UNIDADE 4
FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS, ÁREA DE SUPERFÍCIE E VOLUME

Fonte dos dados: BASTOS, Paulo Sérgio. Fundamentos do concreto armado. Bauru: UnéspUnesp, 2023. p. 1-7. Disponível em: wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Fundamentos%20CA.pdf. Acesso em: 9 ago. 2024.

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Você já observou alguma estrutura de concreto armado no município em quêque mora?

2. Na construção de uma edificação em alvenaria, quêque estruturas costumam sêrser construídas em concreto armado? Se necessário, faça uma pesquisa.

3. O quêque deve sêrser considerado para determinar o volume de concreto necessário para a construção de uma viga?

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Poliedros

Na abertura desta Unidade, aprendemos quêque o concreto armado permite obtêrobter construções das mais variadas formas e tamanhos. Os formatos de muitas construções, cuja superfícíesuperfície é composta apenas de partes planas, lembram figuras geométricas espaciais chamadas poliedros.

Observe, a seguir, um poliedro quêque associamos a uma construção.

→

Você conhece alguma construção no bairro ou na cidade em quêque você mora quêque pódepode sêrser associada a um poliedro? Agora, obissérveobserve outros poliedros a seguir.

PARA PENSAR

A figura geométrica espacial a seguir apresenta as características de um poliedro? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Não, pois um lado de um dos polígonos quêque compõem sua superfícíesuperfície é também lado de outros três polígonos.

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Em todo poliedro, podemos identificar os seguintes elemêntoselementos:

• face é cada um dos polígonos quêque compõem sua superfícíesuperfície;

• aresta é cada lado comum a duas faces quaisquer;

• vértice é cada ponto em quêque se intersectam os lados das faces.

pôdêmosPodemos classificar um poliedro de acôr-doacordo com a quantidade de faces. Observe, a seguir, algumas dessas classificações.

DICA

Dois poliedros podem ter a mesma quantidade de faces, mas ter diferentes quantidades de vértices e de arestas. Observe dois exemplos.

Para nos referirmos aos poliedros com mais de 20 faces, podemos dizêrdizer apenas sua quantidade de faces, sem usar nome especial. Por exemplo, um poliedro de 25 faces.

Acompanhe outra maneira como os poliedros podem sêrser classificados.

PARA PENSAR

Você lembra a definição de polígono convexo? E de polígono não convexo?

Respostas pessoais.

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Relação de ÓilerEuler

Reflita a respeito da seguinte situação.

Um poliedro convexo tem 15 vértices e 27 arestas. Quantas faces tem esse poliedro?

Antes de responder a essa questão, vamos estudar uma relação entre a quantidade de vértices (V), de arestas (A) e de faces (F) de poliedros convexos. Para isso, considere os poliedros a seguir.

Para cada poliedro apresentado, adicione a quantidade de vértices à quantidade de faces. Você vai perceber quêque o resultado é igual à quantidade de arestas mais duas unidades. Essa relação foi apresentada pelo matemático suíço Leonhard poouPaul ÓilerEuler (1707-1783), sêndosendo mais uma dentre suas várias contribuições à Matemática.

PARA PENSAR

Escolha um dos poliedros convexos apresentados anteriormente nesta Unidade e verifique a validade da relação de ÓilerEuler para esse poliedro.

Resposta pessoal.

É importante considerar quêque:

• existem alguns poliedros não convexos para os quais essa relação também é válida;

• não são todas as soluções da equação V + F = A + 2 quêque têm um poliedro convexo correspondente. Por exemplo, V = 3, F = 0 e A = 1 é solução dessa equação, porém não existe um poliedro com 3 vértices, 0 face e 1 aresta.

Agora, utilizando a relação de ÓilerEuler, vamos retomar a questão proposta no início desta página, ou seja, determinar quantas faces tem o poliedro convexo com 15 vértices e 27 arestas.

V + F = A + 2 → 15 + F = 27 + 2 ⇒ F = 29 − 15 = 14

Portanto, esse poliedro convexo tem 14 faces.

PARA PENSAR

Por meio de um desenho, dê exemplo de um poliedro não convexo e verifique se, para ele, vale a relação de ÓilerEuler.

Resposta pessoal.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Quantos vértices e quantas arestas tem um poliedro convexo com 8 faces triangulares e 2 faces quadrangulares?

Resolução

Nesse poliedro convexo, a quantidade total de lados das faces:

• triangulares é 24, pois 8 ⋅ 3 = 24;

• quadrangulares é 8, pois 2 ⋅ 4 = 8.

Cada aresta corresponde ao lado comum a duas faces de um poliedro.

Então, a quantidade total de arestas dêêssedesse poliedro é dada por:

A = $\frac{24+8}{2}$ = 16

Como o poliedro é convexo, podemos utilizar a relação de ÓilerEuler:

V + F = A + 2 ⇒ V + (8 + 2) = 16 + 2 ⇒ V = 18 − 10 = 8

Portanto, esse poliedro tem 8 vértices, 16 arestas e 10 faces.

Observe, ao lado direito da página, um poliedro convexo com essas características.

R2. Alguns poliedros têm características particulares, como os poliedros de Platão, quêque recebem esse nome em homenagem ao filósofo grego Platão (c. 427 a.C.-347 a.C.).

Em cada item, verifique se o hexaedro convexo apresentado é um poliedro de Platão.

a)

b)

c)

Resolução

a) Esse hexaedro tem cinco faces com três lados e uma face com cinco lados. Assim, a condição I não é satisfeita. Portanto, esse hexaedro não é um poliedro de Platão.

b) Nesse poliedro, é satisfeita a condição I, pois todas as faces são triangulares. No entanto, a condição II não é satisfeita, pois, de alguns vértices, partem três arestas e, de outros vértices, partem quatro arestas. Portanto, esse hexaedro não é um poliedro de Platão.

c) Esse hexaedro tem as seis faces quadrangulares, satisfazendo a condição I, e, ainda, de cada vértice, partem três arestas, satisfazendo a condição II. Por fim, é válida a relação de ÓilerEuler para esse poliedro, pois ele é um poliedro convexo, o quêque satisfaz a condição III. Portanto, esse hexaedro é um poliedro de Platão.

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ATIVIDADES

1. resôuvaResolva as kestõesquestões com base no poliedro a seguir.

a) Determine a quantidade de vértices, faces e arestas.

7 vértices; 7 faces; 12 arestas

b) Qual é o formato das faces?

4 faces triangulares e 3 faces quadrangulares

c) O vértice A é comum a quantas arestas? E o vértice B?

3 arestas; 4 arestas

2. Desenhe um poliedro convexo e um poliedro não convexo. Depois, para cada um, identifique o formato das faces.

Construção do estudante.

3. Você já montou um cubo mágico convencional? Ele é um quêquebra-cabeça com formato de cubo em quêque cada face é composta de 9 peças que lembram quadrados congruentes. Atualmente, existem diversas variações dêêssedesse quebra-cabeça. Uma delas tem o formato de um dodecaedro regular em quêque cada face é composta de peças quêque lembram 5 losangos congruentes, 5 trapézios congruentes e 1 pentágono regular.

Determine quantas peças de cada formato, ao todo, tem esse quebra-cabeça.

losango: 60 peças; trapézio: 60 peças; pentágono regular: 12 peças

4. Você sabe o quêque é um poliedro regular?

Analise os cinco únicos poliedros regulares quêque existem e suas respectivas planificações.

Agora, resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) A relação de ÓilerEuler é válida para os poliedros regulares? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Sim, pois os poliedros regulares são poliedros convexos.

b) Determine a quantidade de faces, de arestas e de vértices e o polígono correspondente a cada face dos poliedros regulares. Indique também a quantidade de arestas quêque parte de cada vértice. Organize essas informações em um qüadroquadro.

Resposta nas Orientações para o professor.

c) Todo poliedro regular também é um poliedro de Platão? Justifique sua resposta.

Resposta esperada: Sim, pois, em um poliedro regular qualquer, todas as faces têm a mesma quantidade de lados, de cada vértice parte a mesma quantidade de arestas e é válida a relação de ÓilerEuler.

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5. Qual é a quantidade de vértices de um hexadecaedro convexo formado apenas por faces triangulares?

10 vértices

6. cértoCerto poliedro convexo tem cinco faces quadrangulares, cinco faces triangulares e uma face pentagonal. A quantidade de vértices e de arestas dêêssedesse poliedro é, respectivamente:

a) 20 e 11;

b) 11 e 40;

c) 11 e 20;

d) 22 e 20;

e) 22 e 40.

alternativa c

7. Considere um poliedro convexo com 30 arestas e 14 vértices cuja superfícíesuperfície é formada apenas por faces triangulares e quadrangulares.

pôdêmosPodemos afirmar quêque esse poliedro tem exatamente faces com os seguintes formatos:

a) 6 triangulares e 12 quadrangulares;

b) 9 triangulares e 9 quadrangulares;

c) 8 triangulares e 10 quadrangulares;

d) 12 triangulares e 6 quadrangulares;

e) 12 triangulares e 12 quadrangulares.

alternativa d

8. Considere um poliedro de Platão em quêque uma das faces é um pentágono.

a) Qual das expressões a seguir relaciona as quantidades de vértices V e de faces F dêêssedesse poliedro?

