CAPÍTULO
2
PROGRESSÕES

Os sona são dêzê-nhôsdesenhos feitos na areia e carregam histoóriashistórias de alguns povos africanos. Foram estudados por antropólogos e matemáticos quêque revelaram ao mundo essa ár-tearte repleta de tradição e conceitos matemáticos, como simetrias e sequências.

O matemático e pesquisador holan-dêssholandês Paulus Gerdes (1952-2014) estudou algumas manifestações matemáticas de povos tribais de regiões da África e da América LátínaLatina, em países como Angola e Peru. A motivassãomotivação do pesquisador para esse estudo se deu à medida quêque ele percebeu quêque os estudantes dos cursos em quêque ministrava aulas não compreendiam alguns conceitos quêque eram apresentados, pois não estavam familiarizados com a linguagem matemática utilizada. Ao entrar em contato com a cultura local dêêssesdesses estudantes, ele conheceu os sona, dêzê-nhôsdesenhos feitos na areia pêlospelos homens e pêlospelos chefes de um povo chamado tchokwe.

Esses dêzê-nhôsdesenhos representavam histoóriashistórias de caça, animais e sêresseres místicos importantes para as pessoas, além de objetos do cotidiano. No entanto, Gerdes reparou quêque havia muito mais do quêque apenas linhas e pontos no chão: cada lusona (singular de sona) exibia muitas propriedades matemáticas, principalmente aritméticas e geométricas. Com essa descoberta, Gerdes se aprofundou na cultura dos tchokwe e percebeu quêque os conceitos matemáticos eram usados de maneira intuitiva nesses dêzê-nhôsdesenhos, de modo quêque poderia utilizar os sona em suas aulas, pois eram mais próximos da realidade de seus estudantes.

Fonte dos dados: SANTOS, Dayene F. dos. Geometria africana: uma abordagem etnomatemática para o ensino de matemática. 2017. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, São Paulo, 2017. Disponível em: https://livro.pw/jvdwr. Acesso em: 12 ago. 2024.

• GEOMETRIA sona: técnicas matemáticas do continente africano | Mwana Afrika Oficina Cultural. [S. I.: s. n.], 2019. 1 vídeo (3 min). Publicado pelo canal Mwana Afrika. Disponível em: https://livro.pw/rkhpl. Acesso em: 12 ago. 2024.
Confira mais informações sobre as figuras sona, sua história e sua construção no vídeo sugerido.

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Observe quêque os sona a seguir estão em sequência e quêque cada elemento da sequência é desenhado seguindo uma mesma regra. A quantidade de pontos dêêssesdesses sona está relacionada com sua posição na sequência.

O 1º elemento tem uma linha com duas bó-linhasbolinhas; o 2º elemento tem duas linhas com três bó-linhasbolinhas em cada uma; o 3º elemento tem três linhas com quatro bó-linhasbolinhas em cada uma, e assim por diante.

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Introdução

Por volta de 1202, o matemático italiano Leonardo Fibonacci (c. 1170-c. 1250), também conhecido como Leonardo de Pisa, associou uma importante sequência numérica ao crescimento de uma população de coelhos. Embora já tivesse sido explorada na AntigüidadeAntiguidade, essa sequência ficou conhecida como sequência de Fibonacci.

Nela, os termos são obtídoobtidos pela seguinte regra: o primeiro número é 1, o segundo também é 1, e cada um dos demais termos da sequência é obtido pela adição dos dois termos quêque o antecedem, conforme mostrado a seguir.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Existe uma relação interessante entre essa sequência e a razão áurea, quêque resulta no número irracional φ = 1,618033…, conhecido como número de ouro.

À medida quêque aumentamos a quantidade de termos da sequência de Fibonacci, a razão entre um termo dessa sequência e o termo anterior a ele varia em torno de φ, aproximando-se cada vez mais dêêssedesse valor. Observe.

$\begin{array}{c}\frac{1}{1}\end{array}$ = 1 → $\begin{array}{c}\frac{2}{1}\end{array}$ = 2 → $\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}$ = 1,5 → $\begin{array}{c}\frac{5}{3}\end{array}$ = 1,666666… → $\begin{array}{c}\frac{8}{5}\end{array}$= 1,6 → $\begin{array}{c}\frac{13}{8}\end{array}$ = 1,625 → $\begin{array}{c}\frac{21}{13}\end{array}$ = 1,615384… → $\begin{array}{c}\frac{34}{21}\end{array}$ = 1,619047… → $\begin{array}{c}\frac{55}{34}\end{array}$ = 1,617647… → $\begin{array}{c}\frac{89}{55}\end{array}$ = 1,618181…

A forma espiral observada, por exemplo, na concha de um caramujo, no chifre de um carneiro ou na orelha de um sêrser humano também guarda relação com essa sequência, uma vez quêque se assemelha a uma espiral formada por “quartos” de circunferência, cujos raios crescem de maneira proporcional aos números da sequência de Fibonacci. Essa forma espiral, observada nos sêresseres vivos e na natureza, também é encontrada nas artes, na Arquitetura e em outras áreas do conhecimento.

Neste Capítulo, estudaremos o conceito de sequência numérica e conheceremos duas sequências com propriedades especiais: a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG).

Por volta de 1202, Fibonacci publicou a obra Liber abaci, quêque, além de expor processos algorítmicos e aritméticos, apresentava problemas muito intrigantes. Um dêêssesdesses desafios, conhecido como “o problema dos coelhos”, deu origem à sequência de Fibonacci e objetivava, basicamente, descobrir quantos pares de coelhos poderiam sêrser gerados em um ano a partir de um único casal de coelhos.

• O QUE é a sequência de Fibonacci e por quêpor que é chamada de "código secreto da natureza". [S. I.: s. n.], 2021. 1 vídeo (7 min). Publicado pelo canal BBC niusNews Brasil. Disponível em: https://livro.pw/feypg. Acesso em: 12 ago. 2024.
O vídeo trabalha a ideia de sequência ao apresentar a sequência de Fibonacci, explorada neste Capítulo.

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Sequências

Em nosso cotidiano, lidamos com diferentes situações quêque envolvem sequências. Por exemplo:

a) Os dias da semana: domingo, segunda-feira terça-feira, …, sábado.

b) Os meses do ano: janeiro, fevereiro, março, …, dezembro.

c) Os anos de ocorrência dos Jogos Olímpicos da Era Moderna: 1896, 1900, 1904, 1908, …, 2012, 2016, …

Cada elemento quêque compõe uma sequência é chamado de termo da sequência.

Cada termo de uma sequência pódepode sêrser representado por uma letra acompanhada de um índice, quêque informa a posição ou a ordem dêêssedesse termo na sequência. Por exemplo, considerando a sequência de Fibonacci, temos:

• a₁ = 1 é o primeiro termo ou o termo de ordem 1;

• a₂ = 1 é o segundo termo ou o termo de ordem 2;

• a₃ = 2 é o terceiro termo ou o termo de ordem 3;

• a₄ = 3 é o quarto termo ou o termo de ordem 4; e assim por diante.

pôdêmosPodemos representar genericamente uma sequência da seguinte maneira:

(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, …, a_{n − 1}, a_n, a_{n + 1}, …)

Nessa representação, utilizamos a_n para indicar o termo de ordem n e dizemos quêque a_n é o enésimo termo da sequência.

