A FÍSICA NA RELAÇÃO ENTRE O SER HUMANO E O AMBIENTE

Máquinas a vapor e motores de combustão interna

Leia a seguir um trecho de reportagem sobre a extração e a utilização de combustíveis fósseis atualmente.

LEÓN, Lucas Pordeus. Entenda estudo da Nasa sobre 'Brasil inabitável' em 50 anos. Agência Brasil, 24 jul. 2024. Disponível em: https://s.livro.pro/eddh55. Acesso em: 4 set. 2024.

Mesmo com as inúmeras desvantagens, como a quantidade limitada e a causa de diversos problemas ambientais e de saúde, o uso de combustíveis fósseis segue aumentando. A vantagem de sua utilização está na grande quantidade de energia produzida e no melhor custo-benefício, comparando a outros tipos de energia.

Como abordado na reportagem, a queima dos combustíveis fósseis é responsável por emitir grandes quantidades de gases, como o dióxido de carbono abre parênteses C O subscrito 2 fecha parênteses$\left({\text{CO}}_2\right)$, que colabora para a intensificação do efeito estufa natural. Alguns tipos de combustíveis fósseis são o petróleo, o carvão mineral e o gás natural. Eles são utilizados como fontes de energia para o funcionamento de diversos dispositivos e máquinas, por exemplo, a gasolina e o diesel são derivados do petróleo e são utilizados, principalmente, em motores de máquinas e de veículos.

Com o crescimento do setor industrial, ocorrido em meados do século XVIII na Grã-Bretanha e posteriormente em vários outros países, houve a necessidade de novas fontes de energia para o funcionamento das máquinas.

A partir da Revolução Industrial, as máquinas movidas a vapor desempenharam papel fundamental, uma vez que foram as responsáveis pela transformação do calor em movimento, isto é, por meio do motor a vapor era realizada a conversão da energia térmica em energia mecânica na forma de realização de trabalho.

Ainda que os princípios básicos para a construção do motor a vapor tenham sido descritos pelo matemático grego Heron de Alexandria (10 d.C.-70 d.C.), por volta do século I, e que grandes contribuições posteriores tenham sido apresentadas por outros estudiosos – como o inventor francês Denis Papin (1647-1712) em 1679, o engenheiro inglês Thomas Savery (1650-1715) em 1698 e o engenheiro inglês Thomas Newcomen (1664-1729) em 1712 –, o motor a vapor rotatório só foi efetivamente desenvolvido em 1765, pelo cientista escocês James Watt (1736-1819).

Watt desenvolveu um tipo de motor que era capaz de girar em um eixo, em vez de realizar apenas o movimento de subir e descer, por meio de engrenagens que convertiam esse deslocamento em movimento circular. O motor a vapor rotativo de Watt pôde então ser utilizado com variadas aplicações, por exemplo, movimentar máquinas nas fábricas e usinas de algodão.

Nas máquinas a vapor, a fonte de energia utilizada para aquecer a água e transformá-la em vapor é o carvão mineral, um tipo de combustível fóssil.

A partir do desenvolvimento das máquinas movidas a vapor, foram surgindo outras tecnologias mais avançadas, capazes de alcançar maiores rendimentos. O motor a vapor desenvolvido por Watt era capaz de converter apenas cerca de 2% da energia térmica em movimento. Em 1900, após algumas melhorias, a eficiência do motor a vapor aumentou para aproximadamente 17%.

O motor de combustão interna é produto desse avanço de tecnologia. Já no início dos anos 1900, esse tipo de motor havia substituído o motor a vapor como o principal sistema para a geração de energia. Entre os fatores que levaram a essa substituição, está o fato de ele ter maior eficiência térmica (entre 20% e 35%).

Para o estudo do funcionamento desses motores, é necessário compreender primeiro o comportamento dos gases, que são sujeitos a várias transformações, as quais serão definidas a seguir.

Transformações gasosas

Uma substância que assume a fase física gasosa é constituída por minúsculas partículas (átomos, moléculas, íons etc.), que são dotadas de movimentos aleatórios. Por causa disso, o gás ocupa todo o espaço no interior do recipiente que o contém. Dessa maneira, o volume do gás é o volume do próprio recipiente, isto é, o gás tem a forma e o volume definidos pelo recipiente no qual está contido.

Considerando um gás confinado em um recipiente, seu comportamento pode ser analisado em função de grandezas macroscópicas, como a temperatura abre parênteses T fecha parênteses$\left(T\right)$, o volume abre parênteses V fecha parênteses$\left(V\right)$ e a pressão abre parênteses p fecha parênteses$\left(p\right)$, denominadas variáveis de estado. Essas três variáveis definem o estado termodinâmico do gás. Assim, conhecendo-as, podemos definir as propriedades físicas do gás.

Imagens desta página sem proporção e em cores fantasia.

A grandeza temperatura está relacionada com o grau de agitação das partículas que constituem o gás, de modo que, quanto maior o grau de agitação, maior é a medida da temperatura. Por causa dessa agitação, as partículas colidem com as paredes do recipiente, imprimindo força sobre elas, resultando na pressão exercida pelo gás.

As variáveis de estado podem ser divididas em intensivas e extensivas. As classificadas como intensivas são independentes da massa do gás, enquanto as extensivas variam em função da massa.

Por exemplo, se uma quantidade de gás é dividida em duas partes iguais, cada uma delas apresentará os mesmos valores das variáveis intensivas, como pressão e temperatura. No entanto, as variáveis extensivas terão metade de seu valor inicial, como a massa de gás e o volume.

O estudo do comportamento dos gases é realizado por meio de modelos idealizados, que simplificam as relações matemáticas entre as variáveis de estado. Nesses modelos, os gases considerados são chamados de gases ideais ou gases perfeitos.

Os gases ideais têm as seguintes características:

• são compostos de partículas de mesma massa;
• o volume das moléculas é desprezível;
• suas partículas se distribuem uniformemente por todo o volume determinado pelo recipiente que os contém;
• o movimento de suas partículas é aleatório e obedece às leis de Newton;
• uma vez que suas moléculas estão muito distantes entre si, as forças gravitacional e elétrica entre elas são desprezíveis;
• as colisões das moléculas entre si e com as paredes do recipiente são perfeitamente elásticas, conservando o momento linear e a energia mecânica do sistema.

As transformações de um gás ocorrem em relação às variáveis de estado pressão, volume e temperatura. A variação de uma delas provoca a variação das outras. No entanto, alguma delas pode permanecer constante enquanto as outras variam. Essas transformações serão trabalhadas a seguir.

A transformação gasosa na qual a pressão do gás permanece inalterada enquanto o volume e a temperatura variam é chamada de isobárica.

Considere um recipiente cilíndrico com um êmbolo móvel, que seja livre para descer ou subir, sem atrito com as paredes do cilindro. Aquecendo o gás por meio de uma fonte de calor, verifica-se o aumento das medidas de temperatura e volume. No entanto, a quantidade de choques das moléculas do gás com as paredes do recipiente não se altera, mantendo, assim, a pressão constante, como mostrado a seguir.

Professor, professora: Explique que, com o aquecimento do gás, as partículas aumentam sua energia cinética, logo, provocam o aumento de temperatura. Como a transformação ocorre com pressão constante, o volume aumenta.

A relação entre as variáveis volume e temperatura para uma transformação isobárica foi verificada e comprovada em épocas distintas pelo físico Jacques Charles (1746-1823) e pelo químico Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850), ambos franceses. Essa relação está descrita e expressa a seguir.

Matematicamente, essa relação pode ser escrita como:

em que:

• V subscrito 0$V_0$ é o volume inicial do sistema;
• T subscrito 0$T_0$ é a temperatura absoluta inicial do sistema;
• V$V$ é o volume do sistema após a transformação isobárica;
• T$T$ é a temperatura absoluta do sistema após a transformação isobárica.

A razão obtida entre volume e temperatura é sempre constante em uma transformação isobárica, ou seja, a razão entre o volume inicial e a temperatura inicial é igual à razão entre o volume final e a temperatura final. Considerando que a substância continue em sua fase gasosa com valores abaixo de 0 grau Celsius$0°\text{C}$, ao atingir o valor de menos 273 graus Celsius$-273°\text{C}$, zero absoluto, obteríamos um valor nulo de volume. Isso não é possível, pois em valores próximos a menos 273 graus Celsius$-273°\text{C}$ todo gás se liquefaz.

Para esse tipo de transformação, o diagrama da pressão em função do volume abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(p\times V\right)$ corresponde a uma reta horizontal, isto é, uma função constante. No entanto, como a relação entre o volume e a temperatura é linear, o diagrama abre parênteses V vezes T fecha parênteses$\left(V\times T\right)$ é representado por uma reta crescente.

Diagrama abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(\mathit{p}\times \mathit{V}\right)$ para uma transformação isobárica

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 240.

Diagrama abre parênteses V vezes T fecha parênteses$\left(\mathit{V}\times \mathit{T}\right)$ para uma transformação isobárica

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 232.

Professor, professora: Peça aos estudantes que atentem às unidades de medida das respectivas variáveis e à obrigatoriedade do uso da escala kelvin (escala absoluta).

Durante o preparo de um balão de ar quente, o aquecimento do ar em seu interior provoca o aumento de seu volume até que obtenha o formato definido. Durante a expansão, a pressão é mantida constante, isto é, o ar atmosférico passa por uma transformação isobárica.

A transformação gasosa na qual o gás sofre variação de volume e pressão, enquanto sua temperatura permanece constante, é chamada de isotérmica.

Os primeiros estudos analíticos das propriedades dos gases foram conduzidos pelo físico e químico irlandês Robert Boyle (1627–1691). No seu experimento, publicado em 1660, Boyle utilizou um tubo em formato de letra J$J$ com a extremidade inferior fechada e a superior aberta. Na calibragem do experimento, colocamos mercúrio no tubo enquanto o ar flui entre as extremidades e nivelamos a altura da coluna de mercúrio em ambas as pontas, o que garante que a pressão na extremidade fechada seja igual à pressão atmosférica.

Ao adicionar lentamente mercúrio à extremidade aberta, verificamos que a pressão excedente exercida pelo desnível da coluna de mercúrio aumenta a pressão sobre a extremidade fechada, que, por sua vez, comprime o gás aprisionado.

Com isso, Boyle atestou que, diferentemente de um sólido ou um líquido, um gás pode sofrer compressão ou expansão à medida que a pressão exercida sobre ele aumenta ou diminui.

Imagens desta página sem proporção e em cores fantasia.

Considerando o mesmo esquema da página anterior, o gás passa por uma contração de seu volume, provocada pela ação da força peso de dois objetos de massa posicionados sobre o êmbolo. Com o espaço reduzido, a quantidade de colisões das moléculas do gás com as paredes do recipiente aumenta, de modo a aumentar a pressão, mas mantendo a temperatura constante, como na imagem a seguir.

Professor, professora: Explique que a compressão, isto é, a diminuição do volume, é causada pela ação da força peso dos objetos sobre o êmbolo. A diminuição do espaço ocupado pelas moléculas causa o aumento no número de suas colisões com as paredes do recipiente, logo provoca o aumento da pressão.

As observações da relação inversamente proporcional entre as variáveis pressão e volume para uma transformação isotérmica são conhecidas como lei de Boyle-Mariotte. Veja a descrição e a expressão dessa relação a seguir.

Matematicamente, essa relação pode ser escrita como:

em que:

• p$p$ é a pressão final do sistema após a transformação isotérmica;
• V$V$ é o volume final do sistema após a transformação isotérmica.

O diagrama de pressão em função do volume abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(p\times V\right)$ de uma transformação isotérmica é representado por uma função hiperbólica, chamada de isoterma. Nesse tipo de representação, para cada valor de temperatura, cria-se uma isoterma diferente, como mostra o diagrama.

