CAPÍTULO 5
FUNÇÃO EXPONENCIAL

A disseminação de informações falsas, conhecidas como fêikfake news, é um fenômeno alarmante quêque se espalha de maneira veloz por meio da internet e, em especial, nas rêdesredes sociais. Essas notícias distorcem fatos e influenciam percepções públicas, podendo resultar em danos significativos.

Com a facilidade de compartilhamento e a ausência de verificação, as fêikfake news têm o potencial de induzir comportamentos enganosos e até mesmo causar pânico. Para conter essa propagação, é fundamental verificar a veracidade das informações antes de compartilhá-las.

A rapidez com quêque uma fêikfake news se espalha é impressionante: suponha quêque, em apenas 30 segundos, uma pessoa possa ler e compartilhar a notícia com outras duas, quêque, por sua vez, fazem o mesmo, compartilhando a notícia com mais duas pessoas cada uma e, assim, sucessivamente, gerando uma disseminação para mais de 1.000 indivíduos em menos de cinco minutos! Esse padrão de propagação pódepode sêrser analisado por meio de uma função exponencial, conteúdo quêque será estudado neste Capítulo.

Elaborado com base em: AMARAL, Inês; SANTOS, Sofia José. Algoritmos e rêdesredes sociais: a propagação de fêikfake news na era da pós-verdade. In: FIGUEIRA, João; SANTOS, Sílvio (org.). As fêikfake news e a nova ordem (des)informativa na era da pós-verdade. Coimbra: Imprensa da Universidade de Coimbra, 2019. p. 63-85. Disponível em: https://livro.pw/feghr. Acesso em: 1 ago. 2024.

1,296 ⋅ 10³

1,25 ⋅ 10⁻¹

21 ⋅ 10²

5,0 ⋅ 10⁻²

Página cento e oitenta e um181

Página cento e oitenta e dois182

Introdução

Nos alimentos derivados do leite fermentado, há bactérias quêque colabóramcolaboram para o equilíbrio da flora intestinal, evitando a proliferação de bactérias nocivas, melhorando a absorção de nutrientes e fortalecendo nosso sistema imunológico.

Apesar de esses alimentos serem benéficos, o consumo em excéssoexcesso pódepode acarretar alguns efeitos indesejados ao nosso organismo. Esses efeitos podem estar relacionados ao aumento do número de bactérias, quêque se reproduzem muito rapidamente.

Em geral, o crescimento de uma população de bactérias pódepode sêrser modelado por um tipo de função quêque estudaremos neste Capítulo: a função exponencial.

FÓRUM

Página cento e oitenta e três183

Potenciação e radiciação

Antes de abordar o conteúdo de função exponencial, vamos retomar conhecimentos sobre potenciação e radiciação, pois serão essenciais no estudo dêêssedesse tipo de função.

Potência com expoente natural

Acompanhe, a seguir, a definição de potenciação quando o expoente é um número natural.

Além díssudisso, considerando a um número real, tem-se quêque:

• para n = 1, definimos a¹ = a.

• para a ≠ 0 e n = 0, definimos a⁰ = 1.

Exemplos:

a) 2⁵ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

b) ${\left(\sqrt[]{2}\right)}^1$ = $\sqrt[]{2}$

c) $\begin{array}{c}{(-\frac{1}{2})}^7=(-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{128})\end{array}$

d) (−3)⁰ = 1

Potência com expoente inteiro

Para estender o conceito de potência para expoentes inteiros, vamos definir o quêque significa uma potência de expoente inteiro negativo.

Exemplos:

a) 6⁻¹ = $\frac{1}{6}$

b)$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^3}=\frac{1}{\left(\frac{1}{64}\right)}\end{array}$ = 64

Página cento e oitenta e quatro184

Propriedades da potenciação

É possível demonstrar quêque, dados a e b reais não nulos e m e n inteiros, são válidas as seguintes propriedades opêratórìasoperatórias com expoentes inteiros.

1ª propriedade:

2ª propriedade:

3ª propriedade:

4ª propriedade:

5ª propriedade:

Notação científica

No meio científico, é comum nos depararmos com números muito grandes, como as distâncias entre os planêtasplanetas, ou muito pequenos, como o tamãnhotamanho de uma célula.

Quando queremos expressar números como esses, recorremos ao uso da notação científica, utilizando potências na base 10 para simplificar essas representações.

Exemplos:

a) O raio médio do Sol é de aproximadamente 696.000.000 metros; em notação científica, temos: 696.000.000 metros = 6,96 ⋅ 10⁸ metros (note quêque n = 8 e a = 6,96).

b) O diâmetro do átomo de hidrogênio é de aproximadamente 0,0000000001 métrometro; em notação científica, temos: 0,0000000001 métrometro = 1,0 ⋅ 10⁻¹⁰ métrometro (note quêque n = −10 e a = 1,0).

Pense e responda

1 nanometro = 1 ⋅ 10⁻⁹ métrometro

Para assistir

• O QUE é a nanotecnologia? [S. l.: s. n.], 2014. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal stãriStudy Inalberta. Disponível em: https://livro.pw/hlxts. Acesso em: 1 ago. 2024.

A palavra nano pódepode significar pequeno, muito pequeno. Quando nos referimos a medidas de comprimento, 1 nanometro equivale a 1 milionésimo de milimetro. Assista ao vídeo para saber mais.

Página cento e oitenta e cinco185

Radiciação

Antes de abordarmos o conteúdo de potência com expoente racional, vamos retomar a definição de raiz enésima e as propriedades da operação de radiciação.

