UNIDADE 6
PROBABILIDADE

PARA AMPLIAR

Após ler as informações, converse com os côlégascolegas e o professor sobre os itens a seguir.

Respostas nas Orientações para o professor.

1. Você tem o hábito de pesquisar a previsão do tempo? Por quê? Quais dispositivos você utiliza?

2. Em seu entendimento, a meteorologia colabora para melhorar a qualidade de vida da ssossiedadesociedade? Justifique.

3. Pesquise a probabilidade de chuva para o dia de amanhã na região em quêque você mora. De acôr-doacordo com essa informação, responda: é mais provável quêque chova ou quêque não chova? Justifique.

Página duzentos e quarenta e oito248

O estudo da probabilidade

Na abertura desta Unidade, obtivemos algumas informações sobre os estudos meteorológicos. Atualmente, podemos acessar previsões meteorológicas atualizadas por meio de diversos aplicativos ou sáitessites, como o do Centro de Previsão de Tempo e Estudos Climáticos (Cptec), nos quais é possível consultar informações relacionadas a previsões do tempo e do clima. Observe.

Note quêque algumas informações meteorológicas envolvem a ideia de probabilidade. Além da meteorologia, a probabilidade é aplicada em outras áreas. Por exemplo, no contrôlecontrole de qualidade de uma produção industrial (engenharia), na análise genética (medicina), na avaliação de variedades de plantas (agricultura) e na previsão de riscos em investimentos financeiros (economia).

Você sabia quêque alguns registros evidenciam quêque o início do estudo sistematizado de probabilidade está relacionado à discussão em torno de jogos de azar?

MATEMATICA NA HISTÓRIA

Fonte dos dados: EVES, ráuardHoward. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. 3. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 365-366.

Nesta Unidade, retomaremos e ampliaremos o estudo sobre probabilidade realizado no Ensino Fundamental.

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Experimento aleatório, espaço amostral e evento

Há experimentos ou fenômenos cujo resultado é impossível prever com certeza, apesar de repetidos sôbisob as mesmas condições. Por exemplo, o lançamento de um dado comum ou o sorteio de uma loteria. Situações como essas são denominadas experimentos aleatórios.

Agora, considere a seguinte situação.

PARA PENSAR

Você conhece o significado da palavra aleatório? Se necessário, pesquise em um dicionário.

Resposta esperada: AkiloAquilo quêque depende do acaso.

No jôgojogo de palítospalitos para dois participantes, cada um deles recebe três palítospalitos e, sem quêque o outro veja, esconde parte dessa quantidade de palítospalitos em uma das mãos, quêque é colocada fechada sobre uma mesa. Cada participante, na sua vez, tem de tentar adivinhar a quantidade total de palítospalitos nas duas mãos sobre a mesa. O vencedor da rodada é aquele quêque acertar esse total. A seguir, estão apresentadas todas as possíveis maneiras com as quais esses participantes podem esconder os palítospalitos.

Assim, temos 16 maneiras possíveis por meio das quais os participantes podem esconder os palítospalitos.

Apesar de não sêrser possível prever o resultado de experimentos aleatórios, muitas vezes conseguimos determinar todas as possibilidades de resultado para esse experimento, quêque formam o chamado espaço amostral.

Em relação à situação apresentada, do jôgojogo de palítospalitos, o espaço amostral é dado por (ômega)"Ω = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. pôdêmosPodemos indicar como A, por exemplo, o evento em quêque os participantes têm a mesma quantidade de palítospalitos escondidos, ou seja, A = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}.

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Analise outros exemplos.

a) Em um sorteio, ao acaso, de uma letra do nosso alfabeto, o espaço amostral é dado por:

(ômega)"Ω = {a, b, c, d, e, ..., v, w, x, y, z}

Considerando A o evento “sortear uma vogal”, temos:

A = {a, e, i, o, u}

b) No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por:

(ômega)"Ω = {cara, coroa}

Considerando B o evento “obter cara” em um lançamento da moeda, temos:

B = {cara}

Nesse caso, como um único elemento pertence ao evento B, dizemos quêque esse é um evento simples ou evento unitário.

c) Na anotação do número obtídoobtido na face superior de um dado comum após lançá-lo, o espaço amostral é dado por:

(ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Considerando C o evento “obter um número natural menor quêque 7”, temos:

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Nesse caso, como todos os elemêntoselementos do espaço amostral pertencem ao evento C (C = (ômega)"Ω), dizemos quêque esse é um evento cértocerto, ou seja, um evento quêque vai ocorrer com certeza.

d) No sorteio, ao acaso, de um estado da Região Norte do Brasil, o espaço amostral é dado por:

(ômega)"Ω = {Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima, Tocantins}

Considerando D o evento correspondente a sortear um estado da Região Norte do Brasil cuja letra inicial do nome seja B, temos:

D = ∅

Nesse caso, como nenhum elemento pertence ao evento D, dizemos quêque esse é um evento impossível, ou seja, quêque com certeza não vai ocorrer.

PARA PENSAR

Com um colega, criem contextos descrevendo experimentos aleatórios. Depois, estabeleçam exemplos de eventos. Por fim, compartilhem o quêque vocês criaram em uma roda de conversa.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e cinquenta e um251

Agora, considere a situação descrita a seguir.

Para a realização de um experimento, foram escritos em fichas idênticas todos os números de dois algarismos distintos quêque podem sêrser formados pêlospelos algarismos 2, 5, 7 ou 9, com cada número em uma única ficha. Em seguida, essas fichas foram colocadas em uma sacola de tecido não transparente e, sem quêque se olhe dentro dela, uma ficha será sorteada.

Em relação à situação apresentada, o espaço amostral pódepode sêrser indicado por (ômega)"Ω = {25, 27, 29, 52, 57, 59, 72, 75, 79, 92, 95, 97}. Além díssudisso, podemos destacar o evento A correspondente a sortear uma ficha quêque contém um número múltiplo de 3, e o evento B, de sortear uma ficha quêque contém um número maior quêque 80. Assim, temos:

• A = {27, 57, 72, 75};

• B = {92, 95, 97}.

Note quêque os eventos A e B não têm elemento em comum. Nesse caso, dizemos quêque A e B são eventos mutuamente exclusivos.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. Em uma brincadeira, são lançados dois dados: um dado branco cúbico numerado de 1 a 6, e um dado azul com formato quêque lembra um tetraedro regular, no qual, próximo a cada um de seus vértices, em cada uma das faces, é indicado um número natural de 1 até 4. Esses dois dados são lançados simultaneamente, e um número é formado com os resultados verificados. O algarismo obtídoobtido no dado branco indica a dezena, e o algarismo obtídoobtido no dado azul indica a unidade dêêssedesse número. Por exemplo, os lançamentos representados a seguir indicam o número 24.

Com base nessas informações, determine:

a) o espaço amostral dessa brincadeira;

b) o evento A quêque corresponde à formação de um número par;

c) o evento B quêque corresponde à formação de um número maior quêque 50;

d) o evento C quêque corresponde à formação de um número com dois algarismos iguais.

Página duzentos e cinquenta e dois252

Resolução

pôdêmosPodemos construir uma tabélatabela de dupla entrada para representar todos os números possíveis de serem formados nessa brincadeira.

a) (ômega)"Ω = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64}

b) A = {12, 14, 22, 24, 32, 34, 42, 44, 52, 54, 62, 64}

c) B = {51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64}

d) C = {11, 22, 33, 44}

R2. A cantina de certa escola oferece um combo de lanche com um copo de suco de uva ou de laranja e um pão de queijo no valor de R$ 12,00. Porém os estudantes podem:

• trocar o copo de suco de uva ou de laranja por um copo de suco de abacaxi por mais R$ 1,50;

• trocar o pão de queijo por um sanduíche natural por mais R$ 5,00.

Determine o espaço amostral dos preços do combo correspondentes a todas as opções oferecidas aos estudantes.

PARA PENSAR

Nessa cantina, quanto custa um combo formado por um copo de suco de abacaxi e um sanduíche natural?

R$ 18,50

Resolução

pôdêmosPodemos construir uma árvore de possibilidades para representar todas as opções oferecidas aos estudantes para compor um combo.

Assim, o espaço amostral é dado por (ômega)"Ω = {R$ 12,00, R$ 13,50, R$ 17,00, R$ 18,50}.

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ATIVIDADES

1. Identifique quais dos itens a seguir apresentam experimentos (ou fenômenos) aleatórios.

a) Duzentos bilhetes idênticos, diferenciando-se apenas pela numeração, foram colocados em uma urna para quêque um deles fosse sorteado.

b) Aquecer a á guaágua pura ao nível do mar e verificar a quêque tempera-túratemperatura ela entrará em ebulição.

c) Contagem da quantidade de artefatos defeituosos em um intervalo de duas horas na linha de produção de uma fábrica.

d) Registrar o tempo em quêque um relógio em bom funcionamento demora para quêque o ponteiro maior complete uma volta.

a; c

2. Considere quêque duas moedas idênticas e perfeitas são lançadas simultaneamente, e verifica-se qual face de cada uma delas ficou voltada para cima: cara ou coroa.

a) escrêevaEscreva o espaço amostral dêêssedesse experimento.

