Resoluções das atividades

Capítulo 1 • Pesquisa estatística

Atividades

1. a) População quilombola

CAMPOS, Ana Cristina. Censo 2022: Brasil tem 1,32 milhão de quilombolas. Agência Brasil, Brasília, DF, 27 jul. 2023. Disponível em: https://livro.pw/esumr. Acesso em: 31 ago. 2024.

b) Dos 5.568 municípios brasileiros, 1.696 tí-nhãotinham moradores quilombolas. Assim:

$\frac{1696}{5568}$ 100% ≃ 30,46%

Logo, aproximadamente 30,46% dos municípios brasileiros têm moradores quilombolas.

c) Não, pois, de acôr-doacordo com o texto, da população de 1.327.802 quilombolas no Brasil, 15.999 moram em Senhor do Bonfim (BA), cujo percentual do total de quilombolas corresponde a:

$\frac{15999}{1327802}$ ⋅ 100% ≃ 1,2%.

d) Os dois estados em quêque não há territórios quilombolas oficialmente demarcados são ÁcriAcre e Roraima, localizados na Região Norte do Brasil.

e) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque sim, pois a pesquisa é censitária, isto é, todos os indivíduos da população-alvo foram entrevistados.

2. Resposta pessoal. Respostas possíveis: Pesquisa censitária: número de habitantes de uma cidade e perfil socioeconômico dos participantes de um concurso público; pesquisa amostral: pesquisa de opinião sobre a qualidade de um produto e pesquisa de intenção de voto em uma eleição. Há outras respostas possíveis.

3. O senador 2. A amostra não representa a população do país, pois ela não foi selecionada d fórmade forma aleatória e apenas as pessoas quêque tí-nhãotinham conhecimento e interêsseinteresse no novo projeto responderam à enquete.

4. Amostra sistemática. Há uma regra estabelecida (senhas com números múltiplos de 15), mas se mantém a aleatoriedade (não é possível saber o perfil das pessoas quêque foram ao banco).

5. O percentual do total de estudantes quêque participaram da pesquisa é:

$\frac{257}{1285}$ 100% = 20%

Calculando esse percentual em relação a cada estrato, obtém-se:

• 0,2 ⋅ 535 = 107 (homens);

• 0,2 ⋅ 750 = 150 (mulheres).

Logo, participaram da pesquisa 107 homens e 150 mulheres.

Resposta: alternativa a.

6. a) Resposta pessoal. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque sim, pois 13% das vítimas sofreram a primeira ocorrência de agressão até os 14 anos, 17% sofreram na faixa dos 15 aos 18 anos e 22% sofreram na faixa entre 19 e 24 anos.

b) É uma variável quantitativa, pois é indicada por um número.

7. a) A margem de êrroerro da pesquisa é de 2%. Logo, o intervalo de confiança da intenção de votos do candidato B é

[14,96%; 18,96%], pois:

16,96% − 2% = 14,96%

16,96% + 2% = 18,96%

b) Não. A pesquisa estima quêque a intenção real x de votos para o candidato A pertence ao intervalo [24,76%; 28,76%], enquanto a intenção real y de votos para o candidato B pertence ao intervalo [24,67%; 28,67%]. Desse modo, não é possível saber se x é maior do quêque, menor do quêque ou igual a y. Assim, não há certeza de quêque o candidato A vencerá as eleições.

c) 0,1696 ⋅ 2.040 = 345,984 ≃ 346

Logo, o candidato B teve aproximadamente 346 votos.

d) (0,0520 + 0,0480 + 0,0868) ⋅ 2.040 = 381,072 ≃ 381

Portanto, aproximadamente 381 pessoas responderam votos nulos/brancos, estão indecisas ou não opinaram.

8. Ao analisar os gráficos I e II, observa-se quêque os pontos correspondentes destacados, referentes ao número de linhas telefônicas em determinados meses, coincidem em ambas as representações. A diferença entre elas é na escala adotada, onde o gráfico I tem, no eixo vertical, intervalos de 50 em 50 unidades de linhas telefônicas representados sem indicação de quebra de escala entre 0 (zero) e 2.000 em comparação com o gráfico II, no qual os intervalos de 50 em 50 unidades de linhas telefônicas estão representados a partir de 2.000. Além díssudisso, no eixo horizontal, determinados meses estão representados com distância maior entre eles em comparação aos espaçamentos do gráfico II. Desse modo, para um leitor menos atento ou quêque não possua a habilidade de leitura de gráficos totalmente desenvolvida, no gráfico I é gerada a impressão de quêque o número de linhas telefônicas aumentou pouco ao longo dos meses em comparação ao gráfico II.

Resposta: alternativa d.

9. A soma indica o total de pessoas entrevistadas quêque responderam “sim”, ou seja, quêque já fizeram uma cirurgia. A média indica a fração de pessoas entrevistadas quêque já fizeram alguma cirurgia.

10. a) As informações necessárias são: quem contratou a pesquisa, quem a pagou, a origem e o valor dos recursos, a metodologia utilizada, o plano amostral, o questionário completo, o nível de confiança, a margem de êrroerro, o período da côlétacoleta dos dados e o nome do profissional estatístico responsável pela pesquisa.

b) Estratificada, pois o plano amostral apresenta a ponderação quanto a gênero, idade, grau de instrução e nível econômico dos entrevistados.

c) Enquetes e sondagens não têm plano amostral, isto é, sua amostra não é representativa da população-alvo, e não utilizam metodologia científica. Logo, seus resultados podem sêrser equivocados e tendenciosos, ou seja, ilustram um retrato parcial, e não completo, da realidade.

11. a) Amostral, pois foram entrevistadas 1.000 pessoas, e não toda a população.

b) Por telefone.

c) 90%. Espera-se quêque os estudantes respondam quêque a notícia diz quêque nove em cada dez brasileiros apoiam a regulamentação das rêdesredes, portanto:

$\frac{9}{10}$ = 0,9 = 90%

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12. Espera-se quêque os estudantes, após a realização da pesquisa, quêque pódepode ou não envolver temas relacionados à cultura juvenil, a depender da escolha de cada grupo, compartilhem com a comunidade escolar os resultados da pesquisa.

13. a) Isaúde = $\frac{\mathrm{45,5}-20}{85-20}$ ≃ 0,392

Logo, o índice de saúde em 1940 foi, aproximadamente, 0,392.

b) Seja x a expectativa de vida em um país.

1 = $\frac{x-20}{85-20}$ ⇒ x = 85

Logo, para quêque o índice de saúde de um país seja 1, a expectativa de vida nesse país deve sêrser 85 anos.

14. O í dê agá êmeIDHM é calculado pela raiz cúbica do produto dos índices de educação, longevidade e renda. Logo:

í dê agá êmeIDHM = $\begin{array}{c}\sqrt[3]{\mathrm{0,757}\cdot \mathrm{0,819}\cdot \mathrm{0,724}}\end{array}$ ≃ 0,766

Portanto, o í dê agá êmeIDHM do Brasil, em 2021, foi 0,766.

15. A região do Brasil com melhor distribuição de renda é aquela quêque apresenta o menor índice de Gini, sêndosendo, neste caso, a Região Sul.

Resposta: alternativa d.

16. O PIB per cápitaper capita (em R$) total da região, com população (em milhões) por estado, é calculado da seguinte maneira:

1 ⋅ 15.000 + 8 ⋅ 15.000 + 3 ⋅ 30.000 + 15 ⋅ 30.000 = 675.000

Logo, o PIB per cápitaper capita (em R$) dessa região é dado por:

$\begin{array}{c}\frac{675000}{1+8+3+15}\end{array}$ = 25.000

Resposta: alternativa d.

17. De acôr-doacordo com o gráfico, a diferença nacional entre a expectativa de vida de mulheres e homens é, aproximadamente, 7 anos. Os dois estados quêque apresentam uma diferença maior do quêque 7 anos são baíaBahia (BA) e Alagoas (AL).

