CAPÍTULO
7
ÁREAS

No Brasil, assim como em outros países do mundo, o acesso à moradia ainda é um desafio para muitas pessoas. Inúmeras famílias não têm condições dignas de habitação e, muitas vezes, com poucos recursos disponíveis, acabam vivendo em locais inadequados. As organizações não governamentais (ônguisONGs) são entidades sem fins lucrativos quêque, entre outros propósitos, auxiliam na captação de verbas e na distribuição do orçamento para auxiliar as camadas menos favorecidas da população.

Algumas dessas ônguisONGs promóvempromovem campanhas específicas voltadas para esse fim e realizam projetos para a construção de moradias populares e para a reconstrução de lares de pessoas quêque sofreram com alguma catástrofe natural, como enchentes, terremotos, furacões e tsunâmis.

Muitos conjuntos habitacionais concebidos por meio de programas sociais, governamentais ou não, seguem uma série de especificações quêque ajudam a padronizar as construções. Entre essas especificações, encontram-se, por exemplo, a área útil da residência (espaço interno sem considerar a área das paredes) e as dimensões de tanques, pias, corredores e cômodos. Essas medidas são muito importantes para garantir conforto e acessibilidade aos moradores.

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Introdução

Na abertura dêstedeste Capítulo, compreendemos como algumas ônguisONGs auxiliam na construção de moradias para famílias sem recursos. Nesse processo de construção ou na reforma de um imóvel, muitas atividades envolvem medições e cálculos de áreas e perímetros. Neste Capítulo, estudaremos o cálculo da área de algumas figuras planas.

As áreas quêque precisamos determinar no dia a dia nem sempre são regiões poligonais, por exemplo, a piscina cuja vista aérea é mostrada na fotografia desta página ocupa uma região não poligonal no deck.

Para calcular a área ocupada pela superfícíesuperfície dessa piscina, pode-se considerar o contôrnocontorno dela em uma malha quadriculada e tomar a área de um quadradinho da malha como unidade de área.

Inicialmente, contamos na malha a quantidade de quadradinhos quêque estão inteiramente contidos na região cuja área pretendemos determinar e dizemos quêque essa é a área por falta (S_falta)dessa região. Na figura com legenda área por falta, temos S_falta = 47 unidades de área (u.a.). Note quêque há espaços dentro do contôrnocontorno cuja área é desprezada nessa contagem. Isso significa quêque a área real da figura é maior do quêque a área por falta.

Em seguida, contamos na malha a quantidade de quadradinhos quêque estão inteiramente ou parcialmente contidos na região cuja área pretendemos determinar e dizemos quêque essa é a área por excéssoexcesso (S_{excéssoexcesso})dessa região. Na figura com legenda área por excéssoexcesso, temos S_{excéssoexcesso} = 88 u.a. Note quêque há espaços fora do contôrnocontorno cuja área é considerada nessa contagem. Isso significa quêque a medida da área real da figura é menor do quêque a medida da área por excéssoexcesso.

Para obtêrobter a área aproximada da superfícíesuperfície da piscina, podemos calcular a média aritmética entre a área por falta e a área por excéssoexcesso. Assim, temos 67,5 u.a., pois:

S = $\begin{array}{c}\frac{S_{\text{falta}}+S_{\text{excesso}}}{2}\end{array}$ ⇒ S = $\frac{47+88}{2}$ = 67,5

Quanto menóresmenores forem as unidades de área (u.a.), correspondentes aos quadradinhos da malha nesse exemplo, mais precisas se tornam as áreas por falta e por excéssoexcesso e melhor será a aproximação, uma vez quêque a área interna desprezada na medida da área por falta e a área externa considerada na medida da área por excéssoexcesso serão menóresmenores.

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Área de polígonos

A grafiteira Gugie Cavalcanti (1993-) é uma artista brasileira quêque retrata, em suas obras, o quêquestionamento sobre os processos de criação de afetos, como nos sensibilizamos na construção das relações e do estar no mundo. Observe o mural "Triunfo " que está localizado em Santa Catarina. Esse mural foi pintado por Gugie, no ano de 2024, e ocupa uma superfícíesuperfície retangular da parede lateral do Edifício Dona Izabel, no centro de Florianópolis. Com dimensões de 21 m de altura por 8 m de largura, a artista retrata akiloaquilo quêque, na visão dela, é o triunfo verdadeiro: "ver a mãe de um amigo no centro da cidade com a neta no colo".

Para determinar a área do mural "Triunfo", precisamos retomar o cálculo da área de um retângulo, assunto quêque foi estudado no Ensino Fundamental. A seguir, acompanhe a maneira de se determinar a área dêêssedesse e de outros polígonos.

Resposta pessoal.

Área do retângulo

A área S de um retângulo de lados de medidas b e h, com b e h reais positivos, é dada pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

Área do quadrado

Todo quadrado é um retângulo com lados de medidas iguais. Logo, a área S de um quadrado de lado de medida a é igual ao produto das medidas de dois de seus lados.

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Área do paralelogramo

Vamos considerar um paralelogramo ABCD cuja base médemede b e cuja altura médemede h, conforme a figura.

Projetando ortogonalmente os vértices A e B dêêssedesse paralelogramo sobre a reta quêque passa pêlospelos pontos D e C, obtemos os pontos H e H(minutos)"′, respectivamente, determinando o retângulo ABH(minutos)"′H, como indicado na figura. Os triângulos AHD e BH(minutos)"′C são congruentes pelo caso LAA_O (Lado, Ângulo, Ângulo Oposto). Desse modo, eles têm a mesma área.

Logo, a área S do paralelogramo ABCD é igual à área do retângulo ABH(minutos)"′H:

O resultado obtídoobtido independe do lado escolhido para sêrser a base do paralelogramo. Caso tivéssemos escolhido outro lado do paralelogramo como base e sua respectiva altura, o resultado seria o mesmo.

Ver as Orientações para o professor.

Fórmula trigonométrica para o paralelogramo

A área de um paralelogramo também pódepode sêrser calculada em função das medidas de dois de seus lados consecutivos e da medida do ângulo formado por eles.

Considerando o paralelogramo ABCD, sua área S é dada por:

Área do triângulo

Vamos considerar um triângulo ABC cuja base $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ médemede b, e a altura relativa a essa base médemede h.

A área S do triângulo ABC é igual à mêtádemetade do produto da medida da base pela altura relativa a essa base.

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Fórmula de Heron

Outra maneira de calcular a área de um triângulo qualquer é a partir da medida de seus três lados.

Seja um triângulo ABC, em quêque a, b e c são as medidas dos lados, como mostra a figura.

Sendo p = $\frac{a+b+c}{2}$ o semiperímetro do triângulo ABC, a área S do triângulo é dada por:

Essa expressão para o cálculo da área de um triângulo é conhecida como fórmula de Heron, ou fórmula de Herão.

Heron de Alexandria foi um matemático grego quêque viveu entre, aproximadamente, 150 a.C. e a segunda mêtádemetade do século I d.C. Ele ficou conhecido pela fórmula quêque calcula a área de um triângulo, a qual leva seu nome. O livro em quêque apresenta essa fórmula, A métrica, só foi encontrado em 1896.

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 194, 205.

• OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA DAS ESCOLAS PÚBLICAS. Fórmula de Herão. In: OBMEP. Clubes de Matemática da OBMEP. Rio de Janeiro, 2019. Disponível em: https://livro.pw/jzntx. Acesso em: 4 set. 2024.

Esse línkilink apresenta várias demonstrações da fórmula de Heron.

Área do triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo ABC, o cateto $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ é a altura relativa ao lado $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$, e o cateto $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ é a altura relativa ao lado AB. Assim, sêndosendo AB = c, AC = b e S a área do triângulo retângulo ABC, temos:

Área do triângulo equilátero

Em um triângulo equilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes e toda altura é também bissetriz interna e mediana. Vamos considerar um triângulo equilátero ABC, como mostra a figura.

A área S do triângulo equilátero ABC é dada por:

Ver as Orientações para o professor.

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Fórmula trigonométrica para o triângulo

Assim como ocorre com os paralelogramos, a área de um triângulo também pódepode sêrser calculada em função das medidas de dois de seus lados consecutivos e da medida do ângulo formado por eles.

Considerando o triângulo ABC, sua área S é dada por:

Conforme estudamos no Capítulo 5, essa é uma maneira de calcular a área de um triângulo qualquer.

Área do losango

Todo losango é um paralelogramo cujas medidas dos lados são iguais e as diagonais d e D são perpendiculares entre si.

Em um losango:

• os ângulos opostos são congruentes;

• as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos;

• as diagonais se intersectam no ponto médio.

Observe quêque o losango pódepode sêrser decomposto em quatro triângulos congruentes de mesma área. Assim, a área S de um losango é dada pelo produto de 4 pela área de um dêêssesdesses quatro triângulos:

S = 4 ⋅ S(triângulo)"△ = 4 ⋅ $\frac{1}{2}\cdot \frac{D}{2}\cdot \frac{d}{2}=\frac{D\cdot d}{2}$

Portanto, a área de um losango é igual à mêtádemetade do produto das medidas das diagonais, ou seja:

Área do trapézio

Vamos considerar um trapézio cujas base maior, base menor e altura médemmedem B, b e h, respectivamente. Traçando uma diagonal nesse trapézio, obtemos dois triângulos: um de base B e altura h e outro de base b e altura h, como mostra a figura.

