CAPÍTULO 6
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

Os elemêntoselementos químicos já descobertos pela humanidade são organizados, de acôr-doacordo com suas características e propriedades, na tabélatabela periódica. Na Matemática, quando organizamos dados numéricos em uma tabélatabela, podemos dizêrdizer quêque esses dados estão em uma matriz. Diferentemente da tabélatabela periódica, as matrizes possuem operações algébricas definidas, como adição e multiplicação, por exemplo, assuntos quêque estudaremos neste Capítulo.

Um cientista chamado Ântoeni-LorranAntoine-Laurent de LavoisiêLavoisier (1743-1794), com base em experimentos envolvendo reações químicas, enunciou a lei da conservação das massas. Ele concluiu quêque a massa de todas as substâncias no início da reação é igual à massa das substâncias no fim dela. Essa lei também ficou conhecida como lei de LavoisiêLavoisier.

Nos laboratórios e na indústria química, são realizados cálculos envolvendo a quantidade de reagentes e de produtos presentes em uma reação química. Um dêêssesdesses cálculos envolve o balanceamento de equações químicas quêque representam as reações. Um dos métodos empregados para realizar esse balanceamento utiliza sistemas lineares, outro assunto dêstedeste Capítulo.

Ver as Orientações para o professor.

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Introdução

As matrizes são bastante utilizadas no campo da Tecnologia, em especial, no desenvolvimento de animações por meio de computação gráfica e no trabalho com programação. Além díssudisso, a resolução de televisores e monitores, bem como a de câmeras digitais, é um dos exemplos de aplicação envolvendo cálculos matriciais.

Situações quêque envolvem a resolução de equações lineares simultâneas, ou seja, de sistemas lineares, estão associadas ao conceito de matriz e às operações relacionadas a ele, assuntos quêque vamos estudar neste Capítulo.

Matrizes

No dia a dia, informações relacionadas a determinado contexto, como o consumo de alimentos em cértocerto período, podem sêrser organizadas em tabélastabelas (linhas e colunas) para analisar melhor as variáveis.

Observe, por exemplo, uma tabélatabela de dupla entrada quêque mostra a quantidade mensal aproximada de quatro alimentos básicos, em kilograma, consumida por uma família durante um trimestre.

Consumo de alimentos – 2º trimestre

Fonte: Dados fictícios.

Cada linha dessa tabélatabela corresponde a um alimento e cada coluna corresponde a um mês.

Assim, por exemplo, no cruzamento da linha indicada com "Feijão" e da coluna indicada com "Abril", temos 4 kg, quêque indica o consumo de feijão no mês de abril.

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Em Matemática, tabélastabelas de dados numéricos podem sêrser representadas por matrizes, nas quais os dados, também chamados elemêntoselementos ou termos, são dispostos em filas horizontais (linhas) e filas verticais (colunas). Esses elemêntoselementos ficam entre parênteses ou entre colchetes, como podemos observar, a seguir, na representação matricial dos dados numéricos da tabélatabela anterior.

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}10& \mathrm{11,5}& 9\\ 4& 5& 6\\ \mathrm{8,5}& 7& 10\\ 12& 11& \mathrm{16,5}\end{array}\right)\end{array}$ ou $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}10& \mathrm{11,5}& 9\\ 4& 5& 6\\ \mathrm{8,5}& 7& 10\\ 12& 11& \mathrm{16,5}\end{array}\right]\end{array}$

Pense e responda

As linhas de uma matriz são numeradas de cima para baixo, e as colunas, da esquerda para a direita, como mostra o exemplo a seguir.

Essa matriz tem quatro linhas e três colunas. Dizemos, então, quêque é uma matriz do tipo ou de ordem 4 × 3 (lê-se: quatro por três), e os números quêque a constituem são os seus elemêntoselementos (ou entradas).

As matrizes geralmente são nomeadas com uma letra maiúscula, e, para indicar os elemêntoselementos dessa matriz, usamos a mesma letra, porém minúscula, acompanhada de dois índices, quêque representam, respectivamente, a linha e a coluna em quêque o elemento está localizado.

Pense e responda

Por exemplo, considerando a matriz A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& -1& 0\\ 4& \pi & \mathrm{5,3}\end{array}\right]\end{array}$, temos:

• o elemento quêque está na 1ª linha e na 1ª coluna é a₁₁ = $\frac{1}{3}$;

• o elemento quêque está na 2ª linha e na 3ª coluna é a₂₃ = 5,3.

Assim, podemos representar genericamente a matriz A como:

A =$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]\end{array}$

De modo geral, uma matriz A com m linhas e n colunas (m × n) pódepode sêrser representada genericamente por:

A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{\mathrm{mn}}\end{array}\right)\end{array}$, com m, n ∈ ℕ*

Saiba quêque...

A matriz quêque tem todos os elemêntoselementos iguais a zero é chamada matriz nula. Indicamos por 0 _{m × n} a matriz nula de ordem m × n, em quêque m, n ∈ ℕ*.

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Na representação expandida e na abreviada, o elemento a_ij está na linha i e na coluna j, em quêque i assume valores no conjunto {1, 2, 3, _…, m} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3, _…, n}. Por exemplo, se os elemêntoselementos da matriz A = [a_ij]_{2 × 3} são obtidos pela lei de formação a_ij = 3i + j, podemos calcular o valor de cada elemento e determinar a matriz A.