Considerando C a obtenção de cara e K, de coroa, temos (ômega)"Ω = {CC, CK, KC, KK}.

b) Determine o evento A correspondente a obtêrobter exatamente duas coroas nesse experimento e o evento B côrcorrespondente a obtêrobter apenas uma cara.

A = {KK}; B = {CK, KC}

3. Para a realização de uma pesquisa e de um seminário, sêrserá sorteado, para cada atividade, um dos seguintes temas: Educação (E), Saúde (S) ou Cultura (C). Nesse sorteio, cada tema deve ser escrito em pedaços de papel idênticos, colocados em uma caixa e, sem quêque se olhe, o primeiro papel sorteado indicará o tema da pesquisa e o segundo, o tema do seminário. Para esse sorteio foram propostas duas maneiras diferentes, conforme segue.

• Proposta I: o papel do primeiro tema sorteado é devolvido à caixa para o segundo sorteio.

• Proposta II: o primeiro papel sorteado não é recolocado na caixa.

a) Qual é o espaço amostral quêque representa todos os resultados possíveis dos sorteios em relação à proposta I? E em relação à proposta II?

proposta I: (ômega)"Ω = {EE, ES, EC, SS, SE, SC, CC, CE, CS}; proposta II: (ômega)"Ω = {ES, EC, SE, SC, CE, CS}

b) Para cada proposta, determine o evento A

quêque corresponde ao sorteio do tema Educação para ao menos uma das atividades e o evento B quêque corresponde ao sorteio do mesmo tema para ambas as atividades.

proposta I: A = {EE, ES, EC, SE, CE}, B = {EE, SS, CC}; proposta II: A = {ES, EC, SE, CE}, B = ∅

4. Na promoção de certa loja, quando um cliente realiza uma compra acima de R$ 200,00, ele gira duas roletas e ganha um cupom de desconto. O valor dêêssedesse cupom corresponde ao produto dos números indicados nas roletas, em reais. Observe.

DICA

Cada roleta foi dividida em partes iguais.

No exemplo apresentado, o valor do cupom corresponde a R$ 20,00, pois 4 ⋅ 5 = 20.

a) Quantas são as composições de multiplicação possíveis de serem obtidas nesse sorteio?

15 composições

b) Determine o espaço amostral com todas as opções de valores do cupom de desconto. Se necessário, construa uma árvore de possibilidades.

Resposta nas Orientações para o professor.

c) escrêevaEscreva o conjunto quêque representa o evento:

Respostas nas Orientações para o professor.

• A de sortear um cupom de desconto cujo valor seja maior ou igual a R$ 40,00;

• B de sortear um cupom de desconto cujo valor seja maior quêque R$ 60,00 e menor quêque R$ 80,00;

• C de sortear um cupom de desconto cujo valor, em reais, seja múltiplo de 5;

• D de sortear um cupom de desconto cujo valor seja menor quêque R$ 10,00;

• E de sortear um cupom de desconto cujo valor esteja entre R$ 10,00 e R$ 30,00.

Página duzentos e cinquenta e quatro254

5. Com base no item c da atividade 4, responda aos itens a seguir.

a) Quais pares dêêssesdesses eventos, não vazios, são mutuamente exclusivos?

A e D; A e E; D e E

b) Classifique os eventos B, C e D em simples, cértocerto ou impossível.

B: impossível; C: cértocerto; D: simples

6. Considere um experimento em quêque ocorre o lançamento simultâneo de uma moeda comum e um dado com formato quêque lembra um dodecaedro regular, com as faces numeradas de 1 a 12. Em relação ao espaço amostral dêêssedesse experimento, podemos afirmar quêque é um evento impossível de ocorrer:

a) cara na moeda e um número ímpar no dado.

b) coroa na moeda e um número maior quêque 12 no dado.

c) cara na moeda e um número primo no dado.

d) coroa na moeda e um número par menor quêque 5 no dado.

e) cara na moeda e um número par no dado.

alternativa b

7. Obsérveserve, a seguir, informações sobre dois tipos de espaço amostral.

Com base nessas informações, dêz-crevadescreva um experimento para cada tipo de espaço amostral apresentado. Depois, troque essas descrições com um colega para quêque ele classifique o espaço amostral de cada experimento em discreto ou contínuo, enquanto você faz o mesmo com as descrições quêque receber. Por fim, confiram juntos as respostas.

Elaboração do estudante.

Cálculo de probabilidade

O dado representado costuma sêrser utilizado em alguns jogos de RPG (Role-Playing Game) – jogos em quêque os participantes interprétaminterpretam personagens e, interagindo entre si, criam uma história. Ele tem formato quêque lembra um tetraedro regular; próximo a cada um de seus vértices, em cada uma das faces, é indicado um número natural de 1 até 4.

Considere cértocerto experimento aleatório em quêque esse dado tenha sido lançado 500 vezes e o número obtídoobtido no vértice superior foi anotado. Analise a tabélatabela com a freqüênciafrequência absoluta e a freqüênciafrequência relativa dos resultados dêêssesdesses lançamentos.

Resultado do experimento aleatório

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Note quêque as freqüênciasfrequências relativas correspondentes aos números indicados nos dados são próximas umas das outras. Se aumentarmos a quantidade de lançamentos do dado nesse experimento, a tendência é quêque as freqüênciasfrequências relativas dos números obtidos sêjamsejam ainda mais próximas entre si. Nesse caso, dizemos quêque o espaço amostral nesse experimento aleatório é um espaço amostral equiprovável.

DICA

pôdêmosPodemos interpretar a expressão do cálculo de probabilidade como a razão entre o número de casos favoráveis (quantidade de elemêntoselementos do evento considerado) e o número total de casos possíveis (quantidade de elemêntoselementos do espaço amostral).

Retomando o experimento aleatório do lançamento do dado, apresentado anteriormente, o espaço amostral é dado por (ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4}. Assim, sêndosendo o evento A = {3}, quêque corresponde à obtenção do número 3 em um lançamento do dado, temos:

P(A) = $\frac{1}{4}$ = 0,25

Portanto, a probabilidade de obtêrobter o número 3 no lançamento dêêssedesse dado é de 1 em 4, ou seja, $\frac{1}{4}$, 0,25 ou 25%.

Agora, considere um evento E de um espaço amostral equiprovável (ômega)"Ω, finito e não vazio. Nesse caso, temos:

∅ ⊂ E ⊂ (ômega)"Ω ⇒ n (∅) ≤ n (E) ≤ n ((ômega)"Ω)

Como (ômega)"Ω é finito e não vazio, temos n ((ômega)"Ω) > 0. Assim, segue quêque:

$\frac{n\left(\varnothing \right)}{n\left(\Omega \right)}$ ≤ $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$ ≤ $\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}$ ⇒ $\frac{0}{n\left(\Omega \right)}$ ≤ $\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}$ ≤ $\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}$ ⇒ 0 ≤ P(E)≤ 1

Página duzentos e cinquenta e seis256

Eventos complementares

Considere a situação descrita a seguir.

Para a realização de um experimento, foram numeradas dez bolas idênticas de 1 a 10, colocadas de maneira aleatória em uma caixa para quêque uma delas seja sorteada, sem quêque se veja as outras.

Inicialmente, vamos denominar (ômega)"Ω o espaço amostral do experimento apresentado, A o evento sortear uma bola quêque contém um número primo e B o evento sortear uma bola quêque não contém um número primo. Assim, temos:

• (ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

• A = {2, 3, 5, 7};

• B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}.

Note quêque os eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou seja, A ⋃ B = ∅. Além díssudisso, todo elemento de (ômega)"Ω pertence a B ou pertence a A, ou seja, A ⋂ B = (ômega)"Ω. Nesse caso, podemos dizêrdizer quêque B é complementar de A em relação a (ômega)"Ω e, reciprocamente, quêque A é complementar de B em relação a (ômega)"Ω. Dizemos também quêque A e B são eventos complementares. O diagrama de Venn, a seguir, representa essa situação.

PARA PENSAR

Calcule P((ômega)"Ω), P(A) e P(B). Que relação você pódepode perceber entre os resultados obtidos?

P((ômega)"Ω) = 1, P(A) = $\frac{2}{5}$ e P(B) = $\frac{3}{5}$; P((ômega)"Ω) = P(A) + P(B)

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

R3. Mostre quêque, dado um espaço amostral equiprovável (ômega)"Ω qualquer, finito e não vazio, temos:

a) se A é um evento impossível qualquer, então P(A) = 0;

b) se B é um evento cértocerto qualquer, então P(B) = 1.

