UNIDADE 5
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Qual é o objetivo dos métodos científicos apresentados?

2. Como é ôbitídaobtida uma conclusão no método indutivo? E no método dedutivo?

3. Pense em algum conceito matemático quêque possa sêrser estudado por meio do método dedutivo. Explique com suas palavras como seriam as etapas de desenvolvimento metodológico.

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Teorema de Tales

Na abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre dois métodos científicos, entre eles, o método dedutivo, normalmente utilizado na Matemática. Há indícios de quêque a característica demonstrativa da Matemática tenha se iniciado com Tales de Mileto (c. 624-620 a.C.-c. 548-545 a.C.). Uma de suas principais contribuições à Matemática é o teorema de Tales, quêque estudaremos a seguir.

Você lembra o quêque é um feixe de retas paralelas? A partir dêêssedesse conceito, vamos enunciar o teorema de Tales, um resultado quêque será bastante utilizado na resolução das atividades. Denominamos feixe de retas paralelas um conjunto de retas de um mesmo plano e paralelas entre si.

De acôr-doacordo com esse teorema, ao considerar um feixe de retas paralelas r, s e t e duas retas, u e v, transversais a esse feixe, podemos escrever as proporções a seguir.

$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$

$$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$$

$$\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$$

Observe, por exemplo, a representação de um feixe de retas paralelas r, s e t e de duas retas transversais a esse feixe, u e v.

Utilizando o teorema de Tales, podemos determinar a medida x de EF.

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\Rightarrow \frac{\mathrm{2,04}}{\mathrm{3,06}}=\frac{\mathrm{2,56}}{x}$ ⇒ 2, 04x = 7, 8336 ⇒ x = $\frac{\mathrm{7,8336}}{\mathrm{2,04}}$ = 3, 84

Portanto, $\overline{EF}$médemede 3,84 m.

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Vamos demonstrar a validade do teorema de Tales por meio do método dedutivo. Para isso, separamos em dois casos distintos: quando um feixe de retas paralelas determina, em uma reta transversal, segmentos de reta congruentes (caso 1); e quando esse feixe determina, nessa reta transversal, segmentos de reta com medidas racionais quaisquer (caso 2). Acompanhe.

Caso 1:

Seja um feixe de retas paralelas r, s e t, quêque determina na reta transversal u os segmentos de reta congruentes $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ Uma reta transversal v cruza esse mesmo feixe de retas nos pontos D, E e F.

Traçando dois segmentos de reta DG e EH, paralelos à reta u, obtemos os paralelogramos ABGD e BCHE, nos quais$\begin{array}{c}\overline{AB}\equiv \mathrm{}\overline{DG}\end{array}$ e $\overline{BC}\begin{array}{c}\mathrm{}\equiv \overline{EH}\end{array}$. Assim, $\begin{array}{c}\overline{DG}\equiv \mathrm{}\overline{EH}\end{array}$.

Como os segmentos de reta DG e EH são paralelos e intersectam as retas paralelas s e t, os ângulos $\begin{array}{c}D\widehat{G}E\end{array}$ e $\begin{array}{c}E\widehat{H}F\end{array}$ são congruentes. Note quêque o par de ângulos $\begin{array}{c}G\widehat{E}D\end{array}$ e $\begin{array}{c}H\widehat{F}E\end{array}$ também são congruentes, pois são correspondentes.

Assim, pelo caso de congruência de triângulos LAA_o, os triângulos DGE e EHF são congruentes. Logo, $\begin{array}{c}\overline{DE}\equiv \mathrm{}\overline{EF}\end{array}$. Além díssudisso, $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$ = 1, ou seja, os segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ são proporcionais aos segmentos de reta $\overline{DE}$ e $\overline{EF}$.

DICA

Em Matemática, dizemos quêque existe congruência entre duas figuras se elas são idênticas no formato e no tamãnhotamanho. Em particular, dois segmentos de reta são congruentes quando têm medidas iguais. O mesmo ocorre com os ângulos. Analise os exemplos.

• $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ são segmentos de reta congruentes, o quêque pódepode sêrser indicado da seguinte maneira: $\overline{AB}$≡ $\overline{CD}$

• $\begin{array}{c}E\widehat{F}G\end{array}$ e $\begin{array}{c}H\widehat{I}J\end{array}$ são ângulos congruentes, o quêque pódepode sêrser indicado da seguinte maneira: $\begin{array}{c}E\widehat{F}G\end{array}$_≡ $\begin{array}{c}H\widehat{I}J\end{array}$

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Caso 2:

Seja um feixe de retas paralelas r, s e t quêque determina, em uma reta transversal u, os segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ com medidas racionais quaisquer.

Dessa maneira, é possível dividir $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ em m e n segmentos de reta de medida x, respectivamente. Isso ocorre porque, nesse caso, pode-se estabelecer um número racional positivo x quêque divídadivida $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ em quantidades inteiras de partes.

DICA

No caso 2, consideramos m = 5 e n = 4, ou seja, os segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ divididos em 5 partes e em 4 partes de medida x, respectivamente. Porém é possível utilizar esses mesmos procedimentos para quaisquer m e n naturais positivos, de modo quêque x seja uma medida racional.

Ao traçar retas paralelas às do feixe, passando pelas extremidades dos segmentos de reta de medida x determinados em $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ obtemos m segmentos de reta dividindo $\overline{DE}$ e n segmentos de reta dividindo$\overline{EF}$, respectivamente, na reta transversal v.

Pelo caso 1, como temos um feixe de retas paralelas quêque determina na reta transversal u segmentos de reta congruentes de medida x, os segmentos de reta determinados em v também são congruentes entre si, de medida y, por exemplo.

Assim, $\frac{AB}{BC}=\frac{\mathrm{mx}}{\mathrm{nx}}=\frac{m}{n}$ e $\frac{DE}{EF}=\frac{\mathrm{my}}{\mathrm{ny}}=\frac{m}{n}$ ou seja, $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.

Demonstramos, pelo método dedutivo, quêque o teorema de Tales é válido para os segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ com medidas racionais. Porém esse teorema também é válido para esses segmentos de reta com medidas irracionais, o quêque optamos por não explicitar nem demonstrar nesta coleção.

PARA PENSAR

Explique como dois segmentos de reta $\overline{GH}$ e$\overline{IJ}$ medindo 5 cm e 3,4 cm, respectivamente, podem sêrser divididos igualmente em partes inteiras.

