UNIDADE 1
FUNÇÃO EXPONENCIAL

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Toda a memória interna de um smartphone está disponível para o usuário? Justifique.

2. Você já passou por alguma situação em quêque não conseguiu instalar um aplicativo por falta de memória do smartphone? Comente como foi essa situação.

3. Quais são as unidades de armazenamento de dados citadas nas informações do texto? Que outras unidades de armazenamento de dados você conhece?

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Potenciação

Na abertura desta Unidade, recebemos algumas informações sobre a capacidade de armazenamento interno de smartphones. Nesse sentido, assim como utilizamos o grama e o métrometro como unidades de medida de massa e de comprimento, respectivamente, utilizamos o baite (B) e seus múltiplos como unidade de medida de armazenamento de dados.

No Volume 1 desta coleção, você estudou a respeito do baite e seus múltiplos. Vamos retomar essas informações a seguir.

Observe como podemos relacionar o baite e dois de seus múltiplos: o quilobaite (kB) e o megabaite (MB).

• Como 1 kB equivale a 1.024 B, temos:

$$1\mathrm{}\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{}=\mathrm{}1.024\mathrm{}\mathrm{B}$$

• Como 1 MB equivale a 1.024 kB, temos:

$$1\mathrm{}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{}=\mathrm{}1.024\mathrm{}\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{}=\mathrm{}1.024\mathrm{}\cdot \mathrm{}1.024\mathrm{}\mathrm{B}\mathrm{}\Rightarrow \mathrm{}1\mathrm{}\mathrm{M}\mathrm{B}\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{1.048.576}\mathrm{}\mathrm{B}$$

Note quêque, para realizar conversões entre os múltiplos do baite, utilizamos o fator 1.024, quêque pódepode sêrser expresso por meio de uma potenciação:

$$1.024=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{10}$$

Também podemos definir quêque, em uma potência:

• com expoente 1 e base igual a um número real a qualquer, o resultado é esse próprio número a:

$$a^1=a$$

• com expoente 0 e base igual a um número real a diferente de zero, o resultado é 1:

$$a^0=1$$

• com expoente igual a um número inteiro negativo e base diferente de zero, o resultado é o inverso da base elevado ao ôpôstooposto dêêssedesse expoente:

$$a-n={\left(\begin{array}{c}\frac{1}{a}\end{array}\right)}^n,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}a\ne 0$$

PARA PENSAR

Na legenda da fotografia do pen dráividrive, é indicado quêque nele é possível armazenar cerca de 2.048 fotografias digitais de 8 MB cada. Argumente de maneira a mostrar quêque essa afirmação é verdadeira.

Resposta esperada: Temos quêque a capacidade de armazenamento do pen dráividrive é 16 GB = 16 ⋅ 1.024 MB = 16.384 MB. Assim, nele podem sêrser armazenadas cerca de 2.048 fotografias de 8 MB cada, pois 16.384 ∶ 8 = 2.048.

Página treze13

Exemplos:

a) 12¹ = 12

b) (pi)"π⁰ = 1

c) 5⁻³ = ${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{5}\end{array}\right)}^3$ = $\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{125}$

d) (−2)⁵ = $\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2\right)$ = −32

e) ${\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)}^{-3}{=\mathrm{}\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}\right)}^3=\mathrm{}\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{27}{8}$

f) (−0,4)⁵ = $\left(-\mathrm{0,4}\right)\cdot \left(-\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{0,16}$

Propriedades de potências com expoentes inteiros

Quando realizamos operações com potências, podemos utilizar algumas propriedades.

Propriedade I: Sendo a ∈ ℝ, m ∈ ℤ e n ∈ ℤ, com a ≠ 0, temos:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade para m e n inteiros positivos.

$$a^m\cdot a^n=\underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{}\dots \cdot \mathrm{}a}}\cdot \underset{n\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{}\dots \cdot \mathrm{}a}}=\underset{m+n\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{}\dots \cdot \mathrm{}a}}=a^{m+n}$$

Exemplos:

a) $9^3\cdot 9^4=9^{3+4}=9^7$

b) ${\left(-5\right)}^2\cdot {\left(-5\right)}^6={\left(-5\right)}^{2+6}={\left(-5\right)}^8$

DICA

A propriedade I também pódepode sêrser justificada para m e n inteiros negativos ou iguais a zero.

Propriedade II: Sendo a ∈ ℝ, m ∈ ℤ e n ∈ ℤ, com a ≠ 0, temos:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

$$\frac{a^m}{a^n}=a^m\cdot \frac{1}{a^n}=a^m\cdot \mathrm{}{a}^{-n}=a^{m+\left(-n\right)}=a^{m-n}$$

Exemplos:

a) $\frac{7^{10}}{7^8}=7^{10-8}=7^2$

b) $\begin{array}{c}\frac{3^5}{3^6}=3^{5-6}=3^{-1}\end{array}$

Propriedade III: Sendo a ∈ ℝ, b ∈ ℝ e m ∈ ℤ, com a ≠ 0 e b ≠ 0, temos:

$$({a\cdot \mathrm{}b)}^m=a^m\cdot \mathrm{}{b}^m$$

Observe como podemos justificar essa propriedade para m inteiro positivo.

$$\begin{array}{c}({a\cdot \mathrm{}b)}^m=\underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\left(a\cdot b\right)}{\underbrace{\left(a\cdot b\right)\cdot \left(a\cdot b\right)\cdot \dots \cdot \left(a\cdot b\right)}}=\underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}\cdot \underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{b\cdot b\cdot \dots \cdot b}}\end{array}=a^m\cdot \mathrm{}{b}^m$$

Exemplos:

a) ${\left(3\cdot 7\right)}^6=3^6\cdot 7^6$

b) ${\left[5\cdot \left(-2\right)\right]}^4=5^4\cdot {\left(-2\right)}^4$

DICA

A propriedade III também pódepode sêrser justificada para m inteiro negativo ou igual a zero.

