CAPÍTULO 2
POLIEDROS

A beleza dos cristais é impressionante, não é mesmo? Os cristais, na sua forma mais pura, lembram poliedros, assunto dêstedeste Capítulo.

A ciência quêque estuda os cristais é chamada Cristalografia, cujos estudos são importantes para o avanço tecnológico de diversas áreas, entre elas, a Engenharia dos Materiais.

Para classificar esses minerais, os cristalógrafos avaliam o sistema de acôr-doacordo com as células unitárias quêque formam sua estrutura. Uma célula unitária consiste em um agrupamento de hátomusátomos quêque formam um padrão repetitivo. Então, com base no sistema cristalino ao qual pertence, um mineral pódepode sêrser classificado em: cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal, ortorrômbico, monoclínico ou triclínico.

O arranjo dêêssesdesses hátomusátomos garante algumas propriedades ao cristal, como a dureza e o formato. O tipo de arranjo atômico, por exemplo, é o quêque diferencia um frágil carbono de um diamante inquebrável.

Ver as Orientações para o professor.

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Para assistir

• VOCÊ disse cristalografia? Campinas: Matemática Multimídia, 2012. 1 vídeo (12 min). Publicado pelo canal M3 Matemática Multimídia. (Série Matemática na escola). Disponível em: https://livro.pw/ywmtg. Acesso em: 17 set. 2024.

O vídeo fala sobre Cristalografia, um estudo quêque descreve as formas geométricas e as simetrias dos cristais.

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Poliedros

É comum encontrarmos no dia a dia objetos cujos formatos lembram sólidos geométricos. Basta observarmos ao nosso redor, pois eles estão presentes na Arquitetura, na Engenharia, nas Artes Plásticas, entre outras áreas do nosso cotidiano. Neste Capítulo, vamos estudar os sólidos geométricos conhecidos como poliedros.

Frequentemente, na Arquitetura e na Engenharia, os projetos e as construções utilizam formatos quêque lembram poliedros para, por exemplo, obtêrobter o melhor aproveitamento da área ou mesmo para criar ambientes mais agradáveis à vista. Observe a seguir o prédio da Biblioteca Nacional de Belarus, país do Leste Europeu. Obra dos arquitetos Viktor Kramarenko (1945-) e Mi káilMikhail Vinogradov (1944-2020), o prédio é conhecido como"diamante bielorrusso" e tem formato de um poliedro.

Os poliedros são sólidos formados por um número finito de polígonos e pela região do espaço limitada por eles, em quêque:

• cada lado de um dêêssesdesses polígonos é comum a dois, e somente dois, polígonos;

• a intersecção de dois dêêssesdesses polígonos é um lado comum ou um vértice comum ou é vazia.

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Observe alguns exemplos de poliedros:

Em um poliedro, destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Faces: são os polígonos quêque formam a superfícíesuperfície do poliedro;

• Arestas: são os lados comuns a duas faces do poliedro;

• Vértices: são os pontos de intersecção de três ou mais arestas.

Assim como os polígonos são nomeados com base em seu número de lados, os poliedros são nomeados com base em seu número de faces. Observe a seguir o nome e o respectivo número de faces de alguns poliedros.

Saiba quêque...

A palavra"poliedro" é formada por poli, do grego polys (muitos ou vários), e edro, do grego hedra (face), ou seja, um poliedro seria um sólido de muitas faces.

Poliedros convexos e poliedros não convexos

Em um poliedro, se qualquer reta não paralela a nenhuma das faces intersecta suas faces em, no mássimomáximo, dois pontos, dizemos quêque ele é convexo; caso contrário, é não convexo.

Observe os exemplos.

Neste Capítulo, concentraremos nóssosnossos estudos nos poliedros convexos

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Relação de ÓilerEuler

Existe uma relação importante quêque envolve o número de faces (F), o número de arestas (A) e o número de vértices (V) de um poliedro convexo. Essa relação é válida para todo poliedro convexo e recebe o nome de relação de ÓilerEuler, em homenagem ao matemático suíço Leonhard ÓilerEuler (1707-1783).

Observe alguns exemplos.

A relação de ÓilerEuler pódepode sêrser empregada para determinar o número de um dos elemêntoselementos (faces, arestas ou vértices) de um poliedro convexo, desde quêque os outros dois sêjamsejam conhecidos.

Um poliedro em quêque é válida a relação de ÓilerEuler é conhecido como poliedro óilerianoeuleriano.

Os poliedros convexos são todos eulerianos.

Observação:

Há poliedros não convexos para os quais vale a relação de ÓilerEuler. Na figura, temos um exemplo.

Ver as Orientações para o professor.

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Poliedro regular

Um poliedro convexo é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si e quando, em todos os vértices, concorre o mesmo número de arestas.

É possível provar quêque existem somente cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Observe a seguir representações dos cinco poliedros regulares e as respectivas planificações de suas superfícies.

• 4 faces triangulares

• 4 vértices

• 6 arestas

• 12 faces pentagonais

• 20 vértices

• 30 arestas

• 6 faces quadrangulares

• 8 vértices

• 12 arestas

• 8 faces triangulares

• 6 vértices

• 12 arestas

• 20 faces triangulares

• 12 vértices

• 30 arestas

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Poliedros de Platão

Os poliedros de Platão levam o nome do filósofo grego Platão (c. 427 a.C.-347 a.C.), quêque os utilizava para explicar alguns fenômenos naturais.

Para quêque um poliedro seja considerado um poliedro de Platão, é necessário quêque as faces dêêssedesse poliedro tênhamtenham o mesmo número de arestas, quêque, em todos os vértices, concorra o mesmo número de arestas e quêque seja válida a relação de ÓilerEuler. Assim, os poliedros de Platão englobam todos os poliedros regulares convexos. Existem somente cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros e icosaedros.

Nos poliedros de Platão, as faces não precisam sêrser polígonos regulares; logo, nem todo poliedro de Platão é regular.

Observe alguns exemplos de poliedros de Platão quêque não são regulares.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Em um poliedro convexo, o número de faces é 11 e o número de vértices é 18. Calcule o número de arestas dêêssedesse poliedro.

Resolução

Pela relação de ÓilerEuler, V − A + F = 2, válida para qualquer poliedro convexo, temos:

F = 11 e V = 18. Logo:

V − A + F = 2 ⇒ 18 − A + 11 = 2 ⇒ A = 27

Portanto, o poliedro tem 27 arestas.

2. Um poliedro convexo tem seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcule o número de vértices dêêssedesse poliedro.

Resolução

Pelo enunciado, o poliedro tem oito faces, sêndosendo seis quadrangulares e duas hexagonais. Vamos determinar o número de arestas:

Seis faces quadrangulares: 6 ⋅ 4 = 24 arestas.

Duas faces hexagonais: 2 ⋅ 6 = 12 arestas.

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 24 + 12 ⇒ 2A = 36 ⇒ A = 18

Aplicando a relação de ÓilerEuler, temos:

V − A + F = 2 ⇒ V − 18 + 8 = 2 ⇒ V = 12

Assim, o número de vértices é 12.

ATIVIDADES

1. Em um poliedro convexo, o número de arestas é 16 e o número de faces é 9. Determine o número de vértices.

9 vértices

2. Um poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares e duas faces pentagonais. Determine o número de arestas e o número de vértices.

15 arestas e 10 vértices

3. (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vértices dêêssedesse poliedro.

12 vértices

4. (Mack-SP) Determine o número de vértices de um poliedro quêque tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

10 vértices

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5. (Unifesp-SP) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O número de faces triangulares e o número de faces quadradas dêêssedesse poliedro são, respectivamente:

a) 8 e 8.

b) 8 e 6.

c) 6 e 8.

d) 8 e 4.

e) 6 e 6

alternativa b

6. (UEL-PR) Leia o texto a seguir.

Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. Há evidências da existência deles no Paquistão, Afeganistão e noroeste da Índia, datando de 3500 a.C. Os dados cúbicos de argila continham de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira quêque a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete.

(Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, Índia.)

Atualmente, além dos dados em forma de cubo (hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, inclusive esféricos, como mostram as figuras a seguir.

Apesar do formato esférico, ao sêrser lançado, o dado mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado cúbico. Isso acontece porque no interior da esféraesfera existe uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um peso (um chumbinho) quêque se aloja em um dos vértices do octaedro.