Uma resposta possível: pôdêmosPodemos considerar um número racional positivo x qualquer e uma unidade de medida de comprimento e dividir os segmentos de reta $\overline{GH}$ e $\overline{J}$ em partes iguais correspondentes a essa medida. Por exemplo, ao considerar x = 0,2 e a unidade centímetro, dividimos os segmentos de reta $\overline{GH}\mathrm{}\mathrm{e}\mathrm{}\overline{IJ}$ em 25 partes e 17 partes de medida 0,2 cm, respectivamente.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Em cada item, determine o valor de x considerando quêque as retas r, s e t são paralelas.

a)

b)

Resolução

a) Como as retas v e u são transversais quêque intersectam o feixe de retas paralelas r, s e t, podemos utilizar o teorema de Tales para escrever a proporção a seguir.

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{x}{\frac{8}{3}}$ ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

Portanto, x = 4.

b) De maneira análoga ao item anterior, temos:

$\frac{AB}{BC}=\frac{DB}{BE}\Rightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{1}$⇒3x =5 ⇒ x = $\frac{5}{3}$

Portanto, x = $\frac{5}{3}$.

DICA

Note quêque os segmentos de reta $\overline{DB}$ e $\overline{BE}$ estão contidos em u e os segmentos de reta $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ estão contidos em v.

R2. Você sabe o quêque é tirolesa? Leia o trecho de um texto a seguir.

A tirolesa saiu do montanhismo. É uma técnica para o alpinista transpor obstáculos com abismo. O participante voa, preso a um cabo aéreo conectado a uma roldana.

DUARTE, Orlando. História dos esportes. 6. ed. rev. atual. São Paulo: Editora Senac, 2019. p. 39.

Com o objetivo de praticar tirolesa, um cabo de aço foi completamente esticado, com as extremidades fixadas no topo de dois montes (pontos A e B). Considerando uma pessoa quêque se encontrava no ponto M dessa tirolesa, conforme representado no esquema, quantos metros essa pessoa ainda deve percorrer para completar o trajeto?

Resolução

Observando o esquema, podemos notar quêque os segmentos de reta $\overline{AC}$, $\overline{MN}$ e $\overline{BD}$ são paralelos. Assim, aplicando o teorema de Tales:

$\frac{CN}{ND}=\frac{AM}{MB}\Rightarrow \frac{9}{45-9}=\frac{\mathrm{9,85}}{MB}$ ⇒ 9MB = 354,6 ⇒ MB = 39,4

Portanto, essa pessoa ainda deve percorrer 39,4 m para completar o trajeto da tirolesa.

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ATIVIDADES

1. Em cada item, determine o valor de x, sabendo quêque as retas r, s e t são paralelas.

a)

x = 117 cm

b)

x = 2 m

2. Usando o GeoGebra, Isabella construiu a figura a seguir, em quêque o único par de retas paralelas é r e s. Depois, imprimiu a figura e propôs a um colega, João, quêque determinasse a medida y.

Aplicando o teorema de Tales, João rêzouvêoresolveu a questão da seguinte maneira:

$\frac{\mathrm{3,2}}{y}=\frac{4}{\mathrm{2,5}}$

8 = 4y

y = 2, ou seja, 2 m

pôdêmosPodemos afirmar quêque a solução apresentada por João à questão proposta por Isabella está correta? Justifique.

2. Não, pois, para quêque João pudesse aplicar o teorema de Tales da maneira como ele fez, r, s e t deveriam formárformar um feixe de retas paralelas; no entanto, conforme o enunciado, apenas r e s são retas paralelas na figura construída por Isabella.

3. Analise a figura a seguir, cujas medidas estão expressas em centímetro.

Sabendo quêque os segmentos de reta $\overline{DE}$ e $\overline{BC}$ são paralelos, é possível afirmar quêque o perímetro do triângulo ABC é:

a) 48 cm

b) 46 cm

c) 148 cm

d) 24 cm

alternativa a

• Para resolver esta atividade, você utilizou todos os dados fornecidos no enunciado? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois a medida 4 cm de $\overline{DE}$ não foi utilizada.

4. Marina é proprietária de uma loja de materiais de construção, situada na Rua Amapá e vizinha a duas lojas: uma de vestuário e outra de brinquedos. Em uma reforma, Marina pretende construir um novo muro no fundo do terreno da loja, quêque faz frente com a Rua ÁcriAcre. Observe a representação do quarteirão onde se situam essas lojas.

Qual é o comprimento do muro a sêrser construído?

a) 18 m

b) 30 m

c) 26 m

d) 34 m

alternativa b

5. Uma propriedade rural, quêque tem formato de trapézio, será totalmente cercada. Além díssudisso, será construída uma cerca dividindo essa propriedade em dois lotes menóresmenores, conforme mostra a figura a seguir.

Considerando quêque a cada métrometro de cerca construída tem-se um custo de R$ 0,20, calcule o custo total para cercar essa propriedade conforme descrito.

R$ 6.840,00

6. Junte-se a um colega, e elaborem um problema em quêque seja necessário utilizar o teorema de Tales para resolvê-lo. Esse problema pódepode conter uma ilustração ou um esquema. Em seguida, tróquemtroquem esse problema com o de outra dupla para quêque uma resôuvaresolva o da outra. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração dos estudantes.

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Semelhança de polígonos

Você já assistiu a filmes em quêque apareciam faixas pretas nas partes superior e inferior ou na lateral da imagem em um televisor? Isso acontece porque há diferentes formatos de vídeos quêque precisam sêrser adaptados quando reproduzidos em algumas telas. Essas faixas têm a função de manter a proporção da imagem original do vídeo sem quêque haja distorções. Um dos formatos de tela mais utilizados atualmente é o widescreen, em quêque as imagens têm formato retangular, cuja razão entre o maior e o menor lado é 16:9. Antigamente, o formato mais comum era o 4:3. Assim, ao assistir a filmes em formato widescreen em um televisor antigo, com tela no formato 4:3, a imagem é adaptada com as faixas pretas nas partes superior e inferior.

Note quêque as imagens em cada televisor têm tamanhos diferentes, mas têm o mesmo formato. A adaptação de uma imagem em diferentes tamanhos, de maneira quêque seu formato se mantenha sem distorções, pódepode sêrser utilizada para compreendermos a ideia de semelhança de polígonos.

