CAPÍTULO
6
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Desde a AntigüidadeAntiguidade, o sêrser humano tem encanto pela Lua. Ao longo da História, muitas pessoas fizeram observações e estudos para entender o comportamento dela.

O movimento da Lua influencíainfluencia muitos fenômenos naturais e até mesmo as culturas de certos povos. Alguns povos indígenas, por exemplo, baseiam-se nas fases da Lua para compor seus calendários. Os indígenas observaram quêque essas fases são periódicas, repetindo-se aproximadamente a cada 30 dias. Assim, o intervalo entre a aparição de uma mesma fase da Lua define, para esses povos, a duração de um mês. Normalmente, o mês indígena começa após a lua nova.

Eles perceberam também quêque a Lua influencíainfluencia a caça e a pesca. Pois, na lua cheia, devido ao excéssoexcesso de luz, os animais ficam mais agitados e expostos, tornando esse período ideal para a caça.

Note, então, quêque há diversas observações, científicas e empíricas quêque relacionam as fases da Lua e sua influência na Terra. Além díssudisso, existem também diversas superstições sobre como as fases da Lua influenciam nossas vidas.

No entanto, independentemente da cultura e da crença, sabe-se quêque o movimento da Lua em torno da Terra é periódico. Dessa maneira, podemos estudar o movimento da Lua visto da Terra e os fenômenos ligados a ele por meio de funções periódicas, como as trigonométricas, quêque são o assunto dêstedeste Capítulo.

Página cento e noventa e três193

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e noventa e quatro194

Funções periódicas

Um pêndulo, como o do relógio da figura, realiza um movimento de vai e vêmvem, alternando os sentidos regularmente.

Assim como no caso do pêndulo, existem diversos outros fenômenos com a mesma característica: a de se repetirem sempre em um mesmo intervalo de tempo, denominado período. Por conta díssudisso, eles são chamados de fenômenos periódicos e podem sêrser modelados por funções periódicas.

Outro exemplo de fenômeno periódico é o movimento das marés. Observe a seguir um esquema com os horários e níveis de maré baixa, intermediária e alta em determinado dia, em certa praia do Nordeste do Brasil.

Nesse caso, o nível da maré, em métrometro, em função do tempo, em hora, pódepode sêrser modelado por uma função periódica, representada no gráfico a seguir.

Observe quêque, a partir das 12 horas, o gráfico se repete até as 24 horas. Dizemos quêque o movimento dessa maré tem um período de 12 horas.

Um dos principais tipos de funções periódicas são as funções trigonométricas, quêque serão apresentadas neste Capítulo.

• CIENTISTAS descobrem planêtasplanetas com órbitas sincronizadas ao redor de estrela. Jornal Joca, São Paulo, 14 dez. 2023. Ciência e Tecnologia. Disponível em: https://livro.pw/rkrtb. Acesso em: 6 out. 2024.

Esse sáitisite apresenta uma reportagem sobre a descoberta de um sistema de planêtasplanetas com órbitas sincronizadas em um ritmo cíclico e um vídeo mostrando essa sincronia.

Página cento e noventa e cinco195

Função seno

A primeira função trigonométrica quêque estudaremos é a função seno. Ela é a função f: ℝ → ℝ quêque associa, a cada número real x, o número real sen x, ou seja, y = sen x ou f(x) = sen x.

O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a ℝ, ou seja, D(f) = ℝ e CD(f) = ℝ.

Gráfico da função seno

Para estudar a função seno, vamos tomar alguns valores de x no intervalo [0, 2(pi)"π] e obtêrobter alguns pontos (x, y) no plano para construir seu gráfico.

No Capítulo anterior, estudamos os valores de sen x para qualquer valor real de x na circunferência trigonométrica. Assim, para obtêrobter alguns pontos (x, y) pertencentes ao gráfico da função dada por f(x) = sen x, vamos utilizar esses valores já calculados na circunferência trigonométrica para x ∈ [0, 2(pi)"π].

Como o domínio da função seno é o conjunto dos números reais, a curva se estende para valores de x menóresmenores do quêque zero e maiores do quêque 2(pi)"π. Assim, obtemos a curva a seguir, quêque é o gráfico de y = sen x.

Chamamos a curva descrita pela função seno de senoide.

Observe o quêque ocorre com a função dada por y = sen x no intervalo [0, 2(pi)"π]:

• de 0 a $\frac{\pi }{2}$, a função cresce, variando de 0 a 1;

• de $\frac{\pi }{2}$ a (pi)"π, a função decresce de 1 a 0;

• de (pi)"π a $\frac{3\pi }{2}$, a função decresce de 0 a −1;

• de $\frac{3\pi }{2}$ a 2(pi)"π, a função cresce de −1 a 0.

Note quêque o gráfico da função seno é simétrico em relação à origem, ou seja, para qualquer número real x, temos: sen (−x) = −sen x

Página cento e noventa e seis196

O conjunto imagem da função seno é o intervalo [−1, 1], isto é: −1 ≤ sen x ≤ 1

Ao observar o gráfico da função seno, percebemos quêque ela se repete periodicamente, como é característico das funções periódicas. Nesse caso, a função se repete a cada intervalo de 2(pi)"π, ou seja, nos intervalos …, [−4(pi)"π, −2(pi)"π], [−2(pi)"π, 0], [0, 2(pi)"π], [2(pi)"π, 4(pi)"π], … Além díssudisso, temos quêque:

… = sen (x − 4(pi)"π) = sen (x − 2(pi)"π) = sen x = sen (x + 2(pi)"π) = sen (x + 4(pi)"π) = …, ou seja, sen (x + k ⋅ 2(pi)"π) = sen x, k ∈ ℤ

Assim, para a função dada por f(x) = sen x, o período é p = 2(pi)"π.

Observe, agora, os gráficos das funções dadas por f(x) = sen x e g(x) = sen (2x + $\frac{\pi }{2}$).

Note quêque o período da função g é igual à mêtádemetade do período da função f e quêque o período da função f é a parte do gráfico relativa ao intervalo de 0 a 2(pi)"π. Isto é, a distância entre 0 e 2(pi)"π, quêque é igual a 2(pi)"π, é o período de f.

