CAPÍTULO
4
FUNÇÃO LOGARÍTMICA

O som do despertador, nossa música favorita, a á guaágua corrente de um rio, os gritos de um torcedor, o canto dos passarinhos, o avião quêque passa pelo céu… Todos os sônssons quêque ouvimos podem sêrser medidos.

Fazer essa medição é importante, pois nossa orelha é composta de várias partes, algumas delas bastante sensíveis. Se estivermos expostos a ruídos altos por muito tempo, por exemplo, podemos sofrer com a perda auditiva. Por isso, aparelhos como aspiradores de pó, liquidificadores, secadores de cabelo, entre outros, devem passar por testes quêque identifiquem a intensidade do ruído quêque geram.

No caso dos fones de ouvido, o cuidado deve sêrser maior. O recomendável é quêque a intensidade sonora não ultrapasse o nível de 80 decibéis (uma unidade de medida da intensidade sonora), quêque é equivalente a uma sala de aula muito barulhenta. Alguns aparelhos celulares até alertam o usuário, quando os fones de ouvido são conectados, para quêque ele não ultrapasse cértocerto volume, a fim de evitar danos auditivos. Portanto, procure não ouvir sua música favorita sempre no último volume, porque a perda de audição por ruídos é uma realidade quêque está atingindo cada vez mais jovens com maus hábitos auditivos.

Página cento e dezessete117

Página cento e dezoito118

Introdução

No Volume anterior, aprendemos a solucionar um tipo de equação cuja incógnita se apresenta no expoente, as equações exponenciais. Por exemplo, 2^x = 4.

Estudamos como solucionar esse tipo de equação quando ambos os membros da igualdade podem sêrser representados como potências de mesma base. Por exemplo:

2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2

Mas e quando os membros da igualdade não podem sêrser representados como potências de mesma base? Como fazemos para resolver uma equação como 2^x = 3?

Para solucionar uma equação como essa, utilizamos o conceito de logaritmo.

Esse conceito é amplamente utilizado no estudo de fenômenos físicos, químicos, biológicos e sociais, por exemplo, o cálculo da acidez de uma solução (conhecida como pH), o crescimento populacional, o nível de intensidade sonora (medido em decibel) etc.

Logaritmo

Considerando uma potência cuja base seja um número positivo e diferente de 1, seu expoente é um logaritmo. Por exemplo, no caso da potência 2⁵ = 32, chamamos o expoente 5 de logaritmo de 32 na base 2. Usando a linguagem matemática, representamos:

2⁵ = 32 ⇔ log₂ 32 = 5 (lê-se: logaritmo de 32 na base 2 é igual a 5)

Acompanhe, a seguir, a definição de logaritmo.

Na definição, b é o logaritmando, a é a base e x é o logaritmo de b na base a.

Exemplos:

a) log₃ 81 = 4 ⇔ 3⁴ = 81

b) log₂ $\frac{1}{4}$ = −2 ⇔ 2⁻² = $\frac{1}{4}$

c) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{6}}\frac{1}{36}\end{array}$ = 2 ⇔ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{36}\end{array}$

Página cento e dezenove119

Condições de existência do logaritmo

De acôr-doacordo com a definição de logaritmo, a existência de log_a b está associada às seguintes condições:

• logaritmando positivo: b > 0;

• base positiva e diferente de 1: a > 0 e a ≠ 1.

Se uma dessas condições não for atendida, a existência do logaritmo não estará garantida no universo dos números reais. Por exemplo, vamos tentar calcular log₂ (−3). Caso existisse esse logaritmo em ℝ, aplicando a definição, teríamos:

log₂ (−3) = x ⇔ 2^x = −3

Note quêque não existe valor real de x quêque satisfaça à igualdade descrita, logo não existe log₂ (−3) em ℝ.

Consequências da definição

A partir da definição de logaritmo, sêndosendo a, b, c e m números reais, em quêque a, b e c são positivos e a é diferente de 1, temos:

Observações:

• O logaritmo de um número na base 10 é chamado de logaritmo decimal.

Costuma-se omitir a base dos logaritmos decimais. Assim:

log₁₀ b pódepode sêrser escrito como log b.

Página cento e vinte120

A base decimal é muito usada pelo fato de sêrser a mesma base do nosso sistema de numeração. Em muitos casos, utilizar o logaritmo decimal pódepode simplificar os cálculos.

• O logaritmo de um número na base e (número irracional cujo valor é 2,718281...) é chamado de logaritmo natural ou logaritmo neperiano (em homenagem ao matemático DiônJohn Napier).

Os logaritmos naturais têm uma simbologia própria:

log_e b pódepode sêrser escrito como ln b.

A base natural é muito utilizada na modelagem de fenômenos das Ciências da Natureza e das Ciências Humanas.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Calcule:

a) log₁₀ 0,01

b) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}2\sqrt[]{2}\end{array}$

Resolução

Em cada item, vamos aplicar a definição de logaritmo e resolver a equação exponencial ôbitídaobtida.

a) log₁₀ 0,01 = x ⇔ 10^x = 0,01

10^x = 0,01 ⇒ 10^x = 10⁻² ⇒ x = −2

Então, log₁₀ 0,01 = −2.

b) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}2\sqrt[]{2}\end{array}$ = x ⇔ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2\sqrt[]{2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=2\sqrt[]{2}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2^2}\right)}^x\end{array}$ = 2¹ ⋅ $\begin{array}{c}{2}^{\frac{1}{2}}\end{array}$ ⇒ (2⁻²)^x = $\begin{array}{c}{2}^{1+\frac{1}{2}}\end{array}$ ⇒ 2^−2x = $\begin{array}{c}{2}^{\frac{3}{2}}\end{array}$ ⇒ −2x = $\frac{3}{2}$ ⇒ x = $-\frac{3}{4}$

Então, $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}2\sqrt[]{2}=-\frac{3}{4}\end{array}$

2. Calcule log₁₀ 1,4. Use 2 ≃ 10^0,301 e 7 ≃ 10^0,845.

Resolução

Usando a definição de logaritmo, temos: log₁₀ 1,4 = x ⇔ 10^x = 1,4

O logaritmo de 1,4 é o expoente x ao qual devemos elevar 10 para obtêrobter 1,4.

