CAPÍTULO 7
PROPORCIONALIDAD E SEMELHANÇA

Você sabia quêque as televisões são comercializadas por polegadas? Você sabe o quêque significa, por exemplo, uma televisão de 60 polegadas?

A polegada, quêque equivale a 2,54 centimetros, é uma unidade de medida de comprimento usada em países como a Inglaterra e os Estados Unidos. A quantidade de polegadas anunciada em um aparelho corresponde à medida da diagonal da tela, ou seja, anunciar uma TevêTV de 70 polegadas significa dizêrdizer quêque a medida da diagonal da tela tem 70 polegadas ou, aproximadamente, 177,8 cm.

Além das televisões, essa unidade de medida é usada para descrever o tamãnhotamanho de monitores de computador e de dispositivos móveis, como smartphones e tablets. As telas mais comuns de celulares varíamvariam de 4 a 5,5 polegadas, enquanto as de televisores podem variar entre 24 e 100 polegadas.

A medida da diagonal de um retângulo está diretamente relacionada às dimensões dêêssedesse retângulo. Portanto, conhecendo as medidas da base e da altura de uma tela, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para saber quantas polegadas ela tem. Neste Capítulo, vamos explorar esse teorema e as propriedades de semelhança de figuras geométricas.

Página duzentos e quarenta e cinco245

Porque a origem da medida está ligada ao uso de dedos polegares.

aproximadamente 254 cm

Espera-se quêque os estudantes encontrem valores próximos a 6 polegadas. A diagonal do retângulo tem aproximadamente 15,4 cm.

Página duzentos e quarenta e seis246

Proporcionalidade

Nesta coleção, já estudamos algumas razões, como a razão áurea e razões entre grandezas de naturezas distintas, por exemplo, a velocidade e a densidade. Vamos agora estudar o conceito de razão entre segmentos de reta.

Segmentos de reta proporcionais

pôdêmosPodemos comparar as medidas de dois segmentos de reta por meio de uma razão. Definimos quêque a razão entre dois segmentos de reta é o quociente entre as respectivas medidas dêêssesdesses segmentos, tomadas na mesma unidade. Por exemplo, a razão entre dois segmentos de reta, $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$, de medidas respectivamente iguais a 16 cm e 80 cm, é dada por:

$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{16}{80}$ = $\frac{1}{5}$ ou 0,2

Dizemos quêque a razão entre AB e cê dêCD é $\frac{1}{5}$ ou 0,2. A ordem de leitura e escrita de uma razão é importante. Assim, a razão entre cê dêCD e AB é $\frac{80}{16}$ = 5, ou seja, se AB = cê dêCD, temos quêque $\frac{AB}{CD}\ne \frac{CD}{AB}$.

Agora, considere os segmentos de reta $\overline{AB}$, $\overline{CD}$, $\overline{EF}$ e $\overline{GH}$. Dizemos quêque, nessa ordem, $\overline{AB}$, $\overline{CD}$, $\overline{EF}$ e $\overline{GH}$são proporcionais se, e somente se, a razão entre as medidas dos dois primeiros segmentos de reta for igual à razão entre as medidas dos dois últimos, ou seja: $\frac{AB}{CD}=\frac{EF}{GH}$.

Feixe de retas paralelas

Duas ou mais retas paralelas entre si, pertencentes a um mesmo plano, formam um feixe de retas paralelas. Uma reta quêque intersecta esse feixe de paralelas é chamada de reta transversal. Na figura, as retas a, b, c e d formam um feixe de retas paralelas, e as retas r e t são as transversais. Além díssudisso, definimos:

• A e A(minutos)"′ são pontos correspondentes, assim como B e B(minutos)"′, C e C(minutos)"′, D e D(minutos)"′.

• $\overline{AB}$ e $\overline{\mathrm{A\text{'}B\text{'}}}$ são segmentos correspondentes, assim como

$\overline{BC}$e $\overline{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$, $\overline{CD}$ e $\overline{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$, $\overline{AC}$ e $\overline{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$, $\overline{AD}$ e $\overline{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$, $\overline{BD}$ e $\overline{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

Saiba quêque...

Para simplificar a escrita e quando isso não causar dificuldade de entendimento, em alguns momentos desta coleção não faremos distinção entre segmentos e suas medidas, bem como entre ângulos e suas medidas. Assim, usaremos com o mesmo significado expressões como “circunferência de raio de medida r” e “circunferência de raio r”, assim como “lado de medida L” e “lado L” ou “altura de medida h” e “altura h”, por exemplo.

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Teorema de Tales

A proporcionalidade pódepode sêrser utilizada em diversos casos do nosso cotidiano. Nesse sentido, o teorema de Tales, quêque será apresentado a seguir, trata da relação entre os segmentos de reta determinados por um feixe de retas paralelas e duas retas transversais. Por meio dêêssedesse teorema, podemos realizar cálculos para determinar, por exemplo, distâncias quêque não podem sêrser medidas diretamente.

Vamos enunciar o teorema e, em seguida, apresentar sua demonstração.

Observe a figura e uma possível proporção ôbitídaobtida pelo teorema de Tales.

a // b // c ⇒ $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{MN}{NP}$

Pense e responda

$\frac{BC}{AB}=\frac{NP}{MN};\frac{BC}{AC}=\frac{NP}{MP}$; $\frac{AC}{AB}=\frac{MP}{MN}$

Com base nessa figura, podemos considerar outras proporções, como: $\frac{AB}{AC}=\frac{MN}{MP}$ ou $\frac{AC}{BC}=\frac{MP}{NP}$.

Demonstração

Primeiro, vamos apresentar duas propriedades dos triângulos, quêque serão usadas na demonstração do teorema de Tales.

• 1ª propriedade

Considere o triângulo ABC, uma ceviana $\overline{BD}$ qualquer, com extremidade no vértice B, e a altura h do triângulo, de modo quêque a área do triângulo ABD é igual a A₁, a área do triângulo BDC é igual a A₂,

AD = m e DC = n.

Temos quêque:

A₁ = $\frac{m\cdot h}{2}$ e A₂ = $\frac{n\cdot h}{2}$

Dividindo A₁ por A₂, tem-se: -

$$\begin{array}{c}\frac{A_1}{A_2}=\frac{\frac{m\cdot h}{2}}{\frac{n\cdot h}{2}}\Rightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{m}{n}\end{array}$$

Saiba quêque...

• Tales, matemático e filósofo quêque viveu no século VI a.C., era natural da cidade de Mileto, na Grécia, por isso ficou conhecido como Tales de Mileto.

• Ceviana de um triângulo é um segmento de reta quêque tem como extremidades um dos vértices do triângulo e um ponto no lado ôpôstooposto a esse vértice.

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• 2ª propriedade

Dadas duas retas paralelas r e s, considere um triângulo HIJ e outro HI(minutos)"′J, ambos com a base $\overline{HJ}$ pertencente a s e vértices I e I(minutos)"′ como pontos da reta r.

pôdêmosPodemos concluir quêque a área do triângulo HIJ é igual à área do triângulo HI(minutos)"′J, pois ambos têm a mesma base $\overline{HJ}$ e a mesma altura h. Portanto, qualquer triângulo formado pela base $\overline{HJ}$ quêque tenha o vértice ôpôstooposto a essa base como um ponto da reta r terá a mesma área do triângulo HIJ.

• Demonstração do teorema de Tales

Dados um feixe de retas paralelas e duas transversais quêque intersectam esse feixe, obtemos os pontos A, B, C, D, E e F, conforme a figura a seguir.

Vamos provar quêque os segmentos de reta formados são proporcionais, de modo quêque $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.

Para isso, vamos construir os triângulos ACE e DFB, conforme a figura a seguir.