Página quatorze14

Propriedade IV: Sendo a ∈ ℝ, b ∈ ℝ e m ∈ ℤ, com a ≠ 0 e b ≠ 0, temos:

$$\begin{array}{c}{\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}\end{array}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade para m inteiro positivo.

$$\begin{array}{c}{\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\frac{a}{b}}{\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}}=\underset{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\underbrace{\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}{\overbrace{\frac{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}{b\cdot b\cdot \dots \cdot b}}}}}=\frac{a^m}{b^m}\end{array}$$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}{\left(\frac{8}{5}\right)}^3=\frac{8^3}{5^3}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}{\left[\frac{\left(-2\right)}{7}\right]}^5=\frac{(-2{)}^5}{7^5}\end{array}$

DICA

A propriedade IV também pódepode sêrser justificada para m inteiro negativo ou igual a zero.

Propriedade V: Sendo a ∈ ℝ, m ∈ ℤ e n ∈ ℤ, com a ≠ 0, temos:

$${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade para m e n inteiros positivos.

$${\left(a^m\right)}^n=\begin{array}{c}\underset{n\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}{a}^m}{\underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \dots \cdot a^m}}=\stackrel{n\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}{\overbrace{a^{m+m+\dots +m}}}\end{array}=a^{m\cdot n}$$

Exemplos:

a) ${\left(6^2\right)}^5=6^{2\cdot 5}=6^{10}$

b) ${\left[(-7^4]\right)}^3={\left(-7\right)}^{4\cdot 3}={\left(-7\right)}^{12}$

DICA

A propriedade V também pódepode sêrser justificada para m e n inteiros negativos ou iguais a zero.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R1. Utilizando as propriedades das potências apresentadas, resôuvaresolva a expressão $\begin{array}{c}\frac{{12}^8:{12}^3+11\cdot 4^5\cdot 3^5}{{\left(6^2\right)}^3}\end{array}$

Resolução

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\frac{{12}^8:{12}^3+11\cdot 4^5\cdot 3^5}{{\left(6^2\right)}^3}=\frac{{12}^{8-3}+11\cdot (4\cdot 3{)}^5}{6^{2\cdot 3}}=\frac{{12}^5+11\cdot {12}^5}{6^6}=\frac{{12}^5\cdot \left(1+11\right)}{6^6}=\\ =\frac{{12}^5\cdot 12}{6^6}=\frac{{12}^{5+1}}{6^6}=\frac{{12}^6}{6^6}={\left(\frac{12}{6}\right)}^6=2^6=64\end{array}\end{array}$$

PARA PENSAR

Identifique na resolução da expressão o uso das propriedades apresentadas.

propriedade I: 12⁵ ⋅ 12 = 12⁵⁺¹; propriedade II: 12⁸ ∶ 12³ = 12⁸⁻³;

propriedade III: 4⁵ ⋅ 3⁵ = (4 ⋅ 3)⁵; propriedade IV: $\begin{array}{c}\frac{{12}^6}{6^6}={\left(\frac{12}{6}\right)}^6\end{array}$ propriedade V: (6² )³ = 6²⁻³

Página quinze15

ATIVIDADES

1. Calcule as potências.

a) 6³

$216$

b) (−4)²

$16$

c) ${25}^{-1}$

$\frac{1}{25}$

d) $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{2}\right)}^4\end{array}$

$\frac{81}{16}$

e) $\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{-2}\end{array}$

$\frac{36}{25}$

f) $\begin{array}{c}{45}^0\end{array}$

1

2. escrêevaEscreva as expressões a seguir na forma de uma única potência.

a) $\begin{array}{c}\frac{5^2\cdot {25}^5}{{\left(3^6\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{3}\right)}^{12}\end{array}$

b) ${\left(-6\right)}^9\cdot {\left(-6\right)}^{-2}$

${\left(-6\right)}^7$

c) $\begin{array}{c}\frac{{12}^9\cdot 3^{-2}}{4^{3^2}}\end{array}$

$3^7$

d) ${\begin{array}{c}\left(9^6\right)\end{array}}^3:\begin{array}{c}{3}^{10}\end{array}$

$3^{26}$

e) $\begin{array}{c}\frac{{15}^7\cdot 3^7}{8^5\cdot 8^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left(\frac{45}{8}\right)}^7\end{array}$

f) $\begin{array}{c}\frac{{\left(4^3\right)}^{15}\cdot 5^{45}}{{20}^{18}}\end{array}$

${20}^{27}$

3. Calcule o valor numérico das expressões a seguir.

a) $\begin{array}{c}{25}^0\end{array}\cdot \begin{array}{c}{5}^3\end{array}:5^5$

$\begin{array}{c}\frac{1}{25}\end{array}$

b) ${\left(7^2\right)}^{-3}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot \begin{array}{c}{14}^8\end{array}$

$\begin{array}{c}196\end{array}$

c) $\left[{\left(-3\right)}^5:2^{-2}\right]\cdot {\left(-3\right)}^{-7}$

$\begin{array}{c}\frac{4}{9}\end{array}$

d)$\begin{array}{c}\frac{{\left(-\frac{1}{9}\right)}^{-2}\cdot 7^4}{{21}^3\cdot {10}^0}\end{array}$

$21$

4. Leia o texto a seguir.

O jôgoJogo de Xadrez

Segundo uma lenda antiga, o jôgojogo de xadrez foi inventado na Índia [...]. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham, quis recompensar seu súdito Sissa BemBen DarrirDahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa quêque lhe fizesse um pedido, quêque ele, rei Shirham, o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente:

— Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda casa, quatro (= 2²) pela terceira, oito (= 2³) pela quarta, e assim por diante, até 2 ⁶³ grãos de trigo pela última casa do tabuleiro, isto é, a 64 ª casa.

[...]

ÁVILA, Geraldo. Números muito grandes: o jôgojogo de xadrez. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 25, [1994]. Disponível em: https://livro.pw/xzstw. Acesso em: 24 jul. 2024.

Para termos uma noção de quão grande é a quantidade 2 ⁶³ grãos de trigo, a safra mundial de trigo 2022/2023 foi de 789,49 milhões de toneladas, o quêque corresponde a aproximadamente 2 ²⁹ grãos. Quantas vezes seria necessário dobrar essa safra para obtêrobter a quantidade de grãos de trigo correspondentes à última casa do tabuleiro, de acôr-doacordo com o pedido de Sissa?