Resolvendo a equação exponencial, temos:

10^x = 1,4 ⇒ 10^x = $\frac{14}{10}=$ ⇒ 10^x = $\frac{2\cdot 7}{10}$ ⇒ 10^x ≃ $\begin{array}{c}\frac{{10}^{\mathrm{0,301}}\cdot {10}^{\mathrm{0,845}}}{10}\end{array}$ ⇒ 10^x ≃ 10^{0,301 + 0,845 − 1} ⇒ 10^x ≃ 10^0,146 ⇒ x ≃ 0,146

Portanto, log₁₀ 1,4 ≃ 0,146.

3. Determine o valor da expressão: log₇ 7³ + log₉ 1⁶ + $2^{{\log }_{2}5}$

Resolução

Calculando o valor de cada parcela, temos:

• log₇ 7³ = 3 (3ª consequência)

• log₉ 1⁶ = log₉ 1 = 0 (1ª consequência)

• $2^{{\log }_{2}5}$ = 5 (4ª consequência)

Substituindo esses valores na expressão dada, obtemos:

3 + 0 + 5 = 8

Portanto, log₇ 7³ + log₉ 1⁶ + $2^{{\log }_{2}5}$ = 8.

4. Para quais valores de x existe log₃ (x − 5)?

Resolução

Para quêque o logaritmo exista, as duas condições de existência apresentadas na definição precisam sêrser obedecidas. Analisando log₃ (x − 5), temos:

• logaritmando: x − 5

• base: 3

Como 3 é um número positivo e diferente de 1, para quêque o logaritmo exista em ℝ, devemos ter:

x − 5 > 0 ⇒ x > 5

Logo, para quêque as duas condições de existência sêjamsejam obedecidas, precisamos ter x > 5.

Portanto, log₃ (x − 5) existe para x real tal quêque x > 5.

Página cento e vinte e um121

5. Para quais valores reais de x existe log_{x + 1} (x² + 3x − 18)?

Resolução

Para quêque o logaritmo exista, as seguintes condições devem sêrser, simultaneamente, satisfeitas:

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}}^2+3x-18>0I\\ x+1>0\mathrm{e\; x}+1\ne 1II\end{array}$

Resolvendo I e II, temos:

I x² + 3x − 18 > 0

Os zeros da função f dada por f(x) = x² + 3x − 18 são:

x² + 3x − 18 = 0 ⇒ x(minutos)"′ = 3 e x(segundos)"″ = −6

Estudo do sinal de f:

Logo, a solução de I é:

x ∈ ℝ tal quêque x < −6 ou x > 3

II x + 1 > 0 e x + 1 ≠ 1

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x+1>0\Rightarrow x>-1\\ x+1\ne 1\Rightarrow x\ne 0\end{array}\end{array}$$

Logo, a solução de II é:

x ∈ ℝ tal quêque x > −1 e x ≠ 0

Fazendo a intersecção das soluções de I e II, temos:

Portanto, log_{x + 1} (x² + 3x − 18) existe para x ∈ ℝ tal quêque x > 3.

ATIVIDADES

1. escrêevaEscreva no caderno o valor dos logaritmos:

a) log₉ 1

0

b) log₈ 8

1

c) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{10}}{\left(\frac{1}{10}\right)}^3\end{array}$

3

d) $5^{{\log }_{5}7}$

7

e) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\sqrt[]{10}}\sqrt[]{10}\end{array}$

1

f) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{3}^5\end{array}$

−5

2. Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:

a) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\sqrt[]{8}}4\end{array}$

$\frac{4}{3}$

b) log₅ 0,000064

−6

c) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{49}\sqrt[3]{7}\end{array}$

$\frac{1}{6}$

d) log₂ $\frac{1}{16}$

−4

e) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{32}\end{array}$

$-\frac{5}{3}$

f) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}\end{array}$ 1.024

−5

3. Determine o valor das expressões a seguir.

a) log₅ $\frac{1}{25}$ + $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{2}{3}}\frac{9}{4}\end{array}$

−4

b) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}\end{array}$ 27 + log₁₀ 0, 001 − log_0,1 $\begin{array}{c}10\sqrt[]{10}\end{array}$

$-\frac{9}{2}$

4. Determine o valor de m, sabendo quêque:

m = $2^{5+{\log }_{2}3}$ + $2^{5+{\log }_{3}7+{\log }_{3}2}$

m = 110

5. Calcule o valor de cada uma das expressões a seguir:

a) log₄ 4 − log₅ 5⁻⁷

8

b) $3^{{\log }_{3}27}$∶ $\begin{array}{c}{4}^{{\log }_4\frac{1}{2}}\end{array}$

54

c) (log_0,2 1)${\left({\log }_{\mathrm{0,2}}1\right)}^{{\log }_6{6}^5}$

0

d) $\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{3}1+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{10}\mathrm{0,01}}{{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2\frac{1}{64}\cdot {\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_4\sqrt[]{8}}\end{array}$

$\frac{4}{9}$

6. Calcule as raízes da equação ax² + bx + c = 0, em quêque:

a = log₁₀ 0,001; b = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{64}\end{array}$ e c = 3 ⋅ log₂ 8.

S = {−1, 3}

7. Um número é tal quêque seu logaritmo é 4 na base p e 8 na base $\frac{p}{3}$. Calcule esse número.

6.561

8. Determine os valores reais de x para quêque exista:

a) log(1 − x)

{x ∈ ℝ | x < 1}

b) log₅ (5x − 2) + log₅ (x − 3)

{x ∈ ℝ | x > 3}

c) log₅ (x² + 4x − 5)

{x ∈ ℝ | x < −5 ou x > 1}

d) log(50 − 5x − x²)

{x ∈ ℝ | −10 < x < 5}

Página cento e vinte e dois122

Propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos

Vamos estudar agora as propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos, quêque poderão sêrser utilizadas em diferentes situações envolvendo cálculos com logaritmos. Dados os números reais a, b, c e n, em quêque a, b e c são positivos e a ≠ 1, temos as propriedades apresentadas a seguir.

