CAPÍTULO
3
Função definida por mais de uma sentença

O Imposto sobre a Renda das Pessoas Físicas (IRPF), mais conhecido como imposto de renda, é um exemplo de cobrança quêque incide sobre a renda e os proventos de cidadãos residentes no Brasil. O dinheiro arrecadado com esse imposto financia inúmeros serviços públicos como saúde, educação e segurança, promovendo uma redistribuição da renda.

O imposto é cobrado de acôr-doacordo com o rendimento anual de cada cidadão. Quanto maior a renda, maior é a alíquota do imposto. No Brasil, em 2024, a alíquota variava de 7,5% a 27,5%. Quem recebia mensalmente até R$ 2.259,20, aproximadamente 30 mil reais anuais, era isento de pagar o imposto. Em outros países como, por exemplo, nos Estados Unidos da América, a alíquota variava de 10% a 37% e, em Portugal, variava de 14,5% a 48%.

Situações como essa vão nos auxiliar a compreender o estudo de funções, em particular as funções definidas por mais de uma sentença.

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Introdução

O estudo de funções nos permite compreender algumas regularidades presentes em situações do dia a dia, bem como estabelecer modelos matemáticos quêque possibilitem analisar e prever resultados.

Na abertura dêstedeste Capítulo, foi apresentada uma situação quêque podemos relacionar ao conceito de função definida por mais de uma sentença. Além dêêssedesse conceito, estudaremos outros tipos de função, sua representação gráfica e conceitos matemáticos relacionados a eles.

Função definida por mais de uma sentença

Aprendemos quêque o Imposto sobre a Renda das Pessoas Físicas (IRPF) é um imposto quêque incide sobre a renda e os proventos dos cidadãos brasileiros. Esse tributo é cobrado de acôr-doacordo com uma tabélatabela progressiva, a qual indica a alíquota correspondente a cada base de cálculo, quêque depende da renda de cada contribuinte.

Alíquota é o percentual aplicado sobre a base de cálculo para determinar o valor de um tributo.

Observe a tabélatabela de incidência mensal do IRPF vigente a partir de fevereiro de 2024.

tabélaTabela de incidência mensal do IRPF vigente em 2024

Fonte: BRASIL. Ministério da Fazenda. Receita Federal. Tributação de 2024. Brasília, DF: Receita Federal, 9 fev. 2024. Disponível em: https://livro.pw/rogou. Acesso em: 14 out. 2024.

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Com base nessa tabélatabela, podemos calcular, por exemplo, o imposto quêque incide sobre a renda de um trabalhador quêque teve como base de cálculo mensal o valor de R$ 3.350,00. Nesse caso, devemos aplicar a alíquota de 15% sobre a base de cálculo e deduzir R$ 381,44 dêêssedesse valor. Observe:

R$ 3.350,00 ⋅ 15% − R$ 381,44 = R$ 502,50 − R$ 381,44 = R$ 121,06

Logo, em 2024, o imposto de renda quêque incide sobre uma base de cálculo de R$ 3.350,00 mensais é de R$ 121,06.

Dizemos quêque a contribuição mensal do imposto de renda, em reais, é uma função da base de cálculo, também expressa em reais, pois cada valor da base de cálculo corresponde a um único valor de contribuição mensal do imposto de renda. A base de cálculo é a variável independente, e a contribuição mensal do imposto de renda é a variável dependente.

Com base na tabélatabela de incidência mensal do IRPF vigente em 2024, considerando x os valores correspondentes à base de cálculo e f(x) a contribuição mensal do imposto de renda, podemos escrever uma lei de formação para representar essa função.

f(x) = $\{\begin{array}{c}0,\mathrm{se\; x}⩽\mathrm{2259,20}\\ \mathrm{0,075}x-\mathrm{169,44},\mathrm{se}\mathrm{2259,21}⩽x⩽\mathrm{2826,65}\\ \mathrm{0,15}x-\mathrm{381,44},\mathrm{se}\mathrm{2826,66}⩽x⩽\mathrm{3751,05}\\ \mathrm{0,225}x-\mathrm{662,77},\mathrm{se}\mathrm{3751,06}⩽x⩽\mathrm{4664,68}\\ \mathrm{0,275}x-\mathrm{896,00},\mathrm{se\; x}>\mathrm{4664,68}\end{array}$

Funções como a quêque modela a contribuição mensal do imposto de renda de acôr-doacordo com a base de cálculo são denominadas funções definidas por mais de uma sentença.

Observe outros exemplos de leis de formação de funções definidas por mais de uma sentença:

a) f(x) = $\{\begin{array}{c}x,\mathrm{se\; x}⩽5\\ x+1,\mathrm{se\; x}>5\end{array}$

b) g(x) = $\{\begin{array}{c}2x+6,\mathrm{se\; x}⩽-1\\ {\mathrm{x}}^2,\mathrm{se}-1<x<1\\ 3,\mathrm{se\; x}⩾1\end{array}$

f(x) = 0, se x ≤ 2.259,20

Se necessário, auxiliar os estudantes a escrever a sentença solicitada nesse questionamento e registrar as demais sentenças, considerando cada faixa de renda apresentada na tabélatabela.

• HISTÓRIA do imposto de renda. [S. l.: s. n.], 2016. 1 vídeo (6 min). Publicado pelo canal Receita Federal. Disponível em: https://livro.pw/rgzqd. Acesso em: 17 set. 2024.
O vídeo conta a história do imposto de renda no mundo e no Brasil.

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Gráfico de uma função definida por mais de uma sentença

A construção do gráfico de uma função definida por mais de uma sentença deve sêrser feita por partes considerando a lei de formação quêque determina cada uma das partes da função.

Por exemplo, vamos construir o gráfico da função g: ℝ → ℝ, definida por:

g(x) = $\{\begin{array}{c}x+3,\mathrm{se\; x}⩽2\\ 4,\mathrm{se}2<x⩽5\\ -2x+16,\mathrm{se\; x}>5\end{array}$

Para isso, será necessário construir separadamente o gráfico correspondente a cada sentença da função, atentando-se ao intervalo de x determinado em cada uma das sentenças. Em seguida, deve-se reunir essas representações no mesmo plano cartesiano.

I. Considerando g₁(x) = x + 3, se x ≤ 2.

O gráfico correspondente é parte do gráfico da função afim definida por y = x + 3, em quêque x ∈ ]−∞, 2]. Nesse caso, escolhemos dois valores de x ∈ ]−∞, 2], determinamos dois pontos pertencentes à reta e, em seguida, consideramos a parte da reta em quêque x ≤ 2.

Vale observar quêque, na escolha dos dois valores de x ∈ ]−∞, 2], é conveniente escolher valores extremos do intervalo. Assim, x = 2 será um dos valores escolhidos, pois é um extremo do intervalo.