O período da função g, quêque é igual a (pi)"π, pódepode sêrser obtídoobtido pela distância entre 0 e (pi)"π.

pôdêmosPodemos determinar o período de uma função g ôbitídaobtida a partir da função seno, com lei de formação g(x) = sen (cx + d), com c e d reais e c ≠ 0, usando a seguinte fórmula:

p = $\frac{2\pi }{\left|C\right|}$

Para chegar a essa fórmula, utilizamos a informação de quêque um período para a função seno é dado de 0 a 2(pi)"π. Assim, determinamos, inicialmente, os valores de x₁ e x₂ tais quêque o arco (cx + d) da função g assuma valores iguais a 0 e a 2(pi)"π. O período de g será dado pela distância entre x₁ e x₂, ou seja, por $\begin{array}{c}\left|x_2-x_1\right|\end{array}$.

cx₁ + d = 0 ⇒ cx₁ = −d ⇒ x₁ = −$\frac{d}{c}$

cx₂ + d = 2(pi)"π ⇒ cx₂ = 2(pi)"π − d ⇒ x₂ $\frac{2\pi -d}{c}$

Portanto: p = $\begin{array}{c}|x_2-x_1|=|\frac{2\pi -d}{c}-(-\frac{d}{c}\left)\right|=\left|\frac{2\pi }{c}\right|=\frac{2\pi }{\left|c\right|}\end{array}$

Calculando, no caso do exemplo, o período da função dada por g(x) = sen(2x + $\frac{\pi }{2}$) pela fórmula, temos:

p = $\frac{2\pi }{\left|C\right|}=\frac{2\pi }{\left|2\right|}$ = (pi)"π

Página cento e noventa e sete197

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Construa os gráficos das funções dadas por f(x) = sen 2x e g(x) = sen $\frac{x}{2}$, comparando-os com o gráfico da função dada por h(x) = sen x.

Resolução

Como conhecemos o gráfico de y = sen x, podemos construir as tabélastabelas e esboçar os três gráficos em um só sistema de eixos coordenados para compará-los.

Para facilitar a comparação, os gráficos serão apresentados com apenas um período completo de cada uma das funções.

Observando os gráficos, verificamos quêque as funções f(x) = sen 2x e g(x) = sen $\frac{x}{2}$ têm o mesmo conjunto imagem, [−1, 1], e quêque o período de f é (pi)"π, e o de g é 4(pi)"π.

2. Determine o período p da função f dada por f(x) = sen($\frac{3x}{4}$ + (pi)"π).

Resolução

O período p da função é dado por:

p = $\frac{2\pi }{\left|\frac{3}{4}\right|}$ = 2(pi)"π $\frac{4}{3}=\frac{8\pi }{3}$

3. Determine k para quêque exista x tal quêque sen x = 2k − 5.

Resolução

Sabemos quêque −1 ≤ sen x ≤ 1. Substituindo sen x por 2k − 5, temos:

I 2k − 5 ≤ 1 ⇒ 2k ≤ 6 ⇒ k ≤ 3

II 2k − 5 ≥ −1 ⇒ 2k ≥ 4 ⇒ k ≥ 2

Fazendo I ∩ II:

Logo, S = {k ∈ ℝ | 2 ≤ k ≤ 3}.

4. Quais são os valores mássimomáximo e mínimo quêque a função dada por y = 3 + sen 5x pódepode assumir?

Resolução

A função seno tem valor mássimomáximo 1 e valor mínimo −1, e o fator 5 não influencíainfluencia nesses valores. Então, os valores mássimomáximo e mínimo da função y = 3 + sen 5x são:

• valor mássimomáximo: y = 3 + 1 = 4;

• valor mínimo: y = 3 − 1 = 2.

Página cento e noventa e oito198

Ver as Orientações para o professor.

1. Esboce o gráfico e determine o domínio, a imagem e o período das seguintes funções:

a) y = 3 sen x

b) y = 2 − sen x

c) y = sen (x − $\frac{\pi }{2}$)

d) y = 2 sen $\frac{x}{4}$

2. Determine o período das funções:

a) y = sen 8x

p = $\frac{\pi }{4}$

b) y = 5 ⋅ sen 10x

p = $\frac{\pi }{5}$

3. Qual é o conjunto imagem da função dada por f(x) = 7 ⋅ sen (3x)?

Im = [−7, 7]

4. (hú éfe pê érreUFPR) O período da função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = sen (2x + $\frac{\pi }{4}$) é:

a) $\frac{\pi }{2}$

b) (pi)"π

c) $\frac{\pi }{4}$

d) 2(pi)"π

e) $\frac{\pi }{8}$

alternativa b

5. escrêevaEscreva os valores mássimomáximo e mínimo quêque cada uma das expressões a seguir pódepode assumir.

a) 4 ⋅ sen (alfa)"α

valor mássimomáximo: 4; valor mínimo: −4

b) 5 − 2 ⋅ sen x

valor mássimomáximo: 7; valor mínimo: 3

c) $\frac{1}{3+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{}y}$

valor mássimomáximo: $\frac{1}{2}$; valor mínimo: $\frac{1}{4}$

6. Calcule os valores reais de m, de modo quêque sen x = 2m − 1.

S = {m ∈ ℝ | 0 ≤ m ≤ 1}

7. (Cefet-PR) Sejam as funções f(x) = 2 ⋅ sen (x) e g(x) = sen (2x). A respeito delas, pode-se afirmar quêque:

a) O período de f(x) é o dôbrodobro do período de g(x).

b) As funções f(x) e g(x) possuem os mesmos zeros.

c) O mássimomáximo de f(x) é igual ao mássimomáximo de g(x).

d) O mássimomáximo de g(x) é o dôbrodobro do mássimomáximo de f(x).

e) O período de g(x) é o dôbrodobro do período de f(x).

alternativa a

8. Determine o valor de k para quêque existam valores quêque satisfaçam à igualdade
sen x = $\frac{5k-2}{k-3}$

S⁼ {k ∈ ℝ | $-\frac{1}{4}$ ≤ k ≤ $\frac{5}{6}$}

9. (UFV-MG) Para a existência da expressão sen θ = $\frac{2x-1}{3}$, os valores de x estão compreendidos no intervalo:

alternativa d

a) −1 ≤ x < 1

b) −1 < x ≤ 0

c) −1 ≤ x < $\frac{1}{3}$

d) −1 ≤ x ≤ 2

10. (FGV-SP) Um supermercado, quêque fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se quêque o número de clientes possa sêrser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 − 800 ⋅ sen $\left(\frac{x\cdot \pi }{12}\right),$ em quêque f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro, tal quêque 0 ≤ x ≤ 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número mássimomáximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:

a) 600

b) 800

c) 900

d) 1.500

e) 1.600

alternativa e

11. (UFES) Considere quêque V(t), volume de ar nos pulmões de um sêrser humano adulto, em litro, varia de no mínimo 2 litros a no mássimomáximo 4 litros, sêndosendo t a variável tempo, em segundo.