Assinale a alternativa quêque apresenta, corretamente, a propriedade dos poliedros regulares quêque justifica o fato de a cavidade no interior da esféraesfera sêrser octaédrica.

a) O número de vértices do octaedro é igual ao número de faces do hexaedro.

b) O número de vértices do octaedro é diferente do número de faces do hexaedro.

c) O número de arestas do octaedro é igual ao número de arestas do hexaedro.

d) O número de faces do octaedro é igual ao número de vértices do hexaedro.

e) O número de faces do octaedro é diferente do número de vértices do hexaedro.

alternativa a

7. Indique qual das afirmações a seguir é falsa.

a) A relação de ÓilerEuler é válida para todos os poliedros de Platão.

b) Todo poliedro de Platão é um poliedro regular convexo.

c) Todas as faces de um poliedro de Platão têm o mesmo número de arestas.

d) As faces de um poliedro regular são polígonos regulares e congruentes entre si.

alternativa b

8. Em 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os hátomusátomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hekzágonoshexágonos regulares. Em homenagem ao arquiteto estadunidense Buckminster Fuller, a molécula foi denominada buckminsterfulereno. Algum tempo depois, passou-se a denominá-la simplesmente fulereno.

Fonte dos dados: SINDICATO DOS FARMACÊUTICOS DO ESTADO DA PARAÍBA. [Fulerenos]. João Pessoa: Sifep, c2016. Disponível em: https://livro.pw/idtda. Acesso em: 17 set. 2024.

Determine o número de hátomusátomos de carbono nessa molécula e o número de ligações representadas pelas arestas do poliedro.

60 hátomusátomos e 90 ligações

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Prismas

Agora, vamos estudar os prismas, suas características, seus elemêntoselementos e as maneiras de calcular a área da superfícíesuperfície e o volume de um prisma.

Vamos considerar dois planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β, um polígono convexo, contido em (alfa)"α, e uma reta r secante a esses planos quêque não intersecta o polígono.

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade em um ponto do polígono convexo e a outra no plano (beta)"β, é denominada prisma.

Considerando o prisma representado na figura a seguir, destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Bases: são os polígonos convexos congruentes ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ situados nos planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β (planos das bases);

• Faces laterais: são os paralelogramos ABB’A’, BCC’B’, cê dê dêCDD’C’, DEE’D’, EFF’E’ e AFF’A’;

• Vértices: são os vértices das faces do prisma, A, B, C, D, E, F, A’, B’, C’, D’, E’ e F’;

• Arestas das bases: são os lados dos polígonos das bases $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, $\overline{EF},\overline{FA},\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overline{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$, $\overline{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$, $\overline{D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}}$, $\overline{E^{\text{'}}{F}^{\text{'}}}$ e $\overline{F^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$;

• Arestas laterais: são os segmentos de reta $\overline{A{A}^{\text{'}}}$, $\overline{B{B}^{\text{'}}}$, $\overline{C{C}^{\text{'}}}$, $\overline{D{D}^{\text{'}}}$, $\overline{E{E}^{\text{'}}}$ e $\overline{F{F}^{\text{'}}}$;

• Diagonais: são os segmentos de reta quêque ligam dois vértices não pertencentes à mesma face do prisma, ou seja, $\overline{A{C}^{\text{'}}}$, $\overline{A{D}^{\text{'}}}$, $\overline{A{E}^{\text{'}}}$, $\overline{B{D}^{\text{'}}}$, $\overline{B{E}^{\text{'}}}$, $\overline{B{F}^{\text{'}}}$, $\overline{C{E}^{\text{'}}}$, $\overline{C{F}^{\text{'}}}$, $\overline{C{A}^{\text{'}}}$, $\overline{D{F}^{\text{'}}}$, $\overline{D{A}^{\text{'}}}$, $\overline{D{B}^{\text{'}}}$, $\overline{E{A}^{\text{'}}}$, $\overline{E{B}^{\text{'}}}$, $\overline{E{C}^{\text{'}}}$, $\overline{F{B}^{\text{'}}}$, $\overline{F{C}^{\text{'}}}$ e $\overline{F{D}^{\text{'}}}$;

• Altura: é a distância entre os planos das bases.

pôdêmosPodemos classificar os prismas de acôr-doacordo com o número de lados dos polígonos das bases. Por exemplo, os prismas podem sêrser triangulares, quando as bases são triângulos; quadrangulares, quando as bases são quadriláteros; pentagonais, quando as bases são pentágonos; e assim por diante.

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De acôr-doacordo com a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases, os prismas podem sêrser rétosretos ou oblíqüosoblíquos.

Em um prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, e, em um prisma oblíquo, as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Observe os exemplos a seguir.

Prisma regular

Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o prisma é dito regular. Um exemplo é a figura a seguir, quêque representa um prisma hexagonal regular.

Pense e responda

As bases de um prisma hexagonal regular são hekzágonoshexágonos regulares; suas faces laterais são retângulos congruentes.

Paralelepípedos

Os prismas cujas bases são paralelogramos recebem nomes especiais.

• Paralelepípedo: é um prisma cujas bases são paralelogramos.

• Paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular: é um prisma reto cujas bases e faces laterais são retângulos. O paralelepípedo reto-retângulo é um caso particular do paralelepípedo.

• Cubo ou hexaedro regular: é um prisma reto cujas faces são todas quadradas. O cubo é um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo.

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Diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo

Considere o paralelepípedo reto-retângulo a seguir, em quêque estão indicadas algumas medidas.

Conhecendo as dimensões a, b e c, podemos calcular as medidas d da diagonal da base e d’ da diagonal do paralelepípedo pelo teorema de Pitágoras.

Considerando o triângulo retângulo ABD, temos:

a² + b² = d ⇒ d = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a^2+b^2}\end{array}$

Do triângulo retângulo BDD’, temos:

c₂ + d₂ = d’² ⇒ d’ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{c^2+d^2}\end{array}$ ⇒ d’ =$\begin{array}{c}\sqrt[]{c^2+\left(a^2+b^2\right)}\end{array}$

Portanto, a medida da diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c é:

$$\mathrm{d’}=\begin{array}{c}\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}\end{array}$$

Pense e responda

Área da superfícíesuperfície de um prisma

Em um prisma, definimos:

• área da base (S_b) como a área de um dos dois polígonos quêque formam as bases;

• área lateral (S(éli)"ℓ) como a soma das áreas de todas as faces laterais;

• área total (S_t) como a soma da área lateral e das áreas das bases.

Assim, podemos escrever:

Secção transversal de um prisma

A intersecção de um prisma com um plano paralelo às suas bases é denominada secção transversal do prisma.

Observe na figura quêque a secção transversal de um prisma é um polígono congruente aos polígonos das bases.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. Determine a área total da superfícíesuperfície de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm.

Resolução

A superfícíesuperfície do paralelepípedo é formada por seis faces retangulares, indicadas na planificação anterior. Note quêque I ≅ III, II ≅ IV e V ≅ VI.

Calculando cada área, temos:

S_I = 4 cm ⋅ 5 cm = 20 cm²

S_II = 3 cm ⋅ 5 cm = 15 cm²

S_V = 4 cm ⋅ 3 cm = 12 cm²

Então:

S_t = 2S_I + 2S_II + 2S_V

S_t = 2 ⋅ (20 + 15 + 12) = 2 ⋅ 47 = 94

Portanto, a área total da superfícíesuperfície é de 94 cm².

4. Em um prisma triangular regular, a medida a da aresta da base é igual à medida h da altura do prisma. Sabendo quêque a área lateral é 10 m², calcule a área total do prisma.

Resolução

Planificando a superfícíesuperfície do prisma, temos:

A face lateral é um retângulo de dimensões a e h.

S(éli)"ℓ = 3 ⋅ (a ⋅ h) ⇒ S(éli)"ℓ = 3 ⋅ (a ⋅ a) ⇒ S(éli)"ℓ = 3a²

Como S(éli)"ℓ = 10 m², temos:

3a² = 10 ⇒ a² = $\frac{10}{3}$

A base é um triângulo equilátero cujo lado médemede a. Assim:

S_b = $\begin{array}{c}\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{\frac{10}{3}\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$⇒ S_b = $\begin{array}{c}\frac{10\sqrt[]{3}}{12}\end{array}$

Cálculo da área total:

S_t = S(éli)"ℓ + 2 ⋅ S_b = 10 + 2 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{10\sqrt[]{3}}{12}\end{array}$ = 10 (1 + $\frac{\sqrt[]{3}}{6}$)

Portanto, S_t = 10 (1 + $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{6}\end{array}$) m².

5. Felipe está construindo uma piscina no quintal da casa dele no formato de um bloco retangular quêque tem, intérnamenteinternamente, 8 métrometros de comprimento, 4 metros de largura e 1,5 metro de profundidade. O revestimento escolhido por Felipe para cobrir a área interna da piscina é formado por quadrados de cerâmica com 25 cm de lado vendidos por R$ 1,50 a unidade. Considerando quêque não haverá espaço entre os quadrados, calcule o valor quêque Felipe deve gastar para comprar a quantidade exata de revestimento necessário para cobrir a área interna da piscina.