Logaritmo de um produto

Em uma mesma base, o logaritmo de um produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um dos fatores.

Demonstração

Considere os logaritmos:

log_a b = x ⇔ a^x = b I

log_a c = y ⇔ a^y = c II

log_a (b ⋅ c) = z ⇔ a^z = b ⋅ c III

Substituindo I e II em III, temos: a^z = b ⋅ c ⇒ a^z = a^x ⋅ a^y ⇒ a^z = a^{x + y} ⇒ z = x + y

Dessa última igualdade, obtemos: log_a (b ⋅ c) = log_a b + log_a c

Exemplos:

a) log₂ (2 ⋅ 3) = log₂ 2 + log₂ 3

b) log₃ 500 = log₃ (5 ⋅ 100) = log₃ 5 + log₃ 100

Logaritmo de um quociente

Em uma mesma base, o logaritmo de um quociente de dois números positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

Demonstração

Considere os logaritmos:

log_a b = x ⇔ a^x = b I

log_a c = y ⇔ a^y = c II

log_a $\frac{b}{c}$ = z ⇔ a^z = $\frac{b}{c}$ III

Substituindo I e II em III, temos: a^z = $\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}$ ⇒ a^z = $\begin{array}{c}\frac{a^x}{a^y}\end{array}$ ⇒ a^z = a^{x − y} ⇒ z = x − y

Dessa última igualdade, obtemos: log_a $\frac{b}{c}$ = log_a b − log_a c

Exemplos:

a) log₆ $\begin{array}{c}\left(\frac{243}{5}\right)\end{array}$ = log₆ 243 − log₆ 5

b) log₄ $\begin{array}{c}\left(\frac{\sqrt[]{10}}{3}\right)\end{array}$ = log₄ $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ − log₄ 3

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Logaritmo de uma potência

Em uma mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base dessa potência.

Demonstração

Considere o logaritmo log_a b = x. Pela definição, temos: a^x = b

Elevando os dois membros ao expoente n, temos: a^x = b ⇒ (a^x)ⁿ = bⁿ ⇒ a^nx = bⁿ

Portanto, nx é o logaritmo de bⁿ na base a, isto é: log_a bⁿ = nx

Substituindo x por log_a b, obtemos: log_a bⁿ = n ⋅ log_a b

Exemplos:

a) log₃ 5² = 2 ⋅ log₃ 5

b) log₅ (12)⁻² = −2 ⋅ log₅ 12

Mudança de base do logaritmo

Até aqui, aprendemos as propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos quêque valem para os logaritmos de mesma base.

Vamos estudar agora uma propriedade quêque permite a mudança de base do logaritmo, muito útil nas situações em quêque é preciso realizar operações com logaritmos de bases diferentes.

Admitindo uma base c, tal quêque c > 0 e c ≠ 1, temos:

Demonstração

Considere o logaritmo log_a b = x.

Pela definição, temos a^x = b.

Agora, considere os logaritmos:

log_c b = y ⇔ c^y = b

log_c a = z ⇔ c^z = a

Assim, da igualdade a^x = b e sabendo quêque z ≠ 0, temos:

a^x = b ⇒ (c^z)^x = c^y ⇒ c^zx = c^y ⇒ zx = y ⇒ x = $\frac{y}{z}$ ⇒ log_a b = $\begin{array}{c}\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}\end{array}$

Exemplos:

a) log₂ 6 = $\begin{array}{c}\frac{{\log }_{3}6}{{\log }_{3}2}\end{array}$

b) log₁₆ 64 = $\begin{array}{c}\frac{{\log }_{2}64}{{\log }_{2}16}\end{array}$

Página cento e vinte e quatro124

Calculadora e logaritmos

pôdêmosPodemos usar uma calculadora científica no cálculo de logaritmos. Nela, trabalharemos com o logaritmo decimal e com o logaritmo natural.

Caso tenhamos logaritmos em outras bases, é necessário fazer a mudança de base antes de efetuar os cálculos com a calculadora.

Professor, pódepode havêerhaver diferença entre o funcionamento e as funções das diferentes calculadoras. Se julgar interessante, pedir aos estudantes quêque consultem o manual da calculadora quêque eles estão usando.

Geralmente, as calculadoras científicas apresentam duas teclas para o cálculo de logaritmos: e . Com elas, podemos calcular o logaritmo decimal e o natural de um número positivo. Por exemplo:

• Para calcular log 16,4, pressionamos e obtemos 1,214843848.

• Para calcular ln 6, pressionamos e obtemos 1,791759469.

Também podemos determinar o logaritmando em uma operação aplicando a definição de logaritmo e utilizando a opção da calculadora científica quêque permite calcular uma potência de 10. Por exemplo:

• Para determinar o valor de k em log k ≃ 0,434, aplicamos a definição de logaritmo, de modo quêque log k ≃ 0,434 ⇔ k ≃ 10^0,434.

Pressionamos e obtemos 2,716439269.

• Para determinar o valor de b em ln b ≃ 0,693, aplicamos a definição de logaritmo, de modo quêque ln b ≃ 0,693 ⇔ b ≃ e^0,693. Em seguida, pressionamos e obtemos 1,999705661.