• Para n ímpar e a um número real negativo, a raiz enésima de a é o número real negativo b, tal quêque bⁿ = a.

• Para n par e a um número real negativo, não podemos definir a raiz enésima real de a, pois não existe número real b, tal quêque bⁿ = a.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{16}\end{array}$ = 2 se, e somente se, 2⁴ = 16.

b) $\begin{array}{c}\sqrt[2]{9}\end{array}$ = 3 se, e somente se, 3² = 9.

c) $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\end{array}$ se, e somente se, $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\end{array}$ = $\frac{1}{8}$.

d) $\begin{array}{c}\sqrt[3]{-8}\end{array}$ = −2, porque (−2)³ = −8.

e) ∄ b ∈ ℝ, tal quêque $\begin{array}{c}\sqrt[2]{-4}\end{array}$ = b.

Propriedades da radiciação

Dados a e b números reais não negativos, m inteiro e n, p e q naturais não nulos, sêndosendo q um divisor comum de n e m, apresentamos as seguintes propriedades.

1ª propriedade:

2ª propriedade:

3ª propriedade:

4ª propriedade:

Exemplo: $\begin{array}{c}\sqrt[4]{6^3}=\sqrt[4\cdot 5]{6^{3\cdot 5}}=\sqrt[20]{6^{15}}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\sqrt[20]{6^{15}}=\sqrt[20:5]{6^{15:5}}=\sqrt[4]{6^3}\end{array}$

5ª propriedade:

Página cento e oitenta e seis186

Potência com expoente racional

Acompanhe a seguir a definição de potência com expoente fracionário, sêndosendo o numerador inteiro e o denominador natural diferente de 0.

Exemplos:

a) $5^{\frac{1}{2}}$ $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$

b) ${13}^{\frac{2}{5}}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[5]{{13}^2}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{21}={21}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{{16}^3}={16}^{\frac{3}{4}}\end{array}$

Observação:

As potências com expoente racional têm as mesmas propriedades opêratórìasoperatórias quêque as potências com expoente inteiro.

Exemplo:

$8^{\frac{4}{3}}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[3]{8^4}=\sqrt[3]{\left(4096\right)}\end{array}$ = 16 ou $8^{\frac{4}{3}}\begin{array}{c}={\left(2^3\right)}^{\frac{4}{3}}=2^{3\cdot \frac{4}{3}}\end{array}$ = 2⁴ = 16

Potência com expoente irracional

Neste tópico, vamos aprender como calcular o valor de uma potência com expoente irracional.

Por exemplo, como calcular $\begin{array}{c}{10}^{\sqrt[]{2}}\end{array}$?

Para responder a essa pergunta, vamos considerar, inicialmente, aproximações racionais de $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ por falta, tomando os valores 1,4; 1,41; 1,414;..., e por excéssoexcesso, tomando os valores 1,5; 1,42; 1,415;...

Usando uma calculadora científica, vamos listar alguns resultados e obtêrobter a melhor aproximação para $\begin{array}{c}{10}^{\sqrt[]{2}}\end{array}$.

De acôr-doacordo com os resultados obtidos nos dois quadros, uma aproximação racional para ${10}^{\sqrt[]{2}}$ com quatro casas decimais é 25,9545.

25,95451991 < ${10}^{\sqrt[]{2}}$ < 25,95457967

Página cento e oitenta e sete187

Continuando esse processo, podemos encontrar uma aproximação racional para $\begin{array}{c}{10}^{\sqrt[]{2}}\end{array}$ com quantas casas decimais se deseje.

Para potências com expoente irracional, valem as mesmas propriedades opêratórìasoperatórias das potências com expoente inteiro.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}{\left({10}^{\sqrt[]{2}}\right)}^{\sqrt[]{2}}={10}^{\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2}}={10}^{\sqrt[]{2\cdot 2}}\end{array}$ = 10² = 100

b) 2(pi)"π ⋅ 23(pi)"π = 2(pi)"π+3(pi)"π = 24(pi)"π

c) $\begin{array}{c}{9}^{3\sqrt[]{5}}:9^{\sqrt[]{5}}=9^{3\sqrt[]{5}-\sqrt[]{5}}=9^{2\sqrt[]{5}}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\sqrt[]{3}}=\frac{2^{\sqrt[]{3}}}{5^{\sqrt[]{3}}}\end{array}$

Calculando com o auxílio de uma calculadora

Geralmente, as calculadoras mais simples têm a tecla . Com ela, podemos calcular a raiz quadrada de um número real maior do quêque ou igual a 0. Por exemplo: para calcular $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$, pressionamos e obtemos 1,414213562.

Agora, para calcular outras potências quaisquer, diferentes de $\begin{array}{c}{a}^{\frac{1}{2}}\end{array}$, será necessário utilizar uma calculadora científica quêque tenha a tecla . Em alguns modelos, essa tecla aparece como (com y representando a base da potência, e x, o expoente) ou (com x representando a base da potência, e y, o expoente). Por exemplo: para calcular 2¹⁰, pressionamos ou ou e obtemos 1.024.

Entre as diferentes opções quêque uma calculadora científica pódepode oferecer, estão:

• o cálculo de uma raiz enésima. Por exemplo: para calcular $\begin{array}{c}\sqrt[7]{123}\end{array}$, pressionamos e obtemos 1,988647795;

• a utilização do número irracional (pi)"π. Por exemplo: para calcular 2⁴(pi)"π, pressionamos e obtemos 6.065,330793.

Observações:

A tecla permite acionar as opções escritas acima das teclas na mesma côrcor da palavra Shift.