II. Considerando g₂(x) = 4, se 2 < x ≤ 5.

O gráfico correspondente é parte do gráfico da função constante definida por y = 4, em quêque x ∈ ]2, 5]. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas. Para determinar dois pontos do gráfico, vamos escolher x = 2 e x = 5, pois são os extremos do intervalo ]2, 5].

Assim, o gráfico de g₂ é um segmento de reta limitado pêlospelos pontos (2, 4) e (5, 4). Note quêque o ponto (2, 4) não pertence ao segmento, pois x = 2 é um extremo do intervalo ]2, 5], mas não está contido nele. Dessa forma, representamos esse ponto por uma bó-linhabolinha aberta.

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III. Considerando g₃(x) = −2x + 16, se x > 5.

O gráfico correspondente é parte do gráfico da função afim definida por y = −2x + 16, em quêque x ∈ ]5, +∞[. Vamos escolher x = 5 e x = 6 para determinarmos dois pontos pertencentes à reta e, em seguida, consideramos a parte da reta tal quêque x > 5.

O ponto (5, 6) não pertence ao gráfico da função g₃, pois x = 5 não pertence ao seu domínio. Assim, indicamos o ponto por uma bó-linhabolinha aberta.

Para representar o gráfico da função g, é necessário reunir, em um mesmo plano cartesiano, as representações obtidas anteriormente.

Na prática, podemos fazer esboços referentes a cada sentença da função com fio tracejado e depois traçar o gráfico final. Observe quêque um valor de x ∈ D(g) tem uma única imagem y = g(x). Indicamos isso no gráfico utilizando bó-linhabolinha aberta e bó-linhabolinha fechada.

Nesse exemplo, temos D(g) = ℝ, CD(g) = ℝ e Im(g) = ]−∞, 6[.

A respeito dos intervalos de crescimento e de decrescimento de g, temos:

• dados quaisquer x₁, x₂ ∈ ]−∞, 2], tais quêque x₁ < x₂, tem-se g(x₁) < g(x₂), ou seja, nesse intervalo, à medida quêque os valores de x aumentam, os valores de g(x) também aumentam. Portanto, a função g é crescente no intervalo ]−∞, 2].

• dados quaisquer x₁, x₂ ∈ ]5, +∞[, tais quêque x₁ < x₂, tem-se g(x₁) > g(x₂), ou seja, nesse intervalo, à medida quêque os valores de x aumentam, os valores de g(x) diminuem. Portanto, a função g é decrescente no intervalo ]5, +∞[.

Observe quêque, dados quaisquer x₁, x₂ ∈ ]2, 5], tem-se g(x₁) = g(x₂), portanto, a função g é constante nesse intervalo.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Considerando a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = $\{\begin{array}{c}1,\mathrm{se\; x}<0\\ x-2,\mathrm{se\; x}⩾0\end{array}$, determine:

a) f(0)

b) f(−2)

c) f($\sqrt[]{5}$) + f(−$\sqrt[]{5}$)

Resolução

a) Se x = 0, f é definida por f(x) = x − 2. Assim, temos: f(0) = 0 − 2 = −2

Portanto, f(0) = −2.

b) Se x = −2, f é definida por f(x) = 1. Assim, temos: f(−2) = 1

Portanto, f(−2) = 1.

c) Se x = $\sqrt[]{5}$, f é definida por f(x) = x − 2. Assim, temos: f ($\sqrt[]{5}$) = $\sqrt[]{5}$ − 2

Se x = −$\sqrt[]{5}$, f é definida por f(x) = 1. Assim, temos: f(−$\sqrt[]{5}$) = 1

Portanto, f($\sqrt[]{5}$)+ f(−$\sqrt[]{5}$) = $\sqrt[]{5}$− 2 + 1 = −$\sqrt[]{5}$ − 1.

2. Construa o gráfico da função dada por

f(x) = $\{\begin{array}{c}{x}^2+2x+1,\mathrm{se\; x}⩽0\\ \frac{x}{3}+1,\mathrm{se\; x}>0\end{array}$ e determine o domínio da função D(f), o conjunto imagem Im(f) e o intervalo de crescimento e de decrescimento de f.

Resolução

Essa função é definida por duas sentenças.

Considerando x ≤ 0, a lei da função é f(x) = x² + 2x + 1, quêque é uma restrição de uma função polinomial do 2º grau. Nesse caso, teremos a parte de uma parábola para os valores de x tais quêque x ≤ 0.

Essa parábola intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 1).

As coordenadas do vértice podem sêrser obtidas por x_V = $-\frac{b}{2a}$ e y_V = $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}$.

• x_V = $-\frac{2}{2\cdot 1}$ = −1

• y_V = − $\begin{array}{c}\frac{2^2-4\cdot 1\cdot 1}{4\cdot 1}\end{array}$ = 0

Logo, o vértice dessa parábola tem coordenadas (−1, 0). Observe quêque −1 é também zero dessa função.

Nesse caso, considerando x ≤ 0, temos a seguinte representação gráfica.

Considerando x > 0, a lei da função é f(x) = $\frac{x}{3}$ + 1, quêque é uma restrição de uma função afim. Nesse caso, teremos a parte de uma reta quêque passa pêlospelos pontos (0, 1) e (3, 2).

Assim, considerando x > 0, temos a seguinte representação gráfica.

Reunindo em um mesmo plano cartesiano as duas representações anteriores, obtemos o gráfico da função f.

Desse modo, temos: D(f) = ℝ, Im(f) = [0, +∞[

Sobre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, temos:

• considerando x ≥ −1, à medida quêque os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam, portanto, f é crescente no intervalo [−1, +∞[.

• considerando x ≤ −1, à medida quêque os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem, portanto, f é decrescente no intervalo ]−∞, −1].

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ATIVIDADES

1. Uma loja de artigos automotivos, com o intuito de incentivar as vendas de alarmes, propôs aos vendedores quêque também instalam alarmes quêque, além da remuneração mensal fixa de R$ 1.200,00, eles receberiam uma comissão sobre o valor de cada unidade vendida e instalada naquele mês.

Essa comissão corresponde a uma porcentagem do valor do alarme, quêque custa R$ 120,00, e varia de acôr-doacordo com o qüadroquadro a seguir.

a) De quêque tipo é a função quêque modela a situação apresentada?

Função definida por mais de uma sentença.

b) Determine a lei de uma função quêque modela o salário dêêssesdesses funcionários, em reais, de acôr-doacordo com a quantidade x de alarmes vendidos no mês.

1. b) Ver as Orientações para o professor.

c) Qual é o salário de um funcionário quêque vendeu e instalou 82 alarmes no mês?