I) V + F = 10

II) V − 4F = 2

III) 2V − 3F = 4

III

b) Qual é o nome dêêssedesse poliedro?

dodecaedro

9. Um grupo de estudantes precisa confeksionarconfeccionar um dado quêque será usado em um jôgojogo. O dado terá formato de octaedro regular e eles utilizarão pedaços de tecido para representar cada uma de suas faces. Ao costurar uma lateral de dois pedaços de tecido, unindo duas faces dêêssedesse dado, são utilizados 9,5 cm de linha. Nessas condições, para realizar toda a costura necessária na superfícíesuperfície dêêssedesse dado, serão utilizados, no mínimo, quantos centímetros de linha?

114 cm de linha

10. (Enem/MEC) No ano de 1751, o matemático ÓilerEuler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos quêque relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V): V + F = A + 2. No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sêndosendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se quêque alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces quêque não podem sêrser vistas diretamente são retangulares.

Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?

a) V + F = A

b) V + F = A − 1

c) V + F = A + 1

d) V + F = A + 2

e) V + F = A + 3

alternativa e

11. (hú- hê- érre jotaUERJ) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, quêque coincidem perfeitamente, formam um poliedro kon kavucôncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A dêêssedesse poliedro kon kavucôncavo. A soma V + F + A é igual a:

a) 102

b) 106

c) 110

d) 112

alternativa d

DICA

Um poliedro não convexo também pódepode sêrser denominado poliedro kon kavucôncavo.

12. Sejam A e B dois poliedros de Platão, em quêque A é formado por faces pentagonais e B, por faces triangulares. Sabendo quêque A e B têm a mesma quantidade de arestas e quêque A tem 8 vértices a mais do quêque B, determine a quantidade de faces, vértices e arestas de A e B. Depois, classifique esses poliedros quanto à quantidade de faces.

poliedro A: dodecaedro; 12 faces, 20 vértices e 30 arestas; poliedro B: icosaedro; 20 faces, 12 vértices e 30 arestas

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Prismas

Você sabe o quêque são pisos intertravados de concreto? São revestimentos compostos de blocos de concreto assentados diretamente sobre uma camada de areia e travados entre si por contenção lateral. Esses blocos são dispostos com espaços entre eles quêque, por sua vez, são preenchidos com areia fina ou pedriscos. Esse tipo de piso apresenta algumas vantagens sustentáveis, como o reaproveitamento de blocos já utilizados e a drenagem da á guaágua da chuva.

Observe dois modelos de blocos quêque compõem um piso intertravado e cujos formatos lembram poliedros.

Os poliedros apresentados têm características quêque nos permitem classificá-los em prismas.

Agora, vamos estudar prismas de maneira quêque seja possível, por exemplo, determinar a área da superfícíesuperfície e o volume de pisos de concreto como os apresentados anteriormente.

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Os prismas podem sêrser denominados de acôr-doacordo com o polígono das bases. Analise alguns exemplos.

Além díssudisso, um prisma também pódepode sêrser classificado de acôr-doacordo com a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases. Acompanhe.

Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma também pódepode sêrser chamado de paralelepípedo; no prisma reto, quando as bases são retângulos, ele também pódepode sêrser chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular.

PARA PENSAR

por quêPor que podemos dizêrdizer quêque o cubo é um caso particular de paralelepípedo reto-retângulo? Justifique sua resposta e desenhe em seu caderno a planificação do cubo.

Resposta nas Orientações para o professor.

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Área da superfícíesuperfície de um prisma

Em qualquer prisma, podemos destacar as seguintes áreas.

• A superfícíesuperfície lateral corresponde à reunião das faces laterais do prisma, portanto a área dessa superfícíesuperfície é a área lateral (A(éli)"ℓ).

• A área da base (A_b) corresponde à área do polígono quêque compõe cada base do prisma.

• A superfícíesuperfície total corresponde à reunião da superfícíesuperfície lateral e das bases do prisma, portanto a área dessa superfícíesuperfície é a área total (A_t).

Assim, a área total de um prisma pódepode sêrser expressa por:

A_t = A(éli)"ℓ + 2A_b

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Determine a medida da diagonal $\overline{AG}$ do paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH a seguir.

Resolução

Como ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, ao traçarmos o segmento de reta $\overline{AC}$ obtemos dois triângulos retângulos: ACG e ABC.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:

(AC)² = (AB)² + (BC)² ⇒ (AC)² = 12² + 5² ⇒ (AC)² = 169 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}AC=\sqrt[]{169}=13\\ \mathrm{ou}\\ AC=-\sqrt[]{169}=-13\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Agora, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACG, temos:

(AG)² = (AC)² + (CG)² ⇒ (AG)² = 13² + 6² ⇒ (AG)² = 205 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}AG=\sqrt[]{205}\\ \mathrm{ou}\\ AG=-\sqrt[]{205}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, a medida da diagonal $\overline{AG}$ dêêssedesse paralelepípedo reto-retângulo é $\begin{array}{c}\sqrt[]{205}\end{array}$ cm ou aproximadamente 14,32 cm.

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R4. (UEMG) Um designer projetou um chaveiro no formato de um prisma triangular reto com 12 cm de altura. Sabe-se quêque as arestas da base formam um triângulo retângulo com catetos de medidas 6 cm e 8 cm. Para cobrir todas as faces dêêssedesse prisma, adquirindo a quantidade suficiente de papel adesivo, e, com isso, evitar o desperdício, será preciso saber a área total da superfícíesuperfície dêêssedesse prisma. Fazendo os cálculos corretos, obtém-se quêque a área total dêêssedesse prisma médemede

a) 336 cm².

b) 324 cm².

c) 316 cm².

d) 312 cm².

Resolução

Inicialmente, vamos calcular a área da base dêêssedesse prisma triangular reto, quêque corresponde a um triângulo retângulo de catetos medindo 6 cm e 8 cm:

A_b = $\frac{6\cdot 8}{2}$ = 24; ou seja, 24 cm².

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo presente nas bases dêêssedesse prisma, vamos determinar a medida x de sua hipotenusa, em centímetro:

x² = 6² + 8² ⇒ x² = 100 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\sqrt[]{100}=10\\ \mathrm{ou}\\ x=-\sqrt[]{100}=-10\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Como esse prisma é reto, suas faces laterais são retângulos de dimensões 12 cm e 6 cm, 12 cm e 8 cm, e 12 cm e 10 cm. Assim, a área lateral dêêssedesse prisma é dada por:

A(éli)"ℓ = (12 ⋅ 6) + (12 ⋅ 8) + (12 ⋅ 10) = 72 + 96 + 120 = 288; ou seja, 288 cm².

Agora, vamos calcular a área total dêêssedesse prisma:

A_t = A(éli)"ℓ + 2A_b = 288 + 2 ⋅ 24 = 336; ou seja, 336 cm².

Portanto, a alternativa a é a correta.

ATIVIDADES

13. Mostre quêque a medida d da diagonal do paralelepípedo reto-retângulo a seguir é dada por d = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}\end{array}$.

Resposta nas Orientações para o professor.

14. Em certa residência será construída uma piscina, cujo formato interno é o de um paralelepípedo reto-retângulo, com 1,5 m de profundidade, 5 m de comprimento e 4 m de largura. Para revestir toda a superfícíesuperfície interna dessa piscina, um azulejista cobra R$ 35,00 por métrometro quadrado. Qual será o valor, em reais, cobrado pelo azulejista para realizar esse serviço?

R$ 1.645,00

15. Um nicho decorativo foi compôztocomposto de quatro partes idênticas, cada uma com formato de prisma hexagonal regular de 15 cm de altura, quêque foram ajustadas de maneira quêque algumas de suas faces laterais ficaram fixadas umas nas outras, sobrepondo-as, conforme representado a seguir.

Quantos centímetros quadrados de adesivo serão utilizados para revestir totalmente a parte lateral externa dêêssedesse nicho? Considere $\sqrt[]{3}$ ≃ 1,7.

6.300 cm²

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16. O reaproveitamento de contêineres tem se tornado uma alternativa sustentável e econômica para a construção de residências, lojas, escritórios, restaurantes, entre outros estabelecimentos. Uma empresa especializada nesse ramo projetou o modelo representado a seguir, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, em quêque serão instaladas uma janela com formato quadrangular com 1,2 m de lado e uma porta com formato retangular de dimensões 2,1 m e 2 m.

Após a instalação da janela e da porta, será utilizada uma tinta impermeabilizante cujo rendimento é de 14 m²/L para pintar a superfícíesuperfície externa dêêssedesse contêiner, incluindo sua parte inferior. Quantos litros dessa tinta são necessários, no mínimo, para pintar 35 contêineres como esse?

169,6 L

17. Uma fábrica personaliza toda a superfícíesuperfície externa das tampas de caixas quêque acondicionam alimentos. Observe as medidas aproximadas de dois modelos de tampa, um com formato de prisma quadrangular regular e outro com formato de prisma octogonal regular, ambos com altura de 4 cm.

Quantos centímetros quadrados, aproximadamente, há de diferença entre a área da região de personalização dêêssesdesses dois modelos da tampa?