Sequências numéricas

Observe quêque é possível estabelecer sequências com informações numéricas ou não. Neste Capítulo, trataremos das sequências do primeiro tipo, chamadas sequências numéricas.

pôdêmosPodemos classificar esse tipo de sequência em relação à quantidade de elemêntoselementos quêque a compõem: uma sequência numérica pódepode sêrser finita ou infinita. Desse modo, podemos pensar nesses tipos de sequências da maneira a seguir.

• Uma sequência numérica finita de n termos, representada por (a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n), é uma função cujo domínio é o conjunto {1, 2, 3, 4, …, n} e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais, tal quêque f(1) = a₁, f(2) = a₂, f(3) = a₃, f(4) = a₄, …, f(n) = a_n.

Por exemplo, a sequência numérica (3, 5, 7, 9) é uma sequência finita, na qual a₁ = 3; a₂ = 5; a₃ = 7 e a₄ = 9.

• Uma sequência numérica infinita, representada por (a₁, a₂, a₃, a₄, …, a_n, …), é uma função cujo domínio é ℕ* = {1, 2, 3, 4, …, n, …} e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais, tal quêque f(1) = a₁, f(2) = a₂, f(3) = a₃, f(4) = a₄, …, f(n) = a_n, …

Por exemplo, a sequência dos números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, …) é uma sequência infinita, em quêque a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 5, a₄ = 7, a₅ = 9, …

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Determinação dos elemêntoselementos de uma sequência numérica

Algumas sequências numéricas podem sêrser determinadas por uma lei de formação, isto é, conhecendo os primeiros termos de uma sequência, podemos encontrar sua lei de formação e determinar seus elemêntoselementos. Vamos estudar duas maneiras de fazer isso: por recorrência e pelo termo geral.

Recorrência

Quando conhecemos o valor do termo inicial (ou de alguns dos termos iniciais), e a lei quêque permite calcular os termos seguintes depende dos termos anteriores, dizemos quêque a sequência está definida por recorrência.

Observe a sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, …). Aprendemos quêque o primeiro e o segundo termos dessa sequência são iguais a 1 e quêque, a partir do terceiro, os termos são obtidos com a adição dos dois termos imediatamente anteriores:

• a₁ = a₂ = 1

• a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2

• a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3

• a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5

• a₆ = a₅ + a₄ = 5 + 3 = 8

⋮ ⋮ ⋮

Dado um termo a_n qualquer da sequência, sêndosendo n ≥ 3, os dois termos anteriores podem sêrser expressos por a_{n − 1} e a_{n − 2}.

Assim, a sequência de Fibonacci pódepode sêrser ôbitídaobtida por meio da lei de recorrência:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=a_2=1\\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2^{\text{'}}}\end{array}\end{array}$ para n ≥ 3, com n ∈ ℕ*.

Por exemplo, podemos determinar o 7º termo dessa sequência substituindo n por 7 na lei de recorrência:

a₇ = a_{7 − 1} + a_{7 − 2} ⇒ a₇ = a₆ + a₅ ⇒ a₇ = 8 + 5 ⇒ a₇ = 13

Termo geral

Considere uma sequência dada pela função f: ℕ* → ℝ quêque associa, por meio de uma expressão matemática, cada número n ∈ ℕ* a um número a_n ∈ ℝ. Essa expressão é chamada de termo geral ou lei de formação da sequência.

Observe quêque a sequência dada pela função f: ℕ* → ℝ quêque associa cada número n ∈ D(f) ao seu triplo pódepode sêrser representada por (3, 6, 9, 12, …):

• para n = 1, a₁ = 3 ⋅ 1 = 3

• para n = 2, a₂ = 3 ⋅ 2 = 6

• para n = 3, a₃ = 3 ⋅ 3 = 9

• para n = 4, a₄ = 3 ⋅ 4 = 12

⋮ ⋮ ⋮

• para n ∈ ℕ*, a_n = 3 ⋅ n = 3n

Assim, cada termo dessa sequência com números múltiplos de 3 pódepode sêrser obtídoobtido por meio do termo geral: a_n = 3n

Por exemplo, podemos determinar o centésimo termo dessa sequência substituindo n por 100 no termo geral:

a_n = 3n ⇒ a₁₀₀ = 3 ⋅ 100 ⇒ a₁₀₀ = 300

Resposta pessoal. Os estudantes podem responder quêque, para determinar qualquer termo de uma sequência recursiva, utiliza-se uma fórmula quêque calcula um termo a partir do anterior imediato. Por exemplo, se a₁ = 5 e a_n = a_{n − 1} + 3, então a₂ = a₁ + 3 = 5 + 3 = 8. Na sequência por termo geral, cada termo é determinado em função da posição quêque ele ocupa na sequência. Por exemplo, se a_n = 2n + 1, então a₂ = 2 ⋅ 2 + 1 = 5.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

1. Os coelhos se reproduzem mais rapidamente do quêque a maioria dos mamíferos. Considere a seguinte situação quêque foi estudada por Fibonacci: um casal de coelhos pódepode reproduzir-se apenas depois do segundo mês de vida e, a partir daí, gerar um novo casal por mês. Começando com apenas um casal recém-nascido, quantos casais de coelhos existirão ao fim do:

a) quinto mês?

b) oitavo mês?

Resolução

Observe o esquema, quêque exemplifica a situação apresentada no problema.

a) Considere n o mês e a_n a quantidade de casais de coelhos existente no mês em questão.

• No primeiro mês (n = 1), o casal ainda é filhote; portanto, não se reproduz, ou seja, a₁ = 1.

• No segundo mês (n = 2), o casal se torna adulto, mas ainda não se reproduz; assim, a₂ = 1.

• No terceiro mês (n = 3), o casal se reproduz, gerando um novo casal, ou seja, a₃ = 2.

• No quarto mês (n = 4), o casal adulto gera outro casal de filhotes, e o casal de filhotes se torna adulto, ou seja, a₄ = 3.

• No quinto mês (n = 5), temos dois casais adultos, quêque gerarão filhotes, e um casal de filhotes, quêque se tornará adulto; assim, a₅ = 3 + 2 = 5.

Portanto, a quantidade de casais de coelhos no fim do quinto mês será 5.

b) Observa-se quêque a quantidade de casais de coelhos ao longo dos meses obedece à sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5… Portanto, para n ≥ 3, tem-se quêque a_n = a_{n − 1} + a_{n − 2}.

Substituindo n por 6, 7 e 8 na lei de recorrência a_n = a_{n − 1} + a_{n − 2}, temos:

n = 6 ⇒ a₆ = a_{6 − 1} + a_{6 − 2} ⇒ a₆ = 5 + 3 = 8

n = 7 ⇒ a₇ = a_{7 − 1} + a_{7 − 2} ⇒ a₇ = 8 + 5 = 13

n = 8 ⇒ a₈ = a_{8 − 1} + a_{8 − 2} ⇒ a₈ = 13 + 8 = 21

Portanto, a quantidade de casais de coelhos no fim do oitavo mês será 21.

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ATIVIDADES

1. Represente as sequências dadas pêlospelos termos gerais, com n ∈ ℕ*:

a) a_n = 3n − 1

(2, 5, 8, 11, …)

b) a_n = 2^{n − 1}

(1, 2, 4, 8, …)

c) a_n = 1 + (−1)ⁿ

(0, 2, 0, 2, …)

d) a_n = n² − 1

(0, 3, 8, 15, …)

2. Considere a_n = 3n + 1 o termo geral de uma sequência numérica.

a) Calcule o quinto e o oitavo termos dessa sequência.

a₅ = 16; a₈ = 25

b) Determine a ordem (posição) do termo igual a 49.

