CAPÍTULO 3
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES E FUNÇÃO AFIM

Os rikbaktsá são um povo indígena brasileiro quêque vive na Região Centro-Oeste do país, no noroeste do estado de Mato Grosso. Eles se autodenominam “os sêresseres humanos” e são conhecidos por sua habilidade com a canoagem.

Além das canoas, os rikbaktsá constroem diversos artefatos para o uso cotidiano, entre eles, flautas e apitos, usados em rituais. Os apitos (byrykkwy) podem sêrser confeccionados com cerâmica ou ouriços de castanhas e, geralmente, são usados pelas crianças. As flautas (jokpepeheta) no estilo pã têm adornos de penas de gavião-real e são tocadas por homens e mulheres.

O comprimento e a largura do material utilizado para construir uma flauta interferem no tipo de som produzido: flautas mais fínasfinas produzem sônssons agudos, enquanto flautas mais grossas emitem sônssons graves. Para construir suas flautas, os rikbaktsá utilizam medidas específicas com base em palmos. Observe algumas medidas utilizadas na confekissãoconfecção de flautas.

Se considerarmos quêque cada palmo equivale a aproximadamente 17 centimetros, é possível estabelecer uma relação dirétadireta entre o comprimento da flauta em palmos e seu valor em centimetros. Essa relação envolve a ideia de função, mais especificamente associada à função afim, assuntos quêque serão abordados neste Capítulo.

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A ideia de função

Muitas vezes nos deparamos com situações no dia a dia em quêque diferentes grandezas ou medidas estão associadas por uma relação de dependência.

Na situação apresentada na abertura, por exemplo, para saber a medida, em centimetro, do comprimento da flauta, precisamos saber a medida do comprimento dela em palmo. Nesse caso, dizemos quêque, entre outros fatores, a medida do comprimento em centimetro da flauta depende da medida do comprimento dela em palmo.

Saiba quêque...

Chamamos de grandeza o quêque pódepode sêrser expresso por uma medida, por exemplo: comprimento, área, volume e tempera-túratemperatura.

Também podemos verificar uma relação de dependência em um restaurante “por quilo”: quanto maior a quantidade, em kilograma, de comida consumida, maior sêrserá o valor a ser pago por ela.

Além das situações anteriores, podemos também pensar na relação de dependência entre o valor total de uma fatura de energia elétrica e a quantidade de energia consumida. Nesse caso, o valor da fatura depende da energia consumida: quanto menor o consumo, menor sêrserá o valor a ser cobrado na fatura.

Em geral, os valores quêque as grandezas podem assumir nessas relações são representados genericamente por variáveis, quêque podem sêrser classificadas em variável dependente e variável independente. Nas situações anteriores, temos:

Pense e responda

Respostas pessoais.

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As situações apresentadas têm duas características em comum:

• Todos os valores quêque podem sêrser assumidos pela variável independente são associados a valores da variável dependente.

• Cada valor atribuído à variável independente está associado a um único valor da variável dependente.

Uma relação quêque possui essas duas características é chamada de função. Assim, podemos dizêrdizer quêque:

• a medida do comprimento da flauta, em centimetro, é função da medida do comprimento da flauta em palmo;

• o valor a sêrser pago em um restaurante “por kilo” é função da quantidade, em kilograma, de comida consumida;

• o valor de uma fatura de energia elétrica é função da quantidade de energia elétrica consumida.

Acompanhe outras situações quêque podem sêrser representadas por funções.

Situação 1

Observe, na tabélatabela a seguir, as tarifas vigentes em 3 de abril de 2024 para os serviços de envio de carta não comercial e cartão-postal, praticadas pêlospelos Correios para envios dentro do país.

Carta não comercial e cartão-postal (vigência 03/04/2024)

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Para determinar, com o uso da tabélatabela, a relação entre massa e preêçopreço, escolhemos uma faixa de valores na coluna Massa (g) e lemos, na linha horizontal da tabélatabela, o valor correspondente na coluna preêçoPreço básico (R$).

Por exemplo, se temos uma carta não comercial de 25 g, consideramos, na coluna Massa (g), a célula “Mais de 20 até 50” e verificamos, na coluna preêçoPreço básico (R$), o valor correspondente, ou seja, R$ 3,55.

Nessa situação, o preêçopreço básico da carta não comercial depende da massa da carta, e, com base nessa tabélatabela, podemos obtêrobter outras informações a respeito da relação entre massa da carta não comercial e preêçopreço básico para envio.

Observe quêque a massa de cada carta não comercial a sêrser enviada corresponde a um único preêçopreço básico. Assim, dizemos quêque o preêçopreço básico para enviar uma carta não comercial é uma função da massa da carta. A massa da carta é a variável independente, e o preêçopreço básico é a variável dependente.

Pense e responda

R$ 7,15

Situação 2

Durante um dia, um centro de meteorologia realizou medições de tempera-túratemperatura, de quatro em quatro horas, no centro de uma cidade. A menor tempera-túratemperatura registrada foi 18°C, e a maior, 28°C. Observe a seguir as tempera-túrastemperaturas obtidas, de acôr-doacordo com o horário da medição.

pôdêmosPodemos também representar essas informações por meio de um esquema, conhecido como diagrama de flechas. Consideramos como elemêntoselementos de um conjunto A os horários nos quais foram realizadas as medições e como elemêntoselementos de um conjunto B alguns dos possíveis valores de tempera-túratemperatura verificados nesse dia, como indicado na imagem a seguir.

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Como cada um dos elemêntoselementos do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B, podemos dizêrdizer quêque essa relação é uma função. Nessa situação, o horário em quêque foi realizada a medição é a variável independente, e a tempera-túratemperatura é a variável dependente.

No diagrama, podemos observar quêque, em dois horários distintos, a tempera-túratemperatura ôbitídaobtida pela medição foi 25°C. Além díssudisso, em nenhum dos horários em quêque foi realizada uma medição a tempera-túratemperatura registrada foi 19°C, 22°C, 23°C, 24°C, 26°C, 27°C, 29°C ou 30°C.

Situação 3

Para determinar a área A de um quadrado, multiplicamos a medida de seu lado (éli)"ℓ por ela mesma, ou seja, elevamos (éli)"ℓ ao quadrado. pôdêmosPodemos representar esse cálculo por meio da fórmula A = (éli)"ℓ².

Considerando A e (éli)"ℓ números reais positivos, essa fórmula estabelece uma correspondência entre esses valores, de modo quêque a área de um quadrado é uma função da medida de seu lado. Por exemplo, se (éli)"ℓ for igual a 5 cm, a área A será 25 cm².

Observe algumas medidas do lado de um quadrado e da área correspondente.

Pense e responda

não

Como a área do quadrado depende da medida de seu lado, a variável independente é a medida do lado, e a variável dependente é a área.

A fórmula da área de um quadrado pódepode sêrser interpretada como a lei de formação ou a lei de correspondência da função quêque relaciona a área A de um quadrado e a medida do lado (éli)"ℓ correspondente.

Uma possível maneira de compreender a lei de formação de uma função é pensar em uma máquina quêque transforma a matéria-prima (variá vel independente) em produto final (variável dependente). Observe a seguir um esquema quêque ilustra como uma máquina “transforma” a medida do lado ((éli)"ℓ) de um quadrado em sua respectiva área (A).

Saiba quêque...

Uma função quêque relaciona duas variáveis pódepode não ter uma expressão matemática quêque a represente. Por exemplo, a função quêque relaciona a tempera-túratemperatura e o horário de medição, vista anteriormente na situação 2, não possui uma fórmula quêque a expresse.

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Definição de função

Agora quêque você já acompanhou algumas situações quêque envolvem função, vamos conhecer a definição matemática dêêssedesse tipo de relação e aprofundar o estudo dêêssedesse conteúdo.

