CAPÍTULO 4
FUNÇÃO QUADRÁTICA

O Toxotes jaculatrix, também conhecido como “peixe-arqueiro”, é uma espécie quêque habita as á guaáguas do oceano Índico e do Pacífico Sul. Sua habilidade notável de caça consiste em atirar jatos de água em insetos, aranhas e até mesmo pequenos pássaros quêque estejam próximos à superfícíesuperfície da á guaágua. Com uma precisão incrível, esse peixe é capaz de ajustar o ângulo e a fôrçaforça do jato de á guaágua, derrubando suas presas e garantindo sua refeição.

Como parte de sua técnica, o peixe-arqueiro cria um vácuo em sua bôcaboca e, em seguida, dispara um jato de á guaágua com sua língua em direção à presa. Essa habilidade de arremesso de á guaágua é uma adaptação surpreendente quêque torna o peixe dessa espécie um mestre na ár-tearte da caça, demonstrando a engenhosidade e a versatilidade das criaturas aquáticas em seu ambiente natural.

A trajetória do jato de á guaágua é semelhante a uma parte de uma curva conhecida como parábola, quêque pódepode sêrser representada matematicamente por uma função quadrática, assunto quêque será estudado neste Capítulo.

Elaborado com base em: OCEANÁRIO DE LISBOA. Peixe-arqueiro, um mestre da física. Um oceano para ensinar, Lisboa, n. 30, p. 1-6, jul. 2024. Disponível em: https://livro.pw/imcph. Acesso em: 11 out. 2024.

S = {−5, 5}

S = {0, 4}

S = {−4, 2}

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Página cento e quarenta e quatro144

Introdução

No Capítulo anterior, você estudou algumas ideias associadas aos conceitos de função e de função afim e aprendeu como esses conceitos matemáticos podem contribuir para a compreensão e a análise de situações do dia a dia. Neste Capítulo, ampliaremos esse estudo abordando as funções quadráticas.

Situações envolvendo trajetórias parabólicas, como lançamentos de projéteis, podem sêrser modeladas por meio de funções quadráticas, assim como certos tipos de movimentos estudados pela Física. Além díssudisso, alguns objetos, como antenas parabólicas e faróis de veículos, são construídos utilizando-se propriedades da parábola, a curva quêque representa o gráfico de funções quadráticas. Na Arquitetura e na Engenharia, há muitos exemplos de construções quêque utilizam a curva da parábola.

Função quadrática

A função quadrática também pódepode sêrser denominada função polinomial do 2º grau, pois as relações entre a variável dependente e a variável independente são expressas por polinômios do 2º grau.

Os números a, b e c são os coeficientes (ou parâmetros) da função, sêndosendo a o coeficiente do termo x², b o coeficiente do termo x e c o coeficiente independente.

Pense e responda

Porque, para quêque um polinômio seja de 2º grau, é preciso quêque exista o termo em x². Caso tivéssemos a = 0, o termo ax² se anularia, e teríamos uma função definida por f(x) = bx + c, quêque é a lei de uma função afim.

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Observe a seguir a lei de formação de algumas funções quadráticas.

a) f(x) = x² − 3x + 2, em quêque os coeficientes são: a = 1, b = −3 e c = 2.

b) g(x) = 0,8x² − 1, em quêque os coeficientes são: a = 0,8, b = 0 e c = −1.

c) y = −x² + $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}x\end{array}$,em quêque os coeficientes são: a = −1, b = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ e c = 0.

d) y = −5x², em quêque os coeficientes são: a = −5, b = 0 e c = 0.

Não são leis de funções quadráticas:

• h(x) = 7x

• y = x⁴ + 2x²

• y = 5x

Agora, considere a situação a seguir.

Elisa possui uma loja quêque vende capas para celular. Estudando como maximizar os seus lucros, ela obteve uma função quadrática quêque modela o lucro diário L, em reais, da loja em relação ao preêçopreço pelo qual cada capa é vendida, também em reais. Essa função é dada pela lei L(x) = −x² + 55x − 250.

Saiba quêque...

A fórmula utilizada por Elisa considera cértocerto preêçopreço de custo da capa e uma relação de dependência entre a quantidade de vendas e o preêçopreço de venda de cada capa.

Utilizando essa lei, Elisa calculou o lucro diário de sua loja supondo quêque cada capa fosse vendida a R$ 20,00. O cálculo quêque ela fez está representado a seguir.

L(20) = −(20)² + 55 ⋅ 20 − 250

L(20) = −400 + 1.100 − 250

L(20) = 450

Assim, Elisa verificou quêque vender cada capa a R$ 20,00 gera um lucro diário de R$ 450,00, considerando a função L.

Pense e responda

Não, pois, na lei da função, não há uma variável quêque corresponda à quantidade de capas.

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Gráfico da função quadrática

Tomás utilizou o GeoGebra para observar como é o gráfico de uma função quadrática. Ele utilizou a lei de duas funções para representar os respectivos gráficos e obteve duas curvas, chamadas de parábolas, como podemos verificar a seguir.

a) Gráfico da função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x² − 2x − 3.

b) Gráfico da função g: ℝ → ℝ definida por g(x) = −x² + 6x − 5.

Pense e responda

Espera-se quêque os estudantes respondam quêque o gráfico da função f tem a "abertura" voltada para cima, e o gráfico da função g tem a"abertura" voltada para baixo.

É possível demonstrar quêque o gráfico de uma função quadrática é uma parábola quêque pódepode ter sua concavidade voltada para cima, se o coeficiente a for positivo, ou para baixo, se a for negativo.

Destacamos também quêque, para qualquer função quadrática, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y é o ponto de coordenadas (0, c), em quêque c é o coeficiente independente na lei da função quadrática. Observe:

Considerando a lei f(x) = ax² + bx + c, temos f(0) = a ⋅ 0² + b ⋅ 0 + c; portanto, f(0) = c.

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Assim como aprendemos no estudo de função afim, para construir o gráfico da função quadrática, podemos elaborar uma tabélatabela com alguns valores de x e calcular os valores de y correspondentes para obtermos alguns pontos pertencentes ao gráfico da função dada. No entanto, no caso da função quadrática, precisamos de mais do quêque dois pontos para termos uma noção do traçado da parábola.

Acompanhe alguns exemplos.

a) Gráfico da função quadrática definida por f(x) = −x² + 4x − 4.

Inicialmente, construímos uma tabélatabela com alguns valores de x e calculamos y = f(x).

Em seguida, localizamos, no sistema cartesiano, os pontos (x, y) pertencentes ao gráfico da função f e esboçamos a parábola quêque contém esses pontos.

Como a < 0, a parábola terá concavidade voltada para baixo.

b) Gráfico da função quadrática definida por h(x) = 2x² − 4x + 3.

Assim como no exemplo anterior, construímos uma tabélatabela com alguns valores de x e calculamos y = h(x). Em seguida, localizamos, no sistema cartesiano, os pontos (x, y) pertencentes ao gráfico da função h e esboçamos a parábola quêque contém esses pontos.

