CAPÍTULO
5
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

As rodas-gigantes são construções voltadas ao lazer e, por causa de suas dimensões, sérvemservem também como mirantes em cidades e parques de diversões em diversos locais do mundo. A primeira roda-gigante foi inaugurada em 1893 em Chicago, nos Estados Unidos. Desde então, muitas outras foram construídas, como a roda Ain Dubai, inaugurada em 2021, em Dubai, nos Emirados Árabes, com 250 metros de altura, quêque passou a sêrser a maior roda-gigante do mundo. A maior roda-gigante da América LátínaLatina é a Roda Rico, em São Paulo, quêque se destaca com seus 91 metros de altura.

Para realizar alguns cálculos envolvendo rodas-gigantes, como determinar a distância quêque certa cabine de uma roda-gigante se encontra do solo ou o comprimento do trajeto percorrido por uma cabine ao dar uma volta completa, podem-se usar conceitos quêque estudaremos neste Capítulo, como arcos de circunferência e razões em uma circunferência trigonométrica.

Fontes dos dados: DEURSEN, Felipe vãvan. Roda-gigante surgiu há 400 anos e sofreu influências até da Torre Eiffel. Nossa UOL, [s. l.], 23 fev. 2022. Disponível em: https://livro.pw/gnzev. Acesso em: 2 out. 2024.

BRASIL. Ministério do Turismo. Maior roda-gigante da América LátínaLatina é inaugurada em São Paulo. Brasília, DF: MT, 12 dez. 2022. Disponível em: https://livro.pw/kzrxw. Acesso em: 2 out. 2024.

4. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque: arco é uma parte de uma circunferência; ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência; ângulo inscrito é aquele em quêque os seus lados são secantes à circunferência e o seu vértice é um ponto da circunferência. Espera-se quêque os estudantes mencionem as seguintes relações: a medida angular de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente, e a medida de um ângulo inscrito na circunferência é a mêtádemetade da medida do ângulo central.

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Introdução

Nesta Coleção, estudamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o triângulo retângulo. No entanto, ao estudar os fenômenos periódicos, precisamos ampliar esse conceito para outros ângulos fora do intervalo entre 0° e 90° para, então, realizar a modelagem por meio das funções trigonométricas, assunto do Capítulo 6 dêstedeste Volume.

Sendo assim, serão apresentados alguns conceitos novos, como as razões trigonométricas na circunferência, quêque permitem o cálculo dessas razões para qualquer ângulo, inclusive para os ângulos maiores do quêque 90°.

Agora, vamos retomar alguns conceitos da Geometria quêque serão aplicados nesse estudo.

Arcos de circunferência

Os pontos A e B determinam dois arcos de circunferência quêque podem sêrser indicados por $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$. Quando não ficar evidente a qual arco estamos nos referindo, podemos inserir um ponto entre as extremidades A e B e utilizar a notação $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{APB}\end{array}$ ou $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AQB}\end{array}$ para identificar cada arco.

Se as extremidades A e B coincidem, um dos arcos fica reduzido a um ponto e o outro é a própria circunferência. Eles são chamados, respectivamente, de arco nulo e de arco de uma volta.

Quando as extremidades correspondem às extremidades de um diâmetro, teremos duas semicircunferências ou arcos de meia-volta.

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Ângulo central

Todo ângulo quêque tem vértice no centro da circunferência é chamado de ângulo central. Assim, todo arco de circunferência tem um ângulo central quêque é correspondente a ele.

Na figura a seguir, $\begin{array}{c}A\hat{O}B\end{array}$ é o ângulo central correspondente ao arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$. Além díssudisso, med($\begin{array}{c}A\hat{O}B\end{array}$) = (alfa)"α.

Acompanhe alguns exemplos a seguir.

a) O ângulo central $\begin{array}{c}A\hat{O}B\end{array}$ indicado médemede 150°.

b) O ângulo central indicado médemede 30°.

Medida angular e comprimento de arcos de circunferência

A medida angular de um arco é a medida do ângulo central correspondente.

Por exemplo, na figura a seguir, a medida angular do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ é igual a (alfa)"α. Também podemos representá-la por med($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$). Observe quêque a medida angular do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ também é (alfa)"α.

A medida linear de um arco é o comprimento ao longo do arco, ou seja, a medida de uma extremidade a outra.

Quando dizemos apenas medida de um arco, geralmente nos referimos à medida angular do arco.

sim; não

Ver as Orientações para o professor

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Unidades de medida de arcos de circunferência

A medida de um arco de circunferência pódepode sêrser expressa em grau ou em radiano. Provavelmente, você já estudou a unidade de medida grau em anos escolares anteriores. Vamos retomar algumas ideias relacionadas a essa unidade de medida e, em seguida, apresentar o radiano.

Grau

Ao dividir uma circunferência em 360 partes iguais, cada parte ôbitídaobtida é um arco quêque corresponde a $\frac{1}{360}$ da circunferência e tem medida angular 1 grau, quêque é indicado por 1°. Assim, uma circunferência tem 360°.

Os arcos de 90°, 180° e 270°, marcados em sentido anti-horário nas figuras a seguir, representam um quarto, mêtádemetade e três quartos da circunferência, respectivamente, pois $\begin{array}{c}\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}\end{array}$, $\begin{array}{c}\frac{{180}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{2}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\frac{{270}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{3}{4}\end{array}$.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo, dado quêque:

• um minuto (1(minutos)"′) é igual a $\frac{1}{60}$ do grau;

• um segundo (1(segundos)"″) é igual a $\frac{1}{60}$ do minuto.

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Radiano

Agora, vamos conhecer outra unidade de medida angular: o radiano.

Observe o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ a seguir.

O comprimento do arco médemede o dôbrodobro da medida do raio, então a medida angular do arco é 2 rad.

• Assim como a medida do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ o ângulo central $A\widehat{O}B$ também médemede 1 rad.

• Do mesmo modo, o ângulo central $C\widehat{O}D$, assim como o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ também médemede 2 rad.

Relação entre grau e radiano

Como converter um ângulo medido em grau para a sua equivalência em radiano? No Ensino Fundamental, você estudou quêque o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2(pi)"πr. Agora, vamos usar essa informação para estabelecer a relação entre grau e radiano e fazer conversões entre as unidades de medida angular.

Dada uma circunferência de raio r, o seu comprimento C é C = 2(pi)"πr. pôdêmosPodemos interpretar essa expressão como o raio r quêque "cabe" 2(pi)"π vezes nesse comprimento, ou seja, aproximadamente 6,28 vezes.

Como cada arco de comprimento igual a r corresponde a um ângulo central de medida 1 rad, então o arco de comprimento 2(pi)"πr (a circunferência toda) corresponde a um ângulo central de medida 2(pi)"π rad. Sabemos quêque a circunferência tem 360°, então concluímos quêque:

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Ver as Orientações para o professor.