Diagrama abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(\mathit{p}\times \mathit{V}\right)$ para uma transformação isotérmica

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 240.

Uma transformação isotérmica pode ser observada em um experimento simples, utilizando uma seringa e um pequeno balão de festa com um pouco de ar em seu interior. Ao vedarmos a saída de ar da seringa e pressionarmos o êmbolo, ocorre o aumento da pressão em seu interior, como consequência, o volume do balão de festa diminui (A). Quando puxamos o êmbolo, a pressão no interior da seringa diminui, como consequência, o volume do balão de festa aumenta (B).

A.

B.

A transformação isovolumétrica ocorre quando o volume do gás permanece constante, variando tanto a pressão quanto a temperatura do sistema. Essa transformação também é chamada de isométrica ou isocórica.

Com base nos esquemas anteriores, considera-se que o gás no interior do cilindro é aquecido, de modo que o êmbolo não se mova, mantendo, assim, o volume constante. O aumento da temperatura faz aumentar o grau de agitação das moléculas, elevando a quantidade de choques com as paredes do recipiente, isto é, elevando a pressão no interior do recipiente, conforme mostra a imagem a seguir.

Professor, professora: Explique que, com o aquecimento das moléculas que constituem o gás, ocorre o aumento da temperatura, consequentemente, aumenta a quantidade de choques das partículas com as paredes do recipiente, isto é, aumenta a pressão do gás.

A relação diretamente proporcional entre as grandezas pressão e temperatura foi definida por Jacques Charles e pode ser descrita como apresentado a seguir.

Matematicamente, essa relação pode ser expressa por:

em que:

• p$p$ é a pressão final do sistema após a transformação isovolumétrica;
• T$T$ é a temperatura absoluta final do sistema após a transformação isovolumétrica.

O diagrama da pressão em função do volume abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(p\times V\right)$ para uma transformação isovolumétrica é dado por uma reta vertical, enquanto o diagrama da pressão em função da temperatura abre parênteses p vezes T fecha parênteses$\left(p\times T\right)$ é dado por uma reta crescente, tratando-se de uma função linear, como são representados a seguir.

Diagrama abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}\right)$ para uma transformação isovolumétrica

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 240.

Diagrama abre parênteses p vezes T fecha parênteses$\left(\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{T}\right)$ para uma transformação isovolumétrica

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 230.

Essa transformação é percebida nos pneus de um automóvel, por exemplo, pois, conforme eles se deslocam, o atrito dos pneus com o solo provoca o aumento da temperatura do gás em seu interior. Como o volume dos pneus permanece praticamente constante, a pressão em seu interior aumenta. Por esse motivo, a calibragem dos pneus com frequência é fundamental para garantir seu melhor desempenho e a máxima segurança do usuário.

Outra situação na qual podemos observar uma transformação isométrica é quando tentamos abrir a porta de uma geladeira, ou freezer, imediatamente após fechá-la. Isso exige um esforço físico maior do que quando abrimos após um longo período em que ela ficou fechada. Como o volume do interior da geladeira é constante, o ar que foi aprisionado nela enquanto a porta ficou aberta sofre uma redução de temperatura. Logo, a velocidade de translação das suas partículas diminui, causando a redução das colisões com as partes internas da geladeira, ou seja, a pressão no interior do aparelho diminui, ficando menor do que a pressão externa. Dessa diferença de pressão surge uma força resultante, contrária à abertura da porta. Após certo intervalo de tempo, o valor da pressão interna se iguala ao da pressão externa, em razão de um mecanismo de entrada de ar na geladeira.

Imagem sem proporção e em cores fantasia.

A transformação gasosa chamada de adiabática ocorre em situações nas quais o gás não efetua trocas de energia com o meio externo na forma de calor. Nesse tipo de transformação, as três variáveis de estado (volume, pressão e temperatura) sofrem alterações durante o processo. Para que essa troca de calor não ocorra durante a transformação, uma alternativa é confinar o gás em um recipiente termicamente isolado. No entanto, a transformação adiabática também ocorre caso o processo seja rápido o bastante para que as trocas de calor possam ser desprezíveis, pelo fato de o processo de transmissão de calor por condução ou convecção ser relativamente lento.

A formação das nuvens e a formação de neblina em dias frios, por exemplo, são resultados da transformação adiabática. Quando uma quantidade de ar sobe para regiões em que a pressão atmosférica é cada vez menor, seu volume sofre uma expansão rápida o suficiente para que não haja trocas de calor e sua temperatura diminui até a condensação da água, como mostra o esquema a seguir.

Imagem elaborada com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 341.

O diagrama da pressão em função do volume abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(p\times V\right)$ para uma transformação adiabática é representado por uma curva. Essa curva adiabática decai mais rapidamente do que a isotérmica, como mostra o diagrama.

Diagrama abre parênteses p vezes V fecha parênteses$\left(\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}\right)$ para uma transformação adiabática

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 240.

No cotidiano, esse tipo de transformação é bastante utilizado nos aerossóis, por exemplo.

Um aerossol é composto da mistura de dois líquidos confinados em um recipiente sujeito a uma grande pressão interna. Um dos líquidos é o próprio produto. O outro é um gás chamado de propelente, o qual se encontra na fase líquida por causa da grande pressão no interior do recipiente. Ao acionarmos a válvula de escape, a pressão interna do recipiente diminui e o propelente assume novamente a fase gasosa, aumentando seu volume. Com isso, ele escapa com grande violência, levando parte do produto junto.

A expansão do gás propelente ocorre sem haver trocas de calor com o meio externo, resultando na diminuição da temperatura interna, sentida pelo resfriamento do recipiente quando os gases são expelidos.

Lei geral dos gases

Quando estudamos transformações nas quais todas as variáveis de estado sofrem alteração, é necessário considerar as relações de proporcionalidade que existem entre elas em cada processo individualmente. Por exemplo, vimos que, em um processo isobárico, o volume e a temperatura são diretamente proporcionais. Já em um processo isotérmico, a pressão e o volume são inversamente proporcionais. E, na transformação isovolumétrica, a pressão e a temperatura também são diretamente proporcionais.

Com base nessas relações, o físico francês Benoit Paul Émile Clapeyron (1799-1864) estabeleceu uma única equação que sintetiza todas as transformações de um gás ideal, chamada de lei geral dos gases ideais:

Essa equação relaciona as três variáveis de estado de um gás ideal para qualquer tipo de transformação, desde que não ocorra variação da quantidade de gás, isto é, para o número de mol$\text{mol}$ abre parênteses n fecha parênteses$\left(n\right)$ constante:

• início de fração, numerador: V subscrito 0, denominador: T subscrito 0, fim de fração é igual a V sobre T$\frac{V_0}{T_0}=\frac{V}{T}$, para uma transformação isobárica abre parênteses p subscrito 0 é igual a p fecha parênteses$\left(p_0=p\right)$;
• p subscrito 0 vezes V subscrito 0 é igual a p vezes V$p_0\mathbf{·}{V}_0=p\mathbf{·}V$, para uma transformação isotérmica abre parênteses T subscrito 0 é igual a T fecha parênteses$\left(T_0=T\right)$;
• início de fração, numerador: p subscrito 0, denominador: T subscrito 0, fim de fração é igual a p sobre T$\frac{p_0}{T_0}=\frac{p}{T}$, para uma transformação isovolumétrica abre parênteses V subscrito 0 é igual a V fecha parênteses$\left(V_0=V\right)$;
• início de fração, numerador: p subscrito 0 vezes V subscrito 0, denominador: T subscrito 0, fim de fração é igual a início de fração, numerador: p vezes V, denominador: T, fim de fração$\frac{p_0\mathbf{·}{V}_0}{T_0}=\frac{p\mathbf{·}V}{T}$, para uma transformação adiabática abre parênteses Q é igual a 0 fecha parênteses$\left(Q=0\right)$.

Logo, a constante determinada por Clapeyron, chamada de constante universal dos gases ideais e representada pela letra R$R$, é válida para qualquer tipo de gás. Assim, podemos escrever:

Para as variáveis de estado expressas nas unidades do SI, isto é, pressão em pascal abre parênteses P a fecha parênteses$\left(\text{Pa}\right)$, volume em metro cúbico abre parênteses metro elevado ao cubo fecha parênteses$\left({\text{m}}^3\right)$ e temperatura em kelvin K$\left(\text{K}\right)$, a constante universal R$R$ tem valor igual a:

Como 1 pascal é igual a 1 N barra m elevado ao quadrado$1\text{ Pa}=1{\text{N/m}}^2$ e 1 joule é igual a 1 N vezes m$1\text{ J}=1\text{ N}\mathbf{·}\text{m}$, a constante universal, ainda no SI, também pode ser escrita da seguinte maneira:

No entanto, caso as variáveis sejam expressas em a t m$\text{atm}$ (pressão), L$\text{L}$ (volume) e K$\text{K}$ (temperatura), sendo 1 a t m é igual a 1 vírgula 0 1 vezes 10 elevado a 5 pascal$1\text{ atm}=\mathrm{1,01}\mathbf{·}{10}^5\text{ Pa}$ e 1 L é igual a 10 elevado a menos 3 metros cúbicos$1\text{ L}={10}^{-3}{\text{m}}^3$, temos:

Trabalho em uma transformação gasosa

Durante o funcionamento de um motor a combustão interna, ocorrem vários tipos de transformações gasosas.

Vamos retomar o funcionamento dos motores a combustão interna para entender melhor como ele funciona.

A combustão é uma reação química entre uma substância combustível e o gás oxigênio abre parênteses O subscrito 2 fecha parênteses$\left({\text{O}}_2\right)$ que libera energia térmica, ou seja, calor. A quantidade de energia liberada na combustão varia de acordo com o combustível utilizado. Por exemplo, a gasolina libera 47 vírgula 87 quilojoules por grama$\text{47,87 kJ/g}$; já o etanol, cerca de 29 vírgula 67 quilojoules por grama$\text{29,67 kJ/g}$.

Nos motores a gasolina, a combustão da mistura de ar e combustível normalmente é iniciada por uma centelha (faísca elétrica) no interior da câmara de combustão. Os gases produzidos nessa reação se expandem e empurram os pistões. Em razão da inércia do movimento causado por queimas anteriores, os pistões se deslocam continuamente em um movimento oscilatório para cima e para baixo, alterando o volume da câmara.

Esse movimento é mantido por sucessivas queimas e, então, transferido às rodas pelas engrenagens do sistema de transmissão do veículo. Como consequência, a energia liberada na combustão é transformada em energia cinética, que faz o veículo se locomover.

Nem toda energia liberada pela combustão é utilizada para a produção de movimento. Parte dela provoca aquecimento do motor e outra parte é dissipada na forma de energia sonora.

Para entender como os gases gerados na combustão interagem com os pistões, vamos considerar que eles se comportam como gases ideais contidos em um recipiente cilíndrico, fechado com um êmbolo móvel, conforme mostrado a seguir. O gás encontra-se em um estado termodinâmico inicial com pressão inicial abre parênteses p subscrito 0 fecha parênteses$\left(p_0\right)$, volume inicial abre parênteses V subscrito 0 fecha parênteses$\left(V_0\right)$ e temperatura inicial abre parênteses T subscrito 0 fecha parênteses$\left(T_0\right)$.

Ao receber calor, a temperatura do gás aumenta e a quantidade de choques entre as partículas do gás e as paredes do recipiente também.

Isso provoca um deslocamento do êmbolo, aumentando o volume e mantendo a pressão, ou seja, o gás sofre uma transformação isobárica até atingir o estado de pressão final p é igual a p subscrito 0$p=p_0$, volume final V é maior do que V subscrito 0$V>V_0$ e temperatura final T é maior do que T subscrito 0$T>T_0$.