R$ 2.872,80

d) Quantos alarmes vendeu e instalou um funcionário quêque recebeu R$ 1.502,40 de salário no mês?

36 alarmes

2. Dadas as funções definidas por

f(x) = $\{\begin{array}{c}4x-1,\mathrm{se\; x}⩽3\\ x^2+2,\mathrm{se\; x}>3\end{array}$ e

g(x) = $\{\begin{array}{c}{x}^2+4x+3,\mathrm{se\; x}<1\\ -x,\mathrm{se\; x}⩾1\end{array}$

calcule:

a) f(3) − g(5)

16

b) g(0) + 2 ⋅ f(−1)

−7

c) $\frac{f\left(4\right)}{g\left(1\right)}$

−18

3. Considere f: ℝ → ℝ definida por

f(x) = $\{\begin{array}{c}3x+4,\mathrm{se\; x}<0\\ x-2,\mathrm{se\; x}⩾0\end{array}$.

Determine os possíveis valores de x para:

a) f(x) = 0

$-\frac{4}{3}$ ou 2

b) f(x) = −2

−2 ou 0

4. Construa o gráfico e determine o intervalo de crescimento e de decrescimento de cada função definida a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

a) f(x) = $\{\begin{array}{c}-x+2,\mathrm{se\; x}⩽1\\ -x^2+2x,\mathrm{se\; x}>1\end{array}$

b) g(x) = $\{\begin{array}{c}{x}^2+6x+8,\mathrm{se\; x}⩽-2\\ -2x+3,\mathrm{se\; x}>-2\end{array}$

5. Observe o gráfico de uma função g representado a seguir.

Com base nesse gráfico, determine a lei de formação da função g.

g(x) = $\{\begin{array}{c}-x-3,\mathrm{se\; x}\le -1\\ -2,\mathrm{se}-1<x\le 1\\ x-3,\mathrm{se\; x}>1\end{array}$

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6. Em alguns municípios brasileiros, a população tem a possibilidade de utilizar gás natural encanado em sua residência. Esse serviço é oferecido por companhias de distribuição, e uma de suas vantagens é o fornecimento contínuo do combustível.

Uma concessionária estabelece o valor a sêrser pago pelo consumo de gás considerando um valor, fixado por faixa de consumo, adicionado a um valor variável quêque depende da quantidade consumida, em métrometro cúbico. Observe, a seguir, os valores aproximados das cinco primeiras faixas de consumo praticados por essa concessionária. Nesses valores, já estão considerados PIS/Cofins, mas não está considerado o ICMS.

Tarifas de gás canalizado: segmento residencial

Fonte dos dados: SÃO PAULO (Estado). Agência Reguladora de Serviços Públicos do Estado de São Paulo. Deliberação Arsesp númeronº 1.504, de 06 de março de 2024. Dispõe sobre a atualização das Tabelas Tarifárias e sobre a Tarifa de Uso do Sistema de Distribuição (TUSD) a serem aplicadas no mercado livre pela concessionária de distribuição de gás canalizado Companhia de Gás de São Paulo – Comgás. São Paulo: Arsesp, 2024. Disponível em: https://livro.pw/jaqbq. Acesso em: 26 ago. 2024.

Os valores reais foram aproximados considerando-se duas casas decimais para facilitar os cálculos.

Assim, por exemplo, se, em uma residência, o consumo foi de 6,5 m³, acompanhe os cálculos do valor quêque essa concessionária vai cobrar:

Adicionando esses valores, obtemos R$ 50,63, quêque é o valor a sêrser pago por 6,5 m³ de gás natural a essa concessionária, sem considerar o ICMS.

Ver as Orientações para o professor.

Reúna-se a dois côlégascolegas e, com base nessas informações, façam o quêque se pede a seguir.

a) Vocês já conheciam como é cobrado o gás natural consumido em residências?

b) Pesquisem o significado das siglas PIS, Cofins e ICMS e procurem saber mais sobre esses tributos.

c) Com base nessa tabélatabela e considerando x o consumo, em métrometro cúbico, e f(x) o valor correspondente a sêrser pago, em reais, escrevam uma lei de formação quêque possa sêrser utilizada para modelar essa situação.

d) Considerando a lei de formação utilizada para modelar o valor pago à concessionária de gás residencial, elaborem uma situação em quêque se deve calcular o valor pago em um determinado mês por uma residência quêque consome o gás distribuído por essa concessionária. Em seguida, tróquemtroquem a quêquestão com outro grupo, para que ele resôuvaresolva o problema elaborado por vocês. Verifiquem se a maneira como os côlégascolegas resolveram a questão é parecida ou igual à de vocês. Conversem sobre as formas de resolução e as dificuldades.

Resposta pessoal.

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CONEXÕES com...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Consumo consciente de á guaágua

A á guaágua é um recurso natural indispensável à vida. Ela é utilizada na agricultura, na higiene pessoal, na limpeza de ambientes, na geração de energia elétrica, entre outras funções. O uso irresponsável dêêssedesse recurso tanto na agricultura como nas residências e nas indústrias causa problemas quêque ameaçam o fornecimento de á guaágua para a população.

Acompanhe, a seguir, mais informações sobre a distribuição e o consumo de á guaágua.

[...]

A á guaágua doce não está distribuída uniformemente pelo glôboglobo. Sua distribuição depende essencialmente dos éco-sistemasecossistemas quêque compõem o território de cada país. Segundo o Programa Hidrológico Internacional da Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco), na América do Sul encontra-se 26% do total de á guaágua doce disponível no planêtaplaneta e apenas 6% da população mundial, enquanto o continente asiático possui 36% do total de á guaágua e abriga 60% da população mundial.

[...]

BRASIL. Ministério da Educação. Ministério do Meio Ambiente. Consumo sustentável: manual de educação. Brasília, DF: Consumers International: MMA: MÉCMEC: IDEC, 2005. p. 27. Disponível em: https://livro.pw/lrnwb. Acesso em: 26 ago. 2024.

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Observe, a seguir, algumas informações divulgadas pelo hí bê gê héIBGE referentes ao consumo de á guaágua no Brasil.

Estudo divulgado pelo Instituto Brasileiro de Geografia [e Estatística] (hí bê gê héIBGE) apontou o aumento do gasto de á guaágua no Brasil. Em 2020, o consumo médio diário de á guaágua por habitante foi de 117,5 litros, um aumento de 2% em relação a 2019. Os dados compõem as “Contas Econômicas Ambientais da Água” (2018-2020).

[...]

ASSOCIAÇÃO MINEIRA DE DEFESA DO AMBIENTE. Consumo e valor da á guaágua crescem no Brasil, aponta hí bê gê héIBGE. Belo Horizonte: Amda, 1 set. 2023. Disponível em: https://livro.pw/xtbil. Acesso em: 26 ago. 2024.