Para indicar uma função de A em B, podemos usar a seguinte notação:

f: A → B (lê-se: f de A em B)

A função f transforma x de A em y de B, o quêque pódepode sêrser escrito como y = f(x) (lê-se: y é igual a f de x).

Vamos, agora, utilizar diagramas para analisar algumas relações entre conjuntos de números e, com base nessa análise, concluir se são ou não uma função. Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Dados os conjuntos A = {1, 4, 7} e B = {0, 3, 12, 15, 21, 24}, seja a relação de A em B expressa por y = 3x, com x ∈ A e y ∈ B.

Observe quêque:

• todos os elemêntoselementos de A estão associados a elemêntoselementos de B;

• cada elemento de A está associado a um único elemento de B.

Nesse caso, a relação de A em B expressa por y = 3x é uma função de A em B e corresponde à função “multiplicar por 3”.

b) Dados os conjuntos C = {−2, 0, 2, 5} e D = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de C em D expressa por y = x, com x ∈ C e y ∈ D.

Observe quêque:

• existe um elemento de C (o número −2) quêque não está associado a nenhum elemento de D.

Portanto, a relação de C em D expressa por y = x não é uma função de C em D.

c) Dados os conjuntos E = {−3, −1, 1, 3} e F = {1, 3, 6, 9}, seja a relação de E em F expressa por y = x², com x ∈ E e y ∈ F.

Observe quêque:

• todos os elemêntoselementos de E estão associados a elemêntoselementos de F;

• cada elemento de E está associado a um único elemento de F.

Assim, a relação de E em F expressa por y = x² representa uma função de E em F e corresponde à função “elevar ao quadrado”.

Saiba quêque...

• As lêtrasletras x e y são muito utilizadas para representar as variáveis de uma função, mas podemos utilizar outras lêtrasletras.

• A letra f, em geral, nomeia as funções, mas podemos ter também funções g, h etc. Assim, por exemplo, escrevemos g: A → B para designar a função g de A em B.

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d) Dados os conjuntos G = {16, 81} e H = {−3, −2, 2, 3}, seja a relação de G em H expressa por y = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[4]{x}\end{array}$ _, com x ∈ G e y ∈ H.

Observe quêque:

• todos os elemêntoselementos de G estão associados a elemêntoselementos de H;

• os elemêntoselementos de G (tanto o número 16 quanto o 81) estão associados a mais de um elemento de H.

Nesse caso, a relação de G em H não representa uma função de G em H, pois existe pelo menos um elemento de G quêque está associado a mais de um elemento de H.

Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

Observe o diagrama quêque representa a função f: A → B definida por y = x + 5.

O conjunto A chama-se domínio da função. Esse conjunto é constituído de todos os elemêntoselementos x (variável independente) de A e é indicado por D(f).

O conjunto B é chamado de contradomínio da função. Esse conjunto é constituído de todos os elemêntoselementos y (variável dependente) de B e é indicado por CD(f).

Assim, de acôr-doacordo com o diagrama, temos:

• D(f) = A = {0, 5, 15}

• CD(f) = B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}

Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y, associado a x pela função f, damos o nome de imagem de x pela função f e o indicamos por y = f(x).

Essa notação é muito comum e simplifica a linguagem, pois, em vez de dizermos “Qual é o valor de y quando x é igual a 15?”, podemos dizêrdizer simplesmente “Qual é o valor de f(15)?”.

Nesse caso, para obtermos o valor de y quando x é igual a 15, considerando a lei da função f, dada por y = x + 5, determinamos f(15):

f(15) = 15 + 5 ⇒ f(15) = 20 ou y = 20

O conjunto de todos os valores de y pertencentes a CD(f), quêque são imagens de x pela função, é chamado de conjunto imagem da função. O conjunto imagem, indicado por Im(f), é um subconjunto do contradomínio.

No exemplo anterior, temos: Im(f) = {5, 10, 20}

Uma função é precisamente definida quando explicitamos o domínio, o contradomínio e a sua lei de correspondência quêque associa cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio.

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Quando o domínio e o contradomínio de uma função f não estão explicitados, subentende-se quêque CD(f) = ℝ e D(f) = ℝ − A, em quêque A é o conjunto quêque contém os números reais para os quais a lei de correspondência da função f não está definida. Exemplos:

a) Na função f definida por f(x) = x³ − 2x² + 7, x pódepode sêrser qualquer número real, ou seja:

D(f) = ℝ e CD(f) = ℝ.

b) A função f cuja lei é f(x) = $\frac{x+1}{x-3}$ não está definida quando x = 3, pois, para esse valor de x, o denominador dessa expressão se anula. Portanto, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 3} e CD(f) = ℝ.

c) Na função g definida por g(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{X}\end{array}$ , devemos desconsiderar qualquer valor de x quêque transforme o radicando em um número negativo, pois a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais. Nesse caso, é preciso quêque x ≥ 0. Portanto, D(g) = ℝ₊ e CD(g) = ℝ.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Em uma festa, os salgados são vendidos com desconto se comprados em maior quantidade, como indicado na tabélatabela de preços a seguir.

preêçoPreço dos salgados

Com base nesses dados, responda:

a) De acôr-doacordo com a tabélatabela, o preêçopreço é uma função da quantidade de salgados?

b) Qual é a variável independente nessa situa ção? E a variável dependente?

c) Qual é o valor a sêrser pago por 3 salgados? E por 6 salgados?

Resolução

a) Sim. O preêçopreço a sêrser pago é uma função da quantidade de salgados, pois cada quantidade corresponde a um único preêçopreço.

b) A variável independente é a quantidade de salgados comprados. A variável dependente é o preêçopreço a sêrser pago.

c) O valor a sêrser pago por 3 salgados é R$ 10,00. Por 6 salgados, o valor a sêrser pago é R$ 15,00, pois 6 ⋅ 2,50 = 15,00.

2. Marina é vendedora de uma loja de roupas, e seu salário mensal bruto é compôztocomposto de uma parte fixa de R$ 1.500,00 mais uma comissão de 5% do valor total das vendas realizadas no mês.

a) escrêevaEscreva a lei de formação quêque expressa o salário bruto de Marina.

b) Qual será o salário bruto de Marina se ela vender R$ 5.000,00 em mercadorias no mês?

c) Sabendo quêque, no mês passado, o salário bruto de Marina foi de R$ 2.750,00, qual foi o valor total das vendas realizadas por ela?

Resolução

a) Considerando S o salário mensal bruto de Marina, x o valor total de vendas efetuadas no mês e a parte fixa de R$ 1.500,00, temos:

S = 1.500 + $\frac{5}{100}$ x ⇒ S = 1.500 + 0,05x

b) Fazendo x = 5.000, temos:

S = 1.500 + 0,05x

S = 1.500 + 0,05 ⋅ 5.000 = 1.750

Portanto, se Marina vender R$ 5.000,00, seu salário bruto no mês será R$ 1.750,00.

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c) Sendo S = 2.750, temos:

2.750 = 1.500 + 0,05x

2.750 − 1.500 = 0,05x

x = $\frac{1250}{\mathrm{0,05}}$ = 25.000

Portanto, se Marina obteve um salário bruto de R$ 2.750,00, ela vendeu R$ 25.000,00 em mercadorias no mês.

3. Dada a função f: A → B definida por f(x) = x + 2 e representada no diagrama a seguir, identifique o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem de f.

Resolução

Observando o diagrama, temos:

D(f) = A = {−3, −1, 0, 2}

CD(f) = B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}

Im(f) = {−1, 1, 2, 4}

4. Um tanque com capacidade de 20 litros está completamente cheio de á guaágua. Em determinado momento, abre-se uma torneira quêque o esvazia, segundo uma vazão de 2 litros por minuto.

a) escrêevaEscreva a lei de formação da função quêque representa o volume de á guaágua V, em litro, quêque resta no tanque em relação ao tempo t, em minuto, até quêque o tanque fique vazio.

b) Em quanto tempo o tanque ficará vazio?

c) Que valores t pódepode assumir nessa função? Qual é o domínio da função V?

d) O valor V = 30 faz parte do conjunto imagem dessa função? Justifique sua resposta.

