CAPÍTULO 5
PROBABILIDADE

Já reparou quêque os cães labradores podem sêrser amarelos, chocolate ou pretos? Ou quêque existe um número muito grande de cores, espessuras e tipos de cabelo em sêresseres humanos? Que, de modo geral, os gatos de três cores são fêmeas? Pois é, a natureza é mesmo interessante e diversificada, em parte pela combinação genética, e a Probabilidade nos ajuda a entender como isso funciona.

Os famosos experimentos com ervilhas, quêque foram realizados por Gregor Mendel (1822-1884), desenvolveram as bases dos estudos sobre hereditariedade. Desde então, os estudos genéticos avançaram, e hoje temos muitas informações quêque nos ajudam a compreender um pouco mais o sêrser humano. Sabemos, por exemplo, quêque características como côrcor de pélepele, lóbulo auricular aderente ou não, habilidade de dobrar a língua em formato de"U", entre outras, são hereditárias.

Atualmente, a Genética conta com a tecnologia, principalmente na seleção de genes para produção agrícola. Para essa seleção, há muitos estudos probabilísticos quêque ajudam a prever as características quêque se manifestarão nas próximas gerações a partir das características das gerações parentais.

Fonte dos dados: TREVILATTO, P. C. éti áuet al. Introdução ao estudo da genética. In: KRIGER, L.; MOYSÉS, S. J.; MOYSÉS, S. T. (org.). Genética odontológica. São Paulo: Artes Médicas, 2014. (Série Abeno).

Ver as Orientações para o professor.

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Página cento e setenta e quatro174

Introdução

Quando estamos ao nível do mar e aquecemos um pouco de á guaágua, a quêque tempera-túratemperatura ela entra em ebulição? Se soltarmos uma bola de determinada altura, com quêque velocidade ela atingirá o chão?

Ao repetirmos esses dois experimentos, aquecer um pouco de á guaágua e soltar uma bola, sôbisob as mesmas condições, eles apresentarão resultados idênticos aos encontrados antes. A á guaágua entrará em ebulição sempre na mesma tempera-túratemperatura, e a bola atingirá o chão sempre com a mesma velocidade. Por isso, podemos prever e afirmar quais serão os resultados.

Por outro lado, não podemos prever nem afirmar qual será o resultado, se será cara ou coroa, quando lançamos uma moeda, ou qual será o número da face voltada para cima quando jogamos um dado cúbico numerado de 1 a 6, mesmo repetindo várias vezes esses lançamentos sôbisob as mesmas condições.

Denominamos experimentos:

• determinísticos aqueles quêque, quando são repetidos sôbisob as mesmas condições, apresentam resultados idênticos;

• aleatórios aqueles quêque, quando são repetidos sôbisob as mesmas condições, geralmente, apresentam resultados diferentes.

A Probabilidade é a área da Matemática quêque cria e desen vólvedesenvolve modelos abstratos quêque possibilitam estudar e analisar fenômenos e experimentos aleatórios. Neste Capítulo, estudaremos uma variedade de experimentos e fenômenos aleatórios quêque apresentam um número discreto e finito de resultados possíveis.

Espaço amostral e evento

Considere quêque dois amigos, Fábio e Ana, lançam um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, e considere a face voltada para cima como resultado. Ana deseja o resultado de número 5, e Fábio, um número par.

Nesse experimento, não é possível afirmar qual face sairá voltada para cima. No entanto, podemos afirmar quêque os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Em Probabilidade, dizemos quêque:

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Portanto, no experimento aleatório de Fábio e Ana, temos:

• o espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

• o número de elemêntoselementos do espaço amostral, n(U) = 6;

• o evento elementar (ou evento simples) desejado por Ana, A = {5};

• o número de elemêntoselementos do evento desejado por Ana, n(A) = 1;

• o evento desejado por Fábio, B = {2, 4, 6};

• o número de elemêntoselementos do evento desejado por Fábio, n(B) = 3.

A seguir, acompanhe mais um exemplo.

Duas moedas, uma de um real e outra de cinquenta centavos, são lançadas simultaneamente. Carla espera, como resultado, quêque as faces voltadas para cima sêjamsejam duas caras, e José, uma cara e uma coroa.

Para descrever o espaço amostral dêêssedesse experimento, vamos utilizar a notação de par ordenado (x, y), em quêque a letra x indica o resultado da moeda de um real e a letra y, o resultado da moeda de cinquenta centavos. Além díssudisso, utilizaremos a letra K para o resultado “cara” e a letra C para “coroa”. Desse modo, descrevemos:

• o espaço amostral, U = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)};

• o número de elemêntoselementos do espaço amostral, n(U) = 4;

• o evento elementar (ou evento simples) esperado por Carla, A = {(K, K)};

• o número de elemêntoselementos do evento esperado por Carla, n(A) = 1;

• o evento esperado por José, B = {(K, C), (C, K)};

• o número de elemêntoselementos do evento esperado por José, n(B) = 2.

Eventos elementares equiprováveis

Ao descrever um espaço amostral U de um experimento aleatório, devemos analisar se existe uma única maneira para cada evento elementar de U acontecer. Acompanhe um exemplo.

Suponha quêque vítorVitor jogue uma moeda não viciada duas vezes consecutivas e anote o número de caras obtidas, ou seja, o número de vezes em quêque a face cara saiu voltada para cima. O espaço amostral dêêssedesse experimento aleatório pódepode sêrser representado de dois modos.

• 1º modo: U = {0, 1, 2}. Nesse espaço amostral, cada evento elementar indica um número possível de resultados “cara” quêque vítorVitor anotou.

• 2º modo: V = {(C, C), (K, C), (C, K), (K, K)}. Nesse espaço amostral, cada evento elementar (x, y) descreve um resultado possível do primeiro e do segundo lançamentos. No par ordenado (K, C), por exemplo, a letra K indica o resultado “cara” no primeiro lançamento e a letra C, “coroa” no segundo lançamento.

Saiba quêque...

Dizemos quêque uma moeda ou um dado é viciado quando é modificado, isto é, adulterado, de modo quêque suas faces tênhamtenham chances diferentes de sair voltadas para cima.

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Observe, no qüadroquadro a seguir, quêque o evento elementar"número possível de caras quêque vítorVitor anotou" sêrser 1 no espaço amostral U pódepode acontecer de duas maneiras distintas: é possível vítorVitor anotar 1 quando ocorre coroa no primeiro lançamento e cara no segundo ou, ao contrário, quando ocorre cara no primeiro lançamento e coroa no segundo.

Quando isso acontece, sempre optamos pelo espaço amostral no qual cada evento simples tem apenas uma única maneira de acontecer, como é o caso do espaço amostral V = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)}, cujos elemêntoselementos têm essa característica. Além díssudisso, como a moeda é não viciada, admitimos quêque todos os eventos elementares do espaço amostral V são igualmente prováveis e os denominamos eventos elementares equiprováveis.

Perceba quêque o evento elementar"número possível de caras quêque vítorVitor anotou" sêrser 1 no espaço amostral U = {0, 1, 2} tem uma chance de ocorrência maior em relação aos demais eventos simples, pois há duas maneiras possíveis de ele acontecer, enquanto, para cada um dos demais eventos simples, há apenas uma. Nesse caso, dizemos quêque o espaço amostral U possui eventos elementares não equiprováveis.