São apresentadas, a seguir, dicas para reduzir o consumo de á guaágua em algumas situações no dia a dia.

[...]

Banho de ducha por 15 minutos, com o registro meio aberto, consome 135 litros de á guaágua. Se você fechar o registro ao se ensaboar e reduzir o tempo do banho para 5 minutos, seu consumo cai para 45 litros. [...]

[...]

Se uma pessoa escôvaescova os dentes em 5 minutos com a torneira não muito aberta, gasta 12 litros de á guaágua. No entanto, se molhar a escôvaescova e fechar a torneira enquanto escôvaescova os dentes e, ainda, enxaguar a bôcaboca com um copo de á guaágua, consegue economizar mais de 11,5 litros de á guaágua.

[...]

Ao lavar o rrôstorosto em 1 minuto, com a torneira meio aberta, uma pessoa gasta 2,5 litros de á guaágua. A dica é não demorar.

O mesmo vale para o barbear: em 5 minutos gastam-se 12 litros de á guaágua. Com economia, o consumo cai para 2 a 3 litros. [...]

Um vaso sanitário com válvula e tempo de acionamento de 6 segundos gasta cerca de 12 litros. Quando a válvula está defeituosa, pódepode chegar a gastar até 30 litros.

[...]

COMPANHIA DE SANEAMENTO BÁSICO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Dicas da SABÉSPSabesp ensinam como economizar á guaágua. São Paulo: SABÉSPSabesp, 2012. Disponível em: https://livro.pw/rgkyv. Acesso em: 12 out. 2024.

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No município onde você mora, há cobrança mensal de consumo de á guaágua? Você compreende os dados apresentados na conta de á guaágua?

Observe, a seguir, parte de um modelo de uma conta de á guaágua e algumas informações destacadas.

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Na tabélatabela a seguir, são apresentados os valores cobrados de acôr-doacordo com o consumo de á guaágua no município de São Paulo (SP), segundo a tarifa residencial comum vigente em setembro de 2024.

Tarifa residencial comum – abastecimento de á guaágua e côlétacoleta de esgoto vigente em setembro de 2024

Fonte dos dados: COMPANHIA DE SANEAMENTO BÁSICO DO ESTADO DE SÃO PAULO. Comunicado 2/24. São Paulo: SABÉSPSabesp, 2024. Disponível em: https://livro.pw/xknbb. Acesso em: 25 set. 2024.

Acompanhe como calcular, por exemplo, o valor pago referente a um consumo mensal de 22 m³ de á guaágua em uma residência dêêssedesse município (cada resultado é multiplicado por dois em razão da côlétacoleta de esgoto):

Incentivar os estudantes a procurar na internet tabélastabelas de valores de outros municípios e a fazer a comparação dos valores, levantando hipóteses sobre o motivo de a tarifa de consumo de á guaágua variar de acôr-doacordo com o município.

Ver as Orientações para o professor.

Adicionando esses valores, verificamos quêque, na situação considerada, R$ 256,04 era o valor pago por 22 m³ de consumo de á guaágua.

Agora, reúna-se a dois côlégascolegas, e façam o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Com base na tabélatabela desta página, considerem x o consumo de á guaágua, em métrometro cúbico, e f(x) o valor a sêrser pago, em reais, pelo fornecimento de á guaágua e côlétacoleta de esgoto e escrevam uma lei de formação quêque relacione esses valores.

2. Caso haja cobrança mensal de á guaágua no município onde moram, pesquisem sobre essas tarifas e verifiquem se a côlétacoleta de esgoto também é tarifada, além de outros serviços públicos. Verifiquem a possibilidade de estender a pesquisa para conseguir essa informação sobre municípios vizinhos, com o objetivo de fazer uma comparação.

3. Com base nas informações apresentadas nesta seção, conversem sobre a importânssiaimportância da preservação da á guaágua. Pesquisem mais alternativas quêque podem sêrser adotadas para redução de consumo de á guaágua e elaborem um panfleto para divulgar essas informações na escola.

Como referência para a produção do panfleto, incentivar os estudantes a assistirem ao documentário indicado no boxe Para assistir.

• DOCUMENTÁRIO: Futuro das águas: desafio do século (filme oficial completo). São Paulo: [s. n.], 2022. 1 vídeo (31 min). Publicado pelo canal Lavoura Santa. Disponível em: https://livro.pw/qphnm. Acesso em: 27 ago. 2024.
O documentário apresenta os desafios hídricos atuáisatuais, destacando a importânssiaimportância de se repensar o uso e o reúso da á guaágua. A produção conta com relatos de especialistas, quêque apontam diferentes soluções para um melhor uso da á guaágua.

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Módulo de um número real

Em situações envolvendo distância e comprimento, os resultados verificados são números positivos. Estudaremos, agora, alguns conceitos matemáticos quêque nos auxiliam no trabalho com essas situações.

Acompanhe a definição matemática a seguir.

A notação |x| foi introduzida pelo matemático alemão káurKarl Theodor uiu rélmWilhelm Weierstrass (1815-1897).

Observe alguns exemplos:

a) $|+5|$ = +5 = 5

b) $\begin{array}{c}\left|\sqrt[]{2}\right|=\sqrt[]{2}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\left|0\right|\end{array}$= 0

d) $|-3|$ = −(−3) = 3

e) $\begin{array}{c}|-\sqrt[]{3}|=-(-\sqrt[]{3})=\sqrt[]{3}\end{array}$

f) $\begin{array}{c}\left|-\frac{7}{5}\right|=-(-\frac{7}{5})=\frac{7}{5}\end{array}$

Geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto correspondente a esse número até a origem da reta real. Observe:

De modo geral, sêndosendo a > 0, se $\left|x\right|$ = a, então x = a ou x = −a.

Em particular, se |x| = 0, então x = 0.

Por exemplo, para saber o valor de x tal quêque $\left|x\right|$ = 4, basta verificar quais valores distam 4 unidades da origem. Nesse caso, são +4 e −4.

Logo, se $\left|x\right|$ = 4, então x = −4 ou x = +4.

Além díssudisso, para c e d reais, $\left|c\right|=\left|d\right|$ se, e somente se, c = d ou c = −d.

Propriedades

Observe a seguir algumas propriedades envolvendo o módulo de um número real.

