Resoluções das atividades

Capítulo 1 • Conjuntos

Atividades

1. a) Como A é compôztocomposto pêlospelos números naturais múltiplos de 3 e menóresmenores do quêque 20, então: A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}.

b) Como B é compôztocomposto pêlospelos números naturais primos menóresmenores do quêque 27, então: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}.

c) Como C é compôztocomposto pêlospelos números naturais menóresmenores do quêque 50 e múltiplos de 7, então: C = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}.

d) O único satélite natural do planêtaplaneta Terra é a Lua, então: D = {Lua}.

e) As consoantes da palavra “pedra” são p, d e r, então: E = {p, d, r}.

2.

a) Verdadeira, pois 1 é um elemento de B.

b) Falsa, pois {1} não é um elemento de B.

c) Verdadeira, pois 2 é um elemento de B.

d) Verdadeira, pois −1 é um elemento de B.

e) Falsa, pois 1 é um elemento de B.

f) Falsa, pois 3 não é um elemento de B.

• Respostas possíveis: b) 1 ∈ B; e) 4 ∉ B; f) 3 ∉ B

3.

a) O subconjunto de A formado por números maiores do quêque 5 e menóresmenores do quêque 10 é {6, 7, 8, 9}.

b) O subconjunto de A formado por números pares é {4, 6, 8, 10}.

c) O subconjunto de A formado por números ímpares maiores do quêque ou iguais a 7 é {7, 9, 11}.

4.

a) Todos os subconjuntos de E formados por 3 elemêntoselementos são {2, 4, 6}; {2, 4, 8}; {2, 6, 8} e {4, 6, 8}.

b) O subconjunto de E formado por 4 elemêntoselementos é {2, 4, 6, 8}.

5. Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elemêntoselementos. Nesse caso, se {0, 1, 2} = {2, a, b}, em quêque a e b são números naturais, tem-se: a = 0 e b = 1 ou a = 1 e b = 0. Assim, a + b = 1.

6.

a) Os subconjuntos quêque podem sêrser formados com duas músicas são {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} e {c, d}.

b) Formar todos os pares possíveis com as músicas a, b, c e d equivale a criar subconjuntos com dois elemêntoselementos, ou seja, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} e {c, d}. Portanto, o número de pares possíveis é 6.

7.

a) Verdadeira, pois todos os elemêntoselementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B; portanto, o conjunto A está contido em B.

b) Verdadeira, pois todos os elemêntoselementos do conjunto C também pertencem ao conjunto B; portanto, o conjunto C está contido em B.

c) Falsa, pois alguns elemêntoselementos do conjunto B não pertencem ao conjunto A; portanto, o conjunto B não está contido em A.

d) Falsa, pois não há elemêntoselementos do conjunto A quêque também pertençam ao conjunto C; portanto, o conjunto A não está contido em C.

e) Verdadeira, pois alguns elemêntoselementos do conjunto B não pertencem ao conjunto A; portanto, o conjunto B não está contido em A.

f) Verdadeira, pois não há elemêntoselementos do conjunto A quêque também pertençam ao conjunto C; portanto, o conjunto A não está contido em C.

g) Verdadeira, pois todos os elemêntoselementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B; portanto, o conjunto A está contido em B. Consequentemente, o conjunto B contém o conjunto A.

h) Verdadeira, pois alguns dos elemêntoselementos do conjunto B não pertencem ao conjunto A; portanto, o conjunto B não está contido em A. Consequentemente, o conjunto A não contém o conjunto B.

8.

a) Como o conjunto A é compôztocomposto apenas pelo elemento 1, quêque também pertence ao conjunto B, então pode-se afirmar quêque A ⊂ B.

b) Como o conjunto A é compôztocomposto apenas pelo elemento 1, quêque também pertence ao conjunto C, então pode-se afirmar quêque A ⊂ C.

c) Como o conjunto A é compôztocomposto apenas pelo elemento 1, quêque também pertence ao conjunto D, então pode-se afirmar quêque A ⊂ D.

d) Como o elemento 0 pertence ao conjunto B, porém não pertence ao conjunto C, então pode-se afirmar quêque B ⊄ C.

e) Como o conjunto B é compôztocomposto pêlospelos elemêntoselementos 0 e 1, e ambos pertencem ao conjunto D, então pode-se afirmar quêque B ⊂ D.

f) Como o elemento 3 pertence ao conjunto C, porém não pertence ao conjunto D, então pode-se afirmar quêque C ⊄ D.

9. Ao escrever os conjuntos na forma numérica, obtêm-se: A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e C = {0, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...}

a) Como todos os elemêntoselementos do conjunto A também pertencem a B, então pode-se afirmar quêque A ⊂ B.

b) Como todos os elemêntoselementos do conjunto A também pertencem a C, então pode-se afirmar quêque A ⊂ C.

c) Como o elemento 2 pertence ao conjunto B, mas não pertence a C, então pode-se afirmar quêque B ⊄ C.

10. a) Verdadeira, pois 0 é um elemento de A.

b) Falsa, pois 1 é um elemento e não um subconjunto de A.

c) Verdadeira, pois 3 é um elemento de A.

d) Verdadeira, pois {3} é um subconjunto de A.

e) Falsa, pois 1 não é elemento de A. Consequentemente, {1, 2} não é subconjunto de A.

f) Verdadeira, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

g) Falsa, pois o conjunto vazio não é um elemento de A.

h) Falsa, pois {3} não é um elemento de A.

11.

a) Verdadeira, pois o elemento 5 pertence aos dois conjuntos.

b) Verdadeira, pois os elemêntoselementos a, b e c pertencem a ambos os conjuntos.

c) Falsa, pois o número 2 não está contido no conjunto {0, 2, 4}, o número 2 pertence ao conjunto {0, 2, 4}, ou seja, 2 ∈ {0, 2, 4}.

d) Verdadeira, pois o elemento 8 pertence ao conjunto {2, 4, 6, 8, 10}.

e) Verdadeira, pois os elemêntoselementos 1 e 2 pertencem ao conjunto {1, 2, 3}.

f) Verdadeira, pois o conjunto dos números naturais não possui elemêntoselementos negativos.

g) Verdadeira, pois o elemento 3 pertence ao conjunto {0, 3, 6, 9}.

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h) Verdadeira, pois o número $\frac{1}{2}$ está localizado entre os números 0 e 1; portanto, não pertence ao conjunto dos números naturais. As afirmações verdadeiras são: a, b, d, e, f, g e h.

12. Como P ⊂ Q, pode-se admitir quêque todos os elemêntoselementos de P também pertencem a Q. A respeito de se Q ⊂ P, nada se pódepode afirmar. Porém, pode-se ter duas situações:

1. Caso essa afirmação seja verdadeira, deve-se considerar quêque P = Q, ou seja, todos os elemêntoselementos de Q também pertencem a P.

2. Caso essa afirmação seja falsa, então existe algum elemento de Q quêque não pertence a P.
Com base nessas informações, pode-se julgar os itens:

a) Falsa, pois se x ∈ P e P está contido em Q, então x pertence a Q.

b) Falsa, pois ao considerar P = Q, então não existe elemento x ∈ Q e x ∉ P.

c) Falsa, pois ao considerar Q ⊄ P, então x pódepode pertencer a Q e não pertencer a P.

d) Verdadeira, se existir algum elemento quêque não pertence a Q, então esse elemento também não pertence a P, pois P está contido em Q.

e) Falsa, pois, como P está contido em Q, os elemêntoselementos de P também pertencem a Q; portanto, esses elemêntoselementos de P são comuns a ambos os conjuntos. Resposta: alternativa d.

13. Como {1, 2} ⊂ M, M já possui os elemêntoselementos 1 e 2. Agora, como M ⊂ {1, 2, 3, 4}, então as possibilidades são: M = {1, 2}, M = {1, 2, 3}, M = {1, 2, 4} ou M = {1, 2, 3, 4}. Portanto, 4 conjuntos.

14. Como A ⊂ B e B ⊂ C, pode-se concluir quêque A ⊂ C, pois todos os elemêntoselementos de A pertencem a B, quêque, por sua vez, também pertencem a C.
Como todo elemento de C também pertence a A, pois C ⊂ A, então pode-se concluir quêque A = C.
Portanto, como A ⊂ B e B ⊂ C e A = C, pode-se afirmar quêque a relação entre os conjuntos é A = B = C, pois os elemêntoselementos pertencentes a cada conjunto são comuns aos outros.

15. Pelo enunciado, sabe-se quêque A = {0, 11, 12, 13, 14} e B = {11, 12}. Como o conjunto C é formado pêlospelos números pares compreendidos entre 11 e 19, obtém-se C = {12, 14, 16, 18}. Como o conjunto D é formado pêlospelos números ímpares compreendidos entre 10 e 16, obtém-se D = {11, 13, 15}.
Assim, ao utilizar as definições de união e intersecção entre conjuntos, obtêm-se:

a) A ⋂ B = {11, 12}

b) A ⋂ C = {12, 14}

c) B ⋃ C = {11, 12, 14, 16, 18}

d) C ⋃ D = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 18}

e) Como A ⋃ B = {0, 11, 12, 13, 14} e C = {12, 14, 16, 18}; então (A ⋃ B) ⋃ C = {0, 11, 12, 13, 14} ⋃ {12, 14, 16, 18} = {0, 11, 12, 13, 14, 16, 18}.

f) Como A ⋂ C = {12, 14} e D = {11, 13, 15}; então (A ⋂ C) ⋂ D = {12, 14} ⋂ {11, 13, 15} = ∅.