Resolução

a) Na situação apresentada, o intervalo de tempo t é a variável independente, e o volume de á guaágua V quêque resta no tanque é a variável dependente.

Atribuindo alguns valores a t, podemos construir o seguinte qüadroquadro.

Com base nesse qüadroquadro, temos: V(t) = 20 − 2t.

b) O tanque fica vazio quando V(t) = 0.

Assim, temos:

V(t) = 20 − 2t ⇒ 0 = 20 − 2t ⇒

⇒ 2t = 20 ⇒ t = 10

Logo, o tanque ficará vazio após 10 minutos.

c) Como a função está definida apenas até o tanque ficar vazio, o tempo t pódepode assumir valores no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 10.

Portanto, o domínio da função é: D(V) =

= {t ∈ ℝ | 0 ≤ t ≤ 10} ou D(V) = [0, 10].

d) Para saber se o valor V = 30 faz parte do conjunto imagem, vamos substituí-lo na lei da função e observar o valor de t obtídoobtido.

V(t) = 20 − 2t ⇒ 20 − 2t = 30 ⇒

⇒ −2t = 10 ⇒ t = −5

Como t = −5 não pertence ao domínio da função, concluímos quêque V = 30 não pertence ao conjunto imagem da função.

ATIVIDADES

1. Nos itens a seguir, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, identifique a variável independente e a variável dependente.

a) O número de barras de chocolate quêque alguém compra e a quantia paga por elas.

b) O andar do apartamento em quêque uma pessoa mora e o tempo necessário para o elevador, a partir do térreo e sem nenhuma parada, chegar até o apartamento.

Ver as Orientações para o professor.

2. (Saresp-SP) As variáveis s e t estão relacionadas de acôr-doacordo com a tabélatabela ao lado:

A relação algébrica entre s e t é:

alternativa c

a) s = 2t − 2

b) s = t − 1

c) s = t² − 1

d) s = t²

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3. O retângulo representado na figura tem lados quêque médemmedem x e 2x.

Expresse o perímetro P, a área A e a medida d da diagonal dêêssedesse retângulo em função de x.

P = 6x; A = 2x²; d = x$\sqrt[]{5}$

4. artúrArthur elaborou uma fórmula em uma planilha de cálculo e usou a lei geral y = ax + b, em quêque a e b são números inteiros. Em seguida, anotou alguns dos valores obtidos, como indicado a seguir.

Com base nessas informações, determine os valores de a e b e escrêevaescreva a fórmula utilizada por artúrArthur.

a = 2; b = 3; y = 2x + 3

5. (UFG-GO) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando esse dado, pede-se:

a) a lei quêque representa o número de pães fabricados (p) em função do tempo (t);

p = 300t

b) quantos pães são fabricados em 3 horas e 30 minutos?

1.050 pães

6. Dado o conjunto A = {−2, −1, 0, 1}, determine o conjunto imagem da função f: A → ℝ quando f for definida por:

a) f(x) = x³

Im(f) = {−8, −1, 0, 1}

b) f(x) = −x + 3

Im(f) = {2, 3, 4, 5}

c) f(x) = 1 − x²

Im(f) = {−3, 0, 1}

7. Os diagramas de flechas a seguir indicam o domínio e o conjunto imagem de uma função. Em cada caso, escrêevaescreva uma possível lei de formação da função.

a) função f

Respostas possíveis:

f(x) = x + 2 ou y = x + 2

b) função h

h(x) = x² ou y = x²

8. (Epcar-MG) Um pintor foi contratado para pintar a fachada do prédio do Comando da Epcar, em decorrência das comemorações do seu sexagésimo aniversário. Esse pintor cobra um valor fixo de 30 reais e mais uma quantia quêque depende da área pintada. A tabélatabela seguinte indica o orçamento apresentado pelo pintor.

Com base nos dados acima, classifique em

(V) verdadeiro ou (F) falso cada item a seguir.

( ) O pintor cobra 30 reais mais 3 reais pelo métrometro quadrado pintado.

( ) Se foram pagos pela pintura 530 reais, então a área pintada foi de 250 m².

( ) Pela pintura de uma área correspondente a 150 m² seria cobrado menos de 300 reais.

Tem-se a sequência correta em:

alternativa c

a) V – F – F

b) V – F – V

c) F – V – F

d) F – F – V

9. Determine o domínio das funções definidas por:

a) h(x) = 4x − 5

D(h) = ℝ

b) j(x) = $\frac{3}{1+x}$

D(j) = ℝ − {−1}

c) z(x) = $\sqrt[]{2x}$

D(z) = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Página cento e cinco105

10. Observe a sequência de triângulos cujos lados são formados por palítospalitos de fósforo.

Ver as Orientações para o professor.

a) Reproduza o qüadroquadro e complete-o com os valores quêque faltam.

b) Considere x o número de palítospalitos em cada lado e y o total de palítospalitos em cada triângulo para escrever uma sentença matemática quêque expresse y em função de x.

c) Qual é o domínio dessa função? E o conjunto imagem?

d) Quantos palítospalitos deve ter cada lado para se construir um triângulo com 45 palítospalitos?

11. Com base na ideia da atividade anterior, elabore um problema considerando uma sequência formada por quadrados construídos com palítospalitos de fósforo. Troque o problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o problema elaborado pelo outro.

Resposta pessoal.

12. O gerente de uma loja de eletrônicos verificou quêque, quanto mais ele anuncia em rêdesredes sociais, mais itens a loja vende. Essa relação pódepode sêrser expressa por uma função dada pela lei y = $\frac{3}{2}$x + 80, em quêque y representa o número de itens vendidos durante a semana e x, o número de anúncios publicados durante o mesmo período. Nessas condições, quantas vezes o gerente deverá anunciar em uma semana para quêque a loja venda 200 itens?

80 vezes

FÓRUM

O chamado sáiber-búlincyberbullying – intimidação sistemática mediante violência física ou psicológica, de modo intencional e repetitivo, realizado por meio de computadores, rêdesredes sociais e outros ambientes virtuais – agora é crime (lei númeronº 14.811/2024). Com a nova lei, espera-se reduzir o número de ataques virtuais, quêque cresceram nos últimos anos.

Outro tipo de crime quêque vêmvem crescendo em ambiente virtual são os crimes de ódio. Esse tipo de crime é motivado por preconceito ou intolerância contra uma pessoa ou um grupo por causa de sua identidade, da orientação sexual, do gênero, da etnia, da nacionalidade, da religião e de outras características. Entre 2017 e 2022, o país registrou mais de 293,2 mil denúncias envolvendo discursos de ódio em ambiente virtual.

Se for vítima ou conhecer alguém quêque recebeu ataques ou ameaças, saiba quêque você ou um responsável pódepode denunciar d fórmade forma gratuita e anônima pelo Disque 100: basta ligar 100.

Página cento e seis106

Gráfico de uma função

De modo geral, as funções podem sêrser representadas graficamente no sistema cartesiano ortogonal. Vamos relembrar algumas ideias e alguns conceitos dêêssedesse sistema de coordenadas no caso bidimensional.

Sistema cartesiano ortogonal

Para determinar a localização de um ponto no plano, utilizamos o sistema cartesiano ortogonal, quêque é estabelecido por duas retas perpendiculares entre si, denominadas eixos do sistema cartesiano. Esses eixos representam retas reais, e o ponto O, de intersecção dêêssesdesses eixos, é a origem do sistema cartesiano.

O eixo horizontal (eixo x) é denominado eixo das abscissas, e o eixo vertical (eixo y) é denominado eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas de quadrantes, como indicado na figura.