Resolução

A área total de um paralelepípedo reto-retângulo é dada por S_t = S(éli)"ℓ + 2 ⋅ S_b.

Por se tratar de uma piscina, o revestimento não será colocado em uma das faces do paralelepípedo. Assim, a área total, em métrometro quadrado, é:

S_t = 8 ⋅ 4 + 2 ⋅ (4 ⋅ 1,5) + 2 ⋅ (8 ⋅ 1,5) = 68

A área de cada revestimento, em métrometro quadrado, é:

A_R = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625

O total de unidades necessárias para o revestimento é de $\frac{68}{\mathrm{0,0625}}$ = 1.088.

Felipe precisará comprar 1.088 unidades. Como cada unidade custa R$ 1,50, então o custo total do revestimento é dado por:

1.088 ⋅ 1,5 = 1.632

Assim, o custo do revestimento será de R$ 1.632,00.

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ATIVIDADES

9. Calcule a área total de um cubo cuja aresta médemede 8 cm.

384 cm²

10. A diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo médemede 13 dm, e a diagonal da base, 5 dm. Determine as três dimensões do paralelepípedo, sêndosendo a soma das medidas de todas as arestas igual a 76 dm.

3 dm, 4 dm e 12 dm

11. Um prisma pentagonal regular tem 20 cm de altura. A aresta da base do prisma médemede 4 cm. Determine a área lateral dêêssedesse prisma.

400 cm²

12. (UFRGS-RS) Considere o cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cuja aresta médemede 4 e M é o ponto médio da aresta $\overline{AB}$.

A área do triângulo MHG é

a) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}4\sqrt[]{2}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}8\sqrt[]{2}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}16\sqrt[]{2}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}32\sqrt[]{2}\end{array}$

alternativa c

13. Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles com as medidas indicadas na figura.

Sabendo quêque a altura do prisma é igual a $\frac{1}{3}$ do perímetro da base, calcule a área total da superfícíesuperfície do prisma.

S_t = 132 dm²

14. Em um paralelepípedo reto-retângulo, o comprimento é o dôbrodobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo quêque a área total é 424 cm², calcule as dimensões desconhecidas dêêssedesse paralelepípedo.

8 cm; 4 cm

15. As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são números consecutivos. Sabendo quêque a soma das medidas de todas as arestas é 84 cm, calcule a área total da superfícíesuperfície dêêssedesse paralelepípedo.

292 cm²

16. (UFRN) Atualmente, uma das técnicas muito utilizadas no cultivo de hortaliças é a produção em estufas (plasticultura), pois, entre outros fatores, possibilita a proteção contra chuvas, frio, insetos e um aumento da produtividade, quêque pódepode atingir até 200%, como no exemplo da abóbora italiana.

1.192 m²

Considerando uma estufa como a representada acima, em quêque o triângulo da fachada é isósceles, calcule a área de plástico utilizado para revesti-la totalmente (exceto o piso).

17. (UnB-DF) Em um prisma triangular regular, a área lateral é o quádruplo da área da base. Sabendo quêque o triângulo da base pódepode sêrser inscrito em uma circunferência de raio 2 dm, calcule a área total do prisma em decimetros quadrados e multiplique o resultado por $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ .

54 dm²

18. Calcule a área total dos prismas rétosretos ilustrados.

a)

470 cm²

b)

280 m²

19. (UFPE) Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice A do paralelepípedo reto ilustrado a seguir.

Qual a menor distância quêque ela precisa percorrer para chegar ao vértice B (caminhando sobre a superfícíesuperfície do paralelepípedo)?

15 unidades de comprimento

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Volume de um paralelepípedo reto-retângulo

Para medir o volume do espaço ocupado por um sólido S, precisamos comparar esse sólido com uma unidade de medida de volume.

Vamos considerar, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões 5 m, 2 m e 4 m.

Note quêque, ao dividir esse bloco retangular em cubos com arestas medindo 1 m, podemos determinar a quantidade de cubos quêque o compõem da seguinte maneira:

$\underset{\mathrm{número\; de\; cubos\; em\; cada\; camada}}{\underbrace{5\cdot 2}}$ ⋅ $\underset{\mathrm{número\; de\; camadas}}{\underbrace{4}}$= 40

Portanto, esse paralelepípedo é compôztocomposto de 40 cubos com 1 m³ de volume cada. Assim, o volume total é igual a 40 m³.

Note quêque o volume V do paralelepípedo, nesse caso, poderia sêrser obtídoobtido multiplicando-se suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Observe:

V = 5 m ⋅ 2 m ⋅ 4 m = 40 m³

No caso geral de um paralelepípedo reto-retângulo qualquer, prova-se quêque o volume V dêêssedesse paralelepípedo de dimensões com medidas a, b e c é dado por:

Saiba quêque...

A grandeza volume se relaciona com a grandeza capacidade; dêêssedesse modo, podemos também relacionar suas unidades de medida. Observe um exemplo: 1 m³ = 1.000 L

Como o produto a ⋅ b equivale à área da base A_b e c é a medida h da altura, podemos dizêrdizer quêque o volume do paralelepípedo é igual ao produto da área da base pela medida da altura:

Observe como calcular o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5,32 m, 2,08 m e 2,2 m.

V = 5,32 m ⋅ 2,08 m ⋅ 2,2 m ≃ 24,34 m³

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Volume de um cubo

Em um cubo, as três dimensões têm a mesma medida e, indicando cada uma delas por a, seu volume é dado por:

Princípio de Cavalieri

Apresentamos o cálculo quêque determina o volume do paralelepípedo reto-retângulo e do cubo. No entanto, a fórmula para o cálculo do volume de outros sólidos pódepode não sêrser tão simples e, para estabelecê-la, precisamos de um resultado matemático, conhecido como princípio de Cavalieri.

Vamos considerar duas pilhas de papel sulfite idênticas, com a mesma quantidade de fô-lhasfolhas em cada uma, colocadas sobre uma mesa.

Saiba quêque...

O princípio de Cavalieri foi desenvolvido pelo matemático italiano FrantiescoFrancesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647).

Observando as duas pilhas, podemos destacar algumas características: a altura é a mesma, pois cada uma tem a mesma quantidade de fô-lhasfolhas; as fô-lhasfolhas de cada pilha quêque ficam à mesma distância da mesa têm a mesma área; e as duas pilhas têm o mesmo volume, uma vez quêque são formadas pela mesma quantidade de fô-lhasfolhas.

Essa ideia ilustra o princípio de Cavalieri, apresentado a seguir.

Considere dois sólidos A e B de mesma altura com as bases contidas em um mesmo plano horizontal (alfa)"α. Traçando um plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α e secante aos sólidos, determinamos duas secções transversais, cujas áreas são S₁ e S₂.

O princípio de Cavalieri afirma quêque, se, para todo plano (beta)"β, nas condições anteriores, tivermos S₁ = S₂, então os sólidos A e B terão o mesmo volume.

O princípio de Cavalieri pódepode sêrser demonstrado; no entanto, não o faremos aqui, por esse cálculo envolver conceitos matemáticos quêque não são estudados no Ensino Médio. Vamos considerá-lo verdadeiro e aplicá-lo para a determinação do volume de alguns sólidos.

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Volume de um prisma

cértoCerto fabricante de itens alimentícios tem, em seu catálogo, um produto cuja embalagem lembra um prisma de base hexagonal, como podemos observar na imagem.

Para propósitos de armazenamento, o fabricante precisa saber qual é o volume ocupado por cada embalagem. Como ele pódepode determinar isso?

Para responder a essa pergunta, vamos usar o princípio de Cavalieri e determinar uma fórmula para calcular o volume de um prisma.

Seja A um sólido de altura h e área da base S_b. Considere, ainda, um paralelepípedo reto-retângulo B de mesma altura h e área da base também S_b. Ambos estão apoiados no plano (alfa)"α.

Qualquer plano (beta)"β, paralelo ao plano (alfa)"α, quêque intersecte os sólidos A e B determina secções transversais congruentes às respectivas bases. Como as áreas das bases de A e B são iguais e valem S_b, então as secções transversais também têm área igual a S_b. Portanto, pelo princípio de Cavalieri, concluímos quêque o volume do prisma A é igual ao volume do paralelepípedo reto-retângulo B.

