Resoluções das atividades

Capítulo 1 • Matemática financeira

Atividades

1. Relacionando as representações do qüadroquadro, temos:

$\frac{1}{4}$ = 0,25 = 25%

$\frac{13}{200}$ = 0,065 = 6,5%

$\frac{47}{100}$ = 0,47 = 47%

$\frac{2}{25}$ = 0,08 = 8%

2. Como a porcentagem corresponde à representação de uma fração cujo denominador é 100, pode-se calcular:

a) $\frac{14}{100}$ ⋅ 3.000 = 420

b) $\frac{9}{100}$⋅ 250 = 22,5

c) $\frac{\mathrm{0,6}}{100}$ ⋅ 300 = 1,8

d) $\frac{24}{100}$ ⋅ 1.000 = 240

3. a) Ao fim de um ano, a cidade terá um aumento de 2,5% no número de habitantes:

1,025 ⋅ 90.000 = 92.250

Logo, ao fim de 1 ano, a cidade terá 92.250 habitantes.

b) Ao fim do segundo ano, a cidade terá um aumento de 2,5% sobre o número de habitantes do ano anterior:

1,025 ⋅ 92.250 ≃ 94.556

Logo, ao fim de dois anos, a cidade terá aproximadamente 94.556 habitantes.

4. Sejam a e b as dimensões de um documento comum (uma fô-lhafolha de tamãnhotamanho A4). Assim:

Área original = ab

Deseja-se obtêrobter um documento reduzido tal quêque:

Área _reduzido = $\frac{1}{4}$Área_original

Área _reduzido = $\frac{1}{4}$ ^ab

Sabendo quêque:

$\frac{1}{4}\mathrm{ab}$ = $\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}b$

conclui-se quêque as dimensões do documento reduzido devem sêrser $\frac{1}{2}a$ e $\frac{1}{2}b.$

Logo, deverá sêrser digitado 50% no painel de comandos.

5. Segundo o enunciado, é solicitada a porcentagem quêque representa 20% de 30%, ou seja:

$\frac{20}{100}\cdot \frac{30}{100}=\frac{600}{10000}=\frac{6}{100}$= 0,06 = 6%

6. (1 + 0,05) ⋅ (1 + 0,05) ⋅ (1 + 0,05) ⋅ 200 = 1,157625 ⋅ 200 = 231,525

Logo, o preêçopreço dessa mercadoria daqui a 3 anos será aproximadamente R$ 231,52.

7. a) O primeiro trecho da viagem corresponde a 40% de todo o trajeto, ou seja: $\frac{40}{100}$ ⋅ 800 = 320

Portanto, a distância percorrida no primeiro trecho é 320 km.

b) O segundo trecho da viagem corresponde a 55% do restante do trajeto, quêque é de 480 km (pois 800 − 320 = 480). Assim: $\frac{55}{100}$⋅ 480 = 264

Portanto, a distância percorrida no segundo trecho é 264 km.

c) A distância percorrida no terceiro trecho é 216 km, pois:

800 − 320 − 264 = 216

Se o motorista mantiver uma velocidade média de 90 km/h, o tempo de percurso nesse trecho será de:

$\frac{216}{90}$= 2,4 → ou 2h24min

8. Na creche, podem sêrser atendidas 100 crianças anualmente, pois, nela, há 10 salas com capacidade para atender 10 crianças a cada ano. No ano passado, houve 400 nomes na lista de espera.

Neste ano, a creche continua podendo atender 100 crianças ao ano. Como o número de nomes na fila de espera cresceu 10%, tem-se: 400 ⋅ 1,10 = 440

No próximo ano, deseja-se ampliar a quantidade de crianças atendidas pela creche, com a meta de quêque a lista de espera com 440 nomes dêstedeste ano seja reduzida em 25%, quêque corresponde a 330 nomes, pois: 440 ⋅ (1 − 0,25) = 330

Para quêque isso ocorra, a creche precisa atender 110 novas crianças. Como cada sala de aula tem capacidade de atendimento para 10 crianças, devem sêrser construídas, no mínimo, 11 novas salas.

Resposta: alternativa b.

9. De acôr-doacordo com o enunciado, o aparelho custa R$ 8.000,00 e, no pagamento a prazo, ocorre acréscimo de 8%, então:

8.000 ⋅ (1 + 0,08) = 8.640

Logo, o valor de cada prestação será R$ 4.320,00, pois:

8.640 ∶ 2 = 4.320

10. Seja x o preêçopreço da raquete na loja B. Assim, temos:

$\frac{90}{100}$ ⋅ (x + 15) = x ⇒ 90x + 1.350 = 100x ⇒ x = 135

Logo, o preêçopreço da raquete na loja B será R$ 135,00.

11. a) Se x = 15, o valor à vista, em reais, será:

8.000 ⋅ (1 − 0,15) = 6.800

Para pagamento a prazo, o comprador quitaria a primeira parcela de R$ 4.000,00 e aplicaria R$ 2.800,00, quêque é a diferença entre o valor à vista com desconto e a primeira parcela (6.800 − 4.000 = 2.800), por um mês a uma taxa mensal de 25%. Essa aplicação resultaria em um valor total de R$ 3.500,00, pois:

2.800 ⋅ (1 + 0,25) = 3.500

Nessas condições, o comprador não teria o suficiente para quitar a segunda parcela de R$ 4.000,00. Portanto, não é vantajosa para ele a compra a prazo.

b) O valor de x quêque torna indiferente a compra à vista ou a prazo é o valor cuja aplicação resulte nos R$ 4.000,00 a sêrserem pagos na segunda parcela. O capital a ser aplicado é a diferença entre o valor à vista com desconto de x% e o valor de R$ 4.000,00 da primeira parcela:

8.000 ⋅ $\left(1-\begin{array}{c}\frac{x}{100}\end{array}\right)$ − 4.000

De acôr-doacordo com o enunciado, a aplicação é feita a uma taxa de 25% ao mês, e o valor total resultante deve sêrser R$ 4.000,00, então:

$$\left[8.000\cdot \left(1-\begin{array}{c}\frac{x}{100}\end{array}\right)-4.000\right]\cdot \left(1+\mathrm{0,25}\right)=4.000\Rightarrow x=10$$

Logo, será indiferente a compra à vista ou a prazo se x = 10.

12. a) Se um vendedor conseguir obtêrobter R$ 120.000,00 em vendas, ele terá 1% de comissão sobre as vendas mais um bônus de R$ 600,00 pela meta atingida, ou seja:

120.000 ⋅ $\frac{1}{100}$+ 600 = 1.800

Logo, o vendedor receberá R$ 1.800,00 de comissão.

b) A comissão mínima, em reais, da terceira faixa de bonificação é:

200.000 ⋅ $\frac{\mathrm{1,2}}{100}$ + 900 = 3.300.

Assim, para receber uma comissão de R$ 3.900,00, o vendedor precisará vender mais de R$ 200.000,00 em um mês. Seja x esse valor, tem-se:

x ⋅ $\frac{\mathrm{1,2}}{100}$ + 900 = 3.900 ⇒ $\frac{\mathrm{1,2}x}{100}$= 3.000 ⇒ x = 250.000

Logo, o vendedor precisará vender R$ 250.000,00.

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c) A comissão mássimamáxima recebida pela primeira faixa de bonificação é: 80.000 ⋅ $\frac{\mathrm{0,8}}{100}$= 640

A comissão mínima recebida pela segunda faixa de bonificação é:

80.000 ⋅ $\frac{1}{100}$+ 600 = 1.400

Portanto, R$ 1.000,00 não é um valor válido para a comissão; pois, se ele vender até R$ 80.000,00, deverá receber R$ 640,00, e, se vender mais do quêque R$ 80.000,00, deverá receber, no mínimo, R$ 1.400,00.

13. Sendo x o preêçopreço inicial, em reais, da mercadoria, conclui-se:

[x ⋅ (1 + 0,18)] ⋅ (1 − 0,05) = x + 302,5

1,18x ⋅ 0,95 − x = 302,5

1,121x − x = 302,5 ⇒ x = $\frac{\mathrm{302,5}}{\mathrm{0,121}}$= 2.500

Portanto, o preêçopreço inicial da mercadoria era R$ 2.500,00.

14. Como o preêçopreço de custo foi de R$ 250,00 e o lucro foi estipulado em 18%, então o lucro foi: 0,18 ⋅ 250,00 = 45

Desse modo, a mercadoria deverá sêrser revendida por R$ 295,00, pois, ao se adicionar o preêçopreço de custo ao lucro, tem-se:

250 + 45 = 295

15. O preêçopreço de custo da mercadoria foi R$ 860,00.

Para quêque o lucro de revenda dela seja de 20%, calcula-se:

860 ⋅ (1 + 0,2) = 860 ⋅ 1,2 = 1.032

Logo, a mercadoria deve sêrser vendida por R$ 1.032,00.

16. O preêçopreço de custo de dez sacas de batatas foi R$ 210,00. Então, cada saca custou R$ 21,00.

Seja x o preêçopreço de venda, para saber por quanto cada saca deve sêrser revendida calcula-se:

$\frac{x-21}{x}$ = 0,20 ⇒ 0,20x = x − 21 ⇒ 0,8x = 21 ⇒ x = 26,25

Logo, cada saca deverá sêrser revendida por R$ 26,25.

17. Como o preêçopreço com desconto de 17% era R$ 478,08, o preêçopreço de etiqueta era:

x − $\frac{17}{100}$ x = 478,08 ⇒ 83x = 47.808 ⇒ x = 576

Como a enciclopédia é composta de 18 volumes, então cada volume, antes do desconto, custava:

$\frac{576}{18}$= 32, ou seja, R$ 32,00

Resposta: alternativa e.

