UNIDADE 3
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

1. Que elemêntoselementos da Geometria Euclidiana você conhece?

2. De acôr-doacordo com o texto, como começaram a sêrser desenvolvidas as teorias da Geometria não Euclidiana?

3. Na Geometria Euclidiana, a menor distância entre dois pontos pódepode sêrser representada por um segmento de reta quêque os une. Como você imagina quêque pódepode sêrser representada a menor distância entre dois pontos em uma superfícíesuperfície esférica?

Respostas nas Orientações para o professor.

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Geometria de posição no plano

No estudo da Geometria Euclidiana, alguns conceitos e noções são aceitos como verdadeiros, sem a necessidade de demonstrações. Por exemplo, as noções de ponto, reta e plano, chamadas de noções primitivas, não são definidas formalmente, sêndosendo distinguidas intuitivamente.

DICA

Nesta coleção, de maneira geral, optamos por indicar os pontos por lêtrasletras maiúsculas (A, B, C, ...), as retas por lêtrasletras minúsculas (a, b, c, ...) e os planos por lêtrasletras grêgasgregas minúsculas ((alfa)"α, (beta)"β, (gama)"γ, ...).

Essas noções primitivas sérvemservem de base para o estabelecimento dos postulados – quêque são afirmações consideradas verdadeiras, sem a necessidade de demonstrações – e dos teoremas, quêque correspondem a afirmações quêque só são consideradas verdadeiras depois de demonstradas, usando postulados ou outros teoremas. Você se lembra de algum teorema de Geometria quêque estudou em anos anteriores?

MATEMATICA NA HISTÓRIA

No Ensino Fundamental, possivelmente, você estudou as posições relativas entre pontos e retas em um mesmo plano. Agora, vamos estender esse estudo para as posições relativas entre pontos e planos.

• Posições relativas entre ponto e reta

• Posições relativas entre pontos

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• Posições relativas entre retas contidas em um mesmo plano

• Posições relativas entre ponto e plano

PARA PENSAR

Duas retas concorrentes são sempre perpendiculares.

Você concórdaconcorda com essa afirmação? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: A afirmação é falsa, pois duas retas concorrentes são perpendiculares apenas quando formam ângulos rétosretos no ponto em quêque se intersectam.

Aprendemos quêque postulados são afirmações quêque não necessitam de demonstrações. Para estudar as posições relativas entre retas e planos no espaço, vamos considerar os seguintes postulados.

Postulado I

Retas e planos são conjuntos de pontos.

Postulado II

Existem infinitos pontos quêque pertencem a uma reta, assim como infinitos pontos quêque não pertencem a ela.

Postulado III

Existem infinitos pontos quêque pertencem a um plano, assim como infinitos pontos quêque não pertencem a ele.

Postulado IV

Dois pontos distintos A e B determinam uma única reta s.

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Postulado V

Sejam A um ponto e s uma reta em um plano (alfa)"α. Se A não pertence a s, existe apenas uma reta r quêque passa por A e é paralela a s em (alfa)"α. Esse é conhecido como o quinto postulado de Euclides.

Postulado VI

Se dois pontos distintos A e B de uma reta s pertencem a um plano (alfa)"α, então s está contida em (alfa)"α (s ⊂ (alfa)"α).

Postulado VII

Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano (alfa)"α.

DICA

Note quêque um ponto é elemento de uma reta; assim, dizemos quêque o ponto pertence à reta. Já uma reta é um conjunto de pontos; assim, dizemos quêque uma reta está contida em um plano.

Determinação de um plano

Vamos usar alguns postulados apresentados para demonstrar os três teoremas a seguir, quêque fazem referência à determinação de um plano.

• Teorema 1:

Uma reta s e um ponto A, não pertencente a s, determinam um único plano (alfa)"α.

Demonstração:

Pelos postulados I e II, podemos considerar dois pontos distintos B e C pertencentes a uma reta s e um ponto A fora dessa reta. Assim, A, B e C são pontos não colineares. Pelo postulado VII, concluímos quêque A, B e C determinam um único plano (alfa)"α. O postulado IV garante quêque s é a única reta determinada pêlospelos pontos B e C, e o postulado VI garante quêque s está contida em (alfa)"α, pois B e C pertencem a s e pertencem a (alfa)"α. Portanto, existe um único plano (alfa)"α quêque contém a reta s e o ponto A.

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• Teorema 2:

Duas retas paralelas r e s determinam um único plano (alfa)"α.

Demonstração:

De acôr-doacordo com os postulados I, II e III, podemos considerar em um plano (alfa)"α uma reta s e um ponto A não pertencente a s. Pelo postulado V, existe uma única reta r quêque passa por A e é paralela a s em (alfa)"α.

Pelo teorema 1, apresentado anteriormente, existe um único plano quêque contém o ponto A e a reta s. Portanto, existe um único plano quêque contém as retas paralelas r e s.

• Teorema 3:

Duas retas concorrentes r e s determinam um único plano (alfa)"α.

Demonstração:

Vamos considerar o ponto A comum às retas r e s, e outros dois pontos distintos B e C, com B pertencendo a r e C pertencendo a s. Assim, A, B e C são não colineares.

Pelo postulado VII, os pontos A, B e C determinam um único plano (alfa)"α. O postulado IV garante quêque r é a única reta determinada por A e B e quêque s é a única reta determinada por A e C. Já o postulado VI garante quêque r e s estão contidas em (alfa)"α, pois A e B pertencem a r e a (alfa)"α, e A e C pertencem a s e a (alfa)"α. Portanto, existe um único plano (alfa)"α quêque contém as retas r e s.

ATIVIDADE RESOLVIDA

R1. Demonstre o teorema a seguir.

Sejam um plano (alfa)"α e uma reta r não contida nele. Se r intersecta (alfa)"α, então a interseção de r e (alfa)"α é um único ponto.

Resolução

Vamos supor quêque existam pelo menos dois pontos distintos A e B quêque estejam na interseção da reta r com o plano (alfa)"α. Assim, pelo postulado VI, concluímos quêque r está contida em (alfa)"α. Porém isso é um absurdo, já quêque, por hipótese, r não está contida em (alfa)"α. Portanto, a interseção de r e (alfa)"α é um único ponto.

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ATIVIDADES

1. Observe os planos, as retas e os pontos representados a seguir e determine a relação de pertinência ou continência entre:

a) cada um dêêssesdesses pontos e o plano (alfa)"α;

A ∈ (alfa)"α, B ∈ (alfa)"α, C ∉ (alfa)"α, D ∈ (alfa)"α, E ∉ (alfa)"α, F ∉ (alfa)"α e G ∈ (alfa)"α

b) cada uma dessas retas e o plano (beta)"β;

r ⊂ (beta)"β, s ⊄ (beta)"β e t ⊂ (beta)"β

c) cada um dêêssesdesses pontos e as retas r, s e t.

A ∈ r, B ∉ r, C ∈ r, D ∉ r, E ∈ r, F ∉ r e G ∉ r; A ∈ s, B ∉ s, C ∉ s, D ∈ s, E ∉ s, F ∉ s e G ∉ s; A ∈ t, B ∈ t, C ∉ t, D ∉ t, E ∉ t, F ∉ t e G ∉ t

2. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa.

a) Três pontos quaisquer determinam um único plano.

falsa

b) Ponto, reta e plano são conceitos primitivos.

verdadeira

c) Os postulados correspondem a afirmações quêque são consideradas verdadeiras apenas depois quêque são demonstradas.

falsa

d) Duas retas concorrentes têm dois ou mais pontos em comum.

falsa

e) Existem infinitas retas contidas em um plano (alfa)"α qualquer, assim como existem infinitas retas não contidas nesse plano.

verdadeira

f) Os teoremas correspondem a afirmações quêque só são consideradas verdadeiras após terem sido demonstradas.

verdadeira

g) Dois pontos quaisquer são sempre colineares.

verdadeira

3. reescrêvaReescreva as sentenças falsas da atividade anterior, tornando-as verdadeiras.