16. Pelo enunciado, tem-se os conjuntos A = {m, n, p, q}; B = {n, p, q}; e C = {p, q, r, s}. Portanto:

a) A − B = {m, n, p, q} − {n, p, q} = {m}

b) A − C = {m, n, p, q} − {p, q, r, s} = {m, n}

c) B − C = {n, p, q} − {p, q, r, s} = {n}

d) A ⋂ B = {m, n, p, q} ⋂ {n, p, q} = {n, p, q} Como C = {p, q, r, s}; então (A ⋂ B) − C = {n, p, q} − {p, q, r, s} = {n}

e) Como A − C = {m, n} e B − C = {n}; então (A − C) ⋂ (B − C) = {m, n} ⋂ {n} = {n}

f) A − ∅ = {m, n, p, q} − ∅ = {m, n, p, q}

17. Ao observar o diagrama, pode-se escrever os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 9}, B = {2, 6, 7, 9} e C = {2, 4, 5, 6, 8}.

a) A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 9} ⋃ {2, 6, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9}

b) A ⋃ C = {1, 2, 3, 4, 9} ⋃ {2, 4, 5, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

c) A ⋃ B ⋃ C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9} ⋃ {2, 4, 5, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

d) B ⋂ C = {2, 6, 7, 9} ⋂ {2, 4, 5, 6, 8} = {2, 6}

e) A ⋂ B = {1, 2, 3, 4, 9} ⋂ {2, 6, 7, 9} = {2, 9} Então, A ⋂ B ⋂ C = {2, 9} ⋂ {2, 4, 5, 6, 8} = {2}.

f) A − C = {1, 2, 3, 4, 9} − {2, 4, 5, 6, 8} = {1, 3, 9}

g) A ⋂ C = {1, 2, 3, 4, 9} ⋃ {2, 4, 5, 6, 8} = {2, 4} Então, (A ⋂ C) − B = {2, 4} − {2, 6, 7, 9} = {4}.

18. Ao se aplicar a definição de intersecção entre conjuntos, obtêm-se as respostas a seguir:

a) {10, 11, 12} ⋂ {7, 8, 9, 10, 11} = {10, 11}

b) {−3, −2, −1, 0} ⋂ {0, 1, 2, 3} = {0}

c) $\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right\}\bigcap \mathrm{}\{\frac{1}{5},\frac{1}{6}\}$ = ∅

19. O enunciado fornece as seguintes informações: A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ⋂ B = {4, 5}, E − B = {1, 2}, B − A = {6, 7}, E ⋂ B = ∅ e E ⊂ A.
Considerando quêque A ⋂ B = {4, 5} e B − A = {6, 7}, pode-se concluir quêque B = {4, 5, 6, 7}, porque (A ⋂ B) ⋃ (B − A) = B. Agora, como A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ⋂ B = {4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, pode-se concluir quêque A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Como E − B = {1, 2} e não existem elemêntoselementos em comum entre eles, pois E ⋂ B = ∅, pode-se concluir quêque E = {1, 2}. Com essas informações, pode-se construir o diagrama a seguir:

Assim, tem-se:

C_A^E = A − E = {1, 2, 3, 4, 5} − {1, 2} = {3, 4, 5}

20. Os conjuntos fornecidos pelo enunciado são: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 2, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e E = {2, 4, 6}.

a) C_U^A = U − A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} − {0, 2, 5} = {1, 3, 4, 6, 7}

b) C_U^B = U − B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} − {1, 3, 5, 7} = {0, 2, 4, 6}

c) C_U^E = U − E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} − {2, 4, 6} = {0, 1, 3, 5, 7}

21. Conforme o enunciado, deve-se considerar M(a) o conjunto dos múltiplos de a e D(a) o conjunto dos divisores de a.

a) M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...} e D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Então, M(3) ⋂ D(30) = {3, 6, 15, 30}.

b) M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} e M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...}
Então, M(2) ⋂ M(4) = {0, 4, 8,...}.

c) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} e D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
Então, D(100) ⋂ D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50}.

d) M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,...} e M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,...}
Então, M(7) ⋂ M(5) = {0, 35, 70,...}.

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22. Considere x o número de elemêntoselementos do conjunto B; então, de acôr-doacordo com o enunciado, temos:
n(B) = x
n(A) = x + 15
n(A ⋂ B) = 134
n(A ⋃ B) = 49
Como n(A ⋂ B) = n(A) + n(B) − n(A ⋃ B), ao substituir os valores, obtemos:
134 = x + 15 + x − 49
134 − 15 + 49 = 2x
2x = 168 ⇒ x = 84
Então, n(A) = 84 + 15 ⇒ n(A) = 99.
Portanto, o número de elemêntoselementos de A é 99.

23. Considerando U o conjunto universo, A o conjunto das pessoas quêque liam o jornáljornal A e B o conjunto das pessoas quêque liam o jornáljornal B, de acôr-doacordo com o enunciado, pode-se construir o diagrama a seguir:

Portanto, considerando cada situação do diagrama, pode-se afirmar quêque o número de pessoas consultadas foi: 80 + 20 + 130 + 110 = 340
Portanto, 340 pessoas.

24. Considerando U o conjunto universo, I o conjunto dos estudantes quêque cursam Inglês e E o conjunto dos quêque cursam Espanhol, de acôr-doacordo com o enunciado, pode-se construir o diagrama a seguir:

Pelo diagrama, tem-se:

a) Se 350 estudantes cursam Inglês e 90 deles também cursam Espanhol, então o número de estudantes quêque cursam apenas Inglês é:
350 − 90 = 260.
Portanto, 260 estudantes cursam apenas Inglês.

b) Se 210 estudantes cursam Espanhol e 90 deles cursam Inglês e Espanhol, então o número de estudantes quêque cursam apenas Espanhol é:
210 − 90 = 120.
Portanto, 120 estudantes cursam apenas Espanhol.

c) Se 260 estudantes cursam apenas Inglês, 120 apenas Espanhol e 90 cursam esses dois idiomas, então o número de estudantes quêque cursam Inglês ou Espanhol é:
260 + 90 + 120 = 470.
Portanto, 470 estudantes cursam Inglês ou EspanhoI.

d) Se a escola tem 630 estudantes, dos quais 470 cursam Inglês ou Espanhol, o número de estudantes quêque não cursam nenhum dos dois idiomas é: 630 − 470 = 160.
Portanto, 160 estudantes não cursam nenhum dos dois idiomas.

25. Sejam X o conjunto dos esportistas quêque jogam xadrez, V dos quêque jogam vôlei e T dos quêque jogam tênis. Pode-se criar um diagrama começando pelo valor da intersecção dos três conjuntos e, em seguida, adequando o diagrama conforme as informações do enunciado. Observar a seguir o diagrama:

a) Sejam x o número de pessoas quêque jogam apenas xadrez e t o número de pessoas quêque jogam apenas tênis. Do enunciado, temos: x + 9 + 11 + 11 = t + 7 + 11 + 11 x + 9 =
= t + 7, portanto t = x + 2. Como o total de esportistas é 99, temos:
40 + x + 11 + t = 99
40 + x + 11 + x + 2 = 99
2x + 53 = 99
2x = 46, portanto x = 23 e t = 25.
São 25 pessoas quêque jogam apenas tênis e 11 pessoas quêque jogam tênis e xadrez, mas não jogam vôlei. Logo:
25 + 11 = 36
36 esportistas jogam tênis, mas não jogam vôlei.

b) São 25 pessoas quêque jogam apenas tênis, 23 quêque jogam apenas xadrez e 11 quêque jogam xadrez e tênis, mas não jogam vôlei. Logo:
25 + 23 + 11 = 59
59 esportistas jogam xadrez ou tênis, mas não jogam vôlei.

c) São 13 pessoas quêque jogam apenas vôlei e 7 pessoas quêque jogam vôlei e tênis, mas não jogam xadrez. Logo:
13 + 7 = 20
20 esportistas jogam vôlei e não jogam xadrez.

26. a) Como os elemêntoselementos do conjunto A são números naturais menóresmenores do quêque 8, então: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) Como os elemêntoselementos do conjunto C são números inteiros não nulos menóresmenores do quêque 4 e maiores do quêque −3, então:
C = {−2, −1, 1, 2, 3}

27. Exemplo de resposta:

a) M = {x ∈ ℕ | 6 ≤ x ≤ 8}

b) T = {x ∈ ℤ | x ≤ −1}

28. Segundo o enunciado, o conjunto A é definido por A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7}. Logo:

a) 4 ∈ A

c) 8 ∈ A

e) 1 ∈ B

b) 5 ∉ A

d) 2 ∉ B

f) 10 ∉ A

29. a) Considerando quêque k é um número natural e quêque a lei é x = 2k, tem-se:
k = 0 ⇒ x = 0
k = 2 ⇒ x = 4
k = 1 ⇒ x = 2
Portanto, o conjunto é A = {0, 2, 4,...}.

b) Considerando quêque k é um número natural e quêque a lei é x = k², tem-se:
k = 0 ⇒ x = 0
k = 2 ⇒ x = 4
k = 1 ⇒ x = 1
k = 3 ⇒ x = 9
Portanto, o conjunto é B = {0, 1, 4, 9,...}.

30. Segundo o enunciado, os conjuntos A e B são definidos por:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,...} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Logo:
A ⋃ B = {2, 4, 6, 8, 10}
Portanto, n(A ⋃ B) = 5.