Para admitir quêque os eventos elementares de um espaço amostral são equiprováveis, analisamos: se as características do experimento aleatório não favorécemfavorecem um possível resultado em relação aos demais; e se existe uma única maneira de cada evento elementar acontecer.

Acompanhe os exemplos.

Exemplo 1: Marcos retira ao acaso uma ficha de uma urna quêque contém 5 fichas numeradas de 1 a 5. Porém, a ficha de número 3 tem medidas diferentes em relação às demais fichas.

Nesse exemplo, os eventos elementares do espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5} são não equiprováveis, porque a diferença de tamãnhotamanho da ficha de número 3 altera a chance de ela sêrser sorteada em relação às demais, já quêque pódepode, inclusive, sêrser identificada pelo tato. Ou seja, as características do experimento aleatório interferem no resultado, por isso, nesse caso, não podemos admitir quêque os eventos elementares de U possuem chances iguais de ocorrência.

Exemplo 2: Sandra retira ao acaso uma ficha de uma urna quêque contém 3 fichas idênticas. A única diferença entre elas é a côrcor, duas são vermelhas e a outra é amarela.

Os eventos simples do espaço amostral U = {vermelha, amarela} são não equiprováveis, porque há duas maneiras diferentes de Sandra retirar uma ficha vermelha, enquanto há apenas uma maneira de retirar uma ficha amarela. Por outro lado, os eventos simples do espaço amostral V = {vermelha 1, vermelha 2, amarela} são equiprováveis, porque as fichas são idênticas e uma é retirada ao acaso; além díssudisso, só existe um único modo para cada evento elementar de V acontecer.

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Tipos de eventos

Acompanhe o exemplo a seguir.

Fernanda e Daniel jogam dois dados cúbicos não viciados, um branco e outro vermelho, e observam os números das faces voltadas para cima.

O espaço amostral equiprovável dêêssedesse experimento aleatório é:

U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

O primeiro número, x, de cada par ordenado (x, y) indica o número observado no dado branco, e o segundo, y, o número observado no dado vermelho.

Agora, com relação ao exemplo, considere as seguintes situações.

1) Fernanda deseja o evento A: quêque a soma dos resultados dos dois dados seja 4. Daniel deseja o evento B: quêque a soma dos resultados dos dois dados seja 3. Assim, tem-se:

A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} B = {(1, 2), (2, 1)}

Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = ∅. Ou seja, é impossível quêque os dois eventos ocorram ao mesmo tempo.

2) Fernanda espera o evento C: dois números iguais. Daniel espera o evento D: dois números diferentes.

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

D = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}

Os eventos C e D são complementares, pois C ∩ D = ∅ e C ∪ D = U. Isto é, se o evento C não aconteceu, então o evento D ocorreu, e vice-versa.

Saiba quêque...

Indicamos o complementar de um evento A por $\overline{A}$.

3) Fernanda torce pelo evento E: quêque a soma dos resultados seja menor ou igual a 1.

E = ∅

O evento E é impossível, pois não existe um evento elementar de U cuja soma dos resultados seja menor ou igual a 1.

4) Fernanda deseja o evento F: quêque a soma dos resultados seja menor ou igual a 12.

F = U

O evento F é cértocerto, pois todos os eventos elementares de U têm como soma dos seus resultados um número menor ou igual a 12.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Uma urna contém 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado.

dêz-crevaDescreva, d fórmade forma explícita, os conjuntos indicados em cada item a seguir e dê o número de elemêntoselementos de cada um.

a) O espaço amostral U.

b) O evento A, em quêque o número da bola retirada é ímpar.

c) O evento B, em quêque o número da bola retirada é maior do quêque 6.

Resolução

a) O espaço amostral U é o conjunto de todos os resultados possíveis:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Logo, n(U) = 10.

b) O evento A, em quêque o número da bola retirada é ímpar, é o conjunto: A = {1, 3, 5, 7, 9}. Logo, n(A) = 5.

c) O evento B, em quêque o número da bola retirada é maior do quêque 6, é o conjunto: B = {7, 8, 9, 10}. Logo, n(B) = 4.

2. Em um cês tocesto, há seis bolas idênticas de vôlei, três brancas e três vermelhas. Desse cês tocesto são retiradas, sucessivamente, três bolas ao acaso.

a) dêz-crevaDescreva o espaço amostral U dêêssedesse experimento aleatório e determine o seu número de elemêntoselementos.

b) pôdêmosPodemos admitir quêque os eventos simples do espaço amostral descrito no item anterior são equiprováveis? Justifique.

c) Classifique como mutuamente exclusivos, complementares, impossíveis ou certos a dupla de eventos ou os eventos dêêssedesse experimento aleatório. Justifique cada uma das classificações.

I. Evento A: retirar três bolas brancas.

Evento B: retirar três bolas vermelhas.

II. Evento C: retirar três bolas de cores iguais. Evento D: retirar uma bola branca e duas vermelhas ou retirar duas brancas e uma vermelha.

III. Evento E: retirar uma quantidade de bolas brancas igual à quantidade de bolas vermelhas.

IV. Evento F: retirar uma bola branca ou uma bola vermelha.

Resolução

a) Chamando cada bola branca de B e cada bola vermelha de V, ao construir a árvore de possibilidades, temos:

Portanto, U = {(BBB), (BBV), (BVB), (BVV), (VBB), (VBV), (VVB), (VVV)} e n(U) = 8.

b) Sim, podemos admitir quêque os eventos simples do espaço amostral U são equiprováveis, pois só existe uma única maneira de cada evento elementar de U acontecer e não há nenhuma característica no experimento quêque favoreça um dos possíveis resultados em relação aos demais.

c) (I) Os eventos A = {(BBB)} e B = {(VVV)} são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = ∅. Ou seja, eles não podem acontecer simultaneamente.

(II) Os eventos C = {(BBB), (VVV)} e D = {(BBV), (BVB), (BVV), (VBB), (VBV), (VVB)} são complementares, pois C ∩ D = ∅ e C ∪ D = U. Isto é, se um deles não aconteceu, o outro, com certeza, ocorreu.

(III) Não existe nenhum evento elementar no espaço amostral em quêque a quantidade de bolas brancas retiradas seja igual à quantidade de vermelhas. Logo, o evento E é impossível e é indicado por E = ∅.

(IV) Em todos os eventos elementares de U ocorre a retirada de uma bola branca ou de uma bola vermelha. Logo, o evento F é cértocerto, ou seja, F = U.

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ATIVIDADES

1. Considere o experimento: o lançamento de dois dados, um branco e outro vêrdeverde, ambos com as faces numeradas de 1 a 6, e a observação das faces superiores. Faça o quêque se pede.

a) dêz-crevaDescreva o espaço amostral.

b) dêz-crevaDescreva o evento: ocorrência de números iguais nos dois dados.

c) dêz-crevaDescreva o evento: ocorrência de números cuja soma seja 5.

d) Determine o número de elemêntoselementos de cada item anterior.

Ver as Orientações para o professor.

2. Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas diferentes divididas em quatro naipes: ouros ♦, paus ♣, espadas ♠ e cópascopas ♥.

Cada naipe contém 13 cartas. As cartas com as lêtrasletras A, J, Q e K são chamadas, respectivamente, de ás, valete, dama e rei. Considere a retirada, ao acaso, de uma carta de um baralho comum e classifique os eventos, ou a dupla de eventos, dêêssedesse experimento aleatório.

a) Evento A: retirar uma carta vermelha.

Evento B: retirar uma carta preta.

complementares

b) Evento C: retirar uma carta de ouros.