Sejam as áreas S₁, S₂, S₃ e S₄ dos triângulos AEB, BEC, DBE e EBF, respectivamente. Pela 1ª propriedade, temos:

$\begin{array}{c}\frac{S_1}{S_2}=\frac{AB}{BC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\frac{S_3}{S_4}=\frac{DE}{EF}\end{array}$

De acôr-doacordo com a 2ª propriedade: S₁ = S₃ e S₂ = S₄

Portanto: $\begin{array}{c}\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_3}{S_4}\end{array}$ ⇒ $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. A figura a seguir representa dois terrenos cujas laterais são paralelas. De acôr-doacordo com a figura, determine as medidas x e y.

Resolução

Pelo teorema de Tales, temos:

$\frac{20+50}{20}=\frac{x+y}{x}$ I

$\frac{20+50}{50}=\frac{x+y}{y}$ II

Substituindo x + y por 63 em I, temos:

$\frac{70}{20}=\frac{63}{x}$ ⇒ $\frac{7}{2}=\frac{63}{x}$ ⇒ 7x = 126 ⇒ x = 18

Substituindo x + y por 63 em II, temos:

$\frac{70}{50}=\frac{63}{y}$ ⇒ $\frac{7}{5}=\frac{63}{y}$ ⇒ 7y = 315 ⇒ y = 45

Portanto, as medidas são x = 18 m e y = 45 m.

2. Na figura a seguir, a // b // c. Determine a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$.

Resolução

Aplicando o teorema de Tales, temos:

$\frac{\mathrm{2,7}}{y}=\frac{\mathrm{3,6}}{y+2}$ ⇒ 2,7 ⋅ (y + 2) = 3,6y ⇒

⇒ 2,7y + 5,4 = 3,6y ⇒ 3,6y − 2,7y = 5,4 ⇒

⇒ 0,9y = 5,4 ⇒ y = $\frac{\mathrm{5,4}}{\mathrm{0,9}}$ ⇒ y = 6

Portanto, cê dêCD = 6 cm + 2 cm = 8 cm.

ATIVIDADES

1. Uma pessoa tem 1,95 m de altura e, em determinado instante, sua sombra médemede 2,60 m. Calcule a razão entre a medida da altura da pessoa e a medida de sua sombra naquele instante.

$$\frac{3}{4}$$

2. Na figura a seguir, as retas r, s, t e u são paralelas. Com as informações fornecidas, deseja-se calcular as medidas x e y indicadas.

a) A partir das informações dadas, é possível resolver o problema?

Sim. Ver as Orientações para o professor.

b) Se for possível, resôuvaresolva o problema. Se não for possível, indique quais informações estão faltando para quêque as medidas possam sêrser encontradas.

x = 4,5; y = 6,75

3. Duas avenidas se encontram em um ponto A.

Essas avenidas intersectam três ruas, r₁, r₂ e r₃, quêque são paralelas entre si. Os segmentos de reta $\overline{AD}$, $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ representam quarteirões da avenida 2. Na figura, estão indicados os comprimentos, em métrometro, de alguns quarteirões.

Determine os comprimentos dos quarteirões representados pêlospelos segmentos de reta $\overline{BC}$ e $\overline{AM}$.

BC = 128 m; AM = 37,5 m

4. Considerando quêque $\overline{AB}$, $\overline{CD}$, $\overline{MN}$ e $\overline{PQ}$ são proporcionais nessa ordem e sabendo quêque AB = (x + 3) cm, cê dêCD = (x − 2) cm, MN = 40 cm e PQ = 30 cm, calcule as medidas dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$.

AB = 20 cm; cê dêCD = 15 cm

Página duzentos e cinquenta250

5. Observe a figura a seguir, em quêque as retas a, b e c são paralelas, e as medidas são dadas em centimetro.

Deseja-se determinar as medidas dos segmentos $\overline{DE}$ e $\overline{EF}$.

a) A partir das informações dadas, é possível resolver o problema?

Não. Ver as Orientações para o professor.

b) Se for possível, resôuvaresolva o problema. Se não for possível, indique quais informações estão faltando para quêque as medidas possam sêrser encontradas.

Resposta possível: É preciso saber a medida do segmento $\overline{DE}$, $\overline{EF}$ ou $\overline{DF}$.

6. Os segmentos $\overline{AB}$, $\overline{CD}$, $\overline{EF}$ e $\overline{GH}$ são proporcionais. A soma das medidas dos dois primeiros segmentos equivale a 12, e a diferença entre essas medidas é igual a 2. Com relação aos dois últimos segmentos, sabemos quêque a medida do primeiro é o triplo da medida do segundo menos duas unidades. Nessas condições, determine a soma das medidas de todos os segmentos.

15

7. Clara precisa resolver o seguinte problema em sua aula de Matemática:

Para resolver o problema, Clara utilizou a proporção $\frac{FH-30}{30}=\frac{40}{24}$. Reúna-se a um colega, e respondam às kestõesquestões.

a) A proporção apresentada por Clara está correta? Justifiquem a resposta.

Sim. Espera-se quêque os estudantes justifiquem utilizando o teorema de Tales.

b) Essa proporção resólveresolve o problema? Justifiquem a resposta.

Sim. Ver as Orientações para o professor.

c) Existe outra proporção quêque resólveresolve o problema?

Se sim, escrevam-na.

Sim. Resposta possível: $\frac{FH}{30}=\frac{64}{24}$.

8. A unidade de medida de tempera-túratemperatura usada no Brasil é o grau célciusCelsius (°C). Em alguns países do mundo, como nos Estados Unidos, a unidade de medida padrão é o grau farenrráitiFahrenheit (°F). Para converter uma medida de tempera-túratemperatura de uma unidade para outra, usamos uma escala de correspondência, como indica a figura a seguir.

Agora, obissérveobserve a fotografia.

Qual é a tempera-túratemperatura indicada na fotografia na escala célciusCelsius?

aproximadamente 38,28 °C

Página duzentos e cinquenta e um251

Figuras semelhantes

Semelhança é a característica do quêque é semelhante. Na linguagem do dia a dia, dois objetos são semelhantes quando são"parecidos".

Em Matemática, o conceito de semelhança usado em figuras geométricas é diferente daquele de uso cotidiano. pôdêmosPodemos associar a ideia de figuras semelhantes à ampliação ou redução de uma imagem, mantendo proporcionalmente a sua forma.

É o quêque acontece, por exemplo, quando damos zoom em uma fotografia no celular ou no computador: ela é ampliada, mas as proporções são mantidas.

Agora, obissérveobserve as imagens a seguir em quêque a fotografia foi ampliada da situação A para a situação B.

Quando ampliamos (ou reduzimos) a fotografia proporcionalmente, as medidas dos ângulos são preservadas e as medidas dos segmentos correspondentes aos da fotografia original são aumentadas (ou reduzidas) na mesma razão.

No caso do exemplo, essa razão de ampliação é dada por:

$\frac{4}{3}$ ou $\frac{6}{\mathrm{4,5}}$

Assim, dizemos quêque a fotografia original e a ampliada (ou a reduzida) são figuras semelhantes. A seguir, vamos formalizar esse conceito de semelhança para os polígonos.

Página duzentos e cinquenta e dois252

Polígonos semelhantes

Considere os pentágonos QRSTU e ABCDE representados a seguir.

Saiba quêque...

Os ângulos $\widehat{Q}$ e $\widehat{A}$ são ângulos correspondentes, assim como os pares de ângulos $\begin{array}{c}\widehat{R}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\widehat{B}\end{array}$, $\widehat{S}$ e $\widehat{C}$ , $\widehat{T}$ e $\widehat{D}$ , $\widehat{U}$ e $\widehat{E}$.

Vamos analisar alguns de seus elemêntoselementos.