16ª

c) Verifique se 1.001 é um termo dessa sequência.

Não é.

3. Considerando quêque os números ímpares positivos podem sêrser determinados pela função f(n) = 2n − 1, com n ∈ ℕ*, responda ao quêque se pede.

a) Qual é o 100º número ímpar positivo?

199

b) O número 99 ocupa quêque posição nessa sequência?

50ª

c) Calcule: f(1) + f(7), f(2) + f(6) e f(3) + f(5). O quêque você pódepode observar? Explique.

Ver as Orientações para o professor.

4. Represente as sequências dadas pelas fórmulas de recorrência, com n ∈ ℕ*.

a) $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=3\\ a_n=2a_{n-1}-5,\mathrm{para\; n}\ge 2\end{array}\end{array}$

(3, 1, −3, −11, …)

b) $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=2\\ a_n={\left(a_{n-1}\right)}^2\end{array},\mathrm{}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}n\mathrm{}\ge \mathrm{}2\end{array}$

(2, 4, 16, 256, …)

c) $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=2\\ a_n=\frac{1}{a_{n-1}},\mathrm{para\; n}\ge 2\end{array}\end{array}$

$\left(2,\frac{1}{2},2,\frac{1}{2},\dots \right)$

d) $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1=0\\ a_n=\sqrt[]{a_{n-1}+1}\end{array},\mathrm{}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}n\mathrm{}\ge \mathrm{}2\end{array}$

(0, 1, $\begin{array}{c}\sqrt[]{2},\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}\end{array}$, …)

• Agora, dêz-crevadescreva, com suas palavras, a recorrência de cada item. Em seguida, troque as respostas com um colega. Vocês descreveram da mesma forma? Há ajustes a serem feitos nas descrições elaboradas por vocês?

Respostas pessoais.

5. (FGV-SP) Um agricultor planta macieiras em um terreno quadrado. Com o objetivo de proteger as ma-ssãnsmaçãs do vento, planta pinheiros ao redor da totalidade do pomar. O esquema abaixo mostra a colocação das macieiras e dos pinheiros para qualquer número n de fileiras de macieiras.

a) escrêevaEscreva duas fórmulas, ambas em termos de n, uma para calcular o número de macieiras e a outra para calcular o número de pinheiros.

n²; 8n

b) A partir de quêque valor de n, o número de macieiras se torna maior do quêque o número de pinheiros?

a partir de n = 9

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Progressão aritmética

A matriosca, ou boneca russa, é um brinquedo tradicional russo quêque consiste em um conjunto de bonécasbonecas cujos tamanhos diminuem gradativamente, de modo quêque uma boneca se encaixa dentro de outra. Considere, em centimetro, as medidas indicadas na matriosca a seguir.

Na ordem estabelecida, observando as medidas indicadas, percebemos quêque as alturas crescem 1,7 cm de uma boneca menor para a imediatamente maior.

pôdêmosPodemos indicar essas medidas como a sequência numérica (2,3; 4; 5,7; 7,4; 9,1). Como nessa sequência cada termo, a partir do segundo, é obtídoobtido pela soma do termo anterior com 1,7, essa sequência é um exemplo de progressão aritmética (PA).

pôdêmosPodemos classificar uma PA de acôr-doacordo com o valor da razão r:

• se r > 0, a PA é chamada de crescente;

• se r < 0, a PA é chamada de decrescente;

• se r = 0, a PA é chamada de constante.

Como a razão de uma progressão aritmética é a constante r quêque adicionamos a cada termo para obtêrobter o termo seguinte, podemos determiná-la, a partir do segundo termo, calculando a diferença entre cada termo e o anterior.

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Assim, dada uma PA genérica infinita (a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_{n + 1}, …), temos:

a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = a₅ − a₄ = … = a_{n + 1} − a_n = r

Vale ressaltar quêque o mesmo raciocínio vale para uma PA genérica finita (a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_{n + 1}).

Acompanhe alguns exemplos.

a) (2, 5, 8, 11, 14) é uma PA cuja razão é: r = 3, pois 14 − 11 = 11 − 8 = 8 − 5 = 5 − 2 = 3.

Portanto, essa PA é crescente.

b) $\left(\frac{8}{3},\frac{7}{3},2,\frac{5}{3},...\right)$ é uma PA cuja razão é: r = $\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\end{array}$, pois $\begin{array}{c}\frac{5}{3}\end{array}$ − 2 = 2 − $\begin{array}{c}\frac{7}{3}=\frac{7}{3}-\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}$.

Portanto, essa PA é decrescente.

c) ($\begin{array}{c}\sqrt[]{3},\sqrt[]{3},\sqrt[]{3},\sqrt[]{3}\end{array}$, ...) é uma PA cuja razão é: r = 0, pois $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}\end{array}$ = 0. Note também quêque, nesse caso, todos os termos são iguais.

Portanto, essa PA é constante.

Observe o exemplo da PA do item a. Se escrevermos a sequência ao contrário, isto é, (14, 11, 8, 5, 2), a razão será −3. Note, então, quêque as progressões aritméticas (2, 5, 8, 11, 14) e (14, 11, 8, 5, 2) não são as mesmas. Esse fato exemplifica uma característica importante das sequências: a ordem em quêque os elemêntoselementos são escritos determina a sequência.

Agora, considere a_{n − 1}, a_n e a_{n + 1} três termos consecutivos de uma PA. O termo central entre esses três é dado pela média aritmética dos outros dois termos.

De fato, podemos escrever a_n = a_{n − 1} + r I e a_n = a_{n + 1} − r II.

Adicionando, membro a membro, I e II, temos:

2a_n = a_{n − 1} + a_{n + 1} − r + r ⇒ 2a_n = a_{n − 1} + a_{n + 1} ⇒ a_n = $\begin{array}{c}\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\end{array}$

Acompanhe os exemplos.

• Na PA (2, 5, 8, 11, 14), temos:

a₂ = $\begin{array}{c}\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+8}{2}\end{array}$ = 5 e a₃ = $\begin{array}{c}\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{5+11}{2}\end{array}$ = 8

• Na PA (x, x − 2, x − 4, x − 6), temos:

a₂ = $\begin{array}{c}\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{x+x-4}{2}=\frac{2x-4}{2}\end{array}$ = x − 2 e

a₃ = $\begin{array}{c}\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{x-2+x-6}{2}=\frac{2x-8}{2}\end{array}$ = x − 4

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Termo geral de uma PA

Vamos considerar a representação genérica de uma progressão aritmética infinita, de razão r, dada por:

De acôr-doacordo com essa sequência, temos:

• a₂ = a₁ + 1 ⋅ r

• a₃ = a₂ + r = a₁ + r + r = a₁ + 2 ⋅ r

• a₄ = a₃ + r = a₁ + 2r + r = a₁ + 3 ⋅ r

Observe quêque há uma relação entre o índice do termo e o fator quêque multiplica a razão r da progressão:

• a₂ = a₁ + 1 ⋅ r = a₁ + (2 − 1) ⋅ r

• a₃ = a₁ + 2 ⋅ r = a₁ + (3 − 1) ⋅ r

• a₄ = a₁ + 3 ⋅ r = a₁ + (4 − 1) ⋅ r

Uma vez quêque essa relação também vale para uma PA genérica finita (a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_{n + 1}), é possível perceber quêque o enésimo termo de uma PA qualquer pódepode sêrser escrito como a soma do primeiro termo com o produto da razão r pelo fator (n − 1). Portanto:

a_n = a₁ + (n − 1)r

em quêque:

• a_n é o termo geral (ou enésimo termo);

• a₁ é o primeiro termo;

• n é a ordem do termo;

• r é a razão.

