CAPÍTULO
8
Geometria Espacial de Posição

O mundo em quêque vivemos é tridimensional. Pensando nisso, você já refletiu sobre como podemos representar objetos do mundo real em superfícies bidimensionais, como uma fô-lhafolha de papel ou a tela de um computador? Para realizar essa tarefa, são usados conhecimentos da Geometria Espacial, assunto dêstedeste Capítulo.

Profissionais como engenheiros, arquitetos e dizáinersdesigners são algumas das pessoas quêque precisam fazer essa representação do mundo real, desenhando peças automobilísticas, plantas de imóveis, projetos de cadeiras e de outros móveis etc. Para isso, é preciso saber os fundamentos do desenho técnico e da Geometria Descritiva.

Os dêzê-nhôsdesenhos técnicos são representações gráficas de formas, dimensões e posições de um objeto seguindo algumas regras e padrões. Essas regras são necessárias para quêque qualquer pessoa quêque tenha acesso ao desenho consiga entendê-lo e interpretá-lo, sem precisar de explicações adicionais.

A Geometria Descritiva é a área do conhecimento dedicada a fazer essa transposição do mundo real (3D) para a fô-lhafolha de papel ou para a tela do computador (2D). Isso pódepode sêrser feito usando as vistas e projeções ou as perspectivas.

Página duzentos e cinquenta e cinco255

Ver as Orientações para o professor.

Elaboração dos estudantes.

Página duzentos e cinquenta e seis256

Introdução

Os objetos quêque nos cér-cãocercam podem sêrser pensados como objetos tridimensionais, isto é, quêque têm três dimensões: comprimento, largura e altura (ou profundidade). Para formalizar a maneira como descrevemos e entendemos esses objetos, são necessários alguns conceitos da chamada Geometria Espacial de Posição, quêque estuda a posição entre os entes geométricos e é o tema dêstedeste Capítulo.

Além díssudisso, como estudamos na abertura, o desenho técnico, muito presente em áreas como o disáiniDesign, a Arquitetura e a Engenharia, utiliza conceitos da Geometria Descritiva, relacionada com a Geometria Espacial de Posição.

Noções primitivas

Para iniciar os estudos da Geometria Espacial de Posição, precisamos partir de algumas noções quêque são aceitas sem definição. Essas noções são as de ponto, reta e plano e são chamadas de noções primitivas.

Observe a seguir como essas noções são representadas.

Essas representações são úteis para o estudo de Geometria, pois dão uma ideia do quêque são esses entes geométricos, uma vez quêque eles não existem no mundo real. Apesar díssudisso, alguns objetos do cotidiano lembram as representações dessas noções primitivas. pôdêmosPodemos dizêrdizer, por exemplo, quêque o ponto-final da ortografia lembra um ponto, uma kórdacorda esticada lembra uma reta e uma fô-lhafolha de papel lembra um plano.

Qualquer outro conceito geométrico diferente das noções primitivas precisa sêrser definido com base nelas ou em outros conceitos já estabelecidos anteriormente.

Conceitos preliminares

Ao longo dêstedeste Capítulo, apresentaremos diversas afirmações, quêque podem sêrser divididas em três tipos.

• Postulados ou axiomas: são proposições (afirmações matemáticas) aceitas sem necessidade de demonstração.

• Definições: são proposições feitas a partir de noções primitivas, de definições anteriores ou de resultados já demonstrados. As definições também não são demonstradas.

• Teoremas: são proposições enunciadas com base em postulados, em definições e em resultados já demonstrados. Só têm validade porque são demonstrados, ou seja, são validados com base em uma argumentação lógica.

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Nesta Coleção, não apresentaremos a demonstração de todos os teoremas enunciados, apenas a de alguns, considerados mais importantes ou cuja demonstração auxilie no entendimento de algum conteúdo. Ainda a respeito dos teoremas, eles são essencialmente constituídos de duas partes, a hipótese e a tese. A hipótese é o conjunto de afirmações quêque supomos verdadeiras, e a tese é akiloaquilo quêque queremos demonstrar como verdadeiro. A demonstração de um teorema é o raciocínio percorrido para se chegar da hipótese à tese usando os resultados admitidos e/ou demonstrados anteriormente.

Para fazer a demonstração de um teorema, podemos utilizar diversas técnicas estabelecidas ao longo do desenvolvimento da Matemática. Alguns exemplos de tipos de demonstração são: demonstração dirétadireta, demonstração por absurdo, demonstração por contrapositiva, princípio da indução finita e demonstração por contraexemplo.

Para iniciar os estudos da Geometria Espacial, ou seja, da geometria do espaço, apresentamos a seguir a definição de espaço no contexto da Geometria.

Além díssudisso, também precisamos retomar as definições de retas paralelas e de retas concorrentes.

Assim:

As retas a e b são concorrentes, e o ponto P é o único ponto em comum entre elas. Usando a notação de conjuntos, podemos escrever: a ∩ b = {P}

As retas c e d são paralelas, pois estão no mesmo plano (plano (alfa)"α) e não têm ponto em comum entre elas. Usando a notação de conjuntos, escrevemos: c ∩ d = ∅ ou c ∩ d = { }

c ⫽ d

⫽ ← êsteEste sín-bolosímbolo significa paralelo a.

Respostas possíveis: As linhas paralelas de um campo de futebólfutebol, a faixa de pedestres etc.

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Postulados

As primeiras proposições quêque vamos apresentar são alguns postulados relacionados a pontos, retas e planos quêque serão utilizados no estudo da Geometria Espacial.

Postulados da reta

O postulado R₃ também é conhecido como postulado de Euclides.

pôdêmosPodemos denotar uma reta tomando dois pontos quêque a determinem. Por exemplo, se A e B são pontos distintos, então podemos denotar a reta quêque contém A e B por $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$.

Postulados do plano

Página duzentos e cinquenta e nove259

A reta r é considerada a origem dos semiplanos, e os semiplanos (alfa)"α₁ e (alfa)"α₂ são ditos opostos.

Um segmento de reta quêque liga um ponto qualquer de (alfa)"α₁ a um ponto qualquer de (alfa)"α₂ tem um único ponto em comum com a reta r.

O plano (alfa)"α é considerado a origem dos semiespaços.

Uma reta determinada por dois pontos, um em cada semiespaço, intersecta necessariamente o plano em um único ponto.

Com base nesses postulados, poderemos enunciar definições e teoremas da Geometria Espacial de Posição.

Página duzentos e sessenta260

Determinação do plano

Um plano pódepode sêrser determinado de quatro maneiras distintas. Acompanhe cada uma delas a seguir.

1ª) Pelo postulado P₃ do plano.

Além da indicação usando as lêtrasletras grêgasgregas, também podemos denotar um plano pêlospelos pontos quêque o determinam. Assim, escrevemos plano ABC para o plano determinado pêlospelos pontos A, B e C.

2ª) Pelo teorema a seguir.

Demonstração

Sejam r uma reta e P um ponto fora dessa reta. Pelo postulado R₁ da reta, existem infinitos pontos distintos em r. Tomando em r dois pontos distintos A e B, e não sêndosendo colineares os pontos A, B e P, pelo postulado P₃ do plano, eles determinam um único plano quêque os contém.

3ª) Pelo teorema a seguir.

Demonstração

Sejam duas retas r e s concorrentes no ponto P. Considerando um ponto A sobre a reta r, distinto do ponto P (que existe pelo postulado R₁ da reta), sabemos, pelo teorema 1, quêque a reta s e o ponto A, exterior a s, determinam um único plano (alfa)"α.

Observe quêque esse plano (alfa)"α contém a reta s, por construção, e a reta r, na qual estão contidos dois pontos distintos, P e A (postulado P₂ do plano).

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4ª) Pelo teorema a seguir.

Demonstração

Sejam as retas paralelas r e s. Pelo postulado R₁ da reta, considerando um ponto P em r e dois pontos A e B distintos em s, determinamos o plano (alfa)"α, uma vez quêque P, A e B são três pontos não alinhados (postulado P₃ do plano).