Resolução

a) Como A é um evento impossível, A não tem elemêntoselementos, ou seja, n (A) = 0. Assim:

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{0}{n\left(\Omega \right)}$ = 0

Portanto, P(A) = 0.

b) Como B é um evento cértocerto, temos quêque B = (ômega)"Ω. Assim:

P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(\Omega \right)}$ = 1

Portanto, P(B) = 1.

R4. No lançamento de um dado honesto de seis faces, qual é a probabilidade de:

a) obtêrobter o número 5?

b) obtêrobter um número divisível por 3?

c) não obtêrobter um número quadrado perfeito?

Resolução

Inicialmente, determinamos o espaço amostral, quêque é dado por (ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a) Considerando A o evento obtêrobter o número 5 no lançamento do dado, temos A = {5} e n (A) = 1. Logo:

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{1}{6}$ ≃ 0, 167 = 16,7%

Portanto, a probabilidade de obtêrobter o número 5 é de $\frac{1}{6}$ ou aproximadamente 0,167 ou 16,7%.

b) Considerando B o evento obtêrobter um número divisível por 3 no lançamento do dado, temos B = {3, 6} e n (B) = 2. Logo:

P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≃ 0,333 = 33,3%

Portanto, a probabilidade de obtêrobter um número divisível por 3 é de $\frac{1}{3}$ ou aproximadamente 0,333 ou 33,3%.

c) Considerando C o evento obtêrobter um número quadrado perfeito no lançamento do dado, temos C = {1, 4} e n (C) = 2. Para determinar a probabilidade de não obtêrobter um número quadrado perfeito, podemos calcular a probabilidade de ocorrência do evento complementar de C em relação a (ômega)"Ω.

P($\overline{C}$) = 1 − P(C) ⇒ P($\overline{C}$) = 1 − $\frac{2}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≃ 0,667 = 66,7%

Portanto, a probabilidade de não obtêrobter um número quadrado perfeito é de $\frac{2}{3}$ ou aproximadamente 0,667 ou 66,7%.

Página duzentos e cinquenta e oito258

R5. Em um experimento, três moedas perfeitas são lançadas simultaneamente, e verifica-se qual face de cada uma delas fica voltada para cima: cara ou coroa. Qual é a probabilidade de obtêrobter ao menos duas caras nesse experimento?

Resolução

pôdêmosPodemos construir uma árvore de possibilidades para representar todas as possibilidades nos lançamentos das moedas. Para isso, indicamos por C a obtenção de cara e por K, de coroa.

Para obtêrobter ao menos duas caras, é necessário quêque ocorra cara exatamente em dois ou em três lançamentos.

Observando a árvore de possibilidades, temos quêque são três as possibilidades de obtêrobter exatamente duas caras (CCK, CKC e KCC) e há uma possibilidade de obtêrobter três caras (CCC).

Assim, a probabilidade P de obtêrobter ao menos duas caras pódepode sêrser calculada por:

R6. (Enem/MEC) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jôgojogo presente em praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 × 16 foram abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, d fórmade forma uniforme, antes de se abrir qualquer quadrado.

Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher, dentre os quadrados marcados com as lêtrasletras P, Q, R, S e T, um para abrir, sêndosendo quêque deve escolher aquele com a menor probabilidade de conter uma mina.

O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra

a) P.

b) Q.

c) R.

d) S.

e) T.

Resolução

Para resolver essa atividade, podemos realizar as seguintes etapas.

1ª COMPREENDER O ENUNCIADO

Do enunciado, temos quêque:

• o tabuleiro do jôgojogo tem, ao todo, 256 quadrados (16 ⋅ 16 = 256);

• 4 quadrados do tabuleiro já foram abertos;

• cada quadrado do tabuleiro tem 8 vizinhos;

• os quadrados já abertos têm 2, 1, 4 e 3 minas nos quadrados vizinhos, sêndosendo os quadrados com as lêtrasletras P, Q, S e T, respectivamente, um dêêssesdesses vizinhos;

• há ao todo 40 minas no tabuleiro;

• determinar qual quadrado tem a menor probabilidade de conter uma mina, entre aqueles marcados com as lêtrasletras P, Q, R, S ou T.

2ª ELABORAR UM PLANO

Inicialmente, podemos calcular as probabilidades de os quadrados marcados com as lêtrasletras P, Q, S e T conterem uma mina e, em seguida, fazer o mesmo para o quadrado marcado com a letra R. Por fim, podemos comparar as probabilidades calculadas.

Página duzentos e cinquenta e nove259

3ª EXECUTAR O PLANO

Calculando a probabilidade de os quadrados marcados com as lêtrasletras P, Q, S e T conterem uma mina, temos:

• P: $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$ = 0,25 = 25%

• S: $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,50 = 50%

• Q: $\frac{1}{8}$ = 0,125 = 12,5%

• T: $\frac{3}{8}$ = 0,375 = 37,5%

Antes de calcular a probabilidade de o quadrado marcado com a letra R conter uma mina, precisamos considerar quêque, das 40 minas do tabuleiro, 10 minas são vizinhas dos quadrados já abertos (2 + 1 + 4 + 3). Além díssudisso, nenhum dêêssesdesses quadrados vizinhos daqueles já abertos são vizinhos do quadrado marcado com a letra R.

Excluindo os quadrados quêque já foram abertos (4) e seus respectivos vizinhos do total de quadrados do tabuleiro (8 + 8 + 8 + 8 = 32), temos:

256 − 4 − 32 = 220; ou seja, 220 quadrados.

A quantidade de minas restantes nesses 220 quadrados é dada por:

40 − 10 = 30; ou seja, 30 minas.

Logo, a probabilidade de o quadrado marcado com a letra R conter uma mina é:

R: $\frac{30}{220}$ ≃ 0,136 = 13,6%

Comparando as probabilidades calculadas, o jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra Q, pois nele há menor probabilidade de conter uma mina.

4ª VERIFICAR OS RESULTADOS

Observando o tabuleiro, podemos afirmar quêque, entre os quadrados marcados com as lêtrasletras P, Q, S e T, aquele com menor probabilidade de conter uma mina é o marcado com Q, uma vez quêque ele é vizinho do quadrado aberto com o menor número indicado. Assim, uma maneira de verificar o resultado é comparar as probabilidades de conter uma mina nos quadrados marcados com as lêtrasletras Q e R.

Portanto, a alternativa b é a correta.

ATIVIDADES

8. Em uma gincana, os participantes foram numerados de 1 até 25, conforme a ordem de inscrição. Um participante será sorteado para iniciar as provas da gincana. Para fazer esse sorteio, o número de cada participante foi escrito em pedaços de papel idênticos, quêque foram colocados em uma caixa para quêque um deles fosse retirado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de sêrser sorteado um participante de número:

a) par?

12 em 25, $\frac{12}{25}$,0,48 ou 48%

b) ímpar?

13 em 25, $\frac{13}{25}$, 0,52 ou 52%

c) múltiplo de 8?

3 em 25, $\frac{3}{25}$, 0,12 ou 12%

d) maior quêque 17?

8 em 25, $\frac{8}{25}$, 0,32 ou 32%

e) compôztocomposto?

15 em 25, $\frac{3}{5}$, 0,6 ou 60%

9. Considere todos os números de três algarismos distintos formados pêlospelos algarismos 4, 1 e 5. Qual é a probabilidade de, ao escolher ao acaso um dêêssesdesses números, o algarismo 5 ter valor posicional 50?

2 em 6, $\frac{1}{3}$, aproximadamente 0,333 ou 33,3%

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10. Observe, a seguir, a quantidade de estudantes matriculados no Ensino Médio de uma escola, por ano escolar.

Para representar a escola em uma Feira de Ciências, a direção vai realizar um sorteio de maneira quêque cada um dêêssesdesses estudantes tenha a mesma probabilidade de sêrser sorteado.

a) Quantos estudantes do Ensino Médio estão matriculados nessa escola?

200 estudantes

b) Qual é a probabilidade de um estudante do 1º ano sêrser sorteado?

72 em 200,$\frac{9}{25}$, 0,36 ou 36%

c) Qual é a probabilidade de o estudante sorteado não estar matriculado no 3º ano?

132 em 200, $\frac{33}{50}$, 0,66 ou 66%

d) É mais provável quêque seja sorteado um estudante do 2º ano ou um estudante do 3º ano? Justifique.

Resposta esperada: Um estudante do 3º ano, pois há mais estudantes matriculados no 3º ano do quêque no 2º ano.

11. O gerente de uma empresa decidiu realizar uma enquete com os internautas quêque acessaram o sáitisite da companhia com o objetivo de identificar quantos deles utilizam serviços de streaming por meio das platafórmasplataformas A ou B. Para incentivar a participação na enquete, ao final, um dos internautas participantes será sorteado e receberá um prêmio oferecido pelo sáitisite. Analise o resultado dessa enquete.

Qual é a probabilidade de quêque o internauta sorteado utilize serviços de streaming:

a) apenas da platafórmaplataforma A?

60 em 150, $\frac{2}{5}$, 0,4 ou 40%

b) de ambas as platafórmasplataformas (A e B)?