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A área S do trapézio é a soma das áreas dêêssesdesses dois triângulos:

S = $\frac{B\cdot h}{2}+\frac{b\cdot h}{2}=\frac{B\cdot h+b\cdot h}{2}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$

Portanto, a área de um trapézio é igual à mêtádemetade do produto da soma das medidas das bases pela medida da altura, ou seja:

• MORAES, MáikeMike. Teorema de Pick. [S. l.]: GeoGebra, c2024. Disponível em: https://livro.pw/gmfza. Acesso em: 4 set. 2024.

Esse línkilink apresenta o teorema de Pick, quêque permite calcular a área de um polígono qualquer em um geoplano.

Fonte dos dados: OLIVEIRA, Giovanna B. de; CALVO, Paloma A. N.; CASTRO, Patrícia G. de. Horticultura urbana. Boletim de inovação e sustentabilidade, São Paulo, v. 1, p. 1-43, 2018. Disponível em: https://livro.pw/pmzqv. Acesso em: 4 set. 2024.

Respostas pessoais.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. As bases de um trapézio médemmedem 10 cm e 2,8 cm. Se a medida de cada um dos outros dois lados é 6 cm, qual é a área dêêssedesse trapézio?

Resolução

Como os lados não paralelos têm medidas iguais, o trapézio é isósceles.

Calculando a medida d no triângulo CEB, temos:

d = $\frac{10-\mathrm{2,8}}{2}=\frac{\mathrm{7,2}}{2}$ = 3,6

Logo, d = 3,6 cm.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CEB, temos:

h² + 3,6² = 6² ⇒ h² = 23,04

Logo, h = 4,8 cm.

Cálculo da área do trapézio:

S = $\frac{(10+\mathrm{2,8})\cdot \mathrm{4,8}}{2}=\frac{\mathrm{12,8}\cdot \mathrm{4,8}}{2}$ = 30,72

Portanto, S = 30,72 cm².

2. Calcule a área do triângulo ABC.

Resolução

A base do triângulo médemede 8 cm, pois 10 − 2 = 8, e a altura, 4 cm, pois 6 − 2 = 4. Logo:

S = $\frac{b\cdot h}{2}$ ⇒ S = $\frac{8\cdot 4}{2}$ = 16

Assim, a área do triângulo ABC é 16 cm².

3. Determine a área do quadrilátero ILHA representado a seguir.

Resolução

Inicialmente, observamos quêque o quadrilátero é não convexo.

Precisamos, então, decompor a figura em polígonos cuja área sabemos calcular. Uma possibilidade é considerar os triângulos ILA e LHA.

A área do quadrilátero ILHA é a área do triângulo ILA menos a área do triângulo LHA.

No triângulo ILA, considerando-se a base como o lado $\begin{array}{c}\overline{LA}\end{array}$, a altura relativa a esse lado pódepode sêrser ôbitídaobtida com o auxílio da malha quadriculada e vale 3 u.c. (unidades de comprimento). Assim:

S_ILA = $\frac{4\cdot 3}{2}$ = 6

Logo, S_ILA = 6 u.a. (unidades de área).

Usamos raciocínio análogo no triângulo LHA e determinamos sua área:

S_LHA = $\frac{4\cdot 1}{2}$ = 2

Logo, S_LHA = 2 u.a.

De posse dêêssesdesses valores, conseguimos determinar a área do quadrilátero ILHA:

S_ILHA = S_ILA − S_LHA = 6 − 2 = 4

Portanto, a área do quadrilátero ILHA é 4 u.a.

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ATIVIDADES

1. Calcule a área das figuras a seguir.

a)

8.200 cm²

b)

18 cm²

c)

12$\sqrt[]{5}$ cm²

d)

1.950 m²

2. Conforme observamos anteriormente, neste Capítulo, as dimensões do mural “Triunfo”, da grafiteira Gugie Cavalcanti, são 21 m de altura e 8 m de largura. Qual é a área, em métrometro quadrado, ocupada por esse mural?

168 m²

3. Considere a figura representada na malha quadriculada a seguir e considere quêque cada quadradinho tem 1 cm de lado.

Calcule:

a) A área da figura por falta.

100 cm²

b) A área da figura por excéssoexcesso.

148 cm²

c) Uma medida aproximada da área da figura.

124 cm²

d) Qual é o êrroerro percentual entre a medida aproximada calculada no item c e a medida real da área dessa figura, quêque, com aproximação até décimos, é 119,6 cm²?

aproximadamente 3,68%

4. Se aumentarmos a medida do lado de um quadrado em 4 cm, sua área será aumentada em 56 cm². Qual é a medida da diagonal do quadrado inicial?

5$\sqrt[]{2}$ cm

5. O quêque ocorre com a área de um quadrado se aumentarmos em 20% a medida de seu lado?

aumenta 44%

6. (Vunesp-SP) Uma parede de 350 cm de altura e 500 cm de comprimento será revestida de azulejos quadrados iguais. Desprezando-se a necessidade de deixar espaço entre os azulejos e supondo-se quêque não haverá perdas provenientes do kórticorte deles:

a) determine o número de azulejos de 20 cm de lado necessários para revestir a parede;

437,5 azulejos

b) encontre a maior dimensão de cada peça de azulejo para quêque não haja necessidade de cortar nenhum deles.

50 cm

7. (Enem/MEC) Um agricultor utilizava toda a área de uma região plana, em formato retangular, com 50 m de largura e 240 m de comprimento, para o plantio de mudas. Seguindo recomendações técnicas, cada muda é plantada no centro de uma pequena região retangular de 10 cm de largura por 20 cm de comprimento.

Esse agricultor decidiu ampliar a área destinada ao plantio de mudas, utilizando agora um terreno, também plano, em formato retangular, com 100 m de comprimento por 200 m de largura. As mudas deverão sêrser plantadas respeitando-se as mesmas recomendações técnicas.

Com o aumento da área destinada ao plantio, a quantidade mássimamáxima de mudas quêque poderão sêrser plantadas a mais é

a) 100.000.

b) 400.000.

c) 600.000.

d) 1.000.000.

e) 1.600.000.

alternativa b

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8. Considere o retângulo ABCD a seguir.

Sabendo-se quêque AB = 27 cm e AD = 21 cm, calcule o valor de x, de modo quêque a soma das áreas dos retângulos em azul seja a maior possível.

12 cm

9. (Enem/MEC) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos $\begin{array}{c}\overline{AP}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{QC}\end{array}$ médemmedem $\frac{1}{4}$ da medida do lado do quadrado. Para confeksionarconfeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, quêque custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), quêque custa R$ 50,00 o m².

De acôr-doacordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?

a) R$ 22,50

b) R$ 35,00

c) R$ 40,00

d) R$ 42,50

e) R$ 45,00

alternativa b

10. (Udesc) Maria precisa comprar piso para o seu apartamento, cuja planta baixa pódepode sêrser vista na figura. Devido aos rekórtisrecortes necessários para a colocação do piso, o mestre de obras solicitou 10% a mais da metragem total do apartamento.

De acôr-doacordo com as instruções do mestre de obras, Maria deve comprar aproximadamente:

a) 38 m²

b) 37 m²

c) 40 m²

d) 39 m²

e) 42 m²

alternativa c

11. (UFRGS-RS) No retângulo ABCD, representado na figura abaixo, os três ângulos destacados com vértice em C são iguais.

A área do triângulo sombreado AEC, em relação à área total do retângulo, corresponde a:

a) $\frac{1}{2}$.

b) $\frac{1}{3}$.

c) $\frac{2}{5}$.

d) $\frac{3}{5}$.

e) $\frac{2}{3}$.

alternativa b

12. Reúna-se a dois côlégascolegas, e elaborem uma proposta de construção de uma horta comunitária na sua escola. Essa proposta deve apresentar:

Ver as Orientações para o professor.

• a indicação do local onde a horta poderia sêrser implementada na escola, bem como os alimentos e temperos quêque poderiam sêrser cultivados;

• a planta baixa da horta comunitária, com cálculos de área para cada cultivo;

• os cálculos de perímetro para a construção de cercas em locais pertinentes.

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Área do círculo e de suas partes

Atualmente, a agricultura tem recorrido a equipamentos cada vez mais tecnológicos para aumentar e melhorar a produtividade. O sistema chamado de pivô central, quêque faz irrigação de culturas, é um deles. Trata-se de uma máquina quêque irriga a plantação, cobrindo uma área circular do campo considerado.

• ENTENDA como o braço de um pivô central de irrigação gira. [S. I.]: glôboGloboplay, c2024. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal Globo Rural. Disponível em: https://livro.pw/phxbj. Acesso em: 11 set. 2024.
Esse vídeo mostra como funciona o sistema de irrigação de um pivô central.

No exemplo apresentado no vídeo do boxe Para assistir, o pivô central tem um braço de 580 m e é capaz de irrigar uma área de 100 hectares. Para estabelecer essa relação entre as dimensões do pivô central e a área atendida, é preciso saber calcular a área de um círculo. É o quêque compreenderemos a seguir.