Como o volume do paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto da área da base S_b pela medida da altura h, então o volume do prisma V_prisma também será calculado da mesma maneira. Assim, podemos escrever:

Pense e responda

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FÓRUM

Página sessenta e nove69

ATIVIDADE RESOLVIDA

6. (Enem/MEC) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m × 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo quêque os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha quêque ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga mássimamáxima: ele sofre um acidente quêque ocasiona um furo no fundo do compartimento C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. Após o fim do vazamento, o volume do petróleo derramado terá sido de

a) 1,4 × 10³ m³

b) 1,8 × 10³ m³

c) 2,0 × 10³ m³

d) 3,2 × 10³ m³

e) 6,0 × 10³ m³

Resolução

Vamos calcular o volume da região acima das placas e do compartimento C, onde está o furo quêque provocará o vazamento.

Assim, temos:

V = 60 ⋅ 10 ⋅ (10 − 7) + (60 ∶ 3) ⋅ 10 ⋅ 7

V = 1.800 + 1.400

V = 3.200

Dessa maneira, o volume de petróleo derramado é igual a 3,2 ⋅ 10³ m³.

Outro modo de resolver a questão é calcular o volume total do reservatório e subtrair o volume dos compartimentos A e B.

V = 60 ⋅ 10 ⋅ 10 − 2 ⋅ (60 ∶ 3) ⋅ 10 ⋅ 7

V = 6.000 − 2.800

V = 3.200

A resposta correta é a alternativa d.

ATIVIDADES

20. Qual é o volume, em métrometro cúbico, de argila necessário para produzir 5.000 tijolos, tendo cada tijolo a forma de um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões 18 cm, 9 cm e 6 cm?

4,86 m³

21. As medidas das arestas de um paralelepípedo reto-retângulo formam uma progressão geométrica. Se a menor das arestas médemede $\frac{1}{2}$ cm e o volume de tal paralelepípedo é 64 cm³, calcule as medidas das outras arestas.

4 cm e 32 cm

22. (UEPB) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal médemede $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ m, tem capacidade igual a:

a) 4.000 litros

b) 6.000 litros

c) 8.000 litros

d) 2.000 litros

e) 1.000 litros

alternativa c

23. Uma empresa alimentícia vai começar a produzir bôm-bônsbombons de chocolate em formatos de cubo de aresta 4 cm e de paralelepípedo reto-retângulo com comprimento de 6 cm, largura de 5 cm e altura de 2 cm. Serão produzidos três tipos: chocolate ao leite, meio amargo e branco. A seguir, temos as dimensões dos bôm-bônsbombons e os custos de produção dos chocolates.

Elabore um problema quêque associe as dimensões dos bôm-bônsbombons ao custo por cm³.

Resposta pessoal.

Página setenta70

24. (UEPG-PR) As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de:

a) 8.400 L

b) 84 L

c) 840 L

d) 8,4 L

e) n.d.a.

alternativa c

25. (UFRN) Quando se diz quêque, numa região, caiu uma chuva com precipitação de 10 mm de á guaágua, isso significa quêque cada métrometro quadrado dessa região recebeu 10 litros de á guaágua da chuva. Uma caixa-d’água de 1,5 m de altura, 0,8 m de largura e 1,4 m de comprimento, com uma abertura na face superior, na forma de um quadrado com 40 cm de lado, recebeu á guaágua diretamente de uma chuva de 70 mm.
Admitindo-se quêque a caixa só tenha recebido á guaágua da chuva, pode-se afirmar quêque o nível da á guaágua nessa caixa aumentou:

a) 0,8 cm

b) 1 cm

c) 1,2 cm

d) 2 cm

alternativa b

26. Uma barra de chocolate tem o formato da figura a seguir. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. (Use $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ _ = 1,73.)

83,04 cm³

27. Uma pizzaria projetou uma caixa para colocar suas pitssaspizzas no formato de um prisma regular reto com base octogonal com lado de medida x e com altura de medida y. Reservou-se um espaço para armazenamento das caixas e verificou-se quêque era possível montar 10 pilhas de 40 caixas cada. Determine uma fórmula para o volume quêque as caixas ocuparão.

O volume quêque as caixas ocuparão é $800x^{2}y\left(1+\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}\right)$.

28. Um prisma reto de ferro, de densidade aproximada 7,5 g/cm³, tem por base um trapézio isósceles, como indica a figura.

Saiba quêque...

A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume dêêssedesse corpo.

Determine:

a) o volume dêêssedesse sólido;

12.000 cm³

b) a massa dêêssedesse sólido.

90 kg

29. Um arquiteto fez o projeto de construção de uma coluna de concreto quêque vai sustentar uma ponte. A coluna tem a forma de um prisma hexagonal regular de aresta de base 2 m e altura 8 m. Calcule:

a) a área lateral da estrutura de madeira quêque deve sêrser utilizada para a construção da coluna;

96 m²

b) o volume de concreto necessário para preencher a forma da coluna.

$\begin{array}{c}48\sqrt[]{3}\end{array}$ m³

30. (Ufersa-RN) De uma viga de madeira de secção quadrada de lado (éli)"ℓ = 10 cm, extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme a figura.
O volume da cunha é:

a) 250 cm³

b) 500 cm³

c) 750 cm³

d) 1.000 cm³

alternativa c

31. (UFRGS-RS) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira quêque dois de seus vértices, P e Q, sêjamsejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior dêêssedesse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura a seguir.

O volume dêêssedesse sólido é:

a) 64

b) 128

c) 256

d) 512

e) 1.024

alternativa c

Página setenta e um71

Pirâmides

Além dos prismas, há outro grupo de poliedros cujo formato pódepode sêrser associado a objetos do cotidiano.

Esse tipo de poliedro é denominado pirâmide.

Considere um plano (alfa)"α, um polígono convexo contido em (alfa)"α e um ponto V quêque não pertence a (alfa)"α.

Pirâmide é a figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta quêque têm uma extremidade no ponto V e a outra em um ponto do polígono.

Considerando a pirâmide representada na figura a seguir, destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Base: é o polígono convexo ABCDE contido no plano (alfa)"α;

• Vértice da pirâmide: é o ponto V;

• Vértices da base: são os pontos A, B, C, D, E;

• Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VEA;

• Arestas da base: são os lados do polígono da base $\overline{AB}$, $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ $\overline{DE}$ e $\overline{EA}$;

• Arestas laterais: são os segmentos de reta $\overline{VA}$, $\overline{VB}$, $\overline{VC}$, $\overline{VD}$ e $\overline{VE}$;

• Altura: é a distância entre o ponto V e o plano da base, (alfa)"α.

pôdêmosPodemos classificar as pirâmides de acôr-doacordo com o número de lados do polígono da base. Por exemplo, as pirâmides podem sêrser triangulares, quando a base é um triângulo; quadrangulares, quando a base é um quadrilátero; pentagonais, quando a base é um pentágono; e assim por diante.

Página setenta e dois72

Pirâmide regular

Uma pirâmide é regular se sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal de seu vértice coincide com o centro O dêêssedesse polígono.

Saiba quêque...

O centro de um polígono regular é o centro da circunferência circunscrita ao polígono, ou seja, é o ponto quêque equidista dos vértices dêêssedesse polígono.

Considerando a pirâmide regular de base quadrada representada destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Raio da base: é o raio da circunferência de centro O circunscrita ao polígono regular da base; sua medida é indicada por r;

• Altura da pirâmide: é a medida do segmento de reta $\overline{VO}$ , quêque liga o vértice V ao centro da base, indicada por h;

• Faces laterais: são triângulos isósceles congruentes;

• Arestas laterais: são congruentes e sua medida é indicada por a;

• Arestas da base: são congruentes, pois correspondem aos lados do polígono regular da base, e sua medida é indicada por (éli)"ℓ;

• Apótema da base: é o apótema do polígono regular da base, ou seja, o segmento $\overline{OM}$, em quêque M é o ponto médio de um dos lados, e sua medida é indicada por m;

• Apótema da pirâmide: é a altura de cada face lateral (correspondente à altura $\overline{VM}$ relativa à base de um triângulo isósceles), cuja medida é indicada por g.

Nas pirâmides regulares, podemos determinar algumas de suas medidas conhecendo outras e aplicando o teorema de Pitágoras em alguns triângulos. Considere a pirâmide anterior e os seguintes triângulos retângulos:

Página setenta e três73

Área da superfícíesuperfície de uma pirâmide

A figura a seguir representa a planificação da superfícíesuperfície de uma pirâmide quadrangular regular.

Em uma pirâmide, definimos:

• área da base (S_b) como a área do polígono da base da pirâmide;

• área lateral (S(éli)"ℓ) como a soma das áreas de todas as faces laterais;

• área total (S_t)como a soma da área lateral e da área da base.