Posições relativas de duas retas

No início dêstedeste Capítulo, retomamos os conceitos de retas concorrentes e retas paralelas. Essas definições são utilizadas para retas coplanares. Agora, vamos ampliar os estudos de posição relativa de duas retas para retas no espaço.

Para determinar quais são as possíveis posições relativas de retas, observamos se as retas estão em um mesmo plano e se há pontos em comum entre elas.

Por exemplo, na figura a seguir, as retas r e s são coplanares. Note quêque elas são concorrentes no ponto E (pelo teorema 2, determinam um único plano).

retas r e t; retas r e s; retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{FG}\end{array}\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$. Existem outras respostas possíveis.

retas r e u; retas s e t; retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{GH}\end{array}\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AD}\end{array}$ Existem outras respostas possíveis.

Uma reta quêque contém dois pontos ou um segmento de reta e quêque passa por esses dois pontos ou pelo segmento de reta quêque os contém é chamada reta suporte. Por exemplo, a reta r é a reta suporte da aresta $\begin{array}{c}\overline{EF}\end{array}$, e a reta s é a reta suporte da aresta EH ¯.

Duas retas coplanares são:

• concorrentes se têm apenas um ponto em comum;

• paralelas se não têm ponto em comum;

• coincidentes se têm todos os pontos em comum.

≡ ← êsteEste sín-bolosímbolo significa coincidente com.

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Com as classificações apresentadas, podemos montar um fluxograma quêque nos auxilia a compreender cada um dos casos de posições relativas de duas retas no plano e no espaço.

Não. Ver as Orientações para o professor.

Posições relativas de uma reta e um plano no espaço

Agora, estudaremos como uma reta e um plano podem estar posicionados no espaço. Para isso, vamos observar o número de pontos em comum quêque eles têm.

Pelo postulado P₂ do plano, basta quêque a reta t e o plano (gama)"γ tênhamtenham mais de um ponto em comum para quêque essa reta esteja contida nesse plano.

Ver as Orientações para o professor.

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Posições relativas de dois planos no espaço

Vamos estudar, agora, como dois planos no espaço podem se relacionar. Mais uma vez, vamos observar os pontos comuns entre eles.

ATIVIDADE RESOLVIDA

1. Dadas, em um plano, duas retas distintas tangentes a uma mesma circunferência, classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas e justifique suas respostas.

a) As retas são necessariamente concorrentes.

b) As retas são necessariamente paralelas.

c) As retas podem sêrser paralelas.

Resolução

Para cada item, vamos buscar um contraexemplo para comprovar quêque a afirmação é falsa ou utilizaremos os resultados já estudados para mostrar quêque a afirmação é verdadeira.

a) Essa afirmação é falsa, pois, caso as retas sêjamsejam tangentes em pontos diametralmente opostos da circunferência, elas serão paralelas.

b) Essa afirmação é falsa, pois as retas só serão paralelas na situação indicada no item anterior. Em qualquer outra situação, as retas serão concorrentes.

c) Como observamos nos itens anteriores, as retas podem sêrser paralelas ou concorrentes. Então, essa afirmação é verdadeira. Note quêque a afirmação traz uma possibilidade, e não uma afirmação absoluta, isto é, válida para todos os casos. Isso faz com quêque não precisemos demonstrá-la, mas apenas determinar um caso quêque a atenda.

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ATIVIDADES

1. Leia as afirmações a seguir.

I. _____ pontos distintos determinam uma única reta.

II. Em um plano, estão contidas _____ retas.

III. Uma reta em um plano divide-o em duas regiões, denominadas _____.

IV. Por uma reta passam _____ planos.

V. pôdêmosPodemos determinar um plano de _____ maneiras.

As palavras quêque preenchem corretamente as lacunas, na ordem, são:

a) Dois – infinitas – semiespaços – infinitos – quatro

b) Infinitos – infinitas – semiespaços – infinitos – quatro

c) Dois – infinitas – semiplanos – infinitos – quatro

d) Infinitos – duas – semiplanos – dois – infinitas

e) Dois – duas – semiplanos – dois – infinitas

alternativa c

2. Quantos são os planos determinados por três retas distintas, duas a duas, paralelas entre si?

um ou três

3. Quantos são os planos determinados por quatro pontos, dois a dois, distintos entre si?

Ver as Orientações para o professor.

4. Dada a figura, considere a reta suporte de cada segmento de reta e identifique:

a) um par de retas reversas;

$\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EI}\end{array}$

b) um par de retas coplanares;

$\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$

c) dois pares de retas concorrentes;

4. c) $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BA}\end{array},\mathrm{}\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{FH}\end{array}\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{HI}\end{array}$

d) dois pares de retas paralelas.

$\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CE}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{HI}\end{array}$ $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{DE}\end{array}$

Em todos os itens, existem outras respostas possíveis.

5. Considere um ponto M em um plano (alfa)"α e uma reta r, secante a (alfa)"α, quêque o intersecta em um ponto distinto de M. Reúna-se a um colega, e façam o quêque se pede em cada item.

Ver as Orientações para o professor.

a) Façam um desenho quêque represente a situação.

b) Verifiquem se a frase a seguir é verdadeira ou falsa. Justifiquem sua resposta.

6. Observando a figura a seguir, responda aos itens.

a) Qual é a posição da reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ em relação ao plano ABC?

secante

b) Qual é a posição da reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{FG}\end{array}$ em relação ao plano FGH?

A reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{FG}\end{array}$ está contida no plano FGH.

• Reúna-se a um colega, e elaborem duas outras perguntas sobre posições relativas com base na figura. Depois, troquem-nas com outra dupla e confiram juntos as respostas.

Resposta pessoal.

7. Observando a figura seguinte, responda aos itens.

a) Qual é a posição relativa entre os planos VAB e VBC?

secantes

b) Qual é a intersecção dos planos ABC e VBC?

a reta $\stackrel{⃡}{BC}$

c) Há planos paralelos na figura?

não

8. (UEM-PR) Em relação à determinação e à posição de retas e planos, assinale o quêque for correto.

01) No espaço, duas retas são sempre paralelas ou concorrentes.

02) Uma reta e um ponto determinam, sempre, um único plano.

04) Uma reta determina infinitos planos quêque a contêm.

alternativas 04 e 08

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08) Se uma reta tem um único ponto em comum com dois planos distintos, então esses dois planos são secantes.

16) Três pontos distintos determinam um único plano.

9. (UFMS) Considere uma pirâmide de base hexagonal regular conforme a figura a seguir:

A quantidade de pares de arestas reversas é:

a) maior quêque 24.

b) igual a 24.

c) maior quêque 12 e menor quêque 24.

d) igual a 12.

e) menor quêque 12.

alternativa b

10. (Ficsae-SP) Seja uma reta r e os planos secantes (alfa)"α e (beta)"β, de modo quêque (alfa)"α ∩ (beta)"β = r. Seja s uma reta paralela à reta r, de modo quêque s ∩ (beta)"β = ∅.

Seja t uma reta secante ao plano (beta)"β no ponto P, de modo quêque P ∈ r. De acôr-doacordo com essas informações, necessariamente

a) s ∩ (alfa)"α = s

b) t ∩ (beta)"β = ∅

c) P ∉ (alfa)"α

d) r ∩ t ≠ ∅

alternativa d

Paralelismo no espaço

Estudamos as posições relativas de duas retas, de uma reta e um plano e de dois planos. Em alguns dêêssesdesses casos, falamos a respeito de paralelismo no espaço. Vamos retomar essas ideias:

• Duas retas são paralelas se são coplanares e não têm ponto em comum.

• Uma reta é paralela a um plano se eles não têm ponto em comum.

• Dois planos são paralelos se não têm ponto em comum.

Teoremas sobre paralelismo

Apresentaremos, agora, alguns teoremas relacionados ao paralelismo quêque se destacam no estudo da Geometria Espacial.

Para demonstrar esse teorema, vamos primeiro explicitar a hipótese e a tese.