Comparando as medidas dos ângulos internos, obissérveobserve quêque $\widehat{Q}$ e $\widehat{A}$ possuem a mesma medida: 110°. Isso também pódepode sêrser indicado como:

med( $\widehat{Q}$) = med( $\widehat{A}$) = 110°

Comparando os demais pares de ângulos, ordenadamente, temos:

med( $\widehat{R}$ ) = med( $\widehat{B}$) = 105°

med( $\widehat{S}$ ) = med( $\widehat{C}$) = 105°

med($\widehat{T}$) = med( $\widehat{D}$) = 120°

med($\widehat{U}$) = med( $\widehat{E}$) = 100°

Note quêque os ângulos correspondentes dos pentágonos têm a mesma medida, isto é, são congruentes. Nesse caso, escrevemos:

$$\begin{array}{c}\hat{Q}\cong \hat{A}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hat{R}\cong \hat{B}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hat{S}\cong \hat{C}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hat{T}\cong \hat{D}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\hat{U}\cong \hat{E}\end{array}$$

Analisando as medidas dos lados correspondentes, QR e AB, temos:

QR = 2,0 cm e AB = 4,0 cm

Comparando, ordenadamente, as medidas dos pares de lados correspondentes, temos:

RS = 1,8 cm e BC = 3,6 cm

ST = 1,5 cm e cê dêCD = 3,0 cm

TU = 2,0 cm e DE = 4,0 cm

UQ = 1,6 cm e EA = 3,2 cm

Perceba quêque os lados correspondentes são proporcionais:

$$\frac{QR}{AB}=\frac{\mathrm{2,0}}{\mathrm{4,0}}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{RS}{BC}=\frac{\mathrm{1,8}}{\mathrm{3,6}}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{ST}{CD}=\frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{3,0}}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{TU}{DE}=\frac{\mathrm{2,0}}{\mathrm{4,0}}=\frac{1}{2}$$

$$\frac{UQ}{EA}=\frac{\mathrm{1,6}}{\mathrm{3,2}}=\frac{1}{2}$$

Como os ângulos internos são ordenadamente congruentes e os lados correspondentes dos pentágonos são proporcionais, dizemos quêque os pentágonos QRSTU e ABCDE são semelhantes.

Indicamos: pentágono QRSTU ∼ pentágono ABCDE

∼ sín-bolosímbolo de semelhança

Página duzentos e cinquenta e três253

pôdêmosPodemos definir quêque:

Observações:

• Os lados (ou ângulos) correspondentes também são chamados de lados (ou ângulos) homólogos.

• O número k obtídoobtido pela razão entre as medidas dos lados homólogos é chamado de razão de semelhança. No exemplo dado, temos k = $\frac{1}{2}$.

• Se dois polígonos são semelhantes e têm razão de semelhança k, então a razão entre as respectivas alturas, entre os perímetros ou entre quaisquer outras medidas lineares correspondentes também é k.

Dois polígonos são congruentes se eles são semelhantes e a razão de semelhança é 1.

Saiba quêque...

Se duas figuras A e B são semelhantes e têm, nessa ordem, razão de semelhança k > 1, então a figura A é uma ampliação da figura B. Se a razão de semelhança for k < 1, então a figura A será uma redução da figura B.

ATIVIDADE RESOLVIDA

3. Os pentágonos ABCDE e MNOPQ são semelhantes. Sabendo quêque o perímetro do pentágono ABCDE é 8,7 cm, determine a medida de seus lados.

Resolução

Indicando as medidas dos lados do pentágono ABCDE por x, y, z, v e w, como mostrado na imagem, escrevemos a expressão quêque indica a razão de semelhança:

$$\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{CD}{OP}=\frac{DE}{PQ}=\frac{EA}{QM}$$

$$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{\mathrm{4,4}}=\frac{v}{2}=\frac{w}{4}$$

Indicando o perímetro dos polígonos por P, temos:

P_MNOPQ = 2 + 4,4 + 3 + 4 + 4 = 17,4

Como observado anteriormente, a razão entre os perímetros de polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança entre eles.

Assim:

$$\begin{array}{c}\frac{P_{ABCDE}}{P_{MNOPQ}}=\frac{\mathrm{8,7}}{\mathrm{17,4}}=\frac{1}{2}\end{array}$$

Além díssudisso, podemos escrever:

$\frac{x}{4}=\frac{1}{2}$ ⇒ x = 2

$\frac{y}{3}=\frac{1}{2}$ ⇒ y = 1,5

$\frac{z}{\mathrm{4,4}}=\frac{1}{2}$ ⇒ z = 2,2

$\frac{v}{2}=\frac{1}{2}$ ⇒ v = 1

$\frac{w}{4}=\frac{1}{2}$ ⇒ w = 2

Portanto, AB = 2 cm, BC = 1,5 cm, cê dêCD = 2,2 cm, DE = 1 cm e EA = 2 cm.

Página duzentos e cinquenta e quatro254

ATIVIDADES

9. Verifique se os paralelogramos ABCD e XYZW são semelhantes.

São semelhantes.

10. Os quadriláteros ABCD e MNPQ a seguir são semelhantes, e o lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ do primeiro corresponde ao lado $\begin{array}{c}\overline{MN}\end{array}$ do segundo. Se a razão de semelhança do quadrilátero ABCD para o quadrilátero MNPQ é de $\frac{3}{5}$ , determine a medida do lado $\begin{array}{c}\overline{MN}\end{array}$ do quadrilátero MNPQ.

10

11. Sobre polígonos semelhantes e congruentes, é correto afirmar quêque:

a) se as medidas dos lados de um dos polígonos são iguais às medidas dos lados do outro, eles são congruentes.

b) dois polígonos com número de lados diferentes podem sêrser semelhantes.

c) dois polígonos semelhantes são sempre congruentes.

d) dois polígonos congruentes são sempre semelhantes.

e) dois polígonos são semelhantes se as somas das medidas dos ângulos internos dêêssesdesses polígonos são iguais.

alternativa d

12. A razão de semelhança entre dois decágonos regulares é $\frac{3}{5}$ . Se o perímetro do decágono quêque possui o maior lado é 720 mm, qual é a medida do lado, em centimetro, do outro decágono?

4,32 cm

13. Os tampos de duas mesas retangulares são semelhantes. A razão de semelhança entre as medidas dos lados do maior para o menor é 1,5. Se as dimensões do tampo da mesa menor são 3,5 m e 2,5 m, determine o perímetro do tampo da mesa maior.

18 m

14. Os trapézios ABCD e MNPQ representados a seguir são semelhantes.

Reúna-se a um colega, elaborem duas perguntas quêque envolvam os dados dessas figuras e respondam-nas.

Resposta pessoal. Ver as Orientações para o professor.

Semelhança de triângulos

Aprendemos quêque, estabelecida uma correspondência entre os vértices, dois polígonos são semelhantes quando se verificam duas condições: os ângulos correspondentes são congruentes e os lados homólogos são proporcionais.

Entretanto, os triângulos constituem um caso especial. É possível estabelecer um conjunto de critérios mínimos quêque garantam a semelhança entre dois triângulos sem quêque seja necessário verificar as três congruências dos ângulos e a proporcionalidade entre todos os lados. Esses conjuntos de critérios podem sêrser demonstrados e são conhecidos como casos de semelhança.

A seguir, apresentamos três deles.

Página duzentos e cinquenta e cinco255

Casos de semelhança de triângulos

1º caso: Ângulo, Ângulo (AA)

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\hat{A}\cong \hat{D}\\ \hat{C}\cong \hat{F}\end{array}\}\end{array}$ ⇒ (triângulo)"△ ABC ∼ (triângulo)"△ DEF

2º caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL)

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\hat{B}\cong \hat{E}\\ \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\end{array}\}\end{array}$ ⇒ (triângulo)"△ ABC ∼ (triângulo)"△ DEF

3º caso: Lado, Lado, Lado (LLL)

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$ ⇒ (triângulo)"△ABC ∼(triângulo)"△DEF

Propriedade da semelhança de triângulos

Consideremos o triângulo ABC. Nele, vamos traçar uma reta r, paralela ao lado $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$, quêque vai intersectar o lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ no ponto P e o lado $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ no ponto Q.

Do paralelismo de r com o lado $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$, temos $\begin{array}{c}\hat{P}\cong \hat{B}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\hat{Q}\cong \hat{C}\end{array}$, quêque são ângulos correspondentes.

Assim, os triângulos APQ e ABC têm ângulos ordenadamente congruentes. Portanto, pelo caso AA de semelhança, concluímos quêque (triângulo)"△APQ ∼ (triângulo)"△ABC.

