CAPÍTULO 4
ANÁLISE COMBINATÓRIA

Em 1961, foi publicado o livro Cent mille milliards de poèmes (Cem mil bilhões de poemas), do escritor francês Raymond Queneau (1903-1976), quêque encantou os amantes de poesia e da Matemática. A obra rompeu com a estrutura convencional dos livros e explorou a criatividade do leitor, por meio de uma experiência interativa com os versos.

Esse livro contém dez sonetos impressos na frente de cada página. Como um soneto é um poema compôztocomposto de 14 versos, as páginas são divididas em 14 tiras horizontais, permitindo quêque os versos de uma página sêjamsejam combinados com os de outras páginas. Essa ideia engenhosa no formato físico do livro deixa fluir a criatividade do leitor, quêque pódepode compor, com base nas possibilidades de combinações, ${10}^{14}$ sonetos distintos, todos com a mesma estrutura, ou, como sugere o título, “cem mil bilhões de poemas”.

A ideia é possibilitar a criação de sonetos clássicos regulares (dois quartêtosquartetos e dois tercetos) bem construídos, por meio de uma “máquina de produzir poemas”.

Ver as Orientações para o professor.

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Introdução

Diariamente, inserimos em nóssosnossos computadores, smartphones ou tablets uma série de dados pessoais protegidos por senhas. Uma senha pódepode conter lêtrasletras, maiúsculas ou minúsculas, números e símbolos. Dependendo da quantidade de caracteres utilizados, o número de possibilidades de senhas diferentes pódepode sêrser da ordem dos milhões; por exemplo: existem 11.881.376 senhas diferentes compostas de exatamente cinco lêtrasletras minúsculas do nosso alfabeto.

Quantificar o número de possibilidades de senhas é um assunto da Combinatória, área da Matemática quêque analisa e estuda problemas de contagem de possibilidades, além de outros conteúdos. Neste Capítulo, vamos estudar e conhecer algumas técnicas de contagem de possibilidades da Combinatória, como o princípio multiplicativo, a permutação, o arranjo simples e a combinação simples.

Princípio multiplicativo

Antes de apresentarmos a definição do princípio multiplicativo, vamos analisar dois problemas.

Problema 1: De quantos modos distintos Adelaide pódepode vestir o manequim de sua loja, sabendo-se quêque ela separou, para a realização dessa tarefa, uma calça, uma bermuda e quatro camisetas?

Todas as possibilidades de vestir esse manequim estão representadas no diagrama a seguir, denominado árvore de possibilidades ou diagrama de árvore. Para isso, consideramos: as indicações bermuda (B) e calça (C); as quatro camisetas, nas cores vêrdeverde (V), azul (A), preta (P) e rosa (R); e o resultado BV, por exemplo, quêque representa a composição do manequim com a bermuda e a camiseta vêrdeverde.

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Pelo diagrama, há 8 possibilidades diferentes de se vestir o manequim. Outro modo de solucionar esse problema é efetuando a seguinte multiplicação:

2 ⋅ 4 = 8

Nessa multiplicação:

• o fator 2 é o número de possibilidades para vestir a parte de baixo do manequim (bermuda ou calça);

• o fator 4 é o número de possibilidades para vestir a parte de cima do manequim (camiseta).

Problema 2: Usando apenas os algarismos 2, 3, 7 e 9, sem repeti-los, quantos números naturais podemos formárformar de modo quêque sêjamsejam maiores do quêque 400 e menóresmenores do quêque 999?

O diagrama de árvore a seguir mostra todos os números quêque podemos formárformar respeitando as condições do problema.

Portanto, há 12 possibilidades de números naturais quêque podemos formárformar respeitando as condições impostas. Outro modo de solucionar esse problema é efetuando a seguinte multiplicação:

2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12

Nessa multiplicação:

• o primeiro fator 2 é o número de possibilidades de algarismos para a centena (7 ou 9), uma vez quêque os números devem sêrser maiores do quêque 400;

• o fator 3 é o número de possibilidades para a dezena, pois, uma vez definido o algarismo da centena, ele não pódepode sêrser repetido na dezena;

• o último fator 2 é o número de possibilidades para a unidade, já quêque, uma vez definidos o algarismo da centena e o algarismo da dezena, nenhum deles pódepode sêrser repetido na unidade.

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Os problemas anteriores exemplificam o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem, quêque pódepode sêrser definido do seguinte modo:

O princípio multiplicativo é uma das ferramentas básicas de contagem e é uma das mais utilizadas para solucionar problemas dêêssedesse tipo. Para utilizá-lo, é necessário identificar o evento, estabelecer em quantas etapas ele pódepode acontecer e, para cada uma das etapas, quantificar suas possibilidades de ocorrência. Além díssudisso, dependendo das condições impostas pelo problema, devemos adotar determinadas estratégias para a utilização dêêssedesse princípio.

Observe, a seguir, cinco exemplos.

Exemplo 1: Uma pesquisa elaborou um questionário contendo 8 perguntas de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma. Se o entrevistado deve responder a todas as perguntas, escolhendo uma única alternativa, quantas respostas diferentes para esse questionário a pesquisa pódepode receber?

Identificar o evento, estabelecer em quantas etapas ele pódepode acontecer e quantificar as possibilidades de ocorrência de cada etapa é um processo de criatividade e imaginação.

Neste exemplo, imagine quêque você responderá às 8 perguntas dêêssedesse quêquestionário na ordem em que elas são apresentadas. Desse modo, temos o evento “responder ao questionário” sêndosendo executado em 8 etapas, sêndosendo quêque cada etapa é a seleção da resposta para uma pergunta. Além díssudisso, como há 4 alternativas em cada pergunta, há 4 possibilidades em cada etapa.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, a quantidade de respostas diferentes para esse questionário é dada pela multiplicação a seguir.

Portanto, a pesquisa pódepode receber 65.536 respostas diferentes para o questionário.

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Exemplo 2: De quantos modos diferentes quatro pessoas podem se sentar em um banco de cinco lugares?

Para determinar o evento dêêssedesse exemplo, vamos imaginar quêque as quatro pessoas se sentam no banco uma após a outra, isto é, a primeira pessoa escolhe um lugar e se senta no banco; depois, a segunda pessoa faz o mesmo; em seguida, a terceira pessoa; e, por fim, a quarta pessoa. Desse modo, temos o evento “sentar-se em um banco de cinco lugares” sêndosendo executado em 4 etapas. Além díssudisso, há:

• 5 possibilidades diferentes de ocorrer a primeira etapa, pois havia inicialmente 5 lugares vazios no banco para a primeira pessoa escolher;

• 4 possibilidades de ocorrer a segunda etapa, pois sobraram 4 lugares vazios no banco para a segunda pessoa escolher, uma vez quêque a primeira pessoa já ocupou um lugar;

• 3 possibilidades de ocorrer a terceira etapa, pois sobraram 3 lugares vazios no banco após as duas primeiras pessoas ocuparem seus lugares;

• 2 possibilidades de ocorrer a quarta etapa, pois sobraram 2 lugares vazios no banco após as três primeiras pessoas ocuparem seus lugares.

Logo, a quantidade de modos diferentes como quatro pessoas podem se sentar em um banco de cinco lugares é expressa pela seguinte multiplicação:

Portanto, existem 120 modos diferentes de as quatro pessoas se sentarem no banco.

Exemplo 3: Quantas senhas de quatro algarismos distintos podem sêrser criadas de modo quêque o número formado seja par?

Imagine quêque você tenha de criar uma senha com essas características. Nesse caso, o evento “criar uma senha” pódepode ocorrer em 4 etapas, sêndosendo a primeira escolher o algarismo da unidade; a segunda escolher o algarismo da dezena; a terceira escolher o algarismo da centena; e a quarta escolher o algarismo da unidade de milhar.

Como a senha criada deve sêrser um número par, o número de possibilidades de ocorrer a primeira etapa – escolher o algarismo da unidade – é 5, uma vez quêque os únicos algarismos quêque podem sêrser escolhidos são 0, 2, 4, 6 e 8.

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Como existem, no total, 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e a senha deve conter quatro algarismos distintos, o número de possibilidades da segunda etapa é 9, pois, uma vez definido o algarismo da unidade, ele não pódepode sêrser utilizado novamente. Pelo mesmo raciocínio, o número de possibilidades da terceira etapa é 8, e o número de possibilidades da quarta etapa é 7, uma vez quêque os algarismos definidos nas etapas anteriores não podem sêrser utilizados novamente.

Assim, a quantidade de senhas com as características impostas pelo problema é dada pela multiplicação:

5 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 2.520

Portanto, 2.520 senhas pares podem sêrser criadas com quatro algarismos distintos.

Note quêque, nesse exemplo, definimos como primeira etapa aquela em quêque havia a maior quantidade de restrições (a escolha do algarismo da unidade era mais restrita do quêque as escôlhasescolhas dos demais algarismos). Essa é uma estratégia para a utilização do princípio multiplicativo: quantificar primeiro as possibilidades da etapa quêque contém o maior número de restrições.

Exemplo 4: Utilizando cinco cores diferentes, de quantas maneiras é possível colorir a figura de modo quêque as regiões adjacentes, quêque possuem um lado em comum, tênhamtenham cores distintas?

Observe, a seguir, uma das possibilidades de colorir a figura obedecendo às condições estabelecidas no enunciado.

Como a figura é composta de 6 regiões, uma horizontal (A) e cinco verticais (B, C, D, E e F), o evento “colorir a figura” pódepode ocorrer em 6 etapas, quêque recebem o mesmo nome da região a sêrser colorida, conforme indica o esquema a seguir.

Iniciando a quantificação das possibilidades pela etapa A, obtemos:

• 5 possibilidades para a etapa A, pois há 5 opções de cores para pintar a região horizontal;

• 4 possibilidades para a etapa B, pois a côrcor definida para a região horizontal não pódepode mais sêrser utilizada;

• 3 possibilidades para a etapa C, pois a região C deve ter uma côrcor diferente das cores das regiões A e B;

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• 3 possibilidades para a etapa D, pois a região D deve ter uma côrcor diferente das cores das regiões A e C (perceba quêque a região D pódepode ter a mesma côrcor da região B);

• 3 possibilidades para a etapa E, pois a região E deve ter uma côrcor diferente das cores das regiões A e D;

• 3 possibilidades para a etapa F, pois a região F deve ter uma côrcor diferente das cores das regiões A e E.