Dentre as funções abaixo, a quêque melhor descreve V(t) é:

a) 2 + 2sen $\left(\frac{\pi }{3}t\right)$

b) 4 + 2sen $\left(\frac{\pi }{3}t\right)$

c) 5 + 3sen $\left(\frac{\pi }{3}t\right)$

d) 1 + 3sen $\left(\frac{\pi }{3}t\right)$

e) 3 + sen $\left(\frac{\pi }{3}t\right)$

alternativa e

12. Usando a função f dada por f(x) = 3sen$\left(\frac{1}{2}x\right)$ ou a representação gráfica dessa função, elabore uma atividade quêque envolva os conceitos estudados até o momento.

Após a elaboração, troque a atividade com um colega para quêque um resôuvaresolva a atividade do outro.

Resposta pessoal.

Página cento e noventa e nove199

Função cosseno

Denomina-se função cosseno a função f: ℝ → ℝ quêque associa, a cada número real x, o número real cos x, ou seja, y = cos x ou f(x) = cos x.

O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a ℝ, ou seja, D(f) = ℝ e CD(f) = ℝ.

Gráfico da função cosseno

Assim como fizemos para traçar o gráfico da função seno, vamos utilizar os valores de cos x para x ∈ [0, 2(pi)"π], já conhecidos da circunferência trigonométrica, para obtêrobter alguns pontos (x, y) pertencentes ao gráfico da função dada por f(x) = cos x. Assim:

Como o domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, a curva é estendida para valores de x menóresmenores do quêque zero e maiores do quêque 2(pi)"π. Assim, obtemos a curva a seguir, quêque é o gráfico da função dada por y = cos x.

Observe o quêque ocorre com a função dada por y = cos x no intervalo [0, 2(pi)"π]:

• de 0 a $\frac{\pi }{2}$, a função decresce, variando de 1 a 0;

• de $\frac{\pi }{2}$ a (pi)"π, a função decresce de 0 a −1;

• de (pi)"π a $\frac{3\pi }{2}$, a função cresce de −1 a 0;

• de $\frac{3\pi }{2}$ a 2(pi)"π, a função cresce de 0 a 1

Note quêque o gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, ou seja, para qualquer número real x, temos: cos (−x) = cos x

Página duzentos200

O conjunto imagem da função cosseno x é o intervalo [−1, 1], isto é: −1 ≤ cos x ≤ 1

A função cosseno também é periódica e se repete a cada intervalo de 2(pi)"π, como nos intervalos [−2(pi)"π, 0], [0, 2(pi)"π] e [2(pi)"π, 4(pi)"π]. Além díssudisso, temos quêque:

… = cos (x − 4(pi)"π) = cos (x − 2(pi)"π) = cos x = cos (x + 2(pi)"π) = cos (x + 4(pi)"π) = …, ou seja,

cos (x + k ⋅ 2(pi)"π) = cos x, k ∈ ℤ

Note quêque o gráfico da função cosseno é congruente ao gráfico da função seno transladado $\frac{\pi }{2}$ unidades para a esquerda, como mostra a imagem a seguir.

Utilizando raciocínio análogo ao usado para determinar o período de uma função ôbitídaobtida a partir da função seno, podemos concluir quêque o período p de uma função dada por g(x) = cos (cx + d), com c e d reais e c ≠ 0, é p = $\frac{2\pi }{\left|C\right|}$.

Por exemplo, para a função g(x) = cos$\left(\frac{x}{4}-\frac{\pi }{3}\right)$, o período é:

p = $\frac{2\pi }{\left|\frac{1}{4}\right|}$ = 2(pi)"π ⋅ 4 = 8(pi)"π

• TEMPESTADES solares. Campinas: Matemática Multimídia, [201-]. (Série Rádio Cangália). Disponível em: https://livro.pw/tzctk. Acesso em: 5 out. 2024.

Esse sáitisite apresenta dois áudios quêque relacionam as tempestades solares com as funções periódicas.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. Em cértascertas espécies em perfeito equilíbrio ecológico, a variação no tamãnhotamanho de sua população é periódica. Esse período depende de condições ambientais, como a quantidade de predadores, a quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população P de certa espécie animal é dada pela função: P(t) = 500 + 100 ⋅ cos$\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$, em quêque t corresponde aos meses do ano (P(0) corresponde à população de animais no komêssocomeço do ano; P(1) corresponde à população no último dia de janeiro; P(2), à população no último dia de fevereiro; e assim sucessivamente).

a) Esboce o gráfico da função y = 100 ⋅ cos$\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$, determinando o período dessa função.

b) Esboce o gráfico de P em função de t quêque representa a população dessa espécie animal e determine o intervalo de variação dessa população no ano.

Página duzentos e um201

Resolução

a) Construindo uma tabélatabela para alguns valores de t na função y = 100 ⋅ cos $\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$, temos:

Paramos em t = 6, pois, a partir dêêssedesse número, os valores de y vão se repetir, por causa da periodicidade da função.

Esboçando o gráfico, temos:

p = $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}$ = 2(pi)"π ⋅ $\frac{3}{\pi }$ = 6

O período dessa função é p = 6.

b) Usando os valores obtidos para a função y = 100 ⋅ cos $\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$ na tabélatabela do item a, vamos obtêrobter P(t) para alguns valores de t.

Com os valores obtidos, podemos esboçar o gráfico da função P.

Note quêque o gráfico da função P tem o mesmo formato do gráfico quêque representa a função dada por y = 100 ⋅ cos $\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$, porém deslocado 500 unidades para cima. Como a imagem de y = 100 ⋅ cos$\left(\frac{\mathrm{\pi t}}{3}\right)$ é tal quêque −100 ≤ y ≤ 100, a imagem da função P é dada por:

500 − 100 ≤ P(t) ≤ 500 + 100 ⇒ 400 ≤ P(t) ≤ 600

Assim, a população dessa espécie varia entre 400 e 600 indivíduos.

O sín-bolosímbolo foi usado no gráfico anterior para indicar quêque parte do eixo quêque não contém dados foi suprimida.

6. (PUC-PR) A variação da pressão sanguínea (em mmHG) de uma pessoa em função do tempo (em segundos) é uma função trigonométrica cuja lei é dada por:

P(t) = 100 − 20 ⋅ cos $\left(\frac{8\pi }{3}t\right)$

De acôr-doacordo com os dados acima, assinale a alternativa quêque corresponde à CORRETA variação da pressão.

a) [−20, 20].

b) [0, 20].

c) [80, 100].

d) [80, 120].

e) [100, 120].

Resolução

A função P assume valor mínimo para cos$\left(\frac{8\pi }{3}\cdot t\right)$ = 1, pois, dessa maneira, o produto 20 ⋅ cos $\left(\frac{8\pi }{3}\cdot t\right)$ será mássimomáximo e 100 − 20 ⋅ cos $\left(\frac{8\pi }{3}t\right)$ será mínimo.