A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]\end{array}$

• a₁₁ = 3 ⋅ 1 + 1 = 3 + 1 ⇒ a₁₁ = 4

• a₁₂ = 3 ⋅ 1 + 2 = 3 + 2 ⇒ a₁₂ = 5

• a₁₃ = 3 ⋅ 1 + 3 = 3 + 3 ⇒ a₁₃ = 6

• a₂₁ = 3 ⋅ 2 + 1 = 6 + 1 ⇒ a₂₁ = 7

• a₂₂ = 3 ⋅ 2 + 2 = 6 + 2 ⇒ a₂₂ = 8

• a₂₃ = 3 ⋅ 2 + 3 = 6 + 3 ⇒ a₂₃ = 9

Portanto, A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\end{array}$.

Matriz quadrada

Observe alguns exemplos.

a) A matriz A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}\sqrt[]{3}& 4\\ -1& 0\end{array}\right)\end{array}$ é uma matriz quadrada de ordem 2.

b) A matriz B = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& \frac{3}{5}& 6\\ \sqrt[]{7}& 8& 9\end{array}\right)\end{array}$ é uma matriz quadrada de ordem 3.

Em uma matriz quadrada, os elemêntoselementos a_ij para os quais i = j formam uma diagonal denominada diagonal principal da matriz. Os elemêntoselementos a_ij para os quais i + j = n + 1 formam uma diagonal chamada diagonal secundária da matriz.

Quando i > j, o elemento a_ij está abaixo da diagonal principal.

Quando i < j, o elemento a_ij está acima da diagonal principal.

Por exemplo, para uma matriz quadrada de ordem 4, temos:

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A matriz quadrada de ordem n na qual a_ij = 0 para i ≠ j e a_ij = 1 para i = j é chamada matriz identidade de ordem n e é indicada por I_n.

Pense e responda

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Observe as matrizes e responda às kestõesquestões.

A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 5\end{array}\right]\end{array}$

B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& -5\\ 7& -4\\ 3& 2\end{array}\right]\end{array}$

C = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

a) Qual é a ordem da matriz B?

b) O elemento a₁₂ da matriz A é igual a qual elemento b_ij da matriz B?

c) Qual é o produto da diagonal principal da matriz A?

d) Qual é a soma dos elemêntoselementos da diagonal secundária da matriz identidade?

Resolução

a) A matriz B possui 3 linhas e 2 colunas, portanto sua ordem é 3 × 2.

b) O elemento a₁₂ está na primeira linha e na segunda coluna da matriz A, logo a₁₂ = 3. O número 3 na matriz B está na terceira linha e na primeira coluna, ou seja, b₃₁ = 3. Portanto, a₁₂ = b₃₁.

c) Os elemêntoselementos da diagonal principal da matriz A são a₁₁ = 2 e a₂₂ = 5, logo: a₁₁ ⋅ a₂₂ = 2 ⋅ 5 = 10

Portanto, o produto da diagonal principal é 10.

d) A matriz identidade é a C, e os elemêntoselementos da sua diagonal secundária são a₁₃ = 0, a₂₂ = 1 e a₃₁ = 0, logo: a₁₃ + a₂₂ + a₃₁ = 0 + 1 + 0 = 1

Assim, a soma da diagonal secundária é 1.

2. Construa a matriz B = (b_ij)_3x3, em quêque:

b_ij = $\{\begin{array}{c}2i+j,\mathrm{se\; i}⩾j\\ 2j-i,\mathrm{se\; i}<j\end{array}\mathrm{}$

Resolução

Para construir a matriz B, é necessário calcular cada entrada, de acôr-doacordo com os índices referentes à linha e à coluna, utilizando a expressão correspondente.

Inicialmente, representamos genericamente a matriz B.

B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]\end{array}$

• Para determinar b₁₁, verificamos quêque i = 1 e j = 1; nesse caso, i = j.

Assim, b₁₁ = 2i + j = 2 ⋅ 1 + 1 = 3.

Logo, b₁₁ = 3.

• Para determinar b₁₂, verificamos quêque i = 1 e j = 2; nesse caso, i < j.

Assim, b₁₂ = 2j − i = 2 ⋅ 2 − 1 = 3.

Logo, b₁₂ = 3.

• Para determinar b₁₃, verificamos quêque i = 1 e j = 3; nesse caso, i < j.

Assim, b₁₃ = 2j − i = 2 ⋅ 3 − 1 = 5.

Logo, b₁₃ = 5.

• Para determinar b₂₁, verificamos quêque i = 2 e j = 1; nesse caso, i > j.

Assim, b₂₁ = 2i + j = 2 ⋅ 2 + 1 = 5.

Logo, b₂₁ = 5.

• Para determinar b₂₂, verificamos quêque i = 2 e j = 2; nesse caso, i = j.

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Assim, b₂₂ = 2i + j = 2 ⋅ 2 + 2 = 6.

Logo, b₂₂ = 6.

• Para determinar b₂₃, verificamos quêque i = 2 e j = 3; nesse caso, i < j.

Assim, b₂₃ = 2j − i = 2 ⋅ 3 − 2 = 4.