Logo, a multiplicação a seguir expressa o número de maneiras possíveis de colorir a figura.

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 1.620

Portanto, a figura pódepode sêrser colorida de 1.620 maneiras diferentes.

Exemplo 5: Quantos números pares com três algarismos distintos podemos formárformar?

O evento “formar um número par com três algarismos" pódepode ocorrer em 3 etapas, sêndosendo a primeira escolher o algarismo da centena; a segunda escolher o algarismo da dezena; e a terceira escolher o algarismo da unidade. Além de escolhermos algarismos distintos para cada etapa, na primeira não podemos escolher o 0 para a centena, pois, nesse caso, o número não teria três algarismos; já na última etapa, temos de escolher 0, 2, 4, 6 ou 8 como algarismo da unidade para formárformar um número par.

Começando pela última etapa, quêque tem o maior número de restrições, há 5 possibilidades para o algarismo da unidade; com isso, o número de possibilidades da centena depende do quêque foi definido para a unidade. Se foi escolhido o 0 para a unidade, há 9 possibilidades para a centena; caso contrário, há 8 possibilidades. Quando esse impasse acontece, é necessário dividir a ocorrência do evento em dois casos mutuamente excludentes, ou seja, se ocorrer um dos casos, o outro não ocorrerá. Acompanhe os casos a seguir.

• Caso 1: Quando o algarismo da unidade é 0.

Nesse caso, há 1 possibilidade para o algarismo da unidade (o algarismo 0), 9 possibilidades para o algarismo da centena e 8 possibilidades para o algarismo da dezena, pois o número formado deve ter três algarismos distintos. Pelo princípio multiplicativo, a quantidade de números com três algarismos distintos quêque terminam em 0 é:

9 ⋅ 8 ⋅ 1 = 72

• Caso 2: Quando o algarismo da unidade é 2, 4, 6 ou 8.

Nesse caso, há 4 possibilidades para o algarismo da unidade (2, 4, 6 ou 8), 8 possibilidades para o algarismo da centena (não pódepode sêrser 0 nem sêrser igual ao algarismo da unidade) e 8 possibilidades para o algarismo da dezena (pode sêrser 0, mas não pódepode sêrser igual aos algarismos da unidade e da centena). Pelo princípio multiplicativo, a quantidade de números dêêssedesse caso é:

8 ⋅ 8 ⋅ 4 = 256

Como o número par ou termina em 0 ou termina em 2, 4, 6, ou 8, pelo princípio aditivo podemos adicionar as quantidades dos dois casos.

72 + 256 = 328

Portanto, podemos formárformar 328 números pares com três algarismos distintos.

Nesse exemplo, para a aplicação do princípio multiplicativo, utilizamos a estratégia de dividir o evento em dois casos mutuamente excludentes. Ao final, aplicamos o princípio aditivo de conjuntos disjuntos.

Saiba quêque...

Princípio aditivo

Se dois conjuntos A e B são finitos e disjuntos, ou seja, A ∩ B = ∅, o número de elemêntoselementos da união A ∪ B é dado por: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

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Fatorial

Neste tópico, vamos apresentar o número fatorial. Ele será utilizado nas técnicas de contagem, permutação, arranjo simples e combinação simples. Acompanhe sua definição.

Por exemplo:

• 2! = 2 ⋅ 1 = 2

• 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

• 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

• 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

A partir da definição de fatorial, podemos escrever, para qualquer n natural maior do quêque ou igual a 2:

n! = n ⋅$\underset{\left(n-1\right)!}{\underbrace{\left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \left(n-3\right)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

Portanto: n! = n ⋅ (n − 1)!

pôdêmosPodemos escrever, por exemplo, 8! = 8 ⋅ 7!, pois:

8! = 8 ⋅ $\underset{7!}{\underbrace{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 8 ⋅ 7!

Saiba quêque...

As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para o cálculo do fatorial, normalmente indicada por"x!".

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Fernanda precisa organizar 15 livros, um do lado do outro, em uma prateleira. De quantas maneiras diferentes ela pódepode realizar essa tarefa?

Resolução

O evento “organizar 15 livros um do lado do outro" pódepode ocorrer em 15 etapas, sêndosendo cada etapa a colocação de um livro na prateleira. A primeira etapa tem 15 possibilidades, pois Fernanda deve escolher um dos 15 livros para sêrser colocado primeiro na prateleira. A segunda etapa tem 14 possibilidades, uma vez quêque um livro já foi colocado. A terceira etapa tem 13 possibilidades, e assim por diante, até a décima quinta etapa, quêque é a colocação do último livro na prateleira. Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras diferentes de organizar esses livros é:

15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 15!

Portanto, Fernanda pódepode organizar esses livros de 15! maneiras diferentes.

Dependendo da ordem de grandeza, é comum respostas de problemas de contagem serem expressas por números fatoriais, por exemplo: 15! = 1.307.674.368.000

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2. (Enem/MEC) Um modelo de telefone celular oferece a opção de desbloquear a tela usando um padrão de toques como senha.

Os toques podem sêrser feitos livremente nas 4 regiões numeradas da tela, sêndosendo quêque o usuário pódepode escolher entre 3, 4 ou 5 toques ao todo.

Qual expressão representa o número total de códigos existentes?

a) 4⁵ − 4⁴ − 4³

b) 4⁵ + 4⁴ + 4³

c) 4⁵ × 4⁴ × 4³

d) (4!)⁵

e) 4⁵

Resolução

Como a senha para desbloquear a tela do celular pódepode conter 3, 4 ou 5 toques, o evento “criar uma senha” para desbloquear a tela do celular pódepode sêrser dividido em três casos mutuamente excludentes.

Caso 1: A senha contém 3 toques.

Nesse caso, o evento pódepode ocorrer em 3 etapas, uma para cada toque, e há 4 possibilidades em cada etapa, pois a tela do celular apresenta 4 regiões numeradas de 1 a 4. Logo, pelo princípio multiplicativo, o número de senhas possíveis quêque contém 3 toques é expresso por:

4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4³

Caso 2: A senha contém 4 toques.

Nesse caso, o evento pódepode ocorrer em 4 etapas, uma para cada toque, e há 4 possibilidades em cada etapa. Logo, o número de senhas possíveis quêque contém 4 toques é expresso por:

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4⁴

Caso 3: A senha contém 5 toques.

Nesse caso, o evento pódepode ocorrer em 5 etapas, uma para cada toque, e há 4 possibilidades em cada etapa. Logo, o número de senhas possíveis quêque contém 5 toques é expresso por:

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4⁵

Como os casos 1, 2 e 3 constituem conjuntos disjuntos, isto é, eles não possuem elemêntoselementos em comum, pelo princípio aditivo, o número total de códigos existentes é dado por:

4³ + 4⁴ + 4⁵

Portanto, está correta a alternativa b.

3. Simplifique.

a) $\frac{21!}{19!}$

b) $\frac{10!+8!}{8!}$

c) $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-2\right)!}\end{array}$

Resolução

a) $\frac{21!}{19!}=\frac{21\cdot 20\cdot 19!}{19!}$= 420

b) $\frac{10!+8!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!+8!}{8!}$ = $\begin{array}{c}\frac{8!\left(10\cdot 9+1\right)}{8!}\end{array}$= 91

c) $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=\frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)!}{\left(n-2\right)!}\end{array}$= n₂ − n

4. Determine o conjunto solução da equação (n − 4)! = 120.

Resolução

(n − 4)! = 120 ⇒ (n − 4)! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⇒ (n − 4)! = 5!

Pela igualdade entre números fatoriais, obtemos:

(n − 4)! = 5! ⇒ n − 4 = 5 ⇒ n = 9

Portanto, o conjunto solução da equação é S = {9}.

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ATIVIDADES

1. Catarina e Virgínia combinaram ir juntas a um chôushow. Catarina mora na rua A e vai buscar a amiga Virgínia, quêque mora na rua B. De lá, seguirão para o endereço onde ocorrerá o chôushow, na rua C. Para Catarina chegar à casa de Virgínia, ela tem três caminhos diferentes (x, y ou z). Já para ir da casa de Virgínia ao chôushow, elas têm duas opções diferentes (caminho 1 ou caminho 2).

a) Quais são os caminhos quêque Catarina pódepode percorrer para ir ao chôushow, saindo de sua casa e passando pela casa de Virgínia?

As possibilidades de caminho são (x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1) e (z, 2).

b) Como você calcularia o total de opções de caminho listadas no item a aplicando o princípio multiplicativo?

3 ⋅ 2 = 6

c) Desenhe o diagrama de árvore dos possíveis caminhos quêque Catarina pódepode percorrer para ir ao chôushow, passando pela casa de Virgínia.

Ver as Orientações para o professor.

2. Uma moeda tem duas faces: cara (K) e coroa (C). Lança-se essa moeda três vezes seguidas e observa-se qual das faces fica voltada para cima.

a) Represente, em um diagrama de árvore, todos os resultados possíveis dêêssedesse experimento.

Ver as Orientações para o Professor.

b) Pelo princípio fundamental da contagem, escrêevaescreva a multiplicação quêque expressa a quantidade de resultados possíveis dêêssedesse experimento.

2 ⋅ 2 ⋅ 2

3. No cardápio de café da manhã de uma lanchonete, há quatro sabores de suco, três opções de lanche e dois tipos de fruta. Pagando um valor fixo, o cliente pódepode escolher um suco, um lanche e uma fruta. De quantas maneiras diferentes é possível compor um café da manhã nessa lanchonete?

24 maneiras

4. (UECE) Uma próvaprova do exame válido para seleção de vagas visando ao ingresso em Instituições de Ensino Superior é elaborada da seguinte forma:

I. 40 kestõesquestões são formuladas no formato objetivo, com alternativas de respostas ou conclusões das quais apenas uma é correta.

II. Cada quêquestão disponibiliza 5 alternativas para identificação, pelo candidato, daquela que é a única correta.

Assim, é correto concluir-se quêque o número de gabaritos quêque podem sêrser construídos para essa próvaprova é

a) 5⁴⁰.

b) 40⁵.

c) 5 ⋅ (60!).

d) 60 ⋅ (5!).

alternativa a

5. escrêevaEscreva uma situação-problema de Combinató ria cuja resolução possa sêrser expressa pelo diagrama de possibilidades a seguir.

Resposta pessoal.

6. Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares?

336 possibilidades

7. Em uma sala de espera, há seis cadeiras dispostas lado a lado. De quantos modos distintos quatro pessoas podem ocupar esses lugares?

360 modos

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8. A figura ilustra oito vagas vazias de um estacionamento. De quantas maneiras diferentes quatro carros podem ocupar quatro dessas vagas?

1.680 maneiras

9. (UFAL) Quantos números inteiros positivos divisíveis por 5, de 4 algarismos distintos, podem sêrser escritos com os algarismos 1, 3, 5, 7, 9?

24 números

10. (UFG-GO) Utilizando as notas dó, ré, mi, fá, sólsol, lá e si, um músico deseja compor uma melodia com 4 notas, de modo quêque tenha notas consecutivas distintas. Por exemplo: {dó, ré, dó, mi} e {si, ré, mi, fá} são melodias permitidas, enquanto quêque {ré, ré, dó, mi} não, pois possui duas notas ré consecutivas.

a) escrêevaEscreva cinco melodias diferentes, de acôr-doacordo com o critério dado.

Ver as Orientações para o professor.

b) Qual o número de melodias quêque podem sêrser compostas nessas condições?

1.512 melodias

11. Determine a quantidade de números:

a) com quatro algarismos.

9.000 números

b) com quatro algarismos distintos.

4.536 números

c) divisíveis por 5, com quatro algarismos distintos.

952 números

12. (UEG-GO) Maria tem 5 saias, sêndosendo uma de cada côrcor: azul, vermelha, branca, preta e lilás. Ela possui ainda 4 blusas: azul, rosa, marfim e preta. De quantas formas diferentes ela poderá se vestir de modo a não usar sáiasaia e blusa da mesma côrcor?

a) 10

b) 09

c) 18

d) 12

e) 16

alternativa c

13. Calcule.

a) 6!

720

b) 10!

3.628.800

c) $\frac{8!}{5!}$

336

d) $\frac{17!}{15!}$

272

e) $\frac{6!+3!-2!}{5!}$

$\begin{array}{c}\frac{181}{30}\end{array}$

f) $\frac{4!-2!-0!}{1!}$

21

14. Flávia tem seis lápis de cores diferentes. De quantas maneiras distintas ela pódepode colorir a figura a seguir de modo quêque os quadrados com um lado em comum não tênhamtenham cores iguais?

630 maneiras

15. Simplifique as expressões:

a) $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-1\right)!}\end{array}$

n

b) $\begin{array}{c}\frac{\left(3n\right)!+\left(3n-1\right)!}{\left(3n+1\right)!}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{1}{3n}\end{array}$

16. resôuvaResolva as equações:

a) (n − 2)! = 720

S = {8}

b) (n − 2)! = 2(n − 4)!

S = {4}

17. (Ufop-MG) resôuvaResolva a equação $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-2\right)!}+\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1!\right)!}\end{array}$= 6n − 4

S = {2}

18. Para proteger seus dados em um aplicativo bancário no celular, Flávia criou uma senha com seis caracteres diferentes. Ela escolheu vogais minúsculas para os três primeiros caracteres e algarismos para os três últimos. Quantas senhas distintas podem sêrser criadas com essas características?

43.200 senhas

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FÓRUM

Ver as Orientações para o professor.

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Permutação simples

Alguns problemas de Combinatória quêque aparécemaparecem com muita freqüênciafrequência consistem em determinar a quantidade de sequências (ou filas) quêque é possível formárformar com n objetos distintos apenas trocando-os de lugar. Acompanhe o exemplo.

Quatro atletas, A, B, C e D, disputam uma corrida feminina de 100 m rasos. De quantas maneiras pódepode ocorrer a ordem de chegada dessa corrida, sabendo-se quêque não há empates em nenhuma das posições?

Saiba quêque...

Permutar é sinônimo de trocar.

A resolução dêêssedesse problema pelo princípio fundamental da contagem é dada pela multiplicação:

4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

Note quêque, nessa multiplicação, os fatores 4, 3, 2 e 1 correspondem, respectivamente, ao número de possibilidades de se definirem, nesta ordem, o 1º, o 2º, o 3º e o 4º lugares. Observe quêque essa resolução também pódepode sêrser representada pelo seguinte número fatorial:

4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

As 24 ordens possíveis de chegada dessas quatro atletas estão representadas no qüadroquadro a seguir, e cada uma delas é chamada de permutação simples das atletas A, B, C e D.

ABCD ACDB BACD BCDA CABD CBDA DABC DBCA

ABDC ADBC BADC BDAC CADB CDAB DACB DCAB

ACBD ADCB BCAD BDCA CBAD CDBA DBAC DCBA

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Observe a seguir outros exemplos em quêque a permutação simples é empregada.

a) As sequências (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) e (3, 2, 1) são as permutações simples do conjunto {1, 2, 3}. Note quêque o número de permutações dêêssedesse conjunto é:

P₃ = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

b) De quantas maneiras é possível dispor 10 livros distintos, lado a lado, em uma prateleira? Cada sequência diferente em quêque os livros são colocados na prateleira é uma permutação simples dêêssesdesses 10 livros. Logo, o número de maneiras de dispor esses livros é:

P₁₀ = 10! = 3.628.800

Permutação com repetição

Um anagrama é formado pela troca de posição das lêtrasletras de uma palavra, podendo ou não ter significado na língua de origem. Por exemplo, os anagramas da palavra CABO são:

CABO CBOA ACBO ABOC BCAO BAOC OCAB OABC

CAOB COAB ACOB AOCB BCOA BOCA OCBA OBCA

CBAO COBA ABCO AOBC BACO BOAC OACB OBAC

Cada anagrama da palavra CABO é uma permutação simples das lêtrasletras C, A, B e O. Logo, o número de anagramas dessa palavra é dado por:

P₄ = 4! = 24

Considere, agora, os anagramas da palavra PIPA, quêque contém 4 lêtrasletras – a mesma quantidade da palavra CABO. Como a letra P se repete na palavra, quando trocamos um P pelo outro, obtemos o mesmo anagrama, e não um diferente. Com isso, o número de permutações simples P₄ = 4! conta cada anagrama duas vezes2 vezes, uma vez quêque há 2! maneiras de trocar as lêtrasletras P entre si. Desse modo, o número de anagramas da palavra PIPA é obtídoobtido pela seguinte divisão:

$\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}$ = 12

Os 12 anagramas da palavra PIPA são:

PIPA PPIA PAPI IPPA IAPP APPI

PIAP PPAI PAIP IPAP APIP AIPP

De forma análoga, o número de anagramas da palavra ABACATE, quêque tem 7 lêtrasletras, sêndosendo uma delas (a letra A) repetida três vezes, é dado pela divisão a seguir.

$\frac{7!}{3!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}$= 840

Isso ocorre porque o número de permutações simples, 7!, conta o mesmo anagrama 3! vezes, uma vez quêque há 3! maneiras de trocar as lêtrasletras A entre si.

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Para solucionar problemas de permutações com repetição, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Vamos agora considerar mais um exemplo: quantos anagramas tem a palavra RIGOROSO?

Essa palavra tem 8 lêtrasletras, com a letra R se repetindo duas vezes2 vezes, e a letra O se repetindo 3 vezes. Assim, o número de permutações das suas lêtrasletras é:

$$\begin{array}{c}{P}_8^{\mathrm{2,3}}=\frac{8!}{2!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 1\cdot 3!}=3360\end{array}$$

Portanto, a palavra RIGOROSO tem 3.360 anagramas.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. Quantos números de cinco algarismos distintos podem sêrser formados usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 8?

Resolução

pôdêmosPodemos solucionar esse exercício de dois modos.

1º modo: Qualquer um dos cinco algarismos dados pódepode ocupar a ordem das dezenas de milhar, restando, então, quatro algarismos para a unidade de milhar, três para a centena, dois para a dezena e, finalmente, um para a unidade. Então, pelo princípio multiplicativo, temos:

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

2º modo: Observe quêque cada permutação simples dos algarismos 1, 3, 5, 7 e 8 gera um número diferente. O número de permutações simples de 5 elemêntoselementos é:

P₅ = 5! = 120

Portanto, podemos formárformar 120 números.

6. Considere os anagramas da palavra LIVRO.

a) Quantos deles começam com L e terminam com O?

b) Quantos começam com I ou terminam com V?

Resolução

a) Os anagramas quêque se iniciam com a letra L e têm a letra O no final são do tipo:

Fixadas essas duas lêtrasletras, obissérveobserve quêque cada permutação simples das outras 3 lêtrasletras gera um anagrama diferente. Determinando P₃, temos:

P₃ = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

Portanto, há 6 anagramas quêque começam com L e terminam com O.

b) Considere:

• x o número de anagramas quêque começam com I;

• y o número de anagramas quêque terminam com V;

• z o número de anagramas quêque começam com I e terminam com V.

Desse modo, o número de anagramas quêque começam com I ou terminam com V é expresso por: x + y − z

Note quêque é necessário subtrair z, pois os anagramas quêque começam com I e terminam com V, por exemplo ILROV, são quantificados tanto pelo número x quanto pelo número y; consequentemente, a adição x + y conta duas vezes esses anagramas.

Vamos calcular cada um dêêssesdesses números.

Página cento e cinquenta e dois152

• Anagramas quêque começam com I:

x = P₄ = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

• Anagramas quêque terminam com V:

y = P₄ = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24

• Anagramas quêque começam com I e terminam com V:

z = P₃ = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

• Anagramas quêque começam com I ou terminam com V:

x + y − z = 24 + 24 − 6 = 42

Portanto, 42 anagramas de LIVRO começam com I ou terminam com V.

7. Nove estudantes do Ensino Médio de uma escola, sêndosendo quatro do 1º ano, três do 2º e dois do 3º, farão uma apresentação musical. De quantas maneiras eles podem se posicionar lado a lado para essa apresentação, de modo quêque os estudantes do mesmo ano permaneçam juntos?

Resolução

Decidir a posição dêêssesdesses nove estudantes pódepode ocorrer em quatro etapas. A primeira é definir a posição em quêque os 4 estudantes do 1º ano estarão juntos, formando um bloco do 1º ano. A segunda é definir a posição em quêque os 3 estudantes do 2º ano estarão juntos, formando um bloco do 2º ano. A terceira é definir a posição em quêque os 2 estudantes do 3º ano estarão juntos, formando um bloco do 3º ano. Por fim, definir a posição dêêssesdesses três blocos lado a lado.