Essa expressão é conhecida como fórmula do termo geral da PA.

Em situações específicas quêque envolvem termos consecutivos de uma PA, é interessante recorrer a uma representação conveniente. Observe os exemplos.

• Três termos consecutivos: x − r, x, x + r

• Cinco termos consecutivos: x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r

Também é possível obtêrobter a fórmula conhecendo a PA. Por exemplo, vamos determinar a expressão do termo geral da PA (1, 4, 7, 10, …). Para isso, devemos obtêrobter a razão da PA:

r = a₂ − a₁ = 4 − 1 = 3

Então, a PA dada tem r = 3 e a₁ = 1.

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

a_n = a₁ + (n − 1)r ⇒ a_n = 1 + (n − 1) ⋅ 3 ⇒ a_n = 3n − 2

Portanto, o termo geral da PA (1, 4, 7, 10, …) é a_n = 3n − 2.

No exemplo, 3 é a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da PA.

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Soma dos termos de uma PA

Antes de apresentar a fórmula da soma dos termos de uma PA, conheça a seguinte propriedade.

Propriedade: A soma dos termos equidistantes dos extremos em uma PA é igual à soma dos extremos.

Por exemplo, considere a PA (6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).

• 6 e 34 são os termos extremos, cuja soma é 40;

• as duplas 10 e 30, 14 e 26, 18 e 22 são termos equidistantes dos extremos; a soma de cada dupla equidistante também é 40.

De modo geral, dada uma PA finita (a₁, a₂, a₃, …, a_n), adicionando os dois extremos, temos:

a₁ + a_n = a₁ + $\underset{a_n}{\underbrace{a_1+(n-1)\cdot r}}$ = 2a₁ + (n − 1) ⋅ r

Os termos a₂ e a_{n − 1} são equidistantes e adicionando-os, temos:

a₂ + a_{n − 1} = $\underset{a_2}{\underbrace{a_1+r}}$ + $\underset{a_{n-1}}{\underbrace{a_1+(n-2)\cdot r}}$ = 2a₁ + (n − 2 + 1) ⋅ r = 2a₁ + (n − 1) ⋅ r

Da mesma forma, os termos a₃ e a_{n − 2} são equidistantes, portanto:

a₃ + a _{n − 2} = $\underset{a_3}{\underbrace{a_1+2r}}$ + $\underset{a_{n-2}}{\underbrace{a_1+(n-3)\cdot r}}$ = 2a₁ + (n − 3 + 2) ⋅ r = 2a₁ + (n − 1) ⋅ r

Repare quêque as somas entre os termos equidistantes são iguais. Assim, generalizando, temos:

$\underset{\begin{array}{c}\mathrm{termos}\\ \mathrm{equidistantes}\\ \mathrm{dos\; extremos}\end{array}}{\underbrace{a_{p+1}+a_{n-p}}}$ = $\underset{a_{p+1}}{\underbrace{a_1+(p+1-1)\cdot r}}$ + $\underset{a_{n-p}}{\underbrace{a_1+(n-p-1)\cdot r}}$ = 2a₁ + (n − p − 1 + p) ⋅ r = 2a₁ + (n − 1) ⋅ r

Portanto: a₁ + a_n = a₂ + a_{n − 1} = a₃ + a_{n − 2} = … = a_{p + 1} + a_{n − p}

Utilizando essa propriedade, vamos demonstrar quêque a soma S_n dos n primeiros termos de uma PA (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) é S_n = $\begin{array}{c}\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\end{array}$.

Demonstração

Considere a PA finita (a₁, a₂, a₃, …, a_{n − 2}, a_{n − 1}, a_n) e S_n a soma dos termos dessa PA.

Como cada dupla de termos, a₂ e a_{n − 1}, a₃ e a_{n − 2}, e assim sucessivamente, é equidistante dos extremos, suas somas são iguais a (a₁ + a_n). Logo:

2S_n = $\underset{\mathrm{n\; parcelas}}{\underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)}}$

2S_n = (a₁ + a_n) ⋅ n ⇒ S_n = $\begin{array}{c}\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\end{array}$

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Progressão aritmética e função afim

Vamos estudar, agora, como uma progressão aritmética pódepode sêrser relacionada a uma função afim.

Considere a situação da matriosca apresentada anteriormente.

Observamos quêque as medidas das alturas das bonécasbonecas formam a PA (2,3; 4; 5,7; 7,4; 9,1), em quêque a₁ = 2,3 e r = 1,7.

Desse modo, o termo geral da sequência é dado por:

a_n = a₁ + (n − 1)r ⇒ a_n = 2,3 + (n − 1) ⋅ 1,7 ⇒ a_n = 2,3 + 1,7n − 1,7 ⇒ a_n = 1,7n + 0,6

Considerando a função f: {1, 2, 3, 4, 5} → ℝ, tal quêque f(n) = 1,7n + 0,6, tem-se f(n) = a_n. Sendo assim, f associa a cada número natural n do domínio o valor a_n do contradomínio.

• f(1) = 1,7 ⋅ 1 + 0,6 = 2,3 = a₁

• f(2) = 1,7 ⋅ 2 + 0,6 = 4 = a₂

• f(3) = 1,7 ⋅ 3 + 0,6 = 5,7 = a₃

• f(4) = 1,7 ⋅ 4 + 0,6 = 7,4 = a₄

• f(5) = 1,7 ⋅ 5 + 0,6 = 9,1 = a₅

Portanto, a PA pódepode sêrser representada pelo gráfico da função f. Como f é uma função cujo domínio é {1, 2, 3, 4, 5}, seu gráfico será dado por pontos pertencentes ao gráfico da função afim definida por y = 1,7x + 0,6.

De modo geral, dada a PA (a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_{n + 1}, …), de razão r e termo geral a_n = a₁ + (n − 1)r, associada à função f: ℕ* → ℝ, tal quêque f(n) = a₁ + (n − 1)r, a PA pódepode sêrser representada graficamente pêlospelos pontos colineares (1, a₁), (2, a₂), (3, a₃), …, (n, a_n), (n + 1, a_n + 1), …, pertencentes ao gráfico da função afim dada por y = a₁ + (x − 1)r.

Em particular, dada a PA constante (d, d, d, d, …), a função associada pódepode sêrser escrita como f: ℕ* → ℝ, tal quêque f(n) = d + (n − 1)r. Como a razão é zero, então f(n) = d. Nesse caso, a PA é representada pêlospelos pontos colineares (1, d), (2, d), (3, d), …, (n, d), (n + 1, d), …, pertencentes a uma mesma reta paralela ao eixo horizontal.

Aplicando-se a propriedade distributiva, tem-se y = a₁ + rx − r = rx + a₁ − r. Como r e a₁ − r são valores reais constantes, adotando-se r = a e a₁ − r = b, obtém-se y = ax + b, em quêque a e b são valores reais constantes.

Ver as Orientações para o professor.

