UNIDADE 2
MATRIZES, SISTEMAS LINEARES E TRANSFORMAÇÕES DE FIGURAS

Fonte dos dados: OSTROSKI, Alvaro; MENONCINI, LúciaLucia. Teoria dos grafos e aplicações. Synergismus scyentifica UTFPR, Pato Branco, v. 4, n. 2, p. 1-6, 2009. trabalho apresentado no XIII Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional, 2009, Pato Branco. Disponível em: https://livro.pw/tbjdw. Acesso em: 6 ago. 2024.

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

1. Que estudioso construiu um esquema considerado o primeiro grafo da história? Com quêque objetivo ele fez essa construção?

2. Em um grafo, os pontos são chamados de vértices e as linhas, de arestas. Quantos vértices e quantas arestas tem o grafo representado nesta página?

3. Além do grafo apresentado, de quêque outra maneira você representaria as relações de amizade entre Ana, BétoBeto, Carla e Davi na rê-derede social do exemplo descrito?

Respostas nas Orientações para o professor.

Página cinquenta50

Matrizes

Na abertura desta Unidade, a relação do grupo de pessoas em uma rê-derede social foi representada por meio de um grafo. Outra maneira de representar essa situação é por meio de uma tabélatabela: usamos o número 1 para indicar quando há relação entre duas pessoas e o número 0 para indicar quando não há relação (considerando quêque uma pessoa não se relaciona com ela mesma). Como os dados numéricos da tabélatabela estão organizados em linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais), podemos denominá-la matriz e representá-la da maneira a seguir.

PARA PENSAR

Nesta matriz, qual elemento está localizado na segunda linha e na terceira coluna? O quêque ele indica nesse contexto?

Elemento 1. Indica quêque BétoBeto e Carla se relacionam por meio da rê-derede social.

Essa matriz tem quatro linhas e quatro colunas, portanto dizemos quêque ela é uma matriz de ordem 4 × 4 (lê-se: quatro por quatro). Há uma convenção: primeiro, indicamos o número de linhas da matriz, depois, o número de colunas. O elemento da matriz localizado, por exemplo, na quarta linha e na segunda coluna indica quêque Davi e BétoBeto não se relacionam por meio da rê-derede social.

Agora, analise os dados a seguir.

Brasileiros de 10 ou mais anos quêque utilizaram a internet no período de referência (em mil pessoas)

pôdêmosPodemos representar esses dados pela matriz a seguir.

$$\left[\begin{array}{cc}68.907& 74.929\\ 74.640& 81.067\\ 77.613& 84.013\end{array}\right]$$

Nessa matriz, as linhas indicam a quantidade de brasileiros com 10 anos ou mais quêque utilizaram a internet em 2019, 2021 e 2022; as colunas indicam a categoria dos usuários: homens e mulheres. A primeira linha, por exemplo, indica a quantidade de usuários homens e mulheres em 2019 e a segunda coluna, a quantidade de usuárias mulheres em cada ano apresentado. O elemento da matriz localizado na segunda linha e na primeira coluna, por exemplo, corresponde à quantidade de brasileiros homens quêque utilizaram a internet em 2021.

PARA PENSAR

Essa matriz é de ordem 3 × 2 (lê-se: três por dois). O quêque isso significa?

Resposta esperada: Significa quêque essa matriz tem 3 linhas e 2 colunas.

Página cinquenta e um51

MATEMÁTICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 243-244, 552.

Exemplos:

a) Matriz de ordem 2 × 6.

A = $\left[\begin{array}{cccccc}2& 0& 5& 9& -8& 1\\ 3& 14& -3& 7& -1& 4\end{array}\right]$

b) Matriz de ordem 3 × 3.

B = $\left[\begin{array}{ccc}20& 36& 7\\ -9& 50& 0\\ 15& 8& -1\end{array}\right]$

c) Matriz de ordem 4 × 3.

C = $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -5\\ 0& 4& 1\\ 2& 0& 1\\ -1& 6& 2\end{array}\right]$

d) Matriz de ordem 1 × 5.

D = $\left[\begin{array}{ccccc}0& 2& \mathrm{\pi }& 1& -2\end{array}\right]$

PARA PENSAR

Qual é o elemento c₄₁na matriz C = (c_ij)_{4 × 3}?

−1

Nos exemplos apresentados, B é uma matriz quadrada e pódepode sêrser indicada por B₃. Os elemêntoselementos b₁₁ = 20, b₂₂ = 50 e b₃₃ = −1 compõem a diagonal principal da matriz B.

Página cinquenta e dois52

Igualdade de matrizes

Exemplos:

a) A = $\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ -1& 4\\ 6& 7\end{array}\right]$ e B = $\left[\begin{array}{cc}2\cdot 4& 10-5\\ 7-8& 12:3\\ 1+5& 1\cdot 7\end{array}\right]$

As matrizes A e B têm a mesma ordem e os elemêntoselementos correspondentes são iguais. Portanto, A = B.

b) C = $\left[\begin{array}{cccc}10& -3& 9& 15\end{array}\right]$ e D = $\left[\begin{array}{c}10\\ -3\\ 9\\ 15\end{array}\right]$

As matrizes C e D não têm a mesma ordem. Portanto, C ≠ D.

c) E = $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -4& 3\end{array}\right]$ e F = $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right]$

As matrizes E e F têm a mesma ordem, mas e₂₁ ≠ f₂₁. Portanto, E ≠ F.

PARA PENSAR

Qual é a ordem das matrizes A, B, C, D, E e F?

A: 3 × 2; B: 3 × 2; C: 1 × 4; D: 4 × 1; E: 2 × 2; F: 2 × 2

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Seis amigos decidiram compor uma chapa para participar da eleição do Grêmio Estudantil. Para escolher qual deles seria o presidente da chapa, realizaram uma votação: cada amigo recebeu um número de 1 a 6 e pódepode votar em até dois deles. Os votos foram organizados na matriz V = (v_ij)₆ representada a seguir, em quêque cada elemento v_ij foi indicado conforme apresentado.

