CAPÍTULO 8
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A acessibilidade é um direito fundamental dos cidadãos, independentemente das condições físicas deles. A criação de rampas é essencial para garantir quêque pessoas com mobilidade reduzida possam ter acesso aos espaços com dignidade e autonomia.

Rampas bem projetadas não apenas facilitam o deslocamento mas também promóvempromovem a integração e a participação plena dessas pessoas na ssossiedadesociedade. Portanto, é fundamental quêque os gestores públicos e privados priorizem a implementação de rampas acessíveis, contribuindo para uma cidade mais inclusiva e igualitária.

A norma NBR 9050 estabelece padrões técnicos para a construção dessas rampas, garantindo quêque elas sêjamsejam seguras e adequadas para cadeirantes, pessoas idosas, gestantes e pessoas com outras limitações de locomoção. Além de atender a exigências legais, investir em acessibilidade é uma questão de inclusão social e respeito à diversidade.

Segundo a norma NBR 9050, a inclinação mássimamáxima permitida para uma rampa de acesso é de 8,33%, e essa inclinação é calculada por meio de uma fórmula relacionada às razões trigonométricas do triângulo retângulo, assunto abordado neste Capítulo.

Elaborado com base em: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. 4. ed. Rio de Janeiro: ABNT, 2020.

1. Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque é importante a criação de rampas adequadas para a acessibilidade de pessoas com mobilidade reduzida, pois ter acesso aos espaços públicos e privados é um direito de todos.

2. Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque a regulamentação é importante, porque rampas muito inclinadas dificultam ou impossibilitam a subida e a descida.

3. Respostas pessoais. A norma NBR 9050 estabelece quêque haja rampas de acesso nas escolas, bem como espaços planos e/ou elevadores quêque facilitem a locomoção de pessoas com mobilidade reduzida.

4. Respostas pessoais. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque o triângulo retângulo é a figura quêque pódepode sêrser associada à vista lateral de rampas de acessibilidade e quêque a inclinação da rampa depende do menor ângulo agudo do triângulo retângulo.

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Introdução

O significado da palavra trigonometria, do grego trigonon,"triângulo", e metron,"medida", remete ao estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

A origem da Trigonometria é incerta. No entanto, é possível afirmar quêque alguns de seus recursos já eram aplicados por antigas civilizações do Mediterrâneo e pela civilização egípcia. Além díssudisso, o desenvolvimento dessa área da Matemática teve grande progresso com as necessidades geradas pelas navegações, pela Astronomia e pela Agrimensura.

Ao longo dos séculos, diversos estudiosos, como Eratóstenes (c. 276 a.C.-c. 194 a.C.), Hiparco de Niceia (c. 180 a.C.-c. 125 a.C.) e Johann Müller (1436-1476), dedicaram-se ao estudo da Trigonometria, fazendo importantes contribuições para o desenvolvimento e o aperfeiçoamento dêêssedesse ramo da Matemática.

[…]

O astrônomo Hiparco de Niceia […] ganhou o direito de sêrser chamado"o pai da Trigonometria" pois, na segunda mêtádemetade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em quêque se ocupou da construção do quêque deve ter sido a primeira tabélatabela trigonométrica […] Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. […]

[…]

UM POUCO da história da trigonometria. São Paulo: E-Cálculo: Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 4 fev. 2009. Disponível em: https://livro.pw/rbspd. Acesso em: 7 ago. 2024.

Neste Capítulo, vamos estudar a Trigonometria aplicada aos triângulos retângulos e resolver problemas geométricos quêque envolvem ângulos e distâncias, como o apresentado a seguir.

Com um teodolito mecânico, aparelho óptico usado para medir ângulos, um agrimensor mediu o ângulo de observação entre sua posição e o topo de um barranco em um terreno acidentado, conforme o esquema.

As medidas foram tomadas de dois locais diferentes (B e C), e a distância até a base do barranco era desconhecida, assim como a altura dele, quêque o agrimensor precisava determinar.

Vamos conhecer as razões trigonométricas quêque podem sêrser aplicadas a situações como essa, de medição indireta.

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Razões trigonométricas no triângulo retângulo

No Capítulo anterior, foram exploradas algumas relações métricas entre diferentes elemêntoselementos de um triângulo retângulo, as quais consideravam apenas medidas de segmentos no triângulo. Agora, vamos estudar as razões trigonométricas, quêque estabelecem relações entre os ângulos agudos e as medidas dos lados do triângulo.

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), sancionado em 13 de julho de 1990, estabelece, entre outros itens, o direito à educação de todas as crianças e adolescentes, sem discriminação de qualquer natureza. Dessa maneira, é necessário quêque as escolas sêjamsejam acessíveis, contando, por exemplo, com rampas e portas de largura adequada para a passagem de cadeiras de rodas. Além díssudisso, essas construções devem seguir as medidas estabelecidas pela norma NBR 9050.

Observe a ilustração a seguir, quêque mostra um projeto para a construção de uma rampa de acesso em quêque estão destacados a altura do desnível entre os pavimentos, o comprimento da rampa, o comprimento da projeção ortogonal da rampa sobre o pavimento inferior e o ângulo (alfa)"α formado pelo encontro da rampa com esse pavimento.

Note quêque o triângulo ABC é um triângulo retângulo. Com suas medidas, podemos estabelecer as seguintes razões:

• k₁ é a razão entre a altura do desnível e o comprimento da rampa;

• k₂ é a razão entre o comprimento da projeção ortogonal da rampa e o comprimento da rampa;

• k₃ é a razão entre a altura do desnível e o comprimento da projeção ortogonal da rampa.

Por exemplo, se a razão k₁ for igual a $\frac{1}{8}$, isso significa quêque, a cada 1 cm na altura do desnível, temos 8 cm no comprimento da rampa.

Pense e responda

Significa quêque, a cada 8 cm na altura do desnível, tem-se 100 cm no comprimento horizontal da rampa.

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A inclinação da rampa, ou seja, o quão íngreme ela é, depende da medida do ângulo (alfa)"α e está relacionada à razão k₃ entre a altura do desnível e o comprimento da projeção ortogonal da rampa, conforme estudaremos ainda neste Capítulo.