Logo, b₂₃ = 4.

• Para determinar b₃₁, verificamos quêque i = 3 e j = 1; nesse caso, i > j.

Assim, b₃₁ = 2i + j = 2 ⋅ 3 + 1 = 7.

Logo, b₃₁ = 7.

• Para determinar b₃₂, verificamos quêque i = 3 e j = 2; nesse caso, i > j.

Assim, b₃₂ = 2i + j = 2 ⋅ 3 + 2 = 8.

Logo, b₃₂ = 8.

• Para determinar b₃₃, verificamos quêque i = 3 e j = 3; nesse caso, i = j.

Assim, b₃₃ = 2i + j = 2 ⋅ 3 + 3 = 9.

Logo, b₃₃ = 9.

Portanto, a matriz B é:

B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& 3& 5\\ 5& 6& 4\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\end{array}$

ATIVIDADES

1. (Unimontes-MG) Ao associarmos as lêtrasletras do alfabeto aos números, segundo a correspondência

podemos afirmar quêque a palavra UNIMONTES pódepode sêrser codificada pela matriz 3 × 3 dada por

a) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}21& 14& 9\\ 13& 15& 14\\ 19& 5& 20\end{array}\right]\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}21& 14& 9\\ 13& 15& 14\\ 20& 5& 19\end{array}\right]\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}21& 14& 9\\ 13& 16& 14\\ 20& 5& 19\end{array}\right]\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}21& 14& 9\\ 13& 16& 14\\ 19& 5& 20\end{array}\right]\end{array}$

alternativa b

2. Obtenha a matriz A = (a_ij)_{3 × 3}, sabendo quêque a_ij = 3i − j².

Ver as Orientações para o professor.

3. Dizemos quêque uma matriz quadrada é um quadrado mágico se as somas dos elemêntoselementos de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal, principal e secundária, são todas iguais. Qual(is) das matrizes a seguir corresponde(m) a um quadrado mágico?

A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}7& 0& 5\\ 2& 4& 6\\ 3& 8& 1\end{array}\right)\end{array}$

B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}16& 3& 2& 13\\ 5& 10& 11& 8\\ 9& 6& 7& 12\\ 4& 15& 14& 1\end{array}\right]\end{array}$

C = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}2& 9& 4\\ 7& 5& 3\\ 6& 1& 9\end{array}\right)\end{array}$

A e B

Para ler

• lópesLOPES, Tânia Isabel D. A história dos quadrados mágicos. Coimbra: Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, 21 jun. 2012. Disponível em: https://livro.pw/ykuln. Acesso em: 20 set. 2024.

Leia o texto indicado para conhecer um pouco da história dos quadrados mágicos.

4. Determine cada matriz definida a seguir.

a) A = (a_ij)_{1 × 3}, tal quêque a_ij = 2i − j

b) B = (b_ij)_{4 × 2}, tal quêque b_ij = $\{\begin{array}{c}i+j,\mathrm{se\; i}⩽j\\ i-j,\mathrm{se\; i}>j\end{array}$

c) C = (c_ij)_{3 × 3}, tal quêque c_ij = $\{\begin{array}{c}{\left(-1\right)}^{i+j},\mathrm{se\; i}\ne j\\ 0,\mathrm{se\; i}=j\end{array}$

Ver as Orientações para o professor.

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5. (UEPA) A tabélatabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e a_ij = 30i + 10j o elemento genérico desta tabélatabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de:

a) 1 hora e 30 minutos.

b) 1 hora e 50 minutos.

c) 2 horas.

d) 2 horas e 10 minutos.

e) 2 horas e 30 minutos.

alternativa a

6. (Unimep-SP) É dado um quadrado de lado medindo uma unidade1 unidade, numerado conforme a figura. A matriz 4 × 4, tal quêque a_ij é a distância entre os vértices de números i e j, é:

a) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \sqrt[]{2}& 0\\ 0& 1& 0& \sqrt[]{2}\\ \sqrt[]{2}& 0& 1& 0\\ 0& \sqrt[]{2}& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& \sqrt[]{2}& 1\\ 1& 0& 1& \sqrt[]{2}\\ \sqrt[]{2}& 1& 0& 1\\ 1& \sqrt[]{2}& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0& \sqrt[]{2}& 1& 2\\ 1& 0& \sqrt[]{2}& 1\\ 1& \sqrt[]{2}& 0& \sqrt[]{2}\\ \sqrt[]{2}& 1& \sqrt[]{2}& 0\end{array}\right]\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}\sqrt[]{2}& 1& \sqrt[]{2}& 1\\ 1& \sqrt[]{2}& 1& \sqrt[]{2}\\ 0& 1& \sqrt[]{2}& 1\\ \sqrt[]{2}& 1& 0& \sqrt[]{2}\end{array}\right]\end{array}$

e) nenhuma das alternativas anteriores.

alternativa b

7. Determine a soma dos elemêntoselementos da diagonal principal com os elemêntoselementos da diagonal secundária da matriz quadrada A = (a_ij)_{4 × 4} em quêque a_ij = i − j.

zero

Igualdade de matrizes

Quando consideradas duas matrizes de mesma ordem, os elemêntoselementos quêque ocupam a mesma posição em cada uma delas, ou seja, quêque têm o mesmo índice, são denominados elemêntoselementos correspondentes.