A partir dessa relação, podemos escrever outras, por exemplo:

• (pi)"π rad = 180°

• $\frac{\pi }{2}$ rad = 90°

• $\frac{\pi }{4}$ rad = 45°

Utilizando uma regra de três e a relação (pi)"π rad = 180°, podemos converter em radiano qualquer medida angular expressa em grau e vice-versa. Por exemplo, para escrever 270° em radiano, fazemos:

Então: x = $\begin{array}{c}\frac{\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\cdot {270}^{\circ }}{{180}^{\circ }}=\frac{3\pi }{2}\end{array}$ rad

Logo, 270° equivalem a $\frac{3\pi }{2}$ radianos.

Acompanhe, agora, alguns exemplos para determinarmos o comprimento e a medida angular de alguns arcos.

Na circunferência de raio r a seguir, os arcos $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ médemmedem, respectivamente, 90° e 60°. Vamos expressar essas medidas em radiano e determinar o comprimento dos arcos $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$.

Como a circunferência tem 360°, o comprimento do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ é a quarta parte do comprimento da circunferência, e o comprimento do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{CD}\end{array}$ é a sexta parte do comprimento da circunferência. Assim, para determinar o comprimento do arco, dividimos 2(pi)"πr (comprimento da circunferência) por quatro e por seis, respectivamente, como indicado a seguir.

aproximadamente 57,29°

De modo geral, para calcular o comprimento (éli)"ℓ de um arco de medida (alfa)"α em uma circunferência de raio r, usamos a regra de três e estabelecemos as seguintes relações:

• para (alfa)"α em grau

• para (alfa)"α em radiano

Quando a unidade de medida angular não estiver explicitada, consideraremos quêque está em radiano. Por exemplo, $\frac{3\pi }{4}$ corresponde a $\frac{3\pi }{4}$ rad.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Expresse 22°30(minutos)"′ em radiano.

Resolução

Primeiro, vamos converter 22°30(minutos)"′ para minuto: 22°30(minutos)"′ = 22 ⋅ 60(minutos)"′ + 30(minutos)"′ = 1.320(minutos)"′ + 30(minutos)"′ = 1.350(minutos)"′

Agora, vamos converter 180° para minuto: 180° = 180 ⋅ 60(minutos)"′ = 10.800(minutos)"′

Assim, podemos fazer a seguinte regra de três:

⇒ $\frac{8}{1}=\frac{\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{x}$ ⇒ 8x = (pi)"π rad ⇒ x = $\frac{\pi }{8}$ rad

Também podemos resolver de outro modo. Acompanhe:

Como 30 minutos equivalem a meio grau, temos 22°30(minutos)"′ = 22,5°.

Seja x a medida do arco, temos:

x = 22,5° ⇒ 2x = 45° ⇒ 4x = 90° ⇒ 4x = $\frac{\pi }{2}$ rad⇒x = $\frac{\pi }{8}$ rad

Logo, 22°30(minutos)"′ = $\frac{\pi }{8}$ rad.

2. Determine, em grau, a medida do menor ângulo formado pêlospelos ponteiros de um relógio às 8h20min.

Resolução

Sejam (alfa)"α a medida do ângulo pedido e x a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 min a partir das 8 h. O mostrador do relógio é dividido em 12 arcos iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois números consecutivos do relógio médemede $\begin{array}{c}\frac{{360}^{\circ }}{12}\end{array}$, ou seja, 30°. Assim, (alfa)"α = x + 120°, já quêque 120° é o ângulo formado pelo arco com extremidade nos números 4 e 8 do relógio.

A cada 60 minutos, o ponteiro das horas percórrepercorre 30°. Então, podemos fazer a seguinte relação:

⇒ 3 = $\frac{30}{x}$ ⇒ x = 10 (medida em grau)

(alfa)"α = x + 120° ⇒ (alfa)"α = 10° + 120° ⇒ (alfa)"α = 130°

Portanto, o ângulo solicitado médemede 130°.

ATIVIDADES

1. Expresse:

a) 60° em radiano;

$\frac{\pi }{3}$ rad

b) 210° em radiano;

$\frac{7\pi }{6}$ rad

c) $\frac{10\pi }{9}$ rad em grau;

200°

d) $\frac{\pi }{20}$ rad em grau.

9°

2. Em uma circunferência de 32 cm de diâmetro, marca-se um arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ de 8 cm de comprimento. Qual é a medida dêêssedesse arco em radiano?

0,5 rad

3. Qual é, em radiano, a medida do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio em um período de 25 minutos?

$\frac{5\pi }{6}$ rad

• Reúna-se a um colega e expliquem um ao outro o raciocínio utilizado para resolver a atividade. Vocês resolveram da mesma maneira?

Resposta pessoal.

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4. Na figura, têm-se três circunferências, de centros A, B e C, tangentes duas a duas. As retas $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{QC}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{PT}\end{array}$ são perpendiculares. Sendo 4 m o raio da circunferência maior, quantos metros devemos percorrer para ir de P a Q, seguindo as flechas?

6(pi)"π metros

5. Luana é artesã e faz bordados em bastidor. Para estimar a quantidade de linha quêque usará na próxima encomenda, ela precisa saber algumas medidas do desenho bordado. Ajude Luana e determine o comprimento do contôrnocontorno de cada detalhe indicado em azul nas figuras dos itens a seguir. Use (pi)"π = 3,14.

a)

98,5 cm

b) Para fazer um detalhe, Luana desenhou um quadrado ABCD de lado 10 cm. Em seguida, traçou as linhas curvas, quêque são semicircunferências com centros nos pontos médios, M e N, dos lados do quadrado.

51,4 cm

6. Você conhece o relógio de pêndulo? Ele foi criado pelo físico holan-dêssholandês crístianChristian Huygens (1629-1695) em 1656 a partir do princípio de funcionamento desenvolvido por Galileu Galilei. Uma das peças principais dêêssedesse tipo de relógio é o pêndulo, responsável por manter o equipamento funcionando.

Fonte dos dados: FERREIRA, Eduardo S. O relógio cicloidal de Huygens. Campinas: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (Imecc-Unicamp), [201-].
Disponível em: https://livro.pw/luwkg. Acesso em: 10 out. 2024.

Suponha quêque o pêndulo de um relógio tenha comprimento 0,5 m e execute o movimento de A para B indicado na figura. Determine o comprimento do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$ quêque a extremidade do pêndulo descreve.