As teclas e devem sêrser utilizadas para indicar a ordem de cálculo das operações e identificar corretamente os termos de uma expressão a serem considerados.

Saiba quêque...

Os passos indicados e a quantidade de casas decimais em todos os exemplos podem variar ligeiramente dependendo do modelo da calculadora.

Página cento e oitenta e oito188

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Calcule o valor de $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{243}\right)}^{-\frac{2}{5}}\end{array}$.

Resolução

Decompondo o número 243 em fatores primos, obtemos: 243 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Logo, 243 = 3⁵.

Então: $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{243}\right)}^{-\frac{2}{5}}={\left(\frac{1}{3^5}\right)}^{-\frac{2}{5}}\end{array}$

Como o expoente é negativo, aplicamos a definição a⁻ⁿ = $\frac{1}{a^5}$. Assim: $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3^5}\right)}^{-\frac{2}{5}}={\left(3^5\right)}^{\frac{2}{5}}\end{array}$

Aplicando a propriedade (a^m)ⁿ = a^m⋅n, obtemos: ${\left(35\right)}^{\frac{2}{5}}$ = $3^{5\cdot \frac{2}{5}}$ = 3² = 9

Portanto, $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{243}\right)}^{-\frac{2}{5}}\end{array}$ = 9.

2. Aplicando as propriedades da potenciação, calcule (5³ ⋅ 5⁶): 5¹⁰.

Resolução

Usando as propriedades, temos: (5³ ⋅ 5⁶): 5¹⁰ = 5³⁺⁶ : 5¹⁰ = 5⁹ : 5¹⁰ = 5⁹⁻¹⁰ = 5⁻¹ = $\frac{1}{5}$

3. Simplifique a expressão $\begin{array}{c}\frac{(\mathrm{0,1}{)}^5\cdot (\mathrm{0,01}{)}^4\cdot 100}{(\mathrm{0,001}{)}^3}\end{array}$.

Resolução

Substituindo os números decimais por frações decimais e aplicando as propriedades de potências, temos:

$$\begin{array}{c}\frac{{\left(\frac{1}{10}\right)}^5\cdot {\left(\frac{1}{100}\right)}^4\cdot 100}{{\left(\frac{1}{1000}\right)}^3}=\frac{{\left(\frac{1}{10}\right)}^5\cdot {\left(\frac{1}{{10}^2}\right)}^4\cdot {10}^2}{{\left(\frac{1}{{10}^3}\right)}^3}=\frac{{\left({10}^{-1}\right)}^5\cdot {\left({10}^{-2}\right)}^4\cdot {10}^2}{{\left({10}^{-3}\right)}^3}=\frac{{10}^{-5}\cdot {10}^{-8}\cdot {10}^2}{{10}^{-9}}=\end{array}$$

$$\begin{array}{c}=\frac{{10}^{-5-8+2}}{{10}^{-9}}=\frac{{10}^{-11}}{{10}^{-9}}={10}^{-11}\cdot {10}^9={10}^{-11+9}={10}^{-2}=\frac{1}{{10}^2}=\frac{1}{100}\end{array}$$

4. (PUCCamp-SP) Efetuando-se $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\sqrt[]{\frac{3}{5}-\frac{11}{25}}}\end{array}$, obtém-se:

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[3]{14}+2}{5}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[3]{114}}{5}\end{array}$

c) $\frac{6}{5}$

d) $\frac{4}{5}$

e) $\frac{3}{5}$

Resolução

Resolvendo as operações e aplicando as propriedades da radiciação, temos:

$$\begin{array}{c}\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\sqrt[]{\frac{3}{5}-\frac{11}{25}}}=\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\sqrt[]{\frac{15-11}{25}}}=\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\sqrt[]{\frac{4}{25}}}=\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\frac{2}{25}}=\sqrt[3]{\frac{14+50}{125}}=\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{4}{5}\end{array}$$

Logo, $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\frac{14}{125}+\sqrt[]{\frac{3}{5}-\frac{11}{25}}}=\frac{4}{5}\end{array}$.

A resposta correta é a alternativa d.

5. Utilize uma calculadora científica e determine valores reais aproximados para $\begin{array}{c}{9}^{2\sqrt[]{5}}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\frac{2^{\sqrt[]{3}}}{5^{\sqrt[]{3}}}\end{array}$

Resolução

Para calcular $\begin{array}{c}{9}^{2\sqrt[]{5}}\end{array}$,pressionamos e obtemos 18.514,08427.

Para calcular $\begin{array}{c}\frac{2^{\sqrt[]{3}}}{5^{\sqrt[]{3}}}\end{array}$, pressionamos e obtemos 0,204525605.

Página cento e oitenta e nove189

ATIVIDADES

1. escrêevaEscreva, sôbisob a forma de radical, as potências a seguir. Depois, com o auxílio de uma calculadora, calcule seu valor com aproximação de três casas decimais.

a) $\begin{array}{c}{5}^{\frac{3}{4}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\sqrt[4]{5^3}\end{array}$; 3,344

b) $\begin{array}{c}{10}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ ; 3,162

c) $\begin{array}{c}{2}^{\frac{1}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\sqrt[3]{2}\end{array}$; 1,260

d) 3 0,25

$\begin{array}{c}\sqrt[4]{3}\end{array}$ ; 1,316

e) $\begin{array}{c}{\pi }^{\frac{1}{4}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\sqrt[4]{\pi }\end{array}$ ; 1,331

f) $\begin{array}{c}{3}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{c}\sqrt[]{3^{-1}}\end{array}\mathrm{}\_\mathrm{}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{}\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{1}{3}}\end{array}$; 0,577