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31. Segundo o enunciado, o conjunto A é definido por A = {2, 3}. Já o conjunto B é definido pelas raízes da equação produto (x − 2)(x − 3) = 0. Pela equação, temos x − 2 = 0 ou x − 3 = 0. Logo, x = 2 ou x = 3. Portanto, B = {2, 3}.

32. De acôr-doacordo com as definições de número natural, número inteiro e número racional, pode-se afirmar quêque:

a) −7 ∉ ℕ, pois os números naturais assumem somente valores positivos.

b) 4 ∈ ℤ, pois 4 é um número natural e, consequentemente, também é inteiro.

c) $\frac{1}{2}$ ∉ ℤ, pois $\frac{1}{2}$ é uma fração e não um número inteiro.

d) 0,166... ∈ ℚ, pois 0,166... é uma dízima periódica cujo período é 6.

33. a) Fazendo x = 0,323232... e multiplicando ambos os membros por 100, obtém-se: 100x = 32,323232...
Subtraindo, membro a membro, as duas igualdades, temos:
100x − x = 32,323232... − 0,323232...
99x = 32 ⇒ x = $\frac{32}{99}$

b) Fazendo z = 2,715715... e multiplicando ambos os membros por 1.000, obtém-se:
1.000z = 2.715,715715...
Subtraindo, membro a membro, as duas igualdades, temos:
1.000z − z = 2.715,715715... −2,715715...
999z = 2.713 ⇒ z = $\frac{2713}{999}$

34. Considerando o enunciado, os conjuntos A e B são:

a) Divisores de 18: A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

b) Divisores de 30: B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

c) Divisores comuns de 18 e 30: C = A ⋂ B ⇒ C = {1, 2, 3, 6}

d) O mássimomáximo divisor comum entre 18 e 30 é 6.

35. Considerando o enunciado, os conjuntos A, B e C são: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...}, B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,...} e C = {0, 5, 10, 15,...}
Portanto:
A ⋃ C = {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...}
B − (A ⋃ C) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,...} − {0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,...} = {3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69,...}
Pode-se observar quêque o conjunto B − (A ⋃ C) é compôztocomposto por números múltiplos de 3 quêque não são pares nem múltiplos de 5. Como, pelo enunciado, são solicitados os 10 primeiros números, tem-se: 3, 9, 21, 27, 33, 39, 51, 57, 63, 69

36. Por tentativa e êrroerro, temos:
15² + 16² = 225 + 256 = 481.

37. a) −2x − 9x + 5 = 0
11x = 5 ⇒ x = $\frac{5}{11}$
Portanto, M = $\left\{\frac{5}{11}\right\}$ .

b) $\frac{1}{2}$ + a = 2 ⇒ a = $\frac{3}{2}$
Portanto, N = $\left\{\frac{3}{2}\right\}$.

c) Como (y − 1)(y + 2)(y − 3) = 0 é uma equação produto, então y − 1 = 0 ou y + 2 = 0 ou y − 3 = 0.
Logo, y = 1 ou y = −2 ou y = 3.
Portanto, P = {−2, 1, 3}.

d) Resolvendo a equação x² − 25 = 0 ⇒ (x + 5)(x − 5) = 0
Então, x + 5 = 0 ou x − 5 = 0.
Logo, x = −5 ou x = 5.
Como x é natural, então S = {5}.

38. Primeiro, vamos obtêrobter 7,363636... na forma de fração.
a = 7,363636...
100a = 736,363636...
100a − a = 736,363636... − 7,363636...
99a = 729
a = $\frac{729}{99}$ = $\frac{81}{11}$
Então, a razão $\frac{x}{y}$ pódepode sêrser representada por $\frac{81}{11}$ ou por qualquer fração equivalente:
$$\frac{x}{y}=\frac{81}{11}=\frac{162}{22}=\frac{243}{33}$$Se x = 162 e y = 22, então x dividido por y tem quociente 7 e réstoresto 8, o quêque respeita as condições do enunciado.
Portanto, x = 162, y = 22 e z = 7. Assim:
x + y + z = 162 + 22 + 8 = 192
Resposta: alternativa d.

39. Observando a ilustração, pode-se considerar quêque o número x é aproximadamente 1,6. Logo:
2x − 2 = 2 ⋅ 1,6 − 2 = 3,2 − 2 = 1,2 ≃ U.
Resposta: alternativa d.

40. Obtendo a fração geratriz da dízima 0,333..., tem-se:
x = 0,333...
10x = 3,333...
Subtraindo, membro a membro, as duas igualdades:
10x − x = 3,333... − 0,333...
9x = 3 ⇒ x = $\begin{array}{c}\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\end{array}$
Portanto:
$\begin{array}{c}\frac{6}{\mathrm{0,333}\dots }=\frac{6}{\frac{1}{3}}=6\cdot \frac{3}{1}\end{array}$ = 18
Resposta: alternativa c.

41. Para ordenar números racionais, pode-se encontrar uma fração equivalente, para cada um deles, com um mesmo denominador. Como o mmc(24, 3, 8) = 24, pode-se reescrever os números p = $\begin{array}{c}\frac{13}{24}\end{array}$ , q = $\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}$ e r = $\begin{array}{c}\frac{5}{8}\end{array}$ como frações equivalentes de mesmo denominador, no caso, 24.
Portanto, obtêm-se: p = $\begin{array}{c}\frac{13}{24}\end{array}$, q = $\begin{array}{c}\frac{16}{24}\end{array}$ e r = $\begin{array}{c}\frac{15}{24}\end{array}$
Logo, p < r < q.
Resposta: alternativa a.

42. a) 3x − 4x − 4 = 0 ⇒ x = −4
Como x é natural, então A = ∅.

b) x² − 7 = 0 ⇒ (x + $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ _ )(x − $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ _) = 0
Então, x + $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ _ = 0 ou x − $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ = 0.
Logo, x = − $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$ ou x = $\begin{array}{c}\sqrt[]{7}\end{array}$.
Portanto, B = $\begin{array}{c}\{-\sqrt[]{7},\sqrt[]{7}\}\end{array}$.

c) $\begin{array}{c}\frac{a}{4}\end{array}$ + 0,25a + $\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}$ a = 2
2a = 2 ⇒ a = 1
Portanto, C = {1}.

d) 3 + x² = 4 ⇒ x² − 1 = 0 ⇒
⇒ (x + 1)(x − 1) = 0
Então, x + 1 = 0 ou x − 1 = 0.
Logo, x = −1 ou x = 1.
Portanto, D = {−1, 1}.

Página trezentos e sessenta e quatro364

e) $\begin{array}{c}\frac{y}{3}\end{array}$ + y = $\begin{array}{c}\frac{1}{7}\end{array}$ ⇒ 4y = $\begin{array}{c}\frac{3}{7}\end{array}$ ⇒ y = $\begin{array}{c}\frac{3}{28}\end{array}$
Portanto, E = $\begin{array}{c}\left\{\frac{3}{28}\right\}\end{array}$.

f) x² − 4 = 0 ⇒ (x + 2)(x − 2) = 0
Então, x + 2 = 0 ou x − 2 = 0.
Logo, x = −2 ou x = 2.
Portanto, F = {−2, 2}.

43. Em cada item, deve-se substituir √ 3 pela aproximação 1,732.

a) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}+2}{2}\simeq \frac{\mathrm{1,732}+2}{2}=\frac{\mathrm{3,732}}{2}=\mathrm{1,866}\end{array}$
O valor da expressão é aproximadamente 1,866.

b) $\begin{array}{c}\frac{2\sqrt[]{3}-1}{4}\simeq \frac{2\cdot \mathrm{1,732}-1}{4}=\frac{\mathrm{3,464}-1}{4}=\frac{\mathrm{2,464}}{4}=\mathrm{0,616}\end{array}$
O valor da expressão é aproximadamente 0,616

44. Exemplo de resposta:

a) Como todo número irracional possui inverso, ao calcular o produto entre um irracional e seu respectivo inverso, obtém-se 1 como resultado. Como exemplo, pode-se considerar a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ e b = $\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt[]{2}}\end{array}$, assim a ⋅ b = 1, quêque não é um número irracional.

b) Como todo número irracional possui ôpôstooposto, ao calcular a soma entre um irracional e seu respectivo ôpôstooposto, obtém-se 0 como resultado. Como exemplo, pode-se considerar a = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ e b= $\begin{array}{c}-\sqrt[]{2}\end{array}$ , assim a + b = 0, quêque não é um número irracional.

45. Ao desenvolver o produto ( $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ + 1)( $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ − 1), obtém-se
$\begin{array}{c}(\sqrt[]{3}{)}^2\end{array}$ − 1² = 3 − 1 = 2, ou seja, é um número racional.
Agora, ao representar a dízima periódica 0,999... na forma de fração, tem-se:
x = 0,999...
10x = 9,999...
Subtraindo, membro a membro, as duas igualdades, temos:
10x − x = 9,999... − 0,999...
9x = 9 ⇒ x = $\begin{array}{c}\frac{9}{9}\end{array}$ ⇒ x = 1
Portanto, 0,999... é um número racional.
Assim, deve-se considerar quêque ambos os números são racionais.
Resposta: alternativa b.