63 cm²

18. Ao adicionar as medidas de todas as arestas do prisma oblíquo a seguir, cujas bases são hekzágonoshexágonos regulares, obtém-se aproximadamente:

a) 140,7 m.

b) 184,7 m.

c) 211,7 m.

d) 228 m.

e) 244,7 m.

alternativa e

19. Um serralheiro, para confeksionarconfeccionar uma peça de aço, soldou duas partes cúbicas, de maneira quêque os vértices de uma das bases da parte menor coincidissem com os pontos médios das arestas de uma das bases da parte maior, conforme representado na figura.

Após a soldagem, o serralheiro realizou um processo de galvanização na parte externa da peça. A área aproximada da região galvanizada dessa peça é:

a) 490 cm².

b) 980 cm².

c) 1.470 cm².

d) 1.568 cm².

e) 1.665 cm².

alternativa d

20. Observe, a seguir, as medidas externas de caixas de papelão, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, disponíveis para pronta-entrega de certa empresa.

Com base nessas informações, elabore e escrêevaescreva um problema envolvendo a área de prismas. Em seguida, troque o problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

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Volume de um prisma

Você sabia quêque as piscinas olímpicas têm medidas padronizadas? De acôr-doacordo com a Federação Internacional de Natação, uma piscina olímpica deve ter formato de paralelepípedo reto-retângulo com 50 m de comprimento e 25 m de largura, e a á guaágua deve atingir, no mínimo, 2 m de altura. Nessas condições, para determinar a quantidade mínima de á guaágua necessária em uma piscina olímpica, podemos determinar o volume dessa á guaágua, ou seja, o espaço quêque ela ocupa na piscina.

Fonte dos dados: GURI, Paulo Guilherme. Olimpíadas 2024: quantos litros de á guaágua tem uma piscina olímpica? São Paulo: Anapp, 25 jun. 2024. Disponível em: https://livro.pw/stmgl. Acesso em: 13 set. 2024.

Para ilustrar essa situação, considere um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões correspondem ao bloco de á guaágua da piscina, conforme apresentado a seguir.

pôdêmosPodemos calcular o volume dêêssedesse paralelepípedo reto-retângulo imaginando sua decomposição em cubos com 1 m de aresta, ou seja, 1 m³ de volume. Nesse caso, são obtidas duas camadas com 25 fileiras de 50 cubos cada. Assim, a quantidade de cubos dêêssesdesses em quêque o paralelepípedo reto-retângulo foi decomposto é dada por:

2 ⋅ 25 ⋅ 50 = 2.500; ou seja, 2.500 cubos.

Como o volume de cada cubo dêêssesdesses é 1 m³, então o volume dêêssedesse paralelepípedo reto-retângulo é 2.500 m³, quêque corresponde ao volume mínimo de á guaágua quêque uma piscina olímpica deve ter.

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Agora, vamos estudar como calcular o volume de um prisma qualquer. Para isso, considere dois empilhamentos compostos de peças de blocos lógicos quêque lembram prismas idênticos e, por consequência, de mesmo volume, conforme representado a seguir.

DICA

Os blocos lógicos foram criados pelo matemático húngaro Zoltan poouPaul Dienes (1916-2014), em meados da década de 1950, com o objetivo de auxiliar no desenvolvimento de atividades pedagógicas e do raciocínio lógico.

PARA PENSAR

Como você calcularia o volume de cada empilhamento dêêssesdesses?

Resposta esperada: Determinar o volume de cada peça e multiplicar o resultado obtídoobtido pela quantidade de peças de cada empilhamento.

Cada empilhamento tem a mesma quantidade de peças e cada peça tem o mesmo volume, portanto esses empilhamentos também têm volumes iguais. Isso ocorre independentemente de como empilharmos essa quantidade de peças.

Essa comparação entre os volumes dêêssesdesses dois empilhamentos envolve ideias do princípio de Cavalieri, conforme enunciado a seguir.

Utilizando o princípio de Cavalieri, é possível determinar o volume de um prisma qualquer. Para exemplificar, considere um paralelepípedo reto-retângulo P₁ e um prisma qualquer P₂, ambos com altura h e bases com áreas iguais, apoiados em um mesmo plano (alfa)"α. Qualquer plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α, secciona esses prismas determinando neles duas regiões planas A₁ e A₂, respectivamente, de mesma área. Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume de P₂ é igual ao volume de P₁.

Sabemos quêque o volume do paralelepípedo reto-retângulo P₁ é dado por V_P1 = A_b ⋅ h; então, o volume de um prisma qualquer P₂ também é dado por V_P2 = A_b ⋅ h.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R5. Na figura, estão indicadas as medidas das dimensões internas de um aquário com formato de prisma hexagonal regular. Quantos mililitros de á guaágua podem sêrser colocados nesse aquário para quêque seja ocupado $\frac{3}{4}$ de sua capacidade?

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos considerar o prisma hexagonal regular correspondente à região interna dêêssedesse aquário e realizar a decomposição da atividade em kestõesquestões para resolvê-la em etapas.

Acompanhe.

1ª) Qual é a medida do apótema da base dêêssedesse prisma?

2ª) Qual é a área da base dêêssedesse prisma?

3ª) Qual é o volume dêêssedesse prisma?

4ª) Quanto é $\frac{3}{4}$ do volume dêêssedesse prisma?

Agora, podemos resolver cada questão e utilizar a resposta na resolução da questão seguinte.

1ª) pôdêmosPodemos decompor o polígono da base dêêssedesse prisma em triângulos equiláteros congruentes, conforme indicado na figura. Depois, utilizando o teorema de Pitágoras, calculamos a medida do apótema a, em centímetro.

10² = a² + ($\frac{10}{2}$)² ⇒ a² = 100 − 25 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}a=\sqrt[]{75}=5\sqrt[]{3}\\ \mathrm{ou}\\ a=-\sqrt[]{75}=-5\sqrt[]{3}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

2ª) pôdêmosPodemos calcular a área A_b da base dêêssedesse prisma, em centímetro quadrado, multiplicando por 6 a área de cada triângulo equilátero em quêque essa base foi decomposta.

A_b = 6 ⋅ $\frac{\mathcal{l}\mathcal{}\cdot \mathcal{}a}{2}$ → Ab = 6 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{10\cdot 5\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}150\sqrt[]{3}\end{array}$

3ª) Assim, temos quêque o volume V dêêssedesse prisma, em centímetro cúbico, é dado por:

V = A_b ⋅ h → V = $150\sqrt[]{3}$ ⋅ 15 = $2.250\sqrt[]{3}$

4ª) Calculando $\frac{3}{4}$ do volume dêêssedesse prisma, em centímetro cúbico, temos:

$\frac{3}{4}$ ⋅ $2.250\sqrt[]{3}$ = $\frac{3.375\sqrt[]{3}}{2}$

Portanto, como 1 cm³ = 1 mL, podem sêrser colocados $\begin{array}{c}\frac{3.375\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ mL ou aproximadamente 2.922,8 mL de á guaágua nesse aquário para quêque seja ocupada $\frac{3}{4}$ da capacidade dele.

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R6. (Enem/MEC) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60 m × 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo quêque os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha quêque ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga mássimamáxima: ele sofre um acidente quêque ocasiona um furo no fundo do compartimento C.

Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias.

Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de

a) 1,4 × 10³ m³

b) 1,8 × 10³ m³

c) 2,0 × 10³ m³

d) 3,2 × 10³ m³

e) 6,0 × 10³ m³

Resolução

Para resolver esta atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, obtemos as seguintes informações:

• o reservatório tem formato de paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 10 m, 60 m e 10 m e é subdividido em três compartimentos de mesmo volume, separados por placas retangulares de 7 m de altura e 10 m de base;

• após um suposto acidente, tem-se um furo no fundo do compartimento C, quêque resulta em vazamento;

• precisamos determinar o volume de petróleo derramado nesse suposto vazamento.

2ª ELABORAR UM PLANO

• Inicialmente, podemos calcular o volume total de petróleo no reservatório. Em seguida, calcular o volume em cada compartimento. Por fim, subtrair do volume total de petróleo do reservatório o volume correspondente a dois compartimentos (A e B), resultando no volume de petróleo derramado.

3ª EXECUTAR O PLANO

O volume total de petróleo no reservatório é dado por:

V_R = 60 ⋅ 10 ⋅ 10 = 6.000; ou seja, 6.000 m³.

O volume de cada compartimento é dado por:

V_C = 20 ⋅ 10 ⋅ 7 = 1.400; ou seja, 1.400 m³.

Subtraindo o volume de petróleo de dois compartimentos do volume total do reservatório, obtemos:

V_R − 2 ⋅ V_C = 6.000 − 2 ⋅ 1.400 = 3.200 = 3,2 ⋅ 10³; ou seja, 3,2 ⋅ 10³ m³.

Página cento e cinquenta e cinco155

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Vamos adicionar o volume de petróleo quêque estava contido no compartimento C ao volume quêque estava contido apenas na parte superior do reservatório (acima das placas divisórias). Para isso, podemos calcular o volume V₁ de um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 60 m, 10 m e 3 m (10 − 7) e o volume V₂ de outro paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 20 m, 10 m e 7 m para obtêrobter o volume total V de petróleo derramado:

V₁ = 60 ⋅ 10 ⋅ 3 = 1.800; ou seja, 1.800 m³.