2. Aplicando as propriedades gerais das potências, reduza a uma só potência os itens a seguir. Considere a ≠ 0.

a) 3⁴ ⋅ 3⁵

3⁹

b) (x³)⁴

x¹²

c) 7⁹ ⋅ 7⁴

7 ¹³

d) $\begin{array}{c}\frac{{10}^{12}}{{10}^5}\end{array}$

10⁷

e) (10³)²

10⁶

f) aⁿ⁺¹ ⋅ aⁿ⁻²

a^{2n − 1}

3. escrêevaEscreva os números a seguir na forma de potência com expoente inteiro negativo. Considere a ≠ 0.

a) $\begin{array}{c}\frac{1}{3^2}\end{array}$

3⁻²

b) $\begin{array}{c}\frac{1}{{10}^4}\end{array}$

10⁻⁴

c) $\begin{array}{c}\frac{1}{2^5}\end{array}$

2⁻⁵

d) $\begin{array}{c}\frac{1}{6^2}\end{array}$

6⁻²

e) $\frac{1}{2}$

2⁻¹

f) $\begin{array}{c}\frac{1}{a^2}\end{array}$

a⁻²

4. Usando uma calculadora científica, calcule cada potência com aproximação de três casas decimais.

a) 5^1,5

11,180

b)$\begin{array}{c}{12}^{\frac{1}{4}}\end{array}$

1,861

c) 28^0,25

2,300

d) 3^4,5

140,296

e) 2^2,6

6,063

f)$\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{3}\right)}^{\mathrm{1,25}}\end{array}$

1,894

g) $\begin{array}{c}{3}^{\sqrt[]{5}}\end{array}$

11,665

h) $\begin{array}{c}{10}^{\sqrt[]{3}}\end{array}$

53,957

5. Leia os itens a seguir e escrêevaescreva os números em notação científica. Utilize a aproximação de três casas decimais.

a) A velocidade da luz no vácuo é igual a 299.793.458 m/s.

2,998 ⋅ 10⁸

b) O diâmetro da Terra é cerca de 12.742 km.

1,274 ⋅ 10⁴

c) O vírus influenza é uma partícula esférica quêque tem um diâmetro interno de aproximadamente 0,00011 mm.

1,1 ⋅ 10⁻⁴

6. Efetue os cálculos a seguir e dê as respostas em notação científica.

a) (2,0 ⋅ 10³) ⋅ (4,0 ⋅ 10⁻⁵)

8 ⋅ 10⁻²

b) (5,2 ⋅ 10⁶) ∶ (1,3 ⋅ 10⁻³)

4 ⋅ 10⁹

c) (1,5 ⋅ 10³) ⋅ (2,0 ⋅ 10⁻⁵) ⋅ (4,0 ⋅ 10⁻⁸)

1,2 ⋅ 10⁻⁹

7. (Unicamp-SP)

a) Calcule as seguintes potências: a = 3³, b = (−2)³, c = 3⁻² e d = (−2)⁻³.

a = 27; b = −8; c = $\frac{1}{9}$;d = $-\frac{1}{8}$

b) escrêevaEscreva os números a, b, c e d em ordem crescente.

−8; $-\frac{1}{8}$ $\frac{1}{9}$;27

8. Qual é a mêtádemetade de 2²⁰¹²?

2²⁰¹¹

9. Determine o número quêque representa a expressão:
(4^{x + 2} ∶ 4^{x − 2}) ∶ (4^x ∶ 4^{x − 1})

64

10. Determine o valor da expressão $\begin{array}{c}\frac{3^{12}-3^{11}-3^{10}}{3^{11}+3^{10}+3^{10}}\end{array}$.

1

11. Sendo A = 12ⁿ, com 78 ≤ n ≤ 155, qual é o maior valor natural de n para quêque o algarismo das unidades de A seja 6?

n = 152

12. Calcule o valor das expressões a seguir, utilizando as propriedades da potenciação.

a) $\begin{array}{c}(27\cdot 8{)}^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

$\frac{1}{6}$

b) $\begin{array}{c}{81}^{\frac{7}{4}}\cdot {81}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

243

c) $\begin{array}{c}{\left(8^{\frac{4}{3}}\right)}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

$\frac{1}{4}$

d) $\begin{array}{c}\frac{7^{\mathrm{4,3}}\cdot 7^{-\mathrm{2,6}}}{7^{-\mathrm{0,3}}}\end{array}$

49

e) $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{625}\right)}^{-\frac{1}{4}}\cdot {\left(\frac{64}{125}\right)}^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

$\frac{25}{4}$

13. Ao se resolver a expressão apresentada, cometeu-se um êrroerro em uma das passagens. Descubra qual é esse êrroerro, corrija-o e dê a resposta correta.

$\begin{array}{c}{5}^{1+\sqrt[]{3}}:5^{\sqrt[]{3}-1}=\frac{5^{1+\sqrt[]{3}}}{5^{\sqrt[]{3}-1}}=\end{array}$ (passagem 1)

$\begin{array}{c}=5^{(1+\sqrt[]{3})-(\sqrt[]{3}-1)}=\end{array}$ (passagem 2)

$\begin{array}{c}=5^{x+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}-x}=\end{array}$ (passagem 3)

= 5⁰ = 1 (passagem 4)

13. O êrroerro foi cometido na passagem 3:

$5^{1+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}+1}$ = 5² = 25

14. (UFSM-RS) Determine o valor da expressão

$\begin{array}{c}\sqrt[3]{\frac{\left(60000\right)\cdot \left(\mathrm{0,00009}\right)}{\mathrm{0,0002}}}\end{array}$.