Como a > 0, nesse caso, a parábola terá concavidade voltada para cima.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Considere o gráfico de uma função quadrática f representado a seguir e faça o quêque se pede em cada item.

a) Sabendo quêque os pontos A, B, C, D e E pertencem ao gráfico de f, escrêevaescreva a lei de formação dessa função.

b) Calcule f(10) − f(6) + f(−1).

c) Todos os dados fornecidos pelo enunciado foram utilizados na resolução do item a? O quêque teria acontecido caso outros pontos tivessem sido escolhidos?

Resolução

a) A lei de formação da função quadrática é dada por f(x) = ax² + bx + c. Para determinar a lei de formação da função representada pelo gráfico dado, precisamos obtêrobter os coeficientes a, b e c.

Inicialmente, escrevemos os pares ordenados dos pontos A, B, C, D e E:

A(0, 2); B(1, −1); C(2, −2); $\begin{array}{c}D(2+\sqrt[]{3},1)\end{array}$; E(−1, 7).

Sendo assim, verificamos quêque f(0) = 2, f(1) = −1, f(2) = $\begin{array}{c}-2,f(2+\sqrt[]{3})\end{array}$ _ = 1 e f(−1) = 7.

Sabemos quêque o ponto de intersecção da parábola com o eixo y é o ponto de coordenadas (0, c), quêque corresponde ao ponto A(0, 2). Então, concluímos quêque c = 2.

Para determinar os coeficientes a e b, escolhemos outros dois pontos quaisquer e substituímos suas coordenadas na lei de formação. Escolhendo os pontos B e C, temos:

f(1) = −1 ⇒ a ⋅ 1² + b ⋅ 1 + 2 = −1 ⇒

⇒ a + b = −3 I

f(2) = −2 ⇒ a ⋅ 2² + b ⋅ 2 + 2 = −2 ⇒

⇒ 4a + 2b = −4 II

As equações I e II formam um sistema de equações:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}a+b=-3\\ 4a+2b=-4\end{array}\end{array}$$

Multiplicando ambos os membros da primeira equação por −2, temos:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}-2a-2b=6\\ 4a+2b=-4\end{array}\end{array}$$

Adicionando, membro a membro, essas equações, temos:

2a = 2

a = 1

Substituindo a = 1 em I, temos:

1 + b = −3

b = −4

Como a = 1, b = −4 e c = 2, a lei de formação da função f é f(x) = x² − 4x + 2.

b) f(10) = 10² − 4 ⋅ 10 + 2 = 100 − 40 + 2 = 62

f(6) = 6² − 4 ⋅ 6 + 2 = 36 − 24 + 2 = 14

f(−1) = (−1)² − 4 ⋅ (−1) + 2 = 1 + 4 + 2 = 7

Portanto:

f(10) − f(6) + f(−1) = 62 − 14 + 7 = 55

c) Observando a resolução do item a, percebemos quêque foram utilizadas as informações a respeito dos pontos A, B e C. Os pontos D e E não foram utilizados.

Caso tivéssemos escolhido os pontos D e E, em vez dos pontos B e C, teríamos chegado à mesma resposta.

2. Considere uma função quadrática h, definida por h(x) = (3m − 15)x² + 6x $-\frac{5}{4}$,com m ∈ ℝ.

Determine o valor de m para quêque a parábola correspondente ao gráfico de h tenha concavidade voltada para cima.

Resolução

Para quêque o gráfico da função h tenha a concavidade voltada para cima, o coeficiente do termo x² deve sêrser maior do quêque zero. Nesse caso, temos:

3m − 15 > 0

3m > 15

m > 5

Portanto, o gráfico de h terá a concavidade voltada para cima para todo número real m > 5.

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ATIVIDADES

1. Considere a função definida por f(x) = x² − 5x + 4 e calcule:

a) f(0)

4

b) f(−4)

40

c) $f\left(\frac{1}{2}\right)$

$\frac{7}{4}$

d) $\begin{array}{c}f\left(\sqrt[]{2}\right)\end{array}$

6 − $\begin{array}{c}5\sqrt[]{2}\end{array}$

2. Um objeto é lançado para cima, a partir do solo, e sua altura h, em métrometro, varia em função do tempo t, em segundo, decorrido após o lançamento. Supondo quêque a lei dessa função seja h(t) = 30t − 5t², qual será a altura do objeto 3 segundos após o lançamento?

45 metros

3. A soma S dos n primeiros números naturais diferentes de zero (1 + 2 + 3 + 4 +... + n) pódepode sêrser calculada utilizando a função quadrática dada por S(n) = $\begin{array}{c}\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\end{array}$.

Qual é a soma dos 50 primeiros números naturais diferentes de zero?

1.275

4. Mensalmente, uma fábrica produz x unidades de cértocerto produto. Sua produção é vendida por (500 − x) reais a unidade. Cada unidade dêêssedesse produto tem um custo de R$ 100,00. Além díssudisso, a fábrica tem uma despesa mensal fixa de R$ 10.000,00.

a) Sabendo quêque o lucro é calculado pela diferença entre a receita das vendas e a despesa, escrêevaescreva a lei da função quêque determina o lucro mensal L dessa fábrica, em reais, em função de x.

L(x) = −x² + 400x − 10.000

b) De quantos reais será o lucro quando a fábrica vender 100 produtos?

R$ 20.000,00

5. Uma função quadrática f é tal quêque f(0) = 6, f(1) = 2 e f(−2) = 20. Determine o valor de $f\left(\frac{1}{2}\right)$.

$\frac{15}{4}$

6. Esboce, no sistema cartesiano, o gráfico de cada função quadrática definida a seguir.

a) y = −x²

c) y = −x² + 6x − 9

b) y = x² − 4

d) y = x² − 5x

Ver as Orientações para o professor.

7. Determine o valor de m para quêque a parábola quêque representa a função definida por y = 3x² − x + m passe pelo ponto (1, 6).

m = 4

8. (UEA-AM) A representação gráfica, no plano cartesiano, da função f(x) = x² − bx + c, em quêque b e c são números reais, passa pêlospelos pontos A(0, 5), C(5, 0) e D.

alternativa d

Sabendo quêque os pontos A e D possuem a mesma ordenada, as coordenadas do ponto D são:

a) (5, 6)

b) (6, 0)

c) (5, 5)

d) (6, 5)

e) (6, 6)

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EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Os coeficientes da função quadrática e a parábola

Aprendemos quêque o sinal do coeficiente a indica se a concavidade da parábola correspondente ao gráfico de uma função quadrática está voltada para cima ou para baixo.

Agora, vamos utilizar o GeoGebra para analisar como outras mudanças nos coeficientes da lei de uma função quadrática influenciam no gráfico correspondente.

Para isso, realize, inicialmente, a sequência de passos a seguir.

I. No campo de entrada do GeoGebra, digite “f(x) = x^2” e pressione Enter.

II. No campo de entrada, digite “g(x) = ax^2” e pressione Enter. Será criado, automaticamente, um contrôlecontrole deslizante para o coeficiente a. Altere a posição do ponto ao longo do contrôlecontrole para alterar o valor de a e obissérveobserve o quêque acontece com o gráfico de g, comparando-o com o gráfico de f.