• número 1, quando i votou em j;

• número 0, quando i não votou em j.

V = $\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Com base nessas informações, qual dos amigos foi escolhido para presidente da chapa?

Resolução

A quantidade total de votos quêque cada amigo recebeu corresponde à soma dos votos em cada coluna:

• amigo 1: 1 + 1 = 2, ou seja, dois votos;

• amigo 2: 1 voto;

• amigo 3: 1 + 1 + 1 + 1 = 4, ou seja, quatro votos;

• amigo 4: 0 voto;

• amigo 5: 0 voto;

• amigo 6: 1 + 1 + 1 = 3, ou seja, três votos.

Portanto, o amigo 3 foi o escolhido para presidente da chapa.

PARA PENSAR

Quais amigos votaram em si mesmos nessa eleição? Explique como você rêzouvêoresolveu essa questão.

Resposta esperada: Amigo 2 e amigo 3, pois é apenas na segunda e na terceira linhas quêque os elemêntoselementos em quêque i = j dessa matriz são iguais a 1.

Página cinquenta e três53

R2. Em cada item, escrêevaescreva a matriz conforme a lei de formação de seus elemêntoselementos.

a) A = (a_ij)_{2 × 4}, tal quêque a_ij = 2i + j

b) B = (b_ij)_{3 × 3}, tal quêque bij = $\{\begin{array}{c}i+j^2,\mathrm{se\; i}\ge j\\ j-3i,\mathrm{se\; i}<j\end{array}$

Resolução

a) A ordem da matriz A é 2 × 4, então podemos representá-la da seguinte maneira:

A = $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{array}\right]$

Vamos determinar os elemêntoselementos da matriz A de acôr-doacordo com a lei de formação:

• a₁₁ = 2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3

• a₁₂ = 2 ⋅ 1 + 2 = 2 + 2 = 4

• a₁₃ = 2 ⋅ 1 + 3 = 2 + 3 = 5

• a₁₄ = 2 ⋅ 1 + 4 = 2 + 4 = 6

• a₂₁ = 2 ⋅ 2 + 1 = 4 + 1 = 5

• a₂₂ = 2 ⋅ 2 + 2 = 4 + 2 = 6

• a₂₃ = 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7

• a₂₄ = 2 ⋅ 2 + 4 = 4 + 4 = 8

Portanto, A = $\left[\begin{array}{cccc}3& 4& 5& 6\\ 5& 6& 7& 8\end{array}\right]$.

b) A ordem da matriz B é 3 × 3, então podemos representá-la da seguinte maneira:

B = $\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$

Utilizando as duas expressões quêque definem os elemêntoselementos da matriz B, temos:

I) se i ≥ j:

• b₁₁ = 1 + 1² = 1 + 1 = 2

• b₂₁ = 2 + 1² = 2 + 1 = 3

• b₂₂ = 2 + 2² = 2 + 4 = 6

• b₃₁ = 3 + 1² = 3 + 1 = 4

• b₃₂ = 3 + 2² = 3 + 4 = 7

• b₃₃ = 3 + 3² = 3 + 9 = 12

II) se i < j:

• b₁₂ = 2 − 3 ⋅ 1 = 2 − 3 = −1

• b₁₃ = 3 − 3 ⋅ 1 = 3 − 3 = 0

• b₂₃ = 3 − 3 ⋅ 2 = 3 − 6 = −3

Portanto, B = $\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 6& -3\\ 4& 7& 12\end{array}\right]$.

ATIVIDADES

1. pôdêmosPodemos definir um grafo dos estados da Região Norte do Brasil de maneira quêque cada vértice representa um estado e dois estados são adjacentes (têm ligação por aresta) quando têm uma fronteira comum entre si. Observe.

Respostas nas Orientações para o professor.

a) Faça um desenho quêque represente esse grafo.

b) Com base no item anterior, construa uma tabélatabela, indicando 1 para os estados quêque fizerem divisa, e 0 para os quêque não fizerem. Depois, escrêevaescreva uma matriz F correspondente a essa tabélatabela.

2. Em cada item a seguir, escrêevaescreva a matriz conforme a lei de formação de seus elemêntoselementos.

Respostas nas Orientações para o professor.

a) A = (a_ij)_{1 × 5}, tal quêque a_ij = (i − 2)^j

b) B = (b_ij)_{2 × 2}, tal quêque b_ij =$\{\begin{array}{c}\frac{4i-j}{3},\mathrm{se\; i}⩽j\\ i+j,\mathrm{se\; i}>j\end{array}$

c) C = (c_ij)_{4 × 3}, tal quêque c_ij = 3^{i − j}

d) D = (d_ij)_{5 × 5}, tal quêque d_ij = $\{\begin{array}{c}\sqrt[]{5},\mathrm{se\; i}=j\\ i^3-j^2,\mathrm{se\; i}\ne j\end{array}$

Página cinquenta e quatro54

3. Analise a tabélatabela a seguir e resôuvaresolva as kestõesquestões.

Casos prováveis de dengue na Região Centro-Oeste do Brasil até a Semana Epidemiológica 52, 2022-2023

a) Represente essa tabélatabela por uma matriz. Qual é a ordem dessa matriz?

$\left[\begin{array}{cc}26.603& 46.524\\ 35.453& 28.424\\ 210.460& 69.719\\ 70.116& 38.587\end{array}\right]$; matriz 4 × 2

b) O quêque indicam os elemêntoselementos da primeira coluna dessa matriz? E da segunda linha?

c) O quêque representa o elemento da quarta linha e segunda coluna dessa matriz?

d) Observando essa matriz, como é possível identificar se determinada Unidade da Federação da Região Centro-Oeste teve redução na quantidade provável de casos de dengue em 2023 em relação ao mesmo período de 2022?