30

15. (FEI-SP) Que número real representa a expressão $\begin{array}{c}\frac{(\mathrm{0,1}{)}^{-1}-(\mathrm{0,8}{)}^0}{2\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}\cdot {(-\frac{1}{3})}^{-1}}\end{array}$?

$-\frac{1}{3}$

16. (Fuvest-SP) Sendo x = (2²)³, y = $2^{2^3}$ e z = $2^{2^3}$, qual é a potência quêque representa a expressão xyz?

2²³

17. (UFRGS-RS) Simplifique a expressão:

$$\begin{array}{c}\frac{{10}^{10}+{10}^{20}+{10}^{30}}{{10}^{20}+{10}^{30}+{10}^{40}}\end{array}$$

10⁻¹⁰

18. (PUC-SP) escrêevaEscreva a expressão abaixo, em quêque n ∈ ℤ, em sua forma mais simples:

$$\begin{array}{c}\frac{(2^{n-1}+2^n+2^{n+1})\cdot (3^{n-1}+3^n+3^{n+1})}{6^n+6^{n+1}}\end{array}$$

$\frac{13}{6}$

Página cento e noventa190

Função exponencial

Uma vez revisadas as propriedades básicas da potenciação e da radiciação, vamos agora estudar a função exponencial, quêque é um tipo de função real cuja definição apresentamos a seguir.

Exemplos:

a) f(x) = 2^x

b) f(x) = (0,4)^x

c) f(x) =$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{5}\right)}^x\end{array}$

d) f(x) = $\begin{array}{c}(\sqrt[]{5}{)}^x\end{array}$

Em uma função exponencial dada por f(x) = a^x, a base a deve sêrser positiva e diferente de 1, pois:

• Se a < 0, então f(x) = a^x não estaria definida para todo x real. Por exemplo, supondo a = −2 e x = $\frac{1}{2}$,teríamos a potência $\begin{array}{c}(-2{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$ quêque não está definida em ℝ.

• Se a = 1, então f(x) = a^x é uma função constante, pois: f(x) = 1^x ⇒ f(x) = 1 para todo x real.

• Se a = 0, então f(x) = a^x não estaria definida para todo x real. Por exemplo, considerando x = −2, teríamos a potência (0)⁻² quêque não está definida em ℝ.

Além díssudisso, para a = 0 e x > 0, a função f seria constante e igual a zero.

Gráfico da função exponencial

Vamos, agora, esboçar o gráfico de algumas funções exponenciais. Observe os exemplos a seguir.

• Esboço do gráfico de g(x) = 2^x.

Observe quêque os valores de 2^x aumentam conforme o valor de x aumenta. Essa característica pódepode sêrser observada sempre quêque a > 1.

Página cento e noventa e um191

• Esboço do gráfico de h(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\end{array}$.

Observe quêque os valores de $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\end{array}$ diminuem conforme o valor de x aumenta. Essa característica pódepode sêrser observada sempre quêque 0 < a < 1.

Considerando a função exponencial dada por f(x) = a^x (com a > 0 e a ≠ 1), temos:

• o domínio da função é D(f) = ℝ;

• o contradomínio da função é CD(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$;

• o conjunto imagem da função é Im(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$.

Saiba quêque...

Os gráficos das funções g e h se aproximam do eixo x, mas não o tocam, e intersectam o eixo y no ponto (0, 1).

Pense e responda

sim, pois g(x) = h(−x) e g(−x) = h(x)

A função f(x) = e^x

Vamos, agora, conhecer a função f: ℝ → ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$ definida por f(x) = e^x, quêque é uma função exponencial cuja base é o número e. Vários fenômenos das Ciências da Natureza podem sêrser modelados tomando-se como base essa função e ela também é utilizada em diversas aplicações dentro da própria Matemática.

Observe, a seguir, como é o gráfico dessa função.

Saiba quêque...

Conforme estudamos no Capítulo 1, o número e, conhecido como número de ÓilerEuler, é um número irracional cujo valor é 2,718281...

Pense e responda

(0, 1); f(1) = e

Página cento e noventa e dois192

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
A base da potenciação e o gráfico da função exponencial

Vamos utilizar o GeoGebra para analisar a influência da base a da potenciação no gráfico da função exponencial.

Para isso, acompanhe os passos a seguir.

Se achar necessário, lembrar aos estudantes quêque, por padrão, o contrôlecontrole deslizante é criado limitado ao intervalo [−5, 5] e quêque, para alterar esse intervalo, basta clicar em cima do número −5 ou do 5 no contrôlecontrole deslizante e alterar esses números para os valores desejados.

I. No campo de entrada do GeoGebra, digite “f(x) = a ^ x” e pressione Enter.

II. O programa vai criar, na janela de Álgebra, um contrôlecontrole deslizante para o coeficiente a e exibirá, na janela de visualização, o gráfico da função f de acôr-doacordo com o valor indicado no contrôlecontrole deslizante.

Ao sêrser criado, o contrôlecontrole aparece indicando a = 1. Mova o cursor do contrôlecontrole deslizante, alterando o valor de a, e obissérveobserve o quêque acontece com o gráfico de f.

Observe quêque o valor indicado no contrôlecontrole, quando a > 0 e a ≠ 1, representa o valor da base da função exponencial dada por f(x) = a^x.