Nesse caso, dizemos que o gás realizou trabalho termodinâmico sobre o êmbolo, pois o deslocamento do êmbolo ocorre por causa da força aplicada pelo gás sobre ele. Podemos definir o trabalho termodinâmico por meio de uma analogia ao trabalho mecânico levando em consideração a intensidade da força aplicada abre parênteses 'F' fecha parênteses$\left(F\right)$ e o respectivo deslocamento:

em que

• delta 's'$\text{Δ}s$ é o deslocamento do êmbolo;
• teta$\text{θ}$ é o ângulo entre a direção da força e do deslocamento.

Professor, professora: Apresente a expressão matemática para o cálculo do trabalho termodinâmico, fazendo uma analogia ao cálculo do trabalho mecânico, no caso da transformação ilustrada, e deduzindo a fórmula. Peça que os estudantes observem o gráfico e explique como é feita a representação da transformação isobárica em um diagrama da pressão versus volume.

No exemplo, o deslocamento do êmbolo ocorre na mesma direção da aplicação da força, assim teta é igual a 0 grau$\text{θ}=0°$ e cosseno 0 grau é igual a 1$\text{cos 0°}=1$. A pressão é dada pela razão entre a intensidade da força aplicada e a área. Desse modo, a força pode ser descrita como:

p é igual a 'F' sobre A implica em 'F' é igual a p vezes A$p=\frac{F}{A}\Rightarrow F=p\mathbf{·}A$

Como o recipiente é cilíndrico, a variação no volume abre parênteses delta V fecha parênteses$\left(\text{Δ}V\right)$ será dada pelo produto entre a área abre parênteses A fecha parênteses$\left(A\right)$ e o deslocamento do êmbolo abre parênteses delta 's' fecha parênteses$\left(\text{Δ}s\right)$:

delta V é igual a A vezes delta 's' implica em delta 's' é igual a início de fração, numerador: delta V, denominador: A, fim de fração$\text{Δ}V=A\mathbf{·}\text{Δ}s\Rightarrow \text{Δ}s=\frac{\text{Δ}V}{A}$

Assim, o trabalho termodinâmico em uma transformação isobárica pode ser descrito da seguinte maneira:

Para calcular o trabalho em joule abre parênteses J fecha parênteses$\left(\text{J}\right)$, a pressão deve ser expressa em pascal abre parênteses P a fecha parênteses$\left(\text{Pa}\right)$; o volume, em metros cúbicos abre parênteses metro elevado ao cubo fecha parênteses$\left({\text{m}}^3\right)$.

O trabalho termodinâmico também pode ser obtido por meio da representação da transformação gasosa no diagrama da pressão em função do volume (diagrama p vezes V$p\times V$).

No diagrama p vezes V$p\times V$, é representada uma transformação isobárica de um gás com volume inicial V subscrito 0$V_0$ e volume final V$V$.

Observe que, na representação gráfica de uma transformação gasosa, é indicado o sentido da transformação por meio de uma seta sobre o gráfico.

Transformação isobárica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 232.

A região compreendida entre o gráfico e o eixo do volume corresponde a um retângulo, cuja área é dada pela multiplicação da altura (que equivale a valores de pressão) pela largura (que equivale a valores de volume). Dessa maneira:

Nota-se que o trabalho realizado por um gás depende da variação do volume. Desse modo, em uma expansão, o gás realiza trabalho abre parênteses tau é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}>0\right)$; em uma compressão, o gás recebe trabalho do meio externo abre parênteses tau é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}<0\right)$; já em uma transformação isovolumétrica, não é realizado trabalho abre parênteses tau é igual a 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}=0\right)$.

A representação de uma transformação gasosa em um diagrama do tipo p vezes V$p\times V$ pode ser utilizada para qualquer tipo de transformação. Confira a seguir alguns exemplos de transformações gasosas representadas em diagramas p vezes V$p\times V$.

Expansão isobárica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Expansão isobárica: o gás realiza trabalho abre parênteses tau é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}>0\right)$,  pois delta V é maior do que 0$\text{Δ}V>0$.

Transformação isovolumétrica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Transformação isovolumétrica: o gás não realiza nem recebe trabalho abre parênteses tau é igual a 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}=0\right)$, pois delta V é igual a 0$\text{Δ}V=0$.

Compressão isobárica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Compressão isobárica: o gás recebe trabalho abre parênteses tau é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}<0\right)$, pois delta V é menor do que 0$\text{Δ}V<0$.

Expansão gasosa em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Expansão gasosa qualquer: o trabalho realizado pode ser calculado pela análise da área do gráfico, pois há variação de volume e pressão.

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231-233.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

R1. O gráfico p vezes V$p\times V$ mostra a expansão de um gás ideal. Determine o trabalho realizado por ele nessa transformação.

Gráfico p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$ de uma transformação gasosa

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231-233.

Resolução:

Podemos notar que o volume aumenta, indicando que o trabalho é positivo. Além disso, verifica-se que as unidades de pressão e volume mostradas no gráfico estão no SI, não sendo necessária qualquer transformação. Da propriedade que a área sob a curva do gráfico é numericamente igual ao trabalho, temos:

tau expressão com detalhe acima, início da expressão, é igual a, fim da expressão, início do detalhe acima, N, fim do detalhe acima área do trapézio$\tau \stackrel{N}{=}\text{área do trapézio}$

tau expressão com detalhe acima, início da expressão, é igual a, fim da expressão, início do detalhe acima, N, fim do detalhe acima início de fração, numerador: abre parênteses base maior mais base menor fecha parênteses vezes altura, denominador: 2, fim de fração$\mathrm{\tau }\stackrel{\text{N}}{=}\frac{\left(\text{base maior}+\text{base menor}\right)\times \text{altura}}{2}$

tau é igual a início de fração, numerador: abre parênteses 2 mais 6 fecha parênteses vezes abre parênteses 6 menos 4 fecha parênteses, denominador: 2, fim de fração implica em tau é igual a início de fração, numerador: 8 vezes 2, denominador: 2, fim de fração implica em portanto é igual a 8 joules$\mathrm{\tau }=\frac{\left(2+6\right)\mathbf{·}\left(6-4\right)}{2}\Rightarrow \mathrm{\tau }=\frac{8\mathbf{·}2}{2}\Rightarrow \mathbf{\therefore }=8\text{ J}$

Energia interna de um gás

Uma amostra de uma substância qualquer armazena energia de variadas formas.

A temperatura de um corpo está relacionada ao movimento das partículas que o compõem, ou seja, está relacionada à energia cinética de translação das partículas.

Além dessa energia, temos a energia química armazenada nas ligações químicas, a energia associada a outros tipos de movimento, como a rotação e a vibração, mostradas a seguir, e a energia potencial advinda das interações químicas.

Representação dos movimentos realizados pelas partículas de um gás. Todos fazem parte da energia interna do gás.

Todas as formas de energia citadas constituem a energia interna abre parênteses U fecha parênteses$\left(U\right)$ da substância.

A energia interna pode ser modificada em uma transformação gasosa. Quando um gás absorve calor, sua energia interna aumenta. Por outro lado, quando ele cede calor, sua energia interna diminui.

Considerando um gás ideal e monoatômico, ou seja, constituído de um único átomo, seu movimento será composto apenas da translação. Assim, a energia interna do gás (determinada pela energia cinética média das partículas) está relacionada apenas com a temperatura. Matematicamente, essa relação entre a energia interna de um gás e a temperatura do gás pode ser descrita como:

em que

• U$U$ é a energia interna do gás em joule abre parênteses J fecha parênteses$\text{(J)}$;
• n$n$ é a quantidade de matéria (em mols) da amostra;
• R$R$ é a constante universal dos gases ideais, que vale 8 vírgula 31 joules barra mol vezes K$\mathrm{8,31}\text{ J/mol}\mathbf{·}\text{K}$, em unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI);
• T$T$ é a temperatura do gás na escala absoluta abre parênteses K fecha parênteses$\text{(K)}$.

Professor, professora: Comente que a energia interna é intrínseca ao sistema, sendo a soma de todas as energias de todas as moléculas em uma média. Apesar de a energia interna ser diretamente ligada à grandeza temperatura, o calor é apenas uma consequência de sua diferença entre sistemas.

Essa equação é válida apenas para gases monoatômicos. Como os átomos dos gases são livres para se moverem livremente, eles têm três graus de liberdade de translação, isto é, movimentam-se nas três dimensões do espaço. Nos casos em que o gás não é monoatômico, é preciso levar em consideração os graus de liberdade associados aos movimentos de rotação e vibração.

Nesses casos, ainda é possível encontrar uma relação que depende apenas da temperatura. A unidade de medida da energia interna no SI, assim como o calor e outras formas de energia, é o joule abre parênteses J fecha parênteses$\left(\text{J}\right)$.

Primeira lei da Termodinâmica

Como vimos anteriormente, a combustão de gasolina ou etanol faz os gases realizarem trabalho nos pistões de um motor.

Outro resultado da explosão dos combustíveis é a liberação de calor, que faz a temperatura do motor aumentar. Sendo assim, em muitos motores, é necessária a presença de um radiador, que faz parte do sistema de resfriamento da máquina.

Esse sistema é composto de tubos preenchidos com líquidos refrigerantes e tem como objetivo fazer trocas de calor com o ambiente.

O líquido passa por uma tubulação em torno do motor e deste retira calor. Depois, passa pelo radiador, transferindo calor para o ambiente e evitando que a temperatura do motor passe do limite seguro para seu funcionamento.

Imagem sem proporção e em cores fantasia.

Imagem elaborada com base em: YADAV, J. P.; SINGH, B. R. Study evaluation of automotive radiator. SAMRIDDHI-A Journal of Physical Sciences, Engineering and Technology. v. 2. 2011. p. 48.

Assim como outras máquinas térmicas, o motor de um automóvel não utiliza toda a energia do combustível para realizar trabalho. Parte dessa energia é convertida em energia interna do sistema em razão do aumento da temperatura do motor e de suas peças.

Essa propriedade das máquinas térmicas é descrita pela primeira lei da Termodinâmica, que é baseada no princípio da conservação de energia. A quantidade de calor abre parênteses Q fecha parênteses$\left(Q\right)$ adicionada a um sistema pode aumentar sua energia interna abre parênteses delta U fecha parênteses$\left(\text{Δ}U\right)$ e possibilitar que o sistema realize trabalho abre parênteses tau fecha parênteses$\left(\text{τ}\right)$. Matematicamente, a primeira lei da Termodinâmica pode ser descrita como:

Nessa relação, todas as grandezas são expressas em joule abre parênteses J fecha parênteses$\left(\text{J}\right)$, no SI.

Vamos analisar como cada variável da primeira lei da Termodinâmica se comporta nas transformações gasosas que vimos anteriormente.

Transformação isobárica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231.

Uma transformação isobárica ocorre entre duas temperaturas e dois volumes diferentes. Ao analisar essa situação por meio da primeira lei da Termodinâmica abre parênteses Q é igual a tau mais delta U fecha parênteses$\left(Q=\text{τ}+\text{Δ}U\right)$, temos que:

• se o gás recebe calor abre parênteses Q é maior do que 0 fecha parênteses$\left(Q>0\right)$, sua temperatura abre parênteses delta T é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T>0\right)$ e sua energia interna aumentam abre parênteses delta U é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U>0\right)$, e ele se expande, realizando trabalho abre parênteses tau é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}>0\right)$;
• se o gás cede calor abre parênteses Q é menor do que 0 fecha parênteses$\left(Q<0\right)$, sua temperatura abre parênteses delta T é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T<0\right)$ e sua energia interna diminuem abre parênteses delta U é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U<0\right)$, e o meio externo realiza trabalho sobre o gás, que se contrai abre parênteses tau é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}<0\right)$.

Considere agora uma transformação isotérmica. Como a variação de temperatura é nula abre parênteses delta T é igual a 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T=0\right)$, a variação de energia interna também é nula abre parênteses delta U é igual a 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U=0\right)$.

Uma transformação isotérmica, analisada segundo a primeira lei da Termodinâmica, pode ser descrita como:

Portanto:

• se o gás recebe calor abre parênteses Q é maior do que 0 fecha parênteses$\left(Q>0\right)$, ele se expande e realiza trabalho abre parênteses tau é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}>0\right)$;
• se o gás cede calor abre parênteses Q é menor do que 0 fecha parênteses$\left(Q<0\right)$, é realizado trabalho sobre o gás abre parênteses tau é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}<0\right)$ e ocorre uma compressão.

Transformações isotérmicas em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231.

Para uma transformação isovolumétrica, a variação de volume é nula abre parênteses delta V é igual a 0 fecha parênteses.$\left(\text{Δ}V=0\right).$ Isso demonstra que o gás não realiza nem recebe trabalho abre parênteses tau é igual a 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}=0\right)$.

A análise de uma transformação isovolumétrica, segundo a primeira lei da Termodinâmica, pode ser descrita como:

Assim:

• se o gás recebe calor abre parênteses Q é maior do que 0 fecha parênteses$\left(Q>0\right)$, ele se aquece abre parênteses delta T é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T>0\right)$ e sua energia interna aumenta abre parênteses delta U é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U>0\right)$;
• se o gás cede calor abre parênteses Q é menor do que 0 fecha parênteses$\left(Q<0\right)$, ele diminui de temperatura abre parênteses delta T é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T<0\right)$, diminuindo também sua energia interna abre parênteses delta U é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U<0\right)$.

Transformação isovolumétrica em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\times \mathit{V}$

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231.

Considerando agora uma transformação adiabática, precisamos lembrar que, nesse tipo de transformação gasosa, não há trocas de calor com o meio externo abre parênteses Q é igual a 0 fecha parênteses$\left(Q=0\right)$.

Se o sistema tem paredes que impedem trocas de calor com o ambiente (garrafa térmica, caixa de isopor etc.) ou caso o processo ocorra de forma rápida, não havendo tempo suficiente para que sejam realizadas trocas de calor, a transformação é caracterizada como adiabática.

Analisando uma transformação adiabática por meio da primeira lei da Termodinâmica, temos:

Portanto:

• se o gás sofre uma expansão adiabática, ele realiza trabalho abre parênteses tau é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}>0\right)$ e sua temperatura diminui abre parênteses delta T é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T<0\right)$. Assim, a energia interna também diminui abre parênteses delta U é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U<0\right)$;
• se o gás sofre uma compressão adiabática, o trabalho é realizado sobre ele abre parênteses tau é menor do que 0 fecha parênteses$\left(\text{τ}<0\right)$ e sua temperatura aumenta abre parênteses delta T é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}T>0\right)$. Dessa maneira, a energia interna também aumenta abre parênteses delta U é maior do que 0 fecha parênteses$\left(\text{Δ}U>0\right)$.

Transformação adiabática em um diagrama p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 231.

Segunda lei da Termodinâmica

Anteriormente, vimos ser possível construir uma máquina térmica que, ao receber calor de uma fonte externa, sofra uma variação de energia interna e possa realizar trabalho.

Analise a ilustração a seguir. Ela representa dois corpos, inicialmente com temperaturas diferentes, que são colocados em contato no interior de uma região termicamente isolada. Assim, eles trocam calor entre si, mas não com o ambiente. O corpo A$A$ tem temperatura inicial maior do que a do corpo B$B$.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 208.

Naturalmente, o calor flui do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura. No exemplo dado, à medida que o corpo A$\text{A}$ cede calor, ele se resfria, e o corpo B$\text{B}$, que recebe calor, se aquece, até que ambos atinjam equilíbrio térmico (temperaturas iguais). Nesse processo, a energia é conservada e, assim, é respeitada a primeira lei da Termodinâmica.

Imagine agora que o corpo de maior temperatura, por acaso, retirasse calor do corpo frio, de modo que sua temperatura aumentasse ainda mais. Esse processo não viola a primeira lei da Termodinâmica, pois o corpo frio se tornaria mais frio na mesma intensidade que o corpo quente se tornaria ainda mais quente. Assim, a energia se conservaria da mesma forma.

Se a segunda situação descrita não viola a conservação de energia, então por que ela não é observada? A resposta é a segunda lei da Termodinâmica, que está relacionada com o sentido da transformação de energia dos fenômenos naturais. Ela pode ser enunciada de diversas maneiras, sendo a mais simples descrita da seguinte maneira.

O sentido do fluxo de calor pode ser invertido em algumas situações, porém, para que isso ocorra, é necessário realizar trabalho sobre o sistema. Nesse caso, é adicionada energia de uma fonte externa, como ocorre nos refrigeradores ou nos aparelhos de ar-condicionado.

Para compreender melhor a segunda lei da Termodinâmica, vamos considerar um recipiente fechado que contenha certa quantidade de gás ideal conectado a outro recipiente, inicialmente evacuado. Entre eles, há uma válvula fechada, impedindo o fluxo do gás entre os dois frascos, como mostra a figura.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 259.

Caso a válvula seja aberta e a temperatura mantida constante, o gás se expandirá espontaneamente e ocupará o volume dos dois recipientes até que as pressões se igualem.

Caso quiséssemos realizar o processo inverso, no qual o gás distribuído nos dois recipientes ocupasse espontaneamente o interior de apenas um deles, isso não seria possível.

O fato de as partículas terem um movimento aleatório torna muito maior a probabilidade de haver um aumento na desordem de sua distribuição do que o contrário.

Esse tipo de fenômeno pode ser exemplificado com uma piscina de bolinhas. Mesmo que as bolinhas de plástico sejam colocadas na piscina, uma cor por vez, após algumas crianças brincarem nessa piscina, a maior probabilidade é de que as bolinhas coloridas fiquem todas misturadas. Ou seja, o grau de desordem do sistema aumentou.

Apesar de haver uma pequena probabilidade de as bolinhas de uma cor se concentrarem em uma região da piscina, ou de um gás se concentrar em um único recipiente, para que o sistema retorne para uma situação de mais ordenamento, é preciso que algum agente externo atue no sistema. No exemplo da piscina de bolinhas, uma pessoa deve pegar as bolinhas de plástico e organizá-las novamente. No caso dos gases, é possível utilizar uma bomba de vácuo e colocar o gás de volta em apenas um dos recipientes. Esses exemplos mostram que, espontaneamente, os fenômenos tendem a ocorrer de modo a aumentar a desordem de um sistema.

O nível de ordem de um sistema está associado ao conceito de energia útil, ou seja, que pode ser aproveitada para realizar trabalho. Conforme a energia é utilizada, ela se transforma em energia desorganizada (ou degradada), isto é, em formas de energia não úteis para a realização de trabalho. A grandeza que mede o grau de desordem da energia de um sistema é a entropia abre parênteses S fecha parênteses$\left(S\right)$. Dessa maneira, quanto maior o grau de desordem, maior será sua entropia.

Como a energia útil tende a se degradar, a entropia total do Universo sempre aumenta. Para entender essa ideia, pense nas relações entre os seres vivos na Terra. As plantas retiram do ar, do solo e da água elementos para se desenvolver. Nesse processo, a entropia diminui, pois os seres vivos são estruturas mais complexas e ordenadas que os nutrientes utilizados. Contudo, a vida é possível por causa da energia emitida pelo Sol, que aquece o planeta e que é utilizada pelas plantas para realizar fotossíntese.

Imagem elaborada com base em: KLEIDON, A. Thermodynamics Foundations of the Earth system. Cambridge: Cambridge University Press, 2016. p. 7.

Dessa forma, o desenvolvimento da vida diminui localmente a entropia. No entanto, isso só acontece porque no Sol está ocorrendo um nível de desordem muito maior nas reações termonucleares que transformam energia nuclear em outros tipos de energia.

Concluímos, então, que a entropia local na Terra está diminuindo (no intervalo de tempo no qual os seres vivos estão se desenvolvendo), mas a entropia total está, na realidade, aumentando.

Com base no conceito de entropia, é possível definir a segunda lei da Termodinâmica em termos dessa grandeza como: nos processos espontâneos, a ordem de um sistema tende para a desordem, ou seja, a entropia sempre aumenta.

A entropia e a segunda lei da Termodinâmica permitem explicar por que alguns processos são espontâneos, isto é, ocorrem naturalmente, enquanto outros não. Isso está ligado ao sentido natural da ocorrência dos fenômenos. Analisando as fotografias a seguir, sabemos que a ordem das etapas é do copo inteiro para o copo quebrado, pois o copo cair e quebrar é um processo irreversível, o que implica que o copo quebrado jamais voltará, por conta própria, a ficar inteiro novamente.

Rendimento de uma máquina térmica e o ciclo de Carnot

Os dispositivos capazes de converter calor em trabalho são denominados máquinas térmicas.

No desenvolvimento das máquinas térmicas, percebeu-se que, para obter resultados melhores, as máquinas deveriam ter uma fonte quente (com temperatura mais alta) e uma fonte fria (com temperatura mais baixa), para que ocorresse um fluxo espontâneo de calor.

Em seu funcionamento, a máquina térmica recebe calor da fonte quente e converte uma fração dessa energia em trabalho. A fração de energia que não é aproveitada aumenta a energia interna da máquina. Na sequência, essa energia, que não foi convertida em trabalho, é direcionada para a fonte fria na forma de calor.

Considerando um motor de combustão interna, como o de um automóvel, o calor da queima do combustível corresponde à fonte quente, os gases a alta temperatura realizam trabalho sobre o pistão, enquanto parte da energia em forma de calor é rejeitada para o meio ambiente ou para a fonte fria.

Suponha que a fonte quente de uma máquina térmica esteja à temperatura T subscrito 1$T_1$ e fornece a quantidade de calor Q subscrito 1$Q_1$. A fonte fria está a uma temperatura menor T subscrito 2$T_2$ e recebe calor Q subscrito 2$Q_2$, que foi rejeitado pela máquina. Nesse caso, o trabalho realizado pela máquina térmica é determinado pela diferença entre as duas quantidades de calor.

Note que uma máquina térmica sempre dependerá do fluxo natural de calor, respeitando a segunda lei da Termodinâmica – ela sempre rejeitará uma parcela do calor recebido para a fonte fria. Dessa forma, concluímos que ela tem um rendimento que é dado por:

etá é igual a início de fração, numerador: tau, denominador: Q subscrito 1, fim de fração$\text{η}=\frac{\text{τ}}{Q_1}$

em que o símbolo etá$\text{η}$ (lê-se ni) é o rendimento da máquina térmica, o qual indica a parcela da energia recebida pela fonte quente que é efetivamente convertida em trabalho. Quanto menor for a quantidade de calor rejeitada abre parênteses Q subscrito 2 fecha parênteses$\left(Q_2\right)$, maior será o rendimento da máquina.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 265.

Uma vez que o trabalho realizado pela máquina térmica pode ser escrito em termos das quantidades de calor recebido abre parênteses Q subscrito 1 fecha parênteses$\left(Q_1\right)$ e rejeitado abre parênteses Q subscrito 2 fecha parênteses$\left(Q_2\right)$, o rendimento pode ser expresso apenas em função das respectivas quantidades de calor:

Portanto, caso conheçamos as quantidades de calor recebido e rejeitado pela máquina térmica, seremos capazes de calcular seu rendimento sem a necessidade de calcular o trabalho realizado por ela. Essa equação representa o rendimento real de uma máquina térmica.