O ponto P representado na figura tem coordenadas cartesianas a e b, números reais quêque formam o par ordenado (a, b). Indicamos assim: P(a, b).

O número real a é a abscissa do ponto P. Esse número é associado ao ponto de intersecção do eixo x com a reta paralela ao eixo y quêque passa por P. O número real b é a ordenada do ponto P. Esse número é associado ao ponto de intersecção do eixo y com a reta paralela ao eixo x quêque passa por P.

Qualquer ponto do plano pódepode sêrser localizado no sistema cartesiano, para isso usamos um par ordenado de números reais, quêque são as coordenadas do ponto. Observe, a seguir, como localizar alguns pontos no sistema cartesiano e verifique quêque os pontos A(1, 3) e B(3, 1) são pontos distintos e têm diferentes localizações no plano.

Pense e responda

ponto E

no 2º quadrante

Construção do estudante.

Observações:

• Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.

• O ponto O (origem) tem coordenadas (0, 0).

• Os pontos dos eixos x e y não pertencem a nenhum dos quadrantes.

• Todo ponto do eixo x tem ordenada igual a zero.

• Todo ponto do eixo y tem abscissa igual a zero.

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Leitura e interpretação de gráficos

Um gráfico é uma representação geométrica de dados quêque nos permite visualizar relações entre grandezas.

Por exemplo, ao analisar o caso de um paciente em tratamento, infekitadoinfectado por determinado tipo de bactéria, um médico detectou quêque o número dessas bactérias, por milimetro cúbico de sanguesangue, variou com o passar do tempo, conforme mostra o gráfico.

Nesse exemplo, o tempo é dado em hora, o instante zero corresponde ao momento do contágio, e o número de bactérias é dado por mm³ de sanguesangue.

Para observar como o gráfico determina a correspondência entre o tempo e o número de bactérias, escolhemos um ponto P do gráfico e, em seguida, determinamos as coordenadas cartesianas dêêssedesse ponto. Essa análise pódepode sêrser feita para qualquer ponto do gráfico.

Considere, por exemplo, o ponto P indicado no gráfico anterior e verifique quêque a abscissa do ponto P é 12 e a ordenada, 2.000, ou seja, as coordenadas do ponto P são (12, 2.000). Isso significa quêque, 12 horas após o contágio, havia 2.000 bactérias por milimetro cúbico (mm³) de sanguesangue no paciente.

De modo análogo, podemos obtêrobter outras informações por meio dêêssedesse gráfico, entre elas:

• a quantidade mássimamáxima de bactérias observada em cada milimetro cúbico de sanguesangue é identificada 36 horas após o contágio;

• 60 horas após o contágio, a quantidade de bactérias em cada milimetro cúbico de sanguesangue é igual a 1.000;

• o número de bactérias aumentou no intervalo de 0 a 36 horas.

Observe quêque cada instante corresponde a um único número de bactérias por milimetro cúbico de sanguesangue. Assim, verificamos quêque o número de bactérias por milimetro cúbico de sanguesangue varia em função do tempo transcorrido após o contágio. Além díssudisso, dizemos quêque o tempo é a variável independente e quêque o número de bactérias por milimetro cúbico de sanguesangue é a variável dependente.

Pense e responda

5.000 bactérias por mm³ de sanguesangue

não

Página cento e oito108

Construção de gráficos

Para construir gráficos de funções no sistema cartesiano ortogonal, devemos considerar os valores do domínio da função no eixo x (eixo das abscissas) e as respectivas imagens no eixo y (eixo das ordenadas).

O gráfico da função é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano tais quêque y = f(x) com x ∈ D(f).

Como exemplo, vamos construir o gráfico da função f: A → ℝ dada por y = x + 1, em quêque A = {0, 1, 2, 3}.

Iniciamos construindo o qüadroquadro com os valores de x pertencentes ao domínio e determinando as imagens de x pela função f, ou seja, os valores de y = f(x), para representar os pontos obtidos no plano cartesiano.

Observe quêque D(f) = A = {0, 1, 2, 3} e Im(f) = {1, 2, 3, 4}.

Como o conjunto A é finito, o gráfico de f é formado apenas pêlospelos quatro pontos obtidos por meio do qüadroquadro: B(0, 1), C(1, 2), D(2, 3) e E(3, 4). Para concluir, representamos esses pontos no sistema cartesiano, como mostra a figura.

Agora, vamos construir o gráfico da função f dada por f(x) = 2x + 3, considerando três domínios distintos, e observar as semelhanças e as diferenças entre esses gráficos.

a) Considerando D(f) = {−1, 0, 1, 2, 3}.

Inicialmente, construímos um qüadroquadro com os valores de x ∈ D(f) e determinamos as imagens de x pela função f, ou seja, os valores de y = f(x), para obtêrobter os respectivos pares ordenados.

Página cento e nove109

Em seguida, representamos, no sistema cartesiano, os pontos cujas coordenadas são os pares ordenados do qüadroquadro.

Como o domínio da função é o conjunto {−1, 0, 1, 2, 3}, o gráfico de f é formado pêlospelos pontos A(−1, 1), B(0, 3), C(1, 5), D(2, 7) e E(3, 9), representados na figura.

b) Considerando D(f) = [−1, 3].

Nesse caso, o domínio da função é um intervalo real, e os valores de x considerados no exemplo anterior pertencem a esse intervalo. Entretanto, no intervalo [−1, 3], existem infinitos valores de x quêque têm imagem correspondente pela função f.

Quando representamos esses infinitos pontos no sistema cartesiano, obtemos um segmento de reta, quêque é o gráfico da função f quando D(f) = [−1, 3].

Observe quêque essa função não está definida para valores de x menóresmenores do quêque −1 nem para valores de x maiores do quêque 3.

c) Considerando D(f) = ℝ.

Nesse caso, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais e, como nos exemplos anteriores, os pontos A, B, C, D e E fazem parte do gráfico da função. Além dêêssesdesses pontos, existem infinitos pontos quêque satisfazem à lei da função f.

O gráfico de f é uma reta em quêque todo valor de x ∈ ℝ tem uma imagem pela função f, expressa por y = f(x). Observe o gráfico da função f quando D(f) = ℝ.

Portanto, apesar de a lei quêque define a função sêrser a mesma nos três casos apresentados, os gráficos são diferentes, pois dependem do domínio considerado.

Página cento e dez110

Domínio e imagem no gráfico de uma função

Considere o gráfico a seguir, quêque representa uma função f.

Para determinar o domínio e o conjunto imagem de f, projetamos os pontos do gráfico sobre os eixos x e y, como indicado a seguir.

Saiba quêque...

A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P(minutos)"′ determinado pela intersecção da reta r com a reta perpendicular a ela, passando por P.

Se o ponto P é um ponto da reta r, a projeção ortogonal de P sobre r é o próprio P.

O domínio da função f é o conjunto das abscissas de todos os pontos do gráfico. Note quêque o ponto (5, 4) não faz parte do gráfico. Portanto, a abscissa 5 não pertence ao domínio de f.

Sendo assim, temos:

D(f) = [1, 5[ ou D(f) = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 5}

O conjunto imagem da função f é o conjunto das ordenadas de todos os pontos do gráfico. Como o ponto (5, 4) não faz parte do gráfico, então a ordenada 4 não pertence ao conjunto imagem de f. Sendo assim, temos:

Im(f) = [2, 4[ ou Im(f) = {y ∈ ℝ | 2 ≤ y < 4}

ATIVIDADE RESOLVIDA

5. Os pares ordenados (a − 1, 3) e (−2, 2b + 1) representam o mesmo ponto P no sistema cartesiano.

a) Determine os valores de a e b.

b) escrêevaEscreva as coordenadas do ponto P.