15 em 150, $\frac{1}{10}$, 0,1 ou 10%

c) da platafórmaplataforma B?

65 em 150, $\frac{13}{30}$, aproximadamente 0,433 ou 43,3%

12. Um colecionador separou seis moedas de valores distintos da segunda família do real. Observe informações sobre essas moedas.

Em um experimento, esse colecionador vai colocar essas seis moedas em um pacote de fêeutrofeltro e, sem olhar, vai sortear apenas uma e observar seu valor. Qual é o espaço amostral dêêssedesse experimento? pôdêmosPodemos dizêrdizer quêque esse é um espaço amostral equiprovável? Justifique.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página duzentos e sessenta e um261

13. Leia a tirinha a seguir.

Considere quêque esse dado mencionado na tirinha seja honesto, tenha formato de icosaedro regular e, em cada uma de suas faces, é indicado um número natural de 1 até 20.

Com base nessas informações, resôuvaresolva os itens a seguir.

a) Qual foi o número quêque Caco escolheu? E qual foi o número obtídoobtido no lançamento do dado?

13; 12

b) Em seu entendimento, por quêpor que Caco utilizou a expressão “Por pouco” após o lançamento do dado?

Resposta esperada: Porque, considerando a sequência dos números naturais, o número obtídoobtido no lançamento do dado (12) é antecessor do número quêque Caco escolheu (13).

c) Em um lançamento dêêssedesse dado, o espaço amostral é equiprovável ou não equiprovável? Justifique sua resposta de acôr-doacordo com o texto da tirinha.

Resposta esperada: Equiprovável, pois o tucano está supondo quêque o dado é honesto ao dizêrdizer: “A chance de sair 13 é igual pra qualquer outro número do dado”.

d) Qual era a probabilidade de Caco acertar o número obtídoobtido no lançamento do dado?

1 em 20, $\frac{1}{20}$, 0,05 ou 5%

14. Considere um dado não honesto, cujo formato lembra um octaedro regular, sêndosendo indicado em suas faces um número natural de 1 até 8. A probabilidade de obtêrobter uma face voltada para cima em um lançamento é diretamente proporcional ao número indicado na face correspondente.

a) Qual é o espaço amostral correspondente a um lançamento dêêssedesse dado? É correto afirmar quêque esse espaço amostral é equiprovável? Justifique.

(ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Resposta esperada: Não, pois as probabilidades de ocorrerem os números indicados nas faces não são iguais entre si no lançamento do dado.

b) Qual número é mais provável de se obtêrobter no lançamento dêêssedesse dado? Justifique.

Resposta esperada: O número 8, pois esse é o maior número indicado nas faces do dado, e a probabilidade de se obtêrobter cada face é proporcional ao número indicado correspondente.

c) Ao lançar esse dado, qual é a probabilidade de se obtêrobter o número 6?

6 em 36, $\frac{1}{6}$, aproximadamente 0,167 ou 16,7%

d) O quêque é mais provável de se obtêrobter no lançamento dêêssedesse dado: um número ímpar ou um número par? Justifique.

Número par, pois a soma dos números pares indicados nas faces é 20, enquanto a soma dos números ímpares é 16, sêndosendo 20 > 16.

15. Elabore e escrêevaescreva um problema envolvendo o cálculo de probabilidade e a construção de uma árvore de possibilidades. Em seguida, troque esse problema com um colega para quêque um resôuvaresolva o do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração do estudante.

16. (IME-RJ) Em um jôgojogo de RPG “Role-Playing Game” em quêque os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer êsteeste duelo?

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{3}{76}$

c) $\frac{9}{400}$

d) $\frac{1}{80}$

e) $\frac{3}{80}$

alternativa e

Página duzentos e sessenta e dois262

17. Os dados do gráfico e da tabélatabela representados a seguir foram coletados pelo hí bê gê héIBGE no Censo 2022.

Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Ribeirão Preto. Rio de Janeiro: hí bê gê héIBGE, [2022]. Localizável em: menúmenu Panorama. Disponível em: https://livro.pw/hrvza. Acesso em: 29 ago. 2024

DICA

No gráfico, parte do eixo vertical foi suprimido.

Em comemoração ao aniversário de Ribeirão Preto, suponha quêque a prefeitura vá sortear, ao acaso, um habitante do município para ganhar um prêmio. Com base nessas informações, podemos afirmar quêque:

a) é mais provável quêque um habitante com 60 anos ou mais seja sorteado em relação a um habitante com idade menor quêque 30 anos;

b) a probabilidade de um habitante do sexo feminino sêrser sorteado é de 48%;

c) é mais provável quêque um habitante do sexo masculino seja sorteado do quêque um do sexo feminino;

d) a probabilidade de um habitante com idade maior ou igual a 30 e menor quêque 45 anos sêrser sorteado é maior quêque 25%.

alternativa d

18. Com base nas informações apresentadas na atividade 17, elabore uma situação-problema envolvendo o cálculo de probabilidade. Em seguida, troque essa situação-problema com um colega para quêque um resôuvaresolva a do outro. Juntos, verifiquem se as respostas estão corretas.

Elaboração do estudante.

19. Observe a situação a seguir, proposta por um professor de Matemática.

De um jôgojogo de dominó completo, é retirada ao acaso uma de suas peças, e os pontos indicados nas duas partes são somados. Qual é a probabilidade de o resultado obtídoobtido sêrser 6?

Agora, analise a resposta dada a essa questão por dois estudantes.

• élamAlan: A probabilidade é de $\frac{1}{12}$, pois 6 é um dos 12 resultados possíveis (soma de 0 até 12).

• Bruna: A probabilidade é de $\frac{4}{28}$, pois em 4 das 28 peças do jôgojogo de dominó a soma dos pontos é igual a 6.

Qual dêêssesdesses estudantes acertou a questão? Argumente.

Resposta esperada: Bruna acertou a questão, pois, das 28 peças, em 4 delas a soma das partes é igual a 6, sêndosendo elas 0 + 6 = 6, 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6 e 3 + 3 = 6. Já élamAlan errou por considerar quêque o espaço amostral dêêssedesse experimento, correspondente à soma dos pontos da peça de dominó sorteada, fosse equiprovável, o quêque não ocorre.

Página duzentos e sessenta e três263

Probabilidade da união de dois eventos

Considere a situação a seguir.

Nove fichas idênticas, numeradas de 1 a 9, foram viradas e embaralhadas sobre uma mesa. Um experimento consiste em escolher ao acaso uma dessas fichas, virá-la e observar o número indicado. Agora, considere os dois eventos descritos a seguir.

• A: o número obtídoobtido é divisor de 8.

• B: o número obtídoobtido é divisor de 12.

Qual é a probabilidade de quêque, nesse experimento, ocorra ao menos um dêêssesdesses eventos?

Note quêque determinar a probabilidade de ocorrência de ao menos um dos eventos indicados é o mesmo quêque dizêrdizer quêque um evento ou outro devem ocorrer. Assim, para resolver a situação apresentada, temos de calcular P(A ⋂ B).

Para isso, vamos indicar os elemêntoselementos do espaço amostral (ômega)"Ω e dos eventos A e B e interpretar uma representação em um diagrama de Venn. Acompanhe.

• (ômega)"Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → n((ômega)"Ω) = 9

• A = {1, 2, 4, 8} → n(A) = 4

• B = {1, 2, 3, 4, 6} → n(B) = 5

Observando o diagrama, temos:

• A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} → n(A ⋃ B) = 6

Aplicando a definição de probabilidade:

P(A ⋃ B) = $\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$

Portanto, a probabilidade de quêque ocorra ao menos um dos eventos A ou B é de $\frac{2}{3}$.

DICA

Note quêque os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois A ⋃ B ≠ ∅.

Em situações como essa, podemos utilizar a propriedade n (A ⋃ B) = n (A) + n (B) − n (A ⋂ B), quêque estudamos na Unidade 1 do Volume 1 desta coleção. Nesse caso, considere a divisão de ambos os membros dessa igualdade por n ((ômega)"Ω):

$\frac{n\left(A\cup B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$ + $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ − $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}$ ⇒ P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) − P(A ⋂ B)

Em relação à situação apresentada, como A ⋂ B = {1, 2, 4} → n(A ⋃ B) = 3, n(A) = 4 e n(B) = 5, temos:

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) − P(A ⋂ B) = $\frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ − $\frac{3}{9}$ = $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$

Página duzentos e sessenta e quatro264

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R7. Em uma academia aquática, são disponibilizados aos estudantes treinos de diversas modalidades. Em uma pesquisa, realizada com todos os 600 estudantes, verificou-se quêque 365 treinam natação, 243 treinam hidroginástica e 100 não treinam nenhuma dessas modalidades. Um estudante dessa academia será sorteado para receber um prêmio. Qual é a probabilidade de esse estudante sorteado treinar as duas modalidades: natação e hidroginástica?