As razões k₁, k₂ e k₃, estabelecidas para o triângulo dado anteriormente, recebem nomes especiais. Vamos estudar as definições matemáticas de cada uma delas.

Observe na figura um ângulo agudo (alfa)"α de vértice B.

Sobre uma das semirretas quêque determina um dos lados do ângulo, tomamos arbitrariamente os pontos A, A₁, A₂, … e, por esses pontos, traçamos segmentos perpendiculares ao lado $\begin{array}{c}\overrightarrow{BA}\end{array}$ , quêque intersectam o outro lado do ângulo nos pontos C, C₁, C₂, …, respectivamente. Obtemos, assim, os triângulos retângulos ABC, A₁ BC₁, A₂BC₂, …, quêque são semelhantes entre si pelo caso AA (Ângulo, Ângulo).

Seno

Pela semelhança dos triângulos, podemos determinar a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{AC}{BC}=\frac{A_1{C}_1}{B{C}_1}=\frac{A_2{C}_2}{B{C}_2}=\dots \end{array}$$

Qualquer triângulo retângulo semelhante ao triângulo ABC, isto é, com um ângulo de medida (alfa)"α e outro reto, terá o mesmo valor (constante) como resultado da razão entre o par de segmentos envolvidos na relação anterior. Ou seja, essa razão depende apenas do ângulo (alfa)"α, e não das medidas dos lados do triângulo.

Considerando o ângulo agudo (alfa)"α como referência, temos quêque essa relação é a razão entre a medida do cateto ôpôstooposto ao ângulo (alfa)"α e a medida da hipotenusa, chamada de seno de (alfa)"α (sen (alfa)"α). Assim, escrevemos:

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Cosseno

Considerando novamente a semelhança dos triângulos, podemos determinar a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B}{B{C}_1}=\frac{A_{2}B}{B{C}_2}=\dots \end{array}$$

Essa relação é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α e a medida da hipotenusa, chamada de cosseno de (alfa)"α (cos (alfa)"α). Assim, escrevemos:

Tangente

Ainda considerando a semelhança dos triângulos, podemos determinar a seguinte proporção:

$$\begin{array}{c}\frac{AC}{AB}=\frac{A_1{C}_1}{A_{1}B}=\frac{A_2{C}_2}{A_{2}B}=\dots \end{array}$$

Essa relação é a razão entre a medida do cateto ôpôstooposto ao ângulo (alfa)"α e a medida do cateto adjacente ao ângulo (alfa)"α, chamada de tangente de (alfa)"α (tg (alfa)"α). Assim, escrevemos:

Pense e responda

As razões sen (alfa)"α, cos (alfa)"α e tg (alfa)"α são chamadas de razões trigonométricas em relação ao ângulo (alfa)"α.

Resposta possível: considerando o triângulo ABC, tem-se: sen (beta)"β = $\frac{AB}{BC}$ , cos (beta)"β = $\frac{AC}{BC}$ e tg (beta)"β = $\frac{AB}{AC}$

Relações entre razões trigonométricas

Vamos estudar algumas relações envolvendo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo (alfa)"α.

1ª relação

A soma do quadrado do seno de um ângulo agudo (alfa)"α com o quadrado do cosseno dêêssedesse mesmo ângulo agudo (alfa)"α é igual a 1, ou seja:

Essa relação é chamada de relação fundamental da Trigonometria.

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Demonstração

Considere o triângulo ABC, retângulo em A, conforme a figura a seguir.

Sendo sen (alfa)"α = $\frac{b}{a}$ e cos (alfa)"α = $\frac{c}{a}$, temos:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^2\alpha =\frac{b^2}{a^2}I\\ {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\alpha =\frac{c^2}{a^2}II\end{array}\end{array}$$

Adicionando $\mathbf{I}$ e $\mathbf{I}\mathbf{I}$, membro a membro, obtemos:

sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{b^2}{a^2}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\frac{c^2}{a^2}\end{array}$ ⇒ sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α =$\begin{array}{c}\frac{b^2+c^2}{a^2}\end{array}$ III

Como o triângulo ABC é retângulo, pelo teorema de Pitágoras, temos:

a² = b² + c² IV

Substituindo IV em III, temos: sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1

Assim, fica demonstrada a relação fundamental da Trigonometria.

2ª relação

O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complemento, ou seja:

Demonstração

Considerando o triângulo ABC a seguir, retângulo em A, temos:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\mathrm{sen\alpha }=\frac{b}{a}=\cos \beta \\ \mathrm{sen\beta }=\frac{c}{a}=\cos \alpha \end{array}\end{array}$$

Como (alfa)"α + (beta)"β = 90°, obtemos: (beta)"β = 90° − (alfa)"α ou (alfa)"α = 90° − (beta)"β. Assim, temos: sen (alfa)"α = cos (90° − (alfa)"α) ou sen (beta)"β = cos (90° − (beta)"β)

Desse modo, a 2ª relação está demonstrada.

Saiba quêque...

• Para facilitar a escrita e quando isso não causar dificuldade de entendimento, em alguns momentos nesta Coleção, não faremos distinção entre os ângulos e suas respectivas medidas. Por exemplo, ao escrever “sen 30°” ou “seno de 30°”, estaremos nos referindo ao seno do ângulo cuja medida é 30°.

• Ângulos complementares são dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90°.

3ª relação

A tangente de um ângulo agudo (alfa)"α é igual à razão entre o seno e o cosseno dêêssedesse mesmo ângulo agudo (alfa)"α, ou seja:

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Demonstração

Considerando o triângulo ABC a seguir, temos:

sen (alfa)"α = $\frac{b}{a}$ e cos (alfa)"α = $\frac{c}{a}$

Dividindo sen (alfa)"α por cos (alfa)"α, obtemos:

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{c}=\frac{b}{c}=\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \end{array}$$

Assim, a 3ª relação está demonstrada.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Observe a representação de duas rampas com ângulos de inclinação diferentes. É possível determinar qual das duas rampas tem maior inclinação? Explique.

Resolução

Sim. pôdêmosPodemos determinar qual das duas rampas tem a maior inclinação calculando a razão entre a altura e o comprimento horizontal, quêque é equivalente à tangente do ângulo de inclinação.