46.

a) Como se deve considerar todos os números entre 6 e 10, inclusive ambos, a notação de conjunto ficará {x ∈ ℝ | 6 ≤ x ≤ 10}.

b) Como se deve considerar todos os números entre −1 e 5, desconsiderando o −1 e incluindo o 5, a notação de conjunto ficará {x ∈ ℝ | −1 < x ≤ 5}.

c) Como se deve considerar todos os números entre −6 e 0, sêndosendo ambos desconsiderados, a notação de conjunto ficará {x ∈ ℝ | −6 < x < 0}.

d) Como se deve considerar todos os números maiores do quêque 0, incluindo o próprio 0, a notação de conjunto ficará {x ∈ ℝ | x ≥ 0}.

e) Como se deve considerar todos os números menóresmenores do quêque 3, a notação de conjunto ficará {x ∈ ℝ | x < 3}.

47. Deve-se representar os intervalos na reta real, observando os extremos de cada intervalo.

a) Todos os números entre 2 e 8, sêndosendo ambos considerados.

b) Todos os números menóresmenores do quêque 2, considerando o número 2.

c) Todos os números entre −6 e −1, considerando o número

−6 e não considerando o −1.

d) Todos os números maiores do quêque 2, considerando o número 2.

e) Todos os números entre 2 e 5, sêndosendo ambos desconsiderados.

f) Todos os números entre −2 e 2, sêndosendo ambos considerados.

48. Nesta atividade, deve-se observar a reta real, principalmente os extremos, e verificar se esses pertencem, ou não, ao intervalo.

a) O intervalo representa os números compreendidos entre os extremos 2 e 4. Como as bó-linhasbolinhas estão cheias, ambos devem sêrser considerados. Portanto, o conjunto é {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 4}.

b) O intervalo representa os números maiores do quêque 1. Como a bó-linhabolinha está vazia, devemos desconsiderar esse extremo. Portanto, o conjunto é {x ∈ ℝ | x > 1}.

c) O intervalo representa os números compreendidos entre os extremos $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ e 5. Como as bó-linhasbolinhas estão vazias, ambos devem sêrser desconsiderados. Portanto, o conjunto é _ $\begin{array}{c}\{x\in R\mid \sqrt[]{2}\mathrm{‹x‹}5\}\end{array}$.

d) O intervalo representa os números menóresmenores do quêque $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$. Como a bó-linhabolinha está cheia, devemos considerar esse extremo. Portanto, o conjunto é $\begin{array}{c}\{x\in \mathbf{R}|x⩽\frac{1}{2}\}\end{array}$.

49. a) Considerando quêque o conjunto A é o intervalo aberto entre 0 e 3 e quêque o conjunto B é o intervalo aberto entre 1 e 5, a união entre eles será:

A ∪ B = {x ∈ ℝ | 0 < x < 5}

b) Considerando quêque o conjunto A é o intervalo aberto em −4

e fechado em 1 e quêque o conjunto B é o intervalo fechado entre 2 e 3, a união entre eles será:

A ∪ B = {x ∈ ℝ | −4 < x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3}

c) Considerando quêque o conjunto A é o intervalo aberto entre 2

e 5 e quêque o conjunto B é o intervalo aberto entre 1 e 4, a união entre eles será:

A ⋃ B = {x ∈ ℝ | 1 < x < 5}

Página trezentos e sessenta e cinco365

d) Considerando quêque o conjunto A é o intervalo fechado em −2 e aberto em 2 e quêque o conjunto B é o intervalo aberto com os números maiores do quêque 0, a união entre eles será:

A ⋃ B = {x ∈ ℝ | x ≥ −2}

50. Pelo enunciado, pode-se considerar quêque os conjuntos são representados da seguinte forma:
Conjunto A: intervalo fechado em −1 e aberto em 6;
conjunto B: intervalo aberto em −4 e fechado em 2;
conjunto E: intervalo aberto em −2 e 4.

a) (B ⋃ E) − A

(B ⋃ E) − A =]−4, −1[

b) E − (A ⋂ B)

E − (A ⋂ B) =]−2, −1[ ⋃] 2, 4[

51. Como ambos os números x e y são números decimais e estão entre 0 e 1, o produto de x por y está entre 0 e x, pois será um número estritamente menor do quêque x. Resposta: alternativa b.

Atividades complementares

1. Segundo o enunciado, como A ⋂ B = {f, g}, B ⋂ C = {b, f} e C ⋂ A = {e, f}, pode-se concluir quêque A ⋂ B ⋂ C = {f}. Com base nisso e considerando as informações do enunciado, pode-se construir o diagrama a seguir:

Assim, pode-se escrever os conjuntos:
A = {e, f, g, h, i}, B = {a, b, g, f} e C = {b, c, d, e, f}.
Resposta: alternativa c.

2. Segundo o enunciado, 10 alunos acertaram ambas as kestõesquestões, 25 alunos acertaram a primeira questão e 20 alunos acertaram a segunda questão. Assim, pode-se construir o seguinte diagrama:

Como a sala de aula possui 40 alunos, tem-se:
15 + 10 + 10 + x = 40
Ao resolver a equação, obtém-se x = 5.
Resposta: alternativa e.

3. Considerando x o número de pessoas com tipo sangüíneosanguíneo AB, de acôr-doacordo com o enunciado, podemos montar o seguinte diagrama:

Como foram coletadas amostras de sanguesangue de 200 pessoas, tem-se:
200 = 100 − x + x + 110 − x + 20
200 = 230 − x
x = 230 − 200 ⇒ x = 30
Assim, o número de pessoas com tipo sangüíneosanguíneo A é:
100 − x = 100 − 30 = 70
Portanto, 70 pessoas.
Resposta: alternativa c.

4. Sabe-se, pelo enunciado, quêque três candidatos concorreram a uma eleição e quêque os eleitores votaram em apenas dois candidatos. Assim, ao construir um diagrama representando essa situação, deve-se considerar quêque a intersecção entre os três conjuntos, A, B e C, deve sêrser representada por 0. Além díssudisso, também deve-se considerar nulos os espaços reservados para apenas um candidato, pois ninguém votou apenas em uma pessoa. Ver a seguir esse diagrama:

Assim, pode-se concluir quêque o candidato A recebeu 120 votos, o candidato B recebeu 180 votos e o candidato C recebeu 100 votos.
Portanto, o candidato B venceu com 180 votos.
Resposta: alternativa e.

Página trezentos e sessenta e seis366

5. $\begin{array}{c}1-(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\end{array}$
Resposta: alternativa a

6. Como $-\frac{17}{5}$ = −3,4, conclui-se quêque:
−4 < $-\frac{17}{5}$ < −3.
Portanto, o número $-\frac{17}{5}$ foi marcado entre −4 e −3.
Resposta: alternativa d.

7. Para definir o intervalo em quêque o número (pi)"π − $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ está localizado, pode-se obtêrobter valores aproximados, na forma decimal, para (pi)"π e para $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ Assim, (pi)"π ≃ 3,14 e $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ ≃ 1,41. Logo, 3,14 − 1,41 = 1,73.
Portanto, (pi)"π − $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ _ está localizado entre $\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}$ e 2.
Então, o valor (pi)"π − $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ está no intervalo $\begin{array}{c}]\frac{3}{2},2]\end{array}$.
Resposta: alternativa c.

8. I. Verdadeira, pois a e b são reais positivos, então:
a > b ⇒ $\begin{array}{c}\frac{a}{b}\end{array}$ > 1 ⇒ $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}}\end{array}$ >$\begin{array}{c}\sqrt[]{1}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}\sqrt[]{a}\end{array}$ > $\begin{array}{c}\sqrt[]{b}\end{array}$

II. Falsa, pois, para a = 4 e b = 9, temos: $\begin{array}{c}\sqrt[]{4}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\sqrt[]{9}\end{array}$ = 2 + 3 = 5

III. Falsa, pois, para a = $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}$ e b = $\begin{array}{c}\frac{1}{9}\end{array}$ , temos:$\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{1}{4}}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{1}{9}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$ + $\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{5}{6}\end{array}$

Logo, apenas a afirmação I está correta.
Resposta: alternativa a.

9. Para calcular a diferença A − B, deve-se representar os conjuntos A e B na reta numérica e, em seguida, construir um diagrama. Portanto, reescrevendo os conjuntos A e B na forma de intervalos, obtêm-se: A = [−4, 3] e B = [−2, 5[.

Representando-os no diagrama, obtém-se:

A diferença A − B, segundo o diagrama, é [−4, −2[, quêque pódepode sêrser escrita como {x ∈ ℝ | −4 ≤ x < −2}.
Resposta: alternativa a.

10. • Falsa. O número 3,14159265 é uma aproximação para o número irracional indicado pela letra grega (pi)"π. A representação correta seria 3,14159265... (com as reticências).
• Falsa. O conjunto dos números racionais e o dos irracionais não possuem nenhum ponto em comum.
• Verdadeira. Toda dízima periódica é um número racional, pois pódepode sêrser representada como uma fração.
Resposta: alternativa d.

11.

a) Falsa. A quantidade de habitantes de uma cidade é um número natural, pois está associada à contagem.

b) Falsa. A medida da altura de uma pessoa é um número racional, pois pódepode havêerhaver casas decimais.

c) Falsa. A velocidade média de um veículo é um número racional, porém pódepode sêrser positivo.

d) Verdadeira. O valor pago, em reais, é representado com casas decimais; logo, é um número racional positivo.

e) Falsa. A medida do lado de um triângulo pódepode sêrser um número irracional, porém necessariamente positivo.

Resposta: alternativa d.