De maneira geral, temos quêque:

Página duzentos e cinquenta e seis256

Consequências da semelhança de triângulos

A partir da semelhança de triângulos, algumas consequências podem sêrser demonstradas.

A seguir, apresentamos duas delas.

1ª consequência

Vamos demonstrar quêque a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes (de razão de semelhança k) é k².

Demonstração

Considere os triângulos ABC e DEF, tais quêque (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DEF, como mostram as figuras. Então, pela semelhança de triângulos, temos:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$$

Considerando as alturas homólogas AG e DH, temos, pelo caso AA de semelhança, (triângulo)"△ABG ∼ (triângulo)"△DEH. Então, podemos escrever:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AG}{DH}=k$$

Calculando as respectivas áreas, indicadas por S, temos:

• Área (triângulo)"△ABC: S₁ = $\frac{BC\cdot AG}{2}$

$$\begin{array}{c}\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{BC\cdot AG}{2}}{\frac{EF\cdot DH}{2}}=\frac{BC\cdot AG}{EF\cdot DH}=\frac{BC}{EF}\cdot \frac{AG}{DH}=k\cdot k=k^2\end{array}$$

• Área (triângulo)"△DEF: S₂ = $\frac{EF\cdot DH}{2}$

2ª consequência

Demonstração

Os pontos M e N são os pontos médios dos lados $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$, respectivamente. Daí, temos quêque AM = MB e AN = NC.

Assim, os triângulos AMN e ABC são semelhantes pelo caso LAL, pois o ângulo A ˆ é comum aos dois triângulos e $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$.

Logo, pela semelhança dos triângulos, temos quêque:

• $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$

• $\begin{array}{c}\hat{M}\cong \hat{B}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\hat{N}\cong \hat{C}\end{array}$

Portanto, como os ângulos $\widehat{M}$ e $\widehat{B}$ são congruentes, assim como o par de ângulos $\widehat{N}$ e $\widehat{C}$, temos quêque $\begin{array}{c}\overline{MN}\end{array}$ // $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$.

Página duzentos e cinquenta e sete257

ATIVIDADES RESOLVIDAS

4. Considere um triângulo ABC e uma reta r paralela ao lado $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$. As intersecções de r com $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ são os pontos D e E, respectivamente, de modo quêque AD = 6 cm e DB = 9 cm. Se o lado $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ do triângulo médemede 20 cm, determine as medidas dos segmentos de reta formados pela intersecção da reta r com o lado $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$.

Resolução

Por meio das informações presentes no enunciado, é possível construir a seguinte figura, em quêque x e y representam as medidas dos segmentos de reta $\begin{array}{c}\overline{AE}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{EC}\end{array}$, respectivamente, determinados em $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ pela reta r.

Pela propriedade da semelhança, os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Então, podemos escrever:

$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow \frac{15}{6}=\frac{20}{x}$ ⇒ 15x = 120 ⇒ x = 8

x + y = 20 ⇒ 8 + y = 20 ⇒

⇒ y = 20 − 8 ⇒ y = 12

Portanto, AE = 8 cm e EC = 12 cm.

5. Observe a figura a seguir e determine o valor de x.

Resolução

De acôr-doacordo com a figura, os lados $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$ são congruentes, assim como os ângulos $\widehat{B}$ e $\widehat{D}$ e os ângulos B $\widehat{C}$ A e D $\widehat{C}$ E(opostos pelo vértice).

Então, pelo caso AA de semelhança, podemos afirmar quêque (triângulo)"△BCA ∼ (triângulo)"△ DCE, com razão de semelhança igual a 1, pois $\frac{BC}{DC}$= 1.

Portanto, os triângulos são também congruentes. Assim, temos:

$\begin{array}{c}\overline{AC}\cong \overline{EC}\end{array}$ ⇒ 3x − 8 = 25 ⇒

⇒ 3x = 25 + 8 ⇒ 3x = 33 ⇒ x = 11

6. Conta-se quêque Tales de Mileto foi desafiado a medir a altura da grande pirâmide de Quéops.

Para isso, ele usou os seus conhecimentos de proporcionalidade e semelhança de triângulos e a ideia de quêque os raios solares são paralelos e incidem com a mesma inclinação sobre a superfícíesuperfície terrestre. Observe a figura a seguir.

Supondo quêque a estaca fincada no chão tinha altura igual a 1,5 métrometro e a sombra dessa estaca, 2,3 metros, e sabendo quêque o lado da base quadrada da pirâmide tem medida igual a 230 metros e quêque a altura encontrada por Tales foi de 146 metros, determine a medida da sombra da pirâmide no solo no momento da medição.

Página duzentos e cinquenta e oito258

Resolução

Como os raios solares incidem com a mesma inclinação sobre a superfícíesuperfície terrestre, podemos representar a situação com o esquema a seguir.

Nesse esquema, BC é a medida da altura e AB é a medida da sombra da estaca; BF = x é a medida da sombra da pirâmide; FE = 115 m é a distância do centro da pirâmide ao lado quêque está de frente para a estaca; e DE é a altura da pirâmide.

Os triângulos ABC e BED são semelhantes pelo caso AA. Logo, temos a seguinte proporção:

$\frac{BC}{ED}=\frac{AB}{BF+FE}\Rightarrow \frac{\mathrm{1,5}}{146}=\frac{\mathrm{2,3}}{x+115}$ ⇒

⇒ 1,5 ⋅ (x + 115) = 2,3 ⋅ 146 ⇒

⇒ 1,5x + 172,5 = 335,8 ⇒ 1,5x = 335,8 − 172,5 ⇒

⇒ 1,5x = 163,3 ⇒ x ≃ 108,9

Portanto, a medida da sombra da pirâmide de Quéops no momento da medição era aproximadamente igual a 108,9 metros.

ATIVIDADES

15. (UEMA) Um prédio e um poste projetam simultaneamente sombras de 20 m e 4 m, respectivamente. Se a altura do poste é 5 m, pode-se concluir quêque a altura do prédio é:

a) 25 m

b) 20 m

c) 16 m

d) 15 m

e) 10 m

alternativa a

16. A moradia de Júlia está situada na mêtádemetade do caminho entre a escola e o local de trabalho dela. Júlia observou quêque a moradia também fica exatamente na mêtádemetade do caminho entre o supermercado e o parque. Sabe-se quêque a distância entre a escola e a moradia de Júlia é de (2x + 7) km, e a distância da moradia de Júlia até o local de trabalho dela é de 21 km. Além díssudisso, a distância entre o supermercado e a moradia de Júlia é x km, conforme a imagem a seguir. Para ir até o parque, saindo da moradia dela, quantos kilometros Júlia deverá percorrer?

7 km

17. (UFV-MG) Para determinar o comprimento de uma lagoa, utilizou-se o esquema indicado pela figura abaixo, onde os segmentos $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$ são paralelos.

Sabendo-se quêque AB = 36 m, BP = 5 m e DP = 40 m, o comprimento cê dêCD da lagoa, em metros, é:

a) 248

b) 368

c) 288

d) 208

e) 188

alternativa c

18. Considere o triângulo ABC a seguir, de modo quêque AB = 5 cm e AC = 7 cm. O polígono AFDE é um quadrado, tal quêque os pontos D, E e F pertencem aos lados $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$, respectivamente. De acôr-doacordo com as informações, qual é a medida do lado do quadrado?

a) 2 cm

b) 3 cm

c) $\frac{35}{12}$ cm

d) $\frac{5}{7}$ cm

e) 1,5 cm

alternativa c

Página duzentos e cinquenta e nove259

19. (Cefet-MG) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo quêque a mesma possa rebater e colidir com a preta.

Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente

a) 67

b) 70

c) 74

d) 81

alternativa a

20. (UEA-AM) Considere o retângulo ABCD e o triângulo retângulo BEF, com a hipotenusa $\begin{array}{c}\overline{BF}\end{array}$ intersectando o lado $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$ do retângulo, no ponto Q, e os pontos B, C e E alinhados, conforme a figura.

