UNIDADE 4
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Fontes dos dados: POVOS INDÍGENAS NO BRASIL MIRIM. Casas. [S. l.]: Instituto Socioambiental, [2020]. Disponível em: https://livro.pw/pmjpz.

POVOS INDÍGENAS NO BRASIL. Habitações. [S. l.]: Instituto Socioambiental, [2021]. Disponível em: https://livro.pw/yoecs. Acessos em: 28 set. 2024.

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

1. Em sua opinião, qual é a importânssiaimportância de os povos indígenas manterem os côstúmescostumes e as tradições de seus antepassados?

2. Que povos indígenas habitam a região onde você mora? Se necessário, faça uma pesquisa.

3. A disposição das moradias na aldeia kaikoturé e a região delimitada por elas podem sêrser associadas a quêque figura geométrica plana?

Respostas nas Orientações para o professor.

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Circunferência

Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a construção das moradias da aldeia kaikoturé, do povo gavião parkatêjê. Uma dessas informações é quêque essas moradias foram dispostas em formato circular, lembrando uma circunferência.

Observe, na representação a seguir, alguns elemêntoselementos importantes no estudo da circunferência.

DICA

Nesta coleção, usaremos o termo raio tanto para nos referirmos a qualquer segmento de reta com extremidades no centro e em um ponto da circunferência como a seu correspondente comprimento.

PARA PENSAR

pôdêmosPodemos afirmar quêque o diâmetro de uma circunferência também é uma kórdacorda? Justifique.

Resposta esperada: Sim, porque as extremidades do diâmetro estão na circunferência e, em particular, o diâmetro é uma kórdacorda quêque passa pelo centro da circunferência.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R1. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre as moradias do povo indígena gavião parkatêjê cuja aldeia kaikoturé está localizada no município de Bom Jesus do Tocantins (PA). Nessa aldeia, 33 casas estão dispostas sobre uma circunferência com cerca de 200 m de diâmetro. Considerando quêque a distância x entre quaisquer duas casas adjacentes seja igual e desprezando as dimensões das casas, calcule o valor de x, em métrometro. Adote (pi)"π ≃ 3,14.

Resolução

Inicialmente, calculamos o comprimento c da circunferência sobre a qual estão dispostas as 33 casas da aldeia:

c = 2 ⋅ (pi)"π ⋅ r ≃ 2 ⋅ 3,14 ⋅ $\frac{200}{2}$ = 628; ou seja, aproximadamente 628 m.

Como há 33 casas dispostas sobre essa circunferência e igualmente espaçadas, temos:

x =$\frac{628}{33}$ ≃ 19; ou seja, aproximadamente 19 m.

Portanto, a distância entre duas casas adjacentes sobre a circunferência é aproximadamente 19 m.

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Arcos e ângulos em uma circunferência

Muitas construções prediais baseiam-se em estilos arquitetônicos e podem refletir influências históricas. O estilo românico, quêque surgiu na Europa Medieval, está presente em diversas construções no Brasil. Em Recife (PE), por exemplo, nas portas e janelas da fachada do museu da Academia Pernambucana de lêtrasLetras é possível perceber figuras quêque lembram arcos de circunferência, uma das características mais significativas da arquitetura românica, conhecida pêlospelos arcos de volta perfeitos.

Na imagem ao lado direito da página, os pontos A e B dividem a circunferência de centro O em duas partes denominadas arcos de circunferência. Os pontos A e B são as extremidades dêêssesdesses arcos de circunferência, cada um dos quais pódepode sêrser indicado por $\stackrel{⏜}{AB}$.

Quando os pontos A e B, quêque determinam um arco, são coincidentes, esse arco é nulo ou corresponde a um arco de uma volta. Quando A e B correspondem às extremidades de um diâmetro da circunferência, dizemos quêque esse arco corresponde a uma semicircunferência. Analise os exemplos a seguir.

DICA

Para especificar a qual dos arcos estamos nos referindo, podemos destacar um ponto entre as extremidades do arco e utilizar a seguinte notação:

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pôdêmosPodemos associar um arco de circunferência ao ângulo central correspondente. Observe, em destaque na figura, o ângulo central $A\widehat{O}B$ quêque define o arco de circunferência $\stackrel{⏜}{AB}$ indicado em vermelho.

Unidades de medida de ângulos e de arcos

Em relação a um arco de circunferência, podemos determinar seu comprimento (ou medida linear) e sua medida angular.

O comprimento de um arco está relacionado ao comprimento do raio da circunferência e à medida do ângulo central correspondente. Em uma circunferência de centro O, por exemplo, o comprimento de um arco de circunferência $\stackrel{⏜}{AB}$ correspondente a um ângulo central (alfa)"α é dado pela distância percorrida de A até B sobre a circunferência ao se realizar um giro de ângulo (alfa)"α em torno de O. Usamos unidades de comprimento para exprimir o comprimento de um arco: milímetro, centímetro, métrometro etc.

Já a medida angular de um arco depende exclusivamente do ângulo central correspondente a ele, sêndosendo a medida angular dêêssedesse arco igual à medida dêêssedesse ângulo central. Quando dizemos apenas medida de um arco, estamos nos referindo à medida angular do arco. Acompanhe um exemplo.

Para indicar a medida angular de um arco ou a medida de um ângulo, em geral, utilizamos o grau ou o radiano como unidade de medida.

Grau (°)

Ao dividirmos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes corresponde a um arco de medida angular 1 grau, quêque indicamos por 1°. Assim, uma volta completa corresponde a um arco de 360°.

Dois submúltiplos do grau são: minuto ((minutos)"′) e segundo ( (segundos)"″).

• 1° = 60(minutos)"′

• 1(minutos)"′ = 60(segundos)"″

PARA PENSAR

Considere, na figura, as duas circunferências concêntricas e o ângulo central de medida (alfa)"α quêque determina os arcos $\stackrel{⏜}{AB}$ e $\stackrel{⏜}{CD}$, destacados em azul.

pôdêmosPodemos afirmar quêque $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ são arcos:

• de mesma medida angular? Justifique.

Resposta esperada: Sim, pois esses arcos de circunferência correspondem ao mesmo ângulo central de medida (alfa)"α.