O fato de as máquinas térmicas sempre rejeitarem uma parcela importante do calor recebido motivou a busca por melhorar seu rendimento. Nesse contexto, o físico francês Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796-1832) analisou o funcionamento de uma máquina térmica e descobriu que a parcela da energia fornecida que pode ser convertida em trabalho sempre depende da diferença de temperatura entre a fonte quente e a fonte fria, mesmo em condições ideais.

O rendimento máximo de uma máquina térmica pode ser obtido considerando que ela opere em um ciclo reversível, composto de duas transformações adiabáticas (B seta para a direita 'C'$B\to C$ e D seta para a direita A$D\to A$) e duas transformações isotérmicas (A seta para a direita B$A\to B$ e 'C' seta para a direita D$C\to D$), como mostra o diagrama. Nesse ciclo, ocorrem trocas de calor somente entre o gás e as fontes quente e fria, ou seja, não existe dissipação.

O diagrama p vezes V$p\times V$ representado é denominado ciclo de Carnot. Ele ilustra o rendimento ideal de uma máquina térmica, ou seja, o rendimento máximo que ela pode obter.

Ciclo de Carnot para uma máquina térmica ideal

Fonte de pesquisa: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 9. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 2. p. 256.

O rendimento de uma máquina térmica que opera segundo o ciclo de Carnot (rendimento ideal) é calculado em relação às temperaturas das fontes quente e fria, podendo ser descrito como:

Muitos acreditavam que seria possível construir uma máquina térmica que convertesse toda a energia térmica recebida em trabalho. Mas, de acordo com a segunda lei da Termodinâmica, uma máquina terá seu rendimento máximo se operar o ciclo de Carnot. Em razão das descobertas de Carnot, percebeu-se que nenhuma máquina que opera em ciclos pode atingir um rendimento de 100%. Em outras palavras, nenhuma máquina térmica é capaz de transformar todo o calor recebido da fonte quente em trabalho.

Outros ciclos termodinâmicos

Além do ciclo de Carnot, há outros ciclos que têm aplicações no cotidiano, como é o caso dos ciclos de motores a combustão. O ciclo de Otto foi desenvolvido pelo engenheiro alemão Nikolaus August Otto (1832-1891) em 1876. Esse ciclo é aplicado nos motores de automóveis movidos a gasolina ou etanol. Ele é composto de quatro etapas (ou quatro tempos): admissão, compressão, combustão e exaustão.

Na etapa de admissão, trecho A seta para a direita B$A\to B$ no diagrama apresentado, o pistão do motor é deslocado para baixo, a válvula de admissão é aberta, e uma mistura de ar e combustível é inserida no interior da câmara de combustão.

Gráfico p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$ do ciclo Otto teórico

Fonte de pesquisa: ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. 7. ed. Tradução: Paulo Maurício Costa Gomes. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 498.

Na etapa de compressão, trecho B seta para a direita 'C'$B\to C$, as válvulas permanecem fechadas, o pistão desloca-se no sentido contrário e comprime a mistura, fazendo a temperatura aumentar.

Já na terceira etapa, trecho 'C' seta para a direita D$C\to D$, com o sistema no estado de compressão máxima do conjunto, é ligada a vela, que produz uma faísca elétrica, provocando a explosão e a combustão do combustível. A energia térmica liberada pela combustão impulsiona o pistão, que se desloca, aumentando o volume, trecho D seta para a direita E$D\to E$, ao passo que tanto a temperatura quanto a pressão diminuem.

Na etapa quatro do ciclo de Otto, é aberta a válvula de escape, fazendo que a pressão e a temperatura diminuam, enquanto o volume permanece constante, trecho E seta para a direita B$E\to B$. Os resíduos da queima são retirados da câmara de combustão, trecho B seta para a direita A$B\to A$, para que, então, o ciclo possa recomeçar.

Outro ciclo utilizado em motores de automóveis é o de Diesel, que, como o próprio nome sugere, é aplicado aos motores movidos a óleo diesel. Esse ciclo foi desenvolvido pelo engenheiro francês Rudolf Diesel (1858-1913) em 1893.

No ciclo Diesel, o cilindro do motor é semelhante àquele do motor a gasolina, mas no lugar da vela é colocado um bico injetor de combustível. No ciclo Diesel, não há necessidade da centelha para realizar a queima do combustível, pois a temperatura atingida na compressão do ar e do combustível é suficiente para iniciar sua queima.

Na primeira etapa desse ciclo, é adicionado apenas ar no cilindro, trecho A seta para a direita B$A\to B$ no "Gráfico p vezes V$p\times V$ do ciclo Diesel teórico". Na segunda etapa, trecho B seta para a direita 'C'$B\to C$, o cilindro comprime o ar de maneira adiabática até atingir o estado mínimo de volume do sistema.

Na terceira etapa, trecho 'C' seta para a direita D$C\to D$, o combustível é colocado na câmara de combustão. Nesse momento, ele encontra uma temperatura alta o suficiente para que haja a combustão sem a necessidade das faíscas. Após essa etapa, trecho D seta para a direita E$D\to E$, a energia impulsiona o pistão, que realiza uma expansão adiabática. Na sequência, trecho E seta para a direita B$E\to B$, a válvula de escape é aberta e os gases são expulsos da câmara, para então o ciclo ser reiniciado, trecho B seta para a direita A$B\to A$.

Gráfico p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$ do ciclo Diesel teórico

Fonte de pesquisa: ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. 7. ed. Tradução: Paulo Maurício Costa Gomes. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 502.

Os motores que se baseiam no ciclo Diesel têm rendimento maior que os que utilizam o ciclo de Otto. No caso dos motores a diesel, o rendimento está entre 30% e 38%, enquanto os motores do tipo Otto têm tipicamente rendimento entre 22% e 30%.

Outros exemplos de máquinas térmicas utilizadas no cotidiano e que funcionam em ciclos termodinâmicos são os refrigeradores. Eles funcionam de modo inverso ao dos motores a combustão, que recebem calor da fonte quente, transformam parte da energia em trabalho e rejeitam o restante do calor recebido.

O refrigerador retira calor da fonte fria e transfere o calor para a fonte quente. Apesar de esse fato aparentemente contrariar a segunda lei da Termodinâmica, isso não ocorre, pois essa transferência não é espontânea, ou seja, é realizado trabalho externo sobre a máquina, como mostrado na figura apresentada.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David et al. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 270.

Dessa forma, um refrigerador utiliza energia externa, como a energia elétrica, para tornar possível esse fluxo de calor não espontâneo. Se o refrigerador for desligado, ocorrerá um fluxo espontâneo de calor da fonte quente (ambiente externo) para a fonte fria (interior do refrigerador).

O refrigerador é composto de um sistema de tubulações que conectam o compressor, a válvula descompressora, o radiador e o congelador. A função da tubulação é permitir o fluxo do fluido refrigerante que realiza as trocas de calor.

O "Gráfico p vezes V$p\times V$ do ciclo de um refrigerador" representa o ciclo de funcionamento de um refrigerador.

Gráfico p vezes V$\mathit{p}\mathbf{\times }\mathit{V}$ do ciclo de um refrigerador

Fonte de pesquisa: ÇENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. 7. ed. Tradução: Paulo Maurício Costa Gomes. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 307.

Nas tubulações do congelador, o fluido aquece e se vaporiza, enquanto o interior da geladeira é resfriado, trecho A seta para a direita B$A\to B$. Em seguida, o fluido vai para o compressor, que realiza trabalho sobre o fluido, aumentando sua pressão e temperatura, trecho B seta para a direita 'C'$B\to C$.

Na sequência, trecho 'C' seta para a direita D$C\to D$, o fluido dirige-se ao radiador, onde troca calor com o ambiente, diminuindo sua temperatura e condensando.

Para finalizar, o fluido passa pela válvula descompressora, sofre uma expansão e sua temperatura diminui. Assim, ele vai até o congelador, para então recomeçar o ciclo, trecho D seta para a direita A$D\to A$.

Ondas sonoras

A audição é um dos cinco sentidos que permite ao ser humano obter estímulos e interpretar o ambiente ao redor. Além de perceberem sons do ambiente, as orelhas têm estruturas que auxiliam no equilíbrio e no senso de localização.

Nos últimos anos, a Organização Mundial da Saúde (OMS) vem alertando sobre a grande incidência de problemas auditivos na população global, muitas vezes causados por hábitos que poderiam ser evitados. Leia a manchete e a linha fina a seguir.

PERES, Edis Henrique. Você tem o costume de usar fone de ouvido? Saiba como o mau uso pode causar perda auditiva. Gov.br, 3 mar. 2023. Disponível em: https://s.livro.pro/iky03h. Acesso em: 13 ago. 2024.

Atualmente, o uso de fones de ouvido faz parte do cotidiano de muitas pessoas. No entanto, o uso inadequado dessa tecnologia pode prejudicar a saúde. Escutar música usando fones de ouvido, com volume acima do recomendado e por longos períodos, pode causar danos irreversíveis ao aparelho auditivo, isso porque a fonte sonora está muito perto da orelha interna.

Mas não é somente o uso de fones de ouvido que pode prejudicar a saúde. No cotidiano, geralmente estamos expostos a vários tipos de ruídos, com diferentes intensidades. A exposição prolongada ao ruído pode gerar dores de cabeça, cansaço, elevação da pressão arterial, perda de concentração e irritabilidade. Além disso, pode prejudicar o funcionamento dos sistemas circulatório, respiratório e digestório.

Os níveis sonoros aos quais as orelhas são submetidas e a duração da exposição são os dois principais fatores a serem considerados com relação à saúde auditiva. Pequenos ruídos, inofensivos em um primeiro momento, podem levar a graves consequências com o passar do tempo, como a perda total da audição.

A tabela apresenta alguns limites de tolerância para ruídos contínuos e intermitentes. Para termos uma referência, o nível sonoro de 100 decibeis$100\text{ dB}$ corresponde ao som de um fone de ouvido com volume alto.

Fonte de pesquisa: BRASIL. Ministério da Saúde. Perda auditiva induzida por ruído (Pair). Brasília: MEC, 2006. (Série A. Normas e Manuais Técnicos). p. 11. Disponível em: https://s.livro.pro/qfok7c. Acesso em: 6 set. 2024.

Para compreender melhor como ouvimos e como os ruídos intensos podem prejudicar nossa audição, vamos analisar as características das ondas sonoras.

Uma onda sonora é qualquer onda de natureza mecânica longitudinal e tridimensional que pode ser produzida pela vibração de materiais, como as cordas e/ou as membranas de instrumentos musicais.

As ondas e os fenômenos ondulatórios relacionados a elas estão muito presentes no dia a dia das pessoas e são fundamentais, especialmente para os seres humanos que têm órgãos dos sentidos especializados para recebê-las – as orelhas e os olhos, por exemplo.

Ondas são perturbações que se propagam transportando energia, sem que ocorra o transporte de matéria. Essa é uma definição geral que abrange todas as ondas, como as que ocorrem na água, as sonoras, as luminosas, as de rádio, entre outras.

Uma perturbação na água, por exemplo, permite verificar a formação e propagação de uma onda. Quando a superfície da água em equilíbrio sofre uma perturbação, a energia fornecida é transportada pela superfície. De acordo com a perturbação, a onda pode se propagar na água em duas dimensões, como mostrado na fotografia apresentada.

Quanto à luz e ao som, ambos são perturbações que se propagam como ondas, mas têm naturezas completamente diferentes. Enquanto o som é uma onda mecânica, a luz é uma onda eletromagnética.