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Distância entre dois pontos na reta real

Dados dois pontos A e B na reta real, correspondentes aos números reais x_A e x_B, respectivamente, a distância entre A e B é dada por $\begin{array}{c}\left|x_B-x_A\right|\end{array}$

Por exemplo:

A distância entre os pontos A e B é calculada por:

$|2-(-4\left)\right|=|2+4|=\left|6\right|$ = 6

Do mesmo modo, a distância entre os pontos B e A é calculada por:

$|-4-2|=|-6|$ = 6

É possível demonstrar quêque, na reta real, a distância entre dois pontos A e B, correspondentes aos números reais x_A e x_B, respectivamente, pódepode sêrser calculada por $\begin{array}{c}\left|x_B-x_A\right|\end{array}$ ou $\begin{array}{c}{x}_A-x_B\mid \end{array}$.

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Função modular

Aprendemos quêque, para cada número real x, existe um único número $\left|x\right|$ correspondente. Com base nisso, podemos determinar uma função f: ℝ → ℝ quêque associa cada número real ao seu módulo. Essa função é um caso particular de função definida por mais de uma sentença.

Aplicando-se a definição de módulo de um número real, a função modular pódepode sêrser escrita como:

Gráfico da função modular

Para construir o gráfico da função modular, podemos traçar separadamente o gráfico de cada sentença quêque compõe a lei da função no sistema cartesiano e, posteriormente, reunir as representações.

Considerando a função dada por f(x) = $\left|x\right|$, temos:

• f(x) = x, para x ≥ 0

• f(x) = −x, para x < 0

Reunindo em um mesmo sistema cartesiano as duas representações anteriores, temos o gráfico da função modular definida por f(x) = $\left|x\right|$.

Observe quêque o domínio dessa função é D(f) = ℝ e quêque o conjunto imagem é Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

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Outros gráficos de funções envolvendo módulo

Com base no gráfico da função dada por f(x) = $\left|x\right|$, podemos construir gráficos de outras funções quêque envolvem o módulo de um número real.

Observe, por exemplo, o gráfico das funções a seguir em um mesmo sistema cartesiano:

Professor, verificar a possibilidade de trabalhar o tópico Outros gráficos de funções envolvendo módulo utilizando o GeoGebra.

Fazendo translações do gráfico da função f, podemos obtêrobter os gráficos de g e de h. O procedimento é o seguinte:

• o gráfico da função g, dada por g(x) = $|x+3|$ − 2, é obtídoobtido após o gráfico de f sofrer uma translação horizontal de 3 unidades para a esquerda, seguida de uma translação vertical de duas unidades2 unidades para baixo;

• o gráfico da função h, dada por h(x) = $|x-2|$ + 1, é obtídoobtido após o gráfico de f sofrer uma translação horizontal de duas unidades2 unidades para a direita, seguida de uma translação vertical de uma unidade1 unidade para cima.

De modo geral, considerando uma função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = $|x+a|$ + b, o gráfico dessa função pódepode sêrser obtídoobtido por meio de translações do gráfico da função definida por f(x) = $\left|x\right|$.

Para isso, podemos considerar os seguintes casos:

• b > 0: o gráfico é transladado para cima em b unidades;

• b < 0: o gráfico é transladado para baixo em $\left|b\right|$ unidades;

• a > 0: o gráfico é transladado para a esquerda em a unidades;

• a < 0: o gráfico é transladado para a direita em $\left|a\right|$ unidades.

Página noventa e quatro94

Equações modulares

Toda equação quêque apresenta o módulo de pelo menos uma expressão quêque tenha incógnita é denominada equação modular. Por exemplo:

a) $|x+5|$ = 8

b) $\begin{array}{c}|x^2-2x+1|\end{array}$ = x + 1

c) $\begin{array}{c}|x{|}^2+5|x|\end{array}$ = 0

d) $|4x-1|=|x+8|$

Com base na definição do módulo de um número real, considerando a ≥ 0, podemos escrever a seguinte propriedade:

$\left|x\right|$ = a ⇔ x = a ou x = −a

Utilizamos essa propriedade na resolução de equações modulares.

Considerando o exemplo do item a, temos $|x+5|$ = 8.

Como 8 > 0, para resolver essa equação, calculamos:

• x + 5 = 8 ⇒ x = 3

• x + 5 = −8 ⇒ x = −13

Assim, os números 3 e −13 são soluções da equação $|x+5|$ = 8.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. Em cada caso, simplifique a expressão $|x-1|+|x-3|$ sabendo quêque x é um número real tal quêque:

a) x ≥ 3

b) 1 ≤ x < 3

c) x < 1

Resolução

Pela definição de módulo, temos:

$$\begin{array}{c}|x-1|=\{\begin{array}{c}x-1,\mathrm{se\; x}-1⩾0\Rightarrow x⩾1\\ -x+1,\mathrm{se\; x}-1<0\Rightarrow x<1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}|x-3|=\{\begin{array}{c}x-3,\mathrm{se\; x}-3⩾0\Rightarrow x⩾3\\ -x+3,\mathrm{se\; x}-3<0\Rightarrow x<3\end{array}\end{array}$$

a) Para x ≥ 3, temos:
$|x-1|+|x-3|$ = x − 1 + x − 3 = 2x − 4

b) Para 1 ≤ x < 3, temos:
$|x-1|+|x-3|$ = x − 1 − x + 3 = 2

c) Para x < 1, temos:
$|x-1|+|x-3|$ = −x + 1 − x + 3 = −2x + 4

4. Construa o gráfico da função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = $\begin{array}{c}|x^2-4|\end{array}$ e determine o conjunto imagem.

Resolução

pôdêmosPodemos reescrever a lei da função f como uma função definida por mais de uma sentença. Para isso, vamos estudar o sinal de y = x² − 4 para definir os intervalos de x para cada sentença da lei de f. Nesse caso, temos:

x² − 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2

x² − 4 ≥ 0, para x ≤ −2 ou x ≥ 2

x² − 4 < 0, para −2 < x < 2

Logo, a função f é dada por:

f(x) = $\{\begin{array}{c}{x}^2-4,\mathrm{se\; x}⩽-2\mathrm{ou\; x}⩾2\\ -x^2+4,\mathrm{se}-2<x<2\end{array}$

Vamos traçar separadamente o gráfico de cada sentença quêque compõe a lei da função e, posteriormente, reunir em um mesmo sistema cartesiano as representações obtidas.

I f(x) = x² − 4, se x ≤ −2 ou x ≥ 2

Página noventa e cinco95

II f(x) = −x² + 4, se −2 < x < 2

Reunindo em um mesmo sistema cartesiano as partes obtidas em I e II, temos o gráfico da função f.

O conjunto imagem da função é dado por Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0} ou, simplesmente, Im(f) = ℝ₊. Outra maneira de traçar um gráfico quêque poderia sêrser utilizada para construir o gráfico de f seria realizar uma reflekçãoreflexão em relação ao eixo x da parte quêque representa os valores negativos da função real dada por g(x) = x² − 4, pois o módulo de um número negativo é o ôpôstooposto dêêssedesse número.