18. Descontando-se o imposto de 20% do preêçopreço de venda, obtém-se o lucro do dono da loja, quêque é de 30% sobre o preêçopreço de custo. Sendo C o preêçopreço de custo, tem-se:

39 ⋅ (1 − 0,2) = C ⋅ (1 + 0,3)

C = $\frac{39\cdot \mathrm{0,8}}{\mathrm{1,3}}$⇒ C = 24

Logo, o preêçopreço de custo é R$ 24,00.

19. Sejam C o preêçopreço de custo, V o preêçopreço de venda e L o lucro. Assim: C = V − L = 240 − (240 ⋅ 0,2) = 192

Portanto, o preêçopreço de custo é R$ 192,00.

20. Sejam V o preêçopreço de venda e C o preêçopreço de custo, ambos em reais.

Assim, temos: $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}V-C=2000\\ \mathrm{0,9}V-C=\mathrm{0,2}C\end{array}\end{array}$

Resolvendo o sistema, têm-se: C = 6.000 e V = 8.000.

Portanto, o preêçopreço de custo é R$ 6.000,00.

21. Ao final do primeiro mês, o valor da dívida se tornou R$ 1.100,00, pois: 1.000 ⋅ 1,1 = 1.100

Após um pagamento de R$ 300,00, o débito passou a sêrser R$ 800,00.

Ao final do segundo mês, o valor da dívida se tornou R$ 880,00, pois: 800 ⋅ 1,1 = 880

Após um pagamento de R$ 500,00, o débito passou a sêrser R$ 380,00.

Ao final do terceiro mês, o valor da dívida se tornou R$ 418,00, pois: 380 ⋅ 1,1 = 418

Portanto, para quitar a dívida, o último pagamento foi de R$ 418,00.

Resposta: alternativa a.

22. Calcula-se o valor da entrada: 0,2 ⋅ 3.000,00 = 600,00

Calcula-se, em seguida, o valor a sêrser financiado:

3.000 − 600 = 2.400

Assim, considerando uma aplicação de R$ 2.400,00 a juros simples quêque rendeu um montante de R$ 2.760,00 após 5 meses, temos:

2.760 = 2.400 ⋅ (1 + i ⋅ 5) ⇒ i = $\frac{2760-2400}{12000}$= 0,03 = 3%

Então, a taxa é de 3% a.m. (ao mês).

23. Em cada item, considera-se a expressão:

J = C ⋅ i ⋅ t

a) J = 7.000 ⋅ (0,025 ⋅ 4) ⇒ J = 7.000 ⋅ 0,1 = 700 ⇒ J = 700; R$ 700,00

b) Considerando quêque t corresponde a 12 meses, tem-se:

J = 7.000 ⋅ (0,03 ⋅ 12) ⇒ J = 7.000 ⋅ 0,36 = 2.520 ⇒ J = 2.520; R$ 2.520,00

c) Como a taxa rende ao dia, o tempo também deve estar nessa unidade de medida. Três meses equivalem a 90 dias, portanto:

J = 7.000 ⋅ (0,0015 ⋅ 90) ⇒ J = 7.000 ⋅ 0,135 = 945 ⇒ J = 945; R$ 945,00

24. Como cada depósito de R$ 200,00 é uma aplicação a juros simples de 1,5% ao mês, então o juro mensal será, em reais:

200,00 ⋅ 0,015 = 3,00

Assim, o primeiro depósito, depois de um ano, terá um rendimento, em reais, de: 200 + 12 ⋅ 3 = 236

O segundo depósito, depois de 11 meses, terá um rendimento, em reais, de: 200 + 11 ⋅ 3 = 233

O terceiro depósito, depois de 10 meses, terá um rendimento, em reais, de: 200 + 10 ⋅ 3 = 230

E assim por diante para cada um dos 12 depósitos.

O último depósito terá um acréscimo de R$ 3,00, e o montante será R$ 203,00.

Então, o montante, após um ano, será, em reais:

M = 236 + 233 + 230 + … + 203 = 2.634

Portanto, o montante após um ano será R$ 2.634,00.

25. O período indicado no enunciado é de 2 meses. Logo:

J = 1.800,00 ⋅ 0,027 ⋅ 2 ⇒ J = 97,20; R$ 97,20

26. Considerando as informações contidas no enunciado, temos:

6.000 = C ⋅ 0,06 ⋅ 4 ⇒ 6.000 = C ⋅ 0,24 ⇒ C = $\frac{6000}{\mathrm{0,24}}$= 25.000

Assim, o capital é R$ 25.000,00.

27. M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)

M = R$ 12.000,00 ⋅ (1 + 0,015 ⋅ 9) ⇒ R$ 13.620,00

28. M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)

9.200 = 8.000 ⋅ (1 + i ⋅ 6) ⇒ i = 0,025 → 2,5%

Então, a taxa é de 2,5% a.m. (ao mês).

29. M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 200.000,00 ⋅ (1 + 0,007)⁶ ≃ R$ 208.548,38

30. M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 20.000,00 ⋅ (1 + 0,006)⁸

M = R$ 20.000,00 ⋅ (1,006)⁸

M = R$ 20.000,00 ⋅ 1,0490 ≃ R$ 20.980,00

31. M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 30.000,00 ⋅ (1 + 0,0095)²⁴ ≃ R$ 37.642,03

32. M = C ⋅ (1 + i)^t

R$ 8.000,00 = C ⋅ (1 + 0,02)⁶ ⇒ C ≃ R$ 7.103,77

33. Caso João espere dois meses, o montante, em reais, será:

M = 20.000 ⋅ (1,02)² = 20.000 ⋅ 1,0404 = 20.808

Ou seja, ainda faltarão R$ 192,00.

Se ele esperar três meses, o montante, em reais, será:

M = 20.000 ⋅ (1,02)³ = 20.000 ⋅ 1,061208 = 21.224,16

Ou seja, sobrarão R$ 224,16, portanto, aproximadamente, R$ 225,00.

Resposta: alternativa c.

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34. M = C ⋅ (1 + i)^t

R$ 25.000,00 = C ⋅ (1 + 0,05)⁶ ⇒ C ≃ R$ 18.655,38

Resposta: alternativa b.

35. Considerando as informações contidas no enunciado, temos:

M = 40.000 ⋅ (1,16)² = 40.000 ⋅ 1,3456 = 53.824

J = M − C ⇒ J = 53.824 − 40.000 = 13.824

Assim, os juros obtidos foram R$ 13.824,00.

36. a) M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 4.000,00 ⋅ (1,04)³ ≃ R$ 4.499,46

b) Como 10 anos correspondem a 120 meses, tem-se:

M = R$ 4.000,00 ⋅ (1,02) ¹²⁰ ≃ R$ 43.060,65

c) Considerando o mês comercial (30 dias), 15 meses correspondem a 450 dias.

Desse modo: M = R$ 4.000,00 ⋅ (1,0002)⁴⁵⁰ ≃ R$ 4.376,66

37. M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 5.000,00 ⋅ (1,03)⁵ ≃ R$ 5.796,37

Esse montante rendeu aproximadamente R$ 796,37 de juros, pois:

J = M − C ≃ R$ 5.796,37 − R$ 5.000,00 = R$ 796,37

38. Analisando a evolução mensal dos valores, em reais, das parcelas pagas ao amigo, temos:

1.000, 1.100, 1.200, 1.300

Esses valores formam uma progressão aritmética de razão 100. Analisando os valores das parcelas pagas ao banco, temos:

1.000, 1.100, 1.210, 1.331

Esses valores formam uma progressão geométrica de razão 1,1.

Resposta: alternativa d.

39. Seja C o capital aplicado por João no regime de juro simples, com i = 0,12 a.a. e t = 3 anos, tem-se o montante M_s:

M_s = C ⋅ (1 + i ⋅ t) ⇒ M_s = 1,36 ⋅ C

Seja C o capital aplicado por João no regime de juro compôztocomposto, com i = 0,12 a.s. e t = 6 semestres, tem-se o montante M_c:

M_c = C ⋅ (1 + i)^t ⇒ M_c = C ⋅ (1,12)⁶

Considerando M_c = M_s + 2.633,36 e utilizando 1,9738 como aproximação para (1,12)⁶, temos:

1,9738 ⋅ C ≃ 1,36 ⋅ C + 2.633,36 ⇒ C ≃ 4.290,26

Como M_s = 1,36 ⋅ C, segue quêque: M_s ≃ R$ 5.834,75

Portanto, João recebeu aproximadamente R$ 1.544,49 de juro, pois:

J = M_s − C ≃ 5.834,75 − 4.290,26 = 1.544,49

40. M = C ⋅ (1 + i)^t

M = R$ 15.000,00 ⋅ (1,02) ¹⁰

M = R$ 15.000,00 ⋅ (1,02⁵)²

M = R$ 15.000,00 ⋅ (1,1)²

M = R$ 15.000,00 ⋅ 1,21 = R$ 18.150,00

Resposta: alternativa b.

41. César aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa de juro compôztocomposto igual a i.

Em reais, após um ano, o montante da aplicação será: 10.000 ⋅ (1 + i)

Depois de sacar R$ 7.000,00, o restante permanécepermanece aplicado, ou seja: 10.000 ⋅ (1 + i) − 7.000 = 3.000 + 10.000i

No ano seguinte, o montante dessa aplicação será:

(3.000 + 10.000i) ⋅ (1 + i) = 6.000

Portanto: (3 + 10i) ⋅ (1 + i) = 6 ⇒ 10i² + 13i − 3 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, obtém-se a raiz: i = 0,2

A raiz negativa deve sêrser desconsiderada, pois i > 0.

Desse modo: (4i − 1)² = (4 ⋅ 0,2 − 1)² = 0,04

Resposta: alternativa d.