Página duzentos e dois202

Assim, temos quêque o valor mínimo da função é dado por:

100 − 20 ⋅ cos $\left(\frac{8\pi }{3}\cdot t\right)$ = 100 − 20 ⋅ 1 = 80

A função P assume valor mássimomáximo para cos$\left(\frac{8\pi }{3}\cdot t\right)$ = −1. Assim:

100 − 20 ⋅ cos $\left(\frac{8\pi }{3}\cdot t\right)$ = 100 − 20 ⋅ (−1) = 100 + 20 = 120

Portanto, a variação da pressão é [80, 120], intervalo quêque corresponde à alternativa d.

7. (Enem/MEC) Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura do lado direito da página representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t) = ±A cos (ωt) ou P(t) = ±A sen (ωt), em quêque A > 0 é a amplitude de deslocamento mássimomáximo e ω é a freqüênciafrequência, quêque se relaciona com o período T pela fórmula ω = $\frac{2\pi }{T}$.

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

A expressão algébrica quêque representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo, no gráfico, é

a) −3cos (2t)

b) −3sen (2t)

c) 3cos (2t)

d) −6cos (2t)

e) 6cos (2t)

Resolução

Pelo gráfico, é possível constatar quêque o período T da função é T = (pi)"π; então: ω = $\frac{2\pi }{T}$ ⇒ ω = $\frac{2\pi }{\pi }$ = 2

Assim, P(t) = ±Acos (2t)ou P(t) = ±Asen (2t).

pôdêmosPodemos observar pelo gráfico quêque a imagem da função é dada por [−3, 3]. Então, temos quêque A = 3, pois, para qualquer t, temos −1 ≤ cos 2t ≤ 1 e −1 ≤ sen 2t ≤ 1.

Então, P(t) = ±3cos (2t) ou P(t) = ±3sen (2t), ou seja, as expressões das alternativas a, b e c atenderiam a essas condições.

Vamos analisar um ponto do gráfico de P. A imagem da função para t = $\frac{\pi }{2}$ é 3. Testando esse valor de t nas três alternativas possíveis, temos:

• alternativa a: −3 ⋅ cos (2 ⋅ t) = −3 ⋅ cos (2 ⋅ $\frac{\pi }{2}$) = −3 ⋅ cos (pi)"π = (−3) ⋅ (−1) = 3

Ou seja, para a lei P(t) = −3cos (2t), P$\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 3.

Página duzentos e três203

• alternativa b: −3 ⋅ sen (2t) = −3 ⋅ sen (2 ⋅ $\frac{\pi }{2}$) = −3 ⋅ sen (pi)"π = (−3) ⋅ 0 = 0

Ou seja, para a lei P(t) = −3sen (2t), P$\left(\frac{\pi }{2}\right)$ ≠ 3.

• alternativa c: 3 ⋅ cos (2t) = 3 ⋅ cos (2 ⋅ $\frac{\pi }{2}$) = 3 ⋅ cos (pi)"π = 3 ⋅ (−1) = −3

Ou seja, para a lei P(t) = 3cos (2t), P$\left(\frac{\pi }{2}\right)$ ≠ 3.

Portanto, a única das expressões algébricas apresentadas quêque pódepode representar as posições P(t) da massa m ao longo do tempo é da alternativa a.

ATIVIDADES

13. Esboce o gráfico das funções dadas por:

Ver as Orientações para o professor.

a) y = −cos x

b) y = 3cos $\frac{x}{2}$

c) y = 5 + cos x

d) y = cos (x − $\frac{\pi }{3}$)

14. Determine o período das funções a seguir:

a) y = cos 8x

p = $\frac{\pi }{4}$

b) y = 5 cos 10x

p = $\frac{\pi }{5}$

c) y = cos $\frac{4x}{7}$

p = $\frac{7\pi }{2}$

d) y = 6 cos ($\frac{x}{4}+\frac{\pi }{2}$)

p = 8(pi)"π

15. Calcule o valor de m para quêque o período da função f(x) = 1 + cos (4mx) seja igual a $\frac{\pi }{8}$.

m =4

16. Qual é o maior valor quêque a expressão $\frac{10}{3+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}$ pódepode assumir?

5

17. (UECE) As funções trigonométricas são, muitas vezes, utilizadas no estudo de tópicos básicos de Física. Alguns fenômenos físicos podem assumir valores mássimosmáximos e/ou mínimos. Se um fenômeno físico é representado pela função f(x) = 110(sen x + cos x), ele atingirá valor mássimomáximo e mínimo para os valores de x = x₀ tais quêque sen x₀ = cos x₀. Nesse caso, o valor mássimomáximo atingido pelo fenômeno é

a) 110 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$.

b) 110 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$.

c) 220 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$.

d) 220 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$.

alternativa a

18. (UEA-AM) O ponto (0, 2) pertence à função trigonométrica f(x) = a + cos x, em quêque a é um número real. O valor de f(2(pi)"π) é igual a

a) −2.

b) −1.

c) 2.

d) 1.

e) 0.

alternativa c

19. (UEA-AM) Considere o gráfico da função real f(x) = a − b cos x, com a e b não nulos.

Sabendo quêque os pontos ($\frac{\pi }{2}$, 1)e (0, −1) pertencem ao gráfico, o valor de f((pi)"π) é

a) 3,0.

b) 2,5.

c) 3,5.

d) 1,5.

e) 2,0.

alternativa a

20. Determine o conjunto imagem da função f dada por f(x) = 3 ⋅ cos x + 2.

[−1, 5]

21. Observe o gráfico da função f.

Assinale a alternativa cuja lei poderia sêrser a lei da função f.

a) f(x) = cos (2x)

b) f(x) = cos (4x)

c) f(x) = 2cos (2x)

d) f(x) = 2cos (4x)

e) f(x) = −4cos (4x)

alternativa d

22. Sejam as funções f e g dadas por f(x) = 2^{cos x} e g(x) = 2^{sen x}.

a) Calcule f((pi)"π) ⋅ g((pi)"π).

$$\frac{1}{2}$$

b) Compare os valores f($\frac{\pi }{6}$) e g($\frac{\pi }{4}$).

$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)>g\left(\frac{\pi }{4}\right)$$

Página duzentos e quatro204

23. Um oceanógrafo registrou a altura das marés de uma praia, dia após dia, nos mesmos horários, e percebeu quêque há um padrão em quêque a maré alta atinge, no mássimomáximo, 3 m e a maré baixa sempre atinge 1 m em relação ao nível da superfícíesuperfície. A seguir estão as alturas e os horários marcados no primeiro dia de observação.