5. resôuvaResolva as equações a seguir no conjunto dos números reais.

a) $\begin{array}{c}|x^2-5x|\end{array}$ = 6

b) $|x-2|=|3-2x|$

Resolução

a) Como 6 > 0, utilizamos a propriedade $\left|x\right|$ = a ⇔ x = a ou x = −a na resolução da equação modular $\begin{array}{c}|x^2-5x|\end{array}$ = 6.

Assim, temos: u $\begin{array}{c}|x^2-5x|\end{array}$ = 6 ⇒ $\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}^2-5x=6\mathrm{ou}I\\ {\mathrm{x}}^2-5x=-6II\end{array}$

De I, temos:

x² − 5x − 6 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, obtemos x(minutos)"′ = 6 e x(segundos)"″ = −1.

De II, temos:

x² − 5x + 6 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, obtemos x(minutos)"′ = 3 e x(segundos)"″ = 2.

Portanto, S = {−1, 2, 3, 6}.

b) Como $|3-2x|$ ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ, utilizamos a propriedade $\left|x\right|$ = a ⇔ x = a ou x = −a na resolução da equação modular $|x-2|$ = $|3-2x|$.

Assim, temos:

$|x-2|=|3-2x|$ ⇒ $\{\begin{array}{c}x-2=3-2\mathrm{x\; ou}I\\ x-2=-\left(3-2\mathrm{x}\right)II\end{array}$

De I, temos: x − 2 = 3 − 2x ⇒ 3x = 5 ⇒ x = $\frac{5}{3}$

De II, temos: x − 2 = −3 + 2x ⇒ −x = −1 ⇒ x = 1

Portanto, S = $\left\{1,\frac{5}{3}\right\}$

6. Determine o conjunto solução da equação $|2x+1|$ = x − 3.

Resolução

Como o módulo de um número real x é sempre maior do quêque ou igual a 0, é necessário quêque x − 3 ≥ 0. Logo, x ≥ 3.

Supondo x − 3 ≥ 0, utilizamos a propriedade |x| = a ⇔ x = a ou x = −a na resolução da equação modular $|2x+1|$ = x − 3.

Assim, temos:

$|2x+1|$ = x − 3 ⇒ $\{\begin{array}{c}2x+1=x-3\mathrm{ou}I\\ 2x+1=-x+3II\end{array}$

De I, obtemos: 2x + 1 = x − 3 ⇒ x = −4

De II, obtemos: 2x + 1 = −x + 3 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = $\frac{2}{3}$

Como x = −4 e x = $\frac{2}{3}$ não satisfazem a condição x ≥ 3, não existe x ∈ ℝ quêque seja solução da equação, ou seja, o conjunto solução é vazio. Portanto, S = ∅.

Página noventa e seis96

ATIVIDADES

7. De acôr-doacordo com a definição de módulo, calcule:

a) $|3-5|$

2

b) $|-3+5|$

2

c) $|-3-5|$

8

d) $|-1|+|-6|$

7

e) $\left|-\left|-5\right|\right|$

5

f) $|-2|-|-10|$

−8

8. Considere os pontos A, B, C e D representados na reta real a seguir.

Calcule a distância entre os pontos indicados nos itens a seguir.

a) A e B

3

b) B e C

1

c) B e D

6

d) A e D

9

9. Aplicando a definição de módulo, determine o valor numérico de:

a) 2x − $\left|x\right|$, para x = −4.

−12

b) $\left|\frac{4x+1}{5-2x}\right|$, para x = −1.

$\frac{3}{7}$

c) $\begin{array}{c}|x^3+x|-|x^2-3x+1|\end{array}$, para x = −2.

−1

10. Simplifique a expressão algébrica A = $\left|x\right|$ + $|x+2|$ para os seguintes valores de x:

a) x < −2

−2x − 2

b) −2 ≤ x < 0

2

c) x ≥ 0

2x + 2

11. escrêevaEscreva a expressão $|x+3|+|2x-1|$ sem os módulos, para x > 3.

3x + 2

12. Qual é o conjunto de valores assumidos pela expressão $\frac{a}{\left|a\right|}+\frac{b}{\left|b\right|}+\frac{c}{\left|c\right|}$ sêndosendo a, b e c números reais não nulos e:

a) a, b e c positivos?

3

b) a, b e c negativos?

−3

13. Considere a função definida por f(x) = $\frac{2}{|x-3|}$ e faça o quêque se pede.

a) Há algum valor de x ∈ ℝ para o qual a função não está definida? Se sim, qual é esse valor?

sim, x = 3

b) Calcule o valor de f$\left(\frac{1}{2}\right)$

$\frac{4}{5}$

14. Construa o gráfico de cada função definida a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

a) f(x) = $|x-3|$

b) g(x) = $|x-3|$ + 4

c) h(x) = $|-2x+1|$

d) j(x) = $|-2x+1|$ − 3

e) m(x) = $\begin{array}{c}|x^2-4|\end{array}$ − 5

15. Observe a seguir o gráfico da função f.

Utilizando módulo, determine a lei da função f, o domínio D(f) e o conjunto imagem Im(f).

f(x) = $|x+1|$ + 2; D(f) = ℝ; Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 2}

16. O preêçopreço médio de cértocerto produto agrícola é dado em função do mês do ano em quêque é comercializado. Se P é o preêçopreço médio em reais e n é o número correspondente ao mês do ano, P em função de n é dado por P(n) = 8 − $|6-n|$. Determine para qual valor de n ocorre o valor mínimo de P.

n = 12

17. Construa o gráfico das funções definidas a seguir e determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma.

Ver as Orientações para o professor.

a) f(x) = $\left|x\right|+|x-2|$

b) g(x) = $|x-1|+|x-3|$

18. resôuvaResolva as seguintes equações modulares:

a) $|3x+1|$ = 6

18. a) S = $\left\{-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right\}$

b) $\left|\frac{x-2}{3}\right|$ = 1

S = {−1, 5}

c) $\begin{array}{c}|x^2+4x|\end{array}$ = 12

S = {−6, 2}

19. (Udesc) A soma das raízes distintas da equação x² − 5x + 6 = $|x-3|$ é:

a) 10

b) 7

c) 0

d) 3

e) 4

alternativa e

20. (Epcar-MG) Considere a equação $\left|x\right|$ = x − 6. Com respeito à solução real dessa equação, pode-se afirmar quêque a:

a) solução pertence ao intervalo fechado [1, 2].

b) solução pertence ao intervalo fechado [−2, −1].

c) solução pertence ao intervalo aberto ]−1, 1[.

d) equação não tem solução.