Sendo (alfa)"α e (beta)"β os ângulos de inclinação das rampas 1 e 2, respectivamente, temos:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\beta =\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Agora, comparamos as duas razões:

$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}‹\frac{4}{12}$. Isso significa quêque, para um mesmo comprimento horizontal (12 m), a rampa 1 corresponde a uma altura de 3 m, enquanto a rampa 2 corresponde a uma altura de 4 m.

Então, podemos concluir quêque a rampa 2 tem maior inclinação do quêque a 1.

2. Para medir a altura de uma torre, uma topógrafa se situa no ponto A, a 70 m da base da torre. Em seguida, com o teodolito, mira o ponto mais alto da torre e verifica quêque o ângulo dessa linha visual com a horizontal (ângulo de observação) é de 32°, como indica a figura. Sabendo quêque a distância do teodolito ao chão é desprezível, calcule a altura da torre.

Considere tg 32° = 0,625.

Resolução

Vamos representar a situação na figura a seguir, em quêque AB é a distância da topógrafa até a base da torre e BC é a altura da torre.

Para determinar a altura da torre, vamos usar o valor de tg 32°, dado no enunciado.

tg 32° = $\frac{BC}{AB}$ ⇒ 0,625 = $\frac{BC}{70}$ ⇒ BC = 43,75

Portanto, a altura da torre é 43,75 m.

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3. Sabendo quêque (alfa)"α é um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC e quêque cos (90° − (alfa)"α) = $\frac{1}{3}$, calcule o valor da tg (alfa)"α.

Resolução

Como sen (alfa)"α = cos (90° − (alfa)"α), então: sen (alfa)"α = $\frac{1}{3}$

Pela relação fundamental, temos:

sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1 ⇒ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\end{array}$ + cos² (alfa)"α = 1 ⇒

⇒ cos² (alfa)"α = 1 − $\frac{1}{9}$ ⇒ cos² (alfa)"α = $\frac{8}{9}$ ⇒

⇒ cos (alfa)"α =$\begin{array}{c}\pm \frac{2\sqrt[]{2}}{3}\end{array}$

Como o ângulo (alfa)"α é agudo, só o valor positivo nos interessa, pois definimos seno, cosseno e tangente como razões de medidas dos lados do triângulo. Assim, essas razões não podem sêrser negativas. Usaremos esse fato ao longo de todo êsteeste Capítulo.

Então: $\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =\frac{2\sqrt[]{2}}{3}\end{array}$

Pela 3ª relação, obtemos:

tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }\end{array}$ ⇒ tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt[]{2}}{3}}\end{array}$ ⇒

⇒ tg (alfa)"α = $\frac{1}{3}$ $\begin{array}{c}\frac{3}{2\sqrt[]{2}}\end{array}$ ⇒ tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{1}{2\sqrt[]{2}}\end{array}$ $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}\end{array}$

⇒ tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{2}}{4}\end{array}$

4. Use uma calculadora científica para efetuar o quêque é pedido nos itens.

a) Qual é o valor aproximado de sen 30°, de cos 30° e de tg 30°?

b) Determine o valor do ângulo (alfa)"α para o qual sen (alfa)"α ≃ 0,75.

Resolução

a) Inicialmente, é preciso indicar a unidade de medida de ângulo quêque será usada, no caso, o grau. Para isso, na calculadora, escolha o modo D ou Deg – abreviaturas de degree, em inglês, quêque significa "grau". Em seguida, pressione as teclas correspondentes para efetuar os cálculos.

• Para calcular o seno de 30°, devemos pressionar as teclas:

• Para calcular o cosseno de 30°, devemos pressionar as teclas:

• Para calcular a tangente de 30°, devemos pressionar as teclas:

Portanto, sen 30° = 0,5, cos 30° ≃ 0,866 e tg 30° ≃ 0,577.

b) Para determinar o valor do ângulo (alfa)"α, vamos usar a função da calculadora.

Normalmente, ela fica na mesma tecla da função e é preciso usar a tecla para acioná-la. Assim, para obtêrobter o ângulo desejado, devemos pressionar as teclas:

Portanto, o ângulo cujo seno é aproximadamente 0,75 é 49°.

Saiba quêque...

• Na maioria das calculadoras científicas, o seno de um ângulo é indicado por “sin”, e a tangente é indicada por "tan".

• A sequência de teclas pódepode variar dependendo do modelo da calculadora. Em alguns casos, digita-se primeiro o valor do ângulo e depois a razão desejada.

Para acessar

• NAKAMURA, Juliana. O quêque é teodolito e como ele é usado na topografia? [Florianópolis]: Sienge, 15 jul. 2019. Disponível em: https://livro.pw/pufis. Acesso em: 7 ago. 2024.

Artigo quêque traz informações detalhadas sobre o funcionamento do teodolito e suas limitações.

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ATIVIDADES

1. Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo destacado.

a)

sen (gama)"γ = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{5}}{5}\end{array}$

cos (gama)"γ = $\begin{array}{c}\frac{2\sqrt[]{5}}{5}\end{array}$

tg (gama)"γ = $\frac{1}{2}$

b)

sen (beta)"β = $\frac{3}{5}$

cos (beta)"β = $\frac{4}{5}$

tg (beta)"β = $\frac{3}{4}$

2. Retomando a situação da construção da rampa da página 277, a NBR 9050 estabelece quêque a inclinação deve sêrser calculada de acôr-doacordo com a expressão i = $\frac{h\cdot 100}{c}$ , em quêque:

• i é a inclinação, em %;

• h é a altura do desnível;

• c é o comprimento da projeção ortogonal da rampa sobre o piso inferior.

Além díssudisso, para desníveis de até 0,80 m, a inclinação permitida deve estar entre 6,25% e 8,33%.

Com base nessas informações, responda.

a) A expressão da inclinação pódepode sêrser relacionada com quêque razão trigonométrica? Justifique.

Tangente. No triângulo retângulo formado, h é a medida do cateto ôpôstooposto ao ângulo de inclinação e c é a medida do cateto adjacente.

b) O quêque significa uma inclinação de 8%?

Significa quêque a razão entre a altura do desnível e o comprimento da projeção da rampa é de $\frac{8}{100}$.