Por exemplo, nas matrizes A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\end{array}$ e B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]\end{array}$ , os elemêntoselementos a₁₁ e b ₁₁ são correspondentes, assim como os elemêntoselementos a ₁₂ e b ₁₂, a ₂₁ e b ₂₁ e a ₂₂ e b ₂₂.

Exemplo:

Considere as matrizes a seguir.

A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}x& -2\\ -5& 4\end{array}\right)\end{array}$ e B = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -5& y\end{array}\right)\end{array}$

Se A = B, então x = 1 e y = 4.

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Adição de matrizes

Uma livraria fez uma doação para as bibliotecas de duas escolas do bairro. Os títulos foram selecionados de acôr-doacordo com a faixa etária, visando atender a estudantes do Ensino Fundamental – Anos Iniciais (EFAI), do Ensino Fundamental – Anos Finais (EFAF) e do Ensino Médio (EM). Nessa doação, os exemplares eram livros de autores internacionais (AI) e de autores brasileiros (AB).

Observe o número de livros doados para cada biblioteca.

Livros doados para a Biblioteca Cecília Meireles

Fonte: Dados fictícios.

Livros doados para a Biblioteca RaquelRachel de Queiroz

Fonte: Dados fictícios.

Pense e responda

Para se obtêrobter a quantidade de livros doados pela livraria, de acôr-doacordo com cada característica especificada na tabélatabela, basta adicionar os valores correspondentes às células das duas tabélastabelas.

Considerando a matriz A, formada pêlospelos números de livros doados para a Biblioteca Cecília Meireles, e a matriz B, formada pêlospelos números de livros doados para a Biblioteca RaquelRachel de Queiroz, temos:

A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}36& 45& 75\\ 60& 72& 120\end{array}\right)\end{array}$ e B = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}24& 60& 54\\ 52& 98& 100\end{array}\right)\end{array}$

Nesse caso, para se obtêrobter o total de livros doados pela livraria às duas bibliotecas, de acôr-doacordo com as características especificadas nas tabélastabelas, basta adicionar os elemêntoselementos correspondentes das matrizes A e B, ou seja, determinar a matriz C = A + B da seguinte maneira:

C = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}36& 45& 75\\ 60& 72& 120\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}24& 60& 54\\ 52& 98& 100\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}36+24& 45+60& 75+54\\ 60+52& 72+98& 120+100\end{array}\right)\end{array}$

A matriz C = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}60& 105& 129\\ 112& 170& 220\end{array}\right)\end{array}$ é o resultado da adição das matrizes A e B, quêque, de modo geral, definimos a seguir.

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Multiplicação de um número real por uma matriz

O qüadroquadro a seguir mostra o estoque de alguns produtos de um supermercado no início da semana.

Para o fim de semana, o supermercado precisa dobrar a quantidade dêêssesdesses produtos. Observe quêque, multiplicando por 2 cada número do qüadroquadro, as novas quantidades são determinadas.

Na Matemática, definimos:

Em outras palavras, efetuamos o produto de um número real por uma matriz multiplicando cada elemento da matriz por esse número. O resultado é uma matriz de mesma ordem.

Acompanhe o exemplo do estoque inicial e final do supermercado na situação apresentada no início dêstedeste tópico.

$$\begin{array}{c}2\cdot \left(\begin{array}{ccc}60& 105& 129\\ 112& 170& 220\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2\cdot 60& 2\cdot 105& 2\cdot 129\\ 2\cdot 112& 2\cdot 170& 2\cdot 220\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}120& 210& 258\\ 224& 340& 440\end{array}\right)\end{array}$$

Matriz oposta

Dada uma matriz A de ordem m × n, dizemos quêque a matriz oposta de A, denotada por −A, é aquela quêque, quando adicionada à matriz A, resulta na matriz nula de ordem m × n. No exemplo a seguir, acompanhe a adição de duas matrizes opostas.

Observe quêque, ao multiplicarmos uma matriz A de ordem m × n por −1, obtemos como resposta a matriz oposta −A, ou seja:

−1 ⋅ A = −A

Definimos a subtração A − B de duas matrizes de mesma ordem como uma adição entre a matriz A e a matriz oposta de B, isto é:

$$A-B=A+\underset{\mathrm{matriz\; oposta\; de}B}{\underbrace{\left(-B\right)}}$$

Página duzentos e vinte e quatro224

Propriedades da adição de matrizes

Dadas as matrizes A, B, C e 0 (matriz nula) de mesma ordem m × n, valem as propriedades seguintes:

1ª) Propriedade comutativa: A + B = B + A

2ª) Propriedade associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

3ª) Propriedade do elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A

4ª) Propriedade do elemento ôpôstooposto: A + (−A) = (−A) + A = 0

ATIVIDADE RESOLVIDA

3. Dada a matriz A = (a_ij)_{3 × 3} em quêque:

$$a_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{c}0,\mathrm{se\; i}=j\\ 1,\mathrm{se\; i}>j\\ -1,\mathrm{se\; i}<j\end{array}\right.$$

Calcule A + I₃.