Respostas dos itens b, c e d nas Orientações para o professor.

4. Em uma pequena indústria são fabricados quatro modelos de embalagens de papelão: 1, 2, 3 e 4. Na matriz X = (x_ij)_{4 × 3} a seguir, o elemento x_ij representa a quantidade, em quilograma, de embalagens vendidas do modelo i para o cliente j no mês de abril.

X = $\left[\begin{array}{ccc}450& 270& 225\\ 400& 750& 500\\ 216& 336& 480\\ 240& 480& 384\end{array}\right]$

a) O quêque indicam as linhas dessa matriz? E as colunas?

Resposta esperada: As linhas indicam a quantidade, em quilograma, de embalagens vendidas de cada modelo no mês de abril. As colunas indicam a quantidade, em quilograma, de embalagens compradas por cliente no mês de abril.

b) Qual elemento dessa matriz indica quantos quilogramas de embalagens do modelo 3 foram vendidos para o cliente 2 em abril?

x₃₂ = 336

c) Em abril, qual cliente comprou menos quilogramas de embalagens do modelo 2?

cliente 1

d) Qual dêêssesdesses clientes comprou mais quilogramas de embalagens no mês de abril? Quantos quilogramas?

cliente 2; 1.836 kg

5. Algumas matrizes recebem nomenclaturas especiais de acôr-doacordo com suas características. Observe, a seguir, informações sobre algumas delas.

Matriz linha

Toda matriz de ordem 1 × n.

Matriz coluna

Toda matriz de ordem m × 1.

Matriz diagonal

Toda matriz quadrada em quêque a_ij = 0 para i ≠ j.

Matriz nula

Toda matriz de ordem m × n em quêque a_ij = 0 para quaisquer quêque sêjamsejam i e j. Indicamos a matriz nula de ordem m × n por 0_{m × n}.

Matriz identidade

Toda matriz quadrada em quêque a_ij = 1 para i = j e a_ij = 0 para i ≠ j. Indicamos a matriz identidade de ordem n por I_n.

Elabore um exemplo para cada tipo de matriz apresentada. Depois, troque essas matrizes com um colega para quêque ele as classifique de acôr-doacordo com as características apresentadas, enquanto você faz o mesmo com as matrizes quêque receber. Por fim, confiram juntos as respostas.

Elaboração do estudante.

6. Para toda matriz A = (a_ij)_{m × n}, existe uma matriz transposta de A, indicada por A^t, correspondente à matriz A^t = (a_ji)_{n × m}. Considerando

^_A = $\left[\begin{array}{cccc}6& \sqrt[]{14}& -5& 0\\ 1& -\frac{1}{2}& 8& 3\\ 0& 10& -1& 2\end{array}\right]$, resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Com suas palavras, explique o quêque é a transposta de uma matriz A.

Resposta esperada: A transposta de uma matriz A é outra matriz, com os mesmos elemêntoselementos de A, porém, em localizações diferentes: ordenadamente, os elemêntoselementos das linhas da matriz A estão localizados nas colunas da sua transposta.

b) Qual é a ordem da matriz A? E a ordem da matriz A^t?

matriz 3 × 4; matriz 4 × 3

c) escrêevaEscreva A^t indicando seus elemêntoselementos.

d) Mostre quêque, dada uma matriz B = (b_ij)_{m × n} qualquer, temos (B^t)^t = B.

Respostas dos itens c e d nas Orientações para o professor.

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Operações com matrizes

Adição de matrizes

Você sabe o quêque é transplante de órgãos? É um procedimento cirúrgico quêque substitui um órgão (coração, fígado, pâncreas, pulmão, rim etc.) de uma pessoa doente por outro órgão, mais saudável, de um doador vivo ou morto.

PARA AMPLIAR

Analise a seguir algumas informações sobre transplante de órgãos no Brasil.

tabélaTabela 1

Quantidade de transplantes de coração realizados no Brasil, 2021-202

tabélaTabela 2

Quantidade de transplantes de fígado realizados no Brasil, 2021-2022

Para calcular o total de transplantes de coração ou de fígado realizados em cada região do Brasil, nos anos de 2021 e 2022, podemos usar matrizes. Inicialmente, vamos representar cada tabélatabela por meio de uma matriz e, depois, adicionar essas matrizes, ou seja, adicionar os dados das tabélastabelas.

Matriz ôbitídaobtida da tabélatabela 1:

A = $\left[\begin{array}{ccccc}26& 0& 53& 26& 229\\ 32& 0& 55& 44& 232\end{array}\right]$

Matriz ôbitídaobtida da tabélatabela 2:

B = $\left[\begin{array}{ccccc}112& 0& 351& 501& 1.094\\ 115& 4& 358& 578& 1.107\end{array}\right]$

Página cinquenta e seis56

Para calcular A + B, adicionamos os elemêntoselementos correspondentes das matrizes A e B:

A + B = $\left[\begin{array}{ccccc}26+112& 0+0& 53+351& 26+501& 229+1.094\\ 32+115& 0+4& 55+358& 44+578& 232+1.107\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccccc}138& 0& 404& 527& 1.323\\ 147& 4& 413& 622& 1.339\end{array}\right]$

PARA PENSAR

Em relação à matriz A + B, qual é o elemento da segunda linha e terceira coluna? O quêque ele indica?

413. Ele indica o total de transplantes de coração e de fígado realizados na Região Nordeste em 2022.

Matriz oposta

Para A = $\left[\begin{array}{cc}8& -3\\ -2& 20\end{array}\right]$, temos −A = $\left[\begin{array}{cc}-8& 3\\ 2& -20\end{array}\right]$, pois:

PARA PENSAR

Nas matrizes A e −A, quêque relação há entre os elemêntoselementos correspondentes?