Hipótese

r ⫽ (alfa)"α

(beta)"β ⊃ r

(alfa)"α ∩ (beta)"β = s

Tese

r ⫽ s

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Demonstração

Vamos realizar a demonstração por absurdo. Para isso, admitimos quêque a negação da tese seja verdadeira, isto é, r não é paralela a s. Se isso fosse verdade, como r e s estão contidas no plano (beta)"β, elas seriam retas concorrentes e teriam um ponto A em comum. Mas, como s ⊂ (alfa)"α, o ponto A pertenceria a r e a (alfa)"α, o quêque contraria a hipótese r ⫽ (alfa)"α.

Como chegamos a uma contradição da hipótese, concluímos quêque a afirmação inicial de quêque r não é paralela a s é falsa. Portanto, r é paralela a s.

ATIVIDADE RESOLVIDA

2. Entre as afirmações a seguir, referentes à Geometria de Posição, determine a única quêque é falsa.

I. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela ou é reversa a qualquer reta do outro.

II. Se uma reta é paralela a dois planos, então os planos são paralelos.

III. Se dois planos paralelos intersectam um terceiro, então as intersecções são retas paralelas.

Resolução

I. A afirmação é verdadeira. Se r ⊂ (alfa)"α, s ⊂ (beta)"β e (alfa)"α ∩(beta)"β = ∅, então r ∩s = ∅. Logo, r ⫽ s ou r é reversa a s. Na figura a seguir, r ⫽ s e r é reversa a t.

Página duzentos e sessenta e sete267

II. A afirmação é falsa, pois podemos ter r ⫽ (alfa)"α, r ⫽ (beta)"β e r ⫽ t, em quêque t = (alfa)"α ∩ (beta)"β, como mostra a figura a seguir.

III. A afirmação é verdadeira. Se (alfa)"α ∩ (beta)"β = ∅, r ⊂ (alfa)"α e s ⊂ (beta)"β, então r ∩ s = ∅.

Como r ∩ s = ∅, r ⊂ (gama)"γ e s ⊂ (gama)"γ, então r ⫽ s.

Portanto, a única afirmação falsa é a II.

ATIVIDADES

11. A figura a seguir representa um sólido geométrico chamado prisma reto de base hexagonal. Nessa figura, temos quêque:

• as bases são os hekzágonoshexágonos regulares ABCDEF e PQRSTU;

• os planos quêque contêm as bases são paralelos;

• as arestas quêque unem as bases são paralelas entre si. Por exemplo: $\begin{array}{c}\overline{AP}⫽\overline{CR}\end{array}$;

• as arestas quêque unem as bases são perpendiculares aos planos das bases.

A partir dessas informações, faça o quêque se pede em cada item.

a) Indique uma reta paralela à reta $\stackrel{⃡}{DE}$.

11. a) $\stackrel{⃡}{ST}$. Existem outras respostas possíveis.

b) A reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ é paralela ao plano quêque contém o hekzágonohexágono PQRSTU? Justifique.

11. b) Resposta esperada: Sim, pelo teorema 6.

c) Sabendo quêque $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{UF}\end{array}$ são paralelas ao plano quêque contém o quadrilátero BCRQ, o quêque podemos afirmar sobre esse plano e o plano quêque contém o quadrilátero EFUT? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Os planos são paralelos, pelo teorema 7.

12. (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a) Se duas retas concorrentes de um plano são respectivamente paralelas a duas retas de outro plano, então esses planos são paralelos.

b) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado.

c) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta quêque se apoie em duas retas reversas dadas.

d) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.

e) Existem planos reversos.

alternativa a

13. (hê s háESA) Observe o paralelepípedo reto-retângulo da figura abaixo.

Sobre êsteeste sólido, assinale a única alternativa correta.

a) As retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CG}\end{array}$ são ortogonais entre si.

b) A reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CF}\end{array}$ é paralela ao plano (ADH).

c) As retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{HF}\end{array}$ são paralelas entre si.

d) A reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$ é perpendicular ao plano (EFG).

e) As retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{DH}\end{array}$ são perpendiculares entre si.

alternativa b

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14. (ITA-SP) Quais são as sentenças falsas?

I. Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles interceptam o outro.

II. Se um plano contém duas retas distintas e paralelas a outro plano, então esses planos são paralelos.

III. Em dois planos paralelos distintos, todas as retas de um são paralelas ao outro plano.

IV. Se uma reta é paralela a um plano, então essa reta é paralela a infinitas retas dêêssedesse plano.

V. Se uma reta é paralela a um plano, então é paralela a todas as retas do plano.

a) I; II; III

b) I; II; V

c) I; III; IV

d) II; III; IV

e) I; II; IV

alternativa b

Perpendicularismo no espaço

Estudamos quêque duas retas coplanares podem sêrser concorrentes, paralelas ou coincidentes. No caso de retas concorrentes, podemos, ainda, classificá-las de acôr-doacordo com o ângulo entre elas.

r ⊥ s

⊥ ← êsteEste sín-bolosímbolo significa perpendicular a.

Agora vamos analisar o quêque acontece com o ângulo entre retas reversas. Para isso, precisamos compreender o quêque é ângulo entre retas reversas.

Sejam r e s duas retas reversas. Consideremos sobre a reta r um ponto P e por ele tracemos a reta s(minutos)"′, paralela à reta s, como mostra a figura. O ângulo θ formado pelas retas r e s(minutos)"′ é, por definição, o ângulo formado pelas retas reversas r e s. É possível demonstrar quêque esse ângulo não depende do ponto P escolhido.

Assim, dizemos:

Resposta esperada: O postulado R₃ da reta garante essa construção.

Página duzentos e sessenta e nove269

Perpendicularismo entre reta e plano

Estudamos quêque uma reta e um plano podem sêrser paralelos, secantes ou a reta pódepode estar contida no plano. No caso de a reta sêrser secante ao plano, vamos verificar quêque ela pódepode sêrser perpendicular ou oblíqua a ele.

É possível demonstrar quêque o teorema 8 é uma condição necessária e suficiente para determinar a perpendicularidade entre reta e plano. Isso quer dizêrdizer quêque, para a reta r sêrser perpendicular ao plano (alfa)"α, basta quêque ela seja perpendicular a duas retas concorrentes de (alfa)"α quêque passam pelo ponto P.

Por exemplo, obissérveobserve a figura do cubo apoiado no plano (alfa)"α. Como $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ ↔ é perpendicular a $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$ e a $\begin{array}{c}\overrightarrow{BC}\end{array}$ ↔, então $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ é perpendicular ao plano ABC.

A seguir, são apresentadas algumas propriedades do perpendicularismo quêque podem sêrser demonstradas.

Página duzentos e setenta270

Planos perpendiculares

Estudamos quêque dois planos podem sêrser coincidentes, paralelos ou secantes. Vamos observar agora quêque, neste último caso, eles podem sêrser perpendiculares ou oblíqüosoblíquos.

Teoremas sobre perpendicularismo

Apresentamos a seguir alguns teoremas sobre perpendicularismo.

Para demonstrar esse teorema, vamos primeiro explicitar a hipótese e a tese.

Hipótese

r ⊥ (alfa)"α

Tese

r faz ângulo de 90° com qualquer reta contida no plano (alfa)"α.

Demonstração

Seja r uma reta perpendicular a um plano (alfa)"α quêque intersecta (alfa)"α no ponto A. Se s é uma reta do plano (alfa)"α e passa pelo ponto A, então, pela definição de reta perpendicular a um plano, r ⊥ s (figura 1).

Supondo quêque s não passe pelo ponto A, pelo postulado R₃ da reta, podemos considerar uma reta s(minutos)"′ de (alfa)"α quêque passa por A e é paralela à reta s (figura 2).

Então, novamente pela definição de reta perpendicular a um plano, se r é perpendicular a (alfa)"α, é também perpendicular a todas as retas de (alfa)"α quêque passam pelo ponto A, ou seja, r ⊥ s(minutos)"′. Como s ⫽ s(minutos)"′, então r e s são ortogonais e, portanto, r faz um ângulo de 90° com s.