V₂ = 20 ⋅ 10 ⋅ 7 = 1.400; ou seja, 1.400 m³.

V = V₁ + V₂ = 1.800 + 1.400 = 3.200 = 3,2 ⋅ 10³; ou seja, 3,2 ⋅ 10³ m³.

Portanto, a alternativa d é a correta.

ATIVIDADES

21. Calcule o volume do sólido geométrico a seguir, quêque pódepode sêrser decomposto em paralelepípedos reto-retângulos.

808 cm³

22. O armazenamento de á guaágua da chuva em reservatórios pódepode sêrser uma alternativa consciente para reaproveitar a á guaágua em tarefas domésticas, como lavar calçadas e regar plantas. Para quêque essa á guaágua não se torne criadouro do mosquito aédisAedes egíptiaegypti, transmissor de diversas doenças, são necessários alguns cuidados, por exemplo, misturar 2 mL de á guaágua sanitária para cada litro de á guaágua e manter o reservatório fechado.

Um dêêssesdesses reservatórios tem formato de paralelepípedo reto-retângulo cujas medidas das dimensões internas são 3 m, 2 m e 1,2 m. Quantos litros de á guaágua sanitária são necessários misturar quando esse reservatório estiver com á guaágua até 80% da sua capacidade total?

11,52 L

DICA

Você pódepode decompor esta atividade em etapas propondo algumas kestõesquestões, como: qual é a capacidade total dêêssedesse reservatório? A quantos litros correspondem 80% da capacidade dêêssedesse reservatório? Quantos mililitros de á guaágua sanitária serão necessários misturar quando esse reservatório estiver com á guaágua ocupando 80% da capacidade total dele?

23. Um fresador mecânico confeccionou a peça de metal representada, cujo formato é de um prisma hexagonal regular, com um furo com formato de paralelepípedo reto-retângulo.

a) Qual é o volume dessa peça? Considere $\sqrt[]{3}$ ≃ 1,7.

aproximadamente 135,6 cm³

b) Qual é a massa dessa peça, sabendo quêque o metal utilizado tem densidade de 2,7 g/cm³?

366,12 g

DICA

A densidade de um material é dada pela razão entre sua massa e seu volume.

24. Para enviar uma mercadoria quêque está acondicionada em uma embalagem moldável, de 25 L de volume, uma transportadora disponibilizou alguns modelos de caixa, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, conforme apresentado a seguir.

a) Calcule, em litro, a capacidade de armazenamento de cada modelo de caixa apresentado.

A: 17,496 L; B: 52,488 L; C: 26,244 L; D: aproximadamente 8,201 L

b) Qual modelo de caixa pódepode sêrser escolhido para acomodar a mercadoria descrita, de maneira quêque o custo de envio seja o menor possível?

modelo B

Página cento e cinquenta e seis156

25. As bases dêstedeste prisma oblíquo correspondem a triângulos equiláteros. Determine a medida da aresta da base dêêssedesse prisma, sabendo quêque seu volume é igual a $180\sqrt[]{3}$ dm³.

$4\sqrt[]{3}$ dm

26. Estudamos, anteriormente, quêque os pisos intertravados são revestimentos compostos de blocos de concreto. Considere um modelo dêêssesdesses blocos cujo formato é o de um paralelepípedo reto-retângulo e cujas dimensões são 20 cm, 10 cm e 6 cm.

DICA

Considere quêque o bloco seja instalado de maneira quêque a dimensão de 6 cm fique posicionada na vertical.

Desconsiderando a área correspondente aos vãos entre os blocos, calcule quantos metros cúbicos de concreto são necessários para produzir blocos dêêssedesse modelo quêque sêjamsejam suficientes para pavimentar uma região retangular de 8 m de comprimento e 5 m de largura.

2,4 m³

27. Na figura a seguir, está representada a planificação de um prisma reto cujo formato da base é um triângulo retângulo. Determine o volume dêêssedesse prisma.

162 cm³

28. Pesquise em uma fonte de informação confiável, como sáitisite, jornáljornal ou revista, uma notícia quêque envolva alguma unidade de medida de capacidade. Dê preferência a alguma notícia quêque seja de interêsseinteresse da comunidade em quêque você vive.

Com base nessa pesquisa, elabore um problema quêque contenha um trecho da notícia pesquisada – não se esqueça de indicar a fonte dessa notícia – e cuja resolução envolva o cálculo do volume de um prisma. Em seguida, troque o problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Pesquisa e elaboração do estudante.

29. Uma empresa de côlétacoleta de resíduos de construção civil utiliza caçambas com formato quêque lembra um prisma reto. Observe as dimensões internas de uma dessas caçambas.

Qual é o volume mássimomáximo aproximado de resíduos quêque pódepode sêrser coletado nessa caçamba, sabendo quêque não pódepode havêerhaver resíduos ultrapassando suas bordas?

a) 5,3 m³

b) 7,1 m³

c) 17,8 m³

d) 20 m³

e) 21,4 m³

alternativa c

30. No Brasil, em 2022, o consumo médio diário de á guaágua por habitante foi cerca de 148 L de á guaágua, 38 L a mais do quêque o recomendado pela Organização das Nações Unidas (ÔnuONU).

Fonte dos dados: TRATA BRASIL. Água. [S. l., 2024]. Disponível em: https://livro.pw/adwin. Acesso em: 9 ago. 2024.

• Desenhe um paralelepípedo reto-retângulo, indicando as medidas de suas arestas, de maneira quêque seu volume corresponda à quantidade de á guaágua para consumo recomendada pela ÔnuONU.

Algumas respostas possíveis: Paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 4 dm, 5,5 dm e 5 dm; paralelepípedo reto-retângulo com dimensões de 5 dm, 11 dm e 2 dm.

31. (UFRGS-RS) Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo equilátero. Considere h a medida da aresta da base do prisma hexagonal e t a medida da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão $\frac{h}{t}$ vale

a) $\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[]{6}}\end{array}$.

b) $\frac{1}{6}$.

c) 1.

d) $\sqrt[]{6}$.

e) 6.

alternativa a

Página cento e cinquenta e sete157

32. As leis brasileiras quêque buscam garantir a inclusão de pessoas com deficiência na ssossiedadesociedade, em geral, são validadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Uma dessas leis diz respeito às normas para acessibilidade, como aquelas relacionadas às rampas de acesso. Analise algumas normas referentes a isso.

• Consideram-se rampas as inclinações da superfícíesuperfície de piso quêque têm declividade maior ou igual a 5%. Para garantir a acessibilidade de pessoas com deficiência, a inclinação de rampas não deve ultrapassar 8,33%.

• A inclinação de rampas (ou declividade) deve sêrser calculada de acôr-doacordo com a expressão i = $\frac{h\cdot 100}{c}$, em quêque i representa a inclinação em porcentagem, h é a altura do desnível e c é o comprimento da projeção horizontal, conforme a figura.

• A largura livre recomendada para rampas é de 1,50 m.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020. p. 56-57. Disponível em: https://livro.pw/gxslr. Acesso em: 9 ago. 2024.

Para atender às condições de acessibilidade de certa escola, um arquiteto está projetando uma rampa de acesso quêque será construída com concreto maciço e terá o formato de um prisma triangular reto. Para esse projeto, será considerada uma rampa com altura de desnível de 0,60 m, inclinação de 8% e cuja largura livre é igual à recomendada pela ABNT.

DICA

A inclinação da rampa, dada em porcentual, corresponde à razão entre a altura do desnível e o comprimento da projeção horizontal da rampa.

a) Determine o comprimento da projeção horizontal dessa rampa.

7,5 m

b) Quantos metros cúbicos de concreto serão necessários para a construção dessa rampa? Desconsidere as ferragens quêque possam sêrser utilizadas.

3,375 m³

c) Junte-se a dois côlégascolegas, e elaborem uma proposta para a construção de uma rampa de acesso. Nessa proposta, é importante justificar a escolha do local para a construção da rampa e indicar algumas referências a sêrser consideradas, como a inclinação, a altura do desnível, o comprimento da projeção horizontal, a largura livre e a quantidade de metros cúbicos de concreto necessária.

Elaboração dos estudantes.

33. Para realizar um experimento, foram utilizados dois recipientes: um com formato de prisma hexagonal regular e outro com formato de prisma quadrangular regular. Observe algumas medidas internas dêêssesdesses recipientes.

Durante o experimento, foi colocada á guaágua no recipiente I de maneira quêque êsteeste ficou completamente cheio. Em seguida, despejou-se todo esse conteúdo no recipiente II. pôdêmosPodemos afirmar quêque o recipiente II:

a) não ficou completamente cheio.

b) ficou completamente cheio e a á guaágua não transbordou.

c) ficou completamente cheio e transbordaram menos de 200 mL de á guaágua.

d) ficou completamente cheio e transbordaram mais de 300 mL de á guaágua.

alternativa d

Página cento e cinquenta e oito158

Pirâmides

No Egito antigo, os faraós construíam grandes monumentos quêque eram utilizados como tumbas. Muitos turistas viajam para o Egito com o objetivo de visitar essas construções, principalmente o conjunto arquitetônico de Gizé, na cidade do Cairo, onde se encontram as pirâmides construídas pêlospelos faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos.