Página cento e vinte e cinco125

ATIVIDADES RESOLVIDAS

6. Calcule os logaritmos a seguir considerando as aproximações log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699.

a) log 15

b) log 18

c) log $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

d) log 7,2

Resolução

a) log 15 = log (3 ⋅ 5)

Usando a propriedade do logaritmo de um produto, temos:

log (3 ⋅ 5) = log 3 + log 5 = 0,477 + 0,699 = 1,176

Portanto, log 15 = 1,176.

b) log 18 = log (2 ⋅ 3 ⋅ 3) = log (2 ⋅ 3²)

Usando as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, temos:

log (2 ⋅ 3²) = log 2 + log 3² = log 2 + 2 ⋅ log 3 = 0,301 + 2 ⋅ 0,477 = 1,255

Portanto, log 18 = 1,255.

c) log $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = log $3^{\frac{1}{2}}$

Usando a propriedade do logaritmo de uma potência, temos:

$\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{3}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\end{array}$ ⋅ log 3 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 0,477 = 0,2385

Portanto, log $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ _ = 0,2385.

d) log 7,2 = log $\frac{72}{10}$

Usando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos:

log $\frac{72}{10}$ = log 72 − $\underset{1}{\underbrace{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{}10}}$ = log 72 − 1

Fatorando o número 72 e aplicando as propriedades estudadas, obtemos:

log 72 = log (2³ ⋅ 3²) = log 2³ + log 3² = 3 ⋅ log 2 + 2 ⋅ log 3 = $\underset{\mathrm{0,903}}{\underbrace{3\mathrm{}\cdot \mathrm{}\mathrm{0,301}}}$ + $\underset{\mathrm{0,954}}{\underbrace{2\mathrm{}\cdot \mathrm{}\mathrm{0,477}}}$ = 1,857

Assim, log 7,2 = log 72 − 1 = 1,857 − 1 = 0,857.

Portanto, log 7,2 = 0,857.

7. Sendo log a = 4, log c = 6 e log d = −1, calcule o valor de log$\begin{array}{c}\left(\frac{\mathrm{ac}}{d}\right)\end{array}$.

Resolução

Utilizando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos:

log $\begin{array}{c}\left(\frac{\mathrm{ac}}{d}\right)\end{array}$ = log (ac) − log d

Usando a propriedade do logaritmo de um produto, temos:

log(ac) − log d = log a + log c − log d

Substituindo os valores dados, obtemos:

log a + log c − log d = 4 + 6 − (−1) = 11

Portanto, log$\begin{array}{c}\left(\frac{\mathrm{ac}}{d}\right)\end{array}$ = 11.

Página cento e vinte e seis126

8. Usando as aproximações log2 = 0,301, log3 = 0,477 e log7 = 0,845, determine o valor dos logaritmos a seguir.

a) log₆ 70

b) log₅ 20

Resolução

Como os dados do enunciado são logaritmos na base 10, em cada item, vamos primeiro efetuar a mudança de base para a base decimal. Em seguida, aplicamos as propriedades estudadas.

a) log₆ 70 = $\begin{array}{c}\frac{\log 70}{\log 6}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(7\cdot 10)}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(2\cdot 3)}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}7+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}10}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}3}=\frac{\mathrm{0,845}+1}{\mathrm{0,301}+\mathrm{0,477}}=\frac{\mathrm{1,845}}{\mathrm{0,778}}\end{array}$ ≃ 2,371

b) log₅ 20 = $\begin{array}{c}\frac{\log 20}{\log 5}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(4\cdot 5)}{\log 5}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{2}^2+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{10}{2}}{\log \frac{10}{2}}=\frac{(2\cdot \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2)+\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}10-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}10-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2}\end{array}$ = $\frac{2\cdot \mathrm{0,301}+1-\mathrm{0,301}}{1-\mathrm{0,301}}=\frac{\mathrm{1,301}}{\mathrm{0,699}}$ ≃ 1,861

9. Com o auxílio de uma calculadora científica, escrêevaescreva 783 como uma potência de base 10. Considere cinco casas decimais.

Resolução

Aplicando a definição de logaritmo, temos: log 783 = x ⇔ 783 = 10^x

Para calcular log 783 na calculadora e obtêrobter o valor de x, pressionamos e obtemos 2,893761762.

Considerando apenas cinco casas decimais depois da vírgula, temos: log783 ≃ 2,89376

Logo, 783 ≃ 10^2,89376.

10. Com o auxílio de uma calculadora científica, calcule log₃ 5 com aproximação de cinco casas decimais.

Resolução

Para calcular um logaritmo quêque não seja decimal utilizando a calculadora científica, é necessário primeiro utilizar a propriedade de mudança de base, obtendo um quociente entre dois logaritmos decimais. Assim:

log₃ 5 = $\begin{array}{c}\frac{\log 5}{\log 3}\end{array}$

Para calcular $\begin{array}{c}\frac{\log 5}{\log 3}\end{array}$ e obtêrobter o valor de log₃ 5, pressionamos e obtemos 1,464973520.

Portanto, log₃ 5 ≃ 1,46497.

11. Com o auxílio de uma calculadora científica, calcule um valor aproximado para x em ln x ≃ −2,36653.

Resolução

Aplicando a definição de logaritmo, temos: ln x ≃ −2,36653 ⇔ x ≃ e^−2,36653

Para calcular e^−2,36653 na calculadora e determinar o valor de x, pressionamos e obtemos 0,093805668.

Logo, x ≃ 0,09381.

Página cento e vinte e sete127

ATIVIDADES

9. Usando a aproximação log 11 = 1,041, calcule:

a) log 110

2,041

b) log 121

2,082

c) log $\frac{1}{11}$

−1,041

d) log $\begin{array}{c}\sqrt[]{1331}\end{array}$

1,5615

e) log 1,21

0,082

f) log 0,121

−0,918

10. Calcule o valor das expressões aplicando as propriedades dos logaritmos.

a) log 5 + log 200

3

b) log 100 + log 50 + log 10 + log 2

5

c) log₂ 24 − log₂ 3

3

d) log₅ 8 + log₅ 12,5 − log₅ 4

2

11. Sendo log_x a = 6, log_x b = 4 e log_x c = 2, calcule:

a) log_c $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{abc}}\end{array}$

3

b) log_c (a³ ⋅ b²)

13

12. Se log₂ 3 = k, qual é o valor do produto log₂ 3 ⋅ log₃ 2?

1

13. Calcule o produto log₃ 2 ⋅ log₂ 5 ⋅ log₅ 3.

1

14. Simplifique a expressão log₃ 5 ⋅ log₄ 27 ⋅ log₂₅ $\sqrt[3]{2}$.

$$\frac{1}{4}$$

15. resôuvaResolva o sistema a seguir:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}a+b=20\\ \mathrm{log\; a}+\log b=2\end{array}\end{array}$$

S = {(10, 10)}

16. (PUC-SP) Se log 2 = x e log 3 = y, determine log 375.

y + 3 − 3x

17. Um cértocerto componente eletrônico processa n bits em logn milisegundos. Adotando log 5 = 0,699, em quantos milisegundos serão processados 64 bits?