Então, podemos escrever:

Secção transversal de uma pirâmide

Denomina-se secção transversal da pirâmide a intersecção da pirâmide com um plano secante a ela, paralelo à base e a uma distância d do vértice V.

É possível provar quêque a secção transversal de uma pirâmide é um polígono semelhante ao polígono da base.

Pense e responda

Página setenta e quatro74

Volume de uma pirâmide

Considere a pirâmide P, de altura h e base ABCDE de área A₁, contida em um plano horizontal (alfa)"α, e um plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α e secante à pirâmide. O plano (beta)"β determina uma secção transversal A’B’C’D’E’ de área A₂, quêque é base da pirâmide Q de altura d (pirâmide menor) e semelhante à base ABCDE.

No Volume 2 desta Coleção, aprendemos quêque, se AB e A’B’ são os comprimentos dos lados correspondentes de dois polígonos semelhantes de áreas F e F’, então:

$$\begin{array}{c}\frac{F}{F^{\text{'}}}={\left(\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right)}^2\end{array}$$

Note, na figura anterior, quêque as respectivas faces laterais das pirâmides Q e P são triângulos semelhantes.

Usando semelhança de triângulos, pode-se demonstrar quêque as bases de áreas A₁

e A₂ são polígonos semelhantes com razão de semelhança $\frac{h}{d}$; então, $\begin{array}{c}\frac{A_1}{A_2}={\left(\frac{h}{d}\right)}^2\end{array}$.

Agora, considere duas pirâmides M e N de mesma altura h, com bases de mesma área A_M e A_N contidas em um plano horizontal (alfa)"α. Qualquer plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α e secante às pirâmides, determina duas secções transversais de áreas S_M e S_N, respectivamente.

Estudamos anteriormente quêque a razão entre a área da base e a da secção transversal de cada pirâmide vale $\begin{array}{c}\frac{A_M}{S_M}={\left(\frac{h}{d}\right)}^2\end{array}$ e $\begin{array}{c}\frac{A_N}{S_N}={\left(\frac{h}{d}\right)}^2\end{array}$.

Logo, $\begin{array}{c}\frac{A_M}{S_M}=\frac{A_N}{S_N}\end{array}$^.

Como A_M = A_N, concluímos quêque S_M = S_N para qualquer plano (beta)"β paralelo a (alfa)"α e secante às pirâmides.

Com isso, pelo princípio de Cavalieri, as pirâmides M e N têm o mesmo volume.

Provamos, assim, quêque duas pirâmides com bases de mesma área e com mesma altura têm volumes iguais. Esse fato será utilizado a seguir para determinar o volume de uma pirâmide.

Página setenta e cinco75

Para calcular o volume de uma pirâmide qualquer, primeiro vamos considerar um prisma reto de base triangular decomposto em três pirâmides triangulares, como mostram as figuras a seguir.

Observe quêque:

• as pirâmides I e II têm a mesma altura (altura do prisma) e têm bases congruentes ((triângulo)"△ABC ≅ (triângulo)"△DEF, pois cada triângulo é uma base do prisma), portanto, conforme o resultado da página anterior, as pirâmides I e II têm o mesmo volume;

• considerando as pirâmides II e III com suas respectivas bases CEF e BCE, a altura (distância do ponto D ao retângulo BCFE) dessas pirâmides é a mesma e elas têm bases congruentes ((triângulo)"△CEF ≅ (triângulo)"△BCE, pois cada um dêêssesdesses triângulos é a mêtádemetade do retângulo BCFE), portanto, novamente conforme o resultado da página anterior, as pirâmides II e III têm o mesmo volume.

Logo, as pirâmides I, II e III têm o mesmo volume, ou seja, V₁= V₂ = V₃.

Seja V_prisma = V₁ + V₂ + V₃ (soma dos volumes das três pirâmides) e considerando V₁ = V₂ = V₃ = V, temos:

V_prisma = V + V + V ⇒ V_prisma = 3V ⇒ V = $\begin{array}{c}\frac{V_{\text{prisma}}}{3}\end{array}$

Assim, o volume de cada pirâmide é igual a $\frac{1}{3}$ do volume do prisma triangular dado. Como o volume do prisma é V_prisma = S_b ⋅ h, podemos escrever:

V = $\begin{array}{c}\frac{V_{\text{prisma}}}{3}\end{array}$⇒ V = $\begin{array}{c}\frac{S_b\cdot h}{3}\end{array}$

Apesar de a obtenção da fórmula ter sido feita para uma pirâmide de base triangular, essa relação vale para o cálculo do volume de uma pirâmide de base qualquer, pois, como aprendemos na página anterior, pelo princípio de Cavalieri, duas pirâmides com bases de mesma área e mesma altura têm volumes iguais. Assim, o volume de uma pirâmide de base qualquer é igual ao volume de uma pirâmide com base triangular com mesma área da base e mesma altura.

Então, o volume de uma pirâmide qualquer de altura medindo h e área da base S_b é igual a:

Página setenta e seis76

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Em uma feira de artesanato, foi construída uma tenda com tecido no formato de uma pirâmide hexagonal regular com 8 m de altura e aresta da base medindo $\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ _ m. Considerando quêque quem armou a tenda deixou uma das faces laterais como porta (sem fechamento do tecido), calcule a quantidade de tecido necessária para a cobertura da tenda.

Resolução

Primeiro vamos representar a tenda e sua base:

Saiba quêque...

Em um triângulo equilátero, a medida da altura h, em relação a qualquer um dos lados, em função de seu lado (éli)"ℓ, pódepode sêrser ôbitídaobtida pelo teorema de Pitágoras da seguinte maneira:

h² = ($\frac{\mathcal{l}}{2}$)² = (éli)"ℓ² ⇒ h² = $\frac{3}{4}$ (éli)"ℓ² ⇒ h = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\mathcal{}\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$, pois h > 0

No triângulo AOB, OM é a altura e o apótema da base da pirâmide; logo, a medida m é:

m = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ ⇒ m = $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{3}}{2}\end{array}$= 6 ⇒ m = 6

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, temos:

g² = 6² + 8² ⇒ g² = 36 + 64 = 100 ⇒ g = 10, pois g > 0

Calculando área S_f de uma face da pirâmide, temos:

S_f = $\frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}$⇒ S_f = $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{3}\cdot 10}{2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}20\sqrt[]{3}\end{array}$ ⇒ S_f = $\begin{array}{c}20\sqrt[]{3}\end{array}$

Como uma das faces laterais (porta) não usará tecido, a área lateral será dada por:

5 ⋅ $\begin{array}{c}20\sqrt[]{3}\end{array}$ m² = $\begin{array}{c}100\sqrt[]{3}\end{array}$ m²

Portanto, serão necessários $\begin{array}{c}100\sqrt[]{3}\end{array}$ m² de tecido.

8. Calcule o volume de uma pirâmide cuja base é um quadrado de 3 cm de lado e a altura é 10 cm.

Resolução

Como V = $\frac{1}{3}$ ⋅ S_b ⋅ h, precisamos determinar a área da base (S_b).

A base é um quadrado, logo:

S_b = (éli)"ℓ² ⇒ S_b = 3² = 9 ⇒ S_b = 9

Calculando o volume (V), temos:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ S_b ⋅ h ⇒ V = $\frac{1}{3}$ ⋅ 9 ⋅ 10 = 30 ⇒ V = 30

Portanto, o volume da pirâmide é 30 cm³.

9. Em uma pirâmide hexagonal regular, a aresta da base médemede (éli)"ℓ = 2 cm. Sabendo quêque a área lateral da pirâmide é 30 cm², calcule o volume da pirâmide.

Resolução

Considere a pirâmide a seguir, com apótema da base m.

Como a base é um hekzágonohexágono regular, temos:

m = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ ⇒ m = $\begin{array}{c}\frac{2\sqrt[]{3}}{2}=\sqrt[]{3}\end{array}$ ⇒ m = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

Página setenta e sete77

Como a base da pirâmide é hexagonal, sua área lateral é 30 cm² e ela tem seis faces laterais. A área de cada face lateral é dada por:

S_f = $\begin{array}{c}\frac{S_{\mathcal{l}}}{6}\end{array}$ ⇒ S_f = $\frac{30}{6}$= 5 ⇒ S_f = 5

Logo, o apótema da pirâmide (g) é:

S_f = $\frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}$⇒ 5 = $\frac{2g}{2}$⇒ g = 5

Pelo teorema de Pitágoras, a altura da pirâmide (h) é:

g² = h² + m² ⇒ 5² = h² + ($\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$)₂ ⇒ h = $\begin{array}{c}\sqrt[]{22}\end{array}$ , pois h > 0

Para determinar o volume da pirâmide, precisamos calcular a área da base.