alternativa d

Página noventa e sete97

21. (Fafeod-MG) Sejam S₁ e S₂ os conjuntos solução das seguintes equações modulares, respectivamente:

(i) $|x-5|$ = 1 − 2x

(ii) $|2x-6|$ = 6 − 2x

Assim sêndosendo, é CORRETO afirmar, então, quêque o conjunto S₁ ∩ S₂ é igual a:

a) {x ∈ ℝ | x < −1}

b) {−4, 2}

c) {x ∈ ℝ | x < 3}

d) {−4}

e) {x ∈ ℝ | x < 0}

alternativa d

22. Um posto de combustível está localizado em determinado ponto de uma rodovia de 350 km de comprimento. A distância de um viajante quêque está nessa rodovia até o posto pódepode sêrser determinada por uma função definida por d(x) = $|x-200|$ em quêque d(x) é a distância, em kilometro, e x indica o km da rodovia onde o viajante se encontra. De acôr-doacordo com essas informações, responda:

a) Em qual km dessa rodovia está localizado o posto?

No kilometro 200 da rodovia.

b) Em quais pontos da rodovia pódepode estar uma pessoa quêque se encontra a uma distância de 135 km do posto de combustível?

No kilometro 65 ou no 335.

23. (ITA-SP) O produto das raízes reais da equação $\begin{array}{c}|x^2-3x+2|=|2x-3|\end{array}$ é igual a:

a) −5

b) −1

c) 1

d) 2

e) 5

alternativa a

24. (Furg-RS) O produto de todas as raízes da equação $\begin{array}{c}|x^2-8|\end{array}$ − 4 = 0 é:

a) 4.

b) −4.

c) −8.

d) −48.

e) 48.

alternativa e

25. (UECE) Se f(x) = $\frac{1}{2}$ x² − 2, então as raízes irracionais da equação $\left|f\right(x)-6|$ = 8 são:

a) 2$\sqrt[]{2}$ e $-$2$\sqrt[]{2}$

b) 3$\sqrt[]{2}$ e $-3\sqrt[]{2}$

c) 4$\sqrt[]{2}$ e $-$4$\sqrt[]{2}$

d) 5$\sqrt[]{2}$ e $-$5$\sqrt[]{2}$

alternativa c

26. (Insper-SP) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).

O número de elemêntoselementos do conjunto solução da equação $\left|f\right(x\left)\right|$ = 1, resolvida em ℝ, é igual a:

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

alternativa b

27. (Mack-SP) Observando, na figura, os esboços dos gráficos das funções f(x) = $\frac{x+\left|x\right|}{2}$ e g(x) = $-\left|x\right|$ + 1, considere as afirmações:

I. Não existe x < 0, tal quêque g(x) > f(x).

II. As soluções de f(x) ≥ g(x) são todas positivas.

III. A soma das raízes da equação f(x) = g(x) é $\frac{1}{2}$.

Então:

a) Todas são falsas.

b) Todas são verdadeiras.

c) Somente I e II são verdadeiras.

d) Somente I e III são verdadeiras.

e) Somente II e III são verdadeiras.

alternativa a

Página noventa e oito98

Funções sobrejetora, injetora e bijetora

Vamos estudar agora quando uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva), injetora (ou injetiva) e bijetora (ou bijetiva). Com esse estudo, pretendemos facilitar a compreensão do conceito de função invérsainversa, quêque será explorado mais à frente.

Função sobrejetora

Em outras palavras, uma função f é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio da função, ou seja, quando Im(f) = CD(f).

Por exemplo:

a) Considere a função f: A → B, definida por f(x) = x², representada por meio do diagrama.

A função f é sobrejetora, pois todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

b) Considere agora a função g: ℕ → ℕ definida por g(x) = 2x + 3.

Observe alguns valores assumidos pela função g.

x = 0 ⇒ g(0) = 2 ⋅ 0 + 3 = 3

x = 1 ⇒ g(1) = 2 ⋅ 1 + 3 = 5

x = 2 ⇒ g(2) = 2 ⋅ 2 + 3 = 7

⋮ ⋮ ⋮

Existem números naturais quêque não são imagem de nenhum elemento do domínio da função g. Por exemplo, os valores 0, 1 e 2 não pertencem ao conjunto imagem de g, pois não existe x ∈ ℕ tal quêque 2x + 3 = 0, 2x + 3 = 1 ou 2x + 3 = 2. Nesse caso, a função g não é sobrejetora.

Na verdade, basta quêque haja pelo menos um elemento do contradomínio quêque não seja imagem de algum elemento do domínio da função para quêque ela não seja sobrejetora.

Função injetora

Em outras palavras, uma função f é injetora quando não existe elemento do contradomínio quêque seja imagem de mais de um elemento do domínio da função.

Página noventa e nove99

Por exemplo:

a) Considere a função f: A → B, definida por f(x) = x + 1, representada por meio do diagrama a seguir.

A função f é injetora, pois elemêntoselementos distintos de A são associados pela função a elemêntoselementos distintos de B.

b) Considere agora a função g: ℝ → ℝ definida por g(x) = x² + 1 e obissérveobserve o cálculo de dois valores assumidos por essa função.

g(1) = 1² + 1 ⇒ g(1) = 2

g(−1) = (−1)² + 1 ⇒ g(−1) = 2

Note quêque o número 2, pertencente ao contradomínio da função, é imagem de dois elemêntoselementos distintos do domínio, (1 e −1). Nesse caso, a função g não é injetora.

Função bijetora

Quando f: A → B é uma função bijetora, dizemos quêque há uma bijeção entre A e B, ou, ainda, uma correspondência biunívoca entre A e B.

Por exemplo:

a) Considere a função f: A → B, definida por f(x) = 2x + 1, representada por meio do diagrama a seguir.

Com base nessa representação, temos:

• a função f é sobrejetora, pois todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A;

• a função f é injetora, pois elemêntoselementos distintos de A são associados por f a elemêntoselementos distintos de B.

Portanto, a função f é bijetora, ou seja, temos uma correspondência biunívoca entre A e B.

b) Considere agora a função g: ℝ → ℝ definida por g(x) = x².

• A função g não é sobrejetora, pois existe pelo menos um elemento no contradomínio quêque não é imagem de nenhum elemento do domínio da função g. Por exemplo, o número −1 (não há número real x tal quêque x² = −1).

• A função g não é injetora, pois existem elemêntoselementos distintos do domínio de g quêque têm imagens iguais por essa função. Por exemplo: g(−2) = g(2) = 4

Portanto, a função g não é bijetora.