III. Na janela de Álgebra, clique na bó-linhabolinha colorida da lei da função g para ocultar o gráfico de g. Em seguida, no campo de entrada do GeoGebra, digite “h(x) = x^2 + bx” e pressione Enter. Um contrôlecontrole deslizante para o coeficiente b será criado. Altere a posição do ponto ao longo do contrôlecontrole para alterar o valor de b e obissérveobserve o quêque acontece com o gráfico de h, comparando-o com o gráfico de f.

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IV. Na janela de Álgebra, clique na bó-linhabolinha colorida da lei da função h para ocultar o gráfico da função. No campo de entrada, digite “j(x) = x^2 + c” e pressione Enter. Um contrôlecontrole deslizante será criado para o coeficiente c. Altere a posição do ponto ao longo do contrôlecontrole para alterar o valor de c e obissérveobserve o quêque acontece com o gráfico de j, comparando-o com o gráfico de f.

V. Na janela de Álgebra, clique nas bó-linhasbolinhas para ocultar ou exibir os gráficos construídos. Manipule-os e faça comparações, analisando o comportamento das funções.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Ao deslizar o contrôlecontrole do coeficiente a, comparando o gráfico da função g com o da função f, o quêque você observou?

2. Ao deslizar o contrôlecontrole do coeficiente b, comparando o gráfico da função h com o da função f, o quêque você observou?

3. Ao deslizar o contrôlecontrole do coeficiente c, comparando o gráfico da função j com o da função f, o quêque você observou?

4. Na janela de Álgebra, clique nas bó-linhasbolinhas para ocultar os gráficos das funções f, g, h e j.

Em seguida, no campo de entrada, digite “t(x) = ax^2 + bx + c” e pressione Enter.

Manipule os controles para verificar o gráfico de diferentes funções, aproveitando para representar os gráficos de funções apresentadas anteriormente neste Capítulo.

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Zeros da função quadrática

Já estudamos quêque o zero de uma função é um valor de x quêque anula a função, ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0. Aprendemos também quêque, considerando a função afim, é possível determinar o zero da função definida por f(x) = ax + b resolvendo a equação ax + b = 0.

Para determinar os zeros de uma função quadrática, devemos proceder de maneira análoga: os zeros da função quadrática dada por y = ax² + bx + c são as raízes da equação ax² + bx + c = 0.

Agora, vamos explorar como resolver equações polinomiais do 2º grau aplicando uma fórmula resolutiva, também conhecida como fórmula de Bhaskara, na qual os coeficientes a, b e c são utilizados. Acompanhe como obtêrobter a fórmula.

Considere a equação ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0.

Portanto, a fórmula resolutiva da equação ax² + bx + c = 0 é dada por:

A expressão b² − 4ac, indicada pela letra grega (delta)"Δ (delta), é denominada discriminante da equação polinomial do 2º grau. Determinar $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\end{array}$ _ só tem sentido quando (delta)"Δ ≥ 0, caso contrário, a equação não possui raízes reais.

Saiba quêque...

A fatoração de um trinômio quadrado perfeito resulta no produto notável quadrado da soma de dois termos ou no produto notável quadrado da diferença de dois termos.

p² + 2pq + q² = (p + q)²

p² − 2pq + q² = (p − q)²

Saiba quêque...

O motivo pelo qual apareceu o sinal± no desenvolvimento da equação pódepode sêrser entendido por meio do seguinte exemplo simplificado.

Na equação x² = 9, busca-se um valor x quêque, elevado ao quadrado, resulte em 9.

Nesse caso, há duas soluções, −3 e 3, pois(−3)² = 9 e 3² = 9.

Desse modo, tem-se:

x² = 9 ⇒ x = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{9}\end{array}$ = ±3

De modo geral,

x² = m ⇒ x = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{m}\end{array}$.

Página cento e cinquenta e três153

Quando resolvemos a equação ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0, utilizando a fórmula resolutiva, deparamo-nos com uma das três situações a seguir.

I. Se (delta)"Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais e distintas.

Portanto, a função quadrática correspondente tem dois zeros:

x(minutos)"′ = $\begin{array}{c}\frac{-b+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$ _ e x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{-b-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$

II. Se (delta)"Δ = 0, então a equação possui duas raízes reais iguais.

Portanto, a função quadrática correspondente tem um zero:

x(minutos)"′ = x(segundos)"″ = $-\frac{b}{2a}$

III. Se (delta)"Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

Portanto, a função quadrática correspondente não tem zero.

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Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau

Pense e responda

−3 e 2

Considerando x(minutos)"′ e x(segundos)"″ as raízes reais da equação ax² + bx + c = 0, ou seja, x(minutos)"′ = $\begin{array}{c}\frac{-b+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$ e x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{-b-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$, podemos calcular a soma e o produto dessas raízes, como se verifica a seguir.

x(minutos)"′ + x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{-b+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$⇒ x(minutos)"′ + x(segundos)"″ = $\frac{-2b}{2a}$ ⇒ x(minutos)"′ + x(segundos)"″ = $-\frac{b}{a}$

x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ =$\begin{array}{c}\left(\frac{-b+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a})\cdot (\frac{-b-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)\end{array}$ ⇒ x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\end{array}$ ⇒

⇒ x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{b^2-(b^2-4\mathrm{ac})}{4a^2}\end{array}$ ⇒ x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ = $\begin{array}{c}\frac{4\mathrm{ac}}{4a^2}\end{array}$ ⇒ x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ = $\frac{c}{a}$

Portanto, a soma e o produto das raízes de uma equação de 2º grau são, respectivamente, x(minutos)"′ + x(segundos)"″ = $-\frac{b}{a}$ e x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ =$\frac{c}{a}$.

Forma fatorada da equação do 2º grau

Saiba quêque...

A forma “fatorada” de um polinômio é assim chamada porque resulta em uma expressão algébrica na forma de uma multiplicação. O adjetivo “fatorada” vêmvem de “fatores” de uma multiplicação.

Vamos utilizar a soma e o produto das raízes x(minutos)"′ e x(segundos)"″ de uma equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, para obtêrobter a forma fatorada da lei de formação da função quadrática correspondente, quêque é dada por f(x) = ax² + bx + c. Acompanhe a seguir.

Colocando em evidência o coeficiente a na lei da função, temos:

f(x) = $\begin{array}{c}a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\end{array}$ ⇒ f(x) = $\begin{array}{c}a[x^2-(-\frac{b}{a})x+\frac{c}{a}]\end{array}$

Como x(minutos)"′ + x(segundos)"″ = $-\frac{b}{a}$ e x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″ = $\frac{c}{a}$, temos:

f(x) = a [x² − (x(minutos)"′ + x(segundos)"″)x + x(minutos)"′ ⋅ x(segundos)"″]

Desenvolvendo e fatorando essa expressão, temos:

f(x) = a[x² − x(minutos)"′x − x(segundos)"″x + x(minutos)"′x(segundos)"″]

f(x) = a[x(x − x(minutos)"′) − x(segundos)"″(x − x(minutos)"′)]

f(x) = a(x − x(minutos)"′)(x − x(segundos)"″)

Portanto, a forma fatorada da lei da função quadrática é:

f(x) = a(x − x(minutos)"′)(x − x(segundos)"″)

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. Determine os zeros das funções quadráticas definidas a seguir.