Note quêque, quando f é a função exponencial, ela tem valores muito próximos de zero, mas nunca assume o valor zero, ou seja, não existe x tal quêque f(x) = 0. Você pódepode conferir esse fato dando zoom na tela do GeoGebra para aprossimáraproximar o gráfico e verificar quêque ele nunca encosta no eixo x. Para isso, basta movimentar o botão Scroll do máuzimouse para a frente ou utilizar o ícone.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Movimente o cursor do contrôlecontrole deslizante e altere o valor de a. Analise as alterações no gráfico e registre o quêque acontece em cada caso a seguir.

a) Para a < 0;

Nenhum gráfico é exibido, pois a < 0 não é um valor válido para a na função.

b) Para 0 < a < 1;

O gráfico representa uma função decrescente.

c) Para a = 1;

O gráfico é uma reta paralela ao eixo x, pois a função definida é a função constante dada por f(x) = 1^x = 1.

d) Para a > 1.

O gráfico representa uma função crescente.

2. Em uma nova janela do GeoGebra, construa, agora, o gráfico da função definida por g(x) = 2^{b ⋅ x}

Para isso, digite “g(x) = 2 ^ (b * x)” no campo de entrada.

Altere o valor de b e analise o quêque acontece quando:

a) b < 0;

A função é decrescente.

b) b > 0.

A função é crescente.

Página cento e noventa e três193

Crescimento e decrescimento da função exponencial

De acôr-doacordo com os exemplos apresentados nas páginas 190 e 191 e com o estudo feito na página 192, podemos perceber quêque a base da potência a^x influencíainfluencia o comportamento da função exponencial dada por f(x) = a^x.

De modo geral, considerando a função exponencial dada por f(x) = a^x, temos:

ATIVIDADES RESOLVIDAS

6. O gráfico representado a seguir mostra a evolução do número de bactérias em certa cultura.

Quantas bactérias haverá, aproximadamente, nessa cultura decorridos 30 minutos do início das observações?

Resolução

A partir da observação do gráfico, verificamos quêque a função é do tipo f(t) = a ⋅ b^t e contém os pontos (0, 10⁴) e (3, 8 ⋅ 10⁴).

Dessa maneira:

• f(0) = a ⋅ b⁰ = 10⁴ ⇒ a = 10⁴

• f(3) = a ⋅ b³ = 8 ⋅ 10⁴ ⇒ a ⋅ b³ = 8 ⋅ 10⁴

Como a = 10⁴, temos: 10⁴ ⋅ b³ = 8 ⋅ 10⁴ ⇒ b³ = $\begin{array}{c}\frac{8\cdot {10}^4}{{10}^4}\end{array}$ ⇒ b³ = 8 ⇒ b = 2

Portanto, f(t) = 10⁴ ⋅ 2^t.

Adotamos t = $\frac{1}{2}$ para descobrir a quantidade de bactérias após 30 minutos (meia hora) do início das observações:

f$\left(\frac{1}{2}\right)$ = 10⁴ ⋅ $2^{\frac{1}{2}}$ = 10⁴ ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ ≃ 10⁴ ⋅ 1,41 ≃ 14.100

Assim, haverá aproximadamente 14.100 bactérias nessa cultura.

Página cento e noventa e quatro194

7. (Unifei-MG) Sendo f(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{4}\right)}^x\end{array}$ para x ∈ ℝ, pode-se afirmar quêque:

a) o gráfico de f intersecta o eixo x em apenas um ponto.

b) f é decrescente.

c) o conjunto imagem de f é dado por Im(f) =]0, +∞[.

d) o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto (0, $\frac{5}{4})$.

e) f(−1) = $\frac{5}{4}$

Resolução

Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{4}\right)}^x\end{array}$.Como a > 1, a função é crescente.

Observamos quêque:

a) o gráfico de f não tem intersecção com o eixo x.

b) f é crescente.

c) o conjunto imagem de f é Im(f) =]0, +∞[.

d) o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto (0, 1).

e) f(−1) = $\frac{4}{5}$

Portanto, a única afirmativa verdadeira é a correspondente à alternativa c.

8. Utilize uma calculadora científica e encontre valores reais aproximados para 2^4e e $\begin{array}{c}{e}^{\frac{3}{2}}\end{array}$.

Resolução

Para calcular 2^4e, pressionamos e obtemos 1.875,588098.

Para calcular $\begin{array}{c}{e}^{\frac{3}{2}}\end{array}$,pressionamos e obtemos 4,481689070; ou pressionamos e obtendo o mesmo resultado.

Saiba quêque...

Assim como a tecla

,a tecla permite acionar as opções escritas acima das teclas na mesma côrcor da palavra Alpha.

Para ler

• ROBSON, DavíDavid. Contágio por coronavírus: o quêque é o viés matemático quêque dificulta o combate à pandemia de covid-19. BBC niusNews Brasil, [s. l.], 19 ago. 2020. Disponível em: https://livro.pw/mjtty. Acesso em: 1 ago. 2024.

O texto aborda o “viés do crescimento exponencial” e comenta a dificuldade quêque nós, sêresseres humanos, temos de compreender o rápido crescimento exponencial em comparação com o crescimento linear. Ele discute como essa percepção errônea dos dados impactou o enfrentamento da pandemia de covid-19.