Evento D: retirar uma carta de espadas.

mutuamente exclusivos

c) Evento E: retirar uma carta quêque contém um número ou contém uma letra.

cértocerto

d) Evento F: retirar uma carta de espadas vermelha.

impossível

3. Em uma caixa, há quatro fichas idênticas numeradas de 1 a 4. Retiram-se em sequência, sem reposição, duas dessas fichas ao acaso e adicionam-se os números observados.

Considere os seguintes espaços amostrais dêêssedesse experimento aleatório.

I. O espaço amostral U, em quêque cada elemento de U indica uma soma possível dos dois números retirados.

U = {3, 4, 5, 6, 7}

II. O espaço amostral V, em quêque cada elemento (x, y) indica a sequência dos dois números retirados, de modo quêque x representa o número da primeira ficha e y o da segunda.

V = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

• Em qual dos dois espaços amostrais, U ou V, podemos admitir quêque os eventos elementares são equiprováveis? Justifique.

O espaço amostral V possui eventos elementares equiprováveis, pois só existe uma única maneira para cada evento elementar ocorrer. Além díssudisso, as fichas são idênticas e retiradas ao acaso, ou seja, não existe nada no experimento quêque favoreça um resultado em relação aos demais.

4. Os experimentos de Mendel, quêque foi citado na abertura do Capítulo, foram importantes para entender como ocorre a transmissão de características determinadas geneticamente. pôdêmosPodemos fazer previsões, por exemplo, de como serão os pêlospelos de uma ninhada de coelhos apenas conhecendo os pais.

Os genes quêque determinam a pelagem dos coelhos são chamados de c ⁺, c ^ch, c ^h e c. A combinação de dois dêêssesdesses quatro genes, dos quais cada gene vêmvem de um dos pais, indica o tipo de pelagem, conforme o qüadroquadro a seguir:

Sabendo díssudisso, podemos fazer uma previsão do cruzamento para determinar as possibilidades de tipo de pelagem em cada filhote. Por exemplo, vamos fazer essa análise para um filhote quêque ainda nascerá, sabendo quêque seu pai tem pelagem do tipo selvagem c ⁺ c ^ch e sua mãe tem pelagem do tipo himalaio c ^h c.

Desse modo, o espaço amostral para esse caso é U = {(c ⁺ c ^h), (c ⁺ c), (c ^ch c ^h), (c ^ch c)}.

• Agora, elabore um problema com essas informações e troque-o com um colega. resôuvaResolva a atividade feita por ele e confira a quêque foi feita por você.

Resposta pessoal.

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Probabilidade

Neste tópico, apresentaremos um modo de associar um número a cada resultado possível de um experimento aleatório quêque possui as seguintes características: um espaço amostral U com um número finito de eventos simples equiprováveis; qualquer evento de U é a união de dois ou mais eventos simples; e a união de todos os eventos simples resulta em U. Acompanhe o exemplo.

Ana e Fábio jogam um dado cúbico não viciado, cujas faces são numeradas de 1 a 6, e consideram a face voltada para cima como resultado. Ana deseja o resultado de número 5, e Fábio, o de um número par.

O espaço amostral U dêêssedesse experimento aleatório é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e o seu número de elemêntoselementos é n(U) = 6.

O evento elementar A desejado por Ana é A = {5} e o seu número de elemêntoselementos é n(A) = 1.

O evento B desejado por Fábio é B = {2, 4, 6} e o seu número de elemêntoselementos é n(B) = 3.

Dizer quêque o dado é não viciado significa admitir quêque os eventos elementares do espaço amostral U são equiprováveis, isto é, todos têm a mesma chance de ocorrência. Então, a medida da chance de o evento elementar A ocorrer é dada pela razão um sexto, 1 em 6, pois as quantidades de elemêntoselementos de A e de U são, respectivamente, 1 e 6. Chamamos essa razão de probabilidade do evento A e podemos indicá-la por:

$\frac{1}{6}$ = ^0,1666… ^{= 16,666}… ^%

Portanto, a probabilidade de sair o número 5 no lançamento do dado é $\frac{1}{6}$. Observe quêque a probabilidade de cada um dos demais eventos elementares de U também é $\frac{1}{6}$, por exemplo, a probabilidade de sair o número 3 no lançamento do dado é $\frac{1}{6}$.

O evento B, sair um número par no lançamento do dado, possui 3 elemêntoselementos. Nesse caso, a probabilidade de B ocorrer é dada pela razão três sextos, 3 em 6, quêque pódepode sêrser representada por:

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$= 0,5 = 50%

Saiba quêque...

A probabilidade pódepode sêrser representada na forma de fração, porcentagem ou decimal.

Logo, a probabilidade de sair um número par no lançamento do dado é $\frac{1}{2}$ ou 50%. Note quêque o evento B é a união de três eventos simples.

B = {2} ∪ {4} ∪ {6} = {2, 4, 6}

Além díssudisso, a união de todos os eventos elementares dêêssedesse experimento resulta em U, isto é:

{1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ {4} ∪ {5} ∪ {6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U

Para os experimentos aleatórios em quêque é possível associar um espaço amostral com as mesmas características do exemplo anterior, definimos:

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Propriedades

As propriedades a seguir são consequências imediatas da definição de probabilidade. Para essas propriedades, considere um espaço amostral U, não vazio, com um número finito de eventos elementares e os eventos A e B dêêssedesse espaço.

1) A probabilidade do evento cértocerto é 1.

Se A é o evento cértocerto, ou seja, A = U e n(A) = n(U), temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$ ^{⇒ P(A)} = $\begin{array}{c}\frac{n\left(U\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$⇒ P(A) = P(U) = 1

2) A probabilidade do evento impossível é 0.

Se A é o evento impossível, ou seja, A = ∅ e n(A) = 0, temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$⇒ ^P(A) = $\begin{array}{c}\frac{0}{n\left(U\right)}\end{array}$ ⇒ P(A) = 0

3) Para todo evento A, temos 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Seja n(A) o número de elemêntoselementos do evento A, então:

0 ≤ n(A) ≤ n(U) ⇒ $\begin{array}{c}\frac{0}{n\left(U\right)}⩽\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}⩽\frac{n\left(U\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1

4) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Seja n(A ∪ B) o número de elemêntoselementos do evento A ∪ B, pela definição de probabilidade, temos:

P(A ∪ B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$ ⇒ P(A ∪ B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$

Como A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A ∩ B = ∅ e n(A ∩ B) = 0, então:

P(A ∪ B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{0}{n\left(U\right)}\end{array}$⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Saiba quêque...

Sejam A e B dois conjuntos finitos, a quantidade de elemêntoselementos do conjunto A ∪ B, quêque indicamos por n(A ∪ B), é dada por:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), em quêque:

• n(A) é o número de elemêntoselementos do conjunto A.

• n(B) é o número de elemêntoselementos do conjunto B.

• n(A ∩ B) é o número de elemêntoselementos quêque os conjuntos A e B têm em comum.

5) Se A e B são dois eventos complementares, então: P(A) + P(B) = 1

Uma condição para quêque eventos A e B sêjamsejam complementares é serem mutuamente exclusivos, ou seja, A ∩ B = ∅.