Resposta esperada: Os elemêntoselementos correspondentes são opostos.

Subtração de matrizes

PARA PENSAR

Com suas palavras, explique a um colega como se calcula a adição e a subtração de matrizes.

Resposta pessoal.

Considerando, por exemplo, as matrizes A = $\left[\begin{array}{cc}15& -30\\ -6& 21\\ 24& -11\end{array}\right]$ e B = $\left[\begin{array}{cc}10& 25\\ 0& -8\\ 2& -12\end{array}\right]$, temos:

Página cinquenta e sete57

Multiplicação de uma matriz por um número real

Se A = $\left[\begin{array}{ccc}-3& 0& 2\\ 7& 10& -5\\ 8& -9& 24\end{array}\right]$, então o dôbrodobro da matriz A pódepode sêrser obtídoobtido por:

2A = 2 ⋅ $\left[\begin{array}{ccc}-3& 0& 2\\ 7& 10& -5\\ 8& -9& 24\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}2\cdot \left(-3\right)& 2\cdot 0& 2\cdot 2\\ 2\cdot 7& 2\cdot 10& 2\cdot \left(-5\right)\\ 2\cdot 8& 2\cdot \left(-9\right)& 2\cdot 24\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}-6& 0& 4\\ 14& 20& -10\\ 16& -18& 48\end{array}\right]$

DICA

Note quêque determinar o dôbrodobro de uma matriz A é o mesmo quêque obtêrobter o resultado de A + A.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R3. Dadas as matrizes A = $\left[\begin{array}{cc}12& -7\\ -3& 26\end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{cc}-10& 40\\ 0& 5\end{array}\right]$ e C = $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -8& 18\end{array}\right]$, calcule:

a) A + B − C

b) 3(−A) + C

Resolução

a) Considerando A + B − C = A + B + (−C), temos:

$\left[\begin{array}{cc}12& -7\\ -3& 26\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}-10& 40\\ 0& 5\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -8& 18\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}12+\left(-10\right)+0& -7+40+\left(-1\right)\\ -3+0+8& 26+5+\left(-18\right)\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}2& 32\\ 5& 13\end{array}\right]$

b) 3 $\underset{-A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}12& -7\\ -3& 26\end{array}\right]}}$ + $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -8& 18\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}-36+0& 21+1\\ 9+\left(-8\right)& -78+18\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}-36& 22\\ 1& -60\end{array}\right]$

ATIVIDADES

7. Dada as matrizes A = $\left[\begin{array}{cc}88& -34\\ 46& 0\\ -10& 22\end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{cc}-14& -5\\ 6& 28\\ -19& 15\end{array}\right]$ e C = $\left[\begin{array}{cc}47& 30\\ -42& -3\\ -20& 1\end{array}\right]$, calcule:

a) A − C + B

$\left[\begin{array}{cc}27& -69\\ 94& 31\\ -9& 36\end{array}\right]$

b) A + 3B

$\left[\begin{array}{cc}46& -49\\ 64& 84\\ -67& 67\end{array}\right]$

c) B + C − $\frac{1}{2}$ (−A)

$\left[\begin{array}{cc}77& 8\\ -13& 25\\ -44& 27\end{array}\right]$

d) A^t − 2C^t

$\left[\begin{array}{ccc}-6& 130& 30\\ -94& 6& 20\end{array}\right]$

8. Considerando a matriz identidade I₄ e a matriz A = (a_ij)_{4 × 4}, tal quêque a_ij = 2i − j, determine:

a) I₄ + A

$\left[\begin{array}{cccc}2& 0& -1& -2\\ 3& 3& 1& 0\\ 5& 4& 4& 2\\ 7& 6& 5& 5\end{array}\right]$

b) 3A^t − I₄

$\left[\begin{array}{cccc}2& 9& 15& 21\\ 0& 5& 12& 18\\ -3& 3& 8& 15\\ -6& 0& 6& 11\end{array}\right]$

9. Determine o valor das incógnitas para quêque a igualdade seja válida.

$\left[\begin{array}{cc}4y+1& 5\\ 11& 13\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}-5& 10\\ -3y& 6\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}4& 15x\\ 5& 19\end{array}\right]$

x = 1; y = 2

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10. Considere a matriz M = (a_ij)_{3 × 3}, tal quêque a_ij = i + j se i = j e a_ij = 0 se i ≠ j. Determine a matriz A = M + M.

$\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 8& 0\\ 0& 0& 12\end{array}\right]$

11. Em certa escola, foi realizada uma pesquisa com os estudantes do 1º, 2º e 3º anos do Ensino Médio sobre a área de atuação profissional de maior interêsseinteresse entre eles. Cada estudante poderia indicar apenas uma das áreas descritas a seguir.

I: Administração, negócios e serviços.

II: Ciências sociais, humanas, ár-tearte e disáinidesign.

III: Ciências exatas, informática e engenharia.

IV: Ciências biológicas, da natureza e saúde.

As seguintes matrizes A e B representam, respectivamente, a quantidade de estudantes das turmas A e B, de cada ano escolar, quêque responderam à pesquisa sobre a área de atuação profissional. Nessas matrizes, as linhas indicam, respectivamente, os anos escolares – 1º, 2º e 3º –, e as colunas, as áreas de atuação profissional I, II, III e IV. Note quêque 6 turmas responderam à pesquisa.

A = $\left[\begin{array}{cccc}11& 7& 8& 5\\ 9& 6& 9& 8\\ 14& 5& 10& 6\end{array}\right]$

B = $\left[\begin{array}{cccc}10& 9& 5& 6\\ 8& 10& 12& 3\\ 15& 8& 7& 4\end{array}\right]$

a) Quantos estudantes do 2º ano, da turma B, indicaram interêsseinteresse na área de atuação profissional III?