Construída por volta de 2600 a.C., a pirâmide de Quéops, mais conhecida como a Grande Pirâmide de Gizé, é considerada uma das maiores obras de engenharia e arquitetura da AntigüidadeAntiguidade, sêndosendo a única das Sete Maravilhas do Mundo Antigo quêque sobreviveu ao tempo. Essa pirâmide deteve o posto de construção mais alta do mundo, até a inauguração da Torre Eiffel, no século XIX.

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 67-68.

O formato da construção apresentada na fotografia lembra um tipo de poliedro denominado pirâmide.

PARA PENSAR

Prismas e pirâmides têm as faces laterais correspondentes a um mesmo polígono? Explique.

Resposta esperada: Não, pois as faces laterais dos prismas são sempre paralelogramos, e as faces laterais das pirâmides, triângulos.

PARA PENSAR

Assim como ocorre com os prismas, podemos nomear uma pirâmide de acôr-doacordo com o polígono da base. No caderno, desenhe quatro pirâmides cujas bases são polígonos com diferentes quantidades de lados e nomeie-as.

Resposta pessoal.

Página cento e cinquenta e nove159

Algumas características da pirâmide permitem classificá-la em pirâmide regular. Você sabe quais são elas?

Nas pirâmides regulares, podemos destacar quatro triângulos retângulos por meio dos quais, utilizando o teorema de Pitágoras, é possível relacionar as medidas dos seguintes elemêntoselementos: aresta lateral (L), aresta da base ((éli)"ℓ), raio da circunferência quêque circunscreve a base (r), apótema da pirâmide (g), apótema da base (m) e altura (h). Analise, na pirâmide hexagonal regular a seguir, os triângulos destacados e as relações obtidas.

Área da superfícíesuperfície de uma pirâmide

De maneira análoga ao quêque estudamos em relação aos prismas, em uma pirâmide temos as seguintes áreas.

• A superfícíesuperfície lateral corresponde à reunião das faces laterais da pirâmide, portanto a área dessa superfícíesuperfície é a área lateral (A(éli)"ℓ).

• A área da base (A_b) corresponde à área do polígono da base da pirâmide.

• A superfícíesuperfície total corresponde à reunião da superfícíesuperfície lateral e da base da pirâmide, portanto a área dessa superfícíesuperfície é a área total (A_t).

PARA PENSAR

escrêevaEscreva uma expressão para representar a área total de uma pirâmide (A_t) em função da área lateral (A(éli)"ℓ) e da área da base (A_b).

Resposta esperada: A_t = A(éli)"ℓ + A_b.

Página cento e sessenta160

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R7. Calcule a área total do seguinte tetraedro regular.

Resolução

O tetraedro regular corresponde a uma pirâmide triangular regular em quêque todas as faces são triângulos equiláteros congruentes. Vamos determinar a medida a de cada uma de suas arestas. Para isso, inicialmente, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo determinado por g (medida do apótema da pirâmide), h e m.

g² = h² + m² → g² = ($4\sqrt[]{6}$)² + ($2\sqrt[]{3}$)² ⇒ g² = 108

Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de lados a, g e $\frac{a}{2}$:

a² = ($\frac{a}{2}$)² + g² → a² = $\begin{array}{c}\frac{a^2}{4}\end{array}$ + 108 ⇒ $\begin{array}{c}\frac{3a^2}{4}\end{array}$ = 108 ⇒ a² = 144

Agora, determinamos a área total do tetraedro regular:

A_t = 4 ⋅ $\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}$ = 4 ⋅ $\frac{144\cdot \sqrt[]{3}}{4}$ = $144\sqrt[]{3}$

Portanto, a área total dêêssedesse tetraedro regular é $144\sqrt[]{3}$ cm² ou aproximadamente 249,42 cm².

R8. Em relação à pirâmide hexagonal regular de 12 m de altura e aresta da base medindo 4 m, calcule a:

a) medida do apótema da base;

b) medida da aresta lateral;

c) medida do apótema da pirâmide;

d) área da base;

e) área lateral;

f) área total.

Resolução

a) A base dessa pirâmide corresponde a um hekzágonohexágono regular quêque pódepode sêrser decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes, com 4 m de lado. A medida p do apótema da base corresponde à altura de um dêêssesdesses triângulos.

Assim, temos:

4² = p² + 2² ⇒ p² = 12 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}p=\sqrt[]{12}=2\sqrt[]{3}\\ \mathrm{ou}\\ p=-\sqrt[]{12}=-2\sqrt[]{3}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, o apótema da base da pirâmide médemede $2\sqrt[]{3}$ m ou aproximadamente 3,46 m.

b) Sendo L a medida da aresta lateral dessa pirâmide, temos:

L² = 12² + 4² ⇒ L² = 160 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}L=\sqrt[]{160}=4\sqrt[]{10}\\ \mathrm{ou}\\ L=-\sqrt[]{160}=-4\sqrt[]{10}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, a aresta lateral da pirâmide médemede $4\sqrt[]{10}$ m ou aproximadamente 12,65 m.

Página cento e sessenta e um161

c) Sendo g a medida do apótema dessa pirâmide, temos:

($4\sqrt[]{10}$)² = g² + 2² ⇒ g² = 156 ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}g=\sqrt[]{156}=2\sqrt[]{39}\\ \mathrm{ou}\\ g=-\sqrt[]{156}=-2\sqrt[]{39}\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Portanto, o apótema da pirâmide médemede $2\sqrt[]{39}$ m ou aproximadamente 12,49 m.

d) Como a base dessa pirâmide hexagonal regular pódepode sêrser decomposta em seis triângulos equiláteros congruentes, com 4 m de lado, temos:

A_b = 6 ⋅ $\frac{4^2\sqrt[]{3}}{4}$ = $24\sqrt[]{3}$

Portanto, a área da base da pirâmide é $24\sqrt[]{3}$ m² ou aproximadamente 41,57 m².

e) Como a superfícíesuperfície lateral dessa pirâmide corresponde à reunião de seis triângulos isósceles de 4 m de base e $2\sqrt[]{39}$ m de altura, temos:

A(éli)"ℓ = 6 ⋅ $\frac{4\cdot 2\sqrt[]{39}}{2}$ = $24\sqrt[]{39}$

Portanto, a área lateral da pirâmide é $24\sqrt[]{39}$ m² ou aproximadamente 149,88 m².

f) Para determinar a área total dessa pirâmide, adicionamos a área da base e a área lateral:

A_t = $24\sqrt[]{3}$ + $24\sqrt[]{39}$ = 24($\sqrt[]{3}$ + $\sqrt[]{39}$)

Portanto, a área total dessa pirâmide é 24($\sqrt[]{3}$ + $\sqrt[]{39}$) m² ou aproximadamente 191,45 m².

PARA PENSAR

No caderno, faça um resumo de todas as etapas realizadas na resolução desta atividade.

Resposta pessoal.

ATIVIDADES

34. Uma pirâmide quadrangular regular, de 7 cm de altura, tem as arestas da base medindo 2 cm.

Com relação a essa pirâmide, determine a:

a) medida do apótema da base;

1 cm

b) medida do apótema da pirâmide;

$5\sqrt[]{2}$ cm ou aproximadamente 7,07 cm

c) medida da aresta lateral;

$\sqrt[]{51}$ cm ou aproximadamente 7,14 cm

d) área da base;

4 cm²

e) área lateral;

$20\sqrt[]{2}$ cm² ou aproximadamente 28,28 cm²

f) área total.

4($5\sqrt[]{2}$ + 1) cm² ou aproximadamente 32,28 cm²

35. Para estudar algumas relações envolvendo as quantidades de vértices, arestas e faces de uma pirâmide, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) No caderno, reproduza e complete o qüadroquadro a seguir, em quêque n indica a quantidade de lados do polígono da base e V, A e F, as quantidades de vértices, arestas e faces da pirâmide, respectivamente.

b) Analisando esse qüadroquadro, faça o reconhecimento de padrões e expresse V, A e F em função de n.

V = n + 1; A = 2n; F = n + 1

36. Uma pirâmide hexagonal regular tem área total igual a 6(15 + $\sqrt[]{3}$) cm². Sabe-se quêque o raio da circunferência quêque circunscreve a base dessa pirâmide médemede 2 cm. Qual é a medida do apótema dessa pirâmide?

15 cm

Página cento e sessenta e dois162

37. Uma estrutura decorativa é composta de duas peças: uma com formato de pirâmide quadrangular regular, de 40 cm de altura; e uma cúbica, de modo quêque dois vértices da base da pirâmide coincidem com os pontos médios de duas arestas dessa peça, conforme representado na figura.

Considerando quêque a peça cúbica tem área total igual a 13.824 cm², qual é a área total da superfícíesuperfície da estrutura ôbitídaobtida?