Capítulo 2 • Noções de Estatística

Atividades

1. De acôr-doacordo com as informações do qüadroquadro, concluímos:

I. Falsa, pois o número de pessoas quilombolas em Arraias é 1.572, enquanto o número de pessoas em Mateiros é 1.190.

II. Falsa, pois o percentual de pessoas quilombolas em Aragominas é 15,67%, enquanto o percentual em São Félix do Tocantins é 38,25%.

III. Correta, pois o percentual de pessoas quilombolas em Mateiros é 43,30%.

Resposta: alternativa c.

2.

a) Os dados coletados são quantitativos, pois são resultados de uma medida.

b) Organizando os dados em ordem crescente, temos: 120; 131; 137; 144; 149; 151; 160; 163; 170; 172; 179; 181; 181; 187; 188; 189; 192; 193; 193; 199; 202; 205; 205; 210; 211; 217; 220; 226; 234; 239.

c) A amplitude total é calculada pela diferença entre o maior valor e o menor valor do rol. Dessa forma, fazemos 239 − 120 = 119. Portanto, a amplitude total é 119 km.

d) Com a amplitude total, podemos calcular a quantidade de intervalos de amplitude de 20 km: $\begin{array}{c}\frac{119}{20}\end{array}$ = 5,95
Logo, teremos 6 intervalos de amplitude de 20 km. Assim, os intervalos e suas respectivas freqüênciasfrequências absolutas serão:
[120; 140[: 120; 131; 137 (3 elementos)
[140; 160[: 144; 149; 151 (3 elementos)
[160; 180[: 160; 163; 170; 172; 179 (5 elementos)
[180; 200[: 181; 181; 187; 188; 189; 192; 193; 193; 199 (9 elementos)
[200; 220[: 202; 205; 205; 210; 211; 217 (6 elementos)
[220; 240[: 220; 226; 234; 239 (4 elementos)
Dessa forma, as freqüênciasfrequências relativas são calculadas da seguinte maneira:
[120; 140[: $\begin{array}{c}\frac{3}{30}\end{array}$ = 0,1 ⇒ 10%
[140; 160[: $\begin{array}{c}\frac{3}{30}\end{array}$ = 0,1 ⇒ 10%
[160; 180[: $\begin{array}{c}\frac{5}{30}\end{array}$ = 0,167 ⇒ 16,7%
[180; 200[: $\begin{array}{c}\frac{9}{30}\end{array}$ = 0,3 ⇒ 30%
[200; 220[: $\begin{array}{c}\frac{6}{30}\end{array}$ = 0,2 ⇒ 20%
[220; 240[: $\begin{array}{c}\frac{4}{30}\end{array}$ = 0,133 ⇒ 13,3%
Coletando todas as informações, construímos a tabélatabela de freqüênciafrequência:

Página trezentos e sessenta e sete367

e) De acôr-doacordo com a tabélatabela de freqüênciasfrequências, concluímos:

I. Falsa. Em apenas 10 dos 30 dias, o motorista rodou mais do quêque 200 km.

II. Falsa. O motorista rodou menos do quêque 180 km em 36,7% dos dias, pois: 10% + 10% + 16,7% = 36,7%

III. Verdadeira. O motorista rodou em 30% dos dias de 180 a 200 km e, em 20% dos dias, de 200 a 220 km.

Portanto, a afirmação verdadeira é III.

3. O menor comprimento de barra indica a categoria com o menor índice de imunização; nesse caso, apenas aproximadamente 40% dos adultos entre 20 e 29 anos estão imunizados. Resposta: alternativa d.

4. Observe quêque, para cada ano, para cada olimpíada, há 100 bó-linhasbolinhas. Portanto, cada bó-linhabolinha vale 1%.

a) Como há apenas 4 bó-linhasbolinhas amarelas, a porcentagem de mulheres quêque era esperada nas Olímpiadas de Paris, em 1924, foi 4%.

b) De acôr-doacordo com o gráfico, a porcentagem de homens nas Olimpíadas de 2016 era 55%, pois no gráfico há 55 bó-linhasbolinhas pretas.

c) O percentual de participação das mulheres nas Olimpíadas de Paris, em 2024, foi de 49,14%; portanto, próximo de 50%.

5. De acôr-doacordo com o gráfico observa-se quêque, de 2005 a 2009, o aumento do volume de vendas foi de 283,2 milhões, pois 519,2 − 236 = 283,2. Dessa forma, a razão entre 283,2 milhões de vendas e 236 milhões de vendas (número de vendas em 2005), expressa em porcentagem desejada:
$\frac{\mathrm{238,2}}{236}$ = 1,2 ⇒ aumento de 120%
Resposta: alternativa c.

6. De acôr-doacordo com o gráfico quêque ilustra a quantidade de cirurgias totais, sabemos quêque 45% das 800 cirurgias foram realizadas no fêmur. Assim, calculando 45% de 800, tem-se:
0,45 ⋅ 800 = 360
Ou seja, foram realizadas 360 cirurgias no fêmur.
Agora, observando o gráfico de cirurgias realizadas em homens, vemos quêque 40% das 440 cirurgias feitas em homens foram do fêmur, o quêque corresponde a 176 cirurgias, pois 0,40 ⋅ 440 = 176.
Logo, a quantidade de cirurgias do fêmur realizadas em mulheres é 184, pois 360 − 176 = 184.
Resposta: alternativa c.

7. O professor escolheu o gráfico de linha para analisar a variação do dólar, pois esse gráfico ilustra, por meio de uma linha, a variação temporal de fenômenos, quêque, nesse caso, permite observar quando o preêçopreço do dólar aumentou e quando diminuiu.

8. a) O gráfico de barras é o mais adequado, porque cada preêçopreço é representado por um comprimento de barra; nesse caso, comparamos os preços pêlospelos comprimentos das barras.

b)

9.

a) O êrroerro é quêque a soma dos percentuais resulta em 106%. Em um gráfico de setores, a soma das porcentagens de todos os setores deve resultar em 100%.

b)

10. Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes pesquisem informações quêque comprovem o quanto a participação das mulheres na vida pública evoluiu pouco, mesmo quêque elas representem a maioria entre os eleitores.

11. Resposta pessoal. Uma resposta possível é quêque, se toda a renda fosse distribuída igualmente entre os trabalhadores brasileiros, em dezembro de 2023, cada um receberia R$ 3.100,00.

12. Calculando a média salarial de cada setor, temos:

I: $\begin{array}{c}\frac{1550+1140+1140+1150}{4}\end{array}$ = 1.245

II: $\begin{array}{c}\frac{1100+1100+1520+1200}{4}\end{array}$ = 1.230

III: $\begin{array}{c}\frac{1050+1050+1600+2000}{4}\end{array}$ = 1.425

IV: $\begin{array}{c}1300+1\frac{160}{4}+1280+1280\end{array}$ = 1.255

V: $\begin{array}{c}\frac{1250+1300+1300+1150}{4}\end{array}$ = 1.250

Logo, o setor quêque apresenta a menor média salarial é o Setor II.

Resposta: alternativa b.

13. A média mensal das vendas do comércio de Cláudio pódepode sêrser calculada da seguinte forma:

$\frac{\begin{array}{c}\mathrm{8,6}+\mathrm{7,9}+\mathrm{9,1}+\mathrm{9,6}+\mathrm{8,1}+\mathrm{9,2}\end{array}}{2}$ = 8,75.
Logo, a média de vendas é 8,75 mil reais.
Resposta: alternativa c.

14. Utilizando as informações do gráfico de setores, calculamos as quantidades de alunos dessa escola quêque têm 15, 16 e 17 anos, respectivamente:
15 anos: 0,25 ⋅ 80 = 20 ⇒ 20 alunos
16 anos: 0,30 ⋅ 80 = 24 ⇒ 24 alunos
17 anos: 0,45 ⋅ 80 = 36 ⇒ 36 alunos
A média das idades dos 80 alunos dessa escola pódepode sêrser calculada pela seguinte média ponderada:
$\begin{array}{c}\frac{15\cdot 20+16\cdot 24+17\cdot 36}{80}\end{array}$ = 16,2
Resposta: alternativa d.

15. Colocando os dados em rol, temos:
154; 159; 160; 165; 169; 171; 174; 174; 174; 178; 179; 180; 180; 181; 185; 188; 195; 195
A mediana M_d é a média aritmética entre 174 e 178, pois há 18 dados:
M_d = $\begin{array}{c}\frac{174+178}{2}\end{array}$ = 176

Página trezentos e sessenta e oito368

A (Moda)moda M_o é a altura quêque mais se repete, ou seja, M_o = 174. Assim, a média aritmética x ̅ entre a (Moda)moda e a mediana é:
$\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{174+176}{2}\end{array}$ = 175
Logo, as afirmações I, III e IV são verdadeiras.
Resposta: alternativa c.

16. De acôr-doacordo com os dados do gráfico, podemos calcular a média x ̅ , a (Moda)moda M_o e a mediana M_o.
A média dos dados é ôbitídaobtida por meio da seguinte média ponderada:
$\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{1\cdot 10+2\cdot 10+3\cdot 55+4\cdot 25+4\cdot 25+6\cdot 50+7\cdot 10}{10+10+55+25+50+10}\end{array}$ = 4,15625
A (Moda)moda é M_o = 3, pois é o número de viagens quêque mais se repete.
A mediana M_d será a média aritmética dos 80º e 81º dados, pois ocorreram 160 viagens.
M_d = $\begin{array}{c}\frac{4+4}{2}\end{array}$ = 4
Logo, M_o < $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ < M_d.
Resposta: alternativa d.