$\frac{\pi }{18}$ m

7. (OBMEP) Duas formigas partem do ponto A e vão até o ponto D, andando no sentido indicado pelas flechas. A primeira percórrepercorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$, o semicírculo menor e o segmento $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$. Os pontos A, B, C e D estão alinhados e os segmentos $\begin{array}{c}\overline{AB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overline{CD}\end{array}$ médemmedem 1 cm cada um. Quantos centimetros a segunda formiga andou menos quêque a primeira?

a) 2

b) (pi)"π

c) $\frac{\pi }{2}$

d) (pi)"π − 2

e) 2(pi)"π

alternativa d

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Circunferência orientada

A figura a seguir mostra quêque, sobre a circunferência, o percurso de A para B pódepode sêrser feito no sentido anti-horário, seguindo o arco vermelho $\stackrel{⏜}{AB}$ ou no sentido horário, seguindo o arco vêrdeverde $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$.

Ao estabelecer o sentido anti-horário do percurso como positivo e o sentido horário como negativo, temos uma circunferência orientada.

Assim, podemos ter as seguintes medidas angulares para o percurso de A para B da figura.

• arco vermelho: med($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$) = $\frac{\pi }{2}$ rad ou med ($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$) = 90°

• arco vêrdeverde: med($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$) = $-\frac{3\pi }{2}$ rad ou med ($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AB}\end{array}$) = −270°

Acompanhe outros exemplos de arcos medidos na circunferência orientada:

• no sentido anti-horário

• no sentido horário

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Circunferência trigonométrica

Vamos, agora, fixar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy no plano.

A circunferência orientada de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas de raio unitário (r = 1) é denominada circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Os arcos da circunferência trigonométrica terão origem no ponto A(1, 0), denominado origem dos arcos. Observe a figura 1 a seguir.

Os eixos x e y do sistema de coordenadas cartesianas determinam, no plano, quatro regiões, denominadas quadrantes. Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário a partir do ponto A. Os pontos A, B, C e D estão nos eixos e não pertencem a quadrante algum. Observe a circunferência trigonométrica na figura 2, com a indicação das coordenadas dos pontos A, B, C e D e a indicação dos quadrantes.

Observe quêque, para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos: −1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1.

Arcos kôn-gru-uscôngruos

No início do Capítulo, comentamos quêque vamos estudar as razões trigonométricas para qualquer ângulo. Para isso, precisamos compreender como localizá-los na circunferência trigonométrica. Por exemplo, como representar um arco de 450° na circunferência trigonométrica? É o quêque acompanharemos a seguir.

Seja P um ponto da circunferência trigonométrica. pôdêmosPodemos verificar quêque há uma infinidade de arcos com origem em A e extremidade em P. Para isso, basta, a partir de P, dar voltas completas, ou seja, dar voltas em arcos cujas medidas sêjamsejam múltiplas de 2(pi)"π, em qualquer sentido, horário ou anti-horário.

Considerando como exemplo o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$, mostrado na figura, o primeiro arco de quêque nos lembramos é o de medida $\frac{\pi }{3}$. No entanto, o ponto P é a extremidade de outros arcos, quêque podem sêrser obtidos adicionando (ou subtraindo) múltiplos inteiros de 2(pi)"π a $\frac{\pi }{3}$.

Porque 2(pi)"π é o comprimento da circunferência trigonométrica, quêque tem raio unitário.

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Observe os exemplos:

• No sentido anti-horário, ao dar uma volta completa mais $\frac{\pi }{3}$, obtemos o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ de medida $\frac{7\pi }{3}$, pois $\frac{7\pi }{3}$ = ($\frac{\pi }{3}$ +1 ⋅ 2(pi)"π).

• No sentido anti-horário, ao dar duas voltas completas mais $\frac{\pi }{3}$, obtemos o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ de medida $\frac{13\pi }{3}$, pois $\frac{13\pi }{3}$ =($\frac{\pi }{3}$ + 2 ⋅ 2(pi)"π).

• No sentido horário, ao dar uma volta completa menos $\frac{\pi }{3}$ obtemos o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ de medida $-\frac{5\pi }{3}$ pois $-\frac{5\pi }{3}$ = ($\frac{\pi }{3}$ − 1 ⋅ 2(pi)"π).

Poderíamos considerar a medida do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ em grau; nesse caso, para obtêrobter arcos com extremidade em P, bastaria adicionar (ou subtrair) múltiplos inteiros de 180°.

Como $\frac{\pi }{3}$ = 60°, teríamos, entre outros arcos:

• 60° + 1 ⋅ 360° = 420°

• 60° + 2 ⋅ 360° = 780°

• 60° − 1 ⋅ 360° = −300°

Os arcos quêque têm a mesma extremidade P são chamados de arcos kôn-gru-uscôngruos ou congruentes.

O arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ de medida θ, com 0° < θ < 360°, ou 0 < θ < 2(pi)"π, é chamado de 1ª determinação positiva dos arcos kôn-gru-uscôngruos a ele, pois é o único representante dêêssesdesses arcos kôn-gru-uscôngruos quêque está na primeira volta positiva.

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Acompanhe um exemplo de como determinar a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos ao arco de 1.940°. Inicialmente, precisamos determinar a medida da 1ª determinação positiva dêêssedesse arco. Vamos dividir 1.940° por 360° para determinar quantas voltas completas o arco dará na circunferência trigonométrica.

Assim, podemos escrever: 1.940° = 140° + 5 ⋅ 360°

140° ← 1ª determinação positiva

5 ← número de voltas completas

Portanto, a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos ao arco de 1.940° é:

140° + k ⋅ 360°, com k ∈ ℤ

Números reais associados a pontos da circunferência trigonométrica

Estudamos quêque, além da origem A, cada arco da circunferência trigonométrica tem, como outra extremidade, um único ponto na circunferência. Assim, é possível indicar um arco apenas por esse ponto.

Vamos, agora, associar cada número real (alfa)"α a um único ponto P na circunferência trigonométrica, dado quêque:

• se (alfa)"α > 0, percorremos, a partir de A e em sentido anti-horário, um arco de comprimento (alfa)"α com extremidades em A e P;

• se (alfa)"α < 0, percorremos, a partir de A e em sentido horário, um arco de comprimento |(alfa)"α| com extremidades em A e P;

• se (alfa)"α = 0, o ponto P coincide com o ponto A.

É como se "enrolássemos" a reta real na circunferência trigonométrica, com os pontos associados aos números positivos no sentido anti-horário e com os pontos associados aos números negativos no sentido horário. A origem da reta real coincide com o ponto A.

Acompanhe dois exemplos:

a) Para localizar o ponto associado ao número $\frac{3\pi }{4}$, partimos de A e percorremos um arco de comprimento $\frac{3\pi }{4}$ na circunferência no sentido anti-horário.

• (alfa)"α = $\frac{3\pi }{4}$

• med($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$) = $\frac{3\pi }{4}$

b) Para localizar o ponto associado ao número $-\frac{5\pi }{6}$ quêque é negativo, percorremos um arco de comprimento $|-\frac{5\pi }{6}|=\frac{5\pi }{6}$ no sentido horário na circunferência a partir de A.