Resolução

Inicialmente, escrevemos a representação genérica da matriz A:

A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\end{array}$

Com base na definição da matriz A, temos:

A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$

Como I₃ é a matriz identidade de ordem 3, a soma A + I₃ é calculada da seguinte maneira:

A + I₃ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

Portanto: A + I₃ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\end{array}$

ATIVIDADES

8. Uma escola fez um levantamento para identificar a quantidade de estudantes matriculados por sexo e por turno. Observe.

Quantidade de estudantes matriculados

Fonte: Dados fictícios.

a) Organize esses dados em duas matrizes, A_{3 × 2} e B_{3 × 2}, de modo quêque a matriz A represente os estudantes do Ensino Fundamental por turno e sexo, e a matriz B represente os estudantes do Ensino Médio por turno e sexo.

b) Determine a matriz C = A + B, em quêque C representa o total de estudantes da escola de acôr-doacordo com o turno e o sexo.

Ver as Orientações para o professor.

9. Considerando A = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 5& 4\end{array}\right)\end{array}$ $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ -3& 0\end{array}\right)\end{array}$, B = e C = $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}$ , verifique quêque:

a) A + B = B + A

b) A + (B + C) = (A + B) + C

c) B + 0 _{2 × 2} = B

d) C + (−C) = 0 _{2 × 2}

Ver as Orientações para o professor.

10. Considere as seguintes matrizes:

• A = (a_ij) ₂ × 3, definida por a_ij = i + j

• B = (b_ij)_{2 × 3}, definida por b_ij = i − j

Determine o elemento c₂₃ da matriz C = A + B.

c₂₃ = 4

Página duzentos e vinte e cinco225

Multiplicação de matrizes

Os quadros a seguir apresentam as quantidades de produtos vendidos por uma loja no primeiro trimestre do ano e os preços dêêssesdesses produtos.

Para calcular o faturamento de cada mês com a venda dêêssesdesses produtos, temos de efetuar as seguintes operações:

A situação descrita pódepode sêrser representada pela seguinte multiplicação matricial:

, em quêque:

• os elemêntoselementos da matriz A, de ordem 3 × 2, representam as quantidades vendidas de cada produto;

• os elemêntoselementos da matriz B, de ordem 2 × 1, representam os preços dos produtos;

• os elemêntoselementos da matriz C, de ordem 3 × 1, resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B, representam os faturamentos de cada mês.

Apresentamos a seguir a definição de multiplicação de matrizes.

Com base na definição, obissérveobserve exemplos de como calcular a multiplicação de matrizes.

a) A multiplicação das matrizes A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]\end{array}$ e B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}g& h\\ i& j\\ k& m\end{array}\right]\end{array}$ resulta em:

A ⋅ B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{ag}+\mathrm{bi}+\mathrm{ck}& \mathrm{ah}+\mathrm{bj}+\mathrm{cm}\\ \mathrm{dg}+\mathrm{ei}+\mathrm{fk}& \mathrm{dh}+\mathrm{ej}+\mathrm{fm}\end{array}\right]\end{array}$

Página duzentos e vinte e seis226

b) Dadas as matrizes C = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\end{array}$ e D = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}5& 6& 7\\ 10& 20& 30\end{array}\right]\end{array}$, efetuamos C ⋅ D do seguinte modo:

C ⋅ D = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-1\cdot 5+0\cdot 10& -1\cdot 6+0\cdot 20& -1\cdot 7+0\cdot 30\\ 1\cdot 5+2\cdot 10& 1\cdot 6+2\cdot 20& 1\cdot 7+2\cdot 30\\ 3\cdot 5+4\cdot 10& 3\cdot 6+4\cdot 20& 3\cdot 7+4\cdot 30\end{array}\right]\end{array}$

C ⋅ D = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-5& -6& -7\\ 25& 46& 67\\ 55& 98& 141\end{array}\right]\end{array}$

Para realizar a multiplicação de matrizes A ⋅ B, é necessário quêque a quantidade de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O resultado será uma matriz com tantas linhas quanto a matriz A e tantas colunas quanto a matriz B, ou seja:

Por exemplo, dadas as matrizes A_{3 × 4} e B_{4 × 2}, temos:

Acompanhe a seguir um exemplo.

Considere as matrizes E = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]\end{array}$ e F = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}4& 5\end{array}\right]\end{array}$ . Não existe o produto E ⋅ F, pois a matriz E tem 2 colunas e a matriz F tem apenas 1 linha. No entanto, existe o produto F ⋅ E, porque a matriz F tem 2 colunas e a matriz E tem 2 linhas. O resultado dêêssedesse produto é:

F ⋅ E = $\begin{array}{c}\left[4\cdot 0+5\cdot 14\cdot 2+5\cdot 3\right]\end{array}$

F ⋅ E = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}5& 23\end{array}\right]\end{array}$

Propriedades da multiplicação de matrizes

Dadas as matrizes A, B e C, de modo quêque as somas e os produtos estejam definidos, valem as propriedades:

1ª) Propriedade associativa: A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C

2ª) Propriedade distributiva: (B + C) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A (à esquerda)

A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C (à direita)

3ª) Propriedade do elemento neutro para matrizes quadradas: A ⋅ I _n = A e I _n ⋅ A = A, em quêque A é uma matriz quadrada de ordem n e I_n é a matriz identidade de ordem n.