a) f(x) = x² − 25

b) g(x) = x² + 8x

c) h(x) = x² + 3x − 4

Resolução

As equações do 2º grau em quêque algum dos coeficientes, b, c ou ambos, é nulo são chamadas de equações do 2º grau incompletas. Quando temos esse tipo de equação, é possível resolvê-la utilizando outros métodos, além da fórmula resolutiva, como será feito nos itens a e b a seguir.

a) Para encontrar os zeros da função f, devemos obtêrobter os valores de x para os quais f(x) = 0. Assim, devemos encontrar as raízes da equação do 2º grau:

x² − 25 = 0

Nesse caso, como b = 0, a equação é incompleta e pódepode sêrser resolvida isolando-se x diretamente:

x² − 25 = 0 ⇒ x² = 25 ⇒

⇒ x = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{25}\end{array}$ ⇒ x = ±5

Portanto, a equação possui duas raízes,

x(minutos)"′ = −5 e x(segundos)"″ = 5. Sendo assim, os zeros da função f são −5 e 5.

b) Para encontrar os zeros da função g, basta encontrar as raízes da equação:

x² + 8x = 0

Nesse caso, como c = 0, a equação é incompleta e pódepode sêrser resolvida utilizando-se fatoração. Acompanhe.

x² + 8x = 0 ⇒ x(x + 8) = 0

Como o produto entre os fatores x e x + 8 é zero, então:

x = 0 ou x + 8 = 0 ⇒ x = −8

Portanto, a equação possui duas raízes, x(minutos)"′ = 0 e x(segundos)"″ = −8. Sendo assim, os zeros da função g são 0 e −8.

c) Para encontrar os zeros da função h, basta encontrar as raízes da equação:

x² + 3x − 4 = 0

Nesse caso, como a = 1, b = 3 e c = −4, a equação do 2º grau é completa. Ela pódepode sêrser resolvida usando a fórmula resolutiva x = $\begin{array}{c}\frac{-b\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}$, em quêque (delta)"Δ = b² − 4ac.

Desse modo, tem-se:

(delta)"Δ = 3² − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4) = 25

x = $\begin{array}{c}\frac{-3\pm \sqrt[]{25}}{2}\end{array}$ ⇒ x = $\frac{-3\pm 5}{2}$

x(minutos)"′ = $\frac{-3-5}{2}$ = −4 e x(segundos)"″ = $\frac{-3+5}{2}$ = 1

Portanto, a equação possui duas raízes, x(minutos)"′ = −4 e x(segundos)"″ = 1. Assim, os zeros da função h são −4 e 1.

4. Elabore um fluxograma quêque retórneretorne, se houver, os zeros de uma função quadrática.

Resolução

Considerando quêque, dependendo do valor de (delta)"Δ, a função quadrática terá dois zeros distintos, um único zero ou não possuirá zeros reais; então, um possível fluxograma seria:

5. Seja a função definida por h(x) = x² − 2x + 3k.

Sabendo quêque essa função tem um único zero, determine o valor real de k.

Resolução

A condição para quêque a função tenha apenas um zero é (delta)"Δ = 0.

(delta)"Δ = b² − 4ac ⇒ (delta)"Δ = (−2)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 3k ⇒

⇒ (delta)"Δ = 4 − 12k

Fazendo (delta)"Δ = 0 em (delta)"Δ = 4 − 12k, temos:

4 − 12k = 0 ⇒ −12k = −4 ⇒

⇒ k = $\frac{-4}{-12}$ ⇒ k = $\frac{1}{3}$

Portanto, para quêque h tenha um único zero, devemos ter k = $\frac{1}{3}$.

Página cento e cinquenta e seis156

6. (UEA-AM) Durante um tratamento com medicina alternativa, uma pessoa deverá ingerir, apenas uma vez ao dia, durante os 10 primeiros dias do mês, determinado número de gotas de um medicamento. Sabendo quêque o número de gotas foi calculado através da função dada por g(x) = −x² + 10x, sêndosendo g(x) o número de gotas e x o dia do mês, com x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, é correto afirmar quêque essa pessoa ingeriu 16 gotas nos dias:

a) 2 e 8.

b) 2 e 9.

c) 3 e 8.

d) 3 e 9.

e) 5 e 6.

Resolução

Como g(x) representa o número de gotas, considera-se g(x) = 16. Assim, temos:

16 = −x² + 10x ⇒ x² − 10x + 16 = 0

(delta)"Δ = (−10)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 36

x = $\begin{array}{c}\frac{-(-10)\pm \sqrt[]{36}}{2\cdot 1}=\frac{10\pm 6}{2}\end{array}$ _

Logo, x(minutos)"′ = 2 e x(segundos)"″ = 8.

Portanto, a resposta é a alternativa a.

ATIVIDADES

9. Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas definidas a seguir.

a) y = x² − 6x + 5

x(minutos)"′ = 1; x(segundos)"″ = 5

b) y = 3x² − 4x

x(minutos)"′ = 0; x(segundos)"″ = $\frac{4}{3}$

c) y = −x² + x − 3

A função não tem zeros.

d) y = x² − 9

x(minutos)"′ = −3; x(segundos)"″ = 3

e) y = −6x²

x(minutos)"′ = x(segundos)"″ = 0

f) y = 4x² − x + $\frac{3}{5}$

A função não tem zeros.

10. Calcule k de modo quêque a função dada por y = kx² − 2x + 3 admita o valor 2 como um de seus zeros.

k = $\frac{1}{4}$

11. Considerando a função definida por f(x) = ax² + bx + 10, determine a e b, sabendo quêque seus zeros são −2 e 5. Em seguida, faça um esboço do gráfico dessa função.

Ver as Orientações para o professor.

12. Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x² + 2mx + 16. Determine m ∈ ℝ de modo quêque:

a) a função f tenha um único zero;

m = ±4

b) o gráfico da função f passe pelo ponto (2, −4).

m = −6

13. Determine o parâmetro real k de modo quêque a função f(x) = x² − 2x + k tenha:

a) dois zeros;

k < 1

b) um único zero;

k = 1

c) nenhum zero.

k > 1

14. (hú éfe ême gêUFMG) Um cértocerto reservatório, contendo 72 m³ de á guaágua, deve sêrser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de á guaágua quêque saiu do reservatório, em m³, é dado por V(t) = 24t − 2t². Sabendo-se quêque a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às:

alternativa b

a) 14 horas.

b) 16 horas.

c) 19 horas.

d) 22 horas

Página cento e cinquenta e sete157

15. Dadas as funções definidas por f(x) = (x + 1)(x − 3) e g(x) = $\frac{x}{2}$ + 3, determine:

a) os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas;

(−1, 0) e (3, 0)

b) o ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas;

(0, −3)

c) o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas;

(0, 3)

d) o ponto de intersecção da reta com a parábola situado no 2º quadrante.

$$(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$$

16. (hú éfe pê érreUFPR) A distância quêque um automóvel percórrepercorre a partir do momento em quêque um condutor pisa no freio até a parada total do veículo é chamada de distância de frenagem. Suponha quêque a distância de frenagem d, em metros, possa sêrser calculada pela fórmula d(v) = $\frac{1}{120}$ (v² + 8v), sêndosendo v a velocidade do automóvel, em kilometros por hora, no momento em quêque o condutor pisa no freio.

a) Qual é a distância de frenagem de um automóvel quêque se desloca a uma velocidade de 40 km/h?