Com base nas informações fornecidas, faça o quêque se pede.

a) Sabendo quêque a função quêque se ajusta ao comportamento da maré é dada por A(t) = cos (t − a) + b, em quêque A(t) é a altura da maré no tempo t, determine a e b, com a e b ∈ ℤ, de modo quêque, às 4:00, o valor da função se ajuste exatamente ao valor registrado pelo oceanógrafo.

a = 4; b = 2

b) Preocupado com a segurança dos banhistas, o oceanógrafo fixou avisos nos quiosques da praia, alertando sobre os horários das marés altas (quando estas atingem de 2 m a 3 m). Utilizando esse contexto e as informações anteriores, elabore uma atividade com dois itens e troque-a com um colega para quêque ele a resôuvaresolva. Em seguida, faça a correção da atividade elaborada por você.

Resposta pessoal.

Equações trigonométricas

É denominada equação trigonométrica toda equação cuja incógnita ou expressões contendo a incógnita aparécemaparecem como se fossem variáveis de funções trigonométricas. Por exemplo:

a) sen x = $-\frac{1}{2}$

b) cos (x + $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$) = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$

c) cos² x + cos x = 0

Os valores da incógnita quêque satisfazem à equação dada, caso existam, constituem as soluções da equação trigonométrica.

Observe, como exemplo, a resolução da equação sen x = $\frac{1}{2}$. Primeiro, vamos resolver a equação no intervalo 0 ≤ x < 2(pi)"π.

• Na circunferência trigonométrica, marcamos com um ponto, no eixo dos senos (eixo vertical), o valor $\frac{1}{2}$

• Em seguida, traçamos, pelo ponto marcado, uma reta paralela ao eixo horizontal.

Os valores de x, soluções da equação, são as medidas dos arcos cujas extremidades são os pontos de intersecção da reta paralela ao eixo horizontal com a circunferência trigonométrica.

No primeiro quadrante, o arco cujo seno é $\frac{1}{2}$ é $\frac{\pi }{6}$.

No segundo quadrante, o arco cujo seno é $\frac{1}{2}$ é $\frac{5\pi }{6}$.

Portanto, a solução da equação sen x = $\frac{1}{2}$ no intervalo 0 ≤ x < 2(pi)"π é S = {$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$}.

Página duzentos e cinco205

Agora, acompanhe a solução dessa equação para o conjunto dos números reais. Essa solução é composta de todos os arcos kôn-gru-uscôngruos aos arcos $\frac{\pi }{6}$ e $\frac{5\pi }{6}$.

Como a função seno tem período igual a 2(pi)"π, temos a seguinte solução no conjunto ℝ:

S = {x ∈ ℝ | x = $\begin{array}{c}\frac{\pi }{6}\end{array}$ +2k(pi)"π ou x = $\begin{array}{c}\frac{5\pi }{6}\end{array}$ + 2k(pi)"π, k ∈ ℤ}

ATIVIDADES RESOLVIDAS

8. resôuvaResolva a equação cos (3x − (pi)"π) = $-\frac{1}{2}$, sêndosendo U = ℝ.

Resolução

Na circunferência trigonométrica, marcamos com um ponto o valor $-\frac{1}{2}$ no eixo dos cossenos e traçamos um segmento paralelo ao eixo vertical quêque passe por esse ponto.

Na circunferência, podemos observar quêque, no intervalo [0, 2(pi)"π[, temos cos $\frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ e cos $\frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

Como a solução deve sêrser no conjunto dos números reais, o arco (3x − (pi)"π) deve sêrser côngruo a $\frac{2\pi }{3}$ ou côngruo a $\frac{4\pi }{3}$:

• 3x − (pi)"π = $\frac{2\pi }{3}$ + 2k(pi)"π ⇒ 3x = $\frac{5\pi }{3}$ + 2k(pi)"π ⇒x = $\frac{5\pi }{9}+\frac{2\mathrm{k\pi }}{3}$

• 3x − (pi)"π = $\frac{4\pi }{3}$ + 2k(pi)"π ⇒ 3x = $\frac{7\pi }{3}$ + 2k(pi)"π⇒x = $\frac{7\pi }{9}+\frac{2\mathrm{k\pi }}{3}$

Portanto:

S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{5\pi }{9}+\frac{2\mathrm{k\pi }}{3}$ ou x = $\frac{7\pi }{9}+\frac{2\mathrm{k\pi }}{3}$, k ∈ ℤ}

9. Determine o conjunto solução da equação 2 sen² x + sen x − 1 = 0, para x ∈ [0, 2(pi)"π[.

Resolução

Fazendo y = sen x, temos:

2 sen² x + sen x − 1 = 0 ⇒ 2y² + y − 1 = 0

Calculando as raízes, temos:

2y² + y − 1 = 0 ⇒ y = $\frac{-1\pm 3}{4}$

Então, y(minutos)"′ = $\frac{1}{2}$ ou y(segundos)"″ = −1.

Como y = sen x, temos:

sen x = −1 ou sen x = $\frac{1}{2}$

• sen x = −1 ⇒ x = $\frac{3\pi }{2}$

• sen x = $\frac{1}{2}$ ⇒ x =$\frac{\pi }{6}$ ou x = $\frac{5\pi }{6}$

Portanto, o conjunto solução da equação no intervalo [0, 2(pi)"π[ é S = {$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$}.

Página duzentos e seis206

ATIVIDADES

24. resôuvaResolva as seguintes equações, sêndosendo 0 ≤ x < 2(pi)"π.

a) sen x = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

S = {$\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$}

b) cos x = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

b) S = {$\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$}

c) sen x = −1

S = {$\frac{3\pi }{2}$}

d) cos x = −1

S = {(pi)"π}

25. Determine o conjunto solução das seguintes equações:

a) 2sen x + 1 = 0

25. a) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{7\pi }{6}$ + 2k(pi)"π ou x = $\frac{11\pi }{6}$ + 2k(pi)"π, k ∈ ℤ}

b) 2sen 2x = 1

25. b) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{12}$ + k(pi)"π ou x = $\frac{5\pi }{12}$ + k(pi)"π, k ∈ ℤ}

26. Determine o conjunto solução da seguinte equação: sen $\left(2x\mathrm{}-\mathrm{}\frac{\pi }{2}\right)$ = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$.