1,806 milisegundo

As atividades a seguir devem sêrser resolvidas com o auxílio de uma calculadora científica.

18. Calcule os valores a seguir com aproximação, quando necessário, de cinco casas decimais.

a) log 0,7

−0,15490

b) log 0,12

−0,92082

c) log 834

2,92117

d) log 0,00001

−5

e) ln 25

3,21888

f) ln 0,92

−0,08338

19. Em cada caso, determine b, com aproximação de duas casas decimais, quando necessário.

a) log b = 1,88081

76

b) log b = 1,75587

57

c) ln b = 6,20051

493

d) ln b = 1,05082

2,86

20. Determine o valor de x em cada caso, com aproximação de quatro casas decimais.

a) log x = −0,5

0,3162

b) log x = −0,15

0,7079

c) 10^x = 0,5

−0,3010

d) 10^x = 2

0,3010

e) e^x = 10

2,3026

f) e^x = 0,5

−0,6931

g) e^x = 0,15

−1,8971

h) e^x = 0,005

−5,2983

21. Copie no caderno o qüadroquadro a seguir e complete-o com os valores faltantes. Caso seja necessário, use aproximação com seis casas decimais.

22. Determine b em cada caso.

a) ln b ≃ 1,098612289

b ≃ 3

b) ln b ≃ 1,945910149

b ≃ 7

c) ln b ≃ −0,69314718

b ≃ 0,5

d) ln b = −1

b ≃ 0,367879

e) ln b = 0

b = 1

23. O valor aproximado do logaritmo natural de um número é 3,48124. Descubra qual é esse número, considerando aproximação de uma casa decimal.

32,5

24. Calcule o valor de log₄ e com aproximação de quatro casas decimais.

0,7213

Página cento e vinte e oito128

Função logarítmica

Existem diversas situações em quêque são usados logaritmos; uma delas, por exemplo, é a escala de pH (potencial hidrogeniônico). O pH indica a acidez de um meio aquoso e é calculado em função da concentração de íons de hidrogênio H⁺ quêque esse meio apresenta. Na escala de pH, uma solução é considerada ácida quando 0 ≤ pH < 7, neutra quando pH = 7 e básica quando 7 < pH ≤ 14.

O cálculo do pH de um meio aquoso é feito usando-se logaritmo:

pH = log$\begin{array}{c}\frac{1}{\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]}\end{array}$

[H⁺] ← concentração de íons de hidrogênio (mol/L)

A igualdade anteriormente descrita é a representação de uma função logarítmica.

Por exemplo, podemos determinar o pH de uma xícara de café quêque apresenta 10⁻⁵ mol/L de íons de hidrogênio. Sabendo díssudisso:

pH = log$\begin{array}{c}\frac{1}{\left[{\mathrm{H}}^{+}\right]}\end{array}$ = log$\begin{array}{c}\frac{1}{{10}^{-5}}\end{array}$ = log1 − log 10⁻⁵ = 0 − (−5) ⇒ pH = 5

Portanto, o café tem pH igual a 5, o quêque indica quêque ele é considerado um meio ácido.

Agora, acompanhe a definição matemática de função logarítmica.

Exemplos:

a) f(x) = log x

b) g(x) = log₅ x

c) h(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}x\end{array}$

Página cento e vinte e nove129

Gráfico da função logarítmica

Vamos esboçar o gráfico de algumas funções logarítmicas. Observe os exemplos a seguir.

• Esboço do gráfico de f(x) = log₂ x.

Observe quêque os valores de log₂ x aumentam conforme os valores de x aumentam.

• Esboço do gráfico de g(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}x\end{array}$.

Observe quêque os valores de $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}x\end{array}$ diminuem conforme os valores de x aumentam.

De modo geral, dada a função f definida por f(x) = log_a x (com a > 0 e a ≠ 1), temos:

• O domínio da função é D(f) = $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$.

• O contradomínio da função é CD(f) = ℝ.

• O conjunto imagem da função é Im(f) = ℝ.

A função logarítmica dada por f(x) = log_a x é bijetora, pois é sobrejetora e injetora.

Note quêque as curvas dos gráficos se aproximam do eixo y, mas não o tocam. Em contrapartida, ambas intersectam o eixo x no ponto (1, 0).

Página cento e trinta130

Crescimento e decrescimento da função logarítmica

• Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque, nos casos em quêque a > 1, as funções são crescentes e, nos casos em quêque 0 < a < 1, são decrescentes.

• Nesses casos, nenhum gráfico é exibido, pois a função não está definida para esses valores.

Na atividade anterior, você deve ter observado quêque a base a influencíainfluencia o comportamento da função logarítmica dada por f(x) = log_a x.

De modo geral, considerando a função exponencial dada por f(x) = log_a x, temos:

Relação entre função exponencial e função logarítmica

Aprendemos, no início dêstedeste Capítulo, quêque a potenciação e os logaritmos estão relacionados. Do mesmo modo, estudaremos a seguir quêque a função logarítmica e a função exponencial também estão relacionadas.

Anteriormente, esboçamos o gráfico da função logarítmica dada por f(x) = log₂ x. Vamos traçar, no mesmo plano cartesiano, o gráfico dessa função e o gráfico da função exponencial dada por h(x) = 2^x. Observe.