12 estudantes

b) Quantos estudantes das turmas A indicaram interêsseinteresse na área de atuação profissional IV?

19 estudantes

c) Determine a matriz A + B. O quêque representam os elemêntoselementos dessa matriz?

A + B = $\left[\begin{array}{cccc}21& 16& 13& 11\\ 17& 16& 21& 11\\ 29& 13& 17& 10\end{array}\right]$. A quantidade total de estudantes das turmas A e B, do 1º, 2º e 3º anos do Ensino Médio, interessados em cada área de atuação profissional.

12. Reúnam-se em duplas e analisem as seguintes propriedades da adição de matrizes, considerando A, B e C matrizes de mesma ordem m × n e 0 a matriz nula, também de ordem m × n. Em seguida, mostrem a validade de cada propriedade.

Respostas nas Orientações para o professor.

• Comutativa: A + B = B + A.

• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C).

• Elemento neutro: A + 0 = A.

• Elemento ôpôstooposto: A + (−A) = 0.

13. Leia, a seguir, parte de uma reportagem de 2024.

O Brasil fechou o mês de fevereiro com saldo positivo de 306.111 empregos com carteira assinada, resultado de 2.249.070 admissões e de 1.942.959 desligamentos. O balanço é do Cadastro Geral de Empregados e Desempregados (Novo Caged) [...]

Os cinco grandes setores da economia registraram saldo positivo em fevereiro. Serviços lidera com 193.127 novos postos de trabalho; seguido pela indústria, 54.448 postos; construção, 35.053 postos; comércio: 19.724 postos; e agropecuária quêque fechou o mês com saldo de 3.759 postos de trabalho.

CRAIDE, Sabrina. Brasil registra mais de 306 mil empregos formais em fevereiro. Agência Brasil, Brasília, DF, 27 mar. 2024. Disponível em: https://livro.pw/expmo. Acesso em: 6 ago. 2024.

Agora, analise as informações a seguir.

Admissões de emprego em algumas capitais brasileiras, 1º bimestre de 2024

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério do Trabalho e Emprego. Novo Caged: fevereiro de 2024. Brasília, DF: MTE: PDET, 2024. Disponível em: https://livro.pw/zyzhs. Acesso em: 6 ago. 2024.

Desligamentos de emprego em algumas capitais brasileiras, 1º bimestre de 2024

Com um colega, pesquisem como representar essas duas tabélastabelas por meio de matrizes e calcular a diferença entre elas usando uma planilha eletrônica. Em seguida, elaborem um texto explicando os procedimentos realizados e o quêque representam os elemêntoselementos da matriz correspondente à diferença ôbitídaobtida com base no contexto apresentado.

Pesquisa e elaboração dos estudantes.

Página cinquenta e nove59

Multiplicação de matrizes

A Pegada Hídrica de um produto corresponde à quantidade de á guaágua consumida ou poluída em todas as etapas do processo de sua produção e pódepode sêrser medida em litro por quilograma (L/kg). Agora, acompanhe a seguinte situação.

Um projeto desenvolvido por uma escola busca identificar a Pegada Hídrica das frutas consumidas com maior freqüênciafrequência na merenda em determinado mês. A seguir, são apresentadas informações da Pegada Hídrica de duas frutas e a quantidade em quilograma dessas frutas consumidas em uma escola em cada semana de um mês.

• tabélaTabela 1

Pegada Hídrica da banana e da laranja

• tabélaTabela 2

Consumo de banana e de laranja na escola, em quilograma, em cada semana do mês

Fonte: Dados fictícios.

Qual foi a quantidade de á guaágua utilizada ou poluída na produção dessas frutas consumidas em cada semana do mês nessa escola?

Para calcular essa quantidade de á guaágua, podemos considerar a Pegada Hídrica de cada fruta e a quantidade de cada fruta consumida por semana:

• semana I: 790 ⋅ 10 + 560 ⋅ 15 = 16.300, ou seja, 16.300 L;

• semana II: 790 ⋅ 15 + 560 ⋅ 20 = 23.050, ou seja, 23.050 L;

• semana III: 790 ⋅ 20 + 560 ⋅ 30 = 32.600, ou seja, 32.600 L;

• semana IV: 790 ⋅ 15 + 560 ⋅ 10 = 17.450, ou seja, 17.450 L.

Agora, obissérveobserve como podemos utilizar a multiplicação de matrizes para representar essa resolução. Representamos as tabélastabelas 1 e 2 por meio das matrizes A e B, respectivamente. Os resultados obtidos anteriormente podem sêrser registrados em uma matriz C, correspondente ao produto da matriz A pela matriz B, nessa ordem.

PARA PENSAR

O quêque os elemêntoselementos da matriz C indicam?

Resposta esperada: Indicam a quantidade de á guaágua total utilizada ou poluída na produção das frutas banana e laranja quêque foram consumidas na escola em cada semana do mês.

Página sessenta60

As condições de existência do produto de duas matrizes A e B e a quantidade de linhas e de colunas da matriz produto C, caso exista, podem sêrser representadas pelo fluxograma a seguir.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R4. Considere as matrizes A = (a_ij)_{2 × n}, tal quêque a_ij = i + j, e B = (b_ij)_{3 × 2}, tal quêque b_ij = j − i.

a) Qual deve sêrser o valor de n para quêque exista o produto AB?

b) Usando o valor de n determinado no item anterior, escrêevaescreva a ordem da matriz C = A ⋅ B. Em seguida, determine a matriz C.

Resolução

a) Para quêque exista o produto AB, a quantidade de colunas de A deve sêrser igual à de linhas de B. Logo, n = 3.

b) A matriz C deve ter a mesma quantidade de linhas de A e a de colunas de B. Logo, C_{2 × 2}.