Resposta: alternativa e.

18. A expectativa de vida do brasileiro subiu 0,3 ano, pois:

74,9 − 74,6 = 0,3

Em um ano, há 12 meses, e cada mês foi fixado em 30 dias, logo o cálculo correto é:

0,3 × 12 × 30 ⇒ 3,6 × 30

Resposta: alternativa c.

19. Substituindo na fórmula do CDRS os dados apresentados no gráfico e no enunciado, temos:

CDRS = 1 − $\begin{array}{c}\left(\frac{1200000\cdot 1410}{1000000\cdot 2022}\right)\end{array}$ ≃ 0, 16

Resposta: alternativa b.

20. As médias aritméticas do í dê agá êmeIDHM dos municípios são:

São Caetano do Sul (SP): $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,77}+\mathrm{0,77}+\mathrm{0,92}}{3}\end{array}$ = 0,82

Águas de São Pedro (SP): $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,67}+\mathrm{0,76}+\mathrm{0,85}}{3}\end{array}$ = 0,76

Florianópolis (SC): $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,65}+\mathrm{0,80}+\mathrm{0,80}}{3}\end{array}$ = 0,75

Balneário Camboriú (SC): $\begin{array}{c}\mathrm{0,79}+\mathrm{0,79}+\mathrm{0,79}\end{array}$ = 0,79

Vitória (ES): $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{0,73}+\mathrm{0,78}+\mathrm{0,77}}{3}\end{array}$ = 0,76

O município com a menor média foi Florianópolis, sêndosendo êsteeste o escolhido pela ônguiONG.

Resposta: alternativa a.

21. A média $\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ é 32 anos, pois:

$\begin{array}{c}\overline{x}\end{array}$ = $\frac{60}{100}$ ⋅ 30 + $\frac{40}{100}$ ⋅ 35 = 32

Portanto, a cidade receberá o recurso III.

Resposta: alternativa c.

22. Como nenhum país zerou ou atingiu o índice mássimomáximo, então X é maior do quêque 0 e menor do quêque 1. Sendo assim, nas potências de base X, quanto menor o expoente, maior o valor da potência.

Desse modo, temos:

$\begin{array}{c}{X}^{\frac{1}{3}}\end{array}$ > $\begin{array}{c}\begin{array}{c}{X}^{\frac{1}{2}}\end{array}\end{array}$ > X > X² > X³

Logo, o país com maior IDH é o terceiro.

Resposta: alternativa c.

23. Consideremos y o PIB e z a população do país X em 2021. Em 2022, o PIB per cápitaper capita dêêssedesse país foi:

$\frac{\mathrm{1,18}\cdot y}{\mathrm{1,10}\cdot z}$ ≃ 1,073 ⋅ $\frac{y}{z}$

Assim, o PIB per cápitaper capita do país X cresceu, aproximadamente, 7%.

Resposta: alternativa c.

24. Atividade de pesquisa: oriente os estudantes a como fazer uma pesquisa. Para orientá-los, recomenda-se a leitura do seguinte artigo: MACHADO, Daniela. Aprender a pesquisar e pesquisar para aprender. São Paulo: Instituto Palavra Aberta, 7 nov. 2019. Disponível em: https://livro.pw/imjcb. Acesso em: 4 out. 2024.

Respostas possíveis de ações: para contribuir com a melhoria do índice de educação, podem sêrser promovidas políticas públicas de ampliação do número de escolas e investimento em suas infraestruturas; para o aumento do índice de longevidade, podem sêrser feitas melhorias em saneamento básico, ampliação de setores hospitalares e criação de programas quêque incentivam a formação de novos profissionais da saúde na região; para a melhoria do índice de renda, podem sêrser promovidas ações de aumento e manutenção de empregos e programas de auxílio de distribuição de renda. Há outras ações possíveis.

Atividades complementares

1. A quantidade total de funcionários da empresa representa o conjunto dos indivíduos com o qual se deseja fazer o experimento, ou seja, a população dele. O consumo de litros de á guaágua por funcionário é o quêquestionamento do experimento, que pódepode admitir valores não inteiros, sêndosendo, assim, uma variável contínua da pesquisa. Os funcionários escolhidos arbitrariamente são uma parte da população, ou seja, uma amostra dela; como os funcionários foram escolhidos arbitrariamente, com uma mesma probabilidade de escolha dos demais, esse experimento consiste em uma amostragem aleatória simples.

Resposta: alternativa d.

2. Como a margem de êrroerro da pesquisa é 3%, o percentual de votos dos candidatos X, Y e Z pertence, respectivamente, aos intervalos [33%; 39%], [30%; 36%] e [28%; 34%]. Caso o candidato Z tenha 34% e o candidato X, 33%, o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no mássimomáximo, 1% sobre X.

Resposta: alternativa d.

3. A razão entre as colunas B e A no gráfico 1 é $\frac{3}{7}$.

A razão entre as colunas B e A no gráfico 2 é $\frac{1}{5}$

Efetuando a diferença entre as razões, temos:

$$\begin{array}{c}\frac{3}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8}{35}\end{array}$$

Resposta: alternativa e.

4. Segundo o texto e os dados apresentados, o IDH do Brasil:

• de 1990 a 2000 teve aumento de 0,065;

• de 2000 a 2010 teve aumento de 0,050.

Assim, a variação dêêssesdesses aumentos, a cada dez anos, não foi proporcional e foi decrescente.

Resposta: alternativa c.

5. Nos municípios X e Z, ao longo da década de 1990, os índices do IDH quêque aumentaram estão relacionados à longevidade e à educação. Nesse mesmo período, no município Y, houve um aumento dos três tipos de índice do IDH (renda, longevidade e educação). Logo, as políticas bem implementadas nos três municípios foram II e III, apenas.

Resposta: alternativa d.

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6. A média de casos confirmados em todas as regiões é dada por:

$\begin{array}{c}\frac{237+262+158+159+160+278+300+278}{8}\end{array}$= 229

Em 5 regiões, o número de casos é maior do quêque a média de casos, enquanto nas outras 3, o número de casos é inferior à média. Assim, o número de funcionários quêque a prefeitura deverá contratar é 71, pois:

5 ⋅ 10 + 3 ⋅ 7 = 71

Resposta: alternativa d.

7. É possível observar no gráfico de radar, quêque o gênero “Infantil” vendeu 30 obras em 2020 e em 2021. O gênero Biografias também vendeu 30 obras em 2020 e em 2021.

Resposta: alternativa d.

8. Calculando a média de cada estudante, temos:

$\begin{array}{c}\frac{0+3+4}{3}=\frac{7}{3}\end{array}$ (André)

$\begin{array}{c}\frac{2+4+1}{3}=\frac{7}{3}\end{array}$ (Beatriz)

$\begin{array}{c}\frac{3+3+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}$ (Cecília)

$\begin{array}{c}\frac{4+0+1}{3}=\frac{5}{3}\end{array}$ (Daniel)

Logo, Cecília teve a maior média das notas nas três provas.

Resposta: alternativa c.

9. a) Atividade de pesquisa: oriente os estudantes acerca dos problemas relacionados a não indicar fontes consultadas e ao plágio. Para orientá-los, recomenda-se a leitura do seguinte material: BATISTA, Andreza Pereira éti áuet al. Para o plágio eu digo não!: guia de boas práticas. Fortaleza: UFC, 2021. Disponível em: https://livro.pw/uhgdv. Acesso em: 4 out. 2024.

b) Resposta pessoal. Algumas instituições de ensino superior com vestibular específico para povos indígenas, conforme especificado em seus sáitessites, em 2024, são: UFRR, UFPE, UnB-DF, Unicamp-SP e UFSM-RS.