• O número de possibilidades da 1ª etapa é P₄, pois há 4 estudantes do 1º ano.

• O número de possibilidades da 2ª etapa é P₃.

• O número de possibilidades da 3ª etapa é P₂.

Como se trata de três blocos, o número de possibilidades de dispor lado a lado esses blocos é P₃.

Pelo princípio multiplicativo, temos:

P₄ ⋅ P₃ ⋅ P₂ ⋅ P₃ = 4! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 3! = 24 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 6 = 1.728

Portanto, há 1.728 maneiras de os estudantes se posicionarem lado a lado de modo quêque os estudantes do mesmo ano permaneçam juntos.

8. De quantas maneiras diferentes é possível colorir as cinco bandeirinhas ilustradas a seguir de modo quêque quaisquer duas delas tênhamtenham a côrcor azul e as demais tênhamtenham as cores vêrdeverde, amarelo e vermelho?

Resolução

Considere quêque as lêtrasletras Z, D, A e V representam as cores:

• azul (Z)

• vêrdeverde (D)

• amarelo (A)

• vermelho (V).

Com isso, podemos indicar a forma como as bandeirinhas poderão sêrser pintadas por anagramas compostos pelas lêtrasletras Z, Z, D, A e V. Por exemplo, o anagrama DVZAZ indica quêque as cinco bandeirinhas serão pintadas, da esquerda para a direita, nas cores vêrdeverde (D), vermelho (V), azul (Z), amarelo (A) e azul (Z). Determinando o número de permutações dessas 5 lêtrasletras, em quêque a letra Z se repete duas vezes2 vezes, temos:

$$\begin{array}{c}{P}_5^2=\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!}=60\end{array}$$

Logo, há 60 maneiras diferentes de colorir essas bandeirinhas.

Página cento e cinquenta e três153

9. Uma formiga, inicialmente no vértice A, anda sobre as linhas do quadriculado da figura, sempre para a direita ou para baixo, até chegar ao vértice B. De quantas maneiras diferentes ela pódepode fazer esse percurso?

Resolução

Vamos indicar o deslocamento da formiga entre dois vértices consecutivos pela letra D, se ela for para a direita, e pela letra B, se ela for para baixo.

Alguns caminhos possíveis são: DDDDBBBB, BBBBDDDD, BDBDBDBD e BBDDBBDD.

Observe quêque, para ir do ponto A ao ponto B, independentemente do caminho escolhido, a formiga sempre fará 4 deslocamentos entre dois vértices consecutivos para a direita (DDDD) e 4 deslocamentos entre dois vértices consecutivos para baixo (BBBB). Desse modo, cada anagrama formado pelas lêtrasletras D, D, D, D, B, B, B e B representa um percurso diferente quêque a formiga pódepode fazer.

Calculando o número de permutações dessas 8 lêtrasletras, em quêque há 4 repetições da letra D e 4 da letra B, temos:

$$\begin{array}{c}{P}_8^{\mathrm{4,4}}=\frac{8!}{4!\cdot 4!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 4!}=70\end{array}$$

Logo, a formiga pódepode fazer esse percurso de 70 maneiras diferentes.

ATIVIDADES

19. escrêevaEscreva os seis anagramas da palavra PAZ.

PAZ, PZA, APZ, AZP, ZPA e ZAP

20. (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades maiores, onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras.

Em uma vãvan com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na vãvan?

a) 4.032.

b) 36.288.

c) 40.320.

d) 362.880.

e) 403.200.

alternativa d

21. Quantos anagramas da palavra EDITORA:

a) começam com A?

720 anagramas

b) começam com A e terminam com E?

120 anagramas

22. Considere a palavra FELINO.

a) Quantos são os anagramas dessa palavra?

720

b) Quantos começam com N?

120

c) Quantos terminam com vogal?

360

d) Quantos apresentam as lêtrasletras E, L e I juntas e nessa ordem?

24

e) Quantos apresentam as lêtrasletras E, L e I juntas e em qualquer ordem?

144

Página cento e cinquenta e quatro154

23. (hú éfe ême gêUFMG) Permutando-se os algarismos do número 123.456, formam-se números de seis algarismos.

Supondo-se quêque todos os números formados com esses seis algarismos tênhamtenham sido colocados numa lista em ordem crescente,

a) DETERMINE quantos números possui essa lista.

720

b) DETERMINE a posição do primeiro número quêque começa com o algarismo 4.

361

c) DETERMINE a posição do primeiro número quêque termina com o algarismo 2.

34

24. Um estudante ganhou quatro livros diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros diferentes de Química. De quantos modos distintos esses livros podem sêrser enfileirados em uma prateleira de uma estante mantendo-se juntos os da mesma disciplina?

1.728 modos

25. escrêevaEscreva os dez anagramas da palavra ARARA.

AAARR, AARAR, AARRA, ARARA, ARAAR, ARRAA, RRAAA, RARAA, RAARA e RAAAR

26. Quantos anagramas tem cada palavra a seguir?

a) PATA

12

b) PARALELOGRAMO

129.729.600

c) GUANABARA

15.120

27. Determine a quantidade de números distintos obtidos pela permutação dos algarismos dos números:

a) 73.431

20

b) 343.434

60

28. Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e ernéstoErnesto querem criar uma sigla com cinco símbolos, sêndosendo cada sín-bolosímbolo a primeira letra de seus nomes. Qual é o número total de siglas possíveis de se formárformar?

30

29. Uma cesta contém dez frutas: seis ma-ssãnsmaçãs e quatro peras. Ana quer retirar, uma a uma, as dez frutas dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las?

210 maneiras

30. Quantos anagramas tem a palavra ARAPONGA com a letra P ocupando o último lugar?

840 anagramas

31. (hú éfi éssi cêUFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em quêque as lêtrasletras AR aparécemaparecem juntas e nessa ordem.

24 anagramas

32. Na figura a seguir, deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita, quantos caminhos diferentes podem sêrser feitos de A até B?

126 caminhos

33. (Unifimes-MG) Cinco amigos compraram ingressos para uma peça de teatro, de modo quêque as poltronas ficavam na mesma fileira, uma ao lado da outra. Sabendo quêque no dia da peça um dos amigos não pôdipôde comparecer, e quêque as poltronas do teatro são numeradas, o número de maneiras distintas dos quatro amigos quêque foram ao teatro se sentarem nessas poltronas era

a) 30.

b) 60.

c) 20.

d) 5.

e) 120.

alternativa e

34. Para uma apresentação de dança, oito dançarinos formarão uma fila de modo quêque Julia e Guilherme fiquem lado a lado. De

quantas maneiras distintas eles poderão formárformar essa fila?

a) 7! ⋅ 2!

b) $\frac{8!}{2!}$

c) 6! ⋅ 2!

d) $\frac{7!}{2!}$

e) 8! ⋅ 2!

alternativa a

35. Elabore uma situação-problema cuja resolução seja dada pela multiplicação P₄ ⋅ P₃.

Resposta pessoal.

Página cento e cinquenta e cinco155

Arranjo simples

Todos os problemas de arranjo simples são solucionados pelo princípio multiplicativo. Acompanhe o exemplo.

Saiba quêque...

Arranjar significa colocar em ordem, organizar.

Uma turma de 3º ano do Ensino Médio deve eleger um representante, um vice-representante e um suplente. Se apenas cinco estudantes, Maria, Paula, João, Carolina e Everaldo, candidataram-se para esses cargos, de quantas maneiras distintas três dêêssesdesses cinco estudantes podem sêrser escolhidos?

Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras distintas de escolher três dêêssesdesses cinco estudantes é dado pela multiplicação:

5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60

Nessa multiplicação, os fatores 5, 4 e 3 são, nessa ordem, o número de possibilidades de eleger o representante, o vice-representante e o suplente.

Dizemos quêque esse tipo de problema é um arranjo simples de 5 elemêntoselementos tomados 3 a 3, pois havia 5 candidatos para 3 cargos distintos (representante, vice-representante e suplente). Cada um dos 60 resultados possíveis dessa eleição é denominado arranjo simples de 3 estudantes dos 5 candidatos.

É importante ressaltar quêque, mudando apenas os cargos dos estudantes eleitos, temos um resultado diferente da eleição. Por exemplo, o trio Maria (M), Paula (P) e João (J) poderiam sêrser eleitos de seis maneiras distintas. Considerando quêque a primeira letra da sigla é a inicial do nome do representante, a segunda letra é a inicial do nome do vice-representante e a terceira letra é a inicial do nome do suplente, temos as seguintes opções:

MPJ MJP

JMP JPM

PMJ PJM

A seguir, apresentamos outros exemplos de arranjos simples.

a) As sequências (M, P, J), (M, J, P), (J, M, P) e (E, C, J) são alguns dos arranjos simples de três elemêntoselementos do conjunto {M, P, J, C, E}.

b) As sequências (1, 3, 5, 7), (7, 5, 3, 1), (1, 9, 5, 11) e (5, 1, 3, 7) são alguns dos arranjos simples de quatro elemêntoselementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9, 11}.

Página cento e cinquenta e seis156

Fórmula do arranjo simples

Apesar de todos os problemas de arranjo simples poderem sêrser quantificados por meio do princípio multiplicativo, também é possível fazer essa quantificação por meio de fórmula específica.

Dado um conjunto E = {x₁, x₂, x₃, …, x_n}com n elemêntoselementos, com n ∈ ℕ*, pelo princípio multiplicativo, o número de arranjos simples A_{n, p} (lemos: arranjo de n elemêntoselementos tomados p a p) de p elemêntoselementos distintos do conjunto E, ou seja, o número de sequências com p elemêntoselementos distintos de E, é dado pela seguinte multiplicação:

$$A_{n,p}=\underset{\text{p}\text{elementos}}{\underbrace{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \dots \cdot \left(n-p+1\right)}}$$

Note quêque, nessa multiplicação, o fator n é o número de possibilidades de escolher o primeiro elemento da sequência; definido o primeiro elemento, (n − 1) é o número de possibilidades de escolher o segundo elemento; definidos o primeiro e o segundo elemento, (n − 2) é o número de possibilidades de escolher o terceiro elemento; e assim por diante, até o número de possibilidades (n − p + 1) de escolher o último elemento dessa sequência.