Página cento e noventa e cinco195

ATIVIDADES

19. Identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais definidas a seguir.

a) f(x) = 5^x

crescente

b) f(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{6}\right)}^x\end{array}$

decrescente

c) f(x) = 2^−x

decrescente

d) f(x) = $\begin{array}{c}{3}^{\frac{x}{2}}\end{array}$

crescente

20. Esboce o gráfico das funções definidas a seguir. Depois, determine o domínio e a imagem de cada uma delas.

Ver as Orientações para o professor.

a) f(x) = 3^x

D(f) = ℝ; Im(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$

b) f(x) = 2^{x + 1}

D(f) = ℝ; Im(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$

c) f(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\end{array}$

D(f) = ℝ; Im(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$

d) f(x) = 2^x + 1

D(f) = ℝ; Im(f) = {y ∈ ℝ | y > 1}

21. Durante a aula de Matemática, o professor comentou sobre uma função quêque representava o crescimento de uma população de bactérias e escreveu na lousa f(t) = 2^t, para t ≥ 0, em quêque t é dado em horas e f(t) em milhares de bactérias.

Um estudante distraído copiou f(t) = 2t e, portanto, seus cálculos não deram cértocerto.

a) Esboce os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas.

Ver as Orientações para o professor.

b) Observando os gráficos construídos no item a, existe algum valor de t para o qual as duas funções assumem valor igual? Se sim, qual(is)?

sim, para t = 1 h e t = 2 h

c) O quêque você pódepode concluir sobre o crescimento dessas duas funções?

Ambas são funções crescentes.

d) Para t = 3 h, qual é a diferença entre o número de bactérias nas duas funções?

2.000 bactérias

22. Uma amostra de bactérias foi estudada quanto ao seu crescimento e decrescimento populacional P, em centenas de milhares, em relação ao aumento da tempera-túratemperatura t, em°C. Nesse experimento, a tempera-túratemperatura foi aumentada progressivamente, partindo de 0°C e terminando em 120°C, em um período de 24 horas. Observe, a seguir, a tabélatabela e o gráfico quêque descrevem a variação populacional dessa amostra.

Variação de uma população de bactérias em relação à tempera-túratemperatura

a) Para quais intervalos de tempera-túratemperatura a população de bactérias estudada aumentou, diminuiu ou se manteve estável?

Aumentou no intervalo entre 20 °C e 60 °C; diminuiu no intervalo entre 80°C e 120°C; manteve-se estável nos intervalos entre 0°C e 20°C e entre 60°C e 80°C.

b) Se o aumento da população de bactérias é dado por f(t) = 2^{0,1(t −10)} e a diminuição, por g(t) = 32 ⋅ 2^{−0,2(t −80)}, calcule a quantidade aproximada de bactérias nessa amostra, quando a tempera-túratemperatura atingiu:

• 30°C;

400.000 bactérias

• 50°C;

1.600.000 bactérias

• 90°C;

800.000 bactérias

• 110°C.

50.000 bactérias

Página cento e noventa e seis196

23. Para quais valores reais de k a função dada por f(x) = (k − 3)^x é decrescente?

3 < k < 4

24. Copie o qüadroquadro a seguir, referente às funções definidas por f(x) = 3^x, g(x) = 3^x + 2 e h(x) = 3^{x − 2}, e complete-o.

Agora, faça o quêque se pede.

Ver as Orientações para o professor.

a) Utilizando o GeoGebra, construa, em um mesmo sistema cartesiano, o gráfico de f, de g e de h.

b) Ao analisar os gráficos construídos, podemos dizêrdizer quêque f, g e h são funções crescentes ou decrescentes?

crescentes

c) Determine o domínio e o conjunto imagem dessas funções.

D(f) = ℝ, D(g) = ℝ e D(h) = ℝ; Im(f) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$
Im(g) = {y ∈ ℝ | y > 2} e Im(h) = ${\mathbb{R}}_{+}^{*}$

d) dêz-crevaDescreva como seria o gráfico da função dada por m(x) = 3^x − 2, em relação ao gráfico de f, sem construí-lo.

Ver as Orientações para o professor.

e) dêz-crevaDescreva como seria o gráfico da função dada por q(x) = 3^{x + 2}, em relação ao gráfico de f, sem construí-lo.

Ver as Orientações para o professor.

f) Construa, em um mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f, m e q e comprove as respostas dadas nos itens d e e.

Ver as Orientações para o professor.

25. Um banco possui taxa de rendimento na poupança de 0,35% ao mês. Um cliente quêque possui poupança nesse banco depositou R$ 1.000,00 no mês de janeiro e, ao longo de 6 meses, não realizou saques nem depositou quantia a mais. Conforme os dados da tabélatabela, responda às kestõesquestões.

Valor disponível em poupança após 6 meses de aplicação

a) Qual é a taxa de variação média aproximada da poupança entre o sexto e o primeiro mês dêêssedesse ano?

R$ 3,52

b) Considerando quêque não houve saques nem depósitos nessa aplicação, determine a lei da função quêque representa o valor disponível em poupança em relação ao número de meses em quêque o valor inicial foi aplicado.

f(x) = 1.000 ⋅ (1,0035)^x

c) Quanto esse cliente terá aproximadamente na poupança após 12 meses sem realizar saques ou depósitos?

R$ 1.042,82

Saiba quêque...

Quando uma pessoa deposita o dinheiro em uma poupança e o deixa lá por algum tempo, dizemos quêque ela fez uma aplicação, recebendo juro por esse investimento. É como se o banco estivesse pagando pelo dinheiro emprestado.