Pela propriedade de eventos mutuamente exclusivos, temos:

P(A) + P(B) = P(A ∪ B)

A outra condição para quêque eventos A e B sêjamsejam complementares é A ∪ B = U, logo:

P(A) + P(B) = P(U) ⇒ P(A) + P(B) = 1

Outro modo de escrever essa propriedade é P(A) = 1 − P($\begin{array}{c}\overline{A}\end{array}$) , em quêque $\begin{array}{c}\overline{A}\end{array}$ é o complementar do conjunto A.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. Considere os números de três algarismos distintos quêque podem sêrser formados pêlospelos algarismos 2, 3 e 4. Calcule a probabilidade de se escolher ao acaso um dêêssesdesses números e ele sêrser:

a) múltiplo de 3.

b) múltiplo de 5.

Resolução

O espaço amostral U quêque contém eventos elementares equiprováveis dêêssedesse experimento aleatório é U = {234, 243, 324, 342, 423, 432}.

a) Seja A o evento de U: escolher um múltiplo de 3. Um número é múltiplo de 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3. Observe quêque:

• 2 + 3 + 4 = 9

• 9 é divisível por 3

Ou seja, todos os elemêntoselementos de U são divisíveis por 3. Logo, A é o evento cértocerto, A = U, e sua probabilidade é 1 ou 100%.

b) Seja B o evento de U: escolher um múltiplo de 5. Observe quêque não há múltiplos de 5 em U, pois nenhum dos seis números terminam em 0 ou 5. Logo, B é o evento impossível, B = ∅, e sua probabilidade é 0 ou 0%.

4. No lançamento de dois dados cúbicos não viciados e numerados de 1 a 6, qual é a probabilidade:

a) de a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7?

b) de o produto das faces superiores sêrser 1?

c) de a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7 ou o produto das faces superiores sêrser 1?

Resolução

O espaço amostral U quêque contém eventos elementares equiprováveis dêêssedesse experimento aleatório é:

U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

O número de elemêntoselementos dêêssedesse espaço é n(U) = 36.

a) O seguinte subconjunto de U representa o evento A, a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7.

A = {(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

O número de elemêntoselementos dêêssedesse evento é n(A) = 15. Assim, temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\end{array}$

Logo, a probabilidade de a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7 é $\frac{5}{12}$.

b) O subconjunto unitário {(1, 1)} de U descreve o evento B, o produto das faces superiores sêrser 1. Assim:

P(B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{1}{36}\end{array}$

Então, a probabilidade de o produto das faces superiores sêrser 1 é $\frac{1}{36}$.

c) O evento “a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7 ou o produto das faces superiores sêrser 1” é a união dos eventos A e B, indicada por A ∪ B, pois se deseja o acontecimento de A ou de B. Observe quêque esses eventos não possuem elemêntoselementos em comum, A ∩ B = ∅. Então, eles são mutuamente exclusivos. Pela propriedade dos eventos mutuamente exclusivos, temos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = $\frac{15}{36}+\frac{1}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$

Portanto, a probabilidade de a soma das faces superiores sêrser maior do quêque 7 ou o produto das faces superiores sêrser 1 é $\frac{4}{9}$.

5. Considere um conjunto de dez frutas, em quêque três estão estragadas. Escolhendo aleatoriamente duas frutas dêêssedesse conjunto, determine a probabilidade de:

a) ambas não estarem estragadas.

b) pelo menos uma fruta estar estragada.

Página cento e oitenta e três183

Resolução

a) Representaremos as frutas pelas dez primeiras lêtrasletras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. O espaço amostral U quêque contém eventos elementares equiprováveis dêêssedesse experimento aleatório é U = { {a, b}, {a, c}, {a, d}, ..., {i, j} }, em quêque cada elemento de U é uma combinação simples de 2 das 10 frutas. Desse modo, o número de elemêntoselementos dêêssedesse espaço é:

n(U) = C_{10, 2} = $\begin{array}{c}\frac{10!}{2!\cdot \left(10-2\right)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8!}{2\cdot 1\cdot 8!}\end{array}$ = 45

Considere o evento A de U: escolher duas frutas não estragadas. Se das 10 frutas 3 estão estragadas, então cada combinação simples de 2 das 7 frutas não estragadas é um elemento do evento A, e o seu número elemêntoselementos é:

n(A) = C_{7, 2} = $\begin{array}{c}\frac{7!}{2!\cdot \left(7-2\right)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5!}{2\cdot 1\cdot 5!}\end{array}$ = 21

Pela definição de probabilidade, temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\end{array}$

Logo, a probabilidade de duas frutas não estragadas serem escolhidas é $\frac{7}{15}$.

b) Seja B o evento de U: escolher pelo menos uma fruta estragada. Nesse caso, B é o evento complementar de A em relação ao espaço amostral U, pois escolher pelo menos uma significa escolher uma ou duas frutas estragadas, enquanto escolher duas frutas não estragadas é indicado pelo evento A. Em outras palavras, se não aconteceu A, com certeza, aconteceu B. Pela propriedade de eventos complementares, temos:

P(B) = 1 − P(A) = 1 − $\frac{7}{15}$ ⇒ P(B) = $\frac{8}{15}$

Portanto, a probabilidade de pelo menos uma fruta estragada sêrser escolhida é $\frac{8}{15}$.

6. Em uma caixa, foram colocadas dez fichas idênticas numeradas de 1 a 10. Ao sortear duas delas, sem reposição, qual é a probabilidade de essas fichas possuírem números consecutivos?

Resolução

O espaço amostral U quêque contém eventos elementares equiprováveis dêêssedesse experimento aleatório é U = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (10, 9)}, em quêque cada elemento de U é um arranjo simples de 2 das 10 fichas. Assim, o número de elemêntoselementos dêêssedesse espaço é:

n(U) = A_10,2 = 10 ⋅ 9 = 90

Seja A o evento de U: sortear duas fichas com números consecutivos. Pelo princípio fundamental da contagem, o evento A pódepode ocorrer em três etapas. A primeira, com 2 possibilidades, é decidir se as fichas com números consecutivos serão retiradas em ordem crescente ou decrescente. Uma vez definida a primeira etapa, a segunda, com 9 possibilidades, é escolher uma ficha com número de 1 a 9, se for em ordem crescente, ou escolher uma ficha com número de 2 a 10, se for em ordem decrescente. Uma vez definida a segunda etapa, a terceira, com 1 possibilidade, é retirar a ficha com o número consecutivo da ficha retirada na etapa anterior. Assim, o número de elemêntoselementos do evento A é:

n(A) = 2 ⋅ 9 ⋅ 1 = 18

Pela definição de probabilidade, temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\end{array}$= 0,2 = 20%

Logo, a probabilidade de serem sorteadas fichas com números consecutivos é 20%.

7. No lançamento de uma moeda viciada, a chance de ocorrer “cara” é quatro vezes maior do quêque a chance de ocorrer “coroa”. Calcule a probabilidade de ocorrer “cara” em um lançamento dessa moeda.

Resolução

Sejam os eventos K, ocorrer “cara”, e C, ocorrer “coroa”.

Pelo enunciado, temos quêque P(K) = 4 ⋅ P(C).

Observe quêque K e C são eventos complementares, então P(K) + P(C) = 1. Substituindo P(K)

por 4 ⋅ P(C), obtemos:

4 ⋅ P(C) + P(C) = 1 ⇒ 5 ⋅ P(C) = 1 ⇒ P(C) = $\frac{1}{5}$= 20%

A probabilidade de sair coroa é 20%, logo:

100% − 20% = 80%

Assim, a probabilidade de sair cara é 80%.