Capítulo 2 • Progressões

Atividades

1. Para representar as sequências, vamos considerar os quatro primeiros termos, ou seja, aqueles cujos índices são 1, 2, 3 e 4.

a) a_n = 3n − 1

a₁ = 3 ⋅ 1 − 1 = 2; a₂ = 3 ⋅ 2 − 1 = 5;

a₃ = 3 ⋅ 3 − 1 = 8; a₄ = 3 ⋅ 4 − 1 = 11

(2, 5, 8, 11, …)

b) a_n = 2ⁿ⁻¹

a₁ = 2¹⁻¹ = 1; a₂ = 2²⁻¹ = 2;

a₃ = 2³⁻¹ = 4; a₄ = 2⁴⁻¹ = 8

(1, 2, 4, 8, …)

c) a_n = 1 + (−1)ⁿ

a₁ = 1 + (−1)¹ = 0; a₂ = 1 + (−1)² = 2;

a₃ = 1 + (−1)³ = 0; a₄ = 1 + (−1)⁴ = 2

(0, 2, 0, 2, …)

d) a_n = n² − 1

a₁ = 1² − 1 = 0; a₂ = 2² − 1 = 3;

a₃ = 3² − 1 = 8; a₄ = 4² − 1 = 15

(0, 3, 8, 15, …)

2. a) Calcular o quinto e o oitavo termos de uma sequência equivale considerar n = 5 e n = 8, respectivamente. Logo:

a₅ = 3 ⋅ 5 + 1 ⇒ a₅ = 16

a₈ = 3 ⋅ 8 + 1 ⇒ a₈ = 25

b) Para determinar a ordem (posição) de um termo, no caso, 49, deve-se considerar a_n = 49 e, em seguida, calcular o valor de n. Logo:

49 = 3n + 1 ⇒ n = 16

Portanto, o termo 49 ocupa a 16ª posição dessa sequência.

c) Considerando a_n = 1.001, para quêque esse termo pertença a essa sequência, deve-se ter, necessariamente, um valor de n natural. Assim:

1.001 = 3n + 1 ⇒ n = $\begin{array}{c}\frac{1000}{3}\end{array}$

Como n ∉ ℕ*, conclui-se quêque 1.001 não é um termo dessa sequência.

3. a) Considerando n = 100, obtém-se: f(100) = 2 ⋅ 100 − 1 = 199.

b) Considerando a_n = 99, obtém-se: 99 = 2n − 1 ⇒ n = 50.

Portanto, o número 99 ocupa a 50ª posição dessa sequência.

c) Calculando cada termo da sequência, conforme o enunciado, obtêm-se:

f(1) + f(7) = 2 ⋅ 1 − 1 + 2 ⋅ 7 − 1 = 1 + 13 = 14

f(2) + f(6) = 2 ⋅ 2 − 1 + 2 ⋅ 6 − 1 = 3 + 11 = 14

f(3) + f(5) = 2 ⋅ 3 − 1 + 2 ⋅ 5 − 1 = 5 + 9 = 14

Portanto, conclui-se quêque a soma é sempre igual a 14.

4. a) Se a₁ = 3 e a_n = 2a_{n − 1} − 5, então:

a₂ = 2a₁ − 5 = 2 ⋅ 3 − 5 = 1

a₃ = 2a₂ − 5 = 2 ⋅ 1 − 5 = −3

a₄ = 2a₃ − 5 = 2 ⋅ (−3) − 5 = −11

(3, 1, −3, −11, …)

b) Se a₁ = 2 e a_n = (a_{n − 1})², então:

a₂ = (a₁)² = (2)² = 4

a₃ = (a₂)² = (4)² = 16

a₄ = (a₃)² = (16)² = 256

(2, 4, 16, 256, …)

c) Se a₁ = 2 e a_n = $\begin{array}{c}\frac{1}{a_{n-1}}\end{array}$ então:

a₂ = $\begin{array}{c}\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}\end{array}$

a₃ = $\begin{array}{c}\frac{1}{a_2}\end{array}$ = 2

a₄ = $\begin{array}{c}\frac{1}{a_3}=\frac{1}{2}\end{array}$

(2, $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$, 2, $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$,…)

d) Se a₁ = 0 e a_n = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a_{n-1}+1}\end{array}$ então:

a₂ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a_1+1}\end{array}$ = 1

a₃ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a_2+1}=\sqrt[]{2}\end{array}$

a₄ = $\begin{array}{c}\sqrt[]{a_3+1}=\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}\end{array}$

(0, 1, $\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$, $\begin{array}{c}\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}\end{array}$, …)

• Resposta possível:

No item a, o 1º termo é 3, e cada termo a partir do 2º é obtídoobtido pela diferença entre o dôbrodobro do termo anterior e 5.

No item b, o 1º termo é 2, e cada termo a partir do 2º é obtídoobtido pelo quadrado do termo anterior.

No item c, o 1º termo é 2, e cada termo a partir do 2º é obtídoobtido pelo inverso do termo anterior.

No item d, o 1º termo é 0, e cada termo a partir do 2º é obtídoobtido pela raiz quadrada da soma do termo anterior com 1.

5. a) Ao observar a sequência das macieiras, pode-se escrever a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 9 e a₄ = 16. Portanto, o termo geral é a_n = n². De forma análoga, ao analisar a sequência dos pinheiros, tem-se a₁ = 8, a₂ = 16, a₃ = 24 e a₄ = 32. Portanto, o termo geral é a_n = 8n.

b) O número de macieiras será maior do quêque o número de pinheiros quando:

n² > 8n ⇒ n² − 8n > 0

Resolvendo a equação n² − 8 = 0, obtém-se n(minutos)"′ = 0 e n” = 8

Portanto, n < 0 ou n > 8.

Como devemos considerar n um número natural, pois o valor de n indica a quantidade de macieiras, logo um valor positivo, tem-se n > 8.

Assim, o número de macieiras será maior do quêque o número de pinheiros a partir de n = 9.

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6. a) Considere 5 o termo central, portanto 25 e 1 serão os outros dois termos.

Então 5 ≠ $\frac{25+1}{2}$ e, portanto, a sequência não é uma PA.

b) Como todos os termos são iguais, a sequência é uma PA constante de razão 0.

c) Em uma PA, a razão é constante e dada por:

r = a_{n + 1} − a_n

Na sequência dada, observa-se quêque:

30 − 36 = 24 − 30 = 18 − 24 = −6

Portanto, a sequência é uma PA de razão −6.

d) Considere 16 o termo central, portanto 13 e 20 serão os outros dois termos. Então 16 ≠ $\frac{13+20}{2}$ e, portanto, a sequência não é uma PA.

e) Em uma PA, a razão é constante e dada por:

r = a_{n + 1} − a_n

Na sequência dada, observa-se quêque:

9 − 2 = 16 − 9 = 23 − 16 = 30 − 23 = 7

Portanto, a sequência é uma PA de razão 7.

7. a) Como o primeiro termo é 10 e a razão é 3, então: (10, 13, 16, 19, 22).

b) Como o primeiro termo é −3 e a razão é 5, então: (−3, 2, 7, 12, 17, 22).

c) Como o primeiro termo é a + 2 e a razão é a, então: (a + 2, 2a + 2, 3a + 2, 4a + 2).

8. Uma sequência será uma PA quando a razão da progressão for constante.

a) a_n = 3n − 1

r = a_{n + 1} − a_n

r = 3(n + 1) − 1 − (3n − 1) = 3n + 3 − 1 − 3n + 1 = 3

Portanto, é uma PA de razão 3.

b) a_n = n²

r = a_{n + 1} − a_n

r = (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1

Portanto, não é uma PA, pois a diferença entre os termos não é constante.