Página cento e trinta e um131

D(f) = $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$

CD(f) = ℝ

Im(f) = ℝ

D(h) = ℝ

CD(h) = $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$

Im(h) = $\begin{array}{c}{\mathrm{R}}_{+}^{*}\end{array}$

Observe quêque, para todos os valores de x e y apresentados anteriormente, para f(x) = y, temos h(y) = x. Note, ainda, quêque os gráficos das funções f e h são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (y = x).

Nesse caso, as funções f(x) = log₂ xe h(x) = 2^x são inversas uma da outra.

De modo geral, a função logarítmica f: $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$ → ℝ dada por f(x) = log_a x e a função exponencial h: ℝ → $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$ dada por h(x) = a^x, ambas com a > 0 e a ≠ 1, são inversas uma da outra.

Considerando f(x) = y = log_a x, para encontrar a invérsainversa de f, trocamos a variável x por y e a variável y por x e, em seguida, isolamos y:

x = log_a y ⇒ a^x = y

Assim, a lei da função invérsainversa de f é f⁻¹ (x) = a^x, ou seja, a função h é invérsainversa da função f.

Do mesmo modo, considerando h(x) = y = a^x, para encontrar a invérsainversa de h, trocamos a variável x por y e a variável y por x e, em seguida, isolamos y:

x = a^y ⇒ log_a x = y

Assim, a lei da função invérsainversa de h é h⁻¹ (x) = log_a x, ou seja, a função f é invérsainversa da função h.

Portanto, as funções dadas por f(x) = log_a x e h(x) = a^x são inversas uma da outra.

Página cento e trinta e dois132

ATIVIDADES RESOLVIDAS

12. Esboce o gráfico da função f(x) = ${\log }_{\frac{1}{3}}$ x.

Resolução

Sendo a base do logaritmo igual a $\frac{1}{3}$, é conveniente escolher potências de base $\frac{1}{3}$ para x. Assim:

• x = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\end{array}$ ⇒ f($\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\end{array}$) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\end{array}$ = −2

• x = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\end{array}$ ⇒ f($\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\end{array}$) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}\end{array}$ = −1

• x = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^0\end{array}$ ⇒ f($\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^0\end{array}$) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^0=\end{array}$ = 0

• x = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^1\end{array}$ ⇒ f($\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^1\end{array}$) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^1\end{array}$ = 1

• x = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\end{array}$ ⇒ f($\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\end{array}$) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\end{array}$ = 2

Assim, temos:

Marcando os pontos no plano cartesiano, esboçamos o gráfico:

13. Dada a função f(x) = log₂ (4x − 1), faça o quêque se pede.

a) Classifique a função em crescente ou decrescente.

b) Determine o domínio de f.

c) Determine f⁻¹ (x).

Resolução

a) Como a base do logaritmo de f(x) é maior do quêque 1, pois a = 2, a função é crescente.

b) Pela condição de existência dos logaritmos, temos: log_a b = x ⇔ b = a^x, b > 0, a > 0 e a ≠ 1

Precisamos analisar a base e o logaritmando da função:

• Logaritmando (b > 0)∶ 4x − 1 > 0

4x − 1 > 0 ⇒ 4x > 1 ⇒ x > $\frac{1}{4}$

• Base (a > 0 e a ≠ 1)∶ a = 2

Logo, o domínio de f(x) = log₂ (4x − 1) é D(f) = {x ∈ ℝ | x > $\frac{1}{4}$}.

c) Para determinar a função invérsainversa, trocamos x por y e y por x na lei da função:

f(x) = log₂ (4x − 1)

x = log₂ (4y − 1) ⇒ 2^x = 4y − 1 ⇒ 4y = 2^x + 1 ⇒ y = $\begin{array}{c}\frac{2^x+1}{4}\end{array}$

Portanto, a função invérsainversa é f⁻¹ (x) = $\begin{array}{c}\frac{2^x+1}{4}\end{array}$

14. (Enem/MEC) A exposição a alguns níveis sonoros pódepode causar lesões auditivas. Por isso, em uma indústria, são adotadas medidas preventivas de acôr-doacordo com a máquina quêque o funcionário opera e o nível N de intensidade do som, medido em decibel (dB), a quêque o operário é exposto, sêndosendo N = log₁₀ I¹⁰ − log₁₀ I₀¹⁰, I a intensidade do som e I₀ = 10⁻¹² W/m².

Disponível em: https://livro.pw/lxhir. Acesso em: 8 jul. 2015 (adaptado).

Quando o som é considerado baixo, ou seja, N = 48 dB ou menos, deve sêrser utilizada a medida preventiva I. No caso de o som sêrser moderado, quando N está no intervalo (48 dB, 55 dB), deve sêrser utilizada a medida preventiva II. Quando o som é moderado alto, quêque equivale a N no intervalo (55 dB, 80 dB), a medida preventiva a sêrser usada é a III. Se N estiver no intervalo (80 dB, 115 dB), quando o som é considerado alto, deve sêrser utilizada a medida preventiva IV. E se o som é considerado muito alto, com N maior quêque 115 dB, deve-se utilizar a medida preventiva V. Uma nova máquina, com I = 8 × 10⁻⁸ W/m², foi adquirida e será classificada de acôr-doacordo com o nível de ruído quêque produz.

