UNIDADE 1
CONJUNTOS

O nome do estabelecimento e as marcas dos produtos quêque aparécemaparecem na figura são fictícios.

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. dêz-crevaDescreva uma situação do seu dia a dia em quêque você acredita quêque esteja envolvida a tecnologia de banco de dados.

2. Você já comprou algum produto ôn láinion-line utilizando opções de filtro? dêz-crevaDescreva como foi essa experiência.

3. Dois clientes da loja virtual representada na imagem selecionaram as mesmas opções de tamãnhotamanho, côrcor e marca de calçado. Porém apenas um deles selecionou uma opção de preêçopreço. Para qual dêêssesdesses clientes serão apresentados menos itens para compra? Explique.

Página doze12

Noção de conjunto

O nome do estabelecimento e as marcas dos produtos quêque aparécemaparecem na figura são fictícios.

Na abertura desta Unidade, foi apresentado quêque um sistema de gerenciamento de banco de dados pódepode sêrser utilizado para selecionar um ou mais objetos de uma coleção. Uma coleção de objetos quaisquer é chamada de conjunto. Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento dêêssedesse conjunto. Por exemplo, no aplicativo de loja descrito na abertura, todos os pares de calçados cadastrados formam um conjunto em quêque cada par de calçado é um elemento dêêssedesse conjunto.

Usualmente, um conjunto é indicado por uma letra maiúscula do alfabeto, e um elemento é indicado por uma letra minúscula. pôdêmosPodemos representar um conjunto de diferentes maneiras.

Exemplos:

a) Seja A o conjunto cujos elemêntoselementos são todos os divisores positivos de 20. Acompanhe algumas maneiras de representar esse conjunto.

• Colocando seus elemêntoselementos entre chaves e separados por vírgula.

A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

• Apresentando as características quêque definem seus elemêntoselementos.

• Utilizando um esquema conhecido como diagrama de Venn. Nele, cada elemento é representado por uma marcação ao lado da sua indicação.

b) Para conjuntos com “muitos” elemêntoselementos, podemos usar as reticências. Seja B o conjunto de todos os números naturais menóresmenores quêque 100.

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 97, 98, 99}

Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos quêque ele pertence a esse conjunto. E quando um elemento não faz parte de um conjunto, dizemos quêque ele não pertence a esse conjunto. Por exemplo, em relação ao conjunto A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, temos:

•

•

Agora, considere os conjuntos a seguir.

B = {x | x é capital da Bahia}

C = {x | x é um número ímpar múltiplo de 2}

Resposta esperada: Falsa, pois a expressão indica quêque o número 10 não pertence ao conjunto A, mas 10 é divisor positivo de 20. Portanto, 10 pertence a A (10 ∈ A).

PARA PENSAR

A expressão 10 ∉ A é verdadeira ou falsa? Explique.

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Em relação a esses conjuntos, temos:

• B é um conjunto unitário, pois tem um único elemento: o município de Salvador.

• C é um conjunto vazio, pois não há número ímpar múltiplo de 2; portanto, o conjunto não tem nenhum elemento. Para denotar um conjunto vazio, utilizamos ∅ ou {}, ou seja, C = ∅ ou C = {}.

Outro conjunto quêque podemos destacar é o conjunto universo, geralmente denotado por U. A esse conjunto pertencem todos os elemêntoselementos de determinada situação em estudo. Por exemplo, considerando B como o conjunto das capitais brasileiras quêque começam com a letra B, o conjunto universo U é formado por todas as capitais do Brasil.

Outro conceito importante no estudo de conjuntos é a ideia de conjuntos finitos e infinitos. Dizemos quêque um conjunto é finito se ele for vazio ou tiver uma quantidade finita de elemêntoselementos, de modo quêque seja possível contá-los e chegar ao final. Quando não é finito, dizemos quêque o conjunto é infinito.

Exemplos:

a) O conjunto A das capitais da Região Sul do Brasil é um conjunto finito.

A = {Curitiba, Florianópolis, Porto Alegre}

b) O conjunto B dos números possíveis de serem sorteados em um dado comum é um conjunto finito.

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) O conjunto C dos números pares é um conjunto infinito.

d) O conjunto D dos múltiplos positivos de 5 é um conjunto infinito.

D = {5, 10, 15, 20, 25, ...}

Em um conjunto finito, podemos determinar a quantidade de elemêntoselementos quêque esse conjunto tem. Indicamos por n(A) a quantidade de elemêntoselementos do conjunto finito A. Assim, nos exemplos a e b, temos n(A) = 3 e n(B) = 6.

Igualdade de conjuntos

Considere os conjuntos A = {x | x é um estado da Região Norte} e B = {Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima, Tocantins}. Note quêque os conjuntos A e B têm os mesmos elemêntoselementos. Nesse caso, dizemos quêque A é igual a B e indicamos A = B.

PARA PENSAR

Os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {x | x é um divisor positivo de 6} são iguais? Justifique.

Não, pois 6 ∈ B e 6 ∉ A.

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Relação de inclusão de conjuntos

Considere os conjuntos:

A = {−2, −1, 0, 1, 2}

B = {−1, 0, 1}

C = {5, 6, 7, 8}

D = {7, 8, 9}

Agora, obissérveobserve a representação da relação entre alguns dêêssesdesses conjuntos por meio do diagrama de Venn.

• Conjuntos A e B.

Note quêque todos os elemêntoselementos do conjunto B também são elemêntoselementos do conjunto A. Assim, dizemos quêque B é parte de A, ou B está contido em A, ou, ainda, quêque B é um subconjunto de A.

Indicamos:

A relação B ⊂ A é chamada de relação de inclusão.

• Conjuntos C e D.

Note quêque há elemento do conjunto D quêque não é elemento do conjunto C (o elemento 9). Assim, dizemos quêque D não é parte de C, ou D não está contido em C, ou, ainda, quêque D não é um subconjunto de C.

Indicamos:

Propriedades da inclusão de conjuntos

Vamos destacar algumas propriedades da relação de inclusão de conjuntos. Para isso, considere os conjuntos A, B e C quaisquer.

• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ∅ ⊂ A.

Para demonstrar essa propriedade, podemos realizar uma próvaprova por absurdo, ou seja, supor por hipótese quêque isso não acontece e concluir uma contradição. Nesse caso, supondo ∅ ⊄ A, existiria um elemento x ∈ ∅ de maneira quêque x ∉ A. No entanto, isso é um absurdo, uma vez quêque, por definição, elemento algum pertence a ∅. Portanto, ∅ ⊂ A.

• Propriedade reflexiva: A ⊂ A.

Um conjunto qualquer está contido em si mesmo.

• Propriedade antissimétrica: se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.

Essa propriedade pódepode sêrser utilizada quando é necessário demonstrar quêque dois conjuntos são iguais. Nesse caso, basta mostrar quêque A ⊂ B (todo elemento de A também é elemento de B) e quêque B ⊂ A (todo elemento de B também é elemento de A).

• Propriedade transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

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MATEMATICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: BOYER, CalCarl Benjamin. História da matemática. Tradução: Elza Furtado Gomide. 1. ed. São Paulo: Edgard BlãcherBlücher, 1974. p. 414.

ATIVIDADES

1. Analise o diagrama a seguir e represente os conjuntos A, B e C, indicando seus elemêntoselementos entre chaves.

A = {c, h, i, k},

B = {b, c, e, f, g, j, k} e

C = {a, c, d, e, f, h}

2. Considere os seguintes conjuntos e resôuvaresolva as kestõesquestões.

• A = {x | x é número par positivo, menor quêque 7}.

• B = {y | y é divisor positivo de 12}.

• C = {z | z é número quadrado perfeito menor quêque 30}.

a) Represente cada conjunto, indicando seus elemêntoselementos entre chaves.

2. a) A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e C = {1, 4, 9, 16, 25}

b) Entre esses conjuntos, algum é subconjunto de outro? Justifique.

2. b) Sim, A é subconjunto de B, pois todo elemento de A também é elemento de B.

3. escrêevaEscreva quatro subconjuntos do conjunto A = {3, 6, 9}.

Respostas possíveis: ∅, {3, 6, 9}, {3, 6}, {3, 9}, {6, 9}, {3}, {6}, {9}.

4. Represente, em um único diagrama, os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {4, 6} e D = {3}. Depois, copie os itens a seguir e substitua cada pelo sín-bolosímbolo ⊂ ou ⊄.

a) D ___ A

⊂

b) B ___ C

⊄

c) A ___ B

⊄

d) C ___ B

⊂

e) ∅ ___ D

⊂

f) B ___ D

⊄

Resposta nas Orientações para o professor.

5. Agora é a sua vez! Com base nos conjuntos A, B, C e D da atividade anterior, escrêevaescreva outros dois itens quêque relacionem os conjuntos por meio dos símbolos ⊂ e ⊄.

Resposta possível: ∅ ⊂ A; B ⊄ A.

6. Leia o texto a seguir.

Fonte dos dados: REECE, diêineJane B. éti áuet al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto: ArtmédArtmed, 2015.

Agora, considere os conjuntos a seguir.

A = {a | a é animal}

V = {v | v é animal vertebrado}

I = {i | i é animal invertebrado}

R = {r | r é réptil}

M = {m | m é molusco}

a) Construa um diagrama para representar os conjuntos descritos anteriormente.