Respostas esperadas: a) Três pontos não colineares determinam um único plano; c) Os postulados correspondem a afirmações tomadas como verdadeiras sem a necessidade de serem demonstradas; d) Duas retas concorrentes têm apenas um ponto em comum.

4. Considerando quatro pontos A, B, C e D, não coplanares e não colineares três a três, responda às kestõesquestões, explicando como você pensou.

a) Quantas retas distintas contendo dois dêêssesdesses pontos é possível traçar?

6 retas distintas

b) Quantos planos distintos contendo três dêêssesdesses pontos é possível traçar?

4 planos distintos

5. Tripés, bancos e cavaletes de pintura quêque têm três pernas proporcionam maior estabilidade de apôioapoio a objetos do quêque aqueles com quatro pernas, já quêque eles não balançam quando apoiados em qualquer tipo de piso. Utilizando os conceitos geométricos estudados, explique por quêpor que objetos com três pernas não balançam, independentemente do tipo de piso em quêque forem apoiados.

Resposta esperada: Pelo postulado VII, três pontos não colineares determinam um único plano. Considerando os três pontos correspondentes aos pontos de apôioapoio dos péspés dêêssesdesses objetos no piso, podemos afirmar quêque esses pontos de apôioapoio determinam um único plano. Assim, mesmo quando apoiados em um piso irregular, esses três pontos de apôioapoio determinam um único plano imaginário quêque intersecta esse piso nesses pontos e, portanto, esses objetos não balançam.

6. Mostre a validade do teorema a seguir.

Se três retas r, s e t distintas são concorrentes duas a duas, de maneira quêque não exista ponto comum às três retas, então essas retas estão contidas em um mesmo plano (alfa)"α.

Resposta nas Orientações para o professor.

7. Dadas duas retas r e s, perpendiculares entre si, julgue a afirmação a seguir como verdadeira ou falsa e justifique.

Existe uma reta t, contida em um mesmo plano quêque as retas r e s, quêque é perpendicular a r e concorrente a s.

Falsa. Resposta esperada: Vamos supor, por hipótese, quêque exista uma reta t perpendicular à reta r e concorrente à reta s, sêndosendo r e s perpendiculares entre si. Assim, temos os pontos A, B e C correspondentes às interseções de r e s, r e t e s e t, respectivamente. Considerando o triângulo ABC, temos, por hipótese, quêque med($\widehat{A}$) = 90°, med($\widehat{B}$) = 90° e med($\widehat{C}$) > 0°. Isso, no entanto, é um absurdo, pois a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180° e med($\widehat{A}$) + med($\widehat{B}$) + med($\widehat{C}$) > 180°.

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Posições relativas no espaço

Estudamos as posições relativas entre retas e pontos em um mesmo plano. Agora, vamos ampliar esse estudo para posições relativas entre retas e planos no espaço.

Posições relativas entre retas no espaço

• Retas coplanares

Duas retas r e s são coplanares quando estão contidas em um mesmo plano.

• Retas reversas

Duas retas r e s são reversas (ou não coplanares) quando não estão contidas em um mesmo plano. Duas retas reversas podem sêrser reversas ortogonais ou reversas oblíquas.

a) Reversas ortogonais

Duas retas r e s são reversas ortogonais quando existe uma reta t perpendicular a uma delas e paralela à outra.

b) Reversas oblíquas

Duas retas reversas r e s são reversas oblíquas quando não são reversas ortogonais.

PARA PENSAR

É possível quêque duas retas reversas também sêjamsejam concorrentes? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Não, pois, para sêrserem concorrentes, duas retas devem ser coplanares e, portanto, não reversas.

Posições relativas entre reta e plano

• Reta contida no plano

Uma reta s está contida em um plano (alfa)"α quando pontos distintos A e B pertencentes a s também pertencem a (alfa)"α.

• Reta paralela ao plano

Uma reta s é paralela a um plano (alfa)"α quando não há ponto em comum entre a reta s e o plano (alfa)"α. Nesse caso, podemos indicar s ⫽ (alfa)"α.

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• Reta secante ao plano

Uma reta s é secante (ou concorrente) a um plano (alfa)"α quando há apenas um ponto A quêque pertença tanto à reta s quanto ao plano (alfa)"α.

• Reta perpendicular ao plano

Uma reta s é perpendicular a um plano (alfa)"α se, e somente se, é secante a esse plano e perpendicular a todas as retas concorrentes a ela e contidas em (alfa)"α. Nesse caso, podemos indicar s ⊥ (alfa)"α.

Posições relativas entre planos

• Planos coincidentes

Dois planos (alfa)"α e (beta)"β são coincidentes quando todos os pontos pertencentes a um dos planos também pertencem ao outro plano.

• Planos paralelos

Dois planos (alfa)"α e (beta)"β são paralelos se, e somente se, não têm pontos em comum, ou seja, nenhum ponto pertencente a (alfa)"α pertence a (beta)"β.

• Planos secantes

Dois planos (alfa)"α e (beta)"β são secantes (ou concorrentes) quando há apenas uma reta s contida tanto em (alfa)"α quanto em (beta)"β.

• Planos perpendiculares

Dois planos secantes (alfa)"α e (beta)"β são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro plano.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

R2. Considerando as retas e os planos quêque contêm, respectivamente, as arestas e as faces do poliedro representado na figura, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Quais são as retas reversas a $\stackrel{⃡}{EF}$? Alguma delas é reversa oblíqua?

b) Decida se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa.

O plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero CDFH é secante a todos os planos quêque contêm as outras faces dêêssedesse poliedro.

c) Determine as retas perpendiculares ao plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero ABCD.

d) Qual é a posição relativa entre os planos quêque contêm as faces côrcorrespondentes aos quadriláteros BCHG e ADFE? E entre a reta quêque contém a aresta $\overline{DF}$ e cada um dêêssesdesses planos?

Resolução

a) As retas reversas a $\stackrel{⃡}{EF}$ são aquelas quêque não estão contidas em um mesmo plano quêque ela. Nesse caso são: $\stackrel{⃡}{BG}$, $\stackrel{⃡}{CH}$, $\stackrel{⃡}{CD}$ e $\stackrel{⃡}{AB}$. Dessas, $\stackrel{⃡}{CD}$ é reversa oblíqua em relação a $\stackrel{⃡}{EF}$.

b) As faces correspondentes aos quadriláteros ABCD, ADFE, BCHG e EFHG têm uma aresta comum com a face correspondente ao quadrilátero CDFH e, portanto, os planos quêque contêm essas faces são secantes ao plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero CDFH. Prolongando as faces correspondentes aos quadriláteros CDFH e ABGE, podemos observar quêque os planos quêque contêm essas faces também são secantes. Portanto, a afirmação é verdadeira.

c) pôdêmosPodemos notar quêque $\stackrel{⃡}{BG}$, $\stackrel{⃡}{CH}$, $\stackrel{⃡}{AE}$ e $\stackrel{⃡}{DF}$ são as retas perpendiculares ao plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero ABCD, pois elas são perpendiculares a todas as retas dêêssedesse plano quêque passam, respectivamente, pêlospelos pontos B, C, A e D.

d) Os planos quêque contêm as faces correspondentes aos quadriláteros BCHG e ADFE são paralelos. Como a aresta $\overline{DF}$ está contida na face correspondente ao quadrilátero ADFE, então $\stackrel{⃡}{DF}$ é uma reta contida no plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero ADFE e é paralela ao plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero BCHG.