16 m

b) A quêque velocidade um automóvel deve estar para quêque sua distância de frenagem seja de 53,2 m?

76 km/h

FÓRUM

Página cento e cinquenta e oito158

Vértice da parábola

O vértice V da parábola de uma função quadrática f é um ponto do gráfico no qual identificamos uma mudança de comportamento de crescente para decrescente ou, ao contrário, de decrescente para crescente da função f. Isto é, seja V(x_V, y_V) o vértice da parábola da função quadrática f: ℝ → ℝ, se f é decrescente no intervalo]−∞, x_V], ela é crescente em [x_v, +∞[, ou se f é crescente no intervalo]−∞, x_V], ela é decrescente em [ x_V, +∞[.

O eixo de simetria da parábola de uma função quadrática é a reta r, perpendicular ao eixo x, quêque passa pelo vértice V.

Observe, na figura 1, o gráfico de uma função quadrática f e o vértice V(x_V, y_V) destacado.

Acompanhe a seguir uma maneira de obtêrobter as coordenadas do vértice.

Considere f uma função quadrática dada por f(x) = ax² + bx + c e dois pontos pertencentes ao gráfico de f quêque têm ordenadas iguais. Sabemos quêque esses pontos estão à mesma distância do eixo de simetria da parábola e quêque êsteeste, por sua vez, é perpendicular ao eixo x e cruza esse mesmo eixo no ponto de abscissa x_V do vértice.

pôdêmosPodemos, então, indicar as coordenadas dêêssesdesses dois pontos por P(x_V − k, y₀) e Q(x_V + k, y₀), em quêque k ≠ 0 é a diferença entre as abscissas de V e de P, e de Q e de V, como pódepode sêrser verificado na figura 2.

Como as ordenadas dos pontos P e Q são iguais, temos:

f(x_V − k) = f(x_V + k)

Substituindo esses valores na lei da função f, temos:

a(x_V − k)² + b(x_V − k) + c = a(x_V + k)² + b(x_V + k) + c ⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒ −2ax_Vk − 2ax_Vk = bk + bk ⇒ −4ax_Vk = 2bk ⇒

⇒ x_V = $\frac{2\mathrm{bk}}{-4\mathrm{ak}}$ ⇒ x_V = $-\frac{b}{2a}$

Para calcular a ordenada y_V do vértice, substituímos, na lei da função, o valor de x_V obtídoobtido. Nesse caso, temos:

y_V = f(x_V) = $\begin{array}{c}a{(-\frac{b}{2a})}^2+b(-\frac{b}{2a})\end{array}$ + c ⇒

⇒ y_V = a ⋅ $\begin{array}{c}\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}\end{array}$ + c ⇒ y_V = $\begin{array}{c}\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}\end{array}$ + c ⇒

⇒ y_V = $\begin{array}{c}\frac{b^2-2b^2+4\mathrm{ac}}{4a}\end{array}$ ⇒ y_V = $\begin{array}{c}-\frac{b^2-4\mathrm{ac}}{4a}\end{array}$ ⇒ y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$

Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são $V(-\frac{b}{2a},-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a})$.

Saiba quêque...

Para facilitar o esboço do gráfico de uma função quadrática, podem-se utilizar pontos específicos, como o vértice da parábola, o ponto em quêque a parábola intersecta o eixo y e, se houver, os zeros da função.

Página cento e cinquenta e nove159

Valor mínimo e valor mássimomáximo da função quadrática

Ao esboçarmos o gráfico de uma função quadrática f, dada por f(x) = ax² + bx + c, consideramos o sinal do coeficiente a para identificar se a concavidade da parábola será voltada para cima ou voltada para baixo.

Utilizando esse esboço, podemos verificar, entre outras propriedades, quêque a função f tem um valor mínimo ou um valor mássimomáximo, quêque corresponde à ordenada do vértice da parábola.

Nesse caso, se a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima, e temos três situações possíveis para o gráfico:

Observe quêque, nos três casos, o vértice V da parábola é o ponto cuja ordenada é o menor valor assumido pela função para todo x ∈ D(f), chamado também de ponto de mínimo da função. A ordenada de V, quêque pódepode sêrser ôbitídaobtida por y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$, é o valor mínimo da função, quêque ocorre quando x_V = $-\frac{b}{2a}$.

De maneira análoga, se a < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo, e temos outras três possibilidades para o gráfico da função:

Considerando esses três casos, o vértice V da parábola é o ponto cuja ordenada é o maior valor assumido pela função para todo x ∈ D(f), chamado também de ponto de mássimomáximo da função. A ordenada de V, quêque pódepode sêrser ôbitídaobtida por y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$, é o valor mássimomáximo da função, quêque ocorre quando x_V = $-\frac{b}{2a}$.

Página cento e sessenta160

Pense e responda

R$ 506,25

Exploramos, no início dêstedeste Capítulo, uma situação na qual o lucro diário de uma loja de capas para celular é modelado por uma função quadrática. Nessa situação, o lucro L, em reais, é função do preêçopreço x pelo qual cada capa é vendida, também em reais, e é expresso por L(x) = −x² + 55x − 250.

Como, nesse caso, a < 0, a ordenada do vértice V da parábola é o maior valor assumido pela função.

Utilizando a coordenada x_V do vértice, podemos determinar o preêçopreço pelo qual cada capa deve sêrser vendida para quêque a loja obtenha o maior lucro diário, de acôr-doacordo com essa função.

x_V = − $-\frac{b}{2a}$ ⇒ x_V = $-\frac{55}{2(-1)}$ ⇒ x_V = $\frac{55}{2}$ ⇒ x_V = 27,5

Logo, para quêque a loja obtenha o maior lucro diário, cada capa de celular deve sêrser vendida por R$ 27,50.

Imagem da função quadrática

Utilizando as coordenadas do vértice da parábola correspondente ao gráfico de uma função quadrática f, podemos determinar o seu conjunto imagem.

Aprendemos quêque, quando a > 0, o vértice V é o ponto de mínimo da função, e y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$ é o valor mínimo quêque a função assume, ou seja, é o menor valor de imagem da função.

Por outro lado, quando a < 0, o vértice V é o ponto de mássimomáximo da função, e y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$ é o valor mássimomáximo quêque a função assume, ou seja, é o maior valor de imagem da função.

Página cento e sessenta e um161

Crescimento e decrescimento da função quadrática

Estudamos anteriormente quando uma função real de variável real é crescente em um intervalo e quando ela é decrescente. Estudaremos, agora, o comportamento da função quadrática em relação a crescimento e decrescimento.

Acompanhe a situação a seguir.

Em determinado momento de uma coreografia de ginástica rítmica, uma bola é lançada do solo verticalmente para cima. A altura h da bola em relação ao solo, em métrometro, varia de acôr-doacordo com o tempo t, em segundo, conforme a lei h(t) = −5t² + 10t, considerando 0 ≤ t ≤ 2.

Observe o gráfico quêque representa a função h.

A função h é crescente no intervalo [0, 1], pois, à medida quêque t aumenta nesse intervalo, h(t) também aumenta. Em outras palavras, para quaisquer valores de t₁ e t₂ pertencentes a [0, 1], com t₁ < t₂, temos h(t₁) < h(t₂).