Justifique sua resposta.

34 vezes. Resposta pessoal.

Página dezesseis16

5. Mateus utiliza um serviço de armazenamento de dados em nuvem. Observe quanto do espaço contratado por ele encontra-se disponível.

Que porcentual da capacidade de armazenamento em nuvem contratada por Mateus ainda está disponível para uso?

aproximadamente 73,6%

6. Estudamos quêque o baite (B) e seus múltiplos são unidades de medida de armazenamento de dados. Uma maneira de realizar conversões entre essas unidades de medida é usar o fato de quêque 1.024 = 2¹⁰ e estabelecer as seguintes relações.

a) Converta, justificando seu procedimento:

Respostas nas Orientações para o professor.

• 3 kB para B;

$3\cdot 2^{10}B$

• 5 MB para TB;

$5\cdot 2^{-20}TB$

• 8 TB para kB;

$2^{33}kB$

• 7 B para GB.

$7\cdot 2^{-30}GB$

b) Em quais itens a seguir o cartão de memória indicado tem capacidade para armazenar 2 ¹³ MB de dados? Justifique.

I e III. Os cartões de memória apresentam, respectivamente, 2¹⁴ MB, 2¹² MB, 2¹⁵ MB de capacidade de armazenamento; logo, apenas os cartões I e III têm memória maior ou igual a 2¹³ MB.

c) Você sabe o quêque é um algoritmo? De modo geral, um algoritmo é um conjunto de regras ou procedimentos sequenciados quêque pódepode ter como intuito a solução de um problema. Com base nas relações apresentadas, entre as unidades de medida baite e seus múltiplos, dêz-crevadescreva um algoritmo com o qual seja possível converter uma medida expressa em uma dessas unidades em outra.

Resposta pessoal.

7. Determine a soma dos algarismos do número obtídoobtido como resultado do cálculo $4^{54}\cdot {25}^{49}$.

7

8. Elabore cinco expressões envolvendo potências e troque-as com um colega para quêque um simplifique as expressões do outro. Depois, cada um deve corrigir as simplificações das expressões quêque elaborou, indicando quais propriedades foram utilizadas pelo colega. Por fim, conversem sobre as etapas realizadas.

Elaborações do estudante.

Página dezessete17

Notação científica

Quando é necessário escrever números ou realizar cálculos com medidas “muito grandes”, como as quêque envolvem distâncias entre planêtasplanetas, ou “muito pequenas”, como as relacionadas ao comprimento de microrganismos, podemos utilizar notação científica.

DICA

De maneira geral, na notação científica, o número racional a é indicado na forma decimal.

Leia, por exemplo, êsteeste trecho de uma reportagem.

Agências espaciais da Europa e Estados UnidosEUA apresentaram [...] a primeira imagem de um buraco negro no Universo. Trata-se de uma descoberta do telescópio Event Horizon.

[...]

O buraco negro fotografado foi encontrado no centro da galáksiagaláxia batizada de Messier 87, ou M87, região a 500 quintilhões de quilômetros de distância da Terra [...].

PADRÃO, Márcio. Primeira imagem real de um buraco negro é revelada. Tilt UOL, [s. l.], 16 abr. 2019. Disponível em: https://livro.pw/barhf. Acesso em: 24 jul. 2024.

PARA AMPLIAR

No texto apresentado, foi mencionada uma distância de 500 quintilhões de quilômetros. Essa medida pódepode sêrser expressa em notação científica conforme apresentado a seguir.

$$\mathrm{500.000.000.000.000.000.000}\mathrm{km}=5\cdot \mathrm{100.000.000.000.000.000.000}\mathrm{km}=5\cdot {10}^{20}\mathrm{km}$$

PARA PENSAR

Sabendo quêque a distância média entre a Terra e a Lua é de 3,78 ⋅ 10 ⁵ km, determine quantas vezes essa distância corresponde àquela entre a Terra e o buraco negro, mencionado anteriormente.

aproximadamente $\mathrm{1,32}\cdot {10}^{15}$vezes

Professor, esta obra está atualizada conforme a grafia estabelecida pelo SI na publicação:

INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. iii. Tradução luso-brasileira da 9ª edição. Disponível em: https://livro.pw/vbxre. Acesso em: 27 jun. 2024.

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Agora, considere a situação descrita a seguir.

No texto, foi mencionada a medida do diâmetro de um vírus em nanômetro (nm). Como 1 nm equivale a 0,000001 mm, temos quêque 50 nm equivalem a 0,00005 mm. Assim, podemos expressar essa medida em milímetro utilizando notação científica da maneira a seguir.

$$\mathrm{0,00005}\mathrm{m}\mathrm{m}=\begin{array}{c}\frac{5}{100000}\end{array}\mathrm{m}\mathrm{m}=5\cdot \begin{array}{c}\frac{1}{100000}\end{array}\mathrm{m}\mathrm{m}=5\cdot {10}^{-5}\mathrm{m}\mathrm{m}$$

PARA AMPLIAR

Algarismos significativos

Em geral, ao realizarmos uma medição, temos a precisão do resultado limitada pelo instrumento utilizado. Observe um exemplo.

Com base nessa medição, podemos afirmar quêque o comprimento do parafuso está entre 4,8 cm e 4,9 cm. Assim, um possível valor aproximado para essa medida é 4,85 cm, ou seja, submetemos à medida uma incerteza de 0,5 mm ou 0,05 cm. Essa incerteza corresponde à mêtádemetade da menor graduação do instrumento utilizado $\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,1}}{2}\end{array}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,05}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,5}\mathrm{m}\mathrm{m}\right)$, o quêque é admitido em consenso por pesquisadores e estudantes.

Página dezenove19

Na aproximação 4,85 cm, não há dúvida quanto aos algarismos 4 e 8, de maneira quêque podemos chamá-los de algarismos certos.

Já o algarismo 5 foi estimado e, assim, podemos chamá-lo de algarismo duvidoso.

O conjunto formado pêlospelos algarismos certos e duvidosos são os algarismos significativos quêque compõem um número obtídoobtido em uma medição. No número 4,85, por exemplo, 4, 8 e 5 são os algarismos significativos da medida do comprimento do parafuso, em centímetro.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R2. (Enem/MEC) A volemia (V) de um indivíduo é a quantidade total de sanguesangue em seu sistema circulatório (coração, artérias, veias e capilares). Ela é útil quando se pretende estimar o número total (N) de hemácias de uma pessoa, o qual é obtídoobtido multiplicando-se a volemia (V) pela concentração (C) de hemácias no sanguesangue, isto é, $N=V\times C.$ Num adulto normal essa concentração é de 5.200.000 hemácias por mL de sanguesangue, conduzindo a grandes valores de N. Uma maneira adequada de informar essas grandes quantidades é utilizar a notação científica, quêque consiste em expressar N na forma $N=Q\times {10}^n$, sêndosendo $1\le Q<10$ e n um número inteiro.

Considere um adulto normal, com volemia de 5.000 mL.

https://livro.pw/zwgrk. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado).

Qual a quantidade total de hemácias dêêssedesse adulto, em notação científica?

a) $\mathrm{2,6}\times {10}^{-10}$

b) $\mathrm{2,6}\times {10}^{-9}$

c) $\mathrm{2,6}\times {10}^9$

d) $\mathrm{2,6}\times {10}^{10}$

e) $\mathrm{2,6}\times {10}^{11}$

Resolução

Utilizando a expressão $N=V\times C$ e considerando $V=5.000$ e $C=\mathrm{5.200.000}$, a quantidade total de hemácias dêêssedesse indivíduo é dada por:

$$N=5.000\cdot \mathrm{5.200.000}=\mathrm{26.000.000.000}=\mathrm{2,6}\cdot {10}^{10}$$

Portanto, a alternativa d é a correta.

R3. Considere os números a seguir, expressos em notação científica.

• $A=\mathrm{3,25}\cdot {10}^5$

• $B=\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-4}$

• $C=\mathrm{9,6}\cdot {10}^6$

• $D=8\cdot {10}^{-8}$

Agora, faça os cálculos e expresse a resposta em notação científica.

a) $A\cdot B$

b) $B:D$

c) $\begin{array}{c}\frac{A\cdot C}{D}\end{array}$

Resolução

a) $A\cdot B=\mathrm{3,25}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^{-4}=\left(\mathrm{3,25}\cdot \mathrm{6,4}\right)\cdot {10}^5\cdot {10}^{-4}=\mathrm{20,8}{\cdot 10}^{5+\left(-4\right)}=\mathrm{20,8}\cdot 10=\mathrm{2,08}{\cdot 10}^2$

b) $B:D=\left(\mathrm{6,4}\cdot {10}^{-4}\right):\left(8\cdot {10}^{-8}\right)=\left(\mathrm{6,4}:8\right)\cdot \left({10}^{-4}:{10}^{-8}\right)=\mathrm{0,8}\cdot {10}^{-4-\left(-8\right)}=\mathrm{0,8}\cdot {10}^4=8\cdot {10}^3$

c) $\mathbf{}\begin{array}{c}\frac{A\cdot C}{D}=\frac{\mathrm{3,25}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{9,6}\cdot {10}^6}{8\cdot {10}^{-8}}=\frac{\left(\mathrm{3,25}\cdot \mathrm{9,6}\right)\cdot {10}^5\cdot {10}^6}{8\cdot {10}^{-8}}\end{array}$

$$=\begin{array}{c}\frac{\mathrm{31,2}\cdot {10}^{5+6}}{8\cdot {10}^{-8}}\end{array}=\left(\mathrm{31,2}:8\right){\cdot 10}^{11-\left(-8\right)}=\mathrm{3,9}\cdot {10}^{19}$$

Página vinte20

R4. Utilizando um paquímetro, Rafael mediu o diâmetro externo de um cano de metal. Observe a ilustração.

a) De acôr-doacordo com a medição realizada por Rafael, determine a medida aproximada do diâmetro externo dêêssedesse cano, considerando três algarismos significativos.

b) Classifique cada algarismo da medida indicada no item a em algarismo cértocerto ou duvidoso.

Resolução

a) Com base na medição apresentada, podemos afirmar quêque o diâmetro do cano está entre 4,6 cm e 4,7 cm. Assim, um possível valor aproximado para essa medida é:

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{4,6}+\mathrm{4,7}}{2}\end{array}=\mathrm{4,65}$, ou seja, 4,65 cm.

b) Na aproximação 4,65 cm, não há dúvida quanto aos algarismos 4 e 6, ou seja, esses são os algarismos certos. Já o algarismo 5 foi estimado, ou seja, é um algarismo duvidoso.

R5. Para determinar o volume de uma gota de á guaágua, um professor propôs quêque, em grupo, os estudantes realizassem um experimento no qual enchessem uma burêtabureta com 10 mL de á guaágua e retirassem 100 gotas dêêssedesse conteúdo. Por fim, cada grupo deveria determinar e indicar, considerando a incerteza da burêtabureta apenas em relação às suas graduações, quantos mililitros de á guaágua foram retirados. Observe os registros realizados por dois grupos de estudantes.

Grupo A

• Bureta de 10 mL subdividida em 1 mL

• Volume de 100 gotas de á guaágua:

5,5 mL

Grupo B

• Bureta de 10 mL subdividida em 0,1 mL

• Volume de 100 gotas de á guaágua:

5,35 mL

Considerando quêque as gotas tênhamtenham todas o mesmo volume, responda.

a) Qual dêêssesdesses grupos obteve uma medida mais precisa?

b) Utilizando a medida ôbitídaobtida pelo grupo indicado no item anterior, calcule o volume aproximado de uma gota de á guaágua. Indique o resultado em notação científica.

Resolução

a) Quanto mais marcações referentes às subdivisões de uma unidade de medida um recipiente apresentar, maior será a precisão da medida ôbitídaobtida. Como o grupo B utilizou um recipiente subdividido em 0,1 mL, ele obteve uma medida mais precisa quêque a do grupo A.

b) O volume de 100 gotas de á guaágua indicado pelo grupo B foi de 5,35 mL. Assim, o volume de cada gota de á guaágua é de:

$$\left(\mathrm{5,35}:100\right)\mathrm{m}\mathrm{L}\mathrm{}=\left(\mathrm{5,35}:{10}^2\right)\mathrm{m}\mathrm{L}=\mathrm{5,35}\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}\mathrm{L}.$$

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique a um colega os argumentos indicados na resolução do item a, utilizando como exemplo outro instrumento graduado.

Resposta pessoal.

Página vinte e um21

ATIVIDADES

9. Expresse os números em notação científica.

a) 568.000.000.000

$\mathrm{5,68}\cdot {10}^{11}$

b) 10.263.000.000.000.000

$\mathrm{1,0263}\cdot {10}^{16}$

c) 907.000.000.000.000

$\mathrm{9,07}\cdot {10}^{14}$

d) 0,0000006

$6\cdot {10}^{-7}$

e) 0,00000000798

$\mathrm{7,98}\cdot {10}^{-9}$

f) 0,000000000000604

$\mathrm{6,04}\cdot {10}^{-13}$

10. Observe, a seguir, os números expressos em notação científica.

$$A=\mathrm{6,51}\cdot {10}^{-8}$$

$$B=\mathrm{7,25}\cdot {10}^5$$

$$C=\mathrm{4,65}\cdot {10}^{-10}$$

$$D=\mathrm{1,4}\cdot {10}^{-7}$$

Agora, calcule as expressões e indique o resultado em notação científica.

a) $A:C$

$\mathrm{1,4}\mathrm{}\cdot \mathrm{}{10}^2$

b) $B\cdot D$

$\mathrm{1,015}\cdot {10}^{-1}$

c) $\begin{array}{c}\frac{A\cdot B}{D}\end{array}$

$\mathrm{3,37125}\cdot {10}^5$

11. Para expressar medidas de comprimento “muito grandes” ou “muito pequenas”, além dos múltiplos do métrometro, podem sêrser utilizadas outras unidades de medida. Leia as informações.

I) O ano-luz é uma unidade de medida utilizada principalmente em Astronomia, para expressar, por exemplo, distâncias entre corpos celéstescelestes. Um ano-luz corresponde à distância quêque a luz percórrepercorre no vácuo em 1 ano terrestre, o quêque equivale a aproximadamente $\mathrm{9,46}\cdot {10}^{12}\mathrm{k}\mathrm{m}$.

II) O angstrom (A ^°) é uma unidade de comprimento quêque costuma sêrser utilizada para expressar a medida de hátomusátomos. Temos quêque 1 A ^° equivale a ${10}^{-10}\mathrm{m}$.

Fonte dos dados: HALLIDAY, DavíDavid; RESNICK, róbertRobert; uólkerWALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1, p. 764.

Em cada item, realize conversões e escrêevaescreva as medidas destacadas utilizando a unidade mais adequada: anos-luz ou angstrom.

a) A estrela mais brilhante da Via Láctea é a Eta Carinae e está localizada a cerca de 7,1 ⋅ 10¹⁶ m do Sistema Solar.

Fonte dos dados: por quêPOR QUE a estrela mais brilhante da galáksiagaláxia é invisível a olho nu – e como se tornará aparente. G1, [s. l.], 10 jan. 2019. Disponível em: https://livro.pw/unhxh. Acesso em: 24 jul. 2024.

11. a) aproximadamente 7.505 anos-luz

b) Em 2020, o raio de carga médio do núcleo do hélio foi medido com a maior precisão até então: 1,67824 ⋅ 10⁻¹⁵ m.

Fonte dos dados: SERAFIM, Teresa Sofia. Raio do núcleo do hélio medido com uma precisão “sem precedentes”. Público, Lisboa, 27 jan. 2021. Disponível em: https://livro.pw/fkike. Acesso em: 24 jul. 2024.

$\mathrm{1,67824}\cdot {10}^{-5}Å$

• Agora, pesquise e registre informações ou dados científicos, diferentes dos apresentados nos itens anteriores, em quêque sêjamsejam citadas medidas de comprimento “muito grandes” ou “muito pequenas”, expressando-as em ano-luz ou angstrom. Depois, compartilhe suas descobertas com os côlégascolegas.

Pesquisa do estudante.

12. Um instrumento bastante utilizado em laboratórios de química para obtêrobter medidas com maior precisão é a balança analítica, quêque pódepode indicar a massa de objetos, em grama, com até quatro casas decimais. Considere quêque um objeto com 2,83 mg de massa é colocado sobre uma balança dessas e responda.

a) Qual é a massa indicada no visor da balança?

$\mathrm{0,0028}\mathrm{g}$

b) escrêevaEscreva a medida quêque você indicou no item a em notação científica.

$\mathrm{2,8}\cdot {10}^{-3}\mathrm{g}$

13. De acôr-doacordo com outro trecho da reportagem apresentada na página 17, o diâmetro do buraco negro médemede 40 bilhões de quilômetros, cerca de 3 milhões de vezes o diâmetro da Terra.

pôdêmosPodemos afirmar quêque o diâmetro da Terra, em quilômetro, corresponde a aproximadamente:

a) $4\cdot {10}^{10}$

b) $\mathrm{6,5}\cdot {10}^{10}$

c) $\mathrm{1,2}\cdot {10}^{11}$

d) $\mathrm{1,3}\cdot {10}^4$

e) $\mathrm{2,16}\cdot {10}^4$

alternativa d

Página vinte e dois22

14. Determine a medida aproximada do diâmetro interno dos canos nas medições representadas a seguir. Para isso, considere a medida com três algarismos significativos.

a)

2,55 cm

b)

2,85 cm

c)

3,25 cm

15. Observe o recipiente graduado contendo cértocerto volume de líquido.

a) Que volume de líquido há nesse recipiente, em litro? Para escrever essa medida, considere dois algarismos significativos fazendo estimativas e arredondamentos. Depois, explique a um colega seus procedimentos.

15. a) Resposta possível: Aproximadamente 1,6 L. Para estimar o volume de líquido, pode-se calcular a média aritmética de 1,5 L e 1,75 L, quêque é 1,625 L, e arredondar essa medida ao décimo do litro mais próximo, obtendo 1,6 L.

b) Classifique cada algarismo da medida quêque você escreveu no item a em algarismo cértocerto ou duvidoso.

Resposta possível: 1 é algarismo cértocerto; 6 é algarismo duvidoso.

16. Os objetos a seguir foram medidos com uma régua graduada em milímetro.

a) Em cada figura, identifique a ficha com a medida quêque melhor expressa o comprimento aproximado do objeto. Depois, classifique cada algarismo dessa medida em algarismo cértocerto ou duvidoso.

3,86 cm; algarismos certos: 3 e 8; algarismo duvidoso: 6

7,43 cm; algarismos certos: 7 e 4; algarismo duvidoso: 3

b) Expresse em notação científica as medidas obtidas nos itens anteriores, utilizando o métrometro como unidade.

16. b) 3,86 cm = 3,86 ⋅ 10 ⁻² m; 7,43 cm = 7,43 ⋅ 10 ⁻² m

c) Com um colega, utilizem uma régua e meçam o comprimento de algum objeto como borracha, caderno, carteira escolar etc. Registrem o comprimento aproximado, em centímetro, do objeto escolhido e indiquem quais são os algarismos certos e o algarismo duvidoso dessa medida. Por fim, expressem, em métrometro, a medida do objeto em notação científica.

Respostas pessoais.

Página vinte e três23

17. Os leucócitos, ou glóbulos brancos, são componentes celulares presentes no sanguesangue humano, cujas principais funções são a defesa e a imunidade do organismo. Em exames laboratoriais, a contagem de leucócitos busca identificar a capacidade de resposta das células do corpo em diferentes situações. Em geral, as tabélastabelas de referência indicam, por exemplo, quêque um homem adulto deve ter entre $5\cdot {10}^3\mathrm{e}1\cdot {10}^4$ de leucócitos por milímetro cúbico de sanguesangue.

Fonte dos dados: REECE, diêineJane B. éti áuet al. Biologia de Campbell. 10. ed. Porto Alegre: ArtmédArtmed, 2015. p. 928-930.

Um homem, por indicação médica, realizou um exame de contagem de leucócitos e obteve como resultado um total de $\mathrm{3,95}\cdot {10}^{10}$. Considerando quêque o volume sangüíneosanguíneo dêêssedesse homem é de cerca de 5,4 L, determine a concentração de leucócitos por milímetro cúbico de sanguesangue e verifique se essa quantidade está entre os valores de referência.

17. Aproximadamente $\mathrm{7,31}\cdot {10}^3$ leucócitos por milímetro cúbico de sanguesangue. Essa concentração de leucócitos está entre os valores de referência.

DICA

Lembre-se de quêque 1 L equivale a 1.000.000 mm³.

18. Um texto científico é uma produção textual com a finalidade de divulgar as ideias ou resultados de um estudo ou pesquisa científica. Esses textos podem sêrser divulgados em diferentes formatos, como artigos científicos publicados em revistas voltadas ou não a áreas específicas da Ciência. A Fundação ôsváldoOswaldo Cruz (Fiocruz), por exemplo, é uma instituição vinculada ao Ministério da Saúde na qual são realizadas pesquisas e publicações científicas, entre outros serviços.

Observe um trecho de um dos artigos publicados por pesquisadores dessa instituição, cujo objetivo era compreender a distribuição e a função de células usadas em terapias avançadas.

[...] A quantidade de células injetadas em terapias celulares varia amplamente com o tipo celular, com a doença e com a via de injeção. Supondo uma terapia em quêque se utilize 1 × 10 ⁶ células-tronco mesenquimais por kg de peso corporal, em um paciente de 70 kg será administrado 0,7 mg de ferro incorporado às células. [...]

JASMIN; BOROJEVIC, Radovan. Uso de nanopartículas no rastreamento de células em terapias avançadas: possibilidades e desafios para a aplicação clínica. Revista Visa em Debate: Sociedade, Ciência & Tecnologia, Rio de Janeiro, v. 6, n. 1, p. 56-63, 2018. p. 59. Disponível em: https://livro.pw/hfrlw. Acesso em: 24 jul. 2024.

DICA

Você desconhece algum termo utilizado nesse texto da Fiocruz? Se necessário, realize uma pesquisa em livros ou sáitessites confiáveis.

Considerando a terapia mencionada nesse trecho, responda.

a) Quantas células-tronco são utilizadas em um paciente com 70 kg? Expresse o resultado em notação científica.

$7\cdot {10}^7$ células-tronco

b) Considere quêque a massa de ferro incorporada deva sêrser proporcional ao peso corporal do paciente. Nessas condições, quantos gramas de ferro devem sêrser incorporados às células injetadas em um paciente de 62 kg? Expresse o resultado em notação científica.

$\mathrm{6,2}\cdot {10}^{-4}$ g

c) Com um colega, realizem uma pesquisa sobre as características de um texto científico, como a linguagem utilizada, o quêque é considerado em sua produção/elaboração e qual é o público-alvo. Com base nas informações apresentadas nesta atividade e naquelas quêque vocês pesquisaram, escrevam um texto argumentativo sobre a importânssiaimportância da divulgação científica para a ssossiedadesociedade atual.

Pesquisa e elaboração dos estudantes

Página vinte e quatro24

Radiciação

Em anos anteriores, você provavelmente estudou a operação de radiciação. Agora, retomaremos e ampliaremos esse estudo.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{25}\end{array}=5,\mathrm{pois}{5}^2=5\cdot 5=25.$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{49}{4}}\end{array}=\begin{array}{c}\frac{7}{2}\end{array},\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\begin{array}{c}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{7}{2}\cdot \frac{7}{2}=\frac{49}{4}\end{array}$.

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{1,44}}\end{array}=1,2,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}{\left(\mathrm{1,2}\right)}^2=\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{1,2}=\mathrm{1,44}.$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[3]{27}\end{array}=3,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}{3}^3=3\cdot 3\cdot 3=27.$

e) $\begin{array}{c}\sqrt[5]{1}\end{array}=1,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}{1}^5=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1.$

f) $\begin{array}{c}\sqrt[6]{64}\end{array}=2,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}{2}^6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64.$

DICA

Para representar uma raiz quadrada, costumamos não indicar o índice. Assim, por exemplo, podemos representar $\begin{array}{c}\sqrt[2]{25}\end{array}$ por $\begin{array}{c}\sqrt[]{25}\end{array}$

PARA PENSAR

A afirmativa a seguir é verdadeira ou falsa? Argumente para defender sua resposta.

Pode-se calcular a raiz real de um número real negativo apenas no caso de o índice dessa raiz sêrser um número natural ímpar maior quêque 1.

Verdadeira. Resposta esperada: Ao multiplicar uma quantidade par de fatores com o mesmo sinal, o resultado é positivo e, ao multiplicar uma quantidade ímpar de fatores negativos, o resultado também é negativo. Assim, de acôr-doacordo com a definição de radiciação, se a é um número real negativo, então $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a}\end{array}=b$ se, e somente se, b ⁿ = a apenas no caso de n sêrser um número natural ímpar maior quêque 1.

Potência com expoente racional

É possível estabelecer uma relação entre uma potência com expoente racional escrito na forma de fração e uma raiz. Observe.

Exemplos:

a)$\begin{array}{c}{5}^{\frac{7}{3}}=\sqrt[3]{5^7}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}{6}^{\frac{3}{2}}=\sqrt[]{6^3}\end{array}$

c) $2^{\mathrm{0,8}}=\begin{array}{c}{2}^{\frac{8}{10}}=2^{\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{2^4}\end{array}$

DICA

As propriedades de potências estudadas anteriormente também são válidas no caso de expoentes racionais.

Para justificar, por exemplo, a igualdade $\begin{array}{c}{6}^{\frac{3}{2}}=\sqrt[]{6^3}\end{array}$, podemos considerar $x=\begin{array}{c}{6}^{\frac{3}{2}}\end{array},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}x>0$_.

$$x^2=x\cdot x=\begin{array}{c}{6}^{\frac{3}{2}}\cdot 6^{\frac{3}{2}}=6^{\frac{3+3}{2}}\end{array}=6^3$$

Como $b^n=a$, então $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a}\end{array}=b,$ segue quêque: $x=\begin{array}{c}\sqrt[2]{6^3}\end{array}$.

Assim, temos quêque, $\begin{array}{c}{6}^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{6^3}\end{array}$.

Página vinte e cinco25

Propriedades da radiciação

A partir da definição, podemos estabelecer algumas propriedades da radiciação. Utilizando as propriedades da potenciação, é possível justificar essas propriedades da radiciação. Acompanhe.

Propriedade I: Sendo $a\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}\mathbb{}$e $n\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{N}$, com $a>0\mathrm{e\; n}>1$, temos:

$\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^n}\end{array}$= a

Observe como podemos justificar essa propriedade: $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^n}=a^{\frac{n}{n}}\end{array}=a^1=a$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[9]{2^9}\end{array}=2$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{{11}^4}\end{array}=11$

Propriedade II: Sendo a ∈ ℝ e os números naturais m, n e p, com a $>0,m\ne 0,n>1$ e $p\ne 0$, temos:

$$\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}\end{array}e\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:p]{a^{m:p}}\end{array}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade:

• $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m\cdot p}{n\cdot p}}=\sqrt[n\cdot p]{a^{m\cdot p}}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m:p}{n:p}}=\sqrt[n:p]{a^{m:p}}\end{array}$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[5]{7^4}=\sqrt[5\cdot 2]{7^{4\cdot 2}}=\sqrt[10]{7^8}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[9]{4^6}=\sqrt[9:3]{4^{6:3}}=\sqrt[3]{4^2}\end{array}$

Propriedade III: Sendo a ∈ ℝ, b ∈ ℝ e n ∈ ℕ, com $a>0,b>0\mathrm{e\; n}>1$, temos:

$\begin{array}{c}\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\end{array}$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

• $\begin{array}{c}\sqrt[n]{a\cdot b}=(a\cdot b{)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\end{array}$

• $\begin{array}{c}\sqrt[n]{\frac{a}{b}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\end{array}$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[7]{5\cdot 6}=\sqrt[7]{5}\cdot \sqrt[7]{6}\end{array}$

b)$\begin{array}{c}\sqrt[4]{\frac{9}{13}}=\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{13}}\end{array}$

Propriedade IV: Sendo a ∈ ℝ, n ∈ ℕ e p ∈ ℕ, com $a>0,n>1\mathrm{e\; p}>1$, temos:

$$\begin{array}{c}\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[n\cdot p]{a}\end{array}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

$$\begin{array}{c}\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[n]{a^{\frac{1}{p}}}={\left(a^{\frac{1}{p}}\right)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{p}}=a^{\frac{1}{n\cdot p}}=\sqrt[n\cdot p]{a}\end{array}$$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{\sqrt[6]{8}}=\sqrt[4\cdot 6]{8}=\sqrt[24]{8}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[]{\sqrt[9]{15}}=\sqrt[2\cdot 9]{15}=\sqrt[18]{15}\end{array}$

Página vinte e seis26

Propriedade V: Sendo a ∈ ℝ, m ∈ ℕ e n ∈ ℕ, com $a>0,m>0\mathrm{e\; n}>1$, temos:

$$\begin{array}{c}(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}\end{array}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

$$\begin{array}{c}(\sqrt[n]{a}{)}^m={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m=a^{m\cdot \frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\end{array}$$

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}(\sqrt[10]{3}{)}^7=\sqrt[10]{3^7}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}(\sqrt[5]{9}{)}^4=\sqrt[5]{9^4}\end{array}$

Potência com expoente real

Nesta Unidade, estudamos potências com expoente racional. Agora, vamos ampliar esse estudo abordando as potências com expoente irracional, e, dessa maneira, abordar potências em quêque o expoente é qualquer número real.

Considere, por exemplo, a potência $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}$, em quêque $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ é um número irracional.

Inicialmente, note quêque $3<\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}<4,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\begin{array}{c}\underset{3^2}{\underbrace{9}}<\underset{{\left(\sqrt[]{10}\right)}^2}{\underbrace{10}}<\underset{4^2}{\underbrace{16}}\end{array}$

Assim, temos:

$$2^3<\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}\begin{array}{c}{2}^4\end{array}\Rightarrow 8<\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}<16$$

pôdêmosPodemos concluir quêque $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}$ é um número real maior quêque 8 e menor quêque 16.

Para determinar aproximações racionais de $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}$, podemos utilizar uma calculadora para obtêrobter aproximações racionais de $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ e, em seguida, calcular a potência ôbitídaobtida.

Exemplos:

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}\simeq 3\to \begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}\simeq 2^3=8$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}\simeq \mathrm{3,1}\to \begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}\simeq 2^{\mathrm{3,1}}\simeq \mathrm{8,574}$

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}\simeq \mathrm{3,16}\to \begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}\simeq 2^{\mathrm{3,16}}\simeq \mathrm{8,938}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}\simeq \mathrm{3,162}\to \begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}\simeq 2^{\mathrm{3,162}}\simeq \mathrm{8,951}$

Quanto mais próximo de $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ é o número racional correspondente, mais próximo o resultado obtídoobtido é de $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}$. Por exemplo, dentre as aproximações obtidas, a mais próxima de $\begin{array}{c}{2}^{\sqrt[]{10}}\end{array}$ é 8,951.

DICA

As propriedades opêratórìasoperatórias das potências com expoente racional quêque estudamos anteriormente também são válidas para as potências com expoente irracional e, portanto, para as potências com expoente real.

Página vinte e sete27

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R6. Utilizando as propriedades apresentadas, simplifique a expressão $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[3]{5}\cdot (\sqrt[6]{2}{)}^2}{\sqrt[]{\sqrt[3]{10}}}\end{array}$.

Resolução

$$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[3]{5}\cdot (\sqrt[6]{2}{)}^2}{\sqrt[]{\sqrt[3]{10}}}=\frac{\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[6]{2^2}}{\sqrt[2\cdot 3]{10}}=\frac{\sqrt[3\cdot 2]{5^{1\cdot 2}}\cdot \sqrt[6]{2^2}}{\sqrt[6]{10}}=\frac{\sqrt[6]{5^2}\cdot \sqrt[6]{2^2}}{\sqrt[6]{10}}=\frac{\sqrt[6]{5^2\cdot 2^2}}{\sqrt[6]{10}}=\sqrt[6]{\frac{100}{10}}=\sqrt[6]{10}\end{array}$$

PARA PENSAR

Identifique na resolução da expressão o uso das propriedades apresentadas.

propriedade II: $\begin{array}{c}\sqrt[3]{5}=\sqrt[3\cdot 2]{5^{1\cdot 2}}\end{array};$

propriedade III: $\begin{array}{c}\sqrt[6]{5^2}\cdot \sqrt[6]{2^2}=\sqrt[6]{5^2\cdot 2^2}\end{array}$, $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[6]{5^2\cdot 2^2}}{\sqrt[6]{10}}=\sqrt[6]{\frac{100}{10}}\end{array};$

propriedade IV: $\begin{array}{c}\sqrt[]{\sqrt[3]{10}}=\sqrt[2\cdot 3]{10}\end{array};$

propriedade V: $\begin{array}{c}(\sqrt[6]{2}{)}^2=\sqrt[6]{2^2}\end{array}$

R7. (Enem/MEC) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfícíesuperfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera quêque “o cubo da área S da superfícíesuperfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M ”.

HUGHES-HALLETT, D. éti áuet al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard BlãcherBlücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizêrdizer quêque, para uma constante $k>0$, a área S pódepode sêrser escrita em função de M por meio da expressão:

a) $S=k\cdot M$

b) $S=k\cdot \begin{array}{c}{M}^{\frac{1}{3}}\end{array}$

c) $S=\begin{array}{c}{k}^{\frac{1}{3}}\cdot M^{\frac{1}{3}}\end{array}$

d) $S=\begin{array}{c}{k}^{\frac{1}{3}}\cdot M^{\frac{2}{3}}\end{array}$

e) $S=\begin{array}{c}{k}^{\frac{1}{3}}\end{array}\cdot M^2$

Resolução

De acôr-doacordo com as informações do enunciado, podemos escrever a expressão a seguir.

$$S^3=k\cdot M^2$$

Como S corresponde a uma medida de superfícíesuperfície, temos $S\ge 0$. Assim, de acôr-doacordo com a definição de radiciação e as propriedades de raízes e de potências apresentadas, temos:

$$\begin{array}{c}S=\sqrt[3]{k\cdot M^2}\Rightarrow S={\left(k\cdot M^2\right)}^{\frac{1}{3}}\Rightarrow S=k^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(M^2\right)}^{\frac{1}{3}}\Rightarrow S=k^{\frac{1}{3}}\cdot M^{\frac{2}{3}}\end{array}$$

Portanto, a alternativa d é a correta.

ATIVIDADES

19. escrêevaEscreva os radicais a seguir na forma de potência.

a) $\begin{array}{c}\sqrt[4]{9^3}\end{array}$

$\begin{array}{c}{9}^{\frac{3}{4}}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\sqrt[6]{8}\end{array}$

$\begin{array}{c}{8}^{\frac{1}{6}}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3^{10}}\end{array}$

3⁵

d)$\begin{array}{c}\sqrt[8]{{\left(\frac{2}{5}\right)}^4}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$

e) $\begin{array}{c}\sqrt[9]{(\mathrm{1,5}{)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\left(\mathrm{1,5}\right)}^{\frac{2}{9}}\end{array}$

f) $\begin{array}{c}\sqrt[12]{4^8}\end{array}$

$\begin{array}{c}{4}^{\frac{2}{3}}\end{array}$

g) $\begin{array}{c}\sqrt[9]{(\mathrm{2,7}{)}^6}\end{array}$

$\begin{array}{c}(\mathrm{2,7}{)}^{\frac{2}{3}}\end{array}$

h) $\begin{array}{c}\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^7}\end{array}$