Resolução

a) Como os pares ordenados representam o mesmo ponto P, as abscissas a − 1 e −2 são iguais, assim como as ordenadas 3 e 2b + 1. Então, obtemos os valores de a e de b resolvendo as seguintes equações:

a − 1 = −2 ⇒ a = −2 + 1 ⇒ a = −1

2b + 1 = 3 ⇒ 2b = 3 − 1 ⇒ b = 1

Portanto, a = −1 e b = 1.

b) Com os valores de a e b, substituímos em um dos pares ordenados para obtêrobter as coordenadas do ponto P.

a − 1 = −1 − 1 = −2

Portanto, as coordenadas de P são (−2, 3).

Página cento e onze111

ATIVIDADES

13. Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura.

A(2, 2); B(0, 0); C(5, 0); D(0, 6); E(−3, 0); F(0, −2); G(−2, 4); H(−5, −5); I(5, −3); J(−5, 1)

14. Dados os pares ordenados (2a − 3, b + 2) e (5a − 1, 2b − 3) e sabendo quêque ambos representam o mesmo ponto no sistema cartesiano, quais são os valores de a e b?

a = $-\frac{2}{3}$ e b = 5

15. (OBMEP) Manoel testa sua pontaria lançando 5 flechas quêque atingiram o alvo nos pontos A, B, C, D e E de coordenadas A = (1, −1), B = (2,5; 1), C = (−1, 4), D = (−4, −4) e E = (6, 5).

A tabélatabela mostra quantos pontos se ganha quando a flecha acerta um ponto dentro de cada uma das três regiões, conforme mostra a figura.

a) Marque os pontos A, B, C, D e E.

Ver as Orientações para o professor.

b) Quantas flechas ele acertou no interior do menor círculo?

1 flecha

c) Ao todo, quantos pontos Manoel fez?

500 pontos

16. Os esboços dos gráficos a seguir representam funções reais de variável real. Observando-os, determine o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f) de cada função.

a)

D(f) = {x ∈ ℝ | −2 ≤ x < 3}

e Im(f) = {y ∈ ℝ | −2 ≤ y < 2}

b)

D(f) = {x ∈ ℝ | −3 < x < 3}

e Im(f) = {y ∈ ℝ | −1 ≤ y ≤ 3}

c)

D(f) = {x ∈ ℝ | −3 ≤ x ≤ 4 e x ≠ 1}

e Im(f) = {y ∈ ℝ | −2 < y ≤ 3}

d)

D(f) = ℝ e Im(f) = ℝ

e)

D(f) = ℝ e Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}

f)

D(f) = {x ∈ ℝ | x < 0} e Im(f) = {y ∈ ℝ | y > 0}

17. (UFV-MG) O gráfico a seguir ilustra a evolução da tempera-túratemperatura T (°C), em uma região ao longo de um período de 24 horas.

Determine:

a) os horários em quêque a tempera-túratemperatura atinge 0 °C;

às 2 h e às 8 h

b) o intervalo de variação da tempera-túratemperatura ao longo das 24 horas;

A tempera-túratemperatura varia de −5 °C a 13 °C.

c) os intervalos de tempo em quêque a tempera-túratemperatura é positiva.

de 0 h às 2 h e de 8 h às 24 h

Página cento e doze112

Função afim

Você sabe como é calculado o valor de uma corrida de táxi? Tudo depende de onde você está e para onde quer ir.

O valor de uma corrida de táxi está relacionado a duas tarifas: uma tarifa fixa, conhecida como bandeirada, e outra variável, quêque é cobrada por kilometro rodado e por outros fatores quêque possam influenciar esse valor, como o tempo do veículo parado no trânsito e o período do dia em quêque acontece a corrida.

A determinação dessas tarifas é incumbência das prefeituras; por isso, estados e até cidades dentro do mesmo estado podem ter valores diferentes. Como exemplo, conforme regulamentado pela Prefeitura de São Paulo, em 2024, no município de São Paulo (SP), na categoria Táxi Comum, o preêçopreço da bandeirada para o período das 6 h às 20 h era de R$ 6,00, e a taxa por kilometro rodado era de R$ 4,25. Além díssudisso, havia a tarifa de R$ 51,00 por hora parada.

Desse modo, o preêçopreço p a sêrser cobrado por uma corrida de táxi depende, entre outros fatores, da distância x percorrida pelo táxi. Vamos estudar agora como podemos utilizar o conceito de função para analisar a relação entre esses valores.

Levando em consideração os dados apresentados do município de São Paulo (SP), suponha uma situação em quêque o táxi não cobre adicionalmente a hora parada e cujo período da corrida esteja dentro do horário das 6 h às 20 h. Nesse caso, o preêçopreço p a sêrser cobrado é compôztocomposto de uma parte fixa, quêque é a bandeirada, e uma parte variável, correspondente à distância x percorrida.

Considerando R$ 6,00 o valor da bandeirada e R$ 4,25 o valor de cada kilometro rodado, podemos escrever a seguinte lei de formação para representar o preêçopreço p em função da distância x:

p(x) = 6,00 + 4,25x ou y = 4,25x + 6

Observe quêque p(x) ou y é o preêçopreço a sêrser cobrado (em reais) e x é a distância percorrida (em kilometro).

Pense e responda

R$ 40,00

Página cento e treze113

Acompanhe, agora, outra situação quêque pódepode sêrser modelada e analisada por meio de uma função.

Um encanador foi contratado para resolver o problema de vazamento em uma residência e, para ter noção da quantidade de á guaágua desperdiçada e localizar o vazamento, fechou todos os registros até quêque a caixa-d’água de 1.000 litros ficasse completamente cheia. Na rê-derede em quêque detectou o vazamento, ele percebeu quêque 8 litros de á guaágua eram desperdiçados a cada hora.

A quantidade de á guaágua q (em litro) quêque resta na caixa-d’água é uma função do tempo t (em hora) e pódepode sêrser representada pela lei:

q(t) = 1.000 − 8t ou y = −8t + 1.000

Pense e responda

808 litros

As leis de formação utilizadas para representar cada situação descrita anteriormente são exemplos de leis de função afim, quêque podemos definir da seguinte maneira:

Observe outros exemplos de leis de função afim.

a) f(x) = 5x + 1 ou y = 5x + 1

b) g(x) = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{2x}\end{array}$ − 1 ou y = −$\sqrt[]{2x}$ − 1

c) h(x) = $-\frac{2}{5}$ x ou y = $-\frac{2}{5}x$

d) z(x) = 14,90 ou y = 14,90

Lembre-se de quêque x é a variável independente e y é a variável dependente na função afim dada por y = ax + b. Ao atribuir valores para a variável independente x, obtemos y, o valor da função. Observe alguns exemplos.

• Considerando a função dada por f(x) = 5x + 1, podemos calcular f(3) da seguinte maneira: f(3) = 5 ⋅ 3 + 1 ⇒ f(3) = 16

Portanto, 16 é o valor da função f para x = 3.

• Considerando a função dada por h(x) = $-\frac{2}{5}x$ podemos calcular h(−20) da seguinte maneira: h(−20) = $-\frac{2}{5}$ ⋅ (−20) ⇒ h(−20) = 8 Portanto, 8 é o valor da função h para x = −20.

Em uma função afim dada por f(x) = ax + b, os números reais a e b são chamados coeficientes e, de acôr-doacordo com seus valores, a função afim recebe alguns nomes particulares, quêque estudaremos a seguir.

Página cento e quatorze114

Função polinomial do 1º grau

Quando o coeficiente a da função afim é diferente de zero, a função recebe o nome de função polinomial do 1º grau, pois a relação entre a variável dependente e a variável independente é expressa por um polinômio do 1º grau.

Observe alguns exemplos de leis de função polinomial do 1º grau:

a) f(x) = 2x − 1, em quêque a = 2 e b = −1;

b) y = 0,5x + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ , em quêque a = 0,5 e b = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ ;

c) y = $\frac{2}{3}$ + 2x, em quêque a = 2 e b = $\frac{2}{3}$;

d) f(x) = 4x, em quêque a = 4 e b = 0.

