CAPÍTULO 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA

“Corre, quêque agora o preêçopreço baixou!”, “30%, 40% e 50% de desconto em toda a loja!”, “Aproveite a Black Friday!”.

É bem provável quêque você já tenha se deparado com frases como essas em propagandas de televisão, na internet ou até mesmo em vitrines de lojas, pois o comércio tenta, constantemente, atrair consumidores por meio de promoções, ofertas e diferentes formas de pagamento.

Atualmente, uma data quêque se destaca pêlospelos seus descontos é a da Black Friday, um evento mundial quêque ocorre, geralmente, na última sexta-feira de novembro, em quêque os preços de diversos produtos diminuem, sobretudo eletrônicos e elétro domésticoseletrodomésticos. Os valores oferecidos na Black Friday têm como base os preços dos produtos durante todo o ano, considerando taxas e impostos.

Os consumidores, porém, devem ficar atentos às supostas promoções, pois algumas lojas podem agir d fórmade forma desonesta e, às vezes, ilícita. Além díssudisso, eles precisam acompanhar, ao longo do ano, o histórico de preços dos produtos quêque pretendem comprar na temporada da Black Friday, pois assim garantem a aquisição da mercadoria por um valor realmente menor. Alguns estabelecimentos praticam a manobra de aumentar os preços de seus produtos alguns dias ou semanas antes dêêssedesse evento e aplicam descontos atrativos, quando, na verdade, estão vendendo pelo preêçopreço original.

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Introdução

Muitas situações do nosso cotidiano envolvem Matemática financeira: compras de produtos à vista ou a prazo, aplicações financeiras, assim como negociações diversas quêque envolvam financiamentos, pagamento de dívidas, preêçopreço de aluguel, reajuste de salário, entre outras. Conhecer os conceitos relacionados a situações como essas nos ajuda a analisar se determinada proposta é vantajosa ou não.

Porcentagem

No Ensino Fundamental, você estudou porcentagem. Vamos retomar esse assunto para aplicá-lo, com outros conceitos, em situações quêque acompanharemos mais adiante.

Porcentagem é uma razão entre um número real x e 100, quêque é indicada por x%. Para efetuar operações, utilizamos representações fracionárias ou decimais.

Exemplos:

a) 60% = $\frac{60}{100}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ = 0,6
60% → Lê-se: sessenta por cento.

b) 28% = $\frac{28}{100}=\frac{7}{25}$ = 0,28

c) 0,12 = $\frac{12}{100}=\frac{3}{25}$ = 12%

d) 1,25 = $\frac{125}{100}=\frac{5}{4}$ = 125%

A expressão"por cento" vêmvem do latim pêrper centum, quêque significa"dividido por cem". Quando utilizamos o sufixo agem, indicamos quêque se trata de um substantivo.

Observe quêque $\frac{x}{100}$ também quer dizêrdizer quêque, em cada grupo de 100 objetos, estamos considerando x dêêssesdesses objetos.

Agora, vamos considerar a situação a seguir.

Para acessar

• ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A ALIMENTAÇÃO E A AGRICULTURA. Jovens podem garantir futuro sustentável da agricultura. [S. I.]: FAO, 21 out. 2017. Disponível em: https://livro.pw/xnuoa. Acesso em: 3 maio 2025.
Nesse texto, você encontra informações demográficas e econômicas sobre como a presença cada vez menor de jovens no campo pódepode comprometer a agricultura familiar e a segurança alimentar no mundo

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Para responder à pergunta, vamos chamar o total de estabelecimentos agropecuários de n. Assim, temos:

77% de n é igual a 3,9 milhões → $\frac{77}{100}$⋅ n = 3,9 milhões ⇒ 0,77 ⋅ n = 3,9 milhões ⇒ n = $\frac{\mathrm{3,9}}{\mathrm{0,77}}$ milhões ⇒ n ≃ 5,1 milhões

Portanto, havia aproximadamente 5,1 milhões de estabelecimentos agropecuários no Brasil em 2017.

Aumentos e descontos

Um smartphone custa R$ 1.000,00 em determinada loja.

Se o cliente optar pelo pagamento à vista, a loja concede um desconto de 5% sobre esse valor.

Para calcular o preêçopreço do smartphone à vista, precisamos determinar 5% de R$ 1.000,00 e subtrair de R$ 1.000,00 o valor, em reais, do desconto calculado.

5% de R$ 1.000,00 → 0,05 ⋅ 1.000 = 50, ou seja, R$ 50,00

R$ 1.000,00 − R$ 50,00 = R$ 950,00

Portanto, o preêçopreço do smartphone à vista com o desconto é R$ 950,00.

Também podemos calcular diretamente o valor, da seguinte maneira:

1.000 − 0,05 ⋅ 1.000 = 1.000 ⋅ (1 − 0,05) = 1.000 ⋅ 0,95 = 950

Agora, considere quêque essa mesma loja, na semana seguinte, aplicou um aumento de 3% em todos os produtos. Para determinarmos o valor do smartphone após esse reajuste, precisamos calcular 3% de R$ 1.000,00 e adicionar a R$ 1.000,00 o valor, em reais, do aumento calculado.

3% de R$ 1.000,00 → 0,03 ⋅ 1.000 = 30, ou seja, R$ 30,00

R$ 1.000,00 + R$ 30,00 = R$ 1.030,00

Portanto, o preêçopreço do celular após o aumento é R$ 1.030,00.

Também podemos calcular diretamente o valor, da seguinte maneira:

1.000 + 0,03 ⋅ 1.000 = 1.000 ⋅ (1 + 0,03) = 1.000 ⋅ 1,03 = 1.030

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Aumentos e descontos sucessivos

Considere, agora, a situação a seguir.

Para responder à pergunta, vamos calcular um único aumento de 20% sobre o preêçopreço de um produto e calcular aumentos sucessivos de 8% e 12% sobre esse preêçopreço, em seguida, vamos comparar os resultados obtidos. Suponhamos quêque o preêçopreço inicial do produto seja R$ 500,00.

I. Aplicando um único aumento de 20% sobre o preêçopreço do produto, temos:

(1 + 0,2) ⋅ 500 = 1,2 ⋅ 500 = 600

Considerando um único aumento de 20%, obtemos R$ 600,00.

II. Aplicando os aumentos sucessivos, temos:

• preêçoPreço do produto após o primeiro aumento (reajuste em março):

(1 + 0,08) ⋅ 500 = 1,08 ⋅ 500 = 540, ou seja, R$ 540,00

• preêçoPreço do produto após o segundo aumento (reajuste em abril):

(1 + 0,12) ⋅ 540 = 1,12 ⋅ 540 = 604,80

Portanto, o preêçopreço do produto após os dois aumentos será R$ 604,80.

Observe quêque os valores obtidos nas verificações I e II não são iguais. Isso nos permite exemplificar quêque aumentos percentuais sucessivos não equivalem a um único aumento representado pela soma das porcentagens correspondentes. Analogamente, podemos verificar o mesmo para descontos, ou seja, descontos percentuais sucessivos não equivalem a um único desconto percentual representado pela soma das porcentagens correspondentes.

Vamos avançar nessa análise. De acôr-doacordo com os cálculos anteriores, sabemos quêque 540 = 1,08 ⋅ 500, então:

1,12 ⋅ 540 = 1,12 ⋅ $\underset{540}{\underbrace{\mathrm{1,08}\cdot 500}}$ = 604,80

Assim, para calcular o preêçopreço do produto após os dois aumentos sucessivos, podemos calcular:

(1 + 0,12) ⋅ (1 + 0,08) ⋅ 500 = 1,12 ⋅ 1,08 ⋅ 500 = 1,2096 ⋅ 500 = 604,80

O produto destacado anteriormente indica um aumento correspondente a um percentual acumulado de 20,96%. Assim, aplicar um aumento de 8% sucedido por um aumento de 12% é o mesmo quêque aplicar um aumento único de 20,96%.

Saiba quêque...

Para facilitar alguns cálculos, podemos utilizar a calculadora. Observe uma maneira de realizar o cálculo referente à taxa acumulada de aumento apresentada anteriormente:

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Lucro e prejuízo

Nas transações comerciais e financeiras, é comum o uso de termos como custo, quêque corresponde aos gastos envolvidos na produção de um produto e a outras despesas, e receita ou preêçopreço, quêque é o valor arrecadado com a venda de um produto.

Quando calculamos a diferença entre a receita e o custo de um produto, temos duas situações:

• se o valor obtídoobtido for um número positivo, dizemos quêque a transação gerou lucro;

• se o valor obtídoobtido for um número negativo, dizemos quêque a transação gerou prejuízo.

É usual o uso das expressões “preço de custo” (C) para nos referirmos aos custos e “preço de venda” (V) para nos referirmos às receitas. Assim, podemos escrever a seguinte relação para expressar o lucro (L):

O lucro também pódepode sêrser expresso como um percentual em relação ao preêçopreço de custo ou ao preêçopreço de venda. Por exemplo: uma mercadoria cujo preêçopreço de custo é R$ 280,00 foi vendida por R$ 320,00, gerando um lucro de R$ 40,00. Assim:

• o percentual de lucro sobre o preêçopreço de custo é: $\frac{L}{C}=\frac{40}{280}=\frac{1}{7}$ ≃ 0,143 ≃ 14,3%

• o percentual de lucro sobre o preêçopreço de venda é: $\frac{L}{V}=\frac{40}{320}=\frac{1}{8}$ = 0,125 = 12,5%

Para acessar

• BANCO CENTRAL DO BRASIL. Museu de Valores. Brasília, DF: BCB, [2024]. Tour virtual. Disponível em: https://livro.pw/kxyde. Acesso em: 25 set. 2024.

Por meio do línkilink, você pódepode fazer uma visita virtual ao Museu de Valores do Banco Central, explorando a história econômica do Brasil e descobrindo curiosidades sobre o dinheiro.

Se julgar conveniente, pode-se propor aos estudantes quêque pesquisem se há algum museu como esse ou algum tipo de exposição sobre o tema na região em quêque moram e, se possível, quêque visitem presencialmente esse museu ou exposição e compartilhem a experiência com a turma.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Um vestido quêque custa R$ 540,00 tem desconto de 20% se comprado à vista. Qual é o preêçopreço à vista do vestido?

Resolução

Para determinar o preêçopreço do vestido à vista, podemos multiplicar o valor inicial por $\left(1-\frac{p}{100}\right)$:

540 ⋅ (1 − 0,2) = 540 ⋅ 0,8 = 432

Portanto, o preêçopreço do vestido à vista é R$ 432,00.

2. Edgar teve um aumento salarial de 10% e passou a receber R$ 1.650,00. Qual era o salário de Edgar antes do reajuste?

Resolução

Para determinar o salário antes do reajuste, podemos dividir o novo salário por $\left(1+\frac{p}{100}\right)$:

$\frac{1650}{\left(1+\mathrm{0,1}\right)}=\frac{1650}{\mathrm{1,1}}$ = 1.500

Logo, o salário de Edgar antes do reajuste era R$ 1.500,00.

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3. A população atual de uma cidade é aproximadamente 50.000 habitantes. Sabendo quêque essa população cresce 10% ao ano, qual será a população dessa cidade daqui a três anos?

Resolução

Considerando 50.000 habitantes a população inicial, vamos aplicar três aumentos sucessivos de 10%:

(1 + 0,10) ⋅ (1 + 0,10) ⋅ (1 + 0,10) ⋅ 50.000 = 1,331 ⋅ 50.000 = 66.550

Portanto, em três anos, a população dessa cidade será, aproximadamente, 66.550 habitantes.

4. Sobre o valor de uma mercadoria foram aplicados dois descontos sucessivos, um de 10% e outro de 12%. Calcule o percentual acumulado de descontos correspondente a esses dois descontos sucessivos.

Resolução

Representando o preêçopreço inicial da mercadoria por x e aplicando os dois descontos sucessivos, temos:

(1 − 0,1) ⋅ (1 − 0,12) ⋅ x = 0,9 ⋅ 0,88 ⋅ x =0,792x ou 79,2% de x

Como o valor inicial representa 100%, podemos concluir quêque o desconto equivalente é: 100% − 79,2% = 20,8%

5. Um produto cujo preêçopreço de custo é R$ 420,00 é vendido com um lucro de 30% sobre o preêçopreço de venda. Qual é o preêçopreço de venda dêêssedesse produto?