3. Quando os raios do sólsol formam o ângulo de 30° com o plano do chão, obtém-se a medida de 50 m para a sombra de um prédio. Qual é a altura aproximada dêêssedesse prédio? Adote tg 30° = 0,58.

29 m

4. Em um triângulo retângulo, um cateto médemede 15 cm, e a hipotenusa, 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo dêêssedesse triângulo.

sen (alfa)"α = $\frac{15}{17}$;

cos (alfa)"α = $\frac{8}{17}$;

tg (alfa)"α =$\frac{15}{8}$

5. Retomando a situação da introdução do Capítulo, determine a altura h do barranco, sabendo quêque o teodolito está a 1,6 m do solo, alinhado com a base do barranco. Considere tg 41° = 0,87 e tg 50° = 1,19.

aproximadamente 66,31 m

6. Considere duas pessoas a 4 km de distância uma da outra, localizadas em dois pontos A e B no solo. A pessoa no ponto A, olhando na direção de B, avistou, segundo um ângulo de 50° (com a horizontal), um helicóptero. No mesmo instante, a pessoa no ponto B, olhando na direção de A, avistou o mesmo helicóptero segundo um ângulo de 45° (com a horizontal). Aproximadamente, a quêque altura do solo o helicóptero estava naquele momento? Considere sen 45° = cos 45° e tg 50° ≃ 1,19.

aproximadamente 2,17 km ou 2.170 m

7. (Vunesp-SP) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo.

A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é de 30 m.

Use a aproximação sen 3° ≃ 0,05 e responda.

O tempo, em minutos, quêque o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é:

a) 2,5.

b) 7,5.

c) 10.

d) 15.

e) 30.

alternativa a

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8. Determine a medida aproximada, em grau, do ângulo (alfa)"α de cada figura. Utilize uma calculadora científica.

a)

(alfa)"α ≃ 51°

b)

(alfa)"α ≃ 19°

c)

(alfa)"α ≃ 63°

9. Considerando sen 10° = 0,17, sen 65° = 0,90 e cos 50° = 0,64, calcule:

a) cos 25°

0,90

b) cos 80°

0,17

c) sen 40°

0,64

10. (UEA-AM) A figura mostra os triângulos retângulos ABC e BCD, em quêque AB = 12 cm e m(B $\widehat{C}$ D) = (alfa)"α.

alternativa a

Sabendo quêque sen (alfa)"α = 0,8 e quêque o ponto D está sobre o lado $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ , a medida do segmento $\begin{array}{c}\overline{DC}\end{array}$ é igual a

a) 5,4 cm.

b) 3,6 cm.

c) 4,5 cm.

d) 6,3 cm.

e) 7,2 cm.

11. A soma dos comprimentos das bases de um trapézio retângulo vale 30 m. A base maior médemede o dôbrodobro da menor. Calcule a altura do trapézio, sabendo quêque seu ângulo obtuso médemede 150°. Considere sen 30° = 0,5.

$\begin{array}{c}\frac{10\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$ m

12. (UECE) Um cabo de aço, medindo c metros de comprimento, é estendido em linha reta fixado em três pontos, a saber: P e Q em seus extremos e M em um ponto intermediário. O ponto P está localizado no solo plano horizontal e os pontos M e Q estão localizados nos altos de duas torres erguidas verticalmente no mesmo solo. As medidas, em metros, das alturas das torres e a distância entre elas são respectivamente h, H e d. Se x é a medida em graus do ângulo quêque o cabo estendido faz com o solo, então, é correto dizêrdizer quêque a medida, em metros, da diferença entre a altura da torre maior e a altura da torre menor é igual a

alternativa b

a) c ⋅ tg (x).

b) d ⋅ tg (x).

c) $\frac{c\cdot h}{H}$ tg (x).

d) $\frac{d\cdot h}{H}$ tg (x).

13. Uma pessoa, distante 10 m de um prédio, observa o topo dele sôbisob um ângulo de 58°. Ao afastar-se dêêssedesse prédio, ainda observa o topo, porém, agora, sôbisob um ângulo de 22°. Calcule a altura do prédio e a distância de afastamento entre os pontos de observação. Adote tg 22° = 0,4 e tg 58° = 1,6.

O prédio tem 16 metros de altura, e a pessoa se afastou 30 metros.

14. Um submarino A, quêque se encontra a uma profundidade de 400 m no mar, detecta dois barcos B e C na superfícíesuperfície da á guaágua sôbisob ângulos de 62° e 40°, respectivamente, medidos entre a direção dos barcos e a direção perpendicular à superfícíesuperfície, como mostra a figura.

Qual é a distância aproximada entre os dois barcos? Adote tg 62° = 1,9 e tg 40° = 0,8.

1.080 m

15. Elabore um problema parecido com o da atividade 14, quêque envolva uma pessoa localizada no solo observando dois drones situados no ar, à mesma altura do solo e a distâncias diferentes da pessoa. Depois, resôuvaresolva o problema e compartilhe com a turma.

Resposta pessoal.

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FÓRUM

Ver as Orientações para o professor.

Para ler

• TURMA da Mônica em: o Estatuto da Criança e do Adolescente. São Paulo: Instituto Mauricio de Sousa, 2021. Disponível em: https://livro.pw/vcrjn. Acesso em: 7 ago. 2024.

Revista em quadrinhos gratuita criada em parceria com o Ministério da Educação para difundir, com linguagem acessível, os principais aspectos do Estatuto da Criança e do Adolescente.

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Ângulos de 30°, de 45° e de 60°

As razões trigonométricas relacionadas aos ângulos de 30°, de 45° e de 60° podem sêrser obtidas por meio de cálculos quêque utilizam as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo equilátero e de um triângulo retângulo isósceles, como mostrado a seguir.

Saiba quêque...

Em alguns textos, é possível quêque você encontre a expressão "ângulos notáveis" para se referir aos ângulos de 30°, de 45° e de 60°.

Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e de 60°

Considere um triângulo equilátero ABC, no qual (éli)"ℓ é a medida dos lados e h é a medida da altura relativa ao lado $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ , conforme mostra a figura.