Saiba quêque...

Na multiplicação de matrizes, também pódepode sêrser utilizada a notação de potência. Por exemplo, o produto A ⋅ A também pódepode sêrser indicado por A².

Página duzentos e vinte e sete227

Observações:

a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, pódepode não valer a propriedade AB = BA. Por exemplo: se $A=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -2& 1\end{array}\right)\end{array}$ e $\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)\end{array}$, então AB ≠ BA, pois $\begin{array}{c}AB=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$ e $BA=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 7\end{array}\right)\end{array}$.

b) Se ocorrer AB = BA, dizemos quêque as matrizes A e B comutam.

Por exemplo: $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\end{array}$ e $\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 5\end{array}\right)\end{array}$ comutam, pois $\begin{array}{c}AB=\left(\begin{array}{cc}12& 12\\ 18& 6\end{array}\right)\end{array}$ e $BA=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}12& 12\\ 18& 6\end{array}\right)\end{array}$ .

Observe quêque é necessário quêque as matrizes A e B sêjamsejam quadradas para quêque existam tanto o produto AB como o produto BA.

c) Diferentemente do quêque ocorre com os números reais, o produto de duas matrizes não nulas pódepode resultar em uma matriz nula.

Por exemplo: considerando $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\end{array}$ e $\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 0\end{array}\right)\end{array}$, temos A ≠ 0, B ≠ 0 e $\begin{array}{c}AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

ATIVIDADES RESOLVIDAS

4. Sendo A = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -1\end{array}\right]\end{array}$ e B = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}0& 4& -2\\ 1& -3& 5\end{array}\right]\end{array}$, determine, se possível:

a) A ⋅ B

b) B ⋅ A

Resolução

a) Como A é uma matriz de ordem 2 × 2 e B, de ordem 2 × 3, existe a matriz C tal quêque

C = AB. A matriz C é de ordem 2 × 3. Nesse caso, temos:

C = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& 4& -2\\ 1& -3& 5\end{array}\right]\end{array}$

c₁₁ = a₁₁ ⋅ b₁₁ + a₁₂ ⋅ b₂₁ = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 1

c₁₂ = a₁₁ ⋅ b₁₂ + a₁₂ ⋅ b₂₂ = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ (−3) = 5

c₁₃ = a₁₁ ⋅ b₁₃ + a₁₂ ⋅ b₂₃ = 2 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 5 = 1

c₂₁ = a₂₁ ⋅ b₁₁ + a ₂₂ ⋅ b ₂₁ = 3 ⋅ 0 + (−1) ⋅ 1 = −1

c₂₂ = a ₂₁⋅ b ₁₂ + a ₂₂ ⋅ b ₂₂= 3 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−3) = 15

c₂₃ = a ₂₁ ⋅ b ₁₃ + a ₂₂ ⋅ b ₂₃ = 3 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 5 = −11

Logo: C = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ -1& 15& -11\end{array}\right]\end{array}$

b) Como B é uma matriz de ordem 2 × 3 e A, de ordem 2 × 2, temos a quantidade de colunas de B diferente da quantidade de linhas de A. Nesse caso, não existe a matriz produto B ⋅ A.

5. (UFPB) As mensagens entre duas agências de espionagem, Gama e Rapa, são trocadas usando uma linguagem de códigos, onde cada número inteiro entre 0 e 25 representa uma letra, conforme mostra a tabélatabela a seguir:

Página duzentos e vinte e oito228

A agência Gama enviou para a Rapa o nome de um espião codificado na matriz $A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}11\\ 1\\ 0\\ 0\\ 2\end{array}\right]\end{array}$. Para decodificar uma palavra de cinco lêtrasletras, dada por uma matriz A, de ordem 5 × 1, formada por inteiros entre 0 e 25, deve-se multiplicá-la pela matriz de conversão $C=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}1& 9& 0& 0& 0\\ 0& 3& 5& 20& 2\\ 0& 0& 0& 0& 7\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 3\end{array}\right]\end{array}$ e, usando-se a tabélatabela dada, converter os números em lêtrasletras.

Utilizando-se esse processo, conclui-se quêque o nome do espião é:

a) DIEGO

b) SHUME

c) SADAN

d) RENAN

e) RAMON

Resolução

De acôr-doacordo com as informações do enunciado, calculamos o produto C ⋅ A.

Com base na linguagem de códigos utilizada pelas agências, decodificam-se os elemêntoselementos da matriz ôbitídaobtida:

• 20 corresponde à letra R;

• 7 corresponde à letra A;

• 14 corresponde à letra M;

• 1 corresponde à letra O;

• 8 corresponde à letra N.

Logo, o nome do espião é RAMON.

Resposta: alternativa e.

ATIVIDADES

11. Considerando as matrizes $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ -2& -1& 4\\ 0& 5& 2\end{array}\right)\end{array}$ e $B=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 2& 0& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\end{array}$ , calcule:

a) 2A

b) −3B

c) $\frac{1}{2}$B

d) 3A + 2B

Ver as Orientações para o professor.