17. I. Verdadeira, pois se não houvesse estudante com altura maior do quêque 1,68 m, a média seria inferior a esse valor. Raciocínio semelhante pódepode sêrser feito para o caso de havêerhaver um estudante com menos de 1,68 m de altura.

II. Falsa, pois os dados são insuficientes para afirmar com certeza quêque há mais de um estudante nas condições dadas.

18. A soma das áreas dos retângulos do histograma é:
5 ⋅ (6 + 8 + 11 + 15 + 24 + 14 + 10 + 7 + 5) = 500
Assim, cada uma das duas regiões terá 250 unidades de área (metade de 500). Além díssudisso, sabemos quêque a mediana M encontra-se no 5º intervalo, logo:
5 ⋅ 6 + 5 ⋅ 8 + 5 ⋅ 11 + 5 ⋅ 15 + (M − 165) ⋅ 24 = 250 ⇒ 200 + (M − 165) ⋅ 24 = 250 ⇒ M = $\begin{array}{c}\frac{50}{24}\end{array}$ + 165 ≃ 167,08
Portanto, a abscissa do ponto M é aproximadamente 167,08.

19. Calculando a média do estudante, tem-se:
$\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{1\cdot 3+1\cdot 6+1\cdot 5+1\cdot 7+2\cdot y}{1+1+1+1+2}\end{array}$ ⇒ 5 = $\begin{array}{c}\frac{21+2y}{6}\end{array}$ ⇒ y = 4,5
Portanto, a nota mínima para sêrser aprovado é 4,5.

20. Para quêque o gerente permaneça no cargo, a média deve sêrser de, no mínimo, 30 mil reais. Assim, calcula-se a média igualando-a a 30 mil.
$\begin{array}{c}\overline{x}=\frac{21+35+21+30+38+x}{6}\end{array}$
30 = $\begin{array}{c}\frac{21+35+21+30+38+x}{6}\end{array}$ ⇒ 145 + x = 180 ⇒ x = 35
Resposta: alternativa e.

21. Como os dados estão em um histograma, por convenção, tanto para o cálculo da média quanto da (Moda)moda consideramos os pontos médios de cada intervalo.

a) O tempo médio é calculado da seguinte forma:

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{142,5}\cdot 6+\mathrm{147,5}\cdot 10+\mathrm{152,5}\cdot 15+\mathrm{157,5}\cdot 4+\mathrm{162,5}\cdot 3+\mathrm{167,5}\cdot 1}{6+10+15+4+3+1}\end{array}$ = 151,3462
O tempo médio de espera foi de, aproximadamente, 151,3 minutos.

b) A (Moda)moda é calculada da seguinte forma:

$\begin{array}{c}\frac{150+155}{2}\end{array}$ = 152,5
Logo, a maioria das pessoas esperou 152,5 minutos na fila.

22. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Espera-se quêque os estudantes citem as kestõesquestões financeiras e o equilíbrio entre vida profissional e maternidade.

23.

a) Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque no mapa de 2022 as tonalidades de todas as regiões são mais escuras quêque no mapa de 2010, indicando quêque a idade mediana aumentou em todas as Unidades da Federação.

b) Não. Em todos os locais indicados a idade mediana aumentou

c) Aumentou 6 anos.

d) Resposta pessoal.

e) Resposta pessoal.

24. O tempo médio de cada atleta foi:

Atleta 1: $\frac{112+120+130+117+121}{5}$ = 120

Atleta 2: $\frac{115+124+122+120+119}{5}$ = 120

a) O desvio médio de cada atleta foi:

Atleta 1: d_m1 = $\frac{\left|112-120\right|+\left|120-120\right|+\left|130-120\right|+\left|117-120\right|+\left|121-120\right|}{5}$ = 4,4

Atleta 2: d_m2 = $\frac{\left|115-120\right|+\left|124-120\right|+\left|122-120\right|+\left|120-120\right|+\left|119-120\right|}{5}$ = 2,4

Página trezentos e sessenta e nove369

b) A variância e o desvio padrão do atleta 1 foram:

V_a1 = $\frac{\begin{array}{c}|112-120{|}^2+|120-120{|}^2+|130-120{|}^2+|117-120{|}^2+|121-120{|}^2\end{array}}{5}$ = 34,8
D_p1 = $\sqrt[]{\mathrm{34,8}}$ ≃ 5,9

A variância e o desvio padrão do atleta 2 foram:

V_a2 = $\frac{\begin{array}{c}|115-120{|}^2+|124-120{|}^2+|122-120{|}^2+|120-120{|}^2+|119-120{|}^2\end{array}}{5}$ = 9,2
D_p2 = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{9,2}}\end{array}$ ≃ 3,03

c) O atleta 2 teve uma perfórmanceperformance mais regular nas cinco corridas, porque tanto o desvio médio quanto o desvio padrão do atleta 2 foram inferiores aos desvios médio e padrão do atleta 1.

25. a) A amplitude de cada lâmpada foi:
Marca 1: A₁ = 48 − 28 = 20
Marca 2: A₂ = 49 − 26 = 23

Para calcular o desvio médio de tempo de duração de cada lâmpada, calculamos inicialmente as médias:

Marca 1: $\begin{array}{c}\frac{32+28+41+48+36}{5}\end{array}$ = 37

Marca 2: $\begin{array}{c}\frac{26+49+45+31+34}{5}\end{array}$ = 37

Assim, o desvio médio de cada marca foi:

Marca 1: d_m1 = $\begin{array}{c}\frac{|32-27|+|28-37|+|41-37|+|48-37|+|36-37|}{5}\end{array}$ = 6

Marca 2: d_m2 = $\begin{array}{c}\frac{|26-27|+|49-37|+|45-37|+|31-37|+|34-37|}{5}\end{array}$ = 8

Já a variância e o desvio padrão foram:

Marca 1: D_p1 =$\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{|32-27{|}^2+|28-37{|}^2+|41-37{|}^2+|48-37{|}^2+|36-37{|}^2}{5}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{48,8}}\end{array}$ ≃ 6,99

Marca 2: D_p2 = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\frac{|26-27{|}^2+|49-37{|}^2+|45-37{|}^2+|31-37{|}^2+|34-37{|}^2}{5}}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{\mathrm{74,8}}\end{array}$ ≃ 8,65

b) A marca 1 apresentou os melhores resultados, pois sua amplitude foi de 20 mil horas e seu desvio médio e seu desvio padrão foram inferiores à lâmpada da marca 2, o quêque indica quêque a distribuição dos tempos estimados de uso da lâmpada da marca 2 são mais próximos do tempo médio de duração de 37 mil horas.

26. Resposta pessoal. Um aluno pódepode preferir a empresa X, porque ela paga os maiores e os menóresmenores salários. Nesse caso, se ele seguir carreira dentro da empresa receberá salários maiores do quêque a empresa Z. Por outro lado, um aluno pódepode escolher a empresa Z, pois a chance de receber salário próximo de R$ 9.000,00 é maior do quêque na outra empresa.

27. Como a média de tempo das cinco equipes é a mesma, a equipe campeã é determinada pelo menor desvio padrão pois, isso indica quêque seus tempos foram os quêque mais se aproximaram do tempo médio de cada próvaprova. Dessa forma, a equipe campeã foi a equipe III.
Resposta: alternativa c.

28. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal. d) Resposta pessoal.

Depois quêque os estudantes fizerem os cálculos, é interessante quêquestionar sobre o que poderia acontecer com os dados se a altura do professor fosse acrescentada ao conjunto.

29. Resposta pessoal. Exemplo de problema: Ana e Maria fazem um curso de língua inglesa. Ao longo de um ano, elas realizaram quatro provas, cujas notas são apresentadas a seguir:

Determine a amplitude das notas de Ana e de Maria.
A amplitude é dada pela diferença entre a maior e a menor nota de cada uma. Assim:
Ana: 96 − 70 = 26
Maria: 98 − 65 = 33

Página trezentos e setenta370

30. a) Ao organizar os dados em um diagrama de ramos e fô-lhasfolhas, obtém-se:

b) Como o conjunto de dados tem número ímpar de elemêntoselementos a mediana é o termo central (22°), ou seja, 56.
A (Moda)moda é o elemento quêque mais se repete, nesse caso, 50.

c) Quem acertou 70 kestõesquestões ou mais, ou seja, 3 + 4 + 3 + 3 =
= 13 estudantes.
$\begin{array}{c}\frac{13}{43}\end{array}$ ≃ 0,3023 ⇒ aproximadamente 30,23%

d)

e) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes percêbampercebam quêque as duas representações são adequadas, dependendo da intenção de quem está fazendo o gráfico. O histograma permite visualizar de maneira mais imediata a freqüênciafrequência de cada intervalo, já o diagrama de ramo e fô-lhasfolhas preserva cada dado da amostra.

31. a) Observando o box-plot, é possível concluir quêque o mais novo tem 21 anos e o mais velho, 55 anos.

b) Sim. Resposta esperada: O terceiro quartil indica quêque 25%

dos dados estão acima dele, portanto 75% estão abaixo.

c) Há mais estudantes entre 46 e 55 anos. Resposta esperada:
É possível concluir isso, porque a linha do terceiro quartil até o valor mássimomáximo é maior do quêque a linha do primeiro quartil até o valor mínimo.

d) O número 37 indica quêque mêtádemetade dos estudantes tem idade abaixo de 37 anos; a outra mêtádemetade, acima de 37 anos.

