CAPÍTULO 7
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

No estado do Piauí, localiza-se Buriti dos lópesLopes, município brasileiro conhecido como a cidade dos bordados. A técnica utilizada nesses bordados é a de fio contado, na qual os pontos, quêque têm formato de pequenas cruzes, são agrupados de modo a criar figuras e padrões.

A qualidade dos bordados dessa região é amplamente reconhecida, pois o artesanato feito pelas bordadeiras de Buriti é exposto, por meio de cooperativas, em feiras e salões nacionais e internacionais.

Nos padrões dos bordados, observam-se dêzê-nhôsdesenhos quêque se repetem, ora lado a lado, ora refletidos uns em relação aos outros. Esses padrões de repetição retratam ideias relacionadas às transformações geométricas, assunto quêque será tratado neste Capítulo.

Fontes dos dados: COLEÇÕES artesanais diferenciadas produzidas em Buriti dos lópesLopes podem sêrser vistas em Salão Internacional. In: JORNAL DA PARNAÍBA. Parnaíba, 9 nov. 2013. Disponível em: https://livro.pw/kcglx.

GILDAZIO. Antes do bordado, Buriti era a cidade das rendas. Portal buritinense: portal de notícias de Buriti dos lópesLopes, Buriti dos lópesLopes, 10 jan. 2011. Disponível em: https://livro.pw/utxlh. Acessos em: 23 out. 2024.

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Introdução

O artista gráfico holan-dêssholandês Maurits Cornelis é-chêrEscher (1898-1972) freqüentementefrequentemente explorava ideias matemáticas em sua ár-tearte, especialmente as relacionadas à geometria e à simetria, criando obras quêque fascinavam tanto matemáticos quanto artistas. Sua habilidade permitiu-lhe produzir obras quêque extrapolam categorias artísticas tradicionais e continuam a intrigar e a inspirar observadores de todas as idades.

Suas obras muitas vezes apresentam padrões repetitivos quêque, por meio de técnicas como a tesselação, fundem-se e se transformam de maneiras surpreendentes, como pódepode sêrser observado na obra a seguir.

Repare como o lagarto destacado em azul pódepode sêrser associado ao lagarto destacado em vêrdeverde por meio de um deslocamento horizontal para a direita. Além díssudisso, o lagarto destacado em amarelo pódepode sêrser associado ao lagarto destacado em azul por meio de um giro em torno da ponta de suas caldascaudas.

Tanto o deslocamento quanto o giro ilustram ideias matemáticas denominadas transformações geométricas no plano.

Pense e responda

Respostas pessoais.

Neste Capítulo, apresentaremos dois tipos de transformações: as isométricas e as homotéticas.

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Transformações isométricas

Agora, vamos apresentar três tipos de isometrias: reflekçãoreflexão, translação e rotação.

Reflexão

Vamos estudar dois tipos de reflekçãoreflexão: a reflekçãoreflexão em relação a um ponto e a reflekçãoreflexão em relação a uma reta.

Reflexão em relação a um ponto

Dizemos quêque o ponto P₁ é o simétrico do ponto P em relação ao ponto A quando A é o ponto médio do segmento $\overline{P{P}_1}$. Na figura, A é ponto médio do segmento de reta $\overline{P{P}_1}$, logo o ponto P₁ é o simétrico de P em relação a A, e vice-versa.

Observe também quêque, como A é o ponto médio do segmento, as distâncias de A aos pontos P e P₁ são iguais, ou seja, d(A, P) = d(A, P₁).

O simétrico de A em relação ao ponto A, por convenção, é o próprio ponto A.

É comum imaginarmos o ponto A como um espêlhoespelho, no qual o ponto P vê sua imagem P₁ refletida em relação a A. O exemplo a seguir apresenta a figura F e sua reflekçãoreflexão, a figura F(minutos)"′, em relação ao ponto O.

Note quêque OP = OP(minutos)"′ e OQ = OQ(minutos)"′. Temos, também, resultados análogos para qualquer outro ponto da figura F e sua respectiva imagem na figura F(minutos)"′.

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Vamos agora comparar as coordenadas dos vértices de um polígono P com as coordenadas de sua imagem P_O, em quêque P_O é a reflekçãoreflexão de P em relação à origem O(0, 0) do plano cartesiano.

Pela comparação, podemos dizêrdizer quêque tanto as abscissas dos vértices do polígono P(minutos)"′ são opostas às abscissas dos vértices correspondentes em P quanto as ordenadas dos vértices do polígono P(minutos)"′ são opostas às ordenadas dos vértices correspondentes em P.

Utilizando régua e compasso, podemos desenhar a imagem de um polígono ABCD dada pela reflekçãoreflexão em relação ao ponto O. Observe:

I. Com a régua, traçamos a reta $\stackrel{⃡}{OA}$.

II. Com a ponta-seca do compasso em O e com abertura de medida OA, marcamos o ponto A(minutos)"′ (diferente de A) na reta $\stackrel{⃡}{OA}$.

III. Com a régua, traçamos a reta $\stackrel{⃡}{OB}$.

IV. Com a ponta-seca do compasso em O e com abertura de medida OB, marcamos o ponto B(minutos)"′ (diferente de B) na reta $\stackrel{⃡}{OB}$.

V. Repetimos os passos III e IV para os vértices C e D.

VI. Com a régua, traçamos os segmentos $\stackrel{⃡}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\stackrel{⃡}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\stackrel{⃡}{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}},\stackrel{⃡}{D^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$de modo a construir o polígono A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′D(minutos)"′.

Com a estratégia apresentada, podemos desenhar a reflekçãoreflexão de outros polígonos em relação a um ponto.