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ATIVIDADES

8. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa. Depois, reescrêvareescreva as falsas, tornando-as verdadeiras.

a) Duas retas quaisquer quêque não têm ponto em comum são reversas.

Falsa. Resposta esperada: Duas retas quaisquer quêque não têm ponto em comum são reversas ou paralelas.

b) Dois planos quaisquer secantes têm infinitos pontos comuns.

verdadeira

c) Se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano.

Falsa. Resposta esperada: Se uma reta é perpendicular a um plano, então essa reta é perpendicular a todas as retas contidas nesse plano e concorrentes a ela.

d) Se dois planos são paralelos, então eles correspondem ao mesmo conjunto de pontos.

Falsa. Resposta esperada: Se dois planos são coincidentes, então eles correspondem ao mesmo conjunto de pontos.

e) Duas retas reversas quaisquer são retas não coplanares.

verdadeira

9. (EsPCex-SP) O sólido geométrico a seguir é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.

Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas $\stackrel{⃡}{LB}$ e $\stackrel{⃡}{GE}$; as retas $\stackrel{⃡}{AG}$ e $\stackrel{⃡}{HI}$ e as retas $\stackrel{⃡}{AD}$ e $\stackrel{⃡}{GK}$. As posições relativas dêêssesdesses pares de retas são, respectivamente,

a) concorrentes; reversas; reversas.

b) reversas; reversas; paralelas.

c) concorrentes; reversas; paralelas.

d) reversas; concorrentes; reversas.

e) concorrentes; concorrentes; reversas.

alternativa e

10. É possível quêque dois planos distintos tênhamtenham um único ponto em comum? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Não, pois, se dois planos distintos têm ponto em comum, então eles são secantes e, portanto, têm uma reta em comum, ou seja, infinitos pontos.

11. Em cada item, determine a posição relativa entre duas retas distintas r e s, de acôr-doacordo com as informações indicadas.

a) Um plano (alfa)"α quêque contém r é perpendicular a s.

retas perpendiculares ou reversas ortogonais

b) Não existe ponto comum a r e s.

retas paralelas ou reversas

c) Um plano (alfa)"α é paralelo a r e paralelo a s.

retas paralelas, concorrentes ou reversas

12. Considere um cubo ABCDEFGH e $\stackrel{⃡}{AB}$, $\stackrel{⃡}{AD}$ e $\stackrel{⃡}{AF}$ retas suporte de três arestas dêêssedesse cubo.

a) Determine a posição relativa entre essas retas, duas a duas.

retas perpendiculares

b) Que figura geométrica plana corresponde à interseção dêêssedesse cubo com o plano determinado pêlospelos vértices B, D e F?

triângulo

13. Um engenheiro pretende imprimir uma peça com formato de bloco retangular em uma impressora 3D. Observe, a seguir, essa peça feita em um programa de computador.

Considerando as retas quêque contêm as arestas e os planos quêque contêm as faces do bloco retangular representado, determine:

a) um par de faces cujos respectivos planos quêque as contêm são paralelos;

Respostas possíveis: faces correspondentes aos quadriláteros: ABCD e EFGH; CDEF e ABGH; BCFG e ADEH

b) as faces cujos planos quêque as contêm são paralelos a $\stackrel{⃡}{AH}$;

faces correspondentes aos quadriláteros BCFG e CDEF

c) as posições relativas entre $\stackrel{⃡}{HE}$ e os planos quêque contêm as faces côrcorrespondentes aos quadriláteros ADEH e ABGH;

$\stackrel{⃡}{HE}$ é uma reta contida no plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero ADEH e é perpendicular ao plano quêque contém a face correspondente ao quadrilátero ABGH.

d) os planos secantes aos planos quêque contêm as faces côrcorrespondentes aos quadriláteros BCFG e AHED.

Planos quêque contêm as faces correspondentes aos quadriláteros ABCD, CDEF, EFGH e ABGH.

14. Mostre quêque o teorema a seguir é verdadeiro.

Sejam dois planos distintos (alfa)"α e (beta)"β e os pontos A, B e C, também distintos. Se A, B e C pertencem tanto a (alfa)"α quanto a (beta)"β, então esses são pontos colineares.

Resposta esperada: Suponha quêque os pontos A, B e C sêjamsejam não colineares e pertencentes aos planos distintos (alfa)"α e (beta)"β. Pelo postulado VII, esses pontos determinam um único plano e, assim, (alfa)"α e (beta)"β devem sêrser coincidentes, o quêque é um absurdo, pois temos por hipóteses quêque (alfa)"α e (beta)"β são planos distintos. Portanto, os pontos A, B e C são pontos colineares. Nesse caso, (alfa)"α e (beta)"β são planos secantes.

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15. Considere (alfa)"α e (beta)"β dois planos perpendiculares e uma reta r correspondente à interseção de (alfa)"α e (beta)"β. Imagine dois pontos quaisquer A e B, de maneira quêque A ∈ (alfa)"α, A ∉ (beta)"β, B ∈ (beta)"β e B ∉ (alfa)"α. Qual é a posição de $\stackrel{⃡}{AB}$ em relação:

a) ao plano (alfa)"α?

secante

b) ao plano (beta)"β?

secante

c) à reta r?

reversa

16. (USCS-SP) Um ponto H está sobre a base BCD de um prisma reto BCDGFE, mas não está sobre as arestas dessa base, conforme mostra a figura.

Considerando as retas quêque passam por dois vértices dêêssedesse prisma ou por um vértice e por H, é possível afirmar quêque

a) $\stackrel{⃡}{CH}$ e $\stackrel{⃡}{BD}$ são reversas.

b) $\stackrel{⃡}{GF}$ e $\stackrel{⃡}{CE}$ são concorrentes.

c) $\stackrel{⃡}{FH}$ e $\stackrel{⃡}{CB}$ são reversas.

d) $\stackrel{⃡}{BG}$ e $\stackrel{⃡}{EF}$ são paralelas.

e) $\stackrel{⃡}{BH}$ e $\stackrel{⃡}{CD}$ são perpendiculares.

alternativa c

17. Um designer produziu, em um programa de computador, o projeto de uma peça de metal, formada pela justaposição de duas outras peças, uma com formato de cubo e outra com formato de pirâmide reta, conforme a figura a seguir.

Em relação ao sólido obtídoobtido nesse projeto, indique a posição relativa entre os planos quêque contêm as faces:

a) ABC e ADE.

secantes

b) ABC e DEFI.

secantes

c) BCHG e DEFI.

paralelos

d) BCHG e BEFG.

secantes e perpendiculares

18. Junte-se a um colega para resolver esta atividade. Além dos teoremas apresentados nesta Unidade, existem outros relacionados ao paralelismo no espaço. Acompanhem, a seguir, a demonstração de um dêêssesdesses teoremas.

Teorema: Se um plano (gama)"γ é secante a dois planos distintos e paralelos (alfa)"α e (beta)"β, então a reta s, comum a (gama)"γ e a (alfa)"α, é paralela à reta r, comum a (gama)"γ e a (beta)"β.

Demonstração: Como as retas s e r correspondem a interseções entre os planos (gama)"γ e (alfa)"α e entre (gama)"γ e (beta)"β, respectivamente, então s e r são coplanares, pois ambas estão contidas no plano (gama)"γ.

Já quêque (alfa)"α ⫽ (beta)"β, ou seja, não existe ponto comum a (alfa)"α e a (beta)"β, e como s ⊂ (alfa)"α e r ⊂ (beta)"β, podemos afirmar quêque não existe ponto comum a s e a r, pois se existisse ponto comum a s e a r, então existiria ponto comum aos planos (alfa)"α e (beta)"β.