(13.248 + $192\sqrt[]{109}$) cm² ou aproximadamente 15.252,54 cm²

38. Um designer está projetando uma embalagem em papel, com formato de pirâmide quadrangular regular. Observe o móldemolde de uma dessas embalagens representado a seguir.

DICA

As abas quêque compõem o móldemolde têm formato de trapézio isósceles, sêndosendo três delas idênticas.

a) Qual é a área aproximada de papel a sêrser utilizado nessa embalagem?

339,26 cm²

b) Quantos centímetros de altura, aproximadamente, tem a pirâmide correspondente a essa embalagem?

14,46 cm

39. Estudamos quêque a Grande Pirâmide de Gizé é a única das Sete Maravilhas do Mundo Antigo quêque continua de pé. Originalmente, a pirâmide tinha cerca de 146,5 m de altura, o quêque fez dela a mais alta estrutura erguida pelo sêrser humano até o século XIV. Considerando quêque a base dessa pirâmide corresponde a um quadrado com lados medindo 214 m, use a calculadora para determinar a medida aproximada do seu apótema.

Fonte dos dados: BECK, ViníciusVinicius Carvalho. A matemática no Egito Antigo. In: ENCONTRO REGIONAL DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA, 16., [2010], Porto Alegre. Anais [...]. Porto Alegre: PUCRS, [2010]. p. 54. Disponível em: https://livro.pw/nuxsy. Acesso em: 9 ago. 2024.

aproximadamente 181,41 m

40. Um engenheiro civil projetou a construção do telhado de uma casa de maneira quêque seu formato correspondesse à superfícíesuperfície lateral de uma pirâmide de base retangular em quêque as arestas laterais são congruentes e médemmedem $2\sqrt[]{61}$ m.

Observe, a seguir, a vista frontal e a vista lateral dêêssedesse telhado.

Nesse projeto, estima-se utilizar 12 telhas por métrometro quadrado do telhado e considera-se um desperdício de 10% de telhas sobre essa estimativa. Nessas condições, quantas telhas dessas, aproximadamente, devem sêrser compradas para a execução dêêssedesse projeto?

a) 5.500 telhas

b) 6.100 telhas

c) 6.800 telhas

d) 7.200 telhas

e) 7.500 telhas

alternativa b

41. Uma empresa produz barracas com cobertura em lona, quêque costumam sêrser utilizadas em eventos. O custo de produção dessas barracas é R$ 4,00 por métrometro quadrado de lona utilizada. Observe, a seguir, a representação de uma barraca com cobertura em lona cujo formato corresponde ao de uma composição de um paralelepípedo reto-retângulo e uma pirâmide, de mesma base, em quêque as faces laterais são dois pares de triângulos congruentes.

Considerando quêque, nesse modelo de barraca, não é colocada lona no chão nem na parte frontal, quêque corresponde a um retângulo de dimensões de 10 m e 4 m, qual é o custo de produção dessa barraca?

aproximadamente R$ 767,20

Página cento e sessenta e três163

Volume de uma pirâmide

Observe uma pirâmide cuja base é um polígono P apoiado em um plano (alfa)"α e a representação de um plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α, quêque determina nessa pirâmide uma região poligonal p, semelhante ao polígono P. A seção da pirâmide pelo plano (beta)"β determina uma pirâmide menor, de altura h, semelhante à pirâmide original, de altura H.

Você se lembra de razões entre figuras semelhantes? Se duas figuras geométricas são semelhantes com razão k, então a razão entre as áreas dessas figuras é dada por k². Na figura apresentada, tomando k como a razão entre as medidas das alturas H e h das pirâmides semelhantes, temos k = $\frac{H}{h}$ e, portanto, k² = ($\begin{array}{c}\frac{H^{\text{'}}}{h}\end{array}$)². Como os polígonos das bases dessas pirâmides são semelhantes, então a razão entre suas áreas é igual a k². Portanto, $\frac{\text{área de}P}{\text{área de}p}$ = ($\frac{H}{h}$)². Isso está relacionado com o teorema a seguir.

Para demonstrar esse teorema, vamos considerar duas pirâmides de mesma altura (H), apoiadas sobre um mesmo plano (alfa)"α, ambas com bases P₁ e P₂, de mesma área, e um plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α, quêque determina duas regiões planas (p₁ e p₂) nessas pirâmides e duas pirâmides menóresmenores, de altura h, semelhantes às respectivas pirâmides de altura H.

De acôr-doacordo com o quêque observamos anteriormente, temos:

• $\frac{\text{área de}{P}_1}{\text{área de}{p}_1}$ = ($\frac{H}{h}$)²

• $\frac{\text{área de}{P}_2}{\text{área de}{p}_2}$ = ($\frac{H}{h}$)².

Assim, podemos concluir quêque:

$\frac{\text{área de}{P}_1}{\text{área de}{p}_1}$ = $\frac{\text{área de}{P}_2}{\text{área de}{p}_2}$.

Como a área de P₁ e de P₂ são iguais, então a área de p₁ é igual à área de p₂ para qualquer plano (beta)"β paralelo a (alfa)"α. Portanto, pelo princípio de Cavalieri, os volumes dessas pirâmides são iguais.

PARA PENSAR

Na verificação do teorema apresentado anteriormente, utilizamos a igualdade $\frac{\text{área de}{P}_1}{\text{área de}{p}_1}$ = ($\frac{H}{h}$)². O quêque garante quêque essa igualdade é verdadeira?

Resposta esperada: Essa igualdade é verdadeira pelo fato de as pirâmides de base P₁ e p₁ serem semelhantes e, portanto, a razão entre as áreas de suas bases é igual ao quadrado da razão entre quaisquer duas medidas de suas dimensões correspondentes, nesse caso, o quadrado da razão entre as alturas dessas pirâmides.

Página cento e sessenta e quatro164

Usando o resultado anterior, vamos mostrar quêque o volume de uma pirâmide de base triangular corresponde à terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura. Para isso, decompomos um prisma de base triangular conforme a figura.

Nomeando os vértices do prisma e, consequentemente, os vértices das pirâmides obtidas na decomposição, temos:

Vamos comparar as pirâmides obtidas, duas a duas, para deduzir uma relação entre os volumes.

I) As pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume, pois:

• os triângulos DEF e ABC têm áreas iguais, pois são triângulos congruentes uma vez quêque ambos são bases do prisma;

• as alturas $\overline{AD}$ e $\overline{FB}$ dessas pirâmides em relação às respectivas bases DEF e ABC são iguais à altura do prisma.

II) As pirâmides ADEF e FACE têm o mesmo volume, pois:

• os triângulos ADE e ACE são congruentes;

• as alturas relativas às faces ADE e ACE são iguais, uma vez quêque correspondem à distância do ponto F à face ACED do prisma.

DICA

Os triângulos ADE e ACE são congruentes pelo caso de congruência LLL, uma vez quêque têm o lado $\overline{AE}$ em comum, e os lados $\overline{AD}$ e $\overline{CE}$ e os lados $\overline{DE}$ e $\overline{AC}$ são pares de lados opostos de um retângulo.

Assim, os volumes das três pirâmides são iguais. Portanto, o volume de uma pirâmide de base triangular corresponde à terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura.

V_prisma = 3 ⋅ V_pirâmide ⇒ V_pirâmide = $\begin{array}{c}\frac{V_{\text{prisma}}}{3}\end{array}$

Estudamos quêque o volume de um prisma é dado por V = A_b ⋅ h, em quêque A_b é a área da base. Assim, o volume de uma pirâmide de base triangular é dado por:

V_pirâmide = $\begin{array}{c}\frac{V_{\text{prisma}}}{3}\end{array}$ ⇒ V_pirâmide = $\begin{array}{c}\frac{A_b\cdot h}{3}\end{array}$

EssaEssa relação pódepode sêrser ampliada para qualquer pirâmide. Para isso, vamos considerar uma pirâmide qualquer de altura h e área da base A_b e uma pirâmide de base triangular com a mesma altura e a mesma área da base.

Utilizando o princípio de Cavalieri, essas duas pirâmides com a mesma altura e bases com áreas iguais têm volumes iguais. Portanto, o volume (V) de uma pirâmide qualquer é dado por:

V = $\begin{array}{c}\frac{A_b\cdot h}{3}\end{array}$

Página cento e sessenta e cinco165

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Calcule o volume da pirâmide triangular apresentada.

Resolução

A base da pirâmide é um triângulo retângulo, de catetos medindo 3 cm e 4 cm; então, sua área é dada por:

A_b = $\frac{3\cdot 4}{2}$ = 6; ou seja, 6 cm².

Assim, podemos calcular o volume dessa pirâmide:

V = $\frac{A_b\cdot h}{3}$ = $\frac{6\cdot 8}{3}$ = 16

Portanto, o volume dessa pirâmide é 16 cm³.

R10. Ao seccionar uma pirâmide de vértice V e altura H, por um plano (alfa)"α paralelo à sua base, determinamos dois poliedros: uma pirâmide menor de altura h, semelhante à pirâmide original, e um tronco de pirâmide. Quando a pirâmide original é uma pirâmide regular, as bases do tronco de pirâmide são polígonos regulares semelhantes, suas faces laterais são trapézios isósceles, e a altura dêêssesdesses trapézios é chamada de apótema do tronco. Observe o exemplo a seguir.