Função linear

Considere, agora, a situação a seguir.

cértoCerto modelo de veículo blindado consome, aproximadamente, 0,25 litro de combustível por kilometro rodado. pôdêmosPodemos dizêrdizer quêque a quantidade y de combustível consumido (em litro) é função da distância x percorrida (em kilometro) e pódepode sêrser indicada pela lei:

y = 0,25x

A lei para representar essa função é a lei de um tipo de função afim, conhecida também como função linear, quêque definimos da seguinte maneira:

Pense e responda

Porque ela também é da forma f(x) = ax + b, com a e b reais.

Observe alguns exemplos de leis de função linear

a) f(x) = −7x, em quêque a = −7;

b) y = $\begin{array}{c}x\sqrt[]{3}\end{array}$, em quêque a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$;

c) y = $-\frac{x}{3}$, em quêque a = $-\frac{1}{3}$;

d) y = x, em quêque a = 1.

Pense e responda

Página cento e quinze115

Função identidade

Quando a = 1 e b = 0, a função polinomial do 1º grau é expressa pela lei f(x) = x e é chamada função identidade.

A função identidade recebe esse nome por associar cada valor de x ∈ ℝ a ele mesmo. Por exemplo:

• f(1) = 1;

• f(0,5) = 0,5;

• f(−3) = −3;

• $\begin{array}{c}f\left(\sqrt[]{2}\right)=\sqrt[]{2}\end{array}$

Função linear e proporcionalidade

Retomando a situação quêque relaciona o consumo de combustível y (em litro) de um modelo de carro blindado e a distância x quêque ele percórrepercorre (em kilometro) por meio de uma função linear dada por y = 0,25x, podemos construir um qüadroquadro para analisar a relação entre alguns valores.

Observe.

Perceba quêque, ao dobrarmos o valor de x, o valor correspondente de y também dobra. Se multiplicarmos x por 3, o valor correspondente de y também será multiplicado por 3, e assim sucessivamente.

Nesse caso, dizemos quêque as variáveis x e y representam grandezas diretamente proporcionais, e a constante de proporcionalidade k pódepode sêrser ôbitídaobtida pela razão $\frac{y}{x}$, quando x ≠ 0.

$k=\frac{\mathrm{0,25}}{1}=\frac{\mathrm{0,50}}{2}=\frac{\mathrm{0,75}}{3}=\frac{\mathrm{1,00}}{4}=$ … $=\frac{\mathrm{2,50}}{10}$ = 0,25, ou seja, k = 0,25

Página cento e dezesseis116

Função constante

Outro tipo de função afim é a função constante, definida a seguir.

Saiba quêque...

Se b = 0, a função constante f é dada por f(x) = 0 para todo x real. Essa função é conhecida como função nula.

A função constante associa cada valor de x ∈ ℝ sempre ao mesmo valor b. Nesse caso, o conjunto imagem da função constante é Im(f) = {b}.

Por exemplo, para a função constante f dada por f(x) = 12, todos os elemêntoselementos de D(f) têm imagem igual a 12. Observe alguns casos.

• f(0) = 12

• f(−3) = 12

• f $(-\frac{1}{2})$ = 12

^• f $\begin{array}{c}\left(\sqrt[]{2}\right)\end{array}$ = 12

ATIVIDADES RESOLVIDAS

6. Vinícius trabalha como di gêiDJ e cobra um valor fixo de R$ 250,00, além de um valor adicional de R$ 110,00 por hora, para animar uma festa.

a) Indicando por y o valor total cobrado por Vinícius, em reais, e por x a quantidade de horas trabalhadas, escrêevaescreva a lei da função quêque relaciona y e x.

b) Essa lei de formação é de uma função afim? Justifique sua resposta.

c) Qual é o valor, em reais, quêque Vinícius receberá se trabalhar durante 2 horas em uma festa?

d) Sabendo quêque Vinícius recebeu R$ 635,00 pelo trabalho em determinada festa, por quantas horas ele prestou seu serviço?

Resolução

a) O valor y recebido por Vinícius depende da quantidade x de horas quêque ele trabalhou animando a festa. Assim, a lei quêque relaciona essas duas variáveis pódepode sêrser escrita como:

y = 250 + 110x ou y = 110x + 250

b) Sim, essa lei de formação é de uma função afim, pois é do tipo y = ax + b, com a e b reais. Nesse caso, a = 110 e b = 250.

c) Se o tempo de animação da festa for de 2 horas, então substituímos x por 2 na lei da função e determinamos o valor de y correspondente:

y = 250 + 110 ⋅ 2 ⇒ y = 250 + 220 ⇒ y = 470

Portanto, Vinícius receberá R$ 470,00 por 2 horas de trabalho na festa.

d) Sabendo quêque ele recebeu R$ 635,00, substituímos y por 635 na lei da função e determinamos o valor de x:

635 = 250 + 110x ⇒ 110x = 385 ⇒ x = 3,5

Portanto, ele prestou serviço nessa festa por 3,5h ou 3h30min.

Pense e responda

Não, pois a relação entre o valor quêque ele recebe e o número de horas trabalhadas não é dada por uma função linear.

Página cento e dezessete117

7. (UEG-GO) Em uma fábrica, o custo de fabricação de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo quêque o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = qx + b, em quêque x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:

a) Os valores de b e de q.

b) O custo de produção de 800 camisetas.

Resolução

a) De acôr-doacordo com o enunciado:

• quando x = 500, temos C(500) = 2.700;

• quando x = 1.000, temos C(1.000) = 3.800.

Para determinar os valores de b e q, utilizamos essas informações, substituindo os valores correspondentes na lei C(x) = qx + b, e resolvemos o sistema a seguir.

$$\{\begin{array}{c}2.700=500q+b\\ 3.800=1.000q+b\end{array}$$

Multiplicamos por (−1) a primeira equação do sistema e adicionamos membro a membro as duas equações, como indicado a seguir.

Se 500q = 1.100, então q = $\frac{11}{5}$.

Substituindo q por $\frac{11}{5}$ na primeira equação do sistema, temos:

2.700 = 500 ⋅ $\frac{11}{5}$ + b ⇒ b = 1.600

Portanto, b = 1.600 e q = $\frac{11}{5}$.

b) A lei da função quêque representa o custo das camisetas é C(x) = $\frac{11}{5}$x + 1.600.

Substituindo x = 800 na lei da função, determinamos C(800).

C(800) = $\frac{11}{5}$ ⋅ 800 + 1.600 ⇒ C(800) = 3.360

Portanto, o custo de produção de 800 camisetas é R$ 3.360,00.

8. Marcelo mora em um município onde é possível alugar patinetes elétricos para se locomover. A velocidade mássimamáxima permitida dêêssesdesses aparelhos é de 20 km/h, mas é recomendado quêque pessoas sem experiência não ultrapassem 12 km/h. Fazendo alguns cálculos para estimar o tempo quêque levaria utilizando um patinete elétrico de uma estação de metrô até o local onde trabalha, Marcelo considerou quêque manteria uma velocidade constante de 3 metros por segundo e fez um qüadroquadro para relacionar a distância percorrida, em métrometro, em função do tempo, em segundo.

Com base nessas informações, responda:

a) Qual é a lei da função quêque relaciona a distância d, em métrometro, a sêrser percorrida por Marcelo e o tempo t, em segundo?

b) As grandezas representadas por d e t são diretamente proporcionais? Justifique sua resposta.

c) Marcelo levou 10 minutos para realizar o deslocamento quêque pretendia nas condições quêque tinha planejado. Qual distância ele percorreu?

Resolução

a) De acôr-doacordo com os dados apresentados, verifica-se quêque, a cada segundo, Marcelo vai percorrer 3 metros de distância.

