UNIDADE 2
RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS E NOÇÃO DE FUNÇÃO

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Em seu entendimento, qual é a importânssiaimportância das unidades de medida padronizadas?

2. Explique o motivo quêque levou à redefinição do quilograma no SI.

3. Cite alguns exemplos de outras grandezas e as unidades de medida correspondentes. Se necessário, realize uma pesquisa.

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Grandezas

Na abertura desta Unidade, lemos informações relacionadas ao Sistema Internacional de Unidades (SI) e a alteração da definição da unidade de medida quilograma (kg), relacionada à grandeza massa. No dia a dia e em seus estudos, você provavelmente já trabalhou com diversas grandezas e unidades de medida. Agora, vamos retomar e aprofundar esse estudo.

Considere a situação a seguir.

Treinos de caminhada ou corrida, com orientações de um profissional capacitado, são considerados boas opções de atividade física. Alguns aplicativos para smartphone podem sêrser usados para acompanhar treinos como esses. Observe o exemplo a seguir.

PARA AMPLIAR

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Utilizado na maioria dos países, o SI busca padronizar as medições e facilitar as relações entre o comércio local e o internacional. Observe.

Grandezas e unidades de base do SI

Fonte dos dados: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. 6. Tradução luso-brasileira da 9ª edição. Disponível em: https://livro.pw/vbxre. Acesso em: 27 jun. 2024.

Além das unidades estabelecidas para as grandezas de base do SI, consideramos seus múltiplos e submúltiplos. Em relação à unidade de comprimento métrometro, por exemplo, temos:

Observe como podemos converter 12 m para:

• quilômetro: 12 m = $12\cdot \underset{\mathrm{0,001}\text{km}}{\underbrace{1\text{m}}}$= 12 ⋅ 0,001 km = 0,012 km;

• decâmetro: 12 m = $12\cdot \underset{\mathrm{0,1}\text{dam}}{\underbrace{1\text{m}}}$ = 12 ⋅ 0,1 dam = 1,2 dam;

• centímetro: 12 m = $12\cdot \underset{100\text{cm}}{\underbrace{1\text{m}}}$ =$$12 ⋅ 100 cm = 1.200 cm;

• milímetro: 12 m = $12\cdot \underset{1000\text{mm}}{\underbrace{1\text{m}}}$ =12 ⋅ 1.000 mm = 12.000 mm.

No SI, existem também as grandezas derivadas, cujas unidades de medida correspondem a produtos ou razões de unidades de base.

Exemplos de grandezas e unidades derivadas do SI

Fonte dos dados: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. 14-15. Tradução luso-brasileira da 9ª edição. Disponível em: https://livro.pw/vbxre. Acesso em: 27 jun. 2024.

PARA PENSAR

Pense em uma situação do dia a dia em quêque seja necessário realizar conversão de unidades entre os múltiplos e submúltiplos do métrometro e explique a um colega.

A resposta depende do tema escolhido pelo estudante.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. A densidade d de um corpo é a razão entre sua massa m e seu volume v. Por exemplo, a prata tem densidade de 10,5 g/cm³, ou seja, cada 1 cm³ de prata tem 10,5 g. Observe os objetos representados a seguir e algumas de suas medidas. (As imagens apresentadas estão fora de proporção.)

Com base nessas informações, determine:

a) a densidade do vidro, em grama por centímetro cúbico;

b) o volume do objeto decorativo em alumínio, em centímetro cúbico;

c) a massa do banco de ferro, em grama.

Resolução

Para resolver esses itens, podemos utilizar a expressão d = $\frac{m}{v}$,sendo d a densidade, m a massa e v o volume.

a) d = $\frac{1560}{600}$ = 2,6; ou seja, 2,6 g/cm³.

b) 2,7 = $\frac{405}{v}\Rightarrow v=\frac{405}{\mathrm{2,7}}$ = 150; ou seja, 150 cm³.

c) 7,9 = $\frac{m}{1140}$ ⇒ m = 7,9 ⋅ 1.140 = 9.006; ou seja, 9.006 g.

R2. (Enem/MEC) Numa atividade de treinamento realizada no Exército de um determinado país, três equipes – Alpha, Beta e Gama – foram designadas a percorrer diferentes caminhos, todos com os mesmos pontos de partida e de chegada.

• A equipe Alpha realizou seu percurso em 90 minutos com uma velocidade média de 6,0 km/h.

• A equipe Beta também percorreu sua trajetória em 90 minutos, mas sua velocidade média foi de 5,0 km/h.

• Com uma velocidade média de 6,5 km/h, a equipe Gama concluiu seu caminho em 60 minutos.

Com base nesses dados, foram comparadas as distâncias d_Beta; d_Alpha e d_Gama percorridas pelas três equipes.

A ordem das distâncias percorridas pelas equipes Alpha, Beta e Gama é

a) d_Gama < d_Beta < d_Alpha

b) d_Alpha = d_Beta < d_Gama

c) d_Gama < d_Beta = d_Alpha

d) d_Beta < d_Alpha < d_Gama

e) d_Gama < d_Alpha < d_Beta

DICA

A velocidade média v é dada pela razão entre a distância d e o tempo t de percurso.

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Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Considerando v a velocidade média e t o tempo da realização do percurso das equipes, com base no enunciado, temos:

• v_Alpha = 6 km/h e t_Alpha = 90 min; • v_Beta = 5 km/h e t_Beta = 90 min; • v_Gama = 6,5 km/h e t_Gama = 60 min.

Precisamos determinar a ordem das distâncias percorridas pelas equipes.

2ª ELABORAR UM PLANO

Primeiro, é necessário converter o tempo de minuto (min) para hora (h), uma vez quêque, nessa situação, as velocidades médias estão expressas em quilômetro por hora (km/h). Depois, basta substituir os valores de velocidade (indicados no enunciado) e de tempo (convertidos de minuto para hora) na expressão v = $\frac{d}{t}$

3ª EXECUTAR O PLANO

Como 1 h = 60 min, realizamos as conversões:

• t_Alpha = 90 min = $\frac{90}{60}$ h = 1,5 h; • t_Beta = 90 min = $\frac{90}{60}$ h = 1,5 h; • t_Gama = 60 min = $\frac{60}{60}$ h = 1 h.

Assim, substituímos os tempos e as velocidades na expressão indicada anteriormente:

• v_Alpha = $\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Alpha}}}{t_{\text{Alpha}}}\Rightarrow 6=\frac{d_{\text{Alpha}}}{\mathrm{1,5}}\end{array}$ ⇒ ^d Alpha= 9; ou seja, 9 km;

• v_Beta = $\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Beta}}}{t_{\text{Beta}}}\Rightarrow 5=\frac{d_{\text{Beta}}}{\mathrm{1,5}}\end{array}$ ⇒ ^d Beta= 7,5; ou seja, 7,5 km;

• v_Gama = $\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Gama}}}{t_{\text{Gama}}}\Rightarrow \mathrm{6,5}=\frac{d_{\text{Gama}}}{1}\end{array}$ ⇒ ^d Gama= 6, 5; ou seja, 6,5 km.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido, podemos calcular a velocidade média de cada equipe com base na distância calculada e no tempo indicado no enunciado.

• v_Alpha =$\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Alpha}}}{t_{\text{Alpha}}}\Rightarrow v_{\text{Alpha}}=\frac{9}{\mathrm{1,5}}\end{array}$ = 6; ou seja, 6 km/h;

• v_Beta = $\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Beta}}}{t_{\text{Beta}}}\Rightarrow v_{\text{Beta}}=\frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{1,5}}\end{array}$ = 5; ou seja, 5 km/h;

• v_Gama = $\begin{array}{c}\frac{d_{\text{Gama}}}{t_{\text{Gama}}}\Rightarrow v_{\text{Gama}}=\frac{\mathrm{6,5}}{1}\end{array}$ = 6,5; ou seja, 6,5 km/h.

Como as velocidades médias calculadas correspondem às indicadas no enunciado, podemos concluir quêque as distâncias obtidas estão corretas.

Portanto, a alternativa a é a correta, pois 6,5 < 7,5 < 9, ou seja, d_Gama < d_Beta < d_Alpha.

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Outras grandezas

Além das grandezas de base e das grandezas derivadas, adotadas no SI, há diversas outras quêque são utilizadas em situações de diferentes áreas do conhecimento, como aquelas relacionadas à informática. Estudaremos, a seguir, algumas dessas grandezas.

Armazenamento de dados

Você conhece o sistema de armazenamento de dados em nuvem?

O armazenamento em nuvem permite quêque dados sêjamsejam “guardados” em um servidor ôn láinion-line com grande capacidade de armazenamento. Nesse tipo de sistema, arquivos digitais podem sêrser salvos, acessados e baixados a distância, em qualquer localidade com acesso a uma rê-derede de internet. Acompanhe.

A capacidade de armazenamento de dados disponibilizada aos usuários de sêrserviços de armazenamento em nuvem costuma ser expressa com a unidade de medida baite (B) ou um de seus múltiplos. Um baite (1 B) corresponde ao espaço ocupado por um caractere e equivale a 8 bites, sêndosendo o bite (b) a menor unidade de informação quêque pódepode sêrser armazenada por um computador.

Observe conversões entre o baite e alguns de seus múltiplos.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Em cada item, realize as conversões indicadas.

a) 10 kB para baite.

b) 640 MB para gigabaite.

c) 2 TB para megabaite.