12. Sendo $\begin{array}{c}X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$, $Y=\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\end{array}$, (alfa)"α = 2 e (beta)"β = 3, verifique quêque:

a) (alfa)"α((beta)"βX) = ((alfa)"α(beta)"β)X

b) (alfa)"α(X + Y) = (alfa)"αX + (alfa)"αY

c) ((alfa)"α + (beta)"β)X = (alfa)"αX + (beta)"βX

d) 1 ⋅ Y = Y

Ver as Orientações para o professor.

13. Dadas as matrizes $A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 5& -4& 3\end{array}\right]\end{array}$ e $\begin{array}{c}B=\left[\begin{array}{ccc}-3& 6& 12\\ 9& -6& 15\end{array}\right]\end{array}$, determine, se possível:

a) $\frac{1}{2}$ (A + B)

b) −4A − $\frac{2}{3}$B

Ver as Orientações para o professor.

Página duzentos e vinte e nove229

14. Sejam as matrizes:

A = (a_ij)_{2 × 2}, em quêque a_ij = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}i+j,\mathrm{se\; i}\ne j\\ 1,\mathrm{se\; i}=j\end{array}\end{array}$

B = (b_ij)_{2 × 2}, em quêque b_ij = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}0,\mathrm{se\; i}\ne j\\ 2i-j,\mathrm{se\; i}=j\end{array}\end{array}$

Calcule:

a) C = 2A − 3B

b) $D=\frac{1}{2}A-\frac{1}{4}B$

Ver as Orientações para o professor.

15. Determine, quando possível, a matriz quêque resulta das multiplicações indicadas a seguir.

a) $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 1\\ 0& -2& 5& 4\\ -3& 1& 0& 6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\\ 0& 4\\ -2& 1\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}1& 14\\ -6& 18\\ -16& 3\end{array}\right)\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& 7\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 4& 0& -5\\ 7& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

Não é possível determinar êsteeste produto.

c) $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -2\end{array}\right)\end{array}$ ⋅ (2 4 −1)

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}6& 12& -3\\ 2& 4& -1\\ -4& -8& 2\end{array}\right)\end{array}$

16. Dados $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 1\end{array}\right)\end{array}$ e $\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right)\end{array}$ , calcule AB e BA. As matrizes A e B comutam?

Ver as Orientações para o professor.

17. (hú éfi éssi cêUFSC) Sejam A= (a_ij)_{4 × 3} e B = (b_ij)_{3 × 4} duas matrizes definidas por a_ij = i + j e b_ij = 2i + j, respectivamente. Se A ⋅ B = C, então qual é o elemento c₃₂ da matriz C?

c₃₂ = 94

18. Uma fábrica de mochilas utiliza três tamanhos de zíper na confekissãoconfecção de dois modelos de mochilas, conforme indicado no qüadroquadro a seguir.

Essa fábrica recebeu a seguinte encomenda para o último trimestre do ano.

a) escrêevaEscreva a matriz T_{3 × 2}, quêque representa a quantidade de zíperes, por tamãnhotamanho, utilizada em cada modelo de mochila.

Ver as Orientações para o professor.

b) escrêevaEscreva a matriz E_{2 × 3} para representar a quantidade de mochilas, por modelo, encomendada para o último trimestre do ano.

Ver as Orientações para o professor.

c) Calcule o produto T ⋅ E e responda: quantos zíperes de tamãnhotamanho médio serão necessários para confeksionarconfeccionar as mochilas encomendadas no mês de novembro?

650 zíperes

d) Elabore um problema quêque possa sêrser respondido com as informações apresentadas nesta atividade.

Resposta pessoal.

19. (hú éfe pê érreUFPR) Calcule o valor de a de modo quêque exista somente uma matriz $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$ , tal quêque o produto $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& -a\\ a& -4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$ seja igual a $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right]\end{array}$.

a = 2

20. (UEG-GO) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio de um cóódigocódigo próprio dado pela resolução do produto entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 × 2, onde cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, a = 1, b = 2, c = 3, _…, z = 26. Por exemplo, se a resolução de A ⋅ B for igual a $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 13\\ 15& 18\end{array}\right]\end{array}$, logo a mensagem recebida é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Tatiana foi flor e a matriz $\begin{array}{c}B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right]\end{array}$ , então a matriz A é

a) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-8& 7\\ -8& 10\end{array}\right]\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-6& 6\\ -7& 11\end{array}\right]\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-8& 5\\ -7& 11\end{array}\right]\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-6& -7\\ 6& 11\end{array}\right]\end{array}$

alternativa b

Página duzentos e trinta230

CONEXÕES com...
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
Mobilidade urbana e matrizes

Leia o texto a seguir.

[_…]

O transporte veicular é um artifício indispensável para a mobilidade humana, do qual a maioria da população mundial usufrui para se deslocar d fórmade forma rápida e segura, sêndosendo estas características as mais importantes para se classificar um bom meio de transporte. […] a má qualidade do transporte público e o aumento populacional constituem-se em fatores decisórios para o acúmulo de veículos nos centros urbanos. Em razão do aumento contínuo da frota veicular, os sistemas de trânsito atuáisatuais da maioria das cidades acabam não comportando o grande número de veículos existentes. Por consequência, surgem os inevitáveis congestionamentos e, com esses, vários problemas à ssossiedadesociedade, como alto nível de estresse, poluição, acidentes e prejuízos econômicos, sêndosendo estes últimos decorrentes do alto consumo de combustível e desperdício de tempo. [_…]

[_…]

LACORTT, M.; KRIPKA, M.; KRIPKA, R. M. L. Modelos matemáticos para otimização do tráfego urbano semaforizado. Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, São Carlos, v. 14, n. 3, p. 359-372, 2013. p. 359. Disponível em: https://livro.pw/zsugg. Acesso em: 17 set. 2024.