Resolução

Sejam A e B os conjuntos formados pêlospelos estudantes quêque treinam natação e pêlospelos estudantes quêque treinam hidroginástica, respectivamente. Assim, temos:

• n (A ⋃ B) = 600 − 100 = 500;

• n (A) = 365;

• n (B) = 243.

Para resolver essa questão, temos de calcular P(A ⋂ B). Assim, temos:

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) − P(A ⋂ B) ⇒ $\frac{500}{600}$ = $\frac{365}{600}$ + $\frac{243}{600}$ − P(A ⋂ B) ⇒

⇒ P(A ⋂ B) = $\frac{108}{600}$ = $\frac{9}{50}$ = 0,18 = 18%

Portanto, a probabilidade de esse estudante sorteado treinar ambas as modalidades, natação e hidroginástica, é de $\frac{9}{50}$, 0,18 ou 18%.

R8. Ivone recortou cinco pedaços de papel idênticos e escreveu neles cada letra de seu nome. Em seguida, colocou todos eles dentro de uma caixa e sorteou cada pedaço de papel, sem reposição, registrando o anagrama formado. Qual é a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante?

Resolução

Inicialmente, indicamos por:

• (ômega)"Ω o espaço amostral compôztocomposto de todos os anagramas possíveis de serem formados;

• A o evento no qual o anagrama formado termine em vogal;

• B o evento no qual o anagrama formado comece em consoante.

Agora, calculamos n((ômega)"Ω), n(A), n(B). Em seguida, determinamos n(A ⋃ B), quêque corresponde à quantidade de anagramas formados quêque terminam em vogal e começam em consoante.

• n((ômega)"Ω) = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

• n(A) = 72, pois:

• n(B) = 48, pois:

Página duzentos e sessenta e cinco265

• n(A ⋃ B) = 36, pois:

Como a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante corresponde a P (A ⋂ B), temos:

P(A ⋂ B) = P(A) + P(B) − P(A ⋃ B) = $\frac{72}{120}$ + $\frac{48}{120}$ − $\frac{36}{120}$ = $\frac{84}{120}$ = $\frac{7}{10}$ = 0,7 = 70%

Portanto, a probabilidade de o anagrama formado terminar em vogal ou começar em consoante é de 7 em 10, $\frac{7}{10}$, 0,7 ou 70%.

ATIVIDADES

20. Em cértocerto jôgojogo de bingo infantil, as bó-linhasbolinhas, diferenciadas apenas pela numeração indicada, são colocadas em um glôboglobo, de onde são sorteadas. Em certa rodada dêêssedesse jôgojogo, a probabilidade de sortear uma bó-linhabolinha com um número maior ou igual a 60 era de 20% e de sortear uma bó-linhabolinha com um número menor ou igual a 60 era de 85%. Um jogador, para vencer nessa rodada, precisaria quêque a bó-linhabolinha com o número 60 fosse sorteada. Qual é a probabilidade de esse jogador vencer nessa rodada?

5%

21. Em uma urna, foram colocadas 100 fichas idênticas numeradas de 1 a 100.

a) escrêevaEscreva um algoritmo para determinar a probabilidade de, sorteando ao acaso uma ficha dessa urna, obter-se um número natural ímpar ou menor ou igual a 25.

Resposta possível: 1ª) Representamos por (ômega)"Ω, A e B o espaço amostral compôztocomposto de todos os números naturais de 1 a 100, o evento no qual obtém-se um número ímpar e o evento no qual obtém-se um número menor ou igual a 25, respectivamente. 2ª) Determinamos n((ômega)"Ω), n(A), n(B) e n(A ⋃ B), ou seja, n((ômega)"Ω) = 100, n(A) = 50, n(B) = 25 e n(A ⋃ B) = 13. 3ª) Calculamos P(A ⋂ B), correspondente à probabilidade de se obtêrobter um número natural ímpar ou menor ou igual a 25: P(A ⋂ B) = P(A) + P(B) − P(A ⋃ B) = $\frac{50}{100}$ + $\frac{25}{100}$ − $\frac{13}{100}$ = $\frac{62}{100}$ = $\frac{31}{50}$ = 0,62 = 62%.

b) Com base no algoritmo quêque você escreveu no item a, calcule a probabilidade de, sorteando ao acaso uma ficha dessa urna, obter-se um número natural:

• par ou múltiplo de 5.

$\frac{3}{5}$, 0,6 ou 60%

• menor ou igual a 15 ou maior quêque 80.

$\frac{7}{20}$, 0,35 ou 35%

• múltiplo de 4 ou divisor de 100.

$\frac{31}{100}$, 0,31 ou 31%

22. Tanto a probabilidade da união quanto a da interseção dos eventos A e B é de 45%. Sabendo quêque a probabilidade de ocorrer o evento A é de 32%, determine a probabilidade de ocorrer o evento B.

58%

23. O Senado brasileiro é compôztocomposto de 81 senadores quêque representam os 26 estados e o Distrito Federal. Observe a tabélatabela a seguir com informações sobre os senadores em exercício em 2024.

Senadores em exercício no Brasil, por faixa de idade e gênero, 3/7/2024

Escolhendo-se ao acaso um dos senadores em exercício em 3/7/2024, qual é a probabilidade de sêrser:

a) mulher?

$\frac{16}{81}$, aproximadamente 0,198 ou 19,8%

b) homem e ter 65 anos de idade ou mais?

$\frac{25}{81}$, aproximadamente 0,309 ou 30,9%

c) mulher ou ter menos de 55 anos?

$\frac{35}{81}$, aproximadamente 0,432 ou 43,2%

24. Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral (ômega)"Ω, finito e não vazio, com P(A) = 0,38 e P(B) = 0,24. Nessas condições, podemos afirmar quêque P(A ⋃ B), P(A ⋂ B) e P(A) correspondem, respectivamente, a:

a) 0; 0,62 e 0,14;

b) 0; 0,38 e 0,76;

c) 0; 0,62 e 0,62;

d) 0,14; 0,24 e 0,38.

alternativa c

Página duzentos e sessenta e seis266

25. Em determinado modelo de baralho, as 52 cartas são divididas igualmente em 4 naipes: cópascopas, ouros, espadas e paus. Das 13 cartas quêque compõem cada naipe, 9 são numeradas de 2 a 10, uma contém a letra A e as outras três contêm as figuras Valete, Dama e Rei, indicadas pelas lêtrasletras J, Q e K, respectivamente.

Ao se retirar aleatoriamente uma carta de um baralho dêêssesdesses, qual é a probabilidade de ela sêrser:

a) uma dama de cópascopas?

$\frac{1}{52}$, aproximadamente 0,02 ou 2%

b) uma carta com a letra A ou uma carta de ouros?

$\frac{4}{13}$, aproximadamente 0,31 ou 31%

c) uma carta de espadas ou uma carta numerada de 2 a 10?

$\frac{10}{13}$, aproximadamente 0,77 ou 77%

d) uma carta quêque contém uma figura ou uma carta de paus?

$\frac{11}{26}$ aproximadamente 0,42 ou 42%

26. Em cértocerto jôgojogo, a cada rodada os participantes devem lançar um dado com formato quêque lembra um icosaedro regular e com faces coloridas e numeradas de 1 a 20, conforme a planificação a seguir.

Em determinada rodada dêêssedesse jôgojogo, para avançar de nível, cada jogador, ao lançar o dado, deve satisfazer a condição descrita a seguir.

• João: face azul e número múltiplo de 3.

• Paulo: face vermelha ou número primo.

• Mariana: face vêrdeverde ou número maior quêque 15.

a) Qual dos participantes tem a maior probabilidade de avançar de nível nessa rodada do jôgojogo? E qual tem a menor probabilidade?

Paulo; João

b) Suponha quêque, na condição para João avançar de nível, a conjunção “e” seja trocada por “ou”. As suas respostas para o item b se manteriam? Justifique.

Não, pois, nesse caso, João teria a maior probabilidade de avançar de nível e Mariana, a menor.

27. (UEPG-PR) Em um grupo de 500 estudantes, 90 estudam Química, 160 estudam Biologia e 20 estudam Química e Biologia. Se um aluno é escolhido ao acaso, indique o quêque for correto.

01) A probabilidade de quêque ele estude Química ou Biologia é de 0,46.

02) A probabilidade de quêque ele não estude Química nem Biologia é de 0,54.

04) A probabilidade de quêque ele estude Química e Biologia é de 0,04.

08) A probabilidade de quêque ele estude somente Química é de 0,16.

07 (01 + 02 + 04)

28. Em uma pesquisa estatística amostral, 80 pessoas foram entrevistadas sobre a marca de iogurte quêque já consumiram, entre as marcas A e B. Ao organizar os dados coletados, constatou-se quêque 35 pessoas indicaram ter consumido iogurte da marca A; 43 pessoas, da marca B; e 12 pessoas indicaram não consumir iogurte de nenhuma dessas marcas. Escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas entrevistadas, qual é a probabilidade de ela ter indicado consumir o iogurte da marca A ou da marca B?