• de mesmo comprimento? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois apesar de esses arcos de circunferência terem medidas angulares iguais, estão contidos em circunferências cujos raios têm comprimentos diferentes. Portanto, esses arcos de circunferência têm comprimentos diferentes.

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Radiano (rad)

Um arco de medida angular 1 radiano (1 rad) tem, por definição, o mesmo comprimento do raio da circunferência na qual está contido, ou seja, dada uma circunferência de raio r, um arco de medida angular 1 rad tem comprimento igual a r. Como o comprimento de uma circunferência de raio r é igual a 2(pi)"πr, a medida angular do arco de uma volta em uma circunferência é dada por:

$$2\mathrm{\pi r}=2\pi \cdot 1\mathrm{rad}=2\mathrm{\pi \; rad}$$

Observe, a seguir, a medida angular de alguns arcos expressa em grau e em radiano.

PARA PENSAR

escrêevaEscreva a medida angular dos arcos $\stackrel{⏜}{AC}$, $\stackrel{⏜}{AD}$ e $\stackrel{⏜}{AE}$ em função da medida angular do arco $\stackrel{⏜}{AB}$ .

med($\stackrel{⏜}{AC}$)= 2 ⋅ med($\stackrel{⏜}{AB}$); med($\stackrel{⏜}{AD}$) = 3 ⋅ med($\stackrel{⏜}{AB}$); med($\stackrel{⏜}{AE}$) = 4 ⋅ med($\stackrel{⏜}{AB}$)

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R2. Determine a medida angular, em radiano, de um arco de 135°.

Resolução

Como a medida angular de um arco de circunferência correspondente a uma volta completa é 360° ou 2(pi)"π rad, podemos escrever a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{360}{135}=\frac{2\pi }{x}\end{array}\Rightarrow 360x=270\pi \Rightarrow x=\begin{array}{c}\frac{270\pi }{360}=\frac{3\pi }{4}\end{array}$$

Portanto, um arco de 135° corresponde a um arco de $\frac{3\pi }{4}$ rad.

R3. Expresse, em grau, a medida angular de um arco de $\frac{5\pi }{3}$ rad.

Resolução

pôdêmosPodemos escrever a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{360}{x}=\frac{2\pi }{\frac{5\pi }{3}}\Rightarrow \frac{1800\pi }{3}\end{array}=2\mathrm{\pi x}\Rightarrow x=\begin{array}{c}\frac{600\pi }{2\pi }\end{array}=300$$

Portanto, um arco de $\frac{5\pi }{3}$ rad corresponde a um arco de 300°.

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R4. Em uma circunferência, cujo raio tem 4 cm, qual é o comprimento de um arco de medida angular 108°?

Resolução

Como o comprimento dessa circunferência é dado por 2(pi)"πr, podemos escrever a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{360}{108}=\frac{2\pi \cdot 4}{x}\end{array}\Rightarrow 360x=864\pi \Rightarrow x=\begin{array}{c}\frac{864\pi }{360}=\frac{12}{5}\end{array}\pi$$

Portanto, um arco de 108° dessa circunferência tem comprimento de $\frac{12}{5}$ (pi)"π cm ou aproximadamente 7,536 cm.

De modo geral, temos a relação a seguir.

PARA PENSAR

A quantos graus corresponde 1 rad? Adote (pi)"π ≃ 3,14.

Aproximadamente 57,3°.

ATIVIDADES

DICA

Nas atividades 1 a 14, utilize 3,14 como aproximação de (pi)"π.

1. Observe a circunferência de centro O representada a seguir.

Determine quais dos segmentos de reta indicados correspondem a:

a) raios dessa circunferência;

$\begin{array}{c}\overline{OB}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overline{OC}\end{array}$ $\begin{array}{c}\overline{OD}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{OG}\end{array}$

b) diâmetros dessa circunferência;

$\begin{array}{c}\overline{CG}\end{array}$

c) kórdascordas dessa circunferência.

$\begin{array}{c}\overline{AH}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overline{CG}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{EF}\end{array}$

2. Calcule o comprimento de uma circunferência de:

a) 5 cm de raio;

31,4 cm

b) 18 dm de diâmetro;

56,52 dm

c) 7 m de diâmetro.

21,98 m

3. Determine quantos centímetros tem o raio de uma circunferência com comprimento aproximado de:

a) 15,7 cm;

2,5 cm

b) 25,12 m;

400 cm

c) 43,96 dm;

70 cm

d) 75,36 cm.

12 cm

4. Utilizando régua e compasso, represente uma circunferência de centro O com:

a) raio medindo 5 cm;

b) diâmetro medindo 8 cm;

c) comprimento medindo 7(pi)"π cm.

Construção do estudante.

5. O sistema de engrenagens representado a seguir é formado por três catracas: A, B e C. Os raios das catracas B e C correspondem, respectivamente, à mêtádemetade e a um quarto do raio da catraca A. Nesse sistema de engrenagens, quantas voltas realizam as catracas B e C enquanto a catraca A gira 300 voltas?

catraca B: 600 voltas; catraca C: 1.200 voltas

6. Utilizando um programa de computador, João construiu uma circunferência. Em seguida, com uma das ferramentas dêêssedesse programa, construiu uma ampliação dessa circunferência, de maneira quêque seu comprimento tivesse 4 unidades a mais quêque o da original. Em relação à figura original, em quantas unidades aumentou o raio da circunferência ôbitídaobtida na ampliação?

$\frac{2}{\pi }$ unidade de medida de comprimento ou aproximadamente 0,637 unidade de medida de comprimento

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7. Em uma atividade integrando ár-teArte e Matemática, uma estudante desenhou, com régua, um segmento de reta com 16 cm em preto. Depois, com compasso, construiu uma linha curva vermelha formada por sete semicircunferências cujos diâmetros estão justapostos sobre o segmento de reta, conforme representado a seguir. Qual é o comprimento da linha curva vermelha construída por essa estudante?

aproximadamente 25,12 cm

8. Expresse, em grau, cada medida angular indicada a seguir.

a) (pi)"π rad

180°

b) $\frac{2\pi }{5}$ rad

72°

c) $\frac{\pi }{6}$ rad

30°

d) $\frac{6\pi }{4}$ rad

270°

e) $\frac{\pi }{3}$ rad

60°

f) $\frac{\pi }{4}$ rad

45°

9. A seguir, está representada uma circunferência de centro O e alguns de seus elemêntoselementos. Determine o comprimento e a medida angular, em grau, do arco de circunferência $\widehat{APB}$.

comprimento de $\stackrel{⏜}{APB}$: aproximadamente 11,775 cm; med($\stackrel{⏜}{APB}$)=135°

10. Expresse, em radiano, a medida angular de cada arco de circunferência indicada a seguir.

a) med($\stackrel{⏜}{AB}$) = 150°

$\mathrm{med}\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)=\begin{array}{c}\frac{5\pi }{6}\end{array}\mathrm{rad}$

b) med($\stackrel{⏜}{AB}$) = 200°

$\mathrm{med}\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)=\begin{array}{c}\frac{10\pi }{9}\end{array}\mathrm{rad}$

c) med($\stackrel{⏜}{AB}$) = 340°

$\mathrm{med}\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)=\begin{array}{c}\frac{17\pi }{9}\end{array}\mathrm{rad}$

d) med($\stackrel{⏜}{AB}$) = 250°

med( $\stackrel{⏜}{AB}$) = $\frac{25\pi }{18}$ rad

11. Rafaela faz um curso em quêque está aprendendo a desenvolver jôgojogos para computador. Para representar a personagem de um jogo quêque ela está desenvolvendo, Rafaela desenhou um arco de circunferência com 12 mm de raio e 62,8 mm de comprimento e coloriu a região interna da figura, conforme representado. Qual é a medida angular do arco de circunferência desenhado por Rafaela? Expresse essa medida angular em grau e em radiano.

300° ou $\frac{5\pi }{3}$ rad

12. A partir da figura de uma circunferência com 36 cm de diâmetro, Mário desenhou um arco de circunferência de medida angular 210°. Quantos centímetros de comprimento tem esse arco de circunferência?

65,94 cm

13. Observe, a seguir, uma obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003).

Para realizar uma releitura dessa obra, um estudante construiu em um computador a figura a seguir, quêque corresponde a um setor circular.

DICA

Um setor circular é uma região do círculo determinada por um ângulo central. Qual é o perímetro da figura construída por esse estudante?

14,99 cm

PARA AMPLIAR

14. Com um colega, demonstrem a seguinte afirmação.

Resposta nas Orientações para o professor.

Dada uma circunferência de centro O e raio r, o comprimento de um arco $\stackrel{⏜}{AB}$ nessa circunferência, sêndosendo med($A\widehat{O}B$) = 2 rad, é igual ao diâmetro dessa circunferência.

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Ciclo trigonométrico

Os conceitos envolvendo circunferências estudados até aqui serão a base para os próximos estudos. Nosso objetivo é definir as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para qualquer medida de ângulo. Para isso, precisamos definir conceitos como circunferência orientada e ciclo trigonométrico. Acompanhe a seguir.

Considere uma circunferência de centro O e raio r em quêque se define o sentido anti-horário como positivo. Essa figura é chamada de circunferência orientada. Fixamos essa circunferência orientada em um sistema de eixos cartesianos de maneira quêque seu centro O coincida com a origem dêêssedesse sistema, ou seja, O(0, 0). Além díssudisso, consideramos o raio unitário, ou seja, r = 1.

A essa estrutura denominamos ciclo trigonométrico (ou circunferência trigonométrica). Nele, convencionamos o ponto A(1, 0) como a origem dos arcos a sêrser medidos, denominados arcos trigonométricos. No ciclo trigonométrico, os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes congruentes, denominadas quadrantes, e numeradas, no sentido positivo, como I, II, III e IV. A cada ponto M do ciclo trigonométrico associamos a medida angular do arco $\stackrel{⏜}{AM}$ expressa em grau ou em radiano. Observe os exemplos, considerando o sentido positivo do ciclo trigonométrico.

DICA

No ciclo trigonométrico, os pontos de interseção entre os eixos e a circunferência não são considerados pontos dos quadrantes.

Arcos kôn-gru-uscôngruos

No ciclo trigonométrico, podemos associar arcos com diferentes medidas angulares a um mesmo ponto P. Analise os exemplos.

PARA PENSAR

escrêevaEscreva a medida angular de outro arco côngruo aos apresentados.

Algumas respostas possíveis: 495° ou $\frac{11\pi }{4}$rad; −585° ou $-\frac{13\pi }{4}$rad.

Note quêque esses arcos trigonométricos têm extremidade no mesmo ponto P. Assim, dizemos quêque eles são arcos kôn-gru-uscôngruos ou arcos congruentes.

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Em relação aos arcos kôn-gru-uscôngruos apresentados, note quêque:

• 855° = 135° + 2 ⋅ 360° ou $\frac{19\pi }{4}$ $\frac{3\pi }{4}$ rad = rad + 2 ⋅ 2(pi)"π rad

• −225° = 135° + (−1) ⋅ 360° ou $-\frac{5\pi }{4}$ rad = $\frac{3\pi }{4}$rad + (−1) ⋅ 2(pi)"π rad

Em relação aos exemplos apresentados, temos quêque o arco trigonométrico de medida angular 135° ou $\frac{3\pi }{4}$ rad é a 1ª determinação positiva dos demais arcos kôn-gru-uscôngruos a ele.

Números reais associados a pontos do ciclo trigonométrico

Agora, vamos associar a cada número real m um único ponto P no ciclo trigonométrico da maneira a seguir.

• Se m = 0, então P coincide com a origem dos arcos trigonométricos A(1, 0), ou seja, P ≡ A.

• Se m > 0, então medimos no ciclo trigonométrico, a partir de A(1, 0) e no sentido positivo (anti-horário), um arco de comprimento m e indicamos o ponto P, extremidade de $\stackrel{⏜}{AP}$.

• Se m < 0, então medimos no ciclo trigonométrico, a partir de A(1, 0) e no sentido negativo (horário), um arco de comprimento |m| e indicamos o ponto P, extremidade de $\stackrel{⏜}{AP}$.

Desse modo, todos os números reais estão associados a algum ponto P do ciclo trigonométrico.

Acompanhe o exemplo.

Como há infinitos arcos trigonométricos associados a um mesmo ponto (arcos côngruos), também podemos associar infinitos números reais a um mesmo ponto P do ciclo trigonométrico.

No exemplo anterior, ao ponto P₁ estão associados os números reais na forma $\frac{\pi }{2}$ + k ⋅ 2(pi)"π, com k ∈ ℤ, ou seja:

…, $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{9\pi }{2}$ , …

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R5. Obtenha a 1ª determinação positiva de um arco de:

a) 1.740°

b) $-\frac{49\pi }{9}$ rad

Resolução

a) Inicialmente, dividimos 1.740° por 360°, com quociente inteiro, e observamos o réstoresto desta divisão.

Assim, para obtêrobter o arco de 1.740° são necessárias quatro voltas completas (correspondentes ao quociente da divisão) e mais 300° na quinta volta (correspondente ao réstoresto da divisão).

Portanto, a 1ª determinação positiva de 1.740° é 300°.

b) Observe quêque:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}-\frac{49\pi }{9}=-\frac{13\pi }{9}-\frac{36\pi }{9}=-\frac{13\pi }{9}-4\pi =-\frac{13\pi }{9}-2\cdot 2\mathrm{\pi e}-\frac{13\pi }{9}+2\pi =\frac{5\pi }{9}\end{array}\end{array}$$

Assim, segue quêque:

$$\begin{array}{c}-\frac{49\pi }{9}\end{array}\mathrm{rad}=\alpha +k\cdot 2\mathrm{\pi \; rad}\Rightarrow \begin{array}{c}-\frac{49\pi }{9}\end{array}\mathrm{rad}=\begin{array}{c}\frac{5\pi }{9}\end{array}\mathrm{rad}+\left(-3\right)\cdot 2\mathrm{\pi \; rad}$$

Portanto, a 1ª determinação positiva de $-\frac{49\pi }{9}$ rad é $\frac{5\pi }{9}$ rad.

R6. Determine os números reais, entre 0 e 10(pi)"π, associados ao ponto P, extremidade do arco trigonométrico indicado na figura.

Resolução

Observe quêque:

$$\begin{array}{c}\frac{10\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\end{array}+1\cdot 2\pi$$

Assim, a 1ª determinação positiva de $\frac{10\pi }{3}$ rad é $\frac{4\pi }{3}$ rad. Dessa maneira, o ponto P está associado ao número real $\frac{4\pi }{3}$.

Agora, determinamos os números reais, entre 0 e 10(pi)"π, associados ao ponto P, extremidade dos arcos trigonométricos kôn-gru-uscôngruos a $\frac{4\pi }{3}$ rad.

• $\frac{4\pi }{3}$+ 2 ⋅ 2(pi)"π = $\frac{16\pi }{3}$

• $\frac{4\pi }{3}$ + 3 ⋅ 2(pi)"π = $\frac{22\pi }{3}$

• $\frac{4\pi }{3}$+ 4 ⋅ 2(pi)"π = $\frac{28\pi }{3}$

Portanto, os números reais são $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{10\pi }{3}$,$\frac{16\pi }{3}$, $\frac{22\pi }{3}$ e $\frac{28\pi }{3}$.

DICA

Note quêque $\frac{4\pi }{3}$+ 5 ⋅ 2(pi)"π > 10(pi)"π e $\frac{4\pi }{3}$+ (−1) ⋅ 2(pi)"π < 0.

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ATIVIDADES

15. Calcule a 1ª determinação positiva de um arco de:

a) 1.970°

170°

b) $\frac{65\pi }{9}$ rad

$\frac{11\pi }{9}$ rad

c) $-\frac{10\pi }{9}$ rad

$\frac{8\pi }{9}$ rad

d) −1.110°

330°

e) 1.520°

80°

f) $-\frac{70\pi }{9}$ rad

$\frac{2\pi }{9}$ rad

16. escrêevaEscreva quatro números reais, sêndosendo dois positivos e dois negativos, quêque podem sêrser associados a um ponto P, extremidade de um arco trigonométrico de comprimento:

a) $\frac{2\pi }{3}$, medido no sentido positivo.

Algumas respostas possíveis: $-\frac{10\pi }{3}$ $-\frac{4\pi }{3}$, $\frac{8\pi }{3}$, $\frac{14\pi }{3}$

b) (pi)"π, medido no sentido negativo.

Algumas respostas possíveis: −5(pi)"π, −3(pi)"π, (pi)"π, 3(pi)"π.

17. Em cértocerto jôgojogo de tabuleiro, há uma roleta igualmente dividida em 12 partes. Cada jogador, na sua vez, gira o ponteiro dessa roleta três vezes consecutivas no sentido anti-horário, partindo sempre da posição em quêque o ponteiro parou no giro anterior, e desloca seu peão no tabuleiro a quantidade de casas correspondente à soma dos valores obtidos na roleta. Por exemplo, se um jogador obtiver na roleta os números 3, 8 e 2, respectivamente, ele deve deslocar seu peão em 13 casas no tabuleiro, pois 3 + 8 + 2 = 13. Observe a posição do ponteiro nessa roleta em cértocerto momento do jôgojogo.

A partir dessa posição, Rafael girou a roleta três vezes, no sentido anti-horário, de maneira quêque os ângulos realizados pelo ponteiro nesses giros foram de $\frac{2\pi }{3}$ rad, $\frac{5\pi }{3}$ rad e $\frac{3\pi }{2}$ rad.

a) Qual é a medida do ângulo, em grau, correspondente a esses três giros?

690°

b) Quantas casas Rafael deverá deslocar o seu peão no tabuleiro?

19 casas

18. Em cada item, escrêevaescreva uma expressão quêque determine as medidas angulares dos arcos associados ao ponto P destacado no ciclo trigonométrico.

a)

a) 315° + k ⋅ 360°, com k ∈ ℤ

b)

$\frac{5\pi }{12}$ rad + k ⋅ 2(pi)"π rad, com k ∈ ℤ

c)

$\frac{17\pi }{10}$ rad + k ⋅ 2(pi)"π rad, com k ∈ ℤ

d)

220° + k ⋅ 360°, com k ∈ ℤ

19. Represente um ciclo trigonométrico e indique os pontos P e Q, associados aos arcos de medida angular 1.250° e $-\frac{35\pi }{4}$ rad, respectivamente.

Resposta nas Orientações para o professor.

20. No GeoGebra, Carlos representou um octógono regular ABCDEFGH inscrito em um ciclo trigonométrico, de maneira quêque seu vértice A coincidisse com a origem dos arcos trigonométricos, conforme representado a seguir.

a) Qual é a medida angular do arco de circunferência $\stackrel{⏜}{ABD}$?

135° ou $\frac{3\pi }{4}$ rad

b) Um arco trigonométrico de medida angular $\frac{31\pi }{4}$ rad, nesse ciclo trigonométrico, tem extremidade em quêque vértice do octógono?

H

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Seno, cosseno e tangente de um número real

Até aqui, estudamos as razões trigonométricas para ângulos agudos (com medida (alfa)"α entre 0° e 90°) e para ângulos obtusos (com medida (alfa)"α entre 90° e 180°). Lembre-se de quêque, dado um triângulo ABC como o da figura, podemos escrever:

• sen (alfa)"α = $\frac{b}{a}$

• cos (alfa)"α = $\frac{c}{a}$

^• tg (alfa)"α = $\frac{b}{c}$

Agora, vamos estender esse estudo definindo as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um número real.

Seno e cosseno de um número real

Anteriormente, estudamos como associar a cada número real m um único ponto P no ciclo trigonométrico. Agora, vamos definir o seno e o cosseno de um número real m qualquer.

PARA PENSAR

No ciclo trigonométrico, qual é o valor do seno e do cosseno de $\frac{\pi }{2}$? Justifique.

Resposta esperada: O número real $\frac{\pi }{2}$ está associado no ciclo trigonométrico ao ponto P(0, 1). Assim, $\mathrm{sen}\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}=1$ e $\cos \begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}=0.$

No ciclo trigonométrico, podemos denominar o eixo das abscissas de eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas de eixo dos senos.

No ciclo trigonométrico, um ponto P tem ordenada positiva quando pertence aos quadrantes I ou II e ordenada negativa quando pertence aos quadrantes III ou IV; além díssudisso, tem abscissa positiva quando pertence aos quadrantes I ou IV e abscissa negativa quando pertence aos quadrantes II ou III. Assim, se um ponto P associado a um número real m está no quadrante:

• I, então sen m > 0 e cos m > 0;

• III, então sen m < 0 e cos m < 0;

• II, então sen m > 0 e cos m < 0;

• IV, então sen m < 0 e cos m > 0.

PARA PENSAR

Se os valores do seno e do cosseno de um mesmo número real m são negativos, a qual quadrante do ciclo trigonométrico pertence o ponto P associado ao m?

quadrante III

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Tangente de um número real

Inicialmente, para definir a tangente de um número real, temos de considerar um eixo t tangente ao ciclo trigonométrico no ponto A(1, 0), com a mesma orientação do eixo y. Esse eixo tem origem em A(1, 0) e pódepode sêrser denominado eixo das tangentes.

PARA PENSAR

Explique, geometricamente, por quêpor que não é possível determinar a tangente dos números reais na forma $\frac{\pi }{2}$+ (pi)"π ⋅ k (k ∈ ℤ).

Resposta esperada: Esses números estão associados, no ciclo trigonométrico, a pontos P de ordenadas $\frac{\pi }{2}\mathrm{}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{}\frac{3\pi }{2}$. Nesses casos, $\stackrel{⃡}{OP}$ a reta é paralela ao eixo das tangentes, de maneira quêque não existe um ponto T quêque seja a interseção dessas retas.

Para determinar o sinal da tangente de um número real m, podemos considerar o ponto P associado a m pertencente a cada um dos quadrantes do ciclo trigonométrico. Acompanhe.

Assim, se um número real m está associado a um ponto P do ciclo trigonométrico pertencente ao quadrante:

• I, então tg m > 0;

• II, então tg m < 0;

• III, então tg m > 0;

• IV, então tg m < 0.

Página cento e sessenta e oito168

Observe alguns valores notáveis do seno, do cosseno e da tangente.

Dado m ∈ ℝ, temos −1 ≤ sen m ≤ 1 e −1 ≤ cos m ≤ 1. Já tg m pódepode assumir qualquer valor real, tomando m ≠ $\frac{\pi }{2}$ + (pi)"π ⋅ k (k ∈ ℤ).

PARA PENSAR

No caderno, construa uma tabélatabela para organizar os valores notáveis do seno, do cosseno e da tangente apresentados nesta página.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página cento e sessenta e nove169

Redução ao 1º quadrante

A partir dos valores do seno, do cosseno ou da tangente de números reais associados a pontos do 1º quadrante do ciclo trigonométrico, podemos calcular os respectivos valores do seno, do cosseno ou da tangente de números reais associados a pontos de qualquer outro quadrante. Para isso, podemos utilizar ideias da simetria de reflekçãoreflexão.

Redução do 2º para o 1º quadrante

Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 2º quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1º quadrante, simétrico em relação ao eixo y. Nesse caso, se med($\stackrel{⏜}{AP}$) = (alfa)"α, então med($\stackrel{⏜}{A{P}^{\text{'}}}$)= (pi)"π − (alfa)"α. Acompanhe.

Redução do 3º para o 1º quadrante

Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 3º quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1º quadrante, simétrico em relação ao ponto O. Nesse caso, se med($\stackrel{⏜}{AP}$)= (alfa)"α, então med($\stackrel{⏜}{A{P}^{\text{'}}}$)= (alfa)"α − (pi)"π. Acompanhe.

Página cento e setenta170

Redução do 4º para o 1º quadrante

Para determinar o seno, o cosseno ou a tangente de um número real m associado a um ponto P do 4º quadrante do ciclo trigonométrico, comparamos P com seu correspondente P’ do 1º quadrante, simétrico em relação ao eixo x. Nesse caso, se med($\stackrel{⏜}{AP}$)= (alfa)"α, então med($\stackrel{⏜}{A{P}^{\text{'}}}$)= 2(pi)"π − (alfa)"α. Acompanhe.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R7. Calcule.

a) sen $\frac{27\pi }{4}$

b) cos $-\frac{20\pi }{3}$

c) tg $\frac{17\pi }{3}$

Resolução

a) Como $\frac{27\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+\frac{24\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ + 6(pi)"π = $\frac{3\pi }{4}$ + 3 ⋅2(pi)"π, então a 1ª determinação positiva de é $\frac{27\pi }{4}$

e $\frac{3\pi }{4}$. Assim, o ponto P associado a $\frac{27\pi }{4}$ pertence ao 2º quadrante do ciclo trigonométrico, pois $\frac{\pi }{2}‹\frac{3\pi }{4}$ < (pi)"π.

Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:

$$\mathrm{sen}\begin{array}{c}\frac{27\pi }{4}\end{array}=\mathrm{sen}\begin{array}{c}\frac{3\pi }{4}\end{array}=\mathrm{sen}\left(\pi -\begin{array}{c}\frac{3\pi }{4}\end{array}\right)=\mathrm{sen}\begin{array}{c}\frac{\pi }{4}\end{array}=\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$$

Portanto, sen $\begin{array}{c}\frac{27\pi }{4}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$^.

Página cento e setenta e um171

b) Como $\begin{array}{c}-\frac{20\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}-\frac{18\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}\end{array}-6\pi =\begin{array}{c}-\frac{2\pi }{3}\end{array}+\left(-3\right)\cdot 2\pi$, então a 1ª determinação positiva de $\begin{array}{c}-\frac{20\pi }{3}\end{array}\begin{array}{c}-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}\end{array}$ é dada por:

Assim, o ponto P associado a $-\frac{20\pi }{3}$ pertence ao 3º quadrante do ciclo trigonométrico, pois (pi)"π < $\frac{4\pi }{3}‹\frac{3\pi }{2}$. Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:

$$\cos \begin{array}{c}-\frac{20\pi }{3}\end{array}=\cos \begin{array}{c}\frac{4\pi }{3}\end{array}=-\cos \left(\begin{array}{c}\frac{4\pi }{3}\end{array}-\pi \right)=-\cos \begin{array}{c}\frac{\pi }{3}\end{array}=-\frac{1}{2}$$

Portanto, cos $\begin{array}{c}-\frac{20\pi }{3}\end{array}=\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$.

c) Como $\begin{array}{c}\frac{17\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}\end{array}+4\pi =\begin{array}{c}\frac{5\pi }{3}\end{array}+2\cdot 2\pi$, então a 1ª determinação positiva de $\frac{17\pi }{3}$ é $\frac{5\pi }{3}$.

Assim, o ponto P associado a $\frac{17\pi }{3}$ pertence ao 4º quadrante do ciclo trigonométrico, pois$\begin{array}{c}\frac{3\pi }{2}‹\frac{5\pi }{3}\end{array}<2\pi$. Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:

$$\mathrm{tg}\begin{array}{c}\frac{17\pi }{3}\end{array}=\mathrm{tg}\begin{array}{c}\frac{5\pi }{3}\end{array}=-\mathrm{tg}\left(2\pi -\begin{array}{c}\frac{5\pi }{3}\end{array}\right)=-\mathrm{tg}\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}\end{array}=-\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$$

Portanto, tg $\begin{array}{c}\frac{17\pi }{3}=-\sqrt[]{3}\end{array}$.

Página cento e setenta e dois172

R8. É possível estabelecer algumas relações entre as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Acompanhe, a seguir, duas dessas relações, quêque podem sêrser úteis na realização de atividades. Essas relações podem sêrser demonstradas.

Com base nessas relações, calcule cos (beta)"β e tg (beta)"β, sabendo quêque sen (beta)"β = $-\frac{3}{4}$ e (pi)"π < (beta)"β <$\frac{3\pi }{2}$.

Resolução

Da relação fundamental da trigonometria, temos:

$${\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\mathrm{\beta }\mathrm{}+\mathrm{}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{\beta }\mathrm{}=\mathrm{}1\mathrm{}\Rightarrow \mathrm{}\begin{array}{c}{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2\end{array}+\mathrm{}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{\beta }\mathrm{}=\mathrm{}1\mathrm{}\Rightarrow \mathrm{}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\mathrm{\beta }\mathrm{}=\mathrm{}\begin{array}{c}\frac{7}{16}\end{array}.$$

Como (beta)"β é um número real associado a um ponto do 3º quadrante do ciclo trigonométrico, em quêque os valores de cosseno são negativos, então: cos (beta)"β = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{\frac{7}{16}}\end{array}$⇒ cos (beta)"β = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{7}}{4}\end{array}$.

Utilizando a relação tg m = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{}m}{\cos m}\end{array}$, temos:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{}\beta =\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\beta }{\cos \beta }\end{array}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{g}\beta =\begin{array}{c}\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt[]{7}}{4}}\end{array}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{g}\beta =\begin{array}{c}\frac{3}{\sqrt[]{7}}\end{array}\Rightarrow \mathrm{t}\mathrm{g}\beta =\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{7}}{7}\end{array}$$

Portanto, cos (beta)"β = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{7}}{4}\end{array}$ e tg (beta)"β = $\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{7}}{7}\end{array}$.

ATIVIDADES

21. Calcule.

a) sen $\frac{10\pi }{3}$

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

b) tg $\frac{7\pi }{4}$

−1

c) cos $\frac{44\pi }{3}$

$-\frac{1}{2}$

d) tg $-\frac{19\pi }{6}$

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

e) cos $-\frac{31\pi }{6}$

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

f) sen $-\frac{13\pi }{4}$

$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

g) cos $-\frac{43\pi }{6}$

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

h) tg $\frac{17\pi }{3}$

$\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$

i) sen $\frac{31\pi }{6}$

$-\frac{1}{2}$

j) cos $\frac{22\pi }{3}$

$$-\frac{1}{2}$$

• Escolha um dos itens desta atividade e explique a um colega as etapas quêque você realizou para resolver esse item.

Resposta pessoal.

22. Sabendo quêque sen m = 0,259 e tg m = −0,268, com 0 < m < 2(pi)"π, podemos afirmar quêque, dentre os pontos indicados no ciclo trigonométrico a seguir, aquele quêque pódepode estar associado ao número real m é:

a) A

b) B

c) C

d) D

e) E

alternativa c

Página cento e setenta e três173

23. Ana e BétoBeto participaram de uma olimpíada de Matemática. Ao compararem as respostas das kestõesquestões, eles perceberam quêque divergiram em uma delas, em quêque deveriam indicar em qual quadrante do ciclo trigonométrico pertence um ponto P associado a um número real m, tal quêque tg m < 0 e cos m > 0. As respostas de Ana e Bento foram, respectivamente, 2º e 3º quadrante. Qual dêêssesdesses participantes acertou a questão? Justifique sua resposta.

Resposta nas Orientações para o professor.

24. No esquema a seguir, está representada uma roda-gigante de um parque de diversões em cértocerto momento. Nesse esquema, o ponto C representa o centro da roda-gigante, e cada um dos outros pontos representa uma das cabines, igualmente espaçadas entre si.

Considere quêque o ponto B corresponde à cabine mais baixa da roda-gigante e o ponto A corresponde a uma cabine quêque se encontra a 104 m da base, mesma altura do ponto C. A partir dessa posição, essa roda-gigante girou 1.290° no sentido anti-horário. A quêque altura a cabine correspondente ao ponto A ficou da base da roda-gigante após esse giro?

54 m

25. Qual é a área do triângulo retângulo OAB representado no ciclo trigonométrico a seguir?

$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{8}\end{array}$ u.a.

26. Calcule o valor da expressão a seguir.

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\pi +\cos \frac{5\pi }{6}}{\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{7\pi }{4}}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$$

27. Na atividade resolvida R8 desta Unidade, estudamos a relação sen² m + cos² m = 1, quêque é conhecida como relação fundamental da trigonometria. Com apôioapoio do ciclo trigonométrico, é possível demonstrar quêque essa relação é válida para todo número real m ∈ [0, 2(pi)"π]. Inicialmente, com um colega, acompanhem, a seguir, parte dessa demonstração.

Agora, de maneira análoga, demonstrem a relação fundamental da trigonometria para os casos em quêque P pertence:

a) ao 2º quadrante.

b) ao 3º quadrante.

c) ao 4º quadrante.

d) a cada um dos eixos coordenados.

Respostas nas Orientações para o professor.

Página cento e setenta e quatro174

Funções trigonométricas

Diversas atividades, como a pesca e a navegação, sofrem influência da variação das marés e, por isso, as pessoas utilizam o conhecimento a respeito delas. As marés são variações periódicas no nível do mar causadas, principalmente, pela atração gravitacional da Lua. Dependendo da posição e da fase da Lua, essa atração é sentida de maneira diferente em cada ponto da Terra, e, com isso, o nível e o período em quêque a maré ocorre também diferem de um local para outro.

Fonte dos dados: PréssPRESS, frânkiFrank éti áuet al. Para entender a Terra. Tradução: Rualdo Menegat. 4. ed. Porto Alegre: búkmãBookman, 2006. p. 436-437.

No esquema a seguir, por exemplo, há fotografias da praia do Calhau, em São Luís (MA), em diferentes momentos do dia 9 de setembro de 2024.

PARA PENSAR

dêz-crevaDescreva o quêque pódepode sêrser observado nas fotografias com relação à variação da maré na praia do Calhau.

Resposta pessoal.

Página cento e setenta e cinco175

Assim como as marés, existem diversos outros fenômenos naturais cujo comportamento se repete com o tempo: movimento dos planêtasplanetas, ondas sonórassonoras, pressão sanguínea no coração, fases da Lua, ciclos menstruais, entre outros. Fenômenos com essa característica são denominados fenômenos periódicos e podem sêrser modelados por funções periódicas.

A seguir, estudaremos as funções trigonométricas seno e cosseno, quêque são casos de funções periódicas.

Função seno

Estudamos anteriormente como associar números reais a pontos do ciclo trigonométrico e, a partir dêêssedesse estudo, como determinar o seno de um número real. Agora, vamos estudar a função seno, quêque associa um número real x qualquer ao número real correspondente ao seno de x. Por exemplo, associamos pela função seno o número real $\frac{\pi }{6}$ ao número real $\frac{1}{2}$ , pois sen $\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$.

Para esboçar o gráfico da função seno, vamos atribuir alguns valores arbitrários para x e determinar f (x) = y, obtendo pares ordenados (x, y).

Página cento e setenta e seis176

Como D(f) = ℝ, é possível obtêrobter infinitos pares ordenados (x, y) correspondentes a pontos do gráfico de f. Assim, considerando os valores quêque atribuímos para x, obtemos parte do gráfico de f definida no intervalo [0, 2(pi)"π].

Se considerarmos para x todos os valores reais, podemos considerar a representação de todos os pontos pertencentes ao gráfico de f. Analise, a seguir, a curva da função f estendida para valores de x menóresmenores quêque 0 e maiores quêque 2(pi)"π.

pôdêmosPodemos destacar algumas características da função seno dada por f(x) = sen x:

• o domínio e o contradomínio de f são iguais a ℝ;

• o conjunto imagem de f é [−1, 1]. Assim, o menor e o maior valor quêque f pódepode assumir são −1 e 1, respectivamente, e a amplitude de f é 2, quêque corresponde à diferença entre o maior e o menor valor quêque f pódepode assumir [1 −(−1) = 2];

• f é periódica e tem período igual a 2(pi)"π, pois f(x + 2(pi)"π) = f (x) para todo x ∈ D(f);

• f é crescente para $x\in \left[\begin{array}{c}-\frac{\pi }{2}\end{array}+2\mathrm{k\pi },\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}+2\mathrm{k\pi }\right]$ e decrescente para x ∈ $\left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}+2\mathrm{k\pi },\begin{array}{c}\frac{3\pi }{2}\end{array}+2\mathrm{k\pi }\right]$, em quêque k ∈ ℤ;

• f(x) = 0 para x = k(pi)"π, f(x) > 0 para x ∈ ]2k(pi)"π, (pi)"π + 2k (pi)"π[ e f(x) < 0 para x ∈ ]−(pi)"π + 2k(pi)"π, 2k(pi)"π[, em quêque k ∈ ℤ.

Antes de conhecer outra característica da função seno, acompanhe a definição a seguir.

A função seno é uma função ímpar, pois, para todo x ∈ ℝ, temos sen (−x) = −sen x.

PARA PENSAR

Reflita sobre as kestõesquestões a seguir e compartilhe as respostas com os côlégascolegas.

• Você conhece outra função ímpar? Qual?

Respostas pessoais.

• No intervalo real $\left[\begin{array}{c}\frac{3\pi }{4}\end{array},\begin{array}{c}\frac{5\pi }{6}\end{array}\right]$ a função seno é crescente ou decrescente? É positiva ou negativa? Justifique.

Nesse intervalo, a função seno é decrescente e positiva, pois $\left[\begin{array}{c}\frac{3\pi }{4}\end{array}\begin{array}{c}\frac{5\pi }{6}\end{array}\right]$ ⊂ [ $\frac{\pi }{2}$, (pi)"π] e, no intervalo real $\left[\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array},\pi \right]$, essa função é decrescente e positiva.

Página cento e setenta e sete177

Função cosseno

Assim como ocorre com o seno, também podemos associar um número real x qualquer ao número real correspondente ao cosseno de x, de maneira a estabelecer a função cosseno. Por exemplo, associamos, por meio dessa função, o número real$\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}$ ao número real 0, pois cos $\frac{\pi }{2}$ = 0.

Realizando os mesmos procedimentos utilizados para esboçar o gráfico da função seno, obtemos parte do gráfico da função dada por f(x) = cos x, definida no intervalo [0, 2(pi)"π].

Página cento e setenta e oito178

Se considerarmos para x todos os valores reais, podemos considerar a representação de todos os pontos pertencentes ao gráfico de f. Analise, a seguir, a curva da função f estendida para valores de x menóresmenores quêque 0 e maiores quêque 2(pi)"π.

pôdêmosPodemos destacar algumas características da função f(x) = cos x:

• o domínio e o contradomínio de f são iguais a ℝ;

• o conjunto imagem de f é [−1, 1]. Assim, o menor e o maior valor quêque f pódepode assumir são −1 e 1, respectivamente, e a amplitude de f é 2, quêque corresponde à diferença entre o maior e o menor valor quêque f pódepode assumir [1 −(−1) = 2];

• a função f é periódica e tem período igual a 2(pi)"π;

• f é crescente para x ∈ [−(pi)"π + 2k(pi)"π, 2k(pi)"π] e decrescente para x ∈ [2k(pi)"π, (pi)"π + 2k(pi)"π], em quêque k ∈ ℤ;

• f(x) = 0 para x = $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π, f(x) > 0 para x ∈ $]-\frac{\pi }{2}$ + 2k(pi)"π, $\frac{\pi }{2}$ + 2k(pi)"π [e f(x) < 0 para x ∈ $]\frac{\pi }{2}$ + 2k(pi)"π, $\frac{3\pi }{2}$ + 2k(pi)"π[, em quêque k ∈ ℤ.

Antes de conhecer outra característica da função cosseno, acompanhe a definição a seguir.

A função cosseno é uma função par, pois, para todo x ∈ ℝ, temos cos (−x) = cos x.

PARA PENSAR

Reflita sobre as kestõesquestões a seguir e compartilhe as respostas com os côlégascolegas.

• Você conhece outra função par? Qual?

Respostas pessoais.

• No intervalo real $\left[\begin{array}{c}\frac{5\pi }{3}\end{array},\begin{array}{c}\frac{7\pi }{4}\end{array}\right]$, a função cosseno é crescente ou decrescente? É positiva ou negativa? Justifique.

Nesse intervalo, a função cosseno é crescente e positiva, pois$\left[\begin{array}{c}\frac{5\pi }{3}\end{array},\begin{array}{c}\frac{7\pi }{4}\end{array}\right]$⊂ $]\begin{array}{c}\frac{3\pi }{2}\end{array},2\pi [$e, no intervalo real $]\begin{array}{c}\frac{3\pi }{2}\end{array},2\pi [$, essa função é crescente e positiva.

Note quêque, no plano cartesiano, o gráfico de f(x) = cos x corresponde ao gráfico de g(x) = sen x transladado em $\frac{\pi }{2}$ unidades para a esquerda.

Página cento e setenta e nove179

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Dada a função f(x) = sen x, determine para quais valores reais de m a equação f(x) = 4m − 3 tem solução.

Resolução

Como Im (f) = [−1, 1], temos quêque −1 ≤ f(x) ≤ 1. Assim:

−1 ≤ 4m − 3 ≤ 1 ⇒ −1 + 3 ≤ 4m ≤ 1 + 3 ⇒ 2 ≤ 4m ≤ 4 ⇒ $\frac{2}{4}$ ≤ m ≤ $\frac{4}{4}\Rightarrow \frac{1}{2}$ ≤ m ≤ 1

Portanto, a equação dada tem solução para m ∈ ℝ, tal quêque $\frac{1}{2}$≤ m ≤ 1.

R10. Na figura, está representada parte do gráfico da função f dada por f(x) = sen x e o trapézio ABCD. Considerando quêque os pontos A e D pertencem ao gráfico de f e os pontos B e C, ao eixo das abscissas, qual é a área dêêssedesse trapézio?

Resolução

Inicialmente, calculamos as medidas da altura $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ e das bases $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$ do trapézio.

• $BC=\begin{array}{c}\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}\end{array}$

• $AB=f\left(\begin{array}{c}\frac{\pi }{6}\end{array}\right)=\mathrm{sen}\begin{array}{c}\frac{\pi }{6}\end{array}=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$

• $DC=\mathrm{sen}\frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Calculando a área T do trapézio, obtemos:

$$T=\begin{array}{c}\frac{\left(DC+AB\right)\cdot BC}{2}=\frac{\left(\frac{\sqrt[]{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{\pi }{2}}{2}=\frac{\left(\sqrt[]{3}+1\right)\pi }{8}\end{array}$$