Reflexão em relação a uma reta

Dizemos quêque o ponto P₁ é o simétrico do ponto P em relação à reta r quando r é a mediatriz do segmento $\overline{P{P}^{\text{'}}}$. Na figura, r é a mediatriz do segmento de reta $\overline{P{P}^{\text{'}}}$, logo o ponto P₁ é o simétrico de P em relação à reta r, e vice-versa.

Saiba quêque...

A mediatriz de um segmento é a reta quêque passa perpendicularmente pelo ponto médio dêêssedesse segmento.

Se o ponto P pertence à reta r, dizemos quêque o seu simétrico em relação à reta r é ele próprio.

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É comum imaginarmos a reta r como um espêlhoespelho, no qual o ponto P vê sua imagem P₁ refletida em relação a r. O exemplo a seguir apresenta a figura F e a sua reflekçãoreflexão, figura F(minutos)"′, em relação à reta r.

Note quêque a distância entre um ponto da figura F e a reta r é igual à distância entre a imagem dêêssedesse ponto na figura F(minutos)"′ e a reta r. Por exemplo, o olho azul do gato da figura F dista 4 u.c. da reta r, e o olho azul do gato da figura F(minutos)"′ também dista 4 u.c. da reta r.

Considere o polígono P e suas imagens P_y e P_x, em quêque P_y é a reflekçãoreflexão de P em relação ao eixo y e P_x é a reflekçãoreflexão de P em relação ao eixo x.

O qüadroquadro a seguir mostra as coordenadas dos vértices dos três polígonos.

Ao comparar as coordenadas dos vértices dos polígonos P e P_x, observamos quêque as abscissas dos vértices do polígono P_x são iguais às abscissas dos vértices correspondentes em P, enquanto as ordenadas correspondentes são opostas entre si. Ao fazer a mesma comparação entre as coordenadas dos vértices dos polígonos P e P_y, observamos quêque as ordenadas dos vértices do polígono P_y são iguais às ordenadas dos vértices correspondentes em P, enquanto as abscissas correspondentes são opostas entre si.

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Figuras com simetria

Dizemos quêque uma figura apresenta simetria em relação a uma reta r quando r divide a figura em duas partes, P₁ e P₂, de modo quêque P₂ seja a reflekçãoreflexão de P₁ em relação a r. À reta r damos o nome de eixo de simetria.

Uma figura geométrica simétrica pódepode ter um ou mais eixos de simetria. Observe a seguir algumas figuras com os seus eixos de simetria.

Na natureza, há vários elemêntoselementos quêque transmitem a ideia de simetria em relação a uma reta, como as duas metades de uma fô-lhafolha ou as duas metades de uma estrela-do-mar, a qual pódepode sêrser analisada conforme cinco eixos de simetria diferentes.

Pense e responda

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A obra a seguir é do renomado artista plástico baiano Rubem Valentim (1922-1991), conhecido por explorar elemêntoselementos da cultura afro-brasileira em suas obras. Observe quêque essa obra também apresenta simetria em relação a uma reta.

Saiba quêque...

• Cultura afro-brasileira refere-se ao conjunto de tradições, côstúmescostumes, expressões artísticas, religiosas e sociais dos africanos e de seus descendentes na formação da ssossiedadesociedade brasileira.

• Nesta coleção, trabalhamos apenas a simetria no plano. Portanto, as simetrias observadas em ele mentos da natureza e na Arquitetura serão apresentadas e consideradas apenas em fotografias.

Para acessar

• BRASIL. Ministério da Cultura. Fundação Cultural palmáaresPalmares. Manifestações culturais negras. Brasília, DF: MinC, 3 fev. 2023. Disponível em: https://livro.pw/ktyip. Acesso em: 28 set. 2024.

Nesse sáitisite, é possível conhecer algumas manifestações culturais negras brasileiras.

Na Arquitetura, podemos observar simetrias em fachadas de edifícios, por exemplo. Observe as imagens a seguir.

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Translação

No plano, o segmento de reta orientado AB é um segmento em quêque admitimos o ponto A como origem e o ponto B como extremidade. O mesmo segmento, orientado no sentido ôpôstooposto, tem origem em B e extremidade em A e é indicado por BA.

Nas figuras, a seta aponta para as extremidades B e D dos segmentos orientados AB e cê dêCD. Observe quêque os segmentos são paralelos e têm o mesmo comprimento e sentidos opostos.

No plano, o vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ , determinado pelo segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados quêque:

• são paralelos ou colineares ao segmento orientado AB;

• têm o mesmo comprimento (módulo) quêque o segmento orientado AB;

• têm o mesmo sentido do segmento orientado AB.

Quando tratamos de vetores, qualquer um dos segmentos orientados do conjunto pódepode sêrser tomado como representante. Note quêque qualquer outro segmento orientado na figura anterior é também um representante do vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$.

Usamos a notação P₁ = P + $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ para indicar a translação do ponto P pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$.

É comum imaginarmos quêque o vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ transportou o ponto P para a posição P₁. Observe, no exemplo a seguir, como temos a impressão de quêque cada ponto da figura F foi deslocado pelo vetor para sua nova posição, formando a figura F(minutos)"′.

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Rotação

No plano, o ângulo orientado $\theta =A\widehat{O}B$ é um ângulo em quêque admitimos a semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{OA}\end{array}$ como origem e a semirreta $\begin{array}{c}\overrightarrow{OB}\end{array}$ como extremidade. O mesmo ângulo, orientado no sentido ôpôstooposto, tem origem em $\begin{array}{c}\overrightarrow{OB}\end{array}$ e extremidade em $\begin{array}{c}\overrightarrow{OA}\end{array}$ e é indicado por $B\widehat{O}A$.

