UNIDADE 2
LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. O quêque ocorre com a pressão parcial de oxigênio quando há um deslocamento de menor altitude para maior altitude? De quêque maneira isso implica a respiração?

2. Qual é a altitude e a pressão atmosférica do município em quêque você mora? Se necessário, faça uma pesquisa.

3. Considere $p\left(h\right)={\left(\mathrm{0,9}\right)}^h$ um modelo matemático quêque determina a pressão atmosférica aproximada p (em atm) em função de uma altitude h (em km) de certa localidade. Calcule $p\left(2\right)$ e explique o quêque esse resultado indica.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO PAULISTA PARA O DESENVOLVIMENTO DA MEDICINA. Os efeitos da altitude no nosso organismo. São Paulo: SPDM, 20 fev. 2017. Disponível em: https://livro.pw/okgzx. Acesso em: 26 jul. 2024.

Página sessenta e dois62

Logaritmo

Na abertura desta Unidade, são apresentadas algumas informações sobre a pressão atmosférica.

Considere quêque, em certa localidade, a pressão atmosférica p (em atm) pódepode sêrser expressa de maneira simplificada por uma função exponencial definida por $p\left(h\right)={\left(\mathrm{0,9}\right)}^h$, em quêque h corresponde à altitude (em km). Ao realizar uma escalada, um alpinista consultou seu barôometrobarômetro e verificou quêque a pressão atmosférica indicada era de 0,53 atm. A quêque altitude ele se encontrava?

Para responder a essa quêquestão, devemos considerar a pressão atmosférica que o alpinista observou no barôometrobarômetro. Assim, escrevemos a equação a seguir.

$$\mathrm{0,53}={\left(\mathrm{0,9}\right)}^h$$

Uma estratégia para resolver essa equação exponencial é escrever cada membro como potência de mesma base, o quêque, neste caso, não é possível fazer com os estudos quêque realizamos até o momento. Assim, faz-se necessário utilizarmos outra estratégia, quêque envolve o uso de logaritmos.

Página sessenta e três63

MATEMÁTICA NA HISTORIA

Considere as situações a seguir.

• A qual expoente x se deve elevar a base 2 para obtêrobter 32 como resultado?

Nesse caso, temos:

$$2^x=32\Rightarrow 2^x=2^5\Rightarrow x=5$$

Dizemos quêque 5 é o logaritmo de 32 na base 2 e escrevemos log₂ $32=5$.

• Em uma potência de base 10, cujo resultado é $\frac{1}{1000}$ , qual é o valor y do expoente?

Nesse caso, temos:

$${10}^y=\begin{array}{c}\frac{1}{1000}\end{array}\Rightarrow {10}^y={\left(\begin{array}{c}\frac{1}{10}\end{array}\right)}^3\Rightarrow {10}^y={10}^{-3}\Rightarrow y=-3$$

Dizemos quêque −3 é o logaritmo de $\frac{1}{1000}$ na base 10 e escrevemos log₁₀ $\left(\frac{1}{1000}\right)$ = −3.

Observe alguns exemplos.

a) log₅ 625 = 4, pois 5⁴ = 625.

b) log₂ 64 = 6, pois 2⁶ = 64.

c) log₇ 1 = 0, pois 7⁰ = 1.

d) log₃ $\left(\frac{1}{81}\right)$ = −4, pois 3⁻⁴ = $\frac{1}{81}$.

e) log_0,1 (0,001) = 3, pois (0,1)³ = 0,001

f) log₁₀ 100 = 2, pois 10² = 100.

DICA

Por convenção, costuma-se omitir a indicação da base em logaritmos de base 10. Esses logaritmos são denominados logaritmos decimais. Por exemplo, log₁₀ 100 pódepode sêrser indicado por: log 100

PARA PENSAR

Explique por quêpor que os logaritmos a seguir não estão definidos.

• log₁ 10

Para qualquer $c\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}$, temos quêque $1^c\ne 10$.

• log (−4)

Para qualquer $c\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}$, temos quêque ${10}^c\ne -4$.

• log₀ (1,5)

Para qualquer $c\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}$*, temos quêque $0^c=0$.

• log₋₂ 8

Para qualquer c ∈ ℝ, temos quêque ${\left(-2\right)}^c\ne 8$.

• log₅ 0

Para qualquer c ∈ ℝ, temos quêque $5^c\ne 0$.

Página sessenta e quatro64

Consequências da definição de logaritmo

Analise, a seguir, algumas relações quêque decorrem da definição de logaritmo.