6. a) Resposta nas Orientações para o professor.

b) Qual destas sentenças é falsa? Justifique.

• V ⊂ A

• I ⊂ V

• M ⊂ A

• R ⊂ V

I ⊂ V. Resposta nas Orientações para o professor.

c) pôdêmosPodemos dizêrdizer quêque determinada tartaruga é elemento de quais dêêssesdesses conjuntos?

A, V e R

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7. Seis funcionários de uma empresa se inscreveram para participar de um treinamento visando à melhoria contínua de suas práticas. Algumas informações sobre esses funcionários foram organizadas em uma planilha eletrônica. Observe.

a) Quantos dêêssesdesses funcionários são do setor de produção? Independentemente do setor, quantos têm idade inferior a 30 anos?

3 funcionários; 2 funcionários

b) pôdêmosPodemos afirmar quêque todos os funcionários com idade entre 30 e 40 anos quêque se inscreveram são exclusivamente do setor de administração? Explique.

7. b) Não, pois existe um funcionário nessa faixa etária quêque é do setor de produção; no caso, Antônio, com 36 anos de idade.

c) Para a primeira etapa de treinamento, foram selecionados funcionários com mais de 40 anos de idade, dos setores de administração ou de produção. Quais funcionários participaram dessa etapa de treinamento?

Keila

d) Pense e registre no caderno um critério para a seleção dos funcionários quêque participarão da segunda etapa de treinamento. De acôr-doacordo com esse critério, apenas Rosana e Bruna devem sêrser selecionadas. Por fim, compare sua resposta com a de outros côlégascolegas.

7. d) Resposta possível: Selecionar apenas funcionários com idade inferior a 30 anos.

8. Pesquise aspectos diferentes daqueles mencionados na atividade 6 relacionados aos sêresseres vivos do reino animal, como alimentação (carnívoro, herbívoro, onívoro), simetria (assimétrico, simétrico radial, simétrico bilateral), reprodução (sexuada, assexuada) e regulação térmica (endotérmicos e ectotérmicos). Com base nas características pesquisadas, elabore uma situação-problema envolvendo a ideia de conjunto. Depois, troque essa situação-problema com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve a quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Resposta pessoal.

NO MUNDO DO TRABALHO

Página dezessete17

Operações com conjuntos

União e interseção de conjuntos

Observe os conjuntos A = {1, 3, 6, 7, 8} e B = {3, 4, 8} representados no diagrama ao lado direito da página.

pôdêmosPodemos determinar um conjunto C, formado por todos os elemêntoselementos quêque pertencem a A ou a B, ou seja, tal conjunto terá elemêntoselementos quêque pertencem apenas a A, ou apenas a B, ou a ambos os conjuntos. Nesse caso, C = {1, 3, 4, 6, 7, 8}. Esse conjunto é denominado união dos conjuntos A e B, denotado por A ⋂ B (lê-se: A união B).

Também podemos determinar um conjunto D, formado por todos os elemêntoselementos quêque pertencem a A e a B, ou seja, tal conjunto terá elemêntoselementos quêque pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B. Nesse caso, D = {3, 8}. Esse conjunto é denominado interseção dos conjuntos A e B, denotado por A ⋃ B (lê-se: A interseção B).

DICA

A palavra ou, utilizada na definição de união de conjuntos, não tem apenas sentido de exclusão, como pódepode ocorrer na linguagem habitual, por exemplo, quando dizemos “vou à escola ou vou à livraria”.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Considere os conjuntos A = {5, 9}, B = {−1, 1, 2, 9} e C = {0, 1, 4} e determine:

a) A ⋃ B

b) A ⋂ B

c) A ⋂ C

Resolução

Para resolver cada item, podemos representar os conjuntos por meio de diagramas de Venn.

a)

A ⋃ B = {−1, 1, 2, 5, 9}

b)

A ⋂ B = {9}

c)

A ⋂ C = ∅

Note quêque A ⋂ C é um conjunto vazio, pois não há elemento algum quêque pertença simultaneamente a A e a C. Nesse caso, dizemos quêque A e C são conjuntos disjuntos.

R2. Dados os conjuntos B = {−1, 2, 7, 8}, A ⋃ B = {−4, −1, 1, 2, 5, 7, 8} e A ⋂ B = {2, 7}, determine o conjunto A.

Resolução

Para resolver esta quêquestão, podemos elaborar um algoritmo, que consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.

Portanto, A = {−4, 1, 2, 5, 7}.

PARA PENSAR

Esse algoritmo pódepode sêrser adaptado para resolver outras kestõesquestões com estruturas parecidas.

No caderno, determine os elemêntoselementos de um conjunto E, dados os conjuntos D = {−3, −1, 0, 7, 9},

D ⋃ E = {−3, −1, 0, 2, 5, 7, 9} e D ⋂ E = {−1, 7, 9}.

E = {−1, 2, 5, 7, 9}

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Quantidade de elemêntoselementos da união de dois conjuntos

Dados os conjuntos C = {−5, 0, 4, 6, 7} e D = {−2, 0, 6}, temos:

• n(C) = 5

• n(D) = 3

• C ⋃ D = {−5, −2, 0, 4, 6, 7} e n(C ⋃ D) = 6

• C ⋂ D = {0, 6} e n (C ⋂ D) = 2

Note quêque n(C ⋃ D) ≠ n(C) + n(D), pois os elemêntoselementos quêque pertencem a C ⋂ D (no caso, 0 e 6) estão sêndosendo considerados nesse cálculo duas vezes, tanto em n(C) quanto em n(D). Assim, podemos escrever a igualdade a seguir.

$$\underset{6}{\underbrace{n\left(C\cup D\right)}}=\underset{5}{\underbrace{n\left(C\right)}}+\underset{3}{\underbrace{n\left(D\right)}}-\underset{2}{\underbrace{n\left(C\cap D\right)}}$$

Observe quêque, se A ⋂ B = {}, então n(A ⋂ B) = 0. Com isso, n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) − 0. Assim, quando os conjuntos A e B forem disjuntos, temos n(A ⋃ B) = n(A) + n(B).

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Considere o conjunto A com 7 elemêntoselementos e o conjunto B com 5 elemêntoselementos. Sabendo quêque esses conjuntos têm 2 elemêntoselementos em comum, determine quantos elemêntoselementos há em A ⋃ B.

Resolução

De acôr-doacordo com o enunciado, temos: n(A) = 7, n(B) = 5 e n(A ⋂ B) = 2. Dessa maneira:

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) − n(A ⋂ B) = 7 + 5 − 2 = 10

Logo, A ⋃ B tem 10 elemêntoselementos.

Outra maneira de resolver essa atividade é representando os conjuntos A e B por meio de um diagrama de Venn e realizando as seguintes etapas.

DICA

Note quêque os números indicados nesse diagrama representam quantidades de elemêntoselementos.

Por exemplo, o número 2 indica a quantidade de elemêntoselementos de A ⋂ B.

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R4. Em uma pesquisa realizada com 50 estudantes de uma escola, identificou-se quêque todos eles têm acesso à internet por meio de banda larga fixa ou móvel. Observe os dados obtidos nessa pesquisa e determine quantos estudantes têm acesso à internet por ambos os tipos de conexão.

Resolução

Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• 50 estudantes foram entrevistados e todos eles têm acesso à internet por meio de banda larga fixa ou móvel;

• 22 estudantes têm acesso à internet por banda larga fixa;

• 36 estudantes têm acesso à internet por banda larga móvel.

Temos de determinar quantos estudantes têm acesso à internet por meio de ambos os tipos de conexão.

2ª ELABORAR UM PLANO

Considerando F o conjunto dos estudantes quêque têm acesso à internet por banda larga fixa e M o conjunto dos estudantes quêque têm acesso por banda larga móvel, temos:

• n(F ⋃ M) = 50;

• n(F) = 22;

• n(M) = 36.

Então, temos de determinar n(F ⋂ M), quêque pódepode sêrser obtídoobtido por meio da expressão expressão a seguir.

n(F ⋃ M) = n(F) + n(M) − n(F ⋂ M)

3ª EXECUTAR O PLANO

Substituindo os valores na expressão n(F ⋃ M) = n(F) + n(M) − n(F ⋂ M), temos:

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido, podemos utilizar um diagrama de Venn.

Portanto, 8 estudantes têm acesso à internet em ambos os tipos de conexão.

Página vinte e um21

Diferença entre conjuntos

Considere os conjuntos C = {a, b, c, d} e D = {b, c, e, f, g}. pôdêmosPodemos determinar um conjunto E, formado por todos os elemêntoselementos quêque pertencem a C, mas quêque não pertencem a D. Nesse caso, E = {a, d}. Esse conjunto é denominado diferença entre os conjuntos C e D, e o denotamos por C − D.

PARA PENSAR

Quando realizamos a operação de subtração de números reais, também costumamos utilizar o sín-bolosímbolo “−”, como em 10 − 3 = 7.

O sín-bolosímbolo “−” tem o mesmo significado na operação de subtração de números reais e na operação de diferença entre conjuntos? Explique a um colega.

Resposta pessoal.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R5. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 4} e C = {0, 1, 4, 5}, determine:

a) A − B

b) A − C

Resolução

Para resolver cada item, podemos representar os conjuntos por meio de diagramas de Venn.

a)

A − B = {0, 3}

b)

A − C = {2, 3}

Note quêque, no item a, temos B ⊂ A. Nesse caso, A − B também é chamado de complementar de B em relação a A e denotamos por $C_A^B$ (lê-se: complementar de B em relação a A).

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ATIVIDADES

9. Dados os conjuntos A = {−4, −2, 0, 2, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {−2, 5, 7, 9}, determine:

a) A ⋃ C

{−4, −2, 0, 2, 4, 5, 7, 9}

b) C ⋂ A

{−2}

c) B ⋂ C

∅

d) C ⋃ (A ⋂ B)

{−2, 0, 2, 4, 5, 7, 9}

e) B − A

{1, 3}

f) A − (B ⋃ C)

{−4}

g) B ⋂ (A − C)

{0, 2, 4}

h) (A ⋃ B) − (A ⋂ B)

{−4, −2, 1, 3}

10. Em qual item a seguir a parte destacada em vêrdeverde do diagrama representa o conjunto (A ⋃ B) − C? Justifique sua resposta. Depois, escrêevaescreva uma expressão para representar a parte destacada em vêrdeverde nos demais diagramas.

a)

b)

c)

d)

10. Alternativa b, pois a parte destacada em vêrdeverde no diagrama corresponde aos elemêntoselementos quêque pertencem aos conjuntos A ou B e não pertencem ao conjunto C, expressa por (A ∪ B) − C. a: C − (A ∪ B); c: (A ∪ B); d: C.

11. Observe o diagrama de Venn a seguir e classifique cada sentença como V (verdadeira) ou F(falsa). Faça a justificativa.

a) B ⋃ C = ∅

b) A ⋂ B = B

c) n(A) = 5

d) n(C ⋃ A) = 7

e) $C_A^B$ = {a, b, c, e}

f) B − A = {a, b, c}

Resposta nas Orientações para o professor.

12. Considere dois conjuntos A e B não vazios. A união dêêssesdesses conjuntos apresenta 31 elemêntoselementos, e a interseção, 12 elemêntoselementos. Determine a quantidade de elemêntoselementos em A.

a) Com os dados fornecidos, é possível resolver o problema? Justifique sua resposta.

b) Se não for possível resolver, indique o(s) dado(s) faltante(s) e a solução correspondente.

Respostas nas Orientações para o professor.

13. Reúna-se com um colega, pesquisem e respondam às seguintes kestõesquestões.

a) Em quantas regiões o Brasil é dividido? Em qual delas vocês moram?

5 regiões. Resposta pessoal.

b) Quantas unidades da Federação (UF) existem no Brasil? Em qual delas vocês moram?

27 unidades da Federação. Resposta pessoal.

Agora considere os conjuntos a seguir e, depois, respondam às kestõesquestões.

• F, formado por todas as unidades da Federação do Brasil.

• E, formado pelas unidades da Federação da região em quêque vocês moram.

c) Liste todos os elemêntoselementos de E e determine n(E).

As respostas dependem da região em quêque os estudantes moram.

d) Explique o quêque representa o conjunto $C_F^E$ e determine quantos são seus elemêntoselementos.

13. d) Conjunto formado pelas unidades da Federação localizadas nas regiões do Brasil em quêque os estudantes não moram. A quantidade de elemêntoselementos dêêssedesse conjunto depende da região em quêque os estudantes moram.

14. Considere os conjuntos A e B, em quêque

A ∪ B = {−5, −1, 2, 3, 4, 6, 8}, A − B = {−1, 6} e B − A = {3, 4, 8}.

a) escrêevaEscreva um algoritmo para determinar os elemêntoselementos dos conjuntos A e B e represente-os em um diagrama de Venn.

a) Resposta nas Orientações para o professor.

b) No caderno, defina dois conjuntos finitos C e D. Em uma fô-lhafolha avulsa, escrêevaescreva os elemêntoselementos de C ∪ D, C − D e D − C e troque-a com um colega para quêque ele, utilizando o algoritmo elaborado no item a, determine os conjuntos C e D, enquanto você faz o mesmo na fô-lhafolha quêque receber. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Resposta pessoal.

15. A escola de música em quêque Meire estuda oferece aulas de três instrumentos musicais: flauta, teclado e violão. Sabe-se quêque:

• 27 pessoas estudam flauta;

• 17 pessoas estudam flauta e violão;

• 32 pessoas estudam teclado;

• 25 pessoas estudam teclado e violão;

• 45 pessoas estudam violão;

• 16 pessoas estudam flauta, teclado e violão;

• 19 pessoas estudam flauta e teclado.

Quantas pessoas, no total, estudam nessa escola de música?

59 pessoas

Página vinte e três23

16. Um clube recreativo analisou os hábitos dos 1.450 sócios com relação ao uso de suas instalações em cértocerto mês. Foi constatado quêque, nesse mês, 930 sócios usaram a piscina, 310 usaram a piscina e a academia e 140 usaram apenas outras instalações. Quantos sócios dêêssedesse clube usaram apenas a academia?

380 sócios

17. Doenças como poliomielite, sarampo e rubéularubéola foram comuns no Brasil e no mundo. Atualmente, estão quase erradicadas no território nacional, graças à vacinação massiva da população brasileira. O Programa Nacional de Imunizações avança a cada ano, proporcionando melhor qualidade de vida à população com a prevenção de doenças.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Vacinação. Brasília, DF: MS, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/ibjts. Acesso em: 26 jun. 2024.

Ciente da importânssiaimportância da vacinação, uma escola realizou uma pesquisa com todos os estudantes a fim de identificar se eles tí-nhãotinham recebido as vacinas Dupla Adulto (dT) e HPV. Observe uma tabélatabela construída para resumir os dados coletados.

Estudantes da escola quêque receberam as vacinas

PARA AMPLIAR

De acôr-doacordo com os dados apresentados, responda às kestõesquestões.

a) Represente os dados da tabélatabela em um diagrama de Venn. Para isso, nomeie como A o conjunto dos estudantes quêque receberam a vacínavacina Dupla Adulto (dT) e como B o conjunto dos estudantes quêque receberam a vacínavacina HPV.

Resposta nas Orientações para o professor.

b) Quantos estudantes foram entrevistados nessa pesquisa?

313 estudantes

c) Quantos entrevistados receberam:

• a vacínavacina Dupla Adulto (dT)?

213 estudantes

• a vacínavacina HPV?

182 estudantes

• ambas as vacinas?

115 estudantes

d) Quantos estudantes receberam ao menos uma das vacinas?

280 estudantes

e) Para regularizar todos os estudantes em relação a essas duas vacínavacinas, a escola pretende realizar uma campanha de vacinação. Quantas doses de vacina de cada tipo devem sêrser aplicadas nessa campanha?

100 vacinas Dupla Adulto (dT); 131 vacinas HPV

18. Para uma reportagem, certa revista ôn láinion-line realizou uma pesquisa com 100 pessoas sobre as platafórmasplataformas de streaming quêque elas utilizam. Foi constatado quêque, dos entrevistados, 35 utilizam a platafórmaplataforma A, 49 utilizam a platafórmaplataforma B e 23 utilizam ambas as platafórmasplataformas. Das pessoas entrevistadas, quantas não utilizam nenhuma dessas platafórmasplataformas de streaming?

39 pessoas

19. Observe a tabélatabela a seguir e elabore um problema envolvendo operações com conjuntos. Em seguida, junte-se a um colega, e tróquemtroquem o problema para quêque um resôuvaresolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração do estudante.

Domicílios brasileiros quêque tí-nhãotinham automóvel ou motocicleta, 2022

Página vinte e quatro24

INTEGRANDO COM...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Transfusão sanguínea

Você sabe o quêque é transfusão sanguínea? Esse procedimento médico consiste em transferir o sanguesangue, ou parte de seus componentes, de uma pessoa (doadora) para outra (receptora). É importante ressaltar quêque, anualmente no Brasil, milhares de pessoas precisam dêêssedesse procedimento e, para isso, contam com a doação voluntária de sanguesangue, quêque é a única maneira de obtê-lo, pois somente o organismo do sêrser humano é capaz de produzi-lo.

Em uma transfusão, um aspecto quêque deve sêrser considerado é a compatibilidade entre o sanguesangue do receptor e o sanguesangue do doador. Para isso, são analisados os tipos de antígeno presentes nos glóbulos vermelhos de cada um dos envolvidos. Esse teste determina em qual tipo sangüíneosanguíneo – A, B, AB ou O –, pertencente ao sistema ABO, se enquadram o receptor e o doador.

Observe no diagrama a seguir a representação do sistema ABO em relação à presença de antígenos no sanguesangue. Nesse esquema, o conjunto A e o conjunto B indicam os tipos sangüíneossanguíneos quêque têm presença do antígeno A e do antígeno B, respectivamente.

Por exemplo, caso um indivíduo com sanguesangue tipo A receba acidentalmente sanguesangue tipo B, serão produzidos anticorpos contra o antígeno B, pois seu organismo não o reconhece. Isso pódepode obstruir vasos e artérias.

Simultaneamente à análise do sistema ABO, é necessário avaliar o fator Rh. Quando o sanguesangue apresenta o antígeno Rh, dizemos quêque o sanguesangue do indivíduo é Rh positivo (Rh+). Quando há ausência dêêssedesse antígeno, dizemos quêque o sanguesangue do indivíduo é Rh negativo (Rh−). Por exemplo, no caso de uma transfusão, haveria incompatibilidade entre um receptor de sanguesangue Rh− e um doador de sanguesangue Rh+, porque o organismo do receptor, quêque não tem o antígeno Rh, produziria anticorpos contra o antígeno Rh do doador.

Fonte dos dados: POTTER, Patricia A. éti áuet al. Fundamentos de enfermagem. Tradução: Mayza Ritomy Ide éti áuet al. 8. ed. Rio de Janeiro: ElsévierElsevier, 2013. p. 931.

Ao analisar as características do Sistema ABO e do fator RH, pódepodemos identificar quem pódepode receber e quem pode doar sanguesangue a um indivíduo com determinado tipo sangüíneosanguíneo. Observe o exemplo ao lado direito da página para um indivíduo cujo tipo sangüíneosanguíneo é A−.

Página vinte e cinco25

PENSANDO NO ASSUNTO

1. Responda às kestõesquestões a seguir.

Respostas pessoais.

a) Você sabe qual é seu tipo sangüíneosanguíneo, de acôr-doacordo com o sistema ABO? E o fator Rh?

b) Em seu entendimento, qual é a importânssiaimportância de conhecermos nosso tipo sangüíneosanguíneo e o das pessoas de nosso convívio? Pense no assunto e, se necessário, realize uma pesquisa.

c) No município ou na região em quêque você mora, é comum a realização de campanhas incentivando a doação de sanguesangue? De quêque modo você acredita quêque essas campanhas impactam a ssossiedadesociedade? Qual é a importânssiaimportância delas?

2. Observe o diagrama quêque representa o sistema ABO, apresentado na página 24. Em relação à presença ou à ausência dos antígenos A e B nas hemácias, interpréteinterprete os conjuntos a seguir.

A − B A ∩ B B − A U − (A ∪ B)

Resposta nas Orientações para o professor.

3. Justifique as afirmativas a seguir.

a) Em uma transfusão sanguínea, um receptor AB− é incompatível com um doador B+.

3. a) Resposta esperada: Apesar de o doador apresentar em suas hemácias o mesmo antígeno B do receptor, ele também apresenta em suas hemácias o antígeno Rh (Rh+), o quêque o torna incompatível com o receptor, quêque não tem o antígeno Rh (Rh−).

b) Em uma transfusão sanguínea, um doador A− é compatível com um receptor A+.

3. b) Resposta esperada: Como o doador apresenta o mesmo antígeno A do receptor e tem ausência de antígeno Rh (Rh−) em suas hemácias, ele é compatível com o receptor.

4. Em relação ao sistema ABO e ao fator Rh, costuma sêrser chamado de doador universal o indivíduo quêque pódepode doar sanguesangue àqueles de qualquer tipo sangüíneosanguíneo. Já o receptor universal é o indivíduo quêque pódepode receber sanguesangue de qualquer tipo sangüíneosanguíneo.

Em grupos, investiguem quais tipos sangüíneossanguíneos correspondem aos doadores e receptores universais. Para isso, resolvam os itens a seguir.

a) ob-sérvimObservem a página 24 e respondam: para quem o indivíduo A− é doador? E de quem ele é receptor?

É doador para: A+, A−, AB+ e AB−. É receptor de: A− e O−.

b) Identifiquem todos os possíveis tipos sangüíneossanguíneos e, para cada um deles, construam um qüadroquadro indicando de quem ele recebe e para quem doa.

Resposta nas Orientações para o professor.

c) Analisem os quadros quêque vocês construíram e respondam: quais tipos sangüíneossanguíneos correspondem ao doador e ao receptor universal? Explique como vocês pensaram.

4. c) Resposta esperada: O doador universal corresponde ao tipo O−, pois ele pódepode doar sanguesangue a todos os tipos sangüíneossanguíneos; e o receptor universal corresponde ao tipo AB+, pois ele pódepode receber sanguesangue de todos os tipos sangüíneossanguíneos.

5. Nesta questão, será explorada a seguinte situação-problema.

Como orientar um habitante do município em quêque você mora a respeito da doação de sanguesangue?

Para isso, junte-se a dois côlégascolegas, e façam o quêque se pede em cada um dos itens.

Respostas pessoais.

a) Investiguem, no município e na região em quêque moram, quais estabelecimentos de saúde recebem doação de sanguesangue da comunidade.

b) Nesses estabelecimentos, há informações sobre os estoques de sanguesangue obtidos por doações? Caso essas informações estejam disponíveis, registrem-nas.

c) Pesquisem quais tipos sangüíneossanguíneos têm maior demanda nesses estabelecimentos.

d) Em livros ou sáitessites especializados, pesquisem informações sobre as etapas relacionadas à doação de sanguesangue.

e) Com base no quêque estudamos nesta seção e nas kestõesquestões anteriores, elaborem uma peça publicitária com o objetivo de estimular a doação de sanguesangue no município em quêque moram. Vocês podem optar por fôlder, cartaz, vídeo, podcast, entre outros meios. É importante quêque essa peça publicitária contenha informações como:

• características e objetivo da doação de sanguesangue;

• tipos sangüíneossanguíneos de maior demanda para doação;

• etapas da doação e pré-requisitos para sêrser um doador.

Lembrem-se de utilizar uma linguagem adequada, simples e objetiva, fazendo uso de recursos visuais para chamar a atenção e incentivar as pessoas. Para divulgar essa peça publicitária, pódepode sêrser utilizado o mural da escola ou mídias sociais, por exemplo.

DICA

Na peça publicitária, ressaltem quêque o ato de doar sanguesangue é estritamente voluntário.

Página vinte e seis26

Conjunto dos números naturais (ℕ) e conjunto dos números inteiros (ℤ)

Há indícios de quêque a habilidade de contar seja uma atividade humana quêque remonta a milhares de anos, como pódepode sêrser sugerido em diversas pinturas rupestres encontradas em diferentes sítios arqueológicos.

Com o passar do tempo, o processo de contar foi desenvolvido para atender a situações de grandes contagens, como as de populações e de produção agrícola. Há registros, por exemplo, de um censo realizado na chiinaChina, em 2238 a.C., para a contagem da população e das lavouras cultivadas.

Desde então, muitos anos se passaram, e o sêrser humano continua trabalhando com a habilidade de contagem. Em várias situações do nosso dia a dia, realizamos contagens, por exemplo, para determinar: a quantidade de dias quêque faltam para nosso aniversário, a quantidade de pratos e talheres quêque devem sêrser colocados à mesa para atender a todos quêque vão participar de uma refeição, entre outras situações.

Os números quêque costumamos utilizar para realizar contagens, incluindo o zero, formam o quêque atualmente denominamos conjunto dos números naturais. Esse conjunto tem infinitos elemêntoselementos e pódepode sêrser indicado da seguinte maneira.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

PARA AMPLIAR

Página vinte e sete27

pôdêmosPodemos representar os números naturais na reta numérica. Observe.

Note quêque todo número natural tem um sucessor e, com exceção do zero, também tem um antecessor natural. Além díssudisso, a diferença entre um número natural qualquer e seu antecessor é igual a 1. Assim, o sucessor de qualquer número natural n é dado por n + 1, e o antecessor dêêssedesse número, para n > 0, é dado por n − 1.

pôdêmosPodemos indicar o subconjunto de ℕ formado por todos os números naturais positivos da seguinte maneira.

ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Dizemos quêque ℕ é um conjunto fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, ao adicionar ou multiplicar quaisquer dois números naturais, o resultado também será um número natural. No entanto, isso não ocorre com a subtração; por exemplo, embora 8 − 3 resulte no número natural 5, não obtemos em ℕ o resultado de 3 − 8.

PARA PENSAR

Existe um número natural quêque seja menor quêque todos os outros números naturais? E um número natural quêque seja maior quêque qualquer um dos demais? Justifique.

Respostas esperadas: Sim, o número zero é o menor dos naturais. Não, pois, na sequência dos números naturais, é sempre possível obtêrobter o próximo número, adicionando 1 ao número anterior.

No decorrer da história, algumas situações, como aquelas relacionadas a débitos e dívidas em transações comerciais, cuja ideia pódepode sêrser associada ao fato de o conjunto dos números naturais não sêrser fechado para a operação de subtração, contribuíram para o surgimento do conceito de número negativo.

Dessa maneira, foi necessário ampliar o conjunto dos números naturais, acrescentando os números inteiros negativos {..., −4, −3, −2, −1}, para formárformar o conjunto dos números inteiros. Esse conjunto tem infinitos elemêntoselementos e pódepode sêrser indicado da seguinte maneira.

ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

PARA PENSAR

Existe um número inteiro quêque seja menor quêque todos os outros números inteiros? E um número inteiro quêque seja maior quêque qualquer um dos demais? Justifique.

Respostas esperadas: Não, pois, na sequência dos números inteiros, é sempre possível obtêrobter o antecessor de um número, subtraindo 1 dêêssedesse número. Não, pois, na sequência dos números inteiros, é sempre possível obtêrobter o sucessor de um número adicionando 1 a ele.

Página vinte e oito28

Acompanhe a representação dos números inteiros na reta numérica.

Note quêque todo número inteiro m tem um antecessor, dado por m − 1, e um sucessor, dado por m + 1.

pôdêmosPodemos destacar alguns subconjuntos de ℤ.

• Conjunto dos números inteiros não nulos:

ℤ^* = {..., −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4,...} = ℤ − {0}.

• Conjunto dos números inteiros não negativos:

ℤ₊ = {0, 1, 2, 3, 4,...} = ℕ.

• Conjunto dos números inteiros positivos:

${\mathbb{Z}}_{+}^{*}$ = {1, 2, 3, 4,...} = ℕ^*.

• Conjunto dos números inteiros não positivos:

ℤ₋ = {..., −4, −3, −2, −1, 0}.

• Conjunto dos números inteiros negativos:

${\mathbb{Z}}_{-}^{*}$ = {..., −4, −3, −2, −1}.

Como todo elemento de ℕ também é elemento de ℤ, temos quêque ℕ ⊂ ℤ, ou seja, ℕ é subconjunto de ℤ.

Conjunto dos números racionais (ℚ)

Estudamos quêque o conjunto ℕ é fechado exclusivamente para as operações de adição e de multiplicação. O conjunto ℤ, por sua vez, é fechado para as operações de adição, subtração e multiplicação, porém não é fechado para a divisão; por exemplo, não obtemos em ℤ o resultado de 5 ∶ 2.

Assim, foi necessário ampliar o conjunto dos números inteiros, de maneira a obtêrobter o conjunto dos números racionais, cujos elemêntoselementos correspondem aos quocientes de dois números inteiros quaisquer, sêndosendo o divisor diferente de zero. Esse conjunto tem infinitos elemêntoselementos e pódepode sêrser indicado da seguinte maneira.

ℚ = $\left\{\frac{a}{b}a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}\mathrm{e}b\ne 0\right\}$

PARA PENSAR

Elabore uma situação-problema envolvendo o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros. Dê preferência a algum contexto relacionado ao seu dia a dia. Depois, troque essa situação-problema com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve a quêque ele elaborou.

Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Página vinte e nove29

Há indícios de quêque a necessidade de números racionais positivos não inteiros foi identificada, inicialmente, em situações quêque envolviam medições. Nas construções de moradias, de grandes obras e nas demarcações de terras, muitas vezes a unidade de medida escolhida para fazer uma medição poderia “não caber” uma quantidade inteira de vezes naquilo quêque se queria medir.

Observe exemplos de números racionais.

a) $\frac{21}{6}$ = 3,5

b) $\frac{8}{2}$ = 4

c) $\frac{4}{9}$ = 0,444...

d) $-\frac{15}{3}$ = −5

e) $\frac{17}{100}$ = 0,17

Note quêque qualquer número inteiro pódepode sêrser escrito na forma $\frac{a}{b}$, com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0, como é o caso de 9 = $\frac{9}{1}$, 4 = $\frac{8}{2}$ e −5 = $-\frac{15}{3}$. Assim, todo número inteiro é também racional e ℤ ⊂ ℚ, ou seja, ℤ é subconjunto de ℚ. O diagrama de Venn representado mostra a relação de inclusão dêêssesdesses conjuntos.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

PARA PENSAR

No Egito antigo, de maneira geral, as frações não unitárias eram expressas por adições de frações unitárias. Mostre como a fração $\frac{3}{8}$ pódepode sêrser expressa pela soma de duas frações unitárias. Lembre-se de quêque frações unitárias são aquelas de numerador 1.

Uma resposta possível: $\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$.

Página trinta30

Representação de número racional

Você provavelmente estudou, em anos anteriores, como podemos transformar um número racional na forma de fração para a forma de número decimal e como transformar um número racional na forma decimal para a forma de fração. Agora, vamos relembrar e ampliar esse estudo.

Transformação de um número racional na forma de fração para a forma de decimal

Uma maneira prática de obtêrobter a forma decimal de um número racional na forma de fração consiste em realizar a divisão indicada pela fração, ou seja, determinar o quociente entre o numerador e o denominador dela.

Exemplos:

a) $-\frac{9}{5}$ = −9 ∶ 5 = − 1,8

Nessa divisão, em quêque o réstoresto é zero, o quociente está na forma de um número decimal exato.

b) $\frac{11}{3}$ = 11 ∶ 3 = 3,666... =

Nessa divisão, em quêque não é possível obtêrobter réstoresto igual a zero, o algarismo 6 se repete indefinidamente no quociente. Em casos como esse, dizemos quêque o quociente está na forma de dízima periódica.

PARA PENSAR

Mostre, por meio do algoritmo da divisão, por quêpor que o algarismo 6 se repete indefinidamente no quociente de 11 ∶ 3.

Resposta pessoal.

Outra maneira consiste em determinar uma fração decimal equivalente para, em seguida, realizar a divisão indicada.

Exemplos:

a) = 1,5

b) = 0,68

PARA PENSAR

Em seu entendimento, por quêpor que foram escolhidas essas frações equivalentes nos exemplos?

Resposta esperada: As frações equivalentes são frações decimais (com denominadores 10, 100 etc.), o quêque facilita o cálculo da divisão.

Transformação de um número racional na forma de decimal para a forma de fração

Acompanhe, inicialmente, os exemplos em quêque números racionais na forma de decimal exato são transformados na forma de fração.

Exemplos:

a) 0,8 = $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

b) 2,48 = $\frac{248}{100}=\left(\frac{62}{25}\right)$

Também podemos transformar uma dízima periódica em uma fração, ou seja, obtêrobter uma fração geratriz. Acompanhe, nos casos a seguir, um modo de determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.

DICA

Observe quêque há dois tipos possíveis de representação decimal para os números racionais: a finita ou a infinita periódica.

Página trinta e um31

Exemplos:

a) $0,\overline{2}=\mathrm{0,222}\dots$

x = 0,222... ← Representamos 0,222... por x.

10x = 2,222... ← Multiplicamos cada membro da equação por 10.

10x = 2 +$\underset{x}{\underbrace{\mathrm{0,222}\dots }}$ ← Decompomos 2,222... em 2 + 0,222...

10x = 2 + x ← Como 0,222... = x, realizamos a substituição.

9x = 2 ← Subtraímos x em cada membro da equação.

x = $\frac{2}{9}$ ← Dividimos por 9 cada membro da equação 9x = 2.

$0,\overline{2}=\frac{2}{9}$ ← A fração geratriz de $0,\overline{2}\mathrm{}$ é $\frac{2}{9}$.

b) $0,\overline{75}$ = 0,7575...

x = 0,7575...

100x = 75,7575...

100x = 75 + $\underset{x}{\underbrace{\mathrm{0,7575}\dots }}$

100x = 75 + x

99x = 75

x = $\frac{75}{99}\Rightarrow 0,\overline{75}=\frac{75}{99}$

c) $\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\overline{2}\end{array}$ = 1,3222...

x = 1,3222...

10x = 13,222...

10x = 13 + $\underset{\frac{2}{9}}{\underbrace{\mathrm{0,222}\dots }}$

10x = 13 + $\frac{2}{9}$

10x = $\frac{119}{9}$

x =$\begin{array}{c}\frac{119}{90}\Rightarrow \mathrm{1,3}\overline{2}=\frac{119}{90}\end{array}$

PARA PENSAR

Explique por quêpor que em uma das etapas da obtenção da fração geratriz de $\begin{array}{c}0,\overline{2}\end{array}$ e de $\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\overline{2}\end{array}$ os membros da igualdade são multiplicados por 10, enquanto na obtenção da fração geratriz de $\begin{array}{c}0,\overline{75}\end{array}$ os membros da igualdade são multiplicados por 100.

Resposta esperada: Para se obtêrobter, no membro da direita, um número racional cuja parte decimal corresponda apenas a algarismos do período da dízima periódica.

Observe alguns números racionais representados na reta numérica.

ATIVIDADES

20. Copie os itens a seguir e substitua cada pelo sín-bolosímbolo ∈ ou ∉.

a) 2,5 ___ ℤ

∉

b) −3 ___ℕ

∉

c) 0 ___ ℤ

∈

d) $\frac{31}{3}$ ___ ℚ

∈

e) 54 ____ ℕ

∈

f) $\begin{array}{c}-\mathrm{5,8}\overline{3}\end{array}$ ____ ℤ

∉

g) 9 ___ ℚ

∈

h) −7,6 ___ ℚ

∈

21. Considere A = {x ∈ ℕ | x é divisor de 12} e B = {y ∈ ℤ | −1 ≤ y < 4} e determine os elemêntoselementos de cada conjunto a seguir.

a) A

21. a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

b) B

21. b) B = {−1, 0, 1, 2, 3}

c) A ∪ B

21. c) A ∪ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

d) A ∩ B

21. d) A ∩ B = {1, 2, 3}

22. escrêevaEscreva cada número racional a seguir na forma de número decimal.

a) $\frac{7}{9}$

$0,\overline{7}$

b) $\frac{26}{5}$

5,2

c) $\frac{83}{90}$

$\begin{array}{c}\mathrm{0,9}\overline{2}\end{array}$

d) $\frac{17}{250}$

0,068

23. escrêevaEscreva cada número racional a seguir na forma de fração irredutível.

a) 0,65

$\frac{13}{20}$

b) 8,024

$\frac{1003}{125}$

c) $\begin{array}{c}2,\overline{7}\end{array}$

$\frac{25}{9}$

d) $\mathrm{3,9}\overline{5}$

$\frac{178}{45}$

Página trinta e dois32

24. Desenhe um diagrama para representar os conjuntos ℕ e ℤ. Depois, com a côrcor de sua preferência, destaque a parte correspondente a ℤ − ℕ. Quais números pertencem ao conjunto correspondente a essa parte destacada?

Resposta nas Orientações para o professor.

25. Reúna-se a um colega para resolver os itens a seguir.

Respostas pessoais.

a) Escolham dois números racionais x e y, com x < y. Depois, determinem um número racional z quêque esteja entre x e y, ou seja, x < z < y.

b) Agora, entre os números racionais z e y quêque vocês indicaram no item anterior, determinem um número racional w, ou seja, z < w < y. Repita essa operação mais duas vezes com os números seguintes.

c) No entendimento de vocês, sempre será possível obtêrobter um número racional quêque esteja entre dois números racionais quaisquer? Escrevam um breve texto argumentando suas escôlhasescolhas.

d) Para verificar a proposição do item anterior, considerem dois números racionais a e b quaisquer, com a < b, e pensem em uma estratégia para obtêrobter um número racional c quêque esteja entre eles, ou seja, a < c < b. Para auxiliar, vocês podem representar esses números na reta numérica.

26. Na página 29, estudamos algumas frações na escrita do Egito antigo. Nos itens a seguir, estão indicadas, nessa escrita, frações não unitárias expressas pela soma de frações unitárias. Em cada item, determine, em notação atual, a adição e a fração não unitária representadas.

a)

26. a) $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$

b)

26. b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{15}=\frac{17}{30}$

c)

26. c) $\frac{1}{10}+\frac{1}{3}=\frac{13}{30}$

27. Marcelo precisa comprar um cano com 2,3 m de comprimento e cuja medida do diâmetro é indicada por $\frac{3}{4}$,ou seja, três quartos de polegada. Sabe-se quêque 1(segundos)"″ corresponde a aproximadamente 2,54 cm. pôdêmosPodemos afirmar quêque a medida do diâmetro dêêssedesse cano, em centímetro, está entre:

a) 0,75 e 1

b) 1 e 1,5

c) 1,5 e 2

d) 2 e 2,5

e) 2,5 e 3

alternativa c

• Todos os dados informados no enunciado desta atividade foram necessários para resolvê-la? Comente com um colega.

27. • Resposta esperada: Não, o comprimento do cano, por exemplo, é um dado desnecessário para a resolução desta atividade.

28. Flávia definiu o seguinte conjunto numérico: A = {x | x = 2n + 1, com n ∈ ℕ}.

a) escrêevaEscreva cinco elemêntoselementos de A.

28. a) Algumas respostas possíveis: 1; 3; 5; 7; 9; 11.

b) A qual dos itens a seguir corresponde o conjunto A?

I) Conjunto dos números naturais quadrados perfeitos.

II) Conjunto dos números naturais ímpares.

III) Conjunto dos números naturais primos.

28. b) II

c) Da mesma maneira quêque Flávia, utilize notação matemática para representar o conjunto B dos números naturais pares.

28. c) B = {x | x = 2n, com n ∈ ℕ}

d) Que elemento pertence simultaneamente aos conjuntos A e B? Justifique.

28. d) Resposta esperada: Nenhum elemento, pois A ⋃ B = ∅, uma vez quêque não há número quêque seja simultaneamente par e ímpar.

29. Você possivelmente já estudou a paridade dos números naturais; por exemplo, um número natural é necessariamente par ou ímpar. Vamos estudar propriedades relacionadas a esses números.

Para isso, junte-se a dois côlégascolegas, e calculem as potências indicadas a seguir.

1² 2² 3² 4² 5² 6²

7² 8² 9² 10² 11² 12²

29. 1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16; 5² = 25; 6² = 36; 7² = 49; 8² = 64; 9² = 81; 10² = 100; 11² = 121; 12² = 144

a) Comparem a base de cada potência com o resultado correspondente. Que regularidades, em relação à paridade dêêssesdesses números, vocês podem identificar?

Resposta pessoal.

b) De acôr-doacordo com as regularidades quêque vocês identificaram no item a e sem realizar cálculos, classifiquem os resultados das potências a seguir em número par ou ímpar.

342² 1.655² 2.778² 81²

29. b) número par: 342² e 2.778²; número ímpar: 1.655² e 81²

• Agora, utilizando calculadora, verifiquem se a classificação feita por vocês está correta.

Resposta pessoal.

c) Escrevam conjecturas para expressar as regularidades identificadas.

Resposta nas Orientações para o professor.

Professor, esta obra está atualizada conforme a grafia estabelecida pelo SI na publicação: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. iii. Tradução luso-brasileira da 9ª edição. Disponível em: https://livro.pw/vbxre. Acesso em: 27 jun. 2024.

Página trinta e três33

Números racionais e algumas aplicações

Compreender as características e propriedades dos números racionais é fundamental para a interpretação e a análise crítica de situações envolvendo diferentes áreas do conhecimento. A seguir, estudaremos alguns temas em quêque podemos perceber isso.

Densidade demográfica

Densidade demográfica é um indicador quêque representa a distribuição de habitantes em certa região, auxiliando na avaliação de possíveis riscos humanos e ambientais e contribuindo para o planejamento urbano. Esse cálculo corresponde à razão entre a quantidade de habitantes e a extensão territorial de uma região e costuma sêrser expresso em habitantes por quilômetro quadrado (hab./km²). Assim:

densidade demográfica = $\frac{\text{quantidade de habitantes}}{\text{extensão territorial}}$.

Observe, a seguir, como podemos calcular a densidade demográfica de Taboão da Serra (SP), o município com a maior densidade demográfica do Brasil.

PARA PENSAR

• É possível afirmar quêque o país com a menor população do mundo também é o de menor densidade demográfica? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois a densidade demográfica é uma medida quêque também está relacionada com a extensão territorial do país.

• Considere um município quêque, de um ano para outro, permaneceu com a mesma extensão territorial. Explique como a densidade demográfica dêêssedesse município pódepode ter aumentado nesse mesmo período.

Resposta esperada: A população dêêssedesse município aumentou nesse período.

Página trinta e quatro34

Índice de Massa Corporal (hí eme cêIMC)

O Índice de Massa Corporal (hí eme cêIMC) tem como objetivo avaliar, de maneira simples e rápida, o estado corporal de uma pessoa com relação à massa e à altura dela. No entanto, essa avaliação não é muito precisa, o quêque torna necessário consultar profissionais especializados, como um nutricionista ou um nutrólogo, para quêque ela seja realizada de maneira mais adequada.

Esse índice é calculado por meio da fórmula a seguir, quêque corresponde à razão entre a massa (m), em quilograma, e o quadrado da altura (a), em métrometro quadrado.

hí eme cêIMC = $\begin{array}{c}\frac{m}{a^2}\end{array}$

Para a avaliação de pessoas adultas, o resultado do cálculo do hí eme cêIMC deve sêrser comparado com a seguinte classificação, definida pela Organização Mundial da Saúde (hó ême ésseOMS).

BAIXO PESO

Menor quêque 18,5 kg/m²

PESO ADEQUADO

Maior ou igual a 18,5 e menor quêque 25 kg/m²

SOBREPESO

Maior ou igual a 25 e menor quêque 30 kg/m²

OBESIDADE

Maior ou igual a 30 kg/m²

Fonte dos dados: BIBLIOTECA VIRTUAL EM SAÚDE DA ATENÇÃO PRIMÁRIA À SAÚDE. Cálculo do índice de massa corporal. São Paulo: BVS APS, [2024]. Disponível em: https://livro.pw/zciua. Acesso em: 26 jun. 2024.

Considerando, por exemplo, uma pessoa adulta com 68,5 kg de massa e 1,70 m de altura, temos:

hí eme cêIMC = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{68,5}}{{\left(\mathrm{1,70}\right)}^2}=\frac{\mathrm{68,5}}{\mathrm{2,89}}\end{array}$≃ 23,7

Portanto, o hí eme cêIMC dessa pessoa é de aproximadamente 23,7 kg/m², quêque pódepode sêrser classificado como “peso adequado”, pois 18,5 < 23,7 < 25.

DICA

É importante considerar quêque o hí eme cêIMC não apresenta uma avaliação nutricional da pessoa. Essa informação somente pódepode sêrser ôbitídaobtida com auxílio de um profissional de saúde.

PARA PENSAR

O quêque uma pessoa adulta, cujo hí eme cêIMC é classificado como “sobrepeso”, tem de fazer para quêque esse índice seja ajustado de maneira a sêrser classificado como “peso adequado”? Justifique.

Resposta esperada: Por sêrser adulta, consideramos quêque a altura da pessoa permanecerá aproximadamente a mesma; então, para esse ajuste, ela deve reduzir a massa corporal.

