1+0+1+1}{8}=\frac{4}{8}=\mathrm{0,5}$

d_{m máquina 2} = $\begin{array}{c}\frac{|20-20|+|20-20|+|20-19|+|20-20|+|20-20|+|20-20|+|20-21|+|20-20|}{8}\end{array}$

$=\frac{0+0+1+0+0+0+1+0}{8}=\frac{2}{8}=\mathrm{0,25}$

O desvio médio da máquina 1 foi 0,5 grama e o da máquina 2 foi 0,25 grama. Isso mostra quêque a máquina 2 foi mais eficiente em garantir pouca variação das massas dos anéis de borracha confeccionados.

6. Nos últimos anos, por causa das mudanças climáticas e da sazonalidade, produtos alimentícios têm sofrido grandes variações de preêçopreço. Observe o preêçopreço por kilograma de dois alimentos no primeiro semestre de 2024.

preêçoPreço por kilograma no primeiro semestre de 2024

a) Calcule o desvio padrão dos preços de cada alimento. Em seguida, responda: qual dos dois alimentos sofreu a maior variação de preêçopreço?

b) Elabore um fluxograma com as etapas para calcular o desvio padrão de um conjunto de dados.

Resolução

a) Inicialmente, vamos calcular o preêçopreço médio por kilograma dos dois alimentos no semestre.

$$\begin{array}{c}{\overline{x}}_A=\frac{12+15+12+16+14+15}{6}=14\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{\overline{x}}_B=\frac{12+11+18+9+19+15}{6}=14\end{array}$$

Página setenta e oito78

Em seguida, calculamos os desvios e os quadrados dos desvios.

Agora, vamos determinar as variâncias.

$$\begin{array}{c}{V}_{aA}=\frac{4+1+4+4+0+1}{6}\simeq \mathrm{2,33}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{V}_{aB}=\frac{4+9+16+25+25+1}{6}\simeq \mathrm{13,33}\end{array}$$

Por fim, determinamos os desvios padrão.

$$\begin{array}{c}{D}_{p\mathrm{A}}\simeq \sqrt[]{\mathrm{2,33}}\simeq \mathrm{1,53}\end{array}$$

$$D_{p\mathrm{B}}\simeq \sqrt[]{\mathrm{13,33}}\simeq \mathrm{3,65}$$

O alimento B sofreu a maior variação de preços, pois seu desvio padrão foi superior ao desvio padrão do alimento A.

b) Para calcular o desvio padrão de um conjunto de dados, podemos seguir as etapas indicadas no fluxograma a seguir.

ATIVIDADES

24. Dois atletas anotaram seus tempos, em minuto, das cinco últimas meias maratonas.

a) Calcule o desvio médio dos tempos de cada atleta.

d_m1 = 4,4 d_m2 = 2,4

b) Calcule a variância e o desvio padrão dos tempos de cada atleta.

V_a1 = 34,8; D_p1 ≃ 5,9

V_a2 = 9,2; D_p2 ≃ 3,03

c) Qual dos atletas teve uma perfórmanceperformance mais regular nessas corridas? Justifique.

O atleta 2, pois tanto o desvio médio quanto o desvio padrão dêêssedesse atleta foram inferiores ao desvio médio e ao desvio padrão do atleta 1.

Página setenta e nove79

25. Um teste de qualidade estimou o tempo de duração, em mil horas, de cinco lâmpadas LED de duas marcas diferentes.

a) De acôr-doacordo com essas estimativas, determine, para cada marca de lâmpada, a amplitude, o desvio médio e o desvio padrão dêêssesdesses tempos.

A₁ = 20; d_m1 = 6; D_p1 ≃ 6,99 A₂ = 23; d_m2 = 8; D_p2 ≃ 8,65

b) Qual das marcas apresentou o dêsempênhodesempenho mais regular? Por quê?

A marca 1, pois as durações das lâmpadas dessa marca tiveram amplitude, desvio médio e desvio padrão inferiores às medidas correspondentes das lâmpadas da marca 2.

26. Duas empresas fizeram anúncios fora do padrão em suas rêdesredes sociais para incentivar profissionais a se candidatarem às vagas oferecidas.

Se você pudesse escolher uma dessas empresas para trabalhar, considerando apenas os salários, qual você escolheria? Justifique.

Resposta pessoal. Ver as Orientações para o professor.

27. (Enem/MEC) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em quêque o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pêlospelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de próvaprova indicado pêlospelos organizadores foi de 45 minutos por próvaprova. No qüadroquadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.

Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos)

Utilizando os dados estatísticos do qüadroquadro, a campeã foi a equipe

alternativa c

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

28. Anote a medida da altura, em centimetro, de todos os estudantes da sua turma e faça o quêque se pede.

Respostas pessoais.

a) Construa uma tabélatabela de distribuição de freqüênciasfrequências de dados agrupados, considerando intervalos com 2 cm de amplitude.

b) Calcule as medidas da altura média e da mediana.

c) Calcule o desvio padrão das medidas das alturas.

d) O quêque se pódepode concluir com base nos cálculos feitos?

29. Elabore um problema envolvendo a comparação de dois conjuntos de dados por meio de medidas estatísticas. Troque seu problema com um colega e resôuvaresolva o problema elaborado por ele.

Resposta pessoal. Ver as Orientações para o Professor.

Página oitenta80

Box-plot

O box-plot, ou diagrama de caixa, é utilizado para representar a dispersão de dados de uma variável quantitativa. Sua estrutura consiste em uma caixa retangular com linhas saindo de suas extremidades e limitadas superior e inferiormente.