• (alfa)"α = $-\frac{5\pi }{6}$

• med($\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$) = $\frac{5\pi }{6}$

Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário, cada arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ associado a um número real (alfa)"α tem comprimento $\left|\alpha \right|$ e medida angular (alfa)"α rad.

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

3. escrêevaEscreva a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos aos arcos a seguir.

a) $\frac{\pi }{4}$

b) 175°

Resolução

a) A expressão geral para arcos em radiano é θ + 2k(pi)"π. Substituindo θ por $\frac{\pi }{4}$, já quêque 0 < $\frac{\pi }{4}$ < 2(pi)"π, temos: $\frac{\pi }{4}$ + 2k(pi)"π, com k ∈ ℤ.

b) A expressão geral para arcos em grau é θ + k ⋅ 360°. Substituindo θ por 175°, já quêque 0° < 175° < 360°, temos: 175° + k ⋅ 360°, com k ∈ ℤ.

4. Um móvel percorreu um arco de 1.690° na circunferência trigonométrica, partindo do ponto A, origem dos arcos. Quantas voltas completas na circunferência esse móvel deu? Em qual quadrante parou?

Resolução

Para determinar o número de voltas completas, vamos dividir a medida do arco, em grau, por 360°, quêque é a medida de uma volta na circunferência. Assim:

Com isso, podemos escrever a seguinte expressão:

1.690° = 250° + 4 ⋅ 360°

250° ← O arco de 1.690° tem a mesma extremidade quêque o arco de 250°.

4 ← número de voltas completas

Portanto, o móvel deu quatro voltas completas no sentido anti-horário e, como 180° < 250°< 270°, parou no terceiro quadrante.

5. escrêevaEscreva a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos ao arco de $\frac{35\pi }{2}$.

Resolução

Temos quêque:

$\frac{35\pi }{2}$ = 17, 5(pi)"π = 1, 5(pi)"π + 16(pi)"π = $\frac{3}{2}$ (pi)"π + 8 ⋅ 2(pi)"π

Assim, a 1ª determinação positiva do arco de $\frac{35\pi }{2}$ é $\frac{3\pi }{2}$, e a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos é $\frac{3\pi }{2}$ + 2k(pi)"π, com k ∈ ℤ.

Outra maneira de resolver a atividade seria transformar o ângulo de radiano para grau:

$\frac{35\pi }{2}$ = 35 ⋅ $\frac{\pi }{2}$ = 35 ⋅ 90° = 3.150°

Assim, dividindo 3.150° por 360°, temos:

Então, podemos escrever:

3.150° = 270° + 8 ⋅ 360°

270° ← 1ª determinação positiva

8 ← número de voltas completas

Voltando para as medidas em radiano, temos:

$\frac{35\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$ + 8 ⋅ 2(pi)"π

Assim, a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos ao arco de $\frac{35\pi }{2}$ é $\frac{3\pi }{2}$ + 2k(pi)"π, com k ∈ ℤ.

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ATIVIDADES

8. Represente, na circunferência trigonométrica, os pontos associados aos números a seguir.

a) $\frac{\pi }{5}$

b) $\frac{3\pi }{4}$

c) $-\frac{5\pi }{9}$

d) −5(pi)"π

Ver as Orientações para o professor.

9. Determine a expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos aos arcos destacados nas circunferências trigonométricas a seguir.

a)

63° + k ⋅ 360°, com k ∈ ℤ

b)

$\frac{3\pi }{4}$ + 2k(pi)"π, com k ∈ ℤ

10. Verifique se os números $-\frac{5\pi }{6}$ e $\frac{7\pi }{6}$ estão associados a pontos coincidentes na circunferência trigonométrica.

sim

• Reúna-se a um colega e explique a ele como você fez para chegar a essa conclusão. Vocês pensaram da mesma maneira?

Resposta pessoal.

11. Verifique se são kôn-gru-uscôngruos os seguintes pares de arcos:

a) 1.490° e −1.030°

São kôn-gru-uscôngruos.

b) $\frac{14\pi }{3}$ rad e $\frac{19\pi }{3}$ rad

Não são kôn-gru-uscôngruos.

12. Determine o quadrante em quêque estão localizados os pontos correspondentes aos seguintes arcos:

a) −1.640°

segundo quadrante

b) $\frac{2487\pi }{4}$ rad

quarto quadrante

13. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em quêque quadrante ele para se, partindo da origem dos arcos, percórrepercorre, na circunferência trigonométrica, um arco de:

Ver as Orientações para o professor.

a) 1.810°

b) $\frac{25\pi }{4}$ rad

c) −1.200°

d) 900°

e) $\frac{31\pi }{6}$ rad

f) $\frac{9\pi }{2}$ rad

14. Quantos centimetros percórrepercorre um corpo quêque descreve um arco de 600° em uma circunferência de raio 10 cm? Use (pi)"π ≃ 3,14.

aproximadamente 104,67 cm

15. A figura a seguir representa um quadrado inscrito em uma circunferência trigonométrica. Determine, em grau e em radiano, as 1^as determinações positivas dos arcos cujas extremidades são os vértices do quadrado.

Ver as Orientações para o professor.

16. (Unicentro-PR) Analise as sentenças abaixo e assinale a alternativa correta:

I. A expressão geral dos arcos congruentes a 60° é (alfa)"α = 60° + x60°; com x ∈ ℕ.

II. O menor valor não negativo côngruo ao arco de 1.140° é (alfa)"α = 48°.

III. Convertendo 60° para radianos, temos $\frac{\pi }{3}$ rad.

IV. Na transformação de $\frac{7\pi }{4}$ radianos para graus, encontramos 315° como resultado.

V. A expressão geral dos arcos kôn-gru-uscôngruos aos arcos de 45° é 45° + k360°, com k ∈ ℤ.

a) I, II, III, IV e V são verdadeiras.

b) II, III, IV e V são verdadeiras.

c) I, II, III e V são verdadeiras.

d) III, IV e V são verdadeiras.

e) Somente II é verdadeira.

alternativa d

17. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos cujas medidas são dadas pelas expressões a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

a) (alfa)"α = $\frac{\pi }{3}$ + k(pi)"π, k ∈ ℤ

b) (alfa)"α = $-\frac{\pi }{8}$ + $\frac{\mathrm{k\pi }}{2}$, k ∈ ℤ

c) (alfa)"α = 90° + k ⋅ 90°, k ∈ ℤ

Página cento e sessenta e um161

Seno e cosseno de um arco

Você já estudou as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo. Vamos retomar essas ideias.

Seja o triângulo retângulo ABC representado a seguir. Definimos seno, cosseno e tangente do ângulo agudo (alfa)"α como razões entre as medidas dos lados do triângulo, como indicado a seguir.

sen (alfa)"α = $\frac{AB}{AC}$

cos (alfa)"α = $\frac{BC}{AC}$

tg (alfa)"α = $\frac{AB}{BC}$

sen (beta)"β = $\frac{BC}{AC}$, cos(beta)"β= $\frac{AB}{AC}$ e tg (beta)"β = $\frac{BC}{AB}$

Agora, vamos estudar esses conceitos na circunferência trigonométrica, estendendo-os para ângulos quaisquer.