Por outro lado, a função h é decrescente no intervalo [1, 2], pois, à medida quêque t aumenta nesse intervalo, h(t) diminui. Em outras palavras, para quaisquer valores de t₁ e t₂ pertencentes a [1, 2], com t₁ < t₂, temos h(t₁) > h(t₂).

Pense e responda

5 metros. Isso acontece em t = 1 s.

Não. A partir de t = 1, à medida quêque t aumenta, h(t) diminui.

Página cento e sessenta e dois162

De modo geral, podemos estudar o crescimento e o decrescimento da função quadrática definida por f(x) = ax² + bx + c com base no valor de a e na abscissa x_V do vértice da parábola, como indicado a seguir.

Considere, por exemplo, a função definida por f(x) = x² − 4x + 3.

Calculando a abscissa x_V do vértice da parábola correspondente, temos:

x_V = $-\frac{b}{2a}$ ⇒ x_V = $-\frac{(-4)}{2\cdot 1}$ ⇒ x_V = 2

Assim, como a > 0, essa função é decrescente no intervalo]−∞, 2] e crescente no intervalo [2, +∞[. Isso também pódepode sêrser observado por meio do gráfico a seguir.

Página cento e sessenta e três163

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Determine as coordenadas do vértice V da parábola quêque representa a função dada por f(x) = −5x² + 3x − 1.

Resolução

Os coeficientes da lei da função são a = −5, b = 3 e c = −1.

Além díssudisso, (delta)"Δ = 3² − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−1) = −11.

Calculando as coordenadas do vértice, obtemos:

x_V = $-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot (-5)}=\frac{3}{10}$

y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=-\frac{(-11)}{4\cdot (-5)}=-\frac{11}{20}$

Logo, as coordenadas do vértice são $\begin{array}{c}\left(\frac{3}{{10}^{\text{'}}},-\frac{11}{20}\right)\end{array}$

8. Determine as coordenadas do vértice da parábola quêque representa a função quadrática f cujos zeros são −5 e −3 e o coeficiente a é igual a 1.

Resolução

pôdêmosPodemos utilizar os zeros da função para escrever a lei de f na sua forma fatorada.

f(x) = 1(x + 5)(x + 3) ⇒ f(x) = x² + 8x + 15

Assim, os coeficientes da lei dessa função são a = 1, b = 8 e c = 15.

Calculando as coordenadas do vértice, obtemos:

x_V = $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 1}$ = −4

y_V = f(x_V) ⇒ y_V = f(−4) ⇒

⇒ y_V = (−4)² + 8 ⋅ (−4) + 15 ⇒

⇒ y_V = 16 − 32 + 15 = −1

Portanto, o vértice da parábola quêque representa a função f tem coordenadas (−4, −1).

9. Uma empresa calculou quêque a produção mensal de x unidades de um cértocerto produto gera um lucro mensal, em reais, de 150 − $\frac{x}{4}$ por unidade do produto. Responda aos itens.

a) Qual é a lei da função quêque representa o lucro, em reais, em relação à quantidade de produtos produzidos por mês?

b) Qual é o lucro mássimomáximo mensal quêque essa empresa pódepode ter com a venda dêêssedesse produto?

Resolução

a) Para obtêrobter a lei dessa função, multiplicamos a quantidade de produtos produzidos por mês pelo valor correspondente ao lucro unitário. Assim, temos:

L(x) = x ⋅ $(150-\frac{x}{4})$ ⇒ L(x) = 150x $\begin{array}{c}-\frac{x^2}{4}\end{array}$

A lei da função é L(x) = 150x $\begin{array}{c}-\frac{x^2}{4}\end{array}$.

b) O lucro mássimomáximo mensal é obtídoobtido pelo cálculo da ordenada do vértice do gráfico dessa função.

y_v = $\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=-\frac{(150{)}^2}{4\cdot (-\frac{1}{4})}=\end{array}$

= $\frac{-22500}{-1}$ = 22.500

Assim, o lucro mássimomáximo mensal é de R$ 22.500,00.

10. Considere uma função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x² − 3x + 2.

a) Em qual intervalo real essa função é crescente?

b) Determine o conjunto imagem dessa função.

Resolução

a) Como a > 0, a função f é crescente no intervalo [x_V,+∞[.

Calculando a abscissa x_V do vértice da parábola, temos:

x_V = $-\frac{b}{2a}=-\frac{(-3)}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}$

Logo, a função f é crescente no intervalo

$$\left[\frac{3}{2}\mathrm{},\mathrm{}+\mathrm{\infty }.\right[$$

b) Para determinar o conjunto imagem da função f, determinamos inicialmente a ordenada y_V do vértice da parábola. Nesse caso, temos:

y_V = $\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=-\frac{(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2}{4}\end{array}$

y_V = $-\frac{1}{4}$

Página cento e sessenta e quatro164

Como a > 0, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima, e y_V é o valor mínimo da função, como podemos verificar a seguir.

Assim, f(x) ≥ $-\frac{1}{4}$ para todo x ∈ ℝ.

Portanto, Im(f) = $\{y\in \mathbb{R}|y⩾-\frac{1}{4}\}$.

11. (EsPCEx-SP) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda dêstedeste produto é V(x) = 3x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² − 40x − 40.

Sabendo quêque o lucro é obtídoobtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais quêque essa indústria deve vender para obtêrobter lucro mássimomáximo é igual a

a) 4 lotes.

b) 5 lotes.

c) 6 lotes.

d) 7 lotes.

e) 8 lotes.

Resolução

Inicialmente, determinamos a expressão do lucro L(x) dessa indústria em função do número de lotes x produzidos em um mês.

Do enunciado, temos L(x) = V(x) − C(x).

Assim:

L(x) = 3x² − 12x − (5x² − 40x − 40)

L(x) = 3x² − 12x − 5x² + 40x + 40

L(x) = −2x² + 28x + 40

O gráfico da função correspondente ao lucro é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois a < 0.

Portanto, o número de lotes mensais quêque devem sêrser produzidos para quêque a indústria obtenha lucro mássimomáximo é o valor da abscissa x_V do vértice.

$$\begin{array}{c}{x}_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{28}{2\cdot (-2)}=\frac{-28}{-4}=7\end{array}$$

Logo, a resposta é a alternativa d.

ATIVIDADES

17. A trajetória de uma bola de futebólfutebol em uma cobrança de falta foi descrita por uma função quadrática quêque relaciona a altura h alcançada pela bola, em relação ao solo, e o deslocamento horizontal x da bola, sêndosendo h e x dados em métrometro. Essa função é expressa por h(x) = $\begin{array}{c}-\frac{x^2}{60}\end{array}$ + 0,5x.

a) Qual é a distância entre o ponto em quêque a bola sai do solo e o ponto em quêque a bola chega ao solo?

30 metros

b) Qual é a altura mássimamáxima atingida pela bola nessa trajetória?

3,75 metros

18. Faça um esboço do gráfico das funções quadráticas a seguir. Indique o vértice da parábola, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y e, se existirem, os zeros da função.