26. S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{5\pi }{12}$ + k(pi)"π ou x = $\frac{7\pi }{12}$ +k(pi)"π, k ∈ ℤ}

27. (Univiçosa-MG) Ao resolver a equação sen 4x = 1, obtém-se como resultado

a) S = {x ∈ ℝ | x = (pi)"π + k(pi)"π}

b) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π}

c) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{4}+\frac{k}{3}$ (pi)"π}

d) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{8}+\frac{k}{2}$ (pi)"π}

alternativa d

28. Um gerador de corrente elétrica produz uma corrente dada pela equação I(t) = 40sen (120(pi)"πt), em quêque t é o tempo em segundo, e I é a corrente em ampere. Determine o mínimo valor positivo de t para quêque I = 20 amperes. Dê a resposta com quatro casas decimais.

28. aproximadamente 0,0014 s

29. Determine o conjunto solução das equações:

a) 2sen² x − 6sen x − 8 = 0

29. a) S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{3\pi }{2}$ + 2k(pi)"π, k ∈ ℤ}

b) cos² x + cos x = 0

S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π ou x = (pi)"π + 2k(pi)"π, k ∈ ℤ}

30. Calcule o conjunto solução da equação 2sen⁴ x − 3 sen² x + 1 = 0.

30. S = {x ∈ ℝ | x = $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π ou x = $\frac{\pi }{4}$ + k(pi)"π ou x = $\frac{3\pi }{4}$ +k(pi)"π, k ∈ ℤ}

31. resôuvaResolva a equação 4^{–sen x} = $\frac{1}{2}$.

31. S = {x ∈ ℝ | x = $\begin{array}{c}\frac{\pi }{6}\end{array}$ + 2k(pi)"π ou x = $\begin{array}{c}\frac{5\pi }{6}\end{array}$ + 2k(pi)"π, k ∈ ℤ}

32. Determine o conjunto solução da equação $\left|\cos (\pi -x)\right|$ = $\frac{1}{2}$.

S = {x ∈ ℝ | x = $\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}\end{array}$ + k(pi)"π ou x = $\begin{array}{c}\frac{2\pi }{3}\end{array}$ + k(pi)"π, k ∈ ℤ}

33. (UECE) O número de soluções, no intervalo [0, 2(pi)"π], da equação 2cos² x + 3sen x − 3 = 0 é igual a

a) 2.

b) 0.

c) 1.

d) 3.

alternativa d

34. (FGV-SP) Observe a figura com a representação gráfica de uma função constante e de uma função trigonométrica, ambas definidas para todos os números reais.

Sendo P e Q os pontos de intersecção dos gráficos das funções indicadas na figura, a medida de $\begin{array}{c}\overline{PQ}\end{array}$, em unidades de comprimento do plano cartesiano, é igual a

a) 2

b) $\frac{2\pi }{3}$

c) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$

d) 4

e) $\frac{4\pi }{3}$

alternativa b

35. (Enem/MEC) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (hí bê gê héIBGE), produtos sazonais são aqueles quêque apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preêçopreço.

Resumidamente, existem épocas do ano em quêque a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o quêque ocorre no mês de produção mássimamáxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se quêque o preêçopreço P, em reais, do kilograma de um cértocerto produto sazonal pódepode sêrser descrito pela função P(x) = 8 + 5 cos ($\frac{\mathrm{\pi x}-\pi }{6}$), onde x representa o mês do ano, sêndosendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.

Disponível em: https://livro.pw/vfrgz. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção mássimamáxima dêêssedesse produto é

a) janeiro.

b) abril.

c) junho.

d) julho.

e) outubro.

alternativa d

Página duzentos e sete207

36. (Enem/MEC) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

A função h(t) = 4 + 4 sen ($\frac{\mathrm{\beta t}}{2}-\frac{\pi }{2}$) definida para t ≥ 0 descreve como varia a altura h, medida em centimetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro (beta)"β, quêque é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para quêque o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente quêque, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.

Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para (pi)"π.

O menor valor inteiro a sêrser atribuído ao parâmetro (beta)"β, d fórmade forma quêque o motor a sêrser construído tenha boa potência, é

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 8.

alternativa d

Página duzentos e oito208

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Movimento das marés

O movimento dos mares e sua relação com os ciclos lunares sempre despertou a curiosidade das pessoas. O movimento cíclico das marés se relaciona com o comportamento de funções trigonométricas. Leia o texto a seguir sobre esse assunto.

Marés

Há milhares de anos os homens sabem quêque a Lua tem alguma relação com as marés. Antes do ano 100 a.C., o naturalista romano Plínio escreveu sobre a influência da Lua nas marés. Mas as leis físicas dêêssedesse fenômeno não foram estudadas até quêque o cientista inglês Isaac níltomNewton descobriu a lei da gravitação no século XVII.

As marés são movimentos de fluxo e refluxo das águas dos mares provocados pela atração quêque a Lua e, secundariamente, o Sol exercem sobre os oceanos. Qualquer massa de á guaágua, grande ou pequena, está sujeita às forças causadoras de maré provindas do Sol e da Lua. Porém é somente no ponto em quêque se encontram os oceanos e os continentes quêque as marés têm grandeza suficiente para serem percebidas. As águas dos rios e lagos apresentam subida e descida tão insignificante quêque a diferença é inteiramente disfarçada por mudanças de nível devidas ao vento e ao estado do tempo.

[…]

Uma maré é bem semelhante a outra. Do seu nível mais baixo, a á guaágua sobe gradualmente por cerca de 6 horas até atingir a maré alta ou preamar. Daí então principia a baixar, continuando por cerca de 6 horas até alcançar a maré baixa ou baixa-mar. O ciclo então começa novamente. A diferença entre a maré alta e a baixa é chamada amplitude da maré. Enquanto a á guaágua sobe e desce, move-se em direção da costa e se afasta dela, alternadamente. Esse movimento da á guaágua é chamado fluxo da maré. Quando a á guaágua se móvemove em direção à costa, é o fluxo enchente. Quando se desloca para alto-mar, é o fluxo vazante.

Página duzentos e nove209

A amplitude da maré diféredifere dia após dia conforme a posição do Sol e da Lua. Quando ambos se colocam numa mesma linha em relação à Terra, como acontece na Lua Cheia e Nova, a maré fica mais alta do quêque o normal e é chamada de maré de Sizígia, ou maré de águas-vivas. Quando o Sol e a Lua formam com a Terra um ângulo reto, como quando a Lua está em quarto crescente ou quarto minguante, a maré é mais baixa quêque o normal, sêndosendo chamada maré de Quadratura, ou maré de Águas-Mortas.

A própria formação da costa marítima produz também uma grande diferença na amplitude da maré. Nos estuários e baías com o formato de funil, a amplitude pódepode sêrser muito alta. A forma, tamãnhotamanho e profundidade dos mares e oceanos provocam diferenças no modo de agir da maré.