Área do círculo

Vamos considerar um círculo cujo raio médemede r. Dividindo-o em um número par de partes iguais, como feito a seguir, podemos observar quêque essas partes podem formárformar uma figura quêque lembra um paralelogramo. Quanto mais aumentarmos a quantidade dessas partes quêque dividem o círculo, mais a base da figura formada se aproximará de (pi)"πr, ou seja, da mêtádemetade do comprimento da circunferência.

Dessa forma, quanto mais aumentarmos a quantidade de partes, mais a área da figura se aproximará da área de um paralelogramo com base de medida (pi)"πr e altura de medida r.

Portanto, ao aumentar indefinidamente a quantidade de partes quêque dividem o círculo, a área do círculo e a da figura vão coincidir, concluindo-se quêque a área do círculo é dada por: S = (pi)"πr ⋅ r = (pi)"πr²

Logo, a área de um círculo de raio r é dada por:

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Área do setor circular

Denominamos setor circular a região do círculo delimitada por um de seus ângulos centrais.

Vamos calcular a área de um setor circular relativo a um ângulo central (alfa)"α, montando uma regra de três simples quêque relacione a medida do ângulo central e a área:

Portanto: S(alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\alpha \cdot \pi r^2}{{360}^{\circ }}\end{array}$

Área da coroa circular

A coroa circular é a região compreendida entre duas circunferências concêntricas, isto é, de mesmo centro, quêque estão em um mesmo plano e quêque têm as medidas de seus raios diferentes.

A área S de uma coroa circular é igual à diferença entre a área do círculo maior e a do círculo menor, cujos raios médemmedem, respectivamente, R e r. Nesse caso, temos: S = (pi)"πR² − (pi)"πr² = (pi)"π(R² − r²)

Assim: S = (pi)"π(R² − r²)

Ver as Orientações para o professor.

ATIVIDADE RESOLVIDA

4. Na figura, ABCD é um quadrado e $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{BD}\end{array}$ é um arco de circunferência de centro A. Qual é, aproximadamente, a área da parte colorida de vêrdeverde?

Considere (pi)"π ≃ $\frac{22}{7}$.

Resolução

A área S da parte colorida de vêrdeverde é igual à área do quadrado ABCD menos a quarta parte da área do círculo de raio a.

• S_quadrado = a² ⇒ S_quadrado = $\begin{array}{c}(\sqrt[]{14}{)}^2\end{array}$ = 14

• $\begin{array}{c}\frac{S_{\text{circulo}}}{4}=\frac{\pi a^2}{4}\Rightarrow \frac{S_{\text{circulo}}}{4}\simeq \frac{\frac{22}{7}\cdot 14}{4}\end{array}$ = 11

Assim: S = S_quadrado − $\begin{array}{c}\frac{S_{\text{circulo}}}{4}\end{array}$ ≃ 14 − 11 = 3

Portanto, a área da parte colorida de vêrdeverde é aproximadamente 3 cm².

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ATIVIDADES

13. Qual é a medida do diâmetro de um círculo de área 100(pi)"π dm²?

20 dm

14. (ESPM-SP) Da área de um quadrado, retiramos a área correspondente a um círculo de diâmetro igual à mêtádemetade da medida do lado do quadrado. A área restante, em percentagem da área original do quadrado, vale aproximadamente:

a) 50%

b) 60%

c) 75%

d) 80%

e) 90%

alternativa d

15. Em 2009, foi instalado, no estado do Tocantins, o maior pivô central do mundo, com um raio de 1.300 m. Qual é a área irrigada, em hectare (ha), por esse pivô? (Considere 1 ha = 1 hm² e (pi)"π ≃ 3,14.)

aproximadamente 530,660 ha

16. Sabendo quêque r = 10 cm, calcule a área da região colorida de azul na figura. (Adote (pi)"π ≃ 3,14.)

aproximadamente 628 cm²

17. (Insper-SP) Uma pizzaria vende pitssaspizzas circulares com 32 cm de diâmetro, divididas em 8 pedaços iguais. O dono do estabelecimento pensou em criar uma pitssapizza de tamãnhotamanho maior, a sêrser dividida em 12 pedaços iguais, de modo quêque a área de cada um deles seja igual à área de um pedaço da pitssapizza menor. Para isso, o diâmetro da pitssapizza de 12 pedaços deve sêrser aproximadamente igual a:

a) 36 cm

b) 40 cm

c) 44 cm

d) 48 cm

e) 52 cm

alternativa b

18. Determine a área da região colorida de laranja da figura. (Dados: R₁ = 3 m, R₂ = 5 m.)

16(pi)"π m²

19. Duas circunferências concêntricas têm raios iguais a 50 cm e 40 cm, conforme indica a figura. Calcule a área destacada em vêrdeverde.

75(pi)"π cm²

20. Uma praça é formada por um retângulo de comprimento 100 m e largura 40 m e por dois semicírculos com diâmetros coincidindo com os lados menóresmenores do retângulo.

Em torno da praça, será construída uma calçada de 3 m de largura, cujo preêçopreço, por métrometro quadrado, é R$ 50,00. Calcule o custo total dêêssedesse projeto. (Adote (pi)"π ≃ 3,14.)

aproximadamente R$ 50.253,00

21. (UFRGS-RS) Considere um quadrado de lado 1. Foram construídos dois círculos de raio R com centros em dois vértices opostos do quadrado e tangentes entre si; dois outros círculos de raio r com centros nos outros dois vértices do quadrado e tangentes aos círculos de raio R, como ilustra a figura abaixo.

A área da região sombreada é

a) ($\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ +1)(pi)"π.

b) ($\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ − 1)(pi)"π.

c) 1 + ($\begin{array}{c}\sqrt[]{2}-\frac{1}{2}\end{array}$)(pi)"π.

d) 1+($\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ − 1)(pi)"π.

e) 1+ ($\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ −1)(pi)"π.

alternativa e

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Polígonos regulares

No Ensino Fundamental, você já estudou algumas características dos polígonos regulares. Agora, vamos aprender outras, inclusive o cálculo de suas áreas. Mas, antes, obissérveobserve alguns exemplos de situações quêque envolvem polígonos regulares.

Você conhece uma chave de bôcaboca? Sabe para quêque ela sérveserve?

A chave de bôcaboca é uma ferramenta muito utilizada por profissionais de mecânica de automóvel quando precisam soltar ou apertar porcas ou parafusos dos carros. Porcas e parafusos, em sua maioria, têm o formato sextavado, ou seja, quando vistos de cima, lembram um hekzágonohexágono regular.

No esporte também podemos identificar polígonos regulares. Por exemplo, os tatames de competição do UFC (sigla de Ultimate Fighting Championship, uma organização estadunidense de artes marciais mistas, também conhecida como Mixed Martial Arts – MMA), são conhecidos como octógonos.

Um polígono é regular se, e somente se, apresenta todos os seus lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Um fato bastante significativo é quêque todo polígono regular pódepode sêrser inscrito em uma circunferência, como ilustram os polígonos regulares representados a seguir.

A seguir, vamos estudar alguns polígonos regulares e relacionar seus elemêntoselementos com os da circunferência na qual cada um deles está inscrito.

Elementos de um polígono regular inscrito em uma circunferência

O centro O da circunferência na qual o polígono regular está inscrito é denominado centro do polígono.

A distância m do centro O até o ponto médio M de um lado do polígono regular é denominada apótema do polígono.

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Os ângulos cujos lados são dois lados consecutivos do polígono são chamados de ângulos internos do polígono. A medida de cada ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por (beta)"β = $\begin{array}{c}\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}\end{array}$.

Um ângulo (alfa)"α cujo vértice está no centro da circunferência circunscrita ao polígono regular e cujos lados passam por dois vértices consecutivos dêêssedesse polígono é chamado de ângulo central do polígono.

A medida de um ângulo central de um polígono regular é dada por (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{{360}^{\circ }}{n}\end{array}$, sêndosendo n o número de lados do polígono.

Relações métricas nos polígonos regulares

Quando consideramos a medida (éli)"ℓ do lado de um polígono regular, a medida m do apótema do mesmo polígono e a medida r do raio da circunferência na qual esse polígono está inscrito, podemos estabelecer relações métricas entre essas medidas.

Vamos estudar como obtêrobter essas relações no quadrado, no hekzágonohexágono regular e no triângulo equilátero inscritos em uma circunferência.

Quadrado

Considere o quadrado ABCD, inscrito em uma circunferência de raio r, representado na figura. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AOD, temos:

(éli)"ℓ² = r² + r² ⇒ (éli)"ℓ² = 2r² ⇒(éli)"ℓ = r$\sqrt[]{2}$

Assim:

O segmento de reta $\begin{array}{c}\overline{OM}\end{array}$ é congruente aos segmentos $\begin{array}{c}\overline{DM}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{MA}\end{array}$.

Observe, na figura anterior, quêque:

m + m = (éli)"ℓ ⇒ 2m = (éli)"ℓ ⇒ m = $\frac{\mathcal{l}}{2}$ ⇒ m = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

Portanto:

Ver as Orientações para o professor.