Para determinar a matriz C, inicialmente obtemos as matrizes A e B com base nos valores de i e j na lei de formação correspondente e calculamos C = A ⋅ B:

C =$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\end{array}\right]$ ⋅ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\\ -2& -1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}2\cdot 0+3\cdot \left(-1\right)+4\cdot \left(-2\right)& 2\cdot 1+3\cdot 0+4\cdot \left(-1\right)\\ 3\cdot 0+4\cdot \left(-1\right)+5\cdot \left(-2\right)& 3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot \left(-1\right)\end{array}\right]$ ⇒ C = $\left[\begin{array}{cc}-11& -2\\ -14& -2\end{array}\right]$

R5. Dadas as matrizes A = $\left[\begin{array}{cc}-4& 12\\ 2& 1\end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{c}16\\ 13\end{array}\right]$ e X = $\left[\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right]$, resôuvaresolva a equação matricial A ⋅ X = B.

Resolução

Escrevendo essa equação matricial, temos:

A ⋅ X = B ⇒ $\left[\begin{array}{cc}-4& 12\\ 2& 1\end{array}\right]$ ⋅ $\left[\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}16\\ 13\end{array}\right]$ ⇒ $\left[\begin{array}{c}-4y+12z\\ 2y+z\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}16\\ 13\end{array}\right]$

Considerando a igualdade de matrizes, podemos escrever o seguinte sistema linear de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, quêque pódepode sêrser resolvido pelo método da adição:

$\{\begin{array}{cc}-4y\mathrm{}+\mathrm{}12z& =\mathrm{}16\\ 2y\mathrm{}+\mathrm{}z& =\mathrm{}13\end{array}$ ⋅ 2 ⇒

Substituindo z = 3 na primeira equação dêêssedesse sistema, temos:

−4y + 12 ⋅ 3 = 16 ⇒ −4y = −20 ⇒ y = 5

Portanto, X = $\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$.

DICA

A resolução de sistema linear de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, quêque você estudou em anos anteriores, será retomada e ampliada mais adiante nesta Unidade.

Página sessenta e um61

ATIVIDADES

14. Dadas as matrizes

A = $\left[\begin{array}{ccc}3& -3& 0\\ 2& -2& 9\\ 5& 4& 1\end{array}\right]$, B = $\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 8\\ -4& 0\end{array}\right]$, C = $\left[\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\\ -10\end{array}\right]$ e D = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\sqrt[]{3}& 7& 0\end{array}\right]\end{array}$, calcule:

a) A ⋅ B

b) B ⋅ C

c) C ⋅ D

d) D ⋅ A

e) D ⋅ B

f) A^t ⋅ B

Respostas nas Orientações para o professor.

15. É possível determinar o produto B ⋅ D considerando as matrizes da atividade anterior? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: A ordem de B é 3 × 2 e a ordem de D é 1 × 3. Como a quantidade de colunas de B e a de linhas de D são diferentes, não existe o produto B ⋅ D.

16. Considere as matrizes descritas a seguir.

• A = (a_ij)_{p × 1}, tal quêque a_ij = −j − i²

• B = (b_ij)_{q × 4}, tal quêque b_ij = −3i + j

• C = (c_ij)_{r × s}, tal quêque c_ij = 2i − 2j

• D = (d_ij)_{2 × 3}, tal quêque D = A ⋅ B ⋅ C

a) Determine os números reais p, q, r e s.

p = 2; q = 1; r = 4; s = 3

b) escrêevaEscreva a matriz D.

D = $\left[\begin{array}{ccc}-8& -16& -24\\ -20& -40& -60\end{array}\right]$

17. Com um colega, analisem as seguintes propriedades da multiplicação de matrizes.

• Associativa:
(A_{m × n} ⋅ B_{n × p}) ⋅ C_{p × r} = A_{m × n} ⋅ (B_{n × p} ⋅ C_{p × r})

• Distributiva:
(A_{m × n} + B_{m × n}) ⋅ C_{n × p} = A_{m × n} ⋅ C_{n × p} + B_{m × n} ⋅ C_{n × p}

• Elemento neutro:
A_m ⋅ I_m = A_m e I_m ⋅ A_m = A_m, sêndosendo I a matriz identidade.

a) Verifiquem numericamente a validade das propriedades apresentadas. Para isso, criem matrizes quadradas A, B, C e I, de ordem 2.

Resposta pessoal.

b) A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de matrizes. Se existe o produto de matrizes D ⋅ E, por exemplo, temos os seguintes casos possíveis:

• D ⋅ E ≠ E ⋅ D;

• D ⋅ E = E ⋅ D;

• não existe o produto E ⋅ D.

Criem matrizes D e E para exemplificar cada um dos casos indicados.

Resposta pessoal.

18. Dadas as matrizes P = $\left[\begin{array}{ccc}10& 3& 11\\ 2& 5& 1\\ 0& 0& -7\end{array}\right]$ e Q = $\left[\begin{array}{c}12\\ 0\\ -14\end{array}\right]$, resôuvaresolva a equação P ⋅ X = Q.