Ver as Orientações para o professor.

a) y = x² − 5x + 6

b) y = −x² + 4

c) y = x² − 4x + 4

d) y = x² + 2x + 5

Página cento e sessenta e cinco165

19. Determine o conjunto imagem das funções quadráticas definidas a seguir.

a) f(x) = 3x² − 2x − 1

Im(f) = { y ∈ ℝ | y ≥ $-\frac{4}{3}$}

b) g(x) = −2x² + 1

Im(g) = {y ∈ ℝ | y ≤ 1}

20. Murilo comprou 40 metros de cerca para fazer um cercado em formato de retângulo para seu cachoorrocachorro no quintal de sua moradia. Ele vai aproveitar uma parede como um dos lados do cercado, de acôr-doacordo com a figura a seguir.

Sabendo quêque ele vai utilizar toda a cerca comprada, qual é a área mássimamáxima quêque esse cercado poderá ter?

200 m²

21. (UFJF-MG) Sobre os lados do retângulo ABCD, de dimensões 30 cm e 50 cm, marcam-se os pontos M, N, P e Q d fórmade forma quêque a distância dos pontos M e N ao vértice A e dos pontos P e Q ao vértice C sêjamsejam iguais a x centimetros.

Veja a figura abaixo:

Determine o valor de x de modo quêque o quadrilátero MNPQ tenha área mássimamáxima.

20 cm

22. (FEI-SP) Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de tempera-túratemperatura descrita pela função f(t) = 2 + 4t − t², 0 < t < 5. Em quêque instante t a tempera-túratemperatura atinge seu valor mássimomáximo?

t = 2

23. (Fuvest-SP) A dona de uma lanchonete observou quêque, vendendo um combo a R$ 10,00,200 deles são vendidos por dia, e quêque, para cada redução de R$ 1,00 nesse preêçopreço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a mássimamáxima arrecadação diária quêque ela espera obtêrobter com a venda dêêssedesse combo?

alternativa c

a) R$ 2.000,00.

b) R$ 3.200,00.

c) R$ 3.600,00.

d) R$ 4.000,00.

e) R$ 4.800,00.

24. (UEG-GO) O lucro de uma empresa é dado pela relação R = L + C, em quêque L é o lucro, R é a receita e C é o custo de produção. Numa empresa quêque produziu x unidades de um produto, verificou-se quêque C(x) = 2x² + 2.500x + 3.000 e R(x) = x² + 7.500x + 3.000.

a) Esboce o gráfico da função L.

Ver as Orientações para o professor.

b) Quantas unidades essa empresa deve produzir para obtêrobter o maior lucro possível?

2.500

25. (UEA-AM) Em um plano cartesiano, a parábola descrita pela função quadrática f(x) = x² − 4x + 3 tem vértice no ponto V, de abscissa 2, e passa pelo ponto P de abscissa 4.

alternativa e

A reta quêque passa pêlospelos pontos P e V intersecta o eixo y no ponto de ordenada igual a

a) −2.

b) −1.

c) −4.

d) −3.

e) −5.

Página cento e sessenta e seis166

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Valor mássimomáximo e valor mínimo

Estudamos como os coeficientes da lei de uma função quadrática influenciam no gráfico correspondente. Agora, vamos utilizar o GeoGebra para analisar também como esses coeficientes estão relacionados ao valor mássimomáximo e ao valor mínimo quêque uma função quadrática pódepode assumir.

Para isso, realize, inicialmente, a sequência de passos a seguir.

I. No campo de entrada do GeoGebra, digite “y = ax^2 + bx + c” e pressione Enter.

II. Serão exibidos o gráfico da função e os controles deslizantes dos coeficientes a, b e c.

Observe quêque esses controles indicam, inicialmente, a = b = c = 1. Nesse caso, temos a representação do gráfico da função definida por y = x² + x + 1.

III. Agora, no campo de entrada, digite “Vértice(f)” e obissérveobserve quêque será exibido o ponto A, pertencente ao gráfico da função, correspondente ao vértice da parábola. Nesse caso, o vértice da parábola é o ponto de coordenadas x_V = −0,5 e y_V = 0,75.

Página cento e sessenta e sete167

IV. Mova o cursor do contrôlecontrole deslizante de cada coeficiente, observando as alterações no gráfico da função e nas coordenadas do ponto A.

■ Gráfico de f para a = −0,5, b = 1 e c = 2. Nesse caso, o vértice tem coordenadas x_V = 1 e y_V = 2,5.

Agora, aproveite a construção quêque você fez para realizar as atividades a seguir.

1. Qual coeficiente da lei da função quadrática devemos verificar para saber se o gráfico da função possui um ponto de mássimomáximo ou um ponto de mínimo? Justifique sua resposta.

Ver as Orientações para o professor.

2. Utilizando o GeoGebra, indique o vértice da parábola, considerando os coeficientes a seguir.

a) a = 2, b = 0 e c = 2

V(0, 2)

b) a = −1, b = 2 e c = −1

V(1, 0)

c) a = −2, b = −4 e c = −3

V(−1, −1)

d) a = 2, b = 4 e c = −1

V(−1, −3)

3. Manipulando os controles deslizantes, determine os valores dos coeficientes a, b e c para os quais o vértice da parábola esteja localizado:

a) no terceiro quadrante;

Uma resposta possível: a = 2, b = 4 e c = −1

b) sobre o eixo y;

Uma resposta possível: a = 3, b = 0 e c = 1

c) sobre o eixo x.

Uma resposta possível: a = 1, b = 0 e c = 0

4. Clique com o botão direito do máuzimouse em cima do vértice da parábola e selecione a opção Exibir Rastro. Depois, anime o coeficiente b clicando em na janela de Álgebra. O vértice descreve uma curva, qual você acha quêque é? Por quê?

Respostas pessoais.

DICA: É possível alterar a côrcor do vértice para melhorar a visualização do rastro, se necessário. As opções de cores podem sêrser encontradas nas configurações do vértice.

Página cento e sessenta e oito168

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Gestão de resíduos

Na ssossiedadesociedade atual, cada vez mais industrializada, utilizar os recursos naturais d fórmade forma sustentável é primordial para manter o meio ambiente em equilíbrio e não esgotar os recursos disponíveis no planêtaplaneta. A Matemática pódepode contribuir para o planejamento realizado por empresas, considerando, por exemplo, a otimização do uso de matérias-primas.

Sobre o assunto, leia o texto a seguir.

Política Nacional de Resíduos Sólidos

A Lei númeronº 12.305/10, quêque institui a Política Nacional de Resíduos Sólidos (PNRS) [...] contém instrumentos importantes para permitir o avanço necessário ao País no enfrentamento dos principais problemas ambientais, sociais e econômicos decorrentes do manejo inadequado dos resíduos sólidos.

Prevê a prevenção e a redução na geração de resíduos, tendo como proposta a prática de hábitos de consumo sustentável e um conjunto de instrumentos para propiciar o aumento da reciclagem e da reutilização dos resíduos sólidos (aquilo quêque tem valor econômico e pódepode sêrser reciclado ou reaproveitado) e a destinação ambientalmente adequada dos rejeitos (aquilo quêque não pódepode sêrser reciclado ou reutilizado).