9. Sejam r a razão da PA e a seu primeiro termo. Como a é o termo anterior a 11 e sabendo quêque 20 é o quinto termo, utilizando o termo geral da PA, tem-se:

20 = a + 4r ⇒ 20 = 11 − r + 4r ⇒ r = 3

Assim, conclui-se quêque:

a = 11 − 3 = 8 e c = 20 − r = 20 − 3 = 17

Pelo teorema de Pitágoras, sêndosendo 17 cm a medida da hipotenusa e 8 cm a medida de um dos catetos, o outro terá a medida de 15 cm.

Resposta: alternativa d.

10. Para calcular o vigésimo termo de uma PA, é necessário ter o valor da razão e do primeiro termo. Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = −8. Assim, para obtêrobter a razão, fazemos:

r = −3 − (−8) = 5

Utilizando o termo geral de uma PA, obtém-se:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₂₀ = −8 + 19 ⋅ 5 = 87

11. Como o enunciado fornece os valores da razão da progressão e, também, do primeiro termo da PA, pode-se utilizar o termo geral para calcular a posição do termo igual a 44. Sendo assim:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ 44 = 4 + (n − 1) ⋅ 5 ⇒ n = 9

Portanto, o termo 44 ocupa a 9ª posição dessa PA.

12. Para determinar o termo geral de uma PA, é necessário conhecer o primeiro termo e a razão. Como o enunciado forneceu os dois primeiros termos da PA, tem-se quêque:

r = 7 − 2 = 5

Como a₁ = 2, obtém-se:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a_n = 2 + (n − 1) ⋅ 5 ⇒ a_n = 5n − 3

13. Os números ímpares são (1, 3, 5, …), portanto a₁ = 1 e r = 2, pois r = 3 − 1 = 2. Assim, o 60º número ímpar será o termo a₆₀. Logo:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₆₀ = 1 + (60 − 1) ⋅ 2 ⇒ a₆₀ = 119

14. Analisando a PA, é possível identificar quêque a₁ = 5 e r = 5, pois r = 10 − 5 = 5. Como a_n = 785, pode-se utilizar o termo geral da PA para calcular o valor de n, quêque, nesse caso, equivale à quantidade de termos da PA. Portanto:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ 785 = 5 + (n − 1) ⋅ 5 ⇒ 5n = 785 ⇒ n = 157

Sendo assim, a PA tem 157 termos.

15. Para determinar um termo qualquer de uma PA, é necessário saber o primeiro termo dessa PA e a razão para, então, utilizar o termo geral. Sendo assim:

a) a₁ = 6,5

r = 7,0 − 6,5 = 0,5

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₁₅ = 6,5 + (15 − 1) ⋅ 0,5 ⇒ a₁₅ = 13,5

b) a₁ = 3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$

r = 4 − (3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$) = 1 − $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₂₀ = 3 + $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$ + (20 − 1) ⋅ (1 − $\begin{array}{c}\sqrt[]{5}\end{array}$) ⇒ a₂₀ = 22 − $\begin{array}{c}18\sqrt[]{5}\end{array}$

c) a₁ = 1 + (pi)"π e

r = −1 + 2(pi)"π − (1 + (pi)"π) = −2 + (pi)"π

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₁₀ = 1 + (pi)"π + (10 − 1) ⋅ (−2 + (pi)"π) ⇒ a₁₀ = −17 + 10(pi)"π

• Uma resposta possível seria utilizar, por exemplo, a₁ = $\frac{1}{3}$ e a₂ = $\frac{8}{9}$ e pedir o cálculo de a₅. Assim:

a₁ = $\frac{1}{3}$ e r = $\frac{8}{9}-\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₅ = $\frac{1}{3}$ + (5 − 1) ⋅ $\frac{5}{9}$ ⇒ a₅ = $\frac{23}{9}$

16. Construindo um esboço quêque represente a situação do enunciado, tem-se:

Portanto:

40°+ 40° + r + 40° + 2r = 180° ⇒ r = 20°

Logo, os outros dois ângulos médemmedem:

$\widehat{A}$ = 40° + 20° = 60°

$\widehat{C}$ = 40° + 40° = 80°

17. Considerando os dados fornecidos pelo enunciado, sabe-se quêque a₈ = 16 e a₁₀ = 20. Sendo assim, utilizando o termo geral da PA, obtém-se o sistema:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}16=a_1+7r\\ 20=a_1+9r\end{array}\end{array}$$

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtém-se r = 2. Substituindo esse resultado em qualquer uma das equações, tem-se a₁ = 2.

Portanto, a₁ = 2 e r = 2.

18. De acôr-doacordo com a figura, é possível observar quêque:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}1\mathrm{triângulo}:3\mathrm{palitos}\\ 2\mathrm{triângulos}:5\mathrm{palitos}\\ 3\mathrm{triângulos}:7\mathrm{palitos}\\ ⋮⋮\\ 100\mathrm{triângulos}:a_{100}\end{array}\end{array}$$

Assim: a₁ = 3, r = 2 e n = 100.

Então: a₁₀₀ = 3 + 99 ⋅ 2 ⇒ a₁₀₀ = 201.

Serão necessários 201 palítospalitos para construir 100 triângulos.

Página trezentos e cinquenta e oito358

19. Considerando as informações do sistema, pode-se reescrevê-lo a partir da definição de PA.

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1+3a_2=5\Rightarrow a_1+3\cdot (a_1+r)=5\\ 4a_3-2a_6=-8\Rightarrow 4\cdot (a_1+2r)-2(a_1+5r)=-8\end{array}\end{array}$$

Logo:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}4a_1+3r=5\\ 2a_1-2r=-8\end{array}\end{array}$$

Resolvendo o sistema, obtêm-se r = 3 e a₁ = −1.

Portanto, a PA é dada por (−1, 2, 5, …).

20. A atividade trata de uma PA composta de 5 termos. Sendo assim, consideram-se os termos como a₁ = x − 2r, a₂ = x − r, a₃ = x, a₄ = x + r e a₅ = x + 2r para auxiliar os cálculos.

De acôr-doacordo com as informações do enunciado, obtém-se o seguinte sistema:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1\cdot a_5=28\Rightarrow (x-2r)\cdot (x+2r)=28\\ a_2+a_3+a_4=24\Rightarrow (x-r)+x+(x+r)=24\end{array}\end{array}$$

Logo:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{x}^2=28+4r^2\left(I\right)\\ x=8\left(II\right)\end{array}\end{array}$$

Substituindo (II) em (I):

64 = 28 + 4r² ⇒ 4(r² − 9) = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, obtêm-se as raízes r(minutos)"′ = 3 e r” = −3. Como a razão é um número positivo, pois a PA é crescente, então deve-se desconsiderar a raiz negativa.

Calculando os termos da PA:

a₁ = 8 − 2 ⋅ 3 = 2

a₂ = 8 − 3 = 5

a₃ = 8

a₄ = 8 + 3 = 11

a₅ = 8 + 2 ⋅ 3 = 14

Logo, os números quêque formam a PA são (2, 5, 8, 11, 14).

21. a) Considerando a PA descrita no enunciado, pode-se afirmar quêque a₁ = 4 e r = 3, pois r = 7 − 4. Sendo assim, o termo geral dessa PA é a_n = 4 + (n − 1) ⋅ 3 ou simplesmente a_n = 3n + 1.

Portanto, a PA pódepode sêrser associada à função cuja lei é f(x) = 3x + 1.

b) O domínio dessa função são os números naturais maiores do quêque zero (ℕ*), e a imagem é a própria sequência da PA, ou seja, Im(f) = {4, 7, 10, 13, 16, …}.

22. Pode-se organizar as informações do enunciado em um qüadroquadro, para ajudar a compreender a situação.

Os números formam uma PA cujo primeiro termo é a₁ = 87,9 e o último, a_n = 107,9. Além díssudisso, sabe-se quêque r = 0,2.

a) Considerando a fórmula do termo geral, obtém-se:

a_n = a₁ + (n − 1)r ⇒ 107,9 = 87,9 + (n − 1) ⋅ 0,2 ⇒ 20 = (n − 1) ⋅ 0,2 ⇒ 100 = n − 1 ⇒ n = 101

Portanto, podem funcionar 101 emissoras.