X = $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$

19. (UFMS) Uma indústria farmacêutica produz 3 tipos de suplementos alimentares: X, Y e Z. Os suplementos são compostos de Vitamina B, Vitamina D e Vitamina E em miligramas por cápsula, com concentrações diferentes. A matriz M representa a quantidade de vitaminas em miligrama por cápsula de cada suplemento; a matriz P, a produção diária de cápsulas dos suplementos:

P = $\left[\begin{array}{c}200\\ 500\\ 300\end{array}\right]$ $\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}$

$\begin{array}{ccc}X& Y& Z\end{array}$

M = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 3& 1\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\end{array}$ $\begin{array}{c}\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{B}\\ \mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{D}\\ \mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{}\mathrm{E}\end{array}$

Qual matriz a seguir representa a quantidade, em gramas, de vitamina B, vitamina D e vitamina E utilizada na produção diária de cápsulas dos suplementos X, Y e Z pela indústria farmacêutica?

a) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{1,3}\\ \mathrm{2,4}\\ \mathrm{5,1}\end{array}\right]\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}16\\ 45\\ 27\end{array}\right]\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}29\\ 32\\ 27\end{array}\right]\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}13\\ 24\\ 51\end{array}\right]\end{array}$

e) $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}\mathrm{2,93}\\ \mathrm{3,2}\\ \mathrm{2,7}\end{array}\right]\end{array}$

alternativa a

20. No caderno, escrêevaescreva uma matriz A_2×2 e uma matriz B_2×1 e calcule a matriz C = A ⋅ B. Em uma fô-lhafolha avulsa, elabore uma questão na qual sêjamsejam apresentadas apenas as matrizes A e C e cujo objetivo seja determinar a matriz B, tal quêque C = A ⋅ B. Depois, troque sua quêquestão com um colega para que um resôuvaresolva a do outro. Juntos, confiram as resoluções.

Elaboração dos estudantes.

21. Sendo M = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-7& 2\\ 4& -1\end{array}\right]\end{array}$ e I₂ a matriz identidade de ordem 2, determine:

a) M ⋅ I₂

M

b) I₂ ⋅ M

M

c) M², em quêque M² = M ⋅ M

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}57& -16\\ -32& 9\end{array}\right]\end{array}$

d) M² − I₂

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}56& -16\\ -32& 8\end{array}\right]\end{array}$

22. Determine o valor das incógnitas para quêque a igualdade seja válida.

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-6& 5& -1\end{array}\right]\end{array}$ ⋅ $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 9& b\\ a& -10\end{array}\right]\end{array}$ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}38& 26\end{array}\right]\end{array}$

a = 7; b = 8

Página sessenta e dois62

Sistemas lineares

Acompanhe a seguinte situação.

A vitamina C não pódepode sêrser sintetizada pelo sêrser humano; assim, a única forma de obtê-la é com alimentação ou suplementação. No nosso organismo, a vitamina C tem grande importânssiaimportância por desempenhar ação antioxidante e atuar na formação de colágeno e neurotransmissores. Duas frutas ricas em vitamina C são o mamão e a mixiricamexerica. Observe a representação de duas saladas de frutas, compostas apenas de mamão e mixiricamexerica.

a) Salada A: 358 mg de vitamina C

DICA

Cada porção tem 100 g da fruta.

b) Salada B: 306 mg de vitamina C

Quantos miligramas de vitamina C há em cada porção de 100 g dessas frutas?

Para responder a essa questão, podemos denominar como x e y as quantidades de vitamina C, em miligrama, em cada porção de mamão e mixiricamexerica, respectivamente, e escrever as seguintes equações.

a) Salada A

b) Salada B

O conjunto formado por essas equações é denominado sistema linear. Em particular, nesse caso, temos um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

$$\{\begin{array}{c}3x+1y=358\\ 1x+2y=306\end{array}$$

PARA PENSAR

resôuvaResolva o sistema linear representado e responda à questão apresentada na situação-problema.

x = 82; y = 112. Cada porção de 100 g de mamão e de mixiricamexerica tem, respectivamente, 82 mg e 112 mg de vitamina C.

Página sessenta e três63

Equações lineares

Na situação-problema apresentada anteriormente, escrevemos duas equações lineares para resolvê-la.

Observe alguns exemplos de equações lineares.

a) 6x − 8y + 3z = 7

Nessa equação linear, 6, −8 e 3 são os coeficientes, respectivamente, das incógnitas x, y e z; e 7 é o termo independente.

b) x − 3,2y + 8z = 0

Nessa equação linear, 1, −3,2 e 8 são os coeficientes, respectivamente, das incógnitas x, y e z; e 0 é o termo independente.

PARA PENSAR

Explique por quêpor que x² + y = 5 não é uma equação linear.

Resposta esperada: Para sêrser equação linear, todas as incógnitas devem ter expoente 1; porém, na equação apresentada, o expoente da incógnita x é 2.

A equação apresentada no exemplo b é uma equação linear homogênea.

Solução de uma equação linear

Acompanhe a seguinte situação.

O cliente de um banco realizou um saque de R$ 370,00 em um caixa eletrônico, retirando apenas cédulas de R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Quantas cédulas de cada valor foram sacadas?

pôdêmosPodemos representar por x, y e z as quantidades de cédulas sacadas de R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00, respectivamente, e escrever a seguinte equação linear:

10x + 50y + 100z = 370

Ao considerar x = 2, y = 1, z = 3 e realizar as substituições na equação linear, observamos quêque esses valores satisfazem a equação.

10 ⋅ 2 + 50 ⋅ 1 + 100 ⋅ 3 = 20 + 50 + 300 = 370

Dizemos quêque a terna (2, 1, 3) é solução da equação linear 10x + 50y + 100z = 370, ou seja, podem ter sido sacadas duas cédulas de R$ 10,00, uma de R$ 50,00 e três de R$ 100,00. Entretanto, essa solução da equação linear não é única.

PARA PENSAR

escrêevaEscreva outra solução dessa equação linear e faça a interpretação dela em relação à situação-problema apresentada.

Uma resposta possível: (7, 2, 2) indica quêque podem ter sido sacadas sete cédulas de R$ 10,00, duas de R$ 50,00 e duas de R$ 100,00.

Página sessenta e quatro64

ATIVIDADE RESOLVIDA

R6. Determine quantas soluções tem a equação linear 3x − 2y = 18.

Resolução

Vamos atribuir um número real qualquer a uma das incógnitas e determinar o valor correspondente a outra incógnita.