Página cinquenta e seis56

ATIVIDADES RESOLVIDAS

2. Verifique se as sequências dadas a seguir são progressões aritméticas (PAs) e, em caso afirmativo, determine a razão de cada uma.

a) (3, 7, 11, 15, 19)

b) $\left(\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{6},...\right)$

c) $\left(6,\frac{11}{2},5,\frac{9}{2},...\right)$

Resolução

Em uma PA, a diferença entre cada termo, a partir do segundo, e o anterior é constante (razão). Assim, para verificar se uma sequência é uma PA, devemos ter:

a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = … = a_{n + 1} − a_n = r

a) a₂ − a₁ = 7 − 3 = 4

a₃ − a₂ = 11 − 7 = 4

a₄ − a₃ = 15 − 11 = 4

a₅ − a₄ = 19 − 15 = 4

Portanto, a sequência é uma PA de razão 4.

b) a₂ − a₁ = $\frac{\pi }{2}$ − (pi)"π = $\frac{\pi -2\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$

a₃ − a₂ = $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi -2\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$

Como $-\frac{\pi }{2}\ne -\frac{\pi }{4}$, a sequência não é uma PA.

c) a₂ − a₁ = $\frac{11}{2}$ − 6 = $\frac{11-12}{2}=-\frac{1}{2}$

a₃ − a₂ = 5 − $\frac{11}{2}=\frac{10-11}{2}=-\frac{1}{2}$

a₄ − a₃ = $\frac{9}{2}$ − 5 = $\frac{9-10}{2}=-\frac{1}{2}$

Portanto, a sequência é uma PA de razão $-\frac{1}{2}$.

3. Verifique se a sequência representada pelo termo geral a_n = 5n − 2, com n ∈ ℕ*, é uma progressão aritmética.

Resolução

Para quêque a sequência seja uma progressão aritmética, a diferença entre a_{n + 1} e a_n deve sêrser igual a uma constante. Vamos calcular a_{n + 1} − a_n.

a_{n + 1} − a_n = [5 ⋅ (n + 1) − 2] − (5n − 2) = 5n + 5 − 2 − 5n + 2 = 5

Como a diferença 5 é uma constante, a sequência a_n = 5n − 2 é uma progressão aritmética.

4. As medidas dos lados de um triângulo são indicadas, em centimetro, pelas expressões 4x − 1,3x + 3 e x² + 4 e formam uma PA, nessa ordem. Calcule o perímetro dêêssedesse triângulo.

Resolução

PA (4x − 1; 3x + 3; x² + 4)

Para calcular o perímetro, devemos determinar o valor de x e, para isso, podemos aplicar a propriedade do termo central de três termos consecutivos de uma PA. Assim:

a_n = $\begin{array}{c}\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\end{array}$

(3x + 3) = $\begin{array}{c}\frac{(4x-1)+(x^2+4)}{2}\end{array}$

6x + 6 = 4x − 1 + x² + 4

−x² + 2x + 3 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos x(minutos)"′ = −1 ou x(segundos)"″ = 3.

Substituindo x = −1 na expressão 4x − 1, tem-se 4(−1) − 1 = −5. Portanto, x = −1 não convém, pois todos os lados do triângulo devem ter medida com valor positivo.

Substituindo x = 3 nas expressões quêque representam as medidas dos lados, temos:

4x − 1 = 4 ⋅ 3 − 1 = 12 − 1 = 11

3x + 3 = 3 ⋅ 3 + 3 = 9 + 3 = 12

x² + 4 = 3² + 4 = 9 + 4 = 13

Adicionando, agora, as medidas dos lados, temos:

11 + 12 + 13 = 36

Portanto, o perímetro do triângulo é 36 cm.

5. Calcule o 4º termo da PA em quêque a₁₀ = 130 e a₁₉ = 220.

Resolução

Vamos escrever esses termos em função de a₁ e r.

Se a₁₀ = 130, então a₁ + 9r = 130.

Se a₁₉ = 220, então a₁ + 18r = 220.

Agora, vamos resolver o sistema de equações:

Se r = 10, temos:

a₁ + 9 ⋅ 10 = 130 ⇒ a₁ = 130 − 90 ⇒ a₁ = 40

Determinados a₁ = 40 e r = 10, agora é possível calcular o 4º termo da PA:

a₄ = a₁ + 3r ⇒ a₄ = 40 + 3 ⋅ 10 ⇒ a₄ = 70

Logo, o 4º termo dessa PA é 70.

Página cinquenta e sete57

6. Uma avenida tem 4.000 m de extensão e vai receber, em seu canteiro central, o plantio de palmeiras imperiais. A distância entre as mudas deve sêrser de 15 m, e a primeira planta vai ficar a 10 m do início da avenida. Quantas palmeiras devem sêrser plantadas?

Resolução

Como a distância entre as palmeiras é sempre a mesma, os números quêque as localizam vão formárformar uma PA.

Nessa PA, temos: a₁ = 10, a_n = 4.000 e r = 15.

Substituindo os valores no termo geral, obtemos:

a_n = a₁ + (n − 1)r ⇒ 4.000 = 10 + (n − 1) ⋅ 15 ⇒ ⇒ 4.000 = 10 + 15n − 15 ⇒ 15n = 4.005 ⇒ ⇒ n = 267

Assim, serão plantadas 267 palmeiras ao longo da avenida.

7. Três números estão em PA, de tal modo quêque a soma deles é 18 e o produto é 66. Calcule esses números.

Resolução

Vamos indicar a PA (a₁, a₂, a₃) como (x − r, x, x + r). pôdêmosPodemos formárformar o sistema com duas variáveis (x e r):

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}(x-r)+x+(x+r)=18\\ (x-r)\cdot x\cdot (x+r)=66\end{array}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}3x=18\\ x\cdot (x^2-r^2)=66\end{array}\end{array}$

Resolvendo o sistema, temos: 3x = 18 ⇒ x = 6

Substituindo x = 6 na 2ª equação, temos:

x ⋅ (x² − r²) = 66 ⇒ 6 ⋅ (36 − r²) = 66 ⇒ 36 − r² = 11 ⇒ r² = 25 ⇒ r = ±5

Para r = 5, temos:

• 1º termo = 6 − 5 = 1

• 2º termo = 6

• 3º termo = 6 + 5 = 11

Para r = −5, temos:

• 1º termo = 6 − (−5) = 11

• 2º termo = 6

• 3º termo = 6 + (−5) = 1

Assim, os números pedidos são 1, 6 e 11.

8. (UFRGS-RS) Considere o padrão de construção quêque fez uso de discos, conforme as figuras representadas nas etapas 1, 2 e 3, abaixo.

Na etapa 200, serão usados n discos. Seguindo esse padrão de construção, n é igual a

a) 783.

b) 792.

c) 801.

d) 810.

e) 819.

Resolução

Considerando a quantidade de discos em cada etapa, obtemos a sequência (5, 9, 13, …).

Essa sequência é uma PA em quêque a₁ = 5, e a razão é r = 4.

Portanto, o termo geral a_p, quêque representa a quantidade de discos na etapa p, é dado por:

a_p = a₁ + (p − 1)r ⇒ a_p = 5 + (p − 1)4 ⇒ a_p = 5 + 4p − 4 ⇒ a_p = 4p + 1

Desse modo, para saber quantos discos serão colocados na etapa 200, basta calcular a₂₀₀.

a₂₀₀ = 4 ⋅ 200 + 1 = 801

Portanto, n = 801.

Assim, a resposta correta é a alternativa c.