42. De acôr-doacordo com o enunciado, sabe-se quêque:

• depois de um investimento de 2 anos, o montante era R$ 2.012,85;

• depois de 3 anos, era R$ 2.314,77.

No entanto, não se sabe o capital investido nem a taxa anual da aplicação.

Com base nessas informações, é possível organizar o seguinte sistema: $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\mathrm{2314,77}=C\cdot {\left(1+i\right)}^3\\ \mathrm{2012,85}=C\cdot {\left(1+i\right)}^2\end{array}\end{array}$

Dividindo a primeira equação pela segunda, tem-se:

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{2314,77}}{\mathrm{2012,85}}=\frac{C\cdot {\left(1+i\right)}^3}{C\cdot {\left(1+i\right)}^2}\end{array}$ ⇒ 1 + i = $\frac{\mathrm{2317,77}}{\mathrm{2012,85}}$⇒ i ≃ 0,15

Substituindo a taxa na segunda equação, tem-se:

2.012,85 = C ⋅ (1 + 0,15)² ⇒ 2.012,85 = C ⋅ 1,3225 ⇒ C = $\frac{\mathrm{2012,85}}{\mathrm{1,3225}}$ ≃ 1.522

Resposta: alternativa c.

43. Considerando as informações contidas no enunciado, conclui-se quêque o montante será:

M = 18.000 + 6.390 = 24.390

Logo, o tempo necessário será:

24.390 = 18.000 ⋅ (1,0281)^t ⇒ 1,0281^t = $\frac{24390}{18000}$ ⇒ 1,0281t = 1,355 ⇒ t ⋅ log 1,0281 = log 1,355 ⇒ t = $\begin{array}{c}\frac{\log \mathrm{1,355}}{\log \mathrm{1,0281}}\end{array}$ ≃ 11

Portanto, o prazo é de aproximadamente 11 meses.

44. Considerando as informações contidas no enunciado, pode-se resolver o problema utilizando radiciação:

36.087 = 24.000 ⋅ (1 + i)⁷ ⇒ (1 + i)⁷ = $\begin{array}{c}\frac{36087}{24000}\end{array}$ ⇒ (1 + i)⁷ = 1,503625 ⇒ 1 + i = $\begin{array}{c}\sqrt[7]{\mathrm{1,503625}}\end{array}$ ⇒ i = 0,06 = 6%

Logo, a taxa mensal é de aproximadamente 6%.

45. I. Falsa, pois:

P(t) = P(0) ⋅ (1 + i)t ⇒ P(3) = 50.000 ⋅ (1 + 0,02)³ ⇒ P(3) ≃ 53.060 ⇒ P(3) ≃ 53.060 habitantes

II. Falsa, pois:

P_x(2) = 19.600 ⋅ (1 + 0,02)² ⇒ P _x(2) ≃ 20.392 habitantes

P_y(2) = 28.900 ⋅ (1 + 0,05)² ⇒ P_y(2) ≃ 31.862 habitantes

Logo: $\begin{array}{c}\frac{P_x\left(2\right)}{P_y\left(2\right)}\simeq \frac{20392}{31862}\simeq \mathrm{0,6}=\frac{3}{5}\end{array}$

III. Verdadeira, pois:

P_x(2) = 129.600 ⋅ (1 + 0,05)² ⇒ P_x(2) = 142.884 habitantes

P_y(2) = 122.500 ⋅ (1 + 0,08)² ⇒ P_y(2) = 142.884 habitantes

IV. Falsa, pois:

P(t) = P(0) ⋅ (1 + i)^t ⇒ $\begin{array}{c}\frac{P\left(t\right)}{P\left(0\right)}\end{array}$ = (1 + i)_t ⇒ t ⋅ log(1 + i) =log ($\begin{array}{c}\frac{P\left(t\right)}{P\left(0\right)}\end{array}$) ⇒ log(1 + i) = $\begin{array}{c}\frac{\log P\left(t\right)-\log P\left(0\right)}{t}\end{array}$ ⇒ i = 10 $\frac{\log P\left(t\right)-\log P\left(0\right)}{t}$ − 1

V. Verdadeira, pois, segundo o enunciado, atualmente o município tem 44.100 habitantes e deseja-se saber o número de habitantes quêque havia dois anos antes. Para isso, pode-se considerar P(2) = 44.100 e P(0) a quantidade procurada.

Considerando quêque a taxa anual de crescimento de 5% ocorre há cinco anos, tem-se i = 0,05. Logo:

44.000 = P(0) ⋅ (1 + 0,05)² ⇒ P(0) = 4.000 habitantes

Resposta: F, F, V, F, V.

46. Considerando as informações contidas no enunciado, temos:

a) 85.400 = 80.000 ⋅ (1,022)^t ⇒ (1,022)^t = 1,0675 ⇒ t = $\begin{array}{c}\frac{\log \mathrm{1,0675}}{\log \mathrm{1,022}}\end{array}$ ≃ 3

Portanto, aproximadamente 3 meses.

b) 134.868,80 = 80.000 ⋅ (1,022)^t ⇒ (1,022)^t = 1,68586 ⇒ t = $\begin{array}{c}\frac{\log \mathrm{1,68586}}{\log \mathrm{1,022}}\end{array}$≃ 24

Portanto, aproximadamente 2 anos.

47. a) Considerando as proporções fornecidas no enunciado, tem-se:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow P_2=\frac{5P_1}{4}\\ \frac{P_2}{P_3}=\frac{6}{12}\Rightarrow \frac{\frac{5P_1}{4}}{P_3}=\frac{6}{12}\Rightarrow P_3=\frac{5P_1}{2}\end{array}\end{array}$$

Como P₁ + P₂ + P₃ = 57.000, então:

P1 + $\begin{array}{c}\frac{5P_1}{4}+\frac{5P_1}{2}\end{array}$ = 57.000 ⇒ P₁ = 12.000

Logo: P₂ = $\begin{array}{c}\frac{5P_1}{4}\end{array}$= 15.000

Página trezentos e sessenta e três363

P₃ = $\begin{array}{c}\frac{5P_1}{2}\end{array}$ = 30.000

Então, o valor de cada parcela é, respectivamente, R$ 12.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 30.000,00.

b) Segundo a fórmula do montante no regime de juro compôztocomposto, M = C ⋅ (1 + i)^t, obtém-se: 12.738 = 12.000 ⋅ (1 + 0,01)^t ⇒ $\frac{12738}{12000}$= 1,01^t ⇒ 1,06 ≃ 1,01^t ⇒ log 1,06 ≃ t ⋅ log 1,01 ⇒ 0,0253 ≃ t ⋅ 0,0043 ⇒ t ≃ 6

Logo, aproximadamente 6 meses.

c) Utilizando a expressão do montante no regime de juro simples, M = C ⋅ (1 + i ⋅ t), e t = 24 meses, tem-se:

25.800 = 15.000 ⋅ (1 + i ⋅ 24) ⇒ $\frac{25800}{15000}$ = 1 + 24i ⇒ 1,72 = 1 + 24i ⇒ 0,72 = 24i ⇒ i = 0,03 = 3%

Então, a taxa é de 3% a.m. (ao mês).

48. Resposta pessoal. Sugestão de problema: Por motivos financeiros, Carla deixou de pagar uma fatura de seu cartão de crédito. Sabendo quêque essa fatura fechou em R$ 2.000,00, quêque não foi incluído nenhum tipo de multa e quêque o total a pagar é corrigido a juro compôztocomposto, qual será o valor da fatura após 1 ano?

De acôr-doacordo com o qüadroquadro, a taxa do cartão de crédito é 421,3% ao ano.

Logo: M = 2.000 ⋅ (5,213) ¹ = 10.426

Assim, depois de 1 ano, o valor dessa fatura será R$ 10.426,00.

49. Para um capital inicial C, a uma taxa i = 1% a.m., tem-se M = 2C. Assim:

M = C ⋅ (1 + i)^t

2C = C ⋅ (1 + 0,01)^t

2 = (1,01)^t ⇒ log 2 = t ⋅ log 1,01 ⇒ t = $\frac{\mathrm{0,30103}}{\mathrm{0,0043}}$ ≃ 70

Logo, para dobrar o capital inicial, é necessário quêque o dinheiro fique aplicado por 70 meses.

Resposta: alternativa d.

50. O lucro L do banco foi:

L = 1.000 ⋅ 1,05 ¹² − 1.000 ⋅ 1,01¹²

L = 1.000 ⋅ (1,80 − 1,13)

L = 670

Resposta: alternativa c.

51. Ana Sofia pagou 153 reais (180 ⋅ 0,85) pela blusa e 104 reais (130 ⋅ 0,80) pela sandália. Como ela tinha R$ 300,00, recebeu de Trôcotroco 43 reais (300 − 153 − 104), o quêque corresponde a:

$\frac{43}{300}$ = 0,14333… = 14,333…%

Resposta: alternativa a.

52. Com base nas informações do enunciado, tem-se:

VP = $\begin{array}{c}\frac{VF}{{\left(1+i\right)}^t}\end{array}$ ⇒ VP = $\begin{array}{c}\frac{20000}{{\left(1+\mathrm{0,03}\right)}^3}\end{array}$≃ 18.302,83

Logo, a pessoa deve pagar aproximadamente R$ 18.302,83 para quitar a dívida.

53. Com base nas informações do enunciado, tem-se:

4.000 = $\begin{array}{c}\frac{1500}{{\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^2}+\frac{VF}{{\left(1+\mathrm{0,08}\right)}^5}\end{array}$ ⇒ VF ≃ 3.987,74

Logo, o valor do último pagamento de Lúcia foi aproximadamente R$ 3.987,74.