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica associado ao número real (alfa)"α. Estudamos quêque M é a extremidade final do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AM}\end{array}$ de medida (alfa)"α em radiano. Define-se:

O eixo vertical y é chamado de eixo dos senos e o eixo horizontal x é chamado de eixo dos cossenos.

Com isso, cada número real (alfa)"α corresponde a um ponto da circunferência trigonométrica de coordenadas (cos (alfa)"α, sen (alfa)"α).

Essas definições de seno e de cosseno são válidas para o ponto M em qualquer quadrante da circunferência trigonométrica e também para quando M está sobre os eixos. Os sinais do seno e do cosseno varíamvariam conforme mostrado na página a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e sessenta e dois162

1) No primeiro quadrante, o seno é positivo e o cosseno é positivo.

2) No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.

3) No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é negativo.

4) No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é positivo.

Ver as Orientações para o professor.

Alguns valores do seno e do cosseno

Agora quêque já definimos o seno e o cosseno de qualquer ângulo, podemos obtêrobter esses valores com o uso de um software de Geometria Dinâmica, como o GeoGebra, ou utilizando uma calculadora científica. Atualmente, a maioria das calculadoras disponíveis nos sistemas operacionais dos celulares possui essa opção. No entanto, assim como foi estudado para as razões trigonométricas no triângulo retângulo, alguns ângulos são utilizados com bastante freqüênciafrequência em situações nas quais não é possível recorrer a uma calculadora; portanto, saber os valores do seno e do cosseno dêêssesdesses ângulos ajuda na realização dos cálculos.

Página cento e sessenta e três163

Observe o qüadroquadro a seguir.

Como comentamos anteriormente, quando a unidade de medida angular do arco não estiver indicada, consideraremos quêque está em radiano.

Resposta pessoal.

Redução ao primeiro quadrante

A partir dos valores de seno e de cosseno para o primeiro quadrante e usando simetrias na circunferência trigonométrica, podemos estabelecer os valores de seno e de cosseno para arcos nos demais quadrantes. Ao fazer isso, dizemos quêque estamos fazendo uma redução ao primeiro quadrante.

Acompanhe, a seguir, como fazer essa redução ao primeiro quadrante a partir de cada um dos demais quadrantes.

• Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante

Seja M o ponto da circunferência trigonométrica correspondente ao arco de medida (alfa)"α. O ponto N, correspondente ao arco de medida ((pi)"π − (alfa)"α), pertencente ao segundo quadrante, é simétrico ao ponto M em relação ao eixo dos senos.

Note, na figura, quêque, pela simetria, os pontos M e N têm a mesma ordenada, porém abscissas opostas. Logo, temos:

Ver as Orientações para o professor.

Resposta pessoal.

sen (150°) = sen (30°) = $\frac{1}{2}$

cos (150°) = −cos 30° = − $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Página cento e sessenta e quatro164

• Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante

O ponto P, correspondente ao arco de medida ((pi)"π + (alfa)"α), pertencente ao terceiro quadrante, é simétrico ao ponto M, extremidade do arco de medida (alfa)"α, em relação ao centro da circunferência O.

Pela simetria, os pontos M e P têm ordenadas opostas e abscissas opostas.

Logo:

• Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante

O ponto Q, correspondente ao arco de medida (2(pi)"π − (alfa)"α), pertencente ao quarto quadrante, é simétrico ao ponto M, extremidade do arco de medida (alfa)"α, em relação ao eixo x.

Pela simetria, os pontos M e Q têm ordenadas opostas, porém mesma abscissa.

Logo:

Espera-se quêque os estudantes respondam quêque é necessário obtêrobter a 1ª determinação positiva do arco, pois o seno e o cosseno do arco fora da primeira volta terão o mesmo valor quêque o seno e o cosseno da 1ª determinação positiva. No caso, a 1ª determinação positiva de $\frac{11\pi }{4}$ é igual a $\frac{3\pi }{4},\mathrm{}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{}\frac{11\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ + 1 ⋅ 2(pi)"π.

• FERREIRA, Fábio M. Pontos simétricos na circunferência trigonométrica. [S. l.]: GeoGebra, c2024. Disponível em: https://livro.pw/enzqi. Acesso em: 2 out. 2024.

Esse línkilink apresenta um applet do software GeoGebra em quêque é possível visualizar as simetrias na circunferência trigonométrica, variando a posição do ponto quêque representa um arco da circunferência.

Página cento e sessenta e cinco165

Relação fundamental da Trigonometria

No estudo das razões trigonométricas no triângulo retângulo, você estudou a relação fundamental da Trigonometria. Agora, vamos verificar quêque essa relação é válida para qualquer arco.

Considere, na circunferência trigonométrica, o arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AM}\end{array}$ de medida (alfa)"α, como mostra a figura.

Os pontos M(minutos)"′ e M(segundos)"″ são as projeções ortogonais do ponto M sobre os eixos y e x, respectivamente. No triângulo retângulo OM(segundos)"″M, pelo teorema de Pitágoras, temos:

(MM(segundos)"″)² + (OM(segundos)"″)² = (OM)²

Para M no primeiro quadrante, os valores do seno e do cosseno de (alfa)"α são positivos. Então, OM(segundos)"″ = cos (alfa)"α e OM(minutos)"′ = MM(segundos)"″ = sen (alfa)"α. Além díssudisso, OM = 1. Assim:

(MM(segundos)"″)² + (OM(segundos)"″)² = (OM)² ⇒ (sen (alfa)"α)² + (cos (alfa)"α)² = 1²

Ou, ainda:

Porque o segmento $\begin{array}{c}\overline{OM}\end{array}$ é o raio da circunferência trigonométrica, quêque, por definição, médemede 1.

Essa relação, denominada relação fundamental da Trigonometria, é válida para todos os valores de (alfa)"α, inclusive para aqueles em quêque o ponto M pertence a um dos eixos. Observe.