Como o triângulo ABC é equilátero, temos quêque BH = HC = $\frac{\mathcal{l}}{2}$. Assim, no triângulo retângulo AHC, reto em H, aplicamos o teorema de Pitágoras para calcular a altura h:

(éli)"ℓ² = h² + $\begin{array}{c}{\left(\frac{\mathcal{l}}{2}\right)}^2\end{array}$ ⇒ h = $\begin{array}{c}\sqrt[]{{\mathcal{l}}^2-\frac{{\mathcal{l}}^2}{4}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{3{\mathcal{l}}^2}{4}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

E obtemos as seguintes razões:

• sen 30° = $\frac{\frac{\mathcal{l}}{2}}{\mathcal{l}}=\frac{\mathcal{l}}{2}\cdot \frac{1}{\mathcal{l}}=\frac{1}{2}$

• cos 30° = $\begin{array}{c}\frac{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}}{\mathcal{l}}=\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\cdot \frac{1}{\mathcal{l}}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

• tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{\frac{\mathcal{l}}{2}}{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}}=\frac{\mathcal{l}}{2}\cdot \frac{2}{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

• sen 60° = $\begin{array}{c}\frac{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}}{\mathcal{l}}=\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\cdot \frac{1}{\mathcal{l}}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

• cos 60° = $\frac{\frac{\mathcal{l}}{2}}{\mathcal{l}}=\frac{\mathcal{l}}{2}\cdot \frac{1}{\mathcal{l}}=\frac{1}{2}$

• tg 60° = $\begin{array}{c}\frac{\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}}{\frac{\mathcal{l}}{2}}=\frac{\mathcal{l}\sqrt[]{3}}{2}\cdot \frac{2}{\mathcal{l}}=\sqrt[]{3}\end{array}$

Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°

Considere um triângulo retângulo e isósceles ABC, conforme a figura a seguir, no qual (éli)"ℓ é a medida dos catetos e $\begin{array}{c}\mathcal{l}\sqrt[]{2}\end{array}$ é a medida da hipotenusa, quêque pódepode sêrser determinada pelo teorema de Pitágoras.

Com base nesse triângulo ABC, obtemos as seguintes razões:

• sen 45° = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}\sqrt[]{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$

• cos 45° = $\begin{array}{c}\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}\sqrt[]{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\end{array}$ _

• tg 45° = $\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}}$ = 1

Página duzentos e oitenta e sete287

pôdêmosPodemos organizar as razões trigonométricas dos ângulos de 30°, de 45° e de 60° em um qüadroquadro, como o apresentado. Elas serão bastante utilizadas nas resoluções das atividades, evitando a necessidade de fazer cálculos com valores aproximados.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

5. (UFV-MG) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pêlospelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa um farol F e determina quêque o ângulo F $\widehat{A}$ C médemede 30°. Após navegar 6 km até o ponto B, ele verifica quêque o ângulo F $\widehat{B}$ C médemede 90°. Calcule a distância, em km, quêque separa o farol F do navio quando êsteeste se encontra no ponto C, situado a 2 km do ponto B.

Resolução

A figura representa a situação.

Do triângulo retângulo ABF, obtemos:

tg 30° = $\frac{BF}{AB}$ ⇒ $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{3}=\frac{BF}{6}\end{array}$ ⇒ BF = $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$

Logo, a distância BF é igual a $\begin{array}{c}2\sqrt[]{3}\end{array}$ _ km.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCF, temos:

(CF)² = (BF)² + (BC)²

(CF)² = $\begin{array}{c}(2\sqrt[]{3}{)}^2\end{array}$ + 2²

CF = $\begin{array}{c}\sqrt[]{16}\end{array}$

CF = 4, pois CF > 0.

Portanto, a distância entre o farol e o navio no ponto C é de 4 km.

6. Suponha quêque um rio apresente um trecho de margens retas e paralelas, conforme mostra a figura.

Os pontos A e B pertencem a uma das margens e C pertence à outra. Sabendo quêque med(A$\widehat{B}$C) = 60°, med(B$\widehat{A}$C) = 90° e AB = 25 m, calcule a largura AC do rio.

Resolução

Considere o triângulo ABC, sêndosendo AC = x.

Temos:

tg 60° = $\frac{x}{25}$ ⇒ $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}=\frac{x}{25}\end{array}$ ⇒ x = $\begin{array}{c}25\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, a largura do rio é de $\begin{array}{c}25\sqrt[]{3}\end{array}$m.

Página duzentos e oitenta e oito288

ATIVIDADES

16. Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio, conforme a figura. Sendo a largura do rio 60 m, qual é a distância AB percorrida pelo barco?

$\begin{array}{c}40\sqrt[]{3}\end{array}$ m

17. Uma escada, quêque médemede 2,20 m de comprimento, acha-se apoiada em uma parede vertical e forma um ângulo de 60° com o plano horizontal. Determine a quêque altura o topo da escada se encontra do chão. Adote $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 1,73.

1,903 m

18. Uma torre vertical de 12 metros de altura é vista sôbisob um ângulo de 30° por uma pessoa quêque se encontra a uma distância x do centro de sua base. O plano da base da torre está no nível dos olhos do observador. Determine a distância x. Adote tg 30° = 0,58.

x ≃ 20,7 m

19. (UFG-GO) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sôbisob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.

Considerando-se quêque foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois póstespostes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.

(6 + $\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ ) m

20. No triângulo ABC a seguir, $\begin{array}{c}\overline{CH}\end{array}$ é a altura relativa ao lado $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$.

Determine:

a) a medida de $\begin{array}{c}\overline{CH}\end{array}$ . Adote tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$;

$\begin{array}{c}4\sqrt[]{3}\end{array}$ cm

b) a medida do ângulo B $\widehat{A}$ C.

45°

21. (IFSC) A ilustração a seguir representa a planta das ruas de uma cidade. A rua representada pelo segmento $\begin{array}{c}\overline{BC}\end{array}$ tem 50 m de comprimento. Um dos engenheiros do projeto de pavimentação dessas ruas esqueceu de indicar algumas distâncias. Considerando quêque um de seus técnicos efetuou os cálculos, é CORRETO afirmar quêque o total de metros da rua quêque vai do ponto A até o ponto D é de:

alternativa e

a) $\begin{array}{c}50\sqrt[]{3}\end{array}$m.

b) $\begin{array}{c}150\sqrt[]{3}\end{array}$m.

c) 50 m.

d) 100 m.

e) $\begin{array}{c}100\sqrt[]{3}\end{array}$m.

22. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado $\begin{array}{c}\overline{AD}\end{array}$ tal quêque o ângulo A $\widehat{B}$ Emédemede 60° e os ângulos E $\widehat{B}$ C e B $\widehat{C}$ D são rétosretos. Sabe-se ainda quêque AB = cê dêCD = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ e BC = 1. Determine a medida de $\begin{array}{c}\overline{AD}\end{array}$ .

AD = $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$

Página duzentos e oitenta e nove289

23. (UFV-MG) Um passageiro em um avião avista duas cidades, A e B, sôbisob ângulos de 15° e 30°, respectivamente, conforme a figura a seguir:

Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as cidades A e B é:

a) 7 km.

b) 5,5 km.

c) 5 km.

d) 6,5 km.

e) 6 km.

alternativa e

24. A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sôbisob um ângulo de 30°. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atinge-se outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°.

Desprezando a altura do observador, calcule, em métrometro, a altura do prédio.

$\begin{array}{c}12\sqrt[]{3}\end{array}$m

25. (UECE) As medidas dos ângulos internos de um triângulo são respectivamente 30°, 60° e 90°. Se a medida do maior lado dêstedeste triângulo é 4 cm, então, a medida, em cm, da altura relativa a êsteeste lado é

alternativa c

a) $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ .

b) $\begin{array}{c}\sqrt[]{6}\end{array}$.

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$

26. (Unicamp-SP) Para medir a largura $\begin{array}{c}\overline{AC}\end{array}$ de um rio, um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia vêrver na margem oposta o coqueiro C, d fórmade forma quêque o ângulo A $\widehat{B}$ C fosse 60°; determinou o ponto D no prolongamento de $\begin{array}{c}\overline{CA}\end{array}$ , d fórmade forma quêque o ângulo C $\widehat{B}$ D fosse 90°. Medindo AD = 40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.

AC = 120m Ver as Orientações para o professor.

27. (UECE) José caminhou na praia em linha reta deslocando-se do ponto X ao ponto Y, perfazendo o total de 1.200 m. Quando estava no ponto X, vislumbrou um navio ancorado no ponto Z de tal modo quêque o ângulo YXZ era de aproximadamente 60 graus. Ao chegar ao ponto Y verificou quêque o ângulo XYZ era de 45 graus. Nessas condições, a distância do navio à praia, em metros, é aproximadamente igual a

alternativa b

a) 720.

b) 760.

c) 780.

d) 740.

Nota: Considere tg (60°) aproximadamente igual a $\frac{19}{11}$.

28. Reúna-se a três côlégascolegas para fazer a atividade de campo indicada a seguir.

Resposta pessoal.

• Primeiro, construam teodolitos caseiros seguindo a instrução disponível no vídeo https://livro.pw/vdvcb (acesso em: 7 ago. 2024).

• Em seguida, procurem, na escola ou no entorno dela, alturas ou distâncias de difícil medição dirétadireta.

• Utilizem os teodolitos conforme as instruções do vídeo para obtêrobter as medidas necessárias.

• Por fim, façam os cálculos adequados para determinar as alturas escolhidas.

Página duzentos e noventa290

EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Razões trigonométricas usando o GeoGebra

Estudamos quêque as razões trigonométricas em um triângulo retângulo não dependem da medida dos lados, e sim do ângulo em questão. Nesta seção, com o auxílio do GeoGebra, vamos comprovar esse fato com a construção de dois triângulos retângulos semelhantes. Para isso, siga a sequência de passos a seguir.

I. Para a construção, não vamos precisar da malha quadriculada nem dos eixos. Portanto, para ocultar esses elemêntoselementos, na janela de visualização, clique em qualquer ponto com o botão direito do máuzimouse e, depois, tire a seleção de Exibir Eixos e de Exibir Malha para desabilitar os eixos e a malha quadriculada.

II. Com a ferramenta Semirreta, construa uma semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\end{array}$ .

III. Usando a ferramenta Reta Perpendicular, construa uma reta perpendicular à semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\end{array}$ quêque passe pelo ponto B.

IV. Na reta perpendicular, com a ferramenta Ponto, , construa um ponto C.

V. Usando novamente a ferramenta Semirreta, construa a semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{AC}\end{array}$.

VI. Utilizando a ferramenta Polígono, clique sobre os pontos A, B, C e A, nessa ordem, para construir o triângulo ABC. A construção, até o momento, estará similar à imagem.

VII. Agora, construa um ponto D, na semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\end{array}$ , quêque seja diferente de A e diferente de B. Esse ponto pódepode estar em qualquer lugar dessa semirreta.

VIII. Construa uma reta perpendicular a $\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\end{array}$ quêque passe por D.

IX. Com a ferramenta Intersecção de Dois Objetos, construa o ponto E, clicando diretamente na intersecção entre a semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{AC}\end{array}$ e a reta perpendicular construída.

X. Utilizando novamente a ferramenta Polígono, clique sobre os pontos A, D, E e A, nessa ordem, para construir o triângulo ADE.

Página duzentos e noventa e um291

XI. Agora, vamos ocultar alguns itens da construção para facilitar a visualização.

Com a ferramenta Mover, selecione o elemento a sêrser ocultado e clique sobre ele com o botão direito do máuzimouse para abrir a janela de opções; em seguida, tire a seleção de Exibir Objeto para esconder algum objeto da construção. Vamos ocultar as retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{DE}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{BC}\end{array}$.

Vamos ocultar, também, o nome de alguns elemêntoselementos, mantendo apenas o nome dos pontos A, B, C, D e E. Para isso, basta selecionar cada objeto e, com o botão direito do máuzimouse, tirar a seleção de Exibir Rótulo.

A construção ficará similar a esta.

XII. No campo de entrada, digite “BC/AC”. Na janela de Álgebra, aparecerá o número indicado pela letra j, quêque representa a razão j = $\frac{BC}{AC}$ . Em seguida, digite “AB/AC”, quêque será representado pela letra k, e “BC/AB”, quêque será representado pela letra l.

Digite, em seguida, “DE/AE”, “AD/AE” e “DE/AD”, quêque serão representados, respectivamente, pelas lêtrasletras m, n e o.