54. • Opção 1: 5.400 ⋅ (1 − 0,05) = 5.130

• Opção 2: $\begin{array}{c}\frac{1800}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^1}+\frac{1800}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^2}+\frac{1800}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^3}\end{array}$ ≃ 5.241,96

• Opção 3: 675 +$\begin{array}{c}\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^1}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^2}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^3}\end{array}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^4}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^5}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^6}+\frac{675}{{\left(1+\mathrm{0,015}\right)}^7}\simeq \mathrm{}\mathrm{5.128,79}\mathrm{}$

Logo, a opção 3 é a mais vantajosa.

55. Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes construam o qüadroquadro em um software gratuito e comparem com os côlégascolegas as possíveis soluções.

a) Um exemplo de preenchimento das despesas da 4ª coluna é: conta de á guaágua, R$ 78,00; conta de luz, R$ 145,60; telefone, R$ 289,90; conta de gás encanado, R$ 91,50; faculdade, R$ 1.098,00; transporte, R$ 480,00; supermercado, R$ 810,00; outros gastos, R$ 430,00. Nesse caso, o total dessa 4ª coluna é R$ 3.423,00, e o saldo é R$ 560,00.

b) Um exemplo de preenchimento das despesas da 5ª coluna é: conta de á guaágua, R$ 98,00; conta de luz, R$ 145,60; telefone, R$ 289,90; conta de gás encanado, R$ 101,50; faculdade, R$ 1.098,00; transporte, R$ 480,00; supermercado, R$ 810,00; outros gastos, R$ 450,00. Nesse caso, o total dessa 5ª coluna é R$ 3.473,00, e o saldo é R$ 510,00.

56. a) A primeira prestação é mais alta no SAC. Resposta pessoal. Espera-se, com o segundo quêquestionamento, problematizar os fatores que estão envolvidos quando precisamos tomar uma dê-cisãodecisão como a de escolher o sistema de amortização em um empréstimo ou financiamento. Embora, na situação hipotética, estejamos considerando a mesma taxa de juro e o mesmo período, o quêque normalmente não acontece na realidade, a ideia é quêque os estudantes tênhamtenham uma situação mais simplificada para fazer comparações.

b) Resposta possível: Nas primeiras prestações, o valor amortizado no SAC é maior do quêque no Sistema Price. Sim. Nas planilhas quêque foram construídas pêlospelos estudantes, deve sêrser possível observar com mais dêtálhesdetalhes os pontos destacados, podendo-se, inclusive, adicionar todos os valores de juros quêque estão dispostos nas colunas D e J da resolução da atividade resolvida 17: por exemplo, ao digitar, na célula D79, “=soma(D6:D78)” e pressionar Enter e, na célula J79, “=soma(J6:J78)” e pressionar Enter, é possível comparar os valores.

57. a) Para calcular o valor amortizado, basta dividir o valor financiado pelo número de prestações, nesse caso:

$\frac{25000}{8}$= 3.125

Logo, a amortização é R$ 3.125,00.

b) Para calcular o valor amortizado, primeiro deve-se subtrair a entrada do valor total:

40.000 − 12.000 = 28.000.

Depois, deve-se dividir o restante do valor financiado pelo número de prestações, nesse caso:

$\frac{28000}{10}$= 2.800

Logo, a amortização é R$ 2.800,00.

58. a) Como a entrada é 25% do valor, considera-se, então, quêque o valor financiado será 75% do total:

75.000 ⋅ (0,75) = 56.250

Assim, o valor a sêrser financiado é R$ 56.250,00.

b) Sugere-se quêque todo o cálculo seja feito na calculadora, utilizando-se a seguinte fórmula:

P = V ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+i\right)}^n\cdot i}{{\left(1+i\right)}^n-1}\end{array}$

Para o capital (V), considera-se o valor encontrado no item a, desconsiderando-se a entrada. Para a taxa (i), consideramos 2% a.m. ou 0,02. Por fim, para o tempo (n), 48 meses.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

P = 56.250 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^{48}\cdot \mathrm{0,02}}{{\left(1+\mathrm{0,02}\right)}^{48}-1}\end{array}$⇒ P ≃ 1.833,85

Logo, a parcela será aproximadamente R$ 1.833,85.

c) Dividimos o valor financiado pelo número de prestações, nesse caso: $\frac{56250}{48}$= 1.171,875

Logo, a amortização será aproximadamente R$ 1.171,88.

Página trezentos e sessenta e quatro364

d) Para essa atividade, devem-se utilizar as fórmulas de amortização Price e SAC e lançá-las na planilha, conforme orientação no Livro do estudante. Os estudantes devem atentar às posições na planilha, bem como à colocação dos parênteses no lugar correto. Sistema Price: R$ 31.774,96; SAC: R$ 27.562,50.

59. Do enunciado, pode-se concluir quêque o valor do capital é R$ 1.700,00, (2.100 − 400), o valor da taxa é 4% e o prazo financiado é 10 meses.

Para calcular o valor de cada parcela, utiliza-se a fórmula:

P = V ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+i\right)}^n\cdot i}{{\left(1+i\right)}^n-1}\end{array}$ ⇒ P = 1.700 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+\mathrm{0,04}\right)}^{10}\cdot \mathrm{0,04}}{{\left(1+\mathrm{0,04}\right)}^{10}-1}\end{array}$ ≃ 209,59

Resposta: alternativa c.

Atividades complementares

1. Considerando as variações do PIB de 2015 a 2018, tem-se:

1,02 ⋅ 0,95 ⋅ 1,03 = 0,99807

Ou seja, houve decrescimento de aproximadamente 0,2%.

Resposta: alternativa a.

2. Como o lucro L é a diferença entre o preêçopreço de venda V e o preêçopreço de compra C e, nesse caso, V = (1 + 0,20) ⋅ C = 1,2C, segue quêque: L = V − C ⇒ 150 = 1,2C − C ⇒ C = 750

Assim: V = 1,2C = 1,2 ⋅ 750 = 900

Logo, Ricardo recebeu R$ 900,00 pela venda da bicicleta.

Resposta: alternativa e.

3. Utilizando a expressão J = C ⋅ i ⋅ t, tem-se:

3.600 = 8.000 ⋅ 0,15 ⋅ t ⇒ t = $\frac{3600}{8000\cdot \mathrm{0,15}}$ = 3

Logo, o tempo é de 3 anos.

Resposta: alternativa b.

4. À vista, o produto custa 0,9C, sêndosendo C o preêçopreço anunciado. A prazo, a primeira parcela (entrada) será 0,5C. Para obtêrobter a segunda parcela de 0,5C, considera-se quêque a diferença de 0,4C em relação ao preêçopreço à vista será aplicada por um mês. Assim:

M = C ⋅ (1 + i ⋅ t) ⇒ 0,5C = 0,4C ⋅ (1 + i ⋅ 1) ⇒ i = 0,25 = 25%

Logo, a taxa mensal no pagamento a prazo é 25%.

Resposta: alternativa a.

5. Primeira aplicação do sr. Paulo:

M₁ = C + C ⋅ i ⋅ t ⇒ M₁ = C + 0,12C = 1,12C

Segunda aplicação do sr. Paulo:

M₂ = 1,12C + 1,12C ⋅ 0,03 ⋅ 9 ⇒ M₂ = 1,12C + 1,12C ⋅ 0,27 = 1,4224C

Considerando o resultado anterior em uma única aplicação de 12 meses, tem-se:

1,4224C = C + C ⋅ i ⋅ 12 ⇒ 1,4224 = 1 + 12 ⋅ i ⇒ i = $\frac{\mathrm{0,4224}}{12}$= 0,0352 = 3,52%

Logo, a taxa mensal deveria sêrser de 3,52%.

Resposta: alternativa d.

6. Considerando as informações contidas no enunciado, conclui-se:

i = 6% a.m.; M = 1.960; t = 1 ano e 4 meses, ou 16 meses. Logo:

M = C ⋅ (1 + i ⋅ t) ⇒ 1.960 = C ⋅ (1 + 0,06 ⋅ 16) ⇒ 1,96 ⋅ C = 1.960 ⇒ C = 1.000

Logo, o capital aplicado foi R$ 1.000,00.

Resposta: alternativa a.

7. A entrada para a compra do veículo corresponde a 60% de 30.000, ou seja, 18.000 (0,6 ⋅ 30.000 = 18.000). Ao restante, R$ 12.000,00, serão acrescidos 2% de juros durante 5 meses: J = 0,02 ⋅ 5 ⇒ J = 10%

Logo: M = 12.000 + 0,10 ⋅ 12.000 = 13.200

Então, o valor, em reais, de cada prestação será: P = $\frac{13200}{5}$⇒ P = 2.640

Resposta: alternativa c.

8. Para o cálculo utiliza-se a expressão M = C ⋅ (1 + i)^t e considera-se, conforme as informações do enunciado, quêque, a cada mês, a taxa de juros compostos é i = 0,01. Desse modo:

• No início do primeiro mês considerado, C₁ = 10.000. Assim: M₁ = 10.000 ⋅ (1 + 0,01) ¹ = 10.100

Após a doação de R$ 100,00 no fim do mês, restaram R$ 10.000,00.

• No início do segundo mês, o capital aplicado era o montante restante do mês anterior, isto é, C₂ = 10.000. Assim:

M₂ = 10.000 ⋅ (1 + 0,01) ¹ = 10.100

Nesse mês não houve doação.

• No início do terceiro mês, o capital aplicado era o montante restante do mês anterior, isto é, C₃ = 10.100. Assim:

M₃ = 10.100 ⋅ (1 + 0,01) ¹ = 10.201

Após a doação de R$ 100,00 no fim do mês, restaram R$ 10.101,00. Logo, a quantia aplicada após 3 meses era R$ 10.101,00.

Resposta: alternativa b.