$\frac{17}{20}$, 0,85 ou 85%

29. A afirmação a seguir é verdadeira ou falsa? Justifique sua afirmativa.

Dados A e B eventos mutuamente exclusivos de um espaço amostral equiprovável (ômega)"Ω, finito e não vazio, então:

P(A ⋂ B) = P(A) + P(B)

Resposta esperada: É verdadeira, pois, como A e B são eventos mutuamente exclusivos, temos quêque A ⋃ B = ∅ e, por consequência, P(A ⋃ B) = 0.

Página duzentos e sessenta e sete267

30. Uma escola realizou uma pesquisa com os 120 estudantes do Ensino Médio sobre as áreas de preferência deles para os cursos em universidades. Analise os resultados.

Área de preferência dos estudantes do Ensino Médio de certa escola para os cursos em universidades, 2026

Fonte: Dados fictícios.

Escolhendo-se ao acaso um dêêssesdesses estudantes, qual é a probabilidade de ele preferir cursos na área de:

a) exatas ou humanas?

$\frac{3}{4}$, 0,75 ou 75%

b) humanas ou biológicas?

$\frac{71}{120}$, aproximadamente 0,592 ou 59,2%

c) biológicas ou exatas?

$\frac{41}{60}$, aproximadamente 0,683 ou 68,3%

d) exatas ou não ter preferência por área?

$\frac{23}{40}$, 0,575 ou 57,5%

31. A seguir, estão representados dois dados honestos, um dado comum e um dado com formato quêque lembra um octaedro regular.

Com base nos dados apresentados, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo da probabilidade da união de dois eventos. Troque essa situação-problema com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquela quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Probabilidade condicional

Leia a situação descrita a seguir.

Observando as fichas clínicas em um consultório oftalmológico, verificou-se quêque foram atendidos em cértocerto dia 40 pacientes, dos quais 14 têm hipermetropia, 21 têm miopia e 8 têm ambos os problemas de visão.

Em um experimento aleatório equiprovável, a ficha de um dos pacientes será sorteada para quêque ele responda, por telefone, a um questionário sobre satisfação do atendimento. Qual é a probabilidade de o paciente sorteado ter ambos os problemas de visão?

Denominando H o evento no qual o paciente sorteado tem hipermetropia e M o evento em quêque o paciente tem miopia, podemos representar essa situação pelo diagrama a seguir.

Página duzentos e sessenta e oito268

Para determinar a probabilidade de o paciente sorteado ter os dois problemas de visão, precisamos calcular P(H ⋃ M). Assim:

P(H ⋃ M) = $\frac{n\left(H\cap M\right)}{n\left(\Omega \right)}$ = $\frac{8}{40}$ = $\frac{1}{5}$ = 0,20 = 20%

Portanto, a probabilidade de sortear um paciente com ambos os problemas de visão é de $\frac{1}{5}$, 0,20 ou 20%.

PARA AMPLIAR

Agora, vamos considerar quêque, ao realizar esse sorteio, observou-se quêque esse paciente tem, ao menos, hipermetropia. Nesse caso, note quêque o espaço amostral quêque devemos considerar no cálculo da probabilidade é H, uma vez quêque sabemos quêque o paciente tem hipermetropia. Assim, temos:

$\frac{n\left(H\cap M\right)}{n\left(H\right)}$ = $\frac{8}{14}$ = $\frac{4}{7}$ ≃ 0,571 = 57,1%

Portanto, a probabilidade de sortear um paciente com ambos os problemas de visão, sabendo quêque esse paciente tem hipermetropia, é de $\frac{4}{7}$ ou aproximadamente 0,571 ou 57,1%.

Em relação à expressão P(B | A) = $\begin{array}{c}\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}\end{array}$, ao dividirmos o numerador e o denominador do membro da direita por n ((ômega)"Ω), temos:

P(B | A) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ = $\frac{\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega \right)}}{\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}}$ = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$

Página duzentos e sessenta e nove269

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R9. Em uma cerimônia de colação de grau de certa universidade, 30 mulheres e 20 homens receberam seus diplomas de concluintes em curso de nível superior. Entre as mulheres, formaram-se 10 arquitetas, 14 médicas e 6 engenheiras. Entre os homens, formaram-se 2 arquitetos, 10 médicos e 8 engenheiros. Durante essa cerimônia, um dos formandos foi escolhido ao acaso para fazer o juramento em nome de todos. Sabendo quêque o formando sorteado foi uma mulher, qual é a probabilidade de quêque ela seja uma médica formanda?

Resolução

Em relação ao sorteio apresentado, o espaço amostral (ômega)"Ω corresponde a todos os formandos, ou seja, n((ômega)"Ω) = 30 + 20 = 50. Assim, podemos definir o evento:

• A, em quêque o formando é mulher, com n(A) = 30;

• B, em quêque o formando é médico, com n(B) = 14 + 10 = 24.

Dessa maneira, temos quêque A ⋃ B corresponde aos formandos quêque são mulheres e médicas, em quêque n(A ⋃ B) = 14.

Assim, temos quêque a probabilidade de sortear uma médica formanda, sabendo quêque o formando sorteado é uma mulher, é dada por:

P(B | A) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ = $\frac{14}{30}$ = $\frac{7}{15}$ ≃ 0, 467= 46,7%

Portanto, a probabilidade de sortear uma médica formanda, dado quêque o formando sorteado seja uma mulher, é $\frac{7}{15}$, aproximadamente 0,467 ou 46,7%.

R10. Considere quêque, de um baralho comum, tênhamtenham sido separadas as 9 cartas numéricas de naipe ouros, conforme indicado a seguir. Essas cartas foram colocadas sobre uma mesa com a face numérica voltada para baixo e, em seguida, embaralhadas.

Uma dessas cartas foi retirada ao acaso, e verificou-se quêque o número sorteado era par. Qual é a probabilidade de esse número sêrser menor quêque 7?

Resolução

pôdêmosPodemos resolver essa questão de duas maneiras.

1ª maneira:

Em relação ao experimento de retirar uma dessas cartas ao acaso, e observar o número indicado, o espaço amostral é dado por (ômega)"Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Assim, podemos definir o evento:

• A, em quêque a carta sorteada tem número par, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10};

• B, em quêque a carta sorteada tem número menor quêque 7, ou seja, B = {2, 3, 4, 5, 6}.

Dessa maneira, temos A ⋃ B = {2, 4, 6}.

Assim, como n (A ⋃ B) = 3 e n(A) = 5, a probabilidade de sortear uma carta com um número menor quêque 7, dado quêque a carta sorteada tem um número par, é dada por:

P(B | A) = $\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$ = $\frac{3}{5}$ = 0,6

Página duzentos e setenta270

2ª maneira:

Também podemos, nesse caso, restringir o espaço amostral ao conjunto A, uma vez quêque sabemos quêque a carta sorteada tem número par. Assim, entre os cinco números pares possíveis, há três deles menóresmenores quêque 7, quêque são os números 2, 4 e 6. Logo:

P(B | A) = $\frac{3}{5}$ = 0,6

Portanto, a probabilidade de sortear uma carta com um número menor quêque 7, dado quêque a carta sorteada tem um número par, é de $\frac{3}{5}$, 0,6 ou 60%.

ATIVIDADES

32. Sejam A e B eventos de um espaço amostral equiprovável (ômega)"Ω, finito e não vazio, tais quêque P(A | B) = 0,5 e P(A ⋃ B) = 0,4. Qual é o valor de P(B)?

$\frac{4}{5}$, 0,8 ou 80%

33. Antes de lançar um produto no mercado, uma empresa realiza pesquisas amostrais sobre a aceitação dêêssedesse produto de acôr-doacordo com o público consumidor: mulheres, homens e crianças. Analise o resultado de uma dessas pesquisas realizadas com 80 homens adultos, 120 mulheres adultas e 50 crianças.

Pesquisa de aceitação dos produtos X e Y, por tipo de consumidor

Considere um experimento aleatório, em quêque uma das pessoas entrevistadas é sorteada para receber um prêmio. Além díssudisso, considere os eventos A e B em quêque a pessoa sorteada consumiria os produtos X e Y, respectivamente, e os eventos H, M e C em quêque a pessoa sorteada é homem, mulher e criança, respectivamente.

Nessas condições, dêz-crevadescreva o significado de cada probabilidade indicada a seguir.

a) P(A | H)

b) P(C | B)

c) P(M | A)

d) P(H | B)

e) P(A | C)

f) P(B | M)

Respostas nas Orientações para o professor.

34. De acôr-doacordo com as informações da atividade 33, resôuvaresolva as kestõesquestões a seguir.

a) Calcule a probabilidade indicada em cada item e apresente o resultado em porcentagem.

a: 66,25%; b: aproximadamente 27,8%; c: aproximadamente 47,1%; d: aproximadamente 22,8%; e: 56%; f: 65%

b) De acôr-doacordo com os resultados dessa pesquisa, a empresa vai lançar o produto voltado ao consumidor quêque teve maior porcentual de aceitação. Qual produto e para qual tipo de consumidor ele será lançado?