Essa relação corresponde a uma função linear, quêque pódepode sêrser representada pela lei d(t) = 3t.

b) Sim. Essa função é linear, e o coeficiente a da função é igual a 3. Como 3 ≠ 0 e 3 > 0, as grandezas representadas por d e t são grandezas diretamente proporcionais.

Também podemos verificar quêque, se multiplicarmos o valor de t por um número natural n, o valor correspondente de d também será multiplicado pelo mesmo número natural n.

c) Como Marcelo levou 10 minutos para realizar o percurso, isso equivale a 600 segundos, pois 10 ⋅ 60 = 600.

Substituindo t = 600 na lei da função, temos:

d(600) = 3 ⋅ 600 ⇒ d(600) = 1.800

Portanto, Marcelo percorreu 1.800 metros.

Página cento e dezoito118

ATIVIDADES

18. Karina trabalha em um ateliê quêque confeksionaconfecciona sapatos e usa uma fórmula para calcular a numeração deles, de acôr-doacordo com a medida de comprimento dos péspés dos clientes.

A fórmula utilizada por Karina é dada por y = 1,25x + 7, em quêque y é a numeração do sapato e x, a medida de comprimento do pé, em centimetro. Quando o resultado não é um número natural, ela o arredonda para o número natural imediatamente maior do quêque o valor calculado.

a) Determine a numeração do sapato de um cliente de Karina cujo pé médemede 27 cm.

41

b) Considere, agora, sua numeração de sapato e utilize essa fórmula para calcular a medida de comprimento x correspondente. Depois, use uma régua para medir o comprimento do seu pé e confira se o valor calculado é um valor aproximado da medida verificada.

Resposta pessoal.

19. Considere as funções reais definidas a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

a) Qual(is) dessas leis é(são) de função afim?

b) Classifique as funções afins em função polinomial do 1º grau, função linear e/ou função constante.

c) Para as funções afins, identifique os valores dos coeficientes a e b.

20. Dada a função definida por f(x) = 5x − 2, determine:

a) f(2);

8

b) o valor de x para f(x) = 0.

x = $\frac{2}{5}$

21. (Enem/MEC) Para concretar a laje de sua residência, uma pessoa contratou uma construtora. Tal empresa informa quêque o preêçopreço y do concreto bombeado é compôztocomposto de duas partes: uma fixa, chamada de taxa de bombeamento, e uma variável, quêque depende do volume x de concreto utilizado. Sabe-se quêque a taxa de bombeamento custa R$ 500,00 e quêque o métrometro cúbico do concreto bombeado é de R$ 250,00.

A expressão quêque representa o preêçopreço y em função do volume x, em métrometro cúbico, é

alternativa d

a) y = 250x

b) y = 500x

c) y = 750x

d) y = 250x + 500

e) y = 500x + 250

22. Considere uma função afim dada por y = h(x). Sabendo quêque h(1) = 4 e h(−2) = 10, escrêevaescreva a lei da função h e calcule h $(-\frac{1}{2})$.

h(x) = −2x + 6; h $(-\frac{1}{2})$ = 7

23. Dada a função f definida por f(x) = ax + 2, determine o valor de a para quêque se tenha f(4) = 20.

$$\frac{9}{2}$$

24. Sofia quer produzir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o valor da impressão dêêssedesse folheto, por unidade, é R$ 0,30, e, na gráfica B, o valor, também por unidade, é R$ 0,25.

a) escrêevaEscreva a fórmula quêque relaciona o valor y a sêrser pago pela impressão, em reais, com o número x de folhetos impressos em cada uma dessas gráficas.

y_A = 0,30x e y_B = 0,25x

Página cento e dezenove119

b) Na gráfica A, o valor pago pela impressão é diretamente proporcional ao número de unidades impréssasimpressas? E na gráfica B? Justifique.

Ver as Orientações para o professor.

c) Se Sofia encomendar 1.000 folhetos na gráfica B, quantos reais gastará?

R$ 250,00

25. Sabendo quêque f é uma função linear e quêque f(−3) = 4, determine o valor de f(6).

−8

26. Os lados de um retângulo médemmedem x e (x + 5), em métrometro.

a) escrêevaEscreva a fórmula matemática quêque relaciona o perímetro p dêêssedesse retângulo com a medida x.

p = 4x + 10

b) Reproduza o qüadroquadro a seguir e complete-o com os valores quêque faltam.

Ver as Orientações para o professor.

c) As grandezas p e x são diretamente proporcionais? Por quê?

Não, pois a razão $\frac{p}{x}$ não é constante.

d) Quais devem sêrser as medidas dos lados dêêssedesse retângulo para quêque o perímetro seja de 78 metros?

17 m e 22 m

27. (FGV-SP) Uma função polinomial f do 1º grau é tal quêque f(3) = 6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10) é:

a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

alternativa e

28. Considere quêque uma pessoa, caminhando a uma velocidade constante, percorra, em média, 80 centimetros a cada 1 segundo.

a) escrêevaEscreva a fórmula quêque indica a distância percorrida d, em centimetro, em função do tempo t, em segundo.

d = 80t

b) Nessa situação, a distância (d) e o tempo (t) são grandezas diretamente proporcionais? Justifique sua resposta.

Ver as Orientações para o professor.

c) Quantos metros uma pessoa nessas condições percorrerá em 10 segundos? E em 40 segundos?

8m; 32m

d) Quantos segundos uma pessoa nessas condições levará para percorrer 100 metros?

125 s

29. (UFC-CE) Seja f uma função real, de variável real, definida por f(x) = ax + b. Se f(1) = −9 e b² − a² = 54, calcule o valor de a − b.

6

Saiba quêque...

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

(b + a) ⋅ (b − a) = b² − a²

30. (Enem/MEC) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com á guaágua até cértocerto nível e medir o nível da á guaágua, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se quêque o nível da á guaágua é função do número de bolas de vidro quêque são colocadas dentro do copo. O qüadroquadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Qual a expressão algébrica quêque permite calcular o nível da á guaágua (y) em função do número de bolas (x)?

alternativa e

a) y = 30x.

b) y = 25x + 20,2.

c) y = 1,27x.

d) y = 0,7x.

e) y = 0,07x + 6.

Página cento e vinte120

Gráfico da função afim

Estudamos quêque o gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais quêque x ∈ D(f) e y = f(x).

Em relação ao gráfico da função afim, pode-se demonstrar o seguinte teorema.

Quando o domínio de uma função f, tal quêque f(x) = ax + b, é um subconjunto de ℝ diferente do próprio ℝ, o gráfico de f pódepode sêrser uma semirreta, um segmento de reta ou pontos de uma reta, como ocorre nos exemplos a e b das páginas 108 e 109.

Com base no teorema, podemos localizar, no sistema cartesiano, dois pontos distintos pertencentes ao gráfico da função afim e traçar a reta correspondente.

Inicialmente, construímos um qüadroquadro com dois valores de x ∈ ℝ e determinamos os valores de y = f(x) para obtêrobter os pares ordenados dêêssesdesses pontos. Em seguida, localizamos esses pontos no sistema cartesiano e traçamos a reta determinada por eles, quêque é o gráfico da função f.

Acompanhe alguns exemplos.

a) Gráfico da função afim definida por f(x) = 2x − 1

Primeiro, escolhemos dois valores reais para x e obtemos os pares ordenados de dois pontos pertencentes ao gráfico de f. Em seguida, traçamos o gráfico.

b) Gráfico da função afim definida por g(x) = −2x − 1

Inicialmente, escolhemos dois valores reais para x e obtemos os pares ordenados de dois pontos pertencentes ao gráfico de g. Em seguida, traçamos o gráfico.

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque o gráfico da função f e o da função g cruzam o eixo y no mesmo ponto, cuja ordenada corresponde ao coeficiente b dessas funções. O coeficiente a da função g é o ôpôstooposto do coeficiente a da função f, e as retas são simétricas em relação ao eixo y.