Como s e r são coplanares e a interseção entre elas é vazia, concluímos quêque essas retas são paralelas.

Agora, escôlhamescolham um dos teoremas a seguir, representem-no por uma figura e mostrem a validade dele.

• Teorema I: Uma reta r não contida em um plano (alfa)"α é paralela a esse plano se for paralela a uma reta s contida em (alfa)"α.

• Teorema II: Dados dois planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β, toda reta r contida em um deles é paralela ao outro plano.

• Teorema III: Dados um plano (alfa)"α e um ponto P, com P ∉ (alfa)"α, existe pelo menos uma reta r quêque passa por P e é paralela a (alfa)"α.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página cento e vinte120

INTEGRANDO COM...
LINGUAGENS E SUAS TECNOLOGIAS
A linguagem matemática e o Sistema Braille

A linguagem pódepode sêrser considerada uma construção humana quêque utiliza sistemas compléksoscomplexos de comunicação para quêque seja possível se expressar, partilhar informações, ideias, sentimentos e produzir sentidos.

Algumas linguagens, por causa de seu caráter padronizado, são consideradas universais, ou seja, sua compreensão ultrapassa os limites regionais. Por exemplo, na Matemática, foi desenvolvida, ao longo do tempo, uma linguagem com simbologia própria e quêque é uniforme no mundo todo, o quêque permite representar e expor conceitos de maneira concreta e efetiva, quêque todos possam compreender. Também no Sistema Braille é possível reconhecer uma tendência de universalização de linguagem, o quêque possibilita e favorece a comunicação entre pessoas com ou sem deficiência visual. Sobre o Braille, leia o trecho de um texto a seguir.

O braille é um sistema de escrita e leitura tátil para as pessoas cegas inventado pelo francês Louis Braille, ele mesmo cego aos três anos de idade devido a um acidente quêque causou a infekiçãoinfecção dos dois olhos.

O sistema consta do arranjo de seis pontos em relevo, dispostos na vertical em duas colunas de três pontos cada, no quêque se convencionou chamar de “cela braille”. A diferente disposição dêêssesdesses seis pontos permite a formação de 63 combinações ou símbolos para escrever textos em geral [...]

BRASIL. Ministério da Educação. Instituto Benjamin Constant. O Sistema Braille. Rio de Janeiro: IBC, 24 fev. 2022. Disponível em: https://livro.pw/qvkjz. Acesso em: 29 jul. 2024.

PARA AMPLIAR

A Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) estabelece quêque as embalagens de medicamentos destinadas a pacientes precisam conter o nome comercial do medicamento ou a denominação genérica de cada princípio ativo em Sistema Braille, sem quêque isso afete a legibilidade das informações.

Fonte dos dados: BRASIL. Ministério da Saúde. Agência Nacional de Vigilância Sanitária. Resolução-RDC númeronº 71, de 22 de dezembro de 2009. Estabelece regras para a rotulagem de medicamentos. Brasília, DF: MS: Anvisa, 22 dez. 2009. Disponível em: https://livro.pw/lbifo. Acesso em: 7 out. 2024.

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Página cento e vinte e dois122

PENSANDO NO ASSUNTO

1. Cite situações do cotidiano em quêque você faz uso da linguagem verbal para se comunicar.

Resposta pessoal.

2. Em seu entendimento, ao se comunicar de maneira dirétadireta e objetiva, é possível evitar conflitos? Converse com os côlégascolegas e o professor a respeito díssudisso.

Resposta pessoal.

3. Realize uma pesquisa sobre acessibilidade atitudinal, quêque consiste em um conjunto de atitudes adequadas e respeitosas diante de pessoas com deficiência. Com base nas informações obtidas, produza uma peça publicitária (fôlder, cartaz, vídeo ou podcast) com o objetivo de estimular a acessibilidade atitudinal na comunidade em quêque vive. É importante quêque essa peça publicitária explique o quêque é acessibilidade atitudinal, dê exemplos de atitudes inclusivas e mostre situações quêque limitem ou impeçam a inclusão de pessoas com deficiência. Sua peça publicitária pódepode sêrser divulgada em um mural da escola ou em mídias sociais.

Pesquisa e produção do estudante.

4. Converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

a) Você já manipulou algum objeto com escritas em braille, como embalagens de produtos, placas indicativas ou livros? Comente como foi essa experiência.

Resposta pessoal.

b) por quêPor que é fundamental a alfabetização para estudantes com deficiência visual na escola?

Resposta pessoal.

c) por quêPor que é importante conhecer a linguagem braille, mesmo não tendo deficiência visual? Como essa linguagem sérveserve para a independência e a autonomia de pessoas cegas ou com baixa visão?

Respostas pessoais.

5. Junte-se a um colega para explorar a transcrição da linguagem matemática para a linguagem braille. Para isso, façam o quêque se pede em cada um dos itens.

a) Quais são os termos representados em braille em cada caso a seguir?

livro

Euclides

300

b) Utilizando representações de celas braille, escrevam o nome e a idade de vocês.

Respostas pessoais.

c) As retas r e s, representadas a seguir, são paralelas. ob-sérvimObservem como podemos indicar isso no Sistema Braille.

Agora, no caderno, façam um desenho para ilustrar a relação matemática representada em braille em cada ficha.

Resposta nas Orientações para o professor.

d) Pesquisem normas técnicas da escrita em braille para obtêrobter informações sobre altura do relevo e distância entre os pontos, as linhas e as celas.

Pesquisa dos estudantes.

e) Pesquisem tecnologias quêque facilitam a impressão de textos em braille e os aplicativos disponíveis para pessoas cegas ou com baixa visão. Em seguida, escôlhamescolham um conceito estudado nesta Unidade, como postulados ou teoremas. Depois, façam a transcrição dêêssedesse conceito utilizando a representação das celas braille e troquem-na com outra dupla para conferir a transcrição dela. As tecnologias quêque vocês pesquisaram podem sêrser utilizadas na transcrição do conceito escolhido.

Pesquisa dos estudantes.

Página cento e vinte e três123

Projeções ortogonais

Você já observou um drone em movimento? Ele é um aparelho controlado remotamente quêque pódepode alcançar grandes alturas. Entre as várias funções dêêssedesse aparelho, é possível obtêrobter vistas superiores de alguns locais. Agora, imagine a seguinte situação: com o Sol a pino, os raios solares, quêque são paralelos, projetam no solo a sombra de um drone durante um vôovoo.

Nessa situação, a sombra do drone no solo nos remete à ideia de projeção ortogonal em um plano, conceito quêque estudaremos a seguir.

PARA PENSAR

O quêque podemos afirmar a respeito do ponto P₁, correspondente à projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano (alfa)"α, quando P ∈ (alfa)"α?

Resposta esperada: os pontos P e P1 são coincidentes.

Com base no conceito de projeção ortogonal de um ponto sobre um plano, vamos analisar outras projeções ortogonais.

• Projeção de uma figura sobre um plano

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano corresponde à projeção ortogonal de todos os pontos dessa figura sobre esse plano.

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• Projeção de uma reta ou de um segmento de reta sobre um plano

Se uma reta r ou um segmento de reta $\overline{AB}$ for perpendicular a um plano (alfa)"α, a projeção ortogonal dessa reta ou dêêssedesse segmento de reta, sobre esse plano, será um único ponto.

DICA

Um segmento de reta $\overline{AB}$ é perpendicular a um plano (alfa)"α se, e somente se, a reta quêque contém esse segmento é perpendicular a esse plano.

PARA PENSAR

Nesta figura, qual é a projeção ortogonal das extremidades do segmento de reta $\overline{AB}$ sobre o plano (alfa)"α?