Será lançado o produto Y para crianças.

35. Visando o bem-estar dos idosos, a prefeitura de cértocerto município estuda a instalação de academias ao ar livre em alguns bairros. Para isso, foi realizada uma pesquisa com 100 idosos quêque residem nesse município e constatou-se quêque 45 deles praticam esportes coletivos, 58 praticam esportes individuais e 26 não praticam esporte algum. Sorteando-se ao acaso um dêêssesdesses idosos entrevistados, qual é a probabilidade de ele praticar:

a) esporte coletivo e individual?

$\frac{29}{100}$, 0,29 ou 29%

b) esporte individual, dado quêque ele pratícapratica esporte coletivo?

$\frac{29}{45}$, aproximadamente 0,644 ou 64,4%

c) esporte coletivo, dado quêque ele pratícapratica esporte individual?

$\frac{1}{2}$, 0,5 ou 50%

36. Ao lançar um dado comum e honesto duas vezes consecutivas, observa-se o número obtídoobtido em cada lançamento e verifica-se quêque a soma deles é maior quêque 7. Qual é a probabilidade de quêque, em ao menos um dos lançamentos, se tenha obtídoobtido o número 4?

$\frac{1}{3}$, aproximadamente 0,333 ou 33,3%

Página duzentos e setenta e um271

37. Considere quêque uma peça seja retirada aleatoriamente de um jôgojogo de dominó comum e completo. Qual é a probabilidade de, ao adicionar os pontos das duas partes dessa peça, a soma sêrser:

a) igual a 6?

$\frac{1}{7}$, aproximadamente 0,143 ou 14,3%

b) maior quêque 8, sabendo quêque a peça tem 5 pontos em uma das partes?

$\frac{3}{7}$, aproximadamente 0,429 ou 42,9%

c) igual a 6, sabendo quêque a peça tem uma quantidade ímpar de pontos em uma das partes?

$\frac{1}{9}$, aproximadamente 0,111 ou 11,1%

38. Uma professora dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental produziu fichas de EVA, todas de mesmo tamãnhotamanho, e indicou nelas cada letra do alfabeto uma única vez, colocando-as em uma urna para propor uma brincadeira aos estudantes. Em cada rodada dessa brincadeira, a professora sorteia uma ficha e dá alguma dica aos estudantes para quêque tentem acertar a letra indicada. Em seguida, a ficha sorteada é devolvida à urna para o sorteio da próxima rodada. Observe as dicas dadas nas rodadas 1, 2 e 3.

a) Em cada rodada, qual é a probabilidade de os estudantes acertarem a letra da ficha sorteada, considerando a dica da professora?

rodada 1: $\frac{1}{5}$, 0,2 ou 20%; rodada 2: $\frac{1}{4}$, 0,25 ou 25%; rodada 3: $\frac{1}{10}$, 0,1 ou 10%

b) Em uma rodada, a professora sorteia a ficha e, ao observá-la, pensa em duas opções de dica, conforme apresentado a seguir.

Opção I: É uma vogal.

Opção II: Tem no nome da Vilma.

Qual dessas dicas a professora pódepode dar aos estudantes para quêque a probabilidade de eles acertarem seja maior? Justifique sua resposta e considere quêque os estudantes tênhamtenham acesso a apenas uma das dicas.

Respostas nas Orientações para o professor.

39. (Enem/MEC) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda quêque lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de êrroerro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pêlospelos auditores, quêque constataram quêque 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda quêque, dentre as declarações quêque não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte sêrser considerada inconsistente, dado quêque ela era fraudulenta?

a) 0,0500

b) 0,1000

c) 0,1125

d) 0,3125

e) 0,5000

alternativa e

40. Leia as informações apresentadas a seguir. Para pesquisar a eficácia de alguns medicamentos no tratamento de certa doença, foi realizado um teste em alguns voluntários acometidos por ela, conforme indicado na tabélatabela.

Quantidade de pessoas quêque se submeteram ao tratamento de certa doença, por tipo de medicamento e sexo

Com base nas informações apresentadas, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo de probabilidade condicional. Troque essa situação-problema com um colega para quêque ele a resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve a quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

Página duzentos e setenta e dois272

Probabilidade de eventos independentes e de eventos dependentes

Na realização de um experimento aleatório, a ocorrência de dois ou mais eventos sucessivos ou simultâneos podem ou não estar relacionados entre si.

Para compreender melhor esse assunto, considere a situação descrita a seguir.

Um professor de Geografia de uma turma de Ensino Médio propôs a realização de duas atividades avaliativas: um seminário e uma redação. Essas atividades deviam tratar de um dos seguintes temas: Cultura, Sociedade ou Território.

Para determinar o tema de cada atividade, o professor escreveu em três pedaços de papel idênticos o nome dos temas e colocou-os em uma caixa. O 1º papel sorteado indicará o tema do seminário e o 2º papel, o tema da redação.

Qual é a probabilidade de quêque o tema do seminário seja Cultura e o da redação, Sociedade?

Para resolver a quêquestão apresentada, temos de analisar duas maneiras diferentes em que os sorteios sucessivos dos temas podem sêrser realizados, ou seja, com ou sem a reposição do 1º papel sorteado na caixa antes do sorteio do 2º papel.

• Sorteio com reposição

Nesse caso, o 1º papel sorteado é reposto na caixa antes do sorteio do 2º papel.

Inicialmente, podemos construir uma tabélatabela de dupla entrada.

Possibilidades de composição de temas para o seminário e para a redação, em sorteio com reposição

PARA PENSAR

No sorteio com reposição, é possível quêque o seminário e a redação sêjamsejam sobre um mesmo tema? Justifique.

Resposta esperada: Sim, pois, ao repor na caixa o 1º papel sorteado, ele poderá sêrser sorteado novamente.

Note quêque, no sorteio com reposição, o espaço amostral tem 9 elemêntoselementos. Assim, a probabilidade (P_A) de quêque os temas do seminário e da redação sêjamsejam, respectivamente, Cultura e Sociedade (C; S), é dada por:

P_A = $\frac{1}{9}$

• Sorteio sem reposição

Nesse caso, o 1º papel retirado é reservado e não é reposto na caixa antes do sorteio do 2º papel.

Página duzentos e setenta e três273

Construindo uma tabélatabela de dupla entrada, obtemos:

Possibilidades de composição de temas para o seminário e para a redação, em sorteio sem reposição

Note quêque, no sorteio sem reposição, o espaço amostral tem apenas 6 elemêntoselementos, uma vez quêque não é possível quêque seja sorteado o mesmo tema para o seminário e para a redação. Assim, a probabilidade (P_B) de quêque os temas do seminário e da redação sêjamsejam, respectivamente, Cultura e Sociedade (C; S), é dada por:

P_B = $\frac{1}{6}$

Em relação à situação apresentada, temos quêque o evento “sortear o tema Cultura para o seminário” e o evento “sortear o tema Sociedade para a redação” são independentes quando os sorteios são realizados com reposição, ou seja, o resultado de um deles não influencíainfluencia no resultado do outro. Já quando os sorteios são realizados sem reposição, temos quêque esses eventos são dependentes, ou seja, o resultado de um deles influencíainfluencia no resultado do outro.

Estudamos quêque a probabilidade de quêque ocorra um evento B, dado quêque o evento A já tenha ocorrido, é expressa por P(B | A) = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{P}\left(A\cap B\right)}{\mathrm{P}\left(A\right)}\end{array}$. Assim, a probabilidade de quêque ocorram ambos os eventos, indicada por P(A ⋃ B), é dada por:

P(B | A) = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{P}\left(A\cap B\right)}{\mathrm{P}\left(A\right)}\end{array}$ ⇒ P(A ⋃ B) = P(A) ⋅ P(B | A)

Quando os eventos A e B são independentes, temos P(B | A) = P(B). Nesse caso, temos:

P(A ⋃ B) = P(A) ⋅ $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{P}\left(B\right)}{\underbrace{\mathrm{P}\left(BA\right)}}\end{array}$ ⇒ P(A ⋃ B) = P(A) ⋅ P(B)

PARA PENSAR

De acôr-doacordo com os conceitos de eventos independentes e dependentes introduzidos, faça uma análise da situação-problema apresentada na página 272.

Resposta nas Orientações para o professor.

Página duzentos e setenta e quatro274

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R11. Uma moeda honesta é lançada duas vezes consecutivas. Considere os eventos:

• A, obtêrobter coroa no primeiro lançamento.

• B, obtêrobter coroa no segundo lançamento.

Mostre quêque os eventos A e B são independentes.