Uma preocupação crescente no planejamento das cidades são as estratégias para organizar o fluxo de veículos. Isso mobiliza engenheiros de tráfego e órgãos reguladores de trânsito, quêque utilizam alguns modelos matemáticos para otimizar o tráfego urbano.

Observe a seguir uma situação envolvendo o fluxo de carros em um cruzamento, analisada por meio de matrizes.

Em um cruzamento de ruas de mão dupla, o fluxo de automóveis nos pontos 1, 2 e 3 é organizado por três conjuntos de semáforos, de modo quêque o ciclo dêêssesdesses semáforos dura 4 minutos. Os engenheiros de tráfego fizeram um modelo para descobrir quantos carros passam por hora, em cada semáforo, nesse cruzamento. Observe-o a seguir.

Página duzentos e trinta e um231

Nesse modelo, foram construídas inicialmente as matrizes M₁, M₂ e M₃, quêque indicam o tempo m_ij, em minuto, pelo qual alguns semáforos se mantêm simultaneamente abertos, permitindo o fluxo de i para j.

$$\begin{array}{c}{M}_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

Durante os primeiros dois minutos do ciclo, ficam verdes os semáforos de (1) para (2), de (1) para (3) e de (2) para (1).

$$M_2=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

Em seguida, durante um minuto, ficam verdes os semáforos de (2) para (1), de (2) para (3) e de (3) para (2).

$$\begin{array}{c}{M}_3=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

Por fim, durante o último minuto do ciclo, ficam verdes os semáforos de (3) para (1), de (3) para (2) e de (1) para (3).

Para saber o intervalo de tempo quêque cada semáforo fica aberto no ciclo de 4 minutos, adicionamos M₁, M₂ e M₃, obtendo a matriz M.

Com base nessa matriz, quêque corresponde a um ciclo de 4 minutos, é possível fazer uma estimativa da quantidade de veículos quêque pódepode passar nesse cruzamento, considerando determinados períodos, e buscar resolver problemas de engarrafamento.

Por exemplo: se considerarmos quêque, em 1 minuto, passam cerca de 15 veículos pelo cruzamento, para saber quantos veículos passam em 1 hora, fazemos:

Note quêque 15 ciclos de 4 minutos equivalem a 1 hora, pois 15 ⋅ 4 = 60, 60 minutos.

Nesse caso, se o número de carros em alguma das direções for maior do quêque a quantidade calculada, teremos um engarrafamento, quêque pódepode ou não sêrser resolvido se forem alterados os intervalos de tempo de abertura dos semáforos, isto é, se forem modificados os valores nas matrizes M₁, M₂ e M₃.

Ver as Orientações para o professor.

Agora, reúna-se a mais côlégascolegas, e façam o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Nos grandes centros urbanos, os congestionamentos são freqüentesfrequentes. Descrevam as possíveis causas e pensem em uma alternativa quêque possibilite diminuir o tráfego de veículos nas vias. Pesquisem sobre mobilidade urbana e identifiquem cidades ao redor do mundo quêque têm apresentado políticas públicas e propostas inovadoras nesse sentido.

2. O quêque vocês sabem sobre Engenharia de Tráfego? Pesquisem sobre essa área de trabalho e verifiquem instituições quêque oferecem curso nessa área. Indiquem qual é o órgão responsável pela engenharia de tráfego de sua cidade. Descrevam o quêque essa área tem a vêrver com mobilidade urbana.

3. Utilizando o exemplo apresentado, pesquisem um cruzamento quêque seja de mão dupla. Elaborem um problema considerando ciclos de semáforos, utilizando a matriz quêque representa o tempo durante o qual cada semáforo fica aberto em cada um dos sentidos. Compartilhem com os outros grupos o problema quêque vocês elaboraram.

Página duzentos e trinta e dois232

Sistemas lineares

Você já estudou e rêzouvêoresolveu sistemas de equações com duas equações e duas incógnitas na sua vida estudantil. Neste tópico, vamos aprofundar esse estudo, apresentando as classificações de um sistema linear e o método do escalonamento para solucionar sistemas com três ou mais incógnitas e com três ou mais equações.

Equação linear

Acompanhe a situação a seguir, em quêque apresentamos uma aplicação de equação linear.

Andréa percebeu quêque o saldo de seu cartão escolar de transporte era R$ 120,00. Na cidade onde mora, os estudantes pagam R$ 3,00 na viagem de ônibus, R$ 2,50 na de metrô e R$ 2,00 na viagem de trem. Com esse saldo do cartão, quantas viagens Andréa pódepode fazer utilizando esses meios de transporte?

Uma situação como essa pódepode sêrser traduzida para a linguagem matemática. Para isso, podemos utilizar incógnitas (valores desconhecidos), representadas por meio de lêtrasletras, relacionando-as com as informações apresentadas na situação analisada.