As projeções ortogonais dos pontos A e B, correspondentes às extremidades do segmento de reta $\overline{AB}$, sobre o plano (alfa)"α, coincidem com o ponto Q.

Se uma reta r ou um segmento de reta $\overline{AB}$ não for perpendicular a um plano (alfa)"α, a projeção ortogonal dessa reta ou dêêssedesse segmento de reta sobre esse plano será, respectivamente, outra reta ou outro segmento de reta.

Distâncias no espaço

• Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos distintos A e B é a medida do segmento de reta $\overline{AB}$, em certa unidade de medida de comprimento. Se os pontos A e B forem coincidentes, a distância entre eles é nula.

• Distância entre ponto e reta

A distância entre uma reta r e um ponto A, não pertencente a r, é a medida do segmento de reta $\overline{A{A}_1}$, perpendicular a r, com A₁ pertencente a r. Se o ponto A pertence à reta r, a distância entre eles é nula.

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• Distância entre ponto e plano

A distância de um ponto A a um plano (alfa)"α, com A não pertencente a (alfa)"α, é a medida do segmento de reta $\overline{A{A}_1}$, em quêque A₁ é a projeção ortogonal de A sobre (alfa)"α. Se o ponto A pertence ao plano (alfa)"α, a distância entre eles é nula.

• Distância entre duas retas paralelas

A distância entre duas retas r e s, paralelas entre si, é a distância entre um ponto de qualquer uma dessas retas à outra reta. Se as retas r e s forem coincidentes, a distância entre elas é nula. Já no caso de r e s serem concorrentes, a distância entre elas não é definida.

• Distância entre reta e plano paralelos

A distância entre um plano (alfa)"α e uma reta r, não contida em (alfa)"α e paralela a esse plano, é a distância entre um ponto qualquer de r a (alfa)"α. Se a reta r estiver contida no plano (alfa)"α, a distância entre eles é nula. Já no caso de r sêrser concorrente a (alfa)"α, a distância entre eles não é definida.

• Distância entre dois planos paralelos

A distância entre dois planos (alfa)"α e (beta)"β paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um dêêssesdesses planos ao outro plano. Se os planos (alfa)"α e (beta)"β forem coincidentes, a distância entre eles será nula. Já no caso de esses dois planos serem concorrentes, a distância entre eles não é definida.

• Distância entre duas retas reversas

A distância entre duas retas reversas r e s é a distância entre um ponto qualquer de r ao plano (alfa)"α, paralelo a r e quêque contém s.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

R3. Observe a figura representada e determine a medida do segmento de reta $\overline{A_1{B}_1}$, correspondente à projeção ortogonal do segmento de reta $\overline{AB}$, quêque médemede 6 cm, sobre o plano (alfa)"α.

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as etapas a seguir.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, obtemos as seguintes informações:

• $\overline{A_1{B}_1}$ é a projeção ortogonal de $\overline{AB}$ sobre o plano (alfa)"α;

• $\overline{AB}$ médemede 60°;

• precisamos determinar a medida de $\overline{A_1{B}_1}$.

• $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ médemede 6 cm;

• as retas $\stackrel{⃡}{A{A}_1}$ e $\stackrel{⃡}{B{B}_1}$ são paralelas e são perpendiculares a (alfa)"α;

2ª ELABORAR UM PLANO

A partir da figura apresentada, podemos considerar um trapézio de vértices A, A₁, B₁ e B. Em seguida, vamos traçar um segmento de reta paralelo a $\overline{A_1{B}_1}$ com uma extremidade em A e outra sobre $\overline{B{B}_1}$ para obtêrobter um triângulo retângulo. Por fim, vamos utilizar a razão seno no triângulo obtídoobtido e calcular a medida do segmento de reta traçado anteriormente quêque, por sua vez, é congruente a $\overline{A_1{B}_1}$.

3ª EXECUTAR O PLANO

Traçando um segmento de reta $\overline{AP}$ paralelo a $\overline{A_1{B}_1}$ de maneira quêque P esteja sobre $\overline{B{B}_1}$, obtemos um triângulo retângulo ABP.

Utilizando a razão seno, temos:

sen 60° = $\frac{AP}{AB}$ ⇒ $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ = $\frac{AP}{6}$ ⇒ AP = $\begin{array}{c}3\sqrt[]{3}\end{array}$

Como $\overline{AP}$ ≡ $\overline{A_1{B}_1}$, então AP = A₁B₁, ou seja, o segmento de reta $\overline{A_1{B}_1}$ médemede $\begin{array}{c}3\sqrt[]{3}\end{array}$ cm.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Pra verificar o resultado obtídoobtido, podemos considerar AB = 6 cm e AP = $3\sqrt[]{3}$ cm e determinar a medida do ângulo A$\widehat{B}$P_.

Seja (beta)"β a medida de A$\widehat{B}$P, então:

sen (beta)"β =$\frac{AP}{AB}$ = $\frac{3\sqrt[]{3}}{6}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Como 0° < (beta)"β < 90°, então (beta)"β = 60°.

Portanto, o segmento de reta $\overline{A_1{B}_1}$ médemede $\begin{array}{c}3\sqrt[]{3}\end{array}$ cm.

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ATIVIDADES

19. (Enem/MEC) Um grupo de países criou uma instituição responsável por organizar o Programa Internacional de Nivelamento de Estudos (PINE) com o objetivo de melhorar os índices mundiais de educação. Em sua sede foi construída uma escultura suspensa, com a logomarca oficial do programa, em três dimensões, quêque é formada por suas iniciais, conforme mostrada na figura.

Essa escultura está suspensa por cabos de aço, de maneira quêque o espaçamento entre lêtrasletras adjacentes é o mesmo, todas têm igual espessura e ficam dispostas em posição ortogonal ao solo, como ilustrado a seguir.

Ao meio-dia, com o Sol a pino, as lêtrasletras quêque formam essa escultura projetam ortogonalmente suas sombras sobre o solo.

A sombra projetada no solo é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

20. Cada face do sólido geométrico representado a seguir é paralela a um dos planos apresentados, perpendiculares entre si.

Indique em qual dos planos representados é ôbitídaobtida cada uma das figuras a seguir, correspondente a uma projeção ortogonal dêêssedesse sólido geométrico.

a)

(gama)"γ

b)

(alfa)"α

c)

(beta)"β

21. Classifique cada afirmação a seguir como verdadeira ou falsa e explique o quêque há de errado nas afirmações falsas.

a) A projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano é sempre outro segmento de reta.

Falsa, pois, se um segmento de reta for perpendicular a um plano, sua projeção ortogonal sobre esse plano será um ponto.

b) Ao projetar ortogonalmente duas retas r e s, reversas ortogonais, sobre um mesmo plano qualquer, obtemos retas perpendiculares entre si.

Falsa, pois as projeções ortogonais de duas retas reversas ortogonais sobre um mesmo plano quêque seja perpendicular a uma dessas retas são um ponto e uma reta.

c) Se dois planos são coincidentes, a distância entre eles será sempre igual a zero.

verdadeira

d) A distância entre duas retas perpendiculares é igual à distância entre quaisquer dois pontos dessas retas.

Falsa, pois a distância entre duas retas concorrentes não é definida.

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22. (Enem/MEC) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um paralelepípedo retangular, é representado pela figura.

A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, quêque é o ponto médio do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere quêque todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos.

A projeção ortogonal dêêssesdesses deslocamentos no plano quêque contém o chão do quarto é dada por:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa b

23. Na figura a seguir, AA₁ = 6 cm e BB₁ = 3,6 cm correspondem, respectivamente, às distâncias dos pontos A e B à reta r. Além díssudisso, com o ponto C, indicado em r a 4 cm de A₁, podem-se traçar os triângulos AA₁ C e BB₁ C semelhantes.