32. Resposta pessoal. Exemplo de problema: qual é a amplitude do diagrama?
Como a amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor, tem-se: 77 − 40 = 34

33. Para elaborar o box-plot, inicialmente, organizam-se os dados em ordem crescente para identificação dos valores necessários.
37, 37, 38, 39, 39, 40, 44, 45, 45, 45, 47, 47, 48, 48, 48, 49, 50, 50, 50, 50, 53, 56, 58, 60, 61, 62, 63, 65, 70, 71, 72, 75
Como o conjunto tem 32 dados, a mediana é dada pela média aritmética dos termos centrais, ou seja, M_d $\begin{array}{c}\frac{49+50}{2}\end{array}$ = = 49,5.
O primeiro quartil é o termo central dos valores à esquerda da mediana, ou seja, Q₁ $\begin{array}{c}\frac{45+45}{2}\end{array}$ = 45.
O terceiro quartil é o termo central dos valores à direita da mediana, ou seja, Q₃ $\begin{array}{c}\frac{60+61}{2}\end{array}$ = 60,5.
Calculando os limites inferiores e superiores, tem-se: Limite inferior: Q₁ − 1,5(Q₃ − Q₁)= 45 − 1,5(60,5 − 45) =
= 45 − 23,25 = 21,75
Limite superior: Q₃ + 1,5(Q₃ − Q₁)= 60,5 + 1,5(60,5 − 45) =
= 60,5 + 23,25 = 83,75

Observar quêque tanto o valor mínimo da amostra (37) quanto o valor mássimomáximo (75) estão dentro dos limites inferior e superior, respectivamente.
Então, tem-se:

Com base nos valores do qüadroquadro, pode-se construir o seguinte box-plot:

Resposta pessoal. Exemplos de perguntas:

1. Qual é a média dos valores situados entre o primeiro e o terceiro quartil?
Os valores entre o primeiro e o terceiro quartil são:
47, 47, 48, 48, 48, 49, 50, 50, 50, 50, 53, 56, 58 e 60. Logo, a média será:
$\begin{array}{c}\frac{2\cdot 47+3\cdot 48+49+4\cdot 50+53+56+58+60}{14}\end{array}$ = 51

2. Qual é a amplitude da amostra?
A amplitude da amostra é a diferença entre o maior e o menor valor, ou seja:
75 − 37 = 38
A amplitude é de 38 kg.

Atividades complementares

1. Seja x a quantidade total de perfumes vendidos no mês de novembro. De acôr-doacordo com os gráficos, temos quêque a arrecadação em espécie pódepode sêrser calculada da seguinte maneira:
Perfume I: 0,13 ⋅ x ⋅ 200 = 26x
Perfume II: 0,10 ⋅ x ⋅ 170 = 17x
Perfume III: 0,16 ⋅ x ⋅ 150 = 24x
Perfume IV: 0,29 ⋅ x ⋅ 100 = 29x
Perfume V: 0,32 ⋅ x ⋅ 80 = 25,6x
Como x representa uma quantidade, o perfume quêque gerou mais arrecadação foi o perfume IV.
Resposta: alternativa d.

2. De acôr-doacordo com o gráfico, analisamos as informações.

a) Falsa, pois o Distrito Federal teve o maior decréscimo no período entre 2014 e 2017.

b) Falsa, pois Santa Catarina apresentou um número maior em 2017 do quêque em 2007.

c) Falsa, pois em 2017, a taxa do Brasil foi aproximadamente de 5 homicídios a cada 100 mil mulheres, enquanto a soma das taxas das três unidades federativas foi aproximadamente de 8 homicídios a cada 100 mil mulheres.

d) Falsa, pois o gráfico não mostra todos os estados da Região Sul do Brasil. Por isso, não é possível afirmar quêque a taxa de Santa Catarina superou as taxas dos demais estados dessa região.

e) Verdadeira.
Resposta: alternativa e.

Página trezentos e setenta e um371

3. Lembrando quêque a circunferência completa tem um ângulo de 360° e tendo em conta quêque o turno da manhã representa 40% da circunferência, a medida do ângulo (alfa)"α correspondente ao turno da manhã é:
(alfa)"α = 0,40 ⋅ 360° = 144°
Resposta: alternativa a.

4. Como a quantidade de estudantes é par, a nota mediana é dada pela média entre a 15ª e a 16ª maiores notas, ou seja, 6,0 e 8,0, respectivamente. Logo, a nota mediana é:
$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{6,0}+\mathrm{8,0}}{2}\end{array}$ = 7,0
Resposta: alternativa b.

5. Sejam y, z e w as três notas cuja média é 8,0 e x a nota quêque se repete. De acôr-doacordo com as informações do enunciado, temos:
$\begin{array}{c}\frac{y+z+w}{3}\end{array}$ = 7,0 ⇒ y + z + w = 21,0
Assim:
$\begin{array}{c}\frac{x+x+y+z+w}{5}\end{array}$ = 8,0 ⇒ 2x + y + z + w = 40,0 ⇒
⇒ 2x = 40,0 − 21,0 = 19,0 ⇒ x = 9,5
Resposta: alternativa b.

6. De acôr-doacordo com o gráfico de barras, podemos calcular a média mensal de mortes violentas na comunidade LGBTQIA+ da seguinte forma:
$\begin{array}{c}\frac{30+25+25+35+25+25+20+35+25+25+15+15}{12}\end{array}$ = 25
Assim, a média mensal foi de 25 mortes violentas no Brasil da comunidade LGBTQIA+ em 2021.

7. De acôr-doacordo com o gráfico, vemos quêque há cinco estudantes com massa corporal maior do quêque 80 kg. Destes cinco estudantes, apenas dois deles têm a medida de altura acima da média, quêque é 1,65 m. Logo:
$\begin{array}{c}\frac{2}{10}\end{array}$ = 0,20 ⇒ 20%
Ou seja, 20% dos estudantes têm as medidas de massa corporal e altura acima das médias.
Resposta: alternativa b.

8. a) A porcentagem p aproximada de alunos quêque tiraram nota menor ou igual a 7 foi:
p = $\begin{array}{c}\frac{3}{3+9+7+4}\end{array}$ ≃ 0,13 ⇒ 13%
A quantidade q de alunos quêque tiraram notas maiores do quêque 8 foi:
q = $\begin{array}{c}\frac{7+4}{3+9+7+4}\end{array}$ 253 = $\begin{array}{c}\frac{11}{23}\end{array}$ ⋅ 253 = 121
Logo, 121 alunos tiraram notas maiores quêque 8.

b) A média M das notas foi, aproximadamente:

M = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{6,5}\cdot 3+\mathrm{7,5}\cdot 9+\mathrm{8,5}\cdot 7+\mathrm{9,5}\cdot 4}{3+9+7+4}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{184,5}}{23}\end{array}$ ≃ 8,02
A nota mediana M_e das notas foi, aproximadamente:
3 + 9 ⋅ (M_e -7) = $\begin{array}{c}\frac{3+9+7+4}{2}\end{array}$ ⇒
⇒ 3 + 9M_e − 63 = $\begin{array}{c}\frac{23}{2}\end{array}$ ⇒
⇒ 9M_e = 71,5 ⇒
⇒ M_e ≃ 7,94

9. O atleta mais regular é aquele cujo desvio padrão é o menor entre todos. Nesse caso, o atleta mais regular é o atleta III.
Por outro lado, o atleta menos regular é aquele cujo desvio padrão é o maior entre todos. Assim, o atleta menos regular é o atleta II.
Logo, a primeira luta será entre os atletas II e III.
Resposta: alternativa c.

10. Estabelecendo a mediana e a (Moda)moda, tem-se:
M_d = $\frac{34+34}{2}$ = $\frac{68}{2}$ = 34
M_o = 33
34 + 33 = 67
Resposta: alternativa a

11. I. Verdadeira. Observando o primeiro box-plot, tem-se quêque o peso mediano estava acima de 89 kg.

II. Verdadeira. O terceiro quartil em 93 kg indica quêque 25% dos pacientes pesam 93 kg ou mais.

III. Falsa. O valor 84 kg está mais próximo do primeiro quartil, o quêque indica um total de aproximadamente 25% dos pacientes pesando menos do quêque 84 kg.

IV. Falsa. Como o primeiro e o terceiro quartis estão entre 83 kg e 87 kg, tem-se quêque isso corresponde a aproximadamente 50% dos pacientes.

Resposta: alternativa b.

Capítulo 3 • Introdução às funções e função afim

Atividades

1. a) O número de barras de chocolate é a variável independente, pois uma pessoa pódepode comprar quantas quiser. O preêçopreço a sêrser pago é a variável dependente, pois o valor final depende da quantidade de barras compradas.

b) O andar do apartamento em quêque uma pessoa mora é a variável independente, pois uma pessoa pódepode morar no andar quêque desejar. O tempo gasto para o elevador chegar ao apartamento é a variável dependente, pois o tempo dependerá do andar em quêque a pessoa mora.

2. O enunciado da atividade afirma quêque há uma relação entre as variáveis s e t e, como o objetivo da questão é descobrir qual é a relação algébrica entre essas variáveis, uma estratégia é substituir um valor de t nas relações e eliminar aquelas quêque apresentam uma resposta diferente da tabélatabela.
Assim, ao considerar t = 1, deve-se obtêrobter s = 0. A alternativa d apresenta uma resposta diferente, pois, ao resolver a equação s = t², considerando t = 1, obtém-se s = 1. Portanto, não pódepode sêrser essa alternativa.
Ao considerar t = 2, deve-se obtêrobter s = 3. Porém, as alternativas a e b apresentam respostas diferentes, pois, ao resolver a equação, s = 2t − 2, considerando t = 2, obtém-se s = 2, e, ao resolver a equação s = t − 1, obtém-se s = 1. Logo, ambas as alternativas, a e b, não estão corretas.
Portanto, por eliminação, resta a alternativa c.
Para conferir a resposta, pode-se substituir os valores de t e s na relação e verificar a resposta:
t = 1 ⇒ s = 1² − 1 = 0
t = 2 ⇒ s = 2² − 1 = 3
t = 3 ⇒ s = 3² − 1 = 8
t = 4 ⇒ s = 4² − 1 = 15
t = 5 ⇒ s = 5² − 1 = 24
Resposta: alternativa c.