9. Após 3 anos de uso, o preêçopreço do automóvel é dado por:

V(3) = V₀ ⋅ (0,8)³ = 0,512 ⋅ V₀ = 51,2% ⋅ V₀

Assim, decorridos 3 anos, temos quêque o valor do automóvel é 51,2% do valor inicial, o quêque mostra uma desvalorização de 48,8% ou aproximadamente 49%.

Resposta: alternativa c.

10. Considerando um capital de R$ 10.000,00, temos:

• Aplicação básica

Rendimento bruto mensal: 0,00542 ⋅ 10.000 = 54,20

Rendimento líquido mensal: 54,20 − 0,30 = 53,90

• Aplicação pessoal

Rendimento bruto mensal: 0,00560 ⋅ 10.000 = 56,00

Taxa administrativa: 0,038 ⋅ 56,00 = 2,128

Rendimento líquido mensal: 56,00 − 2,128 ≃ 53,87

Portanto, a aplicação quêque fornecerá maior rendimento líquido é a aplicação básica, com rendimento líquido de R$ 53,90.

Resposta: alternativa a.

11. O valor a sêrser pago, em reais, na opção financiada é R$ 1.800,00, pois: 1.500 ⋅ 1,2 = 1.800.

Portanto, cada parcela será de R$ 600,00.

No ato da compra, será paga a primeira parcela, de modo quêque, em relação ao preêçopreço à vista, temos um saldo devedor no valor de R$ 900,00, pois: 1.500 − 600 = 900

Considerando i a taxa de juro, após um mês, o novo valor, em reais, a sêrser pago é: 900 ⋅ (1 + i)

A segunda parcela também é de R$ 600,00.

Portanto, o novo saldo devedor será: 900 ⋅ (1 + i) − 600

Passado mais um mês, o saldo devedor, em reais, será:

[900 ⋅ (1 + i) − 600] ⋅ (1 + i) = 900 ⋅ (1 + i)² − 600 ⋅ (1 + i)

Após o pagamento da terceira parcela de R$ 600,00, o saldo devedor será 0. Então:

900 ⋅ (1 + i)² − 600 ⋅ (1 + i) − 600 = 0 ⇒ 3i² + 4i − 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos:

$\begin{array}{c}i=\frac{-4\pm \sqrt[]{28}}{6}\Rightarrow \end{array}\{\begin{array}{c}{i}_1=\frac{-4+\mathrm{5,29}}{6}=\mathrm{0,215}\\ i_2=\frac{-4-\mathrm{5,29}}{6}\simeq -\mathrm{1,55}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}$

Logo: i = 21,5%

Resposta: alternativa d.

12. Analisando a situação mês a mês, tem-se a descrição a seguir.

No 1º mês, depósito de R$ 2.300,00.

No 2º mês, rendimento, em reais, de: M = 2.300 ⋅ (1 + 0,02) = 2.346

Adicionando-se esse rendimento ao segundo depósito no valor de R$ 2.300,00, o saldo no 2º mês é R$ 4.646,00.

No 3º mês, rendimento, em reais, de:

M = 4.646 ⋅ (1 + 0,02) = 4.738,92

Adicionando-se esse rendimento ao terceiro depósito no valor de R$ 2.300,00, o saldo acumulado é R$ 7.038,92.

Resposta: alternativa c.

13. Considerando as informações contidas no enunciado, conclui-se: A = 1.370; i = 25% a.a.; e M = 480.

Substituindo esses valores na expressão dada, podemos encontrar n, equivalente ao tempo, em anos. Assim:

M = A ⋅ (1 + i) ⁿ ⇒ 5.480 = 1.370 ⋅ (1 + 0,25) ⁿ ⇒ $\frac{5480}{1370}$⁼ 1,25ⁿ ⇒ 1,25 ⁿ = 4

Página trezentos e sessenta e cinco365

Aplicando o logaritmo nos dois membros, temos:

log 1,25 ⁿ = log 4 ⇒ n ⋅ log 1,25 = log 4 ⇒ n ⋅ log $\frac{125}{100}$ = log 2² ⇒ n(log 125 − log 100) = 2 log 2 ⇒ n(3 log5 − 2) = 2 log 2 ⇒ n[3(log 10 − log 2) − 2] = 2 log 2 ⇒ n[3(1 − log 2) −2] = 2 log 2 ⇒ n = $\begin{array}{c}\frac{2\log 2}{1-3\log 2}\Rightarrow n=\frac{2\cdot \mathrm{0,30}}{1-3\cdot \mathrm{0,30}}\end{array}$ ⇒ n = 6

Resposta: alternativa a.

14. No Sistema Price, a expressão de cálculo da prestação P para o valor financiado V é:

P = V ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+i\right)}^n\cdot i}{{\left(1+i\right)}^n-1}\end{array}$

Nas condições descritas, tem-se P = 6.720, i = 0,16 e n = 5.

Substituindo os valores na expressão, temos:

6.720 = V ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(1+\mathrm{0,16}\right)}^5\cdot \mathrm{0,16}}{{\left(1+\mathrm{0,16}\right)}^5-1}\end{array}$⇒ V = 22.000

Calculando os juros incidentes sobre a primeira prestação, obtemos:

J = 22.000 ⋅ 0,16 = 3.520

Segue-se, portanto, quêque a amortização decorrente do pagamento da primeira prestação será R$ 3.200,00, pois:

6.720 − 3.520 = 3.200

Resposta: alternativa e.

15. Avaliando cada afirmação, conclui-se quêque:

a) Correta, pois a inflação depende de vários índices de preços.

b) Incorreta, pois o aumento dos preços não é, necessariamente, incontrolável.

c) Incorreta, pois a inflação não é medida somente pêlospelos gastos, mas também depende de outros fatores.

d) Incorreta, pois o aumento da massa salarial causa deflação.

e) Incorreta, pois o aumento do crédito não é a definição da inflação, é a causa.

Resposta: alternativa a.

16. De acôr-doacordo com o enunciado, temos f = 5% = 0,05 e i = 10% = 0,1. Substituindo os valores na equação dada temos:

1 + r = $\frac{1+i}{1+f}$ ⇒ 1 + r = $\frac{1+\mathrm{0,1}}{1+\mathrm{0,05}}$ ⇒ r ≃ 4,76% ≃ 4,7%

Logo, a classificação é regular, com ganho real próximo de 4,7%.

Resposta: alternativa c.

Capítulo 2 • Poliedros

Atividades

1. Pela relação de ÓilerEuler, válida para qualquer poliedro convexo, temos

V − A + F = 2 ⇒ V − 16 + 9 = 2 ⇒ V = 9

Sendo assim, o poliedro tem 9 vértices.

2. O poliedro possui 7 faces, das quais 5 são quadrangulares e 2 são pentagonais. Determinando o número de arestas, obtém-se:

5 faces quadrangulares: 5 ⋅ 4 = 20;

2 faces pentagonais: 2 ⋅ 5 = 10.

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 20 + 10 ⇒ A = 15

Aplicando a relação de ÓilerEuler, temos:

V − A + F = 2 ⇒ V − 15 + 7 = 2 ⇒ V = 10

Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 vértices.

3. O poliedro possui 9 faces, das quais 3 são quadrangulares, 2, triangulares e 4, pentagonais. Determinando o número de arestas, obtém-se:

3 faces quadrangulares: 3 ⋅ 4 = 12;

2 faces triangulares: 2 ⋅ 3 = 6;

4 faces pentagonais: 4 ⋅ 5 = 20.

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 12 + 6 + 20 ⇒ A = 19

Aplicando a relação de ÓilerEuler, temos:

V − A + F = 2 ⇒ V − 19 + 9 = 2 ⇒ V = 12

Portanto, o poliedro tem 12 vértices.

4. O poliedro possui 7 faces, das quais 3 são triangulares, 1 é quadrangular, 1, pentagonal e 2, hexagonais. Determinando o número de arestas, tem-se:

3 faces triangulares: 3 ⋅ 3 = 9;

1 face quadrangular: 1 ⋅ 4 = 4;

1 face pentagonal: 1 ⋅ 5 = 5;

2 faces hexagonais: 2 ⋅ 6 = 12.

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 9 + 4 + 5 + 12 ⇒ A = 15

Aplicando a relação de ÓilerEuler, temos:

V − A + F = 2 ⇒ V − 15 + 7 = 2 ⇒ V = 10

Portanto, o poliedro tem 10 vértices.

5. Na figura apresentada no enunciado, nota-se quêque a quantidade de faces triangulares é igual à quantidade de vértices do cubo. Como há 8 vértices em um cubo, o poliedro terá 8 faces triangulares. Além díssudisso, cada face do cubo determina uma face quadrada do poliedro. Como o cubo possui 6 faces, o poliedro terá 6 faces quadradas.

Resposta: alternativa b.

6. a) A afirmação é verdadeira, pois o octaedro possui 6 vértices, e o hexaedro possui 6 faces. Além díssudisso, ao jogar o dado esférico, o peso se alojará sobre um dos vértices do octaedro, quêque será a região em contato com o plano horizontal. Assim, quatro vértices estarão localizados na superfícíesuperfície da esféraesfera, pela qual passa um plano paralelo ao plano horizontal quêque contém o centro da esféraesfera, e um vértice estará no topo dela (cada um deles representando um número do dado). Assim, a disposição dos vértices do octaedro se assimila à disposição das faces do dado em formato de hexaedro regular.

b) A afirmação é falsa. O número de vértices do octaedro (6) é igual ao número de faces do hexaedro (6).

c) A afirmação é verdadeira, pois o octaedro e o hexaedro possuem 12 arestas cada. Porém, isso não justifica o fato de a cavidade no interior da esféraesfera sêrser octaédrica, pois não relaciona os vértices do octaedro com as faces do hexaedro.

d) A afirmação é verdadeira, pois o octaedro possui 8 faces e o hexaedro possui 8 vértices. Porém, isso não justifica o fato de a cavidade no interior da esféraesfera sêrser octaédrica, pois não relaciona os vértices do octaedro com as faces do hexaedro.

e) A afirmação é falsa. O número de faces do octaedro (8) é igual ao número de vértices do hexaedro (8).

Resposta: alternativa a.

7. a) Verdadeira. A relação de ÓilerEuler é válida para todos os poliedros convexos, incluindo todos os poliedros de Platão.

b) Falsa. Nos poliedros de Platão, as faces não precisam sêrser polígonos regulares, portanto um poliedro pódepode sêrser de Platão e não sêrser regular.

c) Verdadeira. Para um poliedro sêrser classificado como poliedro de Platão, por definição, é necessário quêque todas as suas faces contenham o mesmo número de arestas.

d) Verdadeira. As faces de um poliedro convexo serem regulares e congruentes entre si é uma das características quêque definem um poliedro regular.

Resposta: Alternativa b.

8. O poliedro é compôztocomposto de 12 faces pentagonais e 20 hexagonais, isto é, possui 32 faces. Para determinar o número de ligações, deve-se calcular o número de arestas, obtendo-se:

12 faces pentagonais: 12 ⋅ 5 = 60;

20 faces hexagonais: 20 ⋅ 6 = 120.

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 60 + 120 ⇒ A = 90

Aplicando a relação de ÓilerEuler, temos:

V − A + F = 2 ⇒ V − 90 + 32 = 2 ⇒ V = 60

Portanto, essa molécula possui 60 hátomusátomos e 90 ligações.

Página trezentos e sessenta e seis366

9. Um cubo de aresta 8 cm possui 6 faces quadradas de lado 8 cm.

Sendo assim, a área total dêêssedesse cubo, em cm², é igual a 6 vezes a área de um quadrado de lado 8 cm:

S_t = 6 ⋅ 8² = 384

10. Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo, D a diagonal do paralelepípedo e d a diagonal da face de dimensões a e b.

Sendo assim, temos:

D² = d² + c² ⇒ c² = 13² − 5² ⇒ c = ±12

Como c é uma dimensão do paralelepípedo, c = 12 dm. Também se deve considerar, segundo o enunciado, quêque:

4 ⋅ (a + b + c) = 76 ⇒ a + b + 12 = 19 ⇒ a + b = 7

Sabendo quêque D² = a² + b² + c² ⇒ a² + b² = 25, tem-se o seguinte sistema:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}a+b=7\\ a^2+b^2=25\end{array}\end{array}$$

Resolvendo o sistema, obtêm-se a = 3 e b = 4.

Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 3 dm, 4 dm e 12 dm.

11. Como o prisma é pentagonal e regular, sua superfícíesuperfície lateral é formada por cinco retângulos de dimensões 4 cm e 20 cm.

Logo, sua área lateral, em cm², é dada por:

S(éli)"ℓ = 5 ⋅ 4 ⋅ 20 = 400

12. Como M é ponto médio de $\overline{AB}$, então $\overline{MH}$ = $\overline{MG}$, portanto o triângulo MHG é isósceles. Por sêrser isósceles, a altura dêêssedesse triângulo em relação à base $\overline{HG}$ passa pelo ponto médio M(minutos)"′ dêêssedesse segmento. Projetando esse ponto d fórmade forma perpendicular ao segmento$\overline{DC}$, percebe-se quêque $\overline{M{M}^{\text{'}}}$ corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos médemmedem 4 u.c. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos $\overline{M{M}^{\text{'}}}$ = 4$\sqrt[]{2}$.

Assim, a área do triângulo MHG, em u.a., é igual a:

S = $\begin{array}{c}\frac{HG\cdot M{M}^{\text{'}}}{2}=\frac{4\cdot 4\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ = 8$\sqrt[]{2}$

Resposta: alternativa c.

13. Segundo as informações contidas no enunciado, pode-se considerar a seguinte figura:

Pelo teorema de Pitágoras, a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ dado em dm, é igual a:

AC² = 3² + 4² ⇒ AC = 5

Assim, o perímetro da base do prisma, em dm, é igual a:

AB + AC + BC = 5 + 5 + 8 = 18

Portanto, sêndosendo a altura h do prisma um terço dessa medida, tem-se h = 6 dm.

Calculando as áreas dêêssedesse prisma, em dm², tem-se:

S_b = $\frac{8\cdot 3}{2}$ = 12

S(éli)"ℓ = 6 ⋅ (5 + 5 + 8) = 108

S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b = 108 + 2 ⋅ 12 = 132

14. Segundo as informações do enunciado, pode-se considerar uma figura como a apresentada a seguir.

A área total da superfícíesuperfície dêêssedesse paralelepípedo, em cm², é igual a:

S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b ⇒ S_t = 2 ⋅ (2x ⋅ 15 + x ⋅ 15) + 2 ⋅ 2x ⋅ x ⇒ 424 = 2 ⋅ (2x² + 45x)

A última equação pódepode sêrser reescrita como 2x² + 45x − 212 = 0, cujas raízes são x(minutos)"′ = 4 e x(segundos)"″ = $-\frac{53}{2}$. Como x é a medida de uma dimensão do paralelepípedo, desconsidera-se o valor negativo. Portanto, as dimensões desconhecidas do paralelepípedo são 8 cm e 4 cm.

15. Sejam x − 1, x e x + 1 as dimensões das arestas do paralelepípedo. Como um paralelepípedo tem quatro arestas de cada dimensão, pode-se determinar x, em cm, da seguinte maneira:

4 ⋅ (x − 1 + x + x + 1) = 84 ⇒ x = 7

Logo, as arestas médemmedem 6 cm, 7 cm e 8 cm, portanto a área total do paralelepípedo, em cm², é dada por:

S_t = 2 ⋅ (6 ⋅ 7 + 6 ⋅ 8 + 7 ⋅ 8) = 292

16. A estufa pódepode sêrser representada por um prisma de base pentagonal. Essa base pódepode sêrser decomposta em um triângulo isósceles e um retângulo. Portanto, a área da base do prisma, em m², é dada por:

S_base = S_triângulo + S_retângulo = $\frac{8\cdot 3}{2}$ + 8 ⋅ 3 ⇒ S_base = 36

A área da face retangular lateral da estufa, em m², é igual a:

S_parede = 70 ⋅ 3 = 210

Para calcular a área do telhado, é necessário determinar a medida (éli)"ℓ, em m, dos lados congruentes do triângulo isósceles quêque compõem a fachada da estufa.

Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:

(éli)"ℓ² = 3² + 4² ⇒ (éli)"ℓ = 5

Assim, a área de cada face retangular, em m², quêque forma o telhado da estufa é igual a:

S_telhado = 70 ⋅ 5 = 350

Logo, a área da superfícíesuperfície total da estufa, em m², é dada por:

S_estufa = 2 ⋅ (36 + 210 + 350) = 1.192

17. Seja (éli)"ℓ a medida da aresta da base triangular do prisma. Sabe-se quêque essa base pódepode sêrser inscrita em uma circunferência de raio 2 dm. Como o lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r corresponde a r$\sqrt[]{3}$, segue quêque (éli)"ℓ = 2$\sqrt[]{3}$ dm. Portanto, a área da base dêêssedesse prisma, em dm², é igual a:

S_b = $\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{{\left(2\sqrt[]{3}\right)}^2\cdot \sqrt[]{3}}{4}\end{array}$ = 3$\sqrt[]{3}$

Segundo o enunciado, a área da superfícíesuperfície lateral do prisma é igual ao quádruplo da área da base. Logo, a área lateral, em dm², é:

S(éli)"ℓ = 4 ⋅ S_b ⇒ S(éli)"ℓ = 4 ⋅ $\begin{array}{c}3\sqrt[]{3}=12\sqrt[]{3}\end{array}$

Assim, a área total do prisma, em dm², é igual a:

S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b ⇒ S_t = $\begin{array}{c}12\sqrt[]{3}+2\cdot 3\sqrt[]{3}=18\sqrt[]{3}\end{array}$

Multiplicando o valor obtídoobtido por $\sqrt[]{3}$, tem-se o seguinte resultado:

$\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\cdot 18\sqrt[]{3}\end{array}$ dm² = 54 dm²

18. a) Pode-se representar a planificação do prisma, com medidas indicadas em cm, da seguinte maneira:

Página trezentos e sessenta e sete367

Assim, as áreas dêêssedesse prisma, em cm², são dadas por:

S_b = 8 ⋅ 5 = 40

S(éli)"ℓ = 2 ⋅ (5 ⋅ 15 + 8 ⋅ 15) = 390

S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b = 390 + 2 ⋅ 40 = 470

b) Pode-se representar a planificação do prisma, com medidas indicadas em m, da seguinte maneira:

A base do prisma pódepode sêrser decomposta em um retângulo de dimensões 3 m e 6 m e em um triângulo isósceles de altura 4 m e base 6 m.