Qual é a distância entre os pontos A₁ e B₁?

6,4 cm

24. No triângulo a seguir, o lado $\overline{AB}$ é a projeção ortogonal do lado $\overline{AC}$ sobre a reta determinada por A e B. Observe as medidas indicadas e calcule o perímetro dêêssedesse triângulo.

(10 + $\begin{array}{c}10\sqrt[]{2}\end{array}$) cm ou aproximadamente 24,14 cm

25. Em um trapézio ABCD, tem-se quêque $\overline{AB}$ é a projeção ortogonal do lado $\overline{DC}$ sobre a reta determinada por A e B. Observe as medidas indicadas e determine o perímetro do trapézio ABCD.

36 cm

26. Junte-se a um colega para resolver esta atividade.

Considerem uma reta r e um segmento de reta $\overline{P{P}_1}$ perpendiculares, com P ∉ r e P₁ ∈ r. Sendo A um ponto pertencente a r, com A e P₁ não coincidentes, podemos afirmar quêque a medida PP₁ é igual, maior ou menor quêque a medida PA? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: A medida PP₁ é menor quêque a medida PA, pois $\overline{P{P}_1}$ corresponde a um cateto de um triângulo retângulo e $\overline{PA}$ à hipotenusa dêêssedesse mesmo triângulo; como a hipotenusa é sempre o maior lado de um triângulo retângulo, então PP₁ é menor quêque PA.

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VOCÊ CONECTADO
Determinando a distância entre um ponto e uma reta

Observe como podemos determinar a distância entre um ponto e uma reta, utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra, disponível em https://livro.pw/qoubj (acesso em: 29 jul. 2024). Para isso, vamos considerar a reta $\stackrel{⃡}{AB}$, com A (−1, 1) e B (4, 3), e o ponto C (1, 5) não pertencente à reta $\stackrel{⃡}{AB}$.

A Inicialmente, para construir o ponto A, no campo Entrada, digitamos A = (−1, 1) e pressionamos a tecla Enter. De maneira análoga, construímos os pontos B e C digitando, respectivamente, B = (4, 3) e C = (1, 5). Em seguida, com a opção (Reta), selecionamos os pontos A e B e obtemos a reta $\stackrel{⃡}{AB}$.

B Para obtêrobter a distância entre a reta $\stackrel{⃡}{AB}$ e o ponto C, usando a opção (Distância, comprimento ou perímetro), selecionamos o ponto C e, em seguida, a reta $\stackrel{⃡}{AB}$. O valor quêque aparece na tela corresponde à distância, em centímetro, entre $\stackrel{⃡}{AB}$ e o ponto C.

Professor, esta obra está atualizada conforme a grafia estabelecida pelo SI na publicação: INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA; INSTITUTO PORTUGUÊS DA QUALIDADE. Sistema Internacional de Unidades (SI). Tradução: Grupo de trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, DF: Inmetro; Caparica: IPQ, 2021. p. iii. Tradução luso-brasileira da 9ª edição. Disponível em: https://livro.pw/vbxre. Acesso em: 27 jun. 2024.

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MÃOS À OBRA

1. No GeoGebra, reproduza a construção apresentada anteriormente. Em seguida, trace uma reta g e uma reta h passando pelo ponto C, de maneira quêque sêjamsejam, respectivamente, paralela e perpendicular à reta $\stackrel{⃡}{AB}$, conforme mostrado a seguir. Depois, responda às kestõesquestões.

a) Qual é a posição relativa entre as retas g e h? Elas são coplanares? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Retas perpendiculares. Resposta esperada: Sim, pois g e h são retas concorrentes.

b) Marque o ponto D correspondente à interseção entre as retas $\stackrel{⃡}{AB}$ e h. Qual é a medida do segmento de reta $\stackrel{⃡}{CD}$?

aproximadamente 2,97 cm

c) pôdêmosPodemos considerar a distância entre as retas g e $\stackrel{⃡}{AB}$ igual à medida do comprimento do segmento de reta $\overline{AC}$? Justifique.

Resposta esperada: Não, pois o segmento de reta $\overline{AC}$ não está contido em uma reta perpendicular às retas g e $\stackrel{⃡}{AB}$.

d) No GeoGebra, construa um segmento de reta $\overline{BE}$, com E pertencente à reta g, cujo comprimento corresponda à distância entre g e $\stackrel{⃡}{AB}$.

Construção do estudante.

2. Observe o hekzágonohexágono regular ABCDEF representado no GeoGebra.

a) Considerando as retas quêque contêm os lados dêêssedesse polígono, indique quais delas são:

• perpendiculares a $\stackrel{⃡}{AB}$;

nenhuma das retas

• concorrentes a $\stackrel{⃡}{AB}$;

$\stackrel{⃡}{BC}$, $\stackrel{⃡}{CD}$, $\stackrel{⃡}{EF}$, e $\stackrel{⃡}{AF}$

• paralelas a $\stackrel{⃡}{AB}$;

$\stackrel{⃡}{DE}$

b) No GeoGebra, construa um polígono regular cujas retas quêque contenham dois quaisquer de seus lados sêjamsejam, apenas, paralelas ou perpendiculares.

Construção do estudante.

3. No GeoGebra, reproduza a construção a seguir.

a) Qual é a posição relativa entre as retas r e s?

paralelas

b) No GeoGebra, construa um segmento de reta $\overline{GH}$, com G pertencente à reta r e H pertencente à reta s, de maneira quêque o comprimento de $\overline{GH}$ seja igual à distância entre r e s. Qual é a posição relativa entre a reta determinada por G e H e as retas r e s?

Construção do estudante. A reta determinada por G e H é perpendicular às retas r e s.

c) Utilizando a opção (Distância, comprimento ou perímetro), calcule a distância entre os pontos:

• E e F.

4,47 cm

• E e D.

4,47 cm

• E e A.

5,1 cm

• F e B.

3,16 cm

• F e C.

8,25 cm

d) No GeoGebra, obtenha a distância entre os pontos F e E e cada uma das retas r e s.

F e s: 3,05 cm; F e r: 2,77 cm; E e s: 3,61 cm; E e r: 2,22 cm

e) Explique como é possível obtêrobter a distância entre o ponto D e a reta s sem realizar a medição dirétadireta entre eles.

Resposta possível: Como o ponto D pertence à reta r e esta é paralela à reta s, a distância entre o ponto D e a reta s é igual à distância entre a reta r e a reta s.

Então, basta obtêrobter a distância entre as retas r e s.

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Projeções cartográficas

Além da projeção ortogonal, existem outros tipos de projeção. A cilíndrica, a cônica e a plana (ou azimutal) são algumas das projeções cartográficas mais conhecidas na confekissãoconfecção de mapas, considerando a superfícíesuperfície de projeção sobre a qual a superfícíesuperfície terrestre é representada.

As ideias de projeções cartográficas são aplicadas desde a mêtádemetade do século XV, por causa das Grandes Navegações, quêque exigiam mapas cada vez mais realistas e confiáveis. Mesmo com a superfícíesuperfície da Terra sêndosendo curva, os cartógrafos da época queriam reproduzir nos mapas as diferentes localidades do glôboglobo terrestre de maneira quêque a reprodução fosse livre de distorções. Em meados do século XVII, o matemático suíço Leonhard poouPaul ÓilerEuler (1707-1783) demonstrou matematicamente quêque não é possível representar o planêtaplaneta Terra em uma superfícíesuperfície plana sem quêque haja alguma deformação. Portanto, qualquer tipo de projeção utilizado para confeksionarconfeccionar um mapa da superfícíesuperfície terrestre apresenta deformação, por exemplo, do formato, da área, das distâncias e dos ângulos.