Resolução

Considerando C o preêçopreço de custo, L o lucro e V o preêçopreço de venda, temos:

L = V − C. I

Do enunciado, temos:

$\frac{L}{V}$ = 30% ⇒ $\frac{L}{V}$= 0,30 ⇒ L = 0,30V II

Substituindo II em I, obtemos:

0,30V = V − C ⇒ C = V − 0,30V ⇒ C = 0,70V

Substituindo C = 420, determinamos V:

420 = 0,70V ⇒ V = 600

Portanto, o preêçopreço de venda é R$ 600,00.

6. Um produto cujo preêçopreço de custo era R$ 800,00 foi vendido por R$ 980,00. Qual foi o percentual de lucro sobre o preêçopreço de custo?

Resolução

Sendo L o lucro, C o preêçopreço de custo e V o preêçopreço de venda, temos:

L = V − C ⇒ L = 980 − 800 ⇒ L = 180

Logo, o lucro foi R$ 180,00.

Assim, temos:

$\frac{L}{C}=\frac{180}{800}$= 0,225 = 22,5%

Portanto, o percentual de lucro sobre o preêçopreço de custo foi 22,5%.

7. Um comerciante, para promover as vendas de brinquedos de sua loja, divulgou a seguinte propaganda:

Esse comerciante sabe quêque, após o desconto, cértocerto brinquedo deve sêrser vendido por R$ 54,00 para não ter prejuízo. Determine qual deve sêrser o preêçopreço mínimo do anúncio dêêssedesse produto nessa promoção.

Resolução

Seja x o preêçopreço mínimo do anúncio dêêssedesse brinquedo, após um desconto de 10%, o seu valor de venda deve resultar em R$ 54,00, então:

x ⋅ (1 − 0,1) = 54 ⇒ x ⋅ 0,9 = 54 ⇒ x = $\frac{54}{\mathrm{0,9}}$ ⇒ x = 60

Portanto, o preêçopreço mínimo do anúncio do brinquedo deve sêrser R$ 60,00.

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ATIVIDADES

1. Copie o qüadroquadro a seguir no caderno e complete-o com os valores quêque estão faltando.

2. Calcule.

a) 14% de 3.000

420

b) 9% de 250

22,5

c) 0,6% de 300

1,8

d) 24% de 1.000

240

3. A população de uma cidade, com cerca de 90.000 habitantes, cresce anualmente 2,5%. Quantos habitantes essa cidade terá:

a) ao fim de 1 ano?

3. a) aproximadamente 92.250 habitantes

b) ao fim de 2 anos?

3. b) aproximadamente 94.556 habitantes

4. (ESPM-SP) Deseja-se obtêrobter cópia reduzida de um documento. A fotocopiadora opera reduzindo proporcionalmente as dimensões do documento original. Sabendo-se quêque, para cópias comuns, o equipamento indica em seu visor: “Dimensão = 100%”, qual deverá sêrser o valor digitado no painel de comandos, para quêque a área do documento reduzido seja igual a um quarto de área do documento original?

50%

5. (UFPE) Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Ciências Sociais. Dentre estes candidatos, 20% optaram pelo curso de Administração. Indique a percentagem, relativa ao total de candidatos, dos quêque optaram por Administração.

6%

6. Uma mercadoria tem seu preêçopreço reajustado anualmente com um acréscimo de 5%. Supondo quêque o preêçopreço atual seja R$ 200,00, qual será o preêçopreço dessa mercadoria daqui a 3 anos?

aproximadamente R$ 231,52

7. (UFV-MG) A viação No Leito do Asfalto faz a linha entre duas cidades quêque distam 800 km uma da outra. Por questão de segurança, foram determinadas duas paradas obrigatórias para o revezamento dos motoristas. O primeiro trecho da viagem corresponde a 40% de todo o trajeto e o segundo trecho, a 55% do restante. Calcule:

a) A distância quêque é percorrida no primeiro trecho da viagem.

320 km

b) A distância quêque é percorrida no segundo trecho da viagem.

264 km

c) O tempo de percurso do terceiro trecho, caso o motorista mantenha uma velocidade média de 90 km/h.

2,4h ou 2h24min

8. (Enem/MEC) Em janeiro do ano passado, a direção de uma fábrica abriu uma creche para os filhos de seus funcionários, com 10 salas, cada uma com capacidade para atender 10 crianças a cada ano. As vagas são sorteadas entre os filhos dos funcionários inscritos, enquanto os não contemplados pelo sorteio formam uma lista de espera. No ano passado, a lista de espera teve 400 nomes e, neste ano, esse número cresceu 10%.

A direção da fábrica realizou uma pesquisa e constatou quêque a lista de espera para o próximo ano terá a mesma quantidade de nomes da lista de espera dêstedeste ano. Decidiu, então, construir, ao longo dêêssedesse ano, novas salas para a creche, também com capacidade de atendimento para 10 crianças cada, de modo quêque o número de nomes na lista de espera no próximo ano seja 25% menor quêque o dêstedeste ano. O número mínimo de salas quêque deverão sêrser construídas é

a) 10.

b) 11.

c) 13.

d) 30.

e) 33.

alternativa b

9. Em uma loja, um aparelho de ar-condicionado custa R$ 8.000,00 à vista.

Vendido a prazo, o valor dêêssedesse aparelho sofre um acréscimo de 8%, e o total é dividido em duas prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

R$ 4.320,00

10. (UFPel-RS) Uma raquete custa na loja A R$ 15,00 mais caro quêque na loja B. O proprietário da loja A, percebendo a diferença, lança uma promoção oferecendo desconto de 10% para quêque o preêçopreço de sua mercadoria se torne o mesmo preêçopreço da loja B. Quanto custa a raquete na loja B?

R$ 135,00

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11. (FGV-SP) Uma mercadoria, cujo preêçopreço de tabélatabela é R$ 8.000,00, é vendida à vista com desconto de x%, ou em duas parcelas iguais de R$ 4.000,00, sêndosendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra. Suponha quêque o comprador dispõe do dinheiro necessário para pagar à vista e quêque ele sabe quêque a diferença entre o preêçopreço à vista e a primeira parcela pódepode sêrser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês. Nessas condições:

a) se x = 15, será vantajosa para ele a compra a prazo? Explique.

não

b) Qual é o valor de x quêque torna indiferente comprar à vista ou a prazo? Explique.

x = 10

12. (hú éfe pê érreUFPR) Numa loja de automóveis usados, a comissão paga a cada um dos vendedores consiste num percentual sobre o total de vendas do vendedor mais um bônus por meta atingida, conforme a tabélatabela abaixo:

a) Qual é a comissão paga a um vendedor quêque consegue vender R$ 120.000,00 em um mês?

R$ 1.800,00

b) Quanto um vendedor precisará vender em um mês para receber uma comissão de R$ 3.900,00?

R$ 250.000,00

c) Um dos vendedores apresentou uma reclamação ao gerente da loja porque havia recebido R$ 1.000,00 de comissão. Explique por quêpor que esse valor está errado.

12. c) Uma resposta possível: Porque o valor mássimomáximo de comissão correspondente à primeira faixa do total de vendas é R$ 640,00, e o valor mínimo de comissão correspondente à segunda faixa é R$ 1.400,00.

13. Uma mercadoria teve seu preêçopreço reajustado em 18%. A pedido de um cliente, foi dado um desconto de 5% sobre o novo preêçopreço, passando a mercadoria a custar R$ 302,50 a mais quêque seu preêçopreço inicial. Qual era o preêçopreço inicial dessa mercadoria?

R$ 2.500,00

14. Amélia fixou em 18% o lucro sobre o preêçopreço de custo de uma mercadoria quêque comprou para revender. Sabendo quêque o custo dessa mercadoria foi R$ 250,00, por quanto deverá sêrser revendida?

R$ 295,00

15. Certa mercadoria foi comprada por R$ 860,00. Por quanto deve sêrser revendida para quêque o lucro seja de 20% sobre o preêçopreço de custo?

R$ 1.032,00

16. Um comerciante comprou dez sacas de batatas por R$ 210,00. Por quanto ele deve revender cada saca para obtêrobter um lucro de 20% sobre o preêçopreço de venda?

R$ 26,25

17. (PUCCamp-SP) O preêçopreço pedido pêlospelos 18 volumes da enciclopédia Tesouro da Juventude em um sebo é uma verdadeira “pechincha”. Com os 17% de desconto já embutidos no preêçopreço, a enciclopédia toda pódepode sêrser comprada por R$ 478,08. Supondo quêque cada volume tenha o mesmo preêçopreço, conclui-se quêque o preêçopreço quêque o sebo anunciou, por volume, antes do desconto, era de

a) R$ 28,00.

b) R$ 26,00.

c) R$ 38,00.

d) R$ 36,00.

e) R$ 32,00.

alternativa e

18. O preêçopreço de um produto em uma loja é R$ 39,00. O dono da loja, mesmo pagando um imposto de 20% sobre o preêçopreço de venda, obtém lucro de 30% sobre o preêçopreço de custo. Qual é o preêçopreço de custo dêêssedesse produto?

R$ 24,00

19. Qual é o preêçopreço de custo de um produto vendido por R$ 240,00 em cuja transação o comerciante teve um lucro de 20% sobre a venda?

R$ 192,00

20. (Vunesp-SP) A diferença entre o preêçopreço de venda anunciado de uma mercadoria e o preêçopreço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre o preêçopreço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerciante. Determine seu preêçopreço de custo.

R$ 6.000,00

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Juros

No Brasil, existem duas modalidades de compra: com pagamento à vista e com pagamento a prazo. Resumindo, a compra à vista significa quêque o valor total da mercadoria ou do serviço é pago no momento da compra; já a compra a prazo significa quêque o valor total não é pago no ato da compra, é parcelado em prestações ou pago integralmente após um tempo.

A compra a prazo pódepode vir acompanhada de juro, de modo quêque o valor a sêrser pago ao final pódepode sêrser maior do quêque o valor à vista.

Acompanhe a situação a seguir.

Ao fazer essa compra, Bruno assumiu o compromisso de pagar um valor adicional chamado de juro, quêque corresponde a uma porcentagem do preêçopreço à vista e depende do prazo para pagamento.

Observe, por exemplo, uma maneira de calcular o valor adicional quêque Bruno vai pagar na compra da geladeira. pôdêmosPodemos usar uma calculadora para fazer esse cálculo.

Ou seja, a loja cobrou R$ 116,00 de juros na venda dessa geladeira a prazo.

Além da palavra juro, os termos apresentados a seguir são muito freqüentesfrequentes no estudo de Matemática financeira.

• Capital (C): quantia monetária investida ou disponível para investimento também denominada valor presente ou principal.

• Taxa de juros (i): taxa percentual quêque se paga ou se recebe pela compensação da aplicação de um capital. Essa taxa deve vir acompanhada da unidade de tempo a quêque se refere. Exemplo: 5% ao dia, quêque pódepode sêrser escrita como 5% a.d.; 2% ao mês ou 2% a.m.; 8% ao ano ou 8% a.a.

• Tempo (t): período quêque decorre desde o início até o fim de uma operação financeira.

• Montante (M): investimento rentabilizado, ou seja, é o capital acrescido dos juros acumulados em determinado período (capital + juros). Também é denominado valor futuro.

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Assim, o juro (J) é o valor obtídoobtido ao se aplicar uma taxa percentual (i) sobre um capital (C) em determinado período de tempo (t).

É importante observar quêque, se a taxa i for mensal, o tempo t deverá sêrser expresso em meses. Se i for uma taxa anual, t deverá sêrser expresso em anos.

Saiba quêque...

Nas operações financeiras, o tempo pódepode sêrser classificado em:

• exato: usa o ano civil de 365 ou 366 (ano bissexto) dias, em quêque os dias dos meses são contados pelo calendário (28, 29, 30 ou 31 dias).

• comercial: usa o ano comercial, no qual o mês tem sempre 30 dias, e o ano, 360 dias.

Neste Capítulo, caso não esteja indicado, vamos considerar o tempo comercial.

Juro simples

Nos tempos atuáisatuais, raramente é adotado o regime de juro simples em transações. Quando utilizado, ele é praticado em operações de curtíssimos prazos, como cálculos de multas por atraso de pagamento, por exemplo, de faturas.

Suponha, por exemplo, quêque uma quantia de R$ 2.000,00 tenha sido aplicada a juro simples, segundo uma taxa de 4,5% ao mês, durante 3 meses. Para obtêrobter o valor correspondente aos juros nesse período, calculamos:

juros = $\underset{\text{juros do}{1}^{\circ }\text{mês}}{\underbrace{\mathrm{4,5}\mathrm{\%}\mathrm{}\text{de}2000}}$ + $\underset{\text{juros do}{2}^{\circ }\text{mês}}{\underbrace{\mathrm{4,5}\mathrm{\%}\mathrm{}\text{de}2000}}$ + $\underset{\text{juros do}{3}^{\circ }\text{mês}}{\underbrace{\mathrm{4,5}\mathrm{\%}\mathrm{}\text{de}2000}}$

juros = 0,045 ⋅ 2.000 + 0,045 ⋅ 2.000 + 0,045 ⋅ 2.000

juros = (2.000 ⋅ 0,045) ⋅ 3 = 270

Portanto, nesse período, o capital de R$ 2.000,00 gerou R$ 270,00 de juros.