Página duzentos e trinta e dois232

hekzágonoHexágono regular

Considere o hekzágonohexágono regular ABCDEF, inscrito em uma circunferência de raio r, representado na figura. Observe quêque:

• med($\begin{array}{c}F\widehat{OA}\end{array}$) = $\begin{array}{c}\frac{{360}^{\circ }}{6}\end{array}$ = 60°

• $\begin{array}{c}\overline{OA}\cong \overline{OF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}O\hat{F}A\cong O\hat{A}F\end{array}$ (pois o triângulo OAF é isósceles)

Assim, med($\begin{array}{c}O\hat{F}A\end{array}$) = med($\begin{array}{c}O\hat{A}F\end{array}$) = 60°, pois $\begin{array}{c}\frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}\end{array}$ = 60°, de modo quêque podemos concluir quêque o triângulo OAF é equilátero.

Como AOF é um triângulo equilátero, então:

Como MA = $\frac{FA}{2}=\frac{\mathcal{l}}{2}=\frac{r}{2}$, do teorema de Pitágoras aplicado no triângulo AOM, obtemos:

(OA)² = (OM)² + (MA)² ⇒ r² = m² + ($\begin{array}{c}\frac{r}{2}\end{array}$)² ⇒ r² = m² + $\begin{array}{c}\frac{r^2}{4}\end{array}$ ⇒ m² = $\begin{array}{c}\frac{3r^2}{4}\end{array}$ ⇒ m = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Assim:

Triângulo equilátero

Considere o triângulo equilátero ABC, inscrito em uma circunferência de raio r, representado na figura. Observe quêque $\begin{array}{c}\overline{AD}\end{array}$ é o lado de um hekzágonohexágono regular inscrito nessa circunferência; então, pelo quêque estudamos, AD = r. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BDA, temos:

(BD)² = (éli)"ℓ² + (DA)² ⇒ (2r)² = (éli)"ℓ² + r² ⇒ 4r² = (éli)"ℓ² + r² ⇒ (éli)"ℓ² = 3r² ⇒ (éli)"ℓ = r$\sqrt[]{3}$

Assim:

Agora, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OMA, temos:

(OA)² = (OM)² + (MA)² ⇒ r² = m² + ($\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$)² ⇒ m² = r² − $\begin{array}{c}\frac{r^2\cdot 3}{4}\end{array}$ ⇒ m² = $\begin{array}{c}\frac{r^2}{4}\end{array}$ ⇒ m = $\frac{r}{2}$

Portanto:

Se um lado do triângulo for o diâmetro da semicircunferência na qual ele está inscrito, então o triângulo é retângulo.

Página duzentos e trinta e três233

Área de um polígono regular

Vamos considerar os polígonos regulares a seguir, em quêque:

• (éli)"ℓ é a medida do lado;

• m é a medida do apótema;

• O é o centro do polígono;

• n é a quantidade de lados;

• n ⋅ (éli)"ℓ é o perímetro;

• p é o semiperímetro, ou seja, n ⋅ (éli)"ℓ = 2p.

Unindo o centro O de um polígono regular de n lados a cada um dos seus vértices, esse polígono fica decomposto em n triângulos isósceles congruentes.

Como a medida da altura de cada um dêêssesdesses triângulos é igual à medida do apótema do polígono, a área S de cada um dêêssesdesses polígonos é igual a n vezes a área do triângulo formado:

S = n ⋅ $\left(\frac{\mathcal{l}\cdot m}{2}\right)=\frac{n\cdot \mathcal{l}\cdot m}{2}$

Como n ⋅ (éli)"ℓ é a medida do perímetro do polígono, a área S também pódepode sêrser expressa por:

S = $\frac{2\mathrm{pm}}{2}$ = p ⋅ m

Portanto, a área de um polígono regular de n lados é igual ao produto da medida p, do semiperímetro, pela medida m, do apótema, ou seja:

Em um hekzágonohexágono regular de lado (éli)"ℓ, o semiperímetro é p = $\frac{6\mathcal{l}}{2}$ = 3(éli)"ℓ e o apótema é m = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$.

Assim, usando a fórmula apresentada, concluímos quêque a área S de um hekzágonohexágono regular é:

S = p ⋅ m = 3(éli)"ℓ ⋅ $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{3{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Variação no perímetro e na área de um polígono regular

Considere a situação a seguir.

Para cercar um terreno quadrado de 4 metros de lado, Antônio usou 16 metros de arame. Seu cliente, satisfeito com o trabalho realizado, pediu quêque ele colocasse cerca em outro terreno, também quadrado, mas com o quádruplo da área do primeiro. Antônio ficou pensando se usaria, então, o quádruplo da metragem de arame.

Não. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque, se a área quadruplica, o perímetro dobra.

Página duzentos e trinta e quatro234

Para compreender melhor o problema, vamos relacionar o perímetro P e a área S de um quadrado em função da medida x do seu lado:

Assim, voltando para o problema de Antônio, concluímos quêque o novo terreno tem área de 64 m², pois 4 ⋅ 16 = 64; portanto, ele precisará de 32 metros de arame para cercá-lo, ou seja, o dôbrodobro da metragem anterior.

Analisando os dados do qüadroquadro apresentado, podemos perceber quêque, quando dobramos a medida do lado do quadrado, seu perímetro também dobra; porém, sua área quadruplica. Quando triplicamos a medida do lado, o perímetro triplica, mas a área passa a sêrser multiplicada por 9, ou seja, 3².

Agora, vamos observar essas variações graficamente:

Para construir esses gráficos, consideramos apenas valores de x > 0, pois x representa a medida do lado do quadrado.

O perímetro P de um quadrado é diretamente proporcional à medida de seu lado e pódepode sêrser modelado pela lei da função afim definida por P(x) = 4x, restrita ao domínio D = {x ∈ ℝ | x > 0}. Já a área S do quadrado, em função da medida x do lado, pódepode sêrser modelada pela lei da função quadrática definida por S(x) = x², restrita ao domínio D. Assim, podemos perceber quêque a variação do perímetro do quadrado em função do lado é linear, enquanto a variação da área é quadrática.

Página duzentos e trinta e cinco235

Considerando agora o caso do triângulo equilátero, temos P(x) = 3x e S(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$, de modo quêque a variação de seu perímetro em função do lado é linear e a variação de sua área é quadrática. O mesmo ocorre com o hekzágonohexágono regular, uma vez quêque, para esse polígono, P(x) = 6x e S(x) = $\begin{array}{c}\frac{3x^2\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$.

Em polígonos semelhantes cuja razão de semelhança é k, a razão entre lados, alturas e apótemas homólogos é k. Além díssudisso, a razão entre os perímetros também é k, enquanto a razão entre as áreas é k². Isso vale para quaisquer dois polígonos semelhantes, inclusive para o caso de eles serem regulares. Portanto, se multiplicarmos as medidas de todos os lados de um polígono por k, obteremos um polígono semelhante ao primeiro e observaremos quêque a variação do perímetro ocorrerá linearmente, enquanto a variação da área ocorrerá de maneira quadrática.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. Determine a medida R do raio da circunferência inscrita no hekzágonohexágono regular cujo lado médemede 4 cm.

Resolução

A medida do raio da circunferência inscrita em um polígono regular é igual à medida do apótema dêêssedesse polígono. Assim, R = m.

Para o hekzágonohexágono regular, temos: (éli)"ℓ = r e m = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$, em quêque r é a medida do raio da circunferência circunscrita ao hekzágonohexágono.

De acôr-doacordo com o enunciado, temos (éli)"ℓ = r = 4 cm. Assim: m = $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{3}}{2}=2\sqrt[]{3}\end{array}$

Logo, a medida R do raio da circunferência inscrita é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ cm.

6. Observe o gráfico representado e faça o quêque se pede a seguir.

a) escrêevaEscreva a lei de formação da função representada.

b) Considerando quêque essa função representa a variação do perímetro P de um polígono regular em função da medida do seu lado, identifique esse polígono e justifique sua resposta.

Resolução

a) Conhecemos dois pares ordenados da reta suporte do gráfico: (0, 0) e (1, 5). Vamos considerar quêque a equação dessa reta é y = ax + b. Como a reta passa por (0, 0), b = 0. Assim, y = ax. Para x = 1, y = 5. Logo, a = 5. Assim, a equação da reta é y = 5x.

Portanto, a lei de formação da função é f(x) = 5x, com x > 0.

b) A lei da função é f(x) = 5x. Isso quer dizêrdizer quêque, para uma medida x do lado dêêssedesse polígono, o perímetro é 5x. Como se trata de um polígono regular, todos os lados têm a mesma medida, então concluímos quêque esse polígono é um pentágono regular.

Página duzentos e trinta e seis236

ATIVIDADES

22. Dado um triângulo equilátero, cujo lado médemede 6 cm, calcule:

a) a medida do raio da circunferência circunscrita;

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

b) a medida do apótema.

$\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

23. Em uma circunferência de raio 2 cm está inscrito um hekzágonohexágono regular. Qual é a área dêêssedesse polígono? (Adote $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ≃ 1,73.)

aproximadamente 10,38 cm²

24. Calcule as áreas dos polígonos regulares representados a seguir.

a)

200 cm²

b)

600$\sqrt[]{3}$ cm²

25. A figura a seguir foi recortada de uma cartolina e é formada por um hekzágonohexágono regular e seis quadrados. Cada lado do hekzágonohexágono médemede 10 cm.