DANDOLINI, Marlene. Marés. Florianópolis: Planetário da hú éfi éssi cêUFSC, maio 2000. Disponível em: https://livro.pw/xfhsk. Acesso em: 6 out. 2024.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Os movimentos das marés têm relação com quais astros celéstescelestes?

2. Nos portos, há um serviço de auxílio aos capitães de embarcações realizado pelo prático. Esse profissional possui habilidades de condução marítima e conhecimento profundo das condições marítimas da região. Pesquise e explique como o conhecimento do movimento das marés auxilia esse profissional a atracar navios no cais do porto.

3. Em pequenos grupos, façam uma pesquisa sobre a influência das marés para o turismo brasileiro. Em seguida, façam uma apresentação de slides sobre o tema e apresentem-na para a turma.

4. Suponha quêque, em certa região, a maré baixa corresponda a apenas 1 m e a maré alta chegue a 3 m. Para efeito de comparação, considere (pi)"π radianos como o período de 12 horas, em quêque o valor 0 do domínio corresponde às 6h da manhã, sêndosendo esse um momento de maré alta. Represente graficamente o comportamento da maré, segundo os dados informados, e escrêevaescreva a expressão matemática representada por esse gráfico.

• MARTEN, máicouMichael. Sea change: south-west. Reino Unido: máicouMichael Marten, 2003-2012. Disponível em: https://livro.pw/dhbxk. Acesso em: 6 out. 2024.

Esse sáitisite apresenta a comparação, por meio de fotografias, de locais em maré baixa e maré alta.

Página duzentos e dez210

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Análise dos gráficos das funções seno e cosseno

Os gráficos quêque representam as funções trigonométricas do tipo f(x) = a + b ⋅ sen (cx + d) ou g(x) = a + b ⋅ cos (cx + d) podem sêrser modificados de acôr-doacordo com a alteração dos valores dos parâmetros a, b, c e d. Com o uso do GeoGebra, vamos analisar essas variações no gráfico de f(x) = a + b ⋅ sen (cx + d).

Siga os passos indicados.

I. Primeiro, vamos mudar a unidade do eixo horizontal para (pi)"π.

No canto superior direito da janela de visualização, clique no botão e, em seguida, clique em Configurações, . Depois, clique na aba Eixo X. Em Unidade, selecione (pi)"π.

Depois, marque a caixa Distância e clique em $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

II. No campo de entrada, digite “f(x)=a+b*sen(cx+d)”. Ao fazer isso, um gráfico surgirá na janela de visualização e o programa criará automaticamente controles deslizantes para a, b, c e d. Ao ajustar os controles deslizantes para a = 0, b = 1, c = 1 e d = 0, teremos o gráfico da função seno na janela de visualização. Observe a figura.

Página duzentos e onze211

Observe, agora, o quêque acontece com o gráfico da função seno ao deslizarmos o contrôlecontrole a para outros valores.

Agora, manipule os controles deslizantes para observar o quêque acontece com o gráfico e faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. dêz-crevaDescreva o quêque acontece com o gráfico da função dada por f(x) = a + b ⋅ sen (cx + d) ao:

a) se manterem os parâmetros b, c e d fixos em b = 1, c = 1 e d = 0 e deslizar o contrôlecontrole do parâmetro a para valores positivos e negativos.

Para valores positivos, o gráfico se desloca verticalmente a unidades para cima e, para valores negativos, o gráfico se desloca verticalmente a unidades para baixo.

b) se manterem os parâmetros a, c e d fixos em a = 0, c = 1 e d = 0 e deslizar o contrôlecontrole do parâmetro b para valores positivos.

Os valores de mássimomáximo e mínimo da função se alteram. Porém, o período permanécepermanece o mesmo.

c) se manterem os parâmetros a, b e d fixos em a = 0, b = 1 e d = 0 e deslizar o contrôlecontrole do parâmetro c para valores positivos.

Ocorrem alterações no período da função.

d) se manterem os parâmetros a, b e c fixos em a = 0, b = 1 e c = 1 e deslizar o contrôlecontrole do parâmetro d para valores positivos e negativos.

Para valores positivos, o gráfico se desloca horizontalmente para a esquerda e, para valores negativos, o gráfico se desloca horizontalmente para a direita.

2. Em uma nova janela do GeoGebra, construa o gráfico da função dada por g(x) = a + b ⋅ cos (cx + d) e repita os itens da atividade 1 para essa função. Verifique se as alterações nos parâmetros a, b, c e d interferem da mesma maneira no gráfico da função cosseno.

Espera-se quêque os estudantes concluam quêque os parâmetros interferem da mesma maneira no gráfico da função.

Página duzentos e doze212

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (UEA-AM) Considere a função f(x) = 4 ⋅ sen (2x). O valor de f($\frac{\pi }{3}$) é

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

alternativa c

2. (UECE) Considere as funções reais de variável real definidas por f(x) = sen (1 + $\frac{x}{2}$)(pi)"π e g(x) = sen(1 − $\frac{x}{2}$)(pi)"π. Se K = f(9) ⋅ g(9), então, pode-se afirmar corretamente quêque o valor de K é igual a

a) 1.

b) −1.

c) 0.

d) −2.

alternativa b

3. (Uneb-BA) Admitindo-se quêque o peso de determinada pessoa, ao longo de um ano, possa sêrser modelado pela função P(t) = 65 − 5cos (($\frac{t+3}{6}$)(pi)"π), em quêque t = 1, …, 12 corresponde aos meses de janeiro a dezembro e, considerando $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 1,7, pode-se estimar quêque, de maio até agosto, o peso dessa pessoa

01) diminuiu 4,50 kg.

02) aumentou 4,50 kg.

03) diminuiu 6,75 kg.

04) aumentou 6,75 kg.

05) diminuiu 7,56 kg.

alternativa 03

4. (UEPA) A altura das ondas em determinado trecho de um oceano varia de acôr-doacordo com a expressão H(t) = 5 + 3 ⋅ sen (2t), onde t (em segundo) é o tempo e H (em metro), a altura dessas ondas. A altura mássimamáxima (crista da onda) atingida por essas ondas é de:

a) 9 m

b) 3 m

c) 5 m

d) 6 m

e) 8 m

alternativa e

5. (UEG-GO) Seja f(x) uma função definida para todos os números reais. Dada a expressão f(x) cos($\frac{x}{2}$ + (pi)"π) + 3 = f(x − $\frac{\pi }{2}$)(x − (pi)"πsen(x)), o valor de f($\frac{\pi }{2}$) é

a) (pi)"π² − 1

b) 0

c) (pi)"π − $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$(pi)"π + 3

e) $\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{2}(\pi +2)}{2}\end{array}$

alternativa e

6. (UEG-GO) Duas ondas sonórassonoras são descritas pelas funções y = 1 + sen x e y = 1 − cos x. Considerando 0 ≤ x ≤ 2(pi)"π, os gráficos dessas funções se interceptam em:

a) $x=\frac{\pi }{4}$ e $x=\frac{3\pi }{4}$

b) $x=\frac{3\pi }{4}$ e $x=\frac{5\pi }{4}$

c) $x=\frac{5\pi }{4}$ e $x=\frac{7\pi }{4}$

d) $x=\frac{\pi }{4}$ e $x=\frac{5\pi }{4}$

e) $x=\frac{3\pi }{4}$ e $x=\frac{7\pi }{4}$

alternativa e

7. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, a interseção dos gráficos das funções reais de variável real f(x) = sen (x) e g(x) = cos (x) são, para cada número inteiro k, os pontos P(x_k, y_k). Então, os possíveis valores para y_k são

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ e $-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$.