Como a base é um hekzágonohexágono regular, sua área é igual a seis vezes a área do triângulo equilátero de aresta (éli)"ℓ = 2 cm.

S_b = 6 ⋅$\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ ⇒ S_b = 6 ⋅$\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ = $\begin{array}{c}6\sqrt[]{3}\end{array}$ ⇒ S_b = $\begin{array}{c}6\sqrt[]{3}\end{array}$

Calculando o volume da pirâmide (V), temos:

V = $\frac{1}{3}$ S_b ⋅ h ⇒ V = $\begin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{22}=2\sqrt[]{66}\end{array}$⇒ V = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{66}\end{array}$

Portanto, o volume da pirâmide é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{66}\end{array}$ cm³.

10. Considere o tetraedro regular ABCV a seguir, de aresta de medida a = 4 cm, em quêque $\overline{AM}$ é uma mediana do triângulo equilátero ABC, base do tetraedro.

A partir dessas informações, determine:

a) a medida da mediana $\overline{AM}$;

b) a altura do tetraedro;

c) a área total da superfícíesuperfície do tetraedro.

Saiba quêque...

A mediana de um triângulo é um segmento de reta quêque tem uma de suas extremidades em um dos vértices do triângulo e a outra no ponto médio do lado ôpôstooposto a esse vértice.

No triângulo a seguir, $\overline{AM}$ é a mediana relativa ao lado $\overline{BC}$.

Resolução

a) Em um triângulo equilátero, a mediana coincide com a altura. Assim, a medida da mediana $\overline{AM}$ é igual à medida da altura relativa ao lado $\overline{BC}$do triângulo equilátero ABC, quêque tem lado de medida a, ou seja:

AM = $\begin{array}{c}\frac{a\sqrt[]{3}}{2}=\frac{4\sqrt[]{3}}{2}=2\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, a medida da mediana $\overline{AM}$é $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ cm.

b) A altura h de um tetraedro regular em função de sua aresta a é dada por h = $\begin{array}{c}\frac{a\sqrt[]{6}}{3}\end{array}$^.

Então: h = $\begin{array}{c}\frac{a\sqrt[]{6}}{3}=\frac{4\sqrt[]{6}}{3}\end{array}$

Portanto, a altura do tetraedro é $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{6}}{3}\end{array}$ cm.

A altura h de um tetraedro regular em função de sua aresta a foi ôbitídaobtida no boxe Pense e responda da página 73. Se achar necessário, mostrar aos estudantes como chegar a essa medida.

c) A área total S_t da superfícíesuperfície de um tetraedro regular é igual a 4 vezes a área de uma face (triângulo equilátero):

$$S_t=4\cdot S_f=4\cdot \frac{a\cdot AM}{2}=4\cdot \begin{array}{c}\frac{4\cdot 2\sqrt[]{3}}{2}\end{array}=\begin{array}{c}16\sqrt[]{3}\end{array}$$

Portanto, a área total da superfícíesuperfície do tetraedro é $\begin{array}{c}16\sqrt[]{3}\end{array}$ cm².

Página setenta e oito78

ATIVIDADES

32. Considere a pirâmide quadrangular regular indicada na figura e determine o quêque se pede.

a) A medida do apótema da base.

6 cm

b) A medida do apótema da pirâmide.

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{13}\end{array}$ cm

c) A medida da aresta lateral.

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{22}\end{array}$ cm

d) A área total da superfícíesuperfície da pirâmide.

$48\left(3+\begin{array}{c}\sqrt[]{13}\end{array}\right)$ cm²

33. Considere a pirâmide hexagonal regular indicada na figura e determine o quêque se pede.

a) A medida do apótema da base.

$\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

b) A medida do apótema da pirâmide.

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{21}\end{array}$ cm

c) A medida da aresta lateral.

10 cm

d) A área total da superfícíesuperfície da pirâmide.

$\begin{array}{c}48\sqrt[]{3\left(2+\sqrt[]{7}\right)}\end{array}$ cm²

34. Calcule a área lateral da superfícíesuperfície de uma pirâmide triangular regular cuja aresta lateral médemede 13 cm e o apótema da pirâmide médemede 12 cm.

180 cm²

35. A figura a seguir mostra uma pirâmide de base triangular em quêque todas as arestas têm medida igual a 15 cm. Determine a área total da superfícíesuperfície dessa pirâmide.

$\begin{array}{c}225\sqrt[]{3}\end{array}$ cm²

36. Em uma pirâmide regular de base quadrada, o perímetro da base é 40 cm. Sabendo quêque a altura da pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral da superfícíesuperfície dessa pirâmide.

260 cm²

37. (FUCMT) Determine o volume de uma pirâmide cuja planificação é:

V = $\frac{16}{3}$ u.v.

38. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm³ de volume e $\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ cm de altura. Qual a medida de aresta da base?

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

b) 3 cm

c) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

e) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ cm

alternativa b

39. (UFPE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à mêtádemetade da área lateral. Se a altura da pirâmide médemede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm³. Dado: use a aproximação: $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ≃ 1,73.

≃83 cm³

Página setenta e nove79

40. (hú éfe pê érreUFPR) As figuras a seguir apresentam um bloco retangular de base quadrada, uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero, e algumas de suas medidas.

a) Calcule o volume do bloco retangular e a área da base da pirâmide.

volume do bloco retangular: 128 u.v.; área da base da pirâmide: $\begin{array}{c}16\sqrt[]{3}\end{array}$ u.a.

b) Qual deve sêrser a altura da pirâmide para quêque seu volume seja igual ao do bloco retangular?

$\begin{array}{c}8\sqrt[]{3}\end{array}$ u.c.

41. (UFMA) A figura a seguir representa um paralelepípedo retângulo, no qual está inscrito um octaedro cujas 8 faces são triângulos equiláteros com 1 cm de lado. (Obs.: octaedro é o sólido resultante da reunião de duas pirâmides quadrangulares de bases congruentes.)

Nessas condições, é correto afirmar quêque o volume do paralelepípedo, em centimetros cúbicos, é:

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ cm

c) $\sqrt[]{2}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

alternativa c

42. (Unicamp-SP) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20 cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo quêque a face oposta à base do cubo kórticorte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5 cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo.

Ver as Orientações para o professor.

43. (Vunesp-SP) A ilustração mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida quêque as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura $\overline{EQ}$ traça-se o segmento $\overline{MN}$ perpendicular à aresta $\overline{OA}$. Se'a' expressa a medida de $\overline{MN}$, determine o volume da pirâmide em função de 'a'.

V = $\begin{array}{c}8a^3\sqrt[]{3}\end{array}$

44. Um artista projetou uma pirâmide regular de base quadrada para sêrser exposta na entrada de uma universidade. A pirâmide tem 4 metros de altura e o quadrado da base da pirâmide tem lado de 6 metros. As faces laterais da pirâmide devem sêrser pintadas, mas há uma restrição: a pirâmide não deve sêrser monocromática, ou seja, é necessário usar mais de uma côrcor na pintura. Acompanhe o rendimento de cada uma das cores de tinta disponíveis.

Elabore um problema envolvendo: custo, quantidade de cores e quantidade de demãos. Em seguida, troque-o com um colega para quêque um resôuvaresolva o problema do outro.

Resposta pessoal.

Página oitenta80

CONEXÕES com...
LINGUAGENS E SUAS TECNOLOGIAS
ár-teArte e Geometria

No período quêque antecede a década de 1950, a; ár-tea arte moderna no Brasil foi marcada por obras com referências nacionalistas, com temáticas indígenas, regionais e elemêntoselementos típicos brasileiros. Em 1951, na 1ª Bienal de São Paulo, a participação do artista sueco Max Bill (1908-1994) foi um dos marcos quêque rompeu com essa visão modernista, dando espaço à ár-tearte concreta, ou concretismo, no contexto brasileiro.

A ideia central dêêssedesse movimento artístico era a de quêque a; ár-tea arte fosse universal, compreendida e sentida sem depender de um contexto histórico-cultural. Assim, a base das criações são figuras geométricas, pois se trata de signos universais, e as obras são mais objetivas e racionais e se resumem a si próprias.

Dois grupos, Ruptura (em São Paulo) e Frente (no Rio de Janeiro), foram os principais precursores do concretismo no Brasil e deram origem a outros grupos. Contudo, os artistas do Grupo Frente, a fim de superar o objetivismo e a racionalidade da ár-tearte concreta, deram início ao neoconcretismo, com obras quêque permitiam dialogar mais com o espectador, possibilitando, inclusive, sua participação e interação. O texto a seguir nos conta um pouco sobre esse momento histórico.