As ondas mecânicas necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, a perturbação causada em um meio material gera uma onda que se propaga pelo próprio meio. As ondas em uma corda, as ondas na água, o som e as ondas sísmicas^✚ são exemplos de ondas mecânicas.

Como essas ondas se propagam em meios materiais, sua velocidade depende das características desse meio, sendo constante em meios homogêneos.

As ondas eletromagnéticas têm propriedades elétricas e magnéticas e não necessitam de um meio material para se propagar. Ondas luminosas, de rádio e de televisão, raios X, radiação ultravioleta e infravermelha são exemplos de ondas eletromagnéticas.

No vácuo, as ondas eletromagnéticas se propagam com a velocidade da luz, representada pelo símbolo c$c$abre parênteses c é igual a 3 vezes 10 elevado a 8 metro por segundo fecha parênteses$\left(c=3\mathbf{·}{10}^8\text{ m/s}\right)$, e diferem entre si nos valores de suas frequências e de seus comprimentos de onda.

Características de uma onda

A maior parte das informações que recebemos do ambiente ao redor chega até nós por meio de ondas. Algumas delas podem ser visualizadas em um osciloscópio^✚, como na fotografia apresentada, que apresenta a forma da onda sonora gerada por um instrumento musical.

O osciloscópio mostra a amplitude, o comprimento de onda, o período e a frequência do som emitido pelo instrumento.

Considere a imagem a seguir, que representa uma onda se propagando por uma corda, com uma de suas extremidades fixas, mas sem que ocorra sua reflexão. Nessa configuração, destacamos duas de suas características: a amplitude e o comprimento de onda.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 119.

A amplitude abre parênteses A fecha parênteses$\left(A\right)$ é a distância máxima de afastamento de cada ponto da corda em relação ao ponto de equilíbrio, e é expressa em metro metro$\left(\text{m}\right)$ no SI. A parte mais elevada da onda é chamada crista e a parte mais baixa, vale. Perceba que a amplitude está relacionada com a energia fornecida à corda, pois, quanto mais alto a mão da pessoa se elevar, mais energia ela fornecerá e maior será a amplitude da onda.

O comprimento de onda abre parênteses lambda fecha parênteses$\left(\text{λ}\right)$ é a distância entre duas cristas consecutivas, ou entre dois vales consecutivos, e é expresso em metro metro$\left(\text{m}\right)$ no SI. Para que a energia percorra um comprimento de onda, cada parte da corda deve executar uma oscilação completa, ou seja, executar um movimento para cima, para baixo, e retornar à posição de equilíbrio.

O período e a frequência são duas outras características que definem uma onda. Para qualquer movimento periódico, período abre parênteses T fecha parênteses$\left(T\right)$ é o tempo necessário para que ocorra uma oscilação completa, expresso em segundo segundo$\left(\text{s}\right)$ no SI, e frequência abre parênteses f fecha parênteses$\left(f\right)$ corresponde ao número de repetições por unidade de tempo, expressa em hertz no SI.

Professor, professora: Explique aos estudantes que a frequência e, consequentemente, o período de uma onda dependem da fonte que os gerou.

Velocidade de propagação de uma onda

A velocidade de propagação de uma onda está relacionada à sua natureza e ao meio físico no qual ela se propaga. Em meios homogêneos e isotrópicos, como não há mudança em suas propriedades físicas, a onda se propaga com velocidade constante.

Para verificar uma forma de calcular a velocidade das ondas, considere novamente uma onda se propagando por uma corda. Cada perturbação na corda leva um intervalo de tempo abre parênteses T fecha parênteses$\left(T\right)$ para percorrer a distância de um comprimento de onda abre parênteses lambda fecha parênteses$\left(\text{λ}\right)$. Assim, considerando o cálculo da velocidade constante com base na velocidade média, temos que:

Como o período é o inverso da frequência, a velocidade de propagação de uma onda pode ser escrita como:

Essa relação é conhecida como equação fundamental das ondas e vale para qualquer tipo de onda.

Professor, professora: Pergunte aos estudantes por que, durante uma tempestade, vemos a luz emitida por um relâmpago segundos antes de ouvirmos o ruído do trovão gerado pelo mesmo raio. Espera-se que relacionem esse fato à natureza das duas ondas e à interferência do meio na velocidade de sua propagação.

Além das características citadas anteriormente, as ondas podem ser classificadas como transversais e longitudinais de acordo com sua forma.

Quando geramos uma oscilação em uma corda tensionada, cada parte da corda realiza um movimento para cima e para baixo em torno da posição de equilíbrio enquanto a onda se propaga. Nesse caso, o movimento de cada elemento da corda é perpendicular à sua direção de propagação, o que caracteriza uma onda transversal.

Imagem elaborada com base em: HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2. p. 119.

Outro modo de oscilação das ondas acontece quando as partes que constituem o meio se movem para a frente e para trás enquanto a onda se propaga. Considere uma mola posicionada na horizontal, tendo uma de suas extremidades livre, puxada e empurrada rapidamente. Essa perturbação fornece à mola energia que se propaga na forma de um pulso.

Se a perturbação causada na mola se repetir periodicamente, as partes da mola vão oscilar na mesma direção de propagação da onda, caracterizando uma onda longitudinal. Essa propagação ocorre por compressão e rarefação do meio físico.

As ondas sonoras também são exemplos de ondas longitudinais, pois o movimento oscilatório de partes do meio tem a mesma direção da propagação da onda. No ar, o som é constituído por compressões e rarefações das partículas do ar, como representado na imagem.

Imagens elaboradas com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 378.

Características do som

Durante a fala de uma pessoa, as ondas sonoras emitidas por ela são captadas pelas orelhas, que as convertem em estímulos nervosos. A orelha humana é constituída de três regiões principais: orelha externa, orelha média e orelha interna.

As ondas sonoras são captadas pela orelha externa e direcionadas pelo canal auditivo para a membrana timpânica, que vibra com a mesma frequência da onda incidente. Essa vibração é transmitida ao martelo, à bigorna e ao estribo, pequenos ossos da orelha média.

Imagem elaborada com base em: TORTORA, Gerard J.; DERRICKSON, Bryan. Corpo humano: fundamentos de anatomia e fisiologia. Tradução: Alexandre Lins Verneck et al. 10. ed. Porto Alegre: Artmed, 2017. p. 311.

O estribo movimenta-se para a frente e para trás, transmitindo esse movimento à janela do vestíbulo e à cóclea. Dentro dela há pequenos cílios, cujos movimentos emitem sinais elétricos, transmitidos pelo sistema nervoso até o cérebro, onde o som é interpretado.

A forma como o corpo humano recebe e interpreta o som também depende das características das ondas sonoras, como você já deve ter percebido. A frequência das fontes emissoras faz com que o sistema auditivo seja estimulado por diferentes vibrações, que estão relacionadas à altura, ao timbre e à intensidade das ondas.

A altura qualifica os sons em graves ou agudos. Apesar do costume de relacionarmos erroneamente a altura de um som ao seu volume, o som baixo tem frequência baixa, o que caracteriza um som mais grave, como o emitido por um contrabaixo.

Já o som alto tem frequência alta, o que caracteriza um som mais agudo, como o emitido por uma guitarra elétrica. Confira a comparação de duas ondas sonoras emitidas por um contrabaixo e uma guitarra para um intervalo de 0 vírgula 1 segundo$\mathrm{0,1}\text{ s}$.

Professor, professora: Explique aos estudantes que uma onda sonora tem direção de perturbação longitudinal. No entanto, a onda representada na ilustração consiste em uma onda transversal. Diga que essa escolha de representação é meramente ilustrativa para fins didáticos.

Imagens elaboradas com base em: TREFIL, James; HAZEN, Robert M. Física viva: uma introdução à física conceitual. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 2. p. 9.

Sons de mesma altura, ou seja, mesma frequência, podem ser emitidos por fontes sonoras distintas, como uma flauta ou um violino.

Porém, é possível diferenciar o som emitido por esses instrumentos por causa do timbre, característica que o torna diferente dos demais.

Quando instrumentos musicais diferentes emitem a mesma nota musical, os sons escutados têm a mesma altura, pois é a frequência que define a nota. Por exemplo, uma nota Lá com frequência de 440 hertz$\text{440 Hz}$ pode ser emitida por diversos instrumentos.

O diapasão é um dispositivo de metal em forma de forquilha, utilizado para afinar instrumentos por meio de fenômenos ondulatórios que estudaremos a seguir. Ele pode estar fixado a uma caixa de ressonância, que amplifica o som gerado, e um martelo de percussão, utilizado para perturbá-lo, como na fotografia. Ao ser perturbado, o diapasão emite um som com uma única frequência constante.

Diferentemente do diapasão, que emite uma frequência única, na maioria dos sons musicais, a frequência resulta de uma composição de sons com frequências diferentes, chamados componentes. A variedade desses componentes e suas intensidades relativas definem o timbre do instrumento, ou seja, seu som característico.

Assim, uma mesma nota musical emitida por instrumentos diferentes terá seus timbres característicos, pois, como cada onda terá a própria composição, o formato da onda resultante será distinto, como mostrado nas imagens a seguir.

Imagens elaboradas com base em: TREFIL, James; HAZEN, Robert M. Física viva: uma introdução à física conceitual. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 2. p. 37.

O resultado é que, ao escutarmos as mesmas notas musicais emitidas pela flauta e pelo violino, é possível distinguir de qual instrumento o som foi emitido pelas características próprias das ondas, isto é, em razão do timbre de cada instrumento.

O mesmo ocorre com a voz: conseguimos diferenciar e identificar as pessoas por ela, porque cada indivíduo tem um timbre distinto.

A intensidade é a qualidade que permite diferenciar um som forte de um som fraco. Ela representa a energia transportada pela onda sonora desde sua fonte e pode ser intensificada ao aumentar a amplitude de vibração da fonte sonora.

Quando estamos próximo de uma fonte emissora e escutamos um som, a quantidade de energia recebida pelas orelhas é maior do que quando ouvimos o mesmo som estando distante da fonte, tornando-o mais forte ou mais fraco.

Professor, professora: Relacione o que foi mencionado no parágrafo anterior ao uso de fones de ouvido. Quando eles estão em nossa orelha, ouvimos os sons em volume alto. Quando os tiramos, ouvimos os sons em um volume fraco.

Propriedades do som

Quando falamos em intensidade, é importante considerar que, embora o som dependa da amplitude de vibração da fonte, as ondas sonoras transportam energia de uma região à outra.

Portanto, a intensidade abre parênteses I fecha parênteses$\left(I\right)$ de uma onda sonora está relacionada com a energia abre parênteses E fecha parênteses$\left(E\right)$ transportada pela onda por uma superfície a cada intervalo de tempo abre parênteses delta 't' fecha parênteses$\left(\Delta t\right)$, ou seja, está relacionada com a potência abre parênteses P fecha parênteses$\left(P\right)$ de transferência da energia por área abre parênteses A fecha parênteses$\left(A\right)$ onde o som se propaga.

I é igual a início de fração, numerador: E, denominador: delta 't' vezes A, fim de fração portanto$I=\frac{E}{\text{∆}t\mathbf{·}A}\mathbf{\therefore }$ I é igual a P sobre A$I=\frac{P}{A}$

Dica

Lembre-se de que a potência é dada por: P é igual a início de fração, numerador: E, denominador: delta 't', fim de fração$P=\frac{E}{\text{∆}t}$.

Imagem sem proporção e em cores fantasia.