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{3}\end{array}$ e $-\frac{\sqrt[]{2}}{3}$.

c) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ e $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$.

d) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$ e $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$.

alternativa a

8. (UFRGS-RS) Um ponto A, quêque se movimenta sobre uma circunferência, tem sua posição p(t), considerada na vertical, no instante t, descrita pela relação p(t) = 100 − 20sen (t), para t ≥ 0. Nesse caso, a medida do diâmetro dessa circunferência é:

a) 30

b) 40

c) 50

d) 80

e) 120

alternativa b

9. (UFRGS-RS) Considere a função real de variável real f(x) = 3 − 5sen (2x + 4). Os valores de mássimomáximo, mínimo e o período de f(x) são, respectivamente,

a) −2, 8, (pi)"π

b) 8, −2, (pi)"π

c) (pi)"π, −2, 8

d) (pi)"π, 8, −2

e) 8, (pi)"π, −2

alternativa b

10. (UECE) Se M e m são respectivamente os valores mássimomáximo e mínimo quêque a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 3 sen² x + 7 cos² x pódepode assumir, então o produto M ⋅ m é igual a

a) 24.

b) 15.

c) 21.

d) 18.

alternativa c

11. (PUC-SP) A imagem da função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2 − 3 cos x é o intervalo:

a) [−1; 2]

b) [−1; 0]

c) [3; 5]

d) [2; 3]

e) [−1; 5]

alternativa e

Página duzentos e treze213

12. (UFES) O período e a imagem da função f(x) = 5 − 3 cos($\frac{x-2}{\pi }$) são, respectivamente:

a) 2(pi)"π e [−1, 1]

b) 2(pi)"π e [2, 8]

c) 2(pi)"π² e [2, 8]

d) 2(pi)"π e [−3, 3]

e) 2(pi)"π² e [−3, 3]

alternativa c

13. (UFRGS-RS) Se f(x) = a + b ⋅ sen x tem como gráfico

Então:

a) a = −2 e b = 1

b) a = −1 e b = 2

c) a = 1 e b = −1

d) a = 1 e b = −2

alternativa d

14. (Enem/MEC) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função P(t) = A + B cos (kt), em quêque A, B e k são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere quêque um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões mássimasmáximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

A função P(t) ôbitídaobtida, por êsteeste cientista, ao analisar o caso específico foi:

a) P(t) = 99 + 21cos (3(pi)"πt)

b) P(t) = 78 + 42cos (3(pi)"πt)

c) P(t) = 99 + 21cos (2(pi)"πt)

d) P(t) = 99 + 21cos (t)

e) P(t) = 78 + 42cos (t)

alternativa a

15. (Fuvest-SP)

Admitindo quêque a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = sen (x) e quêque a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = (alfa)"α sen ((beta)"βx), segue quêque:

a) 0 < (alfa)"α < 1 e 0 < (beta)"β < 1.

b) (alfa)"α > 1 e 0 < (beta)"β < 1.

c) (alfa)"α = 1 e (beta)"β > 1.

d) 0 < (alfa)"α < 1 e (beta)"β > 1.

e) 0 < (alfa)"α < 1 e (beta)"β = 1.

alternativa a

16. (Enem/MEC) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Lás VégasLas Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

A partir da posição indicada, em quêque o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função quêque descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.

Página duzentos e quatorze214

Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por:

a) f(t) = 80sen (t) + 88

b) f(t) = 80cos (t) + 88

c) f(t) = 88cos (t) + 168

d) f(t) = 168sen (t) + 88cos (t)

e) f(t) = 88sen (t) + 168cos (t)

alternativa a

Em 2021, foi inaugurada a roda-gigante Ain Dubai, em Dubai, nos Emirados Árabes, com 250 m de altura, tirando o posto da High Roller de maior roda-gigante do mundo.

17. (UFPE) Admita quêque a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante t, medido em segundo, seja dada por: P(t) = 96 + 18 cos (2(pi)"πt), t ≥ 0.

Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações:

I. O valor mássimomáximo da pressão arterial da pessoa é 114.

II. O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é 78.

III. A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t + 1) = P(t), para todo t ≥ 0.

IV. Quando t = $\frac{1}{3}$ de segundo, temos P($\frac{1}{3}$) = 105.

V. O gráfico de P(t) para 0 ≤ t ≤ 4 é:

I: V; II: V; III: V; IV: F; V: F

18. (UEFS-BA) Em um parque de diversões, uma roda-gigante de raio r = 10 m, tendo 12 cadeiras igualmente espaçadas ao longo de seu perímetro, faz uma volta completa em 30 segundos. Além díssudisso, o ponto mais baixo atingido ao longo do percurso circular está a 0,5 m do solo. cértoCerto dia, depois de todos os assentos estarem ocupados, o assento 1 se encontrava na posição indicada na figura, quando a roda começa a girar no sentido anti-horário.

Sendo a distância dêêssedesse assento ao solo, t segundos após a roda ter começado a girar, dada pela expressão D(t) = M + N sen ((alfa)"αt), (alfa)"α > 0, é correto afirmar quêque M − N é igual a

a) cos (5(alfa)"α)

b) sen (5(alfa)"α)

c) cos (10(alfa)"α)

d) sen (10(alfa)"α)

e) cos (15(alfa)"α)

alternativa a

Página duzentos e quinze215

19. (UECE) O valor da soma sen(x) + sen(x + (pi)"π) + sen(x + 2(pi)"π) + sen(x + 3(pi)"π) + … + sen(x + n(pi)"π), onde n é um número natural par e menor do quêque 100 é:

a) sen (x)

b) cos (x)

c) 0

d) 1

alternativa a

20. (UEG-GO) Resolvendo-se a equação sen 2x = 1, encontramos a 1ª determinação positiva de x igual a