Ao construir um box-plot, usa-se um eixo real para localizar os pontos correspondentes aos valores: mínimo; mássimomáximo; discrepantes; do primeiro quartil (Q₁); do segundo quartil (Q₂); e do terceiro quartil (Q₃). Observe.

Para determinar os quartis, os dados quantitativos devem sêrser organizados em ordem crescente. Os quartis dividem o conjunto em quatro partes com a mesma quantidade de elemêntoselementos. Para isso, Q₂ é a mediana do conjunto de dados, Q₁ é a mediana dos dados inferiores a Q₂, e Q₃ é a mediana dos dados superiores a Q₂.

O exemplo a seguir mostra como construir um box-plot.

Em uma sala com 27 estudantes, o professor registrou, em ordem crescente, o tempo, em minuto, quêque cada um levou para fazer sua avaliação.

5; 21; 25; 25; 25; 28; 30; 32; 32; 32; 35; 36; 36; 38; 39; 40; 40; 40; 41; 43; 44; 45; 45; 45; 45; 50; 50

Para representar esses valores em um box-plot, podemos seguir os passos apresentados.

1º) Determinamos o valor do segundo quartil (Q₂).

Q₂ é a mediana do conjunto de dados. Como temos 27 dados em ordem crescente, a mediana será o 14º dado, então Q₂ = 38.

2º) Determinamos o valor do primeiro quartil (Q₁).

Q₁ é a mediana dos dados inferiores a Q₂. Há 13 dados inferiores a Q₂; logo, a mediana será o 7º dado, ou seja, Q₁ = 30.

3º) Determinamos o valor do terceiro quartil (Q₃).

Q₃ é a mediana dos dados superiores a Q₂. Nesse caso, a mediana será o 21º dado, isto é, Q₃ = 44.

4º) Verificamos se existem valores discrepantes.

Um valor é considerado discrepante se for menor do quêque Q₁ − 1,5(Q₃ − Q₁) ou maior do quêque Q₃ + 1,5(Q₃ − Q₁), assim:

Q₁ − 1,5(Q₃ − Q₁) = 30 − 1,5(44 − 30) = 9

Q₃ + 1,5(Q₃ − Q₁)= 44 + 1,5(44 − 30) = 65

O valor 5 é um dado menor do quêque 9, portanto 5 é um valor discrepante.

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5º) Identificamos os valores mínimo e mássimomáximo desconsiderando os valores discrepantes.

Valor mínimo = 21

Valor mássimomáximo = 50

6º) Desenhamos o box-plot considerando os valores encontrados.

Saiba quêque...

O box-plot pódepode sêrser representado na vertical ou na horizontal. Os valores discrepantes podem sêrser representados no diagrama por uma bó-linhabolinha ou um asterisco.

Pelo diagrama, podemos identificar, por exemplo, quêque mêtádemetade dos estudantes rêzouvêoresolveu a avaliação em até 38 minutos, 25% dos estudantes demoraram, no mínimo, 44 minutos para solucionar a próvaprova e 50% resolveram a avaliação no intervalo de 30 a 44 minutos.

Diagrama de ramo e fô-lhasfolhas

Um modo de organizar dados de uma variável quantitativa em ordem crescente e, ao mesmo tempo, mostrar sua distribuição de freqüênciasfrequências é confeccionando um diagrama de ramo e fô-lhasfolhas.

Acompanhe o exemplo.

Uma faculdade registrou em um qüadroquadro a idade de seus 32 professores.

Para montar um diagrama de ramo e fô-lhasfolhas com esses dados, podemos executar os seguintes passos.

1º) Colocamos as idades em ordem crescente.

37; 37; 38; 39; 39; 40; 44; 45; 45; 45; 47; 47; 48; 48; 48; 49; 50; 50; 50; 50; 53; 56; 58; 60; 61; 62; 63; 65; 70; 71; 72; 75

2º) Escrevemos em cada linha apenas as idades com dezenas iguais.

37; 37; 38; 39; 39

40; 44; 45; 45; 45; 47; 47; 48; 48; 48; 49

50; 50; 50; 50; 53; 56; 58

60; 61; 62; 63; 65

70; 71; 72; 75

3º) Montamos o diagrama em duas colunas, separadas por um traço vertical. Na primeira coluna, escrevemos os algarismos das dezenas de cada idade e, na segunda coluna, escrevemos os algarismos correspondentes das unidades de cada idade.

Página oitenta e dois82

Pelo diagrama de ramo e fô-lhasfolhas construído, podemos concluir quêque:

• três professores têm 48 anos;

• a (Moda)moda (M_o)das idades é 50 anos;

• 11 professores têm de 40 a menos de 50 anos;

• a amplitude das idades é 38 anos, pois 75 − 37 = 38.

A primeira coluna do diagrama é denominada ramo, e a segunda, fô-lhasfolhas. Os ramos e as fô-lhasfolhas podem representar qualquer ordem de grandeza; por isso, o diagrama deve sempre ter uma legenda, indicando o quêque significam o ramo e as fô-lhasfolhas. Observe alguns exemplos de legenda.

Legenda: 3 | 21 = 3,21 cm

Legenda: 42 | 6 = 426 kg

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. O diagrama de caixa representa as distâncias, em kilometro, das 50 entregas quêque um mótobóimotoboy fez em um mês.

De acôr-doacordo com o gráfico, classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique sua resposta.

I. A viagem mais curta quêque o mótobóimotoboy fez tinha 5 km, e a mais longa tinha 34 km.

II. Na mêtádemetade das viagens, o mótobóimotoboy percorreu, no mínimo, 23 km.

III. Em 49 das 50 entregas, o mótobóimotoboy percorreu, no mássimomáximo, 30 km.