Analise, por exemplo, os polígonos representados a seguir.

pôdêmosPodemos afirmar quêque esses polígonos são semelhantes, pois:

• os ângulos internos correspondentes são congruentes:

$A\widehat{B}C\equiv A^{\text{'}}{\widehat{B}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$; $A\widehat{D}C\equiv A^{\text{'}}{\widehat{D}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$, $B\widehat{A}D\equiv B^{\text{'}}{\widehat{A}}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ e $B\widehat{C}D\equiv B^{\text{'}}{\widehat{C}}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$;

• os lados correspondentes são proporcionais:

$$\begin{array}{c}\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CD}{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{AD}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\Rightarrow \frac{4\sqrt[]{3}}{2\sqrt[]{3}}=\frac{14}{7}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\end{array}$$

PARA PENSAR

As razões de semelhança entre os polígonos A’B’C’D’ e ABCD, nessa ordem, e na ordem contrária, ou seja, ABCD e A’B’C’D’, são iguais? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois a razão de semelhança entre os polígonos A’B’C’D’ e ABCD é $\frac{1}{2}$ , enquanto a razão de semelhança entre os polígonos ABCD e A’B’C’D’ é 2.

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Semelhança de triângulos

Utilizando um instrumento chamado pantógrafo, é possível obtêrobter ampliações ou reduções de figuras. Nesse caso, como apenas o tamãnhotamanho da figura é ajustado, mantendo-se seu formato, a figura original e a figura ôbitídaobtida são semelhantes. Acompanhe como obtêrobter a ampliação de um triângulo ABC utilizando um pantógrafo.

DICA

Ao ampliar o triângulo ABC com o pantógrafo, obtém-se o triângulo semelhante A’B’C’, pois os ângulos internos correspondentes dêêssesdesses triângulos são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

Na página 211, estudamos quêque, para dois polígonos serem semelhantes, é necessário quêque seus ângulos internos correspondentes sêjamsejam congruentes e quêque seus lados correspondentes sêjamsejam proporcionais. Nesse caso, como os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, temos:

• $\begin{array}{c}A\widehat{B}C\equiv A^{\text{'}}{\widehat{B}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}A\overline{C}B\equiv A^{\text{'}}{\widehat{C}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\end{array}$, $\begin{array}{c}B\widehat{A}C\equiv B^{\text{'}}{\widehat{A}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\end{array}$.

Indicamos quêque esses triângulos são semelhantes da seguinte maneira:

(triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△A’B’C’

Agora, estudaremos casos quêque permitem garantir quêque dois triângulos são semelhantes sem, necessariamente, conhecer as medidas de todos os seus lados e de todos os seus ângulos internos. Esses casos podem sêrser demonstrados, o quêque optamos por não explicitar nesta coleção.

1º caso – Ângulo, ângulo (AA)

Analise o exemplo.

Como $\begin{array}{c}B\overline{A}C\equiv E\overline{D}F\end{array}$ e $\begin{array}{c}A\overline{C}B\equiv D\overline{F}E\end{array}$, então (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DEF.

PARA AMPLIAR

Página duzentos e treze213

2º caso – Lado, ângulo, lado (LAL)

Analise o exemplo.

Como $\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{3}{4}$ $\begin{array}{c}B\overline{C}A\equiv E\overline{F}{D,}_{}\end{array}$ e então (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DEF.

3º caso – Lado, lado, lado (LLL)

Analise o exemplo.

Como $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$, então (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DEF.

PARA PENSAR

Para verificar os casos de semelhança de triângulos apresentados, desenhe no GeoGebra dois triângulos quaisquer quêque apresentem as condições indicadas em cada caso. Por exemplo, para o caso LLL, desenhe dois triângulos quêque tênhamtenham os três lados correspondentes proporcionais. Depois, faça medições e confirme se os triângulos construí dos são semelhantes.

Construção do estudante.

Teorema fundamental da semelhança

Observe, na figura, uma reta r, paralela ao lado BC de um triângulo ABC, quêque intersecta os lados $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$ nos pontos D e E, respectivamente.

Como a reta r é paralela ao lado BC, temos, pelo teorema de Tales, quêque:

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$

Sabemos quêque $\begin{array}{c}D\overline{A}E\end{array}$ e $\begin{array}{c}B\overline{A}C\end{array}$ são ângulos coincidentes e, portanto, congruentes. Assim, pelo caso de semelhança de triângulos LAL, temos quêque (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△ADE.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

R3. (Cefet-MG) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo quêque a mesma possa rebater e colidir com a preta.

Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente

a) 67

b) 70

c) 74

d) 81

Resolução

Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• a largura e o comprimento do retângulo, quêque representa a mesa, são 1,5 m e 2,0 m, respectivamente;

• a bola branca, no ponto B, deverá atingir a bola preta, no ponto P, passando pelo ponto L;

• as medidas do ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e do ângulo de rebatimento são iguais;

• precisamos determinar a distância entre P e Q.

2ª ELABORAR UM PLANO

Considerando a figura apresentada, podemos destacar dois triângulos e indicar a medida QL.

Pelo caso AA de semelhança de triângulos (ângulos de medidas (alfa)"α e 90°), podemos afirmar quêque os triângulos PQL e BCL são semelhantes. Nesse caso, temos quêque os lados correspondentes dêêssesdesses triângulos são proporcionais e, então, é possível determinar a medida PQ escrevendo essa proporção.

3ª EXECUTAR UM PLANO

Como (triângulo)"△PQL ∼ (triângulo)"△BCL, temos quêque:

$\frac{PQ}{BC}=\frac{QL}{CL}\Rightarrow \frac{PQ}{1}=\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{1,2}}$ ⇒ PQ = $\frac{2}{3}$ ≃ 0,67

Portanto, a distância PQ é de aproximadamente 0,67 m ou 67 cm.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido, podemos considerar $\frac{2}{3}$ como o valor de PQ e verificar se as $\frac{PQ}{BC}$ razões e $\frac{QL}{CL}$ formam uma proporção.

• $\frac{PQ}{BC}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$

• $\frac{QL}{CL}=\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{1,2}}=\frac{2}{3}$

Assim, $\frac{PQ}{BC}=\frac{QL}{CL}$.

Portanto, a alternativa a é a correta.

Página duzentos e quinze215

ATIVIDADES

7. Os paralelogramos ABCD e EFGH representados a seguir são semelhantes? Caso sêjamsejam semelhantes, determine a razão de semelhança.

sim; 4

8. Identifique quais pares de triângulos representados a seguir são semelhantes e registre qual caso de semelhança você utilizou para identificá-los.

DICA

As figuras não são proporcionais entre si.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a e c: caso LAL; b e e: caso LLL; d e f: caso AA

9. Determine os valores de x e y, considerando quêque os ângulos de mesma marcação na figura a seguir são congruentes.

x ≃ 2,07 cm e y = 4 cm

10. Uma escada rolante de 10 m de extensão tem seu ponto mais alto situado a 5 m do solo. Ao subir essa mesma escada, partindo de seu ponto mais baixo, PábloPablo percorreu certa distância x e atingiu um ponto quêque se situa a 2 m do solo.

a) Desenhe uma figura para representar a situação descrita.