Sabendo quêque EF = 8 cm, BE = 15 cm, CE = 6 cm e DQ = 1,2 cm, a área do retângulo ABCD é igual a

a) 72,0 cm².

b) 54,0 cm².

c) 63,0 cm².

d) 67,5 cm².

e) 58,5 cm².

alternativa b

21. (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a quêque dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota quêque após caminhar 12,3 métrometros sobre a rampa está a 1,5 metro de altura em relação ao solo.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.

Ver as Orientações para o professor.

b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

20,5 m

22. (Fuvest-SP) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos médemmedem 12 cm e 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma quêque um dos ângulos rétosretos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

a) 8,0 cm.

b) 8,5 cm.

c) 9,0 cm.

d) 9,5 cm.

e) 10,0 cm.

alternativa c

23. (Enem/MEC) O dono de um sítio pretende colocar uma hás-tehaste de sustentação para melhor firmar dois póstespostes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os póstespostes são descritos pêlospelos segmentos AC e BD e a hás-tehaste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, quêque é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço quêque serão instalados.

Qual deve sêrser o valor do comprimento da hás-tehaste EF?

a) 1 m

b) 2 m

c) 2,4 m

d) 3 m

e)2√ 6 m

alternativa c

24. Os lados de um triângulo médemmedem 10 cm, 12 cm e 18 cm. Determine as medidas dos lados de um triângulo semelhante ao anterior cujo perímetro é 60 cm.

15 cm, 18 cm e 27 cm

• Elabore uma atividade parecida com essa, alterando as medidas dos lados do triângulo e o perímetro do triângulo semelhante.

Depois, troque-a com a atividade de um colega e resolvam as atividades um do outro.

Resposta pessoal.

Página duzentos e sessenta260

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Picos mais altos do Brasil

Você conhece os picos mais altos do Brasil? O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (hí bê gê héIBGE) fez a última atualização das altitudes dos picos em março de 2018. Leia o texto a seguir sobre esse assunto.

Geociências: hí bê gê héIBGE revê as altitudes de sete pontos culminantes

[…]

A determinação da altitude em locais de difícil acesso sempre representou um grande desafio para o campo das geociências. No passado, a alternativa era o nivelamento barométrico, realizado com o barôometrobarômetro, instrumento criado no século 17 e utilizado para medir a pressão atmosférica, altitude e mudanças no tempo. No entanto, os valores obtidos apresentavam imprecisões da ordem de metros. Com o advento das técnicas de posicionamento associadas aos Sistemas Globais de Navegação por Satélites (GNSS), em especial ao Sistema de Posicionamento Global (GPS), os levantamentos passaram a fornecer coordenadas (latitude, longitude e altitude) com alta precisão.

Utilizando a tecnologia GPS, em maio de 2004, o hí bê gê héIBGE iniciou o projeto Pontos Culminantes, com o objetivo de determinar altitudes mais precisas para os picos mais elevados do Brasil, utilizando equipamentos de rastreamento GPS associados às modernas técnicas de posicionamento preciso por satélites. O projeto, executado em cooperação com o Instituto Militar de Engenharia (IME), foi concluído em 2005, com a medição do Monte Roraima (Serra de Pacaraíma, RR, divisa entre Brasil, Venezuela e Guiana) e outros seis pontos culminantes: Pico da Neblina (Serra do Imeri, AM), Pico 31 de Março (Serra do Imeri), Pico da Bandeira (Serra do Caparaó), Pico Pedra da Mina (Serra da Mantiqueira), Pico das Agulhas Negras (Serra da Mantiqueira) e Pico Cristal (Serra do Caparaó).

[…]

GEOCIÊNCIAS: hí bê gê héIBGE revê as altitudes de sete pontos culminantes. Rio de Janeiro: Agência hí bê gê héIBGE notícias, 19 mar. 2018. Disponível em: https://livro.pw/xhpui. Acesso em: 29 set. 2024.

Observe a altitude dos picos mais altos do Brasil.

Altitude anterior e revista de sete pontos culminantes no Brasil

Página duzentos e sessenta e um261

O Pico da Neblina está localizado na serra do Imeri, no Amazonas, na fronteira com a Venezuela e a Colômbia, e dá nome ao Parque Nacional do Pico da Neblina, quêque foi criado em 1979 com o objetivo de proteger a riqueza natural da região amazônica.

Você sabia quêque existem alguns métodos para calcular grandes comprimentos sem aparelhos sofisticados e, ainda assim, obtêrobter resultados confiáveis? Tal medição utiliza conceitos da semelhança de triângulos, quêque estudamos neste Capítulo.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. De acôr-doacordo com a tabélatabela quêque acompanha o texto, percebe-se quêque houve uma diferença entre as medidas antigas e as atuáisatuais dos pontos culminantes. Qual foi o motivo dessa diferença?

Ver as Orientações para o professor.

2. Essa mesma tabélatabela traz dados sobre sete picos. Reúna-se a mais um colega, e pesquisem a localização de cada um deles. Depois, respondam:

a) Em quais estados do Brasil esses picos estão localizados?

Picos da Neblina e 31 de março – Amazonas; Pico da Bandeira – Espírito Santo/Minas Gerais; Pico Pedra da Mina – Minas Gerais/São Paulo; Pico das Agulhas Negras – Rio de Janeiro; Pico do Cristal – Minas Gerais; Monte Roraima – Roraima.

b) Pesquisem se há algum pico próximo da cidade em quêque vocês moram. Qual é a altura dele?

A resposta depende do local em quêque os estudantes residem.

3. Em determinada hora do dia, Cláudio estava passeando pelo Parque Nacional do Pico da Neblina e reparou quêque a sua sombra tinha um comprimento de 1,5 m. Nesse mesmo momento, qual seria a distância entre a extremidade da sombra produzida pelo Pico da Neblina e a projeção no solo do ponto mais alto do pico, considerando quêque a altura do pico é 2 995,3 m e quêque a altura de Cláudio é 1,8 m?

A distância seria de, aproximadamente, 2 496,08 m.

4. Reúna-se a alguns côlégascolegas e façam uma pesquisa na internet para saber o quêque é um relatório de experimento científico e como se realiza o método de medição de alturas utilizando um prato com á guaágua.

Depois, façam o quêque se pede em cada item.

Ver as Orientações para o professor.

a) Escolham um edifício, uma torre ou uma construção de seu município e empreguem o método de medição do prato com á guaágua. Feito isso, façam um relatório do experimento, quêque deve conter: materiais usados, tipo e local da construção medida, procedimento detalhado, incluindo a teoria matemática, e, por fim, conclusões obtidas.

b) Apresentem o relatório do experimento para a turma de vocês em sala de aula. Depois, conversem sobre a experiência.

Página duzentos e sessenta e dois262

Relações métricas no triângulo retângulo

No Ensino Fundamental, você estudou quêque, na Geometria Euclidiana, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°. Assim, como um triângulo retângulo tem um ângulo interno medindo 90°, podemos concluir quêque a soma das medidas dos outros dois ângulos agudos também é 90°, ou seja, esses ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares. Além díssudisso, o lado ôpôstooposto ao ângulo reto é o maior lado, chamado de hipotenusa. Os outros dois lados, perpendiculares entre si, são chamados de catetos.

(alfa)"α + (beta)"β = 90°

(beta)"β = 90° − (alfa)"α

Teorema de Pitágoras

Provavelmente você estudou no Ensino Fundamental o teorema de Pitágoras, uma conhecida relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Vamos relembrar esse teorema:

Em quêque:

• a é a medida da hipotenusa;

• b e c são as medidas dos catetos.

Observe, a seguir, uma das muitas demonstrações dêêssedesse teorema.

Demonstração

Considere o triângulo retângulo representado na figura 1, em quêque a é a medida da hipotenusa e b e c são as medidas dos catetos. Queremos provar quêque a² = b² + c².

Com quatro triângulos retângulos congruentes a esse, construímos um quadrado MNPQ, cujo lado médemede (b + c).