Página cento e oitenta e quatro184

ATIVIDADES

5. Uma caixa contém 30 bolas idênticas de madeira, 18 azuis e 12 amarelas. Ao retirar uma bola ao acaso dessa caixa, qual é a probabilidade de ela sêrser azul? E a probabilidade de sêrser amarela?

P(azul) = $\frac{3}{5}$; P(amarela) = $\frac{2}{5}$

6. No lançamento de um dado não viciado de formato cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6, determine a probabilidade de se obtêrobter:

a) o número 1;

$\frac{1}{6}$

b) um número primo;

$\frac{1}{2}$

c) um número divisível por 2;

$\frac{1}{2}$

d) um número menor do quêque 5;

$\frac{2}{3}$

e) um número maior do quêque 6.

0

7. Considere todos os números de três algarismos distintos quêque podem sêrser formados usando os algarismos 3, 5 e 7. Escolhendo um dêêssesdesses números ao acaso, qual é a probabilidade de essa escolha recair em um número:

a) múltiplo de 3?

1 ou 100%

b) par?

0

8. No lançamento simultâneo de dois dados não viciados, um vermelho e outro branco, com as faces numeradas de 1 a 6, determine a probabilidade dos seguintes eventos.

a) Os números obtidos são iguais.

$\frac{1}{6}$

b) A soma dos números obtidos é igual a 9.

$\frac{1}{9}$

c) A soma dos números obtidos é menor do quêque 4.

$\frac{1}{12}$

d) A soma dos números obtidos é igual a 8, e um dos dados apresenta o número 6.

$\frac{1}{18}$

9. Um envelope contém fichas idênticas numeradas de 1 a 20. Ao sêrser retirada uma ficha ao acaso, qual é a probabilidade de ocorrer um número:

a) ímpar?

$\frac{1}{2}$

b) maior do quêque 7?

$\frac{13}{20}$

c) múltiplo de 5?

$\frac{1}{5}$

d) divisível por 3?

$\frac{3}{10}$

10. De um baralho comum de 52 cartas, tira-se ao acaso uma delas. Determine a probabilidade de a carta sêrser:

a) uma dama de qualquer naipe;

$\frac{1}{13}$

b) uma dama de paus;

$\frac{1}{52}$

c) uma carta de ouro

$\frac{1}{4}$

d) uma figura.

$\frac{3}{13}$

11. Em uma gaveta, há três canetas de tinta azul, duas de tinta preta, quatro de tinta vêrdeverde e três quêque estão sem carga de tinta. Escolhendo uma dessas canetas ao acaso, determine a probabilidade de a caneta:

a) escrever em uma dessas cores;

$\frac{3}{4}$

b) não escrever;

$\frac{1}{4}$

c) escrever em azul

$\frac{1}{4}$

12. (Enem/MEC) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada sêrser um número de 1 a 20?

a) $\frac{1}{100}$

b) $\frac{19}{100}$

c) $\frac{20}{100}$

d) $\frac{21}{100}$

e) $\frac{80}{100}$

alternativa c

13. Uma pesquisa apontou quêque a probabilidade de uma mulher fumante com idade acima de 40 anos ter câncer é de aproximadamente 75,6%. Qual é a probabilidade aproximada de uma mulher fumante com mais de 40 anos não ter câncer?

aproximadamente 24,4%

14. Pedro utilizou um dado não viciado para fazer dois lançamentos sucessivos, multiplicou os números obtidos e anotou o produto entre eles.

a) Quais números Pedro pódepode ter anotado?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30 e 36

b) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado o número 25?

$\frac{1}{36}$

c) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado um número ímpar?

$\frac{1}{4}$

d) Qual é a probabilidade de Pedro ter anotado um número par?

$\frac{3}{4}$

Página cento e oitenta e cinco185

15. Em um jôgojogo, dois dados não viciados de seis faces são lançados, e os números das faces superiores são adicionados. Antes de um lançamento, Jaqueline deu o palpite de quêque a soma das faces superiores seria igual a 7 ou 11. Qual é a probabilidade de o palpite de Jaqueline ocorrer?

$\frac{2}{9}$

16. (UFAL) Considere quêque três vértices de um hekzágonohexágono regular são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de quêque os vértices escolhidos formem um triângulo retângulo?

$\frac{3}{5}$ ou 60%

17. (FGV-SP)

a) Quantos conjuntos de 3 lêtrasletras distintas podem sêrser formados usando as lêtrasletras da palavra INTEGRAL?

56

b) Qual a probabilidade de, escolhendo ao acaso um dêêssesdesses conjuntos, obtermos um quêque inclúainclua a letra L?

$\frac{3}{8}$

18. Os personagens K e L de um jôgojogo eletrônico só podem sêrser adquiridos em uma caixa de recompensa. Ao comprar uma caixa dessas, a chance de o personagem K sêrser adquirido é o triplo da chance do personagem L. Se um jogador comprou uma caixa dessas, qual é a probabilidade de ele adquirir o personagem K, sabendo quêque, obrigatória menteobrigatoriamente, um dos dois personagens será adquirido?

75%

19.(UFF-RJ) Os cavalos X, Y e Z disputam uma próvaprova final na qual não poderá ocorrer empate. Sabe-se quêque a probabilidade de X vencer é igual ao dôbrodobro da probabilidade de Y vencer. Da mesma forma, a probabilidade de Y vencer é igual ao dôbrodobro da probabilidade de Z vencer. Calcule a probabilidade de:

a) X vencer.

$\frac{4}{7}$

b) Y vencer

$\frac{2}{7}$

c) Z vencer.

$\frac{1}{7}$

20. (ITA-SP) Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem vêrver o resultado, você é informado de quêque a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces sêrser um número ímpar.

$\frac{7}{25}$

21. (UFPE) Escolhendo aleatoriamente um dos anagramas da palavra COVEST, qual a probabilidade de suas primeira e última lêtrasletras serem consoantes?

a) $\frac{4}{7}$

b) $\frac{5}{7}$

c) $\frac{1}{5}$

d) $\frac{2}{5}$

e) $\frac{3}{5}$

alternativa d

22. (hú- hê- érre jotaUERJ) Em uma urna há sete bó-linhasbolinhas, sêndosendo duas delas vermelhas e cinco azuis. Quatro do total de bó-linhasbolinhas serão sorteadas ao acaso.

Calcule a probabilidade de pelo menos uma das bó-linhasbolinhas sorteadas sêrser vermelha.

$\frac{6}{7}$

23. (Enem/MEC) As 23 ex-alunas de uma turma quêque completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acôr-doacordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de quêque a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:

a) $\frac{1}{3}$

b) $\frac{1}{4}$

c) $\frac{7}{15}$

d) $\frac{7}{23}$

e) $\frac{7}{25}$

alternativa e

Página cento e oitenta e seis186

FÓRUM

Fonte dos dados: MARTINS, Ernane Rosa (org.). Digital guêimisgames êndand learning 2. Ponta Grossa: Atena Editora, 2019. v. 2. p. 148-152. Disponível em: https://livro.pw/vowke. Acesso em: 18 out. 2024.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e oitenta e sete187

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
O desenvolvimento da Probabilidade

O interêsseinteresse pelo estudo da Probabilidade é bem antigo na história. Leia o texto a seguir e confira.

[...]