Resolução

a) 10 kB = 10 ⋅$\underset{1024\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{k}\mathrm{B}}}\mathrm{}$ = 10 ⋅ 1.024 B = 10.240 B

b) 640 MB = 640 $\underset{\frac{1}{1024}\mathrm{G}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{M}\mathrm{B}}}=640\cdot \frac{1}{1024}\mathrm{G}\mathrm{B}$ = 0,625 GB

c) 2 TB = $2\cdot \underset{1024\mathrm{G}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{T}\mathrm{B}}}=2\cdot 1024\cdot \underset{1024\mathrm{M}\mathrm{B}}{\underbrace{1\mathrm{G}\mathrm{B}}}=$ 2 ⋅ 1.024 ⋅ 1.024 MB = 2.097.152 MB

PARA PENSAR

Indique uma medida qualquer utilizando um dos múltiplos do baite como unidade. Depois, converta essa medida para outras duas unidades de medida de armazenamento.

Resposta pessoal.

R4. Uma agência de marketing digital produz vídeos para postagens em rêdesredes sociais. Por segurança, a agência pretende fazer um backup, em um HD externo, de 44.000 vídeos já produzidos. Cada vídeo dêêssesdesses, em média, tem cerca de 1min30s de duração e 100 MB de tamãnhotamanho. Considerando as médias de duração e tamãnhotamanho de cada vídeo produzido, determine quais dos HDs externos representados a seguir podem sêrser utilizados para esse backup.

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução

Considerando quêque cada vídeo produzido pela agência tem 100 MB, calculamos quantos megabaites ao todo têm os 44.000 vídeos:

44.000 ⋅ 100 = 4.400.000, ou seja, 4.400.000 MB.

Como a capacidade dos HDs externos indicados nas alternativas é dada em gigabaite e terabaite, fazemos a conversão de 4.400.000 MB em gigabaite e terabaite:

4.400.000 MB = $4400000\cdot \underset{\frac{1}{1024}\text{GB}}{\underbrace{1\text{MB}}}$ $=4400000\cdot \frac{1}{1024}\mathrm{G}\mathrm{B}$≃ 4.297 GB

4.297 GB = $4297\cdot \underset{\frac{1}{1024\text{TB}}}{\underbrace{1\text{GB}}}=4297\cdot \frac{1}{1024}\text{TB}$ ≃ 4,2 TB

Comparando os resultados obtidos com as capacidades dos HDs externos indicados nas alternativas, temos:

• 250 GB < 500 GB < 4.297 GB

• 4 TB < 4,2 TB < 8 TB < 16 TB

Portanto, os únicos HDs externos capazes de armazenar todos os 44.000 vídeos produzidos pela agência são aqueles indicados nas alternativas b e e.

PARA PENSAR

Todos os dados apresentados no enunciado da atividade foram utilizados na resolução? Comente.

Não. Por exemplo, o tempo médio de duração dos vídeos não foi utilizado na resolução.

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Taxa de transferência de dados

Quando baixamos (dáum-lôudedownload) ou enviamos (upload) um arquivo eletronicamente, podemos indicar a quantidade de dados quêque é transferida em um intervalo de tempo pela chamada taxa de transferência.

Uma taxa de transferência de dados de 32 Mbps (lê-se: trinta e dois megabaites por segundo) indica quêque a cada segundo, em média, são transferidos 32 megabaites (Mb) de dados. Por exemplo, considerando essa taxa de transferência, podemos estimar quanto tempo seria necessário para transferir um arquivo de 20 MB realizando as etapas a seguir.

1ª) Converter o tamãnhotamanho do arquivo de megabaites para megabaites.

Como 1 B equivale a 8 b, temos quêque 1 MB equivale a 8 Mb. Assim:

20 MB = 20 ⋅ $\underset{8\text{Mb}}{\underbrace{1\text{MB}}}$ = 20 ⋅ 8 Mb = 160 Mb

2ª) Determinar o tempo para a transferência do arquivo.

Organizando as informações, obtemos:

Como as grandezas tamãnhotamanho do arquivo e tempo são diretamente proporcionais, temos:

$\frac{32}{160}=\frac{1}{x}$ ⇒ 32x = 160 ⇒ x = $\frac{160}{32}$ = 5

Portanto, com uma taxa de transferência de 32 Mbps, seriam necessários 5 s para transferir um arquivo de 20 MB.

ATIVIDADES

1. Em cada item, identifique a qual grandeza as medidas indicadas correspondem: comprimento, massa ou tempo. Depois, copie a igualdade e substitua ____ por um número quêque a torne verdadeira.

a) 8,5 t = ____ kg

massa; 8.500

b) ____ m = 90 km

comprimento; 90.000

c) 10.800 s = ____ h

tempo; 3

d) ____ dm = 7 mm

comprimento; 0,07

e) ____ kg = 1.650 g

massa; 1,65

f) 4,2 min = ____ s

tempo; 252

2. Converta:

a) 4 TB para gigabaite.

4.096 GB

b) 512 B para quilobaite.

0,5 kB

c) 3.072 kB para megabaite.

3 MB

d) 0,5 GB para quilobaite.

524.288 kB

3. jãJean utiliza uma conta virtual para armazenar na nuvem os arquivos de fotografia do seu smartphone. Ele já utilizou 1.460 MB da capacidade total disponível dessa conta, quêque é de 2 GB.

Sabendo quêque cada arquivo de fotografia ôbitídaobtida por jãJean tem cerca de 4 MB, quantas fotografias ele ainda pódepode armazenar nessa conta?

147 arquivos de fotografia

4. Estudamos quêque a densidade de um material é expressa pela razão entre sua massa e seu volume. Com base nessa ideia, determine os valores correspondentes às lêtrasletras em destaque a seguir.

A: 2,4 g/cm³; B: aproximadamente 0,35 cm³; C: 42 g

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5. Observe as informações sobre o planêtaplaneta Marte e resôuvaresolva as kestõesquestões.

Dados marcianos

Diâmetro: 6.792 km

Distância média do Sol: 227,9 milhões de km

Período orbital: 687 dias terrestres

Período de rotação: 24,62 horas

Temperatura de superfícíesuperfície: −125 °C a 25 °C

Número de satélites: 2

a) As medidas indicadas correspondem a quais grandezas?

5. a) comprimento: diâmetro e distância média do Sol; tempo: período orbital e período de rotação; tempera-túratemperatura: tempera-túratemperatura de superfícíesuperfície

b) Expresse a medida do diâmetro de Marte em:

• hectômetro;

67.920 hm

• centímetro;

679.200.000 cm

• métrometro.

6.792.000 m

c) Qual é a amplitude térmica da superfícíesuperfície de Marte?

150 °C

d) Determine o período de rotação de Marte em hora, minuto e segundo.

24h37min12s

e) Com dois côlégascolegas, façam o quêque se pede nos itens a seguir, recorrendo, quando necessário, a sáitessites e livros quêque abordem assuntos de Física e de Astronomia.

Pesquisa e elaboração dos estudantes.

• Escolham um dos planêtasplanetas do Sistema Solar e pesquisem suas principais medidas, conforme o qüadroquadro apresentado no início da atividade. Em seguida, elaborem um cartaz com as informações encontradas. Ao final, exponham aos côlégascolegas da turma os cartazes elaborados.

• Investiguem como são determinadas atualmente as medidas: diâmetro de um planêtaplaneta e distância média do Sol. Por fim, redijam um pequeno texto sistematizando as informações pesquisadas.

6. Leia o trecho de um artigo publicado em um sáitisite de divulgação científica e responda às kestõesquestões.

[...] a grande dificuldade de aceitar os movimentos da Terra deve-se ao fato de quêque não sentimos isso acontecer de uma maneira dirétadireta. A velocidade de rotação da Terra é de aproximadamente 1.675 km/h e a de translação, 109 mil km/h – extremamente altas, considerando quêque, em nosso cotidiano, nos deslocamos a velocidades na ordem de 100 km/h. Porém, é difícil sentir essa velocidade vertiginosa porque também estamos nos movendo junto com o planêtaplaneta.

Uma imagem para ajudar a compreender: quando estamos dentro de um automóvel percorrendo uma estrada reta com velocidade constante, não percebemos quêque estamos em movimento se olharmos apenas para dentro do carro. Se olhamos para a estrada, o quêque vemos são os objetos se deslocando para trás. Parece estranho, mas, do nosso ponto de vista, estamos parados. O réstoresto do mundo é quêque se móvemove. Esse é o conceito de relatividade do movimento, percebido pelo físico e astrônomo italiano Galileu Galilei no komêssocomeço do século 17.

OLIVEIRA, Adilson de. O Sol vai parar. Rio de Janeiro: Ciência Hoje, c2024. Disponível em: https://livro.pw/unpvp. Acesso em: 26 jun. 2024.

a) De quêque movimentos da Terra esse trecho trata?

rotação e translação

b) Quais grandezas e unidades de medida são citadas nesse trecho?

6. b) grandeza: velocidade; unidade de medida: quilômetro por hora (km/h)

c) Com base em seu conhecimento sobre os movimentos da Terra e nas informações dêêssedesse trecho, estime a medida do comprimento da linha do equador. Depois, explique a um colega como você rêzouvêoresolveu essa questão.

6. c) Resposta esperada: Como o movimento de rotação da Terra tem duração aproximada de 24 h, podemos multiplicar esse valor pela medida da velocidade de rotação da Terra, quêque é de aproximadamente 1.675 km/h, para estimar a medida do comprimento da linha do equador em 40.200 km (1.675 ⋅ 24 = 40.200).

7. Um objeto sólido com 180 g de massa e 100 cm³ de volume encontra-se no fundo de um recipiente com 500 cm³ de um líquido A de densidade igual a 0,9 g/cm³. Ao adicionar 500 cm³ de um líquido B nesse recipiente, é formada uma mistura homogênea e o objeto passa a flutuar na mistura. Qual deve sêrser a densidade mínima do líquido B?

2,7 g/cm³

DICA

A densidade dessa mistura pódepode sêrser determinada por uma média ponderada, considerando a proporção da mistura e a densidade de cada líquido.

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8. Leia o trecho de um artigo publicado em um sáitisite de divulgação científica e responda às kestõesquestões.

Algumas propriedades distinguem os vírus de outros microrganismos. A primeira está relacionada ao seu tamãnhotamanho, o qual pódepode variar de 10 a 300 nm. Dessa forma, são considerados os menóresmenores microrganismos existentes, podendo sêrser visualizados apenas através da microscopíamicroscopia eletrônica. Para fins de comparação, lembramos quêque as bactérias e as hemácias possuem, em média, 10 a 15 vezes o tamãnhotamanho dos vírus, o quêque possibilita a identificação dêstesdestes por meio da microscopíamicroscopia óptica.

istífensSTEPHENS, Paulo Roberto Soares éti áuet al. Virologia. In: MOLINARO, Etelcia Moraes; CAPUTO, Luzia Fátima Gonçalves; AMENDOEIRA, Maria Regina Reis (org.). Conceitos e métodos para formação de profissionais em laboratórios de saúde. Rio de Janeiro: Escola Politécnica de Saúde Joaquim Venâncio: Instituto ôsváldoOswaldo Cruz, 2009. v. 4, p. 126. Disponível em: https://livro.pw/lmhpy. Acesso em: 27 jun. 2024.

a) Em uma régua escolar comum, a distância entre duas marcações consecutivas indica a medida de 1 mm, quêque corresponde a 10⁶ nanometros (nm). Determine, em milímetro, as dimensões mínima e mássimamáxima do tamãnhotamanho de um vírus.

8. a) de 0,00001 mm ou 10⁻⁵ mm até 0,0003 mm ou 3 ⋅ 10⁻⁴ mm

b) A imagem a seguir é uma ampliação do vírus SARS-CoV-2, quêque causa a covid-19. méçaMeça o diâmetro dêêssedesse vírus, indicado na imagem, e expresse, em nanômetro, a medida ôbitídaobtida.

120 nm

c) Em média, qual é o intervalo de tamãnhotamanho de uma bactéria? Expresse as medidas em métrometro.

8. c) de 0,0000001 m (10⁻⁷ m) até 0,0000045 m (4,5 ⋅ 10⁻⁶ m)

9. Qual é o tempo estimado para realizar o dáum-lôudedownload de um vídeo de 275 MB, com uma taxa de transferência média de 50 Mbps?

44 s

10. Elis organizou alguns arquivos em uma pasta armazenada em seu computador para fazer um backup, isto é, para fazer uma cópia de segurança dêêssesdesses arquivos em outro dispositivo. Observe informações sobre esses arquivos.

Elis vai utilizar apenas uma das opções de dispositivos indicados nas alternativas a seguir para fazer o backup dêêssesdesses arquivos. Quais opções ela poderá escolher?

a) 1 pen dráividrive de 16 GB.

b) 1 HD externo de 1 TB.

c) 5 dê vê dêDVDs de 4,7 GB cada.

d) 1 cartão de memória de 32 GB.

e) 10 cê dêCDs de 700 MB cada.

Ela poderá escolher os dispositivos das alternativas b, c ou d.

11. Um problema comum após usar um smartphone por algum tempo é a falta de espaço de armazenamento. Em duplas, resolvam as kestõesquestões a seguir.

a) Pesquisem informações sobre o quêque é possível fazer para otimizar o espaço disponível de armazenamento nesses dispositivos.

Pesquisa dos estudantes.

b) Com os dados da pesquisa, elaborem uma questão envolvendo as medidas de capacidade de armazenamento de dados. Em seguida, tróquemtroquem os enunciados e resolvam um problema elaborado por outro grupo. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração dos estudantes.

12. Observe algumas informações sobre o dáum-lôudedownload de um programa de antivírus.

a) Quantos megabites tem o arquivo dêêssedesse dáum-lôudedownload? E quantos megabaites?

1.176 Mb; 147 MB

b) Se o dáum-lôudedownload dêêssedesse arquivo fosse realizado com uma taxa de transferência de 40 Mbps, qual seria o tempo estimado indicado?

29,4 s

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13. A preocupação com a sustentabilidade tem se tornado um assunto global e cada vez mais urgente. Em meio a esse cenário, a indústria da tecnologia desen vólvedesenvolve inúmeras pesquisas e recursos voltados para a preservação ambiental.

Entre esses recursos, o armazenamento de dados em nuvem vêmvem desempenhando um importante papel na redução do impacto ambiental. Alguns dos benefícios sustentáveis do armazenamento em nuvem são as reduções:

• de resíduos eletrônicos, pois as empresas diminuem a necessidade de atualizações de equipamentos eletrônicos e, consequentemente, o descarte dos equipamentos obsoletos;

• na emissão de CO₂, uma vez quêque, com menos servidores locais, a empresa reduz o consumo de energia elétrica e, consequentemente, a emissão de carbono associada à geração dessa energia;

• da utilização de papel, já quêque, com a virtualização dos documentos, é dispensável ou pouco recomendado o uso de papel para a impressão dêêssesdesses documentos.

a) Com base nas informações apresentadas no enunciado, responda aos itens a seguir.

• O enunciado ressalta de maneira positiva quêque tipo de iniciativa?

13. a) • Resposta esperada: O desenvolvimento de tecnologias e recursos voltados à preservação do meio ambiente.

• O quêque a tecnologia do armazenamento em nuvem permite? E quais são seus benefícios?

• Respostas esperadas: Permite quêque arquivos digitais sêjamsejam armazenados em sêrservidores especializados e possam ser acessados a qualquer momento. Possibilita reduzir a geração de resíduos eletrônicos, diminuir as emissões de CO₂ e poupar o uso de papel para impressão de documentos.

b) Considere um sistema quêque disponibilize um espaço de 10 GB de armazenamento de dados em nuvem e quêque uma página de documento contendo texto e imagens tenha aproximadamente 80 kB. Quantas páginas de papel não precisarão sêrser impréssasimpressas, caso seja utilizado todo o espaço de armazenamento dêêssedesse sistema?

131.072 páginas de papel

c) Utilizando um sistema de armazenamento em nuvem, o funcionário de uma empresa realizou o backup de 15 GB de arquivos criados em cértocerto dia, o quêque demorou cerca de 4 minutos para a realização do upload. De quantos megabaites por segundo foi a taxa de transferência de dados, em média, na realização dêêssedesse backup?

512 Mbps

d) Com um colega, pesquisem mais informações sobre o armazenamento em nuvem, como: as vantagens e desvantagens relatadas por usuários, alguns exemplos de platafórmasplataformas quêque utilizam esse sistema e a influência no modo como pessoas e empresas salvam, acessam e compartilham informações. Depois, discutam os impactos sociais, econômicos e ambientais relacionados à utilização dessa tecnologia e elaborem um texto com base na pesquisa e na discussão realizadas.

Pesquisa dos estudantes.

NO MUNDO DO TRABALHO

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Relações entre grandezas

Em muitas situações do cotidiano, temos duas ou mais grandezas quêque se relacionam de determinada maneira. Acompanhe, a seguir, alguns exemplos dessas situações.

Exemplo 1:

Considerando a alta demanda de consumo de plástico no mundo e quêque, potencialmente, é necessário produzir uma grande quantidade de produtos quêque utilizam esse material, temos no processo de reciclagem uma alternativa para diminuir a quantidade de insumos utilizados na produção de novos materiais e produtos plásticos. A á guaágua, por exemplo, é um dos insumos quêque pódepode ter o consumo reduzido. Estima-se quêque a cada 1 t de plástico reciclado sêjamsejam economizados 450 L de á guaágua, quêque seriam utilizados no processo de produção convencional dessa mesma quantidade de plástico.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DA INDÚSTRIA DO PLÁSTICO. Perfil 2018. São Paulo: Abiplast, [2021]. Localizável em: p. 28 do pdf. Disponível em: https://livro.pw/pkhtg. Acesso em: 27 jun. 2024.

Com base nas informações apresentadas, podemos relacionar as grandezas massa de plástico reciclado e o volume de á guaágua economizada.

Note quêque, para cada quantidade de massa de plástico reciclado, está associada uma única quantidade de volume de á guaágua economizada. Nesse caso, podemos dizêrdizer quêque há uma relação entre a massa de plástico reciclado e o volume correspondente de á guaágua economizada.

Indicando por x a massa de plástico reciclado e por y o volume de á guaágua economizada correspondente, podemos escrever:

Nesse caso, o volume y de á guaágua economizada varia de acôr-doacordo com a massa de plástico reciclado. Assim, dizemos quêque y é a variável dependente e x é a variável independente da expressão y = 450x.

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Com a expressão y = 450x, podemos calcular, por exemplo, quantos litros de á guaágua são economizados com a reciclagem de 8 t de plástico.

y = 450 ⋅ 8 = 3.600

Logo, são economizados 3.600 L de á guaágua com a reciclagem de 8 t de plástico.

Também podemos calcular, por exemplo, quantas toneladas de plástico reciclado correspondem a uma economia de 6.750 L de á guaágua no processo de produção.

6.750 = 450x

$$\frac{6750}{450}=\frac{450x}{450}$$

15 = x

Assim, ao reciclar 15 t de plástico, serão economizados 6.750 L de á guaágua na cadeia produtiva do plástico.

Exemplo 2:

Existem aplicativos de smartphone quêque permitem ao usuário comprar produtos em lojas e recebê-los em casa, mediante o pagamento de uma taxa de entrega. Em cértocerto aplicativo, o cálculo da taxa de entrega considera um valor inicial fixo de R$ 5,50 mais R$ 0,25 a cada quilômetro percorrido entre a loja e o local da entrega. Essa relação entre a taxa de entrega e a distância percorrida pódepode sêrser representada pela expressão a seguir.

Nessa situação, a taxa de entrega t é a variável dependente, e a distância percorrida d, a variável independente.

PARA PENSAR

Com base na expressão ôbitídaobtida para essa relação, determine:

• o valor da taxa de entrega de uma compra cuja distância percorrida é de 6 km;

R$ 7,00

• a maior distância percorrida possível para quêque o valor da taxa de entrega seja de até R$ 12,00.

26 km

DICA

É importante destacar quêque a “distância percorrida” é uma grandeza escalar, ou seja, pódepode sêrser expressa pela medida do trajeto realizado.

Já o “deslocamento” é uma grandeza vetorial, ou seja, corresponde à medida, em linha reta, entre a posição inicial e a posição final do trajeto. Em relação à situação apresentada, na figura está indicado, em vermelho, um exemplo de trajeto realizado em uma entrega, correspondente à distância percorrida (em km). E, em azul, está indicado o vetor correspondente ao deslocamento realizado.

Página sessenta e oito68

Exemplo 3:

Uma escola vai contratar o sêrserviço de uma empresa de jardinagem para plantar grama em uma região a ser delimitada no pátio. Essa região deve ter formato de um retângulo cuja medida do comprimento seja o dôbrodobro da medida da largura, como mostrado na figura, em quêque x é a medida da largura, em métrometro.

O melhor preêçopreço quêque o colégio conseguiu foi o de uma empresa de jardinagem quêque orçou em R$ 3,90 o plantio de cada métrometro quadrado de grama. Com base nessas informações, podemos relacionar o valor total v do serviço e a área 2x² da região retangular por meio da expressão a seguir.

Nessa expressão, o valor total v do serviço de plantio é a variável dependente, e a medida x da largura da região retangular é a variável independente.

PARA PENSAR

Com base no exemplo 3, determine o valor total do serviço de plantio para diferentes medidas de largura da região retangular e registre em um qüadroquadro.

Resposta pessoal.

ATIVIDADES

14. resôuvaResolva o item a seguir com base nas informações apresentadas no exemplo 1.

• Em 2021, no Brasil, foi reciclado cerca de 1 milhão de toneladas de plástico. Com isso, quantos litros de á guaágua foram economizados nessa cadeia produtiva?

450.000.000 L

15. Com base no exemplo 2, determine o valor da taxa de entrega para as seguintes distâncias percorridas: 3,8 km, 5 km, 6,5 km, 10 km e 12 km. Depois, registre os valores em um qüadroquadro.

Resposta nas Orientações para o professor.

16. Com base nas informações apresentadas no exemplo 3, resôuvaresolva as kestõesquestões a seguir.

a) Qual será o valor do serviço de jardinagem para o plantio de grama caso a largura da região retangular seja de 12 m?

R$ 1.123,20

b) Sabendo quêque o valor total do serviço foi de R$ 1.755,00, determine as medidas da região retangular em quêque foi plantada grama.

15 m e 30 m

17. Considere um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é indicada por x.

a) escrêevaEscreva uma expressão quêque relacione:

• o perímetro p dêêssedesse quadrado e a medida x;

p = 4x

• a área a dêêssedesse quadrado e a medida x.

a = x ²

b) Com base nas expressões quêque você escreveu, calcule o perímetro e a área de um quadrado de lado x = 5.

perímetro: 20 cm; área: 25 cm²

c) Determine o valor de x para quêque o quadrado tenha:

• 56 cm de perímetro;

x = 14

• 144 cm² de área.

x = 12

18. Em cértocerto restaurante sélf sérvissself-service, é cobrado R$ 63,00 por quilograma de comida servida pelo cliente. escrêevaEscreva uma expressão quêque relacione a massa m de comida, em grama, e a quantia p paga por uma refeição nesse restaurante, em reais.

p = 0,063m

Página sessenta e nove69

19. O consumo de energia elétrica de um equipamento pódepode sêrser calculado por meio de uma expressão quêque relaciona o consumo à potência do equipamento. Observe o exemplo.

DICA

A potência do ferro de passar roupa em watt (W) foi dividida por 1.000 para obtêrobter a potência em quilowatt (kW) e, consequentemente, o consumo de energia elétrica em quilowatt-hora (kWh).

a) A expressão quêque representa o consumo de energia elétrica pódepode sêrser simplificada e expressa de outras maneiras? Registre alguma delas.

19. a) Sim. Algumas respostas possíveis: c = $\frac{120t}{100}$ $\frac{12t}{10}$; c =; c = $\frac{6t}{5}$ .

b) Determine o consumo de energia elétrica de um ferro de passar roupa dêêssedesse modelo, considerando quêque tenha sido utilizado por 8 h em um mês.

9,6 kWh

c) Por quantas horas um ferro de passar roupa dêêssedesse modelo pódepode sêrser usado para quêque sêjamsejam consumidos, no mássimomáximo, 7,2 kWh?

19. c) 6 h no mássimomáximo

d) Agora, escolha um dos equipamentos indicados a seguir e escrêevaescreva uma expressão quêque relacione o consumo c de energia elétrica (kWh) e o tempo t de uso do equipamento (h). Depois, estabêlêçaestabeleça o tempo de uso mensal dêêssedesse equipamento em uma residência e calcule o consumo de energia elétrica correspondente.

19. d) televisor: c = $\frac{90t}{1000}$; computador: ^c = $\frac{300t}{1000}$ aspirador de pó: c = $\frac{600t}{1000}$; condicionador de ar: c = $\frac{1400t}{1000}$; micro-ondas: ^c = $\frac{2000t}{1000}$;

• Verifique a potência de alguns equipamentos elétricos de sua residência e determine, para cada um deles, o consumo de energia elétrica em função do tempo.

Resposta pessoal.

PARA AMPLIAR

20. (Enem/MEC) Os diretores de uma escola precisam construir um laboratório para uso dos alunos. Há duas possibilidades:

(i) um laboratório do tipo A, com capacidade para 100 usuários, a um custo de 180 mil reais e gastos de 60 mil reais por ano para manutenção;

(ii) um laboratório do tipo B, com capacidade para 80 usuários, a um custo de 120 mil reais e gastos com manutenção de 16 mil reais por ano.

Considera-se quêque, em qualquer caso, o laboratório implantado será utilizado na totalidade de sua capacidade. A economia da escola, na utilização de um laboratório tipo B, em vez de um laboratório tipo A, num período de 4 anos, por usuário, será de:

a) 1,31 mil reais.

b) 1,90 mil reais.

c) 2,30 mil reais.

d) 2,36 mil reais.

e) 2,95 mil reais.

alternativa b

21. Com base na atividade 20, escrêevaescreva para cada tipo de laboratório (A e B) uma expressão quêque relacione o custo total c da utilização do laboratório por usuário, em reais, e o período t de uso dêêssedesse laboratório, em ano. Para isso, considere o uso da capacidade mássimamáxima do laboratório.

tipo A: c = 1.800 + 600t; tipo B: c = 1.500 + 200t

Página setenta70

22. As espécies quêque habitam um éco-sistemaecossistema costumam sêrser agrupadas em níveis tróficos, de acôr-doacordo com sua principal fonte de nutrição e energia. A relação alimentar entre os indivíduos de cada nível dêêssesdesses pódepode sêrser representada por uma pirâmide ecológica, um esquema compôztocomposto por figuras de retângulos ou de blocos de mesma altura correspondentes a cada nível trófico. Assim, a figura da base representa os produtores, seguidos, nessa ordem, pêlospelos consumidores primários, consumidores secundários e assim por diante.

Fonte dos dados: REECE, diêineJane B. éti áuet al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: ArtmédArtmed, 2015. p. 1232-1241.

Um dos principais tipos de pirâmides ecológicas é a pirâmide de números, em quêque é indicada a quantidade de indivíduos em cada nível trófico. Considere, por exemplo, a pirâmide de números representada a seguir, ôbitídaobtida a partir da amostragem de indivíduos de determinado éco-sistemaecossistema.

pôdêmosPodemos observar quêque, no éco-sistemaecossistema representado, são necessárias 5 000 plantas de capim para alimentar 800 gafanhotos e, por sua vez, são necessários 800 gafanhotos para alimentar 30 sapos. Considerando essas informações, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Em relação a esse éco-sistemaecossistema, escrêevaescreva uma expressão quêque relacione a quantidade de:

• sapos e gafanhotos;

s = $\frac{3}{80}$ g, em quêque s e g são as quantidades de sapos e de gafanhotos, respectivamente.

• gafanhotos e plantas de capim.

g = $\frac{4}{25}$ c, em quêque g e c são as quantidades de gafanhotos e de plantas de capim, respectivamente.

b) Nesse éco-sistemaecossistema, quantos sapos podem sêrser alimentados com 560 gafanhotos?

21 sapos

c) Determine, nesse éco-sistemaecossistema, quantas plantas de capim seriam necessárias para alimentar 1.000 gafanhotos.

6.250 plantas de capim

d) Diversas ações do sêrser humano impactam o meio ambiente e podem causar desequilíbrio da cadeia alimentar em alguns éco-sistemasecossistemas. Por exemplo: a caça ilegal, a realização de queimadas, o desmatamento de vegetação nativa etc. Em grupo, pesquisem e coletem dados sobre algum dêêssesdesses problemas e sobre alguma iniciativa existente quêque vise minimizar o impacto de ações humanas em um éco-sistemaecossistema específico. Depois, analisem as informações obtidas e elaborem uma proposta de intervenção ou conscientização para atenuar ou diminuir consideravelmente o problema pesquisado por vocês. Por fim, compartilhem com os côlégascolegas os resultados da pesquisa e a proposta elaborada, dando exemplos e justificando os argumentos apresentados.

Pesquisa e elaboração dos estudantes.

Página setenta e um71

23. (Enem/MEC) O preêçopreço médio cobrado por um pintor para executar um serviço consiste em uma taxa fixa de R$ 25,00 mais uma quantia proporcional à área pintada. O qüadroquadro apresenta os valores cobrados por ele em trabalhos recentes.

Qual o preêçopreço cobrado para realizar um serviço de pintura de uma área de 150 m²?

a) R$ 300,00

b) R$ 325,00

c) R$ 400,00

d) R$ 1.050,00

e) R$ 3.750,00

alternativa b

24. Em relação à atividade 23, escrêevaescreva uma expressão quêque relacione o valor v cobrado pelo pintor, em reais, de acôr-doacordo com a área a pintada, em métrometro quadrado.

v = 2a + 25

25. Sandra e Tiago vão utilizar um aplicativo de hospedagem para locar um apartamento durante uma viagem. Pelo apartamento escolhido, eles vão pagar R$ 150,00 por dia mais R$ 110,00 de taxas cobradas pelo aplicativo.

a) Que quantia será paga pela locação do apartamento se eles ficarem hospedados por 7 dias?

R$ 1.160,00

b) escrêevaEscreva uma expressão quêque relacione o valor V pago pela locação dêêssedesse apartamento, em reais, e a quantidade de diárias d.

V = 150d + 110

c) Nessas mesmas condições, outro casal locou esse apartamento e pagou R$ 860,00 pela hospedagem. Por quantos dias esse casal locou o apartamento?

5 dias

26. Benício trabalha como técnico em uma companhia de abastecimento de á guaágua. Ao identificar um vazamento constante em certa tubulação, ele colocou por algum tempo um recipiente medidor com capacidade de 5 L para coletar a á guaágua quêque gotejava e realizou anotações em diferentes momentos. Observe as anotações feitas por Benício e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Quantos mililitros de á guaágua havia no recipiente após 12 min de gotejamento?

216 mL

b) escrêevaEscreva uma expressão quêque relacione a quantidade q de á guaágua no recipiente (mL) e o tempo t de gotejamento (min).

q = 18t

c) Calcule o valor de q para t = 60. O quêque esse cálculo indica?

26. c) q = 1.080. Indica quêque após 60 min de gotejamento havia 1.080 mL de á guaágua no recipiente.

d) Após quantas horas foi feito o reparo na tubulação, sabendo quêque havia nesse momento 4.320 mL de á guaágua no recipiente medidor?

4 h

27. Quando vamos consumir um alimento industrializado, é importante ficarmos atentos às informações nutricionais indicadas nos rótulos das embalagens, como quantidades de proteína, fibra alimentar, sódio, gordura etc.

Em grupo, pesquisem informações nutricionais de um alimento em rótulos de embalagens e resolvam as seguintes kestõesquestões.

Pesquisa e elaboração dos estudantes.

a) Escolham um componente indicado nas informações nutricionais e escrevam uma expressão quêque relacione a quantidade de pôr-çõesporções do alimento e a quantidade correspondente do componente nutricional escolhido.

b) Elaborem uma questão envolvendo a expressão quêque vocês escreveram. Depois, tróquemtroquem o enunciado com outro grupo e resolvam a quêquestão que vocês receberam. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Página setenta e dois72

Conceito de função

Analisamos alguns exemplos de relações entre duas ou mais grandezas em quêque uma grandeza varia de acôr-doacordo com a variação de outra. Quando essa variação atende a determinados requisitos, é chamada de função. Todos os exemplos apresentados no tópico Relações entre grandezas são funções. Agora, ampliaremos e formalizaremos esse conceito, utilizando a associação entre elemêntoselementos de dois conjuntos.

Em uma função, dizemos quêque y é a variável dependente e x é a variável independente da função.

Considere, por exemplo, os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {−1, 0, 1, 2, 8} e as relações (R₁, R₂ e R₃) de A em B.

• R₁: dados x ∈ A e y ∈ B, temos y = 2x.

DICA

Associando os elemêntoselementos de A em B, por meio de R₁, temos:

O esquema quêque representa os conjuntos A e B, os seus elemêntoselementos e as setas indicando a relação R₁ é chamado de diagrama de flechas. Note quêque cada elemento de A tem apenas um correspondente em B. Nesse caso, dizemos quêque R₁ é uma função de A em B, expressa por y = 2x.

• R₂: dados x ∈ A e y ∈ B, temos y = x + 1.

Note quêque o elemento 4, em A, não está associado a qualquer elemento de B. Nesse caso, dizemos quêque R₂ não é uma função de A em B.

Página setenta e três73

• R₃: dados x ∈ A e y ∈ B, temos y ² = x.

Note quêque o elemento 1, em A, está associado a dois elemêntoselementos de B: −1 e 1. Nesse caso, dizemos quêque R₃ não é uma função de A em B.

PARA PENSAR

Que alteração pódepode sêrser feita no conjunto A ou no conjunto B para quêque a relação:

• R₂ seja uma função de A em B?

Resposta esperada: Excluir o elemento 4 do conjunto A ou incluir o elemento 5 no conjunto B.

• R₃ seja uma função de A em B?

Resposta esperada: Excluir o elemento −1 ou o elemento 1 do conjunto B ou excluir o elemento 1 do conjunto A.

Uma vez definida uma função f de A em B, denominamos de:

• domínio da função, indicado por D(f), o conjunto A;

• contradomínio da função, indicado por CD(f), o conjunto B;

• imagem de x, indicada por f(x), o elemento y ∈ B associado a x ∈ A pela função f;

• conjunto imagem da função, indicado por Im(f), o conjunto formado por todas as imagens dos elemêntoselementos de A. Matematicamente, podemos escrever:

Im(f) = {y ∈ B | y = f(x), para todo x ∈ A};

• lei de formação a expressão quêque estabelece a correspondência entre os valores de x ∈ A e y ∈ B.

Observações:

• O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio da função.

• Nem toda função tem uma lei de formação quêque pódepode sêrser indicada por uma expressão matemática. Por exemplo, a função quêque relaciona o número da matrícula a cada estudante de uma turma da escola.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

Página setenta e quatro74

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R5. Considerando os conjuntos A = {−3, −1, 0, 2, 4} e B = {−1, 0, 1, 3, 4, 6, 7} e a função f: A → B, representada pelo diagrama, resôuvaresolva os itens.

a) Determine o domínio e o contradomínio da função f.

b) Qual é a imagem de −3? E a imagem de 4?

c) Qual é o conjunto imagem de f?

PARA PENSAR

escrêevaEscreva uma possível lei de formação para a função f. Com suas palavras, explique a um colega como você obteve essa lei de formação.

Respostas possíveis: y = 3 − x; f(x) = 3 − x. Resposta pessoal.

Resolução

a) D(f) = A = {−3, −1, 0, 2, 4} e CD(f) = B = {−1, 0, 1, 3, 4, 6, 7}.

b) A imagem de −3 é 6, ou seja, f(−3) = 6. A imagem de 4 é −1, ou seja, f(4) = −1.

c) Im (f) = {−1, 1, 3, 4, 6}.

R6. Considere a função f: ℝ → ℝ definida pela lei de formação f(x) = x².

a) Qual é a imagem de −7?

b) Determine os valores de x ∈ ℝ cuja imagem seja igual a 4.

c) Qual é o conjunto imagem de f?

Resolução

a) f(−7) = (−7)² = 49

Portanto, a imagem de −7 é 49.

b) f(x) = 4 ⇒ x² = 4 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\sqrt[]{4}=2\\ \mathrm{ou}\\ x=-\sqrt[]{4}=-2\end{array}\end{array}$

Portanto, nessa função, 2 e −2 têm imagem igual a 4.

c) A função f associa cada número real x a um número real y quêque é o quadrado de x. Uma vez quêque o quadrado de todo número real é maior ou igual a zero e, também, quêque todo número real maior ou igual a zero pódepode sêrser expresso por um número real ao quadrado, por exemplo, x = $\begin{array}{c}{\left(\sqrt[]{X}\right)}^2\end{array}$ _, para x ∈ ℝ₊, temos quêque Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

PARA PENSAR

pôdêmosPodemos calcular a raiz quadrada de quais números reais? Esses números formam qual conjunto numérico? Se necessário, utilize uma calculadora científica.

Respostas esperadas: Dos números reais não negativos. Esses números formam o conjunto ℝ₊.

Página setenta e cinco75

R7. cértoCerto restaurante cobra pelas refeições de acôr-doacordo com a massa de alimento servida no prato, conforme apresentado no cartaz.

a) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quêque represente o preêçopreço p cobrado nesse restaurante, em reais, por uma refeição com m quilograma.

b) Quanto esse restaurante cobrará por uma refeição com meio quilograma?

Resolução

a) Como no restaurante há duas maneiras de cobrar pelas refeições (até 600 g e mais de 600 g), escrevemos duas sentenças na lei de formação da função:

$$p\left(m\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{42,50}m,\mathrm{se}0<m⩽\mathrm{0,600}\\ \mathrm{25,50},\mathrm{se\; m}>\mathrm{0,600}\end{array}$$

b) p(0,5) = 42,50 ⋅ 0,5 = 21,25 → R$ 21,25

DICA

Note quêque, na função p, a sentença da lei de formação quêque é utilizada para calcular uma imagem depende do valor de x. Assim, a sentença p(m) = 42,50m é utilizada para 0 < m ≤ 0,600, e a sentença 25,50, para m > 600. Funções como essa são chamadas de função definida por mais de uma sentença.

ATIVIDADES

28. Quais das relações representadas a seguir correspondem a uma função de A em B? Justifique sua resposta.

Alternativas a e d. Resposta pessoal.

a)

b)

c)

d)

29. Utilizando diagrama, represente a função f: A → B, sêndosendo A = {−3, −2, 0, 1} e B = {−5, −3, 0, 1, 3, 5}, cuja lei de formação é dada por y = 2x + 1, com x ∈ A e y ∈ B. Em seguida, determine D (f), cê dêCD (f) e Im (f).

30. Dada a função g: ℕ → ℕ definida por g (x) = 3x + 5, calcule:

a) g (3).

14

b) g (0).

5

c) g (10).

35

d) g (5).

20

• Agora, defina uma função indicando o domínio, o contradomínio e a lei de formação. Em seguida, calcule a imagem de alguns valores do domínio dessa função.

Respostas pessoais.

31. Considerando os conjuntos A = {−15, −8, −2, 0, 4, 5} e B = {0, 1, 5, 7, 13, 14, 15, 19, 20}, determine quais das expressões a seguir correspondem à lei de formação de uma função de A em B.

a) h (x) = 22 + x

b) f(x) = 5 − x

c) m (x) = x + 15

d) g (x) = −1 − x

e) p (x) = −x

alternativas b e c

32. Dada a função A$\stackrel{f}{\to }$B, temos quêque:

Resposta nas Orientações para o professor.

De acôr-doacordo com essas informações, construa um diagrama para representar a função f.

29. Resposta nas Orientações para o professor. D(f) = {−3, −2, 0, 1}; CD(f) = {−5, −3, 0, 1, 3, 5}; Im(f) = {−5, −3, 1, 3}.

Página setenta e seis76

33. Leia o texto e, em seguida, faça o quêque se pede em cada item.

O Imposto de Renda da Pessoa Física (IRPF) é um imposto federal quêque incide sobre a renda (salários, pensões, aluguéis etc.) de contribuintes quêque residem no Brasil ou quêque recebem renda de fontes no Brasil. Parte da arrecadação do IRPF é destinada a investimentos em saúde, educação, segurança, saneamento, programas de transferência de renda, entre outros. O valor do imposto cobrado de cada contribuinte varia de acôr-doacordo com a renda, conforme segue.

tabélaTabela de incidência mensal do IRPF, em vigor no ano-calendário de 2023*

* Tributação a partir de maio de 2023. **Valor da renda mensal do contribuinte. ***Porcentual da renda do contribuinte referente ao valor do IRPF. ****Valor do desconto concedido sobre o valor do IRPF.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Fazenda. Receita Federal. Tributação de 2023. Brasília, DF: MF; RFB, 9 fev. 2024. Disponível em: https://livro.pw/sxmtf. Acesso em: 27 jun. 2024.

PARA AMPLIAR

pôdêmosPodemos expressar uma função f por mais de uma sentença para relacionar o valor do IRPF(em reais) de acôr-doacordo com a renda mensal r do contribuinte, ou seja, f(r) designa o valor do imposto a sêrser pago.

Por exemplo:

• o contribuinte quêque recebe até R$ 2.112,00 é isento, então:

f(r) = 0, se r ≤ 2.112,00;

• o contribuinte quêque recebe de R$ 2.112,01 até R$ 2.826,65 tem alíquota de 7,5% e R$ 158,40 de dedução, então:

f(r) = 0,075r − 158,40, se 2.112,01 ≤ r ≤ 2.826,65.

a) Calcule o valor do IRPF para um contribuinte quêque tem renda mensal de:

• R$ 2.000,00.

isento

• R$ 2.500,00.

R$ 29,10

• R$ 3.200,00.

R$ 109,60

b) Determine as sentenças quêque expressem a função f para:

• 2.826,66 ≤ r ≤ 3.751,05.

f(r) = 0,15r − 370,40

• 3.751,06 ≤ r ≤ 4.664,68.

f(r) = 0,225r − 651,73

• r > 4.664,68.

f(r) = 0,275r − 884,96

c) Com base no enunciado e nas respostas ao item b, escrêevaescreva a lei de formação da função f.

33. c) f(r) = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}0,\mathrm{se\; r}⩽\mathrm{2112,00}\\ \mathrm{0,075}r-\mathrm{158,40},\mathrm{se}\mathrm{2112,01}⩽r⩽\mathrm{2826,65}\\ \mathrm{0,15}r-\mathrm{370,40},\mathrm{se}\mathrm{2826,66}⩽r⩽\mathrm{3751,05}\\ \mathrm{0,225}r-\mathrm{651,73},\mathrm{se}\mathrm{3751,06}⩽r⩽\mathrm{4664,68}\\ \mathrm{0,275}r-\mathrm{884,96},\mathrm{se\; r}>\mathrm{4664,68}\end{array}\end{array}$

d) Calcule f(5.000) e interpréteinterprete o resultado obtídoobtido.

33. d) f(5.000) = 490,04. Esse cálculo indica quêque um contribuinte, cuja renda mensal é R$ 5.000,00, paga R$ 490,04 de IRPF.

e) Você e um colega devem escolher uma profissão e investigar o piso salarial correspondente dessa categoria profissional. Depois, calculem o IRPF a sêrser pago pela categoria profissional escolhida, considerando o piso salarial.

Resposta pessoal.

Página setenta e sete77

INTEGRANDO COM...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Velocidade de conexão

No Brasil, a internet residencial começou a sêrser comercializada em meados de 1995. O acesso era por meio da “internet discada”, quêque ocupava a linha telefônica durante seu uso e, se comparada com a conexão disponível atualmente, pódepode sêrser considerada lenta e limitada.

Com o passar do tempo, o desenvolvimento de novas tecnologias tornou possível navegar na internet usando a conexão de banda larga fixa, o quêque possibilita maior velocidade e melhor qualidade, exigências dos usuários contemporâneos. Atualmente, há diversas operadoras de internet quêque oferecem os mais variados planos de conexão e serviços de banda larga fixa para atender ao perfil do usuário.

Ao escolher um dêêssesdesses planos, é importante ficar atento a alguns requisitos, como as velocidades de dáum-lôudedownload e upload contratadas. A Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) é o órgão responsável pelas regulamentações e fiscalizações dos serviços prestados pelas operadoras de telefonia e internet no país. Dessa maneira, os consumidores quêque se sentirem prejudicados pela operadora contratada e quêque não tiveram a situação resolvida por ela, podem registrar uma reclamação na Anatel.

PARA AMPLIAR

São vários os tipos de serviço de internet disponibilizados hoje em dia, cada um deles com funcionalidade e eficiência específicas. Independentemente do tipo de conexão de internet, se discada, via rádio, banda larga, fibra óptica ou móvel (4G ou 5G), é importante escolher um plano quêque atenda às necessidades específicas do usuário e verificar a velocidade de dáum-lôudedownload e upload da conexão fornecida pelo plano de internet contratado.

Página setenta e oito78

Teste de qualidade de conexão

Para atender às regulamentações da Anatel, foi criada a Entidade de Suporte à Aferição da Qualidade (Esaq), quêque permite ao usuário medir a qualidade da conexão de internet. Essa medição pódepode sêrser feita no sáitisite https://livro.pw/unfxv (acesso em: 27 jun. 2024) ou no aplicativo Esaq, disponível nas lojas de aplicativos. Acompanhe, a seguir, as informações obtidas em um teste realizado com essa ferramenta.

DICA

Para aferir a velocidade de conexão de internet das operadoras de banda larga fixa, a Anatel distribuiu, a voluntários quêque se inscreveram no sáitisite da Esaq, aparelhos quêque são conectados ao roteador e quêque transmitem informações sobre a conexão.

Para aferir a velocidade de conexão de internet das operadoras de banda larga móvel, a Anatel busca as informações no aplicativo Esaq instalado por usuários de dispositivos móveis.

Os dados coletados pela Anatel são divulgados mensalmente no sáitisite da Esaq (disponível em: https://livro.pw/swfmk; acesso em: 8 out. 2024).

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PENSANDO NO ASSUNTO

1. Upload e dáum-lôudedownload são termos em inglês amplamente utilizados no contexto de tecnologia da informação e comunicação.

a) Qual é o significado de cada um dêêssesdesses termos? Se necessário, realize uma pesquisa.

1. a) Upload (“subir”, em tradução simples) é a ação de transferir dados de um terminal local para um sistema remoto; dáum-lôudedownload (“baixar” em tradução simples) corresponde ao ato de transferir dados de um sistema remoto para um terminal local.

b) Redija um pequeno texto, empregando os termos upload e dáum-lôudedownload, quêque dêz-crevadescreva uma situação cotidiana.

Resposta pessoal.

2. Quantos segundos seriam necessários para realizar, em cértocerto computador, o dáum-lôudedownload de um arquivo de 4 MB, considerando o acesso de:

• internet discada com velocidade de dáum-lôudedownload de 56 kbps?

aproximadamente 585 s

• banda larga com velocidade de dáum-lôudedownload de 10 Mbps?

3,2 s

3. Bia contratou um plano de internet com velocidade de 500 Mbps para dáum-lôudedownload e 35 Mbps para upload. Observe o histórico de medições da conexão de internet realizadas por ela.

Faça uma análise comparando essas medições com o plano contratado por Bia. Para isso, considere como parâmetro de uma prestação de serviço adequada aquela em quêque a velocidade de conexão de internet medida corresponda a, no mínimo, 80% da velocidade contratada.

3. Resposta esperada: A medição 1 está de acôr-doacordo com o parâmetro estabelecido. A medição 2 não está de acôr-doacordo com o parâmetro estabelecido. A medição 3 está de acôr-doacordo com o parâmetro estabelecido.

4. Elabore uma situação-problema envolvendo o tema velocidade de conexão e o conceito de função estudado nesta Unidade. Em seguida, troque-a com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquela quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

5. Reúnam-se em grupos de três integrantes e investiguem um plano de internet de banda larga fixa disponível na região em quêque moram. O plano pódepode sêrser da residência de algum integrante do grupo, de uma pessoa fora do âmbito e do contexto escolares ou até mesmo da própria escola. Nessa investigação, explorem a questão a seguir.

A atividade pódepode sêrser ampliada para quêque os estudantes também possam verificar, de maneira aproximada, a velocidade média mensal de um plano de internet.

As velocidades de dáum-lôudedownload e de upload do plano contratado com a operadora estão sêndosendo atendidas?

De acôr-doacordo com o plano de internet escolhido, resolvam os itens propostos.

Respostas pessoais.

a) Identifiquem e registrem as velocidades de dáum-lôudedownload e de upload do plano contratado.

b) Estabeleçam um parâmetro para quêque seja considerada adequada a prestação de serviço da operadora. Por exemplo, quêque seja atendida a velocidade de conexão de internet de, no mínimo, 80% da velocidade contratada.

c) Em um computador, naveguem na internet e façam dáum-lôudedownload e upload. Registrem o quêque vocês puderam perceber em relação à velocidade dessa internet.

d) Acessem o sáitisite da Esaq e testem a qualidade da conexão de internet em alguns momentos de um mesmo dia. Registrem o horário de cada medição e as velocidades de dáum-lôudedownload e upload aferidas. Por fim, escôlhamescolham algum recurso para representar esses dados, como: tabélatabela, esquema, gráfico, planilha eletrônica etc.

e) Com base nos itens resolvidos, elaborem um texto relacionando a questão proposta inicialmente na investigação com os dados obtidos sobre o plano de internet escolhido.

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Estudo do domínio de uma função real

Com base no conceito de função apresentado anteriormente, para definir formalmente uma função f de A em B, é necessário quêque sêjamsejam dados o domínio D(f) = A, o contradomínio CD(f) = B e a lei de formação de f, isto é, os conjuntos A e B e a relação de correspondência entre eles.

Agora, vamos analisar a situação a seguir.

Em cértocerto clube, há uma piscina com formato de bloco retangular cuja profundidade mássimamáxima é 160 cm. Para determinar a quantidade q de á guaágua nessa piscina, em métrometro cúbico, pódepode sêrser utilizada uma função dada pela lei de formação q (p) = 0,5p, em quêque p indica a altura do nível de á guaágua, em centímetro. Observe, a seguir, alguns valores de q (p) para determinados valores de p.

Note quêque a piscina pódepode estar vazia, o quêque indica zero centímetro no nível de á guaágua. O maior nível de á guaágua possível é 160 cm, quêque corresponde à profundidade mássimamáxima da piscina. Com isso, podemos definir o domínio da função q como D(q) = {p ∈ ℝ | 0 ≤ p ≤ 160} e o contradomínio de q como CD(q) = ℝ.

DICA

O domínio da função q também pódepode sêrser expresso pelo intervalo real D (q) = [0, 160].

Assim como na situação apresentada anteriormente, em alguns casos é possível indicar uma função de maneira dirétadireta apenas por sua lei de formação, não explicitando seu domínio e seu contradomínio. Quando isso acontece, consideramos o domínio da função como o maior subconjunto de ℝ possível, restrito de acôr-doacordo com o contexto em estudo ou pela lei de formação, e o contradomínio como o próprio ℝ.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R8. Determine o domínio da função definida por f(x) = $\frac{6}{2x+10}$.

Resolução

Para determinar o domínio da função, é preciso considerar o maior subconjunto possível de ℝ. Para isso, vamos analisar as restrições para os valores de x de acôr-doacordo com a lei de formação. Como não há divisão por zero definida em ℝ, temos quêque:

2x + 10 ≠ 0 ⇒ x ≠ −5

Portanto, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ −5}.

R9. Obtenha o domínio da função definida por g (u) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{4u-7}\end{array}$.

Resolução

Como não está definida em ℝ a raiz quadrada de números negativos, temos quêque:

4u − 7 ≥ 0 ⇒ u ≥ $\frac{7}{4}$

Portanto, D(g) = {u ∈ ℝ | u ≥ $\frac{7}{4}$}.

R10. Explicite o domínio da função definida por f(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2x+5}}{x-2}\end{array}$.

Resolução

Temos duas condições a sêrser consideradas: 2x + 5 ≥ 0 e x − 2 ≠ 0. Segue quêque:

• 2x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ $-\frac{5}{2}$;

• x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.

Como ambas as condições precisam sêrser satisfeitas simultaneamente, o domínio da função será a interseção dos intervalos obtidos. Representando na reta real, temos:

Portanto, D(f) = {x ∈ ℝ | x ≥ −$\frac{5}{2}$ e x ≠ 2}.

PARA PENSAR

Explique, com suas palavras, por quêpor que foram consideradas as condições 2x + 5 ≥ 0 e x − 2 ≠ 0.

Resposta esperada: Porque não está definida em ℝ a raiz quadrada de números negativos e não há divisão por zero definida em ℝ.

ATIVIDADES

34. Obtenha o domínio da função definida em cada item.

a) f(x) = $\frac{9-2x}{2x-6}$

34. a) D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 3}

b) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[]{9x+3}}\end{array}$

34. b) D(f) = _{x ∈ ℝ | x > − $\frac{1}{3}$ }

c) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{4}{x^2-81}\end{array}$

34. c) D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ −9 e x ≠ 9}

d) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{7x+5}}{\sqrt[]{6x+1}}\end{array}$

34. d) D(f) = _{x ∈ ℝ | x > − $\frac{1}{6}$ }

e) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{3}{2x^2-800}+\sqrt[]{3x-5}\end{array}$

34. e) D(f) = $\left\{x\in \mathbb{R}x⩾\frac{5}{3}\text{e}x\ne 20\right\}$

f) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{11}{\sqrt[3]{x}}\end{array}$

34. f) D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 0}

g) f(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{x-3}{x+4}}\end{array}$.

34. g) D(f) = {x ∈ ℝ | x < −4 ou x ≥ 3}

• Produza um texto explicando o procedimento geral utilizado para definir o domínio da função em cada item.

35. Qual destas funções tem como domínio o intervalo real representado a seguir? Justifique.

a) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{9-x}}{\sqrt[]{7x-4}}\end{array}$

b) f(x) = $\begin{array}{c}4\sqrt[]{9-x}\end{array}$

c) f(x) = $\frac{9-x}{7x-4}$

d) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{7x-4}}{\sqrt[]{9-x}}\end{array}$

e) f(x) = $\frac{7x-4}{8-x}$

Alternativa d. Resposta pessoal.

DICA

Lembre-se de quêque o quociente da divisão entre dois números é positivo se ambos os números são positivos ou se ambos são negativos.

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36. Para uma atividade da aula de Matemática, Larissa construiu, no GeoGebra, um triângulo ABC inscrito em uma semicircunferência de raio 10 cm, como mostra a imagem a seguir.

Na construção, é possível movimentar o ponto C sobre a semicircunferência, variando a medida da altura h.

a) Qual é a área do triângulo quando ajustamos o ponto C de maneira quêque h = 4 cm?

40 cm²

b) escrêevaEscreva uma função A quêque expresse a área do triângulo ABC em função do valor de h.

36. b) A(h) = $\frac{20\cdot h}{2}$ ou A(h) = 10h

c) Obtenha o domínio da função A, descrita no item b.

D(A) = {h ∈ ℝ | 0 < h ≤ 10}

37. Um grupo de amigos foi jogar vôlei de praia. Eles tí-nhãotinham rê-derede, bola, trena e fita para fazer marcações. Quanto à quadra de jôgojogo, eles sabiam apenas quêque tinha formato retangular com 48 m de perímetro.

DICA

Para resolver o item a, pense em como expressar a medida do outro par de lados da figura retangular a partir da medida x.

Com base nessas informações, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Represente a quadra de jôgojogo, considerando quêque o perímetro é 48 m e quêque um dos pares de lados médemede x.

Resposta nas Orientações para o professor.

b) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função f quêque relacione a área da quadra de jôgojogo com a medida x.

f(x) = 24x − x ²

c) Qual é o domínio da função f cuja lei de formação você escreveu no item b? Justifique sua resposta.

37. c) D(f) = {x ∈ ℝ | 0 < x < 24}. O domínio corresponderá a todos os valores de x > 0 para os quais f(x) > 0, pois, de acôr-doacordo com o contexto, x e f só podem assumir valores positivos.

d) Sabendo quêque a quadra de jôgojogo de vôlei de praia tem medidas oficiais quando x = 8, determine as medidas de suas dimensões e de sua área.

dimensões: 8 m e 16 m; área: 128 m²

38. Marcos faz anúncios dos produtos de sua loja ôn láinion-line em uma rê-derede social. Ele percebeu quêque, quanto mais anúncios são realizados nessa rê-derede social, maior é a quantidade de vendas na loja. Para expressar essa relação, ele escreveu a função definida por V(x) = $\frac{3}{5}x$ + 90, em quêque V corresponde à quantidade de vendas semanais na loja e x, à quantidade de anúncios realizados em uma semana.

De acôr-doacordo com o limite de anúncios permitido por essa rê-derede social, Marcos utilizou a função quêque escreveu e verificou quêque, semanalmente, a loja pódepode atingir no mássimomáximo 150 vendas. Qual é o domínio da função V escrita por Marcos?

D(V) = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 100}

39. Em trios, obissérvemobservem a sequência de figuras formadas por quadrados vermelhos e verdes. Depois, resolvam as kestõesquestões.

a) Quantos quadrados vermelhos e verdes formam a próxima figura dessa sequência?

4 quadrados vermelhos e 12 verdes

b) Expliquem como as figuras dessa sequência podem sêrser obtidas.

39. b) Resposta esperada: As figuras dessa sequência são formadas por quadrados vermelhos (fileira horizontal superior) e verdes (fileira horizontal inferior) cujas quantidades correspondem, respectivamente, à sequência dos números naturais positivos e à sequência dos múltiplos positivos de 3.

c) Quantos quadrados vermelhos e verdes formam a figura 133?

39. c) 133 quadrados vermelhos e 399 verdes.

d) Que figura dessa sequência é formada por 900 quadrados verdes? Essa figura é formada por quantos quadrados vermelhos?

39. d) Figura 300. Essa figura é formada por 300 quadrados vermelhos.

e) É possível quêque uma figura dessa sequência seja formada por exatamente 31 quadrados verdes? Expliquem.

Não, pois 31 não é múltiplo positivo de 3.

f) Escrevam a lei de formação da função f quêque descreve a quantidade de quadrados verdes a partir do número n da figura da sequência. Qual é o domínio dessa função?

f(n) = 3n. D (f) = {n ∈ ℕ | n > 0}.

g) Escrevam a lei de formação da função g quêque descreve o número da figura a partir da quantidade x de quadrados verdes. Qual é o domínio dessa função?

39. g) g (x) = $\frac{x}{3}$ D(g) = {x ∈ ℕ | x é múltiplo positivo de 3 e x > 0}.

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Gráfico de uma função

Um dos modos de representar uma função é por meio do seu gráfico. Geralmente, o gráfico de uma função é construído em um plano cartesiano. Vamos retomar alguns elemêntoselementos do plano cartesiano, assunto quêque provavelmente você já estudou no Ensino Fundamental. Observe o plano cartesiano a seguir e um ponto P representado nele.

A localização de cada ponto do plano cartesiano é indicada por coordenadas cartesianas, quêque são representadas por um par ordenado na forma (x, y), em quêque x é a abscissa e y é a ordenada do ponto. No plano cartesiano apresentado, o ponto P tem coordenadas (−2, 3) e pódepode sêrser indicado por P(−2, 3).

Para representar o gráfico de uma função em um plano cartesiano, indicamos a variável dependente no eixo das ordenadas e a variável independente no eixo das abscissas.

De modo geral, podemos dizêrdizer quêque:

Agora, acompanhe nos exemplos a seguir a construção do gráfico de algumas funções definidas pela mesma lei de formação, mas com domínios diferentes.

Exemplo 1:

Seja uma função g: A → ℝ, com A = {0, 1, 4}, cuja lei de formação é dada por g(x) = 2x − 4.

Como o conjunto A é finito, o gráfico de g será compôztocomposto dos pontos (x, g(x)) em quêque x ∈ D(g). Assim, para construir o gráfico de g, calculamos a imagem y = g(x) para cada elemento x ∈ D(g), determinando os pares ordenados (x, g(x)). Por fim, representamos no plano cartesiano os pontos correspondentes a esses pares ordenados.

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Exemplo 2:

Agora, considere a função h: ℝ → ℝ cuja lei de formação é dada por h(x) = 2x − 4.

Note quêque a lei de formação de h é a mesma da função g, apresentada no exemplo 1, mas os domínios delas são diferentes: D(g) = A = {0, 1, 4} e D(h) = ℝ, ou seja, D(g) ⊂ D(h). Assim, temos quêque cada ponto do gráfico de g também é ponto do gráfico de h. Para esboçar o gráfico de h, podemos obtêrobter outros pares ordenados (x, y) para valores arbitrários de x ∈ ℝ.

DICA

Note quêque os pontos de coordenadas (0, −4), (1, −2) e (4, 4) também são pontos do gráfico da função g do exemplo 1.

Como D(h) = ℝ, existem infinitos pares ordenados (x, y) quêque são pontos do gráfico de h. Nesse caso, é possível verificar quêque o gráfico de h corresponde a uma reta.

DICA

A função h é um exemplo de função afim cujo gráfico é uma reta. Esse tipo de função é apresentado com mais dêtálhesdetalhes na Unidade 3 dêstedeste Volume.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

R11. Esboce o gráfico da função indicada em cada item.

a) g: [−3, 2] → ℝ, em quêque g (x) = −x + 2

b) f: ℝ → ℝ, em quêque f(x) = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}-2x-2,\mathrm{se\; x}<0\\ x+1,\mathrm{se\; x}⩾0\end{array}\end{array}$

Resolução

a) Note quêque D(g) é o intervalo real [−3, 2]. Assim, atribuímos valores arbitrários para x ∈ [−3, 2] e determinamos os pares ordenados (x, y) correspondentes.

Como existem infinitos valores de x ∈ [−3, 2], é possível obtêrobter infinitos pares ordenados (x, y) por meio da lei de formação de g. Ao representar esses pares ordenados no plano cartesiano, obtemos um segmento de reta, quêque corresponde ao gráfico de g.

b) Note quêque a função f é definida por duas sentenças: uma para x < 0 e outra para x ≥ 0. Assim, inicialmente, atribuímos valores arbitrários para x < 0, determinamos os pares ordenados (x, y) correspondentes e, de acôr-doacordo com os pares ordenados obtidos, esboçamos o gráfico de f para x < 0.

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Depois, de maneira análoga à primeira parte, atribuímos valores quaisquer para x ≥ 0, determinamos os pares ordenados (x, y) correspondentes e esboçamos o gráfico de f para x ≥ 0.

Análise do gráfico de uma função

Em alguns casos, podemos verificar se um gráfico corresponde a uma função, mesmo quêque sua lei de formação, seu domínio e seu contradomínio não sêjamsejam explícitos. Considere, por exemplo, os gráficos a seguir.

Note quêque, para verificar intuitivamente a correspondência entre cada elemento de um intervalo real e um único ponto de um gráfico, podemos construir uma reta r (paralela ao eixo y) e deslocá-la horizontalmente para a direita e para a esquerda, observando se, em qualquer posição, ela sempre cruzará o gráfico em um único ponto.

Dizemos quêque êsteeste gráfico representa uma função no intervalo [−4, 4], pois cada abscissa x ∈ [−4, 4] está associada a uma única ordenada y ∈ ℝ.

Neste caso, é possível deslocar a reta r (paralela ao eixo y) de maneira quêque cruze o gráfico em mais de um ponto, por exemplo, nos pontos A e B. Assim, dizemos quêque êsteeste gráfico não representa uma função, pois existe pelo menos uma abscissa x associada a mais de uma ordenada y.

PARA PENSAR

Se uma reta paralela ao eixo x cruza cértocerto gráfico em dois pontos distintos, podemos afirmar quêque esse gráfico não corresponde a uma função? Explique.

Resposta esperada: Não, pois, nesse caso, é possível afirmar quêque duas abscissas distintas estão associadas a uma mesma ordenada, o quêque pódepode ocorrer em uma função.

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Domínio e imagem no gráfico de uma função

pôdêmosPodemos, em alguns casos, determinar o domínio e o conjunto imagem de uma função f analisando o gráfico de f. Por exemplo, para determinar graficamente o domínio de uma função, dado por um intervalo real, é necessário identificar as coordenadas no eixo das abscissas correspondentes ao ponto mais à direita do gráfico e ao ponto mais à esquerda do gráfico; para determinar graficamente o conjunto imagem de uma função, é necessário identificar as coordenadas no eixo das ordenadas correspondentes ao ponto mais “alto” do gráfico e ao ponto mais “baixo” do gráfico.

Observe o exemplo a seguir.

Crescimento e decrescimento de uma função

Em determinado dia, Vanessa decidiu realizar um treino aeróbico de 20 min de corrida. Esse treino consistia em 5 min de caminhada para aquecimento, 10 min de corrida com aumento de velocidade e 5 min de corrida com redução gradual da velocidade até finalizá-lo, ainda em movimento. Pensando em acompanhar seu dêsempênhodesempenho, ela utilizou um aplicativo de smartphone para gerar o gráfico da velocidade aproximada y (em quilômetro por hora) alcançada durante o treinamento em função do tempo aproximado x (em minuto) de duração do treino. Observe, a seguir, o gráfico apresentado por esse aplicativo.

Analisando o gráfico, podemos identificar quêque D(f) = [0, 20].

PARA PENSAR

Qual é a velocidade de Vanessa quando ela inicia e termina o registro do treino no aplicativo? Justifique.

Resposta esperada: Vanessa inicia o treino a 4 km/h, correspondente ao ponto de coordenadas (0, 4) do gráfico, e termina o treino a 5 km/h, correspondente ao ponto de coordenadas (20, 5).

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Agora, vamos observar o comportamento de f em intervalos reais quêque representam subconjuntos do D(f).

• Para quaisquer x ∈ [0, 5], o valor de y correspondente é sempre o mesmo.

• Para quaisquer x ∈ [5, 15], conforme os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y também aumentam.

• Para quaisquer x ∈ [15, 20], conforme os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

Nesse caso, dizemos quêque f é constante em [0, 5], crescente em [5, 15] e decrescente em [15, 20].

PARA PENSAR

O quêque podemos afirmar ao comparar:

• f(16) e f(19)?

• f(16) > f(19), pois f é decrescente em [15, 20].

• f(3) e f(4)?

• f(3) = f(4), pois f é constante em [0, 5].

• f(10) e f(12)?

• f(10) < f(12), pois f é crescente em [5, 15].

ATIVIDADE RESOLVIDA

R12. Mostre quêque a função definida por f(x) = $\frac{x}{2}$ +⁴ é crescente em todo D (f) = ℝ.

Resolução

Sejam a e b dois números reais quaisquer, tal quêque a < b. Assim, segue quêque:

a < b

$\frac{1}{2}a<\frac{1}{2}b$ ← Multiplicamos por $\frac{1}{2}$ cada membro.