Considerando $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ≃ 1,73, quantos centimetros quadrados de cartolina foram usados para fazer a figura?

aproximadamente 859,5 cm²

26. Calcule a área de um triângulo equilátero, sabendo quêque seu apótema médemede 3 cm.

$\begin{array}{c}27\sqrt[]{3}\end{array}$ cm²

27. São dados dois quadrados: um inscrito e outro circunscrito à mesma circunferência.

Determine a razão entre:

a) o perímetro do quadrado inscrito e o do quadrado circunscrito;

$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

b) a área do quadrado inscrito e a do quadrado circunscrito.

$\frac{1}{2}$

28. O apótema de um hekzágonohexágono regular médemede $\begin{array}{c}6\sqrt[]{3}\end{array}$ cm. Nessas condições, determine:

a) a medida do seu lado;

12 cm

b) sua área.

$\begin{array}{c}216\sqrt[]{3}\end{array}$ cm²

29. Na figura a seguir, o quadrado ABCD está inscrito em uma circunferência. Sabendo quêque o lado dêêssedesse quadrado médemede a, expresse, em função de a, a área da região sombreada.

a² ($\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}$ − 1) u.a.

30. Observe a relação entre a medida dos lados e o perímetro de um polígono regular.

Identifique qual é esse polígono regular e justifique sua resposta.

Decágono; a medida do lado é x e o perímetro, 10x.

31. Considerando os estudos sobre a variação da área e do perímetro de um polígono regular em função da medida do lado, elabore um problema e resolva-o. Depois, troque-o com um de seus côlégascolegas e resôuvaresolva o problema propôstoproposto por ele. Em seguida, discutam as soluções, verificando se chegaram às mesmas conclusões e quais procedimentos utilizaram.

Resposta pessoal.

32. (Ence-RJ) A figura abaixo representa um hekzágonohexágono regular.

Cal cule:

a) a medida do seu apótema;

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

b) a área da região colorida de vêrdeverde.

$\begin{array}{c}\frac{72\sqrt[]{3}-32\pi }{3}\end{array}$ cm²

Página duzentos e trinta e sete237

33. Calcule a área de um hekzágonohexágono regular cujo lado médemede 6 cm.

$\begin{array}{c}54\sqrt[]{3}\end{array}$ cm²

34. (UEL-PR) Algumas figuras geométricas são utilizadas em símbolos, como, por exemplo, a “Estrela de David” (Figura 1).

A partir das Figuras 1 e 2, desenhou-se um esquema, representado na Figura 3, quêque não obedece a uma escala. Sabe-se quêque, na Figura 3, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo equilátero (ABC), inscrito nessa circunferência.

Considerando quêque o raio da circunferência é de $\begin{array}{c}\sqrt[]{48}\end{array}$ cm, responda aos itens a seguir.

a) Determine a medida do lado do triângulo ABC. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução dêstedeste item.

12 cm

b) Determine a área representada pela côrcor cinza na Figura 3. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução dêstedeste item.

aproximadamente 88 cm²

35. Em alguns municípios, serão construídas praças na forma de octógono regular. Para isso, foi elaborado um projeto em quêque consta a medida m do lado do octógono, uma vez quêque o comprimento do lado poderia variar conforme o local para a construção da praça.

a) Faça um esboço do polígono regular quêque representa a praça.

Ver as Orientações para o professor.

b) Qual é a função quêque relaciona o perímetro P e a medida do lado m do octógono regular?

P(m) = 8m

c) Construa o gráfico quêque representa essa função.

Ver as Orientações para o professor.

36. Considere os polígonos regulares representados na Figura 1 e na Figura 2.

a) escrêevaEscreva as funções P₁ e S₁ quêque descrevem, respectivamente, o perímetro e a área da Figura 1 em função da medida a do seu lado.

36. a) P₁(a) = 3a, com a > 0; S₁(a) = $\begin{array}{c}\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$, com a > 0

b) Esboce os gráficos das funções P₁ e S₁.

Ver as Orientações para o professor.

c) escrêevaEscreva as funções P₂ e S₂ quêque descrevem, respectivamente, o perímetro e a área da Figura 2 em função da medida b do seu lado.

P₂(b) = 6b, com b > 0; S₂(b) = $\begin{array}{c}\frac{3b^2\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$, com b > 0.

d) Esboce os gráficos das funções P₂ e S₂.

Ver as Orientações para o professor.

37. (Enem/MEC) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

Área do círculo: (pi)"πr²

As sóbrassobras de material de produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir quêque:

a) a entidade I recebe mais material do quêque a entidade II;

b) a entidade I recebe mêtádemetade do material da entidade III;

c) a entidade II recebe o dôbrodobro de material da entidade III;

d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do quêque a entidade III;

e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

alternativa e

Página duzentos e trinta e oito238

Ladrilhamento do plano

Na instalação de pisos e azulejos em cozinhas e banheiros, por exemplo, o termo usado pêlospelos profissionais da construção civil é "assentar" (o piso ou o azulejo). Nesse processo, para obtêrobter um bom acabamento, os profissionais precisam recobrir a maior área possível, utilizando apenas peças inteiras. Porém, normalmente, é necessário fazer o quêque se chama de "recorte", assentando pedaços dessas peças para recobrir totalmente a superfícíesuperfície.

Em Matemática, a ideia de ladrilhamento está associada ao recobrimento do plano utilizando determinadas composições de polígonos.

Considere a situação a seguir.

Carlos foi contratado para assentar pisos na superfícíesuperfície plana de um pátio retangular. Para obtêrobter um bom acabamento, ele pretende recobrir a maior área possível da superfícíesuperfície dêêssedesse pátio, utilizando apenas pisos inteiros e de um único modelo, A ou B, conforme representado pelas figuras.

Se Carlos utilizar o piso do modelo A, poderá compor um ladrilhamento seguindo o padrão indicado a seguir, à esquerda. Note quêque, para determinar esse padrão, não é necessário realizar nenhum recorte do piso do modelo A. Porém, se Carlos utilizar o piso do modelo B, ele teria a situação indicada a seguir, à direita.

Observe quêque, na composição com pisos do modelo B, não é possível encaixar um novo piso dêêssedesse mesmo modelo na região triangular determinada pêlospelos pontos destacados em vermelho.

Assim, ao utilizar o modelo B, seria necessário fazer rekórtisrecortes nos pisos para conseguir recobrir toda a superfícíesuperfície plana do pátio. Portanto, o modelo A é o mais adequado à necessidade de Carlos.

A ideia de ladrilhamento é utilizada em diferentes manifestações artísticas. Por exemplo, o artista gráfico holan-dêssholandês é-chêrEscher (1898-1972), em suas obras de tesselação, partia de figuras geométricas para criar imagens, como de peixes ou de aves, quêque se encaixavam perfeitamente. A tesselação é um tipo de pavimentação, com peças de mosaico, de uma superfícíesuperfície plana.

Página duzentos e trinta e nove239

A situação anterior nos dá ideia do quêque, em Matemática, denominamos ladrilhamento do plano, quêque é o recobrimento do plano com base em determinado padrão geométrico. Esse padrão pódepode sêrser compôztocomposto de um único tipo de polígono ou da combinação de diferentes tipos de polígonos.

Os polígonos utilizados para fazer o ladrilhamento devem obedecer às seguintes condições:

• A intersecção entre os polígonos é sempre um vértice ou um lado ou é vazia;

• A distribuição ao redor de cada vértice é sempre a mesma, obedecendo a um padrão.

Considere um triângulo equilátero ABC. É possível compor um ladrilhamento com seis triângulos equiláteros congruentes ao triângulo ABC, todos com vértice A.

Observe outros exemplos de ladrilhamento do plano com polígonos regulares:

Vamos, agora, investigar se é possível ladrilhar o plano utilizando outro polígono regular. Primeiro, vamos estudar os casos do pentágono e do eneágono regulares, cujas medidas dos ângulos internos estão destacadas nas figuras a seguir.

Ao dispor três pentágonos regulares em torno de um vértice, percebemos quêque, na região não preenchida, forma-se um ângulo de 36°, quêque não comporta um quarto pentágono regular. No caso do eneágono regular, ao dispor duas dessas figuras em torno de um vértice, é formado um ângulo de 80° na região não preenchida, de modo quêque não é possível dispor um terceiro eneágono regular em torno dêêssedesse vértice.

Página duzentos e quarenta240

$$\frac{900°}{7}$$

Com isso, é possível perceber quêque, para obtêrobter um ladrilhamento do plano, a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos, relativos aos vértices coincidentes, deve sêrser 360°.

Além díssudisso, no caso de ladrilhamentos utilizando apenas um tipo de polígono regular, a medida dos ângulos internos do polígono deve sêrser um divisor de 360°. Portanto, há apenas três possibilidades de escolha para o tipo de polígono regular: triângulos equiláteros, quadrados ou hekzágonoshexágonos regulares.

O ladrilhamento do plano também pódepode sêrser feito por meio da composição de dois ou mais polígonos regulares convexos com lados congruentes, de modo quêque o padrão de cada vértice obedeça sempre à mesma ordem.

A figura a seguir representa uma maneira de se obtêrobter o ladrilhamento do plano, utilizando octógonos regulares e quadrados.