A teoria da Probabilidade apareceu como ramo da Matemática em meados do século XV, embora tenha se iniciado como ciência empírica muito antes dêêssedesse período. Suas raízes aparecêramapareceram principalmente nos jogos e apostas. Há registros de quêque, por volta do 1200 a.C., um pedaço de osso do calcanhar (astragalus) fosse utilizado formando faces como as de um dado. Mesmo antes díssudisso, por volta de 3500 a.C., no Egito, já havia jogos utilizando ossinhos. Os Romanos também eram apaixonados por jogos de dados e cartas quêque, durante a Idade Média, foram proibidos pela Igreja Cristã.

No século XVI, o matemático e jogador italiano, Jerônimo Cardano (1501-1576), decidiu estudar as probabilidades de ganhar em vários jogos de azar. Analisou seriamente as probabilidades de retirar ases de um baralho de cartas e de obter"setes" com dois dados e publicou os resultados dessas pesquisas em um manual para jogadores chamado"Liber de Ludo Aleae" (O livro dos jogos de azar – 1526).

Cardano é considerado iniciador da teoria das probabilidades, pois foi o primeiro a fazer observações do conceito probabilístico de um dado honesto e a escrever um argumento teórico para calcular probabilidades. Ele afirmou quêque, ao jogar dados, a chance de se obtêrobter um, três ou cinco era a mesma de se obtêrobter dois, quatro ou seis.

Apesar díssudisso, muitos autores atribuem a origem dessa teoria às correspondências trocadas entre Pascal e Fermat em quêque falavam do objetivo de se obtêrobter solução dos problemas de jôgojogos de azar propostos, em 1653, por Chevalier de Méré, conhecido como filósofo do jogo quêque também interessou-se pelo uso da Matemática para determinar as apostas nos jogos de azar.

[...]

lópesLOPES, Celi E.; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da probabilidade e da estatística. In: ENCONTRO REGIONAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA, 18., 2005, Campinas. Anais [...]. Campinas: Unicamp, 2005. p. 1. Disponível em: https://livro.pw/kogip. Acesso em: 16 out. 2024.

Página cento e oitenta e oito188

Probabilidade da união de dois eventos

Acompanhe a análise de uma situação quêque envolve uma pesquisa sobre a preferência entre dois jornais. Nessa pesquisa, 470 pessoas foram consultadas, e o resultado foi êsteeste: das 470 pessoas, 250 leem o jornáljornal A, 180 leem o jornáljornal B e 60 leem ambos os jornais. Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, vamos verificar a probabilidade de ele sêrser:

a) leitor dos jornais A e B;

Vamos construir um diagrama em quêque os leitores do jornáljornal A são representados pelo conjunto A, os leitores do jornáljornal B, pelo conjunto B, e todas as pessoas envolvidas na pesquisa, nosso espaço amostral, pelo conjunto U. Temos:

Como 60 pessoas leem ambos os jornais, indicamos 60 na intersecção de A com B.

Se 250 leem o jornáljornal A, então calculamos: 250 − 60 = 190

Logo, indicamos 190 na região A − B.

Se 180 leem o jornáljornal B, então calculamos: 180 − 60 = 120

Assim, indicamos 120 na região B − A.

Como foram consultadas 470 pessoas, então calculamos: 190 + 60 + 120 = 370

Portanto, concluímos quêque 100 pessoas não leem nenhum dos dois jornais. Assim, a probabilidade de quêque a pessoa leia ambos os jornais é:

P(A ∩ B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$ ⇒ P(A ∩ B) = $\frac{60}{470}=\frac{6}{47}$

Logo, P(A ∩ B) = $\frac{6}{47}$.

Portanto, a probabilidade de se escolher um entrevistado ao acaso e ele sêrser leitor dos jornais A e B é $\frac{6}{47}$.

b) leitor do jornáljornal A ou do jornáljornal B.

Quando adicionamos o número de pessoas quêque leem o jornáljornal A com o número de pessoas quêque leem o jornáljornal B, contamos duas vezes aquelas quêque leem os dois jornais; por isso, devemos subtrair esse grupo. Observe:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Dividindo essa igualdade por n(U), temos:

$$\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\end{array}$$

Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma das probabilidades de os dois eventos ocorrerem separadamente menos a de eles ocorrerem simultaneamente.

Página cento e oitenta e nove189

Esse resultado vale para a situação anterior, dos leitores dos jornais, e também para o caso geral de dois eventos A e B quaisquer.

Calculando a probabilidade de sêrser escolhido um leitor do jornáljornal A ou do jornáljornal B, temos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{250}{470}=\frac{25}{47}\end{array}$

P(B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{180}{470}=\frac{18}{47}\end{array}$

P(A ∩ B) = $\frac{6}{47}$

Sendo P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), temos:

P(A ∪ B) = $\frac{25}{47}+\frac{18}{47}-\frac{6}{47}=\frac{37}{47}$

P(A ∪ B) = $\frac{37}{47}$

Portanto, escolhendo-se um entrevistado ao acaso, a probabilidade de ele sêrser leitor do jornáljornal A ou do jornáljornal B é $\frac{37}{47}$.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

8. Ao se retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrer um rei ou um valete?

Resolução

Vamos considerar os eventos:

• A: sair um rei. • B: sair um valete.

Observamos quêque não há elemêntoselementos em comum entre os dois eventos, ou seja, A ∩ B = ∅.

Como estudamos, esses eventos são chamados de mutuamente exclusivos, e tem-se quêque P(A ∩ B) = 0.

Utilizando a fórmula da probabilidade da união de dois eventos e considerando P(A B) = 0, temos: P(A ⋂ B) = P(A) + P(B). Como, em um baralho, há quatro reis e quatro valetes, obtemos:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\end{array}$

P(B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\end{array}$

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = $\frac{1}{13}+\frac{1}{13}=\frac{2}{13}$⇒ P(A ∪ B) = $\frac{2}{13}$

Portanto, a probabilidade de ocorrer um rei ou um valete é $\frac{2}{13}$.

9. (UFPE) Escolhendo aleatoriamente um número natural no conjunto {1, 2, _…, 100} de naturais sucessivos, seja p a probabilidade de êsteeste natural sêrser divisível por 2 ou por 3. Indique 100p.

Resolução

Vamos considerar os eventos:

• A: sêrser um número natural divisível por 2.

• B: sêrser um número natural divisível por 3.

Note quêque os elemêntoselementos em comum entre os dois eventos, ou seja, A ⋃ B, serão dados pêlospelos múltiplos de 6.

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100} e n(A) = 50

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99} e n(B) = 33

A ∩ B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96} e n(A ∩ B) = 16

Utilizando a fórmula da probabilidade da união de dois eventos, temos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{50}{100}\end{array}$ e P(B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{33}{100}\end{array}$

P(A ∩ B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}=\frac{16}{100}\end{array}$

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = $\frac{50}{100}+\frac{33}{100}-\frac{16}{100}=\frac{67}{100}$

Como p = P(A ∪ B), 100p = 100 ⋅ $\frac{67}{100}$= 67.

Página cento e noventa190

ATIVIDADES

24. Em um grupo de 80 estudantes, 50 jogam futebólfutebol, 40 jogam vôlei e 20 jogam futebólfutebol e vôlei. Escolhendo-se ao acaso um dos estudantes, qual é a probabilidade de ele:

a) jogar vôlei?

$\frac{1}{2}$

b) jogar futebólfutebol?

$\frac{5}{8}$

c) jogar vôlei e futebólfutebol?

$\frac{1}{4}$

d) jogar vôlei ou futebólfutebol?