No SI, potência é expressa em watt abre parênteses W fecha parênteses$\left(\text{W}\right)$, área é expressa em metro quadrado abre parênteses m elevado ao quadrado fecha parênteses$\left({\text{m}}^2\right)$ e intensidade é expressa em watt por metro quadrado abre parênteses watts barra metro quadrado fecha parênteses$\left({\text{W/m}}^2\right)$. Assim, quanto mais distante da fonte emissora, menor a intensidade da onda sonora, pois maior é sua área de propagação.

A intensidade do som corresponde a um atributo físico de uma onda sonora, mas o volume do som, por outro lado, é uma sensação fisiológica, pois cada pessoa pode caracterizar um mesmo som de diferentes formas.

O limiar da audição humana corresponde a uma intensidade abre parênteses I subscrito 0 fecha parênteses$\left(I_0\right)$ de 10 elevado a menos 12 Watt por metro quadrado${10}^{-12}{\text{ W/m}}^2$, valor tomado como referência, mesmo correspondendo a um som dificilmente escutado. Já uma onda com intensidade de 1 watt por metro quadrado$1{\text{ W/m}}^2$, como o som ouvido em uma apresentação musical quando estamos próximo ao palco, tem energia que pode danificar estruturas internas da orelha. Em razão do desconforto causado, essa intensidade é conhecida como limiar da dor.

Como o intervalo de intensidades sonoras que o ser humano é capaz de escutar é amplo, utilizamos uma escala para representar essas potências de base 10, denominada nível sonoro abre parênteses beta fecha parênteses$\left(\text{β}\right)$, cuja grandeza é medida em bel abre parênteses B fecha parênteses$\left(\text{B}\right)$.

Essa unidade de medida foi chamada dessa forma em homenagem ao cientista escocês, naturalizado estadunidense, Alexander Graham Bell (1847-1922), que desenvolveu trabalhos relacionados à fisiologia e à transmissão do som, dos quais resultou uma de suas mais famosas contribuições: a invenção do telefone.

O nível sonoro é baseado na intensidade mínima I subscrito 0$I_0$, correspondendo a zero bel abre parênteses beta é igual a 0 B fecha parênteses$\left(\text{β}=0\text{ B}\right)$, e expresso utilizando o submúltiplo do decibel decibel$\left(\text{dB}\right)$, sendo que 1 baite$1\text{ B}$ equivale a 10 decibeis$10\text{ dB}$ (dez decibéis).

Podemos determinar o nível sonoro, tendo I subscrito 0$I_0$ como referência, com a relação a seguir.

Os danos fisiológicos ao sistema auditivo começam a acontecer quando as orelhas são expostas a níveis sonoros a partir de 85 decibeis$85\text{ dB}$, dependendo do tempo de exposição e das características de sua frequência. Tais danos podem ser temporários ou permanentes, dependendo dos danos causados nas células que compõem o órgão de Corti, localizado na orelha interna, responsável por converter o som em sinais elétricos.

Fenômenos sonoros

Diversos fenômenos sonoros do cotidiano estão relacionados a efeitos que ocorrem quando as ondas sonoras atingem obstáculos. Um exemplo disso é o eco. Para compreender como esses fenômenos ocorrem, vamos estudar a seguir alguns fenômenos ondulatórios.

Reflexão do som

As ondas sonoras refletem em superfícies, assim como as ondas luminosas, seguindo as leis da reflexão, em que o ângulo de incidência abre parênteses ângulo i fecha parênteses$\left(\hat{i}\right)$ tem a mesma medida que o ângulo de reflexão abre parênteses ângulo r fecha parênteses$\left(\hat{r}\right)$.

Quando uma fonte emite som, podemos ouvi-lo pelas ondas que chegam diretamente às orelhas e pelas ondas refletidas em obstáculos, como representado na imagem.

De acordo com a situação, a reflexão do som pode ser percebida de diferentes formas. A orelha humana tem uma persistência auditiva de aproximadamente 0 vírgula 1 segundo$\mathrm{0,1}\text{ s}$, que corresponde ao intervalo de tempo da sensação auditiva de um som. Logo, dois sons podem ser distinguidos quando escutados em intervalos de tempo maiores do que a persistência auditiva.

Quando o intervalo de tempo em que a orelha recebe o som diretamente e o som refletido é muito menor do que 0 vírgula 1 segundo$\mathrm{0,1}\text{ s}$, a sensação auditiva é reforçada e o som fica mais intenso. É o que ocorre quando cantamos no boxe do banheiro.

Se o intervalo de percepção entre os sons for aproximadamente 0 vírgula 1 segundo$\mathrm{0,1}\text{ s}$, ocorre o fenômeno da reverberação, quando sons refletidos em obstáculos chegam à orelha antes da extinção total da sensação auditiva do som que chegou diretamente. Nesse caso, apenas um som é escutado, com duração prolongada. A reverberação pode ser percebida em quadras esportivas fechadas, auditórios e locais de eventos. A arquitetura, como a de conchas acústicas, melhora a acústica e o som gerado em um ambiente.

Quando o intervalo de tempo em que a orelha recebe o som direto e o som refletido é maior do que 0 vírgula 1 segundo$\mathrm{0,1}\text{ s}$, pode ocorrer o fenômeno do eco. Nesse caso, a pessoa ouve os dois sons distintamente.

O eco é usado em sonares de navios, que enviam ondas sonoras e medem o intervalo de tempo em que recebem as ondas refletidas, determinando assim obstáculos e profundidades, além de certos animais, como o golfinho, que realizam a ecolocalização. Os golfinhos enviam ondas sonoras geralmente em uma frequência inaudível para o ser humano. Elas se chocam com as presas e os obstáculos, retornam na forma de eco e são decodificadas pelos animais.

Refração do som

Assim como a luz varia sua velocidade ao passar de um meio físico para outro, podendo desviar sua trajetória, as ondas sonoras também sofrem refração, variando sua velocidade e seu comprimento de onda. No entanto, não ocorre a variação da sua frequência, que depende apenas da fonte emissora, independentemente do seu meio de propagação.

A velocidade de uma onda mecânica depende do meio onde ela é produzida e como ela é propagada, podendo ter valores diferentes quando se propaga em um mesmo meio. A presença de vento e a temperatura do ambiente são fatores que alteram as características do ar, como sua densidade, e, consequentemente, alteram a velocidade de propagação das ondas sonoras. Confira a seguir.

A.

B.

Imagens elaboradas com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 381.

Difração do som

A situação da questão anterior está relacionada a um fenômeno chamado difração, no qual as ondas contornam a barreira de um obstáculo ou atravessam orifícios com dimensões próximo a seu comprimento de onda, espalhando-se para o ambiente.

Imagens elaboradas com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 546.

Interferência das ondas sonoras

As ondas sonoras, como qualquer outro tipo de onda, podem ter interferências. Elas ocorrem quando duas ou mais ondas, propagando-se no mesmo meio, cruzam-se gerando efeitos ondulatórios que podem ser somados, reduzidos ou neutralizados, dando origem a uma interferência construtiva ou destrutiva.

A interferência pode ocorrer com base na superposição de ondas sonoras emitidas por duas ou mais fontes, ou por ondas que são refletidas. Em certos pontos do meio onde ocorre a interferência, o som gerado terá intensidade maior, pois os efeitos das fontes se somam. É o caso da figura a seguir, na qual uma pessoa está à mesma distância de dois alto-falantes. Considerando que as fontes emitem sons idênticos e com frequência fixa, o som que chega até o ouvinte será de intensidade maior. As ondas se encontram em fase, pois percorrem a mesma distância, e terão suas amplitudes somadas.

Se esse ouvinte andar para o lado, a meio comprimento de onda em relação às fontes, o som produzido será fraco ou ocorrerá um silêncio. Tal efeito é considerado uma interferência destrutiva e é aplicado em tecnologias antirruído, como em cabines de aviões.

Imagem elaborada com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 384.

Ressonância das ondas sonoras

No dia 7 de novembro de 1940, a Ponte de Tacoma Narrows, localizada sobre o Estreito de Tacoma, em Washington, Estados Unidos, desabou. Esse fato histórico está relacionado a um fenômeno ondulatório conhecido como ressonância. Na ocasião, a frequência dos ventos no local era igual a uma das frequências naturais^✚ da ponte, fazendo a ponte oscilar em máxima amplitude, destruindo-a.

A ressonância é basicamente um fenômeno em que ocorre a transferência de energia de um sistema para outro. Assim, se um sistema físico passa a receber energia de forma periódica, com uma frequência igual à sua frequência natural, passa a vibrar com amplitudes crescentes, com tendência para o maior valor possível. Quando isso ocorre, dizemos que o sistema entrou em ressonância.

Em acústica, esse fenômeno corresponde a uma sobreposição de ondas sonoras, aumentando a intensidade do som e provocando a sensação de que o som ficou mais alto. Se o corpo que interage com a onda sonora tem frequência igual à da fonte de emissão, ele absorverá energia e passará a vibrar.

Professor, professora: Explique aos estudantes que as caixas de ressonância funcionam como amplificadores de som. O ar que está contido em seu interior entra em vibração com a mesma frequência da fonte sonora, aumentando a intensidade do som produzido.

Efeito Doppler

Sabemos que a frequência de uma onda não se altera, pois está diretamente associada à fonte emissora, não importa por qual fenômeno ondulatório a onda passe.

Esse efeito pode ser percebido em situações que apresentam fontes que emitem ondas sonoras em todas as direções. Se dois observadores em repouso, um no ponto P$P$ e o outro no ponto P linha$P\text{'}$, recebem o som emitido pela buzina de um veículo, também em repouso, ambos percebem o som com a mesma frequência.

Se a fonte sonora se deslocar com certa velocidade na direção do ponto P linha$P\text{'}$, o observador colocado nesse ponto receberá as frentes de onda com maior frequência, percebendo um som mais alto, ou seja, mais agudo, e o comprimento de onda parecerá menor. Já o observador no ponto P$P$ receberá frentes de onda com uma frequência menor, percebendo um som mais baixo, ou seja, mais grave, e o comprimento de onda parecerá maior.

Essa mudança na frequência percebida por causa do movimento relativo entre a fonte sonora e o observador é conhecida como efeito Doppler, em homenagem ao matemático e físico austríaco Christian Johann Doppler (1803-1853). Ele verificou, em 1842, que o efeito era válido tanto para as ondas sonoras quanto para as luminosas.

Existem várias aplicações do efeito Doppler no cotidiano. Alguns aparelhos de ultrassonografia utilizam o efeito Doppler para analisar o fluxo sanguíneo nas veias. O aparelho emite um ultrassom que é refletido pelas células do sangue, principalmente as hemácias, e analisa a onda refletida.

Imagens elaboradas com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 365-366.

Se as células se movem na direção do detector, a frequência da onda refletida é maior do que a da onda emitida; quando se movem na direção oposta, a onda refletida tem frequência menor. Por convenção, o fluxo na direção do detector é identificado pela cor vermelha, e na direção oposta ao detector, pela cor azul.

Professor, professora: Peça aos estudantes que citem uma situação do cotidiano em que podemos notar o efeito Doppler. Eles podem citar como exemplo uma ambulância ou viatura de polícia passando com a sirene ligada, situação em que percebemos sons diferentes na aproximação e no afastamento.

Instrumentos sonoros

Entre os instrumentos musicais tradicionais, temos aqueles que emitem ondas sonoras pela oscilação de cordas, os que emitem ondas sonoras pela vibração do ar em tubos e instrumentos que emitem ondas sonoras pela oscilação de uma membrana quando percutida: os instrumentos de percussão.

Ao reproduzir a mesma nota musical em cada instrumento musical, a onda gerada terá sempre a mesma frequência, contudo sempre formará um som percebido de forma diferente pelo ouvinte em razão do seu timbre próprio. A seguir, faremos um estudo mais detalhado dos instrumentos de corda e de tubo.