Página cento e trinta e três133

Considere 0,3 como aproximação para log₁₀ 2. O funcionário quêque operará a nova máquina deverá adotar a medida preventiva

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Resolução

Para determinar a medida preventiva quêque será usada para a nova máquina, precisamos determinar o valor N para I = 8 ⋅ 10⁻⁸ W/m². Para isso, substituímos o valor de I em N = log₁₀ I¹⁰ − log₁₀ I₀¹⁰; como I₀ = 10⁻¹² W/m², temos:

N = log₁₀ I¹⁰ − log₁₀ I₀¹⁰ ⇒ N = log₁₀ (8 ⋅ 10⁻⁸)¹⁰ − log₁₀ (10⁻¹²)¹⁰

Utilizando as propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos, temos:

N = log₁₀ $\begin{array}{c}\frac{{(8\cdot {10}^{-8})}^{10}}{{\left({10}^{-12}\right)}^{10}}\end{array}$ ⇒ N = log₁₀ $\begin{array}{c}{\left(\frac{8\cdot {10}^{-8}}{{10}^{-12}}\right)}^{10}\end{array}$ ⇒ N = 10 ⋅ (log₁₀ 8 ⋅ 10^{−8 + 12}) ⇒ N = 10 ⋅ (log₁₀ 2³ + log₁₀ 10⁴) ⇒ N = 10 ⋅ (3 ⋅ log₁₀ 2 + 4 ⋅ log₁₀ 10) ⇒ N ≃ 10 ⋅ (3 ⋅ 0, 3 + 4 ⋅ 1) ⇒ N ≃ 49

Assim, o nível de intensidade do som da máquina é de aproximadamente 49 dB, e a medida preventiva para a nova máquina deverá sêrser a II. Portanto, a alternativa b é a correta.

• CIDADE em movimento #4: poluição sonora. Locução de: Alessandra Ueno; Guilherme Castro Sousa. São Paulo: Jornal da úspiUSP, 12 set. 2024. Podcast. Disponível em: https://livro.pw/fykee. Acesso em: 23 set. 2024.

O podcast trata da poluição sonora e dos impactos dêêssedesse tipo de poluição.

Página cento e trinta e quatro134

ATIVIDADES

25. Construa, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos de:

Ver as Orientações para o professor.

a) f(x) = 3^x e g(x) = log₃ x

b) f(x) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\end{array}$ e g(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{3}}x\end{array}$

26. Faça o esboço do gráfico da função dada por f(x) = log$\left|x\right|$ e determine o domínio e a imagem dessa função.

Ver as Orientações para o professor.

27. (Ufop-MG) Seja f a função real de variável real definida por f(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{x^2-9}\end{array}$ + log_{6 − x} (x + 5). Encontre os valores de x para os quais f faz sentido.

{x ∈ ℝ | −5 < x ≤ −3 ou 3 ≤ x < 6 e x ≠ 5}

28. Copie o qüadroquadro a seguir, referente às funções f(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}\end{array}$ x e g(x) = 2 + $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}\end{array}$x, e, depois, complete-o.

Ver as Orientações para o professor.

Agora, faça o quêque se pede nos itens a seguir.

a) Utilizando o GeoGebra, construa, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos de f e de g.

b) Ao analisar os gráficos construídos, podemos dizêrdizer quêque f e g são funções crescentes ou decrescentes?

c) Quais são o domínio e a imagem dessas funções?

d) O quêque você observa ao comparar os valores no qüadroquadro quêque você completou e os dois gráficos construídos?

e) dêz-crevaDescreva como seria o gráfico da função dada por p(x) = $\begin{array}{c}({\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}x)\end{array}$ − 2, em relação ao gráfico de f, sem construí-lo.

f) A partir do gráfico de f, dêz-crevadescreva como obtêrobter o gráfico da função dada por q(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{4}}\end{array}$ (x + 2). Para responder, imagine quêque você esteja escrevendo um bilhete a um colega com essa instrução.

29. (UEPA) Por volta dos anos 80, durante a implantação do projeto Proálcool, uma montadora estimou quêque sua produção de carros a áucôlálcool teria um crescimento anual de acôr-doacordo com a expressão: P(t) = 10⁵ ⋅ log₃ (t + 1), onde P é a quantidade produzida e t o número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção estimada será de:

a) 200.000 carros.

b) 220.000 carros.

c) 232.000 carros.

d) 250.000 carros.

e) 300.000 carros.

alternativa a

30. (UFAM) Na figura a seguir a curva representa o gráfico da função f(x) = log₃ x. A área do triângulo ABC é igual a:

alternativa b

a) 25 unidades de área.

b) 24 unidades de área.

c) 23 unidades de área.

d) 21 unidades de área.

e) 20 unidades de área.

31. Ao analisar uma amostra aquosa, um químico verificou quêque a concentração de íons de hidrogênio na solução era de 6,4 ⋅ 10⁻⁷ mol/L.

a) Sabendo quêque o pH de uma solução é dado pela expressão pH = −log[H⁺], em quêque [H⁺] indica a concentração de íons de hidrogênio em mol/L, e considerando log2 ≃ 0,30, qual é o valor do pH dessa solução?

pH ≃ 6,2

b) Sabendo quêque uma solução é considerada ácida quando 0 ≤ pH < 7, neutra quando pH = 7 e básica quando 7 < pH ≤ 14, a solução analisada pelo químico é neutra, básica ou ácida?

ácida

Página cento e trinta e cinco135

Equações logarítmicas

As equações quêque apresentam a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo de base real, positiva e diferente de 1, são denominadas equações logarítmicas.

Exemplos:

a) log₃ (x − 1) = 2

b) log_{x + 1} (19 − x) = 2

c) 1 − log₂ x = log₂ 3 + 4 ⋅ log₂ x

d) log₂ (x² + x + 2) = 5

Para resolver essas equações, aplicamos a definição de logaritmo e a 5ª consequência da definição:

Além díssudisso, devemos considerar a condição de existência de todos os logaritmos envolvidos, ou seja, a > 0, a ≠ 1, b > 0 e c > 0.

Inequações logarítmicas

As desigualdades quêque apresentam a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo de base real, positiva e diferente de 1, são denominadas inequações logarítmicas.

Exemplos:

a) log₂ x > 4

b) log (x − 1) + log (3x + 2) ≤ log x

c) log₅ x + $\begin{array}{c}\frac{1}{{\log }_{5}x}<\frac{1}{4}\end{array}$

d) log_{x + 1} (x² + 4x − 5) ≥ 2

Com base no gráfico da função f dada por f(x) = log_a x, aplicamos as propriedades a seguir para resolver inequações logarítmicas. Além díssudisso, devemos considerar a condição de existência de todos os logaritmos envolvidos.