$\frac{7}{8}$

e) jogar somente futebólfutebol?

$\frac{3}{8}$

f) não praticar nenhum dêêssesdesses esportes?

$\frac{1}{8}$

25. Um professor passou dez kestõesquestões para seus estudantes Jorge, César e Teresa resolverem. Sabe-se quêque: Jorge fez três kestõesquestões; César concluiu duas; Teresa, quatro; as kestõesquestões quêque foram resolvidas eram diferentes. Escolhendo-se uma questão ao acaso, qual é a probabilidade de ela ter sido resolvida por:

a) Jorge?

$\frac{3}{10}$

b) Jorge ou César?

$\frac{1}{2}$

c) ninguém?

$\frac{1}{10}$

26. (FGV-SP) Roberto J., administrador recém-formado, envia um currículo para duas empresas, A e B, à procura de emprego.

A probabilidade de sêrser aceito pela empresa A é 25% e a de sêrser aceito pela B é 20%; a probabilidade de sêrser aceito por ambas é 8%.

a) Qual a probabilidade de sêrser aceito por ao menos uma das empresas?

37%

b) Qual a probabilidade de sêrser aceito por exatamente uma empresa?

29%

27. Ao sêrser retirada uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?

$\frac{4}{13}$

28. Uma urna contém 30 bolas idênticas numeradas de 1 a 30. Ao sêrser retirada uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de quêque seu número seja:

a) par?

$\frac{1}{2}$

b) ímpar?

$\frac{1}{2}$

c) par e menor do quêque 15?

$\frac{7}{30}$

d) múltiplo de 4 ou de 5?

$\frac{2}{5}$

29. (Unicamp-SP) Três candidatos, A, B e C, concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou quêque, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados quêque estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Além díssudisso, 190 disseram quêque não votariam em A, 110 disseram quêque não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou quêque 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se:

a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A? Dentre os sócios consultados quêque pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?

20; 150

b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha quêque a pesquisa represente fielmente as intenções de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade de quêque ele vá participar da eleição, mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?

400; $\frac{1}{10}$

30. Um grupo de 100 funcionários de uma empresa apresenta a seguinte composição:

Sorteando-se um funcionário dessa empresa, qual é a probabilidade de sair:

a) um homem?

$\frac{2}{5}$

b) um homem quêque trabalha no setor de vendas ou uma mulher quêque trabalha no setor de produção?

$\frac{1}{2}$

c) uma mulher quêque trabalha no setor de vendas?

$\frac{2}{5}$

Página cento e noventa e um191

31. Fabiano foi convidado para uma festa e decidiu vestir uma camiseta e uma calça para a ocasião. Ao separar suas roupas em duas pilhas, uma de camisetas e outra de calças, ele observou quêque as quantidades e as cores estavam dispostas de acôr-doacordo com o qüadroquadro a seguir.

Elabore um problema com a probabilidade de Fabiano pegar da pilha de camisetas (ou da de calças), d fórmade forma aleatória, uma peça de roupa de côrcor X ou Y.

Resposta pessoal.

32. (UFSCar-SP) A tabélatabela indica as apostas feitas por cinco amigos em relação ao resultado decorrente do lançamento de um dado, cuja planificação está indicada na figura.

Se trocarmos o conectivo"ou" pelo conectivo "e" na aposta de cada um, o jogador quêque terá maior redução nas suas chances de acertar o resultado, em decorrência dessa troca, será:

a) Ana.

b) Bruna.

c) Carlos.

d) Diego.

e) Érica.

alternativa d

Probabilidade condicional

Considere um grupo de 100 adolescentes. Eles foram questionados sobre a área de interêsseinteresse com a qual têm mais afinidade. Os resultados estão apresentados a seguir.

Um dêêssesdesses jovens é selecionado ao acaso, e sabe-se quêque sua área de maior interêsseinteresse é Biológicas. Qual é a probabilidade de esse jovem sêrser do sexo feminino?

Considere U o espaço amostral dêêssedesse experimento aleatório com 100 elemêntoselementos e os seguintes eventos:

• A: o jovem sorteado é do sexo feminino, sêndosendo n(A) = 51.

• B: a área de interêsseinteresse do jovem sorteado é Biológicas, sêndosendo n(B) = 26.

• A ∩ B: sêrser do sexo feminino e a área de interêsseinteresse sêrser Biológicas, sêndosendo n(A ∩ B) = 12.

Página cento e noventa e dois192

A probabilidade de o evento A ocorrer é:

P(A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{51}{100}\end{array}$ = 0,51 = 51%

No entanto, é desejada a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B.

Ou seja, o jovem sêrser do sexo feminino dado quêque a área de interêsseinteresse do sorteado é Biológicas. Esse caso é um exemplo do quêque denominamos probabilidade condicional ou probabilidade de A dado B, a qual é indicada por P(A/B), quêque lemos: probabilidade de A, sabendo quêque B ocorreu.

Pelo qüadroquadro apresentado anteriormente, temos o total de 26 jovens cuja área de interêsseinteresse é Biológicas, dos quais, 12 são do sexo feminino, logo:

P(A/B) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}=\frac{12}{26}\end{array}$ ≃ 46,2%

Pense e responda

Observe quêque a informação de quêque B ocorreu, isto é, a área de interêsseinteresse do sorteado é Biológicas, alterou a probabilidade do evento A, o jovem sorteado sêrser do sexo feminino, ou seja:

P(A/B) ≠ P(A)

A probabilidade condicionada possui a seguinte definição:

Pense e responda

Observe quêque, ao simplificar a fórmula da probabilidade condicional, obtemos:

$$\begin{array}{c}P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}}{\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}}=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\cdot \frac{n\left(U\right)}{n\left(B\right)}=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}\Rightarrow \end{array}$$

Para assistir

• MULHERES cientistas na história | Nerdologia História. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (8 min). Publicado pelo canal Nerdologia. Disponível em: https://livro.pw/vzwer. Acesso em: 16 out. 2024.

O vídeo apresenta breves relatos históricos de mulheres cientistas, destacando como elas foram fundamentais para o desenvolvimento de suas ciências.

Página cento e noventa e três193

Eventos sucessivos

Uma consequência da fórmula da probabilidade condicional muito utilizada na resolução de problemas probabilísticos é quêque a probabilidade de dois eventos, A e B, ocorrerem sucessivamente pódepode sêrser ôbitídaobtida do seguinte modo:

$$P(B/A)=\begin{array}{c}\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}\end{array}\Rightarrow P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P(B/A)$$

Acompanhe o exemplo a seguir.

Três mulheres e três homens disputarão uma competição de natação em quêque todos têm as mesmas chances de vencer a próvaprova. Qual é a probabilidade de uma mulher chegar em primeiro e um homem em segundo?

Todos os competidores têm a mesma chance de vencer a próvaprova, logo o espaço amostral contém 6 eventos simples equiprováveis. Considerando A o evento “uma mulher chegar em primeiro”, a probabilidade dêêssedesse evento é:

P(A) = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Dado quêque uma mulher venceu, sobram 5 competidores. Considerando B/A o evento “um homem chegou na segunda posição dado quêque uma mulher venceu”, a probabilidade dêêssedesse evento é:

P(B/A) = $\frac{3}{5}$

Desse modo, a probabilidade de os eventos A e B ocorrerem sucessivamente, uma mulher chegar em primeiro e um homem, em segundo, é ôbitídaobtida por:

P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B/A) = $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$ = 0,3 = 30%

Portanto, a probabilidade de uma mulher vencer a competição e um homem ficar na segunda colocação é 30%.