O volume V_T de um tronco de pirâmide pódepode sêrser obtídoobtido calculando a diferença entre o volume V_P da pirâmide original e o volume V_m da pirâmide menor:

V_T = V_P − V_m

Agora, considere o tronco de uma pirâmide quadrangular regular a seguir e resôuvaresolva as kestõesquestões.

a) Qual é a área total dêêssedesse tronco de pirâmide?

b) Qual é o volume dêêssedesse tronco de pirâmide?

Página cento e sessenta e seis166

Resolução

a) As bases menor e maior dêêssedesse tronco de pirâmide correspondem a quadrados de 5 m e 9 m de lado, respectivamente. Assim:

• A_b = 5² = 25; ou seja, 25 m²;

• A_B = 9² = 81; ou seja, 81 m².

A área lateral do tronco corresponde à soma das áreas de quatro trapézios congruentes de bases 5 m e 9 m e altura $2\sqrt[]{17}$ m. Assim:

A(éli)"ℓ = 4 ⋅ $\frac{\left(5+9\right)\cdot 2\sqrt[]{17}}{2}$ = $\frac{4\cdot 14\cdot 2\sqrt[]{17}}{2}$ = $56\sqrt[]{17}$; ou seja, $56\sqrt[]{17}$ m².

Assim, a área total do tronco de pirâmide é dada por:

A_T = A_b + A_B + A(éli)"ℓ = 25 + 81 + $56\sqrt[]{17}$ = 106 + $56\sqrt[]{17}$

Portanto, a área total dêêssedesse tronco de pirâmide é (106 + $56\sqrt[]{17}$) m² ou aproximadamente 336,89 m².

b) Considerando H_T a altura do tronco, h a altura da pirâmide menor e H a altura da pirâmide original, temos:

• $\frac{H}{h}$ = $\frac{9}{5}$ ⇒ $\frac{h+8}{h}$ = $\frac{9}{5}$ ⇒ 5h + 40 = 9h ⇒ h = 10; ou seja, 10 m.

• H = h + H_T ⇒ H = 10 + 8 = 18; ou seja, 18 m.

Assim, o volume do tronco de pirâmide é:

V_T = V_P − V_m = $\frac{9^2\cdot 18}{3}$ − $\frac{5^2\cdot 10}{3}$ = $\frac{1.458}{3}$ − $\frac{250}{3}$ = $\frac{1.208}{3}$

Portanto, o volume do tronco de pirâmide é $\frac{1.208}{3}$ m³ ou aproximadamente 402,67 m³.

ATIVIDADES

42. Uma artesã confeccionou duas peças decorativas de madeira maciça, uma com formato de pirâmide pentagonal (A) e outra, de pirâmide heptagonal (B). Com base nas informações de cada peça, calcule o volume de madeira usada em cada uma.

Peça A

Altura da pirâmide: 12 cm.

Área da base: 144 cm².

Peça B

Altura da pirâmide: 6 cm.

Área da base: 72 cm².

peça A: 576 cm³; peça B: 144 cm³

43. Um objeto maciço com formato de octaedro regular foi colocado em uma caixa cúbica com capacidade para 64 L, de maneira quêque os vértices dêêssedesse objeto coincidiram com os centros das faces da caixa. Nessas condições, é possível afirmar quêque o volume dêêssedesse objeto é:

a) $\frac{32}{3}$ L.

b) 32 L.

c) $\frac{256}{3}$ L.

d) 256 L.

e) $\frac{512}{3}$ L.

alternativa a

44. Uma pirâmide hexagonal regular tem apótema medindo $3\sqrt[]{39}$ cm e aresta da base 6 cm. De acôr-doacordo com essas informações, responda às kestõesquestões.

a) Qual é a área da superfícíesuperfície dessa pirâmide?

54($\sqrt[]{3}$ + $\sqrt[]{39}$) cm² ou aproximadamente 430,76 cm²

b) Qual é o volume dessa pirâmide?

$324\sqrt[]{3}$ cm³ ou aproximadamente 561,18 cm³

45. O quilate indica quantas partes de ouro correspondem ao total de 24 partes de uma liga. Em uma peça de ouro 18 quilates, por exemplo, a cada 24 g dessa peça, 18 g correspondem a ouro. Observe.

Página cento e sessenta e sete167

Utilizando ouro 18 quilates, um ourives confeccionou um pingente de 12 g, com formato de pirâmide quadrangular regular com 1 cm de aresta da base e 1,5 cm de altura.

a) Quantos gramas dêêssedesse pingente correspondem a ouro?

9 g

b) Qual é o volume dêêssedesse pingente?

0,5 cm³

c) Calcule a densidade dêêssedesse pingente, em grama por centímetro cúbico.

24 g/cm³

46. Uma pirâmide de base retangular tem 1,5 dm de altura e 6 dm³ de volume. Sabe-se quêque as arestas da base dessa pirâmide têm medidas inteiras em decímetro. Quais são as possíveis medidas das arestas da base dessa pirâmide?

1 dm e 12 dm; 2 dm e 6 dm; 3 dm e 4 dm

47. Jorge produz velas artesanais de parafina com formatos de prismas e pirâmides regulares. Observe três modelos dessas velas.

O custo de produção de cada vela é R$ 0,03 por centímetro cúbico de parafina utilizada.

Para determinar o preêçopreço de venda de cada vela, Jorge multiplica o valor do custo por 2,5.

a) Qual é o custo de produção aproximado de cada um dêêssesdesses modelos?

modelo A: R$ 3,51; modelo B: R$ 3,27; modelo C: R$ 11,22

b) Por quantos reais Jorge venderá cada modelo de vela?

modelo A: R$ 8,78; modelo B: R$ 8,18; modelo C: R$ 28,05

c) Em certa semana, Jorge arrecadou R$ 800,00 com venda de velas. Quantos reais ele lucrou com essas vendas? Considere quêque o lucro, nesse caso, corresponda à diferença entre o valor arrecadado com as vendas e o custo de produção das velas vendidas.

R$ 480,00

48. O tronco de pirâmide a seguir foi obtídoobtido a partir de uma pirâmide hexagonal regular.

a) Qual é a área total dêêssedesse tronco de pirâmide?

($\frac{27\sqrt[]{39}+123\sqrt[]{3}}{2}$) cm² ou aproximadamente 190,83 cm²

b) Qual é o volume dêêssedesse tronco de pirâmide?

$\begin{array}{c}\frac{183\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$ cm³ ou aproximadamente 158,48 cm³

49. Observe, a seguir, a planificação de um tronco de pirâmide, determinado a partir de uma pirâmide quadrangular regular.

a) Qual é a área total dêêssedesse tronco de pirâmide?

(320 + $192\sqrt[]{3}$ dm² ou aproximadamente 652,55 dm²

b) Qual é o volume dêêssedesse tronco de pirâmide?

$\frac{1.792\sqrt[]{2}}{3}$ dm³ ou aproximadamente 844,76 dm³

50. A parte inferior de um troféu tem o formato de um tronco de pirâmide hexagonal regular.

Elabore um problema quêque envolva as informações descritas de maneira quêque seja necessário utilizar ideias associadas à área da superfícíesuperfície ou ao volume de tronco de pirâmide para resolvê-lo. Em seguida, troque seu problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração do estudante.

51. (Unimontes-MG) Uma pirâmide tem 4 m de altura e 160 m³ de volume. Paralelamente a sua base e a 2 m de seu vértice, traça-se um plano quêque a divide em uma pirâmide menor e um tronco de pirâmide. O volume, em m³, do tronco dessa pirâmide é igual a

a) 140.

b) 100.

c) 80.

d) 20.

alternativa a

Página cento e sessenta e oito168

Cilindro circular

O Brasil é um dos principais produtores de grãos do mundo, como soja e milho. Na safra 2023/2024, por exemplo, foi estimada uma produção de cerca de 294 milhões de toneladas de grãos no país. Para acondicionar toda essa produção, costumam sêrser utilizados silos de armazenamento. Um dos modelos mais comuns dêêssesdesses silos tem parte de sua estrutura com formato de cilindro, como o mostrado a seguir.

DICA

O formato da parte superior da estrutura dêêssesdesses silos lembra um cone, figura geométrica espacial quêque será estudada posteriormente nesta Unidade.

Para calcular a quantidade aproximada de material necessário para fabricar um silo dêêssesdesses ou sua capacidade de armazenamento, é necessário ter conhecimentos sobre cilindros. Você se lembra de alguns conceitos estudados no Ensino Fundamental a respeito dessa figura geométrica espacial?

MATEMATICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 5. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011. p. 75.

Página cento e sessenta e nove169

De acôr-doacordo com a inclinação das geratrizes em relação aos planos quêque contêm as bases, um cilindro pódepode sêrser classificado em cilindro oblíquo ou cilindro reto.

DICA

Nesta coleção, será abordado apenas o cilindro circular, quêque será tratado simplesmente como cilindro.

Página cento e setenta170

O cilindro reto também é denominado cilindro de revolução, uma vez quêque pódepode sêrser obtídoobtido por meio da rotação em 360° de um retângulo em torno de um eixo quêque contém um de seus lados.