135º (do octógono regular); 90º (do quadrado)

Página duzentos e quarenta e um241

Os ladrilhamentos também podem sêrser feitos com alguns polígonos congruentes, ainda quêque sêjamsejam não regulares. Na figura a seguir, por exemplo, o padrão geométrico utilizado é compôztocomposto de triângulos quêque não são regulares.

• ISTO é Matemática: T05E09: o estranho mundo de é-chêrEscher. [S. I.: s. n.], 2013. 1 vídeo (8 min). Publicado pelo canal sigma3web. Disponível em: https://livro.pw/ctdey. Acesso em: 4 set. 2024.
O vídeo apresenta noções básicas de ladrilhamento por meio de contextualização com azulejos e com as obras de é-chêrEscher.

ATIVIDADE RESOLVIDA

7. Para fazer o ladrilhamento de uma superfícíesuperfície, Caio comprou pisos em formato de octógonos regulares. Ao iniciar o trabalho de revestimento, notou quêque não seria possível recobrir todo o piso. Observe:

a) Explique o motivo pelo qual Caio não conseguirá ladrilhar a superfícíesuperfície usando somente pisos nesse formato.

b) Caio rêzouvêoresolveu voltar à loja para comprar algum outro piso quêque se encaixe perfeitamente ao ladrilhamento já iniciado. Ele deve procurar pisos no formato de qual polígono regular?

Resolução

a) A medida do ângulo interno do octógono regular é dada por (beta)"β = $\begin{array}{c}\frac{(8-2)\cdot {180}^{\circ }}{8}\end{array}$ = 135°, e 135 não é divisor de 360.

Com dois octógonos regulares, a soma dos ângulos justapostos em um mesmo vértice é 270°; com três octógonos regulares, essa soma passa a 405°. Assim, usando somente octógonos regulares, não é possível ladrilhar o piso.

b) Sabemos quêque a medida de cada ângulo interno do octógono regular é igual a 135°. Assim, temos: 2 ⋅ 135° + x = 360°, em quêque x é a medida do ângulo do polígono regular desconhecido.

Assim, temos: x = 360° − 270°

Logo, x = 90°.

O polígono regular quêque possui ângulos iguais a 90° é o quadrado, portanto Caio deve procurar pisos quadrados.

Página duzentos e quarenta e dois242

ATIVIDADES

38. Ao utilizarmos a combinação de dois hekzágonoshexágonos regulares e dois triângulos equiláteros, cujos lados tênhamtenham a mesma medida, é possível ladrilhar o plano? Justifique sua resposta.

Sim. Ver as Orientações para o Professor.

39. Uma construtora decidiu inovar e encomendou ladrilhos no formato de dodecágonos regulares (polígonos de 12 lados congruentes). Ao se depararem com esses ladrilhos de formato inusitado, alguns pedreiros disseram quêque não seria possível usar apenas esse ladrilho, pois sobraria espaço entre eles. Ao ouvir os côlégascolegas, o mestre de obras encontrou a solução para esse problema. Ele afirmou quêque somente com os ladrilhos no formato de dodecágonos regulares, de fato, não era possível recobrir todo o piso, mas se esses ladrilhos fossem combinados com outro tipo de ladrilho poligonal, o problema estaria resolvido.

a) Explique por quêpor que não é possível usar somente os ladrilhos em formato de dodecágono regular para cobrir todo o piso, sem deixar espaço. Se possível, utilize um software de Geometria Dinâmica para auxiliar sua explicação.

Ver as Orientações para o professor.

b) Considerando a solução dada pelo mestre de obras, quêque tipo de ladrilho seria possível combinar com o dodecágono regular para satisfazer às condições de ladrilhamento?

triângulo equilátero

40. (Saresp-SP) Uma parede precisa sêrser revestida com azulejos em formato de polígonos regulares. Para tanto, será escolhido um tipo de azulejo, de modo a se obtêrobter um ladrilhamento. Das alternativas a seguir, qual é a forma de azulejo ideal para revestir essa parede?

a) Um heptágono (7 lados).

b) Um pentágono (5 lados).

c) Um octógono (8 lados).

d) Um decágono (10 lados).

e) Um hekzágonohexágono (6 lados).

alternativa e

41. (Fuvest-SP) Um ladrilhamento é chamado de uniforme se é compôztocomposto por polígonos regulares quêque preenchem todo o plano sem sobreposição e, além díssudisso, o padrão é o mesmo em cada vértice. Para classificá-los, utilizamos uma notação dada por uma sequência de números quêque é definida desta forma: escolhemos um vértice qualquer e indicamos o número de lados de cada polígono quêque contém êsteeste vértice, seguindo o sentido anti-horário, iniciando com os polígonos de menos lados, conforme os exemplos:

A foto mostra o piso de um museu em Sevilha.

A notação quêque representa o padrão do ladrilhamento do piso é:

a) (3. 3. 3. 4)

b) (3. 3. 4. 6)

c) (3. 4. 4. 4)

d) (3. 4. 4. 6)

e) (3. 4. 6. 4)

alternativa e

Página duzentos e quarenta e três243

42. (Enem/MEC) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos quêque se prestam a pavimentar uma superfícíesuperfície plana, sem quêque haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

A tabélatabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabélatabela, sêndosendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um

a) triângulo.

b) quadrado.

c) pentágono.

d) hekzágonohexágono.

e) eneágono.

alternativa b

43. (CPII-RJ) Alguns polígonos regulares, quando postos juntos, preenchem o plano, isto é, não deixam folga, espaço entre si. Por outro lado, outras combinações de polígonos não preenchem o plano.

A seguir, exemplos dêêssedesse fato: a Figura 1, formada por hekzágonoshexágonos regulares, preenche o plano; a Figura 2, formada por pentágonos e hekzágonoshexágonos regulares, não preenche o plano.

Na Figura 2, a medida x do ângulo é igual a

a) 14°.

b) 12°.

c) 10°.

d) 8°.

alternativa b

Página duzentos e quarenta e quatro244

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Áreas verdes urbanas

As áreas verdes, em centros urbanos, são fundamentais para diversos aspectos, entre eles, a melhora na qualidade do ar. Leia o texto a seguir.

A importânssiaimportância das áreas verdes nas cidades

Desde a AntigüidadeAntiguidade, as áreas verdes e jardins tí-nhãotinham finalidades de passeio, lugar para expor luxo e de repouso. Atualmente com os problemas gerados pelas cidades modernas, elas e os parques e jardins são uma exigência não só para a ornamentação urbana, mas também como necessidade higiênica, de recreação e principalmente de defesa do meio ambiente diante da degradação das cidades.

[…]

Além de servirem como equilíbrio do ambiente urbano e de locais de lazer, também podem oferecer um colorido e plasticidade ao meio urbano.

Outro fator importante referente à vegetação é a arborização das vias públicas quêque sérveserve como um filtro para atenuar ruídos, retenção de pó, reoxigenação do ar, além de oferecer sombra e a sensação de frescor.

[…]

LIMA, Valéria; AMORIM, Margarete C. de C. T. A importânssiaimportância das áreas verdes para a qualidade ambiental das cidades. Revista Formação, Presidente Prudente, v. 1, n. 13, p. 69-82. 2006. p. 71. Disponível em: https://livro.pw/aqxrd. Acesso em: 4 set. 2024.

Página duzentos e quarenta e cinco245

Índice de Áreas Verdes

Indicadores e índices são números quêque procuram descrever um determinado aspecto da realidade, ou apresentam uma relação entre vários deles […]. Dentre alguns indicadores quêque expressam a qualidade ambiental de uma cidade, destaca-se: o Índice de Áreas Verdes (IAV) quêque médemede a relação entre a quantidade de área vêrdeverde (m²) e a população quêque vive em determinada cidade.

[…]

[…] em termos gerais, o IAV é aquele quêque denota a quantidade de espaços livres de uso público, em km² (kilometro quadrado) ou m² (metro quadrado) dividido pela quantidade de habitantes de uma cidade. […]

[…]

TAVC = ∑ áreas de parques (m²) + ∑ áreas de praças (m²)

Onde:

TAVC = Total de áreas verdes consideradas (parques e praças)

IAV = Índice de áreas verdes

NH = Número de habitantes

[…]

TOLEDO, Fabiane dos S.; MAZZEI, Kátia; SANTOS, Douglas G. dos. Um índice de áreas verdes (IAV) na cidade de Uberlândia/MG. REVSBAU, Piracicaba, v. 4, n. 3, p. 86-97, 2009. p. 91, 99. Disponível em: https://livro.pw/zydmr. Acesso em: 4 set. 2024.

Fonte dos dados: ÁREA vêrdeverde por habitante. [S. I.]: Programa Cidades Sustentáveis, 2016. Disponível em: https://livro.pw/gawhq. Acesso em: 4 set. 2024.

∑ é o sín-bolosímbolo utilizado para o somatório, quêque indica a soma de determinados números. É também a décima oitava letra do alfabeto grego, quêque corresponde ao S maiúsculo.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Em sua opinião, por quêpor que é importante havêerhaver áreas verdes na cidade? Há áreas verdes em sua cidade? Converse com seus côlégascolegas sobre esses espaços.