• ${\log }_{a}1=0$

Note quêque, considerando ${\log }_{a}1$ $=x$, obtemos:

$$a^x=1\Rightarrow a^x=a^0\Rightarrow x=0$$

Exemplos:

a) log₅ $1=0$

b) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{2}{7}}\end{array}$ $1=0$

c) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\sqrt[]{8}}\end{array}$ $1=0$

• ${\log }_{a}a=1$

Note quêque, considerando ${\log }_{a}a=x$, obtemos:

$$a^x=a^1\Rightarrow x=1$$

Exemplos:

a) log₆$6=1$

b) log₂₀$20=1$

c) $\begin{array}{c}{\log }_{\sqrt[]{3}}\sqrt[]{3}\end{array}=1$

• ${\log }_a{a}^n=n$

Note quêque, para todo n real e considerando log _a $a^n=x$, obtemos:

$$a^x=a^n\Rightarrow x=n$$

Exemplos:

a) log ₄ $\begin{array}{c}{4}^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\end{array}$

b) log ₅ $5^9=9$

c) log _0,12 ${\left(\mathrm{0,12}\right)}^{-1}=-1$

• $a^{{\log }_{a}b}=b$

Note quêque, considerando log _a $b=x$, temos $a^x=b$.

Substituindo log _a $b=x$ em $a^x=b$, obtemos:

$$a^{{\log }_{a}b}=b$$

Exemplos:

a) $2^{{\log }_{2}8}=8$

b) ${33}^{{\log }_{33}6}=6$

c) $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{{\log }_{\frac{1}{5}}125}\end{array}=125$

• ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}b={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c\iff b=c$

Para justificar quêque ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a$ $b={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c\Rightarrow b=c$, consideramos ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}b={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c=x$. Assim, temos quêque a^x = b e a^x = c.

Logo, segue quêque $b=c$.

Agora, para justificar quêque $b=c\Rightarrow {\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}b={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c$, consideramos ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a$ $b=y$ e quêque $b=c$, obtemos $a^y=b=c$. Assim, segue quêque ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c=y$. Portanto, temos:

$${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}b={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}c$$

Exemplos:

a) Se ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{8}7={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{8}x$ então $x=7$.

b) Se $\log \mathrm{y}=\log 2$ então $y=2$.

c) $\mathrm{S}\mathrm{e}{\log }_{\mathrm{0,4}}\left(\begin{array}{c}\frac{64}{1000}\end{array}\right)={\log }_z\left(\begin{array}{c}\frac{64}{1000}\end{array}\right)$, então z = 0,4.

PARA PENSAR

Para cada consequência da definição de logaritmo descrita, escrêevaescreva um exemplo diferente dos apresentados. Depois, troque seus exemplos com um colega para quêque um analise os do outro, identificando a propriedade utilizada em cada caso.

Respostas pessoais.

Página sessenta e cinco65

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Calcule.

a) ${\log }_{3}243$

b) $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{16}}\end{array}$64

c) ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{25}\begin{array}{c}5\sqrt[]{5}\end{array}$

Resolução

a) Considerando ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{3}243=x$, obtemos:

$$3^x=243\Rightarrow 3^x=3^5\Rightarrow x=5$$

Portanto, ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{3}243=5.$

b) Considerando $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{16}}\end{array}64=y$, obtemos:

$${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}\right)}^y=64\Rightarrow {\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2^4}\end{array}\right)}^y=2^6\Rightarrow 2^{-4y}=2^6\Rightarrow -4y=6\Rightarrow y=\begin{array}{c}-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}\end{array}$$

Portanto, $\begin{array}{c}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\frac{1}{16}}\end{array}64=\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\end{array}.$

c) Considerando ${\log }_{25}\begin{array}{c}5\sqrt[]{5}\end{array}=z$, obtemos:

$${25}^z=\begin{array}{c}5\sqrt[]{5}\end{array}\Rightarrow {\left(5^2\right)}^z=5\cdot \begin{array}{c}{5}^{\frac{1}{2}}\end{array}\Rightarrow 5^{2z}=\begin{array}{c}{5}^{\frac{3}{2}}\end{array}\Rightarrow 2z=\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}\Rightarrow z=\begin{array}{c}\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}\end{array}$$

Portanto, log₂₅ $\begin{array}{c}5\sqrt[]{5}=\frac{3}{4}\end{array}$.

R2. Considere $x^{{\log }_{x}y}=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}\mathrm{e}{\log }_{y}x=z.$Qual é o valor de z?

a) 0

b) $\frac{1}{4}$

c) 1

d) 4

Resolução

pôdêmosPodemos utilizar a relação $a^{{\log }_{a}b}=b$, quêque decorre da definição de logaritmo, para resolver $x^{{\log }_{x}y}=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}$. Assim, temos:

$$y=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}$$

Para ${\log }_{y}x=z$, da definição de logaritmos, temos:

$$y^z=x$$

Substituindo y = $\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{}{y}^z=x$, segue quêque:

$$\begin{array}{c}{\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^z\end{array}=x^1\Rightarrow \begin{array}{c}{x}^{\frac{z}{4}}\end{array}=x^1\Rightarrow \begin{array}{c}\frac{z}{4}\end{array}=1\Rightarrow z=4$$

Portanto, a alternativa d está correta.