O neoconcretismo e a ruptura com a; ár-tea arte tradicional

[…]

O ano de 1951 é um dos grandes marcos na história da ár-tearte brasileira e também um dos responsáveis por consolidar São Paulo como capital moderna do país e centro artístico mundial. Inspirada pêlospelos móldesmoldes europêuseuropeus da Bienal de Veneza, nasceu a 1ª Bienal de São Paulo. Entre Pablos Picassos, Anitas Malfattis, Renés Magrittes, estava ele: Max Bill […]. Também estava o jovem Ivan Serpa, quêque iniciava sua “busca construtiva pela abstração geométrica e pela organização matemática de suas telas” [_…]

É a partir de Max Bill, fundador da Escola Superior da Forma de Ulm, quêque o quêque entendemos como ár-tearte concreta surge: uma ár-tearte quêque é ligada a kestõesquestões matemáticas, quêque foge da representação da natureza e quêque é uma “concreção de uma ideia”. Uma ár-tearte quêque pódepode sêrser observada, controlada e verificada; uma busca pela excelência da forma para definir o quêque é belo. E isso inspira artistas paulistas a criar o Grupo Ruptura, cujas obras dispensam significados líricos ou simbólicos, ou seja, o qüadroquadro não tem significado além dele próprio e seus elemêntoselementos plásticos (planos e cores). O grupo rompe com o naturalismo da ár-tearte do século 20.

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Mas esse excéssoexcesso de racionalidade gera uma inquietação em um outro grupo de artistas, estes do Rio de Janeiro: o Grupo Frente.

“Esse negóssionegócio de Neoconcreto surgiu por causa de Max Bill, quêque fez uma conferência e os paulistas aceitaram sem discutir o problema concreto. No Rio de Janeiro nós protestamos, pois acreditamos quêque ár-tearte é fundamentalmente emoção. [_…]”

Depoimento de Amilcar de Castro

[_…]

Segundo Ferreira Gullar, poeta e um dos grandes nomes do movimento neoconcreto, a principal diferença entre os grupos é quêque no grupo carioca predominava uma busca intuitiva, “sem romper com o rigor construtivo” da ár-tearte concreta. [_…]

A partir daí, as investigações dos neoconcretos se desprenderam cada vez mais dos suportes tradicionais e suas obras começaram a explorar o espaço expositivo de novas maneiras, por vezes saindo do museu e/ou convidando o espectador a participar ativamente do trabalho, não mais como um mero observador e sim como co-autor/ativador da obra de; ár-tede arte.

[_…]

SALVÁ, Camila; DIEDRICH, Andressa. O neoconcretismo e a ruptura com a; ár-tea arte tradicional. Porto Alegre: Instituto Ling, 14 dez. 2020. Disponível em: https://livro.pw/zqecm. Acesso em: 1 set. 2024.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Defina, com suas palavras, o quêque foi o concretismo.

Espera-se quêque os estudantes digam quêque foi um movimento de; ár-tede arte quêque rompeu com o modernismo, dando espaço para obras com significado universal, sem quêque necessitassem de um contexto histórico-cultural. As obras apresentam figuras geométricas e são mais objetivas e racionais, resumindo-se a si próprias.

2. por quêPor que os artistas do Grupo Frente sentiram a necessidade de criar o neoconcretismo?

Porque acreditavam quêque a emoção também era fundamental na ár-teArte. Nesse grupo, predominava uma busca intuitiva, superando a ideia puramente objetiva e racional, porém sem romper com o rigor construtivo.

3. Observe a seguir uma escultura de Amilcar de Castro e responda aos itens.

a) É possível perceber quêque a escultura é formada por dois poliedros “encaixados”. Esses poliedros são prismas ou são pirâmides?

Os poliedros são prismas.

b) Suponha quêque seja necessário transportar essa peça para uma exposição em uma escola da cidade. Para isso, a transportadora separou uma caixa no formato de um cubo. Com um colega, estimem as dimensões mínimas quêque essa caixa deve ter para o transporte da peça.

O cubo deve ter, no mínimo, 210 cm de aresta.

4. Junte-se a três côlégascolegas, e pesquisem sobre a vida e a obra de um artista do movimento concretista ou neoconcretista. Preparem uma exposição de fotografias do artista e de suas obras e, no dia combinado com o professor, apresentem as informações para os espectadores.

Resposta pessoal. Alguns artistas quêque podem sêrser pesquisados pêlospelos estudantes, entre outros, são: Abraham Palatnik, Amilcar de Castro, Franz Weissmann, Hélio Oiticica, Max Bill, Ivan Serpa, LígiaLygia Clark, LígiaLygia Pape, Sérvulo Esmeraldo e Willys de Castro.

Para acessar

• LYGIA Clark: projeto para um planêtaplaneta. São Paulo: Pinacoteca de São Paulo, c2024. Localizável em: Conteúdos digitais: Tour virtual. Disponível em: https://livro.pw/bgywd. Acesso em: 19 set. 2024.

Por meio do línkilink, é possível fazer uma visita virtual à exposição Projeto para um planêtaplaneta, de LígiaLygia Clark. A artista do neoconcretismo criou peças feitas de metal e articuladas, o quêque possibilita movimento às esculturas.

Se julgar conveniente, pode-se propor aos estudantes quêque pesquisem se há alguma exposição como essa na região em quêque moram e quêque, se possível, visitem um dêêssesdesses museus e compartilhem a experiência com a turma.

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EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Conhecendo o GeoGebra

Orientar os estudantes a navegar pelo sáitisite do GeoGebra, pois nele há uma comunidade de discussão e muitas informações disponíveis, inclusive alguns tutoriais e materiais produzidos por professores.

O GeoGebra é um software de Matemática dinâmica quêque pódepode sêrser utilizado em todos os níveis de ensino. Trata-se de uma multiplataforma, pois tem portabilidade em todos os sistemas operacionais e pódepode sêrser instalada em computadores, tablets e smartphones.

Sua instalação deve sêrser feita por meio do sáitisite oficial https://livro.pw/jtbfa (acesso em: 1 set. 2024), baixando-se o software GeoGebra Clássico 6 e seguindo-se as orientações de instalação.

O GeoGebra também pódepode sêrser usado em sua versão ôn láinion-line, sem a necessidade de instalação, pelo sáitisite https://livro.pw/otpjb (acesso em: 1 set. 2024).

Ao abrir o software instalado ou a versão ôn láinion-line, aparece uma tela inicial composta de várias janelas, com ferramentas e exibições específicas de acôr-doacordo com a utilização. A seguir, apresentamos a tela inicial com algumas de suas funções.

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Além da janela de Álgebra e da janela de visualização, quêque são mostradas na tela inicial padrão, o GeoGebra tem outras janelas quêque, dependendo da construção quêque se deseja realizar, podem sêrser acionadas no menúmenu Exibir. Quando necessário, essas outras janelas serão exibidas durante a realização das construções.

Todas as janelas do GeoGebra estão relacionadas dinamicamente, ou seja, ao se realizar uma alteração em algum objeto em uma delas, todas as representações dêêssedesse mesmo objeto nas demais janelas serão alteradas automaticamente.

O GeoGebra utiliza linguagem e notação próprias, quêque podem diferir um pouco das utilizadas nesta Coleção. Por exemplo, para a separação da parte decimal de um número, o software usa o ponto no lugar da vírgula; para indicar as coordenadas de um ponto A qualquer, a notação é A = (0,0), em vez de A(0, 0). Ao longo da Coleção, conforme necessário, apresentaremos outras particularidades do GeoGebra.

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Construção de modelos de sólidos geométricos

Vamos utilizar o GeoGebra para construir um modelo de sólido geométrico e, em seguida, observar sua planificação. Para isso, acompanhe os passos a seguir.

I. Clique sobre o botão selecione a ferramenta Polígono regular, marque os pontos A(0,0) e B(0,2) no plano cartesiano, digite"3" na caixa de diálogo quêque será aberta para informar o número de lados e pressione OK. Na janela de visualização, será criado um triângulo equilátero de lado de medida duas unidades2 unidades.

II. No menúmenu marque a opção janela de visualização 3D. Ao lado da janela de visualização, aparecerá uma outra janela, mostrando um sistema cartesiano tridimensional quêque está interligado com o sistema cartesiano da janela de visualização. O plano cinza na janela de visualização 3D representa o plano da janela de visualização em quêque construímos o triângulo equilátero.