Institui a responsabilidade compartilhada dos geradores de resíduos: dos fabricantes, importadores, distribuidores, comerciantes, o cidadão e titulares de serviços de manejo dos resíduos sólidos urbanos na Logística Reversa dos resíduos e embalagens pré-consumo e pós-consumo.

Cria metas importantes quêque irão contribuir para a eliminação dos lixões e institui instrumentos de planejamento nos níveis nacional, estadual, microrregional, intermunicipal e metropolitano e municipal; além de impor quêque os particulares elaborem seus Planos de Gerenciamento de Resíduos Sólidos.

Também coloca o Brasil em patamar de igualdade aos principais países desenvolvidos no quêque concerne ao marco legal e inova com a inclusão de catadoras e catadores de materiais recicláveis e reutilizáveis, tanto na Logística Reversa quanto na Coleta Seletiva.

[…]

BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Política Nacional de Resíduos Sólidos. Brasília, DF: MMA, [201-]. Disponível em: https://livro.pw/fmvdi. Acesso em: 18 ago. 2024.

Página cento e sessenta e nove169

Logística reversa

[…]

[…] A PNRS define a logística reversa como um “instrumento de desenvolvimento econômico e social caracterizado por um conjunto de ações, procedimentos e meios destinados a viabilizar a côlétacoleta e a restituição dos resíduos sólidos ao setor empresarial, para reaproveitamento, em seu ciclo ou em outros ciclos produtivos, ou outra destinação final ambientalmente adequada”.

[…]

BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Logística reversa. Brasília, DF: MMA, [201-]. Disponível em: https://livro.pw/cnjqu. Acesso em: 18 ago. 2024.

Ver as Orientações para o professor.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. De acôr-doacordo com os textos, quais são as propostas previstas na PNRS para a redução na geração de resíduos?

2. Uma fábrica de embalagens, considerando as propostas previstas na PNRS para a redução na geração de resíduos, está procurando otimizar a utilização de papelão na produção de caixas.

Os engenheiros construíram um modelo matemático quêque relaciona a quantidade de material desperdiçado com o tempo de produção de cada lote, utilizando a lei de uma função quadrática. Que conceito eles poderão utilizar para calcular o tempo de produção mais adequado para cumprir o objetivo?

3. Reúna-se a dois côlégascolegas, e, juntos, pesquisem os conceitos de consumo consciente e de desperdício. Discutam o tema com os demais côlégascolegas e construam com a turma um painel expondo ações sustentáveis quêque podem sêrser adotadas por todos para minimizar o desperdício de recursos na moradia de cada um e na escola.

Para assistir

• CONHEÇA a Política Nacional de Resíduos Sólidos. [S. l.: s. n.], 2022. 1 vídeo (4 min). Publicado pelo canal SENAI Play. Disponível em: https://livro.pw/fudqb. Acesso em: 25 jul. 2024.

O vídeo apresenta algumas definições relacionadas ao tema de resíduos sólidos.

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Investigando o comportamento de variáveis

Considere a situação proposta a seguir.

Um treinador está fazendo medições do tempo t, em segundo, quêque um atleta leva para atingir uma distância d, em métrometro, após iniciar uma corrida de treinamento para uma próvaprova dos 100 metros rasos.

Observe, a seguir, os dados obtidos pelo treinador para o arranque do atleta nos primeiros 5 segundos.

Saiba quêque...

Na situação, o corredor parte da largada com aceleração constante até atingir a linha de chegada.

Após a obtenção dos dados, o treinador representou os valores obtidos em um plano cartesiano e obteve o esboço a seguir.

Pense e responda

Não são grandezas diretamente proporcionais.

Sim, o gráfico mostra quêque as grandezas envolvidas não são diretamente proporcionais, pois os pontos destacados não fazem parte de uma mesma reta.

Espera-se quêque os estudantes respondam quêque os valores das distâncias são formados por números quadrados.

Com base na tabélatabela e observando o gráfico, o treinador notou quêque, ao dobrar a medida do tempo, a distância percorrida era multiplicada por 4, ou seja, era multiplicada por 2², e quêque, ao triplicar o tempo, a distância era multiplicada por 9, ou seja, por 3².

Sendo t o tempo, em segundo, e d a distância, em métrometro, observando-se os valores da tabélatabela, nota-se quêque:

Para t = 0, tem-se d = 0 = 0².

Para t = 1, tem-se d = 1 = 1².

Para t = 2, tem-se d = 4 = 2².

Para t = 3, tem-se d = 9 = 3².

Para t = 4, tem-se d = 16 = 4².

Para t = 5, tem-se d = 25 = 5².

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Portanto, percebe-se quêque, em cada medição, a medida da distância corresponde ao quadrado da medida do tempo. Desse modo, nessa situação, a lei da função quêque relaciona as variáveis t, em segundo, e d, em métrometro, pódepode sêrser expressa por d(t) = t².

Conforme acompanhamos, na situação apresentada, a relação entre a medida da distância e a medida do tempo pódepode sêrser expressa pela lei d(t) = t², quêque tem a forma da lei de uma função quadrática do tipo y = ax². Observamos também quêque, ao dobrar o valor de t, o valor correspondente de d fica multiplicado por 2². Ao triplicar o valor de t, o valor correspondente de d fica multiplicado por 3².

Isso acontece porque se trata de uma propriedade das funções quadráticas do tipo y = ax². Quando multiplicamos a variável x por uma constante real k, o valor correspondente de y é multiplicado por k².

Considere, agora, outra situação.

No processo de divisão celular conhecido como mitose, uma célula-mãe dá origem a duas células-filhas iguais a ela. Cada uma dessas células-filhas, por sua vez, pódepode se dividir em outras duas novas células, e assim sucessivamente, em diversas divisões.

Pense e responda

Sim, pois os pontos obtidos satisfazem à lei d(t) = t², quêque é a lei de uma função quadrática.

100 metros

O resultado anterior indica quêque o atleta é de alto dêsempênhodesempenho, pois apresenta valores próximos aos de recordistas mundiais.

Na tabélatabela, verificamos um modelo quêque conta a quantidade de células obtidas por meio dêêssedesse tipo de divisão celular, considerando um processo contínuo a partir de uma única célula.

Essa contagem não pódepode sêrser modelada por uma função quadrática quêque relaciona a quantidade de divisões no processo e a quantidade de células obtidas.

Verifique quêque, quando multiplicamos um número de divisões no processo por uma constante k, o número correspondente de células não fica multiplicado por k².

Comentar com os estudantes quêque, no estudo da função exponencial, realizado no Ensino Médio, eles terão um modelo matemático quêque poderá sêrser utilizado para representar essa situação.

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Estudo do sinal da função quadrática

Aprendemos quêque estudar o sinal de uma função definida por y = f(x) significa determinar os valores reais de x ∈ D(f) quêque tornam a função positiva (f(x) > 0), negativa (f(x) < 0) ou nula (f(x) = 0).

O estudo do sinal de uma função quadrática pódepode sêrser feito observando o esboço de sua representação gráfica, quêque, como já estudamos, é uma parábola.

De acôr-doacordo com a concavidade da parábola, relacionada ao coeficiente a, e com a quantidade de zeros da função, relacionada ao valor de (delta)"Δ, podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática e fazer o estudo de sinais, como verificado a seguir.

• Considerando a > 0, temos as seguintes possibilidades: