UNIDADE 4
FUNÇÃO QUADRÁTICA

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Como pódepode sêrser descrita a trajetória realizada por um objeto em um lançamento oblíquo? Você conhece outro exemplo de lançamento oblíquo?

2. De acôr-doacordo com o texto, os conceitos quêque descrevem o lançamento oblíquo são aplicados no treinamento de algumas modalidades do atletismo. por quêPor que isso ocorre?

3. Represente, no caderno, a possível trajetória quêque cértocerto corpo realiza em um lançamento oblíquo. Nessa representação, indique a posição da maior altura atingida e a distância horizontal percorrida.

Página cento e cinquenta e quatro154

A parábola

Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre o lançamento oblíquo. Nesse tipo de lançamento, o objeto descreve uma trajetória parabólica. A parábola é uma curva com formato específico e quêque, como estudaremos a seguir, está presente em diversos campos da Matemática. Também podemos identificar formatos quêque lembram parábolas em construções ou objetos.

Acompanhe, a seguir, a definição de parábola e alguns de seus elemêntoselementos.

DICA

Nesta figura, os segmentos de reta com as mesmas marcações têm comprimentos iguais.

Além do foco F e da reta diretriz r, podemos identificar os seguintes elemêntoselementos da parábola:

• a reta e, perpendicular à reta diretriz e quêque passa pelo foco F, é o eixo de simetria da parábola;

• o ponto V, interseção da parábola com o eixo e, é o vértice da parábola e o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz.

Com isso, da definição de parábola, podemos concluir quêque a distância entre o foco e o vértice é igual à distância entre o vértice e a diretriz.

A seguir, estudaremos a função quadrática, cujo gráfico corresponde a uma parábola.

PARA PENSAR

Além de aplicações na arquitetura e na análise de um lançamento oblíquo, o estudo da parábola é aplicado em outras situações, como na ár-tearte, nos faróis de automóveis e holofotes, entre outros. Pesquise uma dessas aplicações e, em uma roda de conversa, compartilhe os resultados de sua pesquisa.

Pesquisa do estudante.

Página cento e cinquenta e cinco155

Função quadrática: características e definição

Acompanhe a seguinte situação.

Pretende-se ampliar um campo de futebólfutebol quêque tem 90 metros de comprimento e 60 metros de largura aumentando uma mesma medida x no comprimento e na largura, conforme o esquema a seguir.

PARA PENSAR

Qual é a área dêêssedesse campo, em métrometro quadrado, antes da ampliação?

5.400 m²

A área dêêssedesse campo, após a ampliação das medidas de comprimento e largura em x métrometro, pódepode sêrser expressa por meio de uma função f. Observe como a expressão quêque representa f pódepode sêrser ôbitídaobtida.

f(x) = 90 ⋅ 60 + 90x + 60x + x² ⇒ f(x) = x² + 150x + 5 400

Com essa lei de formação da função, podemos calcular f(12), por exemplo, para determinar a área do campo, caso a ampliação seja de 12 m no comprimento e 12 m na largura. Assim, temos:

f(12) = 12² + 150 ⋅ 12 + 5.400 = 144 + 1.800 + 5.400 = 7.344

Logo, a área do campo com 102 m de comprimento e 72 m de largura é igual a 7.344 m².

Na situação inicial, é explorada a ideia de função quadrática, por meio da função f dada por f(x) = x² + 150x + 5.400, quêque expressa a área dêêssedesse campo após a ampliação.

Dizemos quêque a, b e c são os coeficientes da função quadrática.

PARA PENSAR

Considerando x = 30, qual é a área do campo, em métrometro quadrado, após a ampliação?

10.800 m²

Página cento e cinquenta e seis156

Observe alguns exemplos de função quadrática.

a = 2

b = −4

c = 19

a = 1

b = 2

c = −8

a = −0,2

b = −7

c = 0

a = 3

b = 0

c = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$

a = −12

b = 0

c = 0

$a=-\frac{1}{2}$

$b=0$

$c=0$

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Dada a função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = −3x² + 2x + 9, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Identifique os coeficientes a, b e c da função f.

b) Calcule f(3), f(−5), f$\left(\frac{1}{2}\right)$, f(0,1) e f(0).

Resolução

a) a = −3, b = 2 e c = 9

b) • f(3) = −3 ⋅ 3² + 2 ⋅ 3 + 9 = −3 ⋅ 9 + 6 + 9 = −27 + 6 + 9 = −12

• f(−5) = −3 ⋅ (−5)² + 2 ⋅ (−5) + 9 = −3 ⋅ 25 − 10 + 9 = −75 − 10 + 9 = −76

• f$\left(\frac{1}{2}\right)$ = −3 ⋅ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ + 2 ⋅ $\left(\frac{1}{2}\right)$ + 9 = −3 ⋅ $\frac{1}{4}$ + 1 + 9 = $-\frac{3}{4}$ + 1 + 9 = $\frac{37}{4}$

• f(0,1) = −3 · (0,1)² + 2 ⋅ 0,1 + 9 = −3 ⋅ 0,01 + 0,2 + 9 = −0,03 + 0,2 + 9 = 9,17

• f(0) = −3 ⋅ 0² + 2 ⋅ 0 + 9 = 0 + 0 + 9 = 9

R2. Certa câmara fria tem capacidade para 8.000 L, e sua tempera-túratemperatura interior está programada para variar de −10 °C a −2 °C. Ao atingir a tempera-túratemperatura mássimamáxima, o motor dessa câmara liga automaticamente e permanécepermanece assim até quêque a tempera-túratemperatura interna káiacaia para −10 °C, momento em quêque o motor é desligado. Após o motor sêrser ligado, a tempera-túratemperatura interna t dessa câmara fria varia de acôr-doacordo com a função T dada por T(t)=$\begin{array}{c}-\frac{t^2}{8}\end{array}$ − 2, com t em hora. Quantas horas após atingir a tempera-túratemperatura mássimamáxima o motor dessa câmara voltará a desligar?

Resolução

Note quêque, no enunciado desta atividade, há dados quêque não são essenciais para resolver a questão indicada. Então, vamos selecionar as informações necessárias para determinar depois de quanto tempo o motor da câmara fria voltará a desligar.

• A tempera-túratemperatura mínima dessa câmara é −10 °C.

• A lei de formação de T é dada por T (t)= $\begin{array}{c}-\frac{t^2}{8}\end{array}$ − 2.

Com base nessas informações, vamos determinar o valor de t para T(t) = −10, quêque é o momento em quêque o motor vai desligar, pois a câmara atingiu a tempera-túratemperatura mínima (−10 °C). Assim:

T(t)= −10 ⇒ $\begin{array}{c}-\frac{t^2}{8}\end{array}$ −2 = −10 ⇒ $\begin{array}{c}\frac{t^2}{8}\end{array}$ = 8 ⇒ t2 = 64 ⇒ $\{\begin{array}{c}t=\sqrt[]{64}=8\\ \mathrm{ou}\\ -\sqrt[]{64}=-8\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}$

Portanto, o motor dessa câmara voltará a desligar 8 h após atingir a tempera-túratemperatura mássimamáxima.

Página cento e cinquenta e sete157

ATIVIDADES

1. Identifique em quais dos itens a seguir a lei de formação corresponde a uma função quadrática f: ℝ → ℝ. Justifique sua resposta.

a) f(x) = x² + 9

b) f(x) = x (x − 1)

c) f(x) = x (x − 1) − x²

d) f(x) = 7 + 3x − 5x²

e) f(x) = (−x + 1)²

f) f(x) = 6x + $\frac{5}{2}$

1. a, b, d e e. Todos os itens indicados podem sêrser descritos pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.

2. Nas funções quadráticas definidas a seguir, identifique os coeficientes a, b e c.

a) f(x) = −5x² + 3x − 9

a = −5; b = 3; c = −9

b) f(x) = −0,4 + x²

a = 1; b = 0; c = −0,4

c) f(x) = $-\frac{1}{3}$ x² + 4 + $\frac{1}{7}$ x

a =$-\frac{1}{3}$; b = $\frac{1}{7}$; c =4

d) f(x) = 3,5x²

a = 3,5; b = 0; c = 0

e) f(x) = 4 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ + x²

a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ; b = 0; c = 4

f) f(x) = 4(x + 7)²

a = 4; b = 56; c = 196

3. Dadas as funções quadráticas definidas por f(x) = x² + 5x − 7 e g(x) = −2x² + 4x + 3, calcule:

a) f(2);

7

b) f(−3);

−13

c) g (5);

−27

d) g (−0,3);

1,62

e) f(−1) + g (9);

−134

f) 3 ⋅ f(3) − 2 ⋅ g (−1).

57

4. Observe a sequência de figuras compostas de quadrados.

a) Quantos quadrados compõem cada uma dessas três primeiras figuras da sequência?

4. a) figura 1: 5 quadrados; figura 2: 8 quadrados; figura 3: 13 quadrados

b) Qual das fichas a seguir apresenta a lei de formação de uma função quêque indica a quantidade de quadrados quêque compõem a figura x, sabendo quêque x é um número natural positivo?

f(x) = x² + 3x + 5

f(x) = −3x²

f(x) = x² + 4

f(x) = x² + 3

f(x) = x² + 4

c) Quantos quadrados compõem a figura 8 dessa sequência? Explique, com suas palavras, como você pensou.

68 quadrados.

Resposta pessoal.

5. Observe a figura de um quadrado.

a) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função f quêque relacione a área e a medida x do lado dêêssedesse quadrado.

f(x) = x²

b) Calcule f(5) e f(3). O quêque esses cálculos indicam?

5. b) f(5) = 25; f(3) = 9. Resposta esperada: Esses cálculos indicam quêque os quadrados cujos lados médemmedem 5 u.c. e 3 u.c. têm área com medidas de 25 u.a. e 9 u.a., respectivamente.

c) Qual afirmativa a seguir é correta?

I) A área dessa figura é diretamente proporcional à medida do lado dela.

II) A área dessa figura é diretamente proporcional ao dôbrodobro da medida do lado dela.

III) A área dessa figura é diretamente proporcional ao quadrado da medida do lado dela.

5. c) afirmativa III

6. pôdêmosPodemos calcular a quantidade d de diagonais de um polígono convexo de n lados por meio da função d (n) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(n-3\right)}{2}\end{array}$. No caso de um hekzágonohexágono convexo, por exemplo, temos:

d (6) = $\begin{array}{c}\frac{6\left(6-3\right)}{2}\end{array}$= 9; 9 diagonais

a) Calcule a quantidade de diagonais de um polígono convexo com:

• 7 lados;

14 diagonais

• 14 lados;

77 diagonais

• 18 lados.

135 diagonais

b) Identifique os valores dos coeficientes da função quadrática d.

a =$\frac{1}{2}$; b = $-\frac{3}{2}$;c = 0

c) Agora, com um colega, demonstrem a validade da expressão apresentada para calcular a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n lados.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página cento e cinquenta e oito158

7. Defina uma função quadrática indicando o domínio, o contradomínio e a lei de formação. Depois, destaque os coeficientes a, b e c e calcule o valor numérico dessa função para alguns elemêntoselementos do domínio. Por fim, troque seus registros com os de um colega para quêque um verifique se os procedimentos realizados pelo outro estão corretos.

Elaboração do estudante.

8. Uma cooperativa conta com 25 artesãos e produz bolsas utilizando retalhos de tecídostecidos. Eles trabalham na produção durante cinco dias por semana e, por dois dias, vão à feira vender as bolsas produzidas. Para calcular o custo de produção diário, em reais, a cooperativa utiliza a função f(x) = 0,2x² + 5x + 200. Nessa função, x é um número natural quêque representa a quantidade de bolsas produzidas, tal quêque 10 ≤ x ≤ 50.

a) Qual é o custo diário de produção dessa cooperativa quando são produzidas 15 bolsas? E quando são produzidas 40 bolsas?

8. a) R$ 320,00; R$ 720,00

b) cértoCerto dia, nessa cooperativa, foram produzidas 35 bolsas, e todas foram vendidas por um total de R$ 1.400,00. Qual foi o lucro obtídoobtido nessa venda?

R$ 780,00

DICA

Para resolver esta atividade, você pódepode, inicialmente, selecionar apenas os dados necessários indicados no enunciado.

9. Observe o bloco retangular no qual as medidas das arestas, em métrometro, estão indicadas por expressões algébricas.

a) Determine a lei de formação de uma função f quêque representa a área da base dêêssedesse bloco retangular, de acôr-doacordo com a medida x.

9. a) f(x) = x² − 9x + 20

b) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função g quêque representa a área total da superfícíesuperfície dêêssedesse bloco, de acôr-doacordo com a medida x.

g(x) = 6x² − 44x + 76

c) Qual é a área da base dêêssedesse bloco retangular para x = 10? E a área total de sua superfícíesuperfície?

30 m²; 236 m²

10. Leia o texto e, depois, faça o quêque se pede.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 354.

Observe, a seguir, o registro da distância percorrida por um objeto em queda livre, abandonado em repouso, no decorrer do tempo.

a) Que relação é possível identificar entre os números da primeira linha e os números correspondentes da segunda linha dêêssedesse qüadroquadro?

10. a) Resposta esperada: Cada número da segunda linha corresponde ao quadrado do respectivo número da primeira linha, multiplicado por 4,9.

DICA

Para identificar uma regularidade, divídadivida cada número indicado na segunda linha por 4,9 e compare o resultado com o número correspondente da primeira linha.

b) De acôr-doacordo com sua resposta ao item a, expresse a distância percorrida por um objeto em queda livre após t segundos de ele sêrser abandonado em repouso.

4,9t²

c) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função f quêque determina a distância f(t) percorrida por esse objeto, em métrometro, de acôr-doacordo com o tempo t de queda, em segundo. Essa função pódepode sêrser classificada como função quadrática?

f(t) = 4,9t²; sim

d) Calcule a distância percorrida por esse objeto após 10 s em queda livre.

490 m

e) De acôr-doacordo com a situação apresentada, na função f, o tempo t pódepode assumir qualquer valor real positivo? Justifique.

Não, após determinado tempo, o objeto deixa de estar em queda livre, pois atingirá uma superfícíesuperfície.

Página cento e cinquenta e nove159

11. Leia uma das normas estabelecidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), para acessibilidade em rampas.

[...] A largura das rampas (L) deve sêrser estabelecida de acôr-doacordo com o fluxo de pessoas. A largura livre mínima recomendável para as rampas em rótasrotas acessíveis é de 1,50 m, sêndosendo o mínimo admissível 1,20 m.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 58. Disponível em: https://livro.pw/gxslr. Acesso em: 8 fev. 2024.

cértoCerto escritório tem uma rampa de formato retangular, com 0,90 m de largura e 9 m de comprimento. Em uma reforma, pretende-se adequar essa rampa de acôr-doacordo com a norma descrita, aumentando sua largura e comprimento em uma mesma medida x, em métrometro.

a) Determine a área atual dessa rampa.

8,1 m²

b) Caso a medida quêque se aumentar na largura e no comprimento dessa rampa for de 50 cm, suas medidas estarão de acôr-doacordo com a norma descrita?

11. b) Com esse aumento, a rampa passa a ter 1,40 m de largura, o quêque a deixa “admissível” em relação à norma, mas abaixo do recomendado.

c) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função g quêque dêz-crevadescreva a área da rampa após a reforma, de acôr-doacordo com a medida x.

11. c) g(x) = x² + 9,9x + 8,1

d) De acôr-doacordo com a lei de formação da função g quêque você escreveu no item c, calcule g(0,6) e explique o quêque o resultado obtídoobtido indica.

11. d) g(0,6) = 14,4. Esse resultado indica quêque, aumentando 0,6 m no comprimento e na largura dessa rampa, sua área será de 14,4 m².

e) Com um colega, pesquisem uma rampa de acesso em algum prédio público do bairro ou do município onde vocês moram. Depois, meçam a largura dela e analisem se ela foi construída de acôr-doacordo com a norma apresentada. Por fim, registrem essas informações.

Pesquisa do estudante.

12. Leia o texto a seguir e, depois, faça o quêque se pede.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

a) Com suas palavras, explique por quêpor que, na suposta estratégia utilizada por Gauss para determinar a soma dos termos da sequência dos 100 primeiros números naturais positivos, dividiu-se por 2 o produto obtídoobtido da soma do primeiro e do último termos pela quantidade total de termos.

12. a) Resposta esperada: Porque, ao adicionar os termos extremos dessa sequência, obtêm-se 100 adições, e cada adição foi contada duas vezes. Assim, é preciso dividir por 2 para obtêrobter a soma correta.

b) De maneira análoga a Gauss, determine a soma dos 20 primeiros números naturais positivos. Depois, confira o resultado obtídoobtido em uma calculadora.

210

c) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função s para expressar a soma dos n primeiros números naturais positivos.

12. c) s(n) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(1+n\right)}{2}\end{array}$ ou s(n) = $\begin{array}{c}\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\end{array}$

d) Qual é a soma dos 130 primeiros números naturais positivos? E dos 801 primeiros números naturais positivos?

8.515; 321.201

Página cento e sessenta160

Zeros de uma função quadrática

Leia a situação descrita a seguir.

Para investigar a concentração de um medicamento na corrente sanguínea de determinada espécie animal, uma médica-veterinária realizou côlétascoletas do sanguesangue de um animal a cada uma hora e, com os dados obtidos, construiu um modelo matemático representado pela função quadrática c dada por c (t) = $-\frac{1}{5}$ ^t2 + 6t, em quêque y = c (t) indica, em miligrama por litro (mg/L), a concentração dêêssedesse medicamento na corrente sanguínea após t horas da aplicação.

De acôr-doacordo com o estudo realizado, quanto tempo após a aplicação identificou-se nula a concentração do medicamento na corrente sanguínea dêêssedesse animal?

Para resolver a situação apresentada, temos de determinar os valores de t para os quais c (t) = 0, ou seja, temos de obtêrobter os zeros dessa função quadrática.

DICA

Considere quêque o modelo matemático seja válido para o período da aplicação do medicamento até o momento em quêque se identificou nula sua concentração na corrente sanguínea do animal.

Desse modo, para determinar os zeros da função f dada por f(x) = ax² + bx + c, é preciso obtêrobter as raízes da equação ax² + bx + c = 0.

Assim, em relação à situação apresentada, temos:

c (t) = 0 ⇒ $-\frac{1}{5}$ t2 + 6t = 0 ⇒ t ⋅ ($-\frac{1}{5}$ t +6) = 0 ⇒ $\{\begin{array}{c}t=0\\ \mathrm{ou}\\ -\frac{1}{5}t+6=0\Rightarrow t=30\end{array}$

Portanto, de acôr-doacordo com o modelo matemático obtídoobtido, a concentração do medicamento na corrente sanguínea dêêssedesse animal ficou novamente nula 30 horas após a primeira aplicação.

PARA PENSAR

Nesta situação, o quêque representa t = 0?

Representa o momento em quêque o medicamento foi aplicado no animal pela primeira vez.

NO MUNDO DO TRABALHO

Página cento e sessenta e um161

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Em cada item, calcule os zeros da função f: ℝ → ℝ, definida por:

a) f(x) = 5x²;

b) f(x) = 2x² − 8;

c) f(x) = x² + 4x;

d) f(x) = 4x² − 20x + 25;

e) f(x) = x² + 6x + 5.

Resolução

Para resolver esses itens, podemos utilizar técnicas de fatoração de polinômios, assunto quêque você possivelmente estudou em anos anteriores.

a) f(x) = 0 ⇒ 5x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0

Portanto, o zero da função f é 0.

b) f(x) = 0 ⇒ 2x² − 8 = 0 ⇒ 2x² = 8 ⇒ x² = 4 ⇒ $\{\begin{array}{c}x=\sqrt[]{4}=2\\ \mathrm{ou}\\ x=-\sqrt[]{4}=-2\end{array}$

Portanto, os zeros da função f são 2 e −2.

c) f(x) = 0 ⇒ x² + 4x = 0 ⇒ x ⋅ (x + 4) = 0 ⇒ $\{\begin{array}{c}x=0\\ \mathrm{ou}\\ x+4=0\Rightarrow x=-4\end{array}$

Portanto, os zeros da função f são 0 e −4.

d) Fazendo f(x) = 0, temos 4x² − 20x + 25 = 0. Como o 1º membro dessa equação corresponde a um trinômio quadrado perfeito, podemos escrevê-lo como um produto notável.

4x² − 20x + 25 = 0 ⇒ (2x)² − 2 ⋅ 2x ⋅ 5 + 5² = 0 ⇒ (2x − 5)² = 0

Assim, segue quêque:

(2x − 5)² = 0 ⇒ 2x − 5 = 0 ⇒ x = $\frac{5}{2}$

Portanto, o zero da função f é $\frac{5}{2}$.

e) Fazendo f(x) = 0, temos x² + 6x + 5 = 0. pôdêmosPodemos utilizar o método de completar quadrados para resolver a equação. Para isso, adicionamos 4 em cada membro da equação e obtemos um trinômio quadrado perfeito no 1º membro.

x² + 6x + 5 + 4 = 0 + 4 ⇒ x² + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 3² = 4 ⇒ (x + 3)² = 4

Assim, segue quêque:

(x + 3)² = 4 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\left(x+3\right)=\sqrt[]{4}\Rightarrow x+3=2\Rightarrow x=-1\\ \mathrm{ou}\\ \left(x+3\right)=-\sqrt[]{4}\Rightarrow x+3=-2\Rightarrow x=-5\end{array}\end{array}$

Portanto, os zeros da função f são −1 e −5.

PARA PENSAR

Explique como podemos verificar se estão corretas as respostas dos itens apresentados nesta atividade resolvida.

Resposta esperada: Verificando, em cada item, se f(x) = 0 para cada valor de x obtídoobtido como zero da função f.

R4. Os zeros da função quadrática f(x) = x² + bx + c, em quêque b e c são números reais, são 3 e −5. Quais são os valores dos coeficientes b e c dessa função?

Resolução

Como 3 e −5 são os zeros da função quadrática f(x) = x² + bx + c, temos f(3) = 0 e f(−5) = 0.

• f(3) = 0 ⇒ 3² + b ⋅ 3 + c = 0 ⇒ 3b + c = −9

• f(−5) = 0 ⇒ (−5)² + b ⋅ (−5) + c = 0 ⇒ −5b + c = −25

Assim, podemos escrever e resolver, pelo método da adição, o seguinte sistema linear de duas equações do 1º grau com duas incógnitas:

$$\{\begin{array}{c}3b+c=-9\\ -5b+c=-25\cdot \left(-1\right)\end{array}\Rightarrow$$

Substituindo b = 2 em 3b + c = −9, temos:

3 ⋅ 2 + c = −9 ⇒ c = −15

Portanto, b = 2 e c = −15.

Página cento e sessenta e dois162

A fórmula resolutiva

Além das técnicas de fatoração para resolução de equações do 2º grau abordadas nas atividades resolvidas anteriores, é possível utilizar a fórmula resolutiva para resolver esse tipo de equação. Acompanhe a seguir.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: BOYER, CalCarl Benjamin. História da matemática. Tradução: Elza Furtado Gomide. 3. ed. São Paulo: Edgard BlãcherBlücher, 2010. p. 152.

pôdêmosPodemos deduzir a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau na forma ax² + bx + c = 0, em quêque a, b, c são números reais e a ≠ 0. Acompanhe.

a x² + bx + c = 0

x² + $\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$ = 0 ← Como a ≠ 0, podemos dividir ambos os membros da equação por a.

x² + $\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$ ← Subtraímos $\frac{c}{a}$ de ambos os membros da equação.

x² + $\begin{array}{c}\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\end{array}$ ← Utilizamos o método de completar quadrados. Para isso, adicionamos $\begin{array}{c}\frac{b^2}{4a^2}\end{array}$ a ambos os membros da equação.

$\begin{array}{c}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4\mathrm{ac}}{4a^2}\end{array}$ ← Escrevemos o primeiro membro da equação como um produto notável.

x + $\begin{array}{c}\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt[]{b^2-4\mathrm{ac}}}{2a}\end{array}$ ← Calculamos a raiz quadrada de ambos os membros da equação.

x = $\begin{array}{c}\frac{-b\pm \sqrt[]{b^2-4\mathrm{ac}}}{2a}\end{array}$ ← Subtraímos $\frac{b}{2a}$ de ambos os membros da equação.

DICA

Nesta dedução, para expressar as raízes da equação utilizando o método de completar quadrados, busca-se determinar um trinômio quadrado perfeito no 1º membro da igualdade.

Na fórmula em destaque, denominamos b² − 4ac de discriminante. A letra maiúscula grega delta é comumente utilizada para representar o discriminante. Assim, (delta)"Δ = b² − 4ac.

PARA AMPLIAR

Página cento e sessenta e três163

É possível estudar as raízes reais de uma equação do 2º grau com base no valor do discriminante (delta)"Δ = b² − 4ac. Acompanhe.

Se (delta)"Δ > 0, então $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\end{array}$ _ ∈ ℝ. Assim: x = $\begin{array}{c}\frac{-b\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{-b+\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{-b-\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}\end{array}\end{array}$

Nesse caso, a equação tem duas raízes reais distintas.

Se (delta)"Δ = 0, então $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\end{array}$ _ = 0. Assim: x = $\begin{array}{c}\frac{-b\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-b\pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}\end{array}$

Nesse caso, a equação tem duas raízes reais e iguais.

Se (delta)"Δ < 0, então $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{\Delta }}\end{array}$ ∉ ℝ.

Nesse caso, a equação não tem raiz real.

Com isso, podemos concluir:

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R5. Determine os zeros da função f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 4x² + 16x − 20.

Resolução

Para resolver esta quêquestão, podemos elaborar um algoritmo, que consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.

1ª) Fazemos f(x) = 0, obtendo a equação 4x² + 16x − 20 = 0.

2ª) Identificamos os valores dos coeficientes da equação: a = 4, b = 16 e c = −20.

3ª) Calculamos o valor do discriminante: (delta)"Δ = 16² − 4 ⋅ 4 ⋅ (−20) = 256 + 320 = 576.

4ª) Utilizamos a fórmula resolutiva para obtêrobter os zeros da função f.

x = $\begin{array}{c}\frac{-16\pm \sqrt[]{576}}{2\cdot 4}=\frac{-16\pm 24}{8}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{-16+24}{8}=\frac{8}{8}=1\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{-16-24}{8}=\frac{-40}{8}=-5\end{array}\end{array}$

Portanto, f tem dois zeros reais distintos: 1 e −5.

PARA PENSAR

Esse algoritmo pódepode sêrser adaptado para resolver outras kestõesquestões com estruturas parecidas. No caderno, ajuste o algoritmo apresentado de maneira quêque ele possa sêrser utilizado para determinar os zeros de qualquer função quadrática. Depois, utilize-o para determinar os zeros das funções definidas por g(x) = 9x² − 12x + 4 e h(x) = x² − 4x + 10.

Dada uma função quadrática f, elaborar o seguinte algoritmo em etapas para determinar os zeros de f: 1ª) Escrever a equação do 2º grau f(x) = 0; 2ª) Identificar os coeficientes a, b e c da equação ôbitídaobtida; 3ª) Calcular o discriminante (delta)"Δ = b² − 4ac; 4ª) Se (delta)"Δ < 0, a função f não tem zero real; se (delta)"Δ ≥ 0, calcular os zeros da função por meio da fórmula resolutiva x = $\begin{array}{c}\frac{-b\pm \sqrt[]{\mathrm{\Delta }}}{2\cdot a}\end{array}$ . A função g tem dois zeros reais e iguais a $\frac{2}{3}$, e a função h não tem zero real.

Página cento e sessenta e quatro164

R6. Dada a função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 3x² + 6x + k + 1, determine para quais valores reais de k é possível afirmar quêque f:

a) tem dois zeros reais distintos;

b) tem dois zeros reais e iguais;

c) não tem zero real.

Resolução

Inicialmente, calculamos o discriminante (delta)"Δ:

(delta)"Δ = 6² − 4 ⋅ 3 ⋅ (k + 1) = 36 − 12k − 12 = 24 − 12k

a) Para f ter dois zeros reais distintos, devemos ter (delta)"Δ > 0:

24 − 12k > 0 ⇒ −12k > −24 ⇒ k < 2

Portanto, f terá dois zeros reais distintos se k < 2.

b) Para f ter dois zeros reais e iguais, devemos ter (delta)"Δ = 0:

24 − 12k = 0 ⇒ −12k = −24 ⇒ k = 2

Portanto, f terá dois zeros reais e iguais se k = 2.

c) Para f não ter zero real, devemos ter (delta)"Δ < 0:

24 − 12k < 0 ⇒ −12k < −24 ⇒ k > 2

Portanto, f não terá zero real se k > 2.

R7. Em uma indústria de cerâmica, o custo c de produção, em reais, de acôr-doacordo com a quantidade q de vasos produzidos para uma encomenda, pódepode sêrser determinado por c (q) = 0,01q² − 2q + 110. É possível produzir uma encomenda de certa quantidade dêêssedesse vaso, de maneira quêque o custo por unidade seja zero?

Resolução

Para quêque o custo por vaso produzido seja zero, devemos ter:

c (q) = 0 ⇒ 0,01q² − 2q + 110 = 0

Calculando o discriminante da equação ôbitídaobtida, temos:

(delta)"Δ = (−2)² − 4 ⋅ 0,01 ⋅ 110 = 4 − 4,4 = −0,4

Como (delta)"Δ < 0, a equação 0,01q² − 2q + 110 = 0 não tem raiz real.

Portanto, não é possível produzir nessa indústria uma encomenda com certa quantidade de vasos de maneira quêque o custo por unidade seja zero.

R8. Determine os valores inteiros quêque o número real m pódepode assumir, de maneira quêque a função dada por f(x) = x² − 2x + m não tenha zero real e a função dada por g (x) = −mx² + 20x − 25 tenha dois zeros reais distintos.

Resolução

Para quêque f não tenha zero real, é necessário quêque:

• (delta)"Δ < 0 ⇒ (−2)² − 4 ⋅ 1 ⋅ m < 0 ⇒ 4 − 4m < 0 ⇒ −4m < −4 ⇒ m > 1

Para quêque g tenha dois zeros reais distintos, é necessário quêque:

• (delta)"Δ > 0 ⇒ 20² − 4 ⋅ (−m) ⋅ (−25) > 0 ⇒ 400 − 100m > 0 ⇒ −100m > −400 ⇒ m < 4

Para satisfazer ambas as condições, temos 1 < m < 4.

Portanto, os valores inteiros quêque o número real m pódepode assumir são 2 e 3.

Página cento e sessenta e cinco165

ATIVIDADES

13. Determine os zeros da função f: ℝ → ℝ, definida por:

a) f(x) = 5x² + 3

f não tem zero real.

b) f(x) = 8x − 2x²

0 e 4

c) f(x) = x² − 10x + 25

5

d) f(x) = −2x² + 3x − 5

f não tem zero real.

e) f(x) = 3x² + 8x + 4

−2 e $-\frac{2}{3}$

f) f(x) = −2x² + 2x + 24

−3 e 4

14. Retome a atividade 13 e confira as respostas usando uma estratégia diferente da quêque você usou. Podem sêrser empregadas técnicas de fatoração ou fórmula resolutiva.

Resposta pessoal.

15. Seja g: ℝ → ℝ uma função quadrática, definida por g(x) = (2m − 3)x² + 2x + 2. Calcule para quais valores reais de m a função g:

a) tem dois zeros reais distintos;

m < $\frac{7}{4}$

b) tem dois zeros reais e iguais;

m = $\frac{7}{4}$

c) não tem zero real.

m > $\frac{7}{4}$

16. O gestor de uma microempresa do ramo moveleiro, quêque produz e vende móveis planejados, elaborou um modelo matemático para descrever o lucro y = s (x), em reais, obtídoobtido com a venda de cada unidade de cadeira produzida pela empresa, de acôr-doacordo com a quantidade x de unidades vendidas na semana. Com base em dados registrados e utilizando um programa de computador, ele concluiu quêque s (x) = −0,01x² + 1,2x − 11.

a) Calcule s (20). O quêque esse resultado representa?

16. a) s(20) = 9. Representa quêque, se forem vendidas 20 cadeiras na semana, a microempresa terá um lucro de R$ 9,00 por cadeira.

b) Ao vender em certa semana 80 cadeiras, quantos reais, ao todo, essa microempresa terá de lucro com esse produto?

R$ 1.680,00

c) Para quêque o lucro por unidade seja nulo, quantas cadeiras devem sêrser vendidas em uma semana?

10 cadeiras ou 110 cadeiras

17. Em uma comunidade foi construída uma cistérnacisterna para armazenamento de á guaágua da chuva. Em uma visita técnica, foi constatado um vazamento por causa de uma rachadura na estrutura dessa cistérnacisterna. Com isso, identificou-se quêque a cada hora o volume v de á guaágua na cistérnacisterna, em métrometro cúbico, diminuía de acôr-doacordo com a função v dada por v (t) = $-\frac{1}{12}$ ^t2 + 48, após t horas do início do vazamento e considerando-a inicialmente cheia.

a) Qual é a capacidade de armazenamento de á guaágua dessa cistérnacisterna?

48 metros cúbicos

b) Qual é o volume de á guaágua da cistérnacisterna 6 h após o início do vazamento?

45 metros cúbicos

c) Considerando quêque a cistérnacisterna precisa estar completamente vazia para quêque seja feito o reparo da rachadura, quantas horas após o início do vazamento poderá sêrser realizado esse reparo?

24 h

18. O fluxograma a seguir representa um algoritmo quêque descreve características das raízes de uma equação do 2º grau de acôr-doacordo com o valor do discriminante (delta)"Δ. Nele, duas perguntas foram substituídas pelas lêtrasletras A e B destacadas.

Associe cada uma das lêtrasletras A e B destacadas no fluxograma a uma das kestõesquestões indicadas a seguir.

(delta)"Δ = 0? (delta)"Δ < 0? (delta)"Δ > 0?

A: (delta)"Δ > 0?; B: (delta)"Δ < 0?

19. Junte-se a um colega e, utilizando a fórmula resolutiva, mostrem quêque, sêndosendo x₁ e x₂ zeros da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, temos quêque x₁ + x₂ = $-\frac{b}{a}$ e ^x₁ ⋅ x₂ = $\frac{c}{a}$.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página cento e sessenta e seis166

Gráfico de uma função quadrática

Para esboçar o gráfico da função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x², podemos atribuir alguns valores arbitrários para x, obtêrobter pares ordenados (x, y) e representá-los no plano cartesiano. Acompanhe.

Como D(f) = ℝ, é possível obtêrobter, por meio da lei de formação, infinitos pares ordenados (x, y) correspondentes a pontos do gráfico de f.

Esse gráfico corresponde a uma parábola. Observe o gráfico de f, em quêque foi destacado o eixo de simetria da parábola, quêque a intersecta em um único ponto, denominado vértice da parábola.

DICA

É possível demonstrar quêque o gráfico de qualquer função quadrática f: ℝ → ℝ é uma parábola.

Agora, obissérveobserve o esboço do gráfico da função g: ℝ → ℝ, definida por g (x) = x² − 4x + 3.

Página cento e sessenta e sete167

Interseção do gráfico de uma função quadrática com os eixos cartesianos

Para esboçar o gráfico de uma função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar seus pontos de interseção com os eixos cartesianos.

Os pontos de interseção do gráfico de f com o eixo x, quando existem, são aqueles de coordenadas (x, 0). Assim, a abscissa x de cada um dêêssesdesses pontos corresponde a um zero real da função, pois é ôbitídaobtida quando f(x) = 0.

O ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y é aquele de coordenadas (0, y). Assim, a ordenada y dêêssedesse ponto corresponde a y = f(0).

Como f(0) = a ⋅ 0² + b ⋅ 0 + c ⇒ f(0) = c, então y = c.

Portanto, o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, c).

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Determine a lei de formação da função quadrática f: ℝ → ℝ cujo gráfico está representado na figura.

Resolução

Temos quêque a função f é definida por f(x) = ax² + bx + c.

Como o gráfico intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 6), segue quêque c = 6.

Já o eixo x é intersectado pelo gráfico nos pontos de coordenadas (4, 0) e (12, 0), ou seja, 4 e 12 são os zeros de f. Assim:

• f(4) = 0 ⇒ a ⋅ 4² + b ⋅ 4 + 6 = 0 ⇒ 16a + 4b + 6 = 0

• f(12) = 0 ⇒ a ⋅ 12² + b ⋅ 12 + 6 = 0 ⇒ 144a + 12b + 6 = 0

Para obtêrobter os valores de a e b, resolvemos o seguinte sistema de equações:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}16a+4b+6=0\\ 144a+12b+6=0\end{array}\cdot \left(-3\right)\Rightarrow \end{array}$

Substituindo a = $\frac{1}{8}$ na primeira equação dêêssedesse sistema, temos:

16 ⋅ $\frac{1}{8}$ +4b +6 = 0 ⇒ 2 + 4b + 6 = 0 ⇒ 4b = −8 ⇒ b = −2.

Logo, f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{8}\end{array}$ − 2x + 6.

Página cento e sessenta e oito168

R10. Determine as coordenadas dos pontos de interseção entre os eixos cartesianos e o gráfico da função f: ℝ → ℝ, definida por:

a) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}\end{array}$ − 1;

b) f(x) = −x² + 4x − 4;

c) f(x) = −x² − 2x + 3;

d) f(x) = 3x² − 7x + 6.

Resolução

a) • Interseção com o eixo x:

f(x) = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}\end{array}$ − 1 = 0 ⇒

⇒ x² = 4 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\sqrt[]{4}=2\\ \mathrm{ou}\\ x=-\sqrt[]{4}=-2\end{array}\end{array}$

• Interseção com o eixo y:

f(0) = $\begin{array}{c}\frac{0^2}{4}\end{array}$ − 1 = −1

Portanto, o gráfico de f intersecta o eixo x nos pontos de coordenadas (−2, 0) e (2, 0) e o eixo y no ponto de coordenadas (0, −1).

b) • Interseção com o eixo x:

f(x) = 0 ⇒ −x² + 4x − 4 = 0

a = −1; b = 4; c = −4

(delta)"Δ = 4² − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−4) = 0

x = $\begin{array}{c}\frac{-4\pm \sqrt[]{0}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}\end{array}$ =2

• Interseção com o eixo y:

f(0) = −0² + 4 ⋅ 0 − 4 = −4

Portanto, o gráfico de f intersecta o eixo x

apenas no ponto de coordenadas (2, 0) e o eixo y no ponto de coordenadas (0, −4).

c) • Interseção com o eixo x:

f(x) = 0 ⇒ −x² − 2x + 3 = 0

a = −1; b = −2; c = 3

(delta)"Δ = (−2)² − 4 ⋅ (−1) ⋅ 3 = 16

x = $\begin{array}{c}\frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt[]{16}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2\pm 4}{-2}\end{array}$ ⇒

⇒ $\{\begin{array}{c}x=\frac{2+4}{-2}-3\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{2-4}{-2}=1\end{array}$

• Interseção com o eixo y:

f(0) = −0² − 2 ⋅ 0 + 3 = 3

Portanto, o gráfico de f intersecta o eixo x nos pontos de coordenadas (−3, 0) e (1, 0) e o eixo y no ponto de coordenadas (0, 3).

d) • Interseção com o eixo x:

f(x) = 0 ⇒ 3x² − 7x + 6 = 0

a = 3; b = −7; c = 6

(delta)"Δ = (−7)² − 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = −23

Como (delta)"Δ < 0, a equação f(x) = 0 não tem raiz real.

• Interseção com o eixo y:

f(0) = 3 ⋅ 0² − 7 ⋅ 0 + 6 = 6

Portanto, o gráfico de f intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 6) e não intersecta o eixo x.

R11. Analise a atividade resolvida R10 e explique em quais casos o gráfico de uma função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax² + bx + c:

a) intersecta o eixo x em dois pontos distintos;

b) intersecta o eixo x em um único ponto;

c) não intersecta o eixo x.

Resolução

Ao reconhecer padrões entre a quantidade de raízes reais distintas de uma função ou o valor do discriminante e a quantidade de vezes quêque o gráfico dessa função intersecta o eixo x, é possível propor a seguinte generalização.

a) O gráfico de f intersecta o eixo x em dois pontos distintos quando ax² + bx + c = 0 tem duas raízes reais distintas, ou seja, quando (delta)"Δ > 0.

b) O gráfico de f intersecta o eixo x em um único ponto quando ax² + bx + c = 0 tem duas raízes reais e iguais, ou seja, quando (delta)"Δ = 0.

c) O gráfico de f não intersecta o eixo x quando ax² + bx + c = 0 não tem raiz real, ou seja, quando (delta)"Δ < 0. Nesse caso, o gráfico fica todo acima ou todo abaixo do eixo x.

Página cento e sessenta e nove169

A parábola e os coeficientes de uma função quadrática

Estudaremos, agora, relações entre os coeficientes de uma função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax² + bx + c, e a parábola correspondente ao seu gráfico.

Coeficiente a

Observe a representação do gráfico de diversas funções quadráticas definidas por y = ax² + bx + c alterando apenas o valor do coeficiente a.

PARA PENSAR

Note quêque, no par de funções f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}\end{array}$ e n(x) = $\begin{array}{c}-\frac{x^2}{4}\end{array}$, os valores absolutos do coeficiente a são iguais, ou seja, $\begin{array}{c}\left|\frac{1}{4}\right|=\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{4}\end{array}$. Identifique, entre as funções apresentadas, outros pares de funções cujos valores absolutos do coeficiente a sêjamsejam iguais. Depois, analise e responda: o quêque você pódepode observar nos gráficos dêêssesdesses pares de funções, com relação à abertura das parábolas?

Observando as parábolas de cada plano cartesiano, o quêque elas têm em comum?

g e p, h e q, m e r. Resposta esperada: As parábolas têm a mesma abertura. Resposta esperada: Todas as parábolas do plano cartesiano da esquerda têm a concavidade voltada para cima, e todas as parábolas do plano cartesiano da direita têm a concavidade voltada para baixo.

Página cento e setenta170

Coeficientes b e c

Observe, a seguir, os gráficos das funções quadráticas f, g e h.

O ramo crescente e o ramo decrescente se reféremreferem às partes do gráfico cujos pontos da função quadrática correspondem aos intervalos do domínio em quêque essa função é crescente ou decrescente, respectivamente.

PARA PENSAR

No gráfico de uma função quadrática, em quêque a > 0, o ramo crescente é localizado à esquerda ou à direita do vértice da parábola correspondente a esse gráfico? Explique como você pensou para responder a essa questão.

À direita. Resposta esperada: Analisando a concavidade da parábola no caso de a > 0.

ATIVIDADES

20. Esboce o gráfico da função f: ℝ → ℝ, definida por:

Respostas nas Orientações para o professor.

a) f(x) = x² − 5;

b) f(x) = −2x² + 4x + 1;

c) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{2}\end{array}$ − 2x + 3;

d) f(x) = −x² − 6x − 2.

21. Determine as coordenadas dos pontos do gráfico da função f: ℝ → ℝ, definida em cada item a seguir, quêque intersectam os eixos cartesianos.

a) f(x) = 4x² − 2x − 12

21. a) eixo x: $\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{2},0\end{array},\right)$ e (2, 0); eixo y: (0, −12)

b) f(x) = −3x² + 4x + 7

21. b) eixo x: (−1, 0) e $\left(\begin{array}{c}-\frac{7}{3},0\end{array}\right)$; eixo y: (0, 7)

c) f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{5}\end{array}$ − 3x + 10

21. c) eixo x: (5, 0) e (10, 0); eixo y: (0, 10)

d) f(x) = −2x² + 8x − 8

21. d) eixo x: (2, 0); eixo y: (0, −8)

Página cento e setenta e um171

22. Os gráficos a seguir representam funções quadráticas f: ℝ → ℝ, definidas por f(x) = ax² + bx + c. Em cada item, identifique se os coeficientes a, b e c são: maiores, menóresmenores ou iguais a zero. Justifique as respostas.

Respostas nas Orientações para o professor.

a)

b)

c)

d)

23. Determine a lei de formação da função quadrática f: ℝ → ℝ representada pelo gráfico a seguir e explique o procedimento quêque você usou.

23. f(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}\end{array}$ + x − 3. Elaboração do estudante.

24. Observe, a seguir, o gráfico da função quadrática f(x)= $\begin{array}{c}-\frac{x^2}{4}\end{array}$ + x + 4 com eixo de simetria e.

a) Com base nesse gráfico, escrêevaescreva as coordenadas do vértice V e de dois pares de pontos simétricos em relação ao eixo de simetria e.

24. a) V(2, 5); Respostas possíveis: (0, 4) e (4, 4); (−2, 1) e (6, 1).

b) Que padrão você pódepode observar em relação às abscissas de quaisquer dois pontos simétricos quêque você indicou no item a e a abscissa do vértice da parábola?

24. b) Resposta esperada: Quando dois pontos quaisquer do gráfico de uma função quadrática são simétricos em relação ao eixo de simetria, a média aritmética das abscissas dêêssesdesses pontos corresponde à abscissa do vértice da parábola.

25. Para calcular a área de um polígono regular, podemos decompô-lo em triângulos congruentes e determinar a área de cada um deles.
Observe, por exemplo, o cálculo da área A de um hekzágonohexágono regular de lados medindo 2 cm.

2² = 1² + h² ⇒ h = $\sqrt[]{3}$

A = 6 ⋅ $\left(\frac{2\cdot \sqrt[]{3}}{2}\right)=6\sqrt[]{3}$ → $6\sqrt[]{3}$ cm²

Agora, considerando um hekzágonohexágono regular de lados medindo x centímetros, com x > 0, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Justifique os cálculos realizados no exemplo em quêque foi determinada a área do hekzágonohexágono regular de lado medindo 2 cm.

25. a) Resposta nas Orientações para o professor.

b) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função f para expressar o perímetro dêêssedesse hekzágonohexágono regular de acôr-doacordo com a medida x.

f(x) = 6x

c) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função g para expressar a área dêêssedesse hekzágonohexágono regular de acôr-doacordo com a medida x.

g(x) = $\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ x²

d) Classifique f e g em: função afim, função linear, função modular ou função quadrática.

25. d) f: função afim e função linear; g: função quadrática

e) Quais são o perímetro e a área de um hekzágonohexágono com 4 cm de lado? E com 8 cm de lado?

25. e) Perímetro: 24 cm; área: $\begin{array}{c}24\sqrt[]{3}\end{array}$ cm². Perímetro: 48 cm; área: $\begin{array}{c}96\sqrt[]{3}\end{array}$ cm² .

f) Em um mesmo plano cartesiano, represente os gráficos de f e g. Você pódepode esboçar esses gráficos em uma malha quadriculada ou utilizando um programa de computador.

25. f) Resposta nas Orientações para o professor.

g) Leia as afirmativas verdadeiras a seguir e justifique a validade delas.

I) O perímetro de um hekzágonohexágono regular é diretamente proporcional à medida de seu lado.

II) A área de um hekzágonohexágono regular é diretamente proporcional ao quadrado da medida de seu lado.

25. g) Resposta nas Orientações para o professor.

Página cento e setenta e dois172

26. A seguir, estão relacionadas as coordenadas de alguns pontos dos gráficos das funções quadráticas f, g e h.

Agora, com um colega, resolvam os itens a seguir.

a) Determinem os valores correspondentes às lêtrasletras A, B e C.

A: 4; B: −2; C: $\frac{1}{2}$

b) Utilizando um plano cartesiano para cada função, representem os gráficos de f, g e h.

26. b) Resposta nas Orientações para o professor.

c) Os coeficientes de cada função são maiores, menóresmenores ou iguais a zero?

26. c) f: a > 0, b = 0 e c = 0; g: a < 0, b = 0 e c = 0; h: a > 0, b = 0 e c = 0

d) Escrevam a lei de formação das funções f, g e h. Em seguida, descrevam o quêque elas têm em comum.

26. d) f(x) = x²; g (x) = −2x²; h(x) = $\begin{array}{c}\frac{x^2}{2}\end{array}$. Resposta esperada: As três funções quadráticas são definidas por uma lei de formação do tipo y = ax², com a ≠ 0, e o vértice da parábola correspondente ao gráfico de cada uma delas coincide com a origem O dos eixos cartesianos.

27. escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quadrática f cujo gráfico corresponda a uma parábola com concavidade voltada para baixo e quêque intersecta o eixo das ordenadas no seu ramo decrescente.

27. Resposta esperada: f(x) = ax² + bx + c, com a < 0 e b < 0 e c um número real qualquer. Respostas possíveis: f(x) = −2x² − 3x; f(x) = −x² − x + 3.

28. Atualmente, existem diferentes robôs quêque podem sêrser utilizados em treinamentos de diversas modalidades esportivas. Por exemplo, robôs lançadores de bolas de tênis, quêque possibilitam ao atleta treinar sózínhosozinho.

Em um experimento ao ar livre, utilizando um robô instalado em um piso plano, uma bola de tênis foi lançada do chão de maneira quêque sua trajetória pódepode sêrser descrita pela função f: [0, 8] → ℝ, definida por f(x) = −x² + 8x, em quêque y = f(x) corresponde à altura dessa bola, em métrometro, após x segundos do momento em quêque ela foi lançada.

Acompanhe, a seguir, o gráfico dessa função, com alguns pontos destacados.

Para analisar quanto variou, em média, a altura da bola durante parte dessa trajetória, podemos calcular a taxa de variação média de f, para x variando de x₁ até x₂, com x₁ ≠ x₂, dada por $\begin{array}{c}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\end{array}$.Por exemplo, a taxa de variação média de f no intervalo de tempo de 1 s até 3 s é dada por:

$\begin{array}{c}\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}=\frac{15-7}{2}\end{array}$ = 4

Portanto, podemos dizêrdizer quêque, no intervalo de tempo de 1 s até 3 s após o momento em quêque a bola foi lançada, sua altura variou, em média, 4 m a cada segundo.

Agora, calcule a taxa de variação média dessa função para x variando de x₁ = 0 até x₂ = 3. Depois, interpréteinterprete esse resultado de acôr-doacordo com o contexto apresentado.

28. 5; Resposta esperada: Esse resultado indica quêque, no intervalo de tempo de 0 s até 3 s após o momento em quêque a bola foi lançada, sua altura variou, em média, 5 m a cada segundo.

29. Determine a taxa de variação média da função f: ℝ → ℝ em cada caso a seguir.

a) f(x) = 3x² + 2x, para x variando de −4 até 1.

−7

b) f(x) = −x² − 8x + 5, para x variando de −3 até 4.

−9

c) f(x) = −5x² + x − 4, para x variando de −6 até 0.

31

d) f(x) = $\frac{x^2}{6}$ + 3x + 1, para x variando de 2 até 10.