NO MUNDO DO TRABALHO

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Taxa de mortalidade infantil

A taxa de mortalidade infantil é um importante indicador social, pois é a partir dela quêque pódepodemos investigar e interpretar algumas das condições de nascimento e de vida de uma população em determinado ano, possibilitando, por exemplo, aprimorar e corrigir problemas relacionados à saúde pública. O cálculo da taxa de mortalidade infantil em determinado ano e região pode sêrser realizado da seguinte maneira:

$\frac{\text{quantidade de óbitos de menores de 1 ano de idade}}{\text{quantidade de nascidos vivos}}$⋅ 1.000

A taxa de mortalidade infantil é classificada de acôr-doacordo com o resultado dêstedeste cálculo: baixa se menor quêque 20, média se de 20 até 49 e alta se maior ou igual a 50.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Rede Interagencial de Informações para a Saúde. Indicadores de mortalidade. Brasília, DF: MS: Ripsa, [2000]. Disponível em: https://livro.pw/psyuh. Acesso em: 26 jun. 2024.

Por exemplo, em 2020, o município de Uberaba (MG) registrou 3.861 nascidos vivos e 40 óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade. Nesse caso, a taxa de mortalidade infantil é dada por:

$\frac{40}{3861}$ ⋅ 1.000 ≃ 0,01036 ⋅ 1.000 = 10,36

Portanto, a taxa de mortalidade infantil nesse município, em 2020, foi de aproximadamente 10,36 óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade por 1.000 nascidos vivos, quêque pódepode sêrser classificada como baixa, pois 10,36 < 20.

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Uberaba: taxa de mortalidade infantil. Rio de Janeiro: hí bê gê héIBGE, [2020]. Disponível em: https://livro.pw/tawlm. Acesso em: 26 jun. 2024.

PARA PENSAR

O quêque pódepode representar uma baixa taxa de mortalidade infantil? E uma alta taxa de mortalidade infantil?

Respostas esperadas: Representa poucos óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade em relação à quantidade de nascidos vivos, o quêque pódepode indicar boas condições na saúde pública de uma região em cértocerto ano. Representa muitos óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade em relação à quantidade de nascidos vivos, o quêque pódepode indicar condições precárias na saúde pública de uma região em cértocerto ano.

ATIVIDADES

30. Para prevenir doenças e melhorar a qualidade de vida, Sueli procurou o auxílio de profissionais da saúde para fazer um acompanhamento nutricional e realizar atividades físicas supervisionadas. Observe a ficha de Sueli com as anotações do acompanhamento.

Com base nesse período de acompanhamento físico e nutricional, resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Como pódepode sêrser classificado o hí eme cêIMC de Sueli em fevereiro? Justifique.

obesidade, pois 31,6 > 30

b) Ao todo, de quantos quilogramas foi a redução de massa de Sueli?

19,1 kg

c) Um dos objetivos da reeducação alimentar e do treino propostos era ajustar o hí eme cêIMC de Sueli para sêrser classificado como “peso adequado”. É possível afirmar quêque esse objetivo foi alcançado no período apresentado? Justifique.

Resposta esperada: Sim, pois, para sêrser classificado como “peso adequado”, o hí eme cêIMC deve estar entre 18,5 kg/m² e 25 kg/m², e o hí eme cêIMC de Sueli, no mês de novembro, foi de aproximadamente 24,4 kg/m².

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d) Junte-se a um colega, e leiam o trecho de texto a seguir.

Ana não gosta do próprio corpo. Ela é magra, inclusive está abaixo do peso ideal para a altura quêque tem. Mas, quando chega perto do espêlhoespelho, a única imagem quêque consegue vêrver é de uma mulher obesa. Por isso, quando come, sente culpa. Ana também não se sente à vontade quando veste uma roupa. Acredita quêque nenhuma peça lhe cai bem. Apesar de sentir tanta angústia, não consegue falar com os amigos ou com a família sobre o assunto.

DISMORFIAS corporais e transtôrnostranstornos alimentares são doenças graves quêque precisam de atenção. In: BLÓGUIBLOG DA SAÚDE. [S. l.], 24 jun. 2016. Disponível em: https://livro.pw/uobfh. Acesso em: 26 jun. 2024.

Apesar de Ana sêrser uma personagem fictícia, casos semelhantes ao dela são cada vez mais comuns. Realizem uma breve pesquisa sobre distúrbios nutricionais e transtôrnostranstornos alimentares. Depois, escôlhamescolham um dos temas pesquisados e elaborem um texto trazendo informações sobre as principais causas, sintomas e possíveis tratamentos de saúde.

Resposta pessoal.

31. Observe a tabélatabela a seguir.

Registros de nascidos vivos e óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade em alguns estados brasileiros, 2020

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Brasil: taxa de mortalidade infantil. Rio de Janeiro: hí bê gê héIBGE, 2020. Localizável em: Selecionar local: Estados: Ano 2020. Disponível em: https://livro.pw/oemnv. Acesso em: 23 ago. 2024.

a) Utilizando uma calculadora, calcule a taxa de mortalidade infantil aproximada dos estados apresentados.

Amazonas: 13,9; Ceará: 11,6; Goiás: 11,4; Santa Catarina: 9,3; Rio de Janeiro: 12,6

b) As diferenças entre os valores calculados no item a são significativas? Comente.

31. b) Respostas possíveis: Sim, ao compararmos, por exemplo, a maior taxa de mortalidade calculada com a menor taxa de mortalidade calculada há uma diferença de 4,6 óbitos de menóresmenores de 1 ano de idade por 1.000 nascidos vivos, valor significativo quando expresso em números absolutos. Não, ao compararmos, por exemplo, a taxa de mortalidade do estado do Ceará com a de Goiás, a diferença é de apenas 0,2 óbito de menóresmenores de 1 ano de idade por 1.000 nascidos vivos.

c) Com um colega, investiguem quais fatores podem estar atrelados às diferenças nas taxas de mortalidade infantil apresentadas nos estados brasileiros. Depois, numa roda de conversa com toda a turma, discutam essa questão.

Resposta pessoal.

d) Formem grupos de três ou quatro integrantes e pesquisem qual é a taxa de mortalidade do município em quêque moram. Em seguida, discutam sobre ações quêque podem contribuir para a redução da taxa de mortalidade infantil, como: investir no atendimento pré-natal, ampliar a rê-derede de saneamento básico etc. Por fim, compartilhem com a comunidade escolar e local as informações pesquisadas e discutidas.

Resposta pessoal.

32. O Programa de Etiquetagem Veicular (PBE-V) é uma iniciativa do Inmetro quêque, entre outras funções, classifica os veículos produzidos no Brasil de acôr-doacordo com seu consumo de combustível.

Certa empresa compara a média de consumo semestral de cada veículo da frota com a média disponibilizada pelo PBE-V. Caso a média do veículo seja menor quêque 85% da média apresentada pelo PBE-V, o veículo é encaminhado para revisão. Observe os dados referentes aos veículos de cértocerto modelo dessa frota, cuja média de consumo indicada no PBE-V foi de 8,5 km/L.

Dados semestrais de veículos do modelo A

a) Calcule a média de consumo aproximada, em km/L, de cada um dos veículos indicados na tabélatabela.

32. a) veículo 1: 8,97 km/L; veículo 2: 7,5 km/L; veículo 3: 8,5 km/L; veículo 4: 6,97 km/L; veículo 5: 9,3 km/L

b) Qual dêêssesdesses veículos a empresa deve encaminhar à revisão?

veículo 4

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33. O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) foi criado em 2007 pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep) e formulado para medir a qualidade do aprendizado nacional e estabelecer metas para a melhoria do ensino. De maneira simplificada, para cada escola, o Ideb (I) pódepode sêrser obtídoobtido por meio da fórmula indicada a seguir.

I = t $\frac{M+P}{2}$

Nessa fórmula, t corresponde à taxa de aprovação dos alunos da unidade de ensino, e M e P correspondem, respectivamente, às notas médias de Matemática e de Língua Portuguesa nos exames oficiais do Ministério da Educação (MÉCMEC).

Fontes dos dados: BRASIL. Ministério da Educação. Ideb: apresentação. Brasília, DF: MÉCMEC, c2018. Disponível em: https://livro.pw/eyzkn.

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Nota informativa do Ideb 2023. Brasília, DF: MÉCMEC, Inep: 2023. p. 6. Disponível em: https://livro.pw/wzuqx. Acessos em: 23 ago. 2024.

Observe os dados de certa escola para três níveis de ensino no ano de 2023 e responda às kestõesquestões a seguir.

Índices educacionais por nível de ensino, 2023

Fonte: Dados fictícios.

a) Que nível de ensino teve a maior taxa de aprovação nessa escola?

Ensino Fundamental – Anos iniciais

b) Calcule o Ideb dessa escola para cada um dos níveis de ensino apresentados.

33. b) Ensino Fundamental – Anos iniciais: 5,684; Ensino Fundamental – Anos finais: 5,232; Ensino Médio: 3,69

• Converse com o professor e os côlégascolegas sobre a importânssiaimportância do Ideb para o desenvolvimento de políticas públicas na área da educação.

Resposta pessoal.

34. Observe a tabélatabela.

População e extensão territorial das regiões do Brasil, 2022

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. tabélaTabela 9514: população residente, por sexo, idade e forma de declaração de idade. Rio de Janeiro: hí bê gê héIBGE: Sidra, 2023. Disponível em: https://livro.pw/nhaft. Acesso em: 26 jun. 2024.

a) Calcule a densidade demográfica de cada região do Brasil, em 2022.

34. a) valores aproximados: Norte: 4,51 hab./km²; Nordeste: 35,21 hab./km²; sudésteSudeste: 91,76 hab./km²; Sul: 51,91 hab./km²; Centro-Oeste: 10,14 hab./km²

b) Você concórdaconcorda com a afirmativa a seguir? Justifique sua resposta, com base na tabélatabela e nos cálculos realizados no item a.

A distribuição da população brasileira, entre as cinco regiões do país, ocorre de maneira desigual.

34. b) Resposta esperada: Sim, pois a densidade demográfica varia consideravelmente de uma região para outra do Brasil.

c) O conhecimento sobre a densidade demográfica de uma região permite entender a dinâmica populacional e realizar um planejamento mais eficaz para enfrentar diferentes desafios.
Junte-se a um colega, e pesquisem aspectos, positivos e negativos, quêque podem decorrer da alta e da baixa densidade demográfica de uma região e os tipos de ação ou de planejamento quêque podem sêrser realizados para lidar com os pontos levantados. Em seguida, investiguem a densidade demográfica do município em quêque moram e façam uma análise comparativa com base na pesquisa quêque realizaram anteriormente. Ao final, elaborem um relatório com essas informações e compartilhem-no com a comunidade local.

Resposta pessoal.

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Conjunto dos números irracionais (𝕀)

Estudamos quêque há indícios de quêque o desenvolvimento da ideia de número racional teve início a partir de situações práticas envolvendo medições. Ao longo da história da humanidade, acreditou-se, em muitos períodos, quêque os números racionais eram suficientes para expressar diferentes situações observadas na natureza ou desenvolvidas pelo sêrser humano.

Apesar de essa crença ter prevalecido em alguns momentos, sabemos quêque, por meio da história, há cerca de 2.500 anos um grupo de estudiosos na Grécia antiga descobriu a existência de outro tipo de número, o quêque, na época, causou uma crise nos fundamentos da Matemática até então desenvolvidos.

Os responsáveis por essa descoberta foram os integrantes da chamada Escola Pitagórica. Eles estudaram uma situação quêque não podia sêrser expressa por um número racional, no caso, o valor da medida da diagonal de um quadrado de lado unitário. Para determinar essa medida, eles utilizaram o teorema de Pitágoras.

d² = 1² + 1²

d² = 1 + 1

d² = 2

DICA

Lembre-se: de acôr-doacordo com o teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida a da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas b e c dos catetos.

a² = b² + c²

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

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Assim, concluiu-se quêque a medida d correspondia a um número positivo cujo quadrado era igual a 2. Foi um grande problema para os pitagóricos constatar quêque esse número, quêque expressa a medida da diagonal de um quadrado de lado 1, não era racional. Em notação atual, esse número é indicado por $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ .

pôdêmosPodemos notar quêque $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ é um número entre 1 e 2, pois $\underset{1}{\underbrace{1^2}}$ < 2 < $\frac{2^2}{4}$. De modo análogo, utilizamos uma calculadora para verificar outras aproximações para $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ .

• 1,4 < $\sqrt[]{2}$ < 1,5, pois < 2 < $\underset{\mathrm{1,96}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,4}\right)}^2}}$ < 2 < $\underset{\mathrm{2,25}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,5}\right)}^2}}$.

• 1,41 < $\sqrt[]{2}$ < 1,42, pois < 2 < $\underset{\mathrm{1,9881}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,41}\right)}^2}}$ < $\underset{\mathrm{2,0164}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,42}\right)}^2}}$.

• 1,414 < $\sqrt[]{2}$ < 1,415, pois $\underset{\mathrm{1,999396}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,414}\right)}^2}}$ < 2 < $\underset{\mathrm{2,002225}}{\underbrace{{\left(\mathrm{1,415}\right)}^2}}$.

Ao continuarmos esse processo, notamos quêque, por mais quêque aumentemos o número de casas decimais das aproximações para $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$, o valor ao quadrado não será igual a 2. Observamos, também, quêque parece não havêerhaver periodicidade na representação decimal. Ou seja, é possível quêque raiz de 2 não seja um número racional por não ter representação decimal finita ou infinita e periódica (não sêrser uma dízima periódica). De fato, podemos demonstrar isso. Observe.

PARA PENSAR

Utilizando o processo apresentado, e com o auxílio de uma calculadora, determine o número racional, com quatro casas decimais, cujo valor mais se aproxima de $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$.

1,4142

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DICA

Nessa demonstração, foram utilizadas as seguintes propriedades, quêque também podem sêrser demonstradas.

• Ao multiplicar qualquer número natural por 2, o produto é par.

• Se o quadrado de um número é par, então esse número também é par.

Agora, obissérveobserve como podemos representar geometricamente $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ na reta numérica.

1

Representamos um triângulo retângulo isósceles ABC, com catetos medindo 1 u, vértices A e B sobre a origem e abscissa 1 da reta numérica, respectivamente.

2

Temos quêque a medida da hipotenusa $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ é dada por:

(AC)² = (AB)² + (BC)² ⇒ (AC)² = 1² + 1² ⇒ AC = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$

Assim, com a abertura de um compasso igual a $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ e ponta-seca na origem da reta numérica, traçamos um arco quêque cruza essa reta em um ponto correspondente a $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ .

Página quarenta e um41

Ao serem representados na forma de número decimal, os números irracionais têm infinitas casas decimais sem, porém, um período. De maneira simplificada, podemos dizêrdizer quêque um número irracional é um número cuja representação decimal não é uma dízima periódica nem um decimal exato. Observe, por exemplo, as quinze primeiras casas decimais de $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ obtidas em um programa de computador.

$\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ ≃ 1, 414213562373095

Observe outros exemplos de números irracionais.

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}-\sqrt[5]{6}\end{array}$

c) $1+\begin{array}{c}\sqrt[3]{4}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}-3$

e) $\begin{array}{c}\sqrt[3]{5}\end{array}$

f) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{10}}{2}\end{array}$

É possível demonstrar quêque a raiz quadrada de todo número natural quêque não é um quadrado perfeito é um número irracional.

Acompanhe algumas propriedades relacionadas a números irracionais.

• Sejam a ∈ ℕ, n ∈ ℕ e n > 1; se $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a}\end{array}$ não é um número inteiro, então $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a}\end{array}$ é um número irracional.

Exemplo:

$\begin{array}{c}\sqrt[3]{6}\end{array}$ não é um número inteiro, pois 1³ < 6 < 2³, ou seja, 1 < $\begin{array}{c}\sqrt[3]{6}\end{array}$ < 2. Portanto, $\begin{array}{c}\sqrt[3]{6}\end{array}$ é um número irracional.

• A soma ou a diferença de um número racional com um número irracional é um número irracional.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ + 2 é um número irracional, pois é um número irracional e 2 é um número racional.

b) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{5}\end{array}$ − 0,5 é um número irracional, pois $\begin{array}{c}\sqrt[4]{5}\end{array}$ é um número irracional e 0,5 é um número racional.

• O produto ou o quociente de um número racional não nulo por um número irracional também é um número irracional.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\cdot 4=4\sqrt[]{7}\end{array}$ é um número irracional, pois $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ é um número irracional e 4 é um número racional.

b) −5 ∶ $\begin{array}{c}\sqrt[3]{2}\end{array}$ é um número irracional, pois −5 é um número racional e $\begin{array}{c}\sqrt[3]{2}\end{array}$ é um número irracional.

O conjunto 𝕀 não é fechado para nenhuma das quatro operações básicas, isto é, a soma, a diferença, o produto e o quociente de dois números irracionais podem não sêrser irracionais.

PARA PENSAR

• Consulte as propriedades apresentadas e verifique se $\begin{array}{c}2\sqrt[]{16}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ são números irracionais. Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Temos quêque $\begin{array}{c}2\sqrt[]{16}\end{array}$ não é irracional, pois $\begin{array}{c}2\sqrt[]{16}\end{array}$ = 2 ⋅ 4 = 8. Já $\begin{array}{c}\sqrt[3]{10}\end{array}$ é irracional, pois 2 < $\begin{array}{c}\sqrt[3]{10}\end{array}$ < 3.

• Pense em algumas situações em quêque a soma, a diferença, o produto e o quociente de dois números irracionais não resultam em um número irracional.

Resposta possível: Soma: $\begin{array}{c}\left(2+\sqrt[]{2}\right)+\left(2-\sqrt[]{2}\right)\end{array}$;diferença: ((pi)"π + 1) − (pi)"π; produto: $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2}\end{array};\mathrm{}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}:\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}\end{array}$.

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O número irracional (pi)"π

O número (pi)"π (lê-se: pi), quêque corresponde à razão entre o comprimento C e o diâmetro d de uma circunferência qualquer, também é um número irracional, ou seja, (pi)"π ∈ 𝕀.

Observe as vinte primeiras casas decimais de (pi)"π, obtidas em um programa de computador.

(pi)"π ≃ 3,14159265358979323846

Como esse número é irracional, sua expressão decimal é infinita e não periódica.

Embora a fração $\frac{c}{d}$ corresponda à razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência qualquer, o número (pi)"π não é racional. Isso ocorre porque, em uma circunferência, o comprimento e o diâmetro são medidas incomensuráveis entre si, ou seja, estabelecida uma unidade de medida de comprimento qualquer, se a medida d corresponder a um número racional, a medida C corresponderá a um número irracional, e vice-versa.