A região ôbitídaobtida na interseção de um cilindro por um plano quêque contém o seu eixo é denominada seção meridiana.

PARA PENSAR

Todo cilindro cuja seção meridiana corresponde a um quadrado, é denominado cilindro equilátero. Nesse tipo de cilindro, quêque relação há entre as medidas da altura, do raio da base e da geratriz?

Resposta esperada: As medidas da altura e da geratriz são iguais ao dôbrodobro da medida do raio da base.

Área da superfícíesuperfície de um cilindro reto

Vamos analisar a planificação de um cilindro reto para compreender como se calcula a área da superfícíesuperfície dele.

DICA

O comprimento dêêssedesse retângulo é igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro.

De acôr-doacordo com essa planificação, podemos destacar as seguintes áreas.

• A área da base é dada por: A_b = (pi)"πr²

• A área lateral é dada por: A(éli)"ℓ = 2(pi)"πrh

• A área total é dada por: A_t = 2A_b + A(éli)"ℓ ou A_t = 2(pi)"πr(r + h).

Página cento e setenta e um171

ATIVIDADE RESOLVIDA

R11. Observe informações a respeito de uma coifa de exaustão quêque tem, na parte superior, um tubo com formato de cilindro reto.

Quantos centímetros quadrados de uma placa de alumínio são necessários para fabricar a superfícíesuperfície lateral dêêssedesse tubo?

Resolução

Note quêque no enunciado há dados quêque não são essenciais para resolvermos a atividade, como a tensão elétrica da coifa. Nesse caso, podemos selecionar apenas as informações necessárias, conforme segue.

• Altura do tubo: 80 cm.

• Área da base do tubo: 314 cm².

De acôr-doacordo com esses dados, vamos calcular a medida r do raio das bases do tubo cilíndrico, em centímetro, considerando a planificação de sua superfícíesuperfície lateral um retângulo com dimensões de 2(pi)"πr cm e 80 cm e a área da base igual a 314 cm².

A_b = (pi)"πr² → 314 ≃ 3,14 ⋅ r² ⇒ r² ≃ $\frac{314}{\mathrm{3,14}}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}r\simeq \sqrt[]{100}=10\\ \mathrm{ou}\\ r\simeq -\sqrt[]{100}=-10\left(\mathrm{não\; convém}\right)\end{array}\end{array}$

Assim, como o raio da base é aproximadamente 10 cm, calculamos a área da placa, em centímetro quadrado:

A(éli)"ℓ = 2(pi)"πrh → A(éli)"ℓ ≃ 2 ⋅ (pi)"π ⋅ 10 ⋅ 80 ≃ 5.024

Portanto, são necessários aproximadamente 5.024 cm² de uma placa de alumínio para fabricar a superfícíesuperfície lateral do tubo cilíndrico dessa coifa.

ATIVIDADES

DICA

Nestas atividades, utilize 3,14 como aproximação de (pi)"π.

52. Nos itens a seguir, calcule a área total, em centímetro quadrado, de cada cilindro.

a)

31.200(pi)"π cm² ou aproximadamente 97.968 cm²

b)

4.600(pi)"π cm² ou aproximadamente 14.444 cm²

DICA

As figuras não estão proporcionais entre si.

53. Para encapar totalmente uma pequena caixa, com formato de cilindro reto de 30 cm de altura, foram utilizados 350(pi)"π cm² de papel. Qual é a medida mássimamáxima do raio das bases dessa caixa?

5 cm

54. Quanto médemede a altura de um cilindro equilátero cuja área total é 48(pi)"π cm²?

$4\sqrt[]{2}$ cm ou aproximadamente 5,66 cm

55. Observe, a seguir, o projeto de uma manta térmica para cobertura de uma edificação, quêque será instalada na superfícíesuperfície externa.

preêçoPreço da instalação da manta térmica, por métrometro quadrado: R$ 9,60.

Que quantia, em reais, no mínimo, será necessária para a instalação dessa manta térmica?

R$ 7.536,00

Página cento e setenta e dois172

Volume de um cilindro

Anteriormente, obtivemos informações sobre um silo de armazenamento de grãos em quêque parte da estrutura tem formato quêque lembra um cilindro. Para determinar, por exemplo, a capacidade de armazenamento de silos como esse, podemos utilizar ideias relacionadas ao volume de um cilindro.

Vamos obtêrobter uma expressão para o cálculo do volume de um cilindro usando o princípio de Cavalieri. Para isso, vamos considerar um prisma e um cilindro de mesma altura h, cujas bases têm áreas iguais a A_b e estão apoiadas em um mesmo plano (alfa)"α. Qualquer plano (beta)"β, paralelo a (alfa)"α, quêque secciona esses sólidos, determina neles duas regiões planas com áreas iguais a A_b.

Pelo princípio de Cavalieri, podemos afirmar quêque os volumes do prisma e do cilindro são iguais. Como estudado anteriormente, o volume de um prisma é dado por V_p = A_b ⋅ h, portanto o volume do cilindro é dado por:

V = A_b ⋅ h

ATIVIDADE RESOLVIDA

R12. Leia, a seguir, o trecho de uma reportagem sobre silos cilíndricos usados pêlospelos egípcios há mais de 3 mil anos.

Essas caixas de armazenamento, presumivelmente para cevada e trigo usados para alimentação e como meio de troca, foram construídas com tijolos de barro, com diâmetros de 18 a 22 péspés. Se sua altura fosse maior quêque o diâmetro, o quêque era comum, os silos provavelmente teriam pelo menos 25 péspés de altura.

WILFORD, DiônJohn Noble. Escavações revelam modo de vida de cidadãos comuns no antigo Egito. G1, [s. l.], 4 jul. 2008. Disponível em: https://livro.pw/uxmdk. Acesso em: 12 ago. 2024.

Imagine quêque um dêêssesdesses silos tivesse 20 péspés de diâmetro da base e 25 péspés de altura, com 770 kg de trigo armazenados em cerca de 1 m³. Considerando 1 pé equivalendo a aproximadamente 0,3 m, quantos quilogramas de trigo seria possível armazenar nesse silo?

Resolução

Vamos determinar, em métrometro, as medidas do raio da base r e da altura h do cilindro reto correspondente a esse silo.

• r = $\frac{20}{2}$ ⋅ 0, 3 = 3; ou seja, 3 m.

• h = 25 ⋅ 0,3 = 7,5; ou seja, 7,5 m.

Considerando (pi)"π aproximadamente igual a 3,14, vamos calcular o volume aproximado dêêssedesse cilindro:

V = (pi)"πr²h → V ≃ 3,14 ⋅ 3² ⋅ 7,5 = 211,95; ou seja, 211,95 m³.

Como cada 770 kg de trigo ocupam cerca de 1 m³, temos: 770 ⋅ 211,95 = 163.201,5.

Portanto, um silo dêêssedesse tipo teria capacidade para armazenar cerca de 163.201,5 kg de trigo.

Página cento e setenta e três173

ATIVIDADES

DICA

Nas atividades das páginas 173 e 174, utilize 3,14 como aproximação de (pi)"π.

56. Determine o volume dos cilindros a seguir, em quêque O corresponde ao centro de uma base.

a)

56. a) 250(pi)"π cm³ ou aproximadamente 785 cm³

b)

2.176(pi)"π dm³ ou aproximadamente 6.832,64 dm³

DICA

As figuras não são proporcionais entre si.

57. Qual é o volume de um cilindro equilátero com área total de 216(pi)"π cm²?

432(pi)"π cm³ ou aproximadamente 1.356,48 cm³

58. Uma empresa organizou equipes para elaborar propostas de novas embalagens para armazenar entre 230 mL e 250 mL de cértocerto produto. Observe informações sobre os formatos e as medidas internas de alguns modelos apresentados pelas equipes.

Qual dêêssesdesses modelos de embalagem pódepode sêrser utilizado pela empresa? A superfícíesuperfície dessa embalagem tem quantos centímetros quadrados de área?

modelo IV; 243 cm²

NO MUNDO DO TRABALHO

59. Em uma fazenda, há um silo para armazenamento de grãos cujo formato corresponde à composição de um cilindro reto e de um cone reto, ambos de mesma base, conforme representado. Quantos metros cúbicos de grãos podem sêrser armazenados na parte cilíndrica?

108(pi)"π m³ ou aproximadamente 339,12 m³

Página cento e setenta e quatro174

60. As canetas esferográficas recebem esse nome porque têm em sua ponta uma pequena esféraesfera quêque, ao sêrser girada em contato com a superfícíesuperfície, transporta a tinta para o papel.

Em cértocerto modelo de caneta esferográfica sem uso, o reservatório de tinta tem formato de cilindro reto, com 3 mm de diâmetro interno e 130 mm de altura. A tinta ocupa cerca de 90% da capacidade dêêssedesse reservatório.

a) Qual é a capacidade do reservatório de tinta dessa caneta?

292,5(pi)"π mm³ ou aproximadamente 918,45 mm³

b) Qual é o volume de tinta, em milímetro cúbico, contido no reservatório de uma caneta dessas? Esse volume corresponde a mais ou a menos do quêque 1 mL?