Fonte dos dados: ÁVILA, Geraldo. A matemática e a cartografia. Revista do Professor de Matemática, [São Paulo], n. 65, [set./dez. 2008]. Disponível em: https://livro.pw/irpnz. Acesso em: 29 jul. 2024.

• Projeção cilíndrica

Consiste em projetar os pontos da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre sobre a superfícíesuperfície lateral de um cilindro imaginário e, em seguida, planificá-la, obtendo um mapa. Na projeção cilíndrica, os paralelos e meridianos são representados por segmentos de reta quêque se intersectam perpendicularmente.

Observe um exemplo.

Nessa projeção, o cilindro tangencia a linha do equador e, no mapa obtídoobtido, os meridianos e os paralelos correspondem a segmentos de reta. Com isso, as áreas dos continentes sofrem distorções, mas seus formatos são mantidos; quanto mais próximo dos polos, maior a distorção de sua área.

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• Projeção cônica

Consiste em projetar os pontos de parte da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre sobre a superfícíesuperfície lateral de um cone imaginário quêque seja tangente ou secante a essa parte do glôboglobo e, em seguida, planificá-la, obtendo um mapa.

Em geral, a projeção cônica é utilizada para representar regiões quêque se estendem na direção leste-oeste, apresentando mesma distorção de escala para localizações em um mesmo paralelo. Observe a figura. Nessa projeção, as áreas das superfícies representadas são mantidas. No mapa obtídoobtido, os meridianos correspondem a segmentos de reta quêque convérgemconvergem para um ponto, e os paralelos correspondem a arcos de circunferências concêntricas.

PARA AMPLIAR

• Projeção plana

Consiste em projetar os pontos de parte da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre sobre uma superfícíesuperfície plana quêque seja tangente ou secante a essa parte do glôboglobo, obtendo um mapa.

Em geral, a projeção plana é utilizada para representar áreas polares ou para uso geopolítico, já quêque possibilita destacar um país ou outra localidade ao centro da projeção. Observe a figura.

Nessa projeção, as áreas e os formatos das regiões representadas são distorcidos, mas são mantidas as distâncias a partir do centro de projeção. No mapa obtídoobtido, os meridianos correspondem a raios de uma mesma circunferência, e os paralelos, a circunferências concêntricas.

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ATIVIDADES

27. Atualmente, existem diversos sáitessites, softwares e aplicativos em quêque é possível explorar locais da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre. O gúgouGoogle ãrfEarth, por exemplo, pódepode sêrser utilizado em computador, smartphone ou táblêtitablet. Nele, é apresentado um modelo tridimensional do glôboglobo terrestre e, com as diferentes ferramentas disponibilizadas, é possível selecionar pontos sobre o glôboglobo e visualizar fotografias do local correspondente, realizar medições, traçar rótasrotas, entre outras funções.

Analise, a seguir, uma imagem do glôboglobo terrestre ôbitídaobtida no gúgouGoogle ãrfEarth em quêque foi traçada uma rota ligando pontos na Grécia (A), na Índia (B) e na Nigéria (C).

Ao projetar ortogonalmente essa rota sobre um plano (alfa)"α perpendicular ao eixo da Terra (reta imaginária quêque passa pelo Polo Norte e pelo Polo Sul) e tangente a ela no Polo Sul, obtemos uma figura quêque pódepode sêrser representada por:

a)

b)

c)

d)

alternativa d

28. Durante um estudo, um geógrafo utilizou cértocerto tipo de projeção cartográfica para obtêrobter um mapa em quêque os formatos das regiões representadas foram mantidos, mas suas áreas sofreram distorções. Neste mapa, o território da Groenlândia, por exemplo, aparenta ter área maior quêque a do Brasil, no entanto, a extensão territorial da Groenlândia corresponde a cerca de um quarto da extensão territorial do Brasil. Observe na figura a seguir como esses territórios foram representados. Depois, responda às kestõesquestões.

a) Qual tipo de projeção cartográfica esse geógrafo pódepode ter utilizado na obtenção do mapa: cilíndrica, cônica ou plana? Justifique.

Resposta esperada: Projeção cilíndrica, pois essa projeção permite quêque os formatos dos territórios representados sêjamsejam mantidos, mas as áreas correspondentes sofram distorções.

b) A quêque porcentual da área do território brasileiro corresponde a da Groenlândia?

aproximadamente 25%

c) Que tipo de projeção cartográfica pódepode sêrser utilizada em um mapa para representar parte da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre de maneira quêque a proporção entre as áreas de diferentes regiões seja mantida?

Resposta esperada: Projeção cônica.

29. Junte-se a dois côlégascolegas e, em um glôboglobo terrestre (virtual ou físico), identifiquem dois países quêque, aparentemente, tênhamtenham a mesma área. Depois, consultem três mapas obtidos por meio de diferentes projeções cartográficas e localizem os dois países escolhidos inicialmente. Para cada mapa, elaborem um texto descrevendo possíveis distorções entre os países identificados, como áreas, formatos, distâncias e ângulos. Em cada texto, não se esqueçam de explicitar o tipo de projeção cartográfica utilizado para obtêrobter o mapa.

Resposta pessoal.

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30. (Enem/MEC)

A ÔnuONU faz referência a uma projeção cartográfica em seu logotipo. A figura quêque ilustra o modelo dessa projeção é:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa a

31. Ao utilizar a projeção cartográfica plana, em quêque um plano (alfa)"α tangencia o glôboglobo terrestre no Polo Sul e esse plano é perpendicular ao eixo do glôboglobo, dizemos quêque é utilizada uma projeção estereográfica.

Nesse caso, a projeção de um ponto A da superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre sobre o plano (alfa)"α é um ponto A₁ correspondente à interseção entre (alfa)"α e a reta quêque passa por A e pelo ponto P _N, localizado no Polo Norte, conforme representado a seguir.

Considerando a linha do equador como uma circunferência de raio r, ao projetar cada ponto dessa linha sobre o plano (alfa)"α, utilizando a projeção estereográfica, obtém-se:

a) um segmento de reta de comprimento 2r.

b) um segmento de reta de comprimento 4r.

c) uma circunferência de diâmetro 2r.

d) uma circunferência de diâmetro 4r.

e) uma circunferência de raio 3r.

alternativa d

NO MUNDO DO TRABALHO

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O QUE ESTUDEI

1. Leia com atenção cada frase a seguir e faça uma reflekçãoreflexão sobre seu comportamento durante o estudo desta Unidade. Depois, responda se você: concórdaconcorda, concórdaconcorda parcialmente ou não concórdaconcorda com cada uma das afirmações.

Respostas pessoais.

a) Ouvi com atenção as explicações do professor.

b) Quando precisei, pedi ajuda ao professor.

c) Auxiliei o professor quando ele me pediu.

d) Participei das discussões propostas à turma.

e) Fiz as atividades propostas na sala de aula.

f) Fiz as atividades escolares propostas para casa.

g) Respeitei os côlégascolegas nas atividades em grupo.

h) Auxiliei os côlégascolegas quando eles tiveram dúvidas.

i) Levei para a sala de aula os materiais necessários.

2. Nas fichas a seguir, estão indicados os principais conteúdos quêque estudamos nesta Unidade. Reflita sobre cada um deles e verifique se você precisa retomar algum para melhor compreen-dê-locompreendê-lo.

Resposta pessoal.

3. Agora, para retomar de maneira colaborativa o estudo de um conteúdo desta Unidade, junte-se a dois côlégascolegas e sigam as etapas.

Respostas pessoais.