Página cento e noventa e sete197

Equações exponenciais

Toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma potência de base real, positiva e diferente de 1, é denominada equação exponencial. Assim, são exemplos de equações exponenciais:

a) 2^x = 8

b) $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}\end{array}$ = 0,25

c) 5^2x + 5^x = 30

d)$\begin{array}{c}{9}^{x-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3^{1-x}}=-1\end{array}$

Vamos resolver as equações exponenciais nas quais ambos os membros da igualdade podem sêrser representados como potências de mesma base. Para isso, utilizamos a seguinte propriedade:

Assim, para resolver, por exemplo, a equação 2^x = 8, escrevemos o segundo membro da equação como uma potência de base 2:

2^x = 8 ⇒ 2^x = 2³

Aplicando a propriedade descrita, temos:

2^x = 2³ ⇒ x = 3

Portanto, o conjunto solução da equação 2^x = 8 é S = {3}.

Inequações exponenciais

Toda desigualdade quêque apresenta incógnita no expoente de, pelo menos, uma potência de base real positiva e diferente de 1 é denominada inequação exponencial. Assim, são exemplos de inequações exponenciais:

a) 5^x < 1

b) $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+1}\end{array}$ > 4^x

c) 10^x ≥ −0,1

d) $2^{2x+1}$ ⋅ $4^{x-1}$≤ $\frac{1}{32}$

Vamos resolver as inequações exponenciais nas quais ambos os membros da desigualdade podem sêrser representados como potências de mesma base. Com base no crescimento e no decrescimento da função exponencial, dada por f(x) = a^x, aplicamos as propriedades a seguir.

Página cento e noventa e oito198

ATIVIDADES RESOLVIDAS

9. Uma pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou quêque a população de uma espécie de cértocerto animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em quêque se iniciou a pesquisa, o número dêêssesdesses animais seguia a lei matemática N = N₀⋅ 3^−0,05t, com t em anos (t ≥ 0) e N₀ > 0 correspondendo ao número de animais no início da pesquisa.

a) Calcule em quantos anos a população dessa espécie de animal estará reduzida à terça parte.

b) Qual era o número de animais dessa população quando a pesquisa foi iniciada, sabendo quêque, após 80 anos, restam apenas 12 indivíduos?

Resolução

a) Sendo N o número de animais no decorrer do tempo, podemos obtêrobter t resolvendo a equação:

N = $\frac{N_0}{3}$ ⇒ $\frac{N_0}{3}$ = N₀ ⋅ 3^−0,05t ⇒ $\frac{1}{3}$ = 3^−0,05t ⇒ $\frac{1}{3}$ = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{0,05}t}$ ⇒ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^1$ = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{0,05}t}$

Como as bases são iguais, positivas e diferentes de 1, concluímos quêque os expoentes são iguais. Assim:

0,05t = 1 ⇒ t = $\frac{1}{\mathrm{0,05}}$ ⇒ t =20

Portanto, a população de animais será reduzida à terça parte após 20 anos.

b) Sabemos quêque, para t = 80, temos N = 12. Assim, para obtermos N₀, basta substituirmos t e N na lei de formação da função.

N = N₀ ⋅ 3^−0,05t ⇒ 12 = N₀ ⋅ 3^{−0,05 ⋅80} ⇒ 12 = N₀ ⋅ 3⁻⁴ ⇒ 12 = N₀ ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^4\end{array}$⇒ 12 = $\begin{array}{c}\frac{N_0}{81}\end{array}$ ⇒ N₀ = 972

Portanto, havia 972 animais dessa espécie no início da pesquisa.

10. resôuvaResolva a equação 125^x+1 =$\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[3]{625}}\end{array}$

Resolução

Usando as propriedades de potências, vamos expressar o 1º e o 2º membros da equação como potências de mesma base.

125^{x + 1} = $\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[3]{625}}\end{array}$ ⇒ (5³)^{x + 1} = $\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}\end{array}$ ⇒ 5^{3x + 3} = $\begin{array}{c}{5}^{-\frac{4}{3}}\end{array}$

Como as bases são iguais, positivas e diferentes de 1, podemos igualar os expoentes:

3x + 3 = $-\frac{4}{3}$ ⇒ $\frac{9x+9}{3}=-\frac{4}{3}$ ⇒ 9x = −13 ⇒ x = $-\frac{13}{9}$

Portanto, o conjunto solução é S = $\left\{-\frac{13}{9}\right\}$.

11. resôuvaResolva a equação 4^x − 5 ⋅ 2^x + 4 = 0.

Resolução

Aplicando as propriedades de potência, vamos reescrever o termo 4^x na base 2: 4^x = (2²)^x = (2^x)²

Assim, podemos escrever a equação 4^x − 5 ⋅ 2^x + 4 = 0 como: (2^x)² − 5 ⋅ 2^x + 4 = 0

Fazendo 2^x = y, obtemos a equação do 2º grau na incógnita y: y² − 5y + 4 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

(delta)"Δ = (−5)² − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 ⇒ (delta)"Δ = 9

y = $\frac{5\pm 3}{2}$ ⇒ y(minutos)"′ = 4 e y(segundos)"″ = 1

Voltando à igualdade 2^x = y, temos:

• para y = 4, temos: 2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2;

• para y = 1, temos: 2^x = 1 ⇒ 2^x = 2⁰ ⇒ x = 0.

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {0, 2}.

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12. resôuvaResolva a inequação $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3x-1}‹{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+5}\end{array}$.

Resolução

Como a base $\frac{1}{3}$ está entre 0 e 1, o sentido da desigualdade entre os expoentes se inverte:

$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3x-1}‹{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+5}\end{array}$ ⇒ 3x − 1 > x + 5 ⇒ 2x > 6 ⇒ x > 3