PARA PENSAR

Explique a um colega outra maneira de mostrar quêque $z=4$ é a solução dessa atividade.

Uma resposta possível: Inicialmente, podemos substituir $z=4$ em ${\log }_{y}x$ $=z$ e obtêrobter, pela definição de logaritmo, $x=y^4$. Em seguida, como $x^{{\mathit{log}}_{x}y}=y=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}$, substituímos em $y=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}\end{array}$o resultado obtídoobtido anteriormente e determinamos uma igualdade verdadeira: $y=\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{4}}={\left(y^4\right)}^{\frac{1}{4}}\end{array}=y.$

R3. Na página 62, analisamos uma situação em quêque um alpinista, ao realizar uma escalada, consultou o barôometrobarômetro e verificou quêque a pressão atmosférica era de 0,53 atm. Considerando log _0,9 $\left(\mathrm{0,53}\right)\simeq 6$, determine a quêque altitude o alpinista se encontrava, aproximadamente.

Resolução

Da definição de logaritmo, temos quêque:

$${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$$

Como, na situação apresentada, a pressão atmosférica pódepode sêrser expressa por uma função definida por $p\left(h\right)={\left(\mathrm{0,9}\right)}^h$, em quêque h corresponde à altitude (em km), temos quêque:

$$\mathrm{0,53}={\left(\mathrm{0,9}\right)}^h\iff {\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\mathrm{0,9}}\left(\mathrm{0,53}\right)=h$$

Como log_0,9 $\left(\mathrm{0,53}\right)\simeq 6$, segue quêque $h\simeq 6$.

Portanto, o alpinista se encontrava a aproximadamente 6 km de altitude.

Página sessenta e seis66

R4. Determine para quais valores reais de x estão definidos os logaritmos indicados a seguir.

a) ${\log }_9\left(2x+8\right)$

b) ${\log }_{\left(\mathrm{x}-3\right)}\left(x^2-5x+6\right)$

Resolução

De acôr-doacordo com a definição de logaritmo, temos quêque ${\log }_{\mathrm{a}}b$ existe quando a e b são números reais, sêndosendo $a>0$, $a\ne 1$ e $b>0.$

a) Em log₉ $\left(2x+8\right)$ a base é 9. Neste caso, as condições de quêque a base seja maior do quêque zero e diferente de 1 são satisfeitas. Resta analisar a condição $2x+8>0$. Assim:

$$2x+8>0\Rightarrow 2x>-8\Rightarrow x>-4$$

Portanto, log₉ $\left(2x+8\right)$existe para qualquer $x\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}$ tal quêque $x>-4$.

b) Neste caso, vamos analisar para quais valores de x a base de ${\log }_{\left(\mathrm{x}-3\right)}\left(x^2-5x+6\right)$ é positiva e diferente de 1 e o logaritmando é positivo.

• Base: $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x-3>0\Rightarrow x>3\\ x-3\ne 1\Rightarrow x\ne 4\end{array}\end{array}$

• Logaritmando: $x^2-5x+6>0$

$$x^2-5x+6=0$$

$$a=1;b=-5;c=6$$

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{}={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$

$$x=\begin{array}{c}\frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt[]{1}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{5+1}{2}=3\\ \mathrm{ou}\\ x=\frac{5-1}{2}=2\end{array}\end{array}$$

Fazendo o estudo de sinal da função quadrática dada por $f\left(x\right)=x^2-5x+6$, temos:

Portanto, $x^2-5x+6>0$ para $x<2$ ou para $x>3$.

Como essas condições precisam sêrser satisfeitas simultaneamente, precisamos obtêrobter o conjunto I ⋃ II. Assim:

Portanto, ${\log }_{\left(\mathrm{x}-3\right)}\left(x^2-5x+6\right)$ está definido para qualquer $x\mathbb{}\in \mathbb{}\mathbb{R}$, tal quêque $x>3\mathrm{e}x\ne 4$.

PARA PENSAR

Escolha um número real para o qual o logaritmo indicado no item b não esteja definido. Depois, argumente por quêpor que isso ocorre.

Uma resposta possível: Para $x=1$, por exemplo, temos quêque a base do logaritmo seria dada por um número negativo $\left(x-3\to 1-3=-2\right),$ o quêque não pódepode ocorrer por definição de logaritmo.

Página sessenta e sete67

ATIVIDADES

1. De acôr-doacordo com a definição de logaritmo, calcule:

a) ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{8}16$;

$\begin{array}{c}\frac{4}{3}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}{\log }_9\left(\frac{1}{81}\right)\end{array}$;

−2

c) ${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\mathrm{0,2}}125$;

−3

d) $\begin{array}{c}{\log }_{\sqrt[]{7}}\left(49\sqrt[]{7}\right)\end{array}$ .

5

2. Determine, em cada equação a seguir, o valor de x.

a) ${\log }_{16}128=x$

$x=\begin{array}{c}\frac{7}{4}\end{array}$

b) ${\log }_{6}x=3$

$x=216$

c) ${\log }_{\mathrm{x}}\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}=\frac{1}{2}$

$x=10$

d) ${\log }_{2}4=\log x$

$x=100$

3. Você sabia quêque a maioria dos smartphones tem calculadora científica instalada em seu sistema operacional? Para calcular logaritmos, podemos utilizar essas calculadoras ou programas de computador específicos. Observe, por exemplo, a sequência de teclas quêque devem sêrser pressionadas, em um modelo de calculadora científica, para obtêrobter o valor aproximado de log 62.

Portanto, $\log 62\simeq \mathrm{1,792391689}$.

Agora, utilize uma calculadora científica e determine os logaritmos a seguir. escrêevaEscreva o resultado aproximado com duas casas decimais.

a) log 110

2,04

b) log 24

1,38

c) log 51

1,71

d) log (0,6)

−0,22

4. Determine para quêque valores reais de x os logaritmos a seguir podem sêrser definidos.

a) ${\log }_{11}\left(4x-52\right)$

$x>13$

b) ${\log }_{\left(2\mathrm{x}+5\right)}\left(\mathrm{0,35}\right)$

$x\succ \frac{5}{2}$ e x ≠ −2

c) ${\log }_{\left(-\mathrm{x}-8\right)}\left(x^2+7x\right)$

$x\mathrm{}<\mathrm{}-8$ e x ≠ −9

d) ${\log }_{\left(\mathrm{x}-1\right)}\left({-x}^2-3x+10\right)$

$1<x<2$

5. Simplifique as expressões.

a) ${\log }_{4}16\cdot {\log }_{12}12$

2

b)${\log (\log }_7{7}^{10})-{\log }_{9}1$

1

c) $\left({\log }_{\mathrm{0,04}}5\right)\cdot \left[5^{{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{5}20}+{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2\left(\mathrm{0,25}\right)\right]$

−9

d) $\begin{array}{c}\frac{{\log }_3{81}^3}{{\log }_{\sqrt[]{3}}27-2{\log }_6\left(\frac{1}{6}\right)}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}$

6. Sabendo quêque o logaritmo de um número na base 4 é igual a 4,5, determine o logaritmo do dôbrodobro dêêssedesse número na mesma base.

5

7. Mariana rêzouvêoresolveu investir um capital de R$ 5.700,00 a uma taxa de 6% a.m. em uma aplicação no sistema de juro compôztocomposto. Após quanto tempo, aproximadamente, Mariana obterá um montante de R$ 14.478,00? Considere ${\log }_{\mathrm{1,06}}\left(\mathrm{2,54}\right)\simeq 16$.

16 meses

8. Leia as informações a seguir e resôuvaresolva as kestõesquestões.

MATEMÁTICA NA HISTORIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 4. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2007. p. 345-346.

Observe a representação de parte da tábua de logaritmos briggsianos.

a) De maneira análoga à realizada para a linha 5, escrêevaescreva o logaritmo indicado para cada linha da parte da tábua apresentada.

8. a) $\log 1=\mathrm{0,00};\log 2\simeq \mathrm{0,301029995663981};\log 3\simeq \mathrm{0,477121254719662};\log 4\simeq \mathrm{0,602059990327962}$

b) Utilizando uma calculadora, construa uma tábua de logaritmos de base 10 para os números naturais de 6 até 10.

8. b)

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Propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos

Analise, a seguir, algumas propriedades quêque contribuem na realização de operações com logaritmos.

DICA

Para estudar as propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos, se necessário, retome o estudo das propriedades das potências.

Logaritmo do produto

Sendo a, b e c números reais, com $a>0$, $a\ne 1,b>0$ e $c>0$, temos:

$${\log }_{\mathrm{a}}\left(b\cdot c\right)={\log }_{\mathrm{a}}b+{\log }_{a}c$$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

Considerando ${\log }_{\mathrm{a}}b=x,{\log }_{a}c=y$ e ${\log }_a\left(b\cdot c\right)=z$, temos:

• ${\log }_{a}b=x\Rightarrow a^x=b$

• ${\log }_{a}c=y\Rightarrow a^y=c$

• ${\log }_a\left(b\cdot c\right)=z\Rightarrow a^z=b\cdot c$

Assim, segue quêque:

$$a^z=b\cdot c\Rightarrow a^z=a^x\cdot a^y\Rightarrow a^z=a^{x+y}\Rightarrow z=x+y\Rightarrow {\log }_a\left(b\cdot c\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$

Exemplos:

a) ${\log }_3\left(5\cdot 7\right)={\log }_{3}5+{\log }_{3}7$

b) $\log 300=\log \left(100\cdot 3\right)=\log 100+\log 3=2+\log 3$

DICA

Esta propriedade pódepode sêrser descrita da seguinte maneira.

O logaritmo do produto de dois números reais positivos, de certa base, é igual à soma dos logaritmos dêêssesdesses números, ambos nessa mesma base.

Logaritmo do quociente

Sendo a, b e c números reais, com $a>0,a\ne 1,b>0$e $c>0$, temos:

$${\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$

Observe como podemos justificar essa propriedade.

Considerando log_a b $=x,{\log }_{\mathrm{a}}c=y$ e ${\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}\right)=z$, temos:

• ${\log }_{a}b=x\Rightarrow a^x=b$

• ${\log }_{a}c=y\Rightarrow a^y=c$

• ${\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}\right)=z\Rightarrow a^z=\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}$

Assim, segue quêque:

$$a^z=\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}\Rightarrow a^z=\begin{array}{c}\frac{a^x}{a^y}\end{array}\Rightarrow a^z=a^{x-y}\Rightarrow z=x-y\Rightarrow {\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{b}{c}\end{array}\right)={\log }_{a}c$$

Exemplos:

a) ${\log }_8\left(\begin{array}{c}\frac{9}{7}\end{array}\right)={\log }_{8}9-{\log }_{8}7$

b) $\log \left(1,5\right)=\log \left(\begin{array}{c}\frac{15}{10}\end{array}\right)=\log 15-\log 10=\log 15-1$

PARA PENSAR

Com suas palavras, dêz-crevadescreva esta propriedade.

Resposta esperada: O logaritmo do quociente de dois números reais positivos, de certa base, é igual à diferença dos logaritmos dêêssesdesses números, ambos nessa mesma base.

Logaritmo da potência

Sendo a, b e n números reais, com $a>0,a\ne 1$ e $b>0$, temos:

$${\log }_a{b}^n=\mathit{n}\cdot {\log }_{a}b$$

Página sessenta e nove69

Observe como podemos justificar essa propriedade. Considerando log_ab = x e log_abⁿ = y temos:

• ${\log }_{a}b=x\Rightarrow a^x=b$

• ${\log }_a{b}^n=\mathit{y}\Rightarrow a^y=b^n$

Assim, segue quêque:

$$a^y=b^n\Rightarrow a^y={\left(a^x\right)}^n\Rightarrow a^y=a^{n\cdot x}\Rightarrow y=n\cdot x\Rightarrow {\log }_a{b}^n=n\cdot {\log }_{a}b$$

Exemplos:

a) $\log 8^3=3\cdot \log 8$

b) ${\log }_4{10}^{-2}=-2\cdot {\log }_{4}10$

PARA PENSAR

Com suas palavras, dêz-crevadescreva essa propriedade.

Resposta esperada: O logaritmo de uma potência de um número real positivo de expoente real qualquer, de certa base, é igual ao produto dêêssedesse expoente pelo logaritmo dêêssedesse número real nessa mesma base.

Mudança de base

Sendo a, b e c números reais, com $a>0,a\ne 1,b>0,c>0$ e $c\ne 1$, temos:

$${\log }_{a}b=\begin{array}{c}\frac{{\mathit{log}}_{c}b}{{\mathit{log}}_{c}a}\end{array}$$

Observe como podemos justificar essa propriedade. Considerando ${\log }_{a}b=x,{\log }_{c}b=y$ e ${\log }_{c}a=z$, temos:

• ${\log }_{a}b=x\Rightarrow a^x=b$

• ${\log }_{c}b=y\Rightarrow c^y=b$

• ${\log }_{c}a=z\Rightarrow c^z=a$

Como $a^x=b$ e $c^y=b$, segue quêque:

$$a^x=c^y\Rightarrow {\left(c^z\right)}^x=c^y\Rightarrow c^{z\cdot x}=c^y\Rightarrow z\cdot x=y\Rightarrow {\log }_{c}a\cdot {\log }_{a}b$$

$$={\log }_{c}b\Rightarrow {\log }_{a}b=\begin{array}{c}\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}\end{array}$$

Exemplos:

Resposta esperada: O logaritmo de um número real positivo de certa base é igual à razão entre o logaritmo dêêssedesse número real pelo logaritmo do número correspondente a essa base, ambos em uma mesma base.

PARA PENSAR

Mostre, de duas maneiras diferentes, quêque, sêndosendo a e b números reais, com $a>0,a\ne 1$ e $b>0$, temos ${\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)=-{\log }_{a}b$. Indique quais propriedades opêratórìasoperatórias dos logaritmos você utilizou.

Resposta esperada: Propriedade do logaritmo do quociente:

$${\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{1}{b}\end{array}\right)={\log }_{a}1-{\log }_{a}b=0-{\log }_{a}b=-{\log }_{a}b.$$

Propriedade do logaritmo da potência:

$${\log }_a\left(\begin{array}{c}\frac{1}{b}\end{array}\right)={\log }_{a}1-1=-1\cdot {\log }_{a}b=-{\log }_{a}b.$$

Exemplos:

a) ${\log }_{6}20=\begin{array}{c}\frac{{\log }_{4}20}{{\log }_{4}6}\end{array}$

b) ${\log }_{4}8=\begin{array}{c}\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}\end{array}$

PARA PENSAR

Com suas palavras, dêz-crevadescreva essa propriedade.

Alguns modelos de calculadora científica não têm uma tecla específica para o cálculo de logaritmos em uma base definida qualquer. Nesse caso, podemos utilizar a propriedade da mudança de base de logaritmos. Acompanhe, a seguir, as etapas para calcular ${\log }_{3}7$ utilizando um modelo de calculadora em quêque há tecla para logaritmos de base decimal.

1ª) Utilizamos a propriedade da mudança de base:

$${\log }_{3}7=\begin{array}{c}\frac{\log 7}{\log 3}\end{array}$$

2ª) Pressionamos a seguinte sequência de teclas:

O resultado indicado na calculadora é uma aproximação de ${\log }_{3}7$.

DICA

A ordem em quêque as teclas devem sêrser pressionadas pódepode sêrser diferente da apresentada de acôr-doacordo com o modelo da calculadora.

Página setenta70

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R5. Dados $\log 2\simeq \mathrm{0,301},\log 5\simeq \mathrm{0,699}$e $\log 7\simeq \mathrm{0,845}$, determine o valor de:

a) log 49

b) log 70

c) log 1,4

d) log₂ 35

Resolução

a) $\log 49={\log 7}^2=2\cdot \log 7\simeq 2\cdot \mathrm{0,845}=\mathrm{1,69}$

b) $\log 70=\log \left(2\cdot 5\cdot 7\right)=\log 2+\log 5+\log 7\simeq \mathrm{0,301}+\mathrm{0,699}+\mathrm{0,845}=\mathrm{1,845}$

c) $\log \mathrm{1,4}=\log \left(\begin{array}{c}\frac{14}{10}\end{array}\right)=\log 14-\log 10=\log \left(2\cdot 7\right)-1=\log 2+\log 7-1\simeq \mathrm{0,301}+\mathrm{0,845}-1=\mathrm{0,146}$

d) ${\log }_{2}35=\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{\log 35}{\log 2}\simeq \frac{\log \left(5\cdot 7\right)}{\mathrm{0,301}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{\log 5+\log 7}{\mathrm{0,301}}\simeq \frac{\mathrm{0,699}+\mathrm{0,845}}{\mathrm{0,301}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}\frac{\mathrm{1,544}}{\mathrm{0,301}}\mathrm{}\simeq \mathrm{}\mathrm{5,13}$

PARA PENSAR

escrêevaEscreva um logaritmo, diferente dos apresentados nesta atividade, cujo valor aproximado possa sêrser determinado com base nos cálculos envolvendo os três logaritmos indicados no enunciado. Troque com um colega o logaritmo quêque você escreveu para quêque um resôuvaresolva o do outro. Depois, faça a correção dos itens quêque você propôs. Ao final, todos devem compartilhar com a turma suas produções.

Resposta pessoal.

R6. Mostre quêque ${\log }_{a}b=\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathit{log}}_{b}a}\end{array}$, sêndosendo a e b números reais tais quêque $a>0,a\ne 1,b>0$ e$b\ne 1$.

Resolução

Aplicando em log _a b a mudança de base para logaritmos de base b, temos:

$${\log }_a\mathrm{b}\mathrm{}=\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{b}}a}=\frac{1}{{\log }_{\mathrm{b}}a}\end{array}$$

Portanto, ${\log }_a\mathrm{b}=\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathit{log}}_{b}a}\end{array}$.

R7. Considere as informações nas fichas a seguir e resôuvaresolva as equações exponenciais.

$${\log }_{2}3\simeq \mathrm{1,58}$$

$${\log }_{2}5\simeq \mathrm{2,32}$$

$${\log }_{2}7\simeq \mathrm{2,81}$$

a) $2^{2x+1}=15$

b) ${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^{5-2x}=\begin{array}{c}\frac{7}{5}\end{array}$

c) $3^{x-5}=8$

Resolução

a) $2^{2x+1}=15\Rightarrow {{\log }_{2}2}^{2\mathrm{x}+1}={\log }_{2}15\Rightarrow 2x+1={\log }_2\left(3\cdot 5\right)\Rightarrow 2x={\log }_{2}3+{\log }_{2}5-1\Rightarrow 2x\simeq \mathrm{1,58}+\mathrm{2,32}-1\Rightarrow x\simeq \begin{array}{c}\frac{\mathrm{2,9}}{2}\end{array}\Rightarrow x\simeq \mathrm{1,45}$

b) ${\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}\right)}^{5-2x}=\begin{array}{c}\frac{7}{5}\end{array}\Rightarrow 2^{2x-5}=\begin{array}{c}\frac{7}{5}\end{array}\Rightarrow {{\log }_{2}2}^{2x-5}={\log }_2\left(\begin{array}{c}\frac{7}{5}\end{array}\right)\Rightarrow 2x-5={\log }_{2}7-{\log }_{2}5\Rightarrow 2x\simeq \mathrm{2,81}-\mathrm{2,32}+5\Rightarrow x\simeq \begin{array}{c}\frac{\mathrm{5,49}}{2}\end{array}\Rightarrow x\simeq \mathrm{2,745}$

c) $3^{x-5}=8\Rightarrow {{\log }_{3}3}^{\mathrm{x}\mathrm{}-\mathrm{}5}={\log }_{3}8\Rightarrow x-5=\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}\end{array}\mathrm{}\Rightarrow x\simeq \begin{array}{c}\frac{3}{\mathrm{1,58}}\end{array}+5\Rightarrow x\simeq \mathrm{6,9}$

PARA PENSAR

Escolha um dos itens propostos e, com suas palavras, explique a um colega cada etapa da resolução da equação.

Resposta pessoal.

R8. (Enem/MEC) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em quêque o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza quêque o número de neurônios em um cérebro humano, quêque é da ordem de 100 bilhões.

Página setenta e um71

Uma das grandezas determinantes para o dêsempênhodesempenho de um processador é a densidade de transistores, quêque é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100.000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado quêque se pódepode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: https://livro.pw/ncbqw. Acesso em: 1 dez. 2017. (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para log₁₀ 2.

Em quêque ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

a) 1999

b) 2002

c) 2022

d) 2026

e) 2146

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as etapas a seguir.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• a densidade de transistores é o número de transistores por centímetro quadrado;

• em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100.000 transistores distribuídos em 0,25 cm² de área;

• o número de transistores por centímetro quadrado quêque se pódepode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore);

• considerar log₁₀ 2 ≃ 0,30.

2ª ELABORAR UM PLANO

Temos de determinar em quêque ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores. Para isso, podemos calcular a densidade de transistores dos processadores em 1986 (D_o) e escrever a função D (t) para expressar a densidade de transistores em t anos. Depois, igualamos D(t) a 100 bilhões e obtemos uma equação de incógnita t, quêque deverá sêrser resolvida. Por fim, adicionamos a quantidade de anos ôbitídaobtida ao ano inicial (1986).

3ª EXECUTAR O PLANO

Calculando D _o, temos: $D_0=\begin{array}{c}\frac{100000}{\mathrm{0,25}}\end{array}=400.000=4\cdot {10}^5$.

Escrevendo D(t), segue quêque: $D\left(t\right)=4\cdot {10}^5\cdot \begin{array}{c}{2}^{\frac{t}{2}}\end{array}$ _, em quêque $t\ge 0$.

Como 100 bilhões correspondem a 10¹¹, fazemos D(t) = 10¹¹ e resolvemos a equação exponencial ôbitídaobtida:

$4\cdot {10}^5\cdot 2^{\frac{t}{2}}={10}^{11}\Rightarrow 2^2\cdot \begin{array}{c}{2}^{\frac{t}{2}}=\frac{{10}^{11}}{{10}^5}\end{array}\Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{array}{c}{2}^{\left(\frac{t}{2}+2\right)}\end{array}={10}^6\Rightarrow \log 2^{\left(\frac{t}{2}+2\right)}=\log {10}^6\Rightarrow$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\frac{t}{2}\end{array}+2\right)\cdot \log 2=6\cdot \log 10\Rightarrow$

$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}\frac{t}{2}\end{array}+2\right)\cdot \mathrm{0,30}\simeq 6\cdot 1\Rightarrow t\simeq 36$

Como consideramos 1986 o ano inicial, segue quêque: 1.986 + 36 = 2.022. Portanto, a empresa atingiu a densidade de 100 bilhões de transistores em 2022.

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique a expressão encontrada para D(t).

Resposta pessoal.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado, podemos determinar, por meio da função D, a densidade de transistores em 2021 e em 2022, ou seja, 35 e 36 anos passados de 1986, respectivamente. Para isso, é possível usar uma calculadora científica.

• $\mathrm{D}\left(35\right)=\mathrm{}4\mathrm{}\cdot \mathrm{}{10}^5\mathrm{}\mathrm{}\cdot \mathrm{}\begin{array}{c}{2}^{\frac{35}{2}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}{2}^2\mathrm{}\cdot \mathrm{}{10}^5\mathrm{}\mathrm{}\cdot \mathrm{}\begin{array}{c}{2}^{\frac{35}{2}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}\begin{array}{c}{2}^{\frac{39}{2}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}\cdot \mathrm{}10\mathrm{}5\mathrm{}\mathrm{}\simeq \mathrm{}\mathrm{74.000.000.000}$

• $\mathrm{D}\mathrm{}\left(36\right)=\mathrm{}4\mathrm{}\cdot \mathrm{}{10}^5\mathrm{}\cdot \mathrm{}\begin{array}{c}{2}^{\frac{36}{2}}\end{array}\mathrm{}=\mathrm{}{2}^2\mathrm{}\cdot \mathrm{}{10}^5\mathrm{}\cdot \mathrm{}{2}^{18}\mathrm{}\mathrm{}=\mathrm{}{2}^{20}\mathrm{}\mathrm{}\cdot \mathrm{}10\mathrm{}5\mathrm{}\mathrm{}\simeq \mathrm{}\mathrm{105.000.000.000}$

DICA

Note quêque 74 bilhões < 100 bilhões < 105 bilhões.

Portanto, a alternativa c é a correta, pois a empresa atingiu a densidade de 100 bilhões de transistores 36 anos após 1986, ou seja, em 2022.

Página setenta e dois72

ATIVIDADES

9. Em cada item, escrêevaescreva as expressões na forma de um único logaritmo.

a) $\log 8-\log 15$

log $\left(\frac{8}{15}\right)$

b) ${\log }_{6}4\cdot {\log }_{4}5$

${\log }_{6}5$

c) $3\mathrm{}\cdot {\log }_{7}2+{\log }_{7}5$

${\log }_{7}40$

d) log₉ 4 + log₃ 2

${\log }_{3}4$

10. Considerando log₃ 2 ≃ 0,63, log₃ 5 ≃ 1,46 e log₃ 7 ≃ 1,77, determine o valor aproximado de:

a) ${\log }_{3}70$

3,86

b) ${\log }_{3}36$

3,26

c) ${\log }_{7}5$

0,82

d) ${\log }_3\left(\mathrm{0,7}\right)$

−0,32

11. Utilizando uma calculadora científica, determine o valor dos logaritmos a seguir.

a) ${\log }_{8}20$

aproximadamente 1,44

b) ${\log }_{2}100$

aproximadamente 6,64

c) ${\log }_8\left(\mathrm{0,5}\right)$

−0,3

d) ${\log }_{20}16$

aproximadamente 0,93

12. Observe como podemos resolver a equação ${\log }_{2}x=\mathrm{2,8}$ com uma calculadora científica.

Da definição de logaritmos, temos quêque:

$${\log }_2\mathrm{x}=\mathrm{2,8}\iff 2^{\mathrm{2,8}}=x$$

Para calcular o valor aproximado de 2^2,8, pressionamos a seguinte sequência de teclas em cértocerto modelo de calculadora científica.

Agora, com uma calculadora científica, determine o valor aproximado de x nos itens a seguir.

a) log₃ x = 0,9

2,688

b) log₅ x = 3,9

532,09

c) log₇ x = −1,2

0,097

d) log x = 0,01

1,02

13. (Fuvest-SP) O Floco de Neve de KókiKoch (ou Estrela de KókiKoch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se dêsênvólvemdesenvolvem da seguinte forma:

Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura ôbitídaobtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

192 lados

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

$\frac{1.024}{81}$

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões)?

Passo 21

Note e adote: ${\log }_{10}2\simeq \mathrm{}0,301$

14. A quantidade aproximada q de indivíduos de certa cultura de bactérias, de acôr-doacordo com o tempo t (em minuto), é representada pela função dada por $q\left(t\right)=\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{6}{5}t}\end{array}$. Nessas condições, e considerando $\log 2=\mathrm{0,3}$, em quantos minutos essa cultura terá 10⁸⁴ bactérias?

175 min

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15. O césio-137 é um isótopo radioativo do césio utilizado, por exemplo, em terapias por radiação. Assim como outros materiais radioativos, o césio-137 sofre decaimento radioativo e tem meia-vida de cerca de 30 anos.

a) escrêevaEscreva uma função quêque apresenta a massa M(t) de césio-137 após t anos, considerando a massa inicial A.

$$M\left(t\right)=A\cdot \begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{30}}\end{array}$$