5

Página cento e setenta e três173

30. Você sabe o quêque é a distância de frenagem de um automóvel? É a distância quêque ele percórrepercorre do momento em quêque o motorista pisa no freio até o momento em quêque o veículo para completamente. Considere quêque a distância de frenagem d, em métrometro, de cértocerto automóvel em relação à velocidade v, em quilômetro por hora, pódepode sêrser modelada de acôr-doacordo com a função quadrática representada no gráfico a seguir.

a) Com base em seus conhecimentos sobre o trânsito, responda aos itens a seguir.

• O motorista quêque dirige utilizando o celular tem maior ou menor chance de se envolver em um acidente? Justifique.

• Quais são as consequências do uso do celular ao dirigir?

30. a) • Resposta esperada: Maior chance, pois o uso do celular é uma distração para o condutor. • Resposta esperada: Redução do tempo de reação (para realizar uma frenagem ou mesmo para perceber e respeitar os sinais de trânsito), dificuldade de manter corretamente o carro na pista e de manter uma distância segura do veículo da frente.

b) Explique o quêque o ponto de coordenadas (40; 7,6) do gráfico indica em relação à situação apresentada.

30. b) Resposta esperada: Indica quêque, ao pisar no freio dêêssedesse automóvel, quando ele está a uma velocidade de 40 km/h, o veículo percórrepercorre uma distância de 7,6 m antes de parar.

c) Qual é a distância de frenagem dêêssedesse automóvel a uma velocidade de 60 km/h?

17,1 m

d) Determine a velocidade dêêssedesse automóvel para quêque a distância de frenagem seja igual a 48,1 m.

100 km/h

e) escrêevaEscreva a lei de formação da função quêque relaciona a distância de frenagem d, em métrometro, percorrida por esse automóvel de acôr-doacordo com a velocidade v, em quilômetro por hora, no momento da frenagem.

30. e) d(v) = $\begin{array}{c}\frac{v^2}{200}-\frac{v}{40}+\frac{3}{5}\end{array}$

f) Considere quêque esse automóvel esteja trafegando a uma velocidade de 50 km/h. O motorista, ao observar um obstáculo à sua frente, aciona o freio quando está a 8 m dêêssedesse obstáculo e se mantém em linha reta. O motorista vai conseguir evitar a colisão com o obstáculo? Justifique.

30. f) Não, pois, de acôr-doacordo com o modelo matemático, a distância de frenagem será de 11,85 m, ou seja, maior quêque a distância do automóvel até o obstáculo.

31. Observe, a seguir, as recomendações de cértocerto fabricante de aparelhos de ar-condicionado no quêque se refere à relação entre a medida do lado de uma região quadrada e a quantidade mínima de BTUs (sigla em inglês cujo significado é “Unidade Térmica Britânica”) de um ar-condicionado. Nesse caso, está sêndosendo desconsiderada a existência de aparelhos elétricos e de pessoas na região.

a) Em um plano cartesiano, represente a relação indicada.

Resposta nas Orientações para o professor.

b) DivídaDivida cada número da segunda linha do qüadroquadro por 600 e compare o resultado obtídoobtido com o número correspondente da primeira linha. Que relação é possível identificar entre os números da primeira linha e os números correspondentes da segunda linha dêêssedesse qüadroquadro?

31. b) 600 ∶ 600 = 1 e 1 = 1²; 2.400 ∶ 600 = 4 e 4 = 2²; 5.400 ∶ 600 = 9 e 9 = 3²; 9.600 ∶ 600 = 16 e 16 = 4²; 15.000 ∶ 600 = 25 e 25 = 5². Resposta esperada: Cada número da segunda linha corresponde ao quadrado do respectivo número da primeira linha, multiplicado por 600.

c) Com base na sua resposta ao item b, expresse a quantidade de BTUs de acôr-doacordo com a medida (éli)"ℓ do lado de uma região quadrada, em métrometro.

600(éli)"ℓ²

d) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quêque relaciona a quantidade q de BTUs do ar-condicionado à medida do lado (éli)"ℓ de uma região quadrada, em métrometro, com (éli)"ℓ > 0. Essa função pódepode sêrser classificada como função quadrática?

q((éli)"ℓ) = 600(éli)"ℓ²; sim

e) Calcule quantos BTUs, no mínimo, esse fabricante recomendaria para uma região quadrada cuja medida do lado é igual a:

• 2,5 m;

3.750 BTUs

• 6 m;

21.600 BTUs

• 10 m.

60.000 BTUs

f) Para utilizar um ar-condicionado de 48.600 BTUs, é necessário quêque a região quadrada tenha quantos metros de lado, no mássimomáximo?

9 m

Página cento e setenta e quatro174

Vértice da parábola

Estudamos quêque o eixo de simetria de uma parábola a intersecta em um único ponto, denominado vértice da parábola. Agora, vamos estudar como obtêrobter as coordenadas dêêssedesse ponto.

Considere, por exemplo, a função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = x² − 6x + 5, cujo gráfico está representado a seguir. Note quêque os pontos A(0, 5) e A’(6, 5) são pontos da parábola quêque têm ordenadas iguais e, portanto, são simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.

Ao calcularmos a média aritmética das abscissas dos pontos A e A’, obtemos a abscissa do vértice da parábola. Acompanhe.

Para obtêrobter a ordenada do vértice da parábola, calculamos f(3).

f(3) = 3² − 6 ⋅ 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4

Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são V (3, −4).

pôdêmosPodemos obtêrobter as coordenadas do vértice V (x_v, y_v) de uma parábola a partir dos coeficientes da função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = ax² + bx + c. Para isso, consideramos dois pontos distintos da parábola, simétricos em relação ao eixo de simetria, de coordenadas (x_v − p, y_p) e (x_v + p, y_p), p > 0, conforme representado no gráfico a seguir.

Página cento e setenta e cinco175

Como f(x_v − p) = y_p e f(x_v + p) = y_p, temos:

f(x_v − p) = f(x_v + p) ⇒ a (x_v − p)² + b (x_v − p) + c = a (x_v + p)² + b (x_v + p) + c ⇒

⇒ a (x²_v − 2x_v p + p²) + b (x_v − p) + c = a (x²_v + 2x_v p + p²) + b (x_v + p) + c ⇒

⇒ −2ax_v p − bp = 2ax_v p + bp ⇒ −4ax_v p = 2bp ⇒ x_v = $-\frac{2\mathrm{bp}}{4\mathrm{ap}}=-\frac{b}{2a}$

Para obtêrobter y_v = f(x_v):

y_v = $\begin{array}{c}f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a{\left(-\frac{b}{2a}\right)}^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)\end{array}$ + c = a ⋅$\begin{array}{c}\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}\end{array}$ + c =

= $\begin{array}{c}\frac{b^2-2b^2+4\mathrm{ac}}{4a}=\frac{-b^2+4\mathrm{ac}}{4a}=-\frac{b^2-4\mathrm{ac}}{4a}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}\end{array}$

ATIVIDADE RESOLVIDA

R12. Calcule e represente graficamente as coordenadas do vértice V da parábola correspondente ao gráfico da função quadrática f: ℝ → ℝ, definida por:

a) f(x) = x² − 3x − 10;

b) f(x) = −2x² − 4x + 6.

Resolução

a) x_v = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}$

y_v = $\begin{array}{c}-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=-\frac{{\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)}{4\cdot 1}=-\frac{49}{4}\end{array}$