• Segundo quadrante

sen (180° − (alfa)"α) = sen (alfa)"α ⇒ sen² (180° − (alfa)"α) = sen² (alfa)"α

cos (180° − (alfa)"α) = −cos (alfa)"α ⇒ cos² (180° − (alfa)"α) = (−cos (alfa)"α)² = cos² (alfa)"α

Então, temos quêque: sen² (180° − (alfa)"α) + cos² (180° − (alfa)"α) = sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1

• Terceiro quadrante

sen (180° + (alfa)"α) = −sen (alfa)"α ⇒ sen² (180° + (alfa)"α) = (−sen (alfa)"α)² = sen² (alfa)"α

cos (180° + (alfa)"α) = −cos (alfa)"α ⇒ cos² (180° + (alfa)"α) = (−cos (alfa)"α)² = cos² (alfa)"α

Então, temos quêque: sen² (180° + (alfa)"α) + cos² (180° + (alfa)"α) = sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1

• Quarto quadrante

sen (360° − (alfa)"α) = −sen (alfa)"α ⇒ sen² (360° − (alfa)"α) = (−sen (alfa)"α)² = sen² (alfa)"α

cos (360° − (alfa)"α) = cos (alfa)"α ⇒ cos² (360° − (alfa)"α) = cos² (alfa)"α

Então, temos quêque: sen² (360° − (alfa)"α) + cos² (360° − (alfa)"α) = sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1

• M pertencente aos eixos

Para 0° ou 360°: sen² 360° + cos² 360° = 0² + 1² = 1

Para 90°: sen² 90° + cos² 90° = 1² + 0² = 1

Para 180°: sen² 180° + cos² 180° = 0² + (−1)² = 1

Para 270°: sen² 270° + cos² 270° = (−1)² + 0² = 1

Assim, verificamos quêque a relação fundamental da Trigonometria vale para arcos em qualquer quadrante ou com extremidade nos eixos.

Página cento e sessenta e seis166

ATIVIDADES RESOLVIDAS

6. Calcule o valor de cos 13(pi)"π.

Resolução

Como o arco de medida 13(pi)"π não está na primeira volta, devemos estabelecer a 1ª determinação positiva dele, assim:

13(pi)"π = (pi)"π + 12(pi)"π = (pi)"π + 6 ⋅ 2(pi)"π

Então, 13(pi)"π é côngruo a (pi)"π, portanto cos 13(pi)"π = cos (pi)"π.

Como cos (pi)"π = −1, então cos 13(pi)"π = −1.

7. Calcule os valores de sen 210° e de cos 210°.

Resolução

O arco de 210° está no terceiro quadrante. Além díssudisso, observamos quêque 210° = 180° + 30°. Assim, temos:

Então, podemos concluir quêque:

sen 210° = −sen 30° = $-\frac{1}{2}$

cos 210° = −cos 30° = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

8. Calcule o valor da expressão:

E = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{}{1830}^{\circ }+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}14\pi }{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{16\pi }{3}}\end{array}$

Resolução

Para calcular o valor de E, precisamos determinar cada uma das razões trigonométricas da expressão. Como todos os arcos são maiores do quêque uma volta da circunferência trigonométrica, vamos calcular a 1ª determinação positiva de cada um deles:

• 1.830° = 30° + 5 ⋅ 360°

• 14(pi)"π = 7 ⋅ 2(pi)"π = 0 + 7 ⋅ 2(pi)"π

• $\frac{16\pi }{3}=\frac{12\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ + 2 ⋅ 2(pi)"π

Então, 1.830° é côngruo a 30°, 14(pi)"π é côngruo a 0 e $\frac{16\pi }{3}$ é côngruo a $\frac{4\pi }{3}$. Com base nessas informações, vamos calcular as razões trigonométricas da expressão.

• sen 1.830° = sen 30° = $\frac{1}{2}$

• cos 14(pi)"π = cos 0° = 1

• sen $\frac{16\pi }{3}$ = sen $\frac{4\pi }{3}$

O arco $\frac{4\pi }{3}$ está no terceiro quadrante e $\frac{4\pi }{3}$ = (pi)"π + $\frac{\pi }{3}$ Assim:

Então: sen $\frac{4\pi }{3}$ = −sen $\frac{\pi }{3}$ = $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

Agora quêque temos os valores de todas as razões trigonométricas, vamos substituí-las na expressão para determinar o valor de E.

E = $\begin{array}{c}\frac{\frac{1}{2}+1}{-\frac{\sqrt[]{3}}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt[]{3}}{2}}=\frac{3}{2}\cdot (-\frac{2}{\sqrt[]{3}})\end{array}$ = $\begin{array}{c}-\frac{3}{\sqrt[]{3}}=-\frac{3}{\sqrt[]{3}}\cdot \frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}=-\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, E = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$.

9. Dado sen (alfa)"α = $\frac{3}{4}$, com 0 < (alfa)"α < $\frac{\pi }{2}$ calcule cos (alfa)"α.

Resolução

No enunciado, é dado o valor do seno de um ângulo no primeiro quadrante e é pedido o cosseno dêêssedesse ângulo. A relação fundamental da Trigonometria relaciona o seno e o cosseno de um ângulo, então vamos aplicá-la.

sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1 ⇒ $\begin{array}{c}{\left(\frac{3}{4}\right)}^2\end{array}$ + cos² (alfa)"α = 1

$\frac{9}{16}$ + cos² (alfa)"α = 1 ⇒ cos² (alfa)"α = $\frac{7}{16}$

cos (alfa)"α = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{\frac{7}{16}}\end{array}$ ⇒ cos (alfa)"α = $\begin{array}{c}\pm \frac{\sqrt[]{7}}{4}\end{array}$

Agora, precisamos determinar se o cosseno é positivo ou negativo. Do enunciado, sabemos quêque o ângulo (alfa)"α pertence ao primeiro quadrante. Estudamos quêque o cosseno nesse quadrante é positivo. Então:

cos (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{7}}{4}\end{array}$

Página cento e sessenta e sete167

10. Para quais valores de m temos, simultaneamente, sen (alfa)"α = m + 1 e cos (alfa)"α = m?

Resolução

Vamos usar a relação fundamental para substituir os valores de seno e de cosseno e determinar os possíveis valores de (alfa)"α.

sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1 ⇒ (m + 1)² + m² = 1 ⇒ m² + 2m + 1 + m² − 1 = 0 ⇒ 2m² + 2m = 0 ⇒ m(2m + 2) = 0 ⇒ m = 0 ou 2m + 2 = 0 ⇒ m = −1

Portanto, os possíveis valores são m = 0 ou m = −1.

ATIVIDADES

18. Calcule os valores indicados a seguir.

a) sen 150°

$\frac{1}{2}$

b) cos 150°

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

c) sen 240°

$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

d) cos 240°

$-\frac{1}{2}$

e) sen 315° + cos 315°

zero

19. Calcule os valores do seno e do cosseno dos seguintes arcos:

Ver as Orientações para o professor.

a) 135°

b) $\frac{5\pi }{6}$

c) $\frac{19\pi }{4}$

d) −240°

20. (hú- hê- érre jotaUERJ) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AP}\end{array}$ determina um arco de 120°.