Respostas pessoais.

2. Uma cidade quêque tinha, em 2023, 62.961.882 m² de áreas verdes (praças e parques), tinha, na mesma data, a população de 1.409.351 habitantes.

Calcule o índice de áreas verdes (IAV) dessa cidade em 2023 e compare-o com o índice mínimo estabelecido pela ÔnuONU.

IAV = 44,6744 m²/hab. O índice está acima do recomendado pela ÔnuONU.

3. Junte-se a três côlégascolegas, e façam uma pesquisa sobre os parques urbanos do Brasil, incluindo aqueles quêque vocês já tênhamtenham visitado. Em seguida, organizem uma apresentação sobre o assunto, utilizando fotografias para ilustrar os parques pesquisados.

Pesquisa do estudante.

Página duzentos e quarenta e seis246

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Explorando polígonos inscritos na circunferência

De acôr-doacordo com o quêque estudamos, a área (S) de um polígono regular é o produto de seu apótema (m) pelo semiperímetro (p), S = p ⋅ m. Aprendemos, também, quêque todo polígono regular pódepode sêrser inscrito em uma circunferência.

Utilizando essas informações, podemos criar um arquivo no GeoGebra, em quêque é possível construir um polígono regular com tantos lados quanto desejarmos. Em seguida, o programa calcula o valor de sua área. Desse modo, podemos comparar o valor obtídoobtido com a fórmula anterior.

Para isso, siga os passos a seguir.

I. Utilizando a ferramenta Ponto, clique na origem do sistema de coordenadas, definindo, assim, o ponto A(0, 0).

II. Em seguida, ainda utilizando a ferramenta Ponto, , clique no ponto (1, 0) sobre o eixo x, ficando definido o ponto B(1, 0).

III. Utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos, , clique primeiro no ponto A e, depois, no ponto B. O programa fornecerá uma circunferência de raio 1, cujo centro é o ponto A, e B é um de seus pontos.

Pode-se, então, utilizar a ferramenta Ampliar, , e clicar sobre a circunferência até quêque ela se ajuste ao espaço disponível, ou simplesmente utilizar o scroll do máuzimouse para ampliar a imagem visível na janela de visualização.

IV. Utilize a ferramenta contrôleControle deslizante, , e clique em qualquer lugar da janela de visualização. Na caixa de diálogo aberta (Figura 1), nomeie-o como n e selecione a opção Inteiro. Além disso, altere os valores min e max para 3 e 200, respectivamente. Mantenha o incremento em 1.

V. Para criar outro ponto na circunferência, vamos defini-lo de modo quêque sua distância ao ponto B coincida com a medida do lado do polígono regular de n lados. Para isso, digite “C=(cos(2*pi/n),sen(2*pi/n))” no campo de entrada para criar o ponto C.

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VI. Utilizando a ferramenta Polígono Regular, , clique primeiro no ponto B e, depois, no ponto C. Para o número de lados, digite “n”. Assim, o valor do contrôlecontrole deslizante n vai determinar o número de lados do polígono regular. Surgirá, na janela de visualização, o triângulo equilátero inscrito na circunferência recém-criada (Figura 2).

Observe quêque, na janela de Álgebra, aparece um objeto chamado pol1 e, ao lado, um número. Esse número representa a área do polígono regular construído inscrito na circunferência de raio unitário.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Durante a construção, definimos o intervalo do contrôlecontrole deslizante de 3 a 200. Explique por quêpor que faz sentido o valor mínimo para essa construção sêrser n = 3.

2. Para n = 3, o polígono na tela será um triângulo equilátero.

• Utilizando a ferramenta Reta Perpendicular, trace uma reta perpendicular a um dos lados do triângulo, a partir do ponto A.

• Marque o ponto de intersecção dessa reta com o lado do triângulo, utilizando a ferramenta

Interseção de Dois Objetos, . A distância entre esse ponto e o ponto A é o apótema dêêssedesse triângulo.

a) Utilizando a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, meça o apótema e anote.

b) Com a mesma ferramenta anterior, meça um dos lados do triângulo e anote.

c) Calcule a área do triângulo equilátero usando a fórmula do semiperímetro.

d) Compare o valor calculado com o valor fornecido pelo GeoGebra.

3. O quêque acontece com o valor da área quando aumentamos o número de lados?

4. Ao definir n = 200, o polígono inscrito se parece com qual figura? O quêque podemos afirmar sobre o valor da área do polígono para esse caso?

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Pentágonos convexos quêque pavimentam o plano

Leia o texto a seguir sobre Marjorie Rice, uma dona de casa autodidata estadunidense quêque descobriu novas formas de ladrilhar o plano usando pentágonos. Observe quêque, mesmo sem uma formação acadêmica na disciplina, Rice pôdipôde contribuir com a Matemática.

[…]

Em julho de 1975, mártimMartin Gardner publicou na SaentíficScientific AméricamAmerican, uma revista de divulgação científica, o problema de pavimentação do plano por polígonos convexos e a lista dos oito tipos de pentágonos convexos quêque conhecidamente pavimentam o plano. Essa publicação permitiu quêque um público mais amplo tivesse contato com o problema e, como veremos, estimulou a descoberta de novas pavimentações.

ríchardRichard diêmesJames III, um cientista da área de computação, leu o artigo publicado por mártimMartin Gardner e decidiu […] tentar descobrir sózínhosozinho algum pentágono convexo quêque pavimentasse o plano. Após algumas tentativas, conseguiu encontrar um exemplo e o enviou para mártimMartin Gardner […].

Esse resultado foi publicado por Gardner no exemplar de dezembro de 1975 da SaentíficScientific AméricamAmerican, elevando para nove o total de tipos de pentágonos quêque pavimentam o plano.

[…] essa descoberta despertou a curiosidade de outra leitora da SaentíficScientific AméricamAmerican: uma dona de casa de SãSan Diego, Califórnia, Marjorie Rice, com cinco filhos, sem formação matemática específica além daquela ôbitídaobtida no ensino médio. Após ler o artigo de mártimMartin Gardner de dezembro de 1975, começou a desenvolver sua própria pesquisa sistemática sobre quais tipos de pentágonos convexos podem pavimentar o plano. Dentre os vários resultados obtidos por ela, destaca-se a descoberta, em 1976 e em 1977, de quatro novos tipos de pavimentações do plano por pentágonos convexos […].

O décimo quarto tipo de pentágono convexo quêque pavimenta o plano foi descoberto somente em 1985 por Rolf Stein, um estudante de Matemática da Universidade de Dortmund, Alemanha.

[…]

Fonte: DUTENHEFNER, Francisco; CASTRO, Rosiene de F. C. R. Uma história sobre pavimentações do plano euclidiano: acêrrrtosacertos e êêrroserros. Revista do Professor de Matemática (RPM), São Paulo, n. 70, [200-]. Disponível em: https://livro.pw/lgsgf. Acesso em: 4 set. 2024.

Página duzentos e quarenta e nove249

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (UFRGS-RS) Considere $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ um segmento de comprimento 10 e M um ponto dêêssedesse segmento, distinto de A e de B, como na figura abaixo. Em qualquer posição do ponto M, AMDC é quadrado e BME é triângulo retângulo em M.

Tomando x como a medida dos segmentos $\begin{array}{c}\overline{AM}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{EM}\end{array}$ para quêque valor(es) de x as áreas do quadrado AMDC e do triângulo BME são iguais?

a) 0 e $\frac{10}{3}$.

b) 0, 2 e 3.

c) $\frac{10}{3}$.

d) 0, $\frac{10}{3}$ e 10.

e) 5.

alternativa c

2. (Unicamp-SP) No triângulo ABC exibido na figura a seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC.

Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC é igual a

a) 3t.

b) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$t.

c) 4t.

d) $\begin{array}{c}3\sqrt[]{2}\end{array}$t.

alternativa c

3. (OBMEP) Dois quadrados de papel se sobrepõem como na figura. A região não sobreposta do quadrado menor corresponde a 52% de sua área e a região não sobreposta do quadrado maior corresponde a 73% de sua área. Qual é a razão entre o lado do quadrado menor e o lado do quadrado maior?

a) $\frac{3}{4}$

b) $\frac{5}{8}$

c) $\frac{2}{3}$

d) $\frac{4}{7}$

e) $\frac{4}{5}$

alternativa a

4. (Unifor-CE) Um pequeno terreno retangular tem área de 104 m². Sabendo quêque seu comprimento tem 3 m a menos quêque o dôbrodobro de sua largura, é correto concluir quêque a medida dêêssedesse comprimento está entre:

a) 14 m e 16 m

b) 12 m e 14 m

c) 10 m e 12 m

d) 8 m e 10 m

e) 6 m e 8 m

alternativa b

5. (Udesc) O projeto de uma casa é apresentado em forma retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a Figura 3.