Observe, na imagem, como ficará a janela de Álgebra.

Note quêque alguns dos números têm valores iguais.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Os triângulos ABC e ADE construídos são semelhantes. Indique o caso de semelhança e justifique.

2. Ao observar a janela de Álgebra, percebemos quêque j tem o mesmo valor de m, assim como os pares de números k e n, e l e o. O quêque essas razões representam? O quêque se pódepode concluir com essa informação?

3. Utilize a ferramenta Ângulo, e meça o ângulo com vértice em A. Em seguida, com a ferramenta Mover, altere a posição dos pontos A, B e D e dêz-crevadescreva o quêque aconteceu com os valores do ângulo e das razões e o quêque se pódepode concluir com essa informação.

4. Altere a posição do ponto C. A igualdade entre os pares de razões observada anteriormente se manteve?

Página duzentos e noventa e dois292

CONEXÕES com...
LINGUAGENS E SUAS TECNOLOGIAS
A matemática do squêitskate

Altas manobras radicais, jovens atletas em ação e um estilo de vida. Estamos falando do squêitskate, quêque entrou para o programa olímpico em Tóquio 2020. Mas a origem do esporte é na década de 1920, nos Estados Unidos, quando os jovens começaram a prender eixos e ró-dínhasrodinhas em pedaços de madeira para se divertirem.

[…]

No final dos anos 50, quando não havia ondas no litoral da Califórnia, surfistas tentavam imitar as manobras quêque faziam na á guaágua usando rodas e eixos fixados em pranchas de madeira.

No Brasil, o squêitskate chegou nos anos 60, primeiro no Rio de Janeiro, provavelmente trazido por filhos de norte-americanos e pêlospelos brasileiros quêque viajavam para os Estados Unidos na época. Os skateboards evoluíram e atualmente são compostos por um deck de madeira, chamado de shape no Brasil, eixos de alumínio e as rodas de aderência para cada tipo de terreno. Para andar e consequentemente fazer as manobras é necessária uma combinação de impulso com os péspés, equilíbrio e técnica.

O Brasil conta com nomes históricos da modalidade, bem antes da entrada nos Jogos Olímpicos, como BóbBob Burnquist, Sandro Dias, o Mineirinho, Letícia Buffoni, entre outros.

[…]

COMITÊ OLÍMPICO DO BRASIL. Skate: história. Rio de Janeiro: COB, c2024. Disponível em: https://livro.pw/fnjeq. Acesso em: 7 ago. 2024.

Saiba quêque...

Na segunda edição do squêitskate nas Olimpíadas de Paris, em 2024, o Brasil conquistou duas medalhas de bronze: Rayssa Leal na categoria street e Augusto Akio na categoria park.

Página duzentos e noventa e três293

Você já andou de squêitskate? Tem vontade? Você sabia quêque, para construir uma rampa de squêitskate, podemos utilizar alguns conceitos de Trigonometria estudados neste Capítulo? Observe a fotografia.

Note quêque a vista lateral de parte da rampa tem um formato semelhante ao de um triângulo retângulo. pôdêmosPodemos usar os conceitos de seno, cosseno e tangente para determinar as medidas da rampa de squêitskate.

Acompanhe a situação a seguir.

Qual é a altura de uma rampa de squêitskate, sabendo quêque sua inclinação é de 30° e quêque a placa de madeira quêque sêrservirá de pista a ser colocada na parte inclinada tem o formato de um quadrado com lado de medida igual a 2 m? Observe a representação da lateral da rampa apresentada nesta situação.

Observe quêque a medida H, quêque queremos determinar, é a do cateto ôpôstooposto em relação ao ângulo de 30° e quêque a medida 2 m é a da hipotenusa. Logo, utilizaremos o seno.

Como sen 30° = 0,5, temos:

sen 30° = $\frac{H}{2}$ ⇒ 0,5 = $\frac{H}{2}$ ⇒ H = 1

Assim, essa rampa tem 1 m de altura.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. O squêitskate se tornou esporte olímpico a partir dos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020. Você conhece alguém quêque pratícapratica esse esporte? Na sua cidade, há espaços para essa prática? Converse com os côlégascolegas e com o professor a respeito díssudisso.

Respostas pessoais.

2. No squêitskate, há diversas modalidades e percursos. A minirrampa é utilizada por iniciantes para aprenderem as manobras. Normalmente, sua altura varia entre 1 métrometro e 2 metros e 40 centimetros. Considere a minirrampa representada e calcule a distância aproximada quêque o iskeitistaskatista vai percorrer do topo da pista até a base.

aproximadamente 2,68 m

3. Você já ouviu falar sobre squêitskate de dedos? Reúna-se em grupos, e pesquisem sobre essa modalidade. Depois, construam uma pista de squêitskate de dedos utilizando material reciclável e as noções de Trigonometria e apresentem-na para os outros grupos.

Ver as Orientações para o professor.

Para assistir

• VIDA sobre rodas. Direção: Daniel Baccaro. São Paulo: Goma Filmes, 2010. Streaming (109 min).

Documentário quêque conta a trajetória do squêitskate no Brasil nas dékâdâsdécadas de 1980 e 1990.

• MINDING The Gap. Direção: Bing Liu. Estados UnidosEUA: ITVS/Kartemquin Films, 2018. Streaming (93 min).

Documentário quêque narra a vida e as amizades de três jovens de Rockford (Illinois), Estados Unidos, unidos pelo amor ao squêitskate.

Página duzentos e noventa e quatro294

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (UFAL) De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20° ≃ 0,36 e tg 18° ≃ 0,32.

a) 42 m

b) 43 m

c) 44 m

d) 45 m

e) 46 m

alternativa d

2. (UFPel-RS) João viajou para o Rio de Janeiro e, como ele queria muito conhecer o Cristo Redentor, ficou horas admirando e tentando advinhar a altura da bela estátua.

Considerando a figura e quêque tg 66° ≃ 2,246, a altura aproximada do Cristo Redentor é de

a) 22 metros.

b) 48 metros.

c) 112 metros.

d) 55 metros.

e) 38 metros.

f) I.R.

alternativa e

Nota: nesse vestibular, o candidato tem pontos descontados caso escolha uma alternativa incorrétaincorreta. Ao selecionar a alternativa I.R., quêque indica “ignoro a resposta”, ele elimina essa possibilidade.