Para calcular o número do canal com maior freqüênciafrequência, deve-se considerar a PA cujo primeiro termo é a₁ = 200,

n = 101 e r = 1.

a₁₀₁ = 200 + (101 − 1) ⋅ 1 ⇒ a₁₀₁ = 300

Portanto, o número do canal com maior freqüênciafrequência é 300.

b) Deve-se calcular a₈₆ na PA quêque representa a sequência de freqüênciasfrequências, pois, como a₁ corresponde ao canal 200, então o canal 285 será a₈₆.

a₈₆ = 87,9 + (86 − 1) ⋅ 0,2 ⇒ a₈₆ = 87,9 + 85 ⋅ 0,2 = 104,9

Então, a freqüênciafrequência do canal 285 é 104,9 MHz.

23. A atividade trata de uma PA de razão 2 com cinco termos.

Considerando a₁ como o primeiro termo, os demais podem sêrser representados por:

a₂ = a₁ + 2

a₃ = a₁ + 4

a₄ = a₁ + 6

a₅ = a₁ + 8

Com base nas informações do enunciado, tem-se:

a₁ + a₁ + 2 + a₁ + 4 + a₁ + 6 + a₁ + 8 = 110 ⇒ 5a₁ = 110 − 20 ⇒ a₁ = 18

Logo, 18 cm é a altura do menor livro.

Resposta: alternativa d.

24. Analisando as duas primeiras parcelas, nota-se quêque a razão da PA é r = 6, pois 126 − 120 = 6.

Sabendo o valor da primeira parcela e a razão da PA, encontram-se os valores, em reais, da 19ª parcela quêque Joana não pagou e da última parcela paga por ela:

a₁₉ = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₁₉ = 120 + 18 ⋅ 6 ⇒ a₁₉ = 228

a₂₄ = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ a₂₄ = 120 + 23 ⋅ 6 ⇒ a₂₄ = 258

Assim, o valor total pago por Joana, segundo o enunciado, será a soma das 24 parcelas, com exceção da 19ª:

S₂₄ − a₁₉ = $\begin{array}{c}\frac{(a_1+a_{24})\cdot 24}{2}\end{array}$ − a₁₉ = $\begin{array}{c}\frac{(120+158)\cdot 24}{2}\end{array}$ − 228 = 4.308

Portanto, R$ 4.308,00 foi o valor total pago por Joana.

Resposta: alternativa d.

25. Como a razão de uma PG é, a partir do segundo termo, o quociente entre cada termo e o respectivo antecessor, pode-se concluir quêque:

a) q = $\frac{12}{3}$ ⇒ q = 4

b) q = $\frac{-15}{5}$ ⇒ q = −3

c) q = $\begin{array}{c}\frac{5}{\sqrt[]{5}}\end{array}$ ⇒ q =^_ $\sqrt[]{5}$

d) q = $\begin{array}{c}\frac{2^5}{2}\end{array}$ ⇒ q = 2⁴

e) q = $\frac{\frac{5}{2}}{5}$ ⇒ q = $\frac{1}{2}$

f) q = $\begin{array}{c}\frac{10}{{10}^{-1}}\end{array}$ ⇒ q = 10²

26. Segundo os critérios de classificação de uma PG, pode-se afirmar quêque:

a) Constante, pois q = 1.

b) Decrescente, pois a₁ = 1 e q = $\frac{1}{2}$.

c) Decrescente, pois a₁ = −2 e q = 4.

d) Oscilante, pois a₁ = 3 e q = −2.

e) Crescente, pois a₁ = 4 e q = $\frac{3}{2}$

f) Crescente, pois a₁ = −7 e q = $\frac{1}{4}$.

27. Para verificar se a sequência a_n = 5 ⋅ 4ⁿ⁻² é uma PG, deve-se tentar identificar o termo a₁ e a razão q, sêndosendo a₁ ≠ 0 e q uma constante. Assim:

a_n = 5 ⋅ 4ⁿ⁻² ⇒ a₁ = 5 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{4^1}{4^2}\end{array}$ ⇒ a1 = $\frac{5}{4}$

q = $\begin{array}{c}\frac{a_{n+1}}{a_n}\end{array}$ = $\begin{array}{c}\frac{5\cdot 4^{n+1-2}}{5\cdot 4^{n-2}}\end{array}$ ⇒ q = 4^n−1−n+2 = 4

Portanto, a sequência é uma PG cujo primeiro termo é a₁ = $\frac{5}{4}$ e q = 4.

28. A sequência (a, b, c) é uma PA de razão r = 5. Então:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}b=a+5\left(I\right)\\ c=a+10\left(II\right)\end{array}\end{array}$$

A sequência (a + 2, b, c − 1) é uma PG. Então:

$\frac{b}{a+2}=\frac{c-1}{b}$ (III)

Substituindo as expressões (I) e (II) na expressão (III), obtém-se:

$\frac{a+5}{a+2}=\frac{a+10-1}{a+5}$ ⇒ a = 7

Substituindo o valor de a nas expressões (I) e (II), obtém-se:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}b=7+5=12\\ c=7+10=17\end{array}\end{array}$$

Logo, a + b + c = 36.

Página trezentos e cinquenta e nove359

29. Como a sequência (3, a, b) é uma PA crescente, pode-se afirmar quêque 3 < a < b.

Além díssudisso:

a − 3 = b − a ⇒ b = 2a − 3 (I)

Como a sequência (a, b, 8) é uma PG, pode-se afirmar quêque:

$\frac{b}{a}=\frac{8}{b}$ ⇒ b² = 8a (II)

Substituindo (I) em (II):

(2a − 3)² = 8a ⇒ 4a² − 20a + 9 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, obtêm-se as raízes a(minutos)"′ = $\begin{array}{c}\frac{9}{2}\end{array}$ e a” = $\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}$.

Como a > 3, deve-se descartar a segunda raiz.

Substituindo o valor de a em (I), obtém-se b = 6.

Portanto, a = $\frac{9}{2}$ e b = 6.

30. Pelo enunciado, é possível identificar quêque a₁ = 512 e q = $\frac{1}{2}$, pois q = $\frac{256}{512}=\frac{1}{2}$.

Então:

a₆ = 512 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^5\end{array}$ ⇒ a₆ = 16

31. Pelo enunciado, é possível identificar quêque a₆ = 2 e q = $\frac{1}{4}$. Assim:

a₆ = a₁ ⋅ q⁵ ⇒ 2 = a₁ ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{4}\right)}^5\end{array}$ ⇒ a₁ = 2.048

32. Pelo enunciado, têm-se a₁ = $\frac{1}{4}$ e a₇ = 16. Portanto:

a₇ = a₁ ⋅ q⁶ ⇒ 16 = $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\end{array}$ ⋅ q⁶ ⇒ q = ±2

33. Pelo enunciado, têm-se a₅ = 32 e a₈ = 256.

Dessa forma:

$\begin{array}{c}\frac{a_8}{a_5}=\frac{a_1\cdot q^7}{a_1\cdot q^4}=\frac{256}{32}\end{array}$ ⇒ q³ = 8 ⇒ q = 2

Com o valor de q, é possível calcular a₁.

Assim:

a₅ = 32 ⇒ a₁ ⋅ 2⁴ = 32 ⇒ a₁ = 2

34. Com as informações fornecidas pelo enunciado, é possível elaborar o seguinte sistema:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_2-a_1=9\\ a_5-a_4=576\end{array}\end{array}$$

Como a diferença entre a₂ e a₁ (ou entre a₅ e a₄)é diferente de zero, então q é diferente de 1.

Aplicando a definição de PG, obtêm-se:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1\cdot q-a_1=9\\ a_1\cdot q^4-a_1\cdot q^3=576\end{array}\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1\cdot (q-1)=9\\ a_1\cdot q^3\cdot (q-1)=576\end{array}\end{array}$

Ao dividir a segunda equação pela primeira, obtém-se:

= $\frac{576}{9}$ ⇒ q³ = 64 ⇒ q = 4

Como a₁(q − 1) = 9, então:

3a₁ = 9 ⇒ a₁ = 3

35. Considerando a₁ = 18, então a₄ = b, pois foram inseridos dois termos entre eles. Como o enunciado afirma quêque a razão é 3, então:

b = a₁ ⋅ q³ ⇒ b = 18 ⋅ 3³ ⇒ b = 486

36. Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = 1 e a₂ = 9. Logo:

q = $\begin{array}{c}\frac{a_2}{a_1}\end{array}$ ⇒ q = $\frac{9}{1}$ = 9

Portanto:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ 6.561 = 1 ⋅ 9ⁿ⁻¹ ⇒ 3⁸ = 3²⁽ⁿ⁻¹⁾ ⇒ 8 = 2n − 2 ⇒ n = 5

37. Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = 5 e a₂ = 50. Então:

q = $\frac{50}{5}$ = 10

Assim:

a_n = 500.000 ⇒ a_n = 5 ⋅ 10⁵ ⇒ 5 ⋅ 10ⁿ⁻¹ = 5 ⋅ 10⁵ ⇒ n − 1 = 5 ⇒ n = 6

Portanto, a soma de todos os termos será:

S₆ = $\begin{array}{c}\frac{5\cdot ({10}^6-1)}{10-1}\end{array}$ ⇒ S₆ = 555.555

38. Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = 3 e a₂ = 6. Dessa forma, q = $\frac{6}{3}$ = 2.

Como a soma de todos os termos é S_n = 765, então:

S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ 765 = $\begin{array}{c}\frac{3\cdot (2^n-1)}{2-1}\end{array}$ ⇒ n = 8

Portanto, 8 termos.

39. Ao analisar a quantidade de tábuas em cada pilha, é possível observar quêque se forma a sequência (1, 2, 4, 8, …), uma PG, em quêque a₁ = 1 e q = 2.

a) Ao final de 9 operações, tem-se:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ a₉ = 1 ⋅ 2⁸ ⇒ a₉ = 256

Portanto, 256 tábuas.

b) Como cada tábua tem 0,5 cm de espessura, a altura da pilha, em centimetro, será:

256 ⋅ 0,5 = 128

Portanto, a pilha terá 1,28 m de altura.

40. Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = 2 e q = 2; então, ao final de 12 dias, a quantidade de á guaágua perdida é dada por:

S₁₂ = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(2^{12}-1)}{2-1}\end{array}$ = 2 ⋅ 4.095 = 8.190 ⇒ S₁₂ = 8.190

Portanto, até o 12º dia, serão perdidos 8.190 litros de á guaágua.

41. Observando a sequência de cada item, é possível identificar o termo a₁ e calcular a razão q.

a) a₁ = 5; q = $\frac{1}{5}$

Portanto, o termo geral é:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ a_n = 5 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\end{array}$

Considerando quêque a função possui domínio ℕ*, então:

f(n) = 5 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-1}\end{array}$

f(n) = 5 ⋅ $\begin{array}{c}\frac{{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{\frac{1}{5}}\end{array}$ = 25 ⋅ $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\end{array}$

A soma de todos os termos é:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{4}\end{array}$

b) a₁ = 2⁻² = $\frac{1}{4}$; q = $\begin{array}{c}\frac{2^{-4}}{2^{-2}}\end{array}$ = 2⁻² = $\frac{1}{4}$

Portanto, o termo geral é:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ a_n = $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}\end{array}$

Considerando quêque a função possui domínio ℕ*, então:

f(n) = $\begin{array}{c}\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}\end{array}$ ⇒ f(n) = $\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\end{array}$

A soma de todos os termos é:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}=\frac{2^{-2}}{1-2^{-2}}=\frac{1}{3}\end{array}$

c) a₁ = 9⁻¹; q = $\begin{array}{c}\frac{{10}^{-1}}{9^{-1}}=\frac{9}{10}\end{array}$

Portanto, o termo geral é:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ a_n = $\begin{array}{c}\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}\end{array}$

Considerando quêque a função possui domínio ℕ*, então:

f(n) = $\begin{array}{c}\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}\end{array}$ ⇒ f(n) = $\begin{array}{c}\frac{1}{9}\cdot \frac{{\left(\frac{9}{10}\right)}^n}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{81}\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^n\end{array}$

A soma de todos os termos é:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}=\frac{9^{-1}}{1-\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}\end{array}$

42. a)

Página trezentos e sessenta360

Ao plotar os pontos em um plano cartesiano, obtém-se o seguinte gráfico:

b)

Ao plotar os pontos em um plano cartesiano, obtém-se o seguinte gráfico:

43. Para calcular a soma dos termos de uma PG infinita, é necessário identificar o primeiro termo a₁ e a razão q. Assim:

a) a₁ = 80x; q = $\frac{40x}{80x}=\frac{1}{2}$

Pelo enunciado, sabe-se quêque a soma de todos os termos do primeiro membro da equação é 320, então:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$ ⇒ 320 = $\frac{80x}{1-\frac{1}{2}}$ ⇒ 80x = 160 ⇒ x = 2

S = {2}

b) a₁ = 5^x; q = $\begin{array}{c}\frac{5^{x-1}}{5^x}=\frac{1}{5}\end{array}$

Pelo enunciado, sabe-se quêque a soma de todos os termos do primeiro membro da equação é $\frac{625}{4}$, então:

$\begin{array}{c}\frac{625}{4}=\frac{5^x}{1-\frac{1}{5}}\end{array}$ ⇒ 125 = 5_x ⇒ x = 3

S = {3}

44. Como a bola sobe e desce, deve-se calcular, separadamente, a distância percorrida somente na descida e, em seguida, calcular a distância percorrida somente na subida. A distância percorrida pela bola será a soma dessas duas distâncias. Portanto:

I. Soma das descidas

Primeiro deslocamento de descida:

a₁ = 30 e r = $\frac{1}{3}$.

Logo:

d₁ = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$ ⇒ d₁ = $\frac{30}{1-\frac{1}{3}}$ = 45

II. Soma das subidas Primeiro deslocamento de subida:

a₁ = 10 e r = $\frac{1}{3}$.

Logo:

d₂ = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$ ⇒ d₂ = $\frac{10}{1-\frac{1}{3}}$ = 15

Distância total percorrida:

d = d₁ + d₂ = 45 + 15 ⇒ d = 60

A distância total percorrida pela bola será de 60 metros.

45. Perímetro é a medida do comprimento do contôrnocontorno de uma figura e, no caso apresentado, o perímetro do quadrado corresponde a 4 vezes a medida do lado, já quêque a figura é um quadrado.

Para determinar a soma de todos os perímetros da sequência, é necessário o valor do primeiro termo e a razão da sequência. Sendo assim:

a₁ = 4(éli)"ℓ e a₂ = $\frac{4\mathcal{l}}{2}$ = 2(éli)"ℓ

Então:

q = $\frac{2\mathcal{l}}{4\mathcal{l}}=\frac{1}{2}$

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$ ⇒ S = $\frac{4\mathcal{l}}{1-\frac{1}{2}}$ = 8(éli)"ℓ

46. a) Pelo enunciado, sabe-se quêque a₁ = 5 e a₃ = 45. Logo:

a₃ = a₁ ⋅ q² ⇒ 45 = 5 ⋅ q² ⇒ q = ±3

Como a razão é positiva, q = 3.

Sendo assim, a soma dos 6 primeiros termos será:

S₆ = $\begin{array}{c}\frac{5\cdot (3^6-1)}{3-1}\end{array}$ ⇒ S₆ = $\begin{array}{c}\frac{3640}{2}\end{array}$ ⇒ S₆ = 1.820

b) Como 112 é múltiplo de 4, não deve sêrser considerado. Assim, a soma dos primeiros 111 números inteiros é:

S₁₁₁ = $\begin{array}{c}\frac{(1+111)\cdot 111}{2}\end{array}$ = 6.216

Agora, é necessário calcular a soma de todos os números múltiplos de 4 e menóresmenores do quêque 112. O maior número múltiplo de 4, dentro do intervalo, é 108, pois 112 − 4 = 108, e o menor é o próprio 4. Sendo assim, tem-se a PA (4, 8, 12, 16, …, 108) de n termos. Desse modo:

108 = 4 + (n − 1) ⋅ 4 ⇒ n = 27

Calculando a soma dos termos:

S_M(4) = $\begin{array}{c}\frac{(4+108)\cdot 27}{2}\end{array}$ = 1.512

Assim, a soma de todos os números inteiros positivos menóresmenores do quêque 112 e não divisíveis por 4 é:

S = 6.216 − 1.512 = 4.704

c) O 20º termo dessa PA (a₂₀) pódepode sêrser calculado da seguinte maneira:

a₂₀ = S₂₀ − S₁₉

Portanto, utilizando a fórmula fornecida pelo enunciado, obtém-se:

a₂₀ = S₂₀ − S₁₉ ⇒ a₂₀ = 20(2 ⋅ 20 + 1) − 19(2 ⋅ 19 + 1) ⇒ a₂₀ = 79

Atividades complementares

1. Analisando as vendas mensais dos produtos I e II, percebe-se quêque cada uma pódepode sêrser expressa por uma PA. A razão nas vendas do produto I é 10 e nas vendas do produto II é igual a −20.

Vendas produto I: (80, 90, 100, 110, 120, 130, …)

Vendas produto II: (190, 170, 150, 130, 110, 90, …)

Nota-se quêque, a partir do quinto termo dessas progressões, as vendas do produto I superam as vendas do produto II. Como o termo a₁ representa o mês de abril, então o termo a₅ representa o mês de agosto. Assim, o gerente cessará a produção do produto II em setembro.

Resposta: alternativa d.

2. Considerando as propriedades de uma PA, pode-se afirmar quêque a₂ $\begin{array}{c}\frac{a_1+a_3}{2}\end{array}$ =, logo:

x + 14 = $\begin{array}{c}\frac{5x-5+6x-3}{2}\end{array}$ ⇒ 2x + 28 = 11x − 8 ⇒ x = 4

Portanto, a soma dos 3 termos será:

S = 5x − 5 + x + 14 + 6x − 3 = 12x + 6 = 12 ⋅ 4 + 6 = 54

Resposta: alternativa b.

3. Com base nas figuras, é possível notar quêque a quantidade de quadrados centrais aumenta de acôr-doacordo com a regra n², em quêque n representa o número da etapa.

Além díssudisso, há uma quantidade fixa de 4 quadrados quêque não varia de etapa para etapa. Assim, pode-se concluir quêque a lei quêque rege a quantidade de quadrados pódepode sêrser escrita por a_n = n² + 4.

Portanto, o número de quadrados na etapa 10 será:

a₁₀ = 10² + 4 = 104

Resposta: alternativa c.

4. Como a PA é formada a partir do segundo dia, pode-se entender quêque a sequência de peças montadas diariamente é (40, a₁, a₂, …, a₁₀). Como há 1.000 peças no total, conclui-se quêque a quantidade de peças relacionadas à PA é 960, pois 1.000 − 40 = 960.

Página trezentos e sessenta e um361

Como o segundo dia (a₁) corresponde a 60% do número de peças montadas no sétimo dia (a₆), então:

a₁ = 0,6(a₆) ⇒ a₁ = 0,6(a₁ + 5r) ⇒ 0,4a₁ = 3r ⇒ a₁ = 7,5r

Pode-se também afirmar quêque:

a₁₀ = a₁ + 9r ⇒ a₁₀ = 7,5r + 9r ⇒ a₁₀ = 16,5r

Como a soma de todos os termos é calculada por S = $\begin{array}{c}\frac{(a_1+a_n)n}{2}\end{array}$, conclui-se quêque:

960 = $\frac{(\mathrm{7,5}r+\mathrm{16,5}r)\cdot 10}{2}$ ⇒ 24r = 192 ⇒ r = 8

Como o nono dia representa o termo a₈ da PA, tem-se:

a₈ = a₁ + 7r ⇒ a₈ = 7,5r + 7r = 14,5 ⋅ 8 = 116

Portanto, no 9º dia foram montadas 116 peças.

Resposta: alternativa c.

5. Os andares trabalhados por João foram (1, 3, 5, 7, …), e os andares trabalhados por Pedro foram (1, 4, 7, 10, …); portanto, os andares quêque foram reparados pêlospelos dois ao mesmo tempo foram (1, 7, 13, …, a₂₀).

Assim, essa sequência possui a₁ = 1 e r = 6. Logo, o termo geral será:

a_n = a₁ + (n − 1)r ⇒ a_n = 6n − 5

Sendo assim, conclui-se quêque:

a₂₀ = 6 ⋅ 20 − 5 = 115

Logo, esse edifício possui 115 andares.

Resposta: alternativa d.

6. Como entre 1 e 100 há exatamente 50 números ímpares, segundo o enunciado, a soma de todos os números ímpares entre 1 e 100 será 50².

Resposta: alternativa c.

7. Conforme o enunciado, a produção de televisores dobrou a cada mês em comparação ao mês anterior. Ou seja, a produção mensal corresponde aos termos de uma PG de razão 2, cuja soma dos termos é igual ao número total de televisores produzidos no período.

Sendo assim, é possível concluir quêque a₁ = x, q = 2 e S₁₁ = 204.700, logo:

S₁₁ = $\begin{array}{c}\frac{a_1(q^{11}-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ 204.700 = $\begin{array}{c}\frac{x(2^{11}-1)}{2-1}\end{array}$ ⇒ x = 100

Resposta: alternativa a.

8. Com base no enunciado, é possível construir um sistema:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{a}_1+a_3+a_5=5\\ a_2+a_4+a_6=10\end{array}\end{array}$$

Aplicando a definição das progressões geométricas, obtém-se:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cc}{a}_1\cdot (1+q^2+q^4)& =5\left(\mathrm{I}\right)\\ a_{1}q(1+q^2+q^4)& =10\left(\mathrm{I}\mathrm{I}\right)\end{array}\end{array}$$

Dividindo a equação (II) pela equação (I), obtém-se:

q = $\frac{10}{5}$ = 2

Resposta: alternativa d.

9. A partir do enunciado, pode-se afirmar quêque o primeiro termo da PG é $\frac{1}{125}$. A razão pódepode sêrser calculada como:

q = $\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{125}}=\frac{125}{25}$ = 5

O último termo é 3.125; então, pode-se afirmar quêque:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ 3.125 = 5⁻³ ⋅ 5ⁿ⁻¹ ⇒ 5⁵ = 5ⁿ⁻⁴ ⇒ n = 9

Resposta: alternativa e.

10. A partir do enunciado, pode-se afirmar quêque o primeiro termo da PG é −7. A razão pódepode sêrser calculada como:

q = $\frac{21}{-7}$ = −3

Assim, o sexto termo é:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ a₆ = −7 ⋅ (−3)⁶⁻¹ ⇒ a₆ = 1.701

Resposta: alternativa b.

11. Segundo o enunciado, o sáitisite tem um número de acessos diários equivalente ao triplo dos acessos do dia anterior, podendo sêrser associado à PG (3, 9, 27, …, 2.187), em quêque a₁ = 3 e q = 3. Assim, para encontrar o dia em quêque o sáitisite teve 2.187 acessos, utiliza-se o termo geral, ou seja:

a_n = a₁ ⋅ qⁿ⁻¹ ⇒ 2.187 = 3 ⋅ 3ⁿ⁻¹ ⇒ 3⁶ = 3ⁿ⁻¹ ⇒ n = 7

Portanto, no dia 7 ocorreram 2.187 acessos.

Resposta: alternativa b.

12. Segundo o enunciado, pode-se interpretar quêque o valor do perímetro de cada triângulo, organizado em uma sequência, representará uma PG em quêque a₁ = 24 e q = $\frac{1}{2}$.

Portanto, a soma será:

S = $\begin{array}{c}\frac{a_1}{1-q}\end{array}$ ⇒ S = $\frac{24}{1-\frac{1}{2}}$ = 48

Resposta: alternativa c.

13. Sabe-se quêque a₅ = a₁ ⋅ q⁴ e quêque a₅ = 9 ⋅ a₁, então:

a₁ ⋅ q⁴ = 9 ⋅ a₁ ⇒ q⁴ = 9 ⇒ q = $\begin{array}{c}\pm \sqrt[]{3}\end{array}$

Porém, q = $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$ não é conveniente, pois a₁ > 0 e a₆ = $\begin{array}{c}-9\sqrt[]{3}\end{array}$, e, assim, a razão precisa sêrser um valor menor do quêque zero.

Portanto, q = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$. Como a₆ = a₂ ⋅ q⁴, tem-se:

$\begin{array}{c}-9\sqrt[]{3}\end{array}$ = a₂ ⋅ $\begin{array}{c}(-\sqrt[]{3}{)}^4\end{array}$ ⇒ $\begin{array}{c}-9\sqrt[]{3}\end{array}$ = a₂ ⋅ 9 ⇒ a₂ = $\begin{array}{c}-\sqrt[]{3}\end{array}$

Portanto, o produto a₂ ⋅ a₇ será:

a₂ ⋅ a₇ = a₂ ⋅ a₆ ⋅ q = $\begin{array}{c}(-\sqrt[]{3})\cdot (-9\sqrt[]{3})\cdot (-\sqrt[]{3})=-27\sqrt[]{3}\end{array}$

Resposta: alternativa a.

14. Elaborando uma sequência com os 10 termos, a partir das orientações do fluxograma, obtém-se:

(−2,$\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$, −2, $\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$, −2, $\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$,−2, $\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$,−2 e $\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\end{array}$)

Adicionando todos os valores da sequência, obtém-se −12,5.

Resposta: alternativa e.

15. Considerando a_n = −250, em relação à sequência da PA, tem-se a₁ = −2 e r = −4.

Assim, pode-se afirmar quêque:

a_n = a₁ + (n − 1) ⋅ r ⇒ −250 = −2 + (n − 1) ⋅ (−4) ⇒ n = 63

Em relação à sequência da PG, tem-se a₁ = 3 e q = 2. Então:

S_n = $\begin{array}{c}\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}\end{array}$ ⇒ S₉ = $\begin{array}{c}\frac{3\cdot (2^9-1)}{2-1}\end{array}$ ⇒ S₉ = 1.533 ⇒ s = 1.533

Portanto, s − n = 1.533 − 63 = 1.470.

Resposta: alternativa 02.

16. Observando as figuras, nota-se quêque, em cada uma, a partir da segunda, a parte escura equivale a 4^3_ da parte escura da figura anterior.

Sendo assim, considerando a₁ = 1 (área inteira), tem-se:

a₁ = 1

a₂ = $\frac{3}{4}$ ⋅ a₁ = $\frac{3}{4}$ ⋅ 1 = $\frac{3}{4}$

a₃ = $\frac{3}{4}$ ⋅ a₂ = $\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

a₄ = $\frac{3}{4}$ ⋅ a₃ = $\frac{3}{4}\cdot \frac{9}{16}=\frac{27}{64}$

a₅ = $\frac{3}{4}$ ⋅ a₄ = $\frac{3}{4}\cdot \frac{27}{64}=\frac{81}{256}$

Logo, a sequência é uma PG de razão $\frac{3}{4}$

Resposta: alternativa a.

Capítulo 3 • Função definida por mais de uma sentença

Atividades

1. a) Como a porcentagem aplicada é relacionada à faixa de unidades vendidas e instaladas, a função é definida por mais de uma sentença.

b) Do enunciado, sabe-se quêque cada alarme custa R$ 120,00. Para calcular o valor utilizando a porcentagem de cada unidade, deve-se realizar o seguinte procedimento:

De 1 a 25: 120 ⋅ $\frac{3}{100}$ = 3,6

De 26 a 50: 120 ⋅ $\frac{7}{100}$ =8,4

De 51 a 75: 120 ⋅ $\frac{12}{100}$ = 14,4

De 76 a 100: 120 ⋅ $\frac{17}{100}$ = 20,4

Mais de 100: 120 ⋅ $\frac{22}{100}$ = 26,4

Página trezentos e sessenta e dois362

Agora, com as informações do enunciado, é possível determinar a lei de formação da função, com base no valor fixo recebido acrescido da porcentagem por unidade, no intervalo indicado no qüadroquadro. Portanto:

f(x) = $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}1200,\mathrm{se\; x}=0\\ 1200+\mathrm{3,6}x,\mathrm{se}0<x⩽25\\ 1200+\mathrm{8,4}x,\mathrm{se}25<x⩽50\\ 1200+\mathrm{14,4}x,\mathrm{se}50<x⩽75\\ 1200+\mathrm{20,4}x,\mathrm{se}75<x⩽100\\ 1200+\mathrm{26,4}x,\mathrm{se\; x}>100\end{array}\end{array}$

c) Neste caso, deve-se observar o intervalo em quêque se encaixa o valor dado (82 alarmes) e aplicar esse valor na função f correspondente:

f(x) = 1200 + 20,4x ⇒ f(82) = 1200 + 20,4 ⋅ 82 = 2.872,8.

Portanto, o salário foi R$ 2.872,80.

d) Considerando quêque o funcionário recebeu R$ 1.502,40 e supondo quêque ele vendeu até 25 alarmes, tem-se:

1.502,4 = 1.200 + 3,6x ⇒ 3,6x = 302,40 ⇒ x = 84.

Portanto, como 84 > 25, sabe-se quêque o funcionário vendeu mais de 25 alarmes.

Supondo quêque ele vendeu de 26 a 50 alarmes, tem-se quêque:

1.502,4 = 1.200 + 8,4x ⇒ 8,4x = 302,40 ⇒ x = 36.

Como 25 < 36 ≤ 50, pode-se concluir quêque o funcionário vendeu 36 alarmes.

2. a) Como 3 ≤ 3, então utiliza-se:

f(x) = 4x − 1 ⇒ f(3) = 4 ⋅ 3 − 1 = 11

Como 5 ≥ 1, então utiliza-se:

g(x) = −x ⇒ g(5) = −5

Portanto, f(3) − g(5) = 11 − (−5) = 16.

b) Como 0 < 1, então utiliza-se:

g(x) = x² + 4x + 3 ⇒ g(0) = 0² + 4 ⋅ 0 + 3 = 3

Como −1 ≤ 3, então utiliza-se:

f(x) = 4x − 1 ⇒ f(−1) = 4 ⋅ (−1) − 1 = −5

Portanto, g(0) + 2 ⋅ f(−1) = 3 + 2 ⋅ (−5) = −7.

c) Como 4 > 3, então utiliza-se:

f(x) = x² + 2 ⇒ f(4) = 4² + 2 = 18

Como 1 ≥ 1, então utiliza-se:

g(x) = −x ⇒ g(1) = −1