Sabendo quêque a área do banheiro (wc) é igual a 3 m² e quêque as áreas dos quartos 1 e 2 são, respectivamente, 9 m² e 8 m², então a área total do projeto desta casa, em metros quadrados, é igual a:

a) 24

b) 32

c) 44

d) 72

e) 56

alternativa c

6. (UFABC-SP) Observe a figura. As duas áreas retangulares são utilizadas para o plantio de cana-de-açúcar, sêndosendo quêque a área R está para a área H na razão de 9 para 5. Sabe-se quêque um hectare (ha) de cana produz 8 mil litros de etanol. Dado: 1 ha = 10.000 m²

Pode-se concluir, então, quêque as áreas R e H, juntas, produzem:

a) 2,5 ⋅ 10⁶ litros de etanol.

b) 3,6 ⋅ 10⁶ litros de etanol.

c) 4,5 ⋅ 10⁶ litros de etanol.

d) 5,6 ⋅ 10⁶ litros de etanol.

e) 6,2 ⋅ 10⁶ litros de etanol.

alternativa d

Página duzentos e cinquenta250

7. (UFRN) Miguel pintará um painel retangular com motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 (HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura abaixo, serão pintadas de vermelho. Sabe-se quêque a tinta utilizada para pintar uma região qualquer depende proporcionalmente de sua área.

Se Miguel gastasse, na pintura da região 1, $\frac{3}{7}$ da tinta vermelha de quêque dispõe, poderíamos afirmar quêque

alternativa d

a) o restante de tinta vermelha daria, exatamente, para a pintura da região 2.

b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para a pintura da região 2.

c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam $\frac{3}{7}$ de tinta vermelha.

d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria $\frac{1}{7}$ de tinta vermelha.

8. (FCMSCSP) Na figura, vê-se uma forma geométrica em vermelho quêque foi ôbitídaobtida pela junção de um setor circular de raio 3 cm e ângulo 90° com um setor de uma coroa circular de raio interno 3 cm, raio externo 4 cm e ângulo 270°.

O círculo cuja área é igual à área da forma geométrica em vermelho tem raio igual a

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{30}}{2}\end{array}$ cm

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{31}}{2}\end{array}$ cm

c) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{33}}{2}\end{array}$ cm

d) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{34}}{2}\end{array}$ cm

e) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{35}}{2}\end{array}$ cm

alternativa a

9. (Enem/MEC) O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a divulgação de sua loja. A empresa quêque fornecerá o serviço lhe informa quêque o custo de fabricação do cartão é de R$ 0,01 por centimetro quadrado e quêque disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão:

• um triângulo equilátero de lado 12 cm;

• um quadrado de lado 8 cm;

• um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;

• um hekzágonohexágono regular de lado 6 cm;

• um círculo de diâmetro 10 cm.

O dono da loja está disposto a pagar, no mássimomáximo, R$ 0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro dêêssedesse limite de preêçopreço, o modelo quêque tiver maior área de impressão.

Use 3 como aproximação para (pi)"π e use 1,7 como aproximação para $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$.

Nessas condições, o modelo quêque deverá sêrser escolhido tem como face útil para impressão um

a) triângulo.

b) quadrado.

c) retângulo.

d) hekzágonohexágono.

e) círculo.

alternativa e

10. (FGV-SP) A figura indica um hekzágonohexágono regular ABCDEF, de área S₁, e um hekzágonohexágono regular GHIJKL, de vértices nos pontos médios dos apótemas do hekzágonohexágono ABCDEF e área S₂.

Nas condições descritas, $\begin{array}{c}\frac{S_2}{S_1}\end{array}$ é igual a

a) $\frac{3}{4}$

b) $\frac{8}{25}$

c) $\frac{7}{25}$

d) $\frac{1}{5}$

e) $\frac{3}{16}$

alternativa e

Página duzentos e cinquenta e um251

11. (UFRGS-RS) Considere um retângulo ABCD, de lados $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ = 12 e $\begin{array}{c}\overline{AD}\end{array}$ = 8, e um ponto P construído sobre o lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$. Traçando a reta r perpendicular ao lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ quêque passa pelo ponto P, determina-se o polígono ADEF, em quêque E e F são pontos de interseção de r com os segmentos $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$, respectivamente, como mostra a figura abaixo.

Tomando x como a medida do segmento AP, a função A(x) quêque expressa a área de ADEF em função de x, entre as alternativas abaixo, é

a) A(x) = 8x − $\begin{array}{c}\frac{x^2}{6}\end{array}$, para 0 ≤ x ≤ 12.

b) A(x) = 8x − $\begin{array}{c}\frac{2x^2}{3}\end{array}$, para 0 ≤ x ≤ 12.

c) A(x) = 16x − $\begin{array}{c}\frac{2x^2}{3}\end{array}$, para 0 ≤ x ≤ 12.

d) A(x) = 8x − $\begin{array}{c}\frac{x^2}{3}\end{array}$, para 0 ≤ x ≤ 12.

e) A(x) = 8x − $\begin{array}{c}\frac{3x^2}{4}\end{array}$ para 0 ≤ x ≤ 12.

alternativa d

12. (OBMEP) A figura a seguir é formada por quatro quadrados. A medida do segmento destacado em vermelho é 2. Qual é a soma das áreas dos quadrados azuis?

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

alternativa d

13. (OBMEP) A área do polígono amarelo com vértices em pontos do quadriculado é 30 cm². Qual é a área, em cm², de cada quadradinho do quadriculado?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

alternativa e

14. (IFRN) Como lembrança da Cúpula da AmazôneaAmazônia, uma empresa entregou uma miniatura retangular do parque estadual Mangal das Garças. Sabendo quêque essa miniatura tinha dimensões de 2 cm de comprimento por 8 cm de largura e quêque foi feita numa escala de 1:5.000, a área real do mangal das garças, quêque foi representada, em m², na miniatura é

a) 40.000.

b) 30.000.

c) 25.000.

d) 35.000.

alternativa a

15. (Epcar-MG) A figura abaixo é um losango e as medidas indicadas estão em metros.

Todos os possíveis valores reais de x para quêque a área dêêssedesse losango seja maior ou igual a 72 m², são tais quêque

a) x ≥ −84

b) x ≥ −36

c) x ≤ −84

d) x ≤ −36

alternativa d

Página duzentos e cinquenta e dois252

16. (PUC-RJ) Seja R um retângulo com base igual a 24 e altura igual a 12. Um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B e base AB com comprimento igual ao dôbrodobro da altura BC deve sêrser construído dentro do retângulo R, d fórmade forma quêque a base AB fique sobre a base do retângulo R. Considere x o comprimento da base AB.

a) Para quais valores de x é possível construir esse triângulo?

0 < x ≤ 24

b) Encontre a expressão da hipotenusa do triângulo retângulo ABC em termos de x.

16. b) AC = $\begin{array}{c}\frac{x\sqrt[]{5}}{2}\end{array}$

c) Determine o valor de x para o qual a área do triângulo ABC é igual a 64.

x = 16

17. (Unicamp-SP) Na figura a seguir, ABCD é um trapézio com AB = 1 e cê dêCD = 5. Os pontos M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente.

Sabendo quêque a área de MBN é 1, a área do trapézio é:

a) 18.

b) 20.

c) 22.

d) 24.

alternativa d

18. (UFJF-MG) Um restaurante vende pitssaspizzas tamãnhotamanho família quêque são produzidas em formas quadradas de 40 centimetros de lado e circulares de 40 centimetros de diâmetro. Para estimular a venda das pitssaspizzas quadradas, o dono do restaurante utiliza a frase: “Leve mais pitssapizza pelo mesmo preêçopreço: compre pitssapizza quadrada!”. Ao optar pela pitssapizza quadrada, quantos cm² a mais de pitssapizza o cliente está comprando? (Utilize (pi)"π = 3,14).

a) 34,4 cm²

b) 91,2 cm²

c) 344 cm²

d) 912 cm²

e) 1.348,8 cm²

alternativa c

19. (IFSC) Marcelo recortou dois retângulos, um de dimensões 10 cm × 12 cm e outro de dimensões 11 cm × 13 cm. Em seguida, Marcelo colocou um retângulo sobre o outro, como mostra a imagem, e percebeu quêque a região cinza tinha uma área equivalente a 58 cm².

Sendo assim, a área da região hachurada é:

a) 62 cm².

b) 92 cm².

c) 79 cm².

d) 84 cm².

e) 81 cm².

alternativa e

20. (IFMA) Suponha quêque uma sala de aula esteja sêndosendo construída para sêrser utilizada sem o apôioapoio de recursos digitais, conforme a Figura 1. Sabendo quêque, nessa sala de aula, cada aluno necessita de um espaço correspondente a 1,50 m², o número mássimomáximo de alunos quêque podem estar presentes, simultaneamente, nesse ambiente, considerando a área destinada aos alunos, é

a) 36.

b) 28.

c) 32.

d) 40.

alternativa c

Página duzentos e cinquenta e três253

21. (UFRGS-RS) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 4. O ponto D pertence ao lado AB, o ponto E pertence ao lado BC, o ponto F pertence ao lado AC, e os segmentos AD, BE e CF têm medida x.

A função A(x) quêque expressa a área do triângulo equilátero DEF, para 0 ≤ x ≤ 4, é

a) A(x) =$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ (3x² − 6x + 8).

b) A(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ (3x² + 12x + 16).

c) A(x) = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ (3x² + 12x − 16).

d) A(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ (3x² + 12x + 16).

e) A(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ (3x² − 12x + 16).

alternativa e

PARA REFLETIR

Respostas pessoais.

Página duzentos e cinquenta e quatro254