Resolução

Em relação a esses lançamentos e representando por C e K o lançamento em quêque é obtídoobtido cara e o quêque é obtídoobtido coroa, respectivamente, o espaço amostral dos lançamentos e os eventos A e B são dados por:

• (ômega)"Ω = {CC, CK, KC, KK}

• A = {KK, KC}

• B = {KK, CK}

Dessa maneira, temos A ⋃ B = {KK}.

pôdêmosPodemos resolver essa questão de duas maneiras.

1ª maneira:

Calculando as probabilidades de ocorrência de A, B e A ⋃ B, temos:

• P(A) = $\frac{2}{4}$ = 0,5

• P(B) = $\frac{2}{4}$ = 0,5

• P(A ⋃ B) = $\frac{1}{4}$ = 0,25

Portanto, como P(A ⋃ B) = 0,25 = 0,5 ⋅ 0,5 = P(A) ⋅ P(B), concluímos quêque os eventos A e B são independentes.

2ª maneira:

Também podemos, nesse caso, calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, dado quêque já tenha ocorrido o evento A:

P(B | A) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,25}}{\mathrm{0,5}}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5

Como P(B) = 0,5, temos quêque P(B | A) = P(B) e, portanto, os eventos A e B são independentes.

R12. (EsPCEx-SP) Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem quêque se saiba a sua côrcor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a

a) $\frac{49}{110}$.

b) $\frac{51}{110}$.

c) $\frac{53}{110}$.

d) $\frac{57}{110}$.

e) $\frac{61}{110}$.

Resolução

Inicialmente, vamos considerar quêque as bolas se diferenciem apenas pela côrcor. Como a bola extraída da caixa 1 é inserida na caixa 2, esse resultado influencíainfluencia no resultado da extração da bola da caixa 2 e, portanto, esses são eventos dependentes.

Vamos analisar as probabilidades de ocorrerem os seguintes eventos:

• A: extrair uma bola amarela na caixa 1 e uma bola amarela na caixa 2;

• B: extrair uma bola vêrdeverde na caixa 1 e uma amarela na caixa 2.

Assim:

P(A) = $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{6}{11}$ = $\frac{18}{110}$

P(B) = $\frac{7}{10}$ ⋅ $\frac{5}{11}$ = $\frac{35}{110}$

A probabilidade de extrair uma bola amarela na caixa 2 é dada pela soma da probabilidade de ocorrência de A e da probabilidade de ocorrência de B:

P(A) + P(B) = $\frac{18}{110}$ + $\frac{35}{110}$ = $\frac{53}{110}$

Portanto, a alternativa c é a correta.

Página duzentos e setenta e cinco275

ATIVIDADES

41. Em cada item, classifique os eventos em dependentes ou independentes.

a) Lançar uma moeda honesta duas vezes consecutivas.

b) Retirar ao acaso uma ficha numerada de uma urna e, em seguida, sem reposição, retirar outra ficha.

c) Sortear uma carta com determinada figura de um baralho com 52 cartas e, em seguida, com reposição, sortear outra carta com mesma figura.

d) Sortear um rapaz de uma turma com rapazes e moças e, em seguida, sortear outro rapaz nessa turma.

eventos dependentes: b, d; eventos independentes: a, c

42. Sejam A e B eventos independentes de um mesmo espaço amostral equiprovável (ômega)"Ω, finito e não vazio, tais quêque P(A) = 0,2 e P(B) = 0,8. Calcule:

a) P(A ⋃ B)

0,16

b) P(A | B)

0,2

c) P(B | A)

0,8

43. Durante uma gincana, para ganhar pontos extras em cada próvaprova realizada, a equipe vencedora deve girar duas vezes uma roleta, dividida igualmente em cinco partes, conforme indicado a seguir, e somar os pontos obtidos.

a) Os eventos A e B correspondentes aos valores obtidos ao girar a roleta a primeira e a segunda vez, respectivamente, são dependentes ou independentes?

eventos independentes

b) Qual é a pontuação mínima possível quêque uma equipe pódepode obtêrobter ao girar a roleta as duas vezes? Qual é a probabilidade de se obtêrobter essa pontuação?

2 pontos; $\frac{1}{25}$, 0,04 ou 4%

c) Qual é a probabilidade de uma equipe conseguir mais do quêque 15 pontos extras realizando dois giros nessa roleta?

$\frac{4}{25}$, 0,16 ou 16%

44. Em uma urna, existem 12 bolas quêque diferem entre si apenas pela côrcor. Quatro dessas bolas são amarelas e as demais, vermelhas. Retirando-se aleatoriamente duas bolas dessa urna, uma de cada vez, calcule a probabilidade de:

a) a segunda bola retirada sêrser vermelha, sabendo quêque houve reposição entre os sorteios;

$\frac{2}{3}$, aproximadamente 0,667 ou 66,7%

b) serem retiradas duas bolas amarelas, sabendo quêque não houve reposição entre os sorteios;

$\frac{1}{11}$, aproximadamente 0,091 ou 9,1%

c) sêrser retirada uma bola amarela, após ter sido retirada uma bola vermelha, sem reposição entre os sorteios.

$\frac{4}{11}$, aproximadamente 0,364 ou 36,4%

45. Considere quêque uma carta foi retirada aleatoriamente de um baralho tradicional de 52 cartas. Em seguida, sem reposição da primeira carta, retirou-se outra carta dêêssedesse baralho. Calcule a probabilidade de:

a) a primeira carta conter algum número e a segunda conter alguma letra;

$\frac{48}{221}$, aproximadamente 0,217 ou 21,7%

b) as duas cartas conterem figuras;

$\frac{11}{221}$, aproximadamente 0,05 ou 5%

c) a primeira carta conter o sín-bolosímbolo de cópascopas e a segunda, o de espadas;

$\frac{13}{204}$, aproximadamente 0,064 ou 6,4%

d) a primeira carta conter o sín-bolosímbolo de ouros.

$\frac{1}{4}$, 0,25 ou 25%

46. Um dado honesto é lançado duas vezes consecutivas, e os valores a e b, obtidos, respectivamente, nesses lançamentos, são considerados para indicar um par ordenado (a + b, a − b). Qual é a probabilidade de, ao lançar esse dado, o par ordenado formado corresponder a um ponto do contôrnocontorno do quadrado representado no plano cartesiano?

$\frac{5}{36}$, aproximadamente 0,139 ou 13,9%

Página duzentos e setenta e seis276

47. dêz-crevaDescreva uma situação em quêque dois eventos:

a) A e B são dependentes entre si;

Elaboração do estudante.

b) C e D são independentes entre si.

Elaboração do estudante.

• Agora, para cada situação quêque você descreveu, elabore uma situação-problema relacionada ao cálculo da probabilidade de ocorrência de eventos dependentes e de eventos independentes. Troque essas situações-problema com um colega para quêque ele as resôuvaresolva, enquanto você resólveresolve aquelas quêque ele elaborou. Ao final, confiram juntos as resoluções.

Elaboração do estudante.

48. Ao efetuar um diagnóstico da presença ou não de uma doença em um paciente, um médico pódepode utilizar testes diagnósticos e obtêrobter, de acôr-doacordo com a capacidade dêêssedesse teste em detectar tal doença, conclusões com determinada precisão.

Os possíveis resultados de um teste diagnóstico para detectar certa doença em alguns pacientes podem sêrser organizados da maneira apresentada a seguir.

Resultados de um teste diagnóstico em pacientes enfermos e saudáveis

Legenda:

• Verdadeiro positivo (VP): quando o resultado é positivo e o paciente é enfermo (portador da doença).

• Verdadeiro negativo (VN): quando o resultado é negativo e o paciente é saudável (não portador da doença).

• Falso positivo (FP): quando o resultado é positivo, mas o paciente é saudável.

• Falso negativo (FN): quando o resultado é negativo, mas o paciente é enfermo.

Os índices de acêrrrtoacerto de um teste diagnóstico em pessoas enfermas ou saudáveis são denominados sensibilidade e especificidade, respectivamente. A sensibilidade corresponde à probabilidade de o teste apresentar resultado positivo para um paciente enfermo. Já a especificidade corresponde à probabilidade de o teste apresentar resultado negativo para paciente saudável.

Ao receber o resultado do teste de um paciente para uma doença, costumam sêrser avaliadas as duas kestõesquestões a seguir.

I) Qual é a probabilidade de o paciente sêrser enfermo dado um resultado positivo?

Essa probabilidade é chamada de valor de predição positiva do teste (VPP) e pódepode sêrser calculada por:

P(paciente enfermo | resultado positivo) = $\frac{\text{P(paciente enfermo}\cap \text{resultado positivo)}}{\text{P(resultado positivo)}}$

Página duzentos e setenta e sete277

II) Qual é a probabilidade de o paciente sêrser saudável dado um resultado negativo?

Essa probabilidade é chamada de valor de predição negativa do teste (VPN) e pódepode sêrser calculada por:

P(paciente saudável | resultado negativo) = $\frac{\text{P(paciente saudável}\cap \text{resultado negativo)}}{\text{P(resultado negativo)}}$