Página duzentos e setenta e um271

Para demonstrar esse teorema, vamos primeiro explicitar a hipótese e a tese.

Hipótese

r secante a (alfa)"α

r forma ângulo de 90° com s ⊂ (alfa)"α

r forma ângulo de 90° com t ⊂ (alfa)"α

s concorrente com t

Tese

r ⊥ (alfa)"α

Demonstração

Seja A o ponto de intersecção de r com (alfa)"α. Se s e t passam pelo ponto A, então r e (alfa)"α são perpendiculares pelo teorema 8.

Vamos analisar agora os demais casos possíveis.

1º caso: A ∈ s e A ∉ t (o caso A ∉ s e A ∈ t demonstra-se d fórmade forma análoga)

Pelo postulado R₃ da reta, podemos considerar a reta t(minutos)"′, com t(minutos)"′ ⫽ t e A ∈ t(minutos)"′, conforme mostra a figura 3.

Como r e t são ortogonais e t(minutos)"′ ⫽ t, então r ⊥ t(minutos)"′.

Logo, r ⊥ (alfa)"α, pois r é perpendicular a duas retas concorrentes, s e t(minutos)"′, de (alfa)"α quêque passam por A (teorema 8).

2º caso: A ∉ s e A ∉ t

Pelo postulado R₃ da reta, podemos traçar as retas s(minutos)"′ e t(minutos)"′ de (alfa)"α passando por A e tais quêque s(minutos)"′ ⫽ s e t(minutos)"′ ⫽ t (figura 4).

Como r e s são ortogonais e s(minutos)"′ ⫽ s, então r ⊥ s(minutos)"′. Analogamente, concluímos quêque r ⊥ t(minutos)"′.

Logo, r ⊥ (alfa)"α, pois r é perpendicular a duas retas concorrentes, s(minutos)"′ e t(minutos)"′, de (alfa)"α quêque passam por A (teorema 8).

Página duzentos e setenta e dois272

Para demonstrar esse teorema, vamos primeiro explicitar a hipótese e a tese.

Hipótese

r ⊥ (alfa)"α

r ∩ (alfa)"α = {A}

s ⊂ (alfa)"α

A ∈ s

t ⊂ (alfa)"α

t ⊥ s

t ∩ s = {B}

B ≠ A e C ∈ r

Tese $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ ⊥ t

Demonstração

Se C = A, as retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ e s coincidem e, portanto, $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ ⊥ t, por hipótese.

Se C ≠ A, então A, B e C são pontos não colineares e, pelo primeiro caso de determinação de um plano, determinam um plano ABC quêque contém as retas r, s e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$, já quêque o plano ABC contém dois pontos de cada uma dessas retas (postulado P₂ do plano).

Como r ⊥ (alfa)"α, pelo teorema 9, r é ortogonal à reta t. Sendo t ⊥ s e ortogonal a r, e como o plano ABC contém r e s, pelo teorema 10, obtemos t ⊥ plano ABC.

Como a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ está no plano ABC, pelo teorema 9, concluímos quêque t ⊥ $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$.

Para demonstrar esse teorema, vamos primeiro explicitar a hipótese e a tese.

Hipótese

r ≠ s

r ⊥ (alfa)"α

s ⊥ (alfa)"α

Tese

r ⫽ s

Demonstração

Sejam A e B, respectivamente, os pontos de intersecção de r e s com (alfa)"α. Vamos traçar a reta s(minutos)"′ passando por B tal quêque s(minutos)"′ ⫽ r. Pelo postulado R₃ da reta, s(minutos)"′ existe e é única.

Como r ⊥ (alfa)"α, então r é perpendicular a duas retas concorrentes, a e b, passando pelo ponto A e contidas em (alfa)"α.

Sendo s(minutos)"′ ⫽ r, então s(minutos)"′ é ortogonal às mesmas retas a e b de (alfa)"α (pelo teorema 10). Logo, s(minutos)"′ ⊥ (alfa)"α.

Pela propriedade 1 vista anteriormente, pelo ponto B do plano (alfa)"α passa uma única perpendicular a esse plano, então resulta quêque s(minutos)"′ = s.

Portanto, r ⫽ s.

Página duzentos e setenta e três273

ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. Considere as retas r, s e t distintas tais quêque s ⊥ r e t ⊥ r. Relativamente às retas s e t, podemos afirmar quêque:

I. Elas podem sêrser unicamente paralelas ou concorrentes.

II. Elas podem sêrser unicamente paralelas ou reversas.

III. Elas podem sêrser unicamente concorrentes ou reversas.

IV. Elas podem sêrser paralelas, concorrentes ou reversas.

V. Elas podem sêrser unicamente reversas.

Qual dessas afirmações é verdadeira?

Resolução

Uma das maneiras de resolver esse problema é desenhando as retas como retas suporte de arestas de um cubo. No cubo ABCDEFGH, representado na figura a seguir, sêjamsejam r a reta quêque passa por B e C, quêque indicaremos por $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ e s a reta quêque passa por A e B, quêque indicaremos por $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$. Note quêque s ⊥ r.

Nas condições do enunciado, podemos ter:

• t = $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CD}\end{array}$ então s ⊥ r, t ⊥ r e s ⫽ t.

• t = $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$, então s ⊥ r, t ⊥ r e s e t são retas concorrentes.

• t = $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CG}\end{array}$, então s ⊥ r, t ⊥ r e s e t são retas reversas.

Portanto, a afirmação verdadeira é a IV.

4. Sejam um plano (alfa)"α e uma reta r, paralela a (alfa)"α. Verifique se as proposições a seguir são verdadeiras.

I. Toda reta paralela a r está contida em (alfa)"α.

II. Toda reta perpendicular a r é perpendicular a (alfa)"α.

III. Toda reta ortogonal a r é perpendicular a (alfa)"α.

Resolução

Ilustrando o enunciado, temos a figura a seguir.

Agora, analisaremos cada uma das afirmações.

I. Falsa, pois existe um plano (beta)"β ⫽ (alfa)"α quêque contém r. Em (beta)"β existe uma reta s, s ⫽ r e s não está contida em (alfa)"α.

II. Falsa. Considerando o plano (beta)"β do item I, existe s ⊥ r, s ⊂ (beta)"β e s ⫽ (alfa)"α; logo, s não é perpendicular a (alfa)"α.

III. Falsa. Considerando a reta s do item II, existe uma reta t, t ⊂ (alfa)"α e t ⫽ s; t é ortogonal a r e não é perpendicular a (alfa)"α.

Portanto, nenhuma das proposições é verdadeira.

Página duzentos e setenta e quatro274

ATIVIDADES

15. A figura a seguir mostra uma porta entreaberta e o canto de uma sala.

a) Que posições relativas têm as retas suporte quêque contêm r e s; s e t; x e r; y e t?

15. a) As retas são, respectivamente, paralelas, perpendiculares, reversas e reversas.

b) Que posições relativas têm a reta suporte de t e o plano suporte de (alfa)"α? E a reta suporte de r e o plano suporte de (beta)"β?

São, respectivamente, paralelos e secantes.

16. A figura seguinte representa um cubo. Observando-a, determine as posições relativas:

a) das retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{FG}\end{array}$.

As retas são perpendiculares.

b) das retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$.

As retas são reversas ortogonais.

17. (EsPCEx-SP) Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo quêque os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. Dentre as afirmações abaixo:

I. Se as retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BD}\end{array}$ são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes.

II. Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares.

III. Se $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BD}\end{array}$ forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares.

Pode-se concluir quêque:

a) somente a I é verdadeira.

b) somente a II é verdadeira.

c) somente a III é verdadeira.

d) as afirmações II e III são verdadeiras.

e) as afirmações I e III são verdadeiras.

alternativa c

18. Reúna-se a um colega, e refaçam o fluxograma feito na página 262, no boxe Pense e responda, para identificar as posições relativas de uma reta e um plano no espaço, considerando agora também o caso de uma reta perpendicular a um plano.

Ver as Orientações para o professor.