10. a) Resposta nas Orientações para o professor.

b) Qual é a distância x percorrida por PábloPablo?

4 m

11. Na página 211, estudamos quêque existem diferentes formatos de tela e quêque, entre eles, destacam-se o formato dê vê dêDVD padrão e o widescreen. As razões entre duas dimensões (maior e menor) de cada um dêêssesdesses formatos são, respectivamente, 4:3 e 16:9.

Observe algumas das resoluções, em formato retangular, disponíveis para reprodução em computadores.

a) Determine quais dessas resoluções podem sêrser utilizadas para exibir sem ajustes um conteúdo em formato:

• de dê vê dêDVD padrão;

A, B e D

• widescreen.

C e E

b) As imagens retangulares determinadas nas resoluções apresentadas têm formato de polígonos semelhantes? Comente.

11. b) Sim, elas têm formatos de polígonos semelhantes quando obtidas nas resoluções A, B e D e quando obtidas nas resoluções C e E. Nessas situações, têm, respectivamente, ângulos internos congruentes (ângulos retos) e lados correspondentes proporcionais.

12. Ainda sobre o contexto apresentado na atividade 11, reúnam-se em duplas, realizem uma pesquisa sobre outros formatos de tela e, com base nessas informações, elaborem um problema quêque envolva a ideia de semelhança de figuras. Em seguida, tróquemtroquem esse problema com outra dupla para quêque uma resôuvaresolva o da outra. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração dos estudantes.

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Relações métricas no triângulo retângulo

Você provavelmente já estudou quêque todo triângulo com um ângulo interno reto é denominado triângulo retângulo. O lado ôpôstooposto a esse ângulo reto é a hipotenusa, e os outros dois lados são os catetos do triângulo retângulo. Essas informações estão destacadas no triângulo retângulo ABC da figura a seguir.

PARA PENSAR

Os demais ângulos internos de um triângulo retângulo, além do ângulo reto, podem sêrser classificados de quêque maneira: agudo, reto, obtuso ou raso? por quêPor que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo? Justifique as respostas.

Resposta esperada: Agudo, pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180° e, subtraindo dêêssedesse valor a medida do ângulo reto, temos quêque a soma das medidas dos demais ângulos internos tem de sêrser igual a 90°. Resposta esperada: Porque a hipotenusa é o lado ôpôstooposto ao maior ângulo interno do triângulo retângulo (ângulo reto).

Agora, indicamos nesse triângulo retângulo a medida a da hipotenusa e as medidas b e c dos catetos. Além díssudisso, traçamos o segmento de reta $\begin{array}{c}\overline{AD}\end{array}$ de medida h, correspondente à altura dêêssedesse triângulo relativa à hipotenusa, e determinamos os segmentos de reta $\overline{BD}$ e $\overline{DC}$ de medidas n e m, respectivamente.

Considerando essa representação, podemos destacar três triângulos retângulos: ABC, DBA e DAC. Observe.

Em relação aos três triângulos obtidos, podemos destacar a seguinte propriedade.

pôdêmosPodemos verificar quêque esses triângulos são semelhantes dois a dois e, com base nessas semelhanças, escrever proporções envolvendo as medidas dos lados dêêssesdesses triângulos.

DICA

A projeção ortogonal de um ponto P em um segmento de reta $\overline{RS}$ com P ∉ $\overline{RS}$, corresponde ao ponto P₁ em $\overline{RS}$, de maneira quêque ${\stackrel{⃡}{PP}}_1$ seja uma reta perpendicular a $RS$.

No triângulo ABC, a projeção ortogonal do cateto $\overline{AB}$ sobre a hipotenusa $\overline{BC}$é dada pela projeção ortogonal de cada ponto de $\overline{AB}$ sobre $\overline{BC}$ e corresponde ao segmento de reta $\overline{BD}$

Página duzentos e dezessete217

Analise cada caso.

• Triângulos ABC e DBA.

Esses triângulos têm dois pares de ângulos internos correspondentes congruentes: ângulos $\begin{array}{c}B\widehat{A}C\end{array}$ e $\begin{array}{c}B\widehat{D}A\end{array}$ (ângulos retos) e ângulos $\begin{array}{c}A\widehat{B}C\end{array}$ e $\begin{array}{c}D\widehat{B}A\end{array}$ (ângulos coincidentes). Portanto, pelo caso de semelhança de triângulos AA, temos quêque (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DBA. Assim:

$\frac{a}{c}=\frac{b}{h}$ ⇒ a ⋅ h = b ⋅ c

$\frac{a}{c}=\frac{c}{n}$ ⇒ c² = a ⋅ n

$\frac{b}{h}=\frac{c}{n}$ ⇒ c ⋅ h = b ⋅ n

• Triângulos ABC e DAC.

Esses triângulos têm dois pares de ângulos internos correspondentes congruentes: ângulos $\begin{array}{c}B\widehat{A}C\end{array}$ e $\begin{array}{c}A\widehat{D}C\end{array}$ (ângulos retos) e ângulos $\begin{array}{c}A\widehat{C}B\end{array}$ e $\begin{array}{c}D\widehat{C}A\end{array}$ (ângulos coincidentes). Portanto, pelo caso de semelhança de triângulos AA, temos quêque (triângulo)"△ABC ∼ (triângulo)"△DAC. Assim:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{h}$ ⇒ a ⋅ h = b ⋅ c

$\frac{a}{b}=\frac{b}{m}$ ⇒ b² = a ⋅ m

$\frac{c}{h}=\frac{b}{m}$ ⇒ c ⋅ m = b ⋅ h

• Triângulos DBA e DAC.

Conforme os casos anteriores, cada um dêêssesdesses dois triângulos é semelhante ao triângulo ABC. Portanto, podemos afirmar quêque (triângulo)"△DBA ∼ (triângulo)"△DAC. Assim:

$\frac{c}{b}=\frac{h}{m}$ ⇒ b ⋅ h = c ⋅ m

$\frac{c}{b}=\frac{n}{h}$ ⇒ c ⋅ h = b ⋅ n

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h}$⇒ h² = m ⋅ n

Organizando as relações obtidas, temos:

Essas relações são chamadas de relações métricas no triângulo retângulo e são bastante úteis na resolução de atividades envolvendo esse tipo de polígono.