As coordenadas de P são:

a) $\begin{array}{c}(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt[]{3}}{2})\end{array}$

b) $\begin{array}{c}(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt[]{2}}{2})\end{array}$

c) $\begin{array}{c}(-\frac{\sqrt[]{3}}{2},\frac{1}{2})\end{array}$

d) $\begin{array}{c}(-\frac{\sqrt[]{2}}{2},\frac{1}{2})\end{array}$

alternativa a

21. Encontre o número real expresso por:

a) sen 360° + sen 540° − 4 sen 1.710°

4

b) cos 810° + 4 cos 3.780° $-\frac{1}{2}$ cos 1.350°

−4

22. Usando (pi)"π ≃ 3,14, verifique se:

a) sen 8 > 0;

verdadeiro

b) cos 10 < 0;

verdadeiro

c) sen 5 > 0.

falso

• Reúna-se a um colega e explique a ele como você raciocinou para realizar a atividade. Vocês pensaram da mesma maneira?

Resposta pessoal.

23. Simplifique as expressões a seguir.

a) sen (9(pi)"π − (alfa)"α) + sen (5(pi)"π − (alfa)"α)

2sen (alfa)"α

b) sen ((alfa)"α − 900°) + cos ((alfa)"α − 540°)

−sen (alfa)"α − cos (alfa)"α

c) sen (4(pi)"π − (alfa)"α) + cos (8(pi)"π − (alfa)"α) − sen (720° − (alfa)"α)

cos (alfa)"α

24. Determine o quadrante em quêque está o arco (alfa)"α sabendo quêque:

a) cos (alfa)"α > 0 e sen (alfa)"α > 0

primeiro quadrante

b) sen (alfa)"α > 0 e cos (alfa)"α < 0

segundo quadrante

25. Represente, na circunferência trigonométrica, um ângulo (alfa)"α tal quêque:

Ver as Orientações para o professor.

a) sen (alfa)"α = $-\frac{3}{4}$

b) sen (alfa)"α = $\frac{7}{10}$

c) sen (alfa)"α = $\frac{1}{5}$ com (alfa)"α ∈ $[\frac{\pi }{2},\pi ]$

26. Sabendo quêque (alfa)"α = $\frac{\pi }{2}$, calcule:

A = sen $\frac{\alpha }{2}$ − 3 sen 2(alfa)"α + $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{}3\mathrm{\alpha }}{4}$

A = $\begin{array}{c}\frac{2\sqrt[]{2}-1}{4}\end{array}$

27. Calcule o valor da expressão:

2sen (pi)"π ⋅ sen ((pi)"π − (alfa)"α) ⋅ sen $\begin{array}{c}\left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)\end{array}$ para (alfa)"α = $\frac{\pi }{5}$

zero

Página cento e sessenta e oito168

28. Calcule o valor da expressão:

sen 8(pi)"π + sen $\frac{11\pi }{2}$ − sen $\frac{13\pi }{6}$

$$-\frac{3}{2}$$

29. Relacione os senos e cossenos da coluna da esquerda com os seus respectivos valores na coluna da direita.

Alguns valores serão relacionados com mais de uma razão trigonométrica.

a) sen 120°

b) sen 150°

c) cos 120°

d) cos 150°

e) sen $(-\frac{\pi }{6})$

f) sen $\begin{array}{c}\left(\frac{5\pi }{6}\right)\end{array}$

g) cos $(-\frac{\pi }{6})$

h) cos $\begin{array}{c}\left(\frac{5\pi }{6}\right)\end{array}$

I. $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

II. $\frac{1}{2}$

III. $\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$

IV. $-\frac{1}{2}$

a-I; b-II; c-IV; d-III; e-IV; f-II; g-I; h-III

30. (PUC-SP) Sendo cos x = $\frac{1}{m}$ e sen x = $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{m+1}}{m}\end{array}$, determine m.

2 ou −1

31. (Fuvest-SP) Qual dos números é maior? Justifique.

a) sen 830° ou sen 1.195°

sen 830°

b) cos (−535°) ou cos 190°

cos 190°

32. (FEI-SP) Calcular sen $\begin{array}{c}\left(\frac{7\pi }{2}\right)\end{array}$ ⋅ cos (31(pi)"π).

1

33. Se k ∈ ℕ e k < 4, quanto vale a soma dos números da forma cos (k ⋅ $\frac{\pi }{2}$)?

zero

34. Sendo sen (alfa)"α = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a-2}\end{array}$ e cos (alfa)"α = a − 1, determine a.

a = 2

35. (UFMS) Calcule todos os valores reais de (alfa)"α, para os quais valem, simultaneamente, as igualdades sen x = a + $\frac{1}{2}$ e cos x = a $-\frac{1}{2}$, sêndosendo x um número real.

a = $\pm \frac{1}{2}$

36. Adotando sen 25° = 0,42 e cos 25° = 0,91, calcule:

a) sen 205° e cos 205°

−0,42; −0,91

b) sen (−25°) e cos (−25°)

−0,42; 0,91

c) sen 335° e cos 335°

−0,42; 0,91

37. Você já ouviu falar no Sangaku?

• Acompanhe um exemplo de problema encontrado em um Sangaku datado de 1879.

[...] um anel de oito pequenos círculos de raio t, cujos centros se encontram nos vértices de um octógono regular, é circunscrito por um círculo de raio R e circunscreve um círculo de raio r. Encontre R e r em termos de t.

SANTOS, Thaynara K. O. Sangaku: a matemática sagrada. 2018. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo, São Paulo, 2018. p. 46. Disponível em: https://livro.pw/pcnus. Acesso em: 12 set. 2024.

Agora, reúna-se a um colega e façam o quêque se pede em cada item a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

a) Vocês já tí-nhãotinham ouvido falar a respeito do Sangaku? Pesquisem sobre ele, suas origens, problemas escritos nele e informações quêque tênhamtenham curiosidade em saber.

b) Resolvam o problema do Sangaku apresentado. Dado: sen 22,5° ≃ 0,38.

c) Agora é a vez de vocês! Criem um painel inspirado no Sangaku: pensem em um problema geométrico quêque envolva os conteúdos vistos até agora e o representem em uma fô-lhafolha de papel. Depois, tróquemtroquem o Sangaku criado com outra dupla, para quêque uma resôuvaresolva o problema elaborado pela outra.

Resposta pessoal.

Página cento e sessenta e nove169

Tangente de um arco

Já analisamos o comportamento das razões seno e cosseno na circunferência trigonométrica. Agora, vamos estudar o comportamento da tangente.

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica associado ao número real (alfa)"α. Isto é, M é a extremidade final do arco $\begin{array}{c}\stackrel{⏜}{AM}\end{array}$ de medida (alfa)"α radianos.

Tomemos o eixo t, paralelo ao eixo dos senos, orientado no mesmo sentido e tangente à circunferência no ponto A. O eixo t é chamado de eixo das tangentes, e o ponto A é a origem do eixo das tangentes.