19. Reúna-se a um colega, e façam um fluxograma para identificar as posições relativas de dois planos no espaço, considerando também o caso de dois planos perpendiculares.

Ver as Orientações para o professor.

20. (EEM-SP)

I. Duas retas reversas podem sêrser ambas perpendiculares a uma mesma reta t.

II. Se r é uma reta de um plano e s uma paralela ao mesmo plano, então, certamente, r e s são paralelas.

III. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a qualquer reta do plano.

Relativamente às afirmações acima, podemos afirmar quêque:

a) todas são verdadeiras.

b) somente I e II são verdadeiras.

c) somente II e III são verdadeiras.

d) somente II é verdadeira.

e) somente I é verdadeira.

alternativa e

21. (Fuvest-SP) É correta a afirmação:

a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro.

b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro.

c) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.

d) Se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma delas será paralela à outra.

e) Se duas retas forem ortogonais, toda paralela a uma delas será ortogonal ou perpendicular à outra.

alternativa e

Página duzentos e setenta e cinco275

Projeção ortogonal

Na abertura dêstedeste Capítulo, conhecemos algumas ideias do desenho técnico. Uma delas é a projeção, quêque consiste em projetar as vistas de um objeto em planos. As mais conhecidas são as vistas frontal, superior e lateral.

Observe, a seguir, um exemplo de uma peça e suas vistas.

Essa projeção é chamada de projeção ortogonal, pois é feita perpendicularmente ao plano de projeção, e as vistas são chamadas de ortográficas. Ela é muito utilizada nos projetos de fabricação de peças industriais.

Estudaremos, a seguir, os conceitos de projeção ortogonal relativa a um ponto, a uma reta e a uma figura qualquer, quêque são a base para a execução dos projetos.

Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano

Consideremos um ponto P e um plano (alfa)"α, P ∉ (alfa)"α.

Pelo ponto P, tracemos a reta r, perpendicular ao plano (alfa)"α. Pela propriedade 1, essa reta é única e intersecta (alfa)"α no ponto P(minutos)"′.

• BORTOLOSSI, Humberto J.; EL ADJI, Victor I. S. Projeções ortogonais: matemática: geometria. Rio de Janeiro: UFF: Conteúdos digitais para o ensino e aprendizagem de matemática e estatística, [201-]. Disponível em: https://livro.pw/hlbdo. Acesso em: 9 set. 2024.

Nesse línkilink, é possível explorar diversas projeções ortogonais.

Página duzentos e setenta e seis276

Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano

Consideremos, primeiro, o caso em quêque a reta r é oblíqua a um plano (alfa)"α e intersecta o plano no ponto A, conforme mostra a figura 1.

Tomando outro ponto, B de r, determinamos o ponto B(minutos)"′, quêque é a projeção ortogonal de B sobre o plano (alfa)"α, conforme mostra a figura 2.

Pelo postulado R₂ da reta, obtemos, então, a reta r(minutos)"′, determinada pêlospelos pontos A e B(minutos)"′, quêque é a projeção ortogonal da reta r sobre o plano (alfa)"α.

Vamos considerar agora o caso em quêque r é perpendicular a (alfa)"α. Nesse caso, a projeção ortogonal de r sobre (alfa)"α é o ponto em quêque a reta r intersecta o plano (alfa)"α.

Vamos analisar, por fim, casos em quêque a reta r não é secante ao plano (alfa)"α.

• Se r é paralela a (alfa)"α, então a projeção ortogonal de r sobre (alfa)"α é uma reta r(minutos)"′ no plano (alfa)"α paralela a r.

• Se r está contida em (alfa)"α, então r(minutos)"′ coincide com r.

Página duzentos e setenta e sete277

Projeção ortogonal de uma figura sobre um plano

Se a figura F está contida em um plano (beta)"β paralelo ao plano (alfa)"α, então F(minutos)"′ é congruente a F.

ATIVIDADE RESOLVIDA

5. Mostre quêque a projeção ortogonal de um segmento de reta oblíquo a um plano, sobre esse plano, é menor do quêque o segmento.

Resolução

Para demonstrar esse resultado, vamos primeiro identificar a hipótese e a tese.

Hipótese

$\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ oblíquo a (alfa)"α

$\begin{array}{c}\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\end{array}$ é a projeção ortogonal de $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ sobre (alfa)"α.

Tese

A(minutos)"′B(minutos)"′ < AB

Primeiro, vamos considerar o caso em quêque A ∉ (alfa)"α, B ∉ (alfa)"α e AA(minutos)"′ > BB(minutos)"′ (o caso AA(minutos)"′ < BB(minutos)"′ é análogo).

Traçamos um segmento paralelo ao segmento $\begin{array}{c}\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\end{array}$ passando por B, o qual intersecta o segmento $\begin{array}{c}\overline{A{A}^{\text{'}}}\end{array}$ no ponto P.

Por construção, A(minutos)"′B(minutos)"′BP é um retângulo, portanto A(minutos)"′B(minutos)"′ = PB.

Também por construção, (triângulo)"△ABP é retângulo em $\widehat{P}$ Então, PB < AB, pois $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ é a hipotenusa dêêssedesse triângulo.

Portanto, de A(minutos)"′B(minutos)"′ = PB e PB < AB, concluímos quêque A(minutos)"′B(minutos)"′ < AB.

Agora, vamos considerar o caso em quêque A ∉ (alfa)"α e B ∈ (alfa)"α (o caso A ∈ (alfa)"α e B ∉ (alfa)"α é análogo).

Nesse caso, (triângulo)"△ABA(minutos)"′ é retângulo em $\begin{array}{c}\widehat{A^{\text{'}}}\end{array}$.

Então, A(minutos)"′B < AB, pois $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ é a hipotenusa dêêssedesse triângulo. Como B ∈ (alfa)"α, B(minutos)"′ ≡ B.

Portanto, A(minutos)"′B(minutos)"′ < AB.

Página duzentos e setenta e oito278

ATIVIDADES

22. Como é a projeção ortogonal de um polígono convexo sobre um plano (alfa)"α, sabendo quêque ele está contido em um plano (beta)"β, perpendicular a (alfa)"α?

um segmento de reta

23. Observando o cubo da figura, responda às perguntas.

a) Qual é a projeção ortogonal do ponto G sobre o plano ABC?

o ponto C

b) Qual é a projeção ortogonal do ponto A sobre o plano BCF?

o ponto B

c) Qual é a projeção ortogonal do ponto V₁ sobre o plano ABC?

o ponto V₂

24. (UEA-AM) Uma hás-tehaste de metal foi presa entre dois muros, ambos perpendiculares ao solo, nos pontos A e B, conforme mostra a figura.

A projeção ortogonal dessa hás-tehaste, no solo, é representada na figura pelo segmento

a) $\begin{array}{c}\overline{HF}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\overline{GD}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\overline{CE}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}\overline{CF}\end{array}$

alternativa d

25. (Enem/MEC) Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sêndosendo quêque os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano (alfa)"α é paralelo ao quêque contém a Linha do Equador.

A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano (alfa)"α dessas duas trajetórias é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

26. Leia o texto a seguir.

[…]

As áreas públicas ou de uso comum em edificações, espaços e equipamentos urbanos devem ter sinalização tátil de alerta no piso para:

a) informar à pessoa com deficiência visual sobre a existência de desníveis ou outras situações de risco permanente, como objetos suspensos não detectáveis pela bengala longa;

b) orientar o posicionamento adequado da pessoa com deficiência visual para o uso de equipamentos como elevadores, equipamentos de autoatendimento ou serviços;

c) informar as mudanças de direção ou opções de percursos […];

d) indicar o início e o término de escadas e rampas;

e) indicar a existência de patamares, nas situações indicadas;

f) indicar o local de travessia de pedestres.

[…]

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 16537: acessibilidade: sinalização tátil no piso: diretrizes para elaboração de projetos e instalação. 1. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2016. Disponível em: https://livro.pw/fmnxw. Acesso em: 9 set. 2024.

A figura na página seguinte mostra um objeto suspenso quêque requer sinalização tátil de alerta ao seu redor com as medidas indicadas em métrometro.