Pense e responda

ATIVIDADES RESOLVIDAS

10. Em uma escola com 600 estudantes, 40 ficaram de recuperação apenas em Matemática, dez, somente em Física, e cinco, nas duas disciplinas. Determine a probabilidade de um estudante fazer recuperação de Física, sabendo quêque ele ficou de recuperação em Matemática.

Resolução

Construindo um diagrama, obtemos a imagem a seguir.

Queremos obtêrobter P(F/M), ou seja, a probabilidade de um estudante fazer recuperação de Física, sabendo quêque ele fará recuperação também de Matemática.

P(F/M) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(F\cap M\right)}{n\left(M\right)}\end{array}$ ⇒ P(F/M) = $\frac{5}{45}$⇒ P(F/M) = $\frac{1}{9}$

Portanto, a probabilidade de um aluno fazer recuperação de Física, sabendo quêque ele ficou de recuperação em Matemática, é $\frac{1}{9}$.

Página cento e noventa e quatro194

11. Em uma caixa, há cartões idênticos com a seguinte numeração:

Retirando-se ao acaso dois cartões, sucessivamente, sem reposição do primeiro, determine a probabilidade de os dois números retirados serem ímpares.

Resolução

Vamos considerar os eventos:

• A: sair número ímpar na 1ª retirada;

• B: sair número ímpar na 2ª retirada;

• B/A: sair número ímpar na 2ª retirada, sabendo quêque na 1ª já saiu número ímpar.

Note quêque n(A) = 3 em um espaço amostral de 5 elemêntoselementos, e quêque n(B/A) = 2, em um espaço amostral de 4 elemêntoselementos, pois não houve reposição da 1ª retirada. Logo:

P(A) = $\frac{3}{5}$ e P(B/A) = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Sabemos quêque P(B/A) = $\begin{array}{c}\frac{P\left(B\cap A\right)}{P\left(A\right)}\end{array}$, então: P(B ∩ A) = P(A) ⋅ P(B/A)

Assim, a probabilidade de sair um número ímpar na 1ª e na 2ª retiradas é:

$P\left(B\cap A\right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}=\mathrm{}\mathrm{0,30}$ ou P(B ∩ A) = 30%

Portanto, P(B ∩ A) = 0,30 ou 30%.

12. Uma caixa contém bolas idênticas, diferentes apenas pela côrcor, conforme a ilustração.

Sorteando-se sucessivamente e sem reposição duas bolas da caixa, qual é a probabilidade de retirar:

a) duas bolas azuis?

b) duas bolas da mesma côrcor?

c) uma bola vermelha na 2ª extração?

Resolução

Vamos considerar os eventos:

• A₁: tirar bola azul na 1ª extração;

• A₂: tirar bola azul na 2ª extração;

• V₁: tirar bola vermelha na 1ª extração;

• V₂: tirar bola vermelha na 2ª extração;

• M₁: tirar bola vêrdeverde na 1ª extração;

• M₂:tirar bola vêrdeverde na 2ª extração.

Construindo a árvore de possibilidades e escrevendo ao lado das ramificações as respectivas probabilidades, temos:

a) A probabilidade de as duas bolas serem azuis é igual a: P (A₁ ∩ A₂) = P(A₁) ⋅ P(A₂/A₁) = $\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}=\frac{2}{9}$

Portanto, a probabilidade de extrair duas bolas azuis é $\frac{2}{9}$.

b) Seja X o evento sortear duas bolas da mesma côrcor, então X é a união dos eventos mutuamente exclusivos: evento A, sortear duas bolas azuis; evento V, sortear duas vermelhas; e evento M, sortear duas verdes. Logo, a probabilidade P(X) desejada é dada pela adição das probabilidades dêêssesdesses eventos, isto é:

P(X) = P(A) + P(V) + P(M) ⇒ P(X) = P(A₁) ⋅ P(A₂/A₁) + P(V₁) ⋅ P(V₂/V₁) + P(M₁) ⋅ P(M₂/M₁)

Pela árvore de possibilidades, temos: P(X) = $\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{20+6+2}{90}=\frac{14}{45}$

Logo, a probabilidade de tirar duas bolas de cores iguais é $\frac{14}{45}$.

c) A probabilidade de tirar uma bola vermelha na 2ª extração é dada por:

P(V₂) = P(A₁) ⋅ P(V₂/A₁)+ P(V₁) ⋅ P(V₂/V₁)+ P(M₁) ⋅ P(V₂/M₁)

Pela árvore de possibilidades, temos: P(V₂) = $\frac{5}{10}\cdot \frac{3}{9}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{15+6+6}{90}=\frac{3}{10}$

Portanto, a probabilidade de tirar uma bola vermelha na 2ª extração é $\frac{3}{10}$.

Página cento e noventa e cinco195

ATIVIDADES

33. Jogando-se um dado e sabendo-se quêque foi obtídoobtido um número maior do quêque 4, qual é a probabilidade de ele sêrser um número par?

50%

34. (PUCCamp-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.

$\frac{2}{5}$

35. Na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas, considere os eventos:

• A: sair um rei;

• B: sair uma carta de paus.

Determine:

a) P(A) e P(B)

$\frac{1}{13}$; $\frac{1}{4}$

b) P(A/B) e P(B/A)

$\frac{1}{13}$; $\frac{1}{4}$

36. Retirando-se duas cartas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de o naipe da primeira sêrser de paus e o da segunda sêrser de cópascopas?

$\frac{13}{204}$

37. (Enem/MEC) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento dêêssesdesses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se quêque 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um dêêssesdesses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se quêque ele não fala inglês, qual a probabilidade de quêque esse aluno fale espanhol?

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{5}{8}$

c) $\frac{1}{4}$

d) $\frac{5}{6}$

e) $\frac{5}{14}$

alternativa a

38. (Famema-SP) Uma confekissãoconfecção de roupas produziu um lote com um total de 150 camisetas, distribuídas entre os tamanhos P e M, sêndosendo 59 lisas e as demais êstampádasestampadas. Nesse lote, havia 100 camisetas tamãnhotamanho P, das quais 67 eram êstampádasestampadas. Retirando-se, ao acaso, uma camiseta dêêssedesse lote e sabendo quêque seu tamãnhotamanho é M, a probabilidade de quêque seja uma peça estampada é igual a

a) 36%.

b) 24%.

c) 48%.

d) 60%.

e) 72%.

alternativa c

39. (hú- hê- érre jotaUERJ) Um instituto de pesquisa colheu informações para saber as intenções de voto no segundo turno das eleições para governador de um determinado estado. Os dados estão indicados no qüadroquadro abaixo:

Escolhendo aleatoriamente um dos entrevistados, verificou-se quêque ele não vota no candidato B. A probabilidade de quêque esse eleitor vote em branco é:

a) $\frac{1}{6}$

b) $\frac{1}{5}$

c) $\frac{1}{4}$

d) $\frac{1}{3}$

e) $\frac{2}{5}$

alternativa d

40. (Enem/MEC) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda quêque lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de êrroerro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pêlospelos auditores, quêque constataram quêque 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda quêque, dentre as declarações quêque não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas. Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte sêrser considerada inconsistente, dado quêque ela era fraudulenta?

a) 0,0500

b) 0,1000

c) 0,1125

d) 0,3125

e) 0,5000

alternativa e