Página cento e trinta e seis136

ATIVIDADES RESOLVIDAS

15. resôuvaResolva a equação log₃ (2x − 7) = 4.

Resolução

Inicialmente, verificamos a condição de existência do logaritmo:

2x − 7 > 0 ⇒ 2x > 7 ⇒ x > $\frac{7}{2}$

Para resolver a equação, vamos expressar o 2º membro como um logaritmo de base 3 (a mesma base do logaritmo no 1º membro da equação) do seguinte modo:

4 = log₃ 3⁴ ⇒ 4 = log₃ 81

Assim: log₃ (2x − 7) = log₃ 81

Como log_a b = log_a c ⇔ b = c, obtemos:

2x − 7 = 81 ⇒ 2x = 88 ⇒ x = 44

Como x = 44 satisfaz à condição de existência, o conjunto solução da equação é S = {44}.

16. Estudos de demografia indicam quêque a população de um cértocerto país no ano zero é P₀ e quêque, decorridos t anos, a população será aproximadamente P(t) = P₀ ⋅ e^0,03t. Quantos anos devem decorrer para quêque a população dêêssedesse país duplique? Considere ln 2 = 0,69.

Resolução

Para quêque a população duplique, devemos ter P(t) igual ao dôbrodobro da população inicial P₀. Logo:

P(t) = 2P₀ ⇒ 2P₀ = P₀ ⋅ e^0,03t ⇒ 2 = e^0,03t ⇒ log_e 2 = 0,03t ⇒ ln 2 = 0,03t ⇒ 0,69 = 0,03t ⇒ t =

$\frac{\mathrm{0,69}}{\mathrm{0,03}}=\frac{69}{3}$ ⇒ t = 23

Portanto, devem decorrer 23 anos para quêque a população duplique.

17. Determine o valor real de x na equação $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\sqrt[]{2}}\end{array}$ x + $\frac{1}{3}$ ⋅ log₂ x = 0.

Resolução

A condição de existência é x > 0.

Mudando os termos para a base 2, tem-se:

$\begin{array}{c}\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2\sqrt[]{2}}+\frac{1}{3}\end{array}$ ⋅ log₂ x = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\frac{{\log }_{2}x}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\end{array}$ ⋅ log₂ x = 0 ⇒ 6 ⋅ log₂ x + log₂ x = 0 ⇒ 7 ⋅ log₂ x = 0 ⇒ log₂ x = 0 ⇒ x = 1

18. resôuvaResolva a inequação $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}\end{array}$ (x − 3) ≥ $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}\end{array}$ 4.

Resolução

A condição de existência é:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3 I

Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica dada por f(x) = $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{2}}\end{array}$ x é decrescente, e o sentido da desigualdade se inverte ao compararmos os logaritmandos:

x − 3 ≤ 4 ⇒ x ≤ 3 + 4 ⇒ x ≤ 7 II

A solução da inequação deve satisfazer à condição de existência. Por isso, fazemos I ∩ II:

Portanto, S = {x ∈ ℝ | 3 < x ≤ 7}.

ATIVIDADES

32. (Fuvest-SP) Considere as funções f e g definidas por

Ver as Orientações para o professor.

f(x) = 2log₂ (x − 1), se x ∈ ℝ, x > 1,

g(x) = log₂ (1 − $\frac{x}{4}$), se x ∈ ℝ, x < 4.

a) Calcule f($\frac{3}{2}$), f(2), f(3), g(−4), g(0) e g(2).

b) Encontre x, com 1 < x < 4, tal quêque f(x) = g(x).

c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g.

33. (Unicamp-SP) Considere a função f(x) = 10^1+x +10^1−x, definida para todo número real x.

Ver as Orientações para o professor.

a) Mostre quêque f(log₁₀ (2 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$)) é um número inteiro.

b) Sabendo quêque log₁₀ 2 ≃ 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x) = 52.

34. Calcule, com aproximação de duas casas2 casas decimais, o valor de x na equação 7^x = 4,2. Considere log 6 = 0,7781 e log 7 = 0,8451.

0,74

35. Determine o conjunto solução das equações:

a) (log₂ x)² − 9 log₈ x = 4

S = {$\frac{1}{2}$, ¹⁶}

b) (log₂ x)² + 4 ⋅ log₂ x − 32 = 0

S = {$\frac{1}{256}$ 16}

36. Calcule o valor de x quêque satisfaz a equação 36^x = 24. Adote log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

$$\frac{23}{26}$$

Página cento e trinta e sete137

37. A velocidade mássimamáxima, em bits por segundo, com a qual os sinais pódepodem passar por canais de comunicação pode sêrser ôbitídaobtida por meio da fórmula v_máx = 3.400 ⋅ log₂ (x + 1), em quêque 3.400 hertz é a freqüênciafrequência limite da voz humana e x está relacionado à potência do sinal. Calcule o valor de x correspondente a uma velocidade mássimamáxima de 27.200 bits por segundo.

255

38. O número de bactérias N em uma cultura, depois de um tempo t, em minuto, é dada pela função N(t) = N₀ ⋅ e^0,05t, em quêque N₀ é o número inicial de bactérias da cultura. Em quanto tempo, aproximadamente, a população de bactérias passará a sêrser o triplo da inicial? Use ln 3 ≃ 1,099.

aproximadamente 22 min

39. Quando compramos um bem de consumo durável, depois de cértocerto tempo, pódepode ocorrer uma depreciação do valor inicial dêêssedesse produto. A fórmula utilizada para calcular a desvalorização de determinados produtos é V = V₀ ⋅ (1 − i)^t, em quêque:

V: valor atualizado em função do tempo t.

V₀: valor do produto no momento da compra

i: taxa de depreciação

t: tempo após a compra

Ver as Orientações para o professor.

• Elabore um problema quêque envolva a depreciação de um produto em quêque seja necessário calcular o tempo após a compra dêêssedesse bem.