Página duzentos e dezoito218

Adicionando membro a membro as relações b² = a ⋅ m e c² = a ⋅ n, podemos determinar outra relação envolvendo as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Acompanhe.

a ⋅ m + a ⋅ n = b² + c² ⇒ a ⋅ (m + n) = b² + c² ⇒ a ⋅ a = b² + c² ⇒ a² = b² + c²

Essa relação ôbitídaobtida consiste em um dos teoremas mais conhecidos na Matemática: o teorema de Pitágoras, enunciado a seguir.

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 103-104.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R4. Observe o triângulo ABC e determine a medida:

a) da hipotenusa;

b) da altura relativa à hipotenusa;

c) das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Resolução

a) Representando a medida da hipotenusa por a, pelo teorema de Pitágoras, temos:

a² = 16² + 12² ⇒ a² = 400 ⇒ a = $\pm \surd 400\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=20\\ \mathrm{ou}\\ a=-20\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}$

Portanto, a hipotenusa dêêssedesse triângulo médemede 20 cm.

b) Representando por h, b e c, respectivamente, as medidas da altura relativa à hipotenusa, do cateto de 12 cm e do cateto de 16 cm, temos:

a ⋅ h = b ⋅ c ⇒ 20 ⋅ h = 12 ⋅ 16 ⇒ 20h = 192 ⇒ h = 9,6

Portanto, a altura dêêssedesse triângulo relativa à hipotenusa é 9,6 cm.

c) Representando por m e n, respectivamente, as projeções sobre a hipotenusa dos catetos de 12 cm e de 16 cm, temos:

• b² = a ⋅ m ⇒ 12² = 20 ⋅ m ⇒ 144 = 20m ⇒ m = 7,2

• c² = a ⋅ n ⇒ 16² = 20 ⋅ n ⇒ 256 = 20n ⇒ n = 12,8

Portanto, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa médemmedem 7,2 cm e 12,8 cm.

Página duzentos e dezenove219

R5. Você possivelmente já notou quêque uma informação a se considerar no momento de comprar um televisor é a medida indicada em polegada. Essa medida corresponde ao comprimento da diagonal visual do televisor, ou seja, da diagonal da região retangular quêque o telespectador efetivamente enxerga como imagem. Uma polegada, indicada por 1”, equivale a aproximadamente 2,54 cm.

DeterminadoDeterminado modelo de televisor tem a região retangular visual com 70 cm de comprimento e 39,4 cm de altura. Assim, podemos indicar quêque esse modelo de televisor tem uma tela de aproximadamente:

a) 29”

b) 32”

c) 39”

d) 42”

e) 55”

Resolução

Com base nas informações do enunciado e representando a medida da diagonal da tela dêêssedesse televisor por a, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar essa medida.

a² = 39,4² + 70² ⇒ a² = 6.452,36 ⇒

⇒a = $\pm \surd \mathrm{6452,36}\Rightarrow \{\begin{array}{c}a\simeq \mathrm{80,33}\\ \mathrm{ou}\\ a\simeq -\mathrm{80,33}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}$

Assim, a diagonal da tela dêêssedesse televisor médemede aproximadamente 81,5 cm.

Convertendo essa medida para polegada, obtemos:

80,33 ∶ 2,54 ≃ 32

Portanto, a alternativa b é a correta, pois a diagonal da tela dêêssedesse televisor médemede aproximadamente 32”.

PARA PENSAR

Como estudado anteriormente, algumas telas de televisores têm um formato padrão chamado widescreen, em quêque é mantida a proporção 16∶9 entre as medidas das dimensões da tela retangular. Pesquise a medida da diagonal, em polegada, de um televisor com tela nesse formato e, por meio de cálculos, determine as medidas aproximadas do comprimento e da altura dessa tela.

Resposta pessoal.

ATIVIDADES

13. Nos triângulos retângulos representados a seguir, determine o valor da medida x.

a)

16 cm

b)

aproximadamente 45 mm

c)

aproximadamente 6,67 m

d)

9 dm

DICA

As figuras não estão proporcionais entre si.

Página duzentos e vinte220

14. Observe o triângulo retângulo representado a seguir.

É possível afirmar quêque o produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa dêêssedesse triângulo, em métrometro, é aproximadamente:

a) 467

b) 972

c) 1.239

d) 1.620

alternativa a

15. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um cateto medindo 6 cm e 3,6 cm, respectivamente. Determine:

a) a medida do outro cateto;

4,8 cm

b) a medida da altura relativa à hipotenusa;

2,88 cm

c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

2,16 cm e 3,84 cm

16. Na figura a seguir, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência.

Sabendo quêque a hipotenusa dêêssedesse triângulo coincide com um diâmetro da circunferência, determine:

a) o comprimento dessa circunferência;

16. a) 28(pi)"π cm ou aproximadamente 87,92 cm

b) a área dêêssedesse triângulo.

16. b) $98\sqrt[]{3}$ cm² ou aproximadamente 169,74 cm²

DICA

Lembre-se de quêque o comprimento C de uma circunferência de raio r é dada por
C = 2(pi)"πr.

17. Considere a função afim f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 3x + 3, e um triângulo retângulo cujas medidas dos catetos, em centímetro, correspondem a f(59) e f(79). Qual é a medida da hipotenusa dêêssedesse triângulo?

300 cm

18. Você sabe o quêque é um terno pitagórico? Leia o trecho de um texto a seguir.

Estreitamente ligado ao teorema de Pitágoras está o problema de encontrar inteiros a, b e c quêque possam representar os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Um terno de números dessa espécie recebe a designação de terno pitagórico [...].

EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 104.

Um exemplo de terno pitagórico é o terno formado pêlospelos números 3, 4 e 5. pôdêmosPodemos verificar essa propriedade geometricamente a partir das áreas de três quadrados construídos sobre os lados de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm de um triângulo, conforme segue.

Junte-se a um colega, e façam o quêque se pede.

a) Expliquem como a propriedade dos ternos pitagóricos foi verificada geometricamente no exemplo apresentado.

18. a) Resposta esperada: Como a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menóresmenores lados do triângulo é igual à área do quadrado construído sobre o maior lado, pode-se concluir quêque as medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm correspondem às medidas dos lados de um triângulo retângulo e quêque os números 3, 4 e 5 formam um terno pitagórico.

b) Investiguem outros ternos pitagóricos e construam figuras como a apresentada para fazer a verificação. Vocês podem utilizar malha quadriculada ou programas de computador como o GeoGebra.

Construção dos estudantes.

c) Elaborem um problema quêque envolva um dêêssesdesses ternos pitagóricos e troque-o com outra dupla para quêque uma resôuvaresolva o problema elaborado pela outra. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração dos estudantes.

Página duzentos e vinte e um221

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabelece alguns critérios e regras quêque devem sêrser seguidos em construções civis. O cumprimento dessas normas possibilita quêque o maior número de pessoas consiga utilizar esses espaços de maneira autônoma. Para a construção de escadas, por exemplo, são estabelecidos alguns padrões de medidas: ângulo de inclinação entre 26,57° e 32,74°, comprimento do piso entre 28 cm e 32 cm e altura do espêlhoespelho entre 16 cm e 18 cm.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 60. Disponível em: https://livro.pw/gxslr. Acesso em: 24 jul. 2024.

Analise, por exemplo, o projeto para a construção de uma escada cujas medidas estão adequadas aos padrões descritos.

DICA

A medida (alfa)"α do ângulo de inclinação dessa escada é tal quêque 26,57° < (alfa)"α < 32,74°.

pôdêmosPodemos representar esse projeto considerando os espelhos da escada, de maneira a obtêrobter os seguintes triângulos retângulos: ABC, AHI, AFG e ADE.

PARA PENSAR

No triângulo AFG, qual é o cateto ôpôstooposto e qual é o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α?

cateto ôpôstooposto: $\begin{array}{c}\overline{FG}\end{array};\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}:\mathrm{}\begin{array}{c}\overline{AG}\end{array}$

DICA

No triângulo ADE, dizemos quêque $\overline{DE}$é o cateto ôpôstooposto ao ângulo (alfa)"α e quêque $\overline{AE}$é o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α.

Página duzentos e vinte e dois222

Pelo caso de semelhança de triângulos AA, podemos afirmar quêque os triângulos ABC, AHI, AFG e ADE são semelhantes, uma vez quêque têm dois ângulos internos congruentes (ângulo (alfa)"α e ângulo reto). Assim, para esses triângulos, temos as razões a seguir.

• As razões entre o cateto ôpôstooposto ao ângulo (alfa)"α e a hipotenusa são iguais.

$$\frac{BC}{AB}=\frac{HI}{AH}=\frac{FG}{AF}=\frac{DE}{AD}\Rightarrow \frac{64}{136}=\frac{48}{102}=\frac{32}{68}=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}$$

A razão entre o cateto ôpôstooposto ao ângulo (alfa)"α e a hipotenusa é denominada seno de (alfa)"α, indicada por sen (alfa)"α. Nesse caso, sen (alfa)"α = $\frac{8}{17}$.

• As razões entre o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α e a hipotenusa são iguais.

$$\frac{AC}{AB}=\frac{AI}{AH}=\frac{AG}{AF}=\frac{AE}{AD}\Rightarrow \frac{120}{136}=\frac{90}{102}=\frac{60}{68}=\frac{30}{34}=\frac{15}{17}$$

A razão entre o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α e a hipotenusa é denominada cosseno de (alfa)"α, indicada por cos (alfa)"α. Nesse caso, cos (alfa)"α = $\frac{15}{17}$.

• As razões entre o cateto ôpôstooposto e o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α são iguais.

$$\frac{BC}{AC}=\frac{HI}{AI}=\frac{FG}{AG}=\frac{DE}{AE}\Rightarrow \frac{64}{120}=\frac{48}{90}=\frac{32}{60}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$$

A razão entre o cateto ôpôstooposto e o cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α é denominada tangente de (alfa)"α, indicada por tg (alfa)"α. Nesse caso, tg (alfa)"α = $\frac{8}{15}$.

O seno, o cosseno e a tangente são razões trigonométricas. O campo da Matemática quêque estuda essas razões, entre outros conceitos, é a

Trigonometria.

DICA

Nesta coleção, optamos por indicar a tangente de (alfa)"α por tg (alfa)"α. No entanto, alguns livros, calculadoras científicas, exames de vestibular e materiais de consulta podem indicar também por tan (alfa)"α.

Página duzentos e vinte e três223

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R6. Observe o triângulo retângulo ABC representado e determine:

a) sen 60°, cos 60° e tg 60°;

b) o valor de (alfa)"α;

c) sen (alfa)"α, cos (alfa)"α e tg (alfa)"α.

Resolução

a) • sen 60° = $\begin{array}{c}\frac{AC}{BC}=\frac{3\sqrt[]{3}}{6}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

• cos 60° = $\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

• tg 60° = $\begin{array}{c}\frac{AC}{AB}=\frac{3\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$ = $\sqrt[]{3}$

Portanto, sen 60° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ $\frac{1}{2}$, cos 60^° = e tg60° = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$.

PARA PENSAR

Você notou alguma relação entre as razões obtidas? Comente com os côlégascolegas.

Resposta esperada: tg 60° = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{60}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }}\end{array}$

b) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180°, temos:

(alfa)"α + 60° + 90° = 180° ⇒ (alfa)"α + 150° = 180° ⇒ (alfa)"α = 180° − 150° = 30°

Portanto, (alfa)"α = 30°.

c) Como (alfa)"α = 30°, temos de calcular sen 30°, cos 30° e tg 30°.

• sen 30° = $\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

• cos 30° = $\begin{array}{c}\frac{AC}{BC}=\frac{3\sqrt[]{3}}{6}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

• tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{AB}{AC}=\frac{3}{3\sqrt[]{3}}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

Portanto, sen 30° = $\frac{1}{2}$, cos 30° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ e tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$^.

PARA PENSAR

Você notou alguma relação entre as razões obtidas? Comente com os côlégascolegas.

Resposta esperada: tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{30}^{\circ }}{\cos {30}^{\circ }}\end{array}$.

R7. Observe o quadrado e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Qual é a medida da diagonal dêêssedesse quadrado?

b) Calcule sen 45°, cos 45° e tg 45°.

Resolução

a) Considerando o triângulo retângulo ABC e aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:

• d² = 40² + 40² ⇒ d² = 3.200 ⇒d = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{3200}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}d=40\sqrt[]{2}\\ \mathrm{ou}\\ d=-40\sqrt[]{2}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, a diagonal dêêssedesse quadrado médemede $\begin{array}{c}40\sqrt[]{2}\end{array}$ cm.

b) Considerando novamente o triângulo retângulo ABC e o resultado obtídoobtido no item a, temos:

• sen 45° = $\begin{array}{c}\frac{AB}{AC}=\frac{40}{40\sqrt[]{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\cdot \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

• cos 45° = $\begin{array}{c}\frac{BC}{AC}=\frac{40}{40\sqrt[]{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\cdot \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

• tg 45° = $\frac{AB}{BC}=\frac{40}{40}$ = 1

Portanto, sen 45° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$, cos 45° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ e tg 45° = 1.

Página duzentos e vinte e quatro224

ATIVIDADES

19. Analise o triângulo retângulo representado a seguir e determine o seno, o cosseno e a tangente do ângulo (alfa)"α.

sen (alfa)"α = $\frac{35}{43}$;

cos (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{39}}{43}\end{array}$^;

tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{35\sqrt[]{39}}{156}\end{array}$

20. Os triângulos ABC e DEF representados a seguir são semelhantes, com razão de semelhança igual a 2.

Determine:

a) o perímetro de cada triângulo;

triângulo ABC: 28,8 m; triângulo DEF: 14,4 m

b) sen (alfa)"α, cos (alfa)"α e tg (alfa)"α;

20. b) sen (alfa)"α = $\frac{4}{5}$; cos (alfa)"α = $\frac{3}{5}$; tg (alfa)"α = $\frac{4}{3}$

c) sen (beta)"β, cos (beta)"β e tg (beta)"β.

20. c) sen (beta)"β = $\frac{3}{5}$; cos (beta)"β = $\frac{4}{5}$; tg (beta)"β =$\frac{3}{4}$

21. Sabendo quêque (alfa)"α é a medida de um ângulo agudo tal quêque tg (alfa)"α = $\frac{12}{5}$, calcule:

a) sen (alfa)"α;

$\frac{12}{13}$

b) cos (alfa)"α;

$\frac{5}{13}$

c) (sen (alfa)"α)² + (cos (alfa)"α)².

1

• Agora, responda: Quantos triângulos retângulos, com um ângulo agudo (alfa)"α cuja tg (alfa)"α = $\frac{12}{5}$ , você acredita quêque possam sêrser construídos?

Resposta esperada: Infinitos triângulos retângulos semelhantes, cujos ângulos agudos médemmedem (alfa)"α e 90° − (alfa)"α.

22. Analise a figura representada a seguir.

a) Determine tg (beta)"β.

tg (beta)"β = $\frac{2}{3}$

b) Quanto médemede o segmento de reta $\overline{AD}$?

3 m

c) Qual é a área do triângulo ABC?

27 m²

23. Durante um jôgojogo de vôlei de praia, quando a bola estava a uma altura de 3,65 m, um jogador realizou um ataque, quêque resultou em um ponto para seu tímetime. O trajeto da bola nessa jogada está descrito conforme o esquema a seguir.

Considerando tg (alfa)"α = 1,37, qual é a distância percorrida pela bola do início do ataque até atingir o solo?

aproximadamente 6,19 m

24. Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo isósceles qualquer.

24. seno: $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$; cosseno: $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$; tangente: 1

DICA

Triângulo isósceles é um triângulo quêque tem ao menos dois lados congruentes.

25. Utilize instrumentos de desenho e represente um triângulo retângulo qualquer. Nesse triângulo, indique os ângulos internos agudos (alfa)"α e (beta)"β e as medidas de cada lado. Depois, troque seu desenho com um colega e determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos (alfa)"α e (beta)"β indicados no triângulo quêque você recebeu. Ao final, juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e vinte e cinco225

tabélaTabela trigonométrica

Determinamos nas atividades resolvidas R6 e R7 o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°. Ângulos com essas medidas aparécemaparecem freqüentementefrequentemente no estudo da Trigonometria e são denominados ângulos notáveis. pôdêmosPodemos organizar tais valores em uma tabélatabela trigonométrica a fim de serem utilizados na resolução de diferentes problemas.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R8. O monumento Marco Zero do Equador é um dos principais cartões-postais do município de Macapá (AP). Construído em 1987, o monumento é formado por um relógio de sólsol e um bloco de concreto, totalizando 30 m de altura, e marca o local onde a linha imaginária do equador, quêque divide a Terra em hemisférios Norte e Sul, corta o município.

Fonte dos dados: AMAPÁ. Secretaria de Turismo. Monumento Marco Zero do Equador. Macapá: Setur, 31 maio 2021. Disponível em: https://livro.pw/xqvkk. Acesso em: 25 jun. 2024.

Considere quêque, no solo, sêjamsejam marcados os pontos A e B, formando com o ponto mais alto do Marco Zero (C) ângulos de 45° e 60°, respectivamente; quêque $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$ corresponda à altura dêêssedesse monumento; e quêque AB = AD + BD, conforme a figura.

Calcule a distância entre os pontos:

a) A e B;

b) B e C.

Resolução

a) Como $\overline{CD}$ corresponde à altura do monumento, temos cê dêCD = 30 m. Da tabélatabela de valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, sabemos quêque tg 45° = 1 e quêque tg 60° = $\sqrt[]{3}$. Assim:

• tg 45° = $\frac{CD}{AD}\Rightarrow 1=\frac{30}{AD}$ ⇒ AD = 30

• $\begin{array}{c}\mathrm{t}\mathrm{g}{60}^{\circ }=\frac{CD}{BD}\Rightarrow \sqrt[]{3}=\frac{30}{BD}\Rightarrow BD=\frac{30}{\sqrt[]{3}}\Rightarrow BD=10\sqrt[]{3}\simeq \mathrm{17,32}\end{array}$

• AB = AD + BD ⇒ AB ≃ 30 + 17,32 ⇒ AB ≃ 47,32

Portanto, a distância aproximada de A até B é 47,32 m.

b) Da tabélatabela trigonométrica, sabemos quêque sen 60° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$. Do triângulo BCD, temos:

sen 60° = $\begin{array}{c}\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt[]{3}}{2}=\frac{30}{BC}\end{array}$ ⇒ BC = $\begin{array}{c}\frac{60}{\sqrt[]{3}}\end{array}$ ⇒ BC = $\begin{array}{c}20\sqrt[]{3}\end{array}$ ≃ 34,64

Portanto, a distância aproximada de B até C é 34,64 m.

Página duzentos e vinte e seis226

Na tabélatabela trigonométrica a seguir, estão organizados os valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente de ângulos de medidas inteiras, em grau, quêque varíamvariam de 1° a 89°.

PARA PENSAR

Escolha três medidas inteiras de ângulos, em grau, e, com uma calculadora científica, determine o seno, o cosseno e a tangente dêêssesdesses ângulos, utilizando as teclas , e . Depois, compare os resultados obtidos com os valores correspondentes na tabélatabela. O quêque você observa?

Resposta esperada: Em geral, os valores apresentados na tabélatabela são aproximados para o milésimo mais próximo; na calculadora, os valores obtidos são aproximados para mais de três casas decimais.

Página duzentos e vinte e sete227

ATIVIDADE RESOLVIDA

R9. A bandeira do Rio Grande do Sul foi adotada como sín-bolosímbolo dêêssedesse estado brasileiro em 1891.

Essa bandeira deve ter comprimento e largura proporcionais a 200 e 140, respectivamente. A medida do menor lado das regiões triangulares corresponde à mêtádemetade da largura da bandeira.

Fonte dos dados: RIO GRANDE DO SUL. Lei númeronº 5.213, de 5 de janeiro de 1966. Dispõe sobre a forma e a apresentação dos símbolos do Estado do Rio Grande do Sul e dá outras providências. Porto Alegre: Assembleia Legislativa, 1966. Disponível em: https://livro.pw/wsrew. Acesso em: 28 jun. 2024.

Quais são as medidas dos ângulos internos agudos das regiões triangulares quêque compõem a bandeira do Rio Grande do Sul?

Resolução

Como essa bandeira deve ter dimensões proporcionais a 200 e 140 e a medida do menor lado da região triangular é proporcional a 70 (140 ∶ 2 = 70), podemos representar uma das regiões triangulares conforme apresentado na figura.

Calculando a tangente dos ângulos internos agudos, obtemos:

• tg (alfa)"α = $\frac{70}{200}$ = 0,35

• tg (beta)"β = $\frac{200}{70}$ ≃ 2,857

pôdêmosPodemos consultar a tabélatabela trigonométrica para identificar quais medidas de ângulos (alfa)"α e (beta)"β mais se aproximam dos valores de tangente encontrados: tg (alfa)"α = 0,35 e tg (beta)"β ≃ 2,857.

Nesse caso, temos:

• tg 19° ≃ 0,344 e tg 20° ≃ 0,364; logo (alfa)"α ≃ 19°.

• tg 70° ≃ 2,747 e tg 71° ≃ 2,904; logo (beta)"β ≃ 71°

Portanto, as medidas dêêssesdesses ângulos internos são aproximadamente 19° e 71°.

PARA PENSAR

por quêPor que podemos afirmar quêque (alfa)"α e (beta)"β são ângulos complementares? Você notou quêque tg (alfa)"α e tg (beta)"β são números inversos? por quêPor que isso ocorre?

Resposta esperada: Porque (alfa)"α + (beta)"β + 90° = 180° ⇒ (alfa)"α + (beta)"β = 90°.

Resposta esperada: Isso ocorre porque tg (alfa)"α = $\frac{70}{200}\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }=\frac{200}{70}$ = tg (beta)"β.

ATIVIDADES

26. Em cada item, determine as medidas x e y.

a)

x = 22 cm e y = $\begin{array}{c}11\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

b)

x ≃ 3,76 m e y ≃ 1,37 m

27. Determine as medidas (alfa)"α e (beta)"β indicadas em cada triângulo representado a seguir.

a)

(alfa)"α = 60° e (beta)"β = 30°

b)

(alfa)"α ≃ 32° e (beta)"β ≃ 58°

28. Para realizar algumas medições, um topógrafo posicionou um teodolito de 120 cm de altura a 6,4 m de distância de um barranco, conforme mostra a figura a seguir.

Qual é a altura, em métrometro, dêêssedesse barranco, em relação ao plano horizontal sobre o qual está apoiado o teodolito?

aproximadamente 5,2 m

Página duzentos e vinte e oito228

29. Na pista de um aeroporto, logo quêque um avião deixou de tokártocar o solo na decolagem, seguiu uma trajetória de 2.200 m, quêque pódepode sêrser considerada retilínea, formando um ângulo de 45° com o solo.

a) Represente essa situação por meio de uma figura.

Resposta nas Orientações para o professor.

b) A quêque altura esse avião está, em relação ao solo, após percorrer essa trajetória de 2.200 m?

$\begin{array}{c}1100\sqrt[]{2}\end{array}$ m ou aproximadamente 1.556 m

30. A ponte Jornalista Phelippe Daou, em Manaus (AM), foi construída em uma estrutura estaiada, em quêque cabos de sustentação são fixados do mastro central ao tabuleiro. O mastro central, por sua vez, tem 182 m de altura e apóiaapoia dois vãos de 200 m para cada lado. O último cabo de sustentação, com uma das extremidades no topo do mastro central, forma um ângulo de aproximadamente 32° com o tabuleiro.

Analise o esquema quêque representa essa ponte.

Fonte dos dados: INSTITUTO DE PROTEÇÃO AMBIENTAL DO AMAZONAS. Estudo prévio de impactos ambientais da construção de ponte sobre o Rio Negro: maquétemaquete digital do projeto. Manaus: IPAAM: UFAM, [2018]. Localizável em: p. 2. Disponível em: https://livro.pw/ivwxo. Acesso em: 28 jun. 2024.

Considerando as informações apresentadas, responda às kestõesquestões a seguir.

a) Qual é o comprimento do último cabo de sustentação?

aproximadamente 235,85 m

b) A quantos metros de altura o topo do mastro central está acima do tabuleiro?

30. b) aproximadamente 125 m

31. Na página 221, estudamos quêque existem algumas normas da ABNT quêque devem sêrser consideradas na construção de escadas. Uma dessas normas indica quêque a medida do ângulo de inclinação da escada deve ter entre 26,57° e 32,74°.

a) Analise alguns esboços (sem escala) de projetos de construção de escada e identifique aqueles quêque atendem a essa norma.

I)

II)

III)

I e III

b) Uma escada deve sêrser projetada de maneira a ligar dois pisos de um edifício comercial com desnível de 2,5 m de altura entre eles. Qual deve sêrser o comprimento mínimo e mássimomáximo da projeção horizontal, de maneira quêque essa escada atenda à norma indicada? Considere quêque os valores aproximados da tangente de 26,57° e 32,74° são, respectivamente, 0,500 e 0,643.

31. b) mínimo: aproximadamente 3,89 m; mássimomáximo: aproximadamente 5 m

32. Uma escada rolante com ângulo de inclinação igual a 32° e extensão de 25 m liga os pisos 1 e 2 de um shópinshopping center.

a) Represente essa situação por meio de uma figura.

Resposta nas Orientações para o professor.

b) Qual é o comprimento da projeção horizontal dessa escada?

aproximadamente 21,20 m

c) Quantos metros de altura tem o desnível entre os dois pisos ligados por essa escada?

aproximadamente 13,25 m

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33. cértoCerto lago tem um trecho em quêque suas margens são paralelas. Um barco percorreu 136 m em linha reta para ir de uma margem à outra nesse trecho. Considerando quêque a trajetória realizada pelo barco formou um ângulo de 45° com a margem de partida, determine a largura do lago nesse trecho.