Página duzentos e setenta e nove279

Sabendo quêque o elemento suspenso tem altura igual a 1,50 m, largura igual a 0,25 m e comprimento igual a 0,55 m, responda:

a) Quais dimensões do elemento suspenso são relevantes para a instalação do piso tátil?

largura e comprimento

b) Qual é a área da projeção do elemento suspenso sobre o piso?

0,1375 m²

c) Qual é o perímetro externo da sinalização tátil de alerta?

6,4 m

Ver as Orientações para o professor.

Página duzentos e oitenta280

Distâncias

Observemos agora algumas definições envolvendo distâncias.

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos distintos A e B é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$.

Distância entre ponto e reta

A distância entre um ponto P e uma reta r quêque não o contém é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{P{P}^{\text{'}}}\end{array}$, em quêque P(minutos)"′ é a projeção ortogonal de P sobre r.

Distância entre ponto e plano

A distância entre um ponto P e um plano (alfa)"α quêque não o contém é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{P{P}^{\text{'}}}\end{array}$, em quêque P(minutos)"′ é a projeção ortogonal de P sobre (alfa)"α.

Distância entre duas retas

A distância entre duas retas reversas r e s é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$, em quêque A ∈ r, B ∈ s e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$ é perpendicular a r e a s.

Página duzentos e oitenta e um281

A distância entre duas retas paralelas é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{P{P}^{\text{'}}}\end{array}$, em quêque P é um ponto qualquer de uma das retas e P(minutos)"′ é a projeção ortogonal de P sobre a outra reta.

A distância entre retas quêque têm pelo menos um ponto em comum é zero. Assim, tanto a distância entre retas concorrentes quanto a distância entre retas coincidentes são iguais a zero.

Distância entre reta e plano paralelos

A distância entre uma reta r e um plano (alfa)"α paralelo a ela é igual à medida do segmento $\overline{P\mathrm{P\text{'}}}$, em quêque P é um ponto qualquer de r e P(minutos)"′ é a projeção ortogonal de P sobre (alfa)"α.

Distância entre dois planos paralelos

A distância entre dois planos paralelos é igual à medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{P{P}^{\text{'}}}\end{array}$, em quêque P é um ponto qualquer de um dos planos e P(minutos)"′ é a projeção ortogonal de P sobre o outro plano.

Página duzentos e oitenta e dois282

ATIVIDADES RESOLVIDAS

6. O cubo ABCDEFGH tem aresta de 2 cm.

Calcule:

a) a distância entre os pontos A e C.

b) a distância entre o ponto B e a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{GH}\end{array}$.

c) a distância entre o ponto C e o plano EFG.

d) a distância entre as retas reversas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EH}\end{array}$.

e) a distância entre as retas paralelas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$.

f) a distância entre a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$ e o plano EFG.

g) a distância entre os planos paralelos ADE e BCF.

Resolução

a) A distância entre os pontos A e C é d = AC.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, obtemos:

AC² = AB² + BC²

d² = 2² + 2²

d² = 8

d = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

Portanto, a distância entre os pontos A e C é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$ cm.

b) A distância entre o ponto B e a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{GH}\end{array}$ é d = BG. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCG, obtemos:

BG² = CG² + BC²

d² = 2² + 2²

d² = 8

d = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

Portanto, a distância entre o ponto B e a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{GH}\end{array}$ é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$ cm.

c) A distância entre o ponto C e o plano EFG é d = CG, ou seja, igual a 2 cm.

d) A distância entre as retas reversas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EH}\end{array}$ é d = EF, ou seja, igual a 2 cm.

e) A distância entre as retas paralelas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$ é d = CF. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo CFG, obtemos:

CF² = CG² + FG²

d² = 2² + 2²

d₂ = 8

d = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

Portanto, a distância entre as retas paralelas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{CD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EF}\end{array}$ é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$ cm.

f) A distância entre a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AC}\end{array}$ e o plano EFG é d = CG, ou seja, igual a 2 cm.

g) A distância entre os planos paralelos ADE e BCF é d = AB, ou seja, igual a 2 cm.

7. (UEA-AM) Considere dois planos paralelos distintos (alfa)"α e (beta)"β, o segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ contido no plano (alfa)"α, a reta r contida no plano (beta)"β e um ponto C, tal quêque C ∈ r, conforme mostra a figura.

De acôr-doacordo com essas informações, pode-se afirmar quêque

a) a distância do ponto C ao plano (alfa)"α é igual à distância do ponto A ao plano (beta)"β.

b) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (alfa)"α está sobre o segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$.

c) a projeção ortogonal do ponto A sobre o plano (beta)"β não está sobre a reta r.

d) a projeção do segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ sobre o plano (beta)"β coincide com a reta r.

e) a distância do ponto C ao plano (alfa)"α é igual à distância do ponto C ao ponto B.

Resolução

A distância de qualquer ponto do plano (alfa)"α ao plano (beta)"β é igual à distância de qualquer ponto do plano (beta)"β ao plano (alfa)"α. Portanto, podemos afirmar quêque a distância do ponto C ao plano (alfa)"α é igual à distância do ponto A ao plano (beta)"β, de modo quêque a alternativa a está correta.

Página duzentos e oitenta e três283

ATIVIDADES

27. Considere o paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH e calcule o quêque se pede.

a) A distância entre os pontos C e H.

13 cm

b) A distância entre o ponto D e a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{AB}\end{array}$.

27. b) 4 cm

c) A distância entre o ponto F e o plano ADH.

27. c) 12 cm

d) A distância entre as retas reversas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{GH}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BF}\end{array}$.

27. d) 4 cm

e) A distância entre as retas paralelas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{EH}\end{array}$.

13 cm

f) A distância entre a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BE}\end{array}$ e o plano CDG.

27. f) 4 cm

g) A distância entre os planos paralelos ABC e EFG.

5 cm

28. (UEA-AM) Considere dois planos distintos e paralelos, (alfa)"α e (beta)"β, uma reta r contida no plano (alfa)"α, um ponto Q pertencendo ao plano (alfa)"α, mas com Q não pertencendo à reta r, e um ponto P pertencendo ao plano (beta)"β, conforme mostra a figura.

alternativa c

De acôr-doacordo com essas informações, afirma-se quêque

a) a distância do ponto Q ao ponto P é igual à distância do ponto Q ao plano (beta)"β.

b) a projeção ortogonal da reta r sobre o plano (beta)"β passará pelo ponto P.

c) a distância do ponto Q ao plano (beta)"β é igual à distância de qualquer ponto da reta r ao plano (beta)"β.

d) ao se projetar ortogonalmente a reta r e o ponto Q sobre o plano (beta)"β, os pontos Q e P ficarão sobre a reta r.

e) a distância entre o ponto Q e sua projeção ortogonal no plano (beta)"β é igual à distância entre os pontos Q e P.

29. (UEA-AM) Seja (alfa)"α o plano quêque passa pêlospelos pontos C, D, G e F. Seja P um ponto distante 8 cm de (alfa)"α, tal quêque a sua projeção ortogonal sobre (alfa)"α é o ponto P(minutos)"′.

Sabendo quêque o ponto Q pertence ao plano (alfa)"α e quêque a distância entre os pontos P e Q é igual a $\begin{array}{c}\sqrt[]{89}\end{array}$ cm, a distância entre os pontos P(minutos)"′ e Q é igual a

a) 4 cm.

b) 5 cm.

c) 8 cm.

d) 9 cm.

e) 12 cm.

alternativa b

30. (EsPCEx-SP) Considere um plano (alfa)"α e os pontos A, B, C e D tais quêque

• O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em (alfa)"α.

• O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em (alfa)"α e é perpendicular a AB.

• O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a (alfa)"α.