Outra maneira de reconhecer se uma função é ou não bijetora é por meio do gráfico quêque a representa. Para isso, traçamos retas paralelas ao eixo x, quêque passam por pontos de ordenadas pertencentes ao contradomínio da função, verificando se elas intersectam esse gráfico. Caso isso aconteça, observamos quantos pontos de intersecção existem em cada reta traçada.

Página cem100

Observe alguns exemplos.

a) Função f: A → B, em quêque A = [1, 5] e B = [2, 7], representada no gráfico a seguir. Observe quêque o domínio D(f) foi destacado em azul e o contradomínio CD(f), em vêrdeverde.

Nesse exemplo, qualquer quêque seja a reta traçada paralelamente ao eixo x, passando por pontos de ordenadas pertencentes ao contradomínio da função, intersecta o gráfico em um único ponto.

Nesse caso, a função f é bijetora.

Ver as Orientações para o professor.

b) Função g: A → B, em quêque A = [1, 6] e B = [2, 6], representada no gráfico a seguir. Observe quêque o domínio D(g) foi destacado em azul e o contradomínio CD(g), em vêrdeverde.

Nesse exemplo, qualquer quêque seja a reta traçada paralelamente ao eixo x, passando por pontos de ordenadas pertencentes ao contradomínio da função, intersecta o gráfico. Entretanto, pelo menos uma dessas retas intersecta o gráfico em mais de um ponto.

Nesse caso, a função g é sobrejetora, mas não é injetora. Portanto, a função g não é bijetora.

Ver as Orientações para o professor.

c) Função h: A → B, em quêque A = [1, 8] e B = [1, 6], representada no gráfico a seguir. Observe quêque o domínio D(h) foi destacado em azul e o contradomínio CD(h), em vêrdeverde.

Nesse exemplo, existe pelo menos uma reta paralela ao eixo x, passando por um ponto de ordenada pertencente ao contradomínio da função, quêque não intersecta o gráfico.

Nesse caso, a função h não é sobrejetora. Portanto, não é bijetora.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e um101

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Observe o gráfico de uma função f: ℝ → ℝ e verifique se essa função é injetora.

Resolução

Traçando retas paralelas ao eixo x quêque passam por pontos de ordenadas pertencentes ao contradomínio da função, temos:

Observe quêque a função f não é injetora, pois há pelo menos uma reta paralela ao eixo x, passando por um ponto de ordenada pertencente ao contradomínio da função, quêque intersecta o gráfico de f em mais de um ponto.

Isso significa quêque, para diferentes valores de x ∈ D(f), temos imagens iguais. Por exemplo: f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 0

8. Verifique se o gráfico da função g: [−2, 8] → [0, 8] a seguir representa uma função bijetora.

Resolução

A função g não é sobrejetora, pois há pelo menos um elemento do contradomínio de g quêque não é imagem de nenhum elemento do domínio de g pela função. Por exemplo, não existe x ∈ D(g) tal quêque g(x) = 1 e 1 ∈ CD(g).

Portanto, a função g não é bijetora.

Perceba também quêque essa função não é injetora, pois elemêntoselementos distintos do domínio, por exemplo, 4 e 8, são associados, pela função, à mesma imagem, pois f(4) = f(8) = 2.

ATIVIDADES

28. Verifique se a função f: A → B representada em cada diagrama a seguir é bijetora, apenas sobrejetora, apenas injetora ou nenhuma dessas classificações.

a)

apenas sobrejetora

b)

nem sobrejetora nem injetora

c)

bijetora

d)

apenas injetora

Página cento e dois102

29. Considerando os gráficos a seguir, indique aquele quêque representa uma função bijetora, sabendo quêque o domínio é ℝ e o contradomínio é ℝ também.

a)

b)

c)

d)

alternativa d

30. (UFMT) A figura a seguir representa o gráfico de uma função y = f(x).

A partir das informações contidas no gráfico, indique V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

• f é uma função injetora.

• O domínio de f é o intervalo ]−2; 3].

• f(x) = 2, para todo 2 ≤ x ≤ 4.

• f(x) ≥ 0, para ∀ x ∈ $\left[-\frac{5}{2};0\right]$ ∪ [1; 5].

A sequência correta é:

a) F, F, F, V.

b) F, V, V, F.

c) V, F, V, V.

d) V, V, V, F.

e) F, V, F, F.

alternativa a

Função composta

Acompanhe a situação a seguir.

Em uma fábrica de calçados, o lucro L obtídoobtido com a venda de cada par é função do preêçopreço V de venda de cada par para os varejistas. Essa função é expressa por L(V) = 0,4 ⋅ V. Por sua vez, o preêçopreço V, referente à venda de cada par, é função do valor P, gasto com a matéria-prima necessária para produzir o par, e é expresso por V(P) = 20 + 2P.

Como seria possível determinar o lucro L com base no valor gasto em matéria-prima P?

Observe como podemos fazer isso utilizando uma composição entre as duas funções. Temos as seguintes leis:

L(V) = 0,4 ⋅ V I e V(P) = 20 + 2P II

Substituindo II em I, obtemos:

L(P) = 0,4 ⋅ (20 + 2P) ⇒ L(P) = 8 + 0,8P

Com isso, a função dada por L(P) = 8 + 0,8P relaciona diretamente o lucro L, obtídoobtido com a venda de cada par de calçados, e o valor P, gasto com a matéria-prima necessária para produzir cada par.

Página cento e três103

Nessa situação, observamos quêque a variável L (lucro) é função da variável V (preço de venda), quêque, por sua vez, é função de uma terceira variável, P (valor da matéria-prima).

Essas cadeias de dependência podem sêrser matematicamente modeladas pela composição de funções.

Acompanhe a definição matemática de função composta e obissérveobserve o diagrama a seguir, quêque representa esse conceito.

(g ∘ f)(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A

(g ∘ f)(x) ← Lê-se: g de f de x.

g(f(x)) ← Lê-se: g composta com f.

Considere, por exemplo, as funções f e g, definidas por:

• f: A → B, quêque, a cada x ∈ A, associa um único valor de y ∈ B, tal quêque y = 2x;

• g: B → C, quêque, a cada y ∈ B, associa um único z ∈ C, tal quêque z = y².

Considere uma terceira função, h: A → C, quêque, a cada x ∈ A, associa um único valor de z ∈ C, dada pela composição g ∘ f. Observe como podemos usar um diagrama para representá-la.

z = y² = (2x)² = 4x²

Dadas duas funções, f e g, para quêque exista g _∘ f, o domínio de g deve sêrser igual ao contradomínio de f, ou seja, D(g) = CD(f).

Página cento e quatro104

Note quêque as leis das funções f e g podem sêrser expressas, respectivamente, por f(x) = 2x e g(y) = y². Com isso, podemos obtêrobter a lei da função h, composta de g com f, do seguinte modo: