CAPÍTULO 3
CORPOS REDONDOS

Os silos são estruturas fundamentais na armazenagem de grãos e produtos agrícolas, em razão de sua eficiência e praticidade. Sua forma é escolhida por diversos motivos técnicos e práticos: ela oferece uma distribuição uniforme da pressão, prevenindo a compactação e a deterioração dos grãos; torna os silos mais resistentes a forças externas, como ventos e tempestades, proporcionando estabilidade; e garante eficiência espacial e simplificação da manutenção.

Em termos de eficiência espacial, o formato cilíndrico dos silos maximiza a capacidade de armazenamento quando comparado a silos de outros formatos com mesma área de superfícíesuperfície. Além díssudisso, sua estrutura simplifica a manutenção, por facilitar a limpeza e por reduzir os custos operacionais, especialmente durante o escoamento de grãos, uma vez quêque é comum quêque os silos não possuam canos para captação ou retirada dos produtos armazenados e quêque o escoamento ocorra devido à ação da gravidade.

Muitos silos não são unicamente cilíndricos, e seu formato se apresenta como uma junção de formas arredondá-dasarredondadas; esse é o caso dos silos da imagem, quêque lembram cones acoplados a cilindros. Esses são dois dos corpos redondos quêque estudaremos neste Capítulo.

Fonte dos dados: SONEGO, Giseli V. As contribuições da etnomodelagem matemática no estudo da geometria espacial. 2009. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática) – Centro Universitário Franciscano de Santa Maria, Santa Maria, 2009. Disponível em: https://livro.pw/vsvpk. Acesso em: 3 nov. 2024.

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Ver as Orientações para o professor.

Página noventa e dois92

Introdução

No Capítulo anterior, estudamos os sólidos geométricos chamados de poliedros. Neste Capítulo, iremos estudar alguns dos sólidos geométricos quêque têm pelo menos uma parte de sua superfícíesuperfície curva e são denominados corpos redondos: cilindro, cone e esféraesfera.

Diversos objetos quêque utilizamos no dia a dia apresentam formas arredondá-dasarredondadas, como copos, panelas, entre outros. Na arquitetura, também observamos formas arredondá-dasarredondadas, presentes em diversas construções. Na indústria, os tanques de gás natural têm o formato esférico, modelo mais recomendado para esse tipo de produto.

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Cilindro

Vamos considerar dois planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β, um círculo C de centro O e raio r contido em (alfa)"α e uma reta t secante aos planos (alfa)"α e (beta)"β.

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta t com uma extremidade em um ponto do círculo C e a outra no plano (beta)"β é denominada cilindro circular ou simplesmente cilindro.

Considerando o cilindro representado na figura a seguir, destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Bases: são os círculos de raio r e centros O e O’, situados nos planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β, respectivamente;

• Altura: é a distância entre os planos paralelos (alfa)"α e (beta)"β, cuja medida indicaremos por h;

• Eixo: é a reta $\stackrel{⃡}{O{O}^{\text{'}}}$, quêque contém os centros das bases;

• Geratrizes: são os segmentos de reta paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases; indicaremos suas medidas por g.

De acôr-doacordo com a inclinação do eixo em relação aos planos das bases, os cilindros podem sêrser oblíqüosoblíquos ou rétosretos.

Um cilindro é oblíquo quando o eixo é oblíquo aos planos das bases e é reto quando o eixo é perpendicular aos planos das bases.

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Um cilindro reto também pódepode sêrser obtídoobtido pela rotação completa de um retângulo em torno da reta suporte de um de seus lados. Assim, o cilindro reto também é denominado cilindro de revolução.

Secções de um cilindro

A secção ôbitídaobtida pela intersecção de um cilindro com um plano paralelo às suas bases é denominada secção transversal do cilindro.

Pense e responda

A secção transversal é um círculo congruente às bases do cilindro.

A secção ôbitídaobtida pela intersecção de um cilindro com um plano quêque contém seu eixo é denominada secção meridiana do cilindro.

A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo de dimensões 2r (medida do diâmetro das bases do cilindro) e h (altura do cilindro).

Se a altura do cilindro reto for igual à medida do diâmetro da base, ou seja, h = 2r, então a secção meridiana é um quadrado, e o cilindro é chamado de cilindro equilátero.

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Área da superfícíesuperfície de um cilindro reto

Vamos planificar a superfícíesuperfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r para determinar a área da sua superfícíesuperfície.

A superfícíesuperfície total de um cilindro reto é formada pela superfícíesuperfície lateral e pela superfícíesuperfície das duas bases circulares. Como podemos observar pela planificação, a área dessa superfícíesuperfície é a área do retângulo de dimensões 2(pi)"πr e h mais as áreas das bases, cada uma delas equivalente à área de um círculo de raio r.

Assim, temos:

• área lateral (S(éli)"ℓ): S(éli)"ℓ = 2(pi)"πrh

• área da base (S_b): S_b = (pi)"πr²

• área total (S_t): S_t = S(éli)"ℓ + 2S_b

Volume de um cilindro

Considere a situação a seguir.

Em um treinamento do Corpo de Bombeiros, uma mangueira acoplada a um caminhão foi esticada e completamente preenchida com á guaágua para testes, formando um cilindro reto. Para o planejamento de futuras ações, deseja-se saber o volume de á guaágua necessário para preencher o interior dessa mangueira.

Para responder a kestõesquestões como essa, é necessário calcular o volume do cilindro, o quêque estudaremos a seguir.

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Considere um cilindro e um prisma com mesma altura h e bases de áreas iguais a S_b contidas em um plano (alfa)"α.

Qualquer plano (beta)"β paralelo ao plano (alfa)"α quêque intersecte os dois sólidos determina neles secções transversais congruentes às respectivas bases. Como as áreas das bases do cilindro e do prisma são iguais e valem S_b, então as secções transversais também têm área igual a S_b.

Portanto, pelo princípio de Cavalieri, concluímos quêque o volume do cilindro é igual ao volume do prisma.

Como o volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura, então o volume do cilindro também será calculado da mesma maneira. Assim, podemos escrever:

volume do cilindro = (área da base) ⋅ (altura)

Em um cilindro cuja base tem raio r, a área da base é dada por S_b = (pi)"πr². Portanto, se a altura do cilindro é h, seu volume é dado por:

Note quêque esse resultado é válido tanto para cilindros oblíqüosoblíquos quanto rétosretos.

ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Uma lata cilíndrica e reta tem as medidas indicadas na figura.

Nessas condições, e adotando (pi)"π = 3,14, responda:

a) Qual é a quantidade mínima de papel, em cm², necessária para cobrir a superfícíesuperfície lateral dessa lata?

b) Qual é a área total da superfícíesuperfície dessa lata?

c) Quantos mililitros (mL) de líquido cabem nessa lata?

Resolução

Planificando a superfícíesuperfície do cilindro, temos:

a) Área lateral (S(éli)"ℓ), em cm²:

S(éli)"ℓ= 10(pi)"π ⋅ 12 = 120(pi)"π ⇒ S(éli)"ℓ = 120(pi)"π

Considerando (pi)"π = 3,14, temos:

S(éli)"ℓ = 120 ⋅ 3,14 = 376,8

Assim, a quantidade mínima de papel é 376,8 cm².

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b) Área total (S_t), em cm²:

S_t = S(éli)"ℓ + 2 ⋅ S_b = 376,8 + 2 ∙ ((pi)"π ⋅ 5²) = 376,8 + 50(pi)"π = 376,8 + 50 ⋅ 3,14 = 533,8

Portanto, a área total da superfícíesuperfície da lata é 533,8 cm².

c) O volume V de líquido quêque cabe na lata, em cm³, é dado por:

V = (pi)"π ⋅ 5² ⋅ 12 ⇒ C = 300(pi)"π = 300 ⋅ 3,14 = 942

Como 1 dm³ equivale a 1 L, ou 1 cm³ equivale a 1 mL, temos quêque:

942 cm³ = 942 mL

Portanto, cabem 942 mL de líquido na lata.

2. Um líquido quêque ocupa uma altura de 10 cm em determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior do quêque o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente?

Resolução

Vamos indicar o volume de líquido no primeiro recipiente por V₁ e, no segundo, por V₂.

V₁ = (pi)"πr²h e V₂ = (pi)"πR²H

Do enunciado, temos: R = 2r e h = 10 cm Como o volume de líquido é o mesmo, temos:

V₁ = V₂ ⇒ (pi)"πr²h = (pi)"π(2r)²H

r²h = 4r²H ⇒ H = $\frac{h}{4}=\frac{10}{4}$ = 2,5

Portanto, a altura ocupada pelo líquido no segundo recipiente será de 2,5 cm.

3. Calcule a área total do sólido obtídoobtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4 cm e 12 cm em torno do lado:

a) menor;

b) maior.

Resolução

a) O sólido obtídoobtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 12 cm e altura 4 cm.

S_t = S(éli)"ℓ + 2 ⋅ S_b ⇒ S_t = 2(pi)"πr ⋅ h + 2 ⋅ (pi)"πr² ⇒ S_t = 2 ⋅ (pi)"π ⋅ 12 ⋅ 4 + 2 ⋅ (pi)"π ⋅ 12² ⇒ S_t = 384(pi)"π

Portanto, S_t = 384(pi)"π cm².

b) O sólido obtídoobtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 4 cm e altura 12 cm.

Assim:

S_t = 2 ⋅ (pi)"π ⋅ 4 ⋅ 12 + 2 ⋅ (pi)"π ⋅ 4² ⇒ S_t = 128(pi)"π

Portanto, S_t = 128(pi)"π cm².

ATIVIDADES

1. Um cilindro reto tem altura igual a 5 cm e raio da base medindo 6 cm. Determine:

a) a área da base;

36(pi)"π cm²

b) a área lateral;

60(pi)"π cm²

c) a área total.

132(pi)"π cm²

2. Determine a área lateral de um cilindro cujo perímetro da base é 62,8 cm e cuja altura é a mêtádemetade do raio da base. Adote (pi)"π = 3,14.

314 cm²

3. A área lateral de um cilindro é 20(pi)"π cm². Se o raio da base médemede 5 cm, calcule a altura h dêêssedesse cilindro.

2 cm

4. Da rotação completa de um retângulo de dimensões 5 cm e 9 cm obtém-se um cilindro reto cuja área da base é 25(pi)"π cm². Calcule a área total dêêssedesse cilindro.

140(pi)"π cm²

5. Quantos centimetros quadrados de uma chapa de metal são necessários para construir uma lata de óleo, com tampa, no formato de um cilindro reto com 8 cm de diâmetro de base e 18 cm de altura?

176(pi)"π cm²

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6. Em um cilindro equilátero, a área da secção meridiana vale 400 cm². Calcule:

a) a altura do cilindro;

20 cm

b) a área total da superfícíesuperfície do cilindro.

600(pi)"π cm²

7. (Enem/MEC) Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro circular reto, cuja base tenha 5 metros de diâmetro interno, e atender à demanda de á guaágua da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa.

Considere quêque o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de á guaágua. Use 3 como aproximação para (pi)"π.

Nas condições apresentadas, o reservatório deverá sêrser construído com uma altura interna mínima, em métrometro, igual a

a) 1,12.

b) 3,10.

c) 4,35.

d) 4,48.

e) 5,60.

alternativa d

8. (UEMG) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O métrometro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00.

Considerando-se (pi)"π = 3, o valor da embalagem quêque terá o menor custo será:

a) R$ 0,36

b) R$ 0,27

c) R$ 0,54

d) R$ 0,41

alternativa a

9. (Enem/MEC) Um artesão possui pótespotes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus pótespotes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, d fórmade forma quêque as caixas possam sêrser fechadas.

No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, vendidas pelo mesmo preêçopreço, possuindo as seguintes dimensões internas:

Qual dêêssesdesses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de pótespotes por caixa?

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

alternativa d

10. (UFRGS-RS) Considere o sólido obtídoobtido pela revolução do retângulo ABCD em torno da reta r, conforme indicado na figura a seguir.

O volume do sólido obtídoobtido é

a) 16(pi)"π.

b) 84.

c) 100.

d) 84(pi)"π.

e) 100(pi)"π.

alternativa d

11. Considere um sólido compôztocomposto de dois cilindros rétosretos, conforme indica a figura. Calcule:

a) a área total da superfícíesuperfície dêêssedesse sólido.

2.510(pi)"π cm²

b) o volume total dêêssedesse sólido.

13.725(pi)"π cm³

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12. (Enem/MEC) Para resolver o problema de abastecimento de á guaágua foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cistérnacisterna. A cistérnacisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se quêque a nova cistérnacisterna deverá comportar 81 m³ de á guaágua, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cistérnacisterna a antiga será desativada.

Utilize 3,0 como aproximação para (pi)"π.

Qual deve sêrser o aumento, em metros, no raio da cistérnacisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5

b) 1,0

c) 2,0

d) 3,5

e) 8,0

alternativa c

13. Um cilindro reto tem área lateral de 30(pi)"π cm² e área total de 80(pi)"π cm². Determine seu volume.

75(pi)"π cm³

14. (UEG-GO) Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu quêque com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300 mL cada. Considerando-se quêque a altura da jarra é de 30 cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm², é:

a) 10

b) 30

c) 60

d) 80

alternativa d

15. cértoCerto produto de limpeza é vendido em dois recipientes cilíndricos:

(1) lata de raio da base igual a 3,1 cm e altura 11,6 cm;

(2) lata de raio da base igual a 3,1 cm e altura 16,6 cm.

Os preços dêêssedesse produto são R$ 0,70 e R$ 1,10, respectivamente, para as latas (1) e (2).

Adotando (pi)"π = 3,14, faça o quêque se pede.

a) Calcule o volume em cada recipiente.

V₁ ≃ 350 cm³; V₂ ≃ 500 cm³

b) Qual das duas embalagens apresenta melhor preêçopreço para o consumidor?

A lata (1) apresenta melhor preêçopreço para o consumidor.

16. (Ulbra-RS) A Gestão Ambiental visa ao uso de práticas quêque garantem a conservação e a preservação da biodiversidade, a reciclagem das matérias-primas e a redução do impacto ambiental das atividades humanas sobre os recursos naturais. Consciente da importânssiaimportância de reaproveitar sóbrassobras de madeira, uma serraria quêque trabalha apenas com madeira de reflorestamento rêzouvêoresolveu calcular a sóbrasobra de madeira na confekissãoconfecção de peças cilíndricas. Para confeksionarconfeccionar uma peça cilíndrica, a serraria faz os cortes adequados em um prisma quadrangular de arestas da base 5 cm e altura 0,8 m e obtém um cilindro de 5 cm de diâmetro e 0,8 m de altura. A sóbrasobra de madeira na fabricação de mil destas peças é, em cm³ (utilize (pi)"π = 3,14), a seguinte:

a) 4,3 ⋅ 10 ⁻⁵

b) 430

c) 4,3 ⋅ 10⁵

d) 1.570

e) 2.000

alternativa c

17. O sólido de madeira indicado na figura é utilizado para enrolar cabos telefônicos.

Os cilindros das extremidades e o cilindro interno têm bases com diâmetros de 80 cm e 20 cm, respectivamente. Determine o volume de madeira gasto para construir esse sólido.

19.000(pi)"π cm³

18. É possível construir caixas-d’água cilíndricas usando duas chapas de aço retangulares para revestimento lateral e duas chapas de aço quadradas para as bases. As chapas retangulares são encurvadas e soldadas, e as chapas quadradas são cortadas em círculos inscritos e soldadas. Essas chapas são vendidas por 200 reais o métrometro quadrado.

Elabore um problema no qual seja necessário determinar o preêçopreço aproximado do gasto com chapas de aço para construir uma caixa-d’água de volume acima de 20 mil litros a partir da altura da caixa-d’água.

Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos.

Resposta pessoal.

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Cone

Alguns objetos do cotidiano, como funísfunis, casquinhas de sorvete e cones de trânsito, podem sêrser associados a um tipo de corpo redondo denominado cone.

Considere um plano (alfa)"α, um círculo C contido em (alfa)"α e um ponto V quêque não pertence a (alfa)"α.

A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta quêque têm uma extremidade no ponto V e a outra em um ponto do círculo C é denominada cone circular ou, simplesmente, cone.

Considerando o cone representado na figura a seguir, destacamos os seguintes elemêntoselementos:

• Base: é o círculo C de raio r e centro O situado no plano (alfa)"α;

• Vértice: é o ponto V;

• Eixo: é a reta $\stackrel{⃡}{OV}$;

• Altura: é a distância do ponto V ao plano da base, cuja medida indicaremos por h;

• Geratriz: é qualquer segmento de reta cujos extremos são o vértice V e um ponto qualquer da circunferência da base.

De acôr-doacordo com a inclinação de seu eixo em relação ao plano da base, um cone pódepode sêrser oblíquo ou reto. Um cone é oblíquo quando seu eixo é oblíquo ao plano da base e é reto quando seu eixo é perpendicular ao plano da base.

No caso do cone reto, todas as geratrizes têm a mesma medida, usualmente indicada por g.

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Um cone circular reto também pódepode sêrser obtídoobtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno da reta quêque contém um dos catetos. Assim, o cone reto também é denominado cone de revolução.

Secções de um cone

A secção ôbitídaobtida pela intersecção de um cone com um plano paralelo à sua base é denominada secção transversal do cone.

Pense e responda

A secção transversal é um círculo.

A secção ôbitídaobtida pela intersecção de um cone com um plano quêque contém seu eixo é denominada secção meridiana do cone.

No cone circular reto, a secção meridiana é um triângulo isósceles de base 2r e lados congruentes medindo g (figura 1).

Se a secção meridiana for um triângulo equilátero, ou seja, se g = 2r, o cone é chamado de cone equilátero (figura 2).

Pense e responda

g² = h² + r²

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Área da superfícíesuperfície de um cone reto

Vamos planificar a superfícíesuperfície de um cone reto de raio da base r e geratriz g para determinar sua área.

A superfícíesuperfície total do cone é formada pela superfícíesuperfície da base (círculo) mais a superfícíesuperfície lateral (um setor circular). Assim, temos:

• Área lateral (S(éli)"ℓ):a área da superfícíesuperfície lateral de um cone corresponde à área de um setor circular de raio g (geratriz do cone) e arco de comprimento 2(pi)"πr, quêque é o comprimento da circunferência da base do cone.

• Área da base (S_b): é a área do círculo de raio r.

Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do arco correspondente, é possível determinar a área da superfícíesuperfície lateral (S(éli)"ℓ)pela regra de três a seguir:

2(pi)"πr ⋅ (pi)"πg² = 2(pi)"πg ⋅ S(éli)"ℓ ⇒ S(éli)"ℓ = ⇒ S(éli)"ℓ = (pi)"πrg

• Área total (S_t): é a soma da área lateral e a da área da base.

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Volume de um cone

Considere a situação a seguir.

Um doce muito famoso e tradicional no Brasil é o canudinho de doce de leite. Ele consiste em uma massa fina frita em formato quêque lembra um cone quêque é recheado com doce de leite cremoso. Exatamente por sêrser muito famoso, o dono de uma confeitaria decidiu produzir e vender esse doce.

Para determinar quanto doce de leite será necessário fazer, é preciso responder a duas perguntas: quantas unidades de canudinhos ele pretende produzir por dia e qual é a quantidade de doce de leite necessária para preencher cada canudo?

Mas como calcular essa quantidade?

pôdêmosPodemos aplicar o princípio de Cavalieri para determinar o volume de um cone a partir do volume de uma pirâmide.

Considere um cone C e uma pirâmide P de mesma altura h e bases de mesma área S_b, contidas em um plano horizontal (alfa)"α. Qualquer plano (beta)"β, paralelo ao plano (alfa)"α, distante h(minutos)"′ do vértice e secante aos sólidos C e P determina duas secções transversais de áreas S₁ e S₂, respectivamente.

Sabemos quêque, para pirâmides, vale a igualdade $\begin{array}{c}\frac{S_2}{S_b}={\left(\frac{h^{\text{'}}}{h}\right)}^2\end{array}$. Pode-se provar quêque a relação análoga vale também para cones, ou seja, $\begin{array}{c}\frac{S_1}{S_b}={\left(\frac{h^{\text{'}}}{h}\right)}^2\end{array}$.

Logo, $\begin{array}{c}\frac{S_1}{S_b}=\frac{S_2}{S_b}\end{array}$, portanto S₁ = S₂

.

Assim, pelo princípio de Cavalieri, podemos concluir quêque o volume da pirâmide P é igual ao volume do cone C e podemos escrever:

V_pirâmide = V_cone = $\frac{\text{á}\text{rea de base}\text{⋅}\text{altura}}{3}$

Pense e responda

aproximadamente 42 canudos

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

4. Um fabricante rêzouvêoresolveu fazer a embalagem para um de seus produtos no formato de um cone reto, com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual será a quantidade mínima do material utilizado para cobrir toda a superfícíesuperfície dessa embalagem? Use (pi)"π = 3,14 e $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ = 3,16.

Resolução

Modelo de embalagem, com medidas em cm:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

g² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160

g = $\begin{array}{c}\sqrt[]{160}=4\sqrt[]{10}\end{array}$

Logo, g = $\begin{array}{c}4\sqrt[]{10}\end{array}$ cm.

Vamos agora determinar as áreas em cm².

Cálculo da área da base (S_b):

S_b = (pi)"πr² = (pi)"π ⋅ 4² = 16(pi)"π

Cálculo da área lateral (S(éli)"ℓ):

S(éli)"ℓ = (pi)"πrg = (pi)"π ⋅ 4 ⋅ $\begin{array}{c}4\sqrt[]{10}=16\pi \sqrt[]{10}\end{array}$

Cálculo da área total (S_t):

S_t = S_b + S(éli)"ℓ = 16(pi)"π + $\begin{array}{c}16\pi \sqrt[]{10}=16\pi \left(1+\sqrt[]{10}\right)\end{array}$

Adotando (pi)"π = 3,14 e $\begin{array}{c}\sqrt[]{10}\end{array}$ = 3,16, obtemos:

S_t = 16 ⋅ (3,14) ⋅ (1 + 3,16) = 50,24 ⋅ (4,16) ≃ 209

Portanto, a quantidade mínima de material será 209 cm².

5. Em um cone reto, a área da base é 9(pi)"π cm² e a geratriz médemede $\begin{array}{c}3\sqrt[]{10}\end{array}$ cm. Determine o volume do cone.

Resolução

Primeiro, vamos determinar o raio da base do cone:

S_b = 9(pi)"π ⇒ (pi)"πr² = 9(pi)"π ⇒ r² = 9 ⇒ r = 3

Logo, o raio da base do cone é 3 cm.

Agora, vamos calcular a altura do cone utilizando o teorema de Pitágoras:

g² = r² + h² ⇒ (3$\sqrt[]{10}$)² = 3² + h² ⇒ h² = 90 − 9 ⇒ h² = 81 ⇒ h = 9

Logo, a altura do cone é 9 cm.

Por fim, calculamos o volume do cone:

V = $\frac{1}{3}$ (pi)"πr² ⋅ h ⇒ V = $\frac{1}{3}$ (pi)"π ⋅ 3² ⋅ 9 ⇒ V = 27(pi)"π

Portanto, o volume do cone é 27(pi)"π cm³.

6. (UFV-MG) O trapézio retângulo a seguir sofre uma rotação de 360° em torno da base maior. Sabendo-se quêque AB = 3 cm, CE = 5 cm e quêque o volume do sólido obtídoobtido é 84(pi)"π cm³, determine AC.

Resolução

O volume do cilindro gerado pela rotação do retângulo ABDC pódepode sêrser determinado pela diferença entre o volume do sólido e o volume do cone gerado pela rotação do triângulo CDE. O triângulo CDE é retângulo em D.

Indicando a medida de $\overline{DE}$ por h, aplicamos o teorema de Pitágoras no (triângulo)"△CDE e obtemos:

5² = h² + 3² ⇒ h² = 16 ⇒ h = 4

Logo, a altura h do cone é 4 cm.

Calculando o volume do cone, temos:

V_cone = $\frac{1}{3}$ (pi)"πr² ⋅ h ⇒ V_cone = $\frac{1}{3}$ (pi)"π ⋅ 3² ⋅ 4 = 12(pi)"π

Calculando o volume do cilindro, temos:

V_cilindro = V_sólido − V_cone = 84(pi)"π − 12(pi)"π = 72(pi)"π

Sendo a medida AC = x, temos:

V_cilindro = (pi)"πr² ⋅ x ⇒ 72(pi)"π = (pi)"π ⋅ 3² ⋅ x ⇒ x = 8

Portanto, AC = 8 cm.

Página cento e cinco105

ATIVIDADES

19. Um funil de papel no formato de um cone reto tem 6 cm de diâmetro da base e 4 cm de altura. Qual é a área lateral dêêssedesse funil? (Use (pi)"π = 3,14.)

Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos.

47,1 cm²

20. Considere o triângulo retângulo ABC da figura.

Determine a área total do sólido obtídoobtido pela rotação completa do triângulo em torno do lado:

a) $\overline{AC}$;

96(pi)"π cm²

b) $\overline{AB}$ .

144(pi)"π cm²

21. (hú- hê- érre jotaUERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro (éli)"ℓ. Se ela gira em torno de um de seus lados, gera uma superfícíesuperfície de área S igual ao produto de (éli)"ℓ pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal.

A figura a seguir mostra a linha (ABCA) quêque dá uma volta em torno de BC.

a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfícíesuperfície quêque é igual a 36(pi)"π cm².

Ver as Orientações para o professor.

b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

r = 1,5 cm

Saiba quêque...

Baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo.

22. A geratriz de um cone equilátero médemede 20 cm. Calcule a área da base (S_b)desse cone.

100(pi)"π cm²

23. Determine a altura de um chapéu de cartolina de formato cônico construído a partir de um setor circular de raio 15 cm e ângulo central de 120°.

$\begin{array}{c}10\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

24. A superfícíesuperfície lateral de um cone circular reto é feita com uma peça circular de papel de 20 cm de diâmetro da qual se retira um setor de $\frac{\pi }{5}$ radianos. Calcule a altura do cone quêque tem essa superfícíesuperfície lateral.

$\begin{array}{c}\sqrt[]{19}\end{array}$ cm

25. Uma cooperativa agrícola vai construir um silo para armazenamento de cereais em grãos. O silo terá o formato indicado na figura. O corpo será cilíndrico e a base terminará em um funil cônico.

Para quêque a superfícíesuperfície dêêssedesse silo não enferruje, será necessário pintá-lo externamente. Se, com uma lata de tinta, pode-se pintar 10 m², qual é o número mínimo de latas para pintar a superfícíesuperfície total dêêssedesse silo? Use (pi)"π = 3,14.

Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos.

27 latas

26. É dada a superfícíesuperfície de um cone circular reto (sem fundo) de raio R e altura H. Cortando-o por uma de suas geratrizes e abrindo tal superfícíesuperfície, obtém-se um setor circular plano conforme a figura a seguir.

Qual é a relação entre R e H para quêque o ângulo (alfa)"α seja 45°?

$H=\begin{array}{c}3\sqrt[]{7}\end{array}R$

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27. (ITA-SP) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total dêstedeste cone em m².

96(pi)"π m²

28. Um cone circular reto tem 3 cm de raio da base e 15(pi)"π cm² de área lateral. Calcule seu volume.

12(pi)"π cm³

29. Considere um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa médemede 2 cm. Determine o volume do sólido obtídoobtido pela rotação completa dêêssedesse triângulo em torno da hipotenusa.

$\frac{2\pi }{3}$ cm³

30. O raio da base de um cone de revolução médemede 3 cm, e o perímetro de sua secção meridiana médemede 16 cm. Determine seu volume.

12(pi)"π cm³

31. Na figura a seguir, tem-se um recipiente no formato de um cone circular reto, com um líquido quêque atinge mêtádemetade de sua altura. Se V é a capacidade do cone, qual é o volume do líquido?

$\frac{V}{8}$

32. Pode-se considerar quêque uma ampulheta é formada por dois cones rétosretos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Determine a razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro.

$\frac{1}{6}$

33. A medida dos lados de um triângulo equilátero ABC é 5 dm. O triângulo gira em torno de uma reta r do plano do triângulo, paralela ao lado BC e passando pelo vértice A. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dêêssedesse triângulo.

$\frac{125\pi }{2}$dm³

34. Cisternas são depósitos quêque captam e armazenam á guaágua da chuva. São muito utilizadas em regiões em quêque há escassez de á guaágua e passaram a sêrser adotadas também em grandes centros urbanos, por causa do racionamento gerado pêlospelos baixos níveis de á guaágua das represas. Um modelo de reservatório muito utilizado é formado por um cilindro sobreposto por um cone de mesma base, como é possível vêrver na figura.

Uma escola pretende construir uma cistérnacisterna cujo reservatório terá o mesmo formato do modelo da imagem. Entre as especificações do projeto, a escola decidiu quêque a cistérnacisterna deve ter altura mássimamáxima de 4 metros e capacidade para armazenar no mínimo 12 mil litros e no mássimomáximo 24 mil litros de á guaágua.

Elabore um problema envolvendo a construção de uma cistérnacisterna quêque atenda às necessidades e condições dessa escola.

Resposta pessoal.

35. Imagine quêque, para arrecadar dinheiro para a execução de uma ação social na sua comunidade, fosse proposta a venda de canudinhos de doce de leite com formato cônico. Para isso, seria necessária a compra dos canudinhos (cones vazios) e de doce de leite para o recheio. Sobre essa situação, responda:

a) Para calcular a capacidade de cada canudinho, sêrseria necessário medir quais dimensões dos cones vazios? Como isso poderia ser feito?

b) Se o doce de leite foi adquirido em pótespotes cilíndricos cuja altura é igual à altura dos canudinhos e o raio da base é o quádruplo do raio interno da base dos canudinhos, quantos canudinhos de doce de leite é possível montar com um pótepote de doce de leite?

c) Se o raio da base interna dos canudinhos for igual a 1 cm e sua altura for igual a 6 cm, qual será a massa, em grama, de doce de leite usada em cada canudinho, sabendo quêque a densidade do recheio é 1,32 g/mL? Use (pi)"π = 3,14.

d) Você consegue propor uma ação social quêque seria benéfica para a sua comunidade? Compartilhe-a com os côlégascolegas e o professor.

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e sete107

FÓRUM

Ver as Orientações para o professor.

Página cento e oito108

esféraEsfera

Saiba quêque...

Página cento e nove109

Dada uma esféraesfera, definimos eixo como qualquer reta quêque contém o centro da esféraesfera e o indicamos por e.

Agora, fixado um eixo e, definimos os seguintes elemêntoselementos:

• Polos: são os pontos de intersecção da superfícíesuperfície esférica com o eixo e; são indicados por P₁ e P₂;

• Equador: é a circunferência ôbitídaobtida como intersecção entre a superfícíesuperfície esférica e um plano perpendicular ao eixo e quêque passa pelo centro da esféraesfera;

• Paralelos: são as circunferências obtidas como intersecções entre a superfícíesuperfície esférica e planos perpendiculares ao eixo e. São, portanto, coincidentes com o equador ou paralelos a ele;

• Meridianos: circunferências obtidas como intersecções da superfícíesuperfície esférica com planos quêque contêm o eixo e.

Os círculos obtidos pela intersecção da esféraesfera com um plano quêque passa pelo centro O são chamados círculos mássimosmáximos.

Cada círculo mássimomáximo divide a esféraesfera em duas partes iguais chamadas de hemisférios.

Saiba quêque...

Os mesmos elemêntoselementos da esféraesfera foram adotados para dividir o planêtaplaneta Terra. Ele é dividido em dois hemisférios (Norte e Sul), a partir da linha do equador, quêque corresponde a uma circunferência mássimamáxima do planêtaplaneta, medindo 40.075 km.

A esféraesfera também pódepode sêrser ôbitídaobtida pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo quêque contém seu diâmetro. Por isso, o eixo e também é chamado de eixo de rotação.

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Secção de uma esféraesfera

Considere um plano (alfa)"α cuja distância ao centro O de uma esféraesfera seja menor do quêque o raio r. A intersecção entre esse plano e a esféraesfera é um círculo, como representado na figura a seguir.

Quando o plano passa pelo ponto O (centro da esfera), como já estudamos, o círculo obtídoobtido é chamado de círculo mássimomáximo.

Volume de uma esféraesfera

Rolamentos são peças utilizadas em máquinas para reduzir o atrito entre partes móveis. O tipo de rolamento mais utilizado é o de esferas, quêque apresenta, em seu interior, pequenas esferas de aço, como mostra a imagem. Para saber quanto aço foi utilizado nessas esferas, é necessário determinar o volume dessa forma geométrica. Mas como fazemos isso?

Para calcular o volume de uma esféraesfera de raio r, vamos utilizar o princípio de Cavalieri. Considere um cilindro equilátero de altura 2r e raio da base r. Retirando dois cones circulares rétosretos, de altura r e raio da base r, cujas bases coincidem com as bases dêêssedesse cilindro, obtemos o sólido A (conhecido como anticlepsidra), representado na figura a seguir na côrcor laranja.

O volume do sólido A é igual à diferença entre o volume do cilindro equilátero e os volumes dos dois cones circulares rétosretos, ou seja:

V_A = V_cilindro − 2V_cone = (pi)"πr² ⋅ 2r − 2 ⋅ $\frac{1}{3}$ (pi)"πr² ⋅ r = 2(pi)"πr³ − $\frac{2}{3}$ (pi)"πr³ = $\frac{4}{3}$ (pi)"πr³

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Agora, vamos considerar uma esféraesfera E de raio r e o sólido A, apoiados em um mesmo plano (alfa)"α, conforme mostra a figura a seguir.

Considere também um plano (beta)"β paralelo a (alfa)"α e secante aos sólidos quêque secciona a esféraesfera E e o sólido A a uma distância d do centro da esféraesfera O, como mostra a figura a seguir.

O plano (beta)"β determina um círculo na esféraesfera E, cujo raio indicaremos por R. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

r² = R² + d² ⇒ R² = r² − d²

Assim, a área S₁ do círculo é dada por:

S₁ = (pi)"πR² = (pi)"π(r² − d²) I

A secção determinada pelo plano (beta)"β no sólido A é uma coroa circular de raios r e d, e sua área S₂ é dada por:

S₂ = (pi)"π(r² − d²) II

Assim, comparando I e II, verificamos quêque a área da secção plana da esféraesfera E (círculo) é igual à área da secção plana do sólido A (coroa circular).

Logo, pelo princípio de Cavalieri, a esféraesfera E tem o mesmo volume quêque o sólido A, portanto o volume V da esféraesfera é dado por:

Para acessar

• O quêque é o"problema dos beijos" quêque atormenta os matemáticos há séculos. BBC niusNews Brasil, [s. l.], 18 jun. 2023. Disponível em: https://livro.pw/xwcpy. Acesso em: 10 out. 2024.

Você sabe qual é a maneira mais eficiente de empilhar objetos esféricos? Leia a matéria e descubra as dificuldades envolvidas nesse problema.

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Área de uma superfícíesuperfície esférica

Agora quêque já aprendemos como determinar o volume de uma esféraesfera, vamos usar esse resultado para verificar o cálculo da área de uma superfícíesuperfície esférica.

Uma esféraesfera pódepode sêrser imaginada como a reunião de vários sólidos parecidos com"pirâmides" de vértices em C (centro da esfera), como representado na figura a seguir.

Esses sólidos não são verdadeiramente pirâmides, pois a"base" de cada sólido é uma superfícíesuperfície arredôndá-daarredondada. No entanto, quanto mais sólidos considerarmos, mais a base deixa de sêrser arredôndá-daarredondada e se torna mais plana, aproximando-se, assim, da forma de uma pirâmide.

A altura de cada"pirâmide" é o raio r da esféraesfera.

Considere uma esféraesfera de centro C decomposta em uma quantidade de n sólidos parecidos com pirâmides cujos vértices se encontram no centro da esféraesfera.

Desse modo, a superfícíesuperfície esférica fica dividida em n"polígonos", bases das “pirâmides”, cujas áreas chamaremos de S₁, S₂, S₃, ..., S_n. Para n muito grande, cada "polígono" tem área e perímetro muito pequenos, e a soma das áreas de todos esses “polígonos” se aproxima da área da superfícíesuperfície esférica S:

S₁ + S₂ + S₃ + ... + S_n ≃ S I

Além díssudisso, quanto maior for o número n, mais a soma dos volumes de todas essas"pirâmides" se aproxima do volume da esféraesfera. O volume de uma pirâmide é dado por V_pirâmide = $\frac{1}{3}$S_b ⋅ h e, sêndosendo h = r (raio da esfera) e S_b = S_i,, quêque é a área do i-ésimo polígono, podemos escrever o volume da i-ésima pirâmide como V_i = $\frac{1}{3}$ S_i ⋅ r, i = 1, 2,..., n.

Assim, se V é o volume da esféraesfera, para n muito grande, temos:

V ≃ V₁ + V₂ + V₃ + ... + V_n

V ≃ $\begin{array}{c}\frac{S_1\cdot r}{3}+\frac{S_2\cdot r}{3}+\frac{S_3\cdot r}{3}+\dots +\frac{S_n\cdot r}{3}=\frac{1}{3}\end{array}$⋅ r(S₁+ S₂ + S₃ +... + S_n) II

Substituindo I em II, obtemos V ≃ $\frac{1}{3}$ S ⋅ r

Logo, como V = $\begin{array}{c}\frac{4\pi r^3}{3}\end{array}$, temos: $\begin{array}{c}\frac{4\pi r^3}{3}\simeq \frac{1}{3}\end{array}$ S ⋅ r ⇒ S ≃ 4(pi)"πr²

Estudamos quêque quanto maior for o número n, mais S se aproxima de 4(pi)"πr². Logo, fazendo n tender ao infinito, obtemos a área da superfícíesuperfície esférica:

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Cunha esférica

Chamamos de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida (alfa)"α (0° < (alfa)"α ≤ 360°), de um semicírculo de raio r em torno do eixo quêque contém seu diâmetro, como mostrado a seguir.

O volume da cunha esférica pódepode sêrser calculado por meio de uma regra de três quêque compara esse sólido com a esféraesfera.

(alfa)"α ⋅ $\frac{4}{3}$ (pi)"πr³ = 360° ⋅ V_cunha ⇒ V_cunha $\begin{array}{c}\frac{4\cdot \mathrm{\alpha \pi }{r}^3}{3\cdot {360}^{\circ }}\end{array}$ =

Logo:

Fuso esférico

Chamamos de fuso esférico a superfícíesuperfície gerada pela rotação, por um ângulo de medida (alfa)"α (0° < (alfa)"α ≤ 360°), de uma semicircunferência de raio r em torno do eixo quêque contém seu diâmetro, como mostrado na figura a seguir.

A área do fuso esférico pódepode sêrser calculada por meio de uma regra de três quêque o compara à superfícíesuperfície esférica.

(alfa)"α ⋅ 4(pi)"πr² = 360° ⋅ S_fuso ⇒ S_fuso = $\begin{array}{c}\frac{4\cdot \mathrm{\alpha \pi }{r}^2}{{360}^{\circ }}\end{array}$

Logo:

Pense e responda

V_cunha = $\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}$ (alfa)"αr³; S_fuso = 2(alfa)"αr²

Página cento e quatorze114

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Um silo tem o formato de um cilindro circular reto (com fundo) sôbisob uma semi-esférasemiesfera, como na figura. Determine o volume dêêssedesse silo, sabendo quêque o raio do cilindro médemede 2 m e quêque a altura do silo médemede 8 m.

Resolução

O volume do silo é igual à soma dos volumes de uma semi-esférasemiesfera de raio 2 m e de um cilindro de raio 2 m e altura 6 m.

V_{semi-esférasemiesfera} = $\begin{array}{c}\frac{\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 2^3}{2}=\frac{16\pi }{3}\end{array}$

V_cilindro = (pi)"π ⋅ 2² ⋅ 6 = 24(pi)"π

V_silo = $\frac{16\pi }{3}$ + 24(pi)"π = $\frac{88}{3}$(pi)"π

Portanto, o volume do silo é $\frac{88\pi }{3}$ m³.

8. Para medir o diâmetro de uma esféraesfera maciça, João utilizou a seguinte estratégia: colocou certa quantidade de á guaágua em um recipiente de formato cilíndrico de raio 10 cm e altura 20 cm. Em seguida, mergulhou a esféraesfera na á guaágua, de modo quêque ela ficou totalmente submersa. Ele, então, verificou quêque a altura da á guaágua no recipiente subiu 2 cm. Assim, pôdipôde determinar o diâmetro da esféraesfera. Qual é esse diâmetro?

Resolução

O volume da esféraesfera é equivalente ao volume de á guaágua deslocado, o qual, por sua vez, corresponde ao volume de um cilindro de raio 10 cm e altura 2 cm.

V_deslocado = (pi)"πr² ⋅ h = (pi)"π ⋅ 10² ⋅ 2 = 200(pi)"π

V_{esféraesfera} = $\frac{4}{3}$ (pi)"πR³ = 200(pi)"π ⇒ R = $\begin{array}{c}\sqrt[3]{150}\end{array}$ ≃ 5,3

Como o diâmetro da esféraesfera é o dôbrodobro do seu raio, ele é aproximadamente igual a 10,6 cm.

9. A professora Cristina produziu com os estudantes de sua turma da pré-escola enfeites de Natal no formato de esferas, com 12 cm de diâmetro cada uma. Para pintar a superfícíesuperfície dessas esferas, ela dispõe de uma latinha de tinta, com a qual, conforme informação do fabricante, é possível pintar até 5 m² de superfícíesuperfície.

Nessas condições, qual é o número mássimomáximo de enfeites quêque a turma de Cristina poderá pintar?

Resolução

Em cada esféraesfera, temos: r = $\frac{12}{2}$⇒ r = 6

S_{esféraesfera} = 4(pi)"πr² = 4 ⋅ (pi)"π ⋅ 6²

S_{esféraesfera} = 144(pi)"π

Considerando (pi)"π = 3,14, a área da superfícíesuperfície esférica é 452,16 cm².

Como é possível pintar até 5 m² (50.000 cm²) com a latinha de tinta, temos: $\frac{50000}{\mathrm{452,16}}$ ^{≃ 110,58}

Portanto, a turma da professora Cristina poderá pintar até 110 enfeites.

10. Considere uma esféraesfera cuja superfícíesuperfície tenha área igual a 676(pi)"π cm². Nessas condições, determine:

a) a medida do raio da esféraesfera;

b) o volume da esféraesfera.

Resolução

a) Cálculo do raio da esféraesfera:

S = 676(pi)"π ⇒ 4(pi)"πr² = 676(pi)"π ⇒ r² = 169

Como r é positivo, temos r = 13.

Portanto, o raio da esféraesfera é 13 cm.

b) Cálculo do volume:

V = $\frac{4}{3}$(pi)"πr³ ⇒ V = $\frac{4}{3}$(pi)"π ⋅ 13³ ⇒ V = $\frac{8788}{3}$ (pi)"π

Portanto, o volume da esféraesfera é $\frac{8788}{3}$ (pi)"π cm³.

Página cento e quinze115

11. Uma esféraesfera de raio 8 cm é seccionada por um plano distante 5 cm de seu centro. Calcule o raio do círculo determinado pela secção.

Resolução

A intersecção do plano (alfa)"α com a esféraesfera determina a secção indicada na figura.

Do triângulo retângulo OBA, tem-se:

8² = 5² + r² ⇒ 64 = 25 + r² ⇒ r² = 39

Como r é positivo, r = $\sqrt[]{39}$.

Portanto, o raio do círculo determinado pela secção é $\begin{array}{c}\sqrt[]{39}\end{array}$ cm.

ATIVIDADES

36. Calcule, em mililitro, a capacidade aproximada do recipiente indicado na figura. Adote (pi)"π = 3,14. Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos.

3.334,68 mL

37. O recipiente da imagem é feito de madeira e tem densidade 0,7 g/cm³. Tanto sua parte externa quanto a interna correspondem a superfícies de semiesferas, e seus raios estão indicados na imagem. Calcule a massa do recipiente em kilograma.

aproximadamente 4,52 kg

38. Um reservatório no formato de uma semi-esférasemiesfera tem 18 m de diâmetro. Qual é o volume de á guaágua quêque cabe nesse reservatório?

486(pi)"π m³

39. (Unifesp) Um recipiente, contendo á guaágua, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e raio r = 15 cm.

êsteEste recipiente contém 1 litro de á guaágua a menos quêque sua capacidade total.

a) Calcule o volume de á guaágua contido no cilindro (use (pi)"π = 3,14).

34,325 L

b) Qual deve sêrser o raio R de uma esféraesfera de ferro quêque, introduzida no cilindro e totalmente submersa, faça transbordarem exatamente 2 litros de á guaágua?

aproximadamente 8,95 cm

40. (PUC-RJ) B₁ é uma bola esférica de volume V₁. B₂ é uma bola esférica de volume V₂, cujo raio é o triplo do raio de B₁.

Escolha a alternativa correta.

a) V₂ = 3V₁

b) V₂ = 9V₁

c) V₂ = 12V₁

d) V₂ = 27V₁

e) V₂ = 81V₁

alternativa d

Página cento e dezesseis116

41. (Eear-SP) Um objeto metálico maciço é formado por um cilindro circular reto, de raio da base medindo R cm e H cm de altura, justaposto a 2 semiesferas de raio R cm, conforme a figura dada.

Se o objeto tem 13 cm de comprimento e 78(pi)"π cm² de área total, então o valor de H é _____ cm.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

alternativa d

42. Uma esféraesfera está inscrita em um cilindro equilátero de raio da base a. Qual é a razão entre o volume V₁ da esféraesfera e o volume V₂ do cilindro?

$\frac{2}{3}$

43. Uma casquinha de sorvete com formato de cone tem 3 cm de diâmetro da base e 6 cm de profundidade. Depois de totalmente preenchida, ainda é adicionada à casquinha meia bola de sorvete, conforme a imagem. Já o recipiente cilíndrico quêque armazena o sorvete tem 18 cm de diâmetro e 5 cm de altura.

Determine o número de casquinhas quêque podem sêrser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente cheio.

60 casquinhas

44. (PUC-RS) A região R da figura está limitada por três semicírculos.

Sabendo quêque R efêtúaefetua uma volta completa em torno do eixo x, calcule o volume do sólido gerado.

8(pi)"π

45. Em uma festa de arrecadação de fundos em uma escola, os pais de uma estudante resolveram fazer brigadeiros para vender durante a festa. Solicitando ajuda à filha, pediram a ela quêque confeccionasse caixinhas de papel-cartão para colocar cada um dos brigadeiros. As caixinhas confeksionadasconfeccionadas deveriam ter formato cúbico. Antes de sêrser armazenado na caixinha, o brigadeiro é colocado em uma forminha de formato cilíndrico, de modo quêque mêtádemetade do doce, de formato esférico, fique para fora da forminha.

Forme um pequeno grupo com seus côlégascolegas e, juntos, respondam às kestõesquestões a seguir.

Para todas as situações necessárias, considerem (pi)"π = 3,14.

Utilizem a calculadora para auxiliá-los nos cálculos.

a) Qual é o volume aproximado de cada brigadeiro?

33,49 cm³

b) Qual é a capacidade aproximada das forminhas de formato cilíndrico?

25,12 cm³

c) Sabendo quêque cada fô-lhafolha de papel-cartão tem 68 cm × 48 cm e quêque não há sobreposição de material na montagem, quantas caixinhas de aresta igual a 4 cm poderão sêrser confeksionadasconfeccionadas?

34 caixinhas

Página cento e dezessete117

46. Sabendo quêque a área de uma superfícíesuperfície esférica é 8(pi)"π cm², calcule o raio da esféraesfera.

$\begin{array}{c}\sqrt[]{2}\end{array}$ cm

47. Um plano (alfa)"α secciona uma esféraesfera de raio 20 cm. A distância do centro da esféraesfera ao plano (alfa)"α é 12 cm. Calcule a área da secção ôbitídaobtida.

256(pi)"π cm²

48. Qual é a área total da superfícíesuperfície esférica gerada pela rotação completa do semicírculo da figura em torno de seu diâmetro $\overline{AB}$?

100(pi)"π cm²

49. Supondo quêque a Terra seja uma esféraesfera perfeita e sabendo quêque seu raio é de aproximadamente 6.400 km, determine:

a) a área total da superfícíesuperfície terrestre (use (pi)"π = 3);

491.520.000 km²

b) o valor percentual quêque ocupa o continente americano, cuja área é de 42.215.000 km², em relação à superfícíesuperfície total da Terra.

Utilize a calculadora para auxiliá-lo nos cálculos.

aproximadamente 8,59%

50. (Faap-SP) A área da superfícíesuperfície de uma esféraesfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio da esféraesfera, sabendo quêque o volume do cone é 12(pi)"π dm³ e o raio da base é 3 dm.

$\sqrt[]{6}$ dm

51. (CPAEAM) Uma esféraesfera com centro em O possui volume igual a $\frac{1372\pi }{3}$ cm³. Se tomarmos um plano e o fizermos interceptar essa esféraesfera a uma distância d do seu centro, a seção plana circular resultante, de centro O’, terá área igual a 24(pi)"π cm² (figura abaixo). Assim, de acôr-doacordo com os dados, calcule o valor d, ou seja $\overline{O{O}^{\text{'}}}$, e assinale a opção correta.

a) 1 cm

b) 3 cm

c) 5 cm

d) 7 cm

e) 10 cm

alternativa c

52. Uma esféraesfera é seccionada por um plano (alfa)"α distante 12 cm do centro da esféraesfera. O raio da secção ôbitídaobtida é 9 cm. Calcule o volume da esféraesfera.

4.500(pi)"π cm³

53. (UPF-RS) Com inspiração na arquitetura, na cultura e nas cores da bandeira do Catar, a bola oficial da cópaCopa do Mundo de 2022 foi denominada Al Rihla, quêque significa “a jornada” em árabe (Fonte: https://livro.pw/pfugv).

A bola é revestida de pélepele de poliuretano com uma nova forma de painel de 20 peças, quêque melhora sua aerodinâmica. A figura a seguir apresenta a bola e o seu painel de peças.

A Al Rihla tem circunferência de cerca de 70 cm. Considere quêque, para a produção de uma peça da bola, a quantidade de pélepele de poliuretano foi aumentada em 10%, devido aos rekórtisrecortes quêque devem sêrser feitos. A quantidade dêêssedesse material quêque será necessária para a produção de uma bola, em cm², é:

a) $\begin{array}{c}\frac{4\times {35}^2}{\pi }\end{array}$

b) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{4,4}\times {35}^2}{\pi }\end{array}$

c) $\begin{array}{c}\frac{\mathrm{4,4}\times {70}^2}{{\pi }^2}\end{array}$

d) 4,4 × 35²

e) $\begin{array}{c}\frac{4\times {70}^2}{\pi }\end{array}$

alternativa b

54. Calcule a área de um fuso esférico de raio 2 m e ângulo 135°.

6(pi)"π m²

55. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 6 cm e ângulo 45°.

36(pi)"π cm³

Página cento e dezoito118

Projeções cartográficas

Uma parte de nosso estudo com cilindros e cones envolveu o cálculo da área de suas superfícies. Para isso, observamos a planificação dêêssesdesses sólidos geométricos. No entanto, essa não foi a maneira utilizada para obtêrobter a superfícíesuperfície da esféraesfera, o quêque nos traz uma dúvida: é possível planificar uma esféraesfera?

A resposta é não, não é possível planificar uma esféraesfera. Então como podemos representar sua superfícíesuperfície no plano?

Junto a essa quêquestão, devemos responder também a outra pergunta: para que representar uma superfícíesuperfície esférica no plano?

A resposta para essas perguntas aparece quando vemos um planisfério.

Mapas são representações planas de um corpo aproximadamente esférico, a Terra. Eles são importantes pois permitem a visualização de diversos dêtálhesdetalhes quêque seriam impossíveis em globos, já quêque, para isso, estes precisariam sêrser muito grandes, o quêque os tornaria difíceis de manusear e de transportar.

Saiba quêque...

Planisférios são mapas quêque mostram todo o planêtaplaneta de uma só vez. Também são chamados de mapas-múndi.

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Como não existe uma representação plana perfeita da esféraesfera (uma planificação), é de se imaginar quêque as representações quêque existam apresentem algum tipo de distorção. Por isso, procuraram-se maneiras de desenhar um mapa quêque, de alguma forma, apresentasse poucas distorções, seja nos comprimentos, seja nas áreas ou nos formatos dos continentes. Essas"maneiras" são as projeções cartográficas.

Cada projeção cartográfica objetiva manter fiel algum aspecto, quêque pódepode sêrser a dimensão, a forma etc., em detrimento de outro. Por isso, cada projeção cartográfica responde a determinado objetivo de quem a apresenta, seja político, seja econômico ou cartográfico.

Cada tipo de projeção é conhecido pela superfícíesuperfície em quêque o glôboglobo terrestre é projetado. Neste Capítulo estudaremos a projeção cilíndrica, a cônica e a plana, isto é, aquelas em quêque o glôboglobo terrestre é projetado, respectivamente, sobre um cilindro, um cone e um plano.

Para acessar

• O QUE é a projeção Gall-Peters, mapa quêque promete acabar com"4 séculos de visão colonialista" do mundo. BBC niusNews Brasil, [s. l.], 23 mar. 2017. Disponível em: https://livro.pw/qskho. Acesso em: 10 out. 2024.

Reportagem da BBC niusNews Brasil sobre os aspectos políticos envolvidos nas projeções cartográficas.

Projeção cilíndrica

É a projeção dos paralelos e meridianos sobre um cilindro quêque envolve a Terra e quêque, posteriormente, é planificado.

Saiba quêque...

Na bibliografia cartográfica, já foram descritos 400 tipos distintos de projeção.

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Projeção cônica

É a projeção do glôboglobo terrestre sobre um cone, quêque é planificado em seguida. Sua utilização se dá quando quêqueremos representar as latitudes médias. Nessa projeção, as distorções aumentam conforme a representação se afasta do paralelo de contato com o cone, de modo que essa projeção é utilizada quando queremos produzir mapas regionais.

Projeção plana

Também conhecida como projeção azimutal, é aquela feita sobre um plano a partir de um determinado ponto, ou seja, de um ponto de vista. Esse tipo de projeção deforma áreas distantes dêêssedesse ponto de vista central. É bastante utilizada para a representação das áreas polares.

As projeções cartográficas têm duas classificações principais: quanto à superfícíesuperfície de projeção e quanto às propriedades. As projeções estudadas anteriormente são classificadas de acôr-doacordo com a superfícíesuperfície de projeção.

Quanto às propriedades, temos as seguintes classificações:

• Equivalente: preserva áreas.

• Conforme: preserva ângulos.

• Equidistante: preserva comprimentos.

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Observe os exemplos a seguir, quêque mostram o planisfério representado por três das projeções cartográficas mais conhecidas atualmente: a projeção de pítersPeters, a de Robinson e a de Mercator.

Acompanhe algumas diferenças entre essas projeções.

• A projeção de pítersPeters é uma projeção cilíndrica e equivalente, quêque distorce o formato dos continentes, porém se aproxima mais das áreas deles.

• A projeção de Robinson é uma projeção afilática (que não é conforme, nem equivalente, nem equidistante) e pseudocilíndrica (não possui nenhuma superfícíesuperfície de projeção, porém se assemelha à projeção cilíndrica).

• A projeção de Mercator é uma projeção conforme e cilíndrica, bastante utilizada para representar o mundo. As distorções ocorrem sobretudo nos polos.

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ATIVIDADE RESOLVIDA

12. Leia a tirinha a seguir.

Na tirinha, a personagem Liberdade decide inverter o mapa e utilizá-lo de ponta-cabeça, de modo quêque o Norte ficará embaixo, enquanto o Sul ficará na parte de cima. Supondo quêque ela esteja usando um mapa cuja projeção é de Mercator, ela pódepode fazer isso? Justifique.

Resolução

Sim, pódepode. Como estudamos, mapas são projeções do glôboglobo no plano, e a projeção indicada só faz referência à técnica utilizada para fazer a projeção. A orientação dos mapas é uma convenção, e, mesmo de ponta-cabeça, o mapa continuará servindo ao seu propósito.

ATIVIDADES

56. (UEA-AM) exâmíneExamine a projeção cartográfica.

A projeção cartográfica representada tem como característica

a) a fidelidade das formas e a distorção das áreas.

b) a fidelidade das áreas e a distorção das formas.

c) a distorção das formas, das áreas e dos ângulos.

d) a deformação das áreas próximas aos trópicos.

e) a conservação das áreas próximas aos polos.

alternativa a

57. (Unip-SP) Analise a projeção de Mercator.

Uma desvantagem dessa projeção é

a) a representação dos círculos polares em linhas curvas.

b) o espaçamento decrescente dos paralelos sentido polos.

c) a distorção de área quêque ocorre em altas latitudes.

d) a representação em conformidade dos polos Norte e Sul.

e) a equivalência de formas entre os paralelos e meridianos.

alternativa c

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58. (UEA-AM) Analise a imagem.

A projeção cartográfica empregada nessa imagem tem como característica

a) alterar as propriedades forma, tamãnhotamanho e distância, uma vez quêque procura distorcer ao mínimo todas elas.

b) conservar as distâncias dos continentes, uma vez quêque distorce as formas nessas áreas.

c) valorizar as regiões polares, uma vez quêque as distorções empregadas nessas áreas são mínimas.

d) valorizar as regiões próximas ao Equador, uma vez quêque garante a real distância do azimute.

e) representar as pôr-çõesporções territoriais em médias latitudes, uma vez quêque evita distorções nessas áreas.

alternativa e

59. Observe a projeção a seguir e responda às perguntas.

a) Qual é a região representada na projeção plana polar?

A região representada é a região da Terra quêque compreende a Antártida, a Oceania, boa parte da América do Sul e o sul da África.

b) Qual é a medida do ângulo â?

30°

60. (UEG-GO) Observe a figura a seguir.

Os tipos de projeções cartográficas representados na figura são, respectivamente:

a) cilíndrica, azimutal e cônica

b) azimutal, cilíndrica e cônica

c) cônica, azimutal e cilíndrica

d) azimutal, cônica e cilíndrica

e) cilíndrica, cônica e azimutal

alternativa b

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61. (Enem/MEC)

É claramente impossível criar um mapa perfeito, no qual a escala principal seja preservada em todos os pontos. É fácil, porém, manter a escala principal ao longo de cértascertas linhas ou pontos no mapa em quêque a escala seja constante e igual à escala principal, ocasionando uma distorção nula. Linhas de distorção nula são linhas em uma projeção em quêque a escala principal é preservada. São caracterizadas pela tangência ou secância da superfícíesuperfície terrestre com a superfícíesuperfície de projeção.

MENEZES, P.; FERNANDES, M. Roteiro de cartografia. São Paulo: Oficina de Textos, 2013 (adaptado).

Conforme o texto, a projeção quêque representará uma região próxima à Linha do Equador com a menor distorção da escala principal é:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa a

62. (EsPCEx-SP)

“Uma projeção cartográfica é o resultado de um conjunto de operações quêque permite representar no plano, tendo como referência paralelos e meridianos, os fenômenos quêque estão dispostos na superfícíesuperfície esférica”.

Fonte: SENE, Eustáquio de; MOREIRA, João Carlos. Geografia Geral e do Brasil volume único. 6. ed. São Paulo: Ática, 2018, p. 51.

Sobre projeção cartográfica, pode-se afirmar quêque:

I. A projeção conforme é aquela quêque preserva o tamãnhotamanho da área, porém com alteração das formas, ou seja, os ângulos não são idênticos aos do glôboglobo terrestre, como o exemplo da projeção de Mercator.

II. Na projeção equivalente, as áreas mantêm-se idênticas às do glôboglobo terrestre, porém há distorção das formas quando comparadas com a original, como por exemplo a projeção de pítersPeters.

III. Na projeção afilática, as áreas e as formas são preservadas na sua forma original, por isso, tem sido uma das mais utilizadas em atlas e mapas de divulgação, como por exemplo a projeção de Robinson.

IV. A projeção equidistante é geralmente utilizada para fins específicos. As distâncias, quando traçadas do centro da projeção, são precisas. Porém, há distorções nas formas e nas áreas.

Das afirmações acima, estão corretas apenas

a) I e IV.

b) II e IV.

c) III e IV.

d) I e II.

e) II e III.

alternativa b

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CONEXÕES com...
CIÊNCIAS DA NATUREZA E SUAS TECNOLOGIAS
Cúpulas geodésicas

Você já ouviu falar em cúpulas ou estruturas geodésicas?

Essas estruturas, quêque, muitas vezes, apresentam formato semelhante ao de uma esféraesfera ou semi-esférasemiesfera, são construídas a partir de malhas triangulares e, por isso, apresentam grande estabilidade e resistência, uma vez quêque os triângulos possuem rigidez geométrica.

Comumente usadas em cúpulas de estufas, coberturas de estádios e abrigos emergenciais, as estruturas geodésicas são reconhecidas por sua estabilidade, leveza, economia, aerodinâmica, facilidade de montagem, beleza, sustentabilidade e eficiência no aproveitamento de espaço. No texto a seguir, podemos compreender um pouco sobre essas estruturas.

Composição das estruturas geodésicas

[...] A estrutura Geodésica corresponde a uma malha triangular quêque cobre a superfícíesuperfície de uma esféraesfera quêque, na maioria das vezes, dêrívaderiva de poliedros regulares platônicos com face triangular, são eles: o tetraedro, o octaedro e o mais comum a sêrser utilizado [...] o icosaedro (com 20 lados), por sêrser o mais arredondado dos 3. Se estiver completa será chamada de esféraesfera geodésica, e domo ou cúpula geodésica quando incompleta, parecer apenas um hemisfério.

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Para gerar diferentes estruturas geodésicas a partir do icosaedro, basta aumentar o número de freqüênciafrequência, ou seja, subdividir as faces triangulares em triângulos cada vez menóresmenores, quanto mais alta a freqüênciafrequência, maior o número de triângulos no qual sua superfícíesuperfície está subdividida e mais a sua aparência torna-se arredôndá-daarredondada [...]. Um icosaedro é considerado uma esféraesfera geodésica de freqüênciafrequência 1.

Cúpulas e esferas geodésicas podem configurar diferentes freqüênciasfrequências para o mesmo diâmetro.

[...]

SOARES, T. L. F. éti áuet al. A relação entre a biomimética e a geodésica de Buckminster Fuller no planejamento de construções sustentáveis. In: CONGRESSO LUSO-BRASILEIRO PARA O PLANEJAMENTO URBANO, REGIONAL, INTEGRADO E SUSTENTÁVEL: contrastes, contradições e complexidades, 7., 2016, Maceió. Anais [...]. Maceió: Pluris, 2016. Localizável em: p. 5 do pdf. Disponível em: https://livro.pw/ovect. Acesso em: 4 set. 2024.

Acompanhe, agora, algumas vantagens da estrutura geodésica em relação a outras construções.

Vantagens construtivas

[...]

[...] Força estrutural: A forma geodésica otimiza a carga, propriedade da tensegridade, deslocando as forças em toda sua estrutura, uma vantagem à frente das estruturas retangulares dos edifícios tradicionais;

[...] Economia: A esféraesfera tem 25% menos área de superfícíesuperfície por volume fechado do quêque qualquer outra forma. A cúpula combina a estabilidade inerente dos triângulos com a proporção vantajosa volume/área de superfícíesuperfície de uma esféraesfera. Quanto maior for a cúpula, mais eficaz ela se torna. Isto é demonstrado duplicando o seu diâmetro, quêque resulta no aumento do volume em oito vezes. Com isso precisa de menos materiais de construção para incluir mais espaço. Há uma estimativa de redução de 30% de materiais e 50% de energia em relação a uma construção convencional de alvenaria de mesma área construída; redução também de custos com a mão de obra, pois a montagem é mais fácil, simples e rápida;

[...]

[...] Segurança: O disáinidesign da cúpula geodésica é ergonômico, aerodinâmico e forte para resistir a situações extremas como: ventos fortes, tempestades, terremotos e acumulação de néveneve. [...]

[...] Temperatura mais uniforme: Devido ao fluxo melhorado do ar, a tempera-túratemperatura é mais uniforme do quêque numa habitação convencional. A área de superfícíesuperfície exposta no exterior nas cúpulas também é menor, permitindo menos troca de calor com o ambiente. Aliado a isto, o volume de ar dentro da cúpula também é menor, o quêque se traduz em economia para se manter morno no inverno, ou frio no verão, poupando-se até 50% em energia para aquecer ou esfriar.

Página cento e vinte e sete127

[...]

[...] Padrão de circulação radial: nas escolas, o padrão circular elimina os corredores; nos teatros e igrejas, possibilita maior número de cadeiras e melhor visibilidade; nas vivendas otimiza os espaços e permite a criação de espaços mais sociáveis;

[...] Coberturas autossustentáveis:

Independente do tamãnhotamanho, permitem sempre amplos espaços desobstruídos sem a necessidade de vigas, colunas ou paredes de suporte interiores;

[...]

[...] Construção em lugares remotos:

Com poucos e leves materiais e sêndosendo de fácil montagem, torna-se bem indicado até mesmo para lugares ermos, como desertos, polos, florestas, praias, montanhas etc.;

[...]

[...] Variedade de materiais: Podem sêrser construídas praticamente com qualquer material (bambu, aço, madeira, concreto, pvc etc.); [...]

[...]

SOARES, T. L. F. éti áuet al. A relação entre a biomimética e a geodésica de Buckminster Fuller no planejamento de construções sustentáveis. In: CONGRESSO LUSO-BRASILEIRO PARA O PLANEJAMENTO URBANO, REGIONAL, INTEGRADO E SUSTENTÁVEL: contrastes, contradições e complexidades, 7., 2016, Maceió. Anais [...]. Maceió: Pluris, 2016. Localizável em: p. 6-8 do pdf. Disponível em: https://livro.pw/ovect. Acesso em: 4 set. 2024.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

Ver as Orientações para o professor.

1. Pesquise quais são as maiores estruturas geodésicas do mundo. Inclua na pesquisa as dimensões das estruturas, sua localização e, se possível, algumas fotografias. Depois, compartilhe com a turma os resultados de sua pesquisa.

2. Observe o qüadroquadro quêque relaciona as freqüênciasfrequências e as figuras planas usadas na composição de estruturas geodésicas e faça o quêque se pede nos itens a seguir.

a) Em seu caderno, faça a representação das figuras planas da 5ª e da 6ª freqüênciasfrequências.

b) pôdêmosPodemos dizêrdizer quêque, em cada representação das figuras planas, temos um triângulo equilátero maior dividido em vários triângulos equiláteros menóresmenores congruentes e justapostos. A figura plana da 5ª freqüênciafrequência está dividida em quantos dêêssesdesses triângulos menóresmenores? E a figura plana da 6ª freqüênciafrequência?

c) escrêevaEscreva uma função matemática quêque relacione a freqüênciafrequência i (com i ∈ ℕ*) à quantidade n de triângulos menóresmenores congruentes e justapostos quêque subdividem o triângulo equilátero maior. Depois, esboce o gráfico da função ôbitídaobtida.

3. Suponha quêque o dono de uma hospedagem ôfereçaofereça suítes em forma de domos geodésicos quêque podem sêrser inscritos em semiesferas de raio 2 m.

a) Qual é a área aproximada dos domos geodésicos quêque formam cada suíte? Considere (pi)"π ≃ 3,14.

b) Você acha quêque a medida encontrada no item anterior é uma boa estimativa? Justifique.

4. Junte-se a dois côlégascolegas, e pensem em locais de sua comunidade em quêque poderiam sêrser construídas cúpulas geodésicas e na finalidade dessas cúpulas. Depois, construam a maquétemaquete da estrutura de uma cúpula geodésica, dando preferência à construção das arestas, sem a necessidade de produzir as faces. Por fim, comparem a soma das áreas dos triângulos quêque formam a cúpula da maquétemaquete com a área da parte da superfícíesuperfície esférica a quêque ela se assemelha.

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EXPLORANDO A TECNOLOGIA
Áreas e volumes de corpos redondos

Para quêque os computadores executem tarefas, é necessário quêque sêjamsejam programados para isso. Essa programação pódepode sêrser feita por meio de diversas linguagens e formas. Para esta atividade, vamos utilizar o Scratch, um software quêque pódepode sêrser usado ôn láinion-line pelo línkilink https://livro.pw/jqetp (acesso em: 5 set. 2024) ou pódepode sêrser baixado no computador e usado off-line.

O Scratch utiliza uma linguagem de programação em blocos. Basta identificar os comandos quêque se deseja executar – à esquerda da tela – e arrastar os blocos para a área de trabalho – no centro da tela. Não se esqueça de garantir quêque seu bloco, isto é, sua sequência de comandos, seja coerente e atenda a seu objetivo.

Antes de começar, lembre-se de alterar o idioma para o português, clicando consecutivamente em Settings, Language e Português Brasileiro.

Nesta atividade, será criado um programa quêque, com base nas informações da altura e do raio da base, calcula o volume de um cilindro.

Depois díssudisso, será adicionado o desenvolvimento do programa. O objetivo aqui será calcular o volume do cilindro. Para isso, lembre-se de como é feito esse cálculo: devemos multiplicar a área da base do cilindro, quêque é um círculo, pela sua altura. Assim, são necessárias duas informações: o raio da base (r) e a altura (h) do cilindro.

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Saiba quêque...

O Scratch utiliza linguagem e notação próprias, quêque podem diferir um pouco das utilizadas nesta Coleção. Por exemplo, para a separação da parte decimal de um número, o software usa o ponto no lugar da vírgula.

Faça um teste de execução clicando na bandeira vêrdeverde na tela no lado direito. Digite o valor do raio desejado, por exemplo, “5”. Em seguida, pressione a tecla Enter. Na sequência, aparecerá a pergunta para digitar a altura. Repita o procedimento anterior digitando o valor da altura desejada, por exemplo, “6”.

O valor do volume será dado na tela da direita, ao lado da variável VOLUME.

Para quêque, ao início de um novo teste, os valores informados em testes anteriores sêjamsejam apagados, basta inserir abaixo do bloco inicial três outros blocos ,alterando as variáveis, como mostrado a seguir.

Agora, faça o quêque se pede nas atividades a seguir.

1. Crie um programa para determinar a área da superfícíesuperfície do cilindro e faça alguns testes para verificar o quêque ocorre ao serem alterados os valores informados nas variáveis.

Resposta pessoal. Uma possível resposta é um programa com estrutura do cóódigocódigo semelhante à anterior, substituindo-se a variável VOLUME por ÁREA e efetuando-se os respectivos cálculos.

2. Crie um programa quêque calcule o volume de um cone e faça alguns testes para verificar o quêque ocorre ao serem alterados os valores informados nas variáveis.

Resposta pessoal. Uma possível resposta é um programa com estrutura do cóódigocódigo semelhante à anterior, ajustando-se a pergunta no passo III e trocando-se os cálculos dos passos VI e VII de acôr-doacordo com a fórmula do volume do cone.

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HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

arquimédisArquimedes

A contribuição de arquimédisArquimedes para o desenvolvimento da Matemática foi tão importante quêque a Medalha Fields traz, na parte da frente, a efígie de arquimédisArquimedes, com seu nome escrito em grego e a seguinte inscrição: Transire svvm pectvs mvndoqve potiri (Superar as próprias limitações e dominar o universo).

Essa medalha foi proposta pelo professor DiônJohn xárlêsCharles Fields (1863-1932) e começou a sêrser concedida em 1936 aos matemáticos quêque desenvolvam pesquisas de destaque.

Leia, a seguir, um texto sobre os estudos de arquimédisArquimedes acerca da esféraesfera e do cilindro.

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ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1. (Enem/MEC) Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura de 13,5 cm.

O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.

Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor quêque o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

a) R$ 0,20, pois haverá uma redução de $\frac{2}{3}$ na superfícíesuperfície da embalagem coberta pelo rótulo.

b) R$ 0,40, pois haverá uma redução de $\frac{1}{3}$ na superfícíesuperfície da embalagem coberta pelo rótulo.

c) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.

d) R$ 0,80, pois haverá um aumento de $\frac{1}{3}$ na superfícíesuperfície da embalagem coberta pelo rótulo.

e) R$ 1,00, pois haverá um aumento de $\frac{2}{3}$ na superfícíesuperfície da embalagem coberta pelo rótulo.

alternativa b

2. (PUCCamp-SP) Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve sêrser misturado à á guaágua na razão de 25 g por 500 litros de á guaágua. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, quanto do produto deve sêrser misturado à á guaágua?

(Use: (pi)"π = 3,1.)

a) 1,45 kg

b) 1,55 kg

c) 1,65 kg

d) 1,75 kg

e) 1,85 kg

alternativa b

3. (Cefet-PR) O raio de um cone equilátero cujos valores numéricos de sua área total e de seu volume se equivalem, em unidades de comprimento (u.c.), é:

a) $\begin{array}{c}3\sqrt[]{3}\end{array}$

b) 3

c) $\begin{array}{c}\sqrt[]{3}\end{array}$

d) $\begin{array}{c}\frac{\sqrt[]{3}}{3}\end{array}$

e) 1

alternativa a

4. (UEA-AM) Um determinado bombom é vendido nas embalagens A e B, ambas com volumes iguais. A embalagem A possui formato de um paralelepípedo reto-retângulo, com área da base igual a 144 cm² e a embalagem B possui formato de um cilindro circular reto. As figuras mostram as dimensões das duas embalagens, em centimetros.

Usando (pi)"π = 3, a medida da altura da embalagem B, indicada por h, é igual a

a) 15 cm.

b) 20 cm.

c) 25 cm.

d) 22 cm.

e) 18 cm.

alternativa b

5. (UFRGS-RS) Um tanque no formato de um cilindro circular reto, cujo raio da base médemede 2 m, tem o nível da á guaágua aumentado de 25 cm após uma forte chuva. Essa quantidade de á guaágua corresponde a 5% do volume total de á guaágua quêque cabe no tanque.

Assinale a alternativa quêque melhor aproxima o volume total de á guaágua quêque cabe no taque, em m³.

a) 57

b) 60

c) 63

d) 66

e) 69

alternativa c