Consultem os conteúdos indicados na atividade anterior e escôlhamescolham um deles. Deem preferência a um conteúdo em quêque foi constatada necessidade de retomada de estudo.

Juntos, façam uma revisão do estudo dêêssedesse conteúdo. É importante a participação de todos os integrantes nessa revisão.

Elaborem uma apresentação sobre esse conteúdo, o quêque pódepode sêrser realizado por meio de slides, cartazes, vídeo, entre outros recursos. Na apresentação, podem sêrser incluídos exemplos e atividades resolvidas. Também podem sêrser propostas atividades para quêque os demais côlégascolegas da turma resolvam.

Na apresentação, é importante usar uma linguagem adequada, simples e objetiva. É necessário oportunizar um momento para quêque cada integrante do grupo possa contribuir com as explicações. Ao final, vocês podem disponibilizar os materiais produzidos aos demais côlégascolegas da turma.

Página cento e trinta e seis136

4. Na abertura desta Unidade, foram apresentadas algumas informações sobre a Geometria Esférica, quêque é uma Geometria não Euclidiana. O conhecimento sobre a Geometria Esférica tem aplicações em diferentes áreas do conhecimento. Por exemplo, esses conhecimentos são freqüentementefrequentemente utilizados na Cartografia para a representação de mapas.

Imagine quêque um fabricante de globos terrestres, dêêssesdesses quêque são usados nas escolas com a representação do planêtaplaneta Terra em escala reduzida, utilize esferas plásticas com 22 cm de raio, cuja superfícíesuperfície é coberta por adesivos.

resôuvaResolva os itens a seguir sobre a situação apresentada.

a) Esse fabricante estuda realizar um kórticorte em um modelo do glôboglobo terrestre, exatamente sobre a circunferência da linha do equador, de modo a obtêrobter duas peças montáveis quêque representam o Hemisfério Sul e o Hemisfério Norte do planêtaplaneta Terra. Esse kórticorte definirá, na superfícíesuperfície de cada uma das peças, uma região circular quêque vai funcionar como base de apôioapoio para ambas as peças. Qual será a área de cada uma dessas regiões?

484(pi)"π cm² ou aproximadamente 1.519,76 cm²

b) Para criar um novo modelo de mapa, esse fabricante deseja utilizar um tipo de projeção cartográfica quêque busca representar, com dêtálhesdetalhes, a região da Antártida. Que projeção cartográfica ele deve escolher?

Resposta esperada: Projeção plana ou azimutal.

c) Na Geometria Esférica, um polígono esférico pódepode sêrser definido como a porção da superfícíesuperfície esférica limitada por arcos de circunferências mássimasmáximas. Observe na figura o contôrnocontorno de um triângulo esférico, representado no glôboglobo terrestre, com dois vértices na circunferência da linha do equador (pontos B e C) e um vértice sobre o paralelo de 30°, no Hemisfério Norte (ponto A). Se o contôrnocontorno dêêssedesse triângulo for projetado ortogonalmente sobre um plano (alfa)"α, perpendicular ao eixo do glôboglobo terrestre e tangente a ele no Polo Sul, obtemos uma figura quêque pódepode sêrser representada por:

alternativa III

DICA

Em uma esféraesfera, uma circunferência mássimamáxima corresponde a uma circunferência de maior raio possível quêque pódepode sêrser determinada na superfícíesuperfície dessa esféraesfera.

Página cento e trinta e sete137

PRATICANDO: enêmENEM E VESTIBULARES

1. (UEA-AM) Considere as retas r e s e o plano (alfa)"α, tais quêque:

s ⊄ (alfa)"α

r ⊂ (alfa)"α

r ⫽ s

Então, conclui-se quêque

a) a reta r é perpendicular ao plano (alfa)"α.

b) a reta s é paralela ao plano (alfa)"α.

c) as retas r e s se intersectam no plano (alfa)"α.

d) as retas r e s se intersectam fora do plano (alfa)"α.

e) as retas r e s são reversas.

alternativa b

2. (UFAM) Assinale a alternativa CORRETA:

a) Dois planos quêque possuem três pontos em comum são coincidentes.

b) Se dois planos (alfa)"α e (beta)"β são perpendiculares ao plano (gama)"γ, então os planos (alfa)"α e (beta)"β são paralelos.

c) Existem dois planos distintos, passando ambos por um mesmo ponto e perpendiculares a uma reta.

d) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas.

e) Toda reta paralela a um plano é perpendicular a infinitas retas dêêssedesse plano.

alternativa d

3. (EsPCEx-SP) Sobre os conceitos de Geometria Espacial de Posição, analise as proposições a seguir.

I) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente ao outro.

II) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas dêêssedesse plano.

III) Se dois planos têm uma única reta em comum, eles são secantes.

IV) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si.

V) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.

Sobre essas proposições, é correto afirmar quêque

a) apenas a II e a III são verdadeiras.

b) apenas a II, a III e a IV são verdadeiras.

c) apenas a I e a IV são falsas.

d) apenas a IV e a V são falsas.

e) todas são verdadeiras.

alternativa a

4. (Enem/MEC) Um robô, quêque tem um ímanímã em sua base, se desloca sobre a superfícíesuperfície externa de um cubo metálico, ao longo de segmentos de reta cujas extremidades são pontos médios de arestas e centros de faces. Ele inicia seu deslocamento no ponto P, centro da face superior do cubo, segue para o centro da próxima face, converte à esquerda e segue para o centro da face seguinte, converte à direita e continua sua movimentação, sempre alternando entre conversões à esquerda e à direita quando alcança o centro de uma face. O robô só termina sua movimentação quando retorna ao ponto P. A figura apresenta os deslocamentos iniciais dêêssedesse robô.

A projeção ortogonal do trajeto descrito por esse robô sobre o plano da base, após terminada sua movimentação, visualizada da posição em quêque se está enxergando esse cubo, é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa a

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5. (Uesb-BA) Observando o paralelepípedo da figura a seguir, assinale a alternativa correta.

a) A reta $\stackrel{⃡}{EH}$ é perpendicular ao plano BCFG.

b) As retas $\stackrel{⃡}{BF}$ e $\stackrel{⃡}{CG}$ contidas no plano BCGF, são perpendiculares ao plano ABCD.

c) Existem dois planos quêque contêm a reta $\stackrel{⃡}{CG}$ e quêque são perpendiculares ao plano ADHE.

d) Existem dois planos quêque contêm a reta $\stackrel{⃡}{BC}$ e quêque são perpendiculares ao plano ADHE.

e) Existem dois planos perpendiculares ao plano ABCD e quêque contêm a reta $\stackrel{⃡}{GH}$.

Alternativa b

6. (Enem/MEC) Na figura estão destacadas duas trajetórias sobre a superfícíesuperfície do glôboglobo terrestre, descritas ao se percorrer parte dos meridianos 1, 2 e da Linha do Equador, sêndosendo quêque os meridianos 1 e 2 estão contidos em planos perpendiculares entre si. O plano (alfa)"α é paralelo ao quêque contém a Linha do Equador.

A vista superior da projeção ortogonal sobre o plano (alfa)"α dessas duas trajetórias é

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

7. (hú- hê- érre jotaUERJ) A imagem a seguir representa um cubo com aresta de 2 cm. Nele, destaca-se o triângulo AFC.

A projeção ortogonal do triângulo AFC no plano da base BCDE do cubo é um triângulo de área y.

O valor de y, em cm², é igual a:

a) 1

b) $\frac{3}{2}$

c) 2

d) $\frac{5}{2}$

alternativa c

8. (Famerp-SP) Analise o mapa.

O processo de elaboração da projeção cartográfica dêêssedesse mapa é ilustrado em:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa d

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