III. Ao clicar na janela de visualização 3D, uma nova barra de ferramentas substituirá a anterior, com instrumentos para a construção de elemêntoselementos no campo tridimensional, como planos e sólidos geométricos. Observe a imagem a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

IV. Clique sobre o ícone , escolha a ferramenta Extrusão para prisma, e, em seguida, clique no triângulo na janela de visualização 3D. Na sequência, digite"2" na caixa de diálogo aberta para informar a altura do prisma e pressione OK. Desse modo, será construído um prisma regular de base triangular com altura medindo duas unidades2 unidades. A tela do software ficará semelhante à imagem a seguir.

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V. Para planificar o prisma, no mesmo ícone do item anterior, escolha a ferramenta Planificação e, na janela de visualização 3D, clique no prisma construído. Na janela de visualização e na janela de visualização 3D, a planificação do prisma aparecerá, ficando semelhante à imagem a seguir.

VI. Você perceberá quêque um contrôleControle deslizante foi criado. Ao alterar o valor dêêssedesse contrôleControle deslizante, é possível visualizar o processo de planificação do prisma na janela de visualização 3D, como apresentado na imagem a seguir.

Além do software apresentado, há outros quêque possibilitam visualizar a planificação de sólidos geométricos. Um dêêssesdesses softwares é o Poly, quêque pódepode sêrser baixado em https://livro.pw/hcnba (acesso em: 19 set. 2024). Se achar conveniente, apresentá-lo aos estudantes.

Agora, faça o quêque se pede na atividade a seguir.

1. Construa os seguintes sólidos geométricos no GeoGebra e represente suas planificações, conforme as orientações apresentadas na seção.

a) Prisma regular de base pentagonal com lado medindo 3 unidades e altura 5 unidades

1. a) A construção deve sêrser de um prisma regular com base pentagonal de lado medindo 3 unidades e altura 5 unidades e deve sêrser feita sua planificação.

b) Pirâmide regular de base quadrada com lado medindo duas unidades2 unidades e altura 4 unidades. Nesse caso, a ferramenta utilizada no passo IV das orientações deve sêrser Fazer extrusão para pirâmide, .

A construção deve sêrser de uma pirâmide regular de base quadrada com lado medindo duas unidades2 unidades e altura 4 unidades e deve sêrser feita sua planificação.

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ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (Enem/MEC) Dentre as diversas planificações possíveis para o cubo, uma delas é a quêque se encontra apresentada na Figura 1.

Em um cubo, foram pintados, em três de suas faces, quadrados de côrcor cinza escura, quêque ocupam um quarto dessas faces, tendo esses três quadrados um vértice em comum, conforme ilustrado na Figura 2.

A planificação do cubo da Figura 2, conforme o tipo de planificação apresentada na Figura 1, é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa d

2. (UFCG-PB) Um professor de Matemática, em uma aula de Geometria, pediu quêque cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares. pôdêmosPodemos afirmar quêque o número de vértices do poliedro construído por cada aluno é igual a:

a) 28

b) 12

c) 19

d) 27

e) 41

alternativa b

3. (EsPCEx-SP) Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo P. Com base nessas informações, pode-se concluir quêque o polígono P é um:

a) dodecágono.

b) octógono.

c) pentágono.

d) quadrilátero.

e) triângulo.

alternativa e

4. (UFJF-MG) A figura abaixo corresponde à planificação de um determinado poliedro:

O número de vértices dêêssedesse poliedro é

a) 12

b) 18

c) 21

d) 30

e) 36

alternativa a

5. (UFPI) Um poliedro convexo, constituído de faces triangulares e quadrangulares, possui 20 arestas, e a soma dos ângulos de suas faces é igual a 2.880°. É correto afirmar quêque esse poliedro possui:

a) 8 faces triangulares.

b) 12 vértices.

c) 10 faces.

d) 8 faces quadrangulares.

alternativa a

6. (Fuvest-SP) Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces dêêssedesse deltaedro é:

(Note e adote: Em poliedros convexos, vale a relação de ÓilerEuler F − A + V = 2, em quêque F é o número de faces, A é o número de arestas e V é o número de vértices do poliedro.)

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

alternativa e

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7. (Enem/MEC) Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com capacidade para 90.000 L de á guaágua. O casal contratou uma empresa de construções quêque apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a sêrser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto quêque exija a menor área de revestimento.
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:

• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;

• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;

• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;

• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;

• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.

O projeto quêque o casal deverá escolher será o

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

alternativa b

8. (Famerp-SP) Dois cubos idênticos, de aresta igual a 1 dm, foram unidos com sobreposição perfeita de duas das suas faces. P é vértice de um dos cubos, Q é vértice do outro cubo e R é vértice compartilhado por ambos os cubos, conforme indica a figura. A área do triângulo de vértices P, Q e R é igual a

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{6}}{2}\end{array}$ dm²

b) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{6}}{3}\end{array}$ dm²

c) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ dm²

d) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{6}}{6}\end{array}$ dm²

e) $\begin{array}{c}\frac{2\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$ _ dm²

alternativa a

9. (Enem/MEC) O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo reto retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, rêzouvêoresolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dôbrodobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.

Em relação ao previsto para o projeto original, as novas quantidades de tinta necessárias informadas pêlospelos fornecedores foram as seguintes:

• Fornecedor I: “O dôbrodobro, tanto para as paredes quanto para o piso.”

• Fornecedor II: “O dôbrodobro para as paredes e quatro vezes para o piso.”

• Fornecedor III: “Quatro vezes, tanto para as paredes quanto para o piso.”

• Fornecedor IV: “Quatro vezes para as paredes e o dôbrodobro para o piso.”

• Fornecedor V: “Oito vezes para as paredes e quatro vezes para o piso.”

Analisando as informações dos fornecedores, o construtor providenciará a quantidade adequada de material. Considere a porta de acesso do contêiner como parte de uma das paredes. Qual dos fornecedores prestou as informações adequadas, devendo sêrser o escolhido pelo construtor para a aquisição do material?

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

alternativa b

10. (Fuvest-SP) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto-retângulo.

A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

a) 2,1 m³

b) 2,3 m³

c) 3,0 m³

d) 4,2 m³

e) 6,0 m³

alternativa a

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11. (Unicamp-SP) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2 cm², 3 cm² e 4 cm². O volume dêêssedesse paralelepípedo é igual a

a) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ cm³

b) $\begin{array}{c}2\sqrt[]{6}\end{array}$ cm³

c) 24 cm³

d) 12 cm³

alternativa b

12. (Unicamp-SP) Se um tetraedro e um cubo têm áreas de superfícíesuperfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\sqrt[]{3}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{2}\sqrt[]{3}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\sqrt[4]{3}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{3}\end{array}$

alternativa c

13. (UEG-GO) Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou quêque fosse construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a

a) 25 cm³

b) 30 cm³

c) 13 cm³

d) 9 cm³

e) 12 cm³

alternativa b

14. (ú éfi érri jótaUFRJ) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base médemede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em métrometro quadrado, é:

a) 13.272

b) 26.544

c) 39.816

d) 53.088

e) 79.432

alternativa d

15. (Enem/MEC) Um processo de aeração, quêque consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, quêque aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acôr-doacordo com a figura.

Os tanques T1 e T2 são prismas rétosretos de bases retangulares, sêndosendo quêque a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento $\frac{c}{2}$ e largura 2L.

Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido quêque já saiu de T1, denotada por x, e a altura da coluna de líquido quêque chegou a T2, denotada por y.

Disponível em: w ww.dec.ufcg.edu.br. Acesso em: 21 abr. 2015.

A equação quêque relaciona as medidas das alturas y e x é dada por

a) y = 1,265x

b) y = 1,250x

c) y = 1,150x

d) y = 1,125x

e) y = x

alternativa a

16. (Enem/MEC) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se á guaágua até a altura de 8 cm e um objeto, quêque ficou flutuando na superfícíesuperfície da á guaágua.

Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de á guaágua deve sêrser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de á guaágua chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bó-linhasbolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, quêque ficarão totalmente submérsassubmersas.

O número mínimo de bó-linhasbolinhas necessárias para quêque se possa retirar o objeto quêque flutua na á guaágua, seguindo as instruções dadas, é de

a) 14.

b) 16.

c) 18.

d) 30.

e) 34.

alternativa a

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17. (UFRGS-RS) De cada vértice de um cubo de aresta medindo a, corta-se uma pirâmide. A figura abaixo mostra os vértices de uma das pirâmides, em quêque I, J e K são pontos médios de arestas e A é vértice do cubo.

Depois de retiradas todas as pirâmides, o volume do sólido quêque resta é

a) $\begin{array}{c}\frac{a^3}{2}\end{array}$ .