Calculando as áreas dêêssedesse prisma, em m², tem-se:

S_b = S_triângulo + S_retângulo ⇒ S_b $\frac{6\cdot 4}{2}$ = + 6 ⋅ 3 = 30

S(éli)"ℓ = 2 ⋅ (5 ⋅ 10) + 2 ⋅ (3 ⋅ 10) + 6 ⋅ 10 = 220

S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b = 220 + 2 ⋅ 30 = 280

19. Uma planificação do paralelepípedo do enunciado é dada pela figura a seguir.

Na planificação da caixa, é possível notar quêque a menor distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB, de catetos 9 e 12. Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:

AB² = 12² + 9² ⇒ AB = 15

20. Como o tijolo tem a forma de um paralelepípedo, então o volume de argila necessário para produzi-lo é igual ao volume de um paralelepípedo. Sendo assim, o volume de cada tijolo, em cm³, é dado por:

V_tijolo = a ⋅ b ⋅ c = 18 ⋅ 9 ⋅ 6 = 972

Para produzir 5.000 tijolos, será necessária uma quantia de argila equivalente a:

5.000 ⋅ 972 cm³ = 4.860.000 cm³ = 4,86 m³

21. Sendo a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo, é possível escrever:

a = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$; $b=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}q$; $c=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{q}^2$ , em quêque q é a razão da progressão geométrica.

Como o volume do paralelepípedo é dado por V = a ⋅ b ⋅ c, então:

$V=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}q\cdot \frac{1}{2}{q}^2$⇒ 64 = $\begin{array}{c}\frac{q^3}{8}\end{array}$ ⇒ q = 8

Determinando as arestas b e c, em cm, tem-se:

b = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 = 4

c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 64 = 32

Logo, as outras duas arestas do paralelepípedo médemmedem 4 cm e 32 cm.

22. A diagonal do cubo é definida por $\begin{array}{c}D=a\sqrt[]{3}\end{array}$ . Como a diagonal do cubo em questão médemede $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$m, então $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}=a\sqrt[]{3}\end{array}$ ⇒ a = 2.

Assim, o volume dêêssedesse cubo, em m³, é V = a³ = 2³ = 8.

Como 1 m³ de á guaágua corresponde a 1.000 L, então 8 m³ correspondem a 8.000 L.

Resposta: alternativa c.

23. Resposta pessoal. Sugestão de problema: Determine o custo total quêque a empresa terá para produzir 10 bôm-bônsbombons do tipo 1 ao leite e 10 bôm-bônsbombons do tipo 2 brancos.

O volume do bombom de cada tipo, em cm³, é:

V₁= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64

V₂= 6 ⋅ 5 ⋅ 2 = 60

Portanto, o custo em reais de cada bombom, de acôr-doacordo com a encomenda será:

C₁ = 0,03 ⋅ 64 = 1,92

C₂ = 0,04 ⋅ 60 = 2,40

Assim, o custo total em reais, na produção de 10 unidades de cada tipo de bombom, é igual a:

10 ⋅ 1,92 + 10 ⋅ 2,40 = 43,20

24. Como o volume do paralelepípedo é dado por V = a ⋅ b ⋅ c e as dimensões internas da caixa-d’água são 1,2 m, 1 m e 0,7 m, então seu volume, em m³, é igual a:

V = 1,2 ⋅ 1 ⋅ 0,7 ⇒ V = 0,84

Como 1 m³ de á guaágua corresponde a 1.000 L, então 0,84 m³ corresponde a 840 L.

Resposta: alternativa c.

25. Primeiro, deve-se determinar a quantidade de chuva quêque entrou pela abertura superior da caixa-d’água. A área da abertura quadrada, em cm², é dada por:

S_abertura = 40² = 1.600

Assim, a área da abertura superior da caixa-d’água é de 1.600 cm² = 0,16 m².

Como a chuva foi de 70 mm, ou seja, o equivalente a 70 L de á guaágua por métrometro quadrado, então a caixa-d’água recebeu uma quantidade de á guaágua, em litro, igual a:

70 ⋅ 0,16 = 11,2

Como 1 L de á guaágua corresponde a 0,001 m³, então 11,2 L correspondem a 0,0112 m³.

Portanto, o aumento na altura do nível da á guaágua dentro da caixa, em m, foi de:

V = 0,0112 ⇒ 1,4 ⋅ 0,8 ⋅ h = 0,0112 ⇒ h = $\frac{\mathrm{0,0112}}{\mathrm{1,12}}$ = 0,01

Logo, o nível da á guaágua dentro da caixa aumentou 0,01 m = 1 cm.

Resposta: alternativa b.

26. O volume do prisma é dado por V = S _b ⋅ h. Como a base do prisma é um triângulo equilátero, então a área da base, em cm², é:

S_b = $\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$= 4$\sqrt[]{3}$

Portanto, o volume do prisma, em cm³, é igual a:

V = 4$\sqrt[]{3}$ ⋅ 12 = 83,04

27. A área de um octógono regular de lado x é definida por:

S_octógono = 2x² ⋅ (1 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$)

Considerando quêque o volume de um prisma é dado por V = S_b ⋅ h, então o volume ocupado pelas 400 caixas de pitssapizza corresponde a:

V_total = 400 ⋅ 2x² ⋅ (1 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$) ⋅ y ⇒ V _total = 800x²y (1 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$)

28. a) Representando a base do prisma, tem-se:

Ao determinar a altura a do trapézio, em cm, utilizando o teorema de Pitágoras, tem-se:

a² = 15² − 9² ⇒ a = 12

Página trezentos e sessenta e oito368

Logo, a área da base do prisma, em cm², é dada por:

S_b = $\begin{array}{c}\frac{\left(34+16\right)\cdot 12}{2}\end{array}$ = 300

Assim, o volume do prisma, em cm³, é igual a:

V = S_b ⋅ h = 300 ⋅ 40 = 12.000

b) A densidade d de um corpo é definida por $d=\frac{m}{V}$, em quêque m é a massa e V, o volume do corpo. Portanto, para o prisma em questão, tem-se:

7,5 g/cm³ = $\begin{array}{c}\frac{m}{12000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3}\end{array}$⇒ m = 90.000 g

Dessa maneira, a massa do prisma de ferro é 90.000 g, ou 90 kg.

29. a) A superfícíesuperfície lateral de um prisma hexagonal regular é constituída de seis retângulos congruentes. Logo, a área lateral da estrutura de madeira utilizada para a construção da coluna, em m², é igual a:

S(éli)"ℓ = 6 ⋅ (2 ⋅ 8) = 96

b) A base da estrutura de madeira é um hekzágonohexágono regular. Assim, a área dessa base, em m², é igual a:

S_b = 6 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{l^2\sqrt[]{3}}{4}=6\cdot \frac{2^2\sqrt[]{3}}{4}=6\sqrt[]{3}\end{array}$

Ao calcular o volume da coluna, em m³, obtém-se:

V = S_b⋅ h ⇒ V = $\begin{array}{c}6\sqrt[]{3}\cdot 8=48\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, o volume de concreto necessário para preencher a forma da coluna é $\begin{array}{c}48\sqrt[]{3}\end{array}$m³.

30. Pode-se notar quêque a cunha tem formato de prisma de base triangular. Em particular, esse triângulo é retângulo, e seus catetos médemmedem 10 cm e 15 cm. Além díssudisso, a altura do prisma é de 10 cm. Logo, o volume da cunha, em cm³, é igual a:

V = S _b $\frac{10\cdot 15}{2}$ ⋅ h ⇒ V = ⋅ 10 = 750

Resposta: alternativa c

31. Esse sólido é um prisma de base triangular cuja altura corresponde à medida da aresta do cubo ABCDEFGH. Assim, o triângulo GFQ tem base 8 u.c. e altura 8 u.c. Desse modo, sua área, em u.a., é igual a:

S_b = $\frac{8\cdot 8}{2}$ = 32

Portanto, o volume dêêssedesse sólido, em u.v., é V = 32 ⋅ 8 = 256.

Resposta: alternativa c.

32. a) Seja OM = m o apótema da base. No caso de uma pirâmide quadrangular regular, esse apótema é definido por m = $\frac{\mathcal{l}}{2}$,

em quêque (éli)"ℓ é a medida do lado da base da pirâmide. Assim, a medida do apótema da base, em cm, é igual a:

m = $\frac{12}{2}$= 6

b) Considere VM = g o apótema da pirâmide, h = 4 cm e m = 6 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo

VOM, tem-se:

g² = h² + m² ⇒ g² = 4² + 6² ⇒ g = 2$\sqrt[]{13}$

Dessa maneira, a medida do apótema da pirâmide é 2$\sqrt[]{13}$ cm.

c) Seja VB = a a medida da aresta lateral da pirâmide. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VBM, tem-se:

a² = g² + ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2$ ⇒ a² = ${\left(〖2\sqrt[]{13}〗\right)}^2+$ ${\left(\frac{12}{2}\right)}^2$⇒ a = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{22}\end{array}$

Sendo assim, a medida da aresta lateral da pirâmide é 2$\sqrt[]{22}$ cm.

d) Calculando as áreas dessa pirâmide, em cm², obtém-se:

S _b = 12² = 144;

S(éli)"ℓ = 4 ⋅$\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}=4\cdot \frac{12\cdot 2\sqrt[]{13}}{2}=48\sqrt[]{13}\end{array}$;

S_t = S(éli)"ℓ + S_b = $\begin{array}{c}48\sqrt[]{13}\end{array}$ + 144 = 48(3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{13}\end{array}$).

33. a) Sejam M o ponto médio de BC e OM = m o apótema da base.