Nas figuras, a seta aponta para as semirretas quêque são as extremidades dos ângulos orientados $A\widehat{O}B$ e $C\widehat{X}D$. Observe quêque esses ângulos têm sentidos opostos. Para simplificar a comunicação, vamos dizêrdizer quêque o ângulo $A\widehat{O}B$ é medido no sentido horário, enquanto o ângulo $C\widehat{X}D$ é medido no sentido anti-horário.

Convencionamos quêque a rotação se dará no sentido anti-horário para valores de θ positivos e no sentido horário para valores de θ negativos. Por exemplo, a figura F(minutos)"′ é imagem da figura F por uma rotação de um ângulo de medida 30° em torno do ponto O, enquanto a figura F(segundos)"″ é imagem da figura F por uma rotação de um ângulo de medida −30° em torno do ponto O.

Note quêque OB = OB(minutos)"′ e $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(B\widehat{O}{B}^{\text{'}}\right)=30°$ (sentido anti-horário de rotação) e quêque OA = OA(segundos)"″ e $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{d}\left(A\widehat{O}{A}^{\mathrm{\text{'}\text{'}}}\right)=-30°$ (sentido horário de rotação).

Como alternativa à utilização do sinal da medida do ângulo para indicar o sentido de rotação, pode-se deixar o sentido explícito no texto, por exemplo: a figura F(minutos)"′ é imagem da figura F por uma rotação de um ângulo de medida 30° no sentido anti-horário em torno do ponto O, enquanto a figura F(segundos)"″ é imagem da figura F por uma rotação de um ângulo de medida 30° no sentido horário em torno do ponto O.

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É importante destacar quêque a rotação de ângulo 180° em torno de um ponto O coincide com a reflekçãoreflexão dessa figura em relação ao ponto O. Observe um exemplo díssudisso na figura a seguir.

FÓRUM

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ATIVIDADES RESOLVIDAS

1. Observe as figuras congruentes na malha quadriculada, em quêque o lado de cada quadrado médemede 1 u.c., e verifique se a figura 2 é a reflekçãoreflexão da figura 1 em relação à reta r. Justifique.

a)

b)

Resolução

a) Observe, na malha quadriculada, quêque a reta r é a mediatriz dos segmentos determinados por qualquer ponto da figura 1 e o ponto correspondente da figura 2. Logo, a figura 2 é a reflekçãoreflexão da figura 1 em relação à reta r.

b) Pela malha quadriculada, temos quêque a reta r não é a mediatriz de qualquer segmento de reta determinado por um ponto da figura 1 e o ponto correspondente da figura 2. Portanto, a figura 2 não é a reflekçãoreflexão da figura 1 em relação à reta r.

2. Quais são as isometrias das figuras F₁, F₂, F₃ e F₄ em relação à figura F na malha quadriculada a seguir? Considere a medida do lado do quadrado da malha igual a 1 u.c.

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Resolução

Vamos analisar caso a caso.

• A figura F₁ é a rotação de 90° de F em torno do ponto P no sentido anti-horário.

• A figura F₂ é a reflekçãoreflexão de F em relação ao ponto O e é também a rotação de 180° de F em torno do ponto O.

• A figura F₃ é a translação de F pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$.

• A figura F₄ é a reflekçãoreflexão de F em relação à reta r.

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3. Em algumas culturas, as mandalas simbolizam harmoníaharmonia e equilíbrio e, por esse motivo, são freqüentementefrequentemente utilizadas na Arquitetura e em decorações. Observe a seguir a ilustração de uma mandala.

Note quêque parte do desenho quêque compõe a mandala se repete de acôr-doacordo com um padrão. O elemento destacado no zoom, por exemplo, repete-se outras sete vezes.

a) Como é chamada a transformação quêque podemos associar às repetições do elemento destacado da mandala?

b) dêz-crevaDescreva a rotação quêque associa o elemento I ao elemento II destacado considerando o sentido horário. Agora, dêz-crevadescreva a rotação considerando o sentido anti-horário.

Resolução

a) Rotação em torno de um ponto (centro da mandala).

b) Como há 8 repetições, o menor ângulo de rotação é obtídoobtido pela divisão da volta completa (360°) por 8, ou seja, $\begin{array}{c}\frac{{360}^{\circ }}{8}\end{array}$= 45°. Assim, o elemento II é a rotação de −45° (sentido horário) do elemento I em torno do centro da mandala. Caso seja considerada a rotação em torno do centro da mandala no sentido anti-horário, o ângulo de rotação será 360° − 45° = 315°.

4. Construa um fluxograma quêque indique os passos para desenhar a reflekçãoreflexão em relação à reta r do polígono mostrado a seguir.

Resolução

Para desenhar a reflekçãoreflexão de um polígono em relação a uma reta, determinamos primeiro as imagens dos vértices; em seguida, traçamos os lados do polígono. O fluxograma a seguir indica os passos necessários para essa construção.

Pense e responda

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ATIVIDADES

1. Determine em quais das imagens a seguir podemos admitir simetria em relação a uma reta. As imagens não estão em proporção.

a)

b)

c)

Nas imagens dos itens a e b.

2. Observe as figuras na malha quadriculada a seguir, em quêque a medida do lado de cada quadrado médemede 1 u.c., e responda às perguntas.

a) Qual figura representa a reflekçãoreflexão da figura F em relação a uma reta vertical?

figura I

b) Qual figura representa a translação da figura F pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$?

figura III

c) Qual figura representa a rotação da figura F em 180° em torno do ponto O?

figura IV

3. Desenhe, em uma fô-lhafolha de papel quadriculado, o polígono P’, quêque é a reflekçãoreflexão do polígono P a seguir em relação à reta r.

Ver as Orientações para o professor.

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4. (Enem/MEC) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em ou

tras mais compléksascomplexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem quêque representa a nova figura é:

a)

b)

c)

d)

e)

alternativa e

5. Observe a figura a seguir, quêque representa uma pipa em uma malha quadriculada.

Agora, desenhe, em uma fô-lhafolha de papel quadriculado, as figuras obtidas a partir de cada uma das transformações a seguir.

a) Translação pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{u}\end{array}$.

Ver as Orientações para o professor.

b) Rotação de 180° em torno do ponto P no sentido anti-horário.

Ver as Orientações para o professor.

• Como ficaria a figura rotacionada, se, no item b, mantendo o ângulo e o centro de rotação, fizéssemos a rotação em sentido horário?

A figura ficaria igual.

6. (Enem/MEC) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, quêque foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.

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Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°. A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao quêque foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de

a) 90° no sentido horário.

b) 135° no sentido horário.

c) 180° no sentido anti-horário.

d) 270° no sentido anti-horário.

e) 315° no sentido horário.

alternativa b

7. (Enem/MEC) As figuras a seguir exibem um trecho de um quêquebra-cabeças que está sêndosendo montado.

Observe quêque as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os dêzê-nhôsdesenhos.

É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça

a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.

b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.

c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.

d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.

e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.

alternativa c

8. (Cefet-MG) As cartas de um baralho tradicional possuem características para facilitar a visualização dos jogadores. A ideia é de quêque elas possam sêrser lidas de “cabeça para baixo”, isto é, não é necessário rotacionar uma carta em 180° para quêque ela possa sêrser compreendida. De fato, algumas cartas são idênticas se vistas em posições distintas, por meio de uma rotação. Considere a figura a seguir composta por cinco cartas:

O número de cartas dessa figura quêque exibirão exatamente a mesma imagem após uma rotação de 180° é

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

alternativa c

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Composição de transformações

Na imagem a seguir, podemos observar duas figuras congruentes, F₁ e F₂, quêque não são imagens uma da outra por nenhuma das isometrias estudadas até o momento.

No entanto, se considerarmos uma figura auxiliar F(minutos)"′, conseguimos identificar algumas isometrias. Acompanhe:

• A figura F(minutos)"′ é a reflekçãoreflexão em relação à reta r da figura F₁.

• A figura F₂ é a translação pelo vetor $\vec{v}$ da figura F(minutos)"′.

Assim, dizemos quêque a figura F₂ é imagem da figura F₁ por meio de uma composição de transformações.

Acompanhe outro exemplo. O polígono P₂ pódepode sêrser associado ao polígono P₁ pela seguinte composição:

• O polígono P(minutos)"′ é a rotação de 30° em torno do ponto O no sentido anti-horário de P₁.

• O polígono P(segundos)"″ é a translação pelo vetor $\vec{u}$de P(minutos)"′.

• O polígono P₂ é a reflekçãoreflexão em relação à reta s de P(segundos)"″.

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Um caso de composição de transformações interessante de sêrser analisado é a composição de duas translações, quêque sempre resulta em uma nova translação. Observe um exemplo a seguir.

A translação pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{t}\end{array}$ é a composição da translação pelo vetor $\begin{array}{c}{\vec{t}}_1\end{array}$ seguida da translação pelo vetor $\begin{array}{c}{\vec{t}}_2\end{array}$.

ATIVIDADE RESOLVIDA

5. Analise as figuras a seguir e identifique isometrias quêque, quando compostas, associam as figuras F₁ e F₂.

Resolução

Uma composição possível é uma reflekçãoreflexão em relação a um ponto seguida de uma reflekçãoreflexão em relação a uma reta. Para isso, considere a figura F(minutos)"′, quêque é a reflekçãoreflexão em relação ao ponto O da figura F₁. Por fim, a figura F₂ é a reflekçãoreflexão em relação à reta r da figura F(minutos)"′.

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ATIVIDADES

9. Copie a figura a seguir em uma fô-lhafolha de papel quadriculado e faça o quêque se pede.

a) Desenhe a imagem P_a do polígono P dada pela seguinte composição:

• P₁ é a reflekçãoreflexão em relação ao ponto O do polígono P;

• P_a é a reflekçãoreflexão em relação à reta r de P₁.

b) Obtenha a imagem P_b do polígono P dada pela seguinte composição:

• P₂ é a reflekçãoreflexão em relação à reta r de P;

• P_b é a reflekçãoreflexão em relação ao ponto O de P₂.

Ver as Orientações para o professor.

10. Copie a figura F a seguir em uma fô-lhafolha de papel quadriculado e desenhe as figuras indicadas.

a) F₁, quêque é a rotação de 90° no sentido horário em torno do ponto O da figura F;

b) F₂, quêque é a rotação de 90° no sentido horário em torno do ponto O da figura F₁;

c) F₃, quêque é a rotação de 90° no sentido horário em torno do ponto O da figura F₂.

Para finalizar, pinte as imagens obtidas após cada rotação com cores diferentes.

Ver as Orientações para o professor.

11. Analise os polígonos congruentes a seguir e identifique isometrias quêque, quando compostas, associam o polígono P₁ ao polígono P₂.

Ver as Orientações para o professor.

12. (Cefet-MG). A figura representada na malha quadriculada foi disponibilizada em uma aula de Matemática juntamente com a indicação das transformações 1, 2 e 3. O professor indicou quêque essas transformações deveriam sêrser realizadas, nessa ordem, em tal figura.

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Após a realização dessas três transformações, a figura resultante está representada em

a)

b)

c)

d)

alternativa b

13. Assinale a alternativa quêque apresenta a imagem P_i do polígono P dada pela composição das transformações a seguir.

• 1ª transformação: P(minutos)"′ é a rotação de 90° em torno do ponto O no sentido horário do polígono P;

• 2ª transformação: P_i é a reflekçãoreflexão em relação à reta r do polígono P(minutos)"′.

a)

b)

c)

d)

alternativa d

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Transformações homotéticas

Na introdução do Capítulo, analisamos uma obra de é-chêrEscher quêque apresentava figuras idênticas em diferentes posições. Agora, vamos observar outra de suas obras.

Considere os dois peixes destacados em azul. Eles ilustram a noção intuitiva de duas figuras planas semelhantes. Em Matemática, dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, por exemplo, dois quadrados são sempre semelhantes entre si.

Estudaremos, neste tópico, a associação entre dois polígonos semelhantes por meio de uma transformação geométrica denominada homotetia.

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Conforme o valor da razão k, classificamos as homotetias em:

• dirétadireta, quando k > 0;

• invérsainversa, quando k < 0.

Classificamos também a homotetia em:

• ampliação, quando |k| > 1;

• redução, quando 0 < |k| < 1.

Na malha quadriculada a seguir, em quêque o lado de cada quadrado médemede 1 u.c., o polígono F(minutos)"′ é a redução do polígono F por uma homotetia dirétadireta de centro O e razão k = $\frac{1}{2}$^.

Observe no exemplo quêque:

• os pontos A e A(minutos)"′, bem como os pontos B e B(minutos)"′, são homólogos.

• o centro O, intersecção das retas $\stackrel{⃡}{A{A}^{\text{'}}}$ e $\stackrel{⃡}{B{B}^{\text{'}}}$, não pertence ao segmento $\overline{A{A}^{\text{'}}}$ nem ao segmento $\overline{B{B}^{\text{'}}}$. Isso ocorre quando a homotetia é dirétadireta.

• a razão de homotetia k é positiva e pódepode sêrser determinada por:

d(O, A(minutos)"′) = k ⋅ d(O, A) ⇒ k = $\begin{array}{c}\frac{d\left(O,A^{\text{'}}\right)}{d\left(O,A\right)}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\end{array}$

• a razão de semelhança entre os polígonos F(minutos)"′ e F é igual à razão de homotetia.

O exemplo a seguir ilustra, em uma malha quadriculada, na qual o lado de cada quadrado médemede 1 u.c., o polígono P(minutos)"′, quêque é uma ampliação do polígono P por uma homotetia invérsainversa de centro O e razão k = $-\frac{3}{2}$.

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Observe no exemplo quêque:

• o centro O, intersecção das retas $\stackrel{⃡}{B{B}^{\text{'}}}$ e $\stackrel{⃡}{E{E}^{\text{'}}}$ pertence ao segmento $\stackrel{⃡}{B{B}^{\text{'}}}$ e pertence também ao segmento $\stackrel{⃡}{E{E}^{\text{'}}}$. Isso ocorre quando a homotetia é invérsainversa.

• a razão de homotetia k é negativa e pódepode sêrser determinada por:

$$\begin{array}{c}k=\frac{d\left(O,D^{\text{'}}\right)}{d\left(O,D\right)}=-\frac{3}{2}\end{array}$$

• uma homotetia invérsainversa de razão igual a −1 seria igual a uma reflekçãoreflexão em relação a um ponto.

Para construir a ampliação dirétadireta de um polígono por uma homotetia, primeiro, determinamos as imagens de seus vértices e, depois, traçamos os lados. Acompanhe o passo a passo.

1. Dados o quadrilátero ABCD, o centro O da homotetia e sua razão k = 2, traçamos as retas quêque passam por O e por cada um dos vértices do quadrilátero.

2. Como k > 0, trata-se de uma homotetia dirétadireta, portanto os vértices A(minutos)"′, B(minutos)"′, C(minutos)"′ e D(minutos)"′ do polígono ampliado devem estar nas semirretas $\begin{array}{c}\overrightarrow{OA}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overrightarrow{OB}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overrightarrow{OC}\end{array}$e $\begin{array}{c}\overrightarrow{OD}\end{array}$ respectivamente, de modo quêque OA(minutos)"′ = 2 ⋅ OA, OB(minutos)"′ = 2 ⋅ OB, OC(minutos)"′ = 2 ⋅ OC e OD(minutos)"′ = 2 ⋅ OD. Para se obterem as medidas OA(minutos)"′, OB(minutos)"′, OC(minutos)"′ e OD(minutos)"′, os comprimentos OA, OB, OC e OD devem sêrser medidos com régua graduada diretamente na figura e substituídos nas equações indicadas anteriormente. A partir díssudisso, obtemos os vértices da nova figura.

3. Com a régua, traçam-se os segmentos $\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$, $\overline{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$, $\overline{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ e $\overline{D^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$, lados do quadrilátero A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′D(minutos)"′, imagem do quadrilátero ABCD pela homotetia considerada.

Página duzentos e setenta e oito278

ATIVIDADE RESOLVIDA

6. Construa a imagem A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ do triângulo ABC por uma homotetia invérsainversa de centro O, de modo quêque a área do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ seja $\frac{1}{9}$ da área do triângulo ABC.

Resolução

Sendo S_ABC e S_A(minutos)"′_B(minutos)"′_C(minutos)"′, respectivamente, as áreas dos triângulos ABC e A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′, pelo enunciado, temos quêque:

SA(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ = $\frac{1}{9}$ ⋅ S_ABC ⇒ S_ABC = 9 ⋅ S_A(minutos)"′_B(minutos)"′_C(minutos)"′

A razão de homotetia k é a razão de semelhança entre os triângulos A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ e ABC. Desse modo, a razão de homotetia elevada ao quadrado é igual à razão entre as áreas dos triângulos A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ e ABC, ou seja:

$$\begin{array}{c}{k}^2=\frac{S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{S_{ABC}}\Rightarrow k^2=\frac{S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{9\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}\Rightarrow k^2=\frac{1}{9}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{3}\end{array}$$

Como se trata de uma homotetia invérsainversa, temos quêque k < 0. Logo, k = $-\frac{1}{3}$.

Agora, podemos seguir o passo a passo:

1. Traçamos as retas $\stackrel{⃡}{OA}$, $\stackrel{⃡}{OB}$ e $\stackrel{⃡}{OC}$.

2. Como se trata de uma homotetia invérsainversa, os vértices A(minutos)"′, B(minutos)"′ e C(minutos)"′ devem estar nas semirretas opostas a $\begin{array}{c}\overrightarrow{OA}\end{array}$, $\begin{array}{c}\overrightarrow{OB}\end{array}$ e $\begin{array}{c}\overrightarrow{OC}\end{array}$ respectivamente, de modo quêque $\begin{array}{c}O{A}^{\text{'}}=\frac{1}{3}\end{array}\cdot OA$, OB(minutos)"′ = $\begin{array}{c}O{B}^{\text{'}}=\frac{1}{3}\cdot OB\end{array}$ e $O{C}^{\text{'}}=\frac{1}{3}\cdot OC$, lembrando quêque os comprimentos OA, OB e OC são medidos com régua graduada diretamente na figura. Dessa maneira, obtemos os vértices da homotetia.

3. Com a régua, traçam-se os segmentos $\overline{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$, $\overline{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ e $\overline{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ lados do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′, imagem do triângulo ABC pela homotetia considerada.

Página duzentos e setenta e nove279

ATIVIDADES

14. Sabendo quêque a figura 2 é a imagem da figura 1 por uma homotetia, faça o quêque se pede.

a) Classifique a homotetia em dirétadireta ou invérsainversa.

homotetia invérsainversa

b) Calcule a razão de homotetia. Para isso, considere a medida do lado dos quadrados da malha quadriculada igual a 1 u.c.

−0,2

15. Na figura a seguir, o triângulo AB(minutos)"′C(minutos)"′ é a imagem do triângulo ABC por uma homotetia.

Determine:

a) o centro da homotetia;

ponto A

b) a razão da homotetia.

$\frac{4}{11}$

16. Copie a figura a seguir em uma fô-lhafolha de papel quadriculado e desenhe a imagem do quadrilátero ABCD pela homotetia de centro C e razão $-\frac{1}{2}$.

Ver as Orientações para o professor.

17. A área de um triângulo ABC é 8 vezes a área de um triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′. Qual é a razão da homotetia dirétadireta entre o triângulo maior e o triângulo menor?

$\begin{array}{c}2\sqrt[]{2}\end{array}$

18. As figuras 1 e 2 são imagens por homotetias da figura F. Para cada uma delas, determine a classificação da homotetia e sua razão. Considere a medida do lado dos quadrados da malha quadriculada como 1 u.c.

Figura 1: ampliação dirétadireta; a razão de homotetia é 1,8.

Figura 2: redução invérsainversa; a razão de homotetia é −0,6.

• A figura 2 é imagem da figura 1 por homotetia? Se sim, qual é a razão dessa homotetia?

sim, $-\frac{1}{3}$

Página duzentos e oitenta280

Transformações geométricas e matrizes

Acompanhe, neste tópico, o estudo das transformações geométricas por meio de matrizes.

Um ponto P(x, y) do plano cartesiano pódepode sêrser representado pela matriz coluna $P=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$. Por exemplo, os pontos A(2, 1), B(3, 0) e C(1, −2), representados no plano cartesiano a seguir, em notação matricial, são expressos por:

• $A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]\end{array}$ • $\begin{array}{c}B=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]\end{array}$ • $\begin{array}{c}C=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]\end{array}$

Os vértices A(2, 1), B(3, 0) e C(1, −2) de um triângulo, no plano cartesiano, podem sêrser representados pela seguinte notação matricial:

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{x}_A& x_B& x_C\\ y_A& y_B& y_C\end{array}\right]\end{array}$, ou seja $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 0& -2\end{array}\right]\end{array}$^.

Reflexão em relação aos eixos coordenados

Em um plano cartesiano, a reflekçãoreflexão em relação ao eixo x associa um ponto (a, b) do plano ao ponto (a, −b). Essa associação pódepode sêrser ôbitídaobtida por meio da multiplicação matricial:

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a\\ -b\end{array}\right]\end{array}$,

em quêque $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\end{array}$ é denominada matriz de reflekçãoreflexão em relação ao eixo x.

A reflekçãoreflexão em relação ao eixo y associa um ponto (a, b) do plano ao ponto (−a, b), associação quêque pódepode sêrser ôbitídaobtida pela multiplicação matricial:

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-a\\ b\end{array}\right]\end{array}$,

em quêque $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$ é denominada matriz de reflekçãoreflexão em relação ao eixo y.

Exemplo:

Os vértices de um triângulo em um plano cartesiano são A(2, 1), B(3, 0) e C(1, −2). As coordenadas dos vértices do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′, reflekçãoreflexão do triângulo ABC em relação ao eixo y, são dadas pela multiplicação entre a matriz de reflekçãoreflexão em relação ao eixo y e a matriz quêque contém as coordenadas dos vértices do triângulo ABC, isto é:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{x}_A& x_B& x_C\\ y_A& y_B& y_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{A^{\text{'}}}& x_{B^{\text{'}}}& x_{C^{\text{'}}}\\ y_{A^{\text{'}}}& y_{B^{\text{'}}}& y_{C^{\text{'}}}\end{array}\right]\end{array}$$

Página duzentos e oitenta e um281

Substituindo os valores das coordenadas e efetuando a multiplicação, temos:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 0& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2& -3& -1\\ 1& 0& -2\end{array}\right]\end{array}$$

Portanto, as coordenadas dos vértices do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ são A(minutos)"′(−2, 1), B(minutos)"′(−3, 0) e C(minutos)"′(−1, −2). Observe a ilustração dessa reflekçãoreflexão no plano cartesiano.

Pense e responda

duas linhas e seis colunas

Translação

Para representar um vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ em notação matricial, utilizamos como representante de $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ o segmento orientado cuja origem coincide com a origem do sistema cartesiano, e sua extremidade (x, y) é indicada pela matriz coluna $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$, ou seja: $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\end{array}$.

Por exemplo, entre os segmentos orientados de $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ dispostos no plano cartesiano a seguir, consideramos o destacado em vermelho e, assim, denotamos o vetor por $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\end{array}$ .

Para determinar as coordenadas (x(minutos)"′, y(minutos)"′) da imagem P(minutos)"′, em quêque P(minutos)"′ é a translação do ponto P(x, y) pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\end{array}$, em um plano cartesiano, efetuamos a seguinte adição matricial:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\\ y^{\text{'}}\end{array}\right]\end{array}$$

Página duzentos e oitenta e dois282

Por exemplo, as coordenadas do ponto A(minutos)"′, translação do ponto A(4, 2) pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{u}=\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right]\end{array}$, são (1, 1), pois:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$

A figura ilustra essa translação.

As coordenadas do vetor de translação seguem um padrão, as translações para a direita têm a coordenada x do vetor positiva e as translações para a esquerda têm a coordenada x do vetor negativa. De modo similar, as translações para cima têm a coordenada y do vetor positiva e as translações para baixo têm a coordenada y do vetor negativa. Desse modo, a translação de 3 unidades para a direita e duas unidades2 unidades para baixo é expressa pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]\end{array}$.

Quando queremos encontrar as coordenadas de todos os vértices de um polígono P(minutos)"′, em quêque P(minutos)"′ é a translação pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]\end{array}$ do polígono P quêque possui n vértices, devemos adicionar a matriz quêque contém as coordenadas de P com a matriz quêque contém n colunas iguais a $\begin{array}{c}\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\end{array}$.

Exemplo:

Os pontos A(1, 1), B(3, 0) e C(4, 2) são vértices de um triângulo. As coordenadas do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′, translação 4 unidades para a esquerda e duas unidades2 unidades para cima do triângulo ABC, são obtidas pela adição:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 1& 0& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-4& -4& -4\\ 2& 2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-3& -1& 0\\ 3& 2& 4\end{array}\right]\end{array}$$

Portanto, os vértices do triângulo A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′ são A(minutos)"′(−3, 3), B(minutos)"′(−1, 2) e C(minutos)"′(0, 4).

Página duzentos e oitenta e três283

Rotação com centro na origem

Para determinar as coordenadas (x(minutos)"′, y(minutos)"′) da imagem P(minutos)"′, em quêque P(minutos)"′ é a rotação do ponto P(x, y) de um ângulo orientado (alfa)"α, com (alfa)"α > 0, em torno da origem do plano cartesiano, efetuamos a seguinte multiplicação matricial:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\mathrm{sen\alpha }\\ \mathrm{sen\alpha }& \cos \alpha \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\\ y^{\text{'}}\end{array}\right]\end{array}$$

Como (alfa)"α > 0, o sentido de rotação é anti-horário.

Exemplo:

Considere os pontos A(−1, 4), B(1, 2), C(−3, 2) e D(−3, 4) vértices de um quadrilátero. A rotação com centro na origem do plano cartesiano e ângulo 90° dêêssedesse quadrilátero resultará em uma imagem cujos vértices são obtidos pela seguinte multiplicação:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& \left[\begin{array}{cc}\cos {90}^{\circ }& -\mathrm{sen}{90}^{\circ }\\ \mathrm{sen}{90}^{\circ }& \cos {90}^{\circ }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}-1& 1& -3& -3\\ 4& 2& 2& 4\end{array}\right]=\\ =& \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}-1& 1& -3& -3\\ 4& 2& 2& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-4& -2& -2& -4\\ -1& 1& -3& -3\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

Desse modo, temos quêque as coordenadas dos vértices da imagem são A(minutos)"′(−4, −1), B(minutos)"′(−2, 1), C(minutos)"′(−2, −3) e D(minutos)"′(−4, −3). A figura a seguir ilustra essa rotação.

Quando a medida do ângulo orientado de rotação (alfa)"α for negativa, o sentido de rotação é horário. Nesse caso, consideramos quêque uma rotação de ângulo (alfa)"α no sentido horário equivale a uma rotação de ângulo de medida igual a 360° − (alfa)"α no sentido anti-horário. Por exemplo, rotacionar 30° no sentido horário um ponto P em torno da origem do sistema cartesiano equivale a rotacionar o mesmo ponto 330° no sentido anti-horário, pois 360° − 30° = 330°.

Um caso particular de rotação em torno da origem do sistema cartesiano é quando o ângulo (alfa)"α é igual a 180°, pois essa rotação coincide com a reflekçãoreflexão em relação à origem do sistema. Nesse caso, para obtêrobter as coordenadas (x(minutos)"′, y(minutos)"′) da imagem P(minutos)"′, em quêque P(minutos)"′ é a reflekçãoreflexão do ponto P(x, y) em relação à origem, efetuamos a seguinte multiplicação matricial:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\cos {180}^{\circ }& -\mathrm{sen}{180}^{\circ }\\ \mathrm{sen}{180}^{\circ }& \cos {180}^{\circ }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\\ y^{\text{'}}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}\\ y^{\text{'}}\end{array}\right]\end{array}$$

Página duzentos e oitenta e quatro284

ATIVIDADES RESOLVIDAS

7. Determine as coordenadas da imagem A(minutos)"′, quêque é a translação do ponto A(21, 35) pelo vetor $\vec{v}$indicado na figura a seguir.

Resolução

O vetor $\vec{v}$determina a translação duas unidades2 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima, logo $\vec{v}$ = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]\end{array}$ . Como $\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{c}21\\ 35\end{array}\right]\end{array}$ , temos: $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}21\\ 35\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}19\\ 38\end{array}\right]\end{array}$

Portanto, as coordenadas da imagem são A(minutos)"′(19, 38).

8. Considere os pontos A(18, −2), B(3, −5), C(−16, 4) e D(6, 6). A imagem do quadrilátero ABCD após uma reflekçãoreflexão em relação à origem e uma translação de 12 unidades para a direita e 15 unidades para baixo é o quadrilátero A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′D(minutos)"′. Obtenha as coordenadas dos vértices do quadrilátero A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′D(minutos)"′.

Resolução

A reflekçãoreflexão em relação à origem coincide com o caso particular de rotação em quêque (alfa)"α = 180°. Desse modo, para encontrar as coordenadas dos vértices do quadrilátero A(minutos)"′B(minutos)"′C(minutos)"′D(minutos)"′, fazemos:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{x}_{A^{\text{'}}}& x_{B^{\text{'}}}& x_{C^{\text{'}}}& x_{D^{\text{'}}}\\ y_{A^{\text{'}}}& y_{B^{\text{'}}}& y_{C^{\text{'}}}& y_{D^{\text{'}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos {180}^{\circ }& -\mathrm{sen}{180}^{\circ }\\ \mathrm{sen}{180}^{\circ }& \cos {180}^{\circ }\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}{x}_A& x_B& x_C& x_D\\ y_A& y_B& y_C& y_D\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}12& 12& 12\\ -15& -15& -15\\ -15& -15& -15\end{array}\right]\Rightarrow \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}{x}_{A^{\text{'}}}& x_{B^{\text{'}}}& x_{C^{\text{'}}}& x_{D^{\text{'}}}\\ y_{A^{\text{'}}}& y_{B^{\text{'}}}& y_{C^{\text{'}}}& y_{D^{\text{'}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}18& 3& -16& 6\\ -2& -5& 4& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}12& 12& 12\\ -15& -15& -15\\ -15& -15& \end{array}\right]=\\ =\left[\begin{array}{cccc}-18& -3& 16& -6\\ 2& 5& -4& -6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}12& 12& 12& 12\\ -15& -15& -15& -15\end{array}\right]\Rightarrow \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}{x}_{A^{\text{'}}}& x_{B^{\text{'}}}& x_{C^{\text{'}}}& x_{D^{\text{'}}}\\ y_{A^{\text{'}}}& y_{B^{\text{'}}}& y_{C^{\text{'}}}& y_{D^{\text{'}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-6& 9& 28& 6\\ -13& -10& -19& -21\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

Temos, portanto, as seguintes coordenadas: A(minutos)"′(−6, −13), B(minutos)"′(9, −10), C(minutos)"′(28, −19) e D(minutos)"′(6, −21).

ATIVIDADES

19. Determine as coordenadas dos vértices da imagem quêque resulta de uma reflekçãoreflexão em relação ao eixo y do hekzágonohexágono de vértices A(2, 2), B(1, 4), C(−2, 4), D(−3, 0), E(−1, −3) e F(1, −2).

A(minutos)"′(−2, 2), B(minutos)"′(−1, 4), C(minutos)"′(2, 4), D(minutos)"′(3, 0), E(minutos)"′(1, −3) e F(minutos)"′(−1, −2)

20. Assinale a matriz quêque representa o vetor de uma translação de 4 unidades para a esquerda.

a) $\left[\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right]$

b) $\left[\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right]$

c) $\left[\begin{array}{c}-4\\ 0\end{array}\right]$

d) $\left[\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right]$

e) $\left[\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right]$

alternativa c

Página duzentos e oitenta e cinco285

21. Considere o vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$ representado na figura a seguir.

Se P(minutos)"′(16, −4) é a imagem do ponto P pela translação pelo vetor $\begin{array}{c}\vec{v}\end{array}$, então:

a) P = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}17\\ -3\end{array}\right]\end{array}$

b) P = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}13\\ -6\end{array}\right]\end{array}$

c) P = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}19\\ -2\end{array}\right]\end{array}$

d) P = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}18\\ -5\end{array}\right]\end{array}$

e) P = $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}8\\ -5\end{array}\right]\end{array}$

alternativa c

22. Considere os pontos A, B, C, D, E e F no plano cartesiano e faça o quêque se pede.

a) escrêevaEscreva as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F em notação matricial.

$A=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]\end{array}$, $B=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right]\end{array}$, $C=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right]\end{array}$, $D=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\end{array}$, $E=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]\end{array}$ e $F=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}-4\\ -1\end{array}\right]\end{array}$

b) Determine as coordenadas das imagens A1, B1 e C1, sabendo quêque elas são, respectivamente, a reflekçãoreflexão em relação ao eixo x dos pontos A, B e C.

A₁ (3, −1), B₁ (−2, −4) e C₁ (−2, 2)

c) Determine as coordenadas dos vértices do triângulo A₂B₂C₂, imagem do triângulo ABC pela translação de vetor $\begin{array}{c}\vec{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]\end{array}$.

A₂ (4, 4), B₂ (−1, 7) e C₂ (−1, 1)

d) Determine as coordenadas dos pontos D₁, E₁ e F₁ e das imagens, respectivamente, dos pontos D, E e F por uma reflekçãoreflexão em relação ao eixo y.

D₁ (−2, 0), E₁ (0, 3) e F₁ (4, −1)

e) Determine as coordenadas dos vértices do triângulo D₂E₂F₂, imagem do triângulo DEF por uma rotação de 60° em torno da origem do sistema cartesiano.