9. (USCS-SP) Um laboratório quêque foi credenciado para produzir certa vacínavacina irá produzir 80.000 unidades no primeiro mês e, a cada mês, aumentará essa quantidade em 20.000 unidades. Mantidas essas condições, em um ano e meio de produção ininterrupta esse laboratório terá produzido uma quantidade total de vacinas, em milhões de unidades, igual a

a) 5,0.

b) 5,5.

c) 6,0.

d) 4,5.

e) 4,0.

Resolução

A quantidade de vacinas produzidas a cada mês pódepode sêrser representada pela PA:

(80.000, 100.000, 120.000, …).

Nessa PA, a₁ = 80.000 e r = 20.000.

A quantidade de vacinas produzidas no 18º mês, ou seja, um ano e meio após o início da produção, será de:

a₁₈ = a₁ ⋅ 17r ⇒ a₁₈ = 80.000 + 17 ⋅ 20.000 ⇒ a₁₈ = 420.000

Em um ano e meio, ou seja, em 18 meses, a quantidade total de vacinas produzidas será igual a:

S₁₈ = $\frac{(80000+420000)\cdot 18}{2}$ = 500.000 ⋅ 9 = 4.500.000

Portanto, em um ano e meio, o laboratório terá produzido 4.500.000 vacinas, ou seja, 4,5 milhões de vacinas.

Logo, a resposta correta é a alternativa d.

Página cinquenta e oito58

ATIVIDADES

6. Verifique se cada sequência dada a seguir é uma PA. Se sim, determine a razão.

a) (25, 5, 1, 5, …)

não

b) (−17, −17, −17, −17, −17)

sim, r = 0

c) (36, 30, 24, 18, …)

sim, r = −6

d) (10, 13, 16, 20, 24)

não

e) (2, 9, 16, 23, 30, …)

sim, r = 7

7. escrêevaEscreva uma PA:

a) de 5 termos, em quêque o primeiro termo (a₁) seja 10, e a razão (r) seja 3.

(10, 13, 16, 19, 22)

b) de 6 termos, em quêque a₁ = −3 e r = 5.

(−3, 2, 7, 12, 17, 22)

c) de 4 termos, em quêque a₁ = a + 2 e r = a.

(a + 2, 2a + 2, 3a + 2, 4a + 2)

8. Verifique se as sequências representadas pelo termo geral indicado em cada caso são progressões aritméticas, com n ∈ ℕ*.

a) a_n = 3n − 1

É uma PA de razão 3.

b) a_n = n²

Não é uma PA.

Página cinquenta e nove59

9. (UEA-AM) Na progressão aritmética (a, 11, b, c, 20), os valores de a e c correspondem, respectivamente, às medidas, em centimetros, de um cateto e da hipotenusa de um triângulo retângulo. O valor do outro cateto dêêssedesse triângulo é igual a

a) 9 cm.

b) 17 cm.

c) 5 cm.

d) 15 cm.

e) 12 cm.

alternativa d

10. Qual é o vigésimo termo da progressão aritmética (−8, −3, 2, 7, …)?

87

11. Em uma PA de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

9ª

12. Determine o termo geral da PA (2, 7, …).

a_n = 5n − 3

13. Determine o sexagésimo número natural ímpar.

119

14. Quantos termos tem a PA (5, 10, …, 785)?

157 termos

15. Em cada item, dados os dois primeiros termos de uma progressão aritmética, determine o valor do termo especificado.

a) Se a₁ = 6,5 e a₂ = 7,0, calcule a₁₅.

a₁₅ = 13,5

b) Se a₁ = 3 + $\sqrt[]{5}$ e a₂ = 4, calcule a₂₀.

15. b) a₂₀ = 22 − 18$\sqrt[]{5}$

c) Se a₁ = 1 + (pi)"π e a₂ = −1 + 2(pi)"π, calcule a₁₀.

15. c) a₁₀ = −17 + 10(pi)"π

• Elabore um item parecido com os itens anteriores utilizando números fracionários. Troque o item criado por você com um colega para quêque um resôuvaresolva o item elaborado pelo outro. Em seguida, verifiquem as resoluções e as estratégias utilizadas por cada um.

Resposta pessoal.

16. Em um triângulo, as medidas dos ângulos internos estão em PA, e o menor dos ângulos médemede 40°. Calcule as medidas dos outros dois ângulos do triângulo.

60° e 80°

17. Em uma progressão aritmética, o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20. Calcule o primeiro termo e a razão dessa progressão.

a₁ = 2; r = 2

18. (UFSM-RS)

Desejando-se formárformar 100 triângulos com palítospalitos de fósforo dispostos conforme a figura, quantos palítospalitos serão necessários?

201 palítospalitos

19. Determine a PA em quêque: $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1+3a_2=5\\ 4a_3-2a_6=-8\end{array}\end{array}$

(−1, 2, 5, …)

20. Determine cinco números em PA crescente, sabendo quêque o produto a₁ ⋅ a₅ é igual a 28 e quêque a soma dos outros três termos é 24.

(2, 5, 8, 11, 14)

21. Considerando a PA (4, 7, 10, 13, 16, …), responda:

a) Qual é a lei da função afim associada a essa PA?

f(x) = 3x + 1

b) Qual é o domínio e qual é a imagem dessa função?

D(f) = ℕ^*; Im(f) = {4, 7, 10, 13, 16, …}

22. (Unicamp-SP) A Anatel determina quêque as emissoras de rádio FM utilizem as freqüênciasfrequências de 87,9 a 107,9 MHz e quêque haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com freqüênciasfrequências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqüênciafrequência, é associado um canal, quêque é um número natural quêque começa em 200. Desta forma, à emissora cuja freqüênciafrequência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à seguinte, cuja freqüênciafrequência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se:

a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma região), respeitando-se o intervalo de freqüênciasfrequências permitido pela Anatel? Qual o número do canal com maior freqüênciafrequência?

101; 300

b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a freqüênciafrequência do canal 285, supondo quêque todas as freqüênciasfrequências possíveis são utilizadas?

104,9 MHz

23. (UEA-AM) As alturas de cinco livros formam uma progressão aritmética de razão 2. Se a soma de todas as alturas é 110 cm, a altura do menor livro é

a) 20 cm.

b) 22 cm.

c) 24 cm.

d) 18 cm.

e) 16 cm.

alternativa d

24. (Fuvest-SP) Joana comprou um celular e dividiu o pagamento em 24 parcelas mensais quêque formam uma progressão aritmética crescente. As três primeiras parcelas foram de R$ 120,00, R$ 126,00 e R$ 132,00. Sabendo quêque, ao final, constatou-se quêque Joana não pagou a 19ª parcela, o valor pago por ela foi:

a) R$ 3.954,00

b) R$ 4.026,00

c) R$ 4.200,00

d) R$ 4.308,00

e) R$ 4.382,00

alternativa d

Página sessenta60

Progressão geométrica

O gerente de um mercado rêzouvêoresolveu organizar as caixas de um produto no formato de pirâmide com 6 patamares, obedecendo a determinado critério. O primeiro patamar (o mais alto) continha 4 caixas, e os demais, o dôbrodobro de caixas do patamar anterior. Observe a seguir a quantidade de caixas nos patamares formados.

pôdêmosPodemos indicar a quantidade de caixas de um patamar de acôr-doacordo com a ordem de cada um dos patamares. Assim, essa situação pódepode sêrser representada pela sequência numérica (3, 6, 12, 24, 48, 96). Note quêque, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por 2:

Essa sequência é um exemplo de progressão geométrica (PG).

Representando uma PG pela sequência (a₁, a₂, a₃, …, a_{n – 1}, a_n, a_{n + 1}, …) e aplicando a definição, temos:

$$\begin{array}{c}{a}_2=a_1\cdot q\Rightarrow \frac{a_2}{a_1}=q\\ a_3=a_2\cdot q\Rightarrow \frac{a_3}{a_2}=q\\ ⋮\\ a_n=a_{n-1}\cdot q\Rightarrow \frac{a_n}{a_{n-1}}=q\end{array}\}\Rightarrow \frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\dots =\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$$

Portanto, em uma PG qualquer, a razão q é igual ao quociente entre cada termo, a partir do segundo, e o respectivo antecessor.

Observe quêque a razão q = $\begin{array}{c}\frac{a_n}{a_{n-1}}\end{array}$ ambém vale para uma PG genérica finita (a₁, a₂, a₃, …, a_{n − 1}, a_n).

Página sessenta e um61

Considerando o primeiro termo e o valor da razão, podemos classificar uma PG em crescente, decrescente, oscilante ou constante.

Dizemos quêque uma PG é crescente quando:

• o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real maior do quêque 1, isto é, a₁ > 0 e q > 1. Por exemplo, na PG (1, 7, 49, 343), tem-se a₁ = 1 e q = 7.

• o primeiro termo é um número real negativo, e a razão é um número real entre zero e 1, isto é, a₁ < 0 e 0 < q < 1. Por exemplo, na PG $\left(-5,\mathrm{}\begin{array}{c}-\frac{5}{2},-\frac{5}{4}\end{array},...\right)$, tem-se a₁ = −5 e q = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$.

Dizemos quêque uma PG é decrescente quando:

• o primeiro termo é um número real positivo, e a razão é um número real entre zero e 1, isto é, a₁ > 0 e 0 < q < 1. Por exemplo, na PG (180, 60, 20, …), tem-se a₁ = 180 e q = $\frac{1}{3}$

• o primeiro termo é um número real negativo, e a razão é um número real maior do quêque 1, isto é, a₁ < 0 e q > 1. Por exemplo, na PG $\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array},-1,\mathrm{}-2,...\right)$, tem-se a₁ = $\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$ e q = 2.

Classificamos uma PG como oscilante quando o primeiro termo é um número real diferente de zero, e a razão é um número negativo, isto é, a₁ ≠ 0 e q < 0. Por exemplo, na PG (−1, 2, −4, 8), tem-se a₁ = −1 e q = −2.

Uma PG é classificada como constante quando sua razão é igual a 1. Por exemplo, na PG (−10, −10, −10, …), tem-se a₁ = −10 e q = 1.

Termo geral de uma PG

Considere uma PG infinita qualquer (a₁, a₂, a₃, a₄,…, a_{n − 1}, a_n, a_{n + 1}, …) de razão q.

Usando a definição de PG, temos:

a₂ = a₁ ⋅ q

a₃ = a₂ ⋅ q = (a₁ ⋅ q) ⋅ q = a₁ ⋅ q²

a₄ = a₃ ⋅ q = (a₁ ⋅ q²) ⋅ q = a₁ ⋅ q³

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Observe quêque há uma relação entre o índice do termo e o expoente da razão da progressão:

• a₂ = a₁ ⋅ q = a₁ ⋅ q^{(2 − 1)}

• a₃ = a₁ ⋅ q²= a₁ ⋅ q^{(3 − 1)}

• a₄ = a₁ ⋅ q³ = a₁ ⋅ q^{(4 − 1)}

Página sessenta e dois62

Nota-se quêque o expoente de q é sempre uma unidade a menos do quêque o índice n do termo. De modo geral, temos:

a_n = a_{n − 1} ⋅ q = (a₁ ⋅ q^{n − 2}) ⋅ q = a₁ ⋅ q^{n − 1}

Uma vez quêque essa relação também vale para uma PG qualquer finita (a₁, a₂, a₃, …, a_{n – 1}, a_n), temos:

a_n = a₁ ⋅ q^{n − 1}

em quêque:

• a_n é o termo geral (ou enésimo termo);

• a₁ é o primeiro termo;

• n é a ordem do termo;

• q é a razão.

Essa expressão é conhecida como fórmula do termo geral da PG.

Por exemplo, vamos determinar a expressão do termo geral da PG (5, 10, 20, …).

A razão da PG é q = $\frac{10}{5}$ = 2.

Substituindo q por 2 e a₁ por 5 na fórmula do termo geral, obtemos a lei de formação dessa PG:

a_n = a₁ ⋅ q^{n − 1} ⇒ a_n = 5 ⋅ 2^{n − 1}

Em algumas situações quêque envolvem termos consecutivos de uma PG, é conveniente recorrer às seguintes representações:

• produto de três termos consecutivos: $\frac{x}{q}$ ⋅ x ⋅ xq

• soma de três termos consecutivos: x + xq + xq²

Soma dos termos de uma PG finita

Considere uma PG finita (a₁, a₂, a₃, …, a_n) de razão q.

pôdêmosPodemos obtêrobter a soma S_n de todos os termos dessa PG considerando os seguintes casos:

1º caso: Se q = 1, a PG é constante, e, como todos os termos são iguais, temos S_n = a₁n.

2º caso: Se q ≠ 1, a soma S_n de todos os termos da PG é S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$.

Demonstração

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁q^{n − 1} I

Agora, multiplicamos ambos os membros da equação anterior por q. Então:

qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + … + a₁qⁿ II

Fazendo II − I, temos:

qS_n − S_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + … + a₁qⁿ − (a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁q^{n – 1})

qS_n − S_n = ⇒ qS_n − S_n = − a₁ + a₁qⁿ ⇒ S_n(q − 1) = −a₁ + a₁qⁿ ⇒ S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$

Página sessenta e três63

Soma dos termos de uma PG infinita

Considere uma sequência cujo termo geral é dado por a_n = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ para n ∈ ℕ*. Vamos determinar os primeiros termos dessa sequência substituindo valores para n na expressão do termo geral. Assim, temos:

• n = 1 ⇒ a₁ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$ = 0,5

• n = 2 ⇒ a₂ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}$ = 0,25

• n = 3 ⇒ a₃ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}$ = 0,125

• n = 4 ⇒ a₄ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}$ = 0,0625

• n = 5 ⇒ a₅ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ = $\begin{array}{c}\frac{1}{32}\end{array}$ = 0,03125

Essa sequência é a PG (0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; …), com a₁ = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$ e razão q = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$. Note quêque, à medida quêque aumentamos o valor do expoente n, o valor do termo a_n fica cada vez mais próximo de zero.

Dizemos, então, quêque o limite de a_n = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ quando n tende ao infinito, vale zero, o quêque representamos assim:

$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{a}_n\end{array}$ = 0 ⇒ $\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$ = 0

$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$ = 0 ← Lê-se: limite de $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$ quando n tende ao infinito é igual a zero.

De modo geral, é possível demonstrar quêque, se q ∈ ℝ, com −1 < q < 1, então $\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n\end{array}$ = 0.