Página duzentos e sessenta e três263

Na figura 2, obissérveobserve quêque, inscrito ao quadrado MNPQ, temos o quadrilátero TRSV. Vamos mostrar quêque o quadrilátero TRSV é um quadrado. Acompanhe:

• Os quatro lados de TRSV são congruentes, pois são as hipotenusas dos triângulos retângulos.

• Os ângulos internos de TRSV são rétosretos, pois, em cada um dos seus vértices, por exemplo, em R, temos três ângulos adjacentes suplementares, sêndosendo dois deles os ângulos agudos do triângulo retângulo, e o outro, o ângulo interno de TRSV com vértice em R. Como os ângulos agudos do triângulo retângulo médemmedem (alfa)"α e 90° − (alfa)"α, o ângulo interno $\widehat{R}$ do quadrilátero TRSV médemede 90°. De maneira análoga, podemos provar quêque os outros ângulos internos − $\widehat{T}$ , $\widehat{S}$ e $\widehat{V}$ − do quadrilátero TRSV são rétosretos.

Assim, fica demonstrado quêque o quadrilátero TRSV é um quadrado.

Agora, considere:

• A_MNPQ a área do quadrado MNPQ;

• A_TRSV a área do quadrado TRSV;

• A(triângulo)"△ a área do triângulo retângulo dado.

Da figura 2, obtemos:

A_MNPQ = A_TRSV + 4 ⋅ A(triângulo)"△

(b + c)² = a² + 4 ($\frac{b\cdot c}{2}$)

Desenvolvendo essa expressão, temos:

Portanto: a² = b² + c²

Para assistir

• TEOREMA de Pitágoras: diferentes demonstrações. [S. I.: s. n.], 2017. 1 vídeo (1 min). Publicado pelo canal IVEPESP. Disponível em: https://livro.pw/xflcu. Acesso em: 9 set. 2024.

Assista a uma animação quêque apresenta alguns modos diferentes de mostrar a validade do teorema de Pitágoras.

Outras relações métricas no triângulo retângulo

Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas entre os elemêntoselementos de um triângulo retângulo. Inicialmente, vamos identificar esses elemêntoselementos.

Consideremos o triângulo retângulo ABC a seguir, em quêque:

• $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ é a hipotenusa de medida a.

• $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ é o cateto de medida b.

• $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ é o cateto de medida c.

• $\begin{array}{c}\overline{AH}\end{array}$ é a altura relativa à hipotenusa de medida h.

• $\begin{array}{c}\overline{BH}\end{array}$ é a projeção ortogonal, de medida n, do cateto $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ sobre a hipotenusa.

• $\begin{array}{c}\overline{HC}\end{array}$ é a projeção ortogonal, de medida m, do cateto $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ sobre a hipotenusa.

Saiba quêque...

A projeção ortogonal de um segmento de reta $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ sobre uma reta r é um segmento de reta obtídoobtido pela projeção ortogonal de todos os seus pontos sobre a reta r.

$\begin{array}{c}\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\end{array}$ é a projeção ortogonal do segmento de reta $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ sobre a reta r.

Página duzentos e sessenta e quatro264

pôdêmosPodemos observar quêque $\begin{array}{c}\overline{AH}\end{array}$ dividiu o triângulo retângulo ABC em outros dois triângulos também retângulos: HBA e HAC.

Provemos quêque os triângulos ABC, HBA e HAC são semelhantes.

Os triângulos ABC e HAC são semelhantes pelo caso AA, pois eles têm o ângulo $\widehat{C}$ em comum e um ângulo reto. O mesmo ocorre com os triângulos ABC e HBA, semelhantes pelo caso AA, pois têm o ângulo $\widehat{B}$ em comum e um ângulo reto.

Como os triângulos ABC e HBA são retângulos e os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, tem-se:

med( $\widehat{C}$) + med( $\widehat{B}$) = med( $\widehat{B}$) + med( B $\widehat{A}$ H), em quêque $\widehat{C}$ − B $\widehat{A}$ He, novamente, pelo caso de semelhança AA, os triângulos HBA e HAC são semelhantes.

Assim, concluímos quêque os três triângulos são semelhantes.

A partir da semelhança entre os triângulos formados, podemos estabelecer as relações apresentadas a seguir.

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da respectiva projeção do cateto sobre a hipotenusa:

• Como (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△HAC, temos: $\frac{a}{b}=\frac{b}{m}$ ⇒ b² = a ⋅ m

• Como (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△HBA, temos: $\frac{a}{c}=\frac{c}{n}$ ⇒ c² = a ⋅ n

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa:

• Como (triângulo)"△HAC ∼ (triângulo)"△HBA, temos: $\frac{h}{n}=\frac{m}{h}$ ⇒ h² = m ⋅ n

Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa:

• Como (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△HAC, temos: $\frac{a}{b}=\frac{c}{h}$ ⇒ a ⋅ h = b ⋅ c

Com as duas primeiras relações métricas obtidas, podemos também demonstrar o teorema de Pitágoras. Note quêque, com a adição das equações, temos:

b² + c² = a ⋅ m + a ⋅ n ⇒ b² + c² = a ⋅ (m + n)

Como m + n = a, e fazendo a substituição necessária na equação encontrada, finalizamos a demonstração:

b² + c² = a ⋅ a ⇒ a² = b² + c²

Página duzentos e sessenta e cinco265

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Considere o quadrado, cujo lado médemede (éli)"ℓ e cuja diagonal médemede d. Calcule o valor de d em função de (éli)"ℓ.

Resolução

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos:

d² = (éli)"ℓ² + (éli)"ℓ² ⇒ d² = 2(éli)"ℓ² ⇒ d = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2{\mathcal{l}}^2}\end{array}$ ⇒

⇒ d = $\begin{array}{c}\mathcal{l}\sqrt[]{2}\end{array}$ _

8. A circunferência tem raio desconhecido.

Sobre ela, marcam-se uma kórdacorda $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ de 8 cm de comprimento e um segmento $\begin{array}{c}\overline{OM}\end{array}$ perpendicular a $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ de 2 cm de comprimento, de modo quêque M é um ponto de $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e O é o centro da circunferência. Com esses dados, determine a medida do raio da circunferência.

Resolução

Na figura dada, traçando-se um raio de O a B, forma-se o triângulo isósceles AOB, pois OA = OB (raios) e, como $\begin{array}{c}\overline{OM}\end{array}$ é perpendicular à base $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$, temos AM = MB. Logo, M é ponto médio da kórdacorda $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$. Então:

AM = $\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}$ ⇒ AM = 4

Considerando o triângulo retângulo OMA e aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

(OA)² = (OM)² + (AM)² ⇒ (OA)² = 2² + 4² ⇒

⇒ OA² = 20 ⇒ OA = $\begin{array}{c}\sqrt[]{20}\end{array}$ _ = 2$\sqrt[]{5}$

Portanto, o raio da circunferência médemede 2$\sqrt[]{5}$ cm.

ATIVIDADES

25. (Enem/MEC) Na figura apresentada abaixo, quêque representa o projeto de uma escada com 5 degraus da mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8 m

b) 1,9 m

c) 2,0 m

d) 2,1 m

e) 2,2 m

alternativa d

26. No triângulo retângulo ABC, determine as medidas m, n, h e c indicadas.

m = 4; n = 12; h = $\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ ; c = $\begin{array}{c}8\sqrt[]{3}\end{array}$

27. (UnB-DF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos médemede 16 metros. Determine, em metros, a medida da hipotenusa, sabendo quêque a medida desta excede a medida de outro cateto em oito metros.

20 m

Página duzentos e sessenta e seis266

28. Um triângulo retângulo tem sua hipotenusa medindo 5 cm e a altura relativa a essa hipotenusa com medida de 2,4 cm. Com as informações fornecidas, é possível determinar as medidas, em centimetro, dos catetos?

Justifique. Se não for possível, explicite pelo menos uma informação quêque tornaria possível resolver o problema.

Não, pois faltam dados. Ver as Orientações para o professor.

29. (FGV-SP) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e AMCN é um losango.