Cordas sonoras

Instrumentos de corda são aqueles que produzem ondas sonoras no ar por conta da oscilação de suas cordas, como o violão, o violino, o piano, a harpa e o cavaquinho.

Como as cordas são fixas em suas extremidades, as ondas geradas por uma perturbação se refletem, mantendo sua amplitude, seu comprimento de onda e sua frequência de propagação, mas com a fase invertida.

Em alguns comprimentos de onda específicos, que correspondem à frequência de ressonância da corda, a interferência das ondas em cada ponto resulta em uma onda estacionária, quando em alguns pontos da corda formam-se nós e, em outros, ventres. Cada modo de oscilação estacionário, com certo número de nós e ventres, é chamado harmônico. O modo mais simples é denominado fundamental, ou primeiro harmônico, quando ocorre a formação de uma onda estacionária com dois nós e um ventre, como mostrado a seguir.

O som que ouvimos é gerado pela oscilação da corda nesse modo, causando uma perturbação no ar ao redor da corda de mesma frequência, que se propaga de forma longitudinal até as orelhas. Assim, se o desejo é emitir uma nota musical de frequência 440 hertz$\text{440 Hz}$, é preciso estabelecer uma onda estacionária da corda de mesma frequência.

Imagem elaborada com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 395.

No caso do primeiro harmônico mostrado anteriormente, o comprimento 'L'$L$ da corda corresponde a meio comprimento de onda abre parênteses início de fração, numerador: lambda subscrito 1, denominador: 2, fim de fração fecha parênteses$\left(\frac{{\text{λ}}_1}{2}\right)$, de modo que a frequência f subscrito 1$f_1$ emitida é determinada da seguinte forma.

'L' é igual a início de fração, numerador: lambda subscrito 1, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 1 é igual a 2 vezes 'L'$L=\frac{{\text{λ}}_1}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_1=2\mathbf{·}L$

v é igual a lambda vezes f é igual a 2 vezes 'L' vezes f subscrito 1 implica em f subscrito 1 é igual a início de fração, numerador: v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=2\mathbf{·}L\mathbf{·}{f}_1\Rightarrow f_1=\frac{v}{2\mathbf{·}L}$

O segundo modo de oscilação é o segundo harmônico, quando são formados três nós e dois ventres. O comprimento da corda 'L'$L$ corresponde a um comprimento de onda abre parênteses lambda subscrito 2 fecha parênteses$\left({\text{λ}}_2\right)$, de modo que a frequência f subscrito 2$f_2$ emitida é determinada a seguir.

'L' é igual a início de fração, numerador: 2 vezes lambda subscrito 2, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 2 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 2, fim de fração é igual a 'L'$L=\frac{2\mathbf{·}{\text{λ}}_2}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_2=\frac{2\mathbf{·}L}{2}=L$

v é igual a lambda vezes f é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 2, fim de fração vezes f subscrito 2 implica em f subscrito 2 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=\frac{2\mathbf{·}L}{2}\mathbf{·}{f}_2\Rightarrow f_2=\frac{2\mathbf{·}v}{2\mathbf{·}L}$

Note que f subscrito 2 é igual a 2 vezes f subscrito 1$f_2=2\mathbf{·}{f}_1$, ou seja, a frequência do segundo harmônico é o dobro da frequência do primeiro harmônico. Isso pode ser verificado nas notas musicais, pois a cada intervalo de oitavas as notas se repetem, mas com frequências que valem o dobro. Por exemplo, se uma nota Dó tem frequência 261 vírgula 6 hertz$\text{261,6 Hz}$, uma nota Dó oitava acima tem frequência 523 vírgula 2 hertz$\text{523,2 Hz}$, correspondendo a uma oitava mais aguda.

O terceiro modo de oscilação é o terceiro harmônico, quando são formados quatro nós e três ventres. O comprimento da corda 'L'$L$ corresponde a um comprimento de onda e meio abre parênteses início de fração, numerador: 3 vezes lambda subscrito 3, denominador: 2, fim de fração fecha parênteses$\left(\frac{3\mathbf{·}{\text{λ}}_3}{2}\right)$, de modo que a frequência f subscrito 3$f_3$ emitida é determinada da seguinte forma:

'L' é igual a início de fração, numerador: 3 vezes lambda subscrito 3, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 3 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 3, fim de fração$L=\frac{3\mathbf{·}{\text{λ}}_3}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_3=\frac{2\mathbf{·}L}{3}$

v é igual a lambda vezes f é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 3, fim de fração vezes f subscrito 3 implica em f subscrito 3 é igual a início de fração, numerador: 3 vezes v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=\frac{2\mathbf{·}L}{3}\mathbf{·}{f}_3\Rightarrow f_3=\frac{3\mathbf{·}v}{2\mathbf{·}L}$

Imagens elaboradas com base em: HEWITT, Paul G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. p. 395.

A frequência do terceiro harmônico vale 3 vezes f subscrito 1$3\mathbf{·}{f}_1$. Com esses três exemplos, é possível notar que, sendo v$v$ a velocidade da onda na corda, 'L'$L$ o comprimento da corda e n$n$ o número do harmônico, que corresponde ao número de ventres, a frequência de qualquer harmônico pode ser obtida da seguinte forma:

O cálculo mostra como podemos obter as frequências da mesma nota musical em diversas oitavas, que é a mesma para qualquer instrumento. Nas imagens apresentadas para demonstrar as ondas estacionárias, usamos a forma tradicional de uma onda transversal.

Em instrumentos de corda, além de cada corda corresponder a uma nota, é possível pressioná-las em locais específicos do braço do instrumento, mudando assim o comprimento 'L'$L$ das cordas e alterando a frequência do som emitido por cada uma. Dessa forma, o som emitido ao perturbar todas as cordas juntas corresponde a um acorde específico.

Em instrumentos de corda, como o violão, a vibração da corda é captada pelo cavalete, que a transmite para a caixa de ressonância, que amplifica o som produzido. Alguns modelos vêm equipados com um microfone que capta as ondas sonoras e as converte em sinais elétricos, que, por sua vez, são encaminhados a um amplificador que emite o som pelo alto-falante. Em instrumentos elétricos, como nas guitarras, a vibração das cordas causa efeitos eletromagnéticos que geram sinais elétricos, encaminhados a amplificadores.

Tubos sonoros

Os instrumentos de sopro e de percussão são os mais utilizados pelos indígenas em festas ou rituais.

Instrumentos de sopro, como apitos, trombetas e flautas, são feitos com materiais que emitem sons de timbres agradáveis quando se sopra por uma cavidade. São exemplos desses materiais: troncos, bambu, cerâmica, ossos e carapaças de animais.

Nos instrumentos sonoros de tubo, ondas estacionárias são geradas no ar em seu interior, em razão de uma perturbação provocada por um sopro na embocadura. Em uma flauta, as diferentes posições dos dedos servem para fechar ou abrir orifícios, alterando assim o comprimento da coluna de ar onde será gerada a onda estacionária, resultando na nota musical com a frequência desejada.

Imagens desta página sem proporção e em cores fantasia.

Os tubos geralmente utilizados como instrumentos musicais são classificados como tubo aberto, com as duas extremidades abertas, e tubo fechado, cuja extremidade oposta à entrada de ar é fechada.

A formação de ondas estacionárias em tubos de ar, sejam abertos, sejam fechados, é semelhante à formação de ondas estacionárias em cordas. A extremidade fechada do tubo corresponde a uma extremidade fixa da corda, onde ocorre a formação de nós, e a extremidade aberta, aos trechos da corda onde ocorre a formação de ventre.

Tubo aberto

Para tubos com as duas extremidades abertas, a perturbação causada pelo sopro em uma extremidade se propaga em direção à outra, onde encontra o meio externo com características diferentes de temperatura, pressão e densidade. As ondas então sofrem refração, mas também refletem, retornando ao tubo e encontrando outras ondas geradas. Para certos comprimentos de onda correspondentes às frequências de ressonância do tubo, a interferência causa ondas estacionárias. A onda estacionária terá ventres nas duas extremidades.

O modo fundamental de oscilação, ou primeiro harmônico, tem um nó no ponto médio entre as duas extremidades, como representado a seguir. O comprimento 'L'$L$ do tubo corresponde a meio comprimento de onda abre parênteses início de fração, numerador: lambda subscrito 1, denominador: 2, fim de fração fecha parênteses$\left(\frac{{\text{λ}}_1}{2}\right)$, de modo que a frequência f subscrito 1$f_1$ emitida é determinada da seguinte forma:

'L' é igual a início de fração, numerador: lambda subscrito 1, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 1 é igual a 2 vezes 'L'$L=\frac{{\text{λ}}_1}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_1=2\mathbf{·}L$

v é igual a lambda vezes f é igual a 2 vezes 'L' vezes f subscrito 1 implica em f subscrito 1 é igual a início de fração, numerador: v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=2\mathbf{·}L\mathbf{·}{f}_1\Rightarrow f_1=\frac{v}{2\mathbf{·}L}$

Imagem elaborada com base em: TREFIL, James; HAZEN, Robert M. Física viva: uma introdução à física conceitual. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 2. p. 36.

O segundo modo de vibração é o segundo harmônico, quando são formados dois nós no interior do tubo. O comprimento do tubo 'L'$L$ corresponde a um comprimento de onda abre parênteses lambda subscrito 2 fecha parênteses$\left({\text{λ}}_2\right)$, de modo que a frequência f subscrito 2$f_2$ emitida é determinada a seguir.

'L' é igual a início de fração, numerador: 2 vezes lambda subscrito 2, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 2 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 2, fim de fração é igual a 'L'$L=\frac{2\mathbf{·}{\text{λ}}_2}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_2=\frac{2\mathbf{·}L}{2}=L$

v é igual a lambda vezes f é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 2, fim de fração vezes f subscrito 2 implica em f subscrito 2 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=\frac{2\mathbf{·}L}{2}\mathbf{·}{f}_2\Rightarrow f_2=\frac{2\mathbf{·}v}{2\mathbf{·}L}$

Note que f subscrito 2 é igual a 2 vezes f subscrito 1$f_2=2\mathbf{·}{f}_1$, ou seja, a frequência do segundo harmônico é o dobro da frequência do primeiro harmônico.

O terceiro modo de vibração é o terceiro harmônico, quando são formados três nós. O comprimento do tubo 'L'$L$ corresponde a um comprimento de onda e meio abre parênteses início de fração, numerador: 3 vezes lambda subscrito 3, denominador: 2, fim de fração fecha parênteses$\left(\frac{3\mathbf{·}{\text{λ}}_3}{2}\right)$, de modo que a frequência f subscrito 3$f_3$ emitida é determinada da seguinte forma:

'L' é igual a início de fração, numerador: 3 vezes lambda subscrito 3, denominador: 2, fim de fração implica em lambda subscrito 3 é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 3, fim de fração$L=\frac{3\mathbf{·}{\text{λ}}_3}{2}\Rightarrow {\text{λ}}_3=\frac{2\mathbf{·}L}{3}$

v é igual a lambda vezes f é igual a início de fração, numerador: 2 vezes 'L', denominador: 3, fim de fração vezes f subscrito 3 implica em f subscrito 3 é igual a início de fração, numerador: 3 vezes v, denominador: 2 vezes 'L', fim de fração$v=\text{λ}\mathbf{·}f=\frac{2\mathbf{·}L}{3}\mathbf{·}{f}_3\Rightarrow f_3=\frac{3\mathbf{·}v}{2\mathbf{·}L}$

Imagens elaboradas com base em: TREFIL, James; HAZEN, Robert M. Física viva: uma introdução à física conceitual. Tradução: Ronaldo S. de Biasi. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v. 2. p. 36.