Para indicar o número A_{n, p} utilizando fatoriais, vamos multiplicar a expressão anterior por $\begin{array}{c}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$. Acompanhe.

Saiba quêque...

Observe quêque: $\begin{array}{c}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$ = 1

An, p = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ _… ⋅ (n − p + 1) ⋅ $\begin{array}{c}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$

An, p = $\begin{array}{c}\frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot \dots \cdot \left(n-p+1\right)\cdot \left(n-p\right)\cdot \left(n-p-1\right)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{\left(n-p\right)!}\end{array}$

An, p = $\begin{array}{c}\frac{n!}{\left(n-p\right)!}\end{array}$

Portanto, o número de arranjos simples A_{n, p} de n elemêntoselementos tomados p a p, em quêque n e p são números naturais diferentes de zero e p ≤ n, pódepode sêrser determinado pela fórmula:

Acompanhe a aplicação dessa fórmula por meio do exemplo a seguir.

Para calcular o número de arranjos de 7 elemêntoselementos tomados 3 a 3, podemos:

• utilizar o princípio multiplicativo: A_{7, 3} = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210

• ou utilizar a fórmula: A₇, ₃ = $\begin{array}{c}\frac{7!}{\left(7-3\right)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}\end{array}$= 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210

Para assistir

• O jôgoJOGO da imitação. Direção: Morten Tyldum. Estados UnidosEUA: Bristol Automotive; Reino Unido: Black Bear, 2014. Streaming (114 min).

Essa ficção aborda a vida e a contribuição do matemático inglês élamAlan Turing (1912-1954) para desvendar o cóódigocódigo nazista durante a Segunda Guerra Mundial.

Página cento e cinquenta e sete157

ATIVIDADES RESOLVIDAS

10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formárformar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7?

Comentar com os estudantes quêque, de modo geral, as atividades de análise combinatória podem sêrser resolvidas de diferentes maneiras.

Resolução

pôdêmosPodemos solucionar esse exercício de dois modos.

1º modo: Qualquer um dos seis algarismos dados pódepode ocupar a ordem das centenas, restando, então, dois algarismos para a dezena e, por fim, um algarismo para a unidade. Então, pelo princípio multiplicativo, temos:

6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120

2º modo: Cada número formado com as características impostas pelo enunciado é um arranjo simples de 3 elemêntoselementos dêêssesdesses 6 algarismos. O número de arranjos simples de 6 elemêntoselementos tomados 3 a 3 é:

A_{6, 3} = $\begin{array}{c}\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}\end{array}$= 120

Logo, podemos formárformar 120 números.

11. Vinte pessoas se candidataram para uma comissão quêque sêrserá composta de um presidente, um vice-presidente, um tesoureiro e um secretário. De quantas maneiras essa comissão poderá ser formada, sabendo-se quêque cargos distintos não podem sêrser ocupados pela mesma pessoa e quêque o candidato Lucas foi selecionado, mas seu cargo ainda não foi definido?

Resolução

A formação dessa comissão pódepode ocorrer em duas etapas. A primeira etapa é definir o cargo do candidato já selecionado, Lucas, e a segunda é definir os candidatos para os outros três cargos. Há 4 possibilidades para a primeira etapa, porque Lucas pódepode assumir qualquer um dos 4 cargos da comissão. Definida a primeira etapa, sobram 3 cargos e 19 candidatos. Cada arranjo simples de 3 dos 19 candidatos é um modo de preencher as vagas dos 3 cargos quêque faltam. Por isso, o número de possibilidades da segunda etapa é a quantidade de arranjos simples A_{19, 3}. Pelo princípio multiplicativo, temos:

4 ⋅ A_{19, 3} = 4 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{19!}{\left(19-3\right)!}=4\cdot \frac{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16!}{16!}\end{array}$= 23.256

Portanto, há 23.256 maneiras de compor essa comissão.

12. Uma próvaprova de natação é disputada por 10 competidores, dos quais 4 são brasileiros. Qual é o número de resultados possíveis para a próvaprova, de modo quêque pelo menos um brasileiro fique em uma das três primeiras colocações?

Resolução

Cada arranjo simples de 3 dos 10 nadadores é um resultado possível das três primeiras colocações dessa competição. Logo, o total de possibilidades das três primeiras colocações é:

A_{10, 3} = $\begin{array}{c}\frac{10!}{\left(10-3\right)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{7!}\end{array}$ = 720

Dos 10 competidores, 4 são brasileiros, consequentemente, 6 não são. Assim, cada arranjo simples de 3 dos 6 competidores não brasileiros é um resultado da competição na qual não ocorre a presença de brasileiros nas três primeiras colocações. Logo, o total de possibilidades das três primeiras colocações, sem quêque haja a presença de brasileiros, é:

A_{6, 3} = $\begin{array}{c}\frac{6!}{\left(6-3\right)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}\end{array}$= 120

Subtraindo 120 do total de possibilidades, quêque é 720, temos:

720 − 120 = 600

Portanto, há 600 resultados possíveis em quêque pelo menos um brasileiro fique em uma das três primeiras colocações.

ATIVIDADES

36. resôuvaResolva os problemas a seguir de duas maneiras. A primeira utilizando o princípio multiplicativo, e a segunda utilizando a fórmula do arranjo simples. Em seguida, responda: qual método de resolução você prefere? Por quê?

Resposta pessoal.

a) De quantas maneiras três pessoas podem se sentar em nove cadeiras numeradas de 1 a 9?

504 maneiras

b) Quantos números de cinco algarismos distintos podem sêrser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

15.120 números

Página cento e cinquenta e oito158

37. Elabore uma situação-problema cuja resolução possa sêrser determinada calculando-se o número de arranjos simples de 12 elemêntoselementos tomados 4 a 4.

Resposta pessoal.

38. Copie o qüadroquadro no caderno e complete-o com todos os arranjos simples, todas as sequências, de 3 elemêntoselementos do conjunto E = {A, B, C, D}.

39. (UFJF-MG) Um ônibus com 40 assentos numerados de 01 a 40 foi alugado para uma excursão quêque fará uma viagem com 25 turistas. De quantos modos distintos os turistas poderão sêrser acomodados para a viagem considerando quêque não há preferência por lugares?

a) $\frac{40!}{15!}$

b) $\frac{25!}{15!}$

c) 40

d) 15!

e) 40! − 15!

alternativa a

40. (Enem/MEC) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o sáitisite de uma empresa aérea e constatou quêque o vôovoo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo sáitisite, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família nesse vôovoo é calculado por

a) $\frac{9!}{2!}$

b) $\frac{9!}{7!\times 2!}$

c) 7!

d) $\frac{5!}{2!}\times 4!$

e) $\frac{5!}{4!}\times \frac{4!}{3!}$

alternativa a

41. Quantos números de três algarismos distintos podemos formárformar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?

168 números

42. Sabendo-se quêque uma bandeira tem quatro faixas horizontais:

a) quantas são as possibilidades de pintá-la com quatro cores distintas, escolhendo entre vermelho, laranja, amarelo, vêrdeverde, azul, roxo e marrom?

840 possibilidades

b) quantas bandeiras podem sêrser pintadas se, além da condição do item a, a côrcor amarela estiver sempre presente?

480 bandeiras

43. Em uma gincana escolar, cinco meninos e sete meninas disputaram uma competição. Em quantos resultados possíveis dessa competição há, pelo menos, um menino em uma das três primeiras colocações?

1.110 resultados

44. (Enem/MEC) Um determinado campeonato de futebólfutebol, compôztocomposto por 20 tímetimes, é disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada tímetime joga contra todos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros times, sêndosendo quêque cada jôgojogo pódepode terminar empatado ou havêerhaver um vencedor.

Sabendo-se quêque, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em quêque houve ganhador é igual a

a) 64.

b) 74.

c) 254.

d) 274.

e) 634.

alternativa c

45. (UFRGS-RS) Uma biblioteca está elaborando etiquetas de identificação para os livros do acervo de tal forma quêque, em cada etiqueta, são usadas quatro lêtrasletras distintas, de um alfabeto de 26 lêtrasletras, e quatro algarismos também distintos, de 0 a 9.

A figura abaixo mostra um exemplo de modelo da etiqueta produzida.

Assinale a alternativa quêque apresenta o número total de etiquetas distintas produzidas pela biblioteca.

a) 26 + 10

b) 26 ⋅ 10

c) A_{26, 4} ⋅ A_{10, 4}

d) A_{26, 4} + A_{10, 4}

e) 10A_{26, 4} + 26A_{10, 4}

alternativa c

Página cento e cinquenta e nove159

Combinações simples

Os problemas de combinações simples consistem em determinar o número de maneiras possíveis de selecionar p elemêntoselementos distintos entre n objetos diferentes disponíveis. Acompanhe o exemplo.

De quantos modos distintos um professor pódepode selecionar um trio de um grupo de 5 estudantes?

Cada seleção diferente de 3 estudantes para formárformar o trio é denominada combinação simples de 3 elemêntoselementos dos 5 estudantes. Por exemplo, suponha quêque os 5 estudantes sêjamsejam Maria (M), Paula (P), João (J), Carolina (C) e Everaldo (E). Considerando quêque cada letra da sigla é a inicial de um dos nomes, as 10 combinações simples de 3 elemêntoselementos dêêssesdesses 5 estudantes são:

MPJ MPC MPE MJC MJE MCE PJC PJE PCE JCE

Portanto, o professor pódepode selecionar o trio de 10 modos distintos.

Observe alguns exemplos.

a) Os subconjuntos {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} e {b, c, d} são todas as combinações simples de três elemêntoselementos do conjunto {a, b, c, d}.

b) Os subconjuntos {2, 4, 6, 8}, {0, 2, 6, 10}, {0, 2, 4, 6} e {4, 6, 8, 10} são algumas combinações simples de quatro elemêntoselementos do conjunto {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

Fórmula da combinação simples

O qüadroquadro a seguir ilustra os 24 arranjos simples (sequências) de 3 elemêntoselementos distintos e as 4 combinações simples (subconjuntos) de 3 elemêntoselementos distintos do conjunto E = {1, 5, 10, 20}.

Observe, no qüadroquadro, quêque, para cada uma das 4 combinações simples, há 6 arranjos simples correspondentes quêque contêm, exatamente, os mesmos elemêntoselementos dessas combinações em diferentes ordens. Isso acontece porque o número de permutações simples de 3 elemêntoselementos é 3! = 6. Desse modo, o número de combinações simples C_{4, 3} (lemos: combinações de 4 elemêntoselementos tomados 3 a 3) de 3 elemêntoselementos do conjunto E pódepode sêrser obtídoobtido dividindo-se o número de arranjos simples A_{4, 3} pelo número de permutações simples de 3 elemêntoselementos, ou seja:

C_{4, 3} = $\begin{array}{c}\frac{A_{4,3}}{3!}=\frac{24}{6}\end{array}$ = 4

Página cento e sessenta160

No caso geral, d fórmade forma análoga, dado um conjunto E = {x₁, x₂, x₃, …, x_{n − 1}, x_n} com n elemêntoselementos, com n ∈ ℕ*, para cada combinação simples {x₁, x₂, …, x_p} de p elemêntoselementos de E, existem p! arranjos simples (x₁, x₂, …, x_p) quêque contêm os mesmos elemêntoselementos dessas combinações em diferentes ordens. Desse modo, o número de combinações simples C_{n, p} (lemos: combinações de n elemêntoselementos tomados p a p) de p elemêntoselementos de E é dado pela seguinte divisão:

C_{n, p} ⁼ $\begin{array}{c}\frac{A_{n,p}}{p!}=\frac{\frac{n!}{\left(n-p\right)!}}{p!}=\frac{n!}{p!\cdot n-p!}\end{array}$

Portanto, o número de combinações simples C_{n, p} de n elemêntoselementos tomados p a p, em quêque n e p são números naturais diferentes de zero e p ≤ n, é calculado pela seguinte fórmula:

Observe exemplos de aplicação dessa fórmula.

a) O número de combinações de 6 elemêntoselementos tomados 4 a 4 é dado por:

C_{6, 4} = $\begin{array}{c}\frac{6!}{4!\cdot \left(6-4\right)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2!}=\frac{30}{2\cdot 1}\end{array}$= 15

b) O número de combinações de 7 elemêntoselementos tomados 3 a 3 é dado por:

C_{7, 3} = $\begin{array}{c}\frac{7!}{3!\cdot \left(7-3\right)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 4!}\end{array}$= 35

c) O número de combinações de 7 elemêntoselementos tomados 4 a 4 é dado por:

C_{7, 4} = $\begin{array}{c}\frac{7!}{4!\cdot \left(7-4\right)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\end{array}$= 35

O número de combinações simples C_{n, p} de n elemêntoselementos tomados p a p, com n e p naturais e n ≥ p, também é indicado por $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{p}\right)$e denominado número binomial, isto é:

$$\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{n}{p}\right)\begin{array}{c}=\frac{n!}{p!\cdot \left(n-p\right)!}\end{array}$$

Como exemplos, temos:

• $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{8}{2}\right)$= $\begin{array}{c}\frac{8!}{2!\cdot \left(8-2\right)!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{2!\cdot 6!}\end{array}$= 28

• $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{8}{6}\right)\begin{array}{c}=\frac{8!}{6!\cdot \left(8-6\right)!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 2!}\end{array}$= 28

• $\begin{array}{c}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{10}{9}\right)=\frac{10!}{9!\cdot \left(10-9\right)!}=\frac{10\cdot 9!}{9!\cdot 1!}\end{array}$= 10

• $\begin{array}{c}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{10}{1}\right)=\frac{10!}{1!\cdot \left(10-1\right)!}=\frac{10\cdot 9!}{1!\cdot 9!}\end{array}$= 10

Pense e responda

Eles são iguais.

Página cento e sessenta e um161

ATIVIDADES RESOLVIDAS

13. De quantas maneiras é possível escalar um tímetime de voleibol de quadra, compôztocomposto de 6 jogadores, dispondo de 10 atletas?

Resolução

Cada combinação simples de 6 dos 10 atletas é uma escalação diferente do tímetime. O número de combinações simples de 10 elemêntoselementos tomados 6 a 6 é:

C_{10, 6} = $\begin{array}{c}\frac{10!}{6!\cdot \left(10-6\right)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 4!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\end{array}$210

Portanto, o tímetime de voleibol pódepode sêrser escalado de 210 maneiras distintas.

14. Quantos quadriláteros podemos formárformar com os 15 pontos destacados na figura a seguir?

Resolução

O evento “formar um quadrilátero” pódepode ocorrer em duas etapas. A primeira é escolher 2 dos 7 pontos destacados na reta de cima, e a segunda é escolher 2 dos 8 pontos destacados na reta de baixo. Assim, o número de possibilidades para a primeira etapa é:

C_{7, 2} = $\begin{array}{c}\frac{7!}{2!\cdot \left(7-2\right)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5!}{2\cdot 1\cdot 5!}\end{array}$= 21

Já o número de possibilidades para a segunda etapa é:

C_{8, 2} = $\begin{array}{c}\frac{8!}{2!\cdot \left(8-2\right)!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6!}{2\cdot 1\cdot 6!}\end{array}$= 28

Pelo princípio multiplicativo, temos:

C_{7, 2} ⋅ C_{8, 2} = 21 ⋅ 28 = 588

Portanto, é possível formárformar 588 quadriláteros.

15. Em uma turma com 15 estudantes, dos quais 10 são meninas e 5 são meninos, será formada uma comissão composta de 4 meninas e 2 meninos. Sabendo quêque Renata já foi escolhida e quêque Eduardo não deseja participar, de quantos modos distintos é possível finalizar a composição dessa comissão?

Resolução

O evento “compor a comissão” pódepode ocorrer em duas etapas. A primeira é finalizar a escolha das 3 meninas entre as 9 opções quêque sobraram, uma vez quêque Renata já foi escolhida. A segunda é escolher 2 meninos entre 4 opções, pois Eduardo não deseja participar.

Cada combinação simples de 3 das 9 meninas é uma escolha diferente para a composição da comissão. Então, o número de possibilidades da primeira etapa é:

C_{9, 3} = $\begin{array}{c}\frac{9!}{3!\cdot \left(9-3\right)!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 6!}\end{array}$= 84

De forma análoga, cada combinação simples de 2 dos 4 meninos é uma escolha diferente para a composição da comissão. Logo, o número de possibilidades da segunda etapa é:

C_{4, 2}= $\begin{array}{c}\frac{4!}{2!\cdot \left(4-2\right)!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2!}{2\cdot 1\cdot 2!}\end{array}$= 6

Pelo princípio multiplicativo, temos:

C_{9, 3} ⋅ C_{4, 2} = 84 ⋅ 6 = 504

Portanto, é possível finalizar a composição dessa comissão de 504 modos distintos.

Página cento e sessenta e dois162

16. Em uma empresa, um projeto precisa de uma equipe de 4 pessoas, quêque deve sêrser montada a partir de um grupo de 10 funcionários. Além díssudisso, o gerente do projeto deseja quêque, entre os membros da equipe, um seja selecionado como responsável pêlospelos prazos e outro, como responsável pêlospelos gastos do projeto.

a) De quantas maneiras diferentes a equipe de 4 pessoas pódepode sêrser formada a partir dos 10 funcionários?

b) Após a formação da equipe, de quantas maneiras diferentes os 2 responsáveis podem sêrser escolhidos entre os membros da equipe?

Resolução

a) Cada combinação simples de 10 funcionários tomados 4 a 4 é uma formação de equipe diferente.

C_{10, 4} =$\begin{array}{c}\frac{10!}{4!\cdot \left(10-4\right)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 6!}\end{array}$= 210

Portanto, há 210 maneiras de formárformar a equipe de 4 pessoas.

b) Escolher os dois responsáveis pódepode ocorrer em duas etapas. Na primeira, há 4 possibilidades de escolher o responsável pêlospelos prazos. Definida essa etapa, há 3 possibilidades de escolher o responsável pêlospelos gastos. Pelo princípio multiplicativo, temos:

4 ⋅ 3 = 12

Portanto, há 12 maneiras diferentes de escolher os dois representantes.

ATIVIDADES

46. Copie e complete o qüadroquadro com todas as combinações simples, todos os subconjuntos, de 3 elemêntoselementos do conjunto E = {A, B, C, D, E, F}.

47. De quantas maneiras é possível escalar um tímetime de basquete, compôztocomposto de 5 jogadores, dispondo-se de 8 atletas?

56 maneiras

48. Em uma empresa, há 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. Agora, a diretoria será composta de 5 sócios, sêndosendo 3 brasileiros e 2 japoneses. De quantos modos essa composição pódepode ocorrer?

120 modos

49. Em uma sala, há 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podem sêrser formados?

200 grupos

50. Ao elaborar uma próvaprova de Matemática contendo 5 kestõesquestões, um professor dispõe de 5 kestõesquestões de Álgebra e 6 de Trigonometria. Calcule o número de provas diferentes quêque é possível elaborar usando, em cada próvaprova, 2 kestõesquestões de Álgebra e 3 de Trigonometria.

200 provas

51. Elabore uma situação-problema cuja resolução seja dada por $\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{30}{5}\right)$.

Resposta pessoal.

Página cento e sessenta e três163

52. (UEA-AM) O técnico de futebólfutebol de uma escola precisa escolher 11 alunos do ensino médio para uma competição. Ele tem à disposição 5 alunos do primeiro ano, 5 alunos do segundo ano e 7 alunos do terceiro ano. Se ele quêquer escolher 3 alunos do primeiro ano, 3 alunos do segundo ano e os demais do terceiro ano, o número de maneiras diferentes que ele poderá fazer essa escolha é:

a) 420.

b) 840.

c) 1.600.

d) 2.100.

e) 3.200.

alternativa d

53. Seis amigos combinaram de praticar esportes em um compléksocomplexo esportivo.

a) Para entrar no compléksocomplexo, eles formaram uma fila. De quantas maneiras diferentes essa fila poderia ter sido formada?

720 maneiras

b) Dentro do compléksocomplexo, eles disputaram uma corrida. O primeiro colocado ganhou um sorvete, o segundo ganhou um chocolate e o terceiro, um bombom. De quantos modos distintos esses doces poderiam ter sido distribuídos?

120 modos

c) Eles se organizaram em dois tímetimes para jogar basquete, cada time com três jogadores. De quantas maneiras distintas esses dois times poderiam ter sido formados?

20 maneiras

54. (UFSCar-SP) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sêndosendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sêndosendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sêndosendo exatamente 3 homens e 3 mulheres.

Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas:

a) dentre todos os seus amigos no trabalho.

40 maneiras

b) d fórmade forma quêque cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos.

18 maneiras

55. (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem sêrser feitas?

210 tipos

56. (hú éfi éssi cêUFSC) Um campeonato de futebólfutebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se quêque foram jogadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes.

17 equipes

57. (Funorte-MG) No Colégio Indyu de Montes Claros, 5 alunos da turma do 1º ano do Ensino Médio e 4 alunos da turma do 2º ano do Ensino Médio se candidataram para participarem da comissão julgadora de um festival de danças do Colégio Impar, escola de criança. Sabendo quêque essa comissão será formada por apenas 3 alunos e quêque não poderá ter alunos de uma só turma, o número de maneiras diferentes de se escolher esses 3 alunos é

a) 42

b) 58

c) 66

d) 70

alternativa d

58. Em uma reunião de professores, cada participante cumprimentou todos os seus côlégascolegas, resultando em 210 apertos de mãos. Determine o número de professores presentes na reunião.

21 professores

59. (Cederj-RJ) Em um grupo de 58 formandos da Escola de Engenharia de uma universidade, 28 fizeram o curso de Engenharia de Produção, 18 de Engenharia Elétrica e 12 de Engenharia de Telecomunicações. Cada formando concluiu apenas um dos três cursos. Se, para constituir uma comissão de formatura, deve-se escolher, obrigatória menteobrigatoriamente, dois estudantes de cada um dos cursos, de quantas maneiras distintas tal comissão pódepode sêrser formada?

a) (14 × 27) + (9 × 17) + (6 × 11)

b) 14 × 27 × 9 × 17 × 6 × 11

c) 28 × 27 × 18 × 17 × 12 × 11

d) (28 × 27) + (18 × 17) + (12 × 11)

alternativa b

60. (UFRGS-RS) Um tímetime de futebólfutebol de salão dispõe de vinte jogadoras de futebólfutebol, entre as quais apenas Antônia, Maria e Eduarda são goleiras. O número de times possíveis, com cinco jogadoras, em quêque apenas a goleira joga em uma posição fixa, é

a) C_{17, 4}.

b) C_{20, 4}.

c) C_{20, 5}.

d) C_{3, 1} + C_{17, 4}.

e) C_{3, 1} ⋅ C_{17, 4}.

alternativa e

61. (EsPCEx-SP) Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B. Tomando-se quaisquer três pontos distintos dentre os 10, quantos triângulos não retângulos podem sêrser formados?

a) 8

b) 10

c) 30

d) 112

e) 120

alternativa d

Página cento e sessenta e quatro164

CONEXÕES com..
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
As placas dos automóveis

Você já observou quêque as placas dos automóveis possuem um padrão? No Brasil, o primeiro sistema de placas surgiu no início do século XX e vêmvem se modificando ao longo dos anos. A partir de 2018, o Brasil começou a implementar as placas no padrão merkossúlMercosul.

Com base em uma iniciativa da União EuropéiaEuropeia, o merkossúlMercosul propôs a criação de um modelo único de placas para os automóveis dos países-membros. A ideia é a de quêque os países se organizem de modo a começar a implementação. Leia o texto a seguir sobre o assunto.

A Placa merkossúlMercosul é o novo padrão para a Placa de Identificação Veicular no Brasil, criada num acôr-doacordo com os demais países membros do merkossúlMercosul, Mercado Comum do Cone Sul.

Com rêuní-õesreuniões quêque se iniciaram em 2010 de modo a unificar as placas de Argentina, Brasil, Bolívia, Paraguai, Uruguai e Venezuela, nosso país só efetivou mesmo a implantação do novo modelo a partir de setembro de 2018.

O objetivo do projeto é tornar a fiscalização mais fácil com maior número de combinações, tornar a aquisição mais barata e integrar a gestão de tráfego e sua fiscalização entre os países membros.

Acredita-se quêque os 110 milhões de veículos do merkossúlMercosul serão beneficiados pelo novo modelo, quêque só no Brasil garante 450 milhões de combinações.

No antigo, cinza, apenas 175 milhões de combinações eram possíveis.

[...]

OLIVEIRA, Ricardo de. Placa merkossúlMercosul: lêtrasletras, tabélatabela, dêtálhesdetalhes, legislação. Notícias automotivas, [s. l.], 30 jun. 2024. Disponível em: https://livro.pw/iiral. Acesso em: 27 set. 2024.

As combinações das placas do merkossúlMercosul são LLLNLNN para automóveis e LLLNNLN para motocicletas, em quêque L é letra e N é número. Observe um exemplo de placa dêêssedesse modelo para automóvel.

Página cento e sessenta e cinco165

Veja como as placas de identificação de veículos evoluíram no Brasil

[_…]

[_…] O sistema pioneiro foi adotado entre 1901 e 1941. As placas da época tí-nhãotinham fundo preto e fonte branca. Iniciavam com a letra P (para carros particulares) ou A (veículos de aluguel), seguida de até cinco algarismos.

Entre 1941 e 1969, foi usado um segundo sistema, sem lêtrasletras. Os números eram separados em duplas e a placa passou a informar o Estado e o município em quêque o carro havia sido licenciado. Foi nessa fase quêque surgiu a diferenciação por côrcor de acôr-doacordo com o tipo de utilização do veículo. Os carros particulares passaram a usar placas laranjas (amarelas, a partir de meados da década de 60) com algarismos pretos; os veículos oficiais usavam placa branca com fonte preta; e os carros de aluguel usavam placa vermelha com algarismos em branco.

[_…]

O terceiro sistema, alfanumérico, foi introduzido no final de 1969 e passou a conter combinação de duas lêtrasletras e quatro números para carros (motos tí-nhãotinham duas lêtrasletras e três números), escritos em preto sobre um fundo amarelo.

[_…]

A partir de 1990, foi adotado o Sistema RENAVAM, quêque permanecerá vigente até a entrada das placas com padrão merkossúlMercosul. [_…]

[_…]

Esse sistema atual é do tipo ABC-1234, sêndosendo quêque cada Estado passou a ter seus intervalos de combinações de lêtrasletras (o Rio de Janeiro, por exemplo, passou a expedir placas com jogos de lêtrasletras entre KMF e LVE). [_…]

[_…]

VEJA como as placas de identificação de veículos evoluíram no Brasil. Estadão, São Paulo, 18 mar. 2018. Jornal do carro. Disponível em: https://livro.pw/wefsp. Acesso em: 13 set. 2024.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. De acôr-doacordo com o segundo texto, considere a placa do sistema Renavam, na qual há três lêtrasletras do alfabeto (de um total de 26) e quatro algarismos (de 0 a 9), e determine:

a) a quantidade de placas quêque podem sêrser criadas;

175.760.000 placas

b) a quantidade de placas quêque podem sêrser criadas de modo a não havêerhaver nenhum número e nenhuma letra repetidos;

78.624 000 placas

c) a quantidade de placas quêque podem sêrser criadas com as três lêtrasletras iniciais do seu nome.

Resposta pessoal.

2. De acôr-doacordo com o primeiro texto, considere a placa de modelo merkossúlMercosul. Tendo em vista essa nova formulação (LLLNLNN) para automóveis no Brasil, responda às perguntas.

a) Quantas placas podem sêrser criadas com esse novo padrão?

456 976 000 placas

b) Em relação ao padrão anterior, quantas placas a mais podem sêrser criadas com esse novo padrão?

281 216 000 placas

3. Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa histórica sobre os modelos de placas quêque já foram utilizados no Brasil. Elaborem uma linha do tempo usando imagens e textos, incluindo a evolução na quantidade de placas quêque cada sistema permitiu criar.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e sessenta e seis166

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Cálculos fatoriais utilizando o Scratch

Neste Capítulo, você pôdipôde perceber quêque, na resolução de diversos problemas de contagem, usamos cálculos com fatorial. O programa quêque vamos construir nesta seção pódepode ajudar nesses cálculos. Esse programa permite quêque a atenção seja dirigida ao raciocínio quêque deve sêrser desenvolvido na resolução dos problemas. Lembramos quêque o Scratch, disponível em https://livro.pw/kxboe (acesso em: 28 out. 2024), é uma linguagem de programação em blocos, em quêque basta identificar os comandos quêque se deseja executar, à esquerda da tela, e arrastar os blocos para a área de trabalho, no centro da tela.

Desenvolvendo a função fatorial no Scratch

Aprendemos o quêque é o fatorial de um número natural n. O cálculo do fatorial de um número da ordem das dezenas, por exemplo, pódepode sêrser bem trabalhoso. Por isso, propomos esse programa para ajudar os cálculos desenvolvidos no estudo de Combinatória.

Para desenvolver um programa quêque calcula operações fatoriais, siga os passos a seguir.

I. Depois de clicar no botão Criar, clique na categoria Eventos e arraste o bloco destacado na imagem para a área de trabalho.

II. Clique na categoria Sensores e insira o bloco apresentado abaixo do bloco anterior. Substitua o texto padrão por: “Digite n para obtêrobter n!”.

III. Na categoria Variáveis, clique em Criar uma variável e crie duas variáveis: x e y, uma de cada vez. Após esse passo, aparecerão, em Variáveis, estes blocos:

IV. Desmarque essas variáveis, para quêque elas não aparêçamapareçam para o usuário na tela de interação.

V. Ainda em Variáveis, arraste duas vezes o bloco indicado para a sequência de blocos quêque está sêndosendo formada.

VI. No primeiro bloco, você deve selecionar a variável x no espaço Minha variável e, no campo Para, deve digitar o valor “1” no lugar do 0.

VII. No segundo bloco, você deve selecionar a variável y. No campo Para, você deve retornar à categoria Sensores e arrastar o bloco .

Até aqui, seu programa deve estar assim:

Página cento e sessenta e sete167

VIII. Clique na categoria contrôleControle e arraste um bloco igual ao da figura para a área de trabalho, encaixando-o abaixo dos anteriores. Em seguida, na categoria Sensores, arraste o bloco resposta para o espaço indicado na imagem.

IX. retórneRetorne para a categoria Variáveis, arraste dois blocos Mude para dentro do bloco Repita e altere a variável do primeiro bloco para x e a variável do segundo bloco para y.

Nesse momento, é preciso configurar as operações matemáticas em ambos os blocos. Para isso, clique na categoria Operadores e arraste para o bloco quêque foi configurado com a variável x o bloco de produto:

Para o bloco quêque foi configurado com a variável y arraste o bloco da diferença:

X. Em Variáveis, arraste a variável x e a variável y para o bloco de multiplicação. Na subtração, arraste a variável y para o primeiro espaço e digite “1” no segundo espaço.

XI. Para finalizar, clique na categoria Aparência e arraste o bloco da imagem para o final da sequência de blocos.

XII. Depois, vá para Variáveis e arraste a variável x para onde está escrito “Olá”. Você também pódepode mudar o tempo de exibição da resposta. Para isso, no campo em quêque está o número 2, digite “5”, por exemplo, para quêque a resposta fique visível durante 5 segundos. Caso ainda considere pouco, digite um valor maior. Ao final, seu programa ficará conforme a imagem.

Pense e responda

Ver as Orientações para o professor.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. No passo VIII, depois de inserir o bloco repetição, o valor 10 foi substituído pelo bloco resposta.

O quêque representa essa modificação? Esse valor poderia sêrser diferente?

2. No passo X, no bloco quêque corresponde à variável y, foi efetuado o cálculo y − 1. Explique por quêpor que é necessário subtrair 1 do valor y.

3. Analise e explique por quêpor que essa sequência de blocos proposta no texto funciona, ou seja, calcula o fatorial de um número dado.

4. A programação apresentada não é a única forma de calcular o fatorial de um número dado. Reúna-se a mais dois côlégascolegas, e construam outra maneira de, dado um número n, calcular seu fatorial.

Página cento e sessenta e oito168

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (UEA-AM) Um campus universitário tem 7 portarias quêque podem sêrser usadas tanto para entrada como para saída de alunos. O número mássimomáximo de formas distintas como um aluno poderá entrar e sair dêêssedesse campus utilizando portarias diferentes é

a) 42.

b) 36.

c) 14.

d) 48.

e) 28.

alternativa a

2. (Enem/MEC) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, sêrserá necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no qüadroquadro, em quêque “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

As lêtrasletras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quêquer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dôbrodobro do número esperado de clientes. A opção quêque mais se adequa às condições da empresa é

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

alternativa e

3. (Unaerp-SP) Uma fechadura de segredo possui 4 contadores quêque podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte quêque, ao girar os contadores, esses números podem sêrser combinados para formárformar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses números podem sêrser combinados para se tentar encontrar o segredo?

a) 10.000

b) 64.400

c) 83.200

d) 126

e) 720

alternativa a

4. (Uneb-BA) A distribuição de cinco bolas de cores distintas entre duas pessoas de modo quêque cada pessoa receba, pelo menos, uma bola pódepode sêrser feita em um número mássimomáximo, de formas distintas, igual a

01) 25

02) 30

03) 35

04) 45

05) 50

alternativa 02

5. (UCSal-BA) Um cóódigocódigo para leitura ótica é constituído por 6 barras, brancas ou pretas. Nenhum cóódigocódigo tem barras de uma só côrcor. Veja dois exemplos dêêssesdesses códigos:

Quantos dêêssesdesses códigos, distintos entre si, podem sêrser formados?

a) 128

b) 64

c) 62

d) 32

e) 16

alternativa c

6. (Uneb-BA) Um grupo de 8 enfermeiros contratados por um hospital deve sêrser distribuído de modo quêque 3 fiquem no setor de pronto-socorro, 3 no setor cirúrgico e os demais na ala pediátrica. O número de maneiras distintas de se fazer tal distribuição é igual a

01) 66

02) 182

03) 320

04) 560

05) 718

alternativa 04

7. (UECE) Listando-se, em ordem crescente, todos os números de cinco dígitos formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, e 7, pode-se afirmar corretamente quêque, nesta lista, a quantidade de números menóresmenores do quêque 61.573 é

a) 74

b) 76

c) 75

d) 77

alternativa c

8. (ITA-SP) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos dêstesdestes números são ímpares e começam com um dígito par?

a) 375

b) 465

c) 545

d) 585

e) 625

alternativa d

Página cento e sessenta e nove169

9. (UEA-AM) Para serem transportadas ao aeroporto, seis pessoas de uma mesma família, sêndosendo dois adultos e quatro crianças, devem ocupar as duas primeiras fileiras de bancos de uma vãvan, com três assentos em cada fileira. O número de maneiras diferentes pelas quais as seis pessoas podem distribuir-se nos assentos, de modo quêque os adultos ocupem sempre os dois assentos das extremidades da primeira fileira, é

a) 96.

b) 18.

c) 24.

d) 36.

e) 48.

alternativa e

10. (UFRGS-RS) Um aplicativo de transporte disponibiliza em sua platafórmaplataforma a visualização de um mapa com ruas horizontais e verticais quêque permitem realizar deslocamentos partindo do ponto A e chegando ao ponto B, conforme representado na figura abaixo.

O número de menóresmenores caminhos possíveis quêque partem de A e chegam a B, passando por C, é

a) 28

b) 35

c) 100

d) 300

e) 792

alternativa d

11. (UFSCar-SP/Unicamp-SP) Ana tem um cartão com uma senha de 4 dígitos. cértoCerto dia, ao tentar realizar uma compra, ela se esqueceu da senha, porém lembra quêque

• sua senha tem exatamente um dígito 1;

• sua senha tem exatamente dois dígitos 3;

• o dígito 1 não é sucedido imediatamente por um dígito 3.

Supondo quêque Ana escrêevaescreva todas as possíveis senhas quêque cumprem essas condições, quantas são as possibilidades de senha quêque ela escreverá?

a) 48.

b) 58.

c) 68.

d) 78.

alternativa a.

12. (Enem/MEC) Uma montadora de automóveis divulgou quêque oferta a seus clientes mais de 1.000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a côrcor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escôlhasescolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.

Para sêrser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores quêque a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é

a) 8.

b) 9.

c) 11.

d) 18.

e) 24.

alternativa b

13. (Unitins-TO)

Avalie as assertivas a seguir considerando a imagem da logomarca da Universidade Estadual do Tocantins.

I. Com a palavra UNITINS, podem sêrser obtidos 1.260 anagramas.

II. Com a palavra UNITINS, há 120 anagramas iniciados e finalizados com a letra N.

III. Com a palavra UNITINS, há 60 anagramas iniciados e finalizados com a letra I.

Está correto o quêque se afirma apenas em

a) I e II.

b) I e III.

c) III.

d) I.

e) II.

alternativa b

14. (Omif) Numa palestra realizada no evento da segunda fase da OMIF 2019, um grupo de oito amigos rêzouvêoresolveu se sentar na primeira fila do auditório, quêque tinha exatamente oito lugares vagos consecutivos. Entre estes amigos, estavam Pedro e Marineide. Motivados pelo ambiente em quêque se encontravam, resolveram calcular a quantidade de maneiras diferentes em quêque eles podiam se dispor de modo quêque, entre Pedro e Marineide, houvesse, exatamente, duas pessoas. Sabendo quêque eles calcularam êsteeste resultado corretamente, eles concluíram quêque esta quantidade é:

a) 720

b) 1.440

c) 3.600

d) 7.200

e) 20.160

alternativa d

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15. (hú éfe pê érreUFPR) Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares para se sentar em uma mesa hexagonal regular. Cada lugar corresponde a um dos lados do hekzágonohexágono, quêque estão numerados de 1 a 6, conforme a figura a seguir. Os lados 1 e 4 são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5, e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos podem escolher os lugares numerados de modo quêque nenhum deles fique sentado ao lado ôpôstooposto do outro?

a) 48.

b) 36.

c) 24.

d) 12.

e) 8.

alternativa a

16. (Uesb-BA) O filme “Filho de boi” retrata a formação do protagonista João como palhaço no circo. O traje do palhaço é um aspecto relevante na sua apresentação. Considerando quêque João deva montar seu traje compôztocomposto de uma camiseta, uma calça e um chapéu e tendo à sua disposição 3 camisetas, duas calças2 calças e 4 chapéus, pode-se afirmar quêque a quantidade de trajes diferentes quêque ele pódepode formárformar é de:

a) 12.

b) 24.

c) 36.

d) 9.

e) 16.

alternativa b

17. (UFSCar-SP/Unicamp-SP) Seis amigos se preparam para assistir a um jôgojogo de futebólfutebol e vão se sentar numa mesma fileira do estádio. De quantas maneiras eles podem se organizar nas cadeiras escolhidas para se sentar, sabendo quêque dois deles se sentarão sempre um do lado do outro?

a) 140.

b) 240.

c) 340.

d) 440.

alternativa b

18. (Fuvest-SP) Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além díssudisso:

1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;

2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.

Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:

a) 928

b) 1.152

c) 1.828

d) 2.412

e) 3.456

alternativa e

19. (Enem/MEC) Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sêndosendo quêque a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, quêque diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sólsol nos quartos dêêssesdesses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:

• naqueles quêque finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sólsol apenas na parte da manhã;

• naqueles quêque finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sólsol na parte da manhã;

• naqueles quêque finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sólsol apenas na parte da tarde.

Uma pessoa pretende comprar 2 dêêssesdesses apartamentos em um mesmo andar, mas quer quêque, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sólsol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 dêêssesdesses apartamentos para compra nas condições desejadas?

a) 9 × $\begin{array}{c}\frac{6!}{\left(6-2\right)!}\end{array}$

b) 9 × $\begin{array}{c}\frac{6!}{\left(6-2\right)!\times 2!}\end{array}$

c) 9 × $\begin{array}{c}\frac{4!}{\left(4-2\right)!\times 2!}\end{array}$

d) 9 × $\begin{array}{c}\frac{2!}{\left(2-2\right)!\times 2!}\end{array}$

e) 9 × $\begin{array}{c}\left(\frac{8!}{\left(8-2\right)!\times 2!}-1\right)\end{array}$

alternativa b

20. (Fempar-PR) Com 10 consoantes diferentes dadas e as 5 vogais, queremos formárformar conjuntos de 3 lêtrasletras diferentes, sêndosendo 2 consoantes e 1 vogal.

A ordem das 3 lêtrasletras em cada conjunto não o faz diferente. Por exemplo, o conjunto {A, B, C} é igual ao conjunto {B, A, C}.

Assinale a opção quêque indica o número de conjuntos quêque podemos formárformar, nas condições dadas.