Determine a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{NB}\end{array}$, sabendo quêque AB = 2AD = 20 cm.

aproximadamente 16 cm

30. (hú- hê- érre jotaUERJ) Segundo historiadores da matemática, a análise de padrões como os ilustrados a seguir possibilitou a descoberta das triplas pitagóricas.

Observe quêque os números inteiros 3², 4² e 5², representados respectivamente pelas 2ª, 3ª e 4ª figuras, satisfazem ao Teorema de Pitágoras.

Dessa forma (3, 4, 5) é uma tripla pitagórica.

Os quadrados representados pelas 4ª, 11ª e n ª figuras determinam outra tripla pitagórica, sêndosendo o valor de n igual a:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

alternativa b

31. (Unitau-SP) Uma rê-derede de á guaágua potável ligará uma central de abastecimento, situada à margem de um rio de 400 m de largura (considerada constante), a um conjunto habitacional, situado na outra margem, através dos pontos USR, como mostra a figura.

O custo da instalação da tubulação através do rio é de R$ 830,00 o métrometro, enquanto, em térraterra, custa R$ 400,00.

Se a distância do conjunto habitacional até o ponto S for igual a 1.700 metros, pode-se afirmar, CORRETAMENTE, quêque o custo de instalação da rê-derede de á guaágua potável será de:

a) R$ 1.611.000,00

b) R$ 1.012.000,00

c) R$ 1.132.000,00

d) R$ 1.095.000,00

e) R$ 1.321.000,00

alternativa d

32. (Unichristus) Um drone, em um ponto A, foi utilizado para localizar os focos de um incêndio na mata. Esse drone está a uma altura H do solo e detecta dois focos de incêndio nos pontos B e C, de acôr-doacordo com a figura abaixo.

A distância do ponto A (drone) até o ponto B é de 84 m, a distância do ponto A (drone) até o ponto C é de 140 m, e a distância entre os pontos B e C é de 196 m. Se o triângulo ABC é retângulo em A, a altura H do drone em relação ao solo é igual a

a) 45 m.

b) 50 m.

c) 55 m.

d) 60 m.

e) 65 m.

alternativa d

33. Elabore um problema quêque possa sêrser resolvido usando uma ou mais relações métricas em um triângulo retângulo. Passe seu problema para um colega resolver e resôuvaresolva o problema elaborado por ele.

Resposta pessoal.

Página duzentos e sessenta e sete267

FÓRUM

[…]

A Resex Ipaú-Anilzinho contará agora com drone para ajudar a preservar a Unidade de Conservação [UC]. O objetivo é melhorar a capacidade de monitoramento aéreo das alterações da cobertura vegetal da Resex. O trabalho é fruto da parceria entre o Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (í cê ême bíuICMBio) e o Instituto Federal do Pará (IFPA), do Campus Tucuruí.

[…]

Um dos diferenciais dêêssedesse tipo de equipamento é a capacidade de capturar imagens do alto e realizar a gravação de vídeos com estabilidade. Há também o Sistema de Detecção de Obstáculos para quêque o quadricóptero possa desviar de objetos e evitar acidentes e a função Smart Return Home para quêque, com ajuda do GPS, o equipamento volte automaticamente para o ponto inicial.

De acôr-doacordo com o chefe da Resex, a implementação de tecnologias de aerolevantamento no combate ao desmatamento ilegal na região da UC garante maior celeridade de atuação da equipe de trabalho e, até mesmo, otimização de recursos. […]

INSTITUTO CHICO MENDES DE CONSERVAÇÃO DA BIODIVERSIDADE. Resex usará drone para identificar desmatamento. Brasília, DF: í cê ême bíuICMBio, 5 abr. 2019. Disponível em: https://livro.pw/ohqtf. Acesso em: 9 set. 2024.

Saiba quêque...

Ver as Orientações para o professor.

Página duzentos e sessenta e oito268

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
O picselpixel e a formação da imagem

O computador é uma máquina quêque pódepode sêrser programada, o quêque significa quêque é possível criar uma sequência de instruções para quêque ele execute determinada função. Para programá-lo, é necessário usar uma linguagem de programação, a fim de garantir quêque as instruções sêjamsejam passadas de maneira precisa e coesa. Essas linguagens de programação são escritas por nós, sêresseres humanos, e interpretadas pelo computador como uma linguagem de máquina, quêque é uma grande sequência de números.

Se os computadores só armazenam números, como eles reproduzem as imagens? Primeiro, é necessário pensar em como são as telas. Os visores dos computadores são compostos de uma grade de pontos, e cada um dêêssesdesses pontos é chamado de picselpixel. Em uma tela em preto e branco, o picselpixel pódepode assumir uma dessas duas cores. Dessa maneira, as imagens, assim como tudo quêque aparece em uma tela, são formadas por uma junção de picselspixels pretos e brancos, como a letra J a seguir.

Portanto, para quêque o computador armazene a imagem, basta quêque ele guarde quais picselspixels são de cada côrcor. Uma possível maneira de fazer isso é associar uma sequência de números a cada linha, de maneira quêque se dêz-crevadescreva quais picselspixels devem sêrser brancos e quais devem sêrser pretos. Investigue a imagem a seguir e obissérveobserve como essa associação é feita para a letra J!

Pense e responda

Os números indicam as quantidades de quadrinhos quêque serão pintados de branco ou de preto.

Quando a sequência começa com zero, isso significa quêque o primeiro quadradinho da linha será preto.

As linhas com o mesmo cóódigocódigo produzem imagens iguais.

Página duzentos e sessenta e nove269

O primeiro dígito do cóódigocódigo se refere à quantidade de picselspixels brancos quêque estão mais à esquerda da tela. Já o segundo dígito descreve quantos picselspixels pretos existem depois dos brancos. O terceiro indica quantos brancos há a seguir, e assim por diante até obtêrobter toda a informação da linha dessa sequência numérica. Esse processo é feito linha a linha. Observe quêque, se o primeiro picselpixel for preto, o cóódigocódigo começará com um zero.

As imagens na tela podem sêrser ampliadas, e as proporções são mantidas. Observe como ficaria a ampliação de um picselpixel em cinco vezes, isto é, a figura semelhante a um único picselpixel com razão de semelhança 5.

Da mesma maneira, as imagens podem sêrser reduzidas. Observe agora como seria a redução de um retângulo 6 × 2 com razão de semelhança 0,5.

Agora, faça o quêque se pede na atividade a seguir.

• Em uma malha quadriculada:

Ver as Orientações para o professor.

a) desvende a imagem armazenada por um computador com o seguinte cóódigocódigo:

Linha 1: 0, 7

Linha 2: 0, 1, 5, 1

Linha 3: 0, 1, 5, 1

Linha 4: 0, 1, 5, 1

Linha 5: 0, 1, 1, 3, 1, 1

Linha 6: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

Linha 7: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

Linha 8: 0, 7

b) crie uma nova figura, com base na imagem do item anterior, com razão de semelhança 2 e escrêevaescreva o cóódigocódigo de armazenamento dessa imagem.

Ver as Orientações para o professor.

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Na Babilônia, mil anos antes de Pitágoras

Leia a seguir o trecho de um texto sobre a Matemática na Babilônia.

Uma vez, vi um carpinteiro marcar dois cortes perpendiculares na madeira: pegou um barbante de comprimento 12 dm, formou um triângulo com lados de comprimentos 3, 4 e 5 dm, e usou o fato de quêque o ângulo entre os lados menóresmenores é reto. Não sei se sabia por quêpor que funciona, mas aposto quêque ignorava quêque a técnica já era usada 4.000 anos atrás.

Plimpton 322, uma tábua de argila encontrada nas escavações da Mesopotâmia e datada de 1800 a.C., é um dos mais famosos documentos matemáticos antigos. Tem inscrita uma tabélatabela com 15 linhas e 4 colunas de números (na notação sexagesimal da Babilônia) quêque formam triplas pitagóricas, ou seja, triplas de números inteiros a, b e c (por exemplo, a = 3, b = 4 e c = 5) tais quêque a² + b² = c².

A maioria dos especialistas acredita quêque se trata de uma lista de exemplos para uso em sala de aula. Mas a inscrição também aponta um método de cálculo das triplas – mais de mil anos antes de Pitágoras! – quêque mostra um conhecimento de geometria quêque se pensava só ter sido alcançado na Grécia.

Um leitor chamou a minha atenção para outro documento matemático da Babilônia identificado recentemente. A peça, uma placa circular de argila chamada Si.427, data de 1900 a 1600 a.C. Ela foi escavada em Bagdá em 1894, mas foi dada como perdida até quêque o pesquisador australiano Daniel Mansfield a localizou no Museu Arqueológico de Istambul.

Si.427 contém um dos exemplos mais antigos de aplicação da trigonometria, a um dos problemas quêque mais motivaram o avanço da matemática no Egito e na Mesopotâmia: a redistribuição de terras. Ela é uma espécie de registro de imóvel, contendo informações legais e geométricas sobre um terreno quêque foi dividido para quêque fosse vendida a mêtádemetade dele.

Para fazer essa divisão d fórmade forma precisa, é importante saber traçar perpendiculares a uma reta dada. É aí quêque os dois documentos se conéctamconectam: um método prático de obtêrobter a perpendicularidade é construindo triângulos cujos lados têm comprimentos dados por alguma tripla pitagórica, tal como fez o meu carpinteiro.

Assim, os problemas práticos colocados por Si.427 podem sêrser resolvidos utilizando a “teoria” contida em Plimpton 322. […]

VIANA, Marcelo. Na Babilônia, mil anos antes de Pitágoras. Folha de São PauloS.Paulo, São Paulo, 17 ago. 2021. Disponível em: https://livro.pw/pnmdt. Acesso em: 29 jun. 2024.

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ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (Unifor-CE)

A figura acima mostra um armário de banheiro quêque tem o formato de um trapézio. A altura total do armário é de 42 cm e ele está dividido em três compartimentos. As medidas de um dos lados de cada compartimento estão indicadas na figura.

Desprezando a espessura das divisórias, podemos afirmar quêque no compartimento do meio podemos colocar um produto com altura mássimamáxima de

a) 10 cm.

b) 14 cm.

c) 18 cm.

d) 21 cm.

e) 25 cm.

alternativa d

2. (Unemat-MT) A sombra de uma pessoa quêque tem 1,80 m de altura médemede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste médemede 2,00 m. Se mais tarde, a sombra do poste diminuir 50 cm, a sombra da pessoa passará a medir:

a) 30 cm

b) 45 cm

c) 48 cm

d) 36 cm

e) 25 cm

alternativa b

3. (IFSC) Para determinar a altura de um poste, Ana utilizou o seguinte artifício, com o auxílio de uma colega: mediu sua sombra e a do poste, obtendo 2,4 m e 3,7 m, respectivamente. Se Ana tem 1,5 m de altura, então é CORRETO afirmar quêque a altura do poste é de:

a) 1,0 m

b) 2,3 m

c) 5,9 m

d) 2,6 m

e) 2,0 m

alternativa b

4. (Epcar-MG) Observe a figura a seguir:

Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t.

Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:

AB = y

DE = 4

HD = 5

BN = 6

BC = 9

FG = z

DI = 2

BP = x

cê dêCD = 10

GH = m

MN = 16

A soma AB + FH, em cm, é dada por um número divisível por:

a) 3

b) 4

c) 7

d) 11

alternativa a

5. (UFU-MG) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio ADD(minutos)"′A(minutos)"′, com AD = 90 m e A(minutos)"′D(minutos)"′ = 135 m, como mostra o esquema da figura abaixo.

Tal área foi dividida em terrenos ABB(minutos)"′A(minutos)"′, BCC(minutos)"′B(minutos)"′ e cê dê dêCDD(minutos)"′C(minutos)"′, todos na forma trapezôidáutrapezoidal, com bases paralelas às avenidas tais quêque AB = 40 m, BC = 30 m e cê dêCD = 20 m.

De acôr-doacordo com essas informações, a diferença, em metros, A(minutos)"′B(minutos)"′ − C(minutos)"′D(minutos)"′ é igual a:

a) 20.

b) 30.

c) 15.

d) 45.

alternativa b

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6. (UEA-AM) A circunferência (gama)"γ está inscrita no triângulo isósceles ABC de altura 12 cm e base medindo 10 cm, conforme a figura:

O raio da circunferência (gama)"γ médemede

a) $\frac{16}{3}$ cm

b) $\frac{14}{5}$ cm

c) $\frac{18}{7}$ cm

d) $\frac{10}{3}$ cm

e) $\frac{12}{5}$ cm

alternativa d

7. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$ é 9, a quêque distância de C deverá estar o ponto E, do segmento $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$, para quêque C $\widehat{E}$ A − D $\widehat{E}$ B?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

alternativa a

8. (IFPE) Ramon, Alexandre e Milton são alunos do curso de Informática no Campus Afogados da Ingazeira e estão testando um robô para participar de olimpíadas de robótica. Um dos exercícios testes consistia em fazer o robô realizar os seguintes comandos:

I. andar 30 cm em linha reta;

II. realizar um giro de 90° à direita;

III. andar mais 40 cm em linha reta;

IV. retornar ao ponto inicial no menor percurso possível.

Sobre o trajeto percorrido pelo robô, neste teste, é CORRETO afirmar quêque:

a) forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa médemede 50 cm.

b) forma um triângulo retângulo cujo perímetro médemede 100 cm.

c) forma um triângulo retângulo e isósceles.

d) forma um paralelogramo cujo perímetro médemede 140 cm.

e) forma um paralelogramo cujas diagonais médemmedem 50 cm.

alternativa a

9. (UFRGS-RS) Considere o retângulo ABCD de lados AB = 4 e AD = 2 e o ponto médio M de $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$. Traçando a reta mediatriz do lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$, determina-se o segmento $\begin{array}{c}\overline{MN}\end{array}$, com N na intersecção da mediatriz com $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$. Considere um ponto P construído sobre o segmento $\begin{array}{c}\overline{MN}\end{array}$, e os segmentos $\begin{array}{c}\overline{PD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{PC}\end{array}$, como mostra a figura abaixo.

Tomando x como a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{PN}\end{array}$, considere S(x) a função quêque expressa a soma das medidas dos segmentos $\begin{array}{c}\overline{PM}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overline{PD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{PC}\end{array}$ em função de x.

Para 0 ≤ x ≤ 2, S(x), entre as alternativas abaixo, é

a) S(x) = x + $\begin{array}{c}2\sqrt[]{x^2+4}\end{array}$ .

b) S(x) = (2 − x) + 2(x² + 4).

c) S(x) = (2 − x) + $\begin{array}{c}\sqrt[]{x^2+4}\end{array}$ _.

d) S(x) = x + $\begin{array}{c}\sqrt[]{x^2+4}\end{array}$ _.

e) S(x) = (2 − x) + $\begin{array}{c}2\sqrt[]{x^2+4}\end{array}$ _ .

alternativa e

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10. (Cefet-MG) Na figura a seguir, o segmento $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ representa uma parede cuja altura é 2,9 m. A medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ é 1,3 m, o segmento $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$ representa o beiral da casa. Os raios de sólsol r₁ e r₂ passam ao mesmo tempo pela casa e pelo prédio, respectivamente.

Se r₁ é paralelo com r₂, então, o comprimento do beiral, em metros, é:

a) 0,60

b) 0,65

c) 0,70

d) 0,75

alternativa a

11. (FGV-SP) O paralelogramo ABCD, indicado na figura, é tal quêque BE = $\frac{BC}{4}$, DF = $\frac{AD}{3}$ e G é a intersecção de $\begin{array}{c}\overline{EF}\end{array}$ com $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$.

A área do triângulo GCE supera a do triângulo GAF em, aproximadamente:

a) 27%

b) 25%

c) 21%

d) 11%

e) 6%

alternativa a

PARA REFLETIR

Respostas pessoais.

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