No caso de uma pirâmide de base hexagonal, m é a altura do triângulo equilátero OBM, isto é, o apótema da base é definido por m = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$, em quêque (éli)"ℓ é a medida do lado da base da pirâmide. Assim, a medida do apótema da base, em cm, é igual a:

m = $\begin{array}{c}\frac{8\sqrt[]{3}}{2}=4\sqrt[]{3}\end{array}$

b) Considere VM = g o apótema da pirâmide, h = 6 cm e m = 4$\sqrt[]{3}$ cm. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo

VOM, tem-se:

g² = h² + m² ⇒ g² = 6² + ${\left(〖4\sqrt[]{3}〗\right)}^2$ ⇒ g = 2 $\sqrt[]{21}$

Sendo assim, a medida do apótema da pirâmide é 2$\sqrt[]{21}$cm.

c) Seja VB = a a medida da aresta lateral da pirâmide. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VBM, tem-se:

a² = g² + ${\left(\frac{l}{2}\right)}^2$ ⇒ a² = ${\left(〖2\sqrt[]{21}〗\right)}^2+{\left(\frac{8}{2}\right)}^2$ ⇒ a = 10

Sendo assim, a medida da aresta lateral da pirâmide é 10 cm.

d) Calculando as áreas dessa pirâmide, em cm², obtém-se:

S_b = 6 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=96\sqrt[]{3}\end{array}$;

S(éli)"ℓ = 6 ⋅$\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}=6\cdot \frac{8\cdot 2\sqrt[]{21}}{2}=48\sqrt[]{21}\end{array}$;

S_t = S(éli)"ℓ + S _b = $\begin{array}{c}48\sqrt[]{21}+96\sqrt[]{3}=48\sqrt[]{3\left(2+\sqrt[]{7}\right)}\end{array}.$

Assim, a medida da área total é $\begin{array}{c}48\sqrt[]{3\left(2+\sqrt[]{7}\right)}\end{array}$ cm².

34. Com as informações do enunciado, pode-se construir a imagem a seguir:

Do enunciado, tem-se quêque VB = 13 cm e VM = 12 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VBM, obtém-se a medida de BC em cm:

VB² = VM² + $\left(\begin{array}{c}\frac{BC}{2}\end{array}\right)$² ⇒ $\begin{array}{c}\frac{B{C}^2}{4}\end{array}$= 13² − 12² ⇒ BC = 10

Portanto, a área lateral da pirâmide, em cm², é dada por:

S(éli)"ℓ = 3 ⋅ $\frac{10\cdot 12}{2}$= 180

35. Como todas as arestas têm a mesma medida, pode-se afirmar quêque a pirâmide é formada por quatro triângulos equiláteros de lado (éli)"ℓ = 15. Portanto, a área total dessa pirâmide, em cm², é:

S _t = 4 ⋅$\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=4\cdot \frac{{15}^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$= 225$\sqrt[]{3}$

36. Como o perímetro da base é 40 cm, então a medida (éli)"ℓ da aresta da base, em cm, é:

(éli)"ℓ = $\frac{40}{4}$= 10

Para determinar a medida da área lateral da pirâmide, é necessário calcular o apótema g da pirâmide. Como a base dela é quadrada, então o apótema da base m é dado por $m=\frac{l}{2}$.

Assim, a medida g é dada por:

g² = h² + m² ⇒ g² = 12² + $\left(\begin{array}{c}\frac{10}{2}\end{array}\right)$² ⇒ g = ±13

Como g é o apótema da pirâmide, tem-se g = 13 cm. Assim, a área lateral da pirâmide, em cm², é igual a:

S(éli)"ℓ = 4 ⋅$\frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}=4\cdot \frac{10\cdot 13}{2}$= 260

37. Da planificação da pirâmide, obtém-se:

Página trezentos e sessenta e nove369

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VMB, obtém-se:

VB² = VM² + MB² ⇒ (3$\sqrt[]{2}$)² = VM² + 1² ⇒ VM² = 17

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, obtém-se:

VM² = VO² + OM² ⇒ 17 = VO² + 1² ⇒ VO = 4

Considerando quêque VO = h, ao calcular o volume da pirâmide, em u.v., tem-se:

V = $\frac{1}{3}$ S_b ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 2² ⋅ 4 = $\frac{16}{3}$

38. Segundo o enunciado, a pirâmide tem V = 9 cm³ e h = 4$\sqrt[]{3}$cm. Assim, pode-se determinar a área de sua base por meio da relação:

V = $\frac{1}{3}$S_b ⋅ h ⇒ 9 cm³ = $\frac{1}{3}$ S_b ⋅ 4$\sqrt[]{3}$ cm ⇒ S_b = $\begin{array}{c}\frac{9\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$cm²

Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero, conclui-se quêque a medida a da aresta, em cm, é:

S _b = $\begin{array}{c}\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}\Rightarrow \frac{9\sqrt[]{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$⇒ a = ±3

Sendo a a medida da aresta, desconsidera-se o valor negativo.

Logo, a = 3 cm.

Resposta: alternativa b.

39. Sejam (éli)"ℓ e g as medidas da aresta da base e do apótema da pirâmide, respectivamente. Ao considerar quêque a área da base é igual à mêtádemetade da área lateral, obtém-se:

S_b = $\frac{1}{2}$ ⋅ S(éli)"ℓ ⇒ 6 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{\mathcal{l}\cdot g}{2}\Rightarrow \mathcal{l}\sqrt[]{3}\end{array}$ = g

Substituindo (éli)"ℓ$\sqrt[]{3}$= g na relação g² = h² + m², tem-se:

((éli)"ℓ$\sqrt[]{3}$)² = 6² + $\begin{array}{c}{\left(\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2\Rightarrow 3{\mathcal{l}}^2-\frac{3{\mathcal{l}}^2}{4}\end{array}$ = 36 ⇒ (éli)"ℓ = ±4

Sendo (éli)"ℓ a aresta da base, desconsidera-se o valor negativo. Portanto, o volume mais próximo da pirâmide, em cm³, é:

V = $\frac{1}{3}$S_b ⋅ h ⇒ V = $\begin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{4^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$⋅ 6 ⇒ V ≃ 83

40. a) O volume do bloco retangular, em u.v., é dado por:

V _bloco = S_b ⋅ h = 4 ⋅ 4 ⋅ 8 = 128

Ao calcular a área da base da pirâmide triangular, em u.a., obtém-se:

S_b = $\begin{array}{c}\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{8^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$= 16$\sqrt[]{3}$

b) Para quêque o volume da pirâmide seja igual ao do bloco retangular, a altura h da pirâmide, em u.c., deve sêrser igual a:

V_bloco = V_pirâmide ⇒ 128 = $\frac{1}{3}$S_b⋅ h ⇒ 128 = $\begin{array}{c}\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt[]{3}\end{array}$ ⋅ h ⇒ h = $\begin{array}{c}8\sqrt[]{3}\end{array}$

41. Com as informações do enunciado, pode-se construir a imagem a seguir:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo de lados 1, x e $\frac{1}{2}$ , tem-se:

$1^2=x^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Ao aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo de lados x, h e $\frac{1}{2}$, obtém-se:

$$x^2=h^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\Rightarrow {\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2=h^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\Rightarrow \frac{\sqrt[]{2}}{2}$$

Conhecida a medida h, sabe-se quêque a altura do paralelepípedo será o dôbrodobro dêêssedesse valor. Assim, o volume do paralelepípedo será dado por:

V = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}=\sqrt[]{2}\end{array}$

Resposta: alternativa c.

42. De acôr-doacordo com as informações contidas no enunciado, obtém-se a figura a seguir:

Ainda, segundo o enunciado, pode-se considerar quêque VO = 20 cm e IJ = JK = 5 cm. Além díssudisso, OP corresponde à medida da aresta do cubo.

Como os triângulos VPJ e VOB são semelhantes, conclui-se quêque:

$\begin{array}{c}\frac{VP}{VO}=\frac{PJ}{OB}\Rightarrow \frac{20-OP}{20}=\frac{\frac{5\sqrt[]{2}}{2}}{\frac{OP\sqrt[]{2}}{2}}\end{array}$⇒ OP² − 20 ⋅ OP + 100 = 0

Resolvendo a equação anterior, tem-se quêque OP = 10 cm.

Calculando o volume do cubo, em cm³, obtém-se:

V = OP³ = 10³ = 1.000

43. A partir da ilustração e dos dados do enunciado, tem-se a figura:

De acôr-doacordo com o enunciado, pode-se afirmar quêque OQ = (éli)"ℓ e MN = a. Também se pódepode estabelecer a relação (triângulo)"△OQA ∼ (triângulo)"△ONM. Logo:

$$\begin{array}{c}\frac{OA}{OM}=\frac{AQ}{MN\left(I\right)}\end{array}$$

Como o triângulo OQA é retângulo, ao aplicar o teorema de Pitágoras, obtém-se a medida de OA:

(OA)² = (OQ)² + (AQ)² ⇒ (OA)² = (éli)"ℓ² + ${\left(\frac{l\sqrt[]{2}}{2}\right)}^2$⇒ OA = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{6}}{2}\end{array}$

Sabendo quêque OM = $\frac{\mathcal{l}}{2}$, substituindo em I obtém-se:

$\begin{array}{c}\frac{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{6}}{2}}{\frac{\mathcal{l}}{2}}=\frac{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{2}}{2}}{a}\end{array}$⇒ (éli)"ℓ = $\begin{array}{c}2a\sqrt[]{3}\end{array}$

Dessa maneira, o volume da pirâmide, em função de a, é dado por:

$$V=\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}\mathrm{Sb}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot l^2\cdot l=\frac{1}{3}\begin{array}{c}\cdot {\left(2a\sqrt[]{3}\right)}^3=8a^3\sqrt[]{3}\end{array}$$

Página trezentos e setenta370

44. Resposta pessoal. Sugestão de problema: Considerando quêque o custo por litro para todas as tintas é o mesmo, determine o custo mássimomáximo para pintar as faces laterais da pirâmide usando duas côrcores (uma cor para cada duas faces) sabendo quêque são necessárias duas demãos para realizar a pintura.

Inicialmente, deve-se determinar a área lateral da pirâmide. Para isso, é necessário encontrar o apótema da pirâmide, dado pela relação:

g² = h² + m² ⇒ g² = 4² + 3² ⇒ g = ±5

Como g é o apótema da pirâmide, tem-se g = 5 m. Assim, a área lateral da pirâmide, em m², é igual a: