UNIDADE 5
FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS, PERÍMETRO E ÁREA

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

1. Você já jogou videogame com gráficos em 2D ou 3D? Quais semelhanças e diferenças há entre eles?

2. A modelagem poligonal é uma técnica utilizada em diferentes produções, além dos jogos de videogame. Cite algumas dessas produções.

3. A elaboração de um jôgojogo para videogame envolve profissionais de diferentes áreas, como programador e designer gráfico. Cite outros profissionais envolvidos na produção de jogos de videogame e comente sobre a etapa desenvolvida por eles. Se necessário, faça uma pesquisa.

Página duzentos e quatro204

Polígonos

Na abertura desta Unidade, foram apresentadas informações sobre jogos de videogame. Foi apresentado quêque, por meio da técnica de modelagem poligonal, é possível representar diferentes superfícies usando figuras com formato de polígonos. Acompanhe, a seguir, mais informações sobre essa técnica.

PARA PENSAR

Qual das figuras geométricas planas a seguir não é um polígono? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: A figura B não é um polígono, pois seu contôrnocontorno é formado por segmentos de reta quêque se cruzam.

Para relembrar o quêque você já estudou sobre polígonos em anos anteriores, analise o esquema a seguir.

Página duzentos e cinco205

pôdêmosPodemos classificar um polígono de acôr-doacordo com a quantidade de vértices, de lados ou de ângulos internos. Essas três quantidades são iguais.

Quando um polígono possui todos os lados congruentes e também todos os ângulos internos congruentes, dizemos quêque é um polígono regular. Observe um exemplo.

PARA PENSAR

Em marcenaria, muitas vezes são produzidos tampos de mesas quêque têm formatos de polígonos regulares. Explique como você faria para determinar a medida do lado de um dêêssesdesses tampos sabendo quanto é o perímetro dele.

Resposta esperada: Como em um polígono regular todos os lados são congruentes, basta dividir o perímetro do tampo pela quantidade de lados dele.

Quando não é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira quêque algum ponto dêêssedesse segmento seja externo ao polígono, dizemos quêque esse é um polígono convexo. Caso isso seja possível, dizemos quêque esse é um polígono não convexo. Analise os exemplos.

Página duzentos e seis206

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Deduza uma expressão para representar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados.

Resolução

Ao decompor um polígono convexo de n lados, traçando todas as diagonais a partir de um único vértice, obtêm-se n − 2 triângulos. Observe alguns exemplos.

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique por quêpor que, ao decompor um polígono de n lados da maneira apresentada, obtêm-se n − 2 triângulos.

Resposta esperada: Porque do vértice escolhido partem n − 3 diagonais, quêque na decomposição serão lados compartilhados dos triângulos. Assim, o total de triângulos obtidos nessa decomposição é dado por: [2(n − 3) + n] ∶ 3 = n − 2.

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, como um polígono com n lados pódepode sêrser decomposto em n − 2 triângulos, a soma S das medidas dos ângulos internos dêêssedesse polígono pódepode sêrser representada pela seguinte expressão: S = (n − 2) ⋅ 180°.

R2. A fim de garantir inclusão de pessoas com algum tipo de deficiência na ssossiedadesociedade, a legislação brasileira utiliza parâmetros da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) como referência. A largura das rampas de acesso a edificações públicas, por exemplo,

[...] deve sêrser estabelecida de acôr-doacordo com o fluxo de pessoas. A largura livre mínima recomendável para as rampas em rótasrotas acessíveis é de 1,50 m, sêndosendo o mínimo admissível 1,20 m.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 58. Disponível em: https://livro.pw/gxslr. Acesso em: 29 jul. 2024

Em um edifício público, foi construída uma rampa de acesso cuja superfícíesuperfície tem formato retangular com 25 m de perímetro e com a largura mínima recomendada pela ABNT. Deseja-se construir, nas laterais dessa rampa, dois corrimões quêque acompanhem toda a sua extensão. Quanto deve medir o comprimento de cada corrimão?

Resolução

A largura da superfícíesuperfície dessa rampa de acesso é 1,5 m, já quêque se trata da medida mínima recomendada pela ABNT. Além díssudisso, o perímetro dessa rampa é 25 m. Denominando x a medida do comprimento de cada corrimão, temos:

x + 1,5 + x + 1,5 = 25 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11

Portanto, o comprimento de cada corrimão dessa rampa de acesso deve medir 11 m.

Página duzentos e sete207

ATIVIDADES

1. Identifique quais das figuras a seguir representam polígonos convexos. Justifique.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

As figuras indicadas são convexas, pois não é possível traçar um segmento de reta com extremidades no polígono, de maneira quêque algum ponto dêêssedesse segmento seja externo ao polígono.

2. Um marceneiro vai confeksionarconfeccionar um tampo de mesa quêque tem formato de heptágono regular. Qual será o perímetro dêêssedesse tampo se cada lado vai medir 60 cm de comprimento?

420 cm

3. O polígono regular representado a seguir tem 225 dm de perímetro. Quanto médemede cada lado dêêssedesse polígono?

25 dm

4. Observe, a seguir, algumas informações sobre o paralelogramo ABCD e responda às kestõesquestões, justificando.

a) Quais são as medidas dos lados $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ dêêssedesse paralelogramo?

BC = 18 cm; AB = 54 cm

b) Quanto médemede o segmento de reta AO?

24 cm

DICA

A interseção das diagonais de um paralelogramo coincide com o ponto médio dessas diagonais.

5. A figura a seguir corresponde a uma peça de um jôgojogo de videogame, formada por quatro quadrados com cada lado medindo 1 u.c.

A figura a seguir representa parte de uma faixa quêque Mateus construiu encaixando perfeitamente 180 peças dessa. Qual é o perímetro da faixa construída por Mateus?

726 u.c.

6. As medidas dos ângulos internos de um pentágono formam, em grau, uma progressão aritmética de razão igual a 3. Portanto, o menor ângulo interno dêêssedesse polígono médemede:

a) 45°

b) 93°

c) 102°

d) 110°

e) 118°

alternativa c

DICA

Na Unidade 3, estudamos quêque uma progressão aritmética é toda sequência numérica em quêque, a partir do 2º termo, a diferença entre um termo qualquer e seu antecessor é igual a uma constante, denominada razão.

7. Um polígono convexo possui um ângulo interno com medida igual a 130°, outros dois com medidas iguais a 145°, e os demais, com medidas iguais a 160°.

a) Qual é a quantidade de lados dêêssedesse polígono?

15 lados

b) Determine a soma das medidas dos ângulos internos dêêssedesse polígono.

2.340°

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8. Você já notou quêque a medida de alguns produtos quêque têm telas em formato retangular é indicada em polegada? Essa unidade de medida, em geral, é utilizada para indicar o comprimento de uma das diagonais dessas telas, conforme exemplo representado a seguir.

a) A quantos centímetros aproximadamente corresponde 1 polegada, indicada por 1”?

2,54 cm

b) Quantos centímetros médemede a diagonal da tela retangular de um televisor de 32”?

81,28 cm

c) Considerando quêque o comprimento da tela do televisor descrito no item anterior tenha o dôbrodobro da medida da largura, determine o perímetro dessa tela, em métrometro.

aproximadamente 2,2 m

d) Com uma régua, meça a diagonal e um dos lados da tela de um aparelho celular ou táblêtitablet, obtendo as medidas em centímetro. Em seguida, realize cálculos para determinar a medida dos outros lados dessa tela e seu perímetro. Por fim, com a régua, meça os lados e confira se os resultados calculados anteriormente estão corretos.

Resposta pessoal.

9. Um educador físico está preparando o treino de um estudante para quêque caminhe 4,9 km diariamente. As figuras a seguir foram obtidas por meio de um aparelho GPS. Elas representam três pistas de caminhada do município em quêque moram.

a) Qual das três pistas possui maior perímetro? Qual possui menor perímetro?

Pista C. Pista A.

b) Qual pista deve sêrser escolhida pelo educador físico, de maneira quêque o estudante caminhe apenas voltas completas nela e quêque a meta seja ultrapassada na menor medida possível?

pista C

c) Utilizando um mapa digital interativo de um GPS, determine uma região do município em quêque você mora cujo formato seja de um polígono. Faça medições nesse mapa para determinar o comprimento de cada um dos lados dessa região. Depois, elabore uma quêquestão envolvendo a região escolhida e o conceito de perímetro de polígono e troque-a com um colega para que ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve a questão elaborada por ele. Por fim, confiram juntos as resoluções.

Resposta pessoal.

PARA AMPLIAR

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10. Um terreno retangular tem 238 m de perímetro e o comprimento do menor lado médemede $\frac{3}{4}$ do comprimento do maior lado. Deseja-se instalar uma fiação elétrica retilínea passando pelas duas diagonais dêêssedesse terreno. Quantos metros de fio, no mínimo, serão utilizados nessa instalação?

170 m

11. Ao variar o tamãnhotamanho da bandeira do Brasil, é necessário respeitar as proporções oficiais, conforme indicado a seguir.

Para compor a representação de uma bandeira do Brasil, serão recortadas e coladas peças de papel colorido nas proporções oficiais. Para a parte vêrdeverde, por exemplo, será recortada uma peça retangular com 102 cm de perímetro.

a) Quais são as dimensões da peça retangular quêque será recortada?

21 cm e 30 cm

b) Quais são as medidas das diagonais da peça com formato de losango quêque será recortada?

24,9 cm e 15,9 cm

c) Qual é a medida do raio da peça com formato de círculo quêque será recortada?

5,25 cm

d) Pesquise uma bandeira do Brasil impressa em um jornáljornal, revista ou livro. Depois, realize medições e faça cálculos a fim de verificar se a ilustração atende às proporções oficiais. Registre essas informações no caderno.

Resposta pessoal.

12. Em relação à temática abordada na atividade resolvida R2 da página 206, quais dificuldades uma rampa fora dos padrões da ABNT podem causar a um cadeirante? Junte-se a um colega, e escôlhamescolham uma rampa de acesso em alguma edificação pública do município em quêque vocês moram, a fim de verificar se a largura livre dessa rampa atende às recomendações da ABNT. Em uma fô-lhafolha de papel, façam um croqui representando essa rampa, com as medidas indicadas e, se necessário, apresentem sugestões de adequações.

Resposta pessoal.

13. No polígono convexo representado, foram traçadas todas as diagonais quêque partem do vértice A.

a) Quantos vértices tem esse polígono? E quantas são as diagonais quêque têm o vértice A como uma das extremidades?

5 vértices; 2 diagonais

b) Quais vértices dêêssedesse polígono não são extremidades de uma diagonal quêque tem como outra extremidade o vértice A?

A, B e F

c) Quais segmentos de reta correspondem a diagonais dêêssedesse polígono quêque têm o vértice C como uma das extremidades? Qual dessas diagonais foi traçada na figura?

$\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{CF}\end{array}$; $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$

d) Ao todo, quantas diagonais tem esse polígono?

5 diagonais

e) escrêevaEscreva uma expressão para representar a quantidade de diagonais D de um polígono convexo de n lados.

D = $\begin{array}{c}\frac{\left(n-3\right)\cdot n}{2}\end{array}$

DICA

Se necessário, antes de resolver o item e, refaça os itens anteriores considerando um hekzágonohexágono convexo ABCDEF.

14. Junte-se a um colega, e resolvam as kestõesquestões a seguir.

a) Em uma fô-lhafolha avulsa, cada um deve construir um polígono convexo qualquer e indicar seus ângulos internos e externos.

Resposta pessoal.

b) Com o auxílio de um transferidor, meçam os ângulos internos e externos dêêssedesse polígono.

Resposta pessoal.

c) Calculem a soma das medidas de cada par de ângulos interno e externo correspondentes a esse polígono. Escrevam uma frase a respeito do quêque foi observado em relação aos valores encontrados.

Resposta esperada: A soma das medidas de cada par de ângulos é 180°.

d) Calculem a soma das medidas de todos os ângulos externos de cada polígono. Escrevam uma conclusão sobre os valores encontrados.

Resposta esperada: A soma das medidas de todos os ângulos externos é 360°.

e) Troquem os polígonos quêque vocês construíram com outra dupla de côlégascolegas e verifiquem se as conclusões obtidas sérvemservem para esses polígonos. Em seguida, registrem juntos uma conclusão geral.

Resposta pessoal.

Página duzentos e dez210

Polígonos regulares

Nas páginas anteriores foi apresentado quêque um polígono regular é aquele em quêque todos os lados são congruentes e todos os ângulos internos são também congruentes. Agora, obissérveobserve como podemos traçar uma circunferência circunscrita a um pentágono regular.

PARA PENSAR

Observe quêque, como o pentágono é regular, para determinar o ponto O, bastava ter traçado as mediatrizes de dois dos lados. Por quê?

Resposta esperada: Porque as mediatrizes de um polígono regular se cruzam em um único ponto.

DICA

A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a ele em seu ponto médio.

Ao traçarmos segmentos de reta com uma extremidade em O e a outra em cada vértice do pentágono regular, obtemos cinco triângulos, conforme representado na figura ao lado direito da página.

Note quêque, em cada um dêêssesdesses triângulos, um dos lados corresponde ao lado do pentágono regular, e os outros dois lados, a raios da mesma circunferência. Portanto, podemos afirmar quêque esses triângulos são isósceles e congruentes (caso LLL de congruência de triângulos).

De maneira análoga, é possível mostrar quêque todo polígono regular de n lados pódepode sêrser decomposto, a partir de seu centro, em n triângulos isósceles congruentes.

Agora, considere esse mesmo pentágono regular decomposto da maneira apresentada. Denominamos apótema do pentágono o segmento de reta com extremidades em O e no ponto médio de um lado dêêssedesse polígono regular. O apótema é perpendicular ao lado do polígono regular. Observe.

DICA

O apótema de um polígono regular corresponde ao raio da circunferência inscrita nesse polígono. Observe um exemplo.

Página duzentos e onze211

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Mostre quêque um hekzágonohexágono regular de centro O pódepode sêrser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes.

Resolução

Considere o hekzágonohexágono regular ABCDEF de centro O representado na figura.

Inicialmente, vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos dêêssedesse hekzágonohexágono regular.

S = (n − 2) ⋅ 180° = (6 − 2) ⋅ 180° = 4 ⋅ 180° = 720°

Como em um polígono regular os ângulos internos são congruentes, então a medida de cada ângulo interno dêêssedesse hekzágonohexágono é dada por:

720° ∶ 6 = 120°

Desse modo, ao traçar segmentos de reta com uma extremidade em O e a outra em cada vértice do hekzágonohexágono regular, obtemos seis triângulos congruentes em quêque cada ângulo interno médemede 60°, ou seja, triângulos equiláteros congruentes.

R4. Expresse a medida (éli)"ℓ do lado e a medida a do apótema do quadrado ABCD representado em função da medida r do raio da circunferência quêque circunscreve esse quadrado.

Resolução

Note quêque o ângulo CÔD é reto, pois 360° ∶ 4 = 90°.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo COD, temos:

$$l^2=r^2+r^2\Rightarrow l^2=2r^2\Rightarrow \begin{array}{c}\{\begin{array}{c}l=r\sqrt[]{2}\\ \mathrm{ou}\\ l=-r\sqrt[]{2}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$$

Observe quêque o lado do quadrado médemede 2a, pois o apótema dividiu o triângulo COD em dois triângulos retângulos isósceles. Com isso, temos:

(éli)"ℓ = $\begin{array}{c}r\sqrt[]{2}\end{array}$ ⇒ 2a = $\begin{array}{c}r\sqrt[]{2}\end{array}$ ⇒ a = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

Portanto, (éli)"ℓ = $\begin{array}{c}r\sqrt[]{2}\end{array}$ e a = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ ^.

Por exemplo, um quadrado inscrito em uma circunferência de 4 cm de raio tem:

• lado medindo $\begin{array}{c}4\sqrt[]{2}\end{array}$ cm, pois: (éli)"ℓ = 4 ⋅ $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ = 4 $\sqrt[]{2}$;

• apótema medindo $\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$ cm, pois: a = $\begin{array}{c}\frac{4\sqrt[]{2}}{2}=2\sqrt[]{2}\end{array}$.

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ATIVIDADES

15. Um polígono regular de n lados foi decomposto, a partir de seu centro O, em n triângulos isósceles congruentes. Analise um dêêssesdesses triângulos.

a) Quais são as medidas de $A\widehat{B}O$ e $A\widehat{O}B?$

$A\widehat{B}O$: 78°; $A\widehat{O}B$: 24°

b) Quantos lados tem esse polígono?

15 lados

16. Em uma praça de cértocerto município será construída uma fonte de á guaágua com formato de um decágono regular com 3 m de lado. No centro dessa fonte será instalado um jato de á guaágua, conforme representado a seguir.

a) Quantos metros terá o contôrnocontorno dessa fonte de á guaágua?

30 m

b) Qual é a distância mássimamáxima horizontal quêque o jato de á guaágua pódepode alcançar, sêndosendo disparado em todas as direções, de maneira quêque não ultrapasse os limites da fonte? Considere sen 72° ≃ 0,95, cos 72° ≃ 0,31 e tg 72° ≃ 3,08.

aproximadamente 4,62 m

17. Considere um octógono regular ABCDEFGH quêque, ao sêrser decomposto a partir de seu centro O, obtêm-se oito triângulos isósceles congruentes. Qual dos itens a seguir apresenta um dos triângulos obtidos nessa decomposição?

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

18. Na figura a seguir, está representado um triângulo equilátero com 7 cm de lado e aproximadamente 2 cm de apótema, inscrito em uma circunferência de centro O.

Qual é a medida aproximada do lado de um pentágono regular inscrito nessa mesma circunferência? Para os cálculos, considere sen 72° ≃ 0,95, cos 72° ≃ 0,31, tg 72° ≃ 3,08, sen 54° ≃ 0,81, cos 54° ≃ 0,59 e tg 54° ≃ 1,38.

a) 1,2 cm

b) 2,3 cm

c) 2,4 cm

d) 4,7 cm

e) 5,6 cm

alternativa d

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19. Em uma academia, os treinos de determinada ár-tearte marcial ocorrem em um ringue cuja superfícíesuperfície tem formato de octógono regular com 16 m de perímetro. No início de cértocerto treinamento, um árbitro se posiciona no ponto C quêque representa o centro do ringue, e dois competidores se posicionam nos pontos médios de lados opostos do ringue, conforme indicados por A e B na figura a seguir.

Qual é a distância aproximada entre os competidores no início dêêssedesse treinamento? Para os cálculos, considere sen 67,5° ≃ 0,92, cos 67,5° ≃ 0,38 e tg 67,5° ≃ 2,41.

a) 1,84 m

b) 4 m

c) 4,82 m

d) 6,75 m

e) 9,2 m

alternativa c

20. Expresse a medida (éli)"ℓ do lado e a medida a do apótema do hekzágonohexágono regular representado a seguir, em função da medida r do raio da circunferência quêque circunscreve esse hekzágonohexágono.

(éli)"ℓ = r e a = $\begin{array}{c}\frac{r\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Polígonos regulares e ladrilhamento do plano

Observe uma obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003).

PARA AMPLIAR

Nessa obra, é possível observar representações de triângulos equiláteros congruentes em côrcor clara e em côrcor escura. Mantendo o padrão estabelecido, podemos adicionar outros triângulos congruentes a esses para cobrir todo o plano quêque contém a superfícíesuperfície dessa tela.

Página duzentos e quatorze214

pôdêmosPodemos verificar quêque o triângulo equilátero pódepode sêrser utilizado para a composição de um ladrilhamento regular do plano. Para isso, obissérveobserve quêque, a partir de um dos vértices de um triângulo equilátero, podemos combinar outros triângulos congruentes a ele, conforme representado a seguir.

Note quêque a soma das medidas dos ângulos internos dos seis triângulos combinados em um mesmo vértice é igual a 360°, pois 6 ⋅ 60° = 360°.

Analise a seguir uma representação de parte do ladrilhamento regular do plano com triângulos equiláteros.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R5. Mostre quêque não é possível compor um ladrilhamento regular do plano utilizando pentágonos regulares.

Resolução

Estudamos quêque, para compor um ladrilhamento regular no plano, o polígono regular deve possuir ângulos internos cuja medida corresponda a um número divisor de 360.

Portanto, inicialmente, vamos determinar a medida de cada ângulo interno do pentágono regular. Sendo S a soma das medidas dos ângulos internos do pentágono regular, a medida de cada um dêêssesdesses ângulos internos é dada por:

$$\begin{array}{c}\frac{S}{5}=\frac{\left(5-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{5}=\frac{{540}^{\circ }}{5}={108}^{\circ }\end{array}$$

Como 360 = 3 ⋅ 108 + 36, concluímos quêque 108 não é divisor de 360.

Portanto, não é possível compor um ladrilhamento regular do plano utilizando pentágonos regulares. Essa conclusão pódepode sêrser verificada geometricamente. Observe a figura.

Página duzentos e quinze215

ATIVIDADES

21. Utilizando um programa de computador, foram construídos um triângulo equilátero ABC e um quadrado ACDE, conforme representado a seguir.

Ao usar a ferramenta de medir ângulos dêêssedesse programa, qual valor deve aparecer no ângulo destacado em vermelho?

210°

22. Leia o texto a seguir sobre a origem dos mosaicos.

[...] Uma das maiores formas de; ár-tede arte, o mosaico, surgiu durante os séculos V e VI em Bizâncio, já em pôdêrpoder dos turcos, e em sua capital italiana, Ravena. [...]

STRICKLAND, Carol. ár-teArte comentada: da Pré-história ao Pós-moderno. Tradução: Angela Lobo de Andrade. 8. ed. Rio de Janeiro: Ediouro, 2002. p. 25.

Além de apresentar padrões geométricos, uma característica bastante comum de um mosaico é buscar, por meio da combinação de pequenas peças de pedra, plástico, papel ou outro material, cobrir completamente a região em quêque será construído. Essa região pódepode sêrser representada por telas, paredes, pisos, entre outras superfícies planas, sem deixar lacunas e sem sobreposições de peças.

Página duzentos e dezesseis216

Quais dos mosaicos destacados a seguir podem representar parte de um ladrilhamento regular do plano?

a)

b)

c)

d)

a e d

23. Márcio pretende construir um mosaico com formato de dodecágono regular. Para isso, ele vai usar apenas pedaços de papel quêque tênhamtenham o formato de três polígonos regulares e todos com lados de mesma medida. Observe os pedaços de papel de dois dêêssesdesses formatos.

Para construir o mosaico, Márcio ainda deve recortar pedaços de papel com formato de:

a) pentágono regular.

b) triângulo equilátero.

c) heptágono regular.

d) decágono regular.

e) eneágono regular.

alternativa b

24. Considerando sua resposta da atividade anterior, faça um desenho para representar o mosaico obtídoobtido.

Resposta nas Orientações para o professor.

25. Considere a afirmação a seguir, quêque pódepode sêrser demonstrada.

Existem apenas três tipos de polígono regular com os quais é possível compor um ladrilhamento regular do plano.

Realize uma investigação e responda: Com quais dêstesdestes polígonos regulares é possível fazer um ladrilhamento regular do plano: triângulo, quadrilátero, pentágono, hekzágonohexágono, heptágono ou octógono? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Triângulo equilátero, quadrado e hekzágonohexágono regular, pois as medidas de cada um de seus ângulos internos correspondem a um número divisor de 360.

26. Um azulejista precisa assentar pisos cerâmicos no chão de uma sala quêque possui formato retangular com lados medindo 6 m de comprimento e 4 m de largura. Para isso, foram comprados pisos quadrados de 50 cm de lado. Desconsiderando os rejuntes necessários para o assentamento dêêssesdesses pisos, responda às kestõesquestões a seguir.

a) Quantos pisos dêêssesdesses serão assentados por métrometro quadrado?

4 pisos

b) Qual é a quantidade de pisos necessária para cobrir todo o chão dessa sala?

96 pisos

c) Após serem assentados os pisos, o chão dessa sala poderia representar parte de qual tipo de ladrilhamento do plano?

Resposta esperada: Ladrilhamento regular do plano por quadrados.

Página duzentos e dezessete217

PARA AMPLIAR

27. Chamamos de ladrilhamento arquimediano do plano quando o ladrilhamento é compôztocomposto apenas de polígonos regulares convexos, não necessariamente congruentes, mas com mesma medida de lado. Observe um exemplo.

Em quais dos itens a seguir é possível identificar parte de um ladrilhamento arquimediano do plano?

a)

b)

c)

d)

e)

a, b e d

• Para cada item quêque você indicou, dêz-crevadescreva os polígonos regulares quêque compõem o ladrilhamento arquimediano do plano.

a) hekzágonoshexágonos regulares;

b) triângulos equiláteros, quadrados e hekzágonoshexágonos regulares;

d) triângulos equiláteros, quadrados e hekzágonoshexágonos regulares

28. Utilizando uma malha quadriculada ou um programa de computador, construa um mosaico correspondente à parte de um ladrilhamento do plano de algum dos tipos de ladrilhamento estudados nesta Unidade. Depois, troque seu mosaico com o de um colega para quêque ele identifique os polígonos quêque você representou e classifique o seu ladrilhamento, enquanto você faz o mesmo com o mosaico quêque receber. Por fim, confiram juntos as respostas.

Resposta pessoal.

Página duzentos e dezoito218

VOCÊ CONECTADO
Ladrilhamento do plano utilizando o GeoGebra

pôdêmosPodemos construir mosaicos correspondentes a ladrilhamentos arquimedianos do plano por meio do software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível para acesso ôn láinion-line e dáum-lôudedownload em https://livro.pw/qoubj (acesso em: 30 jul. 2024). Para isso, vamos utilizar hekzágonoshexágonos regulares, quadrados e triângulos equiláteros, todos com lados de mesma medida.

Acompanhe como pódepode sêrser construída parte de um ladrilhamento arquimediano do plano.

A Inicialmente, com a opção (Polígono regular), construímos o hekzágonohexágono regular ABCDEF. Em seguida, com a mesma opção, selecionamos os vértices B e A, nessa ordem, e construímos um quadrado com um lado em comum com o hekzágonohexágono. De maneira análoga, construímos outros cinco quadrados com lado em comum com o hekzágonohexágono, conforme representado a seguir.

B Para completar a primeira etapa de composição do mosaico, usamos novamente a opção (Polígono regular) e selecionamos os vértices G e A, nessa ordem, para construir um triângulo equilátero. De maneira análoga, construímos outros cinco triângulos equiláteros, conforme representado nas figuras desta etapa.

Página duzentos e dezenove219

MÃOS À OBRA

1. Observe a representação de um recorte da composição construída na página anterior e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Os ângulos indicados correspondem a ângulos internos de quais polígonos?

x e z: quadrado; y: hekzágonohexágono regular; w: triângulo equilátero

b) Qual é a soma das medidas x, y, z e w?

360°

c) Determine as medidas x, y, z e w.

x = 90°; y = 120°; z = 90°; w = 60°

2. No GeoGebra, reproduza a construção feita na página anterior. Depois, continue a composição do ladrilhamento arquimediano do plano utilizando outros 5 triângulos equiláteros, 3 hekzágonoshexágonos regulares e 8 quadrados. Por fim, compare a sua construção com a de um colega.

Construção do estudante.

3. Observe, a seguir, parte de um ladrilhamento arquimediano do plano construído no GeoGebra.

a) Mostre quêque é impossível construir um ladrilhamento compôztocomposto apenas de polígonos regulares congruentes como os apresentados na imagem.

Uma resposta possível: As medidas de cada ângulo interno do quadrado e do dodecágono regular são, respectivamente, 90° e 150°. Como não existem números naturais positivos m e n, tais quêque m ⋅ 90° + n ⋅ 150° = 360°, podemos afirmar quêque é impossível construir um ladrilhamento arquimediano do plano compôztocomposto apenas de quadrados e dodecágonos regulares congruentes.

b) Que outros tipos de polígono regular podem sêrser utilizados para compor esse ladrilhamento arquimediano do plano? Justifique.

triângulos equiláteros e hekzágonoshexágonos regulares

c) Reproduza no GeoGebra a parte do ladrilhamento arquimediano do plano apresentada e acrescente os polígonos indicados no item anterior.

Construção do estudante.

4. Um arquiteto pretende elaborar um projeto para cobrir a região plana de uma parede por meio do ladrilhamento arquimediano do plano. Para isso, ele tem à disposição peças de cerâmica com formato dos seguintes polígonos regulares, todos com lados de mesma medida: quadrado, pentágono, octógono e decágono.

No GeoGebra, faça uma composição com polígonos correspondentes a algumas dessas peças, para simular um possível projeto arquitetônico para essa parede.

Construção do estudante.

Página duzentos e vinte220

Área de polígonos

Uma das informações apresentadas nesse gráfico é a área desmatada na AmazôneaAmazônia Legal em 2021 no estado do Tocantins, quêque, nesse caso, foi de 32 km². Para se ter uma ideia, existem municípios brasileiros com área bem menor quêque a desmatada em 2021 no Tocantins.

O conceito de área, segundo registros históricos, já era utilizado por diferentes povos há milhares de anos. Os egípcios antigos, por exemplo, em certa época do ano, deparavam-se com a seguinte situação: demarcar novamente os limites das propriedades quando as águas do rio Nilo baixavam após as cheias, mantendo-se as mesmas áreas. Para isso, eram realizadas medições utilizando kórdascordas com nós, quêque determinavam certa unidade de medida de comprimento.

Em anos anteriores, você estudou como calcular a área de alguns polígonos. Agora, vamos retomar esse estudo para aprofundar o conceito de área.

PARA PENSAR

Você sabe o quêque é AmazôneaAmazônia Legal? O quêque é possível afirmar a respeito do desmatamento na AmazôneaAmazônia Legal no Tocantins no período apresentado?

Resposta pessoal. Uma resposta possível: A cada ano, a partir de 2021, houve redução na área desmatada em relação ao ano anterior.

PARA AMPLIAR

Página duzentos e vinte e um221

Área do retângulo e do quadrado

Considere o retângulo ABCD a seguir construído no GeoGebra em uma malha quadriculada em quêque cada lado de quadradinho representa 1 cm.

DICA

Quadrados com 1 cm, 1 dm, 1 m e 1 km de lado têm, respectivamente, 1 cm², 1 dm², 1 m² e 1 km² de área.

Para calcular a área dêêssedesse retângulo, pódepodemos determinar a quantidade de quadradinhos da malha nos quais ele pode sêrser decomposto.

Como cada quadradinho da malha tem 1 cm² de área, então o retângulo ABCD tem 27 cm² de área.

Acompanhe como podemos calcular a área das figuras representadas a seguir.

• Retângulo.

A = 3,5 ⋅ 6,2 = 21,7;

ou seja, 21,7 m².

• Quadrado.

A = (4,3)² = 4,3 ⋅ 4,3 = 18,49;

ou seja, 18,49 m².

Página duzentos e vinte e dois222

Área do paralelogramo

pôdêmosPodemos deduzir uma expressão para calcular a área de um paralelogramo, em quêque b é a medida da base e h é a medida da altura. Para isso, decompomos esse paralelogramo e deslocamos um triângulo obtídoobtido de maneira a compor um retângulo de mesma área do paralelogramo, conforme representado a seguir.

Assim, a área dêêssedesse paralelogramo é dada por: A = b ⋅ h.

DICA

Você pódepode verificar esta composição desenhando um paralelogramo em uma fô-lhafolha avulsa e recortando-o ou realizando construções no GeoGebra.

Observe como podemos calcular a área do paralelogramo representado a seguir.

A = 6 ⋅ 3,5 = 21; ou seja, 21 dm².

Área do losango

Considere um losango em quêque D é a medida da diagonal maior e d, a medida da diagonal menor. Para deduzir uma expressão quêque calcule a área dêêssedesse losango, podemos inicialmente traçar suas diagonais. Depois, podemos construir um retângulo traçando cada lado de maneira quêque passe por um vértice dêêssedesse losango e seja paralelo a uma de suas diagonais.

DICA

Você pódepode verificar esta composição desenhando um losango e um retângulo em uma fô-lhafolha avulsa ou realizando construções no GeoGebra.

A área do losango corresponde à mêtádemetade da área do retângulo obtídoobtido. Assim, podemos expressar a área dêêssedesse losango por: A = $\frac{D\cdot d}{2}$

Página duzentos e vinte e três223

Acompanhe como podemos calcular a área de um losango cujas diagonais médemmedem $\begin{array}{c}\sqrt[]{30}\end{array}$ cm e 12 cm.

A = $\begin{array}{c}\frac{12\cdot \sqrt[]{30}}{2}=6\sqrt[]{30}\end{array}$ ; ou seja, $\begin{array}{c}6\sqrt[]{30}\end{array}$ cm².

Área do trapézio

Considere o trapézio azul representado, em quêque b é a medida da base menor, B é a medida da base maior e h é a medida da altura.

pôdêmosPodemos deduzir uma expressão para calcular a área dêêssedesse trapézio, construindo um novo trapézio congruente a ele, em outra posição, conforme representado a seguir. Depois, com esses dois trapézios congruentes, compomos um paralelogramo.

A área do trapézio em azul corresponde à mêtádemetade da área do paralelogramo obtídoobtido. Assim, podemos expressar a área dêêssedesse trapézio por:

$$\begin{array}{c}A=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}\end{array}$$

DICA

Você pódepode verificar esta composição desenhando trapézios em uma fô-lhafolha avulsa e recortando-os ou realizando construções no GeoGebra.

Acompanhe como podemos calcular a área do trapézio representado.

A = $\begin{array}{c}\frac{\left(7+4\right)\cdot 3}{2}=\frac{11\cdot 3}{2}=\frac{33}{2}\end{array}$= 16,5; ou seja, 16,5 m².

Página duzentos e vinte e quatro224

ATIVIDADE RESOLVIDA

R6. A figura representa o jardim de certa empresa. A região em vermelho tem formato de losango e corresponde ao espaço quêque será destinado ao plantio de rosas, sêndosendo recomendadas 3 mudas, no mássimomáximo, por métrometro quadrado. Quantas mudas de rosas podem sêrser plantadas, no mássimomáximo, em todo esse espaço?

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, obtemos as seguintes informações:

• a região em quêque as mudas de rosas serão plantadas tem formato de losango;

• para cada métrometro quadrado podem sêrser plantadas, no mássimomáximo, 3 mudas de rosas;

• as medidas do lado ((éli)"ℓ) e da diagonal menor (d) do losango são, respectivamente, 5 m e 6 m.

2ª ELABORAR UM PLANO

Inicialmente, podemos determinar a medida da diagonal maior (D) do losango utilizando o teorema de Pitágoras, para, em seguida, calcular a área dêêssedesse losango. Por fim, basta multiplicar a área ôbitídaobtida por 3, quêque corresponde à quantidade mássimamáxima de mudas de rosas por métrometro quadrado.

3ª EXECUTAR O PLANO

pôdêmosPodemos representar o losango da maneira a seguir e calcular a medida ME aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AME:

$${\left(AE\right)}^2={\left(AM\right)}^2+{\left(ME\right)}^2\Rightarrow 5^2=3^2+{\left(ME\right)}^2\Rightarrow {\left(ME\right)}^2=25-9\Rightarrow {\left(ME\right)}^2=16\Rightarrow \begin{array}{c}\{\begin{array}{c}ME=\sqrt[]{16}=4\\ \mathrm{ou}\\ ME=-\sqrt[]{16}=-4\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$$

Como $\begin{array}{c}\overline{ME}\end{array}$ corresponde à mêtádemetade da medida da diagonal maior (D) do losango, temos:

D = 2 ⋅ ME = 2 ⋅ 4 = 8; ou seja, 8 m.

Calculando a área do losango, temos:

$$A=\begin{array}{c}\frac{D\cdot d}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=\frac{48}{2}\end{array}=24;\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{j}\mathrm{a},\mathrm{}24m^2.$$

Para cada métrometro quadrado podem sêrser plantadas, no mássimomáximo, 3 mudas de rosas; portanto, o total de mudas possíveis de serem plantadas é dado por:

24 ⋅ 3 = 72; ou seja, 72 mudas de rosas.

Página duzentos e vinte e cinco225

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Para verificar o resultado obtídoobtido podemos, inicialmente, utilizar a relação entre multiplicação e divisão como operações inversas e calcular a área do losango a partir da quantidade de mudas de rosas determinadas:

72 ∶ 3 = 24; ou seja, 24 m².

Em seguida, a partir da expressão utilizada para o cálculo da área do losango e da medida calculada de sua diagonal maior D, determinamos a medida da diagonal menor d, indicada no enunciado:

A = $\frac{D\cdot d}{2}$ ⇒ 24 = $\frac{8\cdot d}{2}$ ⇒ d = 6; ou seja, 6 m.

Portanto, podem sêrser plantadas, no mássimomáximo, 72 mudas de rosas.

ATIVIDADES

29. Calcule a área das figuras.

a) Trapézio.

111,6 cm²

b) Losango.

72 cm²

c) Retângulo.

112 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm²

d) Quadrado.

32,49 cm²

DICA

As figuras não estão proporcionais.

30. Sabendo quêque a área do trapézio a seguir é 75 m², determine o valor de x.

x = 5 m

31. Identifique a expressão da área de um quadrado em função da medida d de sua diagonal. Justifique sua resposta.

a) A = 2d²

b) A = $\begin{array}{c}\frac{3d^2}{4}\end{array}$

c) A = $\begin{array}{c}\frac{d^2}{2}\end{array}$

d) A = d²

e) A = $\begin{array}{c}\frac{d^2\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

Alternativa c. Resposta nas Orientações para o professor.

• De acôr-doacordo com sua resposta, calcule a área de um quadrado cuja diagonal médemede 21 cm.

220,5 cm²

32. Uma empresa de eventos está organizando um chôushow musical. A imagem a seguir representa o salão onde esse chôushow será realizado.

Pensando na segurança do público, será disponibilizada para venda uma quantidade de ingressos correspondente a 96% da capacidade mássimamáxima permitida para o local, quêque, de acôr-doacordo com instruções técnicas do Corpo de Bombeiros, é de 2,5 pessoas por métrometro quadrado.

Qual será a quantidade de ingressos disponibilizados para esse chôushow?

19.800 ingressos

33. Um retângulo tem o lado maior com o triplo da medida do lado menor e sua área é 147 cm². Qual é o perímetro dêêssedesse retângulo?

56 cm

34. A região retangular no entorno de uma praça será totalmente cercada com 160 m de tela de alambrado.

a) escrêevaEscreva a lei de formação de uma função quêque determina a área s da região cercada, em métrometro quadrado, em função da medida x do comprimento desta região, em métrometro.

s(x) = −x² + 80x

b) Quais devem sêrser as medidas do comprimento e da largura da região cercada para quêque a área dessa região seja mássimamáxima?

A largura e o comprimento devem ter 40 m.

Página duzentos e vinte e seis226

35. Leia as informações a seguir sobre algumas normas de instalações.

Vagas de estacionamento em mercados, supermercados e hipermercados no município de Florianópolis (SC)

Fonte dos dados: FLORIANÓPOLIS. Prefeitura Municipal de Florianópolis. Estacionamentos: acessos, padrões e dimensionamento. Florianópolis: PMF, 2014. Disponível em: https://livro.pw/qjbaz. Acesso em: 3 jun. 2024.

a) Se o paralelogramo a seguir representasse a área construída de um hipermercado no município de Florianópolis, no mínimo, quantas vagas para cada tipo de veículo deveria ter o estacionamento dêêssedesse hipermercado?

automóvel: 750 vagas; bicicleta: 225 vagas; motocicleta: 90 vagas

b) Pesquise no município onde você mora se há alguma norma parecida com essa. Em seguida, elabore um texto descrevendo essas informações e apresente um exemplo de aplicação dessa norma.

Resposta pessoal.

36. O losango ABCD, representado a seguir, tem 36 cm de perímetro, e M, N, O e P correspondem a pontos médios de seus lados. Qual é a área da região representada em azul nesta figura? Considere sen 30° = 0,5.

81cm²

DICA

Em um triângulo retângulo ABC, cuja hipotenusa é o lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e a medida do ângulo interno $\begin{array}{c}B\stackrel{{}^{}}{A}C\end{array}$ é dada por (alfa)"α, temos:

sen (alfa)"α = $\frac{BC}{AB}$

37. O índice ou a taxa de permeabilidade corresponde a um porcentual do terreno quêque deve sêrser livre de qualquer edificação, o quêque permite o escoamento natural da á guaágua da chuva e, consequentemente, contribui para a redução de enchentes e alagamentos. Esse índice é regulamentado pelo município e pódepode variar entre suas diferentes regiões. Por exemplo, em certa região de um município cujo índice de permeabilidade é de 30%, um terreno de 1.000 m ² deve ter pelo menos 300 m² de área permeável.

Fonte dos dados: SÃO PAULO. Projeto de lei númeronº 688, de 31 de julho de 2013. Aprova o Plano Diretor Estratégico do Município de São Paulo. São Paulo: Câmara Municipal, 2013. Disponível em: https://livro.pw/rzsrl. Acesso em: 30 jul. 2024.

a) O terreno representado nesse item localiza-se em uma região em quêque o índice de permeabilidade é de 15%. Qual é a área mássimamáxima dêêssedesse terreno quêque a construção de uma edificação pódepode ocupar?

442 m²

b) Junte-se a um colega e pesquisem as normas da taxa de permeabilidade do município em quêque vocês moram. Depois, apresentem uma proposta quêque busque promover o atendimento a essas normas pela comunidade, a fim de contribuir com a redução de possíveis enchentes ou alagamentos na região. Nessa proposta, para exemplificar, representem um terreno, indicando as suas medidas, sua área, seu perímetro e a área de permeabilidade correspondente.

Resposta pessoal.

Página duzentos e vinte e sete227

38. (IFSC) Na figura a seguir há três quadrados, sêndosendo 258 cm² a soma de suas áreas. Qual o perímetro do maior quadrado, em cm, sêndosendo quêque o menor quadrado tem lado medindo 5 cm?

Assinale a alternativa CORRETA.

a) 36 cm

b) 32 cm

c) 60 cm

d) 52 cm

e) 40 cm

alternativa d

39. Você sabe o quêque é a neutralização do carbono? Leia o trecho de texto a seguir.

A organização de um grande chôushow, exposição ou feira, por exemplo, demanda muita ação e material utilizado [...]. A ação sustentável é fundamental em uma produção para minimizar os impactos causados por esses eventos. É assim quêque a neutralização da emissão de carbono se tornou uma das medidas mais utilizadas pêlospelos organizadores e gestores dêêssedesse segmento.

Ela se dá por meio do plantio de árvores correspondentes à quantidade de gases de efeito estufa quêque são emitidos em cada situação. Ou seja, quanto maior for o evento, mais árvores deverão sêrser plantadas para captar CO₂ e armazená-lo em forma de biomassa, retirando assim os gases da atmosféraatmosfera.

SERVIÇO BRASILEIRO DE APOIO ÀS MICRO E PEQUENAS EMPRESAS. Créditos de carbono: como neutralizar quando emitido em eventos. [S. l.]: Sebrae, 2019. Disponível em: https://livro.pw/xpsja. Acesso em: 30 jul. 2024.

Suponha, por exemplo, quêque para um festival de música estima-se a emissão de 37,1 toneladas de CO₂ provenientes do uso de equipamentos, energia elétrica, transporte etc. A organização do evento pretende contratar uma empresa especializada no cálculo da quantidade e no plantio de árvores de certa espécie para minimizar o impacto causado ao meio ambiente. Nesse caso, estipula-se quêque cada árvore neutraliza aproximadamente 0,14 tonelada de CO₂ por ano e devem sêrser plantadas 50 mudas dessa árvore a cada 300 m² de área.

Qual das alternativas apresenta o formato de uma região cuja área mais se aproxima daquela necessária para neutralizar, em um ano, toda a emissão de carbono dêêssedesse evento?

a) Quadrado com 39 m de lado.

b) Retângulo com dimensões 54 m × 30 m.

c) Paralelogramo com 35 m de base e 30 m de altura.

d) Quadrado com 43 m de lado.

e) Retângulo com dimensões 50 m × 33 m.

alternativa b

40. (Epcar-MG) O gráfico a seguir é uma função polinomial do 1º grau e descreve a velocidade v de um móvel em função do tempo t:

Assim, no instante t = 10 horas o móvel está a uma velocidade de 55 km/h, por exemplo.

Sabe-se quêque é possível determinar a distância quêque o móvel percórrepercorre calculando a área limitada entre o eixo horizontal t e a semirreta quêque representa a velocidade em função do tempo. Desta forma, a área hachurada no gráfico fornece a distância, em km, percorrida pelo móvel do instante 6 a 10 horas.

É correto afirmar quêque a distância percorrida pelo móvel, em km, do instante 3 a 9 horas é de:

a) 318

b) 306

c) 256

d) 212

alternativa a

Página duzentos e vinte e oito228

41. A luz solar é uma fonte alternativa para a geração de energia elétrica. Em residências comuns, é possível implantar um sistema autônomo de produção de energia fotovoltaica, quêque gera eletricidade a partir da luz do Sol por meio de painéis solares. Cada painel solar costuma ter formato retangular e é compôztocomposto de células fotovoltaicas, um dispositivo responsável por captar a luz do Sol e convertê-la em energia elétrica.

a) No telhado da residência de uma família, serão instalados painéis solares retangulares com dimensões 1,65 m e 1 m e cuja potência é de 270 W. Para essa instalação, estima-se quêque cada métrometro quadrado do painel vai gerar, em média, 21 kWh de energia elétrica por mês.

• A eficiência energética de um painel solar corresponde ao porcentual de energia da luz do Sol quêque é convertida em energia elétrica por métrometro quadrado. Para determinar essa eficiência, dividimos sua potência (W) pela área (m²) e, por fim, dividimos o resultado por 10. Calcule a eficiência energética aproximada de cada painel solar quêque será instalado nessa residência.

16,36%

• Nessa residência, o consumo médio mensal de energia elétrica é de 275 kWh. No mínimo, quantos painéis solares dêêssesdesses são necessários instalar no telhado de maneira a suprir todo esse consumo? Qual será a área ocupada por todos esses painéis solares?

8 painéis solares; 13,2 m²

b) Consulte em uma fatura o consumo médio mensal de energia elétrica de sua residência. Depois, determine quantos painéis do modelo apresentado no item a são necessários instalar para suprir esse consumo.

Resposta pessoal.

c) Junte-se a dois côlégascolegas e elaborem uma proposta para a instalação de painéis solares para a geração de energia elétrica em algum prédio público local, como a própria escola, uma unidade básica de saúde, a sede da associação de moradores do bairro etc. Para elaborar essa proposta, investiguem o consumo habitual de energia elétrica dêêssedesse espaço, pesquisem a eficiência de painéis solares disponíveis e o custo de instalação. Com isso, calculem a área de painéis necessária para suprir a demanda por energia elétrica e representem em um croqui uma possível região onde esses painéis solares podem sêrser instalados, como um telhado ou área aberta. Por fim, redijam um relatório oficializando a proposta e apresentando argumentos, com base em dados confiáveis, quêque defendam essa instalação, tanto por motivos ambientais quanto financeiros.

Resposta pessoal.

42. No topo de um prédio serão instalados 30 painéis solares como os indicados na atividade 41, item a, um ao lado do outro, de maneira quêque a estrutura retangular ôbitídaobtida tenha 1,65 m de largura. Para fixar esses painéis, no contôrnocontorno da estrutura será instalada uma viga metálica ao custo de R$ 60,00 o métrometro. Qual é o valor aproximado quêque será gasto com essa viga?

R$ 3.798,00

43. A prefeitura de cértocerto município vai construir uma pista para caminhadas ao redor de uma praça com formato trapezôidáutrapezoidal, conforme representado na imagem. Qual será a área da pista construída?

10.400 m²

Página duzentos e vinte e nove229

Área do triângulo

Considere o triângulo vêrdeverde representado a seguir, em quêque b é a medida da base e h é a medida da altura.

pôdêmosPodemos deduzir uma expressão para o cálculo da área dêêssedesse triângulo, construindo um novo triângulo congruente a ele, em outra posição, conforme representado a seguir. Observe quêque, unindo esses dois triângulos congruentes, compomos um paralelogramo.

DICA

Você pódepode verificar esta composição desenhando triângulos congruentes em uma fô-lhafolha avulsa e recortando-os ou realizando construções no GeoGebra.

Como os dois triângulos são congruentes, a área do triângulo vêrdeverde corresponde à mêtádemetade da área do paralelogramo obtídoobtido.

PARA PENSAR

Dado o triângulo vêrdeverde, explique como se constrói o triângulo alaranjado de modo quêque os dois sêjamsejam congruentes?

Resposta esperada: Trançando segmentos de retas paralelos a dois lados a partir dos vértices do terceiro lado do triângulo vêrdeverde.

Acompanhe como podemos calcular a área do triângulo representado a seguir.

A = $\frac{6\cdot \mathrm{2,8}}{2}=\frac{\mathrm{16,8}}{2}$ = 8,4; ou seja, 8,4 cm²

Outra expressão quêque pódepode sêrser utilizada para calcular a área de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas de seus três lados, é a fórmula de Herão. Tal expressão recebe esse nome em homenagem ao estudioso grego Herão de Alexandria (c. 10 d.C.-80 d.C.), quêque a apresentou em um de seus trabalhos.

Página duzentos e trinta230

Acompanhe como podemos calcular a área do triângulo representado a seguir utilizando a fórmula de Herão.

$$s=\begin{array}{c}\frac{5+7+8}{2}=\frac{20}{2}\end{array}=10$$

A = $\begin{array}{c}\sqrt[]{10\cdot \left(10-5\right)\cdot \left(10-7\right)\cdot \left(10-8\right)}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=\sqrt[]{{10}^2\cdot 3}=10\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, a área dêêssedesse triângulo é $\begin{array}{c}10\sqrt[]{3}\end{array}$ km² ou, aproximadamente, 17,32 km².

Área de um polígono regular

Já estudamos quêque um polígono regular cujos lados têm medida (éli)"ℓ pódepode sêrser decomposto, a partir de seu centro O, em triângulos isósceles congruentes. Cada um dêêssesdesses triângulos tem base medindo (éli)"ℓ e altura correspondente ao apótema a dêêssedesse polígono regular.

Analise exemplos de como as áreas de alguns polígonos regulares podem sêrser expressas em função de (éli)"ℓ e a.

Observando os padrões apresentados nos exemplos e, considerando quêque um polígono regular de n lados pódepode sêrser decomposto em n triângulos isósceles congruentes, podemos generalizar, por meio de uma expressão, o cálculo da área de qualquer polígono regular, conforme segue.

A = n ⋅$\frac{\mathcal{l}\cdot a}{2}$

PARA PENSAR

por quêPor que a área do quadrado pódepode sêrser expressa como apresentada na figura e por (éli)"ℓ²?

Resposta esperada: Porque, nesse caso, a = $\frac{\mathcal{l}}{2}$.

Página duzentos e trinta e um231

Acompanhe como podemos calcular a área de um hekzágonohexágono regular cujos lados médemmedem 4 cm.

Na decomposição do hekzágonohexágono regular, são obtidos seis triângulos equiláteros congruentes. Assim, podemos determinar a medida de seu apótema utilizando o teorema de Pitágoras. Observe.

4 ² = 2² + a² ⇒ a² = 12 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}a=\sqrt[]{12}=2\sqrt[]{3}\\ \mathrm{ou}\\ a=-\sqrt[]{12}=-2\sqrt[]{3}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, a área dêêssedesse hekzágonohexágono regular pódepode sêrser calculada da seguinte maneira:

A = 6 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{4\cdot 2\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ = 24 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ; ou seja, 24 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm² ou, aproximadamente, 41,57 cm².

Relações entre a área e o perímetro de um polígono regular

Considere o quadrado I representado a seguir, cuja medida dos lados é expressa por (éli)"ℓ. Vamos indicar o perímetro P _I e a área A _I dêêssedesse quadrado em função de (éli)"ℓ.

P_I = 4(éli)"ℓ

A_I = (éli)"ℓ²

Agora, considere o quadrado II representado a seguir, cuja medida dos lados corresponde ao dôbrodobro da medida dos lados do quadrado I.

P_II = 4 ⋅ (2(éli)"ℓ) = 8(éli)"ℓ = 2 ⋅ (4(éli)"ℓ) = 2P _I

A_II = (2(éli)"ℓ)² = 2² (éli)"ℓ² = 2² A _I

Note quêque, ao multiplicar por 2 a medida do lado do quadrado I, obtemos a medida do lado do quadrado II, cujo perímetro e a área correspondem, respectivamente, ao perímetro e à área do quadrado I multiplicados por 2 e por 2².

PARA PENSAR

Calcule o perímetro e a área de um quadrado III cuja medida dos lados corresponda ao triplo da medida dos lados do quadrado I. Que relação é ôbitídaobtida entre os perímetros e as áreas dêêssesdesses quadrados?

Perímetro: 12(éli)"ℓ; área: 9(éli)"ℓ². Resposta esperada: Ao multiplicar por 3 a medida do lado do quadrado I, obtemos o quadrado III, cujo perímetro e a área correspondem, respectivamente, ao perímetro e à área do quadrado I multiplicados por 3 e por 3².

Página duzentos e trinta e dois232

De maneira geral, podemos mostrar quêque, ao multiplicar a medida (éli)"ℓ do lado do quadrado I por um número real positivo k, obtemos um quadrado de lado k ⋅ (éli)"ℓ, cujo perímetro é P = k ⋅ P_I, e a área é A = k² ⋅ A_I. Acompanhe.

• P = 4 ⋅ (k ⋅ (éli)"ℓ) ⇒ P = k ⋅ (4(éli)"ℓ) ⇒ P = k ⋅ P_I

• A = (k ⋅ (éli)"ℓ)² ⇒ A = k² ⋅ (éli)"ℓ² ⇒ A = k² ⋅ A_I

A relação vista para o caso do quadrado é válida e pódepode sêrser demonstrada para quaisquer pares de polígonos semelhantes e, em particular, para polígonos regulares.

Vamos exemplificar essas relações considerando um hekzágonohexágono regular com lados medindo 4 cm, perímetro igual a 24 cm e área igual a 24 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm². Assim, ao multiplicar a medida de seus lados por 3, obtemos um hekzágonohexágono regular em quêque:

• os lados médemmedem 12 cm, pois: 3 ⋅ 4 = 12;

• o perímetro é 72 cm, pois: 3 ⋅ 24 = 72;

• a área é 216 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ cm², pois: 3² ⋅ 24 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 216 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ .

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R7. Deduza uma expressão para obtêrobter a área de um triângulo equilátero ABC em função da medida x de seus lados.

Resolução

Inicialmente, destacamos nesse triângulo a altura $AM$, relativa ao lado $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AMB, temos:

$${\left(AB\right)}^2={\left(BM\right)}^2+{\left(AM\right)}^2\Rightarrow x^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(AM\right)}^2\Rightarrow {\left(AM\right)}^2=x^2-\begin{array}{c}\frac{x^2}{4}\end{array}\Rightarrow {\left(AM\right)}^2=\begin{array}{c}\frac{3x^2}{4}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}\{\begin{array}{c}AM=\sqrt[]{\frac{3x^2}{4}}=\frac{x\sqrt[]{3}}{2}\\ \mathrm{ou}\\ AM=-\sqrt[]{\frac{3x^2}{4}}=-\frac{x\sqrt[]{3}}{2}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$$

Portanto, a área do triângulo equilátero ABC pódepode sêrser ôbitídaobtida da seguinte maneira:

$$A=\begin{array}{c}\frac{BC\cdot AM}{2}\end{array}\Rightarrow A=\begin{array}{c}\frac{x\cdot \frac{x\sqrt[]{3}}{2}}{2}=\frac{x^2\sqrt[]{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow A=\begin{array}{c}\frac{x^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$$

Página duzentos e trinta e três233

R8. Utilizando homotetia, um pentágono regular foi ampliado, de maneira quêque sua área aumentou de 12 cm² para 27 cm². Qual é o número real positivo k pelo qual deve sêrser multiplicada a medida do lado do pentágono regular original para se obtêrobter a medida do lado do pentágono regular determinado na ampliação?

Resolução

Como a área A_I do pentágono regular original é 12 cm² e a área A_II do pentágono obtídoobtido na ampliação é 27 cm², temos:

A_II = k² ⋅ A_I ⇒ 27 = k² ⋅ 12 ⇒ k² = $\begin{array}{c}\frac{27}{12}\end{array}$ ⇒ k² = 2,25 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}k=\sqrt[]{\mathrm{2,25}}=\mathrm{1,5}\\ \mathrm{ou}\\ k=-\sqrt[]{\mathrm{2,25}}=-\mathrm{1,5}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, k = 1,5.

R9. Utilizando um programa de computador, foram construídos os gráficos das funções p e a quêque representam, respectivamente, nas correspondentes unidades de medida, o perímetro e a área de um hekzágonohexágono regular cuja medida dos lados corresponde à variável independente x. Observe.

a) Determine a lei de formação dessas funções.

b) Como essas funções podem sêrser classificadas?

c) Determine a imagem dessas funções para x = 8 e explique o quêque esses resultados significam no contexto apresentado.

Resolução

a) Como o hekzágonohexágono regular tem seis lados de medidas iguais a x, então seu perímetro é dado por p(x) = 6x.

Conforme estudado anteriormente, a área do hekzágonohexágono regular de lado medindo x corresponde à área de seis triângulos equiláteros de lados com essa mesma medida. Assim, segue quêque:

$$a\left(x\right)=6\cdot \begin{array}{c}\frac{x^2\sqrt[]{3}}{4}\end{array}\Rightarrow a\left(x\right)=\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\end{array}{x}^2$$

Portanto, p(x) = 6x e $a\left(x\right)=\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\end{array}{x}^2$.

DICA

Note quêque, para determinar a lei de formação da função a, foi utilizada a expressão para o cálculo da área de triângulo equilátero deduzida na atividade resolvida R7.

b) A função p(x) = 6x pódepode sêrser classificada como função afim ou, em particular, como função linear. Já $a\left(x\right)=\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\end{array}{x}^2$pódepode sêrser classificada como função quadrática.

Ambas funções com domínio real positivo.

c) Para x = 8, temos:

• p(8) = 6 ⋅ 8 = 48;

• $a\left(8\right)=\begin{array}{c}\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\end{array}\cdot 8^2=\begin{array}{c}\frac{192\sqrt[]{3}}{2}\end{array}=96\sqrt[]{3}$

Isso significa quêque um hekzágonohexágono regular cujos lados médemmedem 8 unidades de comprimento tem perímetro igual a 48 unidades de comprimento e área correspondente a 96$\sqrt[]{3}$ unidades de área.

Página duzentos e trinta e quatro234

ATIVIDADES

44. Calcule a área dos triângulos representados a seguir.

a)

16,5 dm²

b)

18,45 dm²

c)

6 $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$ dm²

d)

29,6 dm²

e)

9 $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ dm²

f)

14$\sqrt[]{5}$ dm²

DICA

Os triângulos não estão proporcionais.

45. Você se lembra quais são as condições de existência de um triângulo ao analisar as medidas dos três lados? Se necessário, realize uma pesquisa para identificar qual dos itens a seguir apresenta medidas com as quais é possível representar lados de um triângulo. Em seguida, calcule a área dêêssedesse triângulo.

a) 4 cm, 3 cm e 7 cm

b) 5 cm, 10 cm e 16 cm

c) 9 cm, 5 cm e 6 cm

d) 3 cm, 3 cm e 7 cm

alternativa c; área: 10$\sqrt[]{2}$ cm²

46. Calcule a área do polígono regular representado a seguir, cujas medidas indicadas são aproximadas.

173,76 cm²

47. (UPE) Rafael decidiu colocar cerâmicas com a forma de hekzágonoshexágonos regulares no piso da sala de seu escritório. Sabendo quêque a área do piso do escritório médemede 25,5 m², quêque a cerâmica médemede 10 cm de lado, desconsiderando a área ocupada pêlospelos rejuntes, quantas pedras de cerâmica serão necessárias para cobrir todo o piso dessa sala? Considere $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 1,7.

a) 225

b) 425

c) 765

d) 1.000

e) 1.250

alternativa d

48. A sinalização horizontal nos helipontos é um dos auxílios visuais para identificar o local de pouso do helicóptero. Para helipontos não localizados em hospitais, a região segura para o toque do helicóptero no momento do pouso é representada por um triângulo equilátero com 25$\sqrt[]{3}$ m² de área. Qual é o perímetro, em métrometro, dessa região triangular?

30 m

49. (UTFPR) As medidas de bandeiras no Brasil foram normatizadas por um tamanho-padrão chamado “pano”, quêque é igual a 0,64 m de largura por 0,45 m de altura. Os demais tamanhos são múltiplos ou submúltiplos dêstedeste padrão. Assim uma bandeira de 1,5 panos tem largura de 1,00 m por 0,70 m de altura.

Fonte: https://livro.pw/nmgkn.

Considere a bandeira do Estado do Paraná de 1,5 panos, figura abaixo.

A soma das áreas em formato triangular, em m², é igual a:

a) 0,1137.

b) 0,2275.

c) 0,3343.

d) 0,6331.

e) 0,7371.

alternativa b

Página duzentos e trinta e cinco235

50. O ladrilhamento a seguir foi construído em um programa de computador. Nele, foram utilizados hekzágonoshexágonos e triângulos regulares, todos esses polígonos com lados medindo 12 cm. Qual é a área total aproximada dêêssedesse ladrilhamento? Considere $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ ≃ 1,7.

7.344 cm²

51. Uma indústria produz bolas de futebólfutebol cuja superfícíesuperfície é composta de peças de couro com formatos de pentágonos regulares e hekzágonoshexágonos regulares, todos com 5 cm de lado. As laterais dessas peças são unidas conforme a figura a seguir.

a) Qual é a área, em centímetro quadrado, de cada peça de couro dessas? Considere sen 54° ≃ 0,81, cos 54° ≃ 0,59 e tg 54° ≃ 1,38.

peça com formato de pentágono regular: aproximadamente 43,125 cm²; peça com formato de hekzágonohexágono regular: 37,5$\sqrt[]{3}$ cm² ou, aproximadamente, 65 cm²

b) Para costurar cada lateral de uma peça de couro em uma lateral de outra peça, utilizam-se 7,2 cm de linha. Quantos metros de linha são necessários para costurar toda a superfícíesuperfície de uma bola dessas?

6,48 m

52. Analise os gráficos a seguir. Nestes planos cartesianos, os eixos têm escalas diferentes.

I)

II)

III)

IV)

a) Quais gráficos representam as funções f e g quêque expressam, respectivamente, a variação do perímetro e da área de um mesmo triângulo equilátero de acôr-doacordo com a medida x do lado?

f: gráfico IV; g: gráfico I

b) escrêevaEscreva a lei de formação das funções f e g, descritas no item anterior. Depois, classifique-as em: função modular, função afim, função quadrática, função exponencial ou função logarítmica.

f(x) = 3x; g(x) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{4}\end{array}$x²; f: função afim; g: função quadrática

53. Junte-se a um colega, e representem um quadrado cuja medida do lado seja expressa por x. Depois, resolvam as kestõesquestões a seguir.

a) Escrevam as funções p e a quêque representam, respectivamente, o perímetro e a área dêêssedesse quadrado de acôr-doacordo com a medida do lado x.

p(x) = 4x; a(x) = x²

b) Calculem a imagem dessas funções para alguns valores reais positivos de x e expliquem o quêque esses resultados significam no contexto apresentado.

Resposta pessoal.

c) Utilizando uma malha quadriculada ou um programa de computador, construam os gráficos dessas funções em um plano cartesiano. Em seguida, classifiquem essas funções de acôr-doacordo com suas características.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página duzentos e trinta e seis236

Área do círculo

Leia com atenção a situação descrita a seguir.

A técnica de pivô central de irrigação é uma das mais utilizadas na agricultura. Nela, uma torre central fixa ancora toda uma estrutura móvel quêque, ao girar em torno dessa torre, lança á guaágua por meio de aspersores. A região irrigada tem formato de círculo.

Qual é a área da região irrigada por um sistema dêêssedesse cuja estrutura móvel tem 25 m de comprimento a partir da torre central fixa?

Para resolver essa situação, o quêque será realizado na próxima página, podemos calcular a área A de um círculo por meio da expressão a seguir, em quêque r corresponde à medida do raio dêêssedesse círculo:

A = (pi)"πr²

Observe duas maneiras de deduzir essa expressão.

• 1ª maneira

Consideramos, inicialmente, um círculo de raio r circunscrito a um polígono regular de n lados de apótema a_n e de perímetro p_n. Já estudamos quêque a área A_n dêêssedesse polígono pódepode sêrser expressa por:

A_n = p_n ⋅ $\begin{array}{c}\frac{a_n}{2}\end{array}$

Note quêque a área dêêssedesse polígono regular é menor quêque a área do círculo. Imagine, agora, quêque a quantidade n de lados dêêssedesse polígono regular cresça indefinidamente, mantendo-o inscrito no círculo. Com isso, o apótema a _n tende para a medida do raio da circunferência (a_n → r), o perímetro p_n tende para o comprimento da circunferência (p_n → 2(pi)"πr) e a área A_n

do polígono regular tende para a área A do círculo (A _n → A). Portanto:

A_n = p_n ⋅ $\begin{array}{c}\frac{a_n}{2}\end{array}$ → A = 2(pi)"πr ⋅$\frac{r}{2}$⇒ A = (pi)"πr²

Página duzentos e trinta e sete237

• 2ª maneira

Vamos considerar um círculo de raio r dividido igualmente em n setores circulares, sêndosendo n um número par. Com esses setores circulares podemos compor uma figura cujo formato lembra o de um paralelogramo. Acompanhe.

Imagine quêque a quantidade n de setores aumente indefinidamente, então a área do círculo tende a sêrser a área A de um paralelogramo, de base (pi)"πr e altura r, quêque pódepode sêrser expressa da seguinte maneira:

A = (pi)"πr ⋅ r ⇒ A = (pi)"πr²

Vamos retornar à situação apresentada no início da página anterior e determinar a área da região irrigada. Para isso, basta calcular a área de um círculo de raio medindo 25 m:

A = (pi)"π ⋅ 25² = 625(pi)"π ≃ 625 ⋅ 3,14 = 1.962,5

Portanto, a região irrigada tem área igual a 625(pi)"π m² ou, aproximadamente, 1.962,5 m².

ATIVIDADE RESOLVIDA

R10. Determine a área do setor circular destacado em amarelo no círculo representado, cujo raio médemede 2 cm.

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos elaborar um algoritmo, quêque consiste em etapas com instruções descritas e ordenadas. Acompanhe.

1ª) Determinamos a medida do ângulo central (alfa)"α correspondente ao setor circular em amarelo.

(alfa)"α = 360° − 150° = 210°

2ª) Calculamos a área total A do círculo.

A = (pi)"π ⋅ 2² = 4(pi)"π, ou seja, 4(pi)"π cm².

3ª) De acôr-doacordo com a proporcionalidade entre a medida do ângulo central e a área do setor circular correspondente, determinamos a medida x da área do setor circular em amarelo.

$\frac{360}{210}=\frac{4\pi }{x}$⇒ 360x = 840(pi)"π ⇒ x = $\frac{7}{3}$(pi)"π ≃ $\frac{7}{3}$ ⋅ 3,14 ≃ 7,33

Portanto, o setor circular em amarelo tem área igual a $\frac{7}{3}$ (pi)"π cm² ou, aproximadamente, 7,33 cm².

Página duzentos e trinta e oito238

ATIVIDADES

DICA

Nas atividades desta página, utilize 3,14 como aproximação de (pi)"π.

54. Calcule a área de um círculo cujo:

a) raio médemede 10 cm.

314 cm²

b) raio médemede 3,5 m.

38,465 m²

c) diâmetro médemede 12 dm.

113,04 dm²

d) perímetro é 56,52 cm.

254,34 cm²

55. Calcule a área aproximada do setor circular destacado em azul.

8,55 cm²

56. Em um jardim retangular, com 7,85 m de largura e 20 m de comprimento, estão instalados dois aspersores. Cada aspersor dêêssesdesses irriga uma região circular de raio r dêêssedesse jardim, de modo quêque nenhuma parte do jardim é molhada por ambos os aspersores.

Sabendo quêque 64% da área dêêssedesse jardim não é irrigada por esses aspersores, determine a medida aproximada de r.

3 m

57. Inaugurado em 1996, o Museu de ár-teArte Contemporânea de Niterói (MAC) é um dos mais importantes monumentos da arquitetura do estado do Rio de Janeiro. Idealizado por ÓscarOscar NiemáiêrNiemeyer (1907-2012) com cerca de 16 m de altura, o prédio possui, na parte superior, uma superfícíesuperfície circular com aproximadamente 2 mil metros quadrados.

O diâmetro da superfícíesuperfície circular correspondente à parte superior do prédio do MAC médemede aproximadamente:

a) 12,5 m.

b) 25 m.

c) 50 m.

d) 75 m.

e) 100 m.

alternativa c

58. A figura a seguir é formada por duas circunferências de mesmo centro O e raios de 8 cm e 5 cm.

DICA

A região destacada em roxo é denominada coroa circular, e corresponde à região delimitada entre duas circunferências concêntricas, ou seja, de mesmo centro.

a) escrêevaEscreva um algoritmo quêque permita determinar a área da coroa circular em roxo e determine seu valor.

Resposta esperada: O cálculo da área é feito por etapas:

1ª) Calcular a área A₁ da circunferência de raio 8 cm: A₁ = (pi)"π ⋅ 8² = 64(pi)"π.

2ª) Calcular a área A₂ da circunferência de raio 5 cm: A₂ = (pi)"π ⋅ 5² = 25(pi)"π.

3ª) Calcular A₁ − A₂, quêque corresponde à área da coroa circular:

A = A₁ − A₂ = 64(pi)"π − 25(pi)"π = 39(pi)"π.

Portanto, a área da coroa circular é 39(pi)"π cm² ou, aproximadamente, 122,46 cm² (39 ⋅ 3,14 = 122,46).

b) Agora, considere duas circunferências concêntricas de raios R e r, com R > r. Com base no algoritmo quêque você escreveu no item a, deduza uma expressão quêque permita calcular a área A da coroa circular delimitada por essas circunferências.

A = (pi)"π(R² − r²)

59. Calcule a área aproximada de uma coroa circular determinada por duas circunferências concêntricas:

a) de raios 13 cm e 10 cm.

216,66 cm²

b) de diâmetros 9 cm e 4 cm.

51,025 cm²

60. (Enem/MEC) Uma administração municipal encomendou a pintura de dez placas de sinalização para colocar em seu pátio de estacionamento.

O profissional contratado para o serviço inicial pintará o fundo de dez placas e cobrará um valor de acôr-doacordo com a área total dessas placas. O formato de cada placa é um círculo de diâmetro d = 40 cm, quêque tangencia lados de um retângulo, sêndosendo quêque o comprimento total da placa é h = 60 cm, conforme ilustrado na figura. Use 3,14 como aproximação para (pi)"π.

Qual é a soma das medidas das áreas, em centímetros quadrados, das dez placas?

a) 16.628

b) 22.280

c) 28.560

d) 41.120

e) 66.240

alternativa b

Página duzentos e trinta e nove239

INTEGRANDO COM...
CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS APLICADAS
A cubagem da térraterra

O sêrser humano, desde as civilizações mais antigas, desenvolvê-udesenvolveu métodos e instrumentos próprios para realizar medições de terrenos. No Egito antigo, por exemplo, o faraó contratava trabalhadores, denominados agrimensores, para realizar medições a fim de restabelecer as fronteiras físicas das propriedades localizadas às margens do Nilo, quêque costumam sêrser desfeitas nas cheias dêêssedesse rio. Esse método, quêque hoje pódepode sêrser considerado rudimentar, na época era suficiente para descrever, delimitar e avaliar as propriedades.

Os avanços tecnológicos colaboraram para o desenvolvimento das técnicas quêque agilizam e tornam mais precisas as medições de áreas como aquelas quêque envolvem o uso de topologia, cartografia, geodésia e GPS.

No entanto, ainda hoje, existem situações nas quais esses métodos mais recentes de agrimensura não são utilizados. Por exemplo, em propriedades de agricultura familiar, onde métodos como esses podem não estar disponíveis, são utilizadas estratégias próprias, muitas vezes preservadas da cultura local, para estimar a extensão de térraterra quêque será cultivada e planejar a aplicação de fertilizantes.

Uma dessas estratégias é o método de cubagem da térraterra, quêque possibilita a medição aproximada de áreas de terrenos com diferentes formatos de quadriláteros, e possuem variações nas diversas regiões do país. Acompanhe um exemplo dêêssedesse processo.

1ª) Realiza-se a medição dos lados do terreno.

2ª) Calcula-se a média aritmética das medidas dos pares de lados opostos dêêssedesse quadrilátero.

• Média entre AB e cê dêCD: $\begin{array}{c}\frac{62+76}{2}=\frac{138}{2}\end{array}=69$

• Média entre AD e BC: $\begin{array}{c}\frac{57+45}{2}=\frac{102}{2}\end{array}=51$

Página duzentos e quarenta240

3ª) Associam-se os resultados obtidos anteriormente a lados de um retângulo. Ao calcular a área dêêssedesse retângulo, determina-se uma aproximação para a área do terreno.

• Área aproximada do terreno: 69 ⋅ 51 = 3.519; ou seja, 3.519 m².

PENSANDO NO ASSUNTO

1. Atualmente, diferentes profissionais realizam a medição de terrenos em suas atividades, como o engenheiro civil na realização de um projeto de construção. Pesquise outros profissionais cujas atividades envolvem medições de terrenos.

Algumas respostas possíveis: Engenheiro agrimensor, pedreiro, geólogo.

2. Considere um terreno com formato de quadrilátero qualquer e cujas medidas dos lados opostos são indicadas por a e c e por b e d.

a) escrêevaEscreva uma expressão para representar o perímetro p dêêssedesse terreno.

p = a + b + c + d

b) De acôr-doacordo com o método da cubagem da térraterra apresentado, escrêevaescreva uma expressão s para representar a área estimada dêêssedesse terreno.

$$s=\begin{array}{c}\frac{\mathrm{ab}+\mathrm{ad}+\mathrm{bc}+\mathrm{cd}}{4}\end{array}$$

3. Em um terreno com formato de quadrilátero convexo com lados medindo 180 m, 225 m, 95 m e 120 m, um agricultor pretende plantar 12 sementes de certa leguminosa por métrometro quadrado. Utilizando a expressão quêque você escreveu no item b da atividade anterior, estime quantas sementes dessa leguminosa devem sêrser plantadas nesse terreno.

284.625 sementes

4. Estudamos quêque os métodos utilizados para o cálculo aproximado da área de terrenos podem variar de acôr-doacordo com a região do país. Junte-se a um colega, e façam o quêque se pede em cada item.

a) Investiguem se na região em quêque vocês moram é utilizado algum dêêssesdesses métodos e, em caso afirmativo, expliquem como ele é realizado na prática. Vocês podem pesquisar em livros, sáitessites ou conversar com pessoas da comunidade.

Resposta pessoal.

b) Escolham um terreno com formato irregular no município em quêque vocês moram para estimar a área dele. Para isso, vocês podem realizar as etapas a seguir.

Respostas pessoais.

1ª) Com o auxílio de mapas digitais, disponíveis em aparelhos GPS, sáitessites e aplicativos, realizem medições nesse terreno a fim de determinar as medidas necessárias para estimar a área dele pelo método quêque vocês pesquisaram no item a.

2ª) Estimem a área dêêssedesse terreno por meio do método pesquisado no item a. É importante ficarem atentos ao uso adequado das unidades de medida de área.

3ª) Elaborem uma apresentação do trabalho desenvolvido. Vocês podem optar por relatório escrito, vídeo ou podcast para divulgar o método utilizado e os resultados obtidos na estimativa da área dêêssedesse terreno.

Página duzentos e quarenta e um241

Outras estratégias para o cálculo de área de superfícies

Nesta Unidade, estudamos expressões para obtêrobter a área de alguns polígonos e de círculos. No entanto, há situações em quêque a área a sêrser determinada não corresponde a círculos e não pódepode sêrser decomposta perfeitamente em polígonos. Nesses casos, podemos utilizar algumas estratégias para obtêrobter aproximações dessas áreas. Para exemplificar isso, acompanhe a situação a seguir.

Em uma propriedade rural são cultivados alimentos orgânicos. Para determinar a quantidade de adúboadubo necessária a sêrser aplicada em certa região dessa propriedade, é preciso calcular sua área aproximada. Observe na figura, em certa escala, uma representação dessa região.

Para resolver essa situação, é possível representar essa região sobre uma malha quadriculada cuja medida do lado de cada quadradinho seja de 1 cm e, então, realizar as seguintes etapas.

1ª) Determinar a quantidade de quadradinhos inteiros quêque ocupam o interior dessa região.

• Nesse caso, há 50 quadradinhos.

DICA

De acôr-doacordo com a escala apresentada, cada 1 cm da malha corresponde a 20 m dessa região. Assim, cada quadradinho da malha representa uma área de 400 m², pois 20² = 400.

2ª) Determinar a quantidade mínima necessária de quadradinhos para cobrir completamente a região.

• Nesse caso, há 88 quadradinhos.

Página duzentos e quarenta e dois242

3ª) A partir das etapas anteriores, podemos concluir quêque a área da região representada é:

• maior quêque 20.000 m², pois 50 ⋅ 400 = 20.000;

• menor quêque 35.200 m², pois 88 ⋅ 400 = 35.200.

Para determinar uma medida aproximada para a área dessa região, é razoável calcular a média aritmética entre 20.000 m² e 35.200 m².

$$\begin{array}{c}\frac{20000+35200}{2}\end{array}=27.600$$

Portanto, a área da região em quêque o adúboadubo deve sêrser aplicado é de, aproximadamente, 27.600 m².

ATIVIDADE RESOLVIDA

R11. O matemático tcheco Georg Alexander Pick (1859-1942) publicou, em 1899, uma fórmula para calcular a área de um polígono cujos vértices são pontos de uma rê-derede no plano.

A fórmula publicada por Pick é dada por A = 0,5 ⋅ B + I − 1, em quêque B é a quantidade de pontos situados na bórdaborda do polígono e I é a quantidade de pontos situados na região interior do polígono.

Utilizando a fórmula de Pick, podemos estimar a área de uma figura com formato irregular; para isso, construímos uma rê-derede de pontos sobre a figura. Em seguida, com vértices nessa rê-derede, construímos um polígono cujos formato e tamãnhotamanho sêjamsejam aproximados aos da figura irregular, conforme exemplo a seguir.

Com base nessa imagem, calcule a área aproximada da figura vêrdeverde utilizando a fórmula de Pick.

Resolução

Contando os pontos na bórdaborda e no interior do polígono representado obtemos, respetivamente, B = 19 e I = 17. Substituindo esses valores na fórmula de Pick, temos:

A = 0,5 ⋅ 19 + 17 − 1 = 25,5

Portanto, a área da figura vêrdeverde é aproximadamente 25,5 cm².

Página duzentos e quarenta e três243

ATIVIDADES

61. Em cada item a seguir, calcule a área aproximada da figura azul. Depois, dêz-crevadescreva a estratégia utilizada em cada caso.

a)

Uma resposta possível: Utilizando como estratégia o método de contar a quantidade de quadradinhos internos à figura e a quantidade necessária para cobri-la e, em seguida, calcular a média aritmética dos resultados obtidos, pode-se obtêrobter a área aproximada de 9,875 cm².

b)

Uma resposta possível: Utilizando como estratégia a construção de um polígono com formato e tamãnhotamanho próximos aos da figura e, em seguida, calcular a área utilizando a fórmula de Pick, pode-se obtêrobter a área aproximada de 107,5 m².

62. Você já visitou um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM)? Em laboratórios como esses estão disponíveis diversos materiais quêque podem sêrser utilizados no estudo de conceitos matemáticos. Um deles é o planímetro, quêque permite calcular a área de figuras irregulares.

Um estudante calculou a área aproximada da figura representada a seguir utilizando uma malha quadriculada.

Depois, com um planímetro, determinou quêque a área dessa figura corresponde a 85,8 dm².

• Qual é a diferença, em decimetro quadrado, entre a área da figura ôbitídaobtida por esse estudante com o planímetro e a calculada com a estratégia da malha quadriculada, apresentada anteriormente?

2,7 dm²

63. Uma aplicação da fórmula de Pick é o cálculo da área aproximada de regiões em um mapa geográfico. Analise o mapa a seguir representando o estado de Roraima, construído sôbisob uma rê-derede de pontos, e o contôrnocontorno do polígono traçado com vértices nessa rê-derede.

a) De acôr-doacordo com a escala dêêssedesse mapa, cada quadrado obtídoobtido a partir dos 4 pontos mais próximos corresponde a quêque área do estado de Roraima?

14.400 km²

b) Utilizando a fórmula de Pick, e com base no mapa, calcule a área aproximada do estado de Roraima.

252.000 km²

c) De acôr-doacordo com o hí bê gê héIBGE, a área do estado de Roraima é de, aproximadamente, 224.274 km². Compare esse valor com aquele quêque você obteve no item anterior. Em sua opinião, você obteve uma boa aproximação? Justifique.

Resposta pessoal.

Página duzentos e quarenta e quatro244

64. Utilizando uma imagem de satélite e o GeoGebra, um agricultor pretende calcular a área aproximada de uma reserva legal em sua propriedade. Acompanhe o quêque ele fez após importar a imagem de satélite para o GeoGebra.

a) Estime a área aproximada da reserva legal nessa propriedade, sabendo quêque cada 1 cm no GeoGebra representa 100 m na realidade.

268.750 m²

b) Essa reserva legal corresponde a 20% da área total dessa propriedade. Qual é a área, em métrometro quadrado, da parte dessa propriedade quêque não corresponde à reserva legal?

1.075.000 m²

c) A área do imóvel rural, destinada à reserva legal, varia de acôr-doacordo com o bioma em quêque a propriedade está localizada. Essa medida está prevista na Lei númeronº 12.651, quêque estabelece normas gerais sobre a proteção da vegetação. Pesquise informações sobre essa lei para redigir um texto argumentativo, apresentando fatos para defesa de seu ponto de vista a respeito do seguinte tema: Enquanto ambientalistas defendem a preservação das áreas nativas, parte do setor produtivo alega quêque se trata de intromissão indevida do Estado sobre a propriedade privada, o quêque pódepode colocar em risco a produção agrícola.