Vamos calcular a soma dos infinitos termos de uma PG de razão q, com −1 < q < 1. Para isso, analisaremos o quêque ocorre com a soma S_n dos n primeiros termos quando n tende ao infinito, ou seja, quando n se torna arbitrariamente grande.

$$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\right)\end{array}$$

Mas aprendemos quêque $\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{q}^n\end{array}$ = 0. Então, podemos escrever:

$$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{S}_n=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{-a_1}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}\end{array}$$

Assim, em uma PG infinita (a₁, a₂, a₃, …, a_n, …) de razão q, com −1 < q < 1, temos:

$$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{S}_n=\frac{a_1}{1-q}\end{array}$$

Portanto, dizemos quêque a soma dos termos da PG infinita, indicada por S, é:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$

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Progressão geométrica e função exponencial

Estudaremos a seguir quêque a progressão geométrica, assim como a progressão aritmética, também se relaciona com um tipo de função. No caso da PG, com a função exponencial.

Vamos voltar à situação em quêque o gerente de um mercado rêzouvêoresolveu organizar as caixas de um produto formando uma pirâmide. Conforme apresentado, as quantidades de caixas em cada prateleira formam a PG (3, 6, 12, 24, 48, 96).

Nessa PG, tem-se a₁ = 3 e q = 2, então o termo geral é dado por:

a_n = a₁ ⋅ q^{n − 1} ⇒ a_n = 3 ⋅ 2^{n − 1}

Considerando a função f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$, tal quêque f(n) = 3 ⋅ 2^{n − 1}, tem-se f(n) = a_n. Sendo assim, f associa a cada número natural n do domínio o valor a_n do contradomínio.

• f(1) = 3 ⋅ 2^{1 − 1} = 3 ⋅ 2⁰ = 3 = a₁

• f(2) = 3 ⋅ 2^{2 − 1} = 3 ⋅ 2¹ = 6 = a₂

• f(3) = 3 ⋅ 2^{3 − 1} = 3 ⋅ 2² = 12 = a₃

• f(4) = 3 ⋅ 2^{4 − 1} = 3 ⋅ 2³ = 24 = a₄

• f(5) = 3 ⋅ 2^{5 − 1} = 3 ⋅ 2⁴ = 48 = a₅

• f(6) = 3 ⋅ 2^{6 − 1} = 3 ⋅ 2⁵ = 96 = a₆

Note quêque y = 3 ⋅ 2^{x − 1} equivale à lei da função envolvendo exponencial dada por y = $\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}$ ⋅ 2^x.

Portanto, a PG pódepode sêrser representada pelo gráfico da função f. Como f é uma função cujo domínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seu gráfico será dado por pontos pertencentes à curva exponencial da função y = $\frac{3}{2}$ ⋅ 2^x.

De modo geral, dada a PG (a₁, a₂, a₃, …, a_n, a_{n + 1}, …) de razão q > 0, q ≠ 1 e termo geral a_n = a₁ ⋅ q^{n − 1} relacionada com a função f: ℕ* → $\begin{array}{c}{\mathbb{R}}_{+}^{*}\end{array}$, tal quêque f(n) = a₁ ⋅ q^{n − 1}, a PG pódepode sêrser representada graficamente pêlospelos pontos (1, a₁), (2, a₂), (3, a₃), …, (n, a_n), (n + 1, a_{n + 1}), …, pertencentes à curva exponencial da função definida por y = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{q}\end{array}$ ⋅ q^x.

Não, pois a PG associada a uma função envolvendo exponencial expressa por y = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{q}\end{array}$ ⋅ q^x só está definida para bases (q) positivas e diferentes de 1.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

10. Considere quêque a sequência (x, 3x + 2, 10x + 12), com x ≠ 0, é uma PG de razão não nula.

a) Calcule o valor de x.

b) escrêevaEscreva essa progressão.

Resolução

a) Como a sequência (x, 3x + 2, 10x + 12) é uma progressão geométrica de razão não nula, x ≠ 0 e 3x + 2 e 10x + 12 são não nulos, podemos escrever:

$\frac{3x+2}{x}=\frac{10x+12}{3x+2}$ ⇒ x(10x + 12) = (3x + 2)(3x + 2) ⇒ 10x² + 12x = 9x² + 12x + 4 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2

Portanto, o valor de x é −2 ou 2.

b) Se x = 2, temos:

a₁ = 2

a₂ = 3x + 2 = 3 ⋅ 2 + 2 = 8

a₃ = 10x + 12 = 10 ⋅ 2 + 12 = 32

Assim, a PG é (2, 8, 32). Note quêque, nesse caso, q = 4.

Se x = −2, temos:

a₁ = −2

a₂ = 3x + 2 = 3 ⋅ (−2) + 2 = −4

a₃ = 10x + 12 = 10 ⋅ (−2) + 12 = −8

Assim, a PG é (−2, −4, −8). Note quêque, nesse caso, q = 2.

11. Considere uma sequência de quatro números inteiros tais quêque os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 3; os três últimos, uma progressão geométrica; e o primeiro número é igual ao quarto. Determine esses quatro números.

Resolução

Representando três números em PA de razão 3 e observando os demais dados do problema, escrevemos a sequência:

(x − 3, x, x + 3, x − 3), com termos não nulos.

Como os três últimos números formam uma PG e os termos são não nulos, temos:

$\frac{x+3}{x}=\frac{x-3}{x+3}$ ⇒ (x + 3)² = x(x − 3) ⇒ x² + 6x + 9 = x² − 3x ⇒ 9x = −9 ⇒ x = −1

Substituindo x por −1 na sequência, obtemos: (−4, −1, 2, −4)

Portanto, os números são: −4, −1, 2 e −4.

12. Determine o 10º termo da PG (2, 6, …).

Resolução

A razão dessa progressão geométrica é igual a: q = $\frac{6}{2}$ = 3

Se a₁ = 2, o décimo termo (n = 10) é:

a_n = a₁ q^{n − 1} ⇒ a₁₀ = 2 ⋅ 3^{10 − 1} ⇒ a₁₀ = 2 ⋅ 3⁹ = 39.366

13. Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, …), calcule:

a) a soma dos 6 primeiros termos;

b) quantos termos devem sêrser adicionados para quêque o resultado da adição seja 29.524.

Resolução

a) a₁ = 1; q = 3; n = 6

S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ S₆ = $\begin{array}{c}\frac{1\cdot (3^6-1)}{3-1}\end{array}$ ⇒ S₆ = $\frac{729-1}{2}$ = 364

b) S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ 29.524 = $\begin{array}{c}\frac{1\cdot (3^n-1)}{3-1}\end{array}$ ⇒ 3ⁿ = 59.049 ⇒ 3ⁿ = 3¹⁰ ⇒ n = 10

Devem sêrser adicionados 10 termos para se obtêrobter 29.524.

14. Calcule o valor de x na igualdade x + 3x + 9x + … + 729x = 5.465, sabendo quêque os termos do 1º membro formam uma PG e quêque x não é nulo.

Resolução

a₁ = x; q = $\frac{3x}{x}$ = 3; a_n = 729x; S_n = 5.465

Cálculo de n:

a_n = a₁q^{n − 1} ⇒ 729x = x ⋅ 3^{n − 1} ⇒ 729 = 3^{n − 1} ⇒ 3⁶ = 3^{n − 1} ⇒ n = 7

S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ 5.465 = $\begin{array}{c}\frac{x(3^7-1)}{3-1}\end{array}$ ⇒ 5.465 = $\frac{x(2187-1)}{2}$ ⇒ 5.465 = 1.093x ⇒ x = 5

Assim, o valor de x é 5.

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