3. (Comvest) Na figura abaixo, o valor de sen (alfa)"α é:

a) $\frac{15}{8}$

b) $\frac{30}{8}$

c) $\frac{8}{17}$

d) $\frac{15}{17}$

alternativa c

4. (hú éfe ême gêUFMG) A figura abaixo representa a travessia de um barco num rio de margens paralelas, cuja largura é de 150 m. O barco, saindo de A em direção ao ponto B, foi arrastado pela correnteza, indo em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60° com a margem.

A distância, em metros, percorrida por esse barco foi de:

a) 75.

b) $\begin{array}{c}100\sqrt[]{2}\end{array}$.

c) $\begin{array}{c}96\sqrt[]{3}\end{array}$.

d) $\begin{array}{c}100\sqrt[]{3}\end{array}$.

alternativa d

5. (IFSP) É comum encontrar em grandes supermercados esteiras rolantes para facilitar o deslocamento das pessoas. A figura a seguir mostra a esteira rolante de supermercado. Considerando os dados apresentados, o comprimento da parte da esteira rolante quêque liga um andar ao outro é:

a) 5 m.

b) 10 m.

c) 15 m.

d) 20 m.

e) 25 m.

alternativa b

Página duzentos e noventa e cinco295

6. (Enem/MEC) O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo (alfa)"α com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11 m e (alfa)"α = 30°

• opção II: h = 12 m e (alfa)"α = 45°

• opção III: h = 18 m e (alfa)"α = 60°

A opção a sêrser escolhida é aquela em quêque a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em métrometro, de cada um dos cabos a serem instalados?

alternativa c

a) $\begin{array}{c}\frac{22\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

b) $\begin{array}{c}11\sqrt[]{2}\end{array}$

c) $\begin{array}{c}12\sqrt[]{2}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}12\sqrt[]{3}\end{array}$

e) 22

7. (Fuvest-SP) No cóódigoCódigo de Obras e Edificações da Prefeitura de São Paulo, encontra-se a regulamentação para vagas de estacionamento em um edifício para diferentes tipos de veículos. De acôr-doacordo com o cóódigocódigo, as dimensões de uma vaga de estacionamento são estabelecidas de acôr-doacordo com o tipo de veículo, conforme a seguinte tabélatabela:

tabélaTabela: Dimensões das vagas de estacionamento em função do tipo de veículo (medidas em metros).

Na figura a seguir, é apresentada parte de um projeto de garagem para um edifício. Foram projetadas vagas para automóveis e uma vaga para moto, no formato de paralelogramo, com ângulo (alfa)"α de medida 60°.

Após a vaga da moto, restou um espaço na garagem. Os responsáveis pela obra estão avaliando a possibilidade de colocar algum objeto quêque possa sêrser utilizado pêlospelos condôminos do edifício. Qual a medida do segmento destacado (tracejado) nesse espaço?

a) 0,75 m

b) 1,15 m

c) 1,25 m

d) 2,20 m

e) 2,25 m

alternativa c

Note e adote: cos (60°) = 0,5; sen (60°) = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Página duzentos e noventa e seis296

8. (IFRS) Um drone se encontra a 100 m de altura no ponto A da figura abaixo, filmando um objeto quêque se encontra no ponto B. O ângulo de rotação de sua câmera com o objeto é de 45°. A distância do drone até o objeto quêque está sêndosendo filmado, em m, é:

a) $\begin{array}{c}\frac{200\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$.

b) $\begin{array}{c}100\sqrt[]{2}\end{array}$.

c) 145.

d) $\begin{array}{c}100\sqrt[]{3}\end{array}$.

e) 200.

alternativa b

9. (UFV-MG) Um grupo de amigos rêzouvêoresolveu fazer uma viagem para um parque ecológico. Eles chegam à Estação Central e partem em um teleférico quêque faz a primeira parada na Estação Minizoo, a segunda parada na Estação vistaVista do Céu.

Suponha quêque o comprimento total do cabo utilizado nesse teleférico seja de 480 metros, quêque esse cabo permaneça sempre totalmente esticado e quêque o comprimento dele da Estação Central à Estação Minizoo seja o triplo do comprimento do cabo da Estação Minizoo à Estação vistaVista do Céu.

É CORRETO afirmar quêque a altura da Estação vistaVista do Céu em relação à Estação Central é:

(Adote $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ = 1,7)

a) 364 metros.

b) 365 metros.

c) 366 metros.

d) 367 metros.

alternativa c

10. (UEA-AM) Um jardim, representado na figura pelo triângulo retângulo ABC, foi dividido em dois canteiros, S e S₁, por uma grade, indicada pelo segmento $\begin{array}{c}\overline{BE}\end{array}$.

Sabendo quêque AB = 6 m, o perímetro do triângulo ABE é igual a:

a) 4 + $\begin{array}{c}10\sqrt[]{3}\end{array}$m.

b) $\begin{array}{c}12\sqrt[]{3}\end{array}$m.

c) 6 + $\begin{array}{c}6\sqrt[]{3}\end{array}$m.

d) $\begin{array}{c}14\sqrt[]{3}\end{array}$m.

e) 6 + $\begin{array}{c}10\sqrt[]{3}\end{array}$m.

alternativa c

11. (USCS-SP) Em um cartão quadrado ABCD, de área igual a 256 cm², destaca-se uma região triangular ABP, conforme mostra a figura.

O perímetro da região delimitada pelo triângulo ABP é igual a:

a) 8(2 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$)cm.

b) 6(3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$)cm.

c) $\begin{array}{c}24\sqrt[]{3}\end{array}$cm.

d) 8(3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$)cm.

e) $\begin{array}{c}32\sqrt[]{3}\end{array}$cm.

alternativa d

Página duzentos e noventa e sete297

12. (Enem/MEC) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km × 2 km quêque contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo quêque cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se quêque a porcentagem da área do terreno quêque coube a João corresponde, aproximadamente, a:

a) 50%

b) 43%

c) 37%

d) 33%

e) 19%

alternativa e

PARA REFLETIR

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