3. Como o perímetro é a soma dos lados de um polígono, pode-se concluir quêque o perímetro do retângulo é P = 6x. A área do retângulo é o produto entre a base e a altura, portanto, A = x ⋅ 2x = 2x². A diagonal do retângulo equivale à hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos médemmedem x e 2x. Portanto, d = $\begin{array}{c}\sqrt[]{x^2+(2x{)}^2}\end{array}$ = $\begin{array}{c}x\sqrt[]{5}\end{array}$ é a medida da diagonal do retângulo.

Página trezentos e setenta e dois372

4. Considerando as informações fornecidas pelo enunciado, pode-se observar quêque:

Considerando o modelo anterior, pode-se concluir quêque a = 2 e b = 3 e a fórmula é y = 2x + 3.

5. Considerando quêque p representa o número de pães fabricados e t o tempo, em horas, quêque se leva para fabricar p pães, pode-se afirmar quêque:

a) p = 300t é a lei quêque representa essa relação.

b) Em 3 horas e 30 minutos, ou seja, t = 3,5, serão fabricados: p(3,5) = 300 ⋅ 3,5 = 1.050
Em 3 horas e 30 minutos serão fabricados 1.050 pães.

6. Pelo enunciado, tem-se A = {−2, −1, 0, 1}, portanto cada um de seus elemêntoselementos faz parte do domínio de f. Então, a imagem da função deve sêrser calculada com base em cada elemento do domínio de f.

a) f(x) = x³, então:
f(−2) = (−2)³ = −8
f(−1) = (−1)³ = −1
f(0) = 0³ = 0
f(1) = 1³ = 1
Portanto, Im(f) = {−8, −1, 0, 1}.

b) f(x) = −x + 3, então:
f(−2) = −(−2) + 3 = 5
f(−1) = −(−1) + 3 = 4
f(0) = −0 + 3 = 3
f(1) = −1 + 3 = 2
Portanto, Im(f) = {2, 3, 4, 5}.

c) f(x) = 1 − x², então:
f(−2) = 1 − (−2)² = −3
f(−1) = 1 − (−1)² = 0
f(0) = 1 − 0² = 1
f(1) = 1 − 1² = 0
Portanto, Im(f) = {−3, 0, 1}.

7. a) Observe quêque a imagem corresponde a cada elemento do domínio acrescido de duas unidades. Assim, uma possível lei de formação é y = x + 2 ou f(x) = x + 2.

b) Observe quêque a imagem corresponde a cada elemento do domínio elevado ao quadrado. Assim, uma possível lei de formação é y = x² ou h(x) = x².

8. Conforme informação do enunciado, o pintor cobra o valor fixo de 30 reais mais uma quantia quêque depende da área pintada. Com base nisso, pode-se organizar a seguinte tabélatabela:

• Falso. Pela tabélatabela, pode-se afirmar quêque o pintor cobra 30 reais mais 2 reais (e não 3 reais) pelo métrometro quadrado pintado.

• Verdadeiro. Como o pintor cobra 2 reais o métrometro quadrado pintado, para pintar uma área de 250 m², ele cobrará 500 reais. Acrescentando a taxa fixa de 30 reais, o valor final será de 530 reais.

• Falso. Seguindo o raciocínio anterior, para pintar uma área de 150 m², o pintor cobrará 300 reais. Acrescentando a taxa fixa, o valor final será de 330 reais. Portanto, mais do quêque 300 reais.

Resposta: alternativa c.

9. a) Como não há nenhuma restrição para valores quêque x pódepode assumir na função h(x) = 4x − 5, então o domínio será D(h) = ℝ.

b) A função j(x) = $\frac{3}{1+x}$ está definida para 1 + x ≠ 0. Portanto, x não pódepode assumir os valores −1. Logo, o domínio da função é D(j) = ℝ − {−1}.

c) A condição de existência da função z(x) = $\begin{array}{c}\sqrt[]{2x}\end{array}$ é 2x ≥ 0. Portanto, x não pódepode assumir valores menóresmenores do quêque 0. Logo, o domínio da função é D(z) = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}.

Página trezentos e setenta e três373

10. a) Ao observar a ilustração, pode-se perceber quêque a quantidade de palítospalitos é um número múltiplo de 3, quêque depende da quantidade de palítospalitos de cada lado. Portanto, pode-se preencher o qüadroquadro da seguinte maneira:

b) Como a quantidade de palítospalitos é o triplo do número de palítospalitos do lado do triângulo, logo f(x) = 3x ou y = 3x.

c) O domínio da função será os números naturais positivos, ou seja, D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. A imagem é composta por todos os números naturais múltiplos de 3 maiores do quêque 0, ou seja, Im(f) = {3, 6, 9, 12, 15, 18,...}.

d) Como a construção possui 45 palítospalitos, pode-se afirmar quêque y = 45. Portanto, precisa-se descobrir quantos palítospalitos há em cada lado, ou seja, o valor de x. Logo:
y = 3x ⇒ 45 = 3x ⇒ x = 15
Portanto, cada lado deve ter 15 palítospalitos.

11. Resposta pessoal. Ao elaborar um problema quêque envolva a construção de um quadrado com palítospalitos de fósforo, espera-se quêque o estudante chegue à relação y = 4x para contabilizar a quantidade total de palítospalitos (y) ou, caso se tenha a quantidade total de palítospalitos, encontre a quantidade de palítospalitos quêque cada lado possui (x).

12. Segundo enunciado, há uma relação entre a quantidade x de anúncios feitos por uma loja em um período de uma semana e a quantidade y de itens vendidos nesse mesmo período.
Essa relação é estabelecida pela função y = $\frac{3}{2}$ x + 80.
Considerando quêque a loja deve vender 200 itens, ou seja, y = 200, então, o número de anúncios deverá sêrser:
200 = $\frac{3}{2}$ x + 80 ⇒ 400 = 3x + 160 ⇒ x = 80
Assim, o gerente da loja deverá anunciar 80 vezes durante a semana para vender 200 itens.

13. Conforme a orientação dos eixos ordenados e os pontos localizados nesse sistema cartesiano, pode-se afirmar quêque as coordenadas dos pontos são: A(2, 2), B(0, 0), C(5, 0), D(0, 6), E(−3, 0), F(0, −2), G(−2, 4), H(−5, −5), I(5, −3) e J(−5, 1).

14. Como os pares ordenados representam o mesmo ponto, então pode-se afirmar quêque os valores das abscissas são iguais, assim como os valores das ordenadas. Logo:
2a − 3 = 5a − 1 ⇒ 2a − 5a = −1 + 3 ⇒ −3a = 2 ⇒ a = $\begin{array}{c}-\frac{2}{3}\end{array}$ b + 2 = 2b − 3 ⇒ b − 2b = −3 − 2 ⇒ b = 5

15. a) Como cada flecha possui um valor para a coordenada, pode-se localizar cada uma delas no plano cartesiano, conforme a imagem a seguir:

b) No círculo menor, Manoel acertou uma flecha (A).

c) Manoel fez 300 pontos referentes à flecha em A, 100 pontos referentes à flecha em B e mais 100 pontos (duas flechas de 50 pontos) referentes às flechas em C e em D. A flecha em E não rendeu pontos, pois está fora do alvo. Portanto, o total de pontos quêque Manoel conquistou ao lançar 5 flechas foi: 300 + 100 + 100 = 500, portanto 500 pontos.

16. O domínio do gráfico de uma função é representado pela projeção de todos os pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas, e a imagem é representada pela projeção de todos os pontos, dêêssedesse mesmo gráfico, sobre o eixo das ordenadas. Com base nisso, tem-se:

a) D(f) = {x ∈ ℝ | −2 ≤ x < 3} e Im(f) = {y ∈ ℝ | −2 ≤ y < 2}

b) D(f) = {x ∈ ℝ | −3 < x < 3} e Im(f) = {y ∈ ℝ | −1 ≤ y ≤ 3}

c) D(f) = {x ∈ ℝ | −3 ≤ x ≤ 4 e x ≠ 1} e Im(f) = {y ∈ ℝ | −2 < y ≤ 3}

d) D(f) = ℝ e Im(f) = ℝ

e) D(f) = ℝ e Im(f) = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}

f) D(f) = {x ∈ ℝ | x < 0} e Im(f) = {y ∈ ℝ | y > 0}

17. Para responder às perguntas, deve-se observar o gráfico.

a) A tempera-túratemperatura atinge 0°C no instante em quêque o gráfico corta o eixo das abscissas; portanto, às 2 h e às 8 h.

b) Os extremos do intervalo em quêque a tempera-túratemperatura varia se dá pelas tempera-túrastemperaturas mínima e mássimamáxima. Assim, a tempera-túratemperatura mínima é de −5°C e a mássimamáxima é de 13°C. Portanto, a tempera-túratemperatura varia de −5°C a 13°C.