Página cento e vinte e um121

c) Gráfico da função afim definida por h(x) = 2x

Observe quêque a função h é uma função linear. Como a lei de formação de uma função linear é da forma y = ax, substituindo x = 0 nessa lei, temos y = a ⋅ 0 = 0.

Portanto, o gráfico da função linear sempre passa pelo ponto (0, 0), origem do sistema cartesiano.

d) Gráfico da função afim definida por i(x) = x

Observe quêque a função i é a função identidade, quêque associa cada valor de x do domínio a ele mesmo. O gráfico da função i também passa pela origem do sistema cartesiano.

O gráfico da função identidade é a reta quêque contém a bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.

e) Gráfico da função afim definida por j(x) = 4

Observe quêque a função j é uma função constante. Para qualquer valor de x no domínio da função, y é igual a 4. Portanto, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x quêque intersecta o eixo y no ponto (0, 4).

O gráfico de uma função constante definida por y = k, em quêque k ∈ ℝ, é uma reta paralela ao eixo x quêque intersecta o eixo y no ponto (0, k).

Pense e responda

O exemplo c, cuja constante de proporcionalidade é 2, e o exemplo d, cuja constante de proporcionalidade é 1.

Página cento e vinte e dois122

Zero da função afim

Estudaremos, agora, o valor da variável independente quêque anula a função afim, mas, antes, apresentamos a seguinte definição.

No caso da função afim, definida por f(x) = ax + b, quando a ≠ 0, resolvemos a equação f(x) = 0, ou seja, ax + b = 0 para determinar o zero da função f. Nesse caso, temos:

ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = $-\frac{b}{a}$

Logo, quando a ≠ 0, o zero de uma função afim é dado por x = $-\frac{b}{a}$. O zero da função afim é a abscissa do ponto em quêque o gráfico intersecta o eixo x, como indicado na figura.

Se a = 0, temos duas situações:

• b ≠ 0: nesse caso, temos uma função constante cujo gráfico não intersecta o eixo x; portanto, não há zero da função;

• b = 0: nesse caso, temos uma função constante dada por y = 0, conhecida também como função nula, cujo gráfico é uma reta coincidente com o eixo x; portanto, todo x ∈ ℝ é zero da função nula.

Acompanhamos, em uma situação apresentada anteriormente, quêque, por causa de um vazamento, a quantidade de á guaágua q em uma caixa-d’água, em litro, varia em função do tempo t, em hora, de acôr-doacordo com a lei q(t) = −8t + 1.000.

Para saber em quanto tempo esse vazamento esvaziará a caixa-d'água, considerando quêque o registro de entrada de á guaágua na caixa permaneça fechado, podemos determinar o zero dessa função. Nesse caso, temos:

−8t + 1.000 = 0 ⇒ −8t = −1.000 ⇒ t = 125

Portanto, nas condições apresentadas, o vazamento esvaziará essa caixa-d’água em 125 horas.

Geometricamente, essa situação também pódepode sêrser interpretada por meio do gráfico da função, como indicado a seguir.

Pense e responda

D(q) = [0, 125] e Im(q) = [0, 1000]

Página cento e vinte e três123

Taxa de variação

Utilizamos, neste Capítulo, uma função dada por p(x) = 4,25x + 6 para representar a relação entre o preêçopreço de uma corrida de táxi, em reais, e a distância percorrida, em kilometro.

Observe a seguir o gráfico dessa função, verificando quêque, nessa situação, temos x > 0.

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes respondam quêque o domínio da função é o conjunto formado pêlospelos valores reais maiores do quêque 0, porque x representa a distância percorrida pelo táxi, e a distância percorrida pelo táxi é um valor positivo.

R$ 4,25

Perceba quêque, na situação apresentada, há uma variação nos valores da função p à medida quêque os valores correspondentes de x também varíamvariam. Estudaremos, agora, uma maneira de fazer essa análise utilizando a taxa de variação média.

pôdêmosPodemos determinar a taxa de variação média da função afim f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = ax + b, em um intervalo [x₁, x₂], com x₁ ≠ x₂, da seguinte maneira:

$$\begin{array}{c}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{a{x}_2+b-(a{x}_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a\end{array}$$

Logo, a taxa de variação média da função afim definida por f(x) = ax + b, em relação a x, é dada pelo coeficiente a.

O coeficiente a é também conhecido como coeficiente angular ou declividade da reta, pois esse coeficiente está relacionado ao ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x quando os eixos coordenados apresentam a mesma escala.

O coeficiente b, denominado coeficiente linear dessa reta, é a ordenada do ponto em quêque o gráfico da função afim intersecta o eixo y.

Página cento e vinte e quatro124

Observe e compare, em um mesmo sistema cartesiano, o gráfico de algumas funções afins, considerando diferentes valores de a.

• f(x) = x + 1

• g(x) = 2x + 1

• h(x) = 5x + 1

• i(x) = $\frac{1}{2}x$ + 1

• j(x) = −x + 1

Observe e compare, agora, em um mesmo sistema cartesiano, o gráfico de algumas funções afins, considerando diferentes valores de b.

• m(x) = $\frac{1}{2}x$

• n(x) = $\frac{1}{2}x$ + 1

• p(x) = $\frac{1}{2}x$ − 1

• q(x) = $\frac{1}{2}x$ − 2

Note quêque os gráficos das funções afins com o mesmo coeficiente a têm a mesma inclinação em relação ao eixo x, ou seja, são retas paralelas entre si.

Pense e responda

A representação com o coeficiente a fixo e o coeficiente b variando.

Agora, acompanhe a situação a seguir.

Interessado em comprar um apartamento, Maurício fez uma pesquisa em sáitessites de vendas de imóveis focando as buscas em uma região de interêsseinteresse. Após verificar uma grande quantidade de opções, ele calculou a média dos preços dos apartamentos por área e, com os dados, construiu o seguinte qüadroquadro.

Página cento e vinte e cinco125

Ele colocou os valores médios dos apartamentos em função da área em um aplicativo e observou, no gráfico gerado, quêque os pontos obtidos não estavam sobre uma única reta (Figura 1), mas quêque era possível obtêrobter uma reta (Figura 2) quêque o auxiliasse a analisar o comportamento dêêssesdesses valores.

Maurício obteve a lei de uma função afim para quêque pudesse modelar essa situação e fazer uma estimativa do valor médio de apartamentos com área de 150 m². Observe como ele fez isso.

Inicialmente, Maurício utilizou os pontos (70, 440) e (90, 620), pertencentes à reta, para calcular o coeficiente a.

$$a=\frac{620-440}{90-70}=\frac{180}{20}=9$$

Assim, ele escreveu a lei da função como y = 9x + b.

Em seguida, calculou o coeficiente linear b substituindo as coordenadas do ponto (70, 440) na lei da função.

440 = 9 ⋅ 70 + b ⇒ b = 440 − 630 ⇒ b = −190

Desse modo, obteve a lei da função dada por f(x) = 9x − 190 e calculou f(150).

f(150) = 9 ⋅ 150 − 190 = 1.350 − 190 = 1.160

Portanto, a estimativa de Maurício é de quêque um apartamento com 150 m² de área tenha um valor médio próximo de R$ 1.160.000,00.

Pense e responda

O preêçopreço de serviços em função do tempo é um exemplo de situação do dia a dia em quêque a relação entre duas variáveis numéricas pódepode sêrser representada por uma função afim.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

9. Considere a função afim dada por f(x) = −3x + 5 e determine:

a) o valor da função para x = 0;

b) o zero da função.

Resolução

a) Para determinar f(0), substituímos o valor de x na lei da função dada.

f(0) = −3 ⋅ 0 + 5 ⇒ f(0) = 5

Portanto, o valor da função para x = 0 é f(0) = 5.

b) Para determinar o zero da função, devemos calcular x para quêque f(x) = 0. Assim, temos:

−3x + 5 = 0 ⇒ −3x = −5 ⇒ x = $\frac{5}{3}$