Como o juro simples (J) é diretamente proporcional ao capital (C), à taxa de juros (i) e ao tempo (t), podemos usar a seguinte relação:

Para determinar o montante, ou valor total obtídoobtido pela aplicação, adicionamos o juro ao capital, ou seja, utilizamos a relação:

M = C + J ou M = C + C ⋅ i ⋅ t ou M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)

Aplicando essas relações à situação anterior, temos:

J = C ⋅ i ⋅ t

J = 2.000 ⋅ 0,045 ⋅ 3 = 270

Logo, M = C + J, ou seja, M = 2.000 + 270 = 2.270.

Portanto, ao final da aplicação, o montante será R$ 2.270,00.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

8. Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% a.m. durante 5 meses no regime de juro simples.

a) Quanto receberá de juros ao final dêêssedesse período?

b) Que montante terá ao final dessa aplicação?

Resolução

a) Sendo C = 3.000, i = 2% = 0,02 e t = 5, temos:

J = 3.000 ⋅ 0,02 ⋅ 5 ⇒ J = 300

Portanto, a pessoa receberá R$ 300,00 de juros.

b) O montante é a soma do capital com os juros:

M = 3.000 + 300 ⇒ M = 3.300

Logo, o montante será R$ 3.300,00.

9. (Unimontes-MG) A quêque taxa mensal de juros simples um capital de R$ 500,00, aplicado durante 10 meses, produz R$ 150,00 de juros?

Resolução

Seja i a taxa mensal de juro simples dessa aplicação. Pelo enunciado, temos:

• juro J obtídoobtido na aplicação: R$ 150,00;

• capital C aplicado: R$ 500,00;

• tempo t de aplicação: 10 meses.

Substituindo esses valores em J = C ⋅ i ⋅ t, obtemos:

150 = 500 ⋅ i ⋅ 10 ⇒ 150 = 5.000 ⋅ i ⇒ i = $\frac{150}{5000}$⇒ i = 0,03 ⇒ i = 3%

Portanto, a taxa i mensal de juros simples deve sêrser 3%.

ATIVIDADES

21. (UEA-AM) Ronaldo fez um empréstimo de R$ 1.000,00. Ao final do primeiro mês, foram aplicados juros de 10% sobre o valor da dívida, e ele fez um pagamento de R$ 300,00. Ao final do segundo mês, foram aplicados juros de 10% sobre o saldo da dívida, e ele fez um pagamento de R$ 500,00. Ao final do terceiro mês, foram aplicados juros de 10% sobre o saldo da dívida, e ele fez um pagamento para quitá-la. O valor do último pagamento feito por Ronaldo foi de

a) R$ 418,00.

b) R$ 309,00.

c) R$ 500,00.

d) R$ 531,00.

e) R$ 200,00.

alternativa a

22. (ITA-SP) Uma loja oferece um computador e uma impressora por R$ 3.000,00 à vista ou por 20% do valor à vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.760,00 após 5 meses. Qual é a taxa de juro simples cobrada?

3% a.m.

23. Qual é o juro simples quêque um capital de R$ 7.000,00 rende quando aplicado:

a) durante 4 meses, a uma taxa de 2,5% a.m.?

R$ 700,00

b) durante 1 ano, a uma taxa de 3% a.m.?

R$ 2.520,00

c) durante 3 meses, a uma taxa de 0,15% a.d.?

R$ 945,00

24. (Ufop-MG) José deposita mensalmente em um fundo, a partir de 1º de janeiro, a quantia de 200 reais, a juros simples de 1,5% ao mês. Calcule o seu montante no fim de um ano, para um total de 12 depósitos.

R$ 2.634,00

25. Calcule o juro simples quêque um capital de R$ 1.800,00 rende à taxa de 2,7% a.m., quando aplicado durante 2 meses.

R$ 97,20

26. Calcule o capital quêque se deve empregar à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obtêrobter

R$ 6.000,00 de juros em 4 meses.

R$ 25.000,00

27. Determine o montante obtídoobtido na aplicação de um capital de R$ 12.000,00, à taxa de 1,5% ao mês, a juro simples, pelo prazo de 9 meses.

R$ 13.620,00

28. Um capital de R$ 8.000,00, aplicado durante 6 meses, resulta em um montante de

R$ 9.200,00. Determine a taxa mensal de juro simples dessa aplicação.

2,5% a.m.

Página vinte e dois22

Juro compôztocomposto

A maioria das operações financeiras, como compras a médio e a longo prazo, compras com cartão de crédito, aplicações financeiras, empréstimos bancários, entre outras, utiliza o regime de juro compôztocomposto, também conhecido como juro sobre juro.

Acompanhe a situação a seguir.

No regime de juro compôztocomposto, devemos considerar o juro calculado em cada período e adicioná-lo ao capital anterior para constituir um novo capital, sobre o qual será calculado o juro do período posterior. Nesse exemplo, temos o seguinte:

• Cálculo do juro obtídoobtido no 1º mês:

0,8% de 800 = 0,008 ⋅ 800 = 6,40

800 + 6,40 = 806,40 (montante do 1º mês)

Ao final do 1º mês, Mariana terá R$ 806,40.

• Cálculo do juro obtídoobtido no 2º mês:

0,8% de 806,40 = 0,008 ⋅ 806,40 ≃ 6,45

806,40 + 6,45 = 812,85 (montante do 2º mês)

Ao final do 2º mês, Mariana terá R$ 812,85.

• Cálculo do juro obtídoobtido no 3º mês:

0,8% de 812,85 = 0,008 ⋅ 812,85 ≃ 6,50

812,85 + 6,50 = 819,35 (montante do 3º mês)

Ao final do 3º mês, Mariana terá R$ 819,35.

• Cálculo do juro obtídoobtido no 4º mês:

0,8% de 819,35 = 0,008 ⋅ 819,35 ≃ 6,55

819,35 + 6,55 = 825,90 (montante do 4º mês)

Assim, ao final do 4º mês, Mariana terá R$ 825,90.

Pense e responda

Ver as Orientações para o professor.

Página vinte e três23

Pense e responda

R$ 825,60. É um valor menor quando comparado ao montante obtídoobtido considerando a mesma taxa e o mesmo período em regime de juro compôztocomposto.

Observe quêque a maneira apresentada para resolver esse problema é trabalhosa e necessita de muitos passos para quêque seja ôbitídaobtida a resposta. Imagine realizar esse cálculo se Mariana deixar essa quantia aplicada por um período de 36 meses.

Vamos, agora, obtêrobter uma fórmula quêque deixará a resolução mais prática.

Considere M o montante de um capital C aplicado em um regime de juro compôztocomposto a uma taxa i.

Como M = C + J = C + C ⋅ i, temos:

• Montante obtídoobtido no 1º período:

M₁ = C + C ⋅ i = C(1 + i) ⇒ M₁ = C(1 + i)

• Montante obtídoobtido no 2º período:

M₂ = M₁ + M₁ ⋅ i = M₁(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)² ⇒ M₂ = C(1 + i)²

• Montante obtídoobtido no 3º período:

M₃ = M₂ + M₂ ⋅ i = M₂(1 + i) = C(1 + i)² (1 + i) = C(1 + i)³ ⇒ M₃ = C(1 + i)³

• Montante obtídoobtido no 4º período

M₄ = M₃ + M₃ ⋅ i = M₃(1 + i) = C(1 + i)³ (1 + i) = C(1 + i)⁴ ⇒ M₄ = C(1 + i)⁴

Considerando uma quantidade de períodos t, o montante obtídoobtido nesse período pódepode sêrser calculado pela expressão:

Utilizando a fórmula apresentada para calcular o montante obtídoobtido na aplicação feita por Mariana, temos:

M = 800 ⋅ (1 + 0,008)⁴ ⇒ M = 800 ⋅ (1,008)⁴

pôdêmosPodemos realizar esse cálculo utilizando uma calculadora científica, como indicado a seguir.

Logo, o montante obtídoobtido por Mariana ao final dessa aplicação será aproximadamente R$ 825,91.

Lembre-se de quêque, quando fazemos aproximações, podemos obtêrobter diferentes resultados para um mesmo problema. Compare, por exemplo, o resultado obtídoobtido por meio da expressão com os cálculos anteriores.

Muitas vezes temos o capital e o montante e desejamos saber o juro obtídoobtido na aplicação. Se necessário, podemos calcular o valor do juro utilizando a fórmula M = C + J, pela qual temos:

Saiba quêque...

Utilizar uma calculadora científica em situações envolvendo juro compôztocomposto torna os cálculos mais práticos. Em alguns modelos de calculadora científica, é necessário realizar primeiro o cálculo envolvendo a potenciação e, posteriormente, multiplicar o resultado pelo capital.

Página vinte e quatro24

Juros e funções

Existe uma inter-relação entre o juro simples e a função afim e entre o juro compôztocomposto e a função exponencial, como veremos a seguir.

Para calcular o montante, ano a ano, da aplicação em regime de juro simples, vamos utilizar a relação M = C + C ⋅ i ⋅ t, na qual, ao substituirmos os valores C = 1.000 e i = 0,12, obtemos:

M = 1.000 + 1.000 ⋅ 0,12 ⋅ t, ou seja, M = 1.000 + 120t

Observamos quêque a expressão ôbitídaobtida é a lei de uma função afim, com variável dependente M e variável independente t. Atribuindo a t os valores 1, 2, 3, 4, 5, ..., obtemos os valores correspondentes de M:

Nesse caso, os valores do montante obtidos, ano a ano, são termos da progressão aritmética (1.120, 1.240, 1.360, 1.480, 1.600, …), de razão r = 120, com termo geral a_n = 1.000 + 120n, correspondente à lei de uma função afim, com n restrito ao conjunto dos números naturais não nulos.

Assim, dados o capital e a taxa de juros, o montante obtídoobtido pelo regime de juro simples relaciona-se com a ideia de função afim, na qual o montante varia em função do tempo. Como isso ocorre para todos os casos em quêque há regime de juro simples, podemos associar o cálculo do montante à lei da função afim dada por: M = C + C ⋅ i ⋅ t

Considerando a situação enunciada, na qual o capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 12% ao ano, o montante, a juro compôztocomposto, pódepode sêrser obtídoobtido pela relação:

M = 1.000(1 + 0,12)^t, ou seja, M = 1.000 ⋅ 1,12^t

Observamos quêque a expressão ôbitídaobtida é a lei de uma função exponencial, com variável dependente M e variável independente t. Atribuindo a t os valores 1, 2, 3, 4, 5, _…, obtemos os valores correspondentes de M:

Nesse caso, os valores do montante obtídoobtido, ano a ano, são termos da progressão geométrica (1.120; 1.254,40; 1.404,93; 1.573,52; 1.762,34; _…), de razão q = 1,12, com termo geral a_n = 1.000 ⋅ (1,12) ⁿ, correspondente à lei de uma função exponencial, com n restrito ao conjunto dos números naturais não nulos.

Página vinte e cinco25

Assim, dados o capital e a taxa de juros, o montante obtídoobtido pelo regime de juro compôztocomposto relaciona-se à ideia de função exponencial, na qual o montante varia em função do tempo. Como isso ocorre para todos os casos em quêque há regime de juro compôztocomposto, podemos associar o cálculo do montante à lei da função exponencial dada por M = C(1 + i)^t.

Vamos, agora, analisar o gráfico das duas funções em um mesmo plano cartesiano e analisar os valores obtidos.

No gráfico estão indicados alguns pontos pertencentes aos gráficos das funções. Note quêque não traçamos a reta nem a curva da função exponencial com linhas contínuas, pois o domínio de ambas as funções é ℕ*. O tracejado apenas indica a tendência da curva e auxilia na visualização dos resultados.

Observando os gráficos, percebemos quêque, para t = 1, o montante obtídoobtido é o mesmo para os dois regimes de juro. A partir daí, quanto maior o tempo de aplicação, maior a diferença entre os montantes obtidos no regime de juro compôztocomposto e no de juro simples.

Assim, para o caso de um investimento, a rentabilidade em regime de juro compôztocomposto será maior do quêque a rentabilidade em regime de juro simples a partir do segundo período de investimento. Se a situação for de empréstimo, a dívida aumenta mais a cada período, a partir do segundo, no regime de juro compôztocomposto em relação ao mesmo empréstimo em regime de juro simples.

Para acessar

• VENTURA, Dalia. O quêque são juros compostos, a"bola de neve" matemática da qual os super-ricos tiram proveito. BBC niusNews Brasil, [s. l.], 26 fev. 2023. Disponível em: https://livro.pw/ulnpj. Acesso em: 26 set. 2024.

A reportagem explora o conceito de juro compôztocomposto, destacando seu crescimento exponencial por meio de exemplos.

Página vinte e seis26

ATIVIDADES RESOLVIDAS

10. Um investidor aplicou R$ 500.000,00 a juros compostos de 2% ao mês. Quantos reais ele terá após 5 meses de aplicação? Qual será o valor dos juros obtidos?

Resolução

Utilizando a expressão apresentada, determinamos o montante obtídoobtido pelo investidor após 5 meses de aplicação.

M = C(1 + i)^t ⇒ M = 500.000 ⋅ (1 + 0,02)⁵ ⇒ M ≃ 552.040,40

Para calcular o juro obtídoobtido, utilizamos a expressão J = M − C.

J = 552.040,40 − 500.000,00

J = 52.040,40

Assim, após 5 meses, o investidor terá R$ 552.040,40, e os juros obtidos serão de R$ 52.040,40.

11. (Vunesp-SP) Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante 4 meses.

a) Encontre o rendimento de aplicação, no período, considerando a taxa de juro simples de 10% ao mês.

b) Determine o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juro compôztocomposto de 10% ao mês.

Resolução

Do enunciado, temos C = 1.000, t = 4 meses, e a taxa, em ambos os casos, é i = 10%.

a) Para o cálculo do rendimento no regime de juro simples, temos:

J = C ⋅ i ⋅ t ⇒ J = 1.000 ⋅ 0,1 ⋅ 4 = 400

O rendimento da aplicação ao final de 4 meses no regime de juro simples será R$ 400,00.

b) Para o cálculo do montante no regime de juro compôztocomposto, temos:

M = C(1 + i)^t ⇒ M = 1.000 ⋅ (1 + 0,1)⁴ = 1.000 ⋅ 1,1⁴ = 1.464,1

Porém, como devemos encontrar o rendimento, temos:

J = M − C ⇒ J = 1.464,1 − 1.000 = 464,1

O rendimento da aplicação, ao final de 4 meses, no regime de juro compôztocomposto, será R$ 464,10.

12. Calcule o valor dos juros compostos quêque o banco cobra em um empréstimo de

R$ 25.000,00 a 26% ao ano durante 24 meses.

Resolução

Inicialmente, vamos calcular o montante dêêssedesse empréstimo. Do enunciado, temos:

C = 25.000; i = 26% a.a. = 0,26 a.a.; t = 24 meses = 2 anos

Usando a fórmula do montante, obtemos o valor de M:

M = C(1 + i)^t ⇒ M = 25.000 ⋅ (1 + 0,26)² ⇒ M = 25.000 ⋅ (1,26)² ⇒ M = 39.690

Como M = C + J, temos:

J = M − C ⇒ J = 39.690 − 25.000 = 14.690

Portanto, o banco cobra R$ 14.690,00 de juros.

13. Por quanto tempo Jorge deve deixar aplicada a quantia de R$ 6.000,00 para quêque ela gere um montante de R$ 9.348,00, quando aplicada à taxa de 3% ao mês no regime de juro compôztocomposto?

Resolução

Os dados do problema são: C = 6.000, M = 9.348 e i = 3% a.m.

Usando a fórmula do montante, temos:

M = C(1 + i)^t

Logo: 9.348 = 6.000 ⋅ (1 + 0,03)^t

Assim: (1,03)^t = $\frac{9348}{6000}$⇒ (1,03)^t = 1,558 ⇒ t = log_1,031,558

Aplicando a propriedade de mudança de base, temos:

t = $\frac{\log \mathrm{1,558}}{\log \mathrm{1,03}}$

Utilizando uma calculadora científica, obtemos os valores dos logaritmos:

log 1,588 ≃ 0,19257 e log 1,03 ≃ 0,01284

Assim:

t ≃ $\frac{\mathrm{0,19257}}{\mathrm{0,01284}}$≃ 15

Portanto, Jorge deve aplicar seu capital por 15 meses.

Página vinte e sete27

ATIVIDADES

29. Um investidor aplicou a quantia de R$ 200.000,00 à taxa de juro compôztocomposto de 0,7% ao mês. Que montante esse capital vai gerar após 6 meses?

aproximadamente R$ 208.548,38

30. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juro compôztocomposto durante oito meses à taxa mensal de 0,6% ao mês. Que montante será obtídoobtido ao final dessa aplicação? (Use: 1,006⁸ ≃ 1,0490.)

aproximadamente R$ 20.980,00

31. Valter fez um empréstimo no banco no valor de R$ 30.000,00 pelo prazo de 24 meses. Sabendo quêque a taxa de juros compostos cobrada pelo banco é 0,95% a.m., qual é o montante quêque ele pagará ao final do empréstimo?

aproximadamente R$ 37.642,03

32. Qual é o valor a sêrser aplicado hoje, a uma taxa de juro compôztocomposto de 2% a.m., para quêque uma pessoa receba R$ 8.000,00 ao final de 6 meses?

aproximadamente R$ 7.103,77

33. João deseja comprar um carro cujo preêçopreço à vista, com todos os descontos possíveis, é R$ 21.000,00, valor quêque não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, quêque podem sêrser aplicados a uma taxa de juro compôztocomposto de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até quêque o montante atinja o valor do carro.

Para ter o carro, João deverá esperar:

a) dois meses e terá a quantia exata.

b) três meses e terá a quantia exata.

c) três meses e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00.

d) quatro meses e terá a quantia exata.

e) quatro meses e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00.

alternativa c

34. Luís vai aplicar certa quantia em um fundo imobiliário a uma taxa de juro compôztocomposto de 5% a.a., ele deseja quêque, após 6 anos, essa quantia gere um montante de R$ 25.000,00. Qual valor aproximadamente Luís deve aplicar?

a) R$ 18.000,00.

b) R$ 18.655,38.

c) R$ 18.910,15.

d) R$ 19.328,45.

e) R$ 19.230,77.

alternativa b

35. Celina aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juros compostos de 16% a.a., capitalizados anualmente. Qual é o valor dos juros obtídoobtido ao final de 2 anos?

aproximadamente R$ 13.824,00

36. Qual é o montante quêque um capital de R$ 4.000,00 produz quando aplicado:

a) durante 3 meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro compôztocomposto?

aproximadamente R$ 4.499,46

b) durante 10 anos, a uma taxa de 2% a.m. de juro compôztocomposto?

aproximadamente R$ 43.060,65

c) durante 15 meses, a uma taxa de 0,02% a.d. de juro compôztocomposto?

aproximadamente R$ 4.376,66

37. Cláudio aplicou R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Que montante esse capital vai gerar, se o regime for de juro compôztocomposto? Quantos reais de juro ele obterá nessa operação?

aproximadamente R$ 5.796,37;

aproximadamente R$ 796,37

38. (Saresp-SP) Um negociante pediu emprestados R$ 2.000,00 por três meses, sêndosendo R$ 1.000,00 de um amigo e R$ 1.000,00 de uma casa bancária. O amigo lhe propôs cobrar juros simples, à taxa de 10% ao mês. A casa bancária impôs a cobrança de juros compostos à taxa de 10% ao mês.

Veja, na tabélatabela abaixo, a evolução mensal da dívida, com valores em reais.

É correto afirmar quêque esses valores formam uma progressão:

a) aritmética de razão R$ 100,00 na casa bancária e geométrica de razão R$ 100,00 com seu amigo.

b) geométrica de razão 10 na casa bancária e aritmética de razão 10 com seu amigo.

c) geométrica de razão 10 com seu amigo e aritmética de razão 10 na casa bancária.

d) aritmética de razão R$ 100,00 com seu amigo e geométrica de razão 1,1 na casa bancária.

alternativa d

Página vinte e oito28

39. João aplicou seu capital durante 3 anos, à taxa de 12% a.a., no regime de juro simples. Caso houvesse aplicado a juro compôztocomposto, à mesma taxa, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quantos reais João recebeu de juros?

aproximadamente R$ 1.544,49

40. (Vunesp-SP) Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)⁵ = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a sêrser recebido ao final da aplicação. Esse valor é:

a) R$ 18.750,00

b) R$ 18.150,00

c) R$ 17.250,00

d) R$ 17.150,00

e) R$ 16.500,00

alternativa b

41. (FGV-SP) César aplicou R$ 10.000,00 num fundo de investimentos quêque rende juros compostos a uma certa taxa de juro anual positiva i. Após um ano, ele saca dêêssedesse fundo R$ 7.000,00 e deixa o restante aplicado por mais um ano, quando verifica quêque o saldo é R$ 6.000,00. O valor de (4i − 1)² é:

a) 0,01

b) 0,02

c) 0,03

d) 0,04

e) 0,05

alternativa d

42. (í éfi cê êIFCE) Um capital foi aplicado a uma taxa anual de juros compostos e rende um montante de R$ 2.012,85 em 2 anos e um montante de R$ 2.314,77 em 3 anos. Indique o valor aproximado do capital investido.

a) R$ 1.102,00

b) R$ 1.237,00

c) R$ 1.522,00

d) R$ 1.933,00

e) R$ 1.252,00

alternativa c

43. Uma pessoa aplicou R$ 18.000,00 à taxa de juro compôztocomposto de 2,81% ao mês e obteve um rendimento de R$ 6.390,00. Qual é o prazo dessa aplicação?

aproximadamente 11 meses

44. Qual é a taxa mensal de juro compôztocomposto quêque, aplicada ao capital de R$ 24.000,00, o transforma em um montante de R$ 36.087,00 em 7 meses?

6% ao mês

45. (UFS-SE) Para analisar a veracidade das afirmações abaixo, considere quêque para estimar o crescimento populacional dos municípios de cértocerto Estado é usada a expressão P(t) = P(0) ⋅ (1 + i)^t, em quêque P(0) é a população considerada em cértocerto ano, P(t) a população observada t anos depois e i a taxa anual de crescimento da população.

I. Se em 2004 um município dêêssedesse Estado tinha 50.000 habitantes e, a partir dêêssedesse ano, a população aumentou anualmente à taxa de 2%, então em 2007 tal município deverá ter 50.604 habitantes.

F

II. Sabe-se quêque, anualmente, a população de um município X cresce à taxa de 2%, enquanto quêque a de um município Y cresce à taxa de 5%. Se hoje X e Y têm, respectivamente, 19.600 e 28.900 habitantes, daqui a dois anos a razão entre seus respectivos números de habitantes será $\frac{2}{5}$.

F

III. Atualmente, os municípios X e Y têm 129.600 e 122.500 habitantes, respectivamente. Supondo quêque a população de X cresça a uma taxa anual de 5% e a de Y cresça a uma taxa anual de 8%, então daqui a dois anos X e Y terão o mesmo número de habitantes.

V

IV. A taxa anual de crescimento da população de um município pódepode sêrser calculada pela expressão i = $\frac{\log P\left(t\right)-\log P\left(0\right)}{t}$ − 1.

F

V. Se atualmente um município tem 44.100 habitantes e nos últimos cinco anos sua população cresceu à taxa anual de 5%, então há dois anos o seu número de habitantes era menor quêque 42.000.

V

46. Um investidor aplicou R$ 80.000,00 a juros compostos de 2,2% ao mês.

a) Daqui a quantos meses terá um montante de R$ 85.400,00?

aproximadamente 3 meses

b) Após quantos anos terá um montante de R$ 134.868,80?

aproximadamente 2 anos

Página vinte e nove29

47. (UFPel-RS) Um dos motivos quêque leva as pessoas a enfrentarem o problema do desemprego é a busca, por parte das empresas, de mão de obra qualificada, dispensando funcionários não habilitados e pagando a indenização a quêque têm direito. Um funcionário quêque vivenciou tal problema recebeu uma indenização de R$ 57.000,00 em três parcelas, em quêque a razão da primeira para a segunda é de $\frac{4}{5}$ e a razão da segunda para a terceira, de $\frac{6}{12}$.

(Dados: log 1,06 = 0,0253; log 1,01 = 0,0043.)

Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:

a) o valor de cada parcela;

R$ 12.000,00;

R$ 15.000,00;

R$ 30.000,00

b) o tempo necessário para quêque o funcionário aplique o valor da primeira parcela, a juro compôztocomposto, a uma taxa de 1% ao mês, para acumular um montante de R$ 12.738,00;

aproximadamente 6 meses

c) a taxa mensal quêque deve sêrser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para quêque o funcionário, no final de 2 anos, obtenha o montante de R$ 25.800,00.

3% a.m.

48. Observe, no qüadroquadro a seguir, os juros do cartão de crédito e do cheque especial vigentes em março de 2024.

De acôr-doacordo com o conteúdo estudado, elabore um problema utilizando os dados dêêssedesse qüadroquadro. Depois, troque-o com um colega, para quêque ele resôuvaresolva seu problema, enquanto você resólveresolve o problema elaborado por ele. Compare as taxas apresentadas e converse com familiares, côlégascolegas e o professor sobre o cuidado quêque devemos ter ao usar essas modalidades de crédito.

Resposta pessoal.

49. (UECE) Um investidor aplicou, no sistema de juros compostos, certa quantia em uma instituição financeira quêque remunera as aplicações à taxa de 1% mensal. Assim, é correto afirmar quêque o número de meses, a partir da aplicação, em quêque o capital inicial será dobrado é igual a

a) 74.

b) 68.

c) 72.

d) 70.

alternativa d

50. (hú- hê- érre jotaUERJ) Os clientes de um banco podem realizar apenas duas operações financeiras:

• fazer investimentos quêque rendem juros compostos a uma taxa mensal de 1%; ou

• pegar empréstimos com juros compostos a uma taxa mensal de 5%.

O banco usa o dinheiro dos investimentos para conceder os empréstimos, obtendo lucro nessas transações.

Considere quêque um cliente X investiu R$ 1.000,00 e quêque o banco emprestou esse valor a um cliente Y. Após 12 meses, o cliente X recebeu o montante pela aplicação nesse período e Y quitou o empréstimo.

Admitindo (1,01) ¹² = 1,13 e (1,05) ¹² = 1,80, o lucro, em reais, obtídoobtido pelo banco com essas duas operações financeiras é igual a:

a) 470

c) 670

b) 520

d) 820

alternativa c

51. (UECE) Ana Sofia foi às compras dispondo de R$ 300,00. Ao entrar em uma loja magazine, gostou de uma blusa no valor de R$ 180,00 e de uma sandália quêque custava R$ 130,00. O custo das duas peças excedia o dinheiro de quêque Ana Sofia dispunha. O vendedor informou quêque uma promoção da loja garantia quêque, se ela comprasse as duas peças, teria um desconto de 15% na peça de maior valor e 20% na peça de menor valor. Tendo aceitado a promoção, após o pagamento, Ana Sofia recebeu um Trôcotroco correspondente a x% do quêque dispunha ao entrar na loja. O valor de x está entre:

a) 14 e 15.

b) 12 e 13.

c) 15 e 16.

d) 13 e 14.

alternativa a

Página trinta30

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Conhecendo a planilha eletrônica

A planilha eletrônica é uma ferramenta muito útil em diversas situações do dia a dia e na resolução de problemas matemáticos. Com ela, cálculos recorrentes, por exemplo, podem sêrser feitos rapidamente com a criação de uma fórmula adequada ou utilizando uma fórmula disponível no banco de dados do software.

Existem planilhas eletrônicas de diversos fabricantes, mas todas elas funcionam de maneira muito semelhante. Aqui, vamos utilizar a planilha eletrônica do LibreOffice, quêque pódepode sêrser baixada gratuitamente no sáitisite oficial https://livro.pw/nigol (acesso em: 26 set. 2024).

Cálculo de juros

Leia o problema a seguir.

Agora, siga os passos quêque podem sêrser realizados para resolver esse problema usando uma planilha eletrônica.

I. Abra uma planilha no LibreOffice e organize as colunas da planilha, digitando “Mês”, “Tempo (t)”, “Montante (M) a juro simples” e “Montante (M) a juro composto”, como indicado a seguir.

II. Digite o nome dos meses do ano e o número correspondente a cada mês.

Conforme estudamos, o montante (M) em regime de juro simples pódepode sêrser obtídoobtido por meio da relação M = C ⋅ (1 + i ⋅ t) e, em regime de juro compôztocomposto, pódepode sêrser obtídoobtido por M = C ⋅ (1 + i)^t.

Página trinta e um31

Vamos utilizar essas fórmulas para realizar os cálculos, lembrando quêque C é o capital, quêque, nesse caso, é R$ 10.000,00, a taxa de juros (i) é 3% ou 0,03, e o tempo (t) será representado pelo número correspondente ao mês.

III. Para calcular o montante (M) em janeiro, em regime de juro simples, na célula C2, digite: “=10000*(1+0,03*B2)” e pressione Enter.

IV. Para calcular o montante (M) em janeiro, em regime de juro compôztocomposto, na célula D2, digite: “=10000*(1+0,03)^B2” e pressione Enter.

V. Para obtêrobter o montante (M) gerado nos demais meses, selecione as células C2 e D2 e, em seguida, clique no quadradinho destacado em vermelho, , arrastando a seleção até a linha de dezembro. Ainda com as células dos valores de montante selecionadas, para deixar os valores em formato monetário, clique na ferramenta Formatar como moeda:

VI. Observe a planilha com os valores obtidos nesse passo a passo. Repare quêque, pelo regime de juro compôztocomposto, o montante obtídoobtido é maior do quêque o obtídoobtido considerando o regime de juro simples, ainda quêque o período e a taxa sêjamsejam iguais em ambos os casos.

Página trinta e dois32

Construindo gráficos

I. Primeiro, selecione as colunas referentes aos montantes. Para fazer isso, clique na célula C1, depois pressione e segure a tecla Shift e clique na célula D13.

II. Clique no menúmenu Inserir e, em seguida, clique em Gráfico.... Uma janela de assistente de gráficos será aberta, como esta da imagem.
No assistente, você pódepode escolher o tipo de gráfico quêque desejar. Vamos escolher gráfico de Linha e a opção Somente pontos. Em seguida clique em Finalizar.

III. Depois de inserir o gráfico, você pódepode personalizá-lo conforme necessário. Para isso você pódepode clicar com o botão direito sobre o elemento quêque deseja personalizar. Por exemplo, po demos mudar a escala do eixo vertical e acrescentar nomes aos eixos. Dessa maneira, podemos obtêrobter um gráfico como o seguinte.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Na situação apresentada, qual é a diferença, em reais, entre o montante obtídoobtido em dezembro em regime de juro compôztocomposto e o obtídoobtido nesse mesmo mês em regime de juro simples?

R$ 657,61

2. No mês de janeiro, os valores do montante gerado em regime de juro simples e em regime de juro compôztocomposto são iguais. Explique o motivo.

Resposta possível: Como o mês de janeiro corresponde a t = 1, ao substituirmos t por 1 na fórmula, em ambos os casos, obtemos M = C ⋅ (1 + i).

3. Construa uma planilha eletrônica para determinar o montante considerando um capital de R$ 20.000,00 aplicado a uma taxa de 2% a.m. Calcule o montante obtídoobtido ao final de um ano, considerando os dois sistemas: juro simples e juro compôztocomposto.

juro simples: R$ 24.800,00; juro compôztocomposto: aproximadamente R$ 25.364,84

Página trinta e três33

Valor presente e valor futuro

O mundo financeiro pódepode parecer compléksocomplexo, mas entender alguns conceitos pódepode ajudar a compreen-dê-locompreendê-lo melhor. Dois dêêssesdesses conceitos são o valor presente e o valor futuro. Eles são fundamentais para entender como o dinheiro muda de valor ao longo do tempo.

Vamos considerar uma situação prática. Imagine quêque você esteja indeciso e não sabe se paga sua compra de R$ 200,00 hoje ou se paga R$ 220,00 daqui a um mês, pois pódepode utilizar essa quantia em outra despesa. Como saber qual seria a melhor opção? Para responder a essa pergunta, precisamos analisar o valor da quantia R$ 200,00 ao longo do tempo.

Suponha quêque o banco no qual você tem uma conta lhe ofereceu um investimento quêque faz seu dinheiro render 7% ao mês. E agora, o quêque fazer? Paga sua compra de R$ 200,00 hoje ou investe esse valor a essa taxa e paga R$ 220,00 daqui a um mês?

Sabemos quêque, no regime de juro compôztocomposto, um capital C, aplicado por t período de tempo a uma taxa i, resulta em um montante M = C ⋅ (1 + i)^t. Assim:

• o valor futuro (VF) de um capital é dado por:

• o valor presente (VP) de um capital é dado por:

VP = $\frac{VF}{{\left(1+i\right)}^t}$

Retomando a situação, aplicando a relação do valor futuro (VF), temos:

VF = 200 ⋅ (1 + 0,07)¹ = 200 ⋅ 1,07 = 214

Logo, obtemos um valor futuro igual a R$ 214,00. Portanto, em vez de investir a quantia, seria mais vantajoso pagar R$ 200,00 hoje do quêque R$ 220,00 daqui a um mês, pois o valor de R$ 200,00 aplicado a 7% ao mês será menor do quêque R$ 220,00 após um mês.

Agora, considere outra situação. Lorena está planejando comprar uma moto quêque custa R$ 30.000,00. No entanto, ela não tem esse valor disponível no momento. Assim, ela planeja economizar para comprar a moto daqui a 12 meses. Ela encontrou um investimento quêque oferece uma taxa de juro compôztocomposto de 5% ao mês. Quantos reais aproximadamente Lorena precisaria investir hoje para ter exatamente R$ 30.000,00 daqui a 12 meses?

Para responder a essa pergunta, podemos usar a relação do valor presente (VP):

VP = $\frac{30000}{{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}^{12}}=\frac{30000}{{\mathrm{1,05}}^{12}}$≃ 16.705,12

Portanto, Lorena precisaria investir aproximadamente R$ 16.705,12 hoje em um investimento quêque renda 5% ao mês para ter R$ 30.000,00 daqui a 12 meses.

Página trinta e quatro34

ATIVIDADES RESOLVIDAS

14. Ao planejar a compra de um novo computador, uma pessoa tem as seguintes opções de pagamento:

• Opção 1: à vista, por R$ 3.000,00.

• Opção 2: em cinco prestações mensais de R$ 605,00 cada, com a primeira parcela paga no ato da compra.

Sabendo quêque o dinheiro dessa pessoa rende 2% ao mês, qual seria a melhor opção para ela?

Resolução

Para saber a melhor opção, vamos construir esquemas de pagamento.

Em seguida, determinamos o valor presente dos conjuntos de pagamentos, considerando o período 0, e por fim comparamos as opções.

• Opção 1: 3.000

• Opção 2: 605 + $\frac{605}{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^1}+\frac{605}{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^2}+\frac{605}{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^3}+\frac{605}{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^4}$≃ 2.908,68

Portanto, optar pelo pagamento em cinco prestações é mais vantajoso, pois R$ 2.908,68, rendendo 2% ao mês, é suficiente para pagar as cinco prestações.

15. Humberto pegou emprestados R$ 800,00 a uma taxa de juro compôztocomposto de 5% ao mês. Para quitar essa dívida, ele combinou quêque:

• após 2 meses do empréstimo, pagaria
R$ 350,00;

• após 2 meses do 1º pagamento, pagaria
R$ 200,00;

• após 2 meses do 2º pagamento, quitaria a dívida.

Qual será aproximadamente o valor do último pagamento de Humberto?

Resolução

Para determinarmos o valor x do último pagamento, vamos construir esquemas de pagamento:

Agora, trazemos todas as prestações para o valor presente e igualamos a soma dêêssesdesses valores ao valor da dívida:

800 = $\frac{350}{{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}^2}+\frac{200}{{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}^4}+\frac{x}{{\left(1+\mathrm{0,05}\right)}^6}$ ⇒ x ≃ 426,15

Portanto, o último pagamento de Humberto será aproximadamente R$ 426,15.

ATIVIDADES

52. Uma pessoa quer quitar uma dívida três meses antes do vencimento. O valor futuro dessa dívida é de R$ 20.000,00, e a taxa de juro compôztocomposto fixada pelo banco é de 3% ao mês. Determine qual é aproximadamente o valor presente da dívida, isto é, o valor quêque a pessoa deve pagar para quitá-la.

aproximadamente R$ 18.302,83

53. Lúcia fez um empréstimo de R$ 4.000,00 a uma taxa de juro compôztocomposto de 8% ao mês. Ela quitou esse empréstimo da seguinte maneira: dois meses após o empréstimo, ela pagou R$ 1.500,00; três meses após o primeiro pagamento, ela quitou a dívida. Qual foi o valor do último pagamento de Lúcia?

aproximadamente R$ 3.987,74

54. Fabiano vai comprar uma TevêTV de 75 polegadas quêque custa R$ 5.400,00. A loja em quêque ele vai comprar oferece três opções de pagamento.