• Para x = 2, temos:

3 ⋅ 2 − 2y = 18 ⇒ −2y = 12 ⇒ y = −6

• Para y = −3, temos:

3x − 2 ⋅ (−3) = 18 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4

Assim, (2, −6) e (4, −3) são soluções dessa equação linear. Com procedimento análogo, é possível determinar outros infinitos pares ordenados, como (3, $\frac{-9}{2}$), (6, 0) e (7, $\frac{3}{2}$).

Assim, essa equação linear tem infinitas soluções.

As coordenadas dos pontos da reta representada, no plano cartesiano, correspondem às soluções da equação linear 3x − 2y = 18.

ATIVIDADES

23. Para cada equação linear a seguir, indique as incógnitas, os coeficientes das incógnitas e o termo independente.

a) 11x + 7y − 2z = 0

b) $\frac{r}{3}$ − $\frac{2}{5}s$ − 3t = −1

c) 4m − 3n = 7

d) 8x + 2y + 5 = 0

Respostas nas Orientações para o professor.

24. Em quais itens a seguir está indicada uma equação linear? Justifique.

a) $\frac{5x}{3}$ − 4y = 0

b) 3x² + 8x + y = 1

c) $\frac{1}{x}$ = 3 − y

d) 2x + 1 = y − 3

a e d; respostas nas Orientações para o professor.

25. escrêevaEscreva três soluções distintas para cada equação linear quêque você identificou na atividade 24.

Respostas nas Orientações para o professor.

26. Em cada item, escrêevaescreva duas soluções distintas da equação linear indicada e, em seguida, represente graficamente todas as soluções.

a) 2x + y = 1

b) 2y − x = −1

c) 3x + 4y = 6

Respostas nas Orientações para o professor.

27. Observe, no plano cartesiano a seguir, a representação das soluções de certa equação linear e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) escrêevaEscreva a equação linear.

−x + 2y = 5

b) Determine três soluções distintas para essa equação linear.

Uma resposta possível: (1, 3), (3, 4) e (5, 5).

Página sessenta e cinco65

28. escrêevaEscreva uma equação linear em quêque uma de suas soluções seja:

a) (1, 3)

Uma resposta possível: x + y = 4.

b) (−1, 2, −4)

Uma resposta possível: 2x + 2y − z = 6.

c) (2, $\frac{1}{2}$)

Uma resposta possível: x − 2y = 1.

d) ($\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, 3)

Uma resposta possível: 3x − 2y + z = 4.

29. Em certa sessão de uma peça de teatro, foram arrecadados R$ 5.000,00 de bilheteria. Para assistir a essa peça, são cobrados R$ 40,00 pela entrada inteira e existe a opção da meia-entrada.

a) escrêevaEscreva uma equação linear quêque represente essa situação.

40x + 20y = 5.000

b) É possível mais de 150 pessoas terem pago para assistir a essa sessão? Justifique com um exemplo.

Sim. Uma resposta possível: 100 pessoas podem ter pago meia-entrada e 75 pessoas, a entrada inteira.

30. Luan foi a um terminal de caixa eletrônico sacar R$ 100,00. A tela dêêssedesse terminal indicava disponibilidade apenas de cédulas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00 para saque.

a) escrêevaEscreva uma equação linear quêque expresse as quantidades m, n e p de cédulas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, respectivamente, quêque Luan pódepode sacar.

50m + 20n + 10p = 100

b) Indique uma solução da equação quêque você escreveu no item a e faça a interpretação dela em relação à situação-problema apresentada.

Uma resposta possível: (1, 2, 1). Nesse caso, Luan recebe uma cédula de R$ 50,00, duas cédulas de R$ 20,00 e uma cédula de R$ 10,00.

c) De quantas maneiras distintas Luan pódepode receber as cédulas nesse saque? Explique os procedimentos quêque você fez para resolver essa questão.

10 maneiras distintas. Resposta pessoal.

31. Mostre quêque a afirmação a seguir é verdadeira.

Toda equação linear homogênea a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ +... + a_nx_n = 0 admite, ao menos, a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução, denominada solução trivial.

Resposta nas Orientações para o professor.

Sistema de equações lineares: conceito e características

Acompanhe, a seguir, algumas características de um sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear.

DICA

Nesta representação de sistema linear, por exemplo, a₂₃ indica quêque, na segunda equação, esse é o coeficiente da incógnita x₃.

Observe alguns exemplos de sistemas lineares.

a) $\{\begin{array}{c}2x-3y=1\\ x+y=3\end{array}$

Sistema linear 2 × 2, ou seja, formado por duas equações com duas incógnitas: x e y.

b) $\{\begin{array}{c}x+y+z=0\\ 3x-2y-z=-4\end{array}$

Sistema linear 2 × 3, ou seja, formado por duas equações com três incógnitas: x, y e z.

c) $\{\begin{array}{c}m-n+p=0\\ 2m+n+5p=0\\ -3m+4n-2p=0\end{array}$

Sistema linear 3 × 3, ou seja, formado por três equações com três incógnitas: m, n e p.

Página sessenta e seis66

O sistema linear apresentado no exemplo c é um sistema linear homogêneo.

Solução de um sistema linear

Observe o sistema linear 3 × 3 representado a seguir.

$$\{\begin{array}{c}2x+y-z=7\\ x-3y+4z=-16\\ 3x-2y-2z=1\end{array}$$

A terna (1, 3, −2) é solução de cada uma das equações dêêssedesse sistema linear. Acompanhe a verificação.

• 2 ⋅ 1 + 3 − (−2) = 2 + 3 + 2 = 7

• 1 − 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ (−2) = 1 − 9 − 8 = −16

• 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−2) = 3 − 6 + 4 = 1

Dizemos quêque a terna (1, 3, −2) é solução do sistema linear apresentado.