Seja T o ponto de intersecção da reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{OM}\end{array}$ com o eixo t das tangentes. Define-se:

Verificamos quêque:

• essa definição preserva a relação entre tangente, seno e cosseno para qualquer ângulo (alfa)"α, em quêque cos (alfa)"α ≠ 0. Por exemplo, no primeiro quadrante, nos triângulos OM(segundos)"″M e OAT da figura anterior, temos:

(triângulo)"△OM(segundos)"″M ∼ (triângulo)"△OAT ⇒ $\begin{array}{c}\frac{O{M}^{\mathrm{\text{'}\text{'}}}}{OA}=\frac{M^{\mathrm{\text{'}\text{'}}}M}{AT}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}\frac{\cos \alpha }{1}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }\end{array}$ ⇒ cos (alfa)"α ⋅ tg (alfa)"α = 1 ⋅ sen (alfa)"α ⇒ tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }\end{array}$ com cos (alfa)"α ≠ 0

• quando a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{OM}\end{array}$ coincide com o eixo dos cossenos, temos tg (alfa)"α = 0.

Observe quêque a ordenada de T é 0 quando isso acontece. Assim, tg 0° = 0 e tg (pi)"π = 0.

Note quêque, nesse caso, vale a relação tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }\end{array}$, pois sen 0° = 0 e sen (pi)"π = 0.

• quando a reta $\begin{array}{c}\stackrel{⃡}{OM}\end{array}$ coincide com o eixo dos senos, não existe ponto de intersecção T dessa reta com o eixo das tangentes, então não existe tg (alfa)"α. Assim, tg $\frac{\pi }{2}$ e tg 270° não estão definidas.

Portanto, a tangente só não está definida para $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π, com k ∈ ℤ.

Como o eixo das tangentes é orientado para cima, a tangente é positiva quando (alfa)"α é do primeiro ou do terceiro quadrantes e é negativa quando (alfa)"α é do segundo ou do quarto quadrantes, como indicado nas imagens da página a seguir.

A tangente de um ângulo também pódepode sêrser indicada como tan. Escrever tg (alfa)"α é o mesmo quêque escrever tan (alfa)"α. Essa notação pódepode sêrser encontrada, por exemplo, em algumas calculadoras científicas e programas de computador.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e setenta170

1) No primeiro quadrante, a tangente é positiva.

2) No segundo quadrante, a tangente é negativa.

3) No terceiro quadrante, a tangente é positiva.

4) No quarto quadrante, a tangente é negativa.

Alguns valores da tangente

Assim como fizemos com o seno e o cosseno, vamos determinar o valor da tangente para alguns arcos mais comuns na circunferência trigonométrica. Para isso, será necessário usar a relação entre as razões tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }\end{array}$ e os valores de seno e cosseno dêêssesdesses ângulos vistos anteriormente. Assim:

• tg 30° = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{30}^{\circ }}{\cos {30}^{\circ }}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

• tg 45° = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{45}^{\circ }}{\cos {45}^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}\end{array}$ = 1

• tg 60° = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{60}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{3}\end{array}$

Espera-se quêque os estudantes concluam quêque não há um valor mássimomáximo nem um valor mínimo, pois a tangente cresce ou diminui indefinidamente.

Logo, podemos escrever:

Página cento e setenta e um171

Resposta pessoal.

Redução ao primeiro quadrante

Assim como fizemos com o seno e o cosseno, podemos usar as simetrias na circunferência trigonométrica e os valores da tangente no primeiro quadrante para determinar a tangente de arcos nos demais quadrantes. Nesse caso, também estamos fazendo uma redução ao primeiro quadrante.

Acompanhe, a seguir, como fazer essa redução ao primeiro quadrante a partir de cada um dos demais quadrantes para (alfa)"α ∈ ℝ e (alfa)"α ≠ $\frac{\pi }{2}$ + k(pi)"π, com k ∈ ℤ.

• Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante

• Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante

• Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante

Página cento e setenta e dois172

ATIVIDADES RESOLVIDAS

11. Determine o valor de tg 1.845°.

Resolução

O arco de 1.845° é maior do quêque uma volta.

Então, vamos calcular a 1ª determinação positiva dele:

1.845° = 45° + 5 ⋅ 360°

Logo, 1.845° é côngruo a 45°. Assim: tg 1.845° = tg 45° = 1

Portanto, tg 1.845° = 1.

12. Sabendo quêque cos (alfa)"α = $\frac{5}{13}$ e sen (alfa)"α > 0, calcule tg $\frac{\alpha }{2}$ − (alfa)"α.

Resolução

Vamos usar a relação fundamental da Trigonometria para determinar o valor de sen (alfa)"α.

sen² (alfa)"α + cos² (alfa)"α = 1 ⇒ sen² (alfa)"α + $\begin{array}{c}{\left(\frac{5}{13}\right)}^2\end{array}$ = 1 ⇒ sen² (alfa)"α = 1 − $\frac{25}{169}$ ⇒ sen² (alfa)"α = $\frac{144}{169}$ ⇒ sen (alfa)"α = $\pm \frac{12}{13}$

Do enunciado, sen (alfa)"α > 0. Então, sen (alfa)"α = $\frac{12}{13}$.

Temos quêque tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }\end{array}$, então:

tg (alfa)"α = $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\end{array}$ ⇒ tg (alfa)"α = $\frac{12}{13}\cdot \frac{13}{5}=\frac{12}{5}$

Portanto, tg (alfa)"α = $\frac{12}{5}$.

ATIVIDADES

38. Calcule o valor de:

a) tg 150°

$$\begin{array}{c}-\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$$

b) tg (−945°)

−1

c) tg $\frac{5\pi }{3}$

$$\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$$

d) tg 7(pi)"π

zero

39. Determine o valor de tg (alfa)"α, dado quêque sen (alfa)"α = $\frac{4}{5}$ e cos (alfa)"α > 0.

$$\frac{4}{3}$$

40. Calcule A = sen 3(alfa)"α + cos 4(alfa)"α − tg 2(alfa)"α para (alfa)"α = $\frac{\pi }{2}$.

zero

41. Calcule o valor de cos 510° + tg $\frac{3\pi }{4}$.

$$\begin{array}{c}\frac{-2-\sqrt[]{3}}{2}\end{array}$$

42. Que número é maior: tg 1 ou tg 7?

tg 1

• Explique a um colega como você raciocinou para resolver a atividade. Vocês pensaram da mesma maneira?

Resposta pessoal.

43. Calcule o valor de:

a) tg (alfa)"α + tg 3(alfa)"α + tg 5(alfa)"α para (alfa)"α = $\frac{\pi }{4}$

1

b) tg (alfa)"α + tg 2(alfa)"α + tg 4(alfa)"α para (alfa)"α = −60°

$$\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$$

44. Determine m para quêque $\frac{\pi }{3}$ seja raiz da equação:

tg² (alfa)"α − m cos² (alfa)"α + sen² (alfa)"α = 0

m = 15

45. Sendo sen (alfa)"α = $-\frac{3}{5}$ e (pi)"π < (alfa)"α < $\frac{3\pi }{2}$ calcule:

a) cos (alfa)"α