• Opção 1: à vista, com 5% de desconto.

• Opção 2: em três parcelas de R$ 1.800,00 por mês, sêndosendo a primeira parcela um mês após a compra.

• Opção 3: em oito parcelas de R$ 675,00 por mês, sêndosendo a primeira parcela paga no ato da compra.

Se o dinheiro de Fabiano rende 1,5% ao mês, qual é a opção de pagamento mais vantajosa para ele?

opção 3

Página trinta e cinco35

Orçamento familiar

Pense sobre a seguinte questão: como as pessoas ou grupos familiares sabem quando são capazes de arcar financeiramente com a parcela de um financiamento ou com a prestação de uma compra parcelada?

Uma maneira seria visualizar todos os ganhos e gastos da família e fazer um orçamento, reunindo as informações referentes à quantia recebida e à quantia gasta em determinado período.

O orçamento familiar bem organizado possibilita quêque as pessoas de uma família tênhamtenham o conhecimento e o contrôlecontrole de suas finanças, para quêque possam avaliar se a compra de um bem ou serviço pódepode sêrser realizada.

Para a elaboração do orçamento familiar, é importante entender seus elementos-chave e envolver todos os membros da família quêque são capazes de tomar decisões relacionadas ao uso do dinheiro naquele grupo. A seguir apresentamos alguns dêêssesdesses elemêntoselementos.

• Receita: rendimento quêque a família ganha durante um período específico. A receita pódepode vir de várias fontes, como salários, aposentadorias, rendimentos de investimentos e auxílios ou doações, ou seja, é qualquer valor ganho quêque se agrega ao saldo da família.

• Despesa: qualquer valor quêque a família gasta durante um período específico. As despesas podem incluir alimentação, serviços e taxas (como, por exemplo, á guaágua, luz, telefone e internet), vestuário, assistência médica, entre outros.

• Saldo: valor quêque resta depois de serem subtraídas as despesas do total de receitas. É uma medida importante da saúde financeira da família.

Quando elaboramos um orçamento familiar, consideramos algumas despesas quêque são fixas e outras quêque são variáveis.

As despesas fixas, como aluguel, prestação do imóvel, mensalidade escolar, entre outras, são aquelas cujo valor não depende da quantidade consumida.

As despesas variáveis, como a conta de á guaágua e a de energia elétrica, a alimentação, o transporte, entre outras, são aquelas cujo valor depende da quantidade consumida.

Pense e responda

Resposta pessoal

Página trinta e seis36

Acompanhe a situação a seguir.

Pense e responda

Sim. Quando o total de despesas é maior do quêque o total de receitas.

Utilizando esses dados, a família de Alice pódepode antecipar seus gastos para o próximo mês. Eles podem fazer isso por meio de um orçamento quêque detalha os valores previstos e, depois, registrar os valores reais para verificar se conseguiram cumprir as metas financeiras quêque estabeleceram. Isso pódepode sêrser feito mês a mês, a fim de analisar quais despesas podem sêrser reduzidas e, com isso, gerar maior economia de dinheiro. Eles podem definir, inclusive, uma quantia a sêrser poupada e fixar isso como se fosse uma"despesa" incluída na planilha.

Pense e responda

Resposta pessoal.

Página trinta e sete37

FÓRUM

Ver as Orientações para o professor.

Página trinta e oito38

Sistemas de amortização

Quando adquirimos um bem de maior valor, como um automóvel ou um imóvel, é comum fazermos um empréstimo ou financiamento por meio de uma instituição financeira. Nesse tipo de transação, o valor acordado, conhecido como capital, é devolvido à instituição com um acréscimo, o juro.

Uma vez contratado o financiamento, o processo para saldar a dívida se dá por meio de pagamentos periódicos, conhecidos como parcelas ou prestações, quêque são pagas em intervalos de tempo constantes, normalmente mensais. Alguns financiamentos também incluem o pagamento de quantias preestabelecidas, quêque são pagas em datas combinadas préviamentepreviamente.

Em um empréstimo ou financiamento, o valor de cada prestação é compôztocomposto de uma parte do capital adquirido e do juro calculado sobre o saldo devedor. Essa parte do capital adquirido é também chamada de amortização ou valor amortizado.

Assim, considerando P o valor da prestação, A o valor amortizado e J o juro sobre o saldo devedor, podemos escrever:

As diferentes maneiras de se realizar esse cálculo caracterizam o quêque chamamos de sistema de amortização. Alguns dos sistemas mais utilizados são: Sistema Price ou Francês, Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Misto (SAM), entre outros.

Vamos estudar o Sistema Price e o Sistema de Amortização Constante, quêque costumam sêrser os mais praticados no mercado consumidor.

Sistema Price

O Sistema Price, ou Sistema de Amortização Francês, é aquele quêque prevê o pagamento em prestações iguais, de valor fixo, durante todo o período de quitação do valor emprestado ou financiado. Normalmente é mais utilizado em contratos de curto prazo, como a compra de automóveis.

Acompanhe a situação a seguir.

Aline vai comprar um carro no valor de R$ 39.500,00 e pretende pagar R$ 7.500,00 como valor de entrada e financiar o restante da dívida em 36 prestações.

Ela conseguiu uma proposta de financiamento em um banco, a uma taxa de 2,5% ao mês, considerando o Sistema Price de amortização. O gerente enviou a ela uma planilha com algumas informações sobre as prestações. Observe as primeiras linhas dessa planilha.

Esclarecer aos estudantes quêque o mês 0 indica a ocasião em quêque o contrato foi celebrado.

Pense e responda

Saiba quêque...

No Sistema Price, ao observar os valores quêque compõem a prestação, verifica-se quêque o valor correspondente à amortização aumenta e o juro diminui com o passar do tempo.

R$ 757,06

Página trinta e nove39

Acompanhe uma situação em quêque deduzimos o valor da prestação P no sistema Price considerando um valor V, financiado a uma taxa de juro i, quêque será pago em 3 prestações.

Ao fim do primeiro mês, deve-se à instituição financiadora: V ⋅ (1 + i) e paga-se P. Assim, o saldo devedor é:

V(1 + i) − P

Ao fim do segundo mês, deve-se à instituição financiadora [V(1 + i) − P] ⋅ (1 + i) e paga-se P. Assim, o saldo devedor é:

[V(1 + i) − P] ⋅ (1 + i) − P = V(1 + i)² − (1 + i)P − P

Ao fim do terceiro mês, deve-se à instituição [V(1 + i)² − (1 + i)P − P] ⋅ (1 + i) e paga-se P. Assim, o saldo devedor é:

[V(1 + i)² − (1 + i)P − P] ⋅ (1 + i) − P = V(1 + i)³ − (1 + i)² P − (1 + i)P − P

Como a terceira prestação é a última, o saldo devedor ao fim do terceiro mês é igual a zero. Logo:

V(1 + i)³ − (1 + i)² P − (1 + i)P − P = 0

Isolando o valor de P, obtemos:

P = $\frac{V{\left(1+i\right)}^3}{{\left(1+i\right)}^2+\left(1+i\right)+1}$

Substituindo (1 + i)² + (1 + i) + 1 por $\frac{{\left(1+i\right)}^3-1}{\left(1+i\right)-1}$, temos:

P = $\frac{V{\left(1+i\right)}^3}{\frac{{\left(1+i\right)}^3-1}{\left(1+i\right)-1}}=\frac{V{\left(1+i\right)}^3\cdot i}{{\left(1+i\right)}^3-1}$

Generalizando esse resultado, apresentamos a seguir uma forma de calcular o valor da prestação nesse sistema de amortização.

Saiba quêque...

Dados os números a e b, podemos escrever a diferença de a e b elevados ao cubo como:

a³ − b³ = (a − b) ⋅ (a² + ab + b²)

Isolando o segundo fator do segundo membro da igualdade, temos:

a² + ab + b² = $\frac{a^3-b^3}{a-b}$

Repare quêque, na dedução da fórmula do valor da prestação no Sistema Price, temos a = (1 + i) e b = 1.

Atualmente, os softwares de planilhas eletrônicas apresentam funções quêque permitem criar uma tabélatabela com os valores envolvidos em todo o financiamento, quêque é também conhecida como tabélaTabela Price.

■ Conhecer o valor a sêrser pago todo mês e a vantagem de a primeira parcela não sêrser tão alta quando comparada a outros sistemas de amortização são fatores quêque atraem as pessoas a optar pelo Sistema Price.

Página quarenta40

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Assim como o nome sugere, o Sistema de Amortização Constante (SAC) é aquele no qual a amortização A é constante, caracterizando um sistema mais acelerado de amortização, quando comparado ao Price. Com isso, as parcelas iniciais costumam sêrser mais altas.

Nesse sistema, a amortização de uma dívida é calculada pela razão entre o capital C contratado e a quantidade n de parcelas, indicada por:

$$A=\begin{array}{c}\frac{C}{n}\end{array}$$

Geralmente, esse sistema é mais utilizado em contratos de longo prazo, envolvendo quantias muito grandes, como a compra de imóveis.

Acompanhe a situação a seguir.

Pedro e Amanda são sócios em uma loja de móveis e aproveitaram uma oportunidade para investir no imóvel onde a loja funciona atualmente, quêque é um local alugado. Para isso, precisaram fazer um empréstimo de R$ 70.000,00, a juro de 0,65% ao mês, pelo SAC.

Quando analisaram as possibilidades e a proposta da instituição financeira, optaram por um período de 10 anos de financiamento.

Como a amortização é um valor fixo quêque compõe parte do valor de cada prestação, o saldo devedor diminuirá a cada mês, de acôr-doacordo com o pagamento das parcelas. Consequentemente, o valor do juro quêque sêrserá calculado sobre o saldo devedor também diminuirá, fazendo o valor da próxima parcela ser inferior ao valor da parcela anterior.

Nesse caso, o valor amortizado em cada prestação é R$ 583,33:

R$ 70.000,00 ∶ 120 = R$ 583,33

O valor de juro pago na primeira parcela é calculado sobre o saldo devedor, quêque corresponde a todo o valor emprestado. Nesse caso, a taxa é de 0,65% ao mês. Assim temos:

J = 0,0065 ⋅ R$ 70.000,00 = R$ 455,00

A primeira prestação é ôbitídaobtida pela adição do valor da amortização e o do juro correspondentes:

P₁ = R$ 583,33 + R$ 455,00 = R$ 1.038,33

A segunda prestação é ôbitídaobtida pela adição do valor da amortização (R$ 583,33) e o do juro correspondente, quêque é calculado sobre o saldo devedor (R$ 69.416,67):

69.416,67 ⋅ 0,0065 = 451,21

Assim:

P₂ = R$ 583,33 + R$ 451,21 = R$ 1.034,54

O saldo devedor, para o cálculo de P₃, é:

R$ 69.416,67 – R$ 583,33 = R$ 68.833,34

Página quarenta e um41

Observe como podemos organizar esses valores em uma planilha e calcular os valores das cinco primeiras prestações.

Saiba quêque...

No SAC, o saldo devedor sofre redução mais acelerada em comparação com o Sistema Price. Como o juro é calculado sobre esse valor, o montante de juro gerado por um capital financiado no SAC será menor do quêque o montante de juro gerado pelo mesmo capital ao fim de um mesmo financiamento no Sistema Price, ao sêrser considerado o mesmo período.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

16. Marília vai fazer um empréstimo de R$ 50.000,00 para uma reforma em seu estúdio de fotografia e está analisando qual sistema de amortização vai utilizar, de acôr-doacordo com as propostas de uma agência financiadora, quêque trabalha com uma taxa de 0,95% ao mês. Ela pretende saldar a dívida em 6 anos.

a) Qual será o valor amortizado em cada parcela se Marília decidir pelo SAC? De quanto será a 1ª prestação nesse caso?

b) Se decidir pelo Sistema Price, qual será o valor de cada prestação? Qual será o valor amortizado na primeira prestação?

Resolução

a) Como no SAC o valor amortizado é constante em todo o período de quitação, dividimos o capital pela quantidade de prestações. Assim, temos:

A = $\frac{50000}{72}$≃ 694,44

Portanto, o valor amortizado em cada parcela será R$ 694,44.

O juro pago na primeira prestação é calculado considerando todo o capital emprestado, pois ainda não houve amortização. Nesse caso, temos:

J = 0,0095 ⋅ R$ 50.000,00 = R$ 475,00

Logo: P₁ = R$ 694,44 + R$ 475,00 = R$ 1.169,44

Então, no SAC, a primeira prestação será R$ 1.169,44.

b) No Sistema Price, o valor da prestação é constante em todo o período de quitação e pódepode sêrser obtídoobtido por meio da expressão:

P = V ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+i\right)}^n\cdot i}{{\left(1+i\right)}^n-1}\end{array}$

Substituindo V por 50.000, i por 0,0095 e n por 72 e utilizando uma calculadora científica, obtemos o valor de P:

P = 50.000 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+\mathrm{0,0095}\right)}^{72}\cdot \mathrm{0,0095}}{{\left(1+\mathrm{0,0095}\right)}^{72}-1}\end{array}$ ≃ 961,98

Desse modo, o valor de cada prestação será R$ 961,98 no sistema Price.

Assim como no SAC, o juro pago na primeira prestação é calculado sobre todo o valor tomado como empréstimo. Recuperando o valor calculado no item a, temos:

J = R$ 475,00

Logo:

A = R$ 961,98 − R$ 475,00 = R$ 486,98

Portanto, o valor amortizado na primeira prestação é R$ 486,98.

Página quarenta e dois42

17. Construa uma planilha eletrônica simulando os valores das prestações de amortização e dos juros cobrados pela agência financiadora da atividade anterior para auxiliar Marília a analisar a situação proposta.

Resolução

Inicialmente, vamos construir uma tabélatabela considerando o Sistema Price, utilizando o passo a passo a seguir.

I. Abrimos uma planilha no LibreOffice, e nas células A1, A2 e A3, digitamos “Valor emprestado”, “Taxa” e “Número de meses”, respectivamente. Em seguida, organizamos as colunas da planilha digitando “Mês”, “Prestação”, “Amortização”, “Juro” e “Saldo devedor”. Com a ferramenta côrCor do plano de fundo, formatamos as células preenchidas anteriormente com a côrcor desejada, como na imagem.

II. Com a ferramenta Formatar como moeda, formatamos as células B1, B6, C6, D6 e E6. Também formatamos a célula B2, clicando em Formatar como porcentagem, Depois, digitamos “50000”, “0,95” e “72” nas células B1, B2 e B3, respectivamente.

III. Nas células A6, B6, C6 e D6, digitamos “0” (zero). Na célula E6 digitamos “=$B$1” e pressionamos Enter (o $ sérveserve para deixar fixa a célula indicada). Essa linha corresponde ao início do contrato.

IV. Na célula A7, digitamos “=A6+1” e pressionamos Enter para indicar o mês 1, ou seja, a primeira prestação.

V. Em B7, vamos usar a função PGTO. Essa função calcula o valor de cada prestação no Sistema Price dados a taxa, o número de prestações e o valor total da dívida. Para isso, digitamos “=PGTO($B$2;$B$3;−$B$1)” e pressionamos Enter. Atenção: é necessário digitar o sinal de menos antes de “$B$1”.

VI. Para calcular o juro, vamos digitar, em D7, “=$B$2*E6” e pressionar Enter. Na célula C7, digitamos “=B7−D7” e Enter.

VII. Por fim, na célula E7, digitamos “=E6−C7” e pressionamos Enter. Para obtêrobter as próximas linhas, selecionamos as células A7 a E7, posicionamos o cursor do máuzimouse no quadradinho no canto inferior direito da última célula, clicamos e arrastamos a seleção para baixo até obtermos a linha correspondente ao mês 72.

Na imagem, são mostradas as primeiras linhas da planilha construída dessa maneira.

Página quarenta e três43

Vamos construir agora uma tabélatabela considerando o SAC, utilizando o passo a passo a seguir.

I. Vamos construir essa tabélatabela à direita da tabélatabela construída anteriormente, utilizando as colunas G a K. Selecionamos as células A1 a B3, pressionamos as teclas Ctrl + C para copiá-las e as colamos nas células G1 a H3 pressionando as teclas Ctrl + V. Trocamos a côrcor das células para diferenciá-las da tabélatabela anterior. Digitamos, nas células G5 a K5, o título de cada coluna: “Mês”, “Saldo devedor”, “Amortização”, “Juro” e “Prestação”, como indicado na imagem.

Observe quêque invertemos a ordem das colunas, o quêque foi feito apenas por uma questão de organização.

II. Formatamos as células H6, I6, J6 e K6, clicando na ferramenta .

III. Nas células G6, I6, J6 e K6, digitamos “0” (zero). Na célula H6, digitamos “=$H$1” e pressionamos Enter. Essa linha corresponde ao início do contrato.

IV. Na célula G7, digitamos “=G6+1” e pressionamos Enter para indicar o mês 1, ou seja, a primeira prestação.

V. Em I7, vamos calcular a amortização, quêque é constante nesse sistema, digitando “=$H$1/$H$3” e pressionando Enter. Na célula H7, digitamos “=H6−I7”, pressionando Enter na sequência, para obtêrobter o saldo devedor depois de realizado o pagamento da primeira prestação.

VI. Para calcular o juro, digitamos, na célula J7, “=$H$2*H6” e pressionamos Enter.

VII. Por fim, na célula K7, digitamos “=I7+J7” e pressionamos Enter para o obtêrobter o valor da primeira parcela. Para obtêrobter as próximas linhas, selecionamos as células G7 a K7, posicionamos o cursor do máuzimouse no quadradinho no canto inferior direito da última célula, clicamos e arrastamos a seleção para baixo até obtêrobter a linha correspondente ao mês 72.

Na imagem, são mostradas as primeiras linhas da planilha construída dessa maneira.

Página quarenta e quatro44

ATIVIDADES

55. Retome a situação apresentada na página 36 sobre a família formada por Alice, Sérgio e Bruna. Reproduza a planilha de receitas e despesas dessa família e amplie essa planilha conforme as orientações.

a) Na quarta coluna, coloque o título “Despesas previstas – próximo mês” e estime os valores imaginando quêque Bruna quisesse quêque o saldo previsto fosse de R$ 560,00.

b) Na quinta coluna, inclúainclua o título “Despesas realizadas – próximo mês” e estime os valores imaginando quanto a família gastou, de modo quêque o saldo tenha sido de R$ 510,00. Em seguida, compartilhe sua resolução com os côlégascolegas.

Ver as Orientações para o professor.

56. Responda às kestõesquestões a seguir com base em alguns resultados das atividades resolvidas na seção anterior.

a) Em qual dos sistemas de amortização a primeira prestação é mais alta? Em sua opinião isso pódepode influenciar a dê-cisãodecisão de Marília?

A primeira prestação é mais alta no SAC. Resposta pessoal.

b) Comparando os valores amortizados nas primeiras prestações, o quêque você percebe? Esse fato interfere no montante de juro pago em todo o período de quitação da dívida?

Resposta possível: Nas primeiras prestações, o valor amortizado no SAC é maior do quêque no Sistema Price. Sim.

57. Em cada situação a seguir, considerando o SAC, calcule o valor amortizado a cada prestação.

a) Em um empréstimo de R$ 25.000,00 quêque deve sêrser pago em 8 prestações.

R$ 3.125,00

b) Em um financiamento de R$ 40.000,00 quêque deve sêrser pago em 10 prestações, porém considerando uma entrada de R$ 12.000,00.

R$ 2.800,00

58. Um veículo no valor de R$ 75.000,00 está à venda de acôr-doacordo com as condições do cartaz.

De acôr-doacordo com essas informações, responda.

a) Qual é o valor a sêrser financiado?

R$ 56.250,00

b) Se o financiamento for feito pelo Sistema Price de amortização, qual será o valor da prestação?

aproximadamente R$ 1.833,85

c) Caso a opção seja pelo financiamento segundo o SAC, qual será o valor amortizado em cada prestação?

aproximadamente R$ 1.171,88

d) Utilizando uma planilha eletrônica para simular os valores do financiamento no Sistema Price e no SAC, qual será o montante de juro pago em todo o período?

Sistema Price: R$ 31.774,96; SAC: R$ 27.562,50

59. Sandro vai comprar um noutibúknotebook e se interessou pelo modelo a seguir.

Sabendo quêque a loja trabalha com o Sistema Price de amortização, se Sandro comprar esse noutibúknotebook a prazo, deverá pagar 10 prestações de:

a) R$ 176,80.

b) R$ 206,80.

c) R$ 209,59.

d) R$ 229,59.

e) R$ 249,49.

alternativa c

Página quarenta e cinco45

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Luca Pacioli, um dos precursores dos processos contábeis

O Renascimento foi um período importante na história da humanidade, por ter favorecido o desenvolvimento da criatividade humana em diversas áreas. Considerando as inúmeras ideias quêque surgiram nesse período, podemos destacar as novas concepções na Astronomia, a noção da perspectiva nas artes, os estudos sobre o comportamento da luz, o desenvolvimento da Álgebra e dos processos contábeis, entre outras.

Nessa perspectiva, o papel do frade Luca Pacioli foi importante, em razão de suas inúmeras contribuições para a Matemática e para a área contábil.

Saiba quêque...

Página quarenta e seis46

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Inflação e seus impactos na vida da população

Ir ao mesmo supermercado e comprar os mesmos produ com a mesma quantia com quêque se comprava há alguns meses uma tarefa pouco provável. Isso acontece porque os preços dos produtos, em geral, aumentam ao longo do tempo, e a inflação é uma das responsáveis por isso.

Mas você sabe o quêque é inflação e como ela é calculada? Leia o texto a seguir, quêque trata dêêssedesse assunto.

Inflação

O quêque é inflação

Inflação é o nome dado ao aumento dos preços de produtos e serviços. Ela é calculada pêlospelos índices de preços, comumente chamados de índices de inflação.

O hí bê gê héIBGE produz dois dos mais importantes índices de preços: o IPCA, considerado o oficial pelo govêrnogoverno federal, e o INPC.

Para quêque sérvemservem o IPCA e o INPC?

O propósito de ambos é o mesmo: medir a variação de preços de uma cesta de produtos e serviços consumida pela população. O resultado mostra se os preços aumentaram ou diminuíram de um mês para o outro.

A cesta é definida pela Pesquisa de Orçamentos Familiares – POF, do hí bê gê héIBGE, quêque, entre outras kestõesquestões, verifica o quêque a população consome e quanto do rendimento familiar é gasto em cada produto: arrôzarroz, feijão, passagem de ônibus, material escolar, médico, cinema, entre outros.

Os índices, portanto, levam em conta não apenas a variação de preêçopreço de cada item, mas também o peso quêque ele tem no orçamento das famílias.

[…]

Qual é a diferença entre eles?

A sigla INPC corresponde ao Índice Nacional de Preços ao Consumidor. A sigla IPCA corresponde ao Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo.

A diferença entre eles está no uso do termo “amplo”.

O IPCA engloba uma parcela maior da população. Ele aponta a variação do custo de vida médio de famílias com renda mensal de 1 a 40 salários mínimos.

O INPC verifica a variação do custo de vida médio apenas de famílias com renda mensal de 1 a 5 salários mínimos. Esses grupos são mais sensíveis às variações de preços, pois tendem a gastar todo o seu rendimento em itens básicos, como alimentação, medicamentos, transporte etc.

[…]

Página quarenta e sete47

por quêPor que se fala tanto em IPCA?

O govêrnogoverno federal usa o IPCA como o índice oficial de inflação do Brasil. Portanto, ele sérveserve de referência para as metas de inflação e para as alterações na taxa de juros.

Como ele é calculado?

O hí bê gê héIBGE faz um levantamento mensal, em 13 áreas urbanas do País, de, aproximadamente, 430 mil preços em 30 mil locais. Todos esses preços são comparados com os preços do mês anterior, resultando num único valor quêque reflete a variação geral de preços ao consumidor no período.

Índice pessoal de inflação

Sua cesta de compras, ou seja, os produtos e serviços quêque você consome regularmente, pódepode sêrser bem diferente da cesta média da população brasileira. Com isso, o seu índice pessoal de inflação pódepode sêrser maior ou menor do quêque o IPCA.

Por exemplo, uma família quêque não consome carne vermelha e não tem filhos em idade escolar terá, com certeza, um índice de inflação pessoal diferente do oficial, cujo cálculo coloca peso considerável na variação do preêçopreço da carne e da mensalidade escolar.

Poder de compra

Se a variação do seu salário, de um ano para o outro, for menor do quêque o IPCA, você perde seu pôdêrpoder de compra, pois os preços sóbemsobem mais do quêque a sua renda. Se a inflação e o seu salário têm a mesma variação, seu pôdêrpoder de compra se mantém. Se você, porém, receber um aumento acima do IPCA, seu pôdêrpoder de compra aumentará.

Curiosidades do IPCA

O hí bê gê héIBGE produz e divulga o IPCA, sistematicamente, desde 1980. Entre 1980 e 1994, ano de implantação do Plano Real, o índice acumulado foi de 13.342.346.717.671,70%!

A maior variação mensal do IPCA foi em março de 1990 (82,39%), enquanto a menor variação, em julho de 2022 (−0,68%).

[_…]

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Inflação. Rio de Janeiro: hí bê gê héIBGE, 2024. Disponível em: https://livro.pw/fzobu. Acesso em: 23 out. 2024.

Em outubro de 2024, a inflação acumulada dos últimos doze meses do Brasil foi 4,8%. Alguns países apresentaram índices de inflação anualizada maior quêque a do Brasil nesse mesmo período, tais como, Argentina (193%), Turquia (48,6%), Rússia (8,5%) e Índia (6,2%). Outros países tiveram inflação menor quêque a brasileira, por exemplo, Estados Unidos (2,6%), Alemanha (2%), Arábia Saudita (1,9%) e chiinaChina (0,3%).

Fonte dos dados: TRAIDING ECONOMICS. Taxa de inflação: lista de países: G20. [S. I.]: Trading Economics, 2025.
Disponível em: https://livro.pw/qlxxp. Acesso em: 3 maio 2025.

Página quarenta e oito48

O gráfico a seguir apresenta o IPCA acumulado nos últimos 12 meses em dezembro de cada ano, de 2010 a 2023.

Para determinar a atualização de um valor de um ano para outro, é preciso calcular o índice acumulado no período. Por exemplo, a atualização de R$ 100,00 em janeiro de 2010 para dezembro de 2011 deve sêrser calculada com aumentos sucessivos de 5,91% e 6,5%:

100 ⋅ 1,0591 ⋅ 1,065 = 112,74415

Portanto, em dezembro de 2011, o valor atualizado era R$ 112,74.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Explique como a inflação impacta a vida do consumidor.

Ver as Orientações para o professor.

2. De acôr-doacordo com o IPCA de dezembro de 2022, qual seria o preêçopreço, no final de dezembro de 2022, de uma cesta básica de produtos quêque, no início do mês, custava R$ 672,07?

R$ 667,50

3. De acôr-doacordo com o gráfico apresentado, faça o quêque se pede.

a) Atualize o valor de R$ 500,00 em janeiro de 2020 para dezembro de 2023.

R$ 636,59

b) Responda: qual foi o aumento, em porcentagem, do IPCA de janeiro de 2010 a dezembro de 2023? Arredonde o índice para um valor inteiro.

124%

4. Além dos índices apresentados no texto, pesquise outros índices quêque são referência para o cálculo do índice de inflação e investigue a particularidade de cada um. Compartilhe sua resposta com os côlégascolegas.

Ver as Orientações para o professor.

5. Em duplas, realizem uma entrevista com uma pessoa quêque era adulta no final da década de 1980 e no início de 1990. Previamente, preparem um roteiro com kestõesquestões quêque estejam relacionadas à hiperinflação da época. Gravem um vídeo ou um áudio da entrevista e apresentem os resultados para a turma. Não se esqueçam de pedir ao entrevistado autorização para uso da imagem e da entrevista cedida por ele.

Resposta pessoal. Ver as Orientações para o professor.

Para assistir

• O QUE é inflação: hí bê gê héIBGE explica IPCA e INPC. [S. l.: s. n.], 2015. 1 vídeo (5 min). Publicado pelo canal hí bê gê héIBGE. Disponível em: https://livro.pw/voyju. Acesso em: 27 set. 2024.

O vídeo apresenta informações sobre como são calculados o INPC e o IPCA, além de explicar para quêque sérvemservem esses índices e suas diferenças.

Página quarenta e nove49

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (IFSC) O Produto Interno Bruto (PIB) é uma representação da soma dos valores monetários de todos os bens e serviços produzidos em uma determinada região em um determinado espaço de tempo. O Balinsky (país fictício) tinha em 2016 um PIB quêque em comparação com o PIB de 2015 cresceu 2%. Já em 2017 o PIB de Balinsky diminui 5% em relação a 2016. A previsão para 2018 é de um crescimento de 3% em relação a 2017. Dessa forma, se a previsão para 2018 se confirmar, podemos afirmar quêque a variação do PIB de Balinsky do período de 2015 a 2018 foi: Assinale a alternativa CORRETA.

a) Um decrescimento de aproximadamente 0,2%.

b) Não cresceu nem diminuiu.

c) Um aumento de aproximadamente 1,8%.

d) Um decrescimento de mais de 2%.

e) Um acréscimo de menos de 1%.

alternativa a

2. (UEA-AM) Ricardo comprou uma bicicleta e conseguiu revendê-la por um preêçopreço 20% maior do quêque pagou, o quêque correspondeu a um lucro de R$ 150,00. O valor quêque Ricardo recebeu pela venda dessa bicicleta foi

a) R$ 700,00.

b) R$ 750,00.

c) R$ 800,00.

d) R$ 850,00.

e) R$ 900,00.

alternativa e

3. (Epcar-MG) À taxa anual de 15%, em quêque tempo, aproximadamente, o capital R$ 8.000,00 produz R$ 3.600,00 de juros simples?

a) 2 anos

b) 3 anos

c) 4 anos

d) 5 anos

e) 6 anos

alternativa b

4. (UFPE) Uma loja de eletrônicos oferece duas opções de pagamento:

• à vista, com 10% de desconto no preêçopreço anunciado;

• em duas prestações mensais iguais, sem desconto sobre o preêçopreço anunciado, sêndosendo a primeira prestação paga no momento da compra.

Qual a taxa de juros mensais embutida nas vendas a prazo?

a) 25%

b) 30%

c) 10%

d) 15%

e) 20%

alternativa a

5. (ESPM-SP) O sr. Paulo aplicou um cértocerto capital à taxa de juros simples de 4% ao mês durante 3 meses. O montante dessa aplicação, ele reaplicou à taxa de juros simples de 3% ao mês durante 9 meses. Se ele tivesse feito uma única aplicação dêêssedesse capital a juros simples durante 1 ano, para obtêrobter o mesmo rendimento final, a taxa mensal deveria sêrser de:

a) 3,28%

b) 3,36%

c) 3,43%

d) 3,52%

e) 3,64%

alternativa d

6. (Ufersa-RN) Qual foi o capital aplicado a 6% ao mês, juros simples, quêque deu origem ao montante de R$ 1.960,00 de 1 ano e 4 meses?

a) R$ 1.000,00

b) R$ 1.400,00

c) R$ 1.200,00

d) R$ 1.900,00

alternativa a

7. (UEPA) Um carro flex de R$ 30.000,00 foi vendido por uma concessionária da seguinte forma: 60% de entrada e o restante em 5 prestações mensais iguais com juro simples de 2% ao mês. O valor de cada prestação será de:

a) R$ 2.400,00

b) R$ 2.500,00

c) R$ 2.640,00

d) R$ 2.860,00

e) R$ 3.960,00

alternativa c

8. (UERN) Uma pessoa possui uma quantia aplicada a juros compostos de 1% ao mês, da qual, em meses alternados, ela retira R$ 100,00 e doa a uma instituição de caridade. Sabendo-se quêque, no início de cértocerto mês, a quantia aplicada era de R$ 10.000 e, no final daquele mês, ela fez a doação, pode-se concluir quêque a quantia aplicada após 3 meses era igual a

a) R$ 10.100,00

b) R$ 10.101,00

c) R$ 10.110,00

d) R$ 10.200,00

e) R$ 10.201,00

alternativa b

9. (EsPCEx-SP) O valor de revenda de um carro é dado por V(t) = V₀(0,8)^t, em quêque V₀ é o valor inicial e V(t) é o valor após t anos de uso. A alternativa quêque mais se aproxima do percentual de desvalorização dêêssedesse carro, em relação ao valor inicial, após 3 anos exatos de uso, é:

a) 24%

b) 47%

c) 49%

d) 50%

e) 51%

alternativa c

Página cinquenta50

10. (Enem/MEC) Um investidor deseja aplicar R$ 10.000,00 durante um mês em um dos fundos de investimento de um banco. O agente de investimentos dêêssedesse banco apresentou dois tipos de aplicações financeiras: a aplicação Básica e a aplicação Pessoal, cujas informações de rendimentos e descontos de taxas administrativas mensais são apresentadas no qüadroquadro.

Consideradas as taxas de rendimento e administrativa, qual aplicação fornecerá maior valor de rendimento líquido a esse investidor e qual será esse valor?

a) Básica, com rendimento líquido de R$ 53,90.

b) Básica, com rendimento líquido de R$ 54,50.

c) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 56,00.

d) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 58,12.

e) Pessoal, com rendimento líquido de R$ 59,80.

alternativa a

11. (Enem/MEC) Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve sêrser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra. Um cliente da loja decidiu comprar, d fórmade forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1.500,00.

Utilize 5,29 como aproximação para $\begin{array}{c}\sqrt[]{28}\end{array}$ .

A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de

a) 6,7%

b) 10%

c) 20%

d) 21,5%

e) 23,3%

alternativa d

12. (Uesc-BA) Em uma aplicação financeira a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, em quêque foram efetuados três depósitos mensais de R$ 2.300,00 cada, o valor acumulado na data do último depósito é igual a:

a) R$ 6.900,00.

b) R$ 7.038,00.

c) R$ 7.038,92.

d) R$ 7.178,76.

e) R$ 7.178,80.

alternativa c

13. (Unifor-CE) A expressão M = A ⋅ (1 + i) ⁿ permite o cálculo do montante produzido por um capital A, aplicado a juros compostos e à taxa unitária i, ao final de n períodos. Assim, se o capital de R$ 1.370,00 for aplicado à taxa anual de 25%, ao final de quantos anos ele produzirá o montante de R$ 5.480,00? (Use: log 2 = 0,30)

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

alternativa a

14. (FGV-SP) Um empréstimo sêrserá quitado em 5 anos com pagamentos consecutivos anuais postecipados de R$ 6.720,00, segundo o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price). Se a taxa de juros efetiva a ser utilizada é de 16% a.a., então a amortização no saldo devedor decorrente do pagamento da primeira prestação será de (Considere 1,16⁵ = 2,1)

a) R$ 3.000,00.

b) R$ 3.050,00.

c) R$ 3.100,00.

d) R$ 3.150,00.

e) R$ 3.200,00.

alternativa e

15. (UFAL) Um dos maiores problemas enfrentados pêlospelos governos é a inflação. Felizmente, para a Economia Brasileira, a inflação está controlada; porém, não deixa de dar sinais de sua persistência. Pode-se definir inflação como:

a) o aumento contínuo e generalizado de todos os preços da economia.

b) o aumento rápido e incontrolável das variáveis de demanda, como o consumo.

c) o excéssoexcesso de gastos, principalmente, os de investimento, em relação ao produto de uma economia.

d) o aumento contínuo da massa salarial da economia, provocando elevação da demanda e, consequentemente, dos preços.

e) o aumento do crédito na economia, provocando elevação da demanda agregada.

alternativa a

Página cinquenta e um51

16. (Enem/MEC) O ganho real de um salário, r, é a taxa de crescimento do pôdêrpoder de compra dêêssedesse salário. Ele é calculado a partir do percentual de aumento dos salários e da taxa de inflação, referidos a um mesmo período. Algebricamente, pode-se calcular o ganho real pela fórmula
1 + r = $\begin{array}{c}\frac{1+i}{1+f^{\text{'}}}\end{array}$
em quêque i é o percentual de aumento no valor dos salários e f é a taxa de inflação, ambos referidos a um mesmo período.

Considere quêque uma categoria de trabalhadores recebeu uma proposta de aumento salarial de 10%, e quêque a taxa de inflação do período correspondente tenha sido 5%. Para avaliar a proposta, os trabalhadores criaram uma classificação em função dos ganhos reais conforme o qüadroquadro.

Eles classificaram a proposta de aumento e justificaram essa classificação apresentando o valor do ganho real quêque obteriam.

A classificação, com sua respectiva justificativa, foi

a) inaceitável, porque o ganho real seria mais próximo de −5%.

b) ruim, porque o ganho real seria mais próximo de 1,05%.

c) regular, porque o ganho real seria mais próximo de 4,7%.

d) boa, porque o ganho real seria mais próximo de 9,5%.

e) boa, porque o ganho real seria mais próximo de 5%.

alternativa c

PARA REFLETIR

Página cinquenta e dois52