Nessas condições, a medida do segmento cê dêCD é

a) 26 cm

b) 28 cm

c) 30 cm

d) 32 cm

e) 34 cm

alternativa a

31. (ESPM-SP) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm². Os segmentos CE e CF médemmedem 4 cm cada. Essa figura deverá sêrser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com quêque os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço. A distância dêêssedesse ponto P ao ponto A é igual a:

a) 6 cm

b) 5 cm

c) $\begin{array}{c}4\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

d) $\begin{array}{c}5\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

e) $\begin{array}{c}6\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

alternativa a

Página duzentos e oitenta e quatro284

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Arquitetura e Urbanismo

A Arquitetura é uma das áreas em quêque são feitos muitos projetos utilizando conceitos do desenho técnico. Para tornar-se arquiteto, é necessário realizar o curso de Arquitetura e Urbanismo. Mas você sabe o quêque faz um arquiteto? Leia o texto a seguir para conhecer um pouco mais a respeito dessa profissão.

O arquiteto-urbanista lida basicamente com o espaço, seja ele interno ou externo. Cabe a ele projetar, planejar, organizar e intervir em empreendimentos, áreas urbanas, restaurações do patrimônio histórico e arquitetura de interiores. É o profissional responsável por elaborar a planta e determinar os materiais quêque serão utilizados na obra, levando em conta funcionalidade, estética e conforto. Para isso, pensa no uso do imóvel, disposição dos ambientes e dos objetos, acústica, ventilação e iluminação.

Com uma formação técnica, humanista e com interfaces social e artística, o arquiteto-urbanista pódepode ir além da área de edificações. Respaldado pela legislação quêque regulamenta a profissão, o profissional pódepode buscar especialização em arquitetura paisagística, cenografia, conjuntos arquitetônicos e monumentos, projetos de interiores, planejamento físico, urbano e regional. Além díssudisso, pódepode trabalhar em planos de orientação do crescimento das cidades; projetos de habitação, de transportes, de saneamento; dêzê-nhôsdesenhos industriais e comunicação visual.

[…]

ARQUITETURA e urbanismo. Fortaleza: Portal da Universidade Federal do Ceará, c2024. Disponível em: https://livro.pw/gpqxa. Acesso em: 23 set. 2024.

Durante a execução de um projeto arquitetônico, o profissional precisa fazer diversos dêzê-nhôsdesenhos para quêque a obra sáiasaia como o planejado; para isso, são usadas as vistas e as projeções. Além da forma do edifício, sua intencionalidade também deve sêrser levada em conta. Nesse sentido, kestõesquestões como inovação e sustentabilidade podem nortear o projeto.

Página duzentos e oitenta e cinco285

Leia o texto a seguir, quêque mostra a visão do arquiteto quêque projetou o Museu do Amanhã, no Rio de Janeiro, exemplo de inovação e sustentabilidade.

[…]

“A ideia é quêque o edifício fosse o mais etéreo possível, quase flutuando sobre o mar, como um barco, um pássaro ou uma planta”, explica o autor do projeto, o arquiteto espanhol Santiago Calatrava […].

[…]

O edifício, em sua arquitetura e diretrizes de sustentabilidade, integra-se como parte do conteúdo do Museu do Amanhã, incentivando a discussão de temas como utilização da energia solar, novas formas da arquitetura moderna, relação com a paisagem da cidade e recuperação da Baía de Guanabara. “Um passeio ao redor do Museu é uma lição de sustentabilidade, de botânica, uma aula do quêque significa energia solar”, exemplifica Calatrava. […]

[…]

A ARQUITETURA de Santiago Calatrava. Rio de Janeiro: Museu do Amanhã, [202-]. Disponível em: https://livro.pw/rluse. Acesso em: 9 set. 2024.

• MUSEU do Amanhã: visitas virtuais. [S. l.]: gúgouGoogle Arts & Culture, [202-]. Disponível em: https://livro.pw/fiqpm. Acesso em: 9 set. 2024.

Por meio do sáitisite, é possível fazer Turstours virtuais pelo Museu do Amanhã, tanto para navegar pela parte externa do edifício e apreciar sua arquitetura como para visitar algumas exposições feitas no museu.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Você já tinha ouvido falar na profissão arquiteto? Na região onde você mora, existe alguma universidade quêque disponibilize esse curso de graduação? Pesquise a respeito do curso: qual é a duração dele, quantas vagas há, qual é o processo de ingresso etc.

Resposta pessoal.

2. Você conhece outras profissões quêque utilizem desenho técnico e projeções no seu dia a dia? Pesquise sobre o assunto e compartilhe os resultados com os demais côlégascolegas da turma.

2. Resposta pessoal. Resposta possível: Profissões como engenheiro e designer (de interiores, de embalagens, por exemplo).

3. Reúna-se a dois côlégascolegas, e escôlhamescolham um monumento ou um edifício quêque seja conhecido na sua cidade. Pesquisem quem foi o responsável pela concepção do projeto: foi um arquiteto? Ele tem outros projetos na cidade? Façam um vídeo para apresentar os resultados da pesquisa feita para o restante da turma.

Respostas pessoais.

4. Reúna-se a dois côlégascolegas, e escôlhamescolham um objeto para fazer a projeção ortogonal das vistas frontal, superior e lateral.

Resposta pessoal.

Página duzentos e oitenta e seis286

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Programando posições relativas de retas e de planos

Para quêque os computadores executem tarefas, é necessário quêque sêjamsejam programados para isso. Essa programação pódepode sêrser feita por meio de diversas linguagens e formas. Para esta atividade, vamos utilizar o Scratch, um software quêque pódepode sêrser usado ôn láinion-line, pelo línkilink https://livro.pw/kxboe (acesso em: 9 set. 2024), ou pódepode sêrser realizado o dáum-lôudedownload no computador e usado off-line.

O Scratch utiliza uma linguagem de programação em blocos. Basta identificar, à esquerda da tela, os comandos quêque se deseja executar e arrastar os blocos para a área de trabalho no centro da tela. Não se esqueça de garantir quêque seu bloco, isto é, sua sequência de comandos, seja coerente e atenda a seu objetivo. Antes de começar, lembre-se de alterar o idioma para o Português, clicando, consecutivamente, em Settings, Language e Português Brasileiro.

Nesta atividade, será explorada a posição relativa entre duas retas com base nas propriedades verificadas, isto é, será construído um programa quêque vai perguntar sobre uma série de propriedades envolvendo duas retas e, com base nas respostas fornecidas, retornará um resultado sobre a posição relativa entre essas retas.

Para construir esse programa, é preciso pensar em quais são as perguntas necessárias para determinar precisamente a posição relativa entre duas retas. Usaremos o fluxograma construído na página 262 para isso, acompanhando os passos a seguir.

I. Adicione, na área de trabalho, o bloco alaranjado, conforme imagem a seguir, quêque está na barra lateral na categoria Eventos. Esse bloco indica quêque, ao clicar na bandeira vêrdeverde no topo direito, ao lado da figura cor-de-rosa, o programa será executado.

II. Na categoria Sensores, arraste o bloco azul, conforme imagem a seguir, encaixe-o no bloco alaranjado e altere a pergunta para "As retas são coplanares? Responda sim ou não.".

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III. Se a resposta dada pelo usuário for diferente de "sim" ou "não", o programa pódepode interpretar as informações equivocadamente, apresentando um êrroerro ou chegando a uma conclusão incorrétaincorreta. Para quêque isso não aconteça, vamos garantir quêque as únicas respostas possíveis sêjamsejam "sim" ou "não", clicando em contrôleControle e arrastando o bloco "repita até que", também alaranjado, para o cóódigocódigo.

IV. Clique em Som e arraste o bloco roxo "toque o som", encaixando-o no bloco alaranjado "repita até que" anterior. Repita a pergunta, colocando um aviso de êrroerro no início da frase. Para isso, arraste um novo bloco de criação de pergunta e escrêevaescreva "Erro! Digite corretamente a resposta! As retas são coplanares? Responda sim ou não.", conforme a imagem a seguir.

V. É preciso restringir o programa para quêque não seja repetida a notificação de êrroerro e siga com o cóódigocódigo quando a resposta "sim" ou "não" for dada. Para fazer isso, adicione essa verificação no espaço vazio logo após "repita até que". Como há duas respostas possíveis, em Operadores, arraste o bloco vêrdeverde "ou", encaixando-o nesse espaço vazio, e, na sequência, arraste outros dois blocos vêrdeverdes com "= 50", encaixando-os no bloco verde "ou", conforme figura a seguir.

VI. Clique em Sensores, arraste o bloco azul "resposta", encaixando-o na primeira igualdade e substitua o "50" por "sim". Repita o processo para a segunda igualdade e troque o "50" por "não".

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VII. Agora quêque as respostas foram dadas, é necessário instruir o programa sobre o quêque fazer com elas. Se a resposta for "sim", é necessário perguntar se as retas têm um único ponto em comum. Para isso, em contrôleControle, arraste o bloco alaranjado "se <espaço> então" para o fim do bloco anterior e preencha esse espaço vazio com os blocos verde"= sim" e azul "resposta", conforme imagem a seguir.

VIII. Caso a resposta seja "não", as retas são reversas, e precisamos notificar o usuário sobre isso. Para isso, clique em Sensores, arraste o bloco azul "pergunte e espere", encaixando-o ao bloco alaranjado "senão" e digite "As retas são REVERSAS. Pressione Enter para encerrar o programa.", conforme imagem a seguir.

IX. Com isso, finalizamos a primeira pergunta a sêrser feita para descobrir a posição relativa entre duas retas. Para fazer as demais perguntas, a estrutura é muito parecida com a da primeira. Assim, repita o quêque foi criado até aqui. Vá até a primeira pergunta, clique com o botão direito, selecione Duplicar e arraste o bloco copiado para dentro do "se". Troque as perguntas para "As retas têm apenas um ponto em comum? Responda sim ou não.". Não se esqueça de trocar a pergunta na mensagem de êrroerro também.

Se a resposta for "sim", a conclusão é de quêque as retas são concorrentes. Para notificar essa resposta ao usuário, mova o bloco copiado do "senão" para o "se" e altere o texto para "As retas são CONCORRENTES. Pressione Enter para encerrar o programa.".

Para o caso em quêque a resposta seja "não", precisamos perguntar se as retas têm todos os pontos em comum. Para isso, repita os passos anteriores para copiar o bloco da pergunta e altere as perguntas e respostas correspondentes.

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X. O programa final ficará assim:

XI. Pressione a bandeira vêrdeverde e teste as perguntas quêque aparecerão na tela da direita. essperimênteExperimente dar respostas erradas também, para observar as mensagens de êrroerro.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Crie um programa para determinar a posição relativa entre uma reta e um plano.

2. Crie um cóódigocódigo quêque diga qual é a posição relativa entre dois planos considerados.

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ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. Analise as afirmações a seguir e indique qual delas é falsa.

a) Três pontos distintos de uma circunferência definem um plano.

b) O centro e os extremos de um diâmetro de uma circunferência não definem um plano.

c) Dois diâmetros distintos de uma circunferência definem um plano.

d) Se dois pontos de uma circunferência pertencem a um plano, então a circunferência está contida nesse plano.

e) Dadas uma reta e uma circunferência em um mesmo plano, as quais não se intersectam, há somente uma reta paralela à reta dada quêque passa pelo centro da circunferência.

alternativa d

2. (Vunesp-SP) Considere o cubo da figura. Das alternativas abaixo, aquela correspondente a pares de vértices quêque determinam três retas, duas a duas reversas, é:

a) (A, D), (C, G), (E, H)

b) (A, E), (H, G), (B, F)

c) (A, H), (C, F), (F, H)

d) (A, E), (B, C), (D, H)

e) (A, D), (C, G), (E, F)

alternativa e

3. (UERN) Seja um plano (alfa)"α e uma reta s secante a (alfa)"α. Para qualquer reta r contida em (alfa)"α, é correto afirmar:

a) r e s podem sêrser paralelas, apenas.

b) r e s podem sêrser reversas, apenas.

c) r e s podem sêrser concorrentes, apenas.

d) r e s podem sêrser paralelas ou reversas.

e) r e s podem sêrser reversas ou concorrentes.

alternativa e

4. (FURRN) Um plano é determinado por:

a) uma única reta.

b) duas retas quaisquer.

c) três pontos quaisquer.

d) uma reta e um ponto não pertencente a ela.

e) uma reta e um ponto a ela pertencente.

alternativa d

5. (Vunesp-SP) Entre todas as retas suportes das arestas de um cértocerto cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a perpendicular comum a r e a s. Então:

a) t é a reta suporte de uma das diagonais de uma das faces do cubo.

b) t é a reta suporte de uma das diagonais do cubo.

c) t é a reta suporte de uma das arestas do cubo.

d) t é a reta quêque passa pêlospelos pontos médios das arestas contidas em r e s.

e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos médios.

alternativa c

6. (Enem/MEC) O acesso entre dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D e E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D.

A figura quêque melhor representa a projeção ortogonal sobre o piso da casa (plano) do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa c

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7. (UFAM) Assinale a alternativa CORRETA:

a) Dois planos quêque possuem três pontos em comum são coincidentes.

b) Se dois planos (alfa)"α e (beta)"β são perpendiculares ao plano (gama)"γ, então os planos (alfa)"α e (beta)"β são paralelos.

c) Existem dois planos distintos, passando ambos por um mesmo ponto e perpendiculares a uma reta.

d) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.

e) Toda reta paralela a um plano é perpendicular a infinitas retas dêêssedesse plano.

alternativa d

8. (UFAL) Sejam (alfa)"α e (beta)"β dois planos perpendiculares entre si. A reta r é perpendicular ao plano (alfa)"α e a reta s é perpendicular ao plano (beta)"β.

Nessas condições:

a) a reta r não pódepode ter pontos em comum com o plano (beta)"β.

b) as retas r e s são concorrentes.

c) as retas r e s podem sêrser reversas.

d) a reta s está contida em um plano perpendicular a (alfa)"α.

e) as retas r e s são paralelas entre si.

alternativa c

9. (Enem/MEC) A figura representa o glôboglobo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfícíesuperfície do glôboglobo, passando por B, d fórmade forma quêque o trecho de A até B se dê sobre o paralelo quêque passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano quêque passa por B e C. Considere quêque o plano (alfa)"α é paralelo à linha do equador na figura.

A projeção ortogonal, no plano a, do caminho traçado no glôboglobo pódepode sêrser representada por

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

10. (Enem/MEC) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, quêque é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.

Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira quêque o espaçamento entre lêtrasletras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir.

Ao meio-dia, com o sólsol a pino, as lêtrasletras quêque formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.

A sombra projetada no solo é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

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11. (Enem/MEC) No desenho técnico, é comum representar um sólido por meio de três vistas (frontal, perfil e superior), resultado da projeção do sólido em três planos, perpendiculares dois a dois.

A figura representa as vistas de uma torre.

Com base nas vistas fornecidas, qual figura melhor representa essa torre?

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

12. (Enem/MEC) Uma formiga move-se sobre um castiçal de vidro transparente, do ponto A para B em linha reta, percórrepercorre o arco circular BCD, sêndosendo C localizado na parte da frente do castiçal, e desce o arco DE, como representado na figura.

Os pontos A, B, D e E estão sobre um mesmo plano perpendicular à mesa sobre a qual se encontra o castiçal. A projeção ortogonal, sobre o plano da mesa, do trajeto percorrido pela formiga, do ponto A até o ponto E, é melhor representada por

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa c

13. (Enem/MEC) Em um jôgojogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano da base. O usuário pódepode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicioná-lo convenientemente no plano horizontal. Um dêêssesdesses objetos é formado pela justaposição de quatro cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura.

Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projétaprojeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadriculados perpendiculares entre si, durante sua descida.

A figura quêque apresenta uma possível posição dêêssedesse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

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14. (Enem/MEC) A Figura 1 apresenta uma casa e a planta do seu telhado, em quêque as setas indicam o sentido do escoamento da á guaágua de chuva. Um pedreiro precisa fazer a planta do escoamento da á guaágua de chuva de